Trabajo Colaborativo Fase 6 (1)

SEMIOTICA Y NOETICA FASE 6 – DISEÑAR UNA PROPUESTA DE ESTRATEGIA DIDÁCTICA PAOLA ANDREA SIERRA PATRICIA GUTIERREZ JOSE

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SEMIOTICA Y NOETICA FASE 6 – DISEÑAR UNA PROPUESTA DE ESTRATEGIA DIDÁCTICA

PAOLA ANDREA SIERRA PATRICIA GUTIERREZ JOSE LUIS BUELVAS ROCIO OVIEDO GUERRERO Grupo: 551118-5

Tutor: JOSE ALBERTO RIVERA PIRAGUATA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Diciembre de 2018

INTRODUCCIÓN

Siendo la evaluación una tarea escolar propuesta

con el fin de tomar

decisiones con base a los resultados obtenidos sobre el proceso de enseñanza aprendizaje. En este trabajo se expone el diseño de una estrategia didáctica con el fin de caracterizar el uso que los estudiantes hacen de los planos de expresiones, contenidos y reglas de correspondencia a partir de problemas matemáticos dados que requieren del uso, apropiación y aplicación de los conceptos básicos de las funciones lineales.

TÍTULO DE LA ESTRATEGIA DIDÁCTICA:

CONTEXTO: Las matemáticas se encuentran presentes en la vida cotidiana de los seres humanos, hoy en día nuestro mundo gira alrededor de los números, los símbolos y las representaciones. Las matemáticas contribuyen al desarrollo mental de cada individuo, en tanto que lo conduce a observar, analizar, razonar y proponer sobre situaciones que le son útiles para su desarrollo tanto personal como global. Sin embargo, entender las matemáticas no es tarea fácil para los educandos, son muchas las dificultades que se presentan hoy en día en los procesos de enseñanza aprendizaje de las matemáticas, sobre todo si se tiene en cuenta el carácter complejo de esta área del saber, la deficiencia en los aprendizajes previos, la dificultad en la comprensión, la representación y la selección de operaciones necesarias para la solución de un problema y hasta trastorno debido a una lesión cerebral. Para los educandos de octavo y noveno grado de educación media no son ajenas las dificultades antes mencionadas, es por tanto que a través del estudio de caso encontramos en las aulas de clases estudiantes con niveles de desempeño bajo respecto al área de matemáticas específicamente en el tema de las funciones lineales

OBJETIVO GENERAL: Diseñar

de una estrategia didáctica que permita caracterizar el uso que los

estudiantes hacen de los planos de expresiones, contenidos y reglas de correspondencia a partir de ejercicios y problemas matemáticos que requieren del uso, apropiación y aplicación de los conceptos básicos de las funciones lineales. OBJETIVOS ESPECÍFICOS: 

Descubrir con ayuda del programa geogebra una nueva forma de interpretar y representar funciones lineales.



Mostrar una actitud positiva en el trabajo en equipo, realizando la actividad de forma conjunta.



Deducir que por medio la simbolización de las funciones es una forma de compactar su concepto relacionando lo aprendido a través de la representación.

CONTENIDOS CONCEPTUALES

1. Función lineal En geometría analítica y álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado, es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como: f(x)=mx+b, donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m determina la pendiente o inclinación de la recta, y la constante b determina el punto de corte de la recta con el eje vertical y.

En el contexto del análisis matemático, las funciones lineales son aquellas que pasan por el origen de coordenadas, donde b=0, de la forma:

f(x)=mx, mientras que llaman función afín a la que tiene la forma:

f(x)=mx+b

Recordemos que una función es una correspondencia entre los elementos de un conjunto de partida, llamado Dominio, y los elementos de un conjunto de llegada, llamado Codominio, de forma tal que a cada elemento del dominio le corresponde uno, y solo uno, en el codominio. Definición: Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio son también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.

Definición

f: R —> R / f(x) = a. x + b donde a y b son números reales, es

una función lineal. Este último renglón se lee: f de R en R tal que f de equis es igual a a. x + b

Por ejemplo: son funciones lineales f: f(x) = 2x+5, g: g(x) = -3x+7, h: h(x) = 4 2. La representación gráfica de funciones es una recta, en un sistema de ejes perpendiculares. La inclinación de dicha recta está dada por la pendiente a y la ordenada en el origen es b. El punto de corte de la recta con el eje y es la ordenada en el origen y la llamamos b. Veamos un ejemplo:

Las funciones lineales son polinomios de primer grado Recordemos que los polinomios de primer grado tienen la variable elevada al exponente 1. Es habitual no escribir el exponente cuando este es 1. Ejemplos de funciones lineales: a(x) = 2x+7

b(x) = -4x+3

f(x) = 2x + 5

+ 7x – 3 De estas funciones, vemos que la f no está reducida y ordenada como las demás. Podemos reducir términos semejantes para que la expresión quede de una forma más sencilla, f(x) = 9x + 2 También recordemos que hemos convenido que cuando no establecemos en forma explícita el dominio y el codominio de una función, supondremos que es el mayor conjunto posible en cada caso. Por ejemplo, si hablamos de la función f, de dominio real y codominio real, tal que f(x)= 2x-6, anotaremos f: R ——-> R / f(x) = 2x-6 Siendo el dominio todos los números reales, R, y el codominio también, todos los números reales, R. Esto se lee " f de R en R tal que f de x es igual a 2x-6" Vamos a graficar esta función, que tal cual lo vimos en la definición, es una función lineal por ser de primer grado. Para graficarla haremos una tabla de valores. f: R ——> R / f(x) = 2x-6

Le vamos dando valores a "x". ¿Qué valores le podemos dar? Cualquiera que esté dentro del dominio. Por ejemplo, si x = 5, entonces f(x) pasa a ser f (5), que es f (5) = 2. (5)-6 f (5) = 4 Entonces al 5 le corresponde el 4. Nuestro punto es el (5,4).

3. ejemplos de representaciones gráficas.

f: R —> R / f(x) = a. x + t

4. Punto medio de un segmento de línea recta, es el punto que se encuentra a la misma distancia de cualquiera otros dos puntos o extremos de un segmento. Más generalmente punto equidistante en matemática, es el punto que se encuentra a la misma distancia de dos elementos geométricos, ya sean puntos, segmentos, rectas, etc. Si es un segmento, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. En ese caso, el punto medio es único y equidista de los extremos del segmento incrementos en funciones lineales. Dado un segmento, cuyos extremos tienen por coordenadas:

A=(x1,y1)} y B=(x2,y2). El punto medio, Pm, tendrá por coordenadas

5. Una función lineal cumple, además, que el incremento de los valores de los elementos del dominio es proporcional al incremento de los valores en el codominio, siempre que a no sea cero.

Este número a se llama pendiente o coeficiente angular de la recta.

Volvamos a esto ejemplos de funciones lineales f: f(x) = 2x+5, g: g(x) = 3x+7, h: h(x) = 4

f: f(x) = 2x+5 si x es 3, entonces f (3) = 2.3+5 = 11

si x es 4, entonces f (4) = 2.4+5 = 13

si x es 5, entonces f (5) = 2.5+5 = 15 Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, f(x), se incrementa en 2 unidades.

Preste atención en que los valores de x y de f(x) NO SON PROPORCIONALES.

Lo que son proporcionales son los incrementos.

g: g(x) = -3x+7 si x= 0, entonces g (0) = -3. (0) +7 = 0+7 = 7

si x= 1, entonces g (1) = -3. (1) +7 = -3+7 = 4

si x= 2, entonces g (2) = -3. (2) +7 = -6+7 = 1

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, g(x), disminuye en 3 unidades.

h: h(x) = 4

si x= 0, entonces h (0) = 4

si x= 98, entonces h (98) = 4

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, h(x), NO aumenta. Es la función constante. Su gráfica es una recta paralela al eje OX.

función constante

¿Qué diferencia fundamental y muy importante hay entre las funciones h y j?

Parecería, a primera vista, que son muy parecidas. Las "fórmulas" de ambas son iguales. h(x)=3 y j(x)=3

Sin embargo, son muy distintas porque mientras la función h tiene como dominio todos los números reales, la función j tiene como dominio los números naturales. Y como entre dos números naturales consecutivos no hay ningún otro número natural, no existe gráfica ni puntos entre ellos.

Esto es, entre el 17 y el 18 no hay ningún número natural. Entre el 17 y el 18 hay infinitos número reales. He ahí la diferencia.

La representación gráfica de h es una línea recta, pero la de j son puntos aislados, aunque son infinitos Esto, por supuesto, ocurre no solo si son funciones constantes. Es para cualquier función. El dominio es muy importante.

Cuando no se específica el dominio y codominio, se supone que son los mayores posibles. En el caso de las funciones lineales, es de R en R.

Veamos otro ejemplo Esta función, llamada q, ¿será lineal? Supongamos, además, que es una función de R en R.

Para determinar esto tenemos que ver si las diferencias entre los valores en el dominio y codominio son proporcionales. Esto es, si cambian en la misma razón.

Dominio: de 4 a 7 aumenta en 3

Codominio: de 1 a 2 aumenta en 1

Dominio: de 7 a 13 aumenta en 6 Por ahora, parece que si

Codominio: de 2 a 4 aumenta en 2.

Dominio: de 13 a 16 aumenta en 3 Se rompió la relación

Codominio: de 4 a 9 aumenta en 5

Dominio Codominio x 4 7 13 16

y 1 2 4 9

Cada 3 unidades de aumento en x, aumentaría en 1 en el codominio, pero el "9" no está de acuerdo con esto. ¿Qué número tendría que estar, en lugar del "9", para que sea una función lineal?

6. formas de determinar las funciones Las funciones se pueden determinar de varias formas: 

Mediante una tabla de valores.



Mediante su expresión analítica.



Mediante su gráfica.

7. Dominio o campo de existencia Dada una función f :R  R, se define el dominio o campo de existencia de la función como el conjunto de números reales x para los cuales existe f(x). Se representa mediante Dom (f). Dom( f )  xR/ existe f (x).

Si una función viene determinada por una fórmula, para obtener el dominio de la función debemos tener en cuenta, las restricciones que tienen las operaciones algebraicas con números reales: 

No está permitido dividir ningún número real por 0.



Se permiten radicales de índice par sólo si el radicando es mayor o igual a 0.



Se permiten logaritmos sólo si el argumento es mayor estricto que 0 Otros motivos.



Por el contexto del problema del cual se ha extraído la función.



Por voluntad o interés de quien propone la función.

8. Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos. Dada una función f :R  R, diremos que f es estrictamente creciente en un intervalo (a,b) si para todos los pares de valores x1 , x2 de dicho intervalo se verifica que: X2 > x1⇒ f(x2) > f(x1) Dada una función f :R  R, diremos que f es estrictamente decreciente en un intervalo (a,b) si para todos los pares de valores x1 , x2 de dicho intervalo se verifica que X2 > x1⇒ f(x2) < f(x1)

9. Crecimiento y decrecimiento. Dada una función f :R  R, diremos que f es creciente en un intervalo (a,b) si para todos los pares de valores x1 , x2 de dicho intervalo se verifica que X2 > x1⇒ f(x2) ≥ f(x1). Dada una función f :R  R, diremos que f es decreciente en un intervalo (a,b) si para todos los pares de valores x1 , x2 de dicho intervalo se verifica que X2 > x1⇒ f(x2) ≤ f(x1).

10. Máximos y mínimos (LOCALES) Diremos que una función f tiene un máximo local o relativo en x0 si existe un entorno de centro x0, (x0 – h, x0 + h), tal que para todo punto x perteneciente a dicho entorno se verifica que f (X) ≤ f (x0).

Diremos que una función f tiene un mínimo local o relativo en x0 si existe un entorno de centro x0, (x0 – h, x0 + h), tal que para todo punto x perteneciente a dicho entorno se verifica que f (X) ≥ f (x0).

11. Funciones acotadas. Diremos que una función f está acotada superiormente si existe un número M tal que el valor de la función en cualquier punto x del dominio cumple que f (x)  M . En este caso M es una cota superior. Del mismo modo diremos que una función f está acotada inferiormente si existe un número m tal que el valor de la función en cualquier punto x del dominio cumple que f (x)  m. Entonces diremos que m es una cota inferior.

12. Funciones periódicas. Diremos que una función f es periódica de periodo T si existe un número real positivo T tal que para cualquier punto x del dominio se verifica f (x T)  f (x)  f (x T).

MOMENTO O FASES DE LA ESTRATEGIA: Inicio

la clase iniciará con la exploración de los conocimientos previos a partir de una conversación socializada y un taller.

Desarrollo

Se realizará la explicación de la temática, luego para motivar y estimular el aprendizaje se desarrollará una dinámica la consiste en armar dos equipos que competirán por resolver unos ejercicios en los cuales de representar funciones a partir de datos dado. Para verificar si el resultado es correcto utilizaran el programa geogebra.

Cierre

Se realizará las siguientes actividades.  Reflexión de lo aprendido.  Lluvias de ideas para la resolución de problemas matemáticos.

RECURSOS A IMPLEMENTAR

Para la exploración de pre saberes Taller 1 y 2. Para el desarrollo Carteleras para las gráficas y el programa geogebra.

Materiales: Cartulinas, video beam.

Exploración de pre saberes: INSTRUMENTO TALLER 1: Conceptos básicos de la función lineal

Nombre: __________________________________________________ 1. El coeficiente de posición de la recta de ecuación 2y – 5 = 0 es: a) 0

b) -5

c) 2

d) –5/2

e) 5/2

2. La ecuación de la recta que intersecta al eje y en (0,3) y tiene pendiente 4 es: a) y = 3(x + 4)

b) y = 4(x + 3)

c) y = 3x + 4

3. El gráfico siguiente corresponde a la recta de ecuación:

d) y= 4x + 3

e) 3y = 4

y

x -2

a) y = x - 2

b) y = x + 2

c) y = -x + 2

d) y = -x - 2

e) y = -2

4. El punto medio del trazo formado por los puntos (-4,-2) y (2,0) es: a) (2,-2)

b) (1,-1)

c) (-3,-1)

d) (3,1)

e) Ninguna de las anteriores

5. Si el punto (p,4) pertenece a la recta 3x – 2y = 7, entonces p vale: a) 5

b) -5

d) –1/3

c) 1/3

e) 5/2

6. El valor de la pendiente en la ecuación lineal 2x – 3y = 1 es: a) 2

c) –1/3

b) -3

e) –2/3

d) 2/3

7. ¿Cuál de los siguientes puntos pertenece a la recta de ecuación x – y = -3? a) (5,2)

b) (0,-3)

c) (1,4)

d) (-2,-1)

e) (-1,5 ; -1,5)

8. El valor de la pendiente de la recta que pasa por los puntos (1,-2) y (-2,-1) es: a) –1/3

b) 1/3

c) -1

d) 3

e) -3

d) Coincidentes

e) Opuestas

9. Las rectas 6y – 4x + 6 = 0 y 3y – 2x – 9 = 0 son: a) Concurrentes

b) Paralelas

c) Perpendiculares

10. La función lineal de pendiente –2 y coeficiente de posición 3 es: a) y = 3x –2

b) y = -2x + 3

c) y = -2

d) y = 3

e) 2y = -3x

11. La ecuación de la recta que pasa por los puntos (5,6) y (-3,2) es: a) 2y = x + 7

b) y = 2x + 4

c) y = x – 7

d) 2y = x - 7

e) 2x + 8y = 10

12. La ecuación principal de la recta que pasa por el punto (-6,-2) y tiene pendiente 2/3 es: a) y 

2 x2 3

b) y 

2 x4 3

c) y 

2 x6 3

13. La distancia entre los puntos A(-3,-4) y B(1,-1) es:

d) y 

2 x2 3

e) y 

2 x4 3

a)

b)

13

41

d) 5

c) 4 2

e) 2 3

14. La ecuación de la recta que pasa por el punto (-2,0) y es perpendicular a la recta 3x + y = 2 es: a) y = x + 2

b) y = 2x + 3

c) y 

1 x2 3

d) y 

1 x2 3

e) y 

x2 3

15. Para que las rectas L1: 6y – x = 8 y L2: ax + y = 7, sean perpendiculares el valor de a debe ser: b) –1/6

a) 1/6

c) -6

d) 3

e) 6

INSTRUMENTO TALLER 2: Problemas matemáticos

Nombre: __________________________

Grado:______

Fecha: ________

1. Un joven luchador decidió comenzar una dieta especial alta en proteínas para ganar peso rápidamente. Pesaba 90 kilogramos cuando empezó, y ganó peso a una razón constante. Después de 8 meses, pesaba 138 kilogramos. Sea W(t) el peso W (en kilogramos) del luchador como función del tiempo t (en meses). 

Escribe la fórmula de la función

W(t) = Recuerda que: La fórmula deseada se puede escribir en la forma pendienteordenada al origen: W(t)= mt+ b En esta forma m, nos da la pendiente de la gráfica de la función y b, nos da la ordenada al origen. Nuestro objetivo es encontrar los valores de b y m, y sustituirlos en esta fórmula.

2. El nivel de contaminación de una ciudad a las 6 de la mañana es de 30 partes por millón y crece de forma lineal 25 partes por millón cada hora. Sea y la contaminación en el instante t después de las 6 de la mañana. 

Hallar la ecuación que relaciona y con t.



Calcular el nivel de contaminación a las 4 de la tarde

3. En las 10 primeras semanas de cultivo de una planta, que medía 2 cm, se ha observado que su crecimiento es directamente proporcional al tiempo, viendo que en la primera semana ha pasado a medir 2.5 cm. 

Establecer una función a fin que dé la altura de la planta en función del tiempo y representar gráficamente.

F(t) =

4. Una piscina es llenada por una manguera en forma constante de modo que la altura alcanzada por el agua aumenta 20 cm por cada hora que transcurre. Si inicialmente el agua que había en la piscina llegaba a una altura de 1,2 m 

¿cuál es la ecuación de la función que determina la altura (h) del agua después de transcurrida t horas?

5. Un algodonero recoge 30 Kg cada hora, y demora media hora preparándose todos los días cuando inicia la jornada. La función lineal que representa esta situación es y = 30x – 15 donde y representa los Kg de algodón recogido y x el tiempo transcurrido en horas. ¿Cuantos Kg de algodón se recogerán en una jornada de 8 horas?

Para el desarrollo Representa las funciones con los siguientes datos: 1. 2. 3. 4.

Tiene pendiente −3 y ordenada en el origen −1. Tiene por pendiente 4 y pasa por el punto (−3, 2). Pasa por el punto P(2, −3) y es paralela a la recta de ecuación y = −x + 7. En las 10 primeras semanas de cultivo de una planta, que medía 2 cm, se ha observado que su crecimiento es directamente proporcional al tiempo, viendo que en la primera semana ha pasado a medir 2.5 cm. Establecer una función a fin que dé la altura de la planta en función del tiempo y representar gráficamente.

RESULTADOS ESPERADOS: Desde un principio se trabajó en definir conceptos con el fin de abordar temas de bachillerato con el fin de identificar que la investigación lo busca es constituirse en un aporte práctico para la construcción de sentido o teoría a partir de la experiencias y vivencias de la acción pedagógica de los docentes, luego se hizo un instrumento para que se evidencie que los maestros desarrollan el trabajo de proyectos de aula como una estrategia didáctica y su contribución en la generación de competencias investigativas. Después de haber realizado dichos trabajos podemos decir que los resultados esperados fueron los mejores ya que el cambio fue bastante notorio luego de haber aplicado el instrumento

CONCLUSIONES

Para que una evaluación sea un instrumento que permita diagnosticar sobre el proceso de enseñanza aprendizaje, es necesario que el docente analice, investigue, seleccione los contenidos y diseñe el instrumento de modo tal que de manera planificada e intencionada se lleve al alumno, a la apropiación crítica de los conceptos, teorías, principios y procedimientos relevantes del tema. Es por ello, que al aplicar el instrumento diseñado en la fase anterior, nos permitió reconocer en los estudiantes sus fortalezas y dificultades respecto a los contenidos abordados. Además, de darnos la oportunidad de diseñar o rediseñar contenidos y estrategias didáctico pedagógicas a fin de minimizar las dificultades encontradas.

ANEXOS

REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA:

Función lineal - Sector Matemática https://www.sectormatematica.cl/pruebas/NM2/NM2_funcion%20lineal2.doc

Matemática funcion lineal - x.edu.uy Matemática http://www.x.edu.uy/lineal.htm

Problema de aplicación de la función lineal - Precalculo321 https://sites.google.com/site/precalculo321/1--temario/17---problema-de-aplicacionde-la-funcion-lineal

Macías Sánchez, J. (2014) Los registros semióticos en Matemáticas como elemento personalizado en el aprendizaje.Revista de Investigación Educativa Conect@2, 4(9): 27-57. https://www.movilred.co/images/uploads/325867118Educaciojn.pdf

Tema 3 funciones https://www.uam.es/personal_pdi/economicas/portega/curso-cero/curso-cero-matsept-2010-tema-3.pdf

Ejercicios de gráficas y funciones - Vitutor https://www.vitutor.com/fun/1/a_a.html

Problema de aplicación de la función lineal - Precalculo321 https://sites.google.com/site/precalculo321/1--temario/17---problema-de-aplicacionde-la-funcion-lineal