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• Steven Surez

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EJERCICIOS CAPÍTULO 1 1.- Proporcione una descripción razonable del espacio muestral de cada uno de los siguientes experimentos aleatorios. Utilice un diagrama de árbol. a.- Lanzar tres veces una moneda y observar la serie de sellos o caras que aparecen. R// Cara

CCC

Sello

CCS

Cara

CSC

Sello

CSS

Cara

SCC

Sello

SCS

Cara

SSC

Sello

SSS

Cara Cara Sello Moneda Cara Sello Sello

E={CCC ,CCS ,CSC , CSS , SCC , SCS , SSC , SSS } b.- Tirar un dado, si el resultado es un número par lanzar una moneda, si el resultado es un número impar lanzar una moneda dos veces. R//

Dado Par

2

Cara

Impar

4

Sello Cara

6

Cara Sello

1

Sello

3

5

Cara

Sello

Cara

Sello

Sello

Cara

Sello

Cara

Cara

Sello

Sello

Cara

2.- Se desea observar una familia que posee dos automóviles y para cada uno observamos si fue fabricado en Colombia, si es americano o si es Europeo. a.- Cuales son los posibles resultados de este experimento? R// C= Fabricado en Colombia A= Fabricado en América E= Europeo R= Resultados del Experimento R={ ( C , C ) ; ( A , A ) ; ( E , E ) ; ( C , A ) ; ( C , E ) ; ( A , E ) } b.- Defina el evento A: Los dos automóviles no son fabricados en Colombia E,E ( A , A ) ; (¿); ( A , E)} A=¿ B: Un automóvil es colombiano y el otro no. B={ (C , A ) ; ( C , E ) } c.- Defina los eventos

A ∪B

y B∩ A .

A ∪B={ ( A , A ) ; ( E , E ) ; ( A , E ) ; ( C , A ) ; (C , E ) } B ∩ A=∅

3- La biblioteca de una universidad tiene cinco ejemplares de un cierto texto en reserva, Dos ejemplares (1 y 2) son primera edición y los otros tres (3, 4 y 5) son segundas ediciones. Un estudiante examina estos libros en orden aleatorio, y se detiene cuando selecciona una segunda impresión. Ejemplos de resultados son: 5, 213. a.- haga una lista de los elementos de S R// S es el conjunto de elementos que incluye a todos los elementos que existen o el conjunto universal. Luego: S={1,2,3,4,5} b.- Liste los eventos A: el libro 5 es seleccionado, B: exactamente un libro debe ser examinado, C: el libro 1 no es examinado R// A={5}

- Uno de los libros debe ser examinado. B puede ser cualquier valor. Pero como anteriormente se selecciono el libro 5 y este corresponde a la segunda edición, se puede asumir que este es el libro examinado. B={5} - Todos los libros se seleccionan menos el primero. Entonces: C={2,3,4,5} c.- Encuentre: A ∪B

A ∪ B , B ∩ A .,

A ∪C

y B ∩C .

El libro que A utiliza es {5} y como B es el quinto libro también, entonces la unión es solamente el quinto libro. A ∪B={5 } B∩ A Tanto como A y B son el quinto libro, la intercepción es este. Es el valor que está en ambos. A ∩B={5 } A ∪C Todos los elementos de a y todos los elementos de c. A ∪C={2,3,4,5 } B ∩C El único elemento que esta tanto el B como en C, es el quinto libro. B ∩C={5 } 4.- Dos estaciones de gasolina se encuentran en un cierto cruce de la ciudad, en cada una hay 4 bombas para despacho de gasolina. Considere el experimento en que el número de bombas en uso en un día particular se determina para cada una de las estaciones. Un resultado experimental especifica cuantas bombas están en uso en la primera estación y cuantas están en uso en la segunda. a.- Cuales son los posibles resultados del experimento R// Los posibles resultados son R = {0, 1, 2, 3, 4} para cada estación. Luego los posibles resultados para ambas estaciones vienen dados por el producto cartesiano de RxR, es decir:

{(0,0), (0,1), (0,2), (0,3), (0,4), (1,0), (1,2), (1,3), (1,4), (2,0), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,0), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,0), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4)} b.- Defina el evento A: el número de bombas en uso es el mismo en ambas estaciones, R// Evento A: {(0,0), (1,1), (2,2), (3,3), (4,4)} el evento B: el número de bombas en uso es máximo dos en cada estación, R// Evento B: {(0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (2,2)} el evento C: el número total de bombas en uso en ambas estaciones es cuatro. R// Evento C: {(0,4), (1,3), (2,2), (3,1), (4,0)}. c.- Defina A u B, R// A u B = { (0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 2), (2, 0), (2, 1) } BnC R// B n C = {(2, 2)} 5.- El siguiente diagrama de Venn contiene tres eventos. Reproduzca la figura y sombree la región que corresponde a cada uno de los siguientes eventos:

a. A´ R//

b. A n B R//

c. (A n B) u C R//

d. (B u C)’ R//

e. (A n B)’ u C R//

6.- Una mujer es portadora de hemofilia clásica. Esto significa que, aunque la mujer no tenga hemofilia, puede transmitir la enfermedad a sus hijos. Ella tiene tres hijos. Describa el espacio muestral de este experimento. R// Llamamos H al nino enfermo de hemofilia y N al nino normal. S={HHH , HHN , HNH , HNN , NHH , NHN , NNH , NNN } 7.- En una encuesta realizada entre 200 inversionistas activos, se halló que 120 utilizan corredores por comisión, 126 usan corredores de tiempo completo y 64 emplean ambos tipos de corredores. Determine el número de inversionistas tales que: a. Utilizan al menos un tipo de corredor.

b. Utilizan exactamente un tipo de corredor. c. Utilizan sólo corredores por comisión. d. No utilizan corredores. Represente con un diagrama de Venn este espacio muestral y los eventos relacionados. Indique el número de resultados en cada región del diagrama. R//

a) 120+126-64 = 182 b) (120-64)+(126-64)= 118 c) 120-64=56 d) 200-182= 18 8.- La tabla siguiente presenta un resumen de las características solicitadas en 100 órdenes de compra de computadores.

Sean: A: evento donde la orden de compra es solicitada sin memoria adicional y sin procesador opcional de alta velocidad. B: evento donde la orden de compra es solicitada sin memoria adicional. Determine el número de muestras en A’ n B, B’ y A u B. Dibuje un diagrama de Venn que represente estos datos. R// A`= (25) A` n B= (10) B`= (15) AUB= (85) 9.- Se le pidió a 110 comerciantes que dijeran que tipo de programa de televisión preferían. La tabla muestra las respuestas clasificadas a la vez según el nivel de estudios de los comerciantes y según el tipo de programa preferido.

Especifique el número de elementos en cada uno de los siguientes eventos y defínalos con palabras: a) D, R//Preferencia programa deportivo (D), total 30, nivel de estudio, colegio, universitario, Postgrado. b) A u M R// Preferencias programa de Drama en nivel de estudio colegio total 5, Universidad 5, Postgrado 15. c) W ` R// Complemento a Preferencias de programas en comedia, total 95, programas Deportes, Noticia y Drama. d) C n N R// Intersección Nivel de postgrado en preferencias en noticias total 10. e) D n B R// Intersección tipo de programa de deportes en nivel universitario total 8. f) (M n A) ´ R// Complemento a intersección en Preferencias de programas de drama en el nivel de colegio, están el nivel de universidad con 5 y nivel de postgrado con15. EJERCICIOS CAPÍTULO 2. 1.- Suponga que una persona que vive en el municipio de Bello (Antioquia) trabaja en el centro de la ciudad de Medellín. Para llegar a su sitio de trabajo, este tiene tres rutas distintas para llegar a la Autopista y de allí puede tomar otras tres rutas para llegar al centro de la ciudad. En el centro, puede tomar cuatro rutas para llegar al parqueadero más cercano a su oficina. ¿De cuántas maneras o rutas distintas podría tomar la persona para llegar de la casa al parqueadero más próximo a su oficina? R// Número de rutas para llegar a la autopista: N1 ═ 3 Número de rutas para llegar al centro de la ciudad: N2 ═ 3 Número de rutas para llegar al parqueadero: N3 ═ 4 Aplicando el principio de la multiplicación tenemos: N1 X N2 x N3═ (3) (3) (4) ═36 Por lo tanto se pueden realizar 36 rutas distintas para llegar de la casa al parqueadero. 2.- En un restaurante en el centro de la ciudad ofrecen almuerzos ejecutivos con las siguientes opciones: tres tipos diferentes de sopa, cuatro tipos de carne con la

bandeja, cuatro bebidas a escoger y dos tipos de postre. ¿De cuántas maneras puede un comensal elegir su menú que consista de una sopa, una carne para su bandeja, una bebida y un postre? R// Tipos de sopa: N1 ═ 3 Tipos de carne: N2 ═ 4 Tipos de bebida: N3 ═ 4 Tipos de postre: N4 ═ 2 Aplicando el principio de la multiplicación tenemos: N1 X N2 x N3 x N4 ═ (3) (4) (4) (2) ═96 Un comensal puede elegir su menú de 96 maneras diferentes. 3.- Si un futbolista conoce 7 jugadas diferentes y si el entrenador le instruye para que juegue las 7 sin que ninguna se repita, ¿qué libertad le queda a ese jugador? R// 7! ═ 7X6X5X4X3X2X1═ 5.040 Que es lo mismo que: Siete permutado siete, es decir: 7P7 ═ 7! (7-7) ═ 7! 0! ═ 7! 1 ═ 7!═ 5.040 Por lo tanto el jugador le queda la libertad de realizar 5.040 jugadas diferentes. 4.-¿Cuántas permutaciones pueden efectuarse con el conjunto S={a,b,c,d}? Describa cada una de las permutaciones posibles. R// nPr ═ n! (n-r)! ═ 4! (4-4)! ═ 4! 0! ═ 4! 1 ═ 4!═ 4x3x2x1═ 24 permutaciones Las 24 permutaciones son: 5 ═ {a, b, c, d} abcabdacdbcd acbadbadcbdc bacbadcadcbd bcabdacdacdb cabdabdacdcb cbadbadcadbc 5.- ¿Cuántas permutaciones distintas pueden formarse con las letras de la palabra PROBABILIDAD? R//

En este caso encontramos que hay varios elementos que se repiten, entonces utilizamos la definición de: Permutaciones con repetición: La p se repite 1 vez -- N1 ═ 1 La r se repite 1 vez -- N2 ═ 1 La o se repite 1 vez -- N3 ═ 1 La b se repite 2 veces -- N4 ═ 2 La a se repite 2 veces -- N5 ═ 2 La i se repite 2 veces -- N6 ═ 2 La l se repite 1 vez -- N7 ═ 1 La d se repite 2 veces -- N8 ═ 2 Total: n ═ 12 Por lo tanto: n! n1.n2!…n1! ═ 12! 1! 1!1!2!2!2!1!2! ═ 12! 1.1.1.(2x1)(2x1)(2x1)1(2x1) ═ 12! 2x2x2x2 ═ 12! 16 ═12x11x10x9x8x7x6x5x4x3x2x116 ═47900160016 ═ 29, 937,600 permutaciones. Se puede realizar 29, 937,600 permutaciones distintas con la palabra probabilidad. 6.- Dados los siguientes seis números: 2, 3, 5, 6, 7, 9; y si no se permiten repeticiones, resuelva: ¿Cuántos números de tres dígitos se pueden formar con estos seis dígitos? R// 6P3 ═ 6! (6-3)! ═ 6! 3! ═ 6x5x4x3! 3! ═ 120 números ¿Cuántos de estos son menores de 400? R// 1 Cifra | 2 Cifra | Ultima cifra | 2 5 4 entonces 2x5x4 ═ 40 números Explicación: Para que el número sea menor a 400 debe empezar por 2 ó 3, es decir se tienen dos posibilidades. Para la primera cifra, como en la primera cifra ya se coloca un número y no hay repetición, entonces solo quedan 5 números para el segundo digito. Por último solo quedarían 4 números para ocupar la última cifra. ¿Cuántos son pares? R// 1 Cifra | 2 Cifra | Ultima cifra | 4 5 2 entonces 4x5x2 ═ 40 números ¿Cuántos son impares? R// 1 Cifra | 2 Cifra | Ultima cifra | 4 5 4 entonces 4X5X4 ═ 80 números

¿Cuántos son múltiplos de cinco? R// 1 Cifra | 2 Cifra | Ultima cifra | 4 5 1 entonces 4X5X1 ═ 20 números 7.- Una tarjeta de circuito impreso tiene ocho posiciones diferentes en las que puede colocarse un componente. Si se van a colocar cuatro componentes distintos sobre la tarjeta, ¿cuál es el número de diseños diferentes posible? R// nPr ═ Vrn ═ n! (n-r)! 8P4 ═ Vrn ═ 8! (8-4)! ═ 8! 4! ═ 8x7x6x5x4!4! ═ 1680 diseños El número de diseños diferentes posibles es 1.680 8.- En una pizzería se anuncia que ofrecen más de 500 variedades distintas de pizza. Un cliente puede ordenar una pizza con una combinación de uno o más de los siguientes nueve ingredientes: jamón, champiñones, piña, pimentón, salchicha, cebolla, peperoni, salami y aceitunas. ¿Es cierto lo que afirma su publicidad? R// Si por ejemplo se elige piña y salchicha, es lo mismo que elegir salchicha y piña. Pero si se elige salchicha y peperoni, no es lo mismo que salchicha y jamón. En este caso se tienen elementos, (ingredientes), para ordenar una pizza con uno ó más de estos ingredientes, por lo tanto utilizamos combinatorias. ( nr ) ═ n! (n-r)r! ( 91 ) ═ 9! 1!( 9-1)! ═ 9! 8! ═ 9 ( 92 ) ═ 9! 2!( 9-2)! ═ 9! 2!7! ═ 36 ( 93 ) ═ 9! 3!( 9-3)! ═ 9! 3!6! ═ 84 ( 94 ) ═ 9! 4!( 9-4)! ═ 9! 4!5! ═ 126 ( 95 ) ═ 9! 5!( 9-5)! ═ 9! 5!4! ═ 126 ( 96 ) ═ 9! 6!( 9-6)! ═ 9! 6!3! ═ 84 ( 97 ) ═ 9! 7!( 9-7)! ═ 9! 7!2! ═ 36 ( 98 ) ═ 9! 8!( 9-8)! ═ 9! 8!1! ═ 9 ( 99) ═ 9! 9!( 9-9)! ═ 9! 9!0! ═ 1 Entonces: ( 91)+ ( 92)+ ( 93)+ ( 94)+ ( 95)+ ( 96)+ ( 97)+ ( 98)+ ( 99) ═ 9+36+84+126+126+84+36+9+1 ═ 511 Las variedades distintas de pizza es la suma de todas las combinaciones posibles. Por lo tanto es cierto lo que anuncia la publicidad, porque evidentemente si son más de 500 variedades distintas de pizza.

9.- El itinerario de un recorrido turístico por Europa incluye cuatro sitios de visita que deben seleccionarse entre diez ciudades. ¿En cuántas formas diferentes puede planearse este recorrido si: Es importante el orden de las visitas? R// nPr ═ n! (n-r)! n═ 10 y r ═ 4 10P4 ═ 10! (10-4)! ═ 10! 6! ═ 3628800720 ═ 5040 formas No importa el orden de las visitas? R// ( nr ) ═ n! r! (n-r)! n═ 10 y r ═ 4 ( 104 ) ═ 10! 4!10-4)! ═ 10! 4!6! ═ 210 formas 10.- El muy conocido BALOTO electrónico es un juego de azar que consiste en acertar en 6 números de 45 posibles para ganar el premio mayor. Calcule cuántos boletos de juego debe usted comprar para asegurar que tendrá el boleto ganador. La empresa del BALOTO asegura también que usted puede ganar un monto determinado si acierta 3, 4 o 5 veces, calcule también cuántos boletos debe comprar para asegurar 3, 4 y 5 aciertos. ¿Todavía cree en el BALOTO? R// Número de elementos del espacio muestral n(5) ═ 45 ( 456 ) ═ 45! 6!(45-6)! ═ 45! 6!39! ═ 8,145060 boletos Se necesitarían 8,145060 boletos para asegurar el boleto ganador. Para 3 aciertos: ( 453 ) ═ 45! 3!(45-3)! ═ 45! 3!42! ═ 14.190 boletos Para 4 aciertos: ( 454 ) ═ 45! 4!(45-4)! ═ 45! 4!41! ═ 148.995 boletos Para 5 aciertos: ( 455 ) ═ 45! 5!(45-5)! ═ 45! 5!40! ═ 1.221.759 boletos 11.- En una sala de espera se encuentran 5 personas: 3 hombres y 2 mujeres. ¿De cuántas maneras pueden sentarse en una fila? R// 5! ═ 5x4x3x2x1 ═ 120 formas o maneras Es decir: El primer lugar se puede ocupar de 5 formas distintas, el segundo de 4, el tercero de 3, el cuarto de 2 y el quinto de solo una.

¿De cuántas maneras pueden sentarse en fila si los hombres se sientan juntos y las mujeres también? R// Supongamos que primero s acomodan las mujeres: Habrían 2x1 formas de acomodarse. Los hombres tendrían 3x2x1 formas de sentarse, es decir seis formas. Entonces combinando los resultados de mujeres y hombres tenemos: MUJERES HOMBRES (2X1) X (3X2X1) 2 X 6 ═ 12 maneras de sentarsen ¿De cuántas maneras pueden sentarse en fila si justamente las mujeres se sientan juntas? R// Permutaciones circulares 5P5 ═ (5-1)! ═ 4! ═ 4x3x2x1 ═ 24 formas. 12.- En una urna se tienen 10 bolitas: 5 rojas, 3 blancas y 2 azules. Si se toman 3 con reemplazo, ¿de cuántas maneras se pueden sacar las tres bolitas de modo que todas sean del mismo color? R// Para que todas sean del mismo color entonces puede ser que, las tres sean rojas, olas tres blancas o las tres azules. 1. B B B 2. R R R 3. A A A Habría 3 maneras de sacar las 3 bolitas de modo que todas sean del mismo color. 13.- Una prueba de opción múltiple consta de 15 preguntas y cada una tiene tres alternativas, de las cuales sólo debe marcar una. ¿En cuántas formas diferentes puede marcar un estudiante su respuesta a estas preguntas? R// Corresponde a variaciones con repetición de 3 elementos tomados de 15 en 15, es decir; 315 ═ 3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3 ═ 14.348.907 formas. 14.- ¿Cuántas placas vehiculares se pueden elaborar en Colombia? Recuerde que éstas constan de tres letras del alfabeto y tres dígitos. Tome 26 letras del alfabeto. R// Primer caso: se pueden repetir dígitos y letras: Para la primera letra se tienen 26 posibilidades. Para la segunda letra se tienen 26 posibilidades. Para la tercera letra se tienen 26 posibilidades.

Para la primera cifra se tienen 10 opciones, para la segunda 10 y para la tercera también. Aquí suponemos que la placa puede empezar por cero. Entonces aplicando el principio de la multiplicación tenemos: 1ra. letra | 2da. letra | 3. letra | 1er.número | 2do.número | Última cifra | 26 26 26 10 10 10 26x26x26x10x10x10 ═ 11232000 placas. Una placa podría ser: ABC 234; OTRA BKL 043. 15.- Cuantas formas hay de seleccionar 3 candidatos de un total de 8 recién egresados y con las mismas capacidades para ocupar vacantes en una empresa? R// El objetivo es seleccionar tres candidatos de un total de 8 egresados de un total de ocho egresados. Por lo tanto no importa el orden de selección. Por ejemplo, (Pedro, Carlos y Beto) ═ (Beto, Pedro y Carlos), es decir que el problema se resuelve por medio de combinatoria. ( nr ) ═ n! r!(n-r)! ( 83 ) ═ 8! 3!(8-3)! ═ 8! 3!5! ═ 8x7x6x53x2x1.5! ═ 56 Hay 56 formas de seleccionar los 3 candidatos de los 8 egresados. 16.- En un estudio realizado en California, se concluyo que al seguir 7 reglas sencillas de salud la vida de un hombre puede alargarse, en promedio 11 años. Las 7 reglas son no fumar, hacer ejercicio regularmente, tomar alcohol solo en forma moderada, dormir 7 horas , conservar un peso apropiado, desayunar y no comer entre alimentos. En cuantas formas puede una persona adoptar 5 de estas reglas, a) si actualmente las viola todas; b) Si nunca toma bebidas alcohólicas y siempre desayuna. R// Corresponde a combinaciones de 7 reglas tomadas. a) si actualmente las viola todas. De 5 en 5 ( 75 ) ═ 7! 5!(7-5)! ═ 7! 5!2! ═ 7x6x5! 5!.2x1 ═ 422 ═ 21 Si actualmente las viola todas, las puede adoptar de 21 formas. b) Si nunca toma bebidas alcohólicas y siempre desayuna. Corresponde a combinaciones de (7-2). Reglas tomadas de 3 en 3. ( 53 ) ═ 5! 3!(5-3)! ═ 5! 3!2! ═ 10 formas

17.- Un Testigo de un accidente de tránsito en el que el causante huyó le indica al policía que el numero de matricula tenia las letras RHL seguida por tres dígitos el primero de los cuales era cinco, el testigo no puede recordar los otros dos pero está seguro que los tres números eran diferentes, encuentre el número máximo de registros que debe verificar la policía R// Principio de multiplicación 5 | | | PLACAS: RHL 9 8 9x8 ═ 72 registros. Es decir para el segundo dígito tenemos 9 opciones y para el tercero 8, ya que no hay repetición. 18.- Seis alumnos de último año de bachillerato participan en un concurso de ensayo literario. No puede haber empates. ¿Cuántos resultados diferentes son posibles? ¿Cuántos grupos de primero, segundo y tercer puesto puede haber? ¿Cuántos resultados diferentes son posibles? R// Como no pueden haber empates, entonces tendríamos del primer (1) puesto hasta el sexto (6). Entonces aplicando el principio de la multiplicación tenemos: 6! ═ 6x5x4x3x2x1 ═ 720 resultados diferentes 6P3 ═ 6! (6-3)! ═ 6! 3! ═ 6x5x4x3! 3! ═ 120 grupos. 19.- Un psicólogo tiene 14 pacientes entre los cuales debe seleccionar nueve para un experimento en grupo. ¿Cuántos grupos de nueve se puede hacer? R// No importa el orden de selección No hay repetición de pacientes. Entonces utilizamos combinatorias: (nr) ═ n! r!(n-r)! ═ n ═ 14 ; r ═ 9 (149) ═ 14! 9!(14-9)! ═ 14! 9!5! ═ 2002 Se pueden hacer 2002 grupos de nueve. EJERCICIOS CAPITULO 3 1- Sea P(A) = 0.6 P(ApB) = 0.25 P(B´)= 0.7 a.- Encontrar P (B/A) R// P (B/A) = P (A∩B) P (A) P (A/B) = P (A∩B) P (B) entonces: 0.25= P (A∩B)* 0.3 dado que P (B)=1- P (B’)=1 - 0.7=0.3 Luego P (A∩B)=0.25/0.3=0.833 Aplicando en la formula P (B/A) = P (A∩B) P (A), hallemos: P (B/A) = P (A∩B) P (A)

= (0.25/0.3)*0.6 = 0.5 b.- Son A y B independientes, compruebe?. R// no. Porque si fuesen independientes P (A∩B) = P (A) P (B) =0.6*0.3=0.18 ≠0.833 c.- Encontrar P( A´ ) R// P (A´) = 1- P (A) = 1 - 0.6 = 0.4 2.- Se extrae una carta al azar de una baraja de 40 cartas. a.- ¿Cuál es la probabilidad de que sea dos o sea un siete? R// 2/40 + 7/40 = 0,05 + 0,175 = 0,225 = 22,5% b.- Cual es la probabilidad de que sea oro o un 6? R// 1/40 + 6/40 = 0,025 + 0,15 = 0,175 = 17,5% 3.- Consideremos el lanzamiento de un dado, usted gana si el resultado es impar o divisible por dos. ¿Cuál es la probabilidad de ganar? R// β= (1, 2, 3, 4, 5,6) A = (1, 3, 5) A=el resultado es impar P(A) = 3/6 = ½ =0.5 = 50% B = (2, 4, 6) B=el resultado es divisible por dos P(A) = 3/6 = ½ = 0.5 = 50% Como los eventos no son mutuamente excluyentes por la regla de la adición: P (AuB) = P (A) + P (B) – P (AnB) = 3/6 + 3/6 = 6/6 = 1 4.- En el curso de estadística la probabilidad de que los estudiantes tengan computador es de 0.60, la probabilidad de que tengan auto es de 0.25 y ambas cosas es de 0.15. Cual es la probabilidad de que un estudiante escogido al azar tenga computador o auto? R// A --> tener computador B --> tener auto P(A)=0.60

P(B)=0.25 P(A y B) = 0.15 P(A o B) = P(A) +P(B) - P(AyB) P(A o B) = 0.60 + 0.25 - 0.15 = 0.7 5.- De entre 20 tanques de combustible fabricados para el transbordador espacial, tres se encuentran defectuosos. Si se seleccionan aleatoriamente 4 tanques: a.- cual es la probabilidad de que ninguno de los tanques sea defectuoso R// Solución: A=el tanque no sea defectuoso P(A) = 1720 B=el tanque es defectuoso P (B) = 320 a.- S=ningun tanque sea defectuoso S=AAAA Como los eventos son independientes la probabilidad total es la multiplicación de las probabilidades marginales: P(S) = P (A) P (A) P (A) P (A) = 1720*1619*1518*1417 = 0.4912 b.- Cual es la probabilidad de que uno de los tanques tenga defectos. R// Existen 4 posibilidades para el evento: AAAB AABA ABAA BAAA H=uno de los tanques sea defectuoso P (H)= P (AAAB) + P (AABA) + P (ABAA) + P (BAAA) = 1720*1619*1518*320+1720*1619*320*1518+1720*320*1619*1518+ 320*1720*1619*1518 = 0.3578 6.- En la tabla aparecen 1000 estudiantes universitarios clasificados de acuerdo con los puntajes que obtuvieron en un examen de admisión a la universidad. También muestra la clasificación de los colegios en donde se graduaron de bachilleres:

Calcular la Probabilidad de que un estudiante escogido al azar: a) haya obtenido un puntaje bajo en el examen. R// P(A) = 200 = 0.2= 20% b) Se haya graduado en un colegio de nivel superior R// P(B)= 500 = 0.5= 50% P(CnD) = 50= 0.05= 5% c) haya obtenido un puntaje bajo en el examen y se haya graduado en un colegio de nivel superior R// P(CnD) = 50= 0.05= 5% d) haya obtenido un puntaje bajo en el examen dado que se haya graduado en un colegio de nivel inferior R// P(G)= 75= 0.075 = 7.5% e) si el estudiante escogido termino en un colegio de grado regular encontrar la probabilidad de que tenga un puntaje alto en el examen. R// P(A)= 75= 0.075 = 7.5% 7.- Fabián y Pilar estudian en un mismo curso. La probabilidad de que Fabián no pierda ninguna materia es del 85% y la de Pilar es del 90%. a) Cual es la probabilidad de que los dos no pierdan ninguna materia. R// Solución: A’=fabian pierda materia B= pilar no pierda ninguna materia B’=pilar pierda materia P (A) = 0.85 P (B) = 0.90 Como los eventos son independientes: P (A∩B) = P (A) P (B) = 0.85*0.90 = 0.765 b) Cual es la probabilidad de que Fabián pierda una materia y Pilar ninguna. R// P (A’∩B) = P (A’) P (B) = (1-0.85)*0.90=0.135 C) Cual es la probabilidad de que los dos pierdan una materia. R//

P (A∩B’) = P (A) P (B’) = (1-0.85)*(1-0.90) =0.015 8.- Cuatro amigos se dirigen a un lugar y toman 4 rutas diferentes de acuerdo al riesgo de tener un accidente. Las probabilidades de riesgo de cada ruta son 0.2, 0.15, 0.25, 0.10 respectivamente. Cuál es la probabilidad de que ninguno sufra un accidente. R// 0.20 + 0.15 + 0.25 + 0.10 = 0.70 9.- El consejero escolar de un colegio estimó las probabilidades de éxito en la universidad para tres alumnos de último año en 0.9, 0.8 y 0.7 respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que los tres tengan éxito en la universidad? R// Solución: A=el alumno 1 tiene exito B=el alumno 2 tiene exito C=el alumno 3 tiene exito P (A) = 0.9 P (B) = 0.8 P (C) = 0.7 Como los eventos son independientes: P (A∩B∩C) = P (A) P (B) P (C) = 0.9*0.8*0.7 = 0.504 10.- Una maquina que produce un determinado artículo fue adquirida bajo la condición de que el 3% de los artículos producidos son defectuosos. Si el proceso se realiza bajo control, es decir independiente cual es la probabilidad de que a.- dos artículos seguidos sean defectuosos, R// p (2) = 0.03^2 * 0.97^1 = 0,000873 b.- dos artículos seguidos no sean defectuosos, R// p (2) = 0.97^2 * 0.03^1 = 0,028227 c.- el primero sea defectuoso y el segundo bueno. R// p1 (1) = 0.03^1 * 0.97^0 = 0.03 p2 (1) = 0.97^1 * 0.03^0 = 0.97 P (p1 ∩ p2) = 0.03 * 0.97 = 0,0291

11.- La probabilidad de que un doctor diagnostique en forma correcta una determinada enfermedad es de 0.7. Dado que el doctor hace un diagnostico incorrecto, la probabilidad de que un paciente presenta una demanda es de 0.9. ¿Cuál es la probabilidad de que el doctor haga un diagnostico incorrecto y el paciente presente una demanda? R// Solución: C=el doctor diagnostica en forma correcta una determinada enfermedad C’=el doctor diagnostica en forma incorrecta una determinada enfermedad D= el paciente presenta una demanda D’= el paciente no presenta una demanda P (D/C’) = 0.90 Como P (D/C’) = P (D∩C’)P (C´) entonces: 0.90= P (D∩C’)0.30 luego despejamos y tenemos: P D∩C’ = 0.90*0.30 = 0.27 12.- En una empresa, la probabilidad de que un empleado escogido al azar tenga más de 30 años es de 0.55. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado escogido al azar tenga 30 años o menos? R// La probabilidad de x > 30 años = 0.55 La probabilidad de x ≤ 30 es el complemento, es decir 1 - 0.55 = 0.45 13.- En una ciudad grande el 70% de los hogares compra un periódico matutino y el 90% uno vespertino. Si se supone que los dos eventos son independientes cual es la probabilidad de que un hogar escogido al azar sea uno de los que compra ambos periódicos? R// Solución: A=compran periódico matutino B=compran periódico vespertino P (A) = 0.7 P (B) = 0.9 P (A∩B) = P (A) P (B) P (C) = 0.7*0.9 = 0.63 14.- La tabla muestra el resultado de 500 entrevistas hechas durante una encuesta. Los datos se clasificaron según el sector de la ciudad donde se aplico el cuestionario.

Si se selecciona un cuestionario. Cuál es la probabilidad de a) No se haya contestado R// 65 / 500 x 100 = 13% b) La persona no estaba en casa R// 135 / 500 x 100 = 27% c) el cuestionario se haya contestado y la persona viva en el sector N R// 115 / 125 x 100 = 92% d) Dado que la persona viva en el sector O, no haya contestado el cuestionario R// 15 / 125 x 100 = 12% e) La persona viva en el sector M ó Conteste el cuestionario. R// 100 / 125 x 100 = 80% F) Si la persona no estaba cual es la probabilidad de que viva en el sector O. R// 60 / 125 x 100 = 48% 15.- En el ejercicio anterior, el resultado de la entrevista es independiente del sector de la ciudad donde vive la persona? Comprobar la respuesta R// El resultado de la encuesta es dependiente del sector, esto es, los eventos son dependientes entre sí, la ocurrencia de uno de ellos afecta el que pueda producirse el otro: Sea A=el sector M conteste la encuesta B=el sector N conteste la encuesta P (B/A) = P (A∩B)P (A) = 215100 = 2.15

Para que los eventos sean independientes es necesario que: P (B/A) = P (B) lo que no ocurre en este caso. 16.- El 70% de los estudiantes aprueba una asignatura A y el 60% aprueba otra asignatura B. Sabemos además, que el 35% del total de los estudiantes aprueba ambas. Elegido un estudiante al azar, calcular las probabilidades de: a.- haya aprobado la asignatura B sabiendo que ha aprobado la A R// A --> aprueba A B --> aprueba B P(A)=0.70 P(B)=0.60 P(A y B) = 0.35 P(B|A) = P(A y B) / P(A) = 0.35 / 0.70 = 0.5 b.- haya aprobado la asignatura B sabiendo que no ha aprobado la A R// P(B| no A) = P(no A y B) / P(A) **P(no A y B) = P(B) - P(AyB) = 0.60 - 0.35 = 0.25 /// P(no A) = 1-P(A) = 1-0.70 = 0.30 P(B| no A) = P(no A y B) / P(no A) = 0.25 / 0.30 = 0.8333 --> 83.33% c.- no haya aprobado la asignatura B sabiendo que ha aprobado la A R// P(no B|A) = P(A y no B) / P(A) P(A y no B) = P(A) - P(AyB) = 0.70 - 0.35 = 0.35 P(no B|A) = P(A y no B) / P(A) = 0.35 / 0.60 = 0.5833 --> 58.33% d.- no haya aprobado la asignatura B sabiendo que no ha aprobado la A R// P(no A|no B) = P(no A y no B) / P(no B) **P(no B) = 1-0.60 = 0.40 **P(no A y no B) = 1-P(AoB) = 1 - ( P(A) + P(B) - P(AyB)) = 1 - (0.70 +0.60 - 0.35) = 0.05 P(no A|no B) = P(no A y no B) / P(no B) = 0.05/0.40 = 0.125 --> 12.5% 17.- Los pedidos nuevos de los productos de una compañía varían en valor monetario, según el siguiente cuadro

a) cual es la probabilidad de que un nuevo pedido sea mayor a $2.000 R// P (x >2.000) = P (2.001 3.000/ x > 2.000) = P( [x > 3.000] ∩ [x > 2.000]) P(x > 2.000) = P([x > 3.000]) P(x > 2.000) = 0.300.55 =0.5454 Hay aproximadamente, un 55% de probabilidad de que el nuevo pedido sea mayor que $3000, dado que las ventas exceden a $ 2000. 18.- Una compañía encontró que el 82% de las personas seleccionadas para su programa de entrenamiento de vendedores termino el curso. De estos solamente 60% se convirtieron en vendedores productivos. Si un aspirante nuevo llega al curso cual es la probabilidad de que termine el curso y se convierta en un vendedor productivo. R// P(AuB)=P(A) * P(B) P(AuB)=0.82 * 0.6= 0.492 0.492=49.2% 19- En un centro médico, los fumadores que se sospecha tenían cáncer pulmonar, el 90% lo tenía, mientras que el 5% de los no fumadores lo padecía. Si la proporción de fumadores es del 45% Definamos los siguientes sucesos o eventos. A: la persona es fumadora. A’: la persona no es fumadora. B: la persona tiene cáncer pulmonar. B’: la persona no tiene cáncer pulmonar.

Datos. P (A) = 0,45 P (BA) = 0,90 P (BA') = 0,05 Sabemos que P A)+P (A’) = 1 ⇒ P (A’) = 1-P (A) = 1-0,45 = 0,55 a) Cuál es la probabilidad de que un paciente con cáncer seleccionado al azar sea fumador? R// P (AB) = ? Luego por el Teorema de Bayes tenemos: P (AB) = P(A)P(BA) P(B) = P(A)P(B/A)[ P(A)P(B/A) + P(A´)P(B/A´) ] = 0,45*0,90 ( 0,45*0,90 + 0,55*0,05 ) = 162/173 = 0,936416 B) Cual es la probabilidad de que la persona tenga cáncer.. R// P (B) =? Por definición de la probabilidad total tenemos: P (B) = P(A) P (B/A) + P (A’) P (B/A’) P (B) = 0,45*0,90 + 0,55*0,05 = 173/400 = 0,4325 20.- Un investigador de una clínica de especialistas ha descubierto que durante un periodo de varios años, el 20% de los pacientes que llegaron a la clínica tenían la enfermedad D1, el 30% la enfermedad D2, y el 50% la enfermedad D3. El investigador descubrió también que un conjunto de síntomas bien definidos al que denomino S, se encontraba en un 25% de los pacientes con la enfermedad D1, 60% de los que tenían la enfermedad D2, y 80% de los que tenían la enfermedad D3. El investigador quiere utilizar esta información para hacer rápidamente el diagnostico a los pacientes recién llegados. Supongamos que ha sido admitido un paciente con el conjunto de síntomas S, cual es la probabilidad de que tenga la enfermedad D3, cual es la probabilidad de que tenga la enfermedad D1. R// D1 = 0.20 S = 0.25 D2 = 0.30 S = 0.60 D3 = 0.50 S = 0.80 Teorema de Bayes cual es la probabilidad de que tenga la enfermedad D3 P(D3) = (0.25 x 0.50) + (0.60 x 0.50) + (0.80 x 0.50) = 0.825 cual es la probabilidad de que tenga la enfermedad D1 P(D1) = (0.25 x 0.20) + (0.60 x 0.20) + (0.80 x 0.20) = 0.33 21.- Un científico ha descubierto en un hospital para enfermedades crónicas que el 15% de los pacientes permanecen en el hospital menos de 30 días, mientras que el 85% de los pacientes permanece 30 días o más. También ha descubierto que el 20% de los que se quedan menos de 30 días y el 60% de los que se quedan 30

días o más, presentan cierto grupo de características. Cual es la probabilidad de que un paciente que llega al hospital con esas características permanezca menos de 30 días?. R// Definamos los eventos o sucesos. A₁: los pacientes permanecen en el hospital menos de 30 días. A₂: los pacientes permanecen en el hospital 30 días o más. B₁: los pacientes presentan cierto tipo de características. B₂: los pacientes no presentan cierto tipo de características. P (A₁) = 0,15 P (A₂) = 0,85 P (B₁/A₁) = 0,20 P (B₁/A₂) = 0,60 P (A₁/B₁) =? Por el teorema de bayes tenemos: P (A₁/B₁) = P(A₁∩B₁) P(B₁) = P(A₁).P(B1/A₁) [ P(A₁).P(B₁/A₁) + P(A₂).P(B₁/A₂) ] P (A₁/B₁) = ( 0,15*0,20 ) (0,15*0,20 + 0,85*0,60) = 118= 0, 0556 22.- A un sospechoso se le aplica un suero de la verdad que se sabe que es confiable en 90% cuando la persona es culpable y en 99% cuando la persona es inocente. En otras palabras el 10% de los culpables se consideran inocentes cuando se usa el suero y el 1% de los inocentes se juzgan culpables. Si el sospechoso se escogió de un grupo del cual solo 5% han cometido alguna vez un crimen y el suero indica que la persona es culpable, cual es la probabilidad de que sea inocente? R// Sea SI={Suero lo encuentra Inocente} SC=SIc={Suero lo encuentra Culpable} I={El sujeto es Inocente} C=Ic={ El sujeto es Culpable} P(SC/C)=0.9 P(SI/I)=0.99 P(SC/I)=0.01 P(I)=0.95 P(C)=0.05 P(I/SC)= P(SC/I) * P(I) + P(SC/C) * P(C) P(SC/I) * P(I) = 0.01 * 0.95 + 0.9 * 0.05 0.01 * 0.95 =0.1743 23.- Con los jugadores de un club de fútbol se forman dos equipos para jugar un partido de entrenamiento; entre los dos equipos se reúnen 6 defensas, 8 medios, 6 delanteros y 2 porteros. El entrenador sabe que en estos partidos, la probabilidad de que se lesione un jugador es 0.22 si es delantero, 0.11 si es medio, 0.055 si es defensa y 0 si es portero.

a.- Calcular la probabilidad de que se lesione uno cualquiera de los jugadores en este partido. R// Definamos: D=se lesione un delantero M=se lesione un medio Df=se lesione un defensa P=se lesione un portero L=se lesione cualquiera de los jugadores del equipo P (D) =0.22 P (M) =0.11 P (Df) =0.055 P (P) =0 P (L) = 622*0.22 + 822*0.11 + 622*0.055 + 222*0.22 = 0.015+0.04+0.06 = 0.115 b.- Si se sabe que un jugador se ha lesionado, determinar la probabilidad de que haya sido un defensa. R// Aplicando el teorema de Bayes: P (Df/L) = P(Df ∩L) P(L) = 622 * 0.055 0.115 = 0.0150.115 = 0.1304 23.- Tras un estudio estadístico en una ciudad se observa que el 70% de los motoristas son varones y, de estos, el 60% llevan habitualmente casco. El porcentaje de mujeres que conducen habitualmente con casco es del 40%. Se pide: a.- Calcular la probabilidad de que un motorista elegido al azar lleve casco. R// A=motoristas varones B=Llevan casco p(B) = 54/100 = 0.54 (54 de la suma del 70% de varones y 30% de mujeres que llevan casco; 100, del número de personas en total) b.- Se elige un motorista al azar y se observa que lleva casco. ¿Cuál es la probabilidad de que sea varón? R// p(AnB) = (70/100) x (42/70) = 0.42 La fórmula para la intersección es P(AnB) = p(A) x p(B/A) El (70/100) sale de la probabilidad que sea varón (hay 70 varones de 100 motoristas) el (60/70) sale de que de 70 motoristas varones, el 60% (o sea 42) usan casco. 24.- Los alumnos de Primero de Biología tienen que realizar dos pruebas, una teórica y otra práctica. La probabilidad de que un estudiante apruebe la parte teórica es de 0.6, la probabilidad de que apruebe la parte práctica es de 0.8 y la probabilidad de que apruebe ambas pruebas es 0.5.

a.- ¿Son independientes los sucesos aprobar la parte teórica y la parte práctica? R// Si son independientes: p(A∩B)=P(A) x P(B) ; 0.5=0.6 x 0.8 ; 0.5≠0.48 Por lo tanto no son independientes. b.- ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno no apruebe ninguno de los dos exámenes? R// P(E)=1 à 1- P(A) –P(B) + P(A∩B)= 0.1=Probabilidad de no aprobar ningún examen c.- ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno apruebe solamente uno de los dos exámenes? R// P(AUB)= P(A) + P(B) – P(A∩B)=0.9 – P(A∩B)= 0.4 Probabilidad de aprobar un único examen. d.-Se sabe que un alumno aprobó la teoría. ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe también la práctica? R// P(B|A)= P(A∩B)/P(A)= 0.5/0.6 = 0.83 25.- En una caja hay x bolas blancas y 1 bola roja. Al extraer de la caja dos bolas al azar sin reemplazamiento, la probabilidad de que sean blancas es 1/2. Calcula el número de bolas blancas que debe tener la caja. R// En la caja hay x+1 bolas: x blancas y 1 roja. Sea: B=sacar una bola blanca R=sacar una bola roja P (B) = xx+1 P (R) = 1x+1 P(B∩B) = xx+1* x-1x = 12 Entonces: xx+1* x-1x = 12 de aqui tenemos: 2*x-1=x+1 2x-2=x+1 x=3 Hay 3 bolas blancas en la caja. 26.- El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que de los no ingenieros y no economistas solamente el 20% ocupan un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?

R// ingenieros 20% = 20 (15 - directivo(75%) + 5 no directivo(25%) economistas 20% = 20 (10 - directivo(50%) + 10 no directivo(50%) no ingenieros y no economistas = 60 (12 - directivo(20%) + 48 no directivo(80%) P(empleado directivo sea ingeniero) = ingenieros directivos / total directivos = P(empleado directivo sea ingeniero) = 15 / (15 + 10 + 12) = 15/37 P(empleado directivo sea ingeniero) = 15/37 Respuesta = 15/37 = ~40,57%

AUTOEVALUACION UNIDAD 1 1.- Una Vendedora tiene 10 productos y los desea exhibir en una feria nacional. Sin embargo, no puede exhibir sino cuatro. ¿Entre cuantas muestras diferentes puede escoger si el orden en que va a exhibir los productos no tiene importancia? 2.- En un depósito hay almacenados 503 equipos de televisión. En la tabla se hallan clasificados según la marca y el modelo.

Con los datos, encontrar: a) P (B1) b) P (B2 S4) c) P ( S1 B1) d) La probabilidad de que un equipo seleccionado aleatoriamente sea de marca B1, dado que su modelo es S4 e) La probabilidad de que un equipo seleccionado sea de marca B 1 o B3 3.- Cinco amigos quedan de reunirse el sábado en la tarde en el restaurante “el sombrero” sucede que hay cinco restaurantes en la ciudad con el mismo nombre y no acordaron a cual de ellos iban a ir. Cual es la probabilidad de que los cinco vayan a restaurantes diferentes? 4.- En los archivos de una compañía de seguros se han registrado que en los últimos años de un total de 949171 jóvenes de 21 años, solo 577882 llegaron a la edad de 65 años. Si tomamos estos datos como representativos de la realidad a) ¿cuál es la probabilidad de que un joven de 21 años viva para pensionarse a los 65 años? b) Si en una ciudad pequeña hay en la actualidad 2000 jóvenes cuantos de ellos se puede esperar que se pensionen.

5.- Un señor reemplazo las dos pilas inservibles de su linterna por dos nuevas, pero se le olvido tirar las pilas usadas a la basura. Su hijo pequeño que estaba jugando con la linterna, saco las pilas y revolvió las pilas nuevas con las usadas. Si el señor coloca nuevamente pilas a su linterna ¿cuál es la probabilidad de que funcione? Por supuesto, se supone que la linterna no puede funcionar con una pila nueva y una inservible. 6.- Un señor tenía cinco maquinas de afeitar desechables las cuales ya estaban muy usadas, las puso en un cajón con la intención de botarlas a la basura. Su hijo pequeño no lo sabía y las revolvió con tres nuevas que saco de un paquete. Si el señor prueba dos maquinas de afeitar una tras otra ¿Cuál es la probabilidad de que las dos estén usadas? 7.- La probabilidad de que Juan llegue tarde a su cita con Rosy es de 0.3. La probabilidad de que ambos lleguen tarde es de 0.2. ¿Cuál es la probabilidad de que Juan la este esperando? 8.- En un examen de matemáticas solo 75% de una clase respondió todas las preguntas. De aquellos que lo hicieron, 80% aprobó, pero de los que no respondieron todo, sólo aprobaron 50%. Si un estudiante paso, ¿Cuál es la probabilidad de que haya respondido todas las preguntas? 9.- Se ha observado que hombres y mujeres reaccionan diferente a un medicamento; 70% de las mujeres reaccionan bien, mientras que el porcentaje en los hombres es solamente de 40%. Se realizo una prueba a un grupo de 20 personas, 15 mujeres y 5 hombres para analizar sus reacciones. Una respuesta elegida al azar de las 20 resulto negativa. ¿Cuál es la probabilidad de que haya contestado un hombre? 10.- Ernesto y Luís están enamorados de Silvia. Si Ernesto le pide que sea su novia, tiene 70% de probabilidad de que le diga que sí y Luis 30%. Si Ernesto es el novio de Silvia hay una probabilidad del 40% de que se casen y si es Luis del 30%. Si Silvia se casó ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido con Luis?