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• Diego Rodriguez

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FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS

PROYECTO GRUPAL

Institución Universitaria Politécnico Grancolombiano

Trabajo Colaborativo

Calculo III

INTEGRANTES:

TUTOR: Jesús Cortes

INSTITUCIÒN UNIVERSITARIA POLITECNICO GRANCOLOMBIANO FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS COLOMBIA / 2018

Contenido Ejercicio ................................................................................................................... 2 1. Muestre que la magnitud de la curva, ∥ 𝒄𝒕 ∥ 𝒆𝒔 ∥ 𝒄𝒕 ∥= 𝒂𝒆𝒃𝒕 ....................... 3 2. Muestre que el vector tangente a la curva es: ............................................... 4 3. Muestre que la rapidez de la curva está dada por la expresión .................... 4

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4. Teniendo en cuenta los resultados obtenidos hasta el momento, muestre que el ángulo entre la curva y su vector tangente depende de la expresión: ....... 5 5. Si b ⟶ 0 ¿qué puede concluir acerca del ángulo, la línea radial y tangencial?........................................................................................................... 6 6. Si b ⟶ ∞ ¿qué puede concluir acerca del ángulo, la línea radial y tangencial?........................................................................................................... 6 7. De una breve reseña sobre la spira Mirabilis (10 renglones máximo) ........... 6 8. Bibliografía ........................................................................................................ 7

Ejercicio La espiral logarítmica, llamada la spira mirabilis o eadem mutata resugno es una curva para métrica de la forma.

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Se requiere estudiar una propiedad geométrica de la espiral logarítmica que involucra el ángulo entre su línea radial y su línea tangencial. Efectúe los siguientes cálculos para comprobar la propiedad:

1. Muestre que la magnitud de la curva, ∥ 𝒄(𝒕) ∥ 𝒆𝒔 ∥ 𝒄(𝒕) ∥= 𝒂𝒆𝒃𝒕 ∥ 𝑐(𝑡) ∥= √(𝑎𝑒 𝑏𝑡 cos(𝑡))2 + (𝑎𝑒 𝑏𝑡 sin(𝑡))2 ∥ 𝑐(𝑡) ∥= √(𝑎𝑒 𝑏𝑡 ) 2 ∗ 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑡) + (𝑎𝑒 𝑏𝑡 ) 2 ∗ 𝑠𝑖𝑛2 (𝑡)

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∥ 𝑐(𝑡) ∥= √(𝑎𝑒 𝑏𝑡 ) 2 [𝑐𝑜𝑠 2 (𝑡) + 𝑠𝑖𝑛2 (𝑡)] Como 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑡) + 𝑠𝑖𝑛2 (𝑡) = 1 ∥ 𝑐(𝑡) ∥= √(𝑎𝑒 𝑏𝑡 ) 2 ∥ 𝑐(𝑡) ∥= 𝑎𝑒 𝑏𝑡

2. Muestre que el vector tangente a la curva es:

𝑐 ′ (𝑡) = (𝑎𝑒 𝑏𝑡 (b ∗ cos(𝑡) − sin(𝑡))) 𝑖 + (𝑎𝑒 𝑏𝑡 (b ∗ sin(𝑡) + cos(𝑡))) 𝑗 Solución: 𝑐(𝑡) = (𝑎𝑒 𝑏𝑡 cos(𝑡))𝑖,

(𝑎𝑒 𝑏𝑡 sin (𝑡))𝑗

′

′

𝑐 ′ (𝑡) = [(𝑎𝑒 𝑏𝑡 ) ∗ cos(𝑡) + 𝑎𝑒 𝑏𝑡 ∗ (cos(𝑡))′ ] 𝑖 + [(𝑎𝑒 𝑏𝑡 ) ∗ sin(𝑡) + 𝑎𝑒 𝑏𝑡 ∗ (sin(𝑡))′ ] 𝑗 𝑐 ′ (𝑡) = [𝑎𝑏𝑒 𝑏𝑡 ∗ cos(𝑡) − 𝑎𝑒 𝑏𝑡 sin(𝑡)]𝑖 + [𝑎𝑏𝑒 𝑏𝑡 ∗ sin(𝑡) + 𝑎𝑒 𝑏𝑡 ∗ cos(𝑡)]𝑗 𝑐 ′ (𝑡) = [𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏 ∗ cos(𝑡) − sin(𝑡)) ]𝑖 + [𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏 ∗ sin(𝑡) + cos(𝑡))]𝑗

3. Muestre que la rapidez de la curva está dada por la expresión 𝑠(𝑡) = 𝑎𝑒 𝑏𝑡 √𝑏 2 + 1 𝑠(𝑡) = √[𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏 ∗ cos(𝑡) − sin(𝑡)) ]2 + [𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏 ∗ sin(𝑡) + cos(𝑡))]2 𝑠(𝑡) = √[(𝑎𝑒 𝑏𝑡 )2 (𝑏 ∗ cos(𝑡) − sin(𝑡)) 2 ] + [(𝑎𝑒 𝑏𝑡 )2 (𝑏 ∗ sin(𝑡) + cos(𝑡))2 ]

= √[(𝑎𝑒 𝑏𝑡 )2 (𝑏 2 cos 2(𝑡) − 2𝑏 cos(𝑡) sin(𝑡) + sin2 (𝑡)) ] + [(𝑎𝑒 𝑏𝑡 )2 (𝑏2 sin2(𝑡) + 2𝑏 sin(𝑡) cos(𝑡) + cos 2(𝑡))] = √(𝑎𝑒 𝑏𝑡 )2 [(𝑏 2 cos 2(𝑡) − 2𝑏 cos(𝑡) sin(𝑡) + sin2 (𝑡)) + (𝑏 2 sin2 (𝑡) + 2𝑏 sin(𝑡) cos(𝑡) + cos2 (𝑡))] = 𝑎𝑒 𝑏𝑡 √[𝑏 2 cos 2(𝑡) + sin2(𝑡) + 𝑏 2 sin2 (𝑡) + cos 2(𝑡)]

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sin2 (𝑡) + cos 2(𝑡) = 1, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:

como

= 𝑎𝑒 𝑏𝑡 √[𝑏 2 cos 2(𝑡) + 1 + 𝑏 2 sin2(𝑡)] = 𝑎𝑒 𝑏𝑡 √[(𝑏 2 (cos2(𝑡) + sin2 (𝑡))) + 1] sin2 (𝑡) + cos 2(𝑡) = 1, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:

como

= 𝑎𝑒 𝑏𝑡 √[(𝑏 2 ∗ 1) + 1] = 𝑎𝑒 𝑏𝑡 √𝑏 2 + 1

4. Teniendo en cuenta los resultados obtenidos hasta el momento, muestre que el ángulo entre la curva y su vector tangente depende de la expresión:

∝= 𝑐𝑜𝑠 −1 (

𝑐(𝑡) ∗ 𝑐 ′ (𝑡) 𝑏 ) ) = 𝑐𝑜𝑠 −1 ( ′ ∥ 𝑐(𝑡) ∥∗ ∥ 𝑐 (𝑡) ∥ √𝑏 2 + 1

∝= 𝑐𝑜𝑠

= 𝑐𝑜𝑠

−1

(

−1

𝑐(𝑡) ∗ 𝑐 ′ (𝑡) ( ) ∥ 𝑐(𝑡) ∥∗ ∥ 𝑐 ′ (𝑡) ∥

((𝑎𝑒 𝑏𝑡 cos(𝑡))𝑖 + (𝑎𝑒 𝑏𝑡 sin (𝑡) )𝑗) ∗ [𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏 cos(𝑡) − sin(𝑡)) ]𝑖 + [𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏 sin(𝑡) + cos(𝑡))]𝑗 𝑎𝑒 𝑏𝑡 ∗ 𝑎𝑒 𝑏𝑡 √𝑏2 + 1

2

= 𝑐𝑜𝑠

−1

2

(𝑎𝑒 𝑏𝑡 ) (𝑏𝑐𝑜𝑠 2 (𝑡) − cos(𝑡) sin(𝑡)) + (𝑎𝑒 𝑏𝑡 ) (𝑏𝑠𝑖𝑛2 (𝑡) + cos(𝑡) sin(𝑡)) ( ) (𝑎𝑒 𝑏𝑡 )2 √𝑏 2 + 1 2

Saco factor común (𝑎𝑒 𝑏𝑡 )

2

= 𝑐𝑜𝑠

−1

(𝑎𝑒 𝑏𝑡 ) [(𝑏𝑐𝑜𝑠 2 (𝑡) − cos(𝑡) sin(𝑡)) + (𝑏𝑠𝑖𝑛2 (𝑡) + cos(𝑡) sin(𝑡))] ( ) (𝑎𝑒 𝑏𝑡 )2 √𝑏 2 + 1

)

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= 𝑐𝑜𝑠 −1 (

[𝑏𝑐𝑜𝑠 2 (𝑡) + 𝑏𝑠𝑖𝑛2 (𝑡)] ) √𝑏 2 + 1

Como 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑡) + 𝑠𝑖𝑛2 (𝑡) = 1 = 𝑐𝑜𝑠 −1 (

𝑏(𝑐𝑜𝑠 2 (𝑡) + 𝑠𝑖𝑛2 (𝑡)) √𝑏 2 + 1

) = 𝑐𝑜𝑠 −1 (

𝑏 √𝑏 2 + 1

)=

5. Si b ⟶ 0 ¿qué puede concluir acerca del ángulo, la línea radial y tangencial? ∝= 𝒄𝒐𝒔−𝟏 (

𝟎 √𝟎𝟐 + 𝟏

) = 𝒄𝒐𝒔−𝟏 (

𝟎 √𝟏

) = 𝒄𝒐𝒔−𝟏 (𝟎) = 𝟗𝟎

Revisando la ecuación como se observa el Angulo seria de 90°, teniendo en cuenta poder concluir que la línea radial y la tangente de la curva forman este ángulo, el cual sería posible cuando esta se torna como una circunferencia.

6. Si b ⟶ ∞ ¿qué puede concluir acerca del ángulo, la línea radial y tangencial? ∝= 𝑐𝑜𝑠

𝑏 𝑏

−1

(

√

𝑏2 𝑏2

+

1 𝑏2 )

= 𝑐𝑜𝑠 −1 (1) = 0

Observando la ecuación presentada puedo concluir acerca del ángulo seria 0°, donde la línea radial y la tangente de la curva forma están en la misma dirección y sentido, el cual sería posible cuando este se torna como una línea recta.

7. De una breve reseña sobre la spira Mirabilis (10 renglones máximo) El origen del estudio se puede evidenciar el crecimiento de las curvas definidas según sea su movimiento con la velocidad angular donde las características que son fundamentales de este espiral donde las rotaciones tienen directamente vínculos geométricos o

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exponenciales, también entendemos que las curvas mecánicas son las que las ecuaciones no es un polinomio donde el precursor fue DESCARTES que en 1638 comunico sus investigaciones sobre esta curva. Se estaba buscando una curva de tal forma creciente con las propiedades similares de las que puede tener las circunferencias, donde podemos concluir que descartes tenía que la tangente en cada punto de corte la radio vector siendo siempre el mismo ángulo. Por último, se define en su totalidad que es una clase de curva espiral aparece frecuentemente en toda la biodiversidad de la naturaleza construyendo una espiral logarítmica. (Perez, 2018) (EcuRed, 2012)

8. Bibliografía EcuRed. (01 de 01 de 2012). Conocimiento para todos. Obtenido de Educacion de calidad: https://www.ecured.cu/Espiral_logar%C3%ADtmica Perez, V. (10 de 06 de 2018). Laguia Matematica. Obtenido de Espiral Logaritmica: https://matematica.laguia2000.com/general/espiral-logaritmica