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TRABAJO # 1 NOMBRE: DIEGO GALVEZ MATERIA: MATEMATICA FINANCIERA DOCENTE: ING. FABRICIO TRUJILLO SEMESTRE: ABRIL-AGOSTO 2016

EJERCICIOS 2.4 1.

¿Cuánto costará el litro de gasolina en el mes de noviembre, si en mayo del año anterior costaba $6.57 y aumenta 4 centavos por mes?

Datos: Tiempo = 19 meses a = 6.57 r = 0.04 𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑟 𝑈19 = 6,57 + (19 − 1)0,04 𝑈19 = $ 7,29 2.

El 28 de julio de 2004 unos certificados de inversión se cotizaron en $3.4183. ¿En cuánto se cotizaran el 3 de diciembre siguiente, suponiendo que aumentan su valor a razón de 128 millonésimas de dólares por día?

Datos: Tiempo = 128 días a = 3.4183 r = 128𝑥10−6 𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑟 𝑈128 = 3.4183 + (128 − 1)(128 ∗ 10−6 ) 𝑈128 = 3.4346 3.- ¿Cuál será el valor de los certificados de inversión el día 31 si el primer día del mismo mes se cotizaron en $3.4116 e incrementan su valor en 412 millonésimas de dólares por día? 𝑎𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑟 𝑎𝑛 = 3,4116 + (31 − 1)0,000412 𝑎𝑛 = 3,42396 𝑎𝑛 = 3,4240 4.- Un empleado ahorra $150 dólares la primera semana, 152 la segunda y en cada semana, sucesivamente, 2 pesos más que la anterior. ¿Cuánto ahorrará en la vigésima? ¿En qué semana ahorrará $300.00? ¿Cuánto tendrá en su cuenta de ahorros al final de un año? ¿En cuántas semanas tendrá $35 mil dólares? No considere los intereses. Datos 150, 152, 154,156... 𝑎 = 150 𝑟 = 152 − 150 𝑟=2 a.) Vigésima

semana 𝑛 = 20𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎𝑠 𝑆20 =

𝑛 [2 ∗ 𝑎 + ((𝑛 − 1) ∗ 𝑟)] 2

de

ahorro

20 [20 (150) + ((20 − 1) ∗ 2)] 2 = 10 (3000 + (19 ∗ 2)) = 10 ∗ 338 = 3380 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠.

𝑆20 = 𝑆20 𝑆20 𝑆20

b.) En qué semana ahorra $300 𝑎𝑛 = 300

300 = 𝑎 + (𝑛 − 1) ∗ 𝑟 300 = 150 + [(𝑛 − 1) ∗ 2] 300 = 150 + 2𝑛 − 2 300 = 148 + 2𝑛 300 − 148 = 2𝑛 152 =𝑛 2 𝑛 = 76 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎𝑠

c.) Ahorro en 1 año

𝑛 = 52 𝑎 = 150 𝑟=2

52 [2 (150) + (52 − 1) ∗ 2] 2 = 26 [300 + 102] = 10452 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠

𝑆52 = 𝑆52 𝑆52

d.) En cuantas semanas $35000 pesos

𝑎𝑛 = 35000

35000 = 150 + ((𝑛 − 1) ∗ 2) 35000 = 150 + 2𝑛 − 2 35000 = 148 + 2𝑛 34852 𝑛= 2 𝑛 = 17426 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎𝑠

5.- Se organiza un evento artístico en el que cada pareja paga $0.50 más que su predecesora. Se sabe que la que llegó en sexagésimo lugar pagó $102.00, y que la última pareja en llegar ingresó pagando $500.00. Determine: a) b) c) d)

Lo que pagó la primera pareja al ingresar al evento. ¿Cuánto pagó la trigésimo quinta? ¿Cuántas personas asistieron al evento con boleto pagado? ¿A cuánto asciende el ingreso total por concepto de admisión?

Datos: 𝒂𝒏 𝒓 𝒂𝟔𝟎

500 0.50 102

a) 𝑎60 = 𝑎 + (60 − 1)(0.50) 102 = 𝑎 + 29.5 𝑎 = 72.5 La primera pareja paga $72.5 la ingresar al evento b) 𝑎35 = 72.5 + (35 − 1)(0.50) 𝑎35 = 89.5 La trigésima quinta pareja paga $89.5 c) 𝑎𝑛 = 72.5 + (𝑛 − 1)(0.50) 500 = 72.5 + (𝑛 − 1)(0.50) 𝑛=

428 0.50

𝑛 = 856 Asistieron 856 parejas al evento con boleto pagado d) 𝑠𝑛 =

856 [2(72.5) + (856 − 1)(0.50)] 2 𝑠𝑛 = 245030

El ingreso total asciende a $245,030 por concepto de admisión

6.- Para ayudar a un compañero de trabajo que sufrió un accidente, un grupo de empleados organizaron una rifa. El premio es de $10,000.00. Los boletos están numerados del 1 al 1,000 y el precio de cada uno es igual al número que tiene marcado multiplicado por 20 centavos. ¿Cuánto entregaron al beneficiario? 𝑠𝑛 =

100 [(2)(1) + (1000 − 1)(0.20)] 2 𝑠𝑛 = 500[201.8] 𝑠𝑛 = 100,900

Estregaron al beneficiario $100900 7. Suponiendo que las primeras 6 jugadas en una partida de ajedrez se realizaron en 3 minutos y las siguientes aumentaron, 1 minuto cada 6, ¿cuánto tiempo duró una partida de 60 jugadas en total? Considere que cada una de las primeras 6 consumió el mismo tiempo. Datos: 𝑎=3 𝑛=

60 = 10 6

𝑟=1 𝑆10 =

10 [2(3) + (10 − 1)(1)] 2 𝑆10 = 75 ℎ=

75 × 4 = 5ℎ 60

8. ¿Cuál será el precio de un automóvil nuevo dentro de 5 años, si ahora cuesta $155,000.00 y aumenta su precio un 7% anual? Datos: 𝑛=5 𝑎 = 155,000.00 𝑞 = 7% 𝑎𝑛 = 𝑎𝑞 𝑛−1 𝑎5 = (155,000.00)(1 + 0.07)4 𝑎5 = 203,173.38 9. Las utilidades de una exportadora crecieron un 12% anual en los últimos 6 años. ¿Cuánto dinero reinvirtió en ese lapso, si la reinversión corresponde al 65% de la utilidad total y en el primer año tuvo utilidades de 1.8 millones de dólares? 𝑃0 = 1800000 𝑃1 = 𝑃0 + 0,12𝑃0 = 𝑃0 (1 + 0,12) 𝑃2 = 𝑃1 + 0,12𝑃1 = 𝑃0 (1 + 0,12)2 Entonces: 𝑞 = 1 + 0,12 = 1,12

𝑠= 𝑎

𝑠 = 1800000

1 − 𝑞𝑛 1−𝑞

1 − 1,126 = 9494771,181 1 − 1,12

10.- El primero de un total de 48 abonos mensuales que se hicieron para cancelar una hipoteca, incluyendo intereses, fue de $4,600.00. ¿Cuánto se pagó, en total, por la hipoteca, si cada abono fue un 1.5% mayor que el que le precedió? 𝑃0 = 4600 𝑃1 = 𝑃0 + 0,015𝑃0 = 𝑃0 (1 + 0,015) 𝑃2 = 𝑃1 + 0,015𝑃1 = 𝑃0 (1 + 0,015)2 Entonces: 𝑞 = 1 + 0,015 = 1,015 𝑠= 𝑎

𝑠 = 4600

1 − 𝑞𝑛 1−𝑞

1 − 1,0156 = 320000,0087 1 − 1,015

11) Las exportaciones aumentan 8% cada año. ¿A cuánto ascenderán en 2010 si en 2005 fueron de $50 millones de dólares? Datos 𝑎 = 50 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 Aumento Anual (0,08) 𝑛=5

Análisis

razón

Fórmula

2005 = 50

𝑞 = (1 + 0,08)

𝑢 = 𝑎𝑞𝑛−1

2006 = 50(1 + 0,08)

𝑞 = 1,08

𝑢 = 50(1,08)5−1

2007 = 50(1 + 0,08)2 2008 = 50(1 + 0,08)3 … … … … ..

12. ¿Cuántas unidades monetarias d

𝑢 = 68.024448 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠

12. ¿Cuántas unidades monetarias de su país por cada dólar se pagarán el 9 de mayo, si el 5 de enero anterior se pagaron $11.75? ¿Y qué día el dólar costará $12.60? Suponga que las unidades monetarias de su país se devalúan: a) 0.3 centavos por día Datos 𝒂 = 𝟏𝟏, 𝟕𝟓 𝒒 = 𝟎, 𝟑 𝑺 = 𝟏𝟐, 𝟔𝟎

𝐴𝑛á𝑙𝑖𝑠𝑖𝑠

𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑞 < 1 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑆=

𝑎 1−𝑞

𝑆=

11,75 1 − 0,3

𝐷í𝑎 𝑀𝑒𝑠 5 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑜 𝐹𝑒𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜 𝑀𝑎𝑟𝑧𝑜 𝐴𝑏𝑟𝑖𝑙 9 𝑀𝑎𝑦𝑜

𝑆 = 16,79

0 = 11,75

0 = 11,75

1 = 11,75 + 0,3

1 = 11,75 + 0,3

2 = 11,75 + 0,3 + 0,3

2 = 11,75 + 0,3 + 0,3

3 = 11,75 + 0,3 − 0,3 + 0,3 𝑛 = 11,75 + 𝑛0,3

26 28 31 30 9 Total=> 124 días hasta el 9 de Mayo

𝑛 = 11,75 + 𝑛0,3 11,75 + 𝑛0,3 = 12,60

11,75 + 𝑛0,3 = 123

𝑛0,3 = 0,85

11,75 + (123)0,3 = 48,65

𝑛 = 2.83

A los 123 días que es cae 9 de mayo Pagara 48,65 $

Pagara 12,60$ 𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑚𝑎𝑠

b) 0.04% diario.

0 = 11,75

𝑛 = 11,75 + 𝑛0,0004 = 12,60

1 = 11,75 + 0,0004

𝑛0,0004 = 0,85

2 = 11,75 + 0,0004 + 0,0004

𝑛 = 2125

𝑛 = 11,75 + 𝑛0,0004

Pagara 12,60$ 𝑒𝑛 2125 𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑚𝑎𝑠

11,75 + 𝑛0,004 = 123 24)

11,75 + (123)0,3 = 11,79 A los 123 días que es cae 9 de mayo Pagara 11,79 $

13. Si se sabe que la inflación en los primeros 5 meses del año fue de 0.98% mensual, ¿cuál será 
 la inflación acumulada al finalizar el año si se mantiene el mismo crecimiento? 
 Datos: 5 meses 0,98% mensual 12 meses 𝐹 = (1 + 𝑖)𝑛 -1 𝑓 = (1 + 0,98%)12 − 1 𝑓 = (1,0098)12 𝑓 = 1,124150 − 1 𝑓 = 0,12415 𝑓 = 12,41% 14. ¿Cuánto se devaluará respecto al dólar la moneda del país en un periodo de 6 meses si se devalúo un 0.2% cada mes? La devaluación que se alcanza en 6 meses(180 días) es simplemente la multiplicación del número de días por la devaluación diaria en unidad monetaria del país.

180*(0.02) = $3,6

15.¿Cuántas unidades monetarias de su país por cada dólar se requerirán el 25 de abril, si el 14 de diciembre anterior se necesitaron $11.81 y la devaluación diaria es de 0.002% en promedio? 𝑎 = 11.81 𝑟 = 0.002 𝑛 = 25 𝑎𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑟 𝑎25 = 11.81 + (25 − 1)(0.002) 𝑎25 = 11.858 16. ¿Cuál es el porcentaje de inflación mensual si ésta fue del 18.3% anual? 1𝑎𝑛𝑜 = 12𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 18.3% 12𝑚 1𝑚 El porcentaje mensual es de 1.525%

0.183 0.183 × 1 𝑥= = 0.01525 12

17. ¿Cuál es el total que un obrero aportará en 17 años a su fondo de ahorros anuales para el retiro, si éstos corresponden al 1.125% de su salario, que actualmente es de $ 25,000 al año y se prevé que aumentará un 11.5% en promedio anual? 𝑎1 =

1.125 (25000) 100

𝑎1 = 281.25 𝑎2 = 𝑎1 + 0.115(𝑎1 ) = 𝑎1 (1 + 0.115) = 𝑎1 (1.115) 𝑎3 = 𝑎1 (1.115) + 0.115(𝑎1 (1.115)) = 𝑎1 (1.115)2 𝑎𝑛 = 𝑎1 (1.115)𝑛−1 𝑞 = 1.115 𝑆𝑛 =

𝑎1 (1 − 𝑞 𝑛 ) 1−𝑞

𝑆17 =

281.25(1 − 1.11517 ) = 13116.42 1 − 1.115

18. El sueldo actual de un empleado es de $32,000 anuales. ¿Cuánto aportará a su administradora de fondos de retiro durante 10 años, a partir del presente, si la aportación es del 1.125% de su salario y éste aumenta a razón del 8% anual? 𝑎1 =

1.125 (32000) 100

𝑎1 = 360 𝑎2 = 𝑎1 + 0.08(𝑎1 ) = 𝑎1 (1 + 0.08) = 𝑎1 (1.08) 𝑎3 = 𝑎1 (1.08) + 0.08(𝑎1 (1.08)) = 𝑎1 (1.08)2 𝑎𝑛 = 𝑎1 (1.08)𝑛−1 𝑞 = 1.08 𝑆𝑛 =

𝑎1 (1 − 𝑞 𝑛 ) 1−𝑞

𝑆10 =

360(1 − 1.0810 ) = 5215.1625 1 − 1.08

R: e) Otra

19) ¿Cuál será el precio en moneda nacional dentro de 1.5 años de un yate, si se considera que el valor actual es de $35,000.00, que aumenta un 1.2% cada trimestre, que la moneda se devalúa un 0.15% por bimestre y que el tipo de cambio actual es de $11.65 unidades monetarias por dólar? a) $456,033.08 b) $443,951.60

c) $408,923.68

d) $465,329.32

𝑛 = 1.5 𝑎ñ𝑜𝑠 = 18 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 6 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 = 9 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑎0 = 35000

𝑃𝑚0 = 11.65

Precio de la moneda devaluada en bimestre

e) Otra

𝑃𝑚0 = 11.65 𝑃𝑚1 = 𝑃𝑚0 + 0.0015(𝑃𝑚0 ) = 𝑃𝑚0 (1 + 0.0015) 𝑃𝑚2 = 𝑃𝑚1 + 0.0015(𝑃𝑚1 ) = 𝑃𝑚0 (1 + 0.0015)2 𝑃𝑚3 = 𝑃𝑚2 + 0.0015(𝑃𝑚2 ) = 𝑃𝑚0 (1 + 0.0015)3 𝑃𝑚4 = 𝑃𝑚3 + 0.0015(𝑃𝑚3 ) = 𝑃𝑚0 (1 + 0.0015)4 𝑃𝑚9 = 𝑃𝑚0 (1 + 0.0015)9 = 11.65(1 + 0.0015)9 = 11.81 Precio Yate en trimestres 𝑎0 = 35000 𝑎1 = 𝑎0 + 0.012(𝑎0 ) = 𝑎0 (1 + 0.012) 𝑎2 = 𝑎1 + 0.012(𝑎1 ) = 𝑎0 (1 + 0.012)2 𝑎3 = 𝑎2 + 0.012(𝑎2 ) = 𝑎0 (1 + 0.012)3 𝑎6 = 𝑎0 (1 + 0.012)6 = 35000(1 + 0.012)6 = 37596.82 Precio 𝑃 = (𝑎6 ) ∗ (𝑃𝑚9 ) 𝑃 = (37596.82) ∗ (11.81) 𝑃 = 443943.25

20) ¿Cuántas unidades monetarias de su país necesitará Claudia para adquirir $2,500.00 el 18 de diciembre para irse de vacaciones, si el 16 de julio pasado la paridad unidad monetaria-dólar fue de $11.25 y la devaluación diaria es de 0.015%? a) $28,782.20

b) $31,421.12

c) $30,926.43

d) $25,963.36

𝑎 = 11.25 𝑟 = 0.00015 𝑎𝑛 = 2500 Días Transcurridos Mes Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre Total 𝑎𝑛𝑚 = 𝑎 + (𝑛 − 1) ∗ 𝑟 𝑎155 = 11.25 + (155 − 1) ∗ 0.00015 𝑎155 = 11.25 + (154) ∗ 0.00015

Día 15 31 30 30 31 18 155

e) Otra

𝑎155 = 11.25 + 0.00231 𝑎155 = 11.27 𝑐 = 𝑎𝑛 ∗ 11.27 𝑐 = 25000 ∗ 11.27 𝑐 = 28175

21) ¿En qué porcentaje se reduce el poder adquisitivo de la moneda del país en 7 meses, si disminuye 0.9% por mes? a) 7.140629%

b) 6.843207%

c) 7.234152%

𝑆=

𝑆=

d) 6.132429%

e) Otra

𝑎(1 − 𝑞 7 ) 1−𝑞

𝑎(1 − (1 − 0.009)7 ) 1 − (1 − 0.009)

𝑆=

𝑎(0.061325) 0.009

𝑆 =) 𝟔. 𝟏𝟑𝟐 22) Si la deuda externa de un país disminuye 80,000 dólares cada mes y en enero de este año fue de 5 millones de dólares, ¿de cuánto será dentro de 4 años a partir de enero de este año? a) 1’265,000

b) 987,428

c) 1’008,328

d) 1’160,000

e) Otro

𝑛

𝑠 = (2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑟) 2

𝑠=

48 (2(5000000) + (48 − 1)(80000)) 2

𝑠=

48 (2(5000000) + (48 − 1)(80000)) 2 𝑠 = 330240000

23) Para calcular el valor del dólar al cabo de 3 años, suponga que 𝑷𝒐 es el tipo de cambio actual, por lo tanto dentro de un mes este será: 𝑃1 = 𝑃𝑜 + 0.003𝑃𝑜 𝑃1 = (1 + 0.003)𝑃𝑜 𝑃1 = (1.003)𝑃𝑜

Al final del segundo mes será un 0.3% mayor: 𝑃2 = 𝑃1 + 0.003𝑃1 𝑃2 = (1.003)𝑃1 𝑃2 = (1.003)(1.003)𝑃𝑜

Porque 𝑃1 = 1.003𝑃𝑜

𝑃2 = (1.003)2 𝑃𝑜 Aquí nos vamos hasta el mes 36 … … 𝑃36 = (1.003)36 𝑃𝑜 = (1.113867644)(11.76) = 13.38 De manera semejante, el precio del tractor en dólares en 6 semestres será: 𝐶 = 30275(1.003)6 𝐶 = 30824.05351 En moneda nacional será: 𝐶 = 30824.05351(13.38) 𝐶 = 424412.93

24) Para comprar una camioneta cuyo precio actual es de $275,000, Rodolfo abre una cuenta de ahorros con $12,000 y luego hace 17 depósitos mensuales. Considerando que el precio del vehículo se incrementa en 0.7% cada mes, y sin tomar en cuenta los intereses, determine en cuánto crecen sus pagos si el incremento es A) aritmético: a) $626.08 b) $530.63 c) $702.45 d) $595.02 e) Otra

B) geométrico: a) 3.725% b) 4.624% c) 4.450% d) 4.145% e) Otra Suponga que la compra se realiza un mes después de su último pago.

25) ¿Cuánto deposita en su cuenta de ahorros durante 8 años un empleado que actualmente gana $102,500 anuales, considerando que ahorra el 15% de su salario, el cual se incrementa A) $8,250 anuales: B) a) $157,650 b) $165,368 c) $160,728 d) $143,963 e) Otra Datos:

𝑎1 = 102500 × 15% = 15375

𝑟 = 8,250 × 15% = 1237,5 𝑠𝑛 =

𝑛 [2𝑎 + (𝑛 − 1)(𝑟)] 2

8 𝑠8 = [2(15375) + (8 − 1)(1237,5)] 2 𝑠8 = 157,650

B) $4.75% anuales a) $150728.329

b) 139913.09

c) 144217.71

d) 147068.23

e) Otra

Valor inicial =102500 𝑥 = 4.75 % La aportación del primer año es un 15% de su salario 𝐴1 = 102500(0.15) = 15375 En el segundo es un 4.75% mayor ya que es asi como aumenta su salario 𝐴2 = 15375 + 0.0475(15375) 𝐴2 = 15375(1.0045) 𝐴2 = 15444.1875 En el tercero es: 𝐴3 = 15375(1.0045)(1.0045) 𝐴3 = 15375(1.0045)2 𝐴3 = 15513.68 Las 8 aportaciones generan una serie geométrica: Q=

15513.68 15375

=1.0090

𝑆 = 15375

1 − (1.0045)8 1 − 1.0045

𝑆 = 15375(9.38) 𝑆 = 144217.5