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• Anthony Lopez

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República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Defensa Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada Nacional Bolivariana Cumaná, Estado - Sucre

Ecuaciones de Maxwell

Profesora: Zabdi Pérez Bachilleres: García Eucaris – C.I: 25.352.622 León Lucero – C.I: 27.320.799 Martínez Daliska – C.I: 25.249.036 ING. de Telecomunicaciones. 4º Semestre – Sección 01.

Cumaná, Mayo de 2018.

Introducción

El presente trabajo, busca desglosar y explicar las Ecuaciones de Maxwell, expresadas en la forma sintetizada de cuatro ecuaciones obtenida por las leyes de la electricidad y el magnetismo; como lo es la ley de Coulomb, la ley de Gauss, la ley de Biot y Savart y la ley de Ampere-Faraday, las cuales relacionan los vectores de campo eléctrico y campo magnético con sus fuentes, que son cargas eléctricas, corrientes y campos variables, por lo tanto juegan un papel muy importante en el estudio del electromagnetismo, estas permanecen sin variación alguna en el sistema de unidades en que se estén hallando, siendo ubicadas por James Cleark Maxwell, quien las reunió y las organizo para describir y crear el nuevo concepto conocido como electromagnético. Desde finales del siglo XVIII diversos científicos, formularon leyes cuantitativas que relacionaban las interacciones entre los campos eléctricos, los campos magnéticos y las corrientes sobre conductores, ninguna de las otras ecuaciones era original, así pues, lo que hizo Maxwell fue organizar de nuevo dichas ecuaciones a partir de modelos mecánicos e hidrodinámicos, usando su modelo de vórtices de líneas de fuerza de Faraday. Siendo este el tema a desarrollar en esta investigación, la cual, nos servirá para enriquecer el conociendo a aquellas personas que desconozcan el tema y se mostrara también, las ecuaciones de Maxwell, demostradas diferencial e integralmente, para medios en el vacío y para los diferentes de él, sumando a este las variaciones armónicas en el tiempo.

Ecuaciones de Maxwell James Clerk Maxwell (1831- 1879), fue un físico que mostro siempre el interés por estudiar detenidamente los fenómenos eléctricos y magnéticos, encontró que al relacionar la contante magnética y la constante eléctrica, se daba lugar a la velocidad de la luz, siendo este uno de sus grandes aportes a la ciencia, comprobando que la luz no era más que una onda eléctrica acompañada de una magnética. Para posteriormente, a partir de la ley de Gauss (ley del flujo eléctrico y magnetismo), Faraday (campo magnético variable) y una modificación estándar en la ley de Ampere; explicar en forma clara que la electricidad y el magnetismo pueden ser estudiados en un mismo fenómeno físico llamado electromagnetismo. Originalmente son 20 ecuaciones de Maxwell, que describen por completo los fenómenos electromagnéticos, la contribución de Maxwell, fue reunir en dichas ecuaciones largos años de resultados experimentales, debido a Coulomb, Gauss, Ampere, Faraday y otros. Introduciendo los conceptos de campo y corriente de desplazamiento, unificando los campos eléctricos y magnéticos, en un solo concepto (campo electromagnético). Posterior a ello se redujeron a 8 ecuaciones; que Maxwell nombro de la A hasta la H y que pueden ser escritas en forma vectorial como: A) B) C) D) E) F) G) H)

Ley de corrientes totales. Definición de vector potencial magnético. Ley circuital del Amper. Fuerza de Lorentz. Ecuación de electricidad elástica. Ley de Ohm. Ley de Gauss. Ecuación de continuidad de carga.

Dichas ecuaciones conocidas en la actualidad, como las cuatro ecuaciones de Maxwell, dos de ellas vectoriales, con los que en realidad, son ocho ecuaciones escalares. Teniendo las 4 ecuaciones de Maxwell la forma:

Forma diferencial de las ecuaciones de Maxwell 

Ley de Gauss:

= Campo eléctrico existente en el espacio, creado por las cargas. = Densidad de cargas existentes en el espacio. = Permitividad eléctrica, (característica de los materiales dieléctricos). 

Ley de Gauss para el campo magnético



Ley de Faraday

= Campo magnético existente en el espacio, creado por las corrientes. 

Ley de Ampere-Maxwell

= Permeabilidad magnética, (característica de los materiales paramagnéticos). = Densidad de corriente, mide el flujo de cargas por unidad de tiempo y superficie.

Forma integral de las ecuaciones de Maxwell 

Ley de Gauss



Ley de Gauss para B





Ley de Faraday–Henry

Ley de Ampere

Donde: E= Es el campo eléctrico. B= Es el campo magnético. J= Es la corriente de carga, que en parte genera el campo magnético. Q= Es la carga estática, que genera el campo eléctrico. E0= Es la constante dieléctrica del vacío. μ0= Es la permeabilidad magnética del vacío. V= Es un volumen cualquiera dentro del cual está la carga Q. S= Es la superficie cerrada que rodea el volumen V. C= es la curva cerrada que delimita la superficie S. La primera de tan mencionadas ecuaciones de Maxwell, es la Ley de Gauss, que relaciona el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada, con la carga que encierra. Definiendo flujo eléctrico a aquella cantidad de fluido que atraviesa una superficie dada. Este fluido eléctrico no transporta materia, pero ayuda a analizar la cantidad de campo eléctrico que pasa por una superficie S.

La segunda ecuación, es la ley de Gauss para el campo magnetismo, que es una expresión acerca de la no existencia de monopolos magnéticos; expresando que el flujo magnético a través de una superficie cerrada es cero.

Experimentalmente se llegó al resultado de que los campos magnéticos, que a diferencia de los eléctricos, no comienzan y terminan en cargas diferentes. Esta ley indica que las líneas de los campos magnéticos deben ser cerradas y que sobre una superficie cerrada, sea cual sea esta, no seremos capaces de encerrar una fuente o sumidero de campo, expresando la inexistencia del monopolo magnético y al encerrar un dipolo en una superficie cerrada, no sale ni entra flujo magnético, por lo tanto el campo magnético no diverge, no sale de la superficie; entonces la divergencia es cero. La tercera, es la ecuación o ley de Faraday-Lenz, que establece que cualquier campo magnético variable, induce un campo eléctrico. Es decir esta ley, nos habla sobre la inducción electromagnética, la que origina una fuerza electromotriz en un campo magnético. Lo que indica que un campo magnético que depende del tiempo implica la existencia de un campo eléctrico, del que su circulación por un camino arbitrario cerrado, es igual a menos la derivada temporal del flujo magnético en cualquier superficie limitada por el camino cerrado y el signo negativo, explica que el sentido de la corriente inducida es tal, que su flujo se opone a la causa que lo produce, compensando así la variación de flujo magnético y como complemento tenemos la última de las ecuaciones de Maxwell, que es la ley de Ampere-Maxwell, que relaciona campos magnéticos con corriente eléctrica. Estas dos aseguran que hay una dependencia mutua entre campos magnéticos variables en el tiempo y campos eléctricos, dando origen a la interrelación entre dos campos. Ampere formuló, una relación para un campo magnético inmóvil y una corriente eléctrica que no varía en el tiempo. La ley de Ampère establece que la circulación en un campo magnético a lo largo de una curva cerrada C, es igual a la densidad de corriente sobre la superficie encerrada en la curva C. Pero cuando esta relación se la considera con campos que sí varían a través del tiempo llega a cálculos

erróneos, como el de violar la conservación de la carga. Entonces en vista de ellos Maxwell corrigió esta ecuación para lograr adaptarla a campos no estacionarios y posteriormente pudo ser comprobada experimentalmente por Heinrich Rudolf Hertz y en el caso específico estacionario, esta relación corresponde a la ley de Ampere, confirmando que un campo eléctrico que varía con el tiempo produce un campo magnético y además que es consecuente con el principio de conservación de la carga. Las ecuaciones de Maxwell en medios materiales y para el caso de que las cargas estén en dicho medio y asumiendo también que estos son lineales, homogéneos, isótropos y no dispersivos, podemos encontrar una relación entre los vectores intensidad eléctrica e inducción magnética a través de dos parámetros conocidos como Permitividad eléctrica y la Permeabilidad magnética. Como consecuencia matemática de las ecuaciones de Maxwell y además con el objetivo de simplificar sus cálculos se han introducido los conceptos de potencial vector y potencial escalar. Este potencial vector no es único y no tiene significado físico; pero se sabe que un elemento infinitesimal de corriente da lugar a una contribución paralela a la corriente. Este potencial se obtiene como consecuencia de la ley de Gauss para el flujo magnético, ya que se conoce que si la divergencia de un vector es cero y ese vector como consecuencia define a un rotacional. A partir de este potencial vector y de la ley de Faraday, puede definirse un potencial escalar; donde el signo menos es por convención; estos potenciales son importantes porque poseen una simetría gauge que nos da cierta libertad a la hora de escogerlos y hallamos que con la introducción de estas cantidades las ecuaciones de Maxwell, quedan reducidas solo a dos, puesto que, la ley de Gauss para el campo magnético y la ley de Faraday quedan satisfechas por definición. Las ecuaciones de Maxwell, llevan implícitas el principio de conservación de la carga. El principio afirma que la carga eléctrica no se crea ni se destruye, ni global ni localmente, sino que únicamente se transfiere y que si en una superficie cerrada está disminuyendo la carga contenida en su interior, debe haber un flujo de corriente neto hacia el exterior del sistema. Es decir la densidad de carga y la densidad de satisfacen una ecuación de continuidad. En la relatividad especial, las ecuaciones de Maxwell en el vacío, se escriben mediante unas relaciones geométricas, las cuales toman la misma forma en cualquier sistema de referencia inercial. Estas ecuaciones están escritas en términos de cuadrivectores y tensores contra variantes, que son objetos geométricos definidos, estos objetos se relacionan mediante formas diferenciales en relaciones geométricas que al expresarlas en componentes de los sistemas coordenados Lorentz proporcionan las ecuaciones para el campo electromagnético.

En ocasiones, es conveniente expresar esas ecuaciones en función de sólo dos campos (uno eléctrico y otro magnético) relacionando los campos mediante las ecuaciones constitutivas (aquí se dan para medios isotrópicos homogéneos lineales).

De las ecuaciones de Maxwell, surgen también de modo natural, teoremas de conservación de la carga, energía, momento lineal y momento angular, expresa de la siguiente forma:

La ecuación de conservación de la energía, toma la forma de:

Donde

es el vector de Poynting.

La ecuación de conservación del momento lineal es:

Donde

es el tensor de tensiones de Maxwell con componentes

Ecuaciones de Maxwell para variaciones armónicas en el tiempo Se dice que una ecuación es armónica en el tiempo, si varia de forma sinosoidal, la dependencia temporal de los campos electromagnéticos pueden ser arbitraria, pero debido a los resultados de la teoría de Fourier, cualquier variación temporal arbitraria puede descomponerse en un conjunto de variaciones sinosoidales con diferentes amplitudes, frecuencias y fases por lo que en multitud

de ocasiones solo trataremos con ecuaciones que varíen con el tiempo de forma sinosoidal.

Aplicaciones de las ecuaciones de Maxwell Gracias a las veinte ecuaciones que Maxwell propuso en su artículo de 1865 y posteriormente reformuladas en 1884 por el físico ingles Oliver. No se habrían podido desarrollar la radio, la televisión, los teléfonos móviles o los microondas, no existiría el internet o el GPS, habría electricidad, habría óptica e incluso motores eléctricos; pero no habría la integración de todo ello en el electromagnetismo. Desde su formulación, las leyes de Maxwell, han contribuido de manera determinante en el desarrollo tecnológico de la humanidad, con algunas aplicaciones prácticas que hoy en día son consideradas claves para la sustentabilidad de la vida moderna. Como lo es la generación y distribución de la corriente eléctrica, sin la cual el hombre actual perdería mucho del bienestar que goza. Del mismo modo los motores eléctricos, ya que toda la sociedad en sus hogares hace uso de estos, a través de todos los electrodomésticos y aparatos que hoy en día se utilizan. Jugando este, un rol crucial para la cotidianidad. Maxwell, no habría podido concebir sus ecuaciones sin las aportaciones previas de otros científicos como: Alessandro Volta, Hans Orsted, André-Marie Ampere o Michael, siendo estos los padres del moderno mundo eléctrico. Lo importante de estas ecuaciones, es comprender que con sólo esas 4 líneas podemos explicar o entender cómo se trasmite la información para la televisión, internet y los teléfonos, cuánto tarda en llegar la luz de las estrellas, cuál es la base del funcionamiento de las neuronas o cómo opera cualquier central eléctrica, además de otros miles de fenómenos que experimentamos en nuestra vida diaria. Las ecuaciones constituyen un pilar básico de la teoría electromagnética demostrada hasta ahora como válidas siempre, tomando en cuenta que todos los sistemas de transmisión de información sobre ondas electromagnéticas (con o sin cables), funcionan a base de desplazar cargas eléctricas de modo que su velocidad dibuje la forma de onda oportuna.

Conclusión

Las ecuaciones de Maxwell, constituyen un pilar básico de la teoría electromagnética, ya que por ahora se demostraron como válidas siempre. Esto es debido a que la teoría electromagnética siempre fue, sin saberlo, una teoría relativista. De hecho, cuando se estudia desde el punto de vista cuántico estas ecuaciones sólo deben ser revisadas para tener en cuenta el carácter discreto de los fotones, pero cuando tenemos gran cantidad de ellos podemos aplicar los resultados continuos sin ningún problema. De hecho en la actualidad, se considera que uno de los aspectos más importantes del trabajo de Maxwell en el electromagnetismo, fue el término que introdujo en la ley de la derivada temporal de un campo eléctrico, conocida como corriente de desplazamiento, con lo que se predecía la existencia de ondas electromagnéticas propagándose, dependiendo del medio material, a la velocidad de la luz en dicho medio. De esta forma Maxwell identificó la luz como una onda electromagnética, unificando así la óptica con el electromagnetismo. La síntesis de James Maxwell, ha sido posible solamente, porque Maxwell supo profundizar los trabajos de sus antecesores introduciendo entre otras cosas, un eslabón faltante llamado corriente de desplazamiento mencionada anteriormente, que asegura la coherencia del conjunto de ecuaciones edificadas. Teniendo presente que las ecuaciones de Maxwell, juegan o tienen un papel en el electromagnetismo clásico, similar a las leyes de Newton, en la mecánica clásica y en que en dichas ecuaciones de James tienen también sus similitudes; pero se ha comprobado que las interacciones electromagnéticas entre partículas elementales especialmente a alta energía se deben tratar en forma de algo diferente conforme las leyes electrodinámica.

Bibliografía

https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_de_Maxwell

http://www.lawebdefisica.com/dicc/maxwell/

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/electric/maxeq.html

https://www.fceia.unr.edu.ar/~fisica3/cap-7.pdf