• Author / Uploaded
• Fredy Alonso Luengas Rueda

• Categories
• Límite (Matemáticas)
• Función (Matemáticas)
• Sistema coordinado
• Circulo
• Geometría

Citation preview

Hasta el momento se han estudiado funciones de valor real en una variable independientes determinadas por ‫ ݕ‬ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ, en donde el dominio y el recorrido son subconjuntos de los números reales y funciones vectoriales de la forma ݂ሺ‫ݐ‬ሻ, cuyo dominio es un subconjunto de los números reales, pero el recorrido es un conjunto de vectores en dos o más dimensiones. En este capítulo, ampliamos nuestro concepto de función para incluir funciones que dependen de más de una variable, o sea funciones cuyo dominio es multidimensional.

Funciones de dos variables Sea D un conjunto de pares ordenados ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ. Si a cada par ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ le corresponde un único

valor ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ se dice que ݂es función de ‫ ݔ‬e

‫ݕ‬. Al conjunto ‫ܦ‬se denomina dominio de ݂ y

al conjunto de valores ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ se denomina recorrido de ݂

Ejemplos

1. ݂ሺšǡ ›ሻ ൌ Ͷ‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬൅ ݁ ௫௬

మ

2. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ܽ‫݊ܽݐܿݎ‬ሺ‫ ݕ‬ଶ െ ͷሻ െ ‫ ݔ‬ଶ ݈݊‫ݕݔ‬

Funciones de tres variables

Sea ‫ ܦ‬un conjunto de ternas ordenadas ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ. Si a cada terna le corresponde

un único valor ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ se dice que ݂es

una función de ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫ݖ‬. Ejemplos 1. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ൌ

ଵସ௫௬ య

ଶ௫ య ା௭ ௬ൗ ௭

2. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬

൅ ‫ ݕ‬ଷ •‹ሺ‫ ݔ‬൅ ͵‫ ݖ‬ଶ ሻ

െ ඥ‫ݖݕݔ‬

El concepto de función se extiende a n-variables de forma similar. Esto es a cada n-upla ሺ‫ݔ‬ଵ ǡ ‫ݔ‬ଶ ǡ ǥǡ ‫ݔ‬௡ ሻ del dominio de ݂, le corresponde un único valor ݂ሺ‫ݔ‬ଵ ǡ ‫ݔ‬ଶ ǡ ǥǡ ‫ݔ‬௡ ሻ. Pero la presente

FuncionesdeVariasVariables

 sección se centra en funciónes de dos y tres variables para su análisis e interpretación geométrica. A menos que se especifique de otro modo, se toma como dominio de una función de varias variables ሺʹ‫͵ݕ‬ሻ, el conjunto de todas las parejas o ternas para las cuales está definida la función. Ejemplo Determine y dibuje el dominio de la función dada

ͳǤ

݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ඥʹͷ െ ‫ ݔ‬ଶ െ ‫ ݕ‬ଶ Solución. El dominio de la función ݂ consta de todas la parejas ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ del conjunto ‫ܦ‬௙ ൌ ሼሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻǣ ʹͷ െ ‫ ݔ‬ଶ െ ‫ ݕ‬ଶ ൒ Ͳሽ Para graficar esta región, partimos de la ecuación ʹͷ െ ‫ ݔ‬ଶ െ ‫ ݕ‬ଶ ൌ Ͳ, y realizamos su gráfica.

Si ʹͷ െ ‫ ݔ‬ଶ െ ‫ ݕ‬ଶ ൌ Ͳ ՞ ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ ൌ ʹͷ . Esta ecuación representa una circunferencia con centro en el origen y radio 5 Se observa, que todos los puntos de la circunferencia pertenecen al dominio porque representa la igualdad. Para determinar qué puntos del plano satisfacen la desigualdad ሺ൐ሻ, consideramos un punto dentro de la circunferencia (por ejemplo ሺʹǡͳሻ) y otro fuera de la circunferencia (por ejemplo ሺ͸ǡͲሻ) para verificar cual de los dos cumple dicha desigualdad. a) Para ሺʹǡͳሻ, tenemos ʹͷ െ ሺʹሻଶ െ ሺͳሻଶ ൌ Ͷ ൐ Ͳ (cumple) b) Para ሺ͸ǡͲሻ, tenemos ʹͷ െ ሺ͸ሻଶ െ ሺͲሻଶ ൌ െʹ͹ ൏ Ͳ (no cumple). ʹǤ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ൌ 

௫ మ ାଶ௬௭ ௬ మ ି௭

Solución. El dominio de la función ݂, consta de todas las ternas ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ donde ‫ ݕ‬ଶ െ ‫Ͳ ് ݖ‬. Esto es, ‫ܦ‬௙ ൌ ሼሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫ݖ‬ሻǣ ‫ ݕ ് ݖ‬ଶ ሽ Para dibujar el conjunto, tenemos en cuenta que la gráfica de la ecuación ‫ ݖ‬ൌ ‫ ݕ‬ଶ en el espacio es un cilindro parabólico. Por tanto, el dominio de la función consta de todos los puntos del espacio que se encuentran fuera del cilindro parabólico.

 Página3 

CálculoMultivariable

 Gráfica de una función en dos variables La gráfica de una función ݂de dos variables es el conjunto de todos los puntos ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ en Թଷ , tal que ‫ ݖ‬ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ y ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻestá en el dominio de ݂. La gráfica de una función ݂ de dos variables recibe el nombre de superficie. Veamos la gráfica de dos superficies

Curvas de nivel Sean ‫ ݖ‬ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ una superficie y ‫ ݖ‬ൌ ݇ un plano que corta a la superficie en una curva ‫ܥ‬. La proyección de ‫ ܥ‬sobre el plano ‫ ݕݔ‬se denomina una curva de nivel y el conjunto de varias curvas de nivel se denomina un mapa de contorno. Ejemplo Dibuje las curvas de nivel para la función ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ Solución.

y los valores ݇ ൌ Ͳǡͳǡͻ

La proyección de las curvas de intersección ‫ ܥ‬sobre el plano ‫ ݕݔ‬están dadas por las ecuaciones ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ ൌ Ͳ , ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ ൌ ͳ, ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ ൌ ͻ

Superficies de nivel Las superficies de nivel para la función ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ y los valores de k están dadas por la ecuación ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ൌ ݇

 Página4



FuncionesdeVariasVariables

 Ejemplo Dibuje las superficies de nivel para la función ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ൌ ‫ ݖ‬െ ඥ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ y los valores de ݇ ൌ Ͳǡ േʹ. Solución. Las superficies de nivel de la función para los valores dados son semiconos y están determinadas por las ecuaciones ‫ ݖ‬െ ඥ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ ൌ Ͳ ื ‫ ݖ‬ൌ ඥ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ

‫ ݖ‬െ ඥ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ ൌ ʹ ื ‫ ݖ‬ൌ ඥ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ ൅ ʹ

‫ ݖ‬െ ඥ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ ൌ െʹ ื ‫ ݖ‬ൌ ඥ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ െ ʹ

Algunos ejemplos prácticos de las curvas de nivel son En temperatura1 Imaginemos que deseamos representar sobre un plano horizontal la topografía de una región. Para eso se dispone de observaciones en distintos puntos del terreno relativas a su altura sobre el nivel del mar. Se conoce además la posición geográfica (latitud, longitud) de cada punto. Podemos anotar esos niveles en un plano a escala y trazar posteriormente líneas que unen puntos que tienen el mismo nivel (denominadas isolíneas). Este trazado de una isolínea tiene algo de subjetivo, pues no conocemos exactamente la posición geográfica de todos los puntos que tienen esa altura sobre el nivel del mar. El conjunto de isolíneas define un mapa en el que podemos identificar los puntos altos y bajos del terreno, los valles, las zonas planas y los sectores de fuerte pendiente. En otras palabras, el mapa con las curvas de nivel entrega una gran cantidad de información sobre las características de la topografía del lugar. Si medimos la temperatura en varios puntos y repetimos el procedimiento anterior, obtendremos un mapa de curvas de igual temperatura, llamadas isotermas, que nos indicaran regiones frías y cálidas, sectores donde la temperatura no cambia mucho espacialmente y otras en que hay un fuerte contraste térmico. Otras curvas de nivel de gran uso en meteorología son las líneas de igual presión, llamadas isóbaras, que permiten identificar zonas de alta presión (anticiclones), zonas de baja presión (ciclones o depresiones), las vaguadas que son regiones de presión relativamente baja con una forma equivalente a un valle en un mapa topográfico, y las dorsales, que son regiones de presión relativamente alta, con una forma similar a una cresta de una cadena de montaña en un mapa topográfico. En topografía 2 Una vez elaborado el mapa topográfico con la representación grafica del relieve del terreno por medio de las curvas de nivel, podemos utilizar el mismo de diferentes maneras en la planificación  Página5 

CálculoMultivariable

 y ejecución de obras civiles, usos agrícolas y pecuarios, ordenamiento territorial, planificación etc. Un mapa topográfico bien elaborado constituye una base de información indispensable en la planificación, ejecución y control de todo proyecto De un mapa topográfico con curvas de nivel podemos determinar la cota o elevación de cualquier punto sobre el plano, la pendiente entre dos puntos, estimar los volúmenes de corte y relleno de material requeridos en la ejecución de una obra, proyectar trazado de vías, etc. Calculo de pendientes La pendiente de un terreno entre dos puntos ubicados en dos curvas de nivel consecutivas es iguales a la revelación entre el intervalo de las curvas de nivel o equidistancia y la distancia longitudinal que los separa ܲ ൌ En donde:

݁ ‫ͲͲͳ כ‬ ‫ܦ‬

P= pendiente del terreno en % e = equidistancia entre curva del nivel D = distancia horizontal entre los puntos considerados

La figura repesenta un plano de curvas de nivel equidistantes e = 5 m Como los mapas topograficos representan la proyeccion del terreno sobre el plano horizontal todas las distancias que midamos sobre él son distancias en proyeccion horizontal. Para calcular la pendiente del terreno entre los puntos A y B de la figura medimos directamnere con el escalimetro a la escala indicada, la distancia AB (20,0m) y aplicamos la ecuacion P=

௘

஽

‫= ͲͲͳ כ‬

ହ

ଶ଴

‫ = ͲͲͳ כ‬25%

Si en la figura, en vez de calcular la pendiente entre A y B, calculamos la pendiente entre A y B’, vemos que para salvar el mismo desnivel de 5 m la distancia horizontal es de 40 m por lo que la pendiente entre A y B’ sera: P=

௘

஽

‫= ͲͲͳ כ‬

ହ

ସ଴

‫ = ͲͲͳ כ‬12.5%

Como la pendiente entre dos puntos es inversamente proporcional a la distancia horizontal, la recta maxima pendiente entre dos curvas consecutivas se obtendra para la menos distancia entre  Página6



FuncionesdeVariasVariables

 las curvas, siendo determinada por una linea tangente a las dos curvas consecutivas, como se muestra en la figura por la linea AC

 Página7 

CálculoMultivariable

 Ejercicios Resueltos 1. a) b) c) d) 2. a) b) c)

Sea ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ Žሺ‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬െ ͳሻ Evalue ݂ሺ݁ǡ ͳሻ  ൌ ݈݊ሺ݁ ൅ ͳ െ ͳሻ  ൌ ݈݊ሺ݁ሻ  ൌ ͳ Evalue ݂ሺͳǡͳሻ  ൌ ݈݊ሺͳ ൅ ͳ െ ͳሻ  ൌ ݈݊ሺͳሻ  ൌ Ͳ Encuentre el dominio de ݂. El dominio es ‫ܦ‬௙ ൌ ሼሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻǣ ‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬െ ͳ ൐ Ͳሽ Encunetre la imagen de ݂. La imagen de la función es ܴ௙ ൌ ܴ Sea ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ൌ ඥ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ ൅ ‫ ݖ‬ଶ െ ͳ

Evalue ݂ሺ͵ǡ͸ǡͶሻ ൌ ඥሺ͵ሻଶ ൅ ሺ͸ሻଶ ൅ ሺͶሻଶ െ ͳ = ξ͸Ͳ Encuentre el dominio de ݂. El dominio es ‫ܦ‬௙ ൌ ሼሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫ݖ‬ሻǣ ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ ൅ ‫ ݖ‬ଶ െ ͳ ൒ Ͳሽ Encuetre la imagen de ݂. La imagen de la función es ܴ௙ ൌ ሾͲǡ λሻ

Encuentre y trace el dominio de la función dada 3. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ Ž ‫ݕݔ‬ Solución. El dominio de la función es el conjunto de todos los puntos del plano donde el producto de las dos componentes es porsitiva. Esto es, ‫ܦ‬௙ ൌ  ሼሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ‫ ݔ ׷‬ή ‫ ݕ‬൐ Ͳሽ

La gráfica es el conjunto de

puntos de los cuadrantes ‫ܫܫܫݕܫ‬ sin inlcuir los ejes

4.

݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ Ž ‫ݕ Ž ݔ‬

Solución. El dominio esta formado por los puntos del ‫ܫ‬cudrante sin incluir los ejes

5. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ඥʹͷ െ ‫ ݔ‬ଶ െ ʹͷ‫ ݕ‬ଶ Solución. Puesto que la función radical tiene indice par, el argumento debe ser no negativo, luego ‫ܦ‬௙ ൌ ሼሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻǣʹͷ െ ‫ ݔ‬ଶ െ ʹͷ‫ ݕ‬ଶ ൒ Ͳሽ

 Página8



FuncionesdeVariasVariables

 Para graficar este conjunto partimos de la ecuacion ‫ݔ‬ଶ ‫ݕ‬ଶ ൅ ൌͳ ʹͷ െ ‫ ݔ‬ଶ െ ʹͷ‫ ݕ‬ଶ ൌ Ͳ ՞ ‫ ݔ‬ଶ ൅ ʹͷ‫ ݕ‬ଶ ൌ ʹͷ ՞ ʹͷ ͳ La ecuacion anterior representa una elipse con centro en el origen, cuya grafica es Para determinar cual de las dos regiones del plano representa que el argumento sea mayor que cero, consideramos dos puntos uno dentro de la elipse y uno fuera de ella y se evalua en el dominio para determinar cual de los dos da como resultado un numero positivo. Entonces Para ሺ͵ǡͲሻ, tenemos ʹͷ െ ͵ଶ െ ʹͷሺͲሻଶ ൌ ͳ͸ ൐ Ͳ Para ሺͷǡͳሻ, tenemos ʹͷ െ ͷଶ െ ʹͷሺͳሻଶ ൌ  െʹͷ ൏ Ͳ Por tanto, el dominio de la función es el conjunto de puntos que estan dentro y sobre la elipse. 6.

݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ

ଵ

ඥ௟௡ሺଵାଶ௫ మ ାସ௬ మ

Solución. El dominio de la función ݂ consta de todos los puntos del plano donde el argumento de la raiz debe ser positiva. Esto es, ‫ܦ‬௙ ൌ ሼሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻǣ Žሺͳ ൅ ʹ‫ ݔ‬ଶ ൅ Ͷ‫ ݕ‬ଶ ሻ ൐ Ͳሽ ‫ܦ‬௙ ൌ ሼሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻǣ ͳ ൅ ʹ‫ ݔ‬ଶ ൅ Ͷ‫ ݕ‬ଶ ൐ ͳሽ ‫ܦ‬௙ ൌ ࣬ ଶ െ ሼሺͲǡͲሻሽ

7. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ •‹ିଵ ሺ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ݕ‬ሻ Solución. Puesto que el dominio de la función ܽ‫ ݔ݊݁ݏܿݎ‬es el inetrvalo ሾെͳǡͳሿǤ Entonces ‫ܦ‬௙ ൌ ሼሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻǣ െͳ ൑ ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬൑ ͳሽ ‫ܦ‬௙ ൌ ሼሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻǣ െͳ െ ‫ ݔ‬ଶ ൑ ‫ ݕ‬൑ ͳ െ ‫ ݔ‬ଶ ሽ. Es decir que el dominio de ݂ es el conjunto de puntos que se encuentran entre las parabolas ‫ ݕ‬ൌ െ‫ ݔ‬ଶ െ ͳ y ‫ ݕ‬ൌ െ‫ ݔ‬ଶ ൅ ͳ, incluyendo los puntos de ellas. 8. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ඥ‫݊݁ݏ‬ሺ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ ሻߨ Solución. Puesto que la función ݂ es radical con indice par tenemos, ‫ܦ‬௙ ൌ ሼሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻǣ‫݊݁ݏ‬ሺ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ ሻߨ ൒ Ͳሽ Para encontrar que puntos del plano satisfacen la desigualdad debemos recordar que la funcion •‹ ‫ ݔ‬es positiva en el primer y segundo cuadrante, por tanto ‫ܦ‬௙ ൌ ሼሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻǣ ʹ݇ߨ ൑ ሺ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ ሻߨ ൑ ሺʹ݇ ൅ ͳሻߨሽ  Página9 

CálculoMultivariable

 Donde k es un entero no negativo. Ahora dividiendo entre ߨ se obtiene ‫ܦ‬௙ ൌ ሼሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻǣ ʹ݇ ൑ ሺ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ ሻ ൑ ሺʹ݇ ൅ ͳሻሽ

La grafica de este conjunto esta formada por infinitos anillos, uno que pertenece al dominio (cuando ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ cae en el primer o segundo cuadrante) y uno que no pertenece (cuando ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ cae en el tercero y cuarto cuadrante) 9.

݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ඥ‫ݔ ݏ݋ܿ ݕ‬

Solución. Al igual que el ejercicio anterior tenemos ‫ܦ‬௙ ൌ ሼሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻǣ ‫ ݔݏ݋ܿݕ‬൒ Ͳሽ Para que ‫• ݔ ݏ݋ܿ ݕ‬0 hay dos posibilidades que los dos términos sean positivos o los dos sean negativos, esto es ‫ܦ‬௙ ൌ ሼሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻǣ ‫ ݕ‬൒ Ͳǡ …‘• ‫ ݔ‬൒ Ͳሽ ‫ ׫‬ሼሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻǣ ‫ ݕ‬൑ Ͳǡ …‘• ‫ ݔ‬൑ Ͳሽ Para graficar el dominio debemos particionar el eje ‫ݔ‬en intervalos de la forma ߨ ߨ ሾሺʹ݇ െ ͳሻ ǡ ሺʹ݇ ൅ ͳሻ ሿ ʹ ʹ Solución. Al igual que el ejercicio anterior tenemos ‫ܦ‬௙ ൌ ሼሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻǣ ‫ ݔݏ݋ܿݕ‬൒ Ͳሽ Para que ‫• ݔ ݏ݋ܿ ݕ‬0 hay dos posibilidades que los dos términos sean positivos o los dos sean negativos, esto es ‫ܦ‬௙ ൌ ሼሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻǣ ‫ ݕ‬൒ Ͳǡ …‘• ‫ ݔ‬൒ Ͳሽ ‫ ׫‬ሼሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻǣ ‫ ݕ‬൑ Ͳǡ …‘• ‫ ݔ‬൑ Ͳሽ Para graficar el dominio debemos particionar el eje ‫ݔ‬en intervalos de la forma ߨ ߨ ሾሺʹ݇ െ ͳሻ ǡ ሺʹ݇ ൅ ͳሻ ሿ ʹ ʹ

Además, recordar que la función ܿ‫ݔ ݏ݋‬es positiva en los cuadrantes I, IV y es negativa en II, III. Si en el intervalo la función ܿ‫ ݔ ݏ݋‬es positiva, se desplaza el segmento de recta sobre el eje ‫ ݕ‬positivo y si en el intervalo la función ܿ‫ ݔ ݏ݋‬es negativa, entonces se desplaza el segmento de recta hacia el eje ‫ݕ‬negativo 10.

݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ݈݊ሾ‫݈݊ ݕ‬ሺ‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬൅ ͳሻሿ

Solución. 

Página10



FuncionesdeVariasVariables

 Debido a que el dominio de la función ݈݊ ‫ ݔ‬es (0,λ), tenemos ‫ܦ‬௙ ൌ ሼሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻǣ ‫݈݊ ݕ‬ሺ‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬൅ ͳሻ ൐ Ͳሽ Realizando un análisis similar al ejercicio anterior se obtiene ‫ܦ‬௙ ൌ ሼሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻǣ‫ ݕ‬൐ Ͳǡ ݈݊ሺ‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬൅ ͳሻ ൐ Ͳሽ ‫ ׫‬ሼሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻǣ‫ ݕ‬൏ Ͳǡ ݈݊ሺ‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬൅ ͳሻ ൏ Ͳሽ ‫ܦ‬௙ ൌ ሼሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻǣ‫ ݕ‬൐ Ͳǡ ‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬൐ Ͳሽ ‫ ׫‬ሼሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻǣ‫ ݕ‬൏ Ͳǡ െͳ ൏ ‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬൏ Ͳሽ

El primer conjunto está formado por todos los puntos del plano que se encuentran arriba de la recta ‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬ൌ Ͳ y del eje ‫ݔ‬. Mientras que el segundo conjunto está formado por todos los puntos del plano que se encuentran entre las rectas ‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬ൌ െͳ y ‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬ൌ Ͳ y abajo del eje ‫ݔ‬.

11.

݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ൌ ‫ݖ‬ඥͶ െ ‫ ݔ‬ଶ െ ‫ ݕ‬ଶ

Solución. El dominio de la función de tres variables es ‫ܦ‬௙ ൌ ሼሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫ݖ‬ሻǣ Ͷ െ ‫ ݔ‬ଶ െ ‫ ݕ‬ଶ ൒ Ͳǡ ‫ ࣬߳ݖ‬ሽ

12. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ൌ ‫ି݊݅ݏ‬ଵ ‫ ݔ‬൅ ‫ି݊݅ݏ‬ଵ ‫ ݕ‬൅ ‫ି݊݅ݏ‬ଵ ‫ݖ‬ Solución.

‫ܦ‬௙ ൌ ሼሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫ݖ‬ሻǣ െͳ ൑ ‫ ݔ‬൑ ͳǡ െͳ ൑ ‫ ݕ‬൑ ͳǡ െͳ ൑ ‫ ݖ‬൑ ͳሽ La gráfica esta formada por todos los puntos del espacio que se encuentran dentro y sobre el cubo

Dibujar la grafica de la función dada  Página11 

CálculoMultivariable

 13.

݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ͷ

Solución. La gráfica de la función ‫ ݖ‬ൌ ͷ es un plano paralelo al plano ‫ݕݔ‬

14.

݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ͵‫ݔ‬

Solución. La gráfica de la función ‫ ݖ‬ൌ ͵‫ ݔ‬también es un plano el cual se grafica dibujando la recta en el plano ‫ ݖݔ‬y desplazándola sobre todo el eje ‫ݕ‬.

15.

݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ͸ െ ʹ‫ ݔ‬െ ͵‫ݕ‬

Solución. La gráfica es un plano que se dibuja uniendo los puntos de corte con los ejes coordenados

16.

݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ‫ ݕ‬ଶ

Solución. La gráfica de la función ‫ ݖ‬ൌ ‫ ݕ‬ଶ es un cilindro parabólico, el cual se realiza dibujando la parábola en el plano ‫ ݖݕ‬y desplazándola sobre todo el eje ‫ݔ‬. 17. 

݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ Ͷ െ ‫ ݔ‬ଶ െ ‫ ݕ‬ଶ Página12



FuncionesdeVariasVariables

 Solución. La gráfica de la función ‫ ݖ‬ൌ Ͷ െ ‫ ݔ‬ଶ െ  ‫ ݕ‬ଶ es un paraboloide elíptico, y se dibuja realizando la gráfica en las tres trazas principales (planos coordenados). x

Plano ‫ݕݔ‬ሺ‫ ݖ‬ൌ Ͳሻ ՜ ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ ൌ Ͷ

(circunferencia) x

Plano ‫ݖݔ‬ሺ‫ ݕ‬ൌ Ͳሻ ՜ ‫ ݖ‬ൌ Ͷ െ ‫ ݔ‬ଶ (parábola)

x

Plano ‫ݖݕ‬ሺ‫ ݔ‬ൌ Ͳሻ ՜ ‫ ݖ‬ൌ Ͷ െ ‫ ݕ‬ଶ (parábola)

ଵ

18. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ඥ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ ଶ Solución. La gráfica de la función ଵ ‫ ݖ‬ൌ ඥ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ es un semicono ଶ y se dibuja como el ejercicio anterior.

x Plano‫ݕݔ‬ሺ‫ ݖ‬ൌ Ͳሻĺ 0= ඥ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ ĺ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ ൌ Ͳ ଵ

x Plano‫ݖݔ‬ሺ‫ ݕ‬ൌ Ͳሻĺ z= ξ‫ ݔ‬ଶ = ȁ‫ݔ‬ȁ ଶ ଵ

ଵ

x Plano ‫ݖݕ‬ሺ‫ ݔ‬ൌ Ͳሻĺ z= ඥ‫ ݕ‬ଶ = ȁ‫ݕ‬ȁ x Plano ‫ ݖ‬ൌ ͳ ՜ ͳ ൌ

19.

ଵ ଶ

ଶ ଵ

ଶ ඥ‫ ݔ‬ଶ

݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ඥͶ െ ‫ ݔ‬ଶ െ ‫ ݕ‬ଶ

൅

‫ݕ‬ଶ

ଶ ଵ ଶ

ĺ ‫ݔ‬ଶ ൅ ‫ݕ‬ଶ ൌ Ͷ

Solución.

La gráfica de la función ‫ ݖ‬ൌ ඥͶ െ ‫ ݔ‬ଶ െ ‫ ݕ‬ଶ es la parte positiva de la esfera con centro en el origen y radio ʹ 20.

݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ඥ͸Ͷ െ ‫ ݔ‬ଶ െ Ͷ‫ ݕ‬ଶ

 Página13 

CálculoMultivariable

 Solución. La función ‫ ݖ‬ൌ ඥ͸Ͷ െ ‫ ݔ‬ଶ െ Ͷ‫ ݕ‬ଶ representa la parte positiva del elipsoide ௫మ

௬మ

௭మ

൅ ൅ ൌ ͳ y se dibuja realizando la gráfica de las ଺ସ ଵ଺ ଺ସ trazas en los planos coordenados . x Plano ‫ݕݔ‬ሺ‫ ݖ‬ൌ Ͳሻĺ

x Plano ‫ݖݔ‬ሺ‫ ݕ‬ൌ Ͳሻĺ x Plano‫ݖݕ‬ሺ‫ ݔ‬ൌ Ͳሻĺ

௫మ

൅

௬మ

ൌ ͳ (elipse)

଺ସ ଵ଺ ௫మ ௭మ ଺ସ ௬మ ଵ଺

൅

൅

଺ସ ௭మ

଺ସ

ൌ ͳ (media circunferencia)

ൌ ͳ (media elipse)

Para graficar las funciones de los ejercicios 21 y 22 es necesario el uso de una calculadora graficadora o un computador: 21.

݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ݈݊ ‫ ݔ‬െ ݈݊ ሺ‫ݕ ݊݅ݏ‬ሻ

Solución.

22.

݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ‫ି݊݅ݏ‬ଵ ሺ‫ ݔ‬െ ‫ݕ‬ሻ

Solución.

Describa y dibuje las curvas de nivel para las funciones indicadas y los valores de k especificados. 23. 

݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ‫ݕݔ‬ǡ݇ ൌ Ͳǡ േͳǡ േʹ Página14



FuncionesdeVariasVariables

 Solución. Las curvas de nivel están determinadas por la ecuación ‫ ݕݔ‬ൌ ݇, y son hipérbolas para los valores േͳ y േʹ, mientras que para ݇ ൌ Ͳ son los ejes coordenados x x

x

24.

Si ݇ ൌ Ͳ ՜ ‫ ݕݔ‬ൌ Ͳ ՜ ‫ ݔ‬ൌ Ͳǡ ‫ݒ‬ǡ ‫ ݕ‬ൌ Ͳ േ૚ Si ݇ ൌ േͳ ՜ ‫ ݕ‬ൌ 

Si ݇ ൌ േʹ ՜ ‫ ݕ‬ൌ 

࢞ േ૛ ࢞

݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ȁ‫ ݔ‬െ ‫ݕ‬ȁǡ݇ ൌ Ͳǡ ͳǡʹǡ͵

Solución. Las curvas de nivel son rectas paralelas dadas por la ecuación ʶ‫ ݔ‬െ ‫ݕ‬ʶ ൌ ݇ ĺ ‫ ݔ‬െ ‫ ݕ‬ൌ ݇ o ‫ ݔ‬െ ‫ ݕ‬ൌ െ݇ x

x

x

x

25.

Si ݇ ൌ Ͳ ՜ ‫ ݔ‬െ ‫ ݕ‬ൌ Ͳ

Si ݇ ൌ ͳ ՜ ‫ ݔ‬െ ‫ ݕ‬ൌ ͳ‫ ݔ݋‬െ ‫ ݕ‬ൌ െͳ Si ݇ ൌ ʹ ՜ ‫ ݔ‬െ ‫ ݕ‬ൌ ʹ‫ ݔ݋‬െ ‫ ݕ‬ൌ െʹ

Si ݇ ൌ ͵ ՜ ‫ ݔ‬െ ‫ ݕ‬ൌ ͵‫ ݔ݋‬െ ‫ ݕ‬ൌ െ͵

݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬െ ‫ ݕ‬ଶ ǡ݇ ൌ Ͳǡ േͳǡ േʹ

Solución. Las curvas de nivel están dadas ‫ ݔ‬െ ‫ ݕ‬ଶ ൌ ݇ ሺ‫ ݔ‬ൌ ‫ ݕ‬ଶ ൅ ݇ሻ, y son parábolas con vértice ሺ݇ǡ Ͳሻ, abren sobre el eje ‫ݔ‬ hacia la derecha.

x Si ݇ ൌ Ͳ ՜ ‫ ݔ‬ൌ ‫ ݕ‬ଶ

x Si ݇ ൌ ͳ ՜ ‫ ݔ‬ൌ ‫ ݕ‬ଶ ൅ ͳ

x Si ݇ ൌ െͳ ՜ ‫ ݔ‬ൌ ‫ ݕ‬ଶ െ ͳ

x Si ݇ ൌ ʹ ՜ ‫ ݔ‬ൌ ‫ ݕ‬ଶ ൅ ʹ x Si ݇ ൌ െʹ ՜ ‫ ݔ‬ൌ ‫ ݕ‬ଶ െ ʹ

26. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ

ଶ௫

௫ మ ା௬ మ 

,

݇ ൌ േͳǡ േ

ଵ ଶ

 Página15 

CálculoMultivariable

 Solución. Las curvas de nivel se determinan por circunferencias con centro en el eje ‫ݔ‬

ଶ௫

௫ మ ା௬ మ

ଶ

ൌ ݇ ՞ ‫ ݔ‬ଶ െ ‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬ଶ ൌ Ͳ, y son

x Si ݇ ൌ ͳ ՜  ሺ‫ ݔ‬ଶ െ ʹ‫ ݔ‬൅ ͳሻ൅‫ ݕ‬ଶ ൌ ͳ Luego, ሺ‫ ݔ‬െ ͳሻଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ ൌ ͳ x Si ݇ ൌ െͳ ՜ ሺ‫ ݔ‬ଶ ൅ ʹ‫ ݔ‬൅ ͳሻ ൅ ‫ ݕ‬ଶ ൌ ͳ Luego, ሺ‫ ݔ‬൅ ͳሻଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ ൌ ͳ ଵ x Si ݇ ൌ  ՜ ሺ‫ ݔ‬ଶ െ Ͷ‫ ݔ‬൅ Ͷሻ ൅ ‫ ݕ‬ଶ ൌ Ͷ, Luego, ሺ‫ ݔ‬െ ʹሻଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ ൌ Ͷ

௞

x Si ݇ ൌ െ ՜ ሺ‫ ݔ‬൅ ʹሻଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ ൌ Ͷ ଶ

ଵ ଶ

27. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ȁ‫ݔ‬ȁ െ ‫ݕ‬ǡ ݇ ൌ Ͳǡ േͳǡ േʹ

Solución. Las curvas de nivel están dadas ȁ‫ݔ‬ȁ െ ‫ ݕ‬ൌ ݇ ՞ ‫ ݕ‬ൌ ȁ‫ݔ‬ȁ െ ݇, y son la función valor absoluto desplazada verticalmente ݇ unidades. x x x x x

28.

Si ݇ ൌ Ͳ ՜ ‫ ݕ‬ൌ ȁ‫ݔ‬ȁ Si ݇ ൌ ͳ ՜ ‫ ݕ‬ൌ ȁ‫ݔ‬ȁ െ ͳ ܵ݅݇ ൌ െͳ ՜ ‫ ݕ‬ൌ ȁ‫ݔ‬ȁ ൅ ͳ Si ݇ ൌ ʹ ՜ ‫ ݕ‬ൌ ȁ‫ݔ‬ȁ െ ʹ Si ݇ ൌ െʹ ՜ ‫ ݕ‬ൌ ȁ‫ݔ‬ȁ ൅ ʹ

݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ͳ െ ȁ‫ݔ‬ȁ െ ȁ‫ݕ‬ȁ,

݇ ൌ Ͳǡ െͳǡ െʹ

Solución. Las curvas de nivel están dadas ͳ െ ȁ‫ݔ‬ȁ െ ȁ‫ݕ‬ȁ ൌ ݇ ՞  ȁ‫ݔ‬ȁ ൅ ȁ‫ݕ‬ȁ ൌ ͳ െ ݇, y son rombos que cortan a los ejes coordenados en ͳǡ ʹ‫ ͵ݕ‬respectivamente. Si ݇ ൌ Ͳ ՜  ȁ‫ݔ‬ȁ ൅ ȁ‫ݕ‬ȁ ൌ ͳ Para realizar la gráfica de la ecuación debemos hacerlo en cada cuadrante. a) I cuadrante, la ecuación es ‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬ൌ ͳ b) II cuadrante, la ecuación es Ȃ ‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬ൌ ͳ c) III cuadrante la ecuación es Ȃ ‫ ݔ‬െ ‫ ݕ‬ൌ ͳ d) IV cuadrante la ecuación es ‫ ݔ‬െ ‫ ݕ‬ൌ ͳ Para ݇ ൌ െͳ y ݇ ൌ െʹ se hace un proceso similar.

Describa las superficies de nivel para la función dada. 29. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬൅ ͵‫ ݕ‬൅ ͷ‫ݖ‬



Página16



FuncionesdeVariasVariables

 Solución. Las superficies de nivel se determinan por x+3y+5z=k, y son planos para todo valor real de k.

30. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ൌ

௫ మ ା௬ మ ௭

Solución. Las superficies de nivel estan dadas ecuación ଵ

௫ మ ା௬ మ ௭

ൌ ݇, y son paraboloides con

‫ ݖ‬ൌ ሺ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ ሻ, siempre que ݇ ് Ͳ. Si ݇ ൌ Ͳ la superficie de nivel es el eje ‫ݖ‬Ǥ ௞

31. Una placa metálica delgada en el plano ‫ ݕݔ‬, tiene temperatura ܶሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ en el puntoሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ . Las curvas de nivel de T se denominan isotermas porque en todos los puntos de una isoterma la temperatura es la misma. Trace algunas isotermas si la función de temperatura está dada por: ͳͲͲ ሺͳ ൅ ‫ ݔ‬ଶ ൅ ʹ‫ ݕ‬ଶ ሻ Solución. Las isotermas están dadas por la ecuación ܶሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ

ͳͲͲ ͳͲͲ ͳͲͲ ଶ ଶ ଶ ଶ ൌ ݇ ՞ ͳ ൅ ‫ݔ‬ ൅ ʹ‫ݕ‬ ൌ ՞ ‫ݔ‬ ൅ ʹ‫ݕ‬ ൌ െ ͳǡ ሺͳ ൅ ‫ ݔ‬ଶ ൅ ʹ‫ ݕ‬ଶ ሻ ݇ ݇

Ͳ ൏ ݇ ൑ ͳͲͲ

 Página17 

CálculoMultivariable



x x x

32.

Si ݇ ൌ ͳ ՜  ‫ ݔ‬ଶ ൅ ʹ‫ ݕ‬ଶ ൌ ͻͻ ‫ݔ‬ଶ ‫ݕ‬ଶ ൅ ൌ ͳሺ‫ ݁ݏ݌݈݅ܧ‬ሻ ͻͻ ͻͻ ʹ Si k=10ĺ ‫ ݔ‬ଶ ൅ ʹ‫ ݕ‬ଶ ൌ ͻ ‫ ݕ ʹݔ‬ଶ ൅ ൌ ͳሺ‫݁ݏ݌݈݅ܧ‬ሻ ͻ ͻ ʹ Si k=100ĺ‫ ݔ‬ଶ ൅ ʹ‫ ݕ‬ଶ ൌ Ͳ ሺ‫݊݁݃݅ݎ݋‬ሻ

Si ܸሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ es el potencial eléctrico en un punto ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ del plano ‫ݕݔ‬, entonces las curvas de nivel de V se llaman curvas equipotenciales porque en todos los puntos de dicha curva el potencial eléctrico es igual. Trace algunas curvas equipotenciales si ܿ ܸൌ ଶ ‫ ݎ‬െ ‫ݔ‬ଶ െ ‫ݕ‬ଶ donde c es una constante positiva.

Solución. Las curvas equipotenciales están dadas por ܿ ܿ ܿଶ ଶ െ ‫ݔ‬ଶ െ ‫ݕ‬ଶ ՞ ‫ݔ‬ଶ ൅ ‫ݕ‬ଶ ൌ ‫ݎ‬ଶ െ ඥ‫ݎ‬ ൌ ݇ ՞ ൌ ‫ݎ‬ଶ െ ‫ݔ‬ଶ െ ‫ݕ‬ଶ ݇ ݇ଶ ௖ Donde ‫ ݎ‬൒ . ௞

௖

௖

En el caso de que ݇ ൌ , la curva de nivel es el origen y si ݇ ൐ , las curvas de nivel son ௥

circunferencias centro en el origen y radio ට‫ ݎ‬ଶ െ

௖మ

௞మ

௥

 Página18



FuncionesdeVariasVariables



Ejercicios Propuestos Determinar si ‫ݖ‬es una función de ‫ ݔ‬e ‫ݕ‬ 1. 3.

‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݖݕ‬െ ‫ ݕݔ‬ൌ ͳͲ

௫మ ସ

൅

௬మ ଽ

൅ ‫ݖ‬ଶ ൌ ͳ

2. ‫ ݖݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕݔ‬െ ‫ ݕ‬ଶ ൌ Ͷ

4. ‫ ݖݔ‬ଶ ൅ ݈݊‫ ݕ‬െ ͺ ൌ Ͳ

5. Sea ݃ la función de las dos variables ‫ݔ‬,‫ݕ‬, y el conjunto de pares ordenados de la forma ሺܲǡ ‫ݖ‬ሻ tales que ‫ ݖ‬ൌ ඥ‫ ݔ‬ଶ െ ‫  ݕ‬՞ ݃ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ඥ‫ ݔ‬ଶ െ ‫ݕ‬ ଵ ିଷ Calcule: ሺܽሻ ݃ሺ͵ǡͷሻ; ሺܾሻ ݃ሺെͶǡ െͻሻ; ሺܿሻ ݃ሺ‫ ݔ‬൅ ʹǡͶ‫ ݔ‬൅ Ͷ); ሺ݀ሻ ݃ሺ ǡ మ ሻ ௫ ௫ 6. Sea ݂la función de las tres variables ‫ݔ‬, ‫ݕ‬, ‫ݖ‬, y el conjunto de pares ordenados de la forma ሺܲǡ ‫ݓ‬ሻ tales que Ͷ Ͷ ‫ݓ‬ൌ ଶ  ՞ ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ൌ ଶ ‫ ݔ‬൅ ‫ݕ‬ଶ ൅ ‫ݖ‬ଶ െ ͻ ‫ ݔ‬൅ ‫ݕ‬ଶ ൅ ‫ݖ‬ଶ െ ͻ ଵ ଷ Calcule: ሺܽሻ݂ሺͳǡʹǡ͵ሻ; ሺܾሻ݂ሺʹǡ െ ǡ ሻ; ሺܿሻ݂ሺ‫ ݔ‬൅ ʹǡͳǡ ‫ ݔ‬െ ʹሻ ଶ ଶ Describir y dibujar el dominio de la función dada. De ser posible por simple observación halle el recorrido. 7. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ඥͶ െ ‫ ݔ‬ଶ െ Ͷ‫ ݕ‬ଶ

9. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ݈݊ሺ‫ ݕݔ‬െ ͸ሻ 11. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ݁

10. ‫ ݖ‬ൌ

௫ା௬

௫

௫ି௬

12. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ξͻ െ ‫ ݔ‬ଶ  ൅ ݈݊ሺ‫ ݕ‬ଶ െ ͳሻ ଵା௫ మ

13. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ඥ‫ݕ ݊݅ݏ ݔ‬

14. ݂ሺ‫ݔ‬Ǥ ‫ݕ‬ሻ ൌ ‫ି݊ܽݐ‬ଵ ቀ

15. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ݈݊ሺ‫݈݊ ݔ‬ሺ‫ ݔ‬െ ‫ݕ‬ሻሻ

16. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ඥ–ƒሺŽሺ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ ሻሻ

17. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ඥ…‘•ሺ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ ሻ

18. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ Žሺ‫ݔ ‹• ݕ‬ሻ

21. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ Žሺ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ݕ‬ሻ

22. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ •‹ିଵ ሺ‫ ݔ‬൅ ‫ݕ‬ሻ

19. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ



௫ൗ ௬

௬

8. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ܿ‫ି ݏ݋‬ଵ ቀ ቁ

ଵ

ඥ୪୬ሺଶ௫ మ ାସ௬ మ ሻ

23. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ൌ Ž ‫ ݔ‬൅ Ž ‫ ݕ‬൅ Ž ‫ݖ‬

ଵା௬ మ

ቁ

20. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ඥ•‹ሺ‫ ݔ‬െ ‫ݕ‬ሻ

24. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ൌ ݈݊ሺͺ െ ‫ ݔ‬ଶ െ ‫ ݖ‬ଶ ሻ ൅ ȁ‫ݕ‬ȁ Página19



CálculoMultivariable

 25. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ൌ



௭

௫ మ ି௬

 26. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ൌ ‫ି •‘… ݖݕ‬ଵ ሺ‫ ݔ‬ଶ െ ͳሻ



27. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ൌ ඥͶ െ ‫ ݔ‬ଶ െ ‫ ݕ‬ଶ െ ‫ ݖ‬ଶ ൅ ݈݊ሺ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ ൅ ‫ ݖ‬ଶ െ ͳሻ Dibujar la superficie dada

28. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ͵

29. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ‫ݕ‬

30. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ͷ െ ‫ ݔ‬െ ͷ‫ݕ‬

31. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ‫ ݕ‬ଶ ൅ ͳ

32. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ܿ‫ݔݏ݋‬

33. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ͵ െ ‫ ݔ‬ଶ െ ‫ ݕ‬ଶ

34. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ Ͷ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ ൅ ͳ

35. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ඥͳ͸ െ ‫ ݔ‬ଶ െ ͳ͸‫ ݕ‬ଶ

36. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ඥ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ

Describir y dibujar las curvas de nivel para la función y los valores dados de k. 37. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ȁ‫ ݔ‬ଶ െ ‫ݕ‬ȁǡ ݇ ൌ Ͳǡͳǡʹǡ͵ǡͶ

39. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ

ଶ௬

௫ మ ା௬ మ

ǡ ݇ ൌ േͳǡ േʹ

41. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ •‹ିଵ ሺ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ݕ‬ሻǡ ߨ ߨ ߨ ߨ ݇ ൌ െ ǡ െ ǡ Ͳǡ ǡ ʹ Ͷ Ͷ ʹ

43. ‫ ݖ‬ൌ ඥʹͷ െ ‫ ݔ‬ଶ െ ‫ ݕ‬ଶ ǡ ݇ ൌ Ͳǡʹǡͷ

45. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ‫ ݕ‬െ ܿ‫ݔݏ݋‬ǡ݇ ൌ Ͳǡ േͳǡ േʹ

47. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ݁

ଵൗ ௫ మ ା௬ మ  ǡ݇

ൌ ʹǡ ͵ǡ Ͷǡ ͷ

38. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬ଶ െ ‫ ݕ‬ଶ ǡ ݇ ൌ Ͳǡ േͳǡ േʹ

40. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ȁ‫ݔ‬ȁǡ ݇ ൌ ͲǡͷǡͳͲǡͳͷ

42. ‫ ݖ‬ൌ ͸ െ ʹ‫ ݔ‬െ ͵‫ݕ‬ǡ ݇ ൌ ͸ǡͳʹǡʹͶ 44. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬ଶ ‫ݕ‬ǡ ݇ ൌ െͳǡ͵ǡ͸ 46. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ

௫ା௬

௫ି௬

ǡ ݇ ൌ Ͳǡ േͳǡ േʹ

48. Encuentre una ecuación para la curva de nivel de la función dada ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ‫ିƒ– ݕ‬ଵ ‫ ݔ‬y que pasa por el punto ሺͳǡͶሻ

49. Encuentre una ecuación para la superficie de nivel de la función dada  Página20



FuncionesdeVariasVariables



݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬ଶ ൅ Ͷ‫ ݕ‬ଶ െ ‫ ݖ‬ଶ y que pasa por el punto ሺʹǡ െͳǡ͵ሻ

Dibujar la gráfica de la superficie de nivel ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ൌ ݇ para el valor de ݇que se especifica

50. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬െ ʹ‫ ݕ‬൅ ͵‫ݖ‬ǡ ݇ ൌ ͸ 52. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ ൅ ‫ ݖ‬ଶ ǡ ݇ ൌ Ͷ

54. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ൌ െ‫ ݔ‬ଶ ൅ Ͷ‫ ݕ‬ଶ ൅ Ͷ‫ ݖ‬ଶ ǡ ݇ ൌ Ͳ

51. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ൌ Ͷ‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬൅ ʹ‫ݖ‬ǡ݇ ൌ Ͷ 53. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ൌ Ͷ‫ ݔ‬ଶ ൅ Ͷ‫ ݕ‬ଶ െ ‫ ݖ‬ଶ ǡ ݇ ൌ Ͳ 55. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ൌ ‫ ݔ݊݁ݏ‬െ ‫ݖ‬ǡ݇ ൌ Ͳ

Describa las superficies de nivel de las siguientes funciones

56. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ൌ ͻ‫ ݔ‬ଶ െ Ͷ‫ ݕ‬ଶ െ ‫ ݖ‬ଶ

58. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ൌ Žሺ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ ൅ ‫ ݖ‬ଶ ሻ

57. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ െ ‫ ݖ‬ଶ 59. ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ൌ Ͷ‫ ݔ‬ଶ െ ͻ‫ ݕ‬ଶ

60. Explotación Florestal: la regla de los troncos de Doyle es uno de varios métodos para determinar el rendimiento en madera aserrada (en tablones –pie) en términos de su diámetro ݀ (en pulgadas) y su longitud ‫( ܮ‬pies). El número de tablones –pie esta dado ܰሺ݀ǡ ‫ܮ‬ሻ ൌ ൬

݀െͶ ଶ ൰ ‫ܮכ‬ Ͷ

1. Hallar el número de tablones –pie de madera aserrada producida por un tronco de 22 pulgadas de diámetro y 12 pies de longitud 2. Evaluar ܰሺ͵Ͳǡͳʹሻ 61. Distribución de temperatura. La temperatura ܶ (en grados Celsius) en cualquier punto ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ de la placa metálica circular de acero de 10 metros de radio dada ܶሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ͸ͲͲ െ ͲǤ͹ͷ‫ ݔ‬ଶ െ ͲǤ͹ͷ‫ ݕ‬ଶ ǡdonde ‫ݔ‬e ‫ ݕ‬se miden en metros. Dibujar algunas de las curvas isotermas. 62. Costo de producción Una caja rectangular abierta por arriba tiene ‫ݔ‬pies de longitud, ‫ ݕ‬pies de ancho y ‫ ݖ‬pies de alto. Construir la base cuesta $0.75 por pie cuadrado y construir los lados $0.40 por pie cuadrado . Expresar el costo ‫ܥ‬ de construcción de la caja en función de ‫ݔ‬ǡ ‫ ݕ‬y ‫ݖ‬. 63. Ley de los gases ideales. De acuerdo con la ley de los gases ideales, ܸܲ ൌ ‫ܶܭ‬, donde ܲes la presión, ܸ es el volumen, ܶ es la temperatura (grados Kelvin) , y ‫ ܭ‬es una constante de proporcionalidad . Un tanque contiene 2600 pulgadas cúbicas de nitrógeno a una presión de 20 libras por pulgada cuadrada y una temperatura de 300° K. a) Determine ‫ܭ‬ b) Exprese ܲ como función de ܸ y ܶ y describir las curvas de nivel.  Página21 

CálculoMultivariable



భ

మ

64. La función de producción ݂ para cierto articulo está definida por ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ Ͷ‫ ݔ‬య ‫ ݕ‬య ,

donde ‫ ݔ‬y ‫ ݕ‬son las cantidades de los insumos. Dibuje un mapa de contorno de ݂ que muestre las curvas de producción constante para ͵Ͳǡ ʹͶǡ ͳͺǡ ͳʹǡ ͸Ǥ 65. La presión de un gas en el punto ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ del espacio tridimensional es ܲሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ మ

మ

మ

atmósferas, donde ܲሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ൌ Ͷ݁ ିሺ௫ ା௬ ା௭ ሻ . Describa las superficies de nivel, denominadas superficies isobáricas, de ܲ para Ͷǡ ʹǡ ͳǡ ͳȀʹ.

 Página22



Después de analizar los conceptos más importantes de funciones en dos y tres variables, nos enfocaremos en extender el concepto de límite para este tipo de funciones. Inicialmente debemos recordar que el concepto intuitivo de límite para una función en una variable ࢒࢏࢓ ࢌሺ࢞ሻ ൌ ࡸǡ se quiere significar que cuando ࢞se acerca más y más al valor real ࢞՜ࢇ

ࢇǡ ࢌሺ࢞ሻ se aproxima más y más a ࡸǤ Recuérdese que cuando afirmamos que ࢞se acerca mas y mas al valor ࢇqueremos expresar que ࢞se aproxima arbitrariamente a este valor desde cualquier lado de ࢇ(derecha o izquierda). Además, el límite debe ser el mismo cuando ࢞se acerca al valor de ࢇen las dos direcciones. Para funciones en varias variables, la idea es similar. Cuando expresamos ࢒࢏࢓ ࢌሺ࢞ǡ ࢟ሻ ൌ ࡸ ሺ࢞ǡ࢟ሻ՜ሺࢇǡ࢈ሻ

Queremos afirmar que cuando ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ se acerca más y más al punto ሺܽǡ ܾሻ, ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻse aproxima más y más al valor real L. En este caso ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ se puede acercar al punto ሺܽǡ ܾሻ por cualquier trayectoria que pase por este punto. Observemos que, a diferencia de lo que ocurre con las funciones de una variable, hay infinitas trayectorias diferentes que pasan por el punto dado ሺܽǡ ܾሻ. Por tanto, si encontramos dos trayectorias que pasan por el punto ሺܽǡ ܾሻ , donde la función tiende a valores diferentes o se disparen, entonces no existe ݈݅݉ ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ሺ௫ǡ௬ሻ՜ሺ௔ǡ௕ሻ

En el

݈݅݉

௖௢௦௫௬

ሺ௫ǡ௬ሻ՜ሺగǡଵሻ ௬ మ ାଵ

debemos identificar qué ocurre con la función ݂ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ

ୡ୭ୱ ௫௬ ௬ మ ାଵ

, cuando

࢞se acerca a ߨ y ࢟se acerca a 1, simultáneamente. Es inmediato observar que la función

se aproxima al valor Por tanto,

௖௢௦ሺగ‫כ‬ଵሻ ሺଵሻమ ାଵ

ൌ

ିଵ ଶ

݈݅݉

ͳ ܿ‫ݕݔݏ݋‬ ൌെ ʹ ൅ͳ

ሺ௫ǡ௬ሻ՜ሺగǡଵሻ ‫ ݕ‬ଶ

De manera similar, se puede razonar que

݁ ௫ା௬ି௭ ݁ ଵାଵିଶ ݁ ଴ ൌ ൌ ൌ െͳ ሺ௫ǡ௬ǡ௭ሻ՜ሺଵǡଵǡଶሻ ‫ ݔ‬െ ‫ݖ‬ ͳെʹ െͳ Ž‹

En otras palabras, para muchas funciones, podemos evaluar límites por simple inspección. Pero nuestro interés es estudiar límites que no son inmediatos.  Página23



CálculoMultivariable

 Ahora recordemos la definición formal de límite para una función en una variable.

Definición Sea ࢌuna función en una variable, definida en un intervalo abierto que contiene al valor ࢇ, excepto posiblemente en ࢇ, decimos ࢒࢏࢓ ࢌሺ࢞ሻ ൌ ࡸ ࢞՜ࢇ

Si para todo ࢿ ൐ Ͳ, existe su correspondiente ߜ ൐ Ͳ tal que

ȁࢌሺ࢞ሻ െ ࡸȁ ൏ ߝ Siempre que 0