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• Wolfgang Fernando Ortiz Peralta

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UNIVERSIDAD DE PAMPLONA ´ FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS ´ CALCULO MULTIVARIABLE TALLER DOCENTE DARWIN ORTIZ

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NOTA:

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c´ odigo:

FECHA: 1. Un fabricante ha modelado su producci´ on anual como una funci´on P (el valor monetario de toda su producci´ on en millones de d´ olares) como una funci´ on de Cobb-Douglas P (L, K) = 1,47L0,65 K 0,35 donde L es el n´ umero de horas de mano de obra (en miles) y K es el capital invertido (en millones de d´olares). Encuentre P (120, 20) e interpr´etelo. 2. Una plancha delgada de metal, situada en el plano xy, est´a a una temperatura T (x, y) en el punto (x, y). Las curvas de nivel de T se llaman isotermas porque la temperatura es igual en todos los puntos sobre la curva. Trace algunas isotermas si la funci´ on de temperatura est´ a dada por 100 T (x, y) = 1 + x2 + 2y 2 3. Si V (x, y) es el potencial el´ectrico en un punto (x, y) del plano xy, entonces las curvas de nivel de V se llaman curvas equipotenciales, porque en todos los puntos de dicha curva el potencial el´ectrico es el mismo. Trace algunas curvas equipotenciales c si V (x, y) = p , donde c es una constante positiva. 2 r − x2 − y 2 4. Mediante coordenadas polares determine el l´ımite. a) b)

x3 + y 3 (x,y)→(0,0) x2 + y 2 l´ım

l´ım

(x2 + y 2 ) ln(x2 + y 2 )

(x,y)→(0,0) 2

2

e−x −y − 1 c) l´ım x2 + y 2 (x,y)→(0,0) 5. El ´ındice de temperatura de sensaci´ on se modela mediante la funci´on W = 13,12 + 0,6215T − 11,37v 0,16 + 0,3965v 0,16 donde T es la temperatura (O C) y v es la rapidez del viento (km/h). Cuando T = −15O C y v = 30km/h, ¿cu´ anto esperar´ıa con certeza usted que cayera la temperatura aparente W si la temperatura real disminuye 1O C? ¿Y si la rapidez del viento se incrementa 1km/h? 6. La ecuaci´ on de Van der Waals para n moles de un gas es   2 n a P + 2 (V − nb) = nRT V donde P es la presi´ on, V el volumen y T la temperatura del gas. La constante R es la constante universal del gas y a y b son constantes positivas caracter´ısticas de un gas en particular. ∂T ∂P Calcule y . ∂P ∂V 1

7. La longitud l, ancho w y altura h de una caja cambia con el tiempo. En un cierto instante, las dimensiones son l = 1m y w = h = 2m, y l y w se incrementan a raz´ on de 2m/s, en tanto que h disminuye a raz´on de 3m/s. Encuentre en ese instante las razones a las cuales las siguientes magnitudes cambian. a) El volumen b) El ´ area superficial c) La longitud de la diagonal 8. Demuestre que cualquier funci´ on de la forma z = f (x + at) + g(x − at) es una soluci´ on de la ecuaci´ on de onda 2 ∂ z ∂2z = a2 2 ∂t2 ∂x [sugerencia: sea u = x + at, v = x − at ] 9. Suponga que en una cierta regi´ on del espacio el potencial el´ectrico V est´a dado por V (x, y, z) = 5x2 − 3xy + xyz. a) Determine la raz´ on de cambio del potencial en P (3, 4, 5) en la direcci´on del vector v = i + j − k. b) ¿En qu´e direcci´ on cambia V con mayor rapidez en P ? c) ¿Cu´ al es la raz´ on m´ axima de cambio en P ? 10. Demuestre que la suma de las intersecciones con los ejes x, y y z de cualquier plano tangente a la superficie √ √ √ √ x+ y+ z = c 11. Calcule

∂z ∂z y mediante derivaci´ on impl´ıcita si x − z = tan−1 (yz) ∂x ∂y

12. Encuentre tres n´ umeros positivos a, b y c suya suma sea 30 y la expresi´on ab2 c3 sea un m´aximo.

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