• Author / Uploaded
• Luis

Citation preview

CAMPO VECTORIAL

En matemáticas, un campo vectorial representa la distribución espacial de una magnitud vectorial. Es una expresión de cálculo vectorial que asocia un vector a cada punto en el espacio euclidiano, de la forma. G= R.^n

R^m los campos vectoriales se utilizan

en física, por ejemplo, para representar la velocidad y la dirección de un fluido en el espacio, o la intensidad y la dirección de fuerzas como la gravitatoria o la fuerza electromagnética. Como

expresión

matemática

rigurosa,

los

campos

vectoriales

se

definen

en variedades diferenciables como secciones del fibrado tangente de la variedad. Este es el tipo de tratamiento necesario para modelizar el espacio-tiempo curvo de la teoría general de la relatividad por ejemplo Un campo vectorial en R n es una función F: D ⊂ R n → R n que asigna a cada punto x= (x1,. . ., xn) ∈ D un vector F(x). Así pues, todo campo vectorial en R n tiene n componentes F(x) = (F1(x),. . ., Fn(x)), cada una de las cuales es un campo escalar. Ejemplos de campos vectoriales son: 

Si un fluido se mueve en un recipiente, cada partícula tiene una velocidad v(x, y, z), la cual es un vector que depende de la posición (x, y, z) de la partícula en cada momento.



Si en un recipiente se aplica una fuente de calor, la temperatura en cada punto (x, y, z) es un campo escalar T(x, y, z). El flujo de calor viene dado por un campo vectorial de ecuación J(x, y, z) = −k · ∇T(x, y, z), donde k > 0 es una constante, llamada conductividad (el signo negativo indica que el calor fluye desde la parte más caliente hacia la más fría).



El campo de fuerzas gravitacional que producen dos masas m y M sobre un punto (x, y, z) es un campo vectorial de ecuación F = − m · M · G |(x, y, z)| 3 · (x, y, z), donde G es la constante de gravitación universal. En este caso, F = −∇V , donde V = − m · M · G |(x, y, z)| .



El campo vectorial F(x, y) = (−y, x) representa el movimiento giratorio de un punto (x, y) en el plano.

Definición. Un campo vectorial en ℜn es una función F: A ⊆ℜn →ℜn que asigna a cada punto X=(x1, x2,…,xn ) de su dominio A un vector F(x)=F1(X), F2(X),….,Fn(X). Si F: A ⊆ℜn →ℜn, entonces se denomina como campo vectorial en el plano, a esta función F(x, y) definida para puntos en ℜ2 hacia el conjunto de vectores bidimensionales, y se escribe 𝐹(𝑥, 𝑦) =

𝐹1 (𝑥, 𝑦) = 𝐹1 (𝑥, 𝑦)𝔦 + 𝐹2 (𝑥, 𝑦)𝔧 𝐹2 (𝑥, 𝑦)

En donde, F1 (x, y) y F2 (x, y) son funciones escalares. Si F: A ⊆ℜ3 →ℜ3, entonces se denomina como campo vectorial en el espacio, a esta función F(x, y, z) definida para puntos en ℜ3, hacia el conjunto de vectores tridimensionales, denotándose de la siguiente manera: 𝐹1 (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐹2 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐹1 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝔦 + 𝐹2 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝔧 + 𝐹3 (𝑥, 𝑦𝑧)𝔨 𝐹3 (𝑥, 𝑦, 𝑧) En donde, F1 (x, y, z), F2 (x, y, z) y F3 (x, y, z) son funciones escalares. En la Figura 1 se muestra una forma esquemática de representar un campo vectorial, de ℜn→ℜn.

Sin embargo, para visualizar de una manera mejor lo que el campo representa en ℜn, se preferible dibujar el vector X ∈ ⊆A Rn como un punto sobre el espacio ℜn y F (X) ∈ Rn como un vector sobre ese mismo espacio, como se presenta en la siguiente figura.

La representación de un campo vectorial bidimensional en el plano cartesiano, se realiza representando un conjunto de vectores F(x, y) para varios puntos (x, y) del dominio, representando el vector F(x, y) = (F1(x, y), F2 (x, y)) de tal manera que el punto inicial del vector esté localizado en (x, y); este procedimiento también puede ser aplicado para la representación de un campo vectorial en el espacio.

EJEMPLO DE APLICACIÓN 1. Represente gráficamente los campos vectoriales definidos de la manera que se muestra a continuación: a) F: ℜ2 →ℜ2/F(x, y) = (− y, x) b) G: ℜ3 →ℜ3/G (x. y. z)= (−y, x, z) Solución. a) Para representar este campo vectorial se evaluará algunos puntos (x, y) en la función F (x, y), como por ejemplo F (1,1) = (-1,1), F (−1,1)= (−1, −1), F (−1, −1) = (1, -1) y F (1, -1)= (1, 1). Luego tomamos, el primer vector resultante (−1,1) y se grafica teniendo como punto inicial al punto (1,1). Aplicando sucesivamente este procedimiento con los otros vectores se obtiene la representación gráfica del campo vectorial que se muestra en la Figura 3.

b) Para obtener la representación gráfica de este campo vectorial se evaluarán algunos puntos (x, y, z) en la función G (x , y , z), obteniéndose G (1, 1, 1) = (-1, 1, 1), G(− 1,1,1) = (-1, -1,1), G (−1, − 1, 1)= (1, − 1, 1) y G(1, -1,1)= (1,1,1). Luego para representar el primer vector resultante (−1, 1, 1), se gráfica, teniendo como punto inicial al punto (1, 1,1). Sucesivamente se dibujan los demás vectores resultantes para obtener la representación gráfica del campo vectorial que se muestra en la Figura 4.

Campo vectorial gradiente. Definición. Si f es una función escalar de ℜn → ℜn, entonces el gradiente de esta función es un campo vectorial, que se denota por ∇f y está definido por ∇ f= (fx1 (x1, x2,…., xn,), fx2 (x1, x2,…., xn,),….., fxn (x1, x2,…., xn,)) se le llama campo vectorial gradiente en ℜn. EJEMPLO DE APLICACIÓN 2. Determine el campo vectorial gradiente de la función f(x, y) = (x-y)2. Solución. El gradiente, o el campo vectorial gradiente de la función f, viene dado por: 𝜕𝑓 𝜕𝑓

∇ f (x, y)= (𝜕𝑥 , 𝜕𝑦 ) = (2(𝑥 − 𝑦), −2(𝑥 − 𝑦))

Al representar este campo vectorial en ℜ2, utilizando un sistema algebraico computarizado se obtiene la representación gráfica mostrada en la Figura 6.

Ejemplos de campos vectoriales son: 

Si un fluido se mueve en un recipiente, cada partícula tiene una velocidad v(x, y, z), la cual es un vector que depende de la posición (x, y, z) de la partícula en cada momento.



Si en un recipiente se aplica una fuente de calor, la temperatura en cada punto (x, y, z) es un campo escalar T(x, y, z). El flujo de calor viene dado por un campo vectorial de ecuación J(x, y, z) = −k · ∇T(x, y, z), donde k > 0 es una constante, llamada conductividad (el signo negativo indica que el calor fluye desde la parte más caliente hacia la más fría).



El campo de fuerzas gravitacional que producen dos masas m y M sobre un punto (x, y, z) es un campo vectorial de ecuación F = − m · M · G |(x, y, z)| 3 · (x, y, z), donde G es la constante de gravitación universal. En este caso, F = −∇V , donde V = − m · M · G |(x, y, z)| .



El campo vectorial F(x, y) = (−y, x) representa el movimiento giratorio de un punto (x, y) en el plano.

Ejercicio campo vectorial

INTEGRAL DEL LINEA Sea C una curva parametrizada regular a trozos en el plano con parametrización c(t) con t ∈ [a, b] . Sea el campo vectorial F : U ⊆ R2 → R2 de forma que C ⊂ U y F = (P,Q) es continuo en C. La integral de línea de F (o circulación de F) a lo largo de la curva C se define como el número

El valor de la integral de línea depende de la orientación de la parametrización tomada para C, es decir, es independiente salvo por la orientación. Igualmente se puede definir para campos vectoriales en el espacio. Si C es una curva cerrada entonces se denota la integral de línea como

Propiedades de la integral de línea para campos vectoriales. Sean dos campos vectoriales F, G : U ⊆ R2 → R2 continuos en U y C ⊂ U una curva parametrizada regular a trozos.

1. Si α, β ∈ R entonces 2. Si −C representa la misma curva C parametrizada con orientación opuesta a la dada inicialmente entonces

3. Si C = C1 ∪ C2, con las orientaciones dadas por C, entonces

Una integral de línea acumula elementos a lo largo de una curva. El concepto de integral se puede extender a dominios de integración más generales, tales como las líneas curvas y las superficies. Estas integrales se conocen como integrales de línea e integrales de superficie respectivamente. Tienen importantes aplicaciones en la física cuando se trata con campos vectoriales. Una integral de línea es una integral donde la función a integrar es evaluada a lo largo de una curva. Se utilizan varias integrales curvilíneas diferentes. En el caso de una curva cerrada también se la denomina integral de contorno. La función a integrar puede ser un campo escalar o un campo vectorial. El valor de la integral curvilínea es la suma de los valores del campo en los puntos de la línea, ponderados por alguna función escalar de la curva (habitualmente la longitud del arco o, en el caso de un campo vectorial, el producto escalar del campo vectorial por un vector diferencial de la curva). Esta ponderación distingue las integrales curvilíneas de las integrales más sencillas definidas sobre intervalos. Muchas fórmulas sencillas de la física tienen de forma natural análogas continuas en términos de integrales de línea; por ejemplo, el hecho de que el trabajo sea igual a la fuerza multiplicada por la distancia se puede expresar (en términos de cantidades vectoriales) como:

Que tiene su paralelismo en la integral de línea

Que acumula los componentes vectoriales a lo largo de un camino continuo, y así calcula el trabajo realizado por un objeto al moverse a través de un campo, como por ejemplo un campo eléctrico o un campo gravitatorio.

La integral de línea tiene varias aplicaciones en el área de ingeniería, y una de las interpretaciones importantes para tales aplicaciones es el significado que posee la integral de línea de un campo escalar.

En matemática, una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también integral de contorno. Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser: El cálculo de la longitud de una curva en el espacio; El cálculo del volumen de un objeto descrito por una curva, objeto del que se posee una función (campo escalar) que describe su volumen a lo largo de la curva; Ó también para el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo.

Una función vectorial definida en

Diferenciable y acotada en la

parametrización de una trayectoria en

Se llama integral de línea de F sobre a la integral:

Una forma más utilizada para expresar la integral de línea teniendo en cuenta que el vector diferencial de curva también se pude expresar así: Entonces después de resolver el producto punto obtenemos:

Ejercicios

INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA A una curva regular parte por parte con extremos A y B se le llama a veces trayectoria de A a B. a continuación se obtienen condiciones bajo las cuales una integral de línea es independiente de la trayectoria en una región, en el sentido de que si A y B son puntos arbitrarios, entonces se obtiene el mismo valor para todas las trayectorias de A a B en esa región. Los resultados se demostrarán para integrales de línea en dos dimensiones. Las demostraciones para el caso de tres dimensiones son similares y se omiten. Si la integral de línea ∫c f (x, y) ds es independiente de la trayectoria, se denota a veces por ∫BA f (x, y)ds porque el valor de la integral depende sólo de los extremos A y B de la curva C. una anotación similar se usa para ∫c f (x, y)dx y ∫c f (x, y)dy y para las integrales de línea en tres dimensiones. El siguiente teorema, que es el resultado fundamental, dice que si un campo F es continuo, entonces la integral de línea ∫c F . dr es independiente de la trayectoria si y sólo si F es conservativo. Teorema (18.13) Si F (x, y) = M (x, y)i + N (x, y)j es continuo en una región D abierta y conexa, entonces la integral ∫c F . dr es independiente de la trayectoria si y sólo si F (x, y) = s f (x, y) para alguna función escalar f. Teorema (18.14) Sea F (x, y) = M (x, y)i + N (x, y)j continuo en una región abierta y conexa D, y sea C una curva regular parte por parte en D con extremos A (x1, y1) y B (x2, y2). Si F(x,y) = s f (x, y), entonces ∫c M(x, y)dx + N(x, y)dy = ∫ F . dx = f(x2, y2) – f (x1, y1) = f (x, y)]

TEOREMA DE GREEN

El teorema de Green relaciona la integral de línea de un campo vectorial sobre una curva plana con una integral doble sobre el recinto que encierra la curva. Este tipo de teoremas resulta muy útil porque, dados un campo vectorial y una curva cerrada simple sobre la cual hay que integrarlo, podemos elegir la posibilidad más simple entre integrar el campo directamente sobre la curva o bien integrar la diferencia de sus derivadas parciales cruzadas sobre en recinto que delimita la curva. Por otro lado, la relación así establecida entre la integral de línea sobre una curva y la integral doble sobre la región interior a ésta permite a veces obtener información sobre una función o su integral en un recinto a partir del comportamiento de la función sobre la frontera de dicho recinto. Ilustraremos mas adelante las diversas posibilidades y aplicaciones de este tipo de resultados, que generalizaremos a integrales sobre superficies en

.

Antes de enunciar el teorema de Green convendría precisar que entendemos por una curva cerrada simple orientada positivamente. Sabemos ya que toda curva simple tiene dos posibles orientaciones, y que ´estas son invariantes por reparametrizaciones cuyas funciones de cambio de variables tiene derivada positiva. Ahora bien, ¿cómo distinguir entre una y otra orientación? ¿Que hacer para privilegiar y reconocer una de las dos? Hay varios procedimientos para conseguir esto. Quizá el más intuitivo sea el siguiente, que presenta el concepto de normal unitaria exterior a una curva.

En física y matemáticas, el teorema de Green da la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C y una integral doble sobre la región plana D limitada por C. Sea C una curva cerrada simple positivamente orientada, diferenciable por trozos, en el plano y sea D la región limitada por C. Si L y M tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene D. Si C es una curva cerrada simple regular a trozos en Por

, parametrizada

el vector normal unitario exterior a C se define por

Nótese que N es ortogonal al vector tangente o velocidad de la curva, V (t) =(x0(t), y0(t)). Consideremos estos vectores sumergidos en R3 (con coordenada z = 0). Diremos que C está orientada positivamente si el producto vectorial N × V (que tiene la dirección del eje z en este caso) tiene coordenada z Positiva (es decir, N × V apunta hacia arriba) para cada t. Esta definición Corresponde intuitivamente a decir que C se recorre en el sentido contrario al De las agujas del reloj, o bien que si recorremos C con la orientación positiva Entonces N apunta hacia afuera de la región interior a C, y que dicha región interior queda siempre a mano izquierda segun se va recorriendo C.

Sea C una curva dada por la parametrización:

Se dice que la curva es cerrada si r(a)=r(b). C se dice que es una curva simple si r es inyectiva en (a,b), es decir, si

Por convenio, para las curvas cerradas la orientación positiva se define como el sentido anti horario.

Sea

un abierto simplemente conexo y

vectorial derivable con continuidad. Entonces, si S a la unión de

con su interior

se tiene que;

una función es un camino cerrado y llamamos

APLICACIÓN

1. Hallar integrales de línea sobre caminos cerrados por medio de integrales dobles: Para ello basta con aplicar directamente la fórmula que nos da el teorema de GreenRiemann. 2. Hallar integrales dobles por medio de integrales curvilíneas: Si acotado y

es la frontera de S orientada positivamente, entonces:

es un recinto

Ejercicio resulto 1.) Transformación de una integral de línea en una de área. Evaluar

x

4

dx  xydx , donde

C

C es la curva triangular que une los puntos (0;0), (0;1) y (1;0), orientada positivamente.

SOLUCIÓN: y

1

y=1-x

La gráfica indica la región encerrada por la curva C. Tenemos:

1

x

P 0 y Q Q( x; y )  xy  y x P( x; y )  x 4 

Por lo tanto:

1 1 x 1 1 1 x  Q P  dA    ydydx    12 y 2 dx   12 1  x 2 dx  dx  xydx     0  0 0 0 0 x y  C D  1 3 1   16 1  x   0 6

x

4

Nótese que si hubiéramos hecho la integral de línea habríamos tenido que hacer 3 integrales con las correspondientes parametrizaciones.

2.) Determinación de un área mediante una integral de línea. Determine el área de la región limitada por la hipocicloide que tiene la ecuación vectorial

r(t) = cos3t i + sen3t j , 0  t  2

y 1

SOLUCIÓN:

-1

1

x

-1

De la parametrización de la curva tenemos: x = cos3t  x2/3 = cos2t y = sen3t  y2/3 = sen2t Sumando miembro a miembro tenemos:



x2/3  y2/3  1  y   1 x2/3



3/ 2

  1 3/ 2 dydx   21  x 2 / 3  dx   1  1 x 1 1

 A

 1 x 2 / 3

3/ 2

2/3 3/ 2

Este cálculo, ejecutado como integral de área, es muy complicado. El teorema de Green nos permite transformar esta integral en una de línea, usando como trayectoria la hipocicloide del enunciado y definiendo una función apropiada para la integración. Veamos: El área de una región D viene dada por

A   1dA . Por lo tanto, para aplicar Green D

deberíamos encontrar funciones P, Q /

Q P   1 . Un par de funciones sencillas que x y

cumplen esta condición son P = 0, Q = x. Si recordamos la parametrización, escribimos: x = cos3t  dx = -3 cos2t sent dt y = sen3t  dy = 3 sen2t cost dt

Luego: 2 2  Q P  dA   Pdx  Qdy   cos 3 t 3 sen 2 t cos tdt  3 cos 4 t sen 2 tdt  A     0 0 x y  D  C 2 2 2 2  1  cos 2t  sen 2t 2 2 sen 2t  3 cos t dt  3  dt  83  (sen 2 2t  sen 2 2t cos 2t )dt   0 0 0 4 2   4





2

3 8 0

2

 sen 4t sen 3 2t  3  1  cos 4t   sen 2 2t cos 2t dt  83  12 t       2 8 6 0 8   

De esta manera contamos con una herramienta más para obtener el área de la región encerrada por una curva cerrada, que se suma al método en coordenadas polares visto en Análisis II y al cálculo por integral de área que ejecutamos cuando tenemos la expresión cartesiana de la curva.

3.) Limitaciones en la aplicación del Teorema de Green. Dado

F(x;y)= (P;Q) = (-y i + x j) / (x2 + y2)

a) Calcular su integral de línea sobre el círculo x2 + y2 = 1 b) Calcular

 Q

P 

  x  y dA , donde D es la región encerrada por la curva del punto a). D

c) Discutir si estos resultados están de acuerdo o no con el Teorema de Green.

SOLUCIÓN:

a) Parametricemos el círculo.

x  cos t  dx   sen tdt y  sen t  dy  cos tdt

, 0  t  2

 sen t   sen tdt  Pdx  sen 2 tdt 2 sen t  cos t cos t Q( x(t ); y (t ))   cos tdt  Qdx  cos 2 tdt 2 2 sen t  cos t P( x(t ); y (t )) 

2

Integrando tendremos, así:

 Pdx  Qdy   sen 2

0

C

2



t  cos 2 t dt  2

b) Haciendo los cálculos directamente en coordenadas cartesianas es:

    Q P  Q P dA  0   0       x  y  x  y 2 2 2 2   D P  x  y  ( y )2 y y x    2 2  y x2  y2 x 2  y 2 

Q x 2  y 2  x 2 x y2  x2   2 2 x x2  y2 x2  y2





















c) Aparentemente estos resultados contradirían el Teorema de Green. Sin embargo, este último no es aplicable a la región en cuestión, dado que las funciones P y Q no tienen derivadas parciales continuas en el punto (0;0), que está contenido en la región.