• Author / Uploaded
• Olesya Sergeeva

Citation preview

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELECTRONICA UNIDAD DE POSGRADO MAESTRIA EN INGENIERIA BIOMEDICA

Curso: SISTEMAS LINEALES Y NO LINEALES Tema: Nª1 TRABAJO DOMICILIARIO Profesor: DR. ING. NICANOR RAÚL BENITES SARAVIA Integrantes:  BAUTISTA ENCISO LEEVAN  CÉSPEDES CANDIA GIAN CARLO  MENDOZA GUTIÉRREZ CRISTINA VALERIA  RODRÍGUEZ RIVAS ROLANDO  SIVINCHA ROMERO MELISA JUDIT Grupo: 6

2020 – B

Nª1 TRABAJO DOMICILIARIO PREGUNTA N° 1: Un proceso no lineal está modelado por: x˙ 1=−2 x12+ sen x 2+7.5 u1 ;

´ 1=U´ 2=1 U

x˙ 2=( x 1−2) x23 x˙ 3=−x 3 +u2 y 1=sen x 1 y 2=x 23 Determine: ´ 3considerando los puntos de equilibrio anotadas a) Los puntos de equilibrio X´ 1 , X´ 2 , X para las entradas. b) Las matrices jacobinas A, B, C y D c) La estabilidad del proceso linealizado d) La respuesta comparativa del proceso no lineal y lineal en Simulink SOLUCION: ´ 3considerando los puntos de equilibrio anotadas a) Los puntos de equilibrio X´ 1 , X´ 2 , X para las entradas. x˙ 1=−2 x12+ sen x 2+7.5 u1 x˙ 2=( x 1−2) x23 x˙ 3=−x 3 +u2 y 1=sen x 1 y 2=x

2 3

… ( f 1) … ( f 2) … ( f 3) … (h1) … (h2 )

Puntos de equilibrio: ´ 2+ 7.5 U´ 1 0=−2 X´ 21 +sen X ´ 1−2) X´ 23 0=( X

… X´ 2 =0.52 … X´ 1 =2

0=− X´ 3 + U´ 2

… X´ 3 =1

( X´ ¿ ¿1 , X´ 2 , X´ 3)=(2 , 0.52,1)¿ b) Las matrices jacobinas A, B, C y D δf1 δ x1 δf2 A= δ x1 δf3 δ x1

δ f1 δ x2 δ f2 δ x2 δ f3 δ x2

δf1 δ x3 ´ 2) −4 X´ 1 cos ⁡( X 0 −8 0.865 0 δf2 2 = X ´3 ´ = 1 0 −4 0 −4 X 3 δ x3 0 0 −1 0 0 −1 δf3 δ x3

δ f1 δ u1 δ f2 B= δ u1 δ f3 δ u1

δ f1 δ u2 7.5 0 δ f2 = 0 0 δ u2 0 1 δ f3 δ u2

δ h1 δ x1 C= δ h2 δ x1

δ h1 δ x2 δ h2 δ x2

δ h1 δ x1 D= δ h2 δ x1

δ h1 δ x2 =0 0 0 0 δ h2 δ x2

( ) ( ) ( ) (

)(

δ h1 cos X´ 1 0 0 δ x3 = = −0.416 0 0 ´ 0 0 2 δ h2 0 0 2 X3 δ x3

( )( ( )( )

)(

)

−8 0.865 0 7.5 0 −0.416 0 0 0 0 A= 1 ; D= 0 −4 ; B= 0 0 ; C= 0 0 2 0 0 0 0 −1 0 1

(

) ( )

(

)

( )

c) La estabilidad del proceso linealizado s 0 0 −8 0.865 0 s +8 −0.865 0 |SI − A|= 0 s 0 − 1 0 −4 = −1 s 4 =0 0 0 s 0 0 −1 0 0 s+1

|( ) (

( s+8 ) s ( s +1 )=0

)| |(

s=−8 ,−4,0

)|

)

El sistema es estable.

d) La respuesta comparativa del proceso no lineal y lineal en Simulink Sistema no lineal: −2 x 21 sen x 2 0 x˙ 1 x 1 7.5 0 u1 2 x˙ 2 = x 3 0 −2 x3 x 2 + 0 0 0 1 u2 x˙ 3 0 0 −1 x 3

( )(

sen x 1 0 y1 = y2 0 0

( )(

)( ) ( )( )

x1 0 u + 0 0 1 2 x2 0 0 u2 x3 x3

)( ) ( )( )

Sistema linealizado: x˙ 1 −8 0.865 0 x 1 7.5 0 u x˙ 2 = 1 0 −4 x 2 + 0 0 1 0 0 −1 x 3 0 1 u2 x˙ 3

( )(

)( ) ( )( )

x1 y1 −0.416 0 0 0 0 u1 = x2 + 0 0 2 0 0 u2 y2 x3

( )(

)

( )(

)( )

PREGUNTA N° 2: En la figura siguiente, el sistema esta inicialmente en reposo. En t=0 se aplica en el punto A un escalón unitario como desplazamiento de entrada. Suponiendo que el sistema permanece lineal a través del periodo de respuesta y que es subamortiguado, se le pide determinar:

a) x (t ), en función del factor de amortiguamiento y de la frecuencia natural no amortiguada. b) x (∞ ) y ¿Qué se puede concluir de este valor obtenido?

SOLUCION: a) x (t ), en función del factor de amortiguamiento y de la frecuencia natural no amortiguada. La ecuación de movimiento del sistema es: m x¨ +b ( x− ˙ ˙y )+ kx=0 m x¨ +b x˙ +kx =b y˙ Aplicando la transformada de laplace tenemos: m s 2 X ( s ) +bsX ( s ) + kX ( s )=bsY (s) X (s) bs = 2 Y ( s) ms +bs+ k Teniendo a Y como entrada escalón unitario Y ( s )=1/ s, tendremos: bs ∗1 2 m s +bs +k b X ( s )= = 2 s m s +bs +k b X ( s )= 2 m s + bs+ k En función de del factor de amortiguamiento y de la frecuencia natural no amortiguada. X ( s )=

2 ε wn 2

s +2 ε w n s+ w2n

X ( s )=

2ε ∗w n √ 1−ε 2 2 √ 1−ε 2 ( s+ ε wn ) + ( w n √ 1−ε 2)

2

Donde k /m=w2n y b /m=2 ε wn. .la transformada invertida de laplace de X ( s ) : 2ε X ( t )= ∗e−ε w t∗sen wn √ 1−ε 2 t 2 √1−ε n

b) x (∞ ) y ¿Qué se puede concluir de este valor obtenido? x ( ∞ )=lim sX ( s)=lim

2 ε wn

=0 s +2 ε wn s+ w2n Se puede concluir que la masa m retorna a su posición original en el transcurso del tiempo. s →0

s→ 0

2

PREGUNTA N° 3:

Considere el modelo en espacio de estado de un proceso representado por las siguientes ecuaciones de estado y de salida siguientes: El sistema mostrado en la figura tiene por objeto el control del nivel de un líquido h(t) de un recipiente cilíndrico de área Ak , altura H y resistencia hidráulica Rh en el caudal de salida. El caudal de entrada q e ( t) es gobernado por una electro válvula que consiste de un impulsor hidráulico (de desplazamiento x (k ), masa M , fricción B, resorte de constante K y sección de presión A p ) y un conversor voltaje/presión. El sensor de nivel consiste en un flotador el cual está unido a una cremallera de carrera vertical que al desplazarse hace girar a un potenciómetro rotatorio de 3 vuelta y radio R. Un diagrama simplificado del Sistema experimental se ilustra en la siguiente figura.