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• Suhail Gómez

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1.- Santiago depositó $3.000 al final de cada trimestre durante 3 años. Si no realizó ningún retiro en todo este tiempo y su banco le abonaba el 1,67% mensual capitalizable cada trimestre, ¿cuál fue el monto de la anualidad al cabo de los tres años? ¿Qué tanto esa cantidad son intereses? Solución. Datos 𝑅 = $3.000 𝑎𝑙 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 𝑛 = 3 𝑎ñ𝑜𝑠 = 12 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑖 = 1,67% 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 𝑐𝑎𝑝. 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 1,67%(3) = 5,01% 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 0,0501 𝑀 =? 𝐼 =? El monto 𝑀 = 𝑅[

(1 + 𝑖)𝑛 − 1 (1 + 0,0501)12 − 1 (1,0501)12 − 1 ] = 3.000 [ ] = 3.000 [ ] 𝑖 0,0501 0,0501 = 3.000(15,92634349) = 47.779,03046

El monto al cabo de los tres años es $47.779,03. El capital depositado durante los tres años fue de 𝐶 = 3.000 ∗ 12 = 36.000$. Por lo tanto, los intereses ganados son 𝐼 = 𝑀 − 𝐶 = 47.779,03 − 36.000 = 11.779,03$

2.- Se depositan 3.500 dólares en una cuenta de ahorros al final de cada semestre, durante ocho y medio años. Si no realiza ningún retiro, ¿cuánto dinero habrá en la cuenta? La tasa de interés es de 5,5% semestral capitalizable cada semestre. Solución. Datos 𝑅 = $3.500 𝑎𝑙 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 𝑛=8

1 𝑎ñ𝑜𝑠 = 17 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 2

𝑖 = 5,5% 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑐𝑎𝑝. 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 0,055 El monto es (1 + 𝑖)𝑛 − 1 (1 + 0,055)17 − 1 (1,055)17 − 1 𝑀 = 𝑅[ ] = 3.500 [ ] = 3.500 [ ] 𝑖 0,055 0,055 = 3.500(26,99640269) = 94.487,4097. Al final de los ocho años y medio, en la cuenta habrá $94.487,40

3.- Don Crispin está pagando una deuda mediante abonos mensuales de $430 cada uno. Si no efectúa 6 pagos, ¿cuántos debe pagar al vencer el séptimo pago para poner al día su deuda? La tasa de interés moratorio es del 45% capitalizable cada mes. Solución. Datos 𝑅 = $430 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 𝑛 = 7 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑖 = 45% 𝑐𝑎𝑝. 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑚𝑒𝑠 =

0.45 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 = 0,0375 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 12

El monto es (1 + 𝑖)𝑛 − 1 (1 + 0,0375)7 − 1 (1,0375)7 − 1 𝑀 = 𝑅[ ] = 430 [ ] = 430 [ ] 𝑖 0,0375 0,0375 = 430(7,838606503) = 3.370,60 Don Crispin debe pagar $3.370,60 en el séptimo mes para poner su deuda al día.

4.- Se tienen $80.000 que se van a invertir de inmediato al 22,75% capitalizable cada bimestre y, además, se van a depositar $800 bimestrales en la misma cuenta. El primer depósito se hará dentro de un bimestre. ¿Cuánto se tendrá acumulado dentro de dos y medio años? Solución. Datos 𝐶0 = $80.000 𝑖 = 22,75% 𝑐𝑎𝑝. 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 = 𝑛1 = 2

0,2275 = 0,037916666 6

1 𝑎ñ𝑜𝑠 = 2,5(6) = 15 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 2

𝑛2 = 14 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑅 = 800 𝐵𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 El monto es (1 + 𝑖)𝑛2 − 1 ] 𝑖 (1 + 0,037916666)14 − 1 15 = 80.000(1 + 0,037916666) + 800 [ ] 0,037916666 (1,037916666)14 − 1 = 80.000(1,037916666)15 + 800 [ ] 0,037916666 = 139.806,47 + 800(18,03267992) = 139.806,47 + 14.426,14393 = 154.232,6139. 𝑀 = 𝐶0 (1 + 𝑖)𝑛1 + 𝑅 [

Dentro de dos y medio años se tendrá acumulado $154.232,61.

5.- Cada trimestre Cristina deposita $5.000 en su cuenta de ahorros, la cual gana 4,2% trimestral. Después de 2 años, Cristina suspende los depósitos trimestrales y el monto obtenido en ese momento pasa a un fondo de inversión que da el 20,85% capitalizable cada mes. Si el dinero permaneció 2 años en el fondo de inversión, obtenga el monto final y el interés total ganado. Solución. Datos 𝑅 = $5.000 𝑎𝑙 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 𝑖1 = 4,2% 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 0,042 𝑛1 = 2 𝑎ñ𝑜𝑠 = 2(4) 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 = 8 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑀1 = ? 𝑖2 = 20,85% 𝑐𝑎𝑝. 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑚𝑒𝑠 =

0,2085 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 = 0,017375 12

𝑛2 = 2 𝑎ñ𝑜𝑠 = 2(12) = 24 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 El monto obtenido en los dos primeros años es (1 + 𝑖1 )𝑛1 − 1 (1 + 0,042)8 − 1 (1,042)8 − 1 𝑀1 = 𝑅 [ ] = 5.000 [ ] = 5.000 [ ] 𝑖1 0,042 0,042 = 5.000(9,280148118) = 46.400,74059. Luego, 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑜 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝑀1 (1 + 𝑖2 )𝑛2 = 46.400,74059(1 + 0,017375)24 = 46.400,74059(1,017375)24 = 70.156,89956 El monto final es $70.156,89956. Veamos ahora los intereses. El interés ganado en el fondo de inversión es 𝐼1 = 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑜 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 − 𝑀1 = 70.156.89956 − 46.400,74059 = 23.756,15897. Y los intereses ganado en la cuenta de ahorro es de 𝐼2 = 𝑀1 − 8 ∗ 5.000 = 46.400,74059 − 40.000 = 6.400,74059. Por lo tanto, el total de los intereses ganados es 𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2 = 23.756,15897 + 6.400,74059 = 30.156,89956.

6.- Lolita desea comprar un automóvil nuevo dentro de 3 años y pagarlo de contado. Para cumplir su deseo decide ahorrar $2.500 cada mes en una cuenta que le paga un interés del 2% mensual. Justo después de realizado el depósito número 24, la tasa de interés baja al 1,74% mensual y, debido a esto, Lolita decide incrementar su mensualidad a $2.800. Obtenga el monto al cabo de 3 años. Solución. Datos 𝑛𝑡 = 3 𝑎ñ𝑜𝑠 𝑅1 = $2.500 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑚𝑒𝑠 𝑖1 = 2% 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 = 0,02 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 𝑛1 = 24 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑖2 = 1,74% 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 = 0,0174 𝑚𝑒𝑠𝑢𝑎𝑙 𝑛2 = 12 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑅2 = $2.800 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑚𝑒𝑠 𝑀𝑡 = ? (1 + 𝑖1 )𝑛1 − 1 (1 + 0,02)24 − 1 (1,02)24 − 1 𝑀1 = 𝑅1 [ ] = 2.500 [ ] = 2.500 [ ] 𝑖1 0,02 0,02 = 2.500(30,42186247) = 76.054,65618. y (1 + 𝑖2 )𝑛2 − 1 𝑀𝑡 = 𝑅2 [ ] + 𝑀1 (1 + 𝑖2 )𝑛2 𝑖2 (1 + 0,0174)12 − 1 = 2.800 [ ] + 76.054,65618(1 + 0,0174)12 0,0174 (1,0174)12 − 1 = 2.800 [ ] + 76.054,65618(1,0174)12 0,0174 = 2.800(13,21769) + 93.546,29832 = 37.009,52910 + 93.546,29832 = 130.555,82742. Al cabo de 3 años, Lolita tendrá un monto de $130.555,82742

7.- Obtenga el valor presente de $5.000 semestrales durante cinco y medio años, a una tasa de interés del 28% capitalizable en forma semestral. Interprete el resultado obtenido. Solución. Datos 𝑅 = $5.000 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑛=5

1 𝑎ñ𝑜𝑠 = 5,5(2) = 11 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 2

𝑖 = 28% 𝑐𝑎𝑝. 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 =

0,28 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 0,14 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 2

1 − (1 + 𝑖)−𝑛 1 − (1 + 0,14)−11 1 − (1,14)−11 𝐴 = 𝑅[ ] = 5.000 [ ] = 5.000 [ ] 𝑖 0,14 0,14 = 5.000(5,452733023) = 27.263,66512. El valor presente es $27.263,67

.

8.- Si se calculan los intereses a una tasa del 34% convertible cada trimestre. ¿Qué pago único de inmediato es equivalente a 20 pagos trimestrales de $2.000 cada uno, si el primero de ellos se realiza dentro de 5 meses? Solución. Datos 𝑖 = 34% 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 =

0,34 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 0,085 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 4

𝑅 = $2.000 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑛 = 20 𝑝𝑎𝑔𝑜𝑠 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝐴=? 1 − (1 + 𝑖)−𝑛 1 − (1 + 0,085)−20 1 − (1,085)−20 𝐴 = 𝑅[ ] = 2.000 [ ] = 2.000 [ ] 𝑖 0,085 0,085 = 2.000(5,452733023) = 18.926,67322. El pago único de inmediato es de $18.926,67.

9.- Se puede comprar una casa por 10.000 dólares como pago inicial y pagos cuatrimestrales de 4.000 dólares durante 10 años. Encuentre su valor en efectivo considerando que los pagos incluyen un interés del 9% convertible cada cuatrimestre. Solución. Datos 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = $10.000 𝑅 = $4.000 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 𝑛 = 10 𝑎ñ𝑜𝑠 = 10(3) 𝑐𝑢𝑎𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 = 30 𝑐𝑢𝑎𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑖 = 9% 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 =

0,09 𝑐𝑢𝑎𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 0,03 𝑐𝑢𝑎𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 3

El valor efectivo es 1 − (1 + 𝑖)−𝑛 1 − (1 + 0,03)−30 𝐴 = 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 + 𝑅 [ ] = 10.000 + 4.000 [ ] 𝑖 0,03 1 − (1,03)−30 = 10.000 + 4.000 [ ] = 10.000 + 4.000(19,600044135) 0,03 = 10.000 + 78.401,7654 = 88.401,7654 $.

10.- Una tienda vende hornos de microondas a crédito, sin enganche y 13 pagos mensuales de $179,60 cada uno. Si se carga el 42% de interés, hallar el precio de contado y el interés que se paga por comprar a crédito. Solución. Datos 𝑛 = 13 𝑝𝑎𝑔𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑅 = $179,60 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑔𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 𝑖 = 42% =

0,42 = 0,035 12

Hallemos el pago de contado es 𝐴 = 𝑅[

1 − (1 + 𝑖)−𝑛 1 − (1 + 0,035)−13 1 − (1,035)−13 ] = 179,60 [ ] = 179,60 [ ] 𝑖 0,035 0,035 = 179,60(10,30273849) = 1.850,371832 $.

El pago de contado es $ 1.850,37. El interés que se paga por comprar a crédito es 𝐼 = 179,60 ∗ 13 − 1.850,37 = 484,43 $.

11.- La prima a pagar por un seguro de incendio y explosión es de $864 al final de cada trimestre. Si un asegurado desea pagar por adelantado las primas de un año, ¿Cuánto debe pagar si la tasa de interés es del 9% trimestral capitalizable cada trimestre? Solución. Datos 𝑅 = $864 𝑎𝑙 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 𝑛 = 1 𝑎ñ𝑜 = 1(4) 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 = 4 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑖 = 9% 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑐𝑎𝑝. 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 = 0,09 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙

1 − (1 + 𝑖)−𝑛 1 − (1 + 0,09)−4 1 − (1,09)−4 𝐴 = 𝑅[ ] = 864 [ ] = 864 [ ] 𝑖 0,09 0,09 = 864(3,239719877) = 2.799,117974. Se debe pagar $2.799,12 por el año.

12.- Alfonso debe pagar durante un año y medio 1.300 dólares cada bimestre pactados al 9% anual capitalizable bimestralmente. Al efectuar el cuarto pago, desea liquidar el saldo mediante un pago único en ese momento. ¿Cuánto debe pagar? Solución. Datos 𝑅 = $1.300 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 𝑛=1

1 𝑎ñ𝑜𝑠 = 1,5(6) 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 = 9 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 2

𝑛1 = 5 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑖 = 9% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝑐𝑎𝑝. 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 =

0,09 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 0,015 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 6

Al efectuar el cuarto pago, a Alfonzo todavía le faltan por pagar 5 pagos. Por lo tanto, si desea liquidar el saldo en ese momento, debería cancelar el siguiente monto 1 − (1 + 𝑖)−𝑛1 1 − (1 + 0,015)−5 1 − (1,015)−5 𝐴4 = 𝑅 [ ] = 1.300 [ ] = 1.300 [ ] 𝑖 0,015 0,015 = 1.300(4,782644973) = 6.217,44 $.

13.- Ramiro compro una computadora a crédito. Debe pagar $529 cada quincena durante 2 años. La tasa de interés es del 3,3% mensual capitalizable cada quincena. Al efectuar el pago número veinticinco desea liquidar, en ese momento, su adeudo. a) ¿Cuánto debe pagar para que su deuda quede saldada? b) ¿Cuál es el precio de contado de la computadora? Solución. Datos 𝑅 = $529 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑐𝑒𝑛𝑎 𝑛 = 2 𝑎ñ𝑜𝑠 = 2(24)𝑞𝑢𝑖𝑛𝑐𝑒𝑛𝑎𝑠 = 48 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑐𝑒𝑛𝑎𝑠 𝑛1 = 23 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑐𝑒𝑛𝑎 𝑖 = 3,3% 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 𝑐𝑎𝑝. 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑐𝑒𝑛𝑎 =

0,033 = 0,0165 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑐𝑒𝑛𝑎𝑙 2

a) Ramiro al efectuar el pago número veinticinco, le quedan todavía por pagar 23 pagos, por lo tanto, si desea liquidar, en ese momento, su adeudo, entonces debe cancelar el siguiente saldo. 1 − (1 + 𝑖)−𝑛1 1 − (1 + 0,0165)−23 1 − (1,0165)−23 𝐴25 = 𝑅 [ ] = 529 [ ] = 529 [ ] 𝑖 0,0165 0,0165 = 529(19,01057035) = 10.056,59 $.

b) El precio de contado de la computadora es 1 − (1 + 𝑖)−𝑛 1 − (1 + 0,0165)−48 1 − (1,0165)−48 𝐴 = 𝑅[ ] = 529 [ ] = 529 [ ] 𝑖 0,0165 0,0165 = 529(32,97728285) = 17.444,98 $.

14.- Ricardo consiguió una beca para estudiar, durante 2 años, ingeniería nuclear en Estados Unidos. Por tal motivo renta su casa por 2 años en $1.800 por mes vencido. Si una persona desea rentarla pagando por adelantado el alquiler de los 2 años, ¿Cuántos tendrá que pagar suponiendo que el valor del dinero es del 21% anual capitalizable cada mes? Solución. Datos 𝑅 = $1.800 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑚𝑒𝑠 𝑛 = 2 𝑎ñ𝑜𝑠 = 2(12) 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 24 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑖 = 21% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝑐𝑎𝑝. 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑚𝑒𝑠 =

0,21 = 0,0175 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 12

1 − (1 + 𝑖)−𝑛 1 − (1 + 0,0175)−24 1 − (1,0175)−24 𝐴 = 𝑅[ ] = 1.800 [ ] = 1.800 [ ] 𝑖 0,0175 0,0175 = 1.800(19,46068565) = 35.029,23416.

La persona debe pagar $35.029,23.

15.- Laura esta por jubilarse y desea recibir $5.000 cada mes, durante 12 años. Si el valor promedio del dinero es del 19,5% capitalizable cada mes. ¿Cuánto tiene que haber en su fondo de pensiones al momento de la jubilación? Solución. Datos 𝑅 = $5.000 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑚𝑒𝑠 𝑛 = 12 𝑎ñ𝑜𝑠 = 12(12) 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 144 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑖 = 19,5% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝑐𝑎𝑝. 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑚𝑒𝑠 =

0,195 = 0,01625 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 12

1 − (1 + 𝑖)−𝑛 1 − (1 + 0,01625)−144 1 − (1,01625)−144 𝐴 = 𝑅[ ] = 5.000 [ ] = 5.000 [ ] 𝑖 0,01625 0,01625 = 5.000(55,49805462) = 277.490,2731. Para que Laura reciba $5.000 cada mes, durante 12 años, tiene que tener en su fondo de pensiones al momento de la jubilación, la cantidad de $277.490,27

16.- Una deuda de $16.000 se debe amortizar en un año mediante pagos trimestrales iguales vencidos. Si la tasa de interés es del 24% capitalizable cada trimestre sobre saldos insolutos, encuentre el valor de los pagos y elabore la tabla de amortización. Solución. Datos 𝑅 =? 𝑛 = 1 𝑎ñ𝑜𝑠 = 1(4) 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 = 4 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑖 = 24% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝑐𝑎𝑝. 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 =

0,24 = 0,06 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 4

𝐴 = 16.000 El valor de los pagos está dado por 𝑅=

𝐴 16.000 16.000 = = −𝑛 −4 1 − (1 + 𝑖) 1 − (1 + 0,06) 1 − (1,06)−4 [ ] [ ] [ ] 𝑖 0,06 0,06 16.000 = = 4617,46 $. 3,465105613

TABLA DE AMORTIZACIÓN TRIMESTRE 0 1 2 3 4

SALDO INSOLUTO 16.000 12.342,54 8.465,63 4.356,11 0,02

INTERÉS SOBRE EL SALDO INSOLUTO 0 960,00 740,55 507,94 261,37

PAGO TRIMESTRAL 0 4.617,46 4.617,46 4.617,46 4.617,46

AMORTIZACIÓN 0 3.657,46 3.876,91 4.109,52 4.356,09

17.- Un automóvil, cuyo precio de contado es de $215.000, se vende mediante un enganche del 30% y el saldo en pagos quincenales a 3 meses de plazo, con un interés del 34,64% capitalizable cada quincena. Elabore la tabla de amortización. Solución. Datos 𝑅 =? 𝑛 = 3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 3(2) 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑐𝑒𝑛𝑎𝑠 = 6 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑐𝑒𝑛𝑎𝑠 𝑖 = 34,64% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝑐𝑎𝑝. 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑐𝑒𝑛𝑎 =

0,3464 = 0,014433333 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑐𝑒𝑛𝑎𝑙 24

𝐴 = 215.000 − 215.000 ∗ 0.30 = 215.000 − 64.500 = 150.500 Hallemos el valor de los pagos quincenales 𝑅=

𝐴 150.500 150.500 = = −𝑛 −6 1 − (1 + 𝑖) 1 − (1 + 0,014433333) 1 − (1,014433333)−6 [ ] [ ] [ ] 𝑖 0,014433333 0,014433333 150.500 = = 26.365,58955 $. 5,70819779

El pago quincenal es de $26.365,59.

TABLA DE AMORTIZACIÓN QUINCENA 0 1 2 3 4 5 6

SALDO INSOLUTO 150.500 126.306,63 101.764,06 76.867,27 51.611,13 25.990,46 0,00

INTERÉS SOBRE EL SALDO INSOLUTO 0 2.172,22 1.823,03 1.468,79 1.109,45 744,92 375,13

PAGO QUINCENAL 0 26.365,59 26.365,59 26.365,59 26.365,59 26.365,59 26.365,59

AMORTIZACIÓN 0 24.193,37 24.542,56 24.896,80 25.256,14 25.620,67 25.990,46

18.- Se liquida una deuda mediante 5 pagos mensuales de $1.500 cada uno, los cuales incluyen intereses del 36% anual capitalizable cada mes. Encuentre el valor original de la deuda y elabore la tabla de amortización. Solución. Datos 𝑅 = $1.500 𝑛 = 5 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑖 = 36% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝑐𝑎𝑝. 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑚𝑒𝑠 =

0,36 = 0,03 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 12

𝐴=? Hallemos el valor original de la deuda 𝐴 = 𝑅[

1 − (1 + 𝑖)−𝑛 1 − (1 + 0,03)−5 1 − (1,03)−5 ] = 1.500 [ ] = 1.500 [ ] 𝑖 0,03 0,03 = 1.500(4,579707187) = 6.869,560781.

El valor original de la deuda es $6.869,56.

TABLA DE AMORTIZACIÓN

MESES 0 1 2 3 4 5

SALDO INSOLUTO 6.869,56 5.575,65 4.242,92 2.870,20 1.456,31 0,00

INTERÉS SOBRE EL SALDO INSOLUTO 0 206,09 167,27 127,29 86,11 43,69

PAGO MENSUAL 0 1.500,00 1.500,00 1.500,00 1.500,00 1.500,00

AMORTIZACIÓN 0 1.293,91 1.332,73 1.372,71 1.413,89 1.456,31

19.- Resuelva el problema anterior mediante la amortización a interés simple y compare los resultados. Solución. Datos 𝑅 = $1.500 𝑛 = 5 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑖 = 36% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝑐𝑎𝑝. 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑚𝑒𝑠 =

0,36 = 0,03 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 12

Como son 5 pagos mensuales de $1.500, entonces la deuda es de 𝑀 = 1.500(5) = 7.500 $. Así, tenemos la siguiente tabla de amortización

TABLA DE AMORTIZACIÓN MESES 0 1 2 3 4 5

SALDO INSOLUTO 7.500 6.000,00 4.500,00 3.000,00 1.500,00 0,00

INTERÉS SOBRE EL SALDO INSOLUTO 0 225,00 180,00 135,00 90,00 45,00

PAGO MENSUAL 0 1.500,00 1.500,00 1.500,00 1.500,00 1.500,00

AMORTIZACIÓN 0 1.275,00 1.320,00 1.365,00 1.410,00 1.455,00

Podemos observar que por el interés simple se paga más intereses, sin embargo con las anualidades el saldo baja un poco más rápido ya que en este caso las amortizaciones al capital son mayores.

20.- Una persona solicita un préstamo de $85.000 para ser amortizado mediante pagos mensuales durante 2 años con intereses del 2,5% mensual capitalizable cada mes. Hallar la distribución del pago número 12 así como el saldo insoluto después de efectuado dicho pago. Solución. Datos 𝐴 = $ 85.000 𝑅 =? 𝑛 = 2 𝑎ñ𝑜𝑠 = 2(12) 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 24 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑖 = 2,5% 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 𝑐𝑎𝑝. 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑚𝑒𝑠 = 0,025 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 Hallemos el valor de los pagos mensuales 𝑅=

𝐴 85.000 85.000 85.000 = = = −𝑛 −24 −24 1 − (1 + 𝑖) 1 − (1 + 0,025) 1 − (1,025) 17,88498583 [ ] [ ] [ ] 𝑖 0,025 0,025 = 4.752,589731. El valor de los pagos mensuales es de $4.752,59. Según la siguiente tabla de amortización, tenemos que el pago numero 12

está distribuido en $1.304,96 en intereses y una amortización a la deuda de $3.447,63. También, se tiene que el saldo que nos queda después del pago 12 es de $48.750,94. Esto lo podemos ver de la siguiente manera. Los intereses que se pagan al efectuar el pago número 12 son calculados en base al saldo insoluto que se tiene después de hecho el pago número 11. Al efectuar el pago número 11, faltan 24-11 = 13 pagos por realizar; por tanto, 𝐴11

1 − (1 + 𝑖)−𝑛 1 − (1 + 0,025)−13 1 − (1,025)−13 = 𝑅[ ] = 4.752,59 [ ] = 4.752,59 [ ] 𝑖 0,025 0,025 = 4.752,59(10.98318497) = 52.198,58$.

El saldo insoluto después de realizar el pago 11 es $52.198,58. Hallemos el interés de este saldo, que es el interés del pago 12. 𝐼 = 𝐴11 ∗ 𝑖 = 52.198,58(0,025) = 1.304.96 $. La amortización será de 𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = 𝑅 − 𝐼 = 4.752,59 − 1.304.96 = 3.447,63$.

El pago insoluto, una vez efectuado el pago número 12 viene dado por la diferencia 𝐴11 − 𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = 52.198,58 − 3.447,63 = 48.750,95$. TABLA DE AMORTIZACIÓN MESES 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

SALDO INSOLUTO 85.000 82.372,41 79.679,13 76.918,52 74.088,89 71.188,52 68.215,65 65.168,45 62.045,07 58.843,61 55.562,11 52.198,57 48.750,94 45.217,13 41.594,96 37.882,25 34.076,72 30.176,04 26.177,85 22.079,71 17.879,11 13.573,50 9.160,25 4.636,66 -0,01

INTERÉS SOBRE EL SALDO INSOLUTO 0 2.125,00 2.059,31 1.991,98 1.922,96 1.852,22 1.779,71 1.705,39 1.629,21 1.551,13 1.471,09 1.389,05 1.304,96 1.218,77 1.130,43 1.039,87 947,06 851,92 754,40 654,45 551,99 446,98 339,34 229,01 115,92

PAGO MENSUAL 0 4.752,59 4.752,59 4.752,59 4.752,59 4.752,59 4.752,59 4.752,59 4.752,59 4.752,59 4.752,59 4.752,59 4.752,59 4.752,59 4.752,59 4.752,59 4.752,59 4.752,59 4.752,59 4.752,59 4.752,59 4.752,59 4.752,59 4.752,59 4.752,59

AMORTIZACIÓN 0 2.627,59 2.693,28 2.760,61 2.829,63 2.900,37 2.972,88 3.047,20 3.123,38 3.201,46 3.281,50 3.363,54 3.447,63 3.533,82 3.622,16 3.712,72 3.805,53 3.900,67 3.998,19 4.098,14 4.200,60 4.305,61 4.413,25 4.523,58 4.636,67

21.- Gloria compro una computadora a crédito la cual tenía un precio de contado de $7.340. La compra fue sin enganche y a un plazo de 18 meses para pagar, con una tasa de interés del 34,08% compuesto mensualmente. Determinar la cantidad que Gloria deberá pagar si al cabo de 10 meses desea liquidar el total del saldo insoluto. Solución. Datos 𝐴 = $ 7.340 𝑅 =? 𝑛 = 18 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑖 = 34,08% 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 = 0,3408 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 Calculemos el valor de los pagos mensuales 𝑅=

𝐴 7.340 7.340 7.340 = = = −18 −18 −18 1 − (1 + 𝑖) 1 − (1 + 0,3408) 1 − (1,3408) 2,919311722 [ ] [ ] [ ] 𝑖 0,3408 0,3408 = 2.514,291278.

El pago mensual tiene un valor de $2.514,29.

Al cabo de los 10 meses, todavía le faltan 8 pagos por cancelar. Por lo tanto, el saldo insoluto que se tiene después de hecho el pago número 10, está dado por, 𝐴10

1 − (1 + 𝑖)−𝑛 1 − (1 + 0,3408)−8 1 − (1,3408)−8 = 𝑅[ ] = 2.514,29 [ ] = 2.514,29 [ ] 𝑖 0,3408 0,3408 = 2.514,29(2,653348585) = 6.671,29$.

Gloria deberá pagar al cabo de 10 meses para liquidar el total del saldo insoluto, la cantidad de $6.671,29.

22.- Un automóvil nuevo tiene un precio de contado de 134.800. Se puede adquirir sin enganche y 20 pagos trimestrales iguales. Si la tasa de interés es del 28% capitalizable cada trimestre, calcule la cantidad amortizada y el saldo insoluto después de transcurridos 3 años. Solución. Datos 𝐴 = $ 134.800 𝑅 =? 𝑛 = 20 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑖 = 28% 𝑐𝑎𝑝. 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 =

0,28 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 0,07 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 4

Calculemos primeramente el valor de los pagos trimestrales. 𝑅=

𝐴 134.800 134.800 134.800 = = = −20 −20 −20 1 − (1 + 𝑖) 1 − (1 + 0,07) 1 − (1,07) 10,59401425 [ ] [ ] [ ] 𝑖 0,07 0,07 = 12.724,16638.

El pago trimestral es de $12.724,17. A los 3 años han pasado 12 trimestres, es decir, se han hecho 12 pagos. Al efectuar el pago número 12, faltan 20-12 = 8 pagos por realizar; por tanto, el saldo insoluto después de transcurridos 3 años, es el siguiente 1 − (1 + 𝑖)−𝑛 1 − (1 + 0,07)−8 1 − (1,07)−8 𝐴12 = 𝑅 [ ] = 12.724,17 [ ] = 12.724,17 [ ] 𝑖 0,07 0,07 = 12.724,17(5,971298506) = 75.979,82$. La cantidad amortizada después de transcurridos 3 años es 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴 − 𝐴12 = 134.800 − 75.979,82 = 58.820,18$.

23.- El señor Rivera compro un departamento a 10 años con pagos mensuales de $3.112,10. Si la tasa de interés es del 28% capitalizable cada mes, calcule la cantidad que hay que pagar para saldar la deuda al cabo de 7 años. ¿Qué cantidad de intereses se han pagado en estos 7 años? Solución. Datos 𝐴 =? 𝐴 = $3.112,10 𝐴 = 10 𝐴ñ𝐴𝐴 = 10(12)𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 120 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴 = 28% 𝐴𝐴𝐴. 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴 =

0,28 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 0,023333333 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 12

A los 7 años han pasado 84 meses, es decir, se han hecho 84 pagos. Al efectuar el pago número 84, faltan 120-84 =36 pagos por realizar; por tanto, el saldo insoluto después de transcurridos 7 años, es el siguiente 𝐴84

1 − (1 + 𝐴)−𝐴 1 − (1 + 0,023333333)−36 = 𝐴[ ] = 3.112,10 [ ] 0,023333333 𝐴 1 − (1,023333333)−36 = 3.112,10 [ ] = 3.112,10(24,17585276) 0,023333333 = 75.237,67$.

Hay que pagar $75.237,67 para saldar la deuda al cabo de 7 años. Calculemos la deuda de contado 1 − (1 + 𝐴)−𝐴 1 − (1 + 0,023333333)−120 𝐴 = 𝐴[ ] = 3.112,10 [ ] 0,023333333 𝐴 1 − (1,023333333)−120 = 3.112,10 [ ] = 3.112,10(40,16580232) 0,023333333 = 124.999,99$. Luego, la cantidad de amortizaciones después de haber transcurrido 7 años es 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑡𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴 − 𝐴84 = 124.999,99 − 75.237,67 = 49.762,32$. Por lo tanto, la cantidad de intereses que se han pagado en estos 7 años es 𝐴 = 84(3.112,10) − 49.762,32 = 211.654,08$

24.- Un préstamo por $50.000 se amortiza mediante 5 pagos cuatrimestrales iguales vencidos y juntos con el quinto pago se entregara $15.000. Si la tasa de interés es del 10,68% cuatrimestral., encuéntrese el abono cuatrimestral y elabore la tabla de amortización. Solución. Datos 𝐴 = $ 50.000 C= $ 15.000 𝑅 =? 𝑛 = 5 𝑐𝑢𝑎𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑖 = 10,68% 𝑐𝑢𝑎𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 0,1068 𝑐𝑢𝑎𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 Hallemos el valor de los pagos cuatrimestrales 𝐴 − 𝑐(1 + 𝑖)−5 𝑅= 1 − (1 + 𝑖)−5 [ ] 𝑖 =

50.000 − (15000(1 + 0.1068)) 1 − (1 + 0,1068)−5 [ ] 0,1068 = 10.995,84954.

−5

=

50.000 − 9.031,20097 40.968,79903 = −5 1 − (1,1068) 3,725842091 [ ] 0,1068

El abono cuatrimestral es de $10.995,84954 TABLA DE AMORTIZACIÓN CUATRIMESTRE 0 1 2 3 4 5

SALDO INSOLUTO

INTERÉS SOBRE PAGO EL SALDO AMORTIZACIÓN CUATRIMESTRAL INSOLUTO

40.968,80 34.348,42

4.375,47

10.995,85

6.620,38

27.020,98

3.668,41

10.995,85

7.327,44

18.910,97

2.885,84

10.995,85

8.110,01

9.934,81

2.019,69

10.995,85

8.976,16

0,00

1.061,04

10.995,85

9.934,81

25.- Una pareja de recién casado compra un terreno de $95.000 pagando $15.000 de enganche y por el saldo adquieren un crédito hipotecario a 12 años con una tasa de interés del 27% capitalizable cada mes. a) Calcule el pago mensual. b) ¿Qué cantidad del pago número 72 se destina a cubrir intereses y que cantidad se aplica en amortizar la deuda? c)

¿Qué cantidad se debe inmediatamente después de efectuado el pago

número 72? Solución. Datos 𝐴 = $ 80.000 𝑅 =? 𝑛 = 12 𝑎ñ𝑜𝑠 = 12(12) 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 144 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑖 = 27% 𝑐𝑎𝑝. 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑚𝑒𝑠 =

0,27 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 = 0,0225 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 12

a) 𝑅=

𝐴 80.000 80.000 = = −𝑛 −144 1 − (1 + 𝑖) 1 − (1 + 0,0225) 1 − (1,0225)−144 [ ] [ ] [ ] 𝑖 0,0225 0,0225 80.000 = = 1.876,164631. 42,64018129

El pago mensual es $1.876,16.

b) Los intereses que se pagan al efectuar el pago número 72 son calculados en base al saldo insoluto que se tiene después de hecho el pago número 71. Al efectuar el pago número 71, faltan 144-71 = 73 pagos por realizar; por tanto,

1 − (1 + 𝑖)−𝑛 1 − (1 + 0,0225)−73 𝐴71 = 𝑅 [ ] = 1.876,16 [ ] 𝑖 0,0225 1 − (1,0225)−73 = 1.876,16 [ ] = 1.876,16(35,68663756) 0,0225 = 66.953,84$. El saldo insoluto después de realizar el pago 71 es $66.953,84. Hallemos el interés de este saldo, que es el interés del pago 72. 𝐼 = 𝐴71 ∗ 𝑖 = 66.953,84(0,0225) = 1.506.46 $. La amortización será de 𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = 𝑅 − 𝐼 = 1.876,16 − 1.506.46 = 369,7$. c) El pago insoluto, una vez efectuado el pago número 72 viene dado por la diferencia 𝐴71 − 𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = 66.953,84 − 369,7 = 66.584,14$.

26.- Obtenga el precio de contado de una máquina por la que se hicieron 10 pagos mensuales de $2.135,34 cada uno. El primer pago fue de inmediato y la tasa de interés de la operación fue del 3,7% mensual. ¿Cuánto se pagó de intereses? Solución. Datos 𝐴=? 𝑅 = $2.135,34 𝑛 = 10 𝑖 = 3,7% 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 = 0,037 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙

Hallemos el precio de contado de la máquina. 1 − (1 + 𝑖)−𝑛 1 − (1 + 0,037)−10 𝐴 = 𝑅[ ] (1 + 𝑖) = 2.135,34 [ ] (1 + 0,037) 𝑖 0,037 1 − (1,037)−10 = 2.135,34 [ ] (1,037) = 2.135,34(8,233395312)(1,037) 0,037 = 18.231,59899. El precio de contado de la maquina es de $18.231,60. Los intereses que se están pagando son de 𝐼 = 10 ∗ 𝑅 − 𝐴 = 10(2.135,34) − 18.231,60 = 3.121,80$.

27.- ¿Cuál será el monto al cabo de 8 años si al inicio de cada bimestre se depositan 750 dólares en una cuenta de ahorros, si la tasa de interés es de 7,35% anual capitalizable cada dos meses? Calcule el total de intereses ganados. Solución. Datos 𝑆𝑛 = ? 𝑅 = $750 𝑛 = 8 𝑎ñ𝑜𝑠 = 8(6) 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 = 48 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑖 = 7,35% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝑐𝑎𝑝. 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑠 =

0,0735 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 0,01225 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 6

Hallemos el monto que se tiene al cabo de 8 años. (1 + 𝑖)𝑛 − 1 (1 + 0,01225)48 − 1 𝑆𝑛 = 𝑅 [ ] (1 + 𝑖) = 750 [ ] (1 + 0,01225) 𝑖 0,01225 (1,01225)48 − 1 = 750 [ ] (1,01225) = 750(64,81338)(1,01225) 0,01225 = 40.205,50805.

El monto en la cuenta de ahorro al cabo de los 8 años es de $40.205,50805. 𝐴 = 𝑅[

1 − (1 + 𝑖)−𝑛 1 − (1 + 0,01225)−48 ] (1 + 𝑖) = 750 [ ] (1 + 0,01225) 𝑖 0,01225 1 − (1,01225)−48 = 750 [ ] (1,01225) = 750(36,12859)(1,01225) 0,01225 = 27.428,37125.

El total de los intereses ganado es de 𝐼 = 48 ∗ 𝑅 − 𝐴 = 48(750) − 27.428,37125 = 8.571,62875$.

28- Una persona renta un departamento por $2.150 al mes durante un año. La renta se debe pagar por adelantado cada mes. ¿Cuál es el valor actual de las rentas de un año, tomando como base una tasa de interés del 21,5% anual? Interprete el resultado. Solución. Datos 𝐴=? 𝑅 = $2.150 𝑛 = 1 𝑎ñ𝑜 = 12 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑖 = 21,5% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 =

0,215 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 = 0,017916666 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 12

Hallemos el valor actual de las rentas. 1 − (1 + 𝑖)−𝑛 𝐴 = 𝑅[ ] (1 + 𝑖) 𝑖 1 − (1 + 0,017916666)−12 = 2.150 [ ] (1 + 0,017916666) 0,017916666 1 − (1,017916666)−12 = 2.150 [ ] (1,017916666) 0,017916666 = 2.150(10,71192421)(1,017916666) = 23.443,26928. El valor actual de las rentas de un año es de $23.443,27.

29.- Un equipo de sonido puede comprarse pagando $170 de pago inicial y 24 pagos mensuales de $170 cada uno. ¿Cuál es el precio de contado si el interés cobrado es de 32% capitalizable mensualmente? ¿Qué cantidad de intereses se está pagando? Solución. Datos 𝐴=? 𝑅 = $170 𝑛 = 24 𝑖 = 32% 𝑐𝑎𝑝. 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑚𝑒𝑠 =

0,32 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 = 0,026666666 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 12

Hallemos el monto por los 24 pagos mensuales. 1 − (1 + 𝑖)−𝑛 1 − (1 + 0,026666666)−24 𝐴 = 𝑅[ ] (1 + 𝑖) = 170 [ ] (1 + 0,026666666) 𝑖 0,026666666 1 − (1,026666666)−24 = 170 [ ] (1,026666666) 0,026666666 = 170(17,56004462)(1,026666666) = 3.064,813119. El monto por los 24 pagos es de $3.064,81 y como se dio una inicial de $170, entonces el precio de contado es $3.064,81 + $170 = $3.234,81. Los intereses que se están pagando son de 𝐼 = 24 ∗ 𝑅 − 𝐴 = 24(170) − 3.064,81 = 1.015,19$.

30.- José Luis renta su departamento en $2.500 mensuales, anticipados e invierte este a una tasa de interés del 15% capitalizable en forma mensual. Si el arrendatario pago la renta por mes vencido. ¿Qué perdida le significo a José Luis en un año? Solución. Datos 𝐴=? 𝑅 = $2.500 𝑛 = 1 𝑎ñ𝑜 = 12 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑖 = 15% 𝑐𝑎𝑝. 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑚𝑒𝑠 =

0,15 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 = 0,0125 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 12

Hallemos el monto de las rentas de forma anticipadas y de forma vencidas. Es decir, el monto de las rentas en forma anticipada es, 𝐴 = 𝑅[

1 − (1 + 𝑖)−𝑛 1 − (1 + 0,0125)−12 ] (1 + 𝑖) = 2.500 [ ] (1 + 0,0125) 𝑖 0,0125 1 − (1,0125)−12 = 2.500 [ ] (1,0125) = 2.500(11,07931197)(1,0125) 0,0125 = 28.044,50841.

Y de forma vencida es, 𝐴 = 𝑅[

1 − (1 + 𝑖)−𝑛 1 − (1 + 0,0125)−12 1 − (1,0125)−12 ] = 2.500 [ ] = 2.500 [ ] 𝑖 0,0125 0,0125 = 2.500(11,07931197) = 27.698,27993.

Si José Luis invierte la renta obtendrá un monto de $28.044,51. Pero como el arrendatario está pagando al vencimiento, este paga un monto de $27.698,28. Por lo tanto, José Luis está dejando de ganar la cantidad de 28.044,51 − 27.698,28 = 346,23$.

31.- Margarita deposito $210 al principio de cada mes en un fondo que paga 16% de interés convertible mensualmente. Después de 2 años ella no hizo más depósito, pero dejo el dinero en depósito por otros dos y medio años a la misma tasa de interés. ¿De cuánto fue el fondo al final de ese tiempo? Solución. Datos 𝐴=? 𝑅 = $210 𝑛 = 2 𝑎ñ𝑜𝑠 = 2(12) 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 24 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑖 = 16% 𝑐𝑜𝑛𝑣. 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑚𝑒𝑠 =

0,16 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 = 0,013333333 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 12

Veamos el monto que obtuvo Margarita por los depósitos durante los 2 años. 𝐴 = 𝑅[

1 − (1 + 𝑖)−𝑛 1 − (1 + 0,013333333)−24 ] (1 + 𝑖) = 210 [ ] (1 + 0,013333333) 𝑖 0,013333333 1 − (1,013333333)−24 = 210 [ ] (1,013333333) 0,013333333 = 210(20,42353914)(1,013333333) = 4.346,129127.

Margarita obtuvo un monto de $4.346,13 por los depósitos que hizo durante los 2 años. Calculemos ahora el monto que tendrá durante los siguientes dos años y medio. Datos 𝐶 = 4.346,13 𝑛=2

1 𝑎ñ𝑜𝑠 = 2,5(12) 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 30 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 2

𝑖 = 16% 𝑐𝑜𝑛𝑣. 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑚𝑒𝑠 =

0,16 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 = 0,013333333 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 12

El monto final está dado por 𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑛 = 4.346,13(1 + 0,013333333)30 = 4.346,13(1,013333333)30 = 6.466,549034. Al final del tiempo Margarita obtiene un monto de $6.466,55.

32.- La prima a pagar de un seguro de incendio es de $2.735,50 por trimestre anticipado. ¿Cuál será el precio de contado del seguro, si la compañía cobra el 20% de interés capitalizable trimestralmente cuando el seguro se en abonos trimestrales? La prima cubre el inmueble y sus contenidos por un año. Solución. Datos 𝐴=? 𝑅 = $2.735,50 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 𝑛 = 1 𝑎ñ𝑜 = 1(4) 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 = 4 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑖 = 20% 𝑐𝑎𝑝. 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 =

0,20 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 0,05 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 4

Hallemos el precio de contado del seguro, 1 − (1 + 𝑖)−𝑛 1 − (1 + 0,05)−4 𝐴 = 𝑅[ ] (1 + 𝑖) = 2.735,50 [ ] (1 + 0,05) 𝑖 0,05 1 − (1,05)−4 = 2.735,50 [ ] (1,05) = 2.735,50(3,545950504)(1,05) 0,05 = 10.184,94498.

El precio de contado de la prima de seguro de incendio por un año es de $10.184,94.

33.- Un rancho valuado en $500.000 se vende con $100.000 de enganche. El comprador acuerda pagar el saldo mediante 12 pagos mensuales iguales, el primero con vencimiento en 6 meses. Encuentre el valor del pago mensual si la tasa de interés será del 27,5% capitalizable en forma mensual. Solución. Datos 𝐴 = $500.000 − $100.000 = $400.000 𝑅 =? 𝑛 = 12 𝑝𝑎𝑔𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑚 = 6 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑖 = 27,5% 𝑐𝑎𝑝. 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 =

0,275 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 = 0,022916666 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 12

Hallemos el valor del pago mensual. 1 − (1 + 𝑖)−𝑛 𝐴 𝐴 = 𝑅[ ] (1 + 𝑖)−𝑚 ⇒ 𝑅 = −𝑛 1 − (1 + 𝑖) 𝑖 [ ] (1 + 𝑖)−𝑚 𝑖 400.000 1 − (1 + 0,022916666)−12 [ ] (1 + 0,022916666)−6 0,022916666 400.000 = 1 − (1,022916666)−12 [ ] (1,022916666)−6 0,022916666 400.000 400.000 = = = 44.111,74875. (10,38836602)(0,872887899) 9,067878997 =

El valor del pago mensual es de $44.111,75

34.- Raimundo tiene actualmente 15 años de edad y es el beneficiario de un seguro de vida por $600.000. Según las condiciones estipuladas en la póliza, el dinero lo recibirá en 6 pagos semestrales iguales, el primero de ellos cuando cumpla 18 años. Si el dinero se encuentra invertido al 20% capitalizable cada semestre, calcule el valor del pago. Solución. Datos 𝐴 = $600.000 𝑅 =? 𝑛 = 6 𝑝𝑎𝑔𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑚 = 3 𝑎ñ𝑜𝑠 = 3(2) 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 = 6 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑖 = 20% 𝑐𝑎𝑝. 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 =

0,20 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 0,10 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 2

Hallemos el valor del pago. 𝑅=

𝐴

600.000 600.000 = 1 − (1 + 𝑖)−𝑛 1 − (1 + 0,1)−6 1 − (1,1)−6 −𝑚 −6 [ ] (1 + 𝑖) [ ] (1 + 0,1) [ ] (1,1)−6 𝑖 0,1 0,1 600.000 600.000 = = = 244.058,0883. (4,355260699)(0,56447393) 2,458431123 =

Raimundo recibirá $244.058,09 cada semestre después que cumpla los 18 años.

35.- El millonario señor Rosales acaba de fallecer y en su testamento se estipula que el Centro de Investigaciones Biológica recibirá, después de transcurridos 2 años, la cantidad de $300.000 cada cuatrimestre durante 10 años. Si el dinero está invertido al 21% anual capitalizable cada 4 meses, halle el valor actual de este legado. Solución. Datos 𝐴 =? 𝑅 = $300.000 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 𝑛 = 10 𝑎ñ𝑜𝑠 = 10(3) 𝑐𝑢𝑎𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 = 30 𝑐𝑢𝑎𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑚 = 2 𝑎ñ𝑜𝑠 = 2(3) 𝑐𝑢𝑎𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 = 6 𝑐𝑢𝑎𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑖 = 21% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝑐𝑎𝑑𝑎 4 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 =

0,21 𝑐𝑢𝑎𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 0,07 𝑐𝑢𝑎𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 3

El valor actual del legado está dado por, 1 − (1 + 𝑖)−𝑛 1 − (1 + 0,07)−30 𝐴 = 𝑅[ ] (1 + 𝑖)−𝑚 = 300.000 [ ] (1 + 0,07)−6 𝑖 0,07 1 − (1,07)−30 = 300.000 [ ] (1,07)−6 0,07 = 300.000(12,40904118)(0,666342223) = 2.480.600,429.

El valor actual del legado del Sr. Rosales es de $2.480.600,43.

36.- Un préstamo de $5.000 se va a liquidar con 8 pagos mensuales de $728,10 cada uno. El primer pago se va a realizar a los 3 meses de obtenido el préstamo. Calcular la tasa de interés de la operación. Solución. Datos 𝐴 = $5.000 𝑅 = $728,10 𝑛 = 8 𝑝𝑎𝑔𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑚 = 2 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑖 =? Sustituyendo estos valores en la ecuación 1 − (1 + 𝑖)−𝑛 𝐴 = 𝑅[ ] (1 + 𝑖)−𝑚 . 𝑖 Se tiene que 1 − (1 + 𝑖)−8 5.000 = 728,10 [ ] (1 + 𝑖)−2 . 𝑖 Por lo tanto, 5.000 1 − (1 + 𝑖)−8 1 − (1 + 𝑖)−8 =[ ] (1 + 𝑖)−2 ⇒ 6,87 = [ ] (1 + 𝑖)−2 . 728,10 𝑖 𝑖

Ahora usemos tanteo para encontrar el valor de la tasa Si 𝑖 = 2,4%, entonces 1 − (1 + 0,024)−8 1 − (1,024)−8 [ ] (1 + 0,024)−2 = [ ] (1,024)−2 = 6,87. 0,024 0,024 Por consiguiente, la tasa es 2,4% anual. Lo que equivale a 28,8% anual capitalizable mensual.

37.- Jorge deposita en un banco que da el 17% capitalizable en forma mensual, la cantidad de $500.000, para que, dentro de 5 años, le pague una renta de $20.000 mensuales. Hallar el número de pagos que recibirá Jorge. Solución. Datos 𝐴 = $500.000 𝑅 = $20.000 𝑛 =? 𝑖 = 17% 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 =

𝐴 = 𝑅[

0,17 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 = 0,014166666 12

1 − (1 + 𝑖)−𝑛 𝐴𝑖 ] ⇒ = 1 − (1 + 𝑖)−𝑛 𝑖 𝑅

⇒ (1 + 𝑖)−𝑛 = 1 −

𝐴𝑖 𝐴𝑖 ⇒ −𝑛 log(1 + 𝑖) = log (1 − ) . 𝑅 𝑅

Así, 500.000(0,014166666) 𝐴𝑖 ) log (1 − 𝑅 ) log (1 − 20.000 𝑛= = − log(1 + 𝑖) − log(1 + 0,014166666) 500.000(0,014166666) log (1 − ) log(0,6458335) 20.000 = = − log(1,014166666) − log(1,014166666) = 31,08022852.

El número de pago que recibirá Jorge es de aproximadamente 31 pagos mensuales.

38.- Resuelva el problema anterior si la cantidad depositada inicialmente es de $700.000. Solución. Si 𝐴 = $700.000, entonces 700.000(0,014166666) 𝐴𝑖 ) log (1 − 𝑅 ) log (1 − 20.000 𝑛= = − log(1 + 𝑖) − log(1 + 0,014166666) 700.000(0,014166666) log (1 − ) log(0,50416669) 20.000 = = − log(1,014166666) − log(1,014166666) = 48,68385878. En este caso Jorge recibirá aproximadamente 49 pagos mensuales.

39.- El Banco Interamericano de Desarrollo otorgo un préstamo a México por 250 millones de dólares, para apoyar al sector exportador. La amortización del capital será a un plazo de 20 años, con 6 de gracias. Si la tasa de interés será 7% anual capitalizable cada mes, encuentre el valor del pago mensual que amortice el capital. Solución. Datos 𝐴 = $250.000.000 𝑅 =? 𝑛 = 14 𝑎ñ𝑜𝑠 = 14(12) 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 168 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑚 = 6 𝑎ñ𝑜𝑠 = 6(12) 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 72 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑖 = 7% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝑐𝑎𝑝. 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑚𝑒𝑠 =

0,07 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 = 0,005833333 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 12

Hallemos el valor del pago. 𝑅=

𝐴

250.000.000 1 − (1 + 1 − (1 + 0,005833333)−168 −𝑚 [ ] (1 + 𝑖) [ ] (1 + 0,005833333)−72 𝑖 0,005833333 250.000.000 = 1 − (1,005833333)−168 [ ] (1,005833333)−72 0,005833333 250.000.000 250.000.000 = = = 3.554.768,616. (106,906077)(0,65784909) 70,32806547 𝑖)−𝑛

=

El valor del pago mensual que amortiza el capital es de $3.554.768,62.

40.- Resuelva el problema anterior suponiendo que durante el periodo de gracia la tasa de interés será 9% capitalizable cada semestre, y al amortizar el capital, la tasa de interés será del 7% capitalizable cada mes. Solución. En este caso tenemos que 𝑖𝑛 = 7% 𝑐𝑎𝑝. 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑚𝑒𝑠 = 𝑖𝑚 = 9% 𝑐𝑎𝑝. 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 =

0,07 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 = 0,005833333 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙. 12

0,09 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 0,045 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 0,0075 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙. 2

Por lo tanto, 𝑅=

𝐴

250.000.000 1 − (1 + 0,005833333)−168 1 − (1 + 𝑖𝑛 )−𝑛 −𝑚 [ ] (1 + 0,0075)−72 [ ] (1 + 𝑖 ) 𝑚 𝑖𝑛 0,005833333 250.000.000 = 1 − (1,005833333)−168 [ ] (1,0075)−72 0,005833333 250.000.000 250.000.000 = = = 4.004.806,73. (106,9060077)(0,583923634) 62,42498498 =

El valor del pago mensual que amortiza el capital es de $4.004.806,73.

41.- El señor Ford deposito 100.000 dólares en un banco, estipulando que al cabo de 10 años éste empezaría a pagarle a él o a sus herederos 4.000 dólares mensuales. ¿Durante cuantos meses recibirá el señor Ford esta renta? El banco abona 8,5% anual capitalizable cada mes. Solución. Datos 𝐴 = $100.000 𝑅 = $4.000 𝑛 =? 𝑚 = 10 𝑎ñ𝑜𝑠 = 10(12) 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 120 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑖 = 8,5% 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑚𝑒𝑠 =

0,085 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 = 0,007083333 12

100.000(1 + 0,007083333)120 (0,007083333) 𝐴(1 + 𝑖)𝑚 𝑖 ) log (1 − ) 𝑅 4.000 = − log(1 + 𝑖) − log(1 + 0,007083333) 100.000(1,007083333)120 (0,007083333) log (1 − ) 4.000 = − log(1,007083333) log(0,586927109) −0,23141583 = = = 75,49264389. − log(1,007083333) −0,003065409

log (1 − 𝑛=

El señor Ford recibirá esta renta durante aproximadamente 75 meses.

42.- Esteban pidió prestados $18.000 a Pablo y para saldar esta deuda con los interés correspondientes, conviene en que después de transcurrido un año pagara a Pablo, al final de cada mes, $916,60 durante 3 años. ¿Cuál es la tasa de interés pagada por Esteban? Solución. Datos 𝐴 = $18.000 𝑅 = $916,60 𝑛 = 3 𝑎ñ𝑜𝑠 = 3(12) 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 36 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑚 = 1 𝑎ñ𝑜 = 12 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑖 =? Sustituyendo estos valores en la ecuación 1 − (1 + 𝑖)−𝑛 𝐴 = 𝑅[ ] (1 + 𝑖)−𝑚 . 𝑖 Se tiene que 1 − (1 + 𝑖)−36 18.000 = 916,60 [ ] (1 + 𝑖)−12 . 𝑖 Por lo tanto, 18.000 1 − (1 + 𝑖)−36 1 − (1 + 𝑖)−36 −12 =[ ] (1 + 𝑖) ⇒ 19,64 = [ ] (1 + 𝑖)−12 . 916,60 𝑖 𝑖

Ahora usemos tanteo para encontrar el valor de la tasa Si 𝑖 = 2,083%, entonces 1 − (1 + 0,02083)−36 1 − (1,02083)−36 −12 [ ] (1 + 0,02083) =[ ] (1,02083)−12 0,02083 0,02083 = 19,64. Por consiguiente, la tasa es 2,083% mensual.

43.- Obtenga el periodo de gracia otorgado al comprar un equipo industrial, cuyo precio de contado es de $92.579,90, y que se liquidara mediante 9 pagos bimestrales de $17.500 cada uno. La tasa de interés es del 2,78% mensual capitalizable cada 2 meses. Solución. Datos 𝐴 = $92.579,90 𝑅 = $17.500 𝑛 = 9 𝑝𝑎𝑔𝑜𝑠 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑚 =? 𝑖 = 2,78% 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 𝑐𝑎𝑝. 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 0,0278(2) 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 0,0556 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙.

1 − (1 + 𝑖)−𝑛 𝐴 = 𝑅[ ] (1 + 𝑖)−𝑚 ⇒ (1 + 𝑖)−𝑚 = 𝑖

𝐴 1 − (1 + 𝑖)−𝑛 𝑅[ ] 𝑖

𝐴 ⇒ −𝑚 log(1 + 𝑖) = log ( ) 1 − (1 + 𝑖)−𝑛 𝑅[ ] 𝑖 Así,

𝑚=

𝐴 log ( ) 1 − (1 + 𝑖)−𝑛 𝑅[ ] 𝑖 −log(1 + 𝑖)

92.579,90 log ( ) 1 − (1 + 0,0556)−9 17.500 [ ] 0,0556 = −log(1 + 0,0556)

92.579,90 log ( ) 1 − (1,0556)−9 17.500 [ ] log(0,762962254) 0,0556 = = = 5,000001685. −log(1,0556) −log(1,0556)

El periodo de gracia otorgado al comprar el equipo industrial es de 5 bimestres. Es decir, 10 meses.

44.- Por un pago inmediato de $140.000, una compañía de seguros ofrece pagar, transcurridos 10 años, una renta de 21.774,90 al final de cada mes. Si la tasa de interés es del 20,77% capitalizable en forma mensual. ¿Cuánto pagos va a efectuar la compañía? Solución. Datos 𝐴 = $140.000 𝑅 = $21.774,90 𝑛 =? 𝑖 = 20,77% 𝑐𝑎𝑝. 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 =

0,2077 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 = 0,017308333 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙. 12

140.000(0,017308333 ) 𝐴𝑖 ) log (1 − 𝑅 ) log (1 − 21.774,90 𝑛= = − log(1 + 𝑖) − log(1 + 0,017308333 ) 140.000(0,017308333 ) log (1 − ) log(0,888717439) 21.774,90 = = − log(1,017308333 ) − log(1,017308333) = 6,874954267.

La compañía va a efectuar aproximadamente 7 pagos mensuales.

45.- El valor de contado de una maquina fotocopiadora es de $12.000. Se puede comprar a crédito mediante 6 pagos bimestrales de $2.810, el primero de los cuales debe realizarse 6 meses después de la adquisición. Calcule la tasa anual de interés. Solución. Datos 𝐴 = $12.000 𝑅 = $2.810 𝑛 = 6 𝑝𝑎𝑔𝑜𝑠 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑚 = 6 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 3 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑖 = ?.

Sustituyendo estos valores en la ecuación 1 − (1 + 𝑖)−𝑛 𝐴 = 𝑅[ ] (1 + 𝑖)−𝑚 . 𝑖 Se tiene que 1 − (1 + 𝑖)−6 12.000 = 2.810 [ ] (1 + 𝑖)−3 . 𝑖 Por lo tanto, 12.000 1 − (1 + 𝑖)−6 1 − (1 + 𝑖)−6 =[ ] (1 + 𝑖)−3 ⇒ 4,27 = [ ] (1 + 𝑖)−3 . 2810 𝑖 𝑖

Ahora usemos tanteo para encontrar el valor de la tasa Si 𝑖 = 5,45%, entonces 1 − (1 + 0,0545)−6 1 − (1,0545)−6 [ ] (1 + 0,0545)−3 = [ ] (1,0545)−3 = 4,27. 0,0545 0,0545

Por consiguiente, la tasa es 5,45% anual. Lo que equivale a 32,7% anual capitalizable bimensualmente.

46.- Si se depositan hoy $100.000 en una cuenta de inversiones que paga el 18,5% capitalizable cada mes, pasado cierto tiempo se puede efectuar 60 retiros mensuales de $5.349,20 cada uno. Obtenga el periodo de gracia. Solución. Datos 𝐴 = $100.000 𝑅 = $5.349,20 𝑛 = 60 𝑟𝑒𝑡𝑖𝑟𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑚 =? 𝑖 = 18,5% 𝑐𝑎𝑝. 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑚𝑒𝑠 =

0,185 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 = 0,015416666. 12

Podemos usar la fórmula de m para hallar el periodo de gracia.

log ( 𝑚=

𝐴 100.000 ) log ( ) 1 − (1 + 𝑖)−𝑛 1 − (1 + 0,015416666)−60 𝑅[ ] 5.349,20 [ ] 𝑖 0,015416666 = −log(1 + 𝑖) −log(1 + 0,015416666) 100.000 log ( ) 1 − (1,015416666)−60 5.349,20 [ ] log(0,479813967) 0,015416666 = = −log(1,015416666) −log(1,015416666) = 48,00020001.

El periodo de gracia es de 48 meses. Es decir 4 años de gracia.

47.- El dueño del servicio eléctrico La Bandera compro equipo por $58.735, que debe pagar mediante un abono de $20.000 dentro de 4 meses y el resto en 15 pagos mensuales iguales. Si el interés al que se contrató el crédito es 27% convertible cada mes, obtenga el valor del pago mensual. Solución. Datos 𝐴 = $58.735 − 20.000 = 38.735 𝑅 =? 𝑛 = 15 𝑝𝑎𝑔𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑖 = 2,7% 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑚𝑒𝑠 =

0,027 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 = 0,00225 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙. 12

1 − (1 + 𝑖)−𝑛 𝐴 38.735 𝐴 = 𝑅[ ]⇒𝑅 = = −𝑛 1 − (1 + 𝑖) 1 − (1 + 0,00225)−15 𝑖 [ ] [ ] 𝑖 0,00225 38.735 38.735 = = = 2.629,059085 1 − (1,00225)−15 14,73340794 [ ] 0,00225

Así, el valor del pago mensual es $2.629,06.

48.- Resuelva el problema anterior si los 15 pagos mensuales iguales se empezaran a pagar 3 meses después, esto es, contados a partir del día en que se dio el primer abono por $20.000. Solución. Datos 𝐴 = $58.735 − 20.000 = 38.735 𝑅 =? 𝑛 = 15 𝑝𝑎𝑔𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑚 = 3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑖 = 2,7% 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑚𝑒𝑠 =

0,027 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 = 0,00225 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙. 12

1 − (1 + 𝑖)−𝑛 𝐴 𝐴 = 𝑅[ ] (1 + 𝑖)−𝑚 ⇒ 𝑅 = −𝑛 1 − (1 + 𝑖) 𝑖 [ ] (1 + 𝑖)−𝑚 𝑖 38.735 1 − (1 + 0,00225)−15 [ ] (1 + 0,00225)−3 0,00225 38.735 38.735 = = = 2.646,845193 1 − (1,00225)−15 14,63440329 [ ] (1,00225)−3 0,00225 =

En este caso, el valor del pago mensual es $2.646,85.