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Ecuaciones de Maxwell

Las cuatro ecuaciones de Maxwell describen todos los fenómenos electromagnéticos, aquí se muestra la inducción magnética por medio de una corriente eléctrica.

Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones (originalmente 20 ecuaciones) que describen por completo los fenómenos electromagnéticos. La gran contribución de James Clerk Maxwell fue reunir en estas ecuaciones largos años de resultados experimentales, debidos a Coulomb, Gauss, Ampere, Faraday y otros, introduciendo los conceptos de campo y corriente de desplazamiento, y unificando los campos eléctricos y magnéticos en un solo concepto: el campo electromagnético.[1]

Retrato de Maxwell.

Maxwell en el electromagnetismo es el término que introdujo en la ley de Ampère; la derivada temporal de un campo eléctrico, conocido como corriente de desplazamiento. El trabajo que Maxwell publicó en 1865, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, modificaba la versión de la ley de Ampère con lo que se predecía la existencia de ondas electromagnéticas propagándose, de1 Desarrollo histórico de las ecua- pendiendo del medio material, a la velocidad de la luz en dicho medio. De esta forma Maxwell identificó la luz cociones de Maxwell mo una onda electromagnética, unificando así la óptica [2] Desde finales del siglo XVIII diversos científicos formu- con el electromagnetismo. laron leyes cuantitativas que relacionaban las interaccio- Exceptuando la modificación a la ley de Ampère, ninguna nes entre los campos eléctricos, los campos magnéticos y de las otras ecuaciones era original. Lo que hizo Maxwell las corrientes sobre conductores. Entre estas leyes están fue reobtener dichas ecuaciones a partir de modelos mela ley de Ampère, la ley de Faraday o la ley de Lenz. Max- cánicos e hidrodinámicos usando su modelo de vórtices well lograría unificar todas estas leyes en una descripción de líneas de fuerza de Faraday. coherente del campo electromagnético. En 1884, Oliver Heaviside junto con Willard Gibbs Maxwell se dio cuenta de que la conservación de la carga eléctrica parecía requerir introducir un término adicional en la ley de Ampère. De hecho, actualmente se considera que uno de los aspectos más importantes del trabajo de

agrupó estas ecuaciones y las reformuló en la notación vectorial actual. Sin embargo, es importante conocer que al hacer eso, Heaviside usó derivadas parciales temporales, diferentes a las derivadas totales usadas por Maxwell, 1

2

2 DETALLE DE LAS ECUACIONES

en la ecuación (54). Ello provocó que se perdiera el tér- la suma de las cargas que hay en el interior de la superficie mino v × B que aparecía en la ecuación posterior del y la permitividad eléctrica en el vacío ( ε0 ), así:[4][5] trabajo de Maxwell (número 77). En la actualidad, este H ⃗ · dS ⃗= q término se usa como complementario a estas ecuaciones E ε0 S y se conoce como fuerza de Lorentz. La historia es aún confusa, debido a que el término ecua- La forma diferencial de la ley de Gauss, en forma lociones de Maxwell se usa también para un conjunto de cal, afirma que por el teorema de Gauss-Ostrogradsky, ocho ecuaciones en la publicación de Maxwell de 1865, la divergencia del campo eléctrico es proporcional a la A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, y esta densidad de carga eléctrica, es decir, confusión se debe a que seis de las ocho ecuaciones son ⃗ ·E ⃗ = ρ ∇ escritas como tres ecuaciones para cada eje de coordenaε0 das, así se puede uno confundir al encontrar veinte ecuaciones con veinte incógnitas. Los dos tipos de ecuaciones donde ρ es la densidad de carga en el medio interior a la son casi equivalentes, a pesar del término eliminado por superficie cerrada. Intuitivamente significa que el campo Heaviside en las actuales cuatro ecuaciones. E diverge o sale desde una carga ερ0 , lo que se representa gráficamente como vectores que salen de la fuente que las genera en todas direcciones. Por convención si el valor de la expresión es positivo entonces los vectores salen, si es 2 Detalle de las ecuaciones negativo estos entran a la carga.

2.1

Ley de Gauss

Para casos generales se debe introducir una cantidad lla⃗ ) y nuestra expresión mada densidad de flujo eléctrico ( D obtiene la forma:

⃗ ·D ⃗ =ρ ∇

2.2 Ley de Gauss para el campo magnético

S

N

Flujo eléctrico de una carga puntual en una superficie cerrada.

La ley de Gauss explica la relación entre el flujo del campo eléctrico y una superficie cerrada. Se define como flujo eléctrico ( ΦE ) a la cantidad de fluido eléctrico que atraviesa una superficie dada. Análogo al flujo de la mecánica de fluidos, este fluido eléctrico no transporta materia, pero ayuda a analizar la cantidad de campo Las líneas de campo magnético comienzan y terminan en el mis⃗ ) que pasa por una superficie S.[3] Matemá- mo lugar, por lo que no existe un monopolo magnético. eléctrico ( E ticamente se expresa como: Experimentalmente se llegó al resultado de que los campos magnéticos, a diferencia de los eléctricos, no coI mienzan y terminan en cargas diferentes. Esta ley primor⃗ · dS ~ ΦE = E dialmente indica que las líneas de los campos magnéticos S deben ser cerradas. En otras palabras, se dice que sobre La ley dice que el flujo del campo eléctrico a través de una una superficie cerrada, sea cual sea ésta, no seremos casuperficie cerrada es igual al cociente entre la carga (q) o paces de encerrar una fuente o sumidero de campo, esto

2.4

Ley de Ampère generalizada

3

expresa la inexistencia del monopolo magnético. Al encerrar un dipolo en una superficie cerrada, no sale ni entra I ∫ ⃗ · d⃗l = − d ⃗ · dS ⃗ flujo magnético por lo tanto, el campo magnético no diE B dt S verge, no sale de la superficie. Entonces la divergencia es cero[6] Matemáticamente esto se expresa así:[5] Lo que indica que un campo magnético que depende del tiempo implica la existencia de un campo eléctrico, del ⃗ ·B ⃗ =0 ∇ que su circulación por un camino arbitrario cerrado es igual a menos la derivada temporal del flujo magnético en ⃗ es la densidad de flujo magnético, también lla- cualquier superficie limitada por el camino cerrado. donde B mada inducción magnética. Es claro que la divergencia El signo negativo explica que el sentido de la corriente sea cero porque no salen ni entran vectores de campo sino inducida es tal que su flujo se opone a la causa que lo que este hace caminos cerrados. El campo no diverge, es produce, compensando así la variación de flujo magnético decir la divergencia de B es nula. (Ley de Lenz). Su forma integral equivalente: H S

La forma diferencial local de esta ecuación es:

⃗ · dS ⃗=0 B

⃗ ×E ⃗ = − ∂ B⃗ ∇ ∂t

Como en la forma integral del campo eléctrico, esta ecuación sólo funciona si la integral está definida en una su- Es decir, el rotacional del campo eléctrico es la derivada de la inducción magnética con respecto al tiempo. perficie cerrada. Se interpreta como sigue: si existe una variación de campo magnético B entonces este provoca un campo eléctrico 2.3 Ley de Faraday-Lenz E o bien la existencia de un campo magnético no estacionario en el espacio libre provoca circulaciones del vector La ley de Faraday nos habla sobre la inducción electro- E a lo largo de líneas cerradas. En presencia de cargas magnética, la que origina una fuerza electromotriz en un libres, como los electrones, el campo E puede desplazar campo magnético. Es habitual llamarla ley de Faraday- las cargas y producir una corriente eléctrica. Esta ecuaLenz en honor a Heinrich Lenz ya que el signo menos ción relaciona los campos eléctrico y magnético, y tiene proviene de la Ley de Lenz. También se le llama como ley otras aplicaciones prácticas cómo los motores eléctricos de Faraday-Henry, debido a que Joseph Henry descubrió y los generadores eléctricos y explica su funcionamiento. esta inducción de manera separada a Faraday pero casi Más precisamente, demuestra que un voltaje puede ser simultáneamente.[7] Lo primero que se debe introducir es generado variando el flujo magnético que atraviesa una la fuerza electromotriz ( E ), si tenemos un campo mag- superficie dada. nético variable con el tiempo, una fuerza electromotriz es inducida en cualquier circuito eléctrico; y esta fuerza es igual a menos la derivada temporal del flujo magnético, 2.4 Ley de Ampère generalizada así:[8] Ampère formuló una relación para un campo magnético inmóvil y una corriente eléctrica que no varía en el dϕB tiempo. La ley de Ampère nos dice que la circulación en E =− dt ⃗ ) a lo largo de una curva cerrada un campo magnético ( B ⃗ como el campo magnético es dependiente de la posición C es igual a la densidad de corriente ( J ) sobre la superficie encerrada en la curva C, matemáticamente así:[5] tenemos que el flujo magnético es igual a: I

∫ ⃗ · dS ⃗ B

ϕB = S

∫ ⃗ · d⃗l = µ0 B

C

⃗ J⃗ · dS S

Además, el que exista fuerza electromotriz indica que donde µ0 es la permeabilidad magnética en el vacío. existe un campo eléctrico que se representa como: Pero cuando esta relación se la considera con campos que sí varían a través del tiempo llega a cálculos erróneos, como el de violar la conservación de la carga.[9] Maxwell I ⃗ · d⃗l corrigió esta ecuación para lograr adaptarla a campos no E= E estacionarios y posteriormente pudo ser comprobada excon lo que finalmente se obtiene la expresión de la ley de perimentalmente por Heinrich Rudolf Hertz. Faraday:[5]

Maxwell reformuló esta ley así:[5]

4

5

I

∫ ⃗ · d⃗l = µ0 B

C

⃗ + µ0 ε0 d J⃗ · dS dt S

POTENCIAL ESCALAR Y POTENCIAL VECTOR

∫ ⃗ · dS ⃗ E S

4 Ecuaciones de Maxwell

En el caso específico estacionario esta relación corresponde a la ley de Ampère, además confirma que un campo eléctrico que varía con el tiempo produce un cam- Las ecuaciones de Maxwell como ahora las conocemos po magnético y además es consecuente con el principio son las cuatro citadas anteriormente y a manera de resumen se pueden encontrar en la siguiente tabla: de conservación de la carga.[9] En forma diferencial, esta ecuación toma la forma: ⃗ ⃗ ×B ⃗ = µ0 J⃗ + µ0 ε0 ∂ E ∇ ∂t En forma sencilla esta ecuación explica que si se tiene un conductor, un alambre recto que tiene una densidad de corriente J, esta provoca la aparición de un campo magnético B rotacional alrededor del alambre y que el rotor de B apunta en el mismo sentido que J.

3

En medios materiales

Para el caso de que las cargas estén en medios materiales, y asumiendo que éstos son lineales, homogéneos, isótropos y no dispersivos, podemos encontrar una relación entre los vectores intensidad eléctrica e inducción magnética a través de dos parámetros conocidos como permitividad eléctrica y la permeabilidad magnética:[10] ⃗ = εE ⃗ = ε0 εr E ⃗ D ⃗ = µH ⃗ = µ0 µr H ⃗ B

Estas cuatro ecuaciones junto con la fuerza de Lorentz son las que explican cualquier tipo de fenómeno electromagnético. Una fortaleza de las ecuaciones de Maxwell es que permanecen invariantes en cualquier sistema de unidades, salvo de pequeñas excepciones, y que son compatibles con la relatividad especial y general. Además Maxwell descubrió que la cantidad c = √ε10 µ0 era simplemente la velocidad de la luz en el vacío, por lo que la luz es una forma de radiación electromagnética. Los valores aceptados actualmente para la velocidad de la luz, la permitividad y la permeabilidad magnética se resumen en la siguiente tabla:

5 Potencial escalar y potencial vector Como consecuencia matemática de las ecuaciones de Maxwell y además con el objetivo de simplificar sus cálculos se han introducido los conceptos de potencial ⃗ ) y potencial escalar ( Φ ). Este potencial vecvector ( A tor no es único y no tiene significado físico claro pero se sabe que un elemento infinitesimal de corriente da lu⃗ paralela a la corriente.[13] Esgar a una contribución dA te potencial se obtiene como consecuencia de la ley de Gauss para el flujo magnético, ya que se conoce que si la divergencia de un vector es cero, ese vector como consecuencia define a un rotacional, así:[14]

Pero estos valores también dependen del medio material, por lo que se dice que un medio es lineal cuando la relación entre E/D y B/H es lineal. Si esta relación es lineal, matemáticamente se puede decir que ε y µ están representadas por una matriz 3x3. Si un medio es isótropo es porque esta matriz ha podido ser diagonalizada y consecuentemente es equivalente a una función ε(x, y, z) ; si en esta diagonal uno de los elementos es diferente al otro se dice que es un medio anisótropo. Estos elementos también son llamados constantes dieléctricas y, cuando ⃗ = ∇ · (∇ × A) ⃗ =0 estas constantes no dependen de su posición, el medio es ∇ · B [11] homogéneo. ⃗ =∇×A ⃗ ⇐⇒ B Los valores de ε y µ en medios lineales no dependen de las intensidades del campo. Por otro lado, la permitividad A partir de este potencial vector y de la[12]ley de Faraday y la permeabilidad son escalares cuando las cargas están puede definirse un potencial escalar así: ⃗ en medios homogéneos e isótropos. Los medios hetero⃗ = − ∂B ∇ × E géneos e isótropos dependen de las coordenadas de cada ∂t punto por lo que los valores, escalares, van a depender de ∂ ⃗ ⃗ la posición. Los medios anisótropos son tensores.[10] Fi- ∇ × E + ∂t (∇ × A) = 0 nalmente, en el vacío tanto ρ como J⃗ son cero porque ( ⃗) ⃗ + ∂A = 0 ∇× E suponemos que no hay fuentes. ∂t En la siguiente tabla encontramos las ecuaciones como se ⃗ ⃗ + ∂A ⇐⇒ −∇Φ = E las formula en el caso general y en la materia.[12] ∂t

5 donde el signo menos ( − ) es por convención. Estos potenciales son importantes porque poseen una simetría gauge que nos da cierta libertad a la hora de escogerlos.[12] El campo eléctrico en función de los potenciales:

⃗ ⃗ = −∇Φ − ∂ A E ∂t Hallamos que con la introducción de estas cantidades las ecuaciones de Maxwell quedan reducidas solo a dos, puesto que, la ley de Gauss para el campo magnético y la ley de Faraday quedan satisfechas por definición. Así la ley de Gauss para el campo eléctrico escrita en términos de los potenciales: ∂ ⃗ = ρ (∇ · A) ∂t ε0 y la ley de ampère generalizada

−∇2 Φ −

( ∂ 2⃗ ⃗ ⃗ ∇(∇ · A) − ∇ A = µ0 J − µ0 ε0 ∂t ∇Φ +

) ⃗ ∂A ∂t

7 Ecuaciones originales de Maxwell En el capítulo III de A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, titulado “Ecuaciones generales del campo electromagnético”, Maxwell formuló ocho ecuaciones que nombró de la A a la H.[15] Estas ecuaciones llegaron a ser conocidas como “las ecuaciones de Maxwell”, pero ahora este epíteto lo reciben las ecuaciones que agrupó Heaviside. La versión de Heaviside de las ecuaciones de Maxwell realmente contiene solo una ecuación de las ocho originales, la ley de Gauss que en el conjunto de ocho sería la ecuación G. Además Heaviside fusionó la ecuación A de Maxwell de la corriente total con la ley circuital de Ampère que en el trabajo de Maxwell era la ecuación C. Esta fusión, que Maxwell por sí mismo publicó en su trabajo On Physical Lines of Force de 1861 modifica la ley circuital de Ampère para incluir la corriente de desplazamiento de Maxwell. Las ocho ecuaciones originales de Maxwell pueden ser escritas en forma vectorial así:

Nótese que se ha pasado de un conjunto de cuatro ecuaciones diferenciales parciales de primer orden a solo dos ecuaciones diferenciales parciales pero de segundo orden. Sin embargo, estas ecuaciones se pueden simplificar con ayuda de una adecuada elección del gauge. ⃗ es el vector intensidad de campo magnético donde: H (llamado por Maxwell como intensidad magnética); J⃗ es 6 Consecuencias físicas de las la densidad de corriente eléctrica y J⃗tot es la corriente to⃗ es el campo tal incluida la corriente de desplazamiento; D ecuaciones desplazamiento (desplazamiento eléctrico); ρ es la den⃗ sidad de carga libre (cantidad libre de electricidad); A ⃗ 6.1 Principio de conservación de la carga es el vector potencial magnético (impulso magnético); E es el campo eléctrico (fuerza electromotriz [no confundir con la actual definición de fuerza electromotriz]); ϕ Las ecuaciones de Maxwell llevan implícitas el principio es el potencial eléctrico y σ es la conductividad eléctrica de conservación de la carga. El principio afirma que la (resistencia específica, ahora solo resistencia). carga eléctrica no se crea ni se destruye, ni global ni localmente, sino que únicamente se transfiere; y que si en Maxwell no consideró a los medios materiales en geuna superficie cerrada está disminuyendo la carga conte- neral, esta formulación inicial usa la permitividad y nida en su interior, debe haber un flujo de corriente neto la permeabilidad en medios lineales, isótropos y no hacia el exterior del sistema. Es decir la densidad de car- dispersos, a pesar que también se las puede usar en mega ρ y la densidad de corriente ⃗ȷ satisfacen una ecuación dios anisótropos. ⃗ en la expresión de la de continuidad. Maxwell incluyó el término µ⃗v × H A partir de la forma diferencial de la ley de Ampère se fuerza electromotriz de la ecuación D, que corresponde a la fuerza magnética por unidad de carga en un conductiene: ( ) ( ) tor que se mueve a una velocidad ⃗v . Esto significa que la ⃗ ·E ⃗ ⃗ · ∇ ⃗ ×B ⃗ = µ0 ∇ ⃗ · J⃗ + µ0 ε0 ∂ ∇ ∇ ecuación D es otra formulación de la fuerza de Lorentz. ∂t que(al reemplazar la ley de Gauss y tomar en cuenta que Esta ecuación primero apareció como la ecuación 77 de ) ⃗· ∇ ⃗ ×A ⃗ = 0 (para cualquier vector A ⃗ ), se obtiene: la publicación On Physical Lines of Force de Maxwell, ∇ anterior a la publicación de Lorentz. En la actualidad esta fuerza de Lorentz no forma parte de las ecuaciones de ∂ρ ⃗ · J⃗ + 0=∇ ∂t Maxwell pero se la considera una ecuación adicional funH ⃗ + dq o bien en forma integral: 0 = S J⃗ · dS damental en el electromagnetismo. dt

6

8 EXPRESIÓN DE LAS ECUACIONES EN RELATIVIDAD

8

Expresión de las ecuaciones en relatividad

Para obtener el objeto geométrico que contiene los campos, tenemos que subir el rango de A mediante el operador diferencial exterior ∂ obteniendo la 2-forma F campo electromagnético. En forma geométrica podemos escriEn la relatividad especial, las ecuaciones de Maxwell en el bir: vacío se escriben mediante unas relaciones geométricas, las cuales toman la misma forma en cualquier sistema de referencia inercial. Estas ecuaciones están escritas en tér- F = dA minos de cuadrivectores y tensores contravariantes, que son objetos geométricos definidos en M4 . Estos objetos Que expresado para un sistema inercial Lorentz tenemos se relacionan mediante formas diferenciales en relaciones que: geométricas que al expresarlas en componentes de los sistemas coordenados Lorentz proporcionan las ecuaciones para el campo electromagnético. F µν = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ La cuadricorriente J α está descrita por una 1-forma y lleva la información sobre la distribución de cargas y co- Con lo que obtenemos el tensor de campo electromagnético. rrientes. Sus componentes son: 

J α = (cρ(r, t), J(r, t)) Que debe cumplir la siguiente relación geométrica para que se cumpla la ecuación de continuidad. δJ = 0

Fµν

 0   Ex   = c  Ey   c E

Ex − c

Ey − c

0

Bz

−Bz

0

By

−Bx

z

c

Escrito en componentes de los sistemas coordenados Lorentz queda:

 Ez −  c  −By     Bx    0

8.1 Primer par de ecuaciones de Maxwell ∂α J α = 0 Las siguientes expresiones ligan los campos con las fuenPara poner en correspondencia objetos del mismo rango, tes, relacionamos la cuadricorriente con el tensor campo se utiliza el operador de Laplace-Beltrami o laplaciana electromagnético mediante la forma geométrica: definida como: □ = dδ + δd

δF = µ0 J

O bien en coordenadas Lorentz: Podemos poner en correspondencia el cuadrivector densidad de corriente con otro objeto del mismo rango como es el cuadripotencial, que lleva la información del potencial ∂µ F µν = µ0 J ν eléctrico y el potencial vector magnético. □2 A = −µ0 J O escrito en coordenadas Lorentz obtenemos que:

∂µ ∂ µ Aα = µ0 J α Expresión que reproduce las ecuaciones de onda para los potenciales electromagnéticos.

8.1.1 Obtención de las ecuaciones Para un observable en S partiendo de expresión en coordenadas Lorentz podemos obtener: • Para ν = 0 tenemos que: ∂µ F µ0 = µ0 J 0 , entonces: µ0 cρ(r, t) = ∂1 F 10 +∂2 F 20 +∂3 F 30 =

La 1-forma A lleva la información sobre los potenciales de los observadores inerciales siendo sus componentes: Por tanto: ( α

A =

) Φ ,A c

∇·E=

ρ(r, t) ε0

[ ] ∂Ey ∂Ez 1 ∂Ex + + c ∂x ∂y ∂z

7 • Para ν = 1, 2, 3 podemos obtener de la misma for- (*) Existe una confusión habitual en cuanto a la nomenma que: clatura de este gauge. Las primeras ecuaciones en las que aparece tal condición (1867) se deben a Ludvig V. Lorenz, no al mucho más conocido Hendrik A. Lorentz. (Véa∂D ∇∧H=J+ se: J.D. Jackson: Classical Electrodynamics, 3rd edition ∂t p.294)

8.2

Segundo par de ecuaciones de Maxwell Finalmente el cuadrigradiente se define así:

Corresponden a las ecuaciones homogéneas. Escritas en forma geométrica tenemos que:

∂ def def def = ∂α = ,α = α ∂x

(

) ∂ ,∇ ∂ct

Los índices repetidos se suman de acuerdo al convenio de sumación de Einstein. De acuerdo con el cálculo tensorial, los índices pueden subirse o bajarse por medio de Que corresponde con la expresión en los sistemas coorla matriz fundamental g. denados Lorentz: El primer tensor es una expresión de dos ecuaciones de Maxwell, la ley de Gauss y la ley de Ampère generalizada; µν la segunda ecuación es consecuentemente una expresión ∂µ ∗ F = 0 de las otras dos leyes. Donde el tensor ∗F es el tensor dual de F. Se obtiene Se ha sugerido que el componente de la fuerza de Lomediante el operador de Hodge. ⃗ se puede derivar de la ley de Coulomb y por rentz ⃗v × B eso la relatividad especial asume la invarianza de la carga eléctrica.[16][17] 8.2.1 Obtención de las ecuaciones δ∗F =0

• Para ν = 0 : [ ∂µ ∗F µ0 = ∂1 ∗F 10 +∂2 ∗F 20 +∂3 ∗F 30 =

9 Expresión de las ecuaciones para ] ∂Bx ∂By ∂Buna z + + = 0frecuencia constante ∂x

∂y

Por tanto:

∇·B=0 • Para ν = 1, 2, 3 se obtiene la ecuación vectorial: ∇∧E+

∂B =0 ∂t

∂z

En las ecuaciones de Maxwell, los campos vectoriales no son solo funciones de la posición, en general son funciones de la posición y del tiempo, como por ejemplo ⃗ H(x, y, z, t) . Para la resolución de estas ecuaciones en derivadas parciales, las variables posicionales se encuentran con la variable temporal. En la práctica, la resolución de dichas ecuaciones pueden contener una solución armónica (sinusoidal).

Con ayuda de la notación compleja se puede evitar la deelimiLa propiedad ∂α ∗ F = 0 reproduce las ecuaciones de pendencia temporal de los resultados armónicos, iωt nando así el factor complejo de la expresión e . Gran Maxwell internas, que se puede expresar como dF = 0 , parte de las resoluciones de las ecuaciones de Maxwell que se puede escribir en los sistemas coordenados Lorentz toman amplitudes complejas, además de no ser solo funcomo: ción de la posición. En lugar de la derivación parcial en el tiempo se tiene la multiplicación del factor imaginario iω , donde ω es la frecuencia angular. ∂γ Fαβ + ∂β Fγα + ∂α Fβγ = 0 En la forma compleja, las ecuaciones de Maxwell toman [10] Podemos resumir el conjunto de expresiones que relacio- la siguiente forma: nan los objetos que describen el campo electromagnético en la siguiente tabla. La primera columna son las relacio⃗ ·D ⃗ =ρ nes geométricas, independientes de cualquier observador; ∇ la segunda columna son las ecuaciones descritas mediante ⃗ ·B ⃗ =0 un sistema coordenado Lorentz; y la tercera es la descrip- ∇ ción de la relación y la ley que cumple. ⃗ ×E ⃗ = −iω B ⃗ ∇ αβ

⃗ ×H ⃗ = ⃗ı = (σ + iωε)E ⃗ ∇

8

12 ENLACES EXTERNOS

10

Véase también

• Divergencia • rotacional • Electromagnetismo • James Clerk Maxwell • Oliver Heaviside • Carga • Onda electromagnética

[13] «Potencial Vector Magnético». Consultado el 21 de enero de 2008. [14] «Ecuaciones del Electromagnetismo». Consultado el 21 de enero de 2008. [15] «Professor Clerk Maxwell on the electromagnetic field» (en inglés). Consultado el 21 de enero de 2008. [16] L. D. Landau, E. M. Lifshitz (1980). The Classical Theory of Fields (en inglés). Butterworth-Heinemann. ISBN 07506-2768-9. [17] Richard E Haskell (2006). «Special relativity and Maxwell equations» (en inglés). Consultado el 23 de enero de 2008.

• Ecuación de onda electromagnética • Ecuaciones de Jefimenko

12 Enlaces externos

• Ley de Gauss

• On Physical Lines of Force

• Ley de Faraday

• A dinamical theory of the electromagnetic field Trabajo original de Maxwell

• Ley de Ampère • Teoría del absorbedor de Wheeler-Feynman

11

Notas y referencias

[1] «Ecuaciones de Maxwell». 1999 de agosto. Archivado desde el original el 26 de noviembre de 2015. Consultado el 15 de enero de 2008. [2] Ángel Franco García: Universidad del País Vasco (octubre de 2006). «El espectro electromagnético». Consultado el 15 de enero de 2008. [3] «Teorema de Gauss y Flujo Eléctrico». Archivado desde el original el 26 de noviembre de 2015. Consultado el 19 de enero de 2008. [4] «Línea de cargas. Ley de Gauss». Consultado el 18 de enero de 2008. [5] Richard Feynman (1974). Feynman lectures on Physics Volume 2 (en inglés). Addison Wesley Longman. ISBN 0-201-02115-3. [6] «Magnetostática». Consultado el 19 de enero de 2008. [7] «Concepto de Flujo». Consultado el 19 de enero de 2008. [8] «Ley de Faraday-Henry». Consultado el 19 de enero de 2008. [9] «Ley de Ampere-Maxwell». Consultado el 20 de enero de 2008. [10] Ángel Cardama Aznar (2002). Antenas. UPC. ISBN 848301-625-7. [11] Liliana I. Perez. «APUNTE:Ecuaciones de Maxwell». Consultado el 22 de enero de 2008. [12] La web de Física (2008). «Ecuaciones de Maxwell». Consultado el 23 de enero de 2008.

• Monografías.com archivo sobre ecuaciones de Maxwell • Modelo de Maxwell • Fundamentos de la radiación • A treatise on electricity and magnetism (1873) Vol. 1 PDF • A treatise on electricity and magnetism (1873) Vol. 2 PDF

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