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• Olesya Sergeeva

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELECTRONICA

UNIDAD DE POSGRADO MAESTRIA EN INGENIERIA BIOMEDICA

Curso: SISTEMAS LINEALES Y NO LINEALES Tema: TRABAJO 1_G7 Profesor: DR. ING. NICANOR RAÚL BENITES SARAVIA

Integrantes:  BAUTISTA ENCISO LEEVAN  CÉSPEDES CANDIA GIAN CARLO  MENDOZA GUTIÉRREZ CRISTINA VALERIA  RODRÍGUEZ RIVAS ROLANDO  SIVINCHA ROMERO MELISA JUDIT

2020 – B

[SISTEMAS LINEALES Y NO LINEALES] 14 de noviembre de 2020

PREGUNTA N° 1: Un proceso no lineal está modelado por: ̇

̅

;

̅

̇ ̇

Determine: a) Los puntos de equilibrio ̅ ̅ ̅ considerando los puntos de equilibrio anotadas para las entradas. b) Las matrices jacobinas A, B, C y D c) La estabilidad del proceso linealizado d) La respuesta comparativa del proceso no lineal y lineal en Simulink SOLUCION: a) Los puntos de equilibrio ̅ ̅ anotadas para las entradas.

̅ considerando los puntos de equilibrio

…( …( …( …( …( ̇ ̇ ̇

) ) ) ) )

Puntos de equilibrio: ̅

̅

̅

̅ ̅

̅ ̅

̅

̅

… ̅ … ̅ … ̅

̅

TRABAJO 1_G7

2

[SISTEMAS LINEALES Y NO LINEALES] 14 de noviembre de 2020 b) Las matrices jacobinas A, B, C y D

̅

̅

( ̅

A= (

̅ )

(

+

)

( (

+

)

̅

( (

̅

*

(

)

)

( (

)

)

(

+;

(

+;

(

);

(

)

c) La estabilidad del proceso linealizado

|

|

|(

+

(

+|

|(

+|

El sistema es estable.

TRABAJO 1_G7

3

[SISTEMAS LINEALES Y NO LINEALES] 14 de noviembre de 2020 d) La respuesta comparativa del proceso no lineal y lineal en Simulink Sistema no lineal: ̇ ( ̇ + ̇

( )

(

(

+( +

)( +

(

(

+(

)(

)

)

Código MATLAB de las variables de estado: %RESPUESTA DE LAS VARIABLES DE ESTADO %-----------------------------------------------------------clc,close all,clear all; t=0:0.01:3; a=[-8 0.5 0;1 0 -2;0 0 -1]; b=[7.5;0;1]; [x, z, t]=step(a,b,a,b,1,t); x1=[1 0 0]*x'; x2=[0 1 0]*x'; x3=[ 0 0 1]*x'; plot(t,x1,'-',t,x2,'-',t,x3,'-') grid title('RESPUESTA A CONDICION INICIAL') ylabel('variables de estado X1, X2 y X3'); xlabel('t seg'); gtext('x1') gtext('x2') gtext('x3')

TRABAJO 1_G7

4

[SISTEMAS LINEALES Y NO LINEALES] 14 de noviembre de 2020

Figura 1: respuesta de las variables de estado. Sistema linealizado: ̇ ( ̇ + ̇

( )

(

(

+( +

)( +

(

(

+(

)(

)

)

Código MATLAB para el sistema linealizado con entrada escalón unitario: %SISTEMA LINEALIZADO %-------------------------------------------------------------------------------clc,close all,clear all; A=[-8 0.865 0;1 0 -4;0 0 -1]; B=[7.5;0;1]; C=[-0.416 0 0;0 0 2]; D=[0]; lineal=ss(A,B,C,D) [y1,t1]=step(lineal); plot(t1,y1,'-') grid title('respuesta a un escalon unitario del sistema linealizado') xlabel('t(s)') ylabel('salida y(t)')

TRABAJO 1_G7

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[SISTEMAS LINEALES Y NO LINEALES] 14 de noviembre de 2020

Figura 2: respuesta a un escalón unitario.

Figura 3: diagrama de bloques en SIMULINK

TRABAJO 1_G7

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[SISTEMAS LINEALES Y NO LINEALES] 14 de noviembre de 2020

Figura 4: respuesta a un escalón unitario.

PREGUNTA N° 2: En la figura siguiente, el sistema esta inicialmente en reposo. En se aplica en el punto un escalón unitario como desplazamiento de entrada. Suponiendo que el sistema permanece lineal a través del periodo de respuesta y que es subamortiguado, se le pide determinar: a)

, en función del factor de amortiguamiento y de la frecuencia natural no amortiguada. b) y ¿Qué se puede concluir de este valor obtenido?

Figura 5: sistema. SOLUCION: a)

, en función del factor de amortiguamiento y de la frecuencia natural no amortiguada.

La ecuación de movimiento del sistema es: TRABAJO 1_G7

7

[SISTEMAS LINEALES Y NO LINEALES] 14 de noviembre de 2020

̈

̇ ̈

̇ ̇

̇

Aplicando la transformada de laplace tenemos:

Teniendo a

como entrada escalón unitario

, tendremos:

En función de del factor de amortiguamiento y de la frecuencia natural no amortiguada.

√ √ Donde

(

y

)

. .la transformada invertida de Laplace de

:

√

√

b)

√

y ¿Qué se puede concluir de este valor obtenido?

Se puede concluir que la masa tiempo.

retorna a su posición original en el transcurso del

TRABAJO 1_G7

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[SISTEMAS LINEALES Y NO LINEALES] 14 de noviembre de 2020

PREGUNTA N° 3: Considere el modelo en espacio de estado de un proceso representado por las siguientes ecuaciones de estado y de salida siguientes: El sistema mostrado en la figura tiene por objeto el control del nivel de un líquido de un recipiente cilíndrico de área , altura y resistencia hidráulica en el caudal de salida. El caudal de entrada es gobernado por una electro válvula que consiste de un impulsor hidráulico (de desplazamiento , masa , fricción , resorte de constante y sección de presión ) y un conversor voltaje/presión. El sensor de nivel consiste en un flotador el cual está unido a una cremallera de carrera vertical que al desplazarse hace girar a un potenciómetro rotatorio de 3 vuelta y radio . Un diagrama simplificado del Sistema experimental se ilustra en la siguiente figura.

Figura6: sistema de control de nivel de un tanque.

SOLUCION: 

Analizando la electroválvula: La ecuación que describe el comportamiento de la electroválvula es: ̇ ̇

̈

TRABAJO 1_G7

̈ 9

[SISTEMAS LINEALES Y NO LINEALES] 14 de noviembre de 2020 ̈

̇

Usando Laplace tendremos:



Analizando el tanque: La ecuación que describe el comportamiento en el tanque es: ̇ Usando laplace tendremos:



Analizando la entrada del tanque: ̇ ̇ Usando Laplace tendremos:



Analizando el potenciómetro de medición:

TRABAJO 1_G7

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[SISTEMAS LINEALES Y NO LINEALES] 14 de noviembre de 2020 Usando Laplace tendremos:

a) El modelo de función de transferencia, considerando como entrada como salida

y

Remplazando la ecuación 2 en 4:

Remplazando la ecuación 3 en 4:

Remplazando la ecuación 1 en 4:

Reemplazando los valores en la ecuación anterior:

TRABAJO 1_G7

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[SISTEMAS LINEALES Y NO LINEALES] 14 de noviembre de 2020 b) Simular la respuesta del sistema para una entrada escalón unitario, usando Matlab y/o Simulink. Código MATLAB respuesta del sistema con entrada escalón unitario: %FUNCION DE TRANSFERENCIA %respuesta del sistema con entrada escalon unitario %--------------------------------------------------------------------------------------clc,close all,clear all; num=[0 0 0 0 0.3701]; den=[1 0.805 1.154 0.50175 0.0025]; t=1500; escalon=1; g1=tf(num,den) g2=g1*escalon [y1 t1]=step(g2,t); plot(t1,y1) grid title('RESPUESTA DEL SISTEMA CON ENTRADA ESCALON UNITARIO') ylabel('salida eh(s)') xlabel('t(s)')

Figura7: función de transferencia del sistema.

TRABAJO 1_G7

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[SISTEMAS LINEALES Y NO LINEALES] 14 de noviembre de 2020

Figura 8: respuesta del sistema con entrada escalón unitario.

c) El modelo en espacio de estado, para lo cual considere las variables de entrada que crea conveniente. La entrada y salida son las consideradas en la pregunta (a). De la ecuación (d) tendremos:

De la ecuación (b) tendremos: ̇

̇

TRABAJO 1_G7

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[SISTEMAS LINEALES Y NO LINEALES] 14 de noviembre de 2020 De la ecuación (c) tendremos: ̇

̇

̇ ̈

̇

̇

De la ecuación (a) tendremos: ̈

̇ ̇

Por lo tanto el modelo en espacio de estado es:

̇ ̇

( , ̇ ̇

( ) ( (

)

)

(

*( )

Reemplazando los valores tendemos: ̇ ̇ ( , ̇ ̇

(

,( )

(

,

( )

TRABAJO 1_G7

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[SISTEMAS LINEALES Y NO LINEALES] 14 de noviembre de 2020 d) Simular la respuesta del sistema para una entrada escalón unitario, usando Matlab y/o Simulink. %MODELO EN ESPACIO DE ESTADOS %ENTRADA ESCALON UNITARIO %-----------------------------------------------------------------------------------------------clc,close all,clear all; A=[-0.002 0.25 0 0; 0 -0.5 0.03 0; 0 0 0 1; 0 0 -1 -0.3]; B=[0; 0; 0; 0.1]; C=[49.345 0 0 0]; D=[0]; t=1.1875; mod=ss(A,B,C,D) [y,t]=step(mod); plot(t,y) grid title('RESPUESTA DEL SISTEMA CON ENTRADA ESCALON UNITARIO') ylabel('salida y(t)') xlabel('x(t)')

Figura 9: modelo de espacio de estado.

TRABAJO 1_G7

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[SISTEMAS LINEALES Y NO LINEALES] 14 de noviembre de 2020

Figura 10: respuesta del sistema con entrada escalón unitario

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