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• Adejhomar Medina

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Ecuaciones de Maxwell Todos los fenómenos electromagnéticos clásicos (no cuánticos) se pueden describir a partir de las ecuaciones de Maxwell:

donde generalmente las incógnitas son los campos vectoriales: 

E: campo eléctrico (V/m),



D: campo de desplazamiento (C/m2),



H: campo magnético(A/m) y



B: campo de inducción magnética (T).

Estos campos conforman el campo electromagnético. Las dos ecuaciones del rotor (Faraday y Maxwell-Ampère) aseguran que hay una dependencia mutua entre campos eléctricos y magnéticos variables en el tiempo, de manera que en este caso ambos campos están interrelacionados. Sólo en el caso de campos estáticos (que no varían en el tiempo) campo eléctrico y magnético son independientes entre sí. Llamamos fuentes de campo a los sistemas físicos que crean campos en el espacio. En el caso electromagnético, cargas y corrientes eléctricas crean campo2. En las ecuaciones de Maxwell las fuentes de campo son entonces:  

: la densidad de carga eléctrica (C/m3) y j: la densidad de corriente (A/m2).

En nuestra descripción consideramos a cargas y corrientes como funciones continuas de la posición. Sin embargo, se conoce que la carga eléctrica se presenta en unidades elementales (a las energías de interés en las aplicaciones tecnológicas actuales) cuyo valor es la carga del electrón:

e

≈1.602 ×

C

Esta estructura granular de la carga eléctrica no admitiría la descripción de su distribución como una función continua de la posición, pero la extrema pequeñez de los portadores elementales de carga, en relación al tamaño de los objetos de interés tecnológico, permite usar funciones continuas entendidas como un promedio sobre un gran número de entes discretos, en volúmenes pequeños frente al tamaño de esos objetos, pero grandes en relación al tamaño de los portadores de carga elementales. Podemos escribir entonces:

(r, t)= N (r, t)e donde N (r,t) es el número de portadores elementales de carga por unidad de volumen. El mismo razonamiento se aplica a las funciones continuas que describen la distribución de corrientes, que son en última instancia grupos de cargas elementales en movimiento. Todas las cantidades que intervienen en las ecuaciones de Maxwell se describen, entonces y en general, como funciones de la posición espacial y del tiempo.

Este es un conjunto de ecuaciones diferenciales vectoriales lineales acopladas inhomogéneas. En general su resolución es bastante difícil, por lo que gran parte de nuestra presentación se dedicará a presentar modelos simplificados que permitan soluciones sencillas. Una primera propiedad que se deduce de las ecuaciones de Maxwell es que las fuentes de campo (cargas y corrientes) están generalmente ligadas entre sí. Si tomamos la divergencia de la ley de Maxwell-Ampère obtenemos: ** La expresión del segundo miembro dice que hay que realizar primero la derivada temporal de D y luego las derivadas espaciales. Pero como el tiempo y las variables espaciales son independientes entre sí se puede cambiar el orden de la derivación:

Esta ecuación indica que las fuentes de campo (cargas y corrientes eléctricas) están interrelacionadas en el caso dependiente del tiempo. Como veremos en el Capítulo de corrientes eléctricas, esta ecuación representa el principio de conservación de la carga eléctrica.

Soluciones de las ecuaciones de Maxwell. Potenciales retardados En el vacío es posible hallar una solución general de las ecuaciones de Maxwell en términos de los potenciales electrodinámicos o potenciales retardados vectorial A y escalar Φ3, que se pueden deducir de las ecuaciones de Maxwell:

En la representación en el dominio del tiempo campos y fuentes dependen de la posición y del tiempo: F F(r,t) F( x, y, z,t) realizan sobre los puntos fuentes, de coordenadas (r', t'). Se usa esta doble notación porque el denominador de los integrandos usa la distancia entre punto fuente y punto campo R R r r. La particularidad fundamental de estas expresiones es que el tiempo en el punto fuente y el tiempo en el punto campo no son iguales: tt R / c . Por lo tanto, las variaciones en la fuente en el instante t' se reflejan en un instante posterior t en el campo observado. Hay un retardo entre causa y efecto, por lo que estos potenciales se llaman potenciales retardados. Este retardo se explica por el principio de que existe una velocidad máxima de propagación de las interacciones (principio de relatividad), que es la velocidad de la luz en el vacío. El intervalo t R / c es el tiempo que

tarda la interacción en trasladarse desde el punto fuente al punto campo. Maxwell obtuvo este resultado en 1864 y como c 1 3 108m / s 00

, que es un valor similar al valor medido de

la velocidad de la luz en el vacío, formuló la tesis que la luz era un fenómeno electromagnético, tesis recién corroborada experimentalmente por Hertz en 1887. El retardo de tiempo entre la señal fuente y el campo producido es un hecho fundamental en la modelación de los fenómenos de radiación, como se muestra en el Capítulo 10. El modelo de campo presentado en esta sección es el modelo más general, aplicable a todas las situaciones5, aunque en situaciones prácticas sólo es posible obtener las soluciones mediante métodos numéricos.

Representación en los dominios del tiempo y de la frecuencia Las soluciones de las ecuaciones de Maxwell son campos vectoriales cuyas compone

Ecuaciones de Maxwell Barbol

1 Forma de las ecuaciones Las Ecuaciones de Maxwell surgen de la teoría electromagnética y son el resumen esta teoría desde un punto de vista macroscópico. Esas ecuaciones tienen la forma más general:

Y son, por tanto, un total de ocho ecuaciones escalares (tres para cada uno de los rotacionales de los campos eléctrico y magnético y una para las divergencias).

2 Parámetros presentes Los parámetros que intervienen en la formulación de las ecuaciones de Maxwell son los siguientes:      

 

- Campo eléctrico existente en el espacio, creado por las cargas. - Campo dieléctrico que resume los efectos eléctricos de la materia. - Campo magnético existente en el espacio, creado por las corrientes. - Campo magnético que resume los efectos magnéticos de la materia. - Densidad de cargas existentes en el espacio. - Densidad de corriente, mide el flujo de cargas por unidad de tiempo y superfície y es igual a . - Permitividad eléctrica, característica de los materiales dieléctricos. - Permeabilidad paramagnéticos.

magnética,

característica

de

los

materiales

3 Significado físico Cuando Maxwell resumió la teoría electromagnética de su época en sus ecuaciones escribió las siguientes ecuaciones:

que no es nada más que la ley de Gauss, que se reduce a la ley de Coulomb para cargas puntuales. que no tiene nombre y expresa la inexistencia de monopolos magnéticos en la naturaleza, es decir, esta es la explicación de que al romper un imán obtengamos dos imanes, y no dos medio-imanes.

que es la expresión diferencial de la ley de Faraday. que es la ley de Ampère. Sin embargo encontró que esta última ecuación, juntamente con la ley de Faraday conducían a un resultado que violaba el principio de conservación de la carga, con lo cual decidió modificarla para que no violase este principio dándole la forma

que ahora se conoce como ley de Ampère modificada. El término introducido recibe el nombre de corriente de desplazamiento. Sin embargo estas ocho ecuaciones no son suficientes para resumir todo el conocimiento de la electrodinámica clásica, nos hace falta una ecuación más, esa es la expresión de la fuerza de Lorentz:

4 Soluciones de las ecuaciones 4.1 Las ecuaciones en función de dos campos En ocasiones es conveniente expresar esas ecuaciones en función de sólo dos campos (uno eléctrico y otro magnético) relacionando los campos mediante las ecuaciones constitutivas (aquí se dan para medios isotrópicos homogéneos lineales):

con lo que podemos transformar las ecuaciones de Maxwell a la forma siguiente:

4.2 Electrostática y magnetostática Cuando consideramos que los campos eléctrico y magnético no dependen del tiempo las ecuaciones de Maxwell se nos quedan en:

De

sacamos que el campo eléctrico se deriva del gradiente de un

potencial, es decir, De

, como se desprende de la ley de Coulomb.

deducimos que el campo magnético es el rotacional de un

potencial vector, es decir, partir de la ley de Biot-Savart.

, obteniendo el mismo resultado que a

4.3 Ecuaciones de Maxwell en el vacío Cuando estamos en el vacío podemos suponer que no existen fuentes (es decir, que

y

) y las ecuaciones de Maxwell nos quedan de la forma:

En este caso se puede demostrar que tanto el campo

como el campo

toman

la forma de una ecuación de ondas con una velocidad igual a la velocidad de la luz, de donde Maxwell extrajo la hipótesis de que la luz no eran más que ondas electromagnéticas propagándose en el vacío, hipótesis verificada esperimentalmente por Hertz algunos años después de la muerte de Maxwell. A partir de estas cuatro ecuaciones (dos de ellas vectoriales, con lo que en realidad son ocho ecuaciones escalares) se deduce la óptica electromagnética.

4.4 Caso general El caso más general se obtiene cuando se consideran campos dependientes del tiempo y con fuentes tanto escalares como vectoriales. En ese caso resulta muy práctico obtener una expresión que nos exprese el campo electromagnético como derivación de potenciales. De la ecuación

podemos extraer, de la teoría elemental de campos,

que . Si sustituímos esto en la ecuación del rotacional del campo eléctrico obtenemos:

Con lo cual ya tenemos dos expresiones que nos dan la forma de los campos y en función de dos potenciales y . Sin embargo estos potenciales presentan cierta libertad a la hora de escogerlos lo que les hace poseer una importante característica: una simetría gauge. En efecto, si tomamos un campo escalar y redifinimos los potenciales como y obtenemos el mismo campo electromagnético (que al fin y al cabo es nuestro observable).

5 Teoremas de conservación De las ecuaciones de Maxwell surgen de modo natural teoremas de conservación de la carga, la energía, el momento lineal y el momento angular. La ecuación de conservación de la carga se expresa mediante:

La ecuación de conservación de la energía toma la forma:

donde

es el vector de Poynting.

La ecuación de conservación del momento lineal es:

donde

es el tensor de tensiones de Maxwell con componentes

6 Obtención de las ecuaciones de Maxwell Históricamente las ecuaciones de Maxwell se obtuvieron a partir de leyes empíricas que se fueron generalizando de un modo inteligente hasta llegar al conocimiento actual de la interacción electromagnética desde el punto de vista clásico. Sin embargo es posible obtener las ecuaciones de Maxwell desde un punto de vista más teórico: la teoría de la relatividad. Podemos definir el cuadrivector potencial (se podría demostrar que éste se transforma como un cuadrivector) como:

y definir el tensor electromagnético como:

recorriendo los índices

,

los índices 0 ,

,

y

y siendo

Con todo esto el tensor electromagnético queda de la forma

.

Podemos definir también el cuadrivector corriente (aquí se usa el convenio según el cual los índices repetidos están sumados) de forma que las ecuaciones de Maxwell se recuperan mediante la ecuación

.

7 Aplicabilidad Las ecuaciones de Maxwell constituyen un pilar básico de la teoría electromagnética ya que por ahora se demostraron como válidas siempre. Esto es debido a que la teoría electromagnética siempre fue, sin saberlo, una teoría relativista. De hecho, cuando se estudia desde el punto de vista cuántico estas ecuaciones sólo deben ser revisadas para tener en cuenta el carácter discreto de los fotones, pero cuando tenemos gran cantidad de ellos podemos aplicar los resultados contínuos sin ningún problema. Introducción. Las ecuaciones de Maxwell permitieron ver en forma clara que la electricidad y el magnetismo son dos manifestaciones de un mismo fenómeno físico, elelectromagnetismo. El fenómeno era similar a la gravitación, cuyas leyes fueron descubiertas por Newton; así como un cuerpo masivo produce unafuerza gravitacional sobre otro, un cuerpo eléctricamente cargado y en movimiento produce una fuerza electromagnética sobre otro cuerpo cargado. La diferencia más importante es que la magnitud y la dirección de la fuerza electromagnética dependen de la carga del cuerpo que lo produce y también de su velocidad; por esta razón, la teoría del electromagnetismo es más complicada que la teoría newtoniana de la gravitación, y las ecuaciones de Maxwell son más complejas que la fórmula de Newton para la fuerza gravitacional. Un aspecto común entre la gravitación y el electromagnetismo es la existencia de una aparente acción a distancia entre los cuerpos, acción que tanto disgustaba a Newton. Maxwell no resolvió ese problema, pero inventó un concepto que desde entonces se ha utilizado constantemente en la física: el campo electromagnético. Según esta interpretación, en todo punto del espacio alrededor de una carga existe una fuerza electromagnética, cuya intensidad y dirección están definidas por medio de unas fórmulasmatemáticas. En realidad, más que un concepto, el campo es una definición que da cierta consistencia a la idea de que una carga eléctrica actúa sobre otra lejana, sin tener que recurrir a una acción a distancia. Sólo en el siglo XX se pudo encontrar cierta base física a este concepto, pero en tiempos de Maxwell el campo electromagnético era una noción matemática sumamente útil, descrita por ecuaciones, pero cuya realidad física trascendía toda interpretación teórica. El primer éxito, y el más notable, de la teoría de Maxwell fue la elucidación de la naturaleza de la luz.

Maxwell demostró, a partir de sus ecuaciones matemáticas, que la luz es una onda electromagnética que consiste en oscilaciones del campo electromagnético. Así quedaba establecida, más allá de cualquier duda, la naturaleza ondulatoria de la luz, tal como lo pensaba Huygens y en contra de la opinión de Newton. 2. Ecuaciones De Maxwell Introducción al curso. Este curso inicia con el estudio de las ecuaciones de Maxwell, tiene un requisito: FM320 (Electromagnetismo), en el cual se estudiaron las relaciones electrostáticas, con la ley experimental de Coulomb y se introdujo el estudio de los campos magnéticos estáticos producidos por el movimiento de cargas. Se estudió la distribución de cargas estacionarias y el movimiento uniforme de cargas (velocidad constante) . También se estudió la relación entre campos eléctricos y magnéticos provocada por el movimiento relativo de cargas. Y que un campo eléctrico estable que actúa sobre un conductor, forza en éste una corriente estable, la cual provoca a su vez un campo magnético estático. En este curso vamos a considerar un caso más general para los campos, es decir , consideraremos los campos que resultan del movimiento de cargas, el cual puede variar con el tiempo

.

Esto conduce a la propagación de la energía en la forma de ondas electromagnéticas. Las ecuaciones de Maxwell en su forma general son:

Ecuaciones de Maxwell Las ecuaciones de Maxwell son las ecuaciones que describen los fenómenos electromagnéticos. Reciben su nombre de James Clerk Maxwell quién recopiló la ley de Gauss para electricidad, la ley de Gauss para magnetismo, la ley de Faraday y la ley de Ampère. La gran contribución de Maxwell fue reunir en estas ecuaciones largos años de resultados experimentales, debidos a Coulomb,Gauss, Ampère, Faraday y otros, introduciendo los conceptos de campo y corriente de desplazamiento, y unificando los campos eléctricos y magnéticos en un solo concepto: el campo electromagnético. De las ecuaciones de Maxwell se desprende la existencia de ondas electromagnéticas propagándose con velocidad c:

El valor numérico de esta cantidad coincide con el valor de la velocidad de la luz en el vacío, con lo cual Maxwell identificó la luz con una onda electromagnética, unificando la óptica con el electromagnetismo.

Índice [ocultar]



1 Desarrollo histórico de las ecuaciones de Maxwell



2 Expresión integrodiferencial en el vacío



3 Expresión vectorial en el vacío



4 Expresión vectorial en medios materiales



5 Ecuaciones de Maxwell en el sistema CGS



6 Las ecuaciones de Maxwell en la Relatividad General



7 Referencias

[escribe]Desarrollo

histórico de las ecuaciones de Maxwell

La formulación moderna de las ecuaciones de Maxwell es debida a Oliver Heaviside y Willard Gibbs quienes en 1884 reformularon las ecuaciones originales de Maxwell en un sistema abreviado utilizando una notación vectorial. La formulación original de Maxwell databa de 1865 y contenía 20 ecuaciones de 20 variables. En 1873 Maxwell intento una formulación simplificada que finalmente no resultó popular. La formulación vectorial resultaba especialmente atractiva porque remarcaba las simetrías intrínsecas en las ecuaciones haciendo más fácil su utilización e inspirando aplicaciones posteriores.

[escribe]Expresión

integrodiferencial en el vacío

Expresándolas en el vacío estas leyes tiene la forma:

, (ley de Gauss para electricidad)

, (ley de Gauss para magnetismo)

, (ley de inducción de Faraday)

, (ley de Ampère) donde

es el campo eléctrico,

es el campo magnético,

es la corriente de carga que, en

parte, genera el campo magnético, Q es la carga estática que genera el campo eléctrico,

es la

constante dieléctrica del vacío y μ0 es la permeabilidad magnética del vacío. V es un volumen cualquiera dentro del cual está la carga Q, volumen V, S es una superficie no cerrada y

es la superficie cerrada que rodea el

es la curva cerrada que delimita la superficie S.

A estas ecuaciones integrales hay que añadir la ley de continuidad :

Esta ley indica que si una carga no puntual pierde cantidades menores de carga lo hace en forma de corriente. Maxwell reescribió estas ecuaciones integrales en forma diferencial haciéndolas compatibles. De este modo apareció la llamada corriente de desplazamiento definida como

[escribe]Expresión

vectorial en el vacío

Las ecuaciones de Maxwell, en el Sistema Internacional para el vacío son:



Ley de Gauss:



Ley de Gauss para el campo magnético:



Ley de Faraday:



Ley de Ampère-Maxwell:

donde ρ y

corresponden a la carga y densidad de corriente totales.

[escribe]Expresión

vectorial en medios materiales

En medios materiales se definen los campos

(vector desplazamiento eléctrico) y

magnético) gracias a los cuales las ecuaciones de Maxwell pueden expresarse de manera independiente al medio en el que estén inmersos los campos. Por definición

De este modo las ecuaciones de Maxwell quedan así:



Ley de Gauss:



Ley de Gauss para el campo magnético:



Ley de Faraday:

(campo



Ley de Ampère-Maxwell:

donde ahora ρ y

corresponden a la carga y densidad de corriente libres. Esta versión de las

ecuaciones es equivalente a la del vacío, pero para ser completas, deben ser suplementadas con relaciones constitutivas, propias de cada medio material:

  

[escribe]Ecuaciones

de Maxwell en el sistema CGS

A veces se utilizan en otro sistema de unidades (Gaussianas o CGS), más apropiado cuando se quiere trabajar en física microscópica:

 





vEcuación de onda La ecuación de onda es una importante ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden que describe la propagación de una variedad de ondas, como las ondas sonoras, las ondas de luz y las ondas en el agua. Es importante en varios campos como la acústica, el electromagnetismo y la dinámica de fluidos. Históricamente, el problema de una cuerda vibrante como las que están en losinstrumentos musicales fue estudiado por Jean le Rond d'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli y Joseph-Louis Lagrange.

Un pulso que viaja a través de una cuerda con sus extremos fijos es modelado por la ecuación de onda.

Las ondas esféricas provienen de una fuente puntual.

Contenido [ocultar]



1 Introducción



2 Ecuación de onda escalar en un espacio de una sola dimensión o

2.1 Obtención de la ecuación de onda 

o 

2.1.1 De la ley de Hooke

2.2 Solución del problema de valor inicial

3 La ecuación de onda escalar en un espacio de tres dimensiones o

3.1 Ondas esféricas

o

3.2 Solución de un problema de valor inicial general



4 Ecuación de onda escalar en un espacio de dos dimensiones



5 Problemas con fronteras o

5.1 En el espacio de una sola dimensión

o

5.2 En un espacio de varias dimensiones



6 La ecuación de onda no homogénea en una dimensión



7 Otros sistemas de coordenadas



8 Véase también



9 Referencias



10 Enlaces externos

[editar]Introducción La ecuación de onda es el ejemplo prototipo de una ecuación diferencial parcial hiperbólica. En su forma más elemental, la ecuación de onda hace referencia a unescalar u que satisface:

Donde

es el laplaciano y donde

es una constante equivalente a la velocidad de

propagación de la onda. Para una onda sonora en el aire a 20 °C, esta constante es de cerca de 343 m/s (véase velocidad del sonido). Para una cuerda vibrante, la velocidad puede variar mucho dependiendo de la densidad lineal de la cuerda y su tensión. Para un resorte de espiral (un slinky) puede ser tan lento como un metro por segundo. Un modelo más realista de la ecuación diferencial para ondas permite que la velocidad de propagación de la onda varíe con la frecuencia de la onda, a este fenómeno se le conoce como dispersión. En este caso,

deberá ser remplazado por la velocidad de fase:

Otra corrección común en sistemas realistas es que la velocidad puede depender también de la amplitud de la onda, lo que nos lleva a una ecuación de onda no lineal:

También hay que considerar que una onda puede ser transmitida en un portador móvil (Por ejemplo la propagación del sonido en el flujo de un gas). En tal caso el escalar u contendrá un Número Mach(el cual es positivo para la onda que se mueva a lo largo del flujo y negativo para la onda reflejada). La ecuación de onda elástica en tres dimensiones describe la propagación de onda en un medio elástico homogéneo isótropo. La mayoría de los materiales sólidos son elásticos, por lo que esa ecuación describe fenómenos tales como ondas sísmicas en la Tierra y las ondas de ultrasonido usadas para determinar defectos en los materiales. Aunque sea lineal, esta ecuación tiene una forma más compleja que las ecuaciones dadas arriba, porque debe tomar en cuenta los movimientos longitudinales y transversales:

Donde:



y

son los supuestos parámetros de Lamé que describen las propiedades

elásticas del medio.



es la densidad,



es la función de entrada (fuerza motriz),



y

es el desplazamiento.

Note que en esta ecuación, la fuerza y el desplazamiento son cantidades vectoriales. Esta ecuación es conocida a veces coma la ecuación de onda vectorial. Hay variaciones de la ecuación de onda que también pueden ser encontradas en mecánica cuántica y relatividad general.

[editar]Ecuación

de onda escalar en un espacio de una sola dimensión [editar]Obtención

de la ecuación de onda

[editar]De la ley de Hooke La ecuación de onda en el caso de una sola dimensión puede ser obtenida de la Ley de Hooke de la siguiente manera: imagina una serie de pequeños pesos de masa m, interconectados por resortes sin masa de longitud h. Los resortes tienen una rigidez de k:

Aquí u (x) mide de la distancia en equilibrio de la masa situada en x. La segunda ley de Newton aplicada sobre la masa

en el lugar

establece que:

La fuerza aplicada en este caso esta dada por la ley de Hooke:

La ecuación de movimiento para la masa

en el lugar x+h resulta:

donde la dependencia con el tiempo de u(x) se hace explícita. Si la serie de pesos consiste en N pesos espaciados uniformemente a lo largo de L = N h de la masa total M =N m, y la rigidez total de la serie K = k/N podemos escribir la ecuación anterior como:

Tomando el límite

(y suponiendo que

es suave) se consigue:

(KL2)/M es el cuadrado de la velocidad de propagación en este caso particular.

[editar]Solución

del problema de valor

inicial La solución general de la ecuación de onda escalar unidimensional

fue obtenida por d'Alembert. La ecuación de onda puede ser escrita de una forma factorizada:

Por consiguiente, si F y G son funciones arbitrarias, cualquier suma de la forma

satisfará la ecuación de onda. Los dos términos son ondas viajeras: cualquier punto de la forma de onda dada por un argumento específico ya sea F ó G se moverá con velocidad c ya sea hacia el frente o hacia atrás: hacia el frente para F y hacia atrás para G, estas funciones pueden ser determinadas para satisfacer condiciones iniciales arbitrarias:

El resultado es la fórmula de d'Alembert:

En el sentido clásico, si

y

entonces

. Sin

embargo, las formas de onda F y G también pueden ser generalizadas, tales como la función delta. En ese caso, la solución puede ser interpretada como un impulso que viaja hacia la derecha o hacia la izquierda. La ecuación de onda básica es una ecuación diferencial lineal la cual establece que la amplitud de las dos ondas que interactúan es simplemente la suma de las ondas. Esto también significa que el comportamiento de una onda se puede analizar al dividir la onda en sus componentes. La transformada de Fourier divide una onda sinusoidal en su componentes y es útil para el análisis de la ecuación de onda.

[editar]La

ecuación de onda escalar en un espacio de tres dimensiones La solución del problema de valor inicial para la ecuación de

onda en el espacio de tres dimensiones puede ser obtenida de la solución para una onda esférica. Este resultado puede utilizarse para obtener la solución en el espacio de dos dimensiones.

[editar]Ondas

esféricas La ecuación de onda no se modifica al rotar las coordenadas espaciales, y por lo tanto uno puede esperar encontrar soluciones que dependan solo de la distancia radial a un punto dado. Estas soluciones deberán cumplir

Esta ecuación puede ser reescrita como

la cantidad ru cumple con la ecuación del onda de una sola dimensión. Por lo tanto, hay soluciones en la forma

donde F y G son funciones arbitrarias. Cada término puede ser interpretado como una onda esférica que se expande o contrae a una velocidad c. Tales ondas son generadas por una fuente puntual y hacen posible señales agudas cuya forma solo se altera por una disminución en la amplitud cuando r aumenta (véase la ilustración de una onda esférica en la parte superior derecha). Tales ondas solo existen en casos de espacios con dimensiones impares.

Afortunadamente, vivimos en un mundo que tiene un espacio de tres dimensiones, de forma que podemos comunicarnos claramente con ondas acústicas y electromagnéticas. [editar]Solución

de un problema de valor inicial general

La ecuación de onda es lineal en u y se mantiene inalterada en las traslaciones en el espacio y el tiempo. Por lo tanto, podemos generar una gran variedad de soluciones al trasladar y asumir ondas esféricas. Hagamos que φ(ξ,η,ζ) sea una función arbitraria de tres variables independientes, y hagamos que la forma de onda esférica F sea una función delta: es decir, dejemos que F sea un pequeño límite de función continua cuya integral sea la unidad, pero cuyo apoyo (la región donde la función es distinta de cero) se reduce al origen. Hagamos que una familia de ondas esféricas tengan su centro en (ξ,η,ζ) y hagamos que r sea la distancia radial a partir de ese punto. Así

La ecuación de onda electromagnética es una ecuación de onda que nos sirve para caracterizar el movimiento de los campos eléctricos y magnéticos en un medio.

Los campos electromagnéticos se propagan por el espacio en forma de ondas, que pueden viajar a través de un medio así como en el vacío. Las ecuaciones de onda electromagnéticas son necesarias para describir la propagación de las ondas electromagnéticas, tanto en presencia de materia como en el vacío. [editar]Ecuaciones

de onda y las ecuaciones de Maxwell

Como se puede apreciar tenemos ecuaciones de onda tanto para el campo eléctrico como para el flujo magnético Maxwell teniendo que:

, que son obtenidas a partir de las ecuaciones de

Para obtener las ecuaciones es necesario aplicar el operador rotacional a ambas. [editar]Ecuación

Sustituyendo

de onda para E

y aplicando identidad de rotacional tenemos:

Ahora bien, sabemos que la segunda parte del lado izquierdo es cero y el vacío, quedándonos solo

Ahora, igualando a cero y sabiendo que tenemos la ecuación de onda para

[editar]Ecuación

, siendo c la velocidad de la luz,

:

de onda para B

Aplicando las mismas identidades que con queda:

Sustituyendo

es cero en

y sabiendo que

, también es cero, nos

e igualando a cero, tenemos la ecuación de onda para

.

Una onda electromagnética es la forma de propagación de la radiación electromagnética a través del espacio. Y sus aspectos teóricos están relacionados con la solución en forma de onda que admiten las ecuaciones de Maxwell. A diferencia de las ondas mecánicas, las ondas electromagnéticas no necesitan de un medio material para propagarse; es decir, pueden desplazarse por elvacío. Las ondas luminosas son ondas electromagnéticas cuya frecuencia está dentro del rango de la luz visible.

Espacio Libre

Antes de obtener la solución del caso general, es instructivo considerar el caso simple, aunque importante, de los fenómenos electromagnéticos en el espacio libre, o mejor dicho, en un dieléctrico perfecto exento de cargas (ρ=0) y de corrientes de conducción (J=0).

En este caso las ecuaciones vectoriales en forma diferencial de Maxwell se reducen a:

Partimos de la 2da ecuación y sacamos el rotacional en ambos miembros:

Como el rotacional es una diferenciación con respecto al espacio, podemos invertir el orden

Como μ y ε son independientes del tiempo, podemos invertir el orden de la diferenciación en y reemplazar (1.1)

recordando la identidad de Álgebra Vectorial, rotor del rotor de E, es igual al gradiente de la divergencia de E menos el Laplaciano de E

Combinando esta ecuación con la (1.6), obtenemos

Pero al ser el medio exento de cargas, la divergencia es nula

La ecuación anterior se convierte en:

que es la Ley que debe obedecer el campo eléctrico E.

Si diferenciamos (1.2) y tomamos el rotacional a (1.1), siguiendo un procedimiento análogo encontramos que H obedece a la misma ley, es decir:

Las ecuaciones (1.8) y (1.9) se conocen como Ecuaciones de Helmholtz (ecuaciones de onda electromagnetica), son ecuaciones diferenciales homogéneas de segundo orden cuya solución son las ecuaciones de onda. La primera condición, tanto para E y H, es que deben satisfacer la ecuación de onda. Notar que aunque E y H obedezcan a la misma ley, E no es igual a H.

Ondas Planas Uniformes Transversales Si expresamos el Laplaciano del vector campo eléctrico “E” en forma vectorial en función de sus componentes:

El vector campo eléctrico E, de la ecuación anterior equivale a tres ecuaciones escalares, una por cada componente escalar de E. Analizando cada componente escalar obtenemos nueve términos con derivadas segundas:

La ecuación (1.8) y por lo tanto la ecuación de onda se reduce en una forma muy simple en el caso especial en que E y H se consideren independientes de dos de las dimensiones: por ej, x e y.

Entonces el campo eléctrico solo será función de la dirección z:

En general, para una propagación plana y uniforme de una onda en dirección z, E puede tener componentes Ex y Ey pero no la Ez. Esto se debe a que la divergencia de E es igual a cero

En una onda plana uniforme en la que E sea independiente de x e y, son nulos los dos primeros términos de esta relación, de manera que se reduce a:

Por tanto, no hay variación de Ez en la dirección de z, esto exige que Ez sea o bien cero, constante en el tiempo o creciente uniformemente. Un campo que satisfaga a cualquiera de estas dos últimas no sería parte de una onda móvil, y por ello Ez puede igualarse a cero.

Si consideramos un medio homogéneo podemos ceñir nuestra atención a una de las componentes sin mengua de la generalidad, por ejemplo la Ex “componente en x”, de los nueve términos iniciales de (1.11) nos quedamos con uno solo

de manera que (1.8) queda de la forma:

Esta ecuación, es un caso particular de la Ecuación de Helmholtz general (1.8) , y se caracteriza por tener un término con derivada segunda con respecto al espacio y otro término con derivada segunda con respecto al tiempo.

La solución general es de la forma

Donde C1 y C2 son constantes de amplitud, vo es velocidad y f1 y f2 son funciones cualquiera (no necesariamente las mismas) que representan dos ondas, una que viaja hacia la derecha (alejándose de su generador) y otra que va hacia la izquierda (de vuelta al generador). Ex se compone de una onda incidente (1) y otra onda reflejada (2)

La expresión f(z-vot) representa la función f de la variable (z-vot), z indica el sentido de propagación y el signo negativo señala que la dirección de propagación es en el sentido positivo del eje.

Demostración de la Solución Si derivamos (1.15) dos veces seguidas en función de z

Si ahora derivamos la solución general con respecto al tiempo

Derivando nuevamente con respecto al tiempo, obtenemos la derivada segunda de la solución general con respecto al tiempo:

Ordenando la expresión tendremos:

Demostrando la igualdad de las ecuaciones (1.16) y (1.17).