• Author / Uploaded
• Hola

Citation preview

1.Calcula el volumen del primer octante acotado por el paraboloide circular z=x 2 + y 2 el cilindro x 2+ y 2=4 y los planos coordenados. Tenemos, que la región de integración sería acotada por el cilindro x 2+ y 2=4 y los planos coordenados en el primer octante. Usamos coordenadas polares, donde r =√ x 2 + y 2=2 ,y

≤ θ ≤2 π , al estar la región acotada en el primer octante, la variable 0 ≤ θ ≤ ≤ 2. El diferencial de área en coordenadas polares es dA=rdrdθ . Entonces, el volumen es: π 2 2

π 2 2

π 2

4 2

π 2

π

r V =∫ ∫ r rdrdθ=∫ ∫ r drdθ=¿ ∫ drdθ=∫ 4 dθ= 4 θ|02 =2 π ¿ 4 0 0 0 0 0 0 0 2

3

Entonces, el volumen es V=2 π u3 .

|

0

π , mientras que 0 ≤ r 2

2.Calcula el volumen del sólido que tiene como base el plano acotado por la parábola y=9−x 2 y la línea recta descrita por la ecuación y=4−x . En la parte superior del sólido está acotado por el plano z=x+3. Tenemos que la base del solido en el plano xy está acotada por l y=9−x 2y y=4−x . Calculando la intersección de estos lugares geométricos:

9−x 2=4−x x 2−x−5=0 Usando la formula general para ecuaciones cuadráticas:

x 1=

1+ √ 21 1− 21 =2.8 ; x 2= √ =−1.8 2 2

Entonces, tenemos la región de integración: R=

−1.8 ≤ x ≤2.8 {4−x ≤ y ≤ 9−x

2

Entonces: 2

2.8 9− x

V= ∫

2.8

∫ ( x+ 3) dy d x =¿ ∫

−1.8 4−x

2

9−x 4− x

y (x +3)|

−1.8

V =−12.742−18.522+18.4+69=56.1353 Así, el volumen es V=56.1353 U 3.

2.8

−x 4 dx= ∫ (−x −2 x + 8 x +15) dx=¿ 4 −1.8 3

2

2.8

2.8

2 x3 − +4 x 22.8 −1.8 + 15 x 3 − 1.8 − 1.8

|

|

3. Encuentra el volumen del primer octante del sólido acotado por las siguientes superficies:

z=1− y 2 , y=2 x , x=3 Tenemos en el plano xy, la siguiente vista:

1 2

Donde la línea negra es la vista del plano y=2 x , la verde x=3 y la azul es x= , recta en xy que usaremos para delimitar la región de integración. Tendremos dos regiones;

R 1=

1 1 ≤ x≤3 ; R 2= 2 2 0≤ y ≤2x 0≤ y≤1

{

{

0≤ x≤

Entonces; 1 2 2x

3 1 2

V =∫ ∫ (1− y ) dydx+∫ ∫ (1− y 2 ) dydx 0

0

1 0 2

1 2 2x

1 2

Donde

I 1=∫ ∫ (1− y 2)dydx=∫ ( y+ 0 0

0

2x

1

1

y3 2 5 ) dx=¿ x 2|02 −¿ x 4 2 = ¿ ¿ 3 0 3 0 24

|

|

Y

3 1

3

1

3

y3 2 5 I 2=∫ ∫ (1− y )dydx=∫ ( y − ) dx =¿∫ dx= ¿ 3 0 3 1 0 1 1 3 2

2

Así; V =

2

5 5 + =1.875 u3 24 3

|

2

4. Dibuja le región acotada por las curvas representadas por la curva y=x 2 y la curva y=8−x 2. Expresa el área de esta región por medio de una integral doble y evalúa la integral para encontrar el área. Buscamos las abscisas donde ocurre la intersección de ambas curvas;

x 2=8−x 2 2 x2 −8=0 x 1,2=2 ,−2 Entonces, nuestra región de integración será: R=

x≤2 {x −2≤ y≤≤8−x 2

2

Calculando el área: 2

2 8− x

A=∫ −2

∫ x

2

2

2

2

2 3 dydx=¿ ∫ (8−x −x )dx=¿ ∫ (8−2 x )dx=¿ 8 x| − x ¿ ¿ ¿=21.33333 3 −2 −2 −2 2

2

Entonces, el área es A=21.33333u 2

2

2 −2

|