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1 TRABAJO COLABORATIVO CALCULO III

Integrantes: Yuri Rosio Díaz Pantoja

código: 1911980109

Nataly Yusney Arévalo Sua

código: 1621026129

José Reinel Zuleta Garcia

código: 1621022403

Harold Andrés Parra Gómez

código: 1621022050

Tutor: Pérez Edwin

Institución Universitaria Politécnico Grancolombiano Facultad de ingeniería y ciencias básicas Calculo III Colombia 13-06-2020

2 Tabla de contenido

1.

Introducción ................................................................................................................. 3

2.

Objetivo general .......................................................................................................... 4 2.1

Objetivos específicos ............................................................................................... 4

3.

Justificación ................................................................................................................. 5

4.

Desarrollo de la Actividad ........................................................................................... 6 4.1. Parte 1: ........................................................................................................................ 6 4.1.1. Mostrar la magnitud de la curva: ............................................................................. 6 4.1.2. Mostrar que el vector tangente a la curva es: .......................................................... 7 4.1.3. Mostrar la rapidez de la curva mediante la expresión: ............................................ 7 4.1.4. Mostrar el ángulo de la curva: ................................................................................. 9 4.1.5. Dar una breve reseña sobre la spira Mirabilis: ...................................................... 10 4.2. Parte 2: ...................................................................................................................... 11 4.2.1. Explicación sobre el significado de las derivadas parciales: ................................. 11 4.2.2. Cálculo de la derivada direccional: ....................................................................... 12

5.

Conclusiones .............................................................................................................. 14

6.

Referencias ................................................................ ¡Error! Marcador no definido.

3 1. Introducción El cálculo vectorial es una rama de las matemáticas la cual se enfoca en el análisis real de multivariables de vectores en dos o mas magnitudes. Lo cual consiste en un conjunto de fórmulas y técnicas para dar solución a problemas cotidianos en la Ingeniería y la física. En cuanto al cálculo es necesario para determinar distancias con precisión, capacidad de almacenamiento, procesos de la producción de la industria entre otros. Mediante el calculo se obtiene grandes ventajas ya que proporciona precisión en cada uno de los procesos generando seguridad y calidad.

4 2. Objetivo general

Manejar y aplicar adecuadamente los conceptos, métodos y procedimientos de Calculo III mediante el uso de herramientas para garantizar un óptimo trabajo afianzado nuestro conocimiento.

2.1 Objetivos específicos •

Comprender el uso de las herramientas para una óptima aplicación de los recursos.

•

Interpreta analítica y geométricamente el concepto de espiral.

•

Realizar diferentes estudios para garantizar la correcta aplicación de cada concepto y formulación.

•

Desarrollar habilidades para transformar datos en información útil para la toma de decisiones.

•

Identificar mediante expresiones matemáticas que es posible analizar el entorno natural.

5 3. Justificación

La investigación y aplicación de cada uno de los conceptos de la Spira Mirabilis, es fundamental para la apropiación del concepto y una mejor comprensión. Dentro de esta investigación se planteó el objetivo de interpretar y analizar geométricamente el concepto de espiral lo cual se hace por medio de aplicaciones directas mediante sus respectivos métodos y desarrollo de cada ecuación.

6 4. Desarrollo de la Actividad 4.1. Parte 1: La espiral logarítmica, llamada la spira mirabilis o eadem mutata resugno es una curva paramétrica de la forma 𝑐(𝑡) = (𝑎𝑒 𝑏𝑡 cos(𝑡) , 𝑎𝑒 𝑏𝑡 sin(𝑡)) Donde a y b son números reales positivos.

Se quiere estudiar una propiedad geométrica de la espiral logarítmica que involucra el ángulo entre su línea radial y su línea tangencial. A continuación, realice los siguientes cálculos para comprobar la propiedad:

4.1.1. Mostrar la magnitud de la curva: Muestre que la magnitud de la curva, ||𝑐(𝑡)|| 𝑒𝑠 ||𝑐(𝑡)|| = 𝑎𝑒 𝑏𝑡

La magnitud de un de la curva es: 2

2

2

||𝑐(𝑡)|| = √(𝑥(𝑡)) + (𝑦(𝑡)) + (𝑧(𝑡)) Entonces:

||𝑐(𝑡)|| = √(𝑎𝑒 𝑏𝑡 cos(𝑡))2 + (𝑎𝑒 𝑏𝑡 sin(𝑡))2 + (0)2 ||𝑐(𝑡)|| = √𝑎2 𝑒 2𝑏𝑡 cos2 (𝑡) + 𝑎2 𝑒 2𝑏𝑡 sin2 (𝑡)

7 Sacando factor común 𝑎2 𝑒 2𝑏𝑡 ||𝑐(𝑡)|| = √𝑎2 𝑒 2𝑏𝑡 (cos2(𝑡) + sin2(𝑡)) Aplicando la siguiente identidad trigonométrica: cos2 (𝑡) + sin2 (𝑡) = 1 ||𝑐(𝑡)|| = √𝑎2 𝑒 2𝑏𝑡 (1) ||𝑐(𝑡)|| = √𝑎2 𝑒 2𝑏𝑡 ||𝑐(𝑡)|| = √𝑎2 𝑒 2𝑏𝑡 ||𝑐(𝑡)|| = 𝑎𝑒 𝑏𝑡

4.1.2. Mostrar que el vector tangente a la curva es: 𝑐 ′ (𝑡) = (𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏𝑐𝑜𝑠(𝑡) − sin(𝑡))) 𝑖 + (𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏𝑠𝑖𝑛(𝑡) + cos(𝑡))) 𝑗 Tenemos la curva: 𝑐(𝑡) = (𝑎𝑒 𝑏𝑡 cos(𝑡))𝑖 + (𝑎𝑒 𝑏𝑡 sin(𝑡))𝑗 𝑐′(𝑡) = (𝑎𝑒 𝑏𝑡 ∗ 𝑏 cos(𝑡) + 𝑎𝑒 𝑏𝑡 ∗ −sin (𝑡))𝑖 + (𝑎𝑒 𝑏𝑡 ∗ 𝑏 sin(𝑡) + 𝑎𝑒 𝑏𝑡 cos (𝑡))𝑗 Organizando: 𝑐′(𝑡) = (𝑎𝑏𝑒 𝑏𝑡 cos(𝑡) − 𝑎𝑒 𝑏𝑡 sin (𝑡))𝑖 + (𝑎𝑏𝑒 𝑏𝑡 sin(𝑡) + 𝑎𝑒 𝑏𝑡 cos (𝑡))𝑗 Sacando factor común 𝑎𝑒 𝑏𝑡 𝑐′(𝑡) = (𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏 cos(𝑡) − sin (𝑡)))𝑖 + (𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏 sin(𝑡) + cos(𝑡))) 𝑗

4.1.3. Mostrar la rapidez de la curva mediante la expresión: La rapidez de la curva está dada por la expresión 𝑠(𝑡) = 𝑎𝑒 𝑏𝑡 √𝑏 2 + 1 Sabemos que la derivada de c(t) es decir, c’(t) es la velocidad en forma de vector, por lo tanto, la magnitud de ||c’(t)|| es s(t).

8 𝑐′(𝑡) = (𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏 cos(𝑡) − sin (𝑡)))𝑖 + (𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏 sin(𝑡) + cos(𝑡))) 𝑗 2

2

||𝑐 ′(𝑡) || = √(𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏cos(t) − sin(t))) + ((𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏 sin(𝑡) + cos(𝑡))) 2

2

𝑠(𝑡) = √(𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏cos(t) − sin(t))) + ((𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏 sin(𝑡) + cos(𝑡))) 𝑠(𝑡) = √𝑎2 𝑒 2𝑏𝑡 (𝑏cos(t) − sin(t))2 + 𝑎2 𝑒 2𝑏𝑡 (𝑏 sin(𝑡) + cos(𝑡))2

Sacando factor común 𝑎2 𝑒 2𝑏𝑡 𝑠(𝑡) = √𝑎2 𝑒 2𝑏𝑡 ((𝑏cos(t) − sin(t))2 + (𝑏 sin(𝑡) + cos(𝑡))2 ) 𝑠(𝑡) = 𝑎𝑒 𝑏𝑡 √((𝑏cos(t) − sin(t))2 + (𝑏 sin(𝑡) + cos(𝑡))2 )

Desarrollando: 𝑠(𝑡) = 𝑎𝑒 𝑏𝑡 √𝑏2 cos2 (𝑡) − 2bcos(t) sin(t) + sin2 (𝑡) + 𝑏 2 sin2(𝑡) + 2bsin(t)cos(𝑡) + cos2 (𝑡) 𝑠(𝑡) = 𝑎𝑒 𝑏𝑡 √𝑏2 cos2 (𝑡) + sin2 (𝑡) + 𝑏 2 sin2 (𝑡) + cos 2(𝑡) Agrupamos: 𝑠(𝑡) = 𝑎𝑒 𝑏𝑡 √(𝑏2 cos2 (𝑡) + 𝑏 2 sin2 (𝑡)) + (sin2 (𝑡) + cos 2(𝑡)) 𝑠(𝑡) = 𝑎𝑒 𝑏𝑡 √𝑏2 (cos2(𝑡) + sin2(𝑡)) + (sin2 (𝑡) + cos 2(𝑡))

Aplicando la identidad trigonométrica: cos2 (𝑡) + sin2 (𝑡) = 1 𝑠(𝑡) = 𝑎𝑒 𝑏𝑡 √𝑏2 (1) + (1) 𝑠(𝑡) = 𝑎𝑒 𝑏𝑡 √𝑏2 + 1

9 4.1.4. Mostrar el ángulo de la curva: Teniendo en cuenta los resultados obtenidos hasta el momento, muestre que el ángulo entre la curva y su vector tangente depende de la expresión.

𝛼 = cos −1 (

𝑐(𝑡) ∗ 𝑐 ′ (𝑡) 𝑏 ) ) = cos−1 ( ′ ||𝑐(𝑡)||||𝑐 (𝑡)|| √𝑏 2 + 1

Tenemos: 𝑐(𝑡) = (𝑎𝑒 𝑏𝑡 cos(𝑡))𝑖 + (𝑎𝑒 𝑏𝑡 sin(𝑡))𝑗 𝑐 ′(𝑡) = (𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏cos(t) − sin(t))) 𝑖 + ((𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏 sin(𝑡) + cos(𝑡))) 𝑗 ||𝑐(𝑡)|| = 𝑎𝑒 𝑏𝑡 ||𝑐 ′(𝑡) || = 𝑎𝑒 𝑏𝑡 √𝑏2 + 1 Reemplazando: 𝛼 = cos −1 (

((𝑎𝑒 𝑏𝑡 cos(𝑡))𝑖 + (𝑎𝑒 𝑏𝑡 sin(𝑡))𝑗) + ((𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏cos(t) − sin(t)))𝑖 + ((𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏 sin(𝑡) + cos(𝑡)))𝑗) 𝑎𝑒 𝑏𝑡 ∗ 𝑎𝑒 𝑏𝑡 √𝑏 2 + 1

𝑐(𝑡) ∗ 𝑐 ′ (𝑡) = (𝑎𝑒 𝑏𝑡 cos(𝑡)) ∗ (𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏cos(t) − sin(t))) + (𝑎𝑒 𝑏𝑡 sin(𝑡)) ∗ ((𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏 sin(𝑡) + cos(𝑡)))

La componente en i 2

(𝑎𝑒 𝑏𝑡 cos(𝑡)) ∗ (𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏cos(t) − sin(t))) = (𝑎𝑒 𝑏𝑡 ) (𝑏cos 2(𝑡) − sin(𝑡) cos (𝑡)) La componente j 2

(𝑎𝑒 𝑏𝑡 sin(𝑡)) ∗ ((𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏 sin(𝑡) + cos(𝑡))) = (𝑎𝑒 𝑏𝑡 ) (𝑏sin2(𝑡) + sin(𝑡) cos (𝑡)) 2

𝛼 = cos

−1

2

(𝑎𝑒 𝑏𝑡 ) (𝑏sin2 (𝑡) + sin(𝑡) cos (𝑡)) + (𝑎𝑒 𝑏𝑡 ) (𝑏cos 2(𝑡) − sin(𝑡) cos (𝑡)) ( ) 𝑎𝑒 𝑏𝑡 ∗ 𝑎𝑒 𝑏𝑡 √𝑏 2 + 1 2

Sacando factor común (𝑎𝑒 𝑏𝑡 )

2

𝛼 = cos

−1

(𝑎𝑒 𝑏𝑡 ) {(𝑏sin2(𝑡) + sin(𝑡) cos (𝑡)) + (𝑏cos 2(𝑡) − sin(𝑡) cos (𝑡))} ( ) 𝑎𝑒 𝑏𝑡 ∗ 𝑎𝑒 𝑏𝑡 √𝑏 2 + 1

)

10 2

𝛼 = cos

−1

(𝑎𝑒 𝑏𝑡 ) {(𝑏sin2(𝑡) + sin(𝑡) cos (𝑡)) + (𝑏cos 2(𝑡) − sin(𝑡) cos (𝑡))} ( ) (𝑎𝑒 𝑏𝑡 )2 √𝑏2 + 1

𝛼 = cos

−1

𝑏sin2(𝑡) + sin(𝑡) cos (𝑡) + 𝑏cos 2(𝑡) − sin(𝑡) cos (𝑡) ( ) √𝑏 2 + 1

𝛼 = cos −1 (

𝛼 = cos −1 (

𝑏sin2(𝑡) + sin(𝑡) cos (𝑡) + 𝑏cos 2(𝑡) − sin(𝑡) cos (𝑡) ) √𝑏 2 + 1 𝑏sin2 (𝑡) + 𝑏cos 2(𝑡) √𝑏 2 + 1

)

Sacando factor común b: 𝛼 = cos −1 (

𝑏(sin2 (𝑡) + cos 2 (𝑡)) √𝑏 2 + 1

)

Aplicando: cos2 (𝑡) + sin2 (𝑡) = 1 𝛼 = cos −1 (

𝛼 = cos −1 (

𝑏(1) √𝑏2 + 1 𝑏 √𝑏2

+1

)

)

4.1.5. Dar una breve reseña sobre la spira Mirabilis: El término espiral logarítmica se debe a Pierre Varignon. La espiral logarítmica fue estudiada por Descartes y Torricelli, pero la persona que le dedicó un libro fue Jakob Bernoulli, que la llamó Spira mirabilis “la espiral maravillosa”. La espiral de crecimiento es una clase de curva espiral que aparece frecuentemente en la naturaleza, Por ejemplo, los brazos de las galaxias espirales son aproximadamente espirales logarítmicas. Los brazos de los ciclones tropicales, como los huracanes, también forman espirales logarítmicas. En biología son frecuentes las estructuras aproximadamente iguales a la espiral logarítmica. Por ejemplo, las telas de araña y las conchas de molusco. (Matematicas, s.f.) (Ecured, s.f.)

11 4.2. Parte 2: 4.2.1. Explicación sobre el significado de las derivadas parciales: La velocidad del sonido viajando a través del océano es una función de la temperatura, salinidad del agua y la presión. Ésta es modelada por la función: 𝐶(𝑇, 𝑆, 𝐷) = 1449,2 + 4,6𝑇 − 0,055𝑇 2 + 0,00029𝑇 3 + (1,34 − 0,01𝑇)(𝑆 − 35) + 0,016𝐷

Donde C es la velocidad del sonido (medida en metros por segundo), T es la temperatura (medida en grados Celsius), S es la salinidad (número de gramos de sal disueltas en un litro de agua, su medida es gramos por litro), y D es la profundidad debajo de la superficie (medida en metros). Evalué

𝜕𝐶 𝜕𝐶 , 𝜕𝑇 𝜕𝑆

𝑦

𝜕𝐶 𝜕𝐷

cuando T=10ºC, S=35 g/l y D=100 m. Expliqué el significado de estas derivadas parciales.

Solución: Derivadas parciales. 𝜕𝐶 = 4,6 − 0,11𝑇 + 0,00087𝑇 2 − 0,01𝑆 + 0,35 𝜕𝑇 𝜕𝐶 = 1,34 − 0,01𝑇 𝜕𝑆 𝜕𝐶 = 0,016 𝜕𝐷

Interpretación física de las derivadas parciales de la función C Evaluando y explicando, el significado físico, de las derivadas parciales calculadas en el ítem anterior para T=10°C; S=35partes por millar y D=100m; tomando a P(T, S,D)=(10,35,100). Derivada parcial de C respecto a T en el punto P. 𝜕𝐶 𝑃(𝑇, 𝑆, 𝐷) = 4,6 − 0,11(10) + 0,00087(10)2 − 0,01(35) + 0,35 𝜕𝑇 𝑚 𝜕𝐶 𝑃(𝑇, 𝑆, 𝐷) = 3,587 𝑠 𝜕𝑇 °𝐶

12 La derivada parcial de la velocidad del sonido C respecto a la temperatura T indica que por cada °C aumenta 3,587

𝑚 𝑠°𝐶

𝜕𝐶 𝑃(𝑇, 𝑆, 𝐷) = 1,34 − 0,01(10) 𝜕𝑆 𝑚 𝜕𝐶 𝑃(𝑇, 𝑆, 𝐷) = 1,24 𝑠 𝜕𝑆 𝑝𝑝𝑚 La derivada parcial de la velocidad del sonido C respecto a la cantidad de salinidad en partes por 𝑚 𝑠 millón S, indica que por cada parte por millón aumenta 1,24 𝑝𝑝𝑚

𝜕𝐶 𝑃(𝑇, 𝑆, 𝐷) = 0,016 𝜕𝐷 𝑚 𝜕𝐶 𝑃(𝑇, 𝑆, 𝐷) = 0,016 𝑠 𝜕𝐷 𝑚

La derivada parcial de la velocidad del sonido C respecto a la profundidad bajo la superficie marítima 𝑚

D, indica que por cada metro aumenta 0,016 𝑚𝑠 .

4.2.2. Cálculo de la derivada direccional: derivada direccional de la función 𝐼(𝑇, ℎ) = 𝑒 3𝑇−4𝑇ℎ−5ℎ en el punto (1,2) y en la dirección 1

𝑢 ⃗ = 2 (𝑖 + √3𝑗)

Hallamos el vector gradiente. 𝜕𝐼 = 𝑒 3𝑇−4𝑇ℎ−5ℎ (−4ℎ + 3) 𝜕𝑇 𝜕𝐼 = 𝑒 3(1)−4(1)(2)−5(2) (−4(1) + 3) 𝜕𝑇 𝜕𝐼 = −0.0000003059 𝜕𝑇

13 𝜕𝐼 = 𝑒 3𝑇−4𝑇ℎ−5ℎ (−4𝑇 − 5) 𝜕ℎ 𝜕𝐼 = 𝑒 3(1)−4(1)(2)−5(2) (−4(2) − 5) 𝜕ℎ 𝜕𝐼 = −0.000003976 𝜕ℎ Vector gradiente. ∇𝑓 (𝑝) = (−0.0000003059, −0.000003976) Derivada direccional. 𝐷𝑈 𝑓 = ∇𝑓 (𝑝) ∗ 𝑢 ⃗ 1 𝐷𝑈 𝑓 = (−0.0000003059, −0.000003976) ∗ (𝑖 + √3𝑗) 2 1 1 𝐷𝑈 𝑓 = [(−0.0000003059) ( )] + [(−0.000003976) ( √3)] 2 2 𝐷𝑈 𝑓 = −0.00000015295 − 0.00000344331 + 𝐷𝑈 𝑓 = −0.00000359626

14 5. Conclusiones

•

Mediante el desarrollo del trabajo se logro hacer y aplicar una serie de ejercicios los cuales son de gran importancia para el campo profesional, por medio del desarrollo de cada punto propuesto a lo largo de la actividad.

•

Por medio del trabajo colaborativo y la socialización de cada uno de los puntos se logra dar solución a cada uno de ellos, dando como resultado un mayor conocimiento del tema.

•

Se puede evidenciar que la espiral logarítmica posee la notable propiedad de crecer de una manera terminal, sin modificar la forma de la figura total y ser así permanente en su forma a pesar del crecimiento asimétrico.

15 6.Referencias •

ARCO. (s.f.). Obtenido de http://blog.valvulasarco.com/corrosion-en-tus-instalaciones-deagua

•

Ecured. (s.f.). Espiral Logaritmica . Obtenido de https://www.ecured.cu/Espiral_logar%C3%ADtmica

•

Evaluación de problemas de corrosión en tuberías de una central hidroeléctrica. (s.f.). Obtenido de “Evaluación de problemas de corrosión en tuberías de una central hidroeléctrica: http://scielo.sld.cu/pdf/rtq/v34n1/rtq01114.pdf

•

Matematicas, A. a. (s.f.). Wordpress.com . Obtenido de https://matematicasiesoja.wordpress.com/la-spira-mirabilis/