• Author / Uploaded
• Daniela Aylen Sajama

• Categories
• Oferta y demanda
• Vector Euclidiano
• Matriz (Matemáticas)
• Euro
• Lentes

Citation preview

UdeMM -------------------------------------------------------------------------------

Facultad de Administración y Economía

Trabajos Prácticos Profesora titular: Lic. Silvia Ranieri

AÑO 2019

1

Trabajo Práctico I Conceptos preliminares 1.- Resuelva e indique a qué conjuntos numéricos pertenecen los resultados de: −2

2 3 + 1− 1− 4 = 1.- 3 2 1   −2 + 2     3 1  5   4 − 2  .  8 − 1    3.-  2 4 − .6 + 1 3

2.-

2 5  2 5 − . . −  + 3 4  3 8 1   −1+ 2   

3

−3

−1

=

=

−1

3 3 3 3  2 . 2  . 2  + 2 = 4.-      −2 3 3 −   2 2

2.- Reduzca a la mínima expresión: 1 2

1 3

−1

2 3

−

x .y .x .y

1.-

−

x .y

−

2 3

4 3

2.-

82m 8mn +n . 82n 8nm +m

3.-

10m +n .10m −n .10n +1 10n +1.102n +1 3a

4.-

5.-

a

−1

x .x 6

x

−

5

2 3

+

2

Con a  0

a −2

x

+ 3

Con x > 0, y  0

−

5 6

x .x 2

−

1 2

Con x> 0

3.- Escriba en forma de intervalos los siguientes conjuntos:

1.

A = {x  R / x  8}

2.

B = {x Є R/ -2 < x ≤ 8} 2

3.

C=

4.

D=

[ -2

]

(

4.- Determinar grado y coeficiente principal de los siguientes polinomios. Ordenarlos según las potencias decrecientes de la variable y completarlos.

1

4x 3 − 1+ 3x 2

3

−2x + 3x 3 −

2 2 x 3

2

1 5 x +x6 2

4

−

x −4 3

+

4 −x +x 3 2

5.- Determinar el valor de los números reales a, b, c, sabiendo que:

3x 3 + bx 2 − 5ax + 7 = cx 3 − 2x 2 − 10x + 7

6.-

Siendo

P = −2x + 1 ; R = −3x 2 − 1 ; Q = x − 2 ; S = 2x Calcular 1

P .R 2 + 18x 5 + 12x 3

2

S .P 2 − R .Q

3

P 3 − R + S .Q

7.- Hallar el cociente C y el resto R de la división entre:

1

P(x)= x3-x2+4

y

Q(x)= x-2

2

P(x)= x4 +a4

y

Q(x)= x+a2

3

S(y)=

2 4 y 3

y

T(y)= y-1

4

S(z)=z3-2z2-1+z

y

T(z)= z+1

3

8.Obtener el cociente C y el resto R de la división entre los siguientes polinomios. Aplicar la regla de Ruffini. 1 4 x +x 2 −1 2

y

Q = x −2

P = −x 5 + x 3

y

Q =x +

3

P = −x + 3 − x 3 − x 5

y

Q = x +2

4

P(x ) = a (x 3 + a 2 )

y

Q(x ) = x − a

5

P = (x − 2)3 − 3(x − 2)

y

Q = 3x − (1 + 2x )

9.-

Determinar k, sabiendo que el resto de la división entre

1

P =

2

1 2

P(x ) = 3x 3 − kx 2 + 2 y Q(x ) = x + 2 es 30

10.-

Decir si:

1

P = 2z 2 − z − 1

2

P( y ) = y 4 − a 2 y 2 + y + a

11.-

Calcular K para que:

1

P(x ) = x 8 − kx 4 + 1 sea divisible por

Q(x ) = x + 1

2

P(x ) = (−kx + 4)2

Q(x) = x - k

12.-

Simplificar:

1

4X 2 − 1 2X 3 + X 2

3

Z 2 −Z 1− Z 2

4

Q = z −1

es divisible por

es divisible por

sea divisible por

Q( y ) = y + a

2

4 −Y 2 Y 2 − 2Y

5

t 3 − t 2 − 9t + 9 t 3 + 3t 2 − t − 3

Z 3 −8 2 Z 2 − 8Z + 8 4

s 4 −s3 −s2 +s s 2 + 1− 2s

7

9

1− (x − 1)2 (1+ x )2 − 1

13.-

Calcular:

1)

8 x2

2)

3)

+

3 x2

−

8

−3t 4 − 3t 3 + 6t 2 + 6t t 3 − 2t

1 2 − x x3

y2 − 4

+

y − 12 3y 2 − 12

2 2 + t −3 t +3

5)

1 x−2 x −1 + − x + 1 x3 + 1 x 2 − x + 1

6)

1 − y y2 . y y −1

7)

2x 2 − 3x + 1 2x 2 + x − 1

2 3 − x x

y+4

4)1 −

6

x2 − 1

x 2 − 3x

. x 2 − 6 x + 9 x 2 + 2x + 1

1 z2 + 4z + 3 4 . 8) 2z − 1 2z3 + 7 z 2 + 2z − 3 z2 − z +

9)

t3 + 3t 2 − 4t − 12 t2 − 4

.

1 − 2t − 2t 2 − 5t + 3

5

14.-

Resolver las siguientes ecuaciones: 1.-

200 − 8 ( 4x − 2 ) − 2 ( 5x − 1) = 148

2.-

2x − 4 x − 1 x − 3 − = −1 5 6 2

3.-

(x + 2 )( x − 2 ) = x − 3 − x − 1 + (x + 3)

4.-

( x − 2 )( x + 3) = 0

5.- x ( x + 14 ) + 45 = 0

6.-

x 2 + 4x + 9 = 0

7.- x 3 − 2x 2 − 5x + 6 = 0

8.-

x 3 − 3x 2 − 2x + 6 = 0

9.-

10.-

-32 y-2+2 = 0

11.-

2

10

12.-

5 .q − 30 = 0 q

14.-

50.q-1/2- 10 = 0

4

2

13.-

10

4x 3 ( x + 3 ) − x (17x + 3 ) = −4

3x-2+5 =17

6 q − 2 = 10 q

15.- Decir cuáles de los siguientes números son raíces de P 1 , -1 , 3 , -2 2

1

0 ,

2

1, -2,

1 3

siendo

P = 2x 3 − 3x 2 − 11x + 6

siendo

P = x 4 − 13x 2 + 36

16.- Todas las raíces de los siguientes polinomios son racionales. Calcularlas.

1

P = x 3 + 5x 2 − 2x − 24

2

Q = 4s 3 − 28s + 24

3

R = 8y 4 + 2y 3 − 9y 2 − 2y + 1

4

T = t 4 − t 3 − 8t 2 + 12t

6

17.- Expresar el polinomio P, de grado n, en la forma n

P = an  (x − x i ) i =1

Siendo an su coeficiente principal y x i sus raíces reales. 1

P = 2x 3 + 7x 2 + 2x − 3

2

P = x 3 + 3x 2 − 4x − 12

3

P = 9x 4 − 6x 3 − 23x 2 − 4x + 4

4

P = 5x 4 − 26x 3 + 26x − 5

5

P = 9x 6 − 12x 5 − 23x 4 + 36x 3 − 12x 2

6

P = 6x 4 − 5x 3 − 12x 2 + 5x + 6

7

P = x 4 − 3x 2 + 2x

18.- Proporcionar un polinomio de grado mínimo, que tenga las siguientes raíces:

1.-

1, 2, -8

2.-

3 5 , − , 2 , -3 4 6

3.-

0, 2, 4, raíz doble: -1

4.-

raíz doble: 0 y raíz triple:

1 4

19.- Dadas las siguientes frases expresadas en forma coloquial, indicarlas en lenguaje simbólico Lenguaje coloquial 1. El triple de un número disminuido en 4 unidades 2. El cuadrado de un número aumentado en dos unidades 3. El sucesor de un número 4. El antecesor de un número

Lenguaje simbólico 3x - 4 x2 + 2 X+1 X-1 7

5. El cuadrado de 9 menos un número par 6. Un número impar 7. El producto de dos números es 456

81 – 2 x 2 x +1 x. y = 456

8. La base de un rectángulo más su altura es 208 9. La base de un rectángulo es el triple que la altura 10. Un tercio de un número es igual a un noveno. 11. Hace 3 años Andrés tenía la mitad de la edad actual.

B + h = 208 B = 3. H 1 1 x= 3 9

x–3=

1 x 2

12. Un quinto del precio es 60 $ 13. Si gastó los dos quintos del sueldo. Le queda 300$ 14. Dos quintos de su sueldo es $300. 15. Ya tengo pagado los 3 séptimos de los libros comparados. Pagué $800. 16. La sexta parte de un número aumentada en 3 unidades es 5. 1) Completar los cuadros en blanco. 2) Responder: • En el ítem 13. ¿Cuál es su sueldo? • En el ítem 14 ¿Cuál es su sueldo? • En el ítem 15 ¿Cuánto pagué por los libros y cuánto debo? • En el ítem 16 ¿Cuál es el número? 20.- Problemas: 1.- La suma de tres números naturales impares consecutivos es 117. ¿Cuáles son estos números?

2.- Un joven asegura haber hallado un número tal que si se le resta su mitad se obtiene el mismo resultado que si a la mitad se le resta uno. ¿Cuál es el número?

3.- Hallar dos números naturales impares consecutivos, tales que su producto sea 255.

4.- ¿Cuál es el número tal que la mitad de su cuadrado es igual al duplo de dicho número, más seis? 5.- Calcular m  R para que las raíces de la ecuación 8

x 2 + (m + 1)x + m = 0 Resulten:

a) b)

iguales por lo menos una nula.

6.- Hallar las dimensiones de un rectángulo de área 40 m2, sabiendo que la altura excede a la base en 3 m (área del rectángulo = base. altura). 7.- Halle la medida de la longitud de los lados de cada uno de los triángulos de perímetro igual a 27 cm, según las figuras:

a)

3z

5z-9

b)

2z-4

w+1

2w-5

w-3

-------------------------------------------------------------------------------------------Respuestas del Trabajo Práctico I 1) 1.-

14 27

2) 1.- x1/6.y

3) 1.- (-∞, 8)

2.- 10, 3.-

2.- 8m-n

−

2 3

388 729

3.- 102m-2n-1

2.- ( -2,8]

6) 1) 9x4+ 6x2-2x+1

4) −

3.- [-2,∞ )

2) 11x3-14x2+ 3x-2

4.- 5a2

5.- 2x-1.

4.- (2, 8] 3) –8x3+ 17x2-10x+2.

8) 1) C = 1/2x3+ x2+ 3x+6, R =11, 2) C =-x4+1/2x3+3/4x2-3/8x+3/16, R =-3/32 3) C= –x4+ 2x3-5x2+10x-21, R =45, 4) C =ax2+ a2x+ a3, R = a3(a+1), 5) C =x2-5x+4, R = 2, 9) k=-13

10) 1) V, 2) V.

11) 1) k =2, 2) k =  2

9

12) 1)

2x − 1

6)

13) 1)

x2

2)

2+y −y

3)

x −1 7) s(s+1) x +1

8−x x2

5) 0

2)

8) -3(t+1) 3x − x2 − 2

6) –y

14) 1) 3 2) 7 8) 3, 2, − 2 1 11) x =  2

4)

z 2 + 2z + 4 2( z − 2)

9)

−x+2 x+2

3)

x3

5)

4y

x( x − 1) ( x − 3)(x + 1) 3) -3 6) no x  R 9)1,1/2,-1/2,-4.

13) q= ¼

t−3 t +1

4)

3( y2 − 4)

7)

12) q= 36

8) 1/4

t 2 − 21 t2 − 9

9) 1 7) 1, -2, 3 10) y=  4 14) q= 25

2) –2.

15) 1) ½, 3, -2

16) 1) 2, -3, -4.

−z z +1

2) 1, 2, -3.

3) 1, -1, 1/4, -1/2.

4) 0, 2(doble), -3.

17)1) 2(x+1)(x-1/2)(x+3). 2) (x-2) (x+2) (x+3), 3) 9(x-2) (x+1) (x-1/3) (x+2/3). 4) 5(x-5) (x-1) (x+1) (x-1/5). 5)Raíces: 0(doble), 2/3(doble), 6) 6(x-1) (x+1) (x-3/2) (x+2/3). 7) x(x-1)2(x+2) 20)

3,− 3 , P= 9x2(x-2/3)2(x - 3 )(x+ 3 )

2.- El joven está equivocado. 3.- 15 y 17

,

4.- 6 y -2

5.- a.- m = 1, b.- m = 0

6.- 5m y 8m

10

Trabajo Práctico II Vectores  1- Sean los vectores: a) u = (5, 2) 

b) u = (-1, 2, 0)

 w = (1; -2)

v = ( -1; -1) v = (-2; 0; 2)

 w = (0; 3; -2)

         Obtener s si: 1) 2 u + 3 s – w = s + v ; 2) 3 ( u + v ) – 2 s = - ( s + w ) 2.- Hallar el producto escalar de los siguientes pares de vectores:

 u (0,1,4)  u (2,0,0)

i) v (2,1,4) ii) v (1,0,3)

3.- Hallar el producto vectorial de los pares de vectores del ejercicio 2.-

4.- Presentar un vector y hallar un vector unitario paralelo al dado. .

 5- Sean: u = 4 ί + 3 j  1.- u y  2.- u y

 v  v

y

 v=

α ί – 2 j. Obtenga α ε R para que:

sean ortogonales sean paralelos

6.- Suponemos que los precios, en dólares por unidad, para los productores A, B y C están representados respectivamente por el vector de precios

P = (6 9 12 ) Si las cantidades (en unidades) de A, B y C que se compran están dadas por el vector

Q = (5 2 7 ) Calcular el costo total en dólares de las compras. 7.- Consideramos una economía hipotética simplificada que tiene tres industrias digamos, carbón, electricidad y acero, y tres consumidores 1, 2 y 3. Suponemos que cada consumidor puede utilizar parte de la producción de cada industria y cada industria utiliza parte de la producción de cada una de las otras industrias. Entonces, las necesidades de cada consumidor y de cada industria pueden representarse por un vector de demanda, cuyas entradas, en orden, dan la cantidad de carbón, electricidad y acero necesarios para el consumidor o industria en algunas unidades convenientes. Por ejemplo, los vectores de demanda para los consumidores podrían ser:

11

D1= [3 2 5]

D2= [0 17 1]

D3= [4 6 12]

y para las industrias, podrían ser : Dc= [0 1 4],

De= [20 0 8]

Ds= [30 5 0]

donde los subíndices C, E y S son para carbón, electricidad y acero, respectivamente. Calcular: i.- La demanda total de los consumidores para estos bienes. ii.-La demanda industrial total. iii.- La demanda global.

Matrices y sistemas de ecuaciones 1) Calcular: a) A – B

b) B – 2A

 1 1  A =   0 5

c) 1/3 (A – B), siendo

2 3   . B =   1 − 2

2) Hallar 2.A – B.C, siendo:

 9 − 1   B =  2 − 5 3 0   

5 − 1 0   A = 4 2 1  0 − 3 2  

 3 0 − 2  C =  4 −1 7 

3) Calcule 2A – 3B, siendo:

 1 0 − 2  A =   4 1 − 3

 − 1 0 1  B =   − 4 1 3

4) Hallar x, y, z, y w si: x 3.  z

y = w 

6  x   +  − 1 2w 

 4  z + w

x + y  3 

5) Dadas las siguientes matrices, efectuar cuando sea posible: a) C.A

b) D.C

1   A =  2 0  

c) A.B

B = (3 2 2)

d) C.D + E

 4 1 2   C = − 1 0 1  5 0 0  

 pq 6) Calcular A2, siendo: A =  2 − p 

 2 − 1   D = − 5 0   0 1  

5 1    E =  0 − 5 2 0   

q 2  − pq 

12

1 2 0  hallar: a) A. At , b) At.A 7) Siendo A =  3 − 1 4   8) Resolver los siguientes determinantes:

1 2 7 a) 0 5 − 1 6 0 3

2 0 6 b) − 5 4 − 3 0 2 8

6 −2 c) 3 4

2 0 0 d) 0 5 0 0 0 6

1 3 0 e) 2 1 1 0 2 2

9) Determinar cuáles de las siguientes matrices son invertibles y hallar su inversa:

8 4   a ) 4 3  

1 2 0    b ) 2 − 1 0  4 6 7   

1 5   c ) 2 10  

2 0 3    e ) 0 1 0  1 2 1   

3  6  5 f )  5 1   2

1 2 1    g ) 0 1 0  2 0 3   

6 1 1   d ) 6 4 1  6 0 1  

2 3 1   h ) 2 3 0 −1 − 2 2   

10) Efectuar D = B −1 − A  C , siendo;

 1 0  A =   2 5

 0 1  B =   4 0

 2 1  C =   4 3

APLICACIÓN DE MATRICES 1) Una compañía de automóviles recoge sus ventas en una matriz. En las filas se reflejan los distintos modelos: PI, SIGMA, DELTA y RHO. En las columnas se recogen los distintos colores: rojo, blanco, verde y azul. Conocemos los datos de los últimos dos años: 3  4 Ventas 2016=  5  2 

2 3 3 1

1 2 7 3

6  8 2  4 

4  3 Ventas 2017=  4  3 

2 2 5 3

2 1 6 2

5  6 4  5 

a) Durante 2016, ¿Cuántos coches modelo SIGMA verdes se vendieron? b) ¿En qué año se vendieron más unidades del modelo RHO blanco? c) ¿En qué año se vendieron más unidades del modelo DELTA? d) ¿Cuántas unidades se vendieron en el 2017? 2) Un corredor de bolsa vendió a un cliente 200 acciones de la empresa A, 300 acciones de la B, 500 acciones de la C y 300 acciones de la D. Forme una matriz fila que proporcione el número de acciones que se vendieron de cada empresa. 13

Si las acciones se venden en $20, $30, $35, y $100 por acción, respectivamente. Exprese esta información como matriz columna. Utilizando multiplicación de matrices, obtenga el costo total de las acciones. Presente situaciones problemáticas ante estos datos. 3) El precio del litro de aceite de oliva y del de aceite de girasol en 3 hipermercados diferentes es: Hipermercado Precio del aceite de oliva Alfa 315 Beta 325 Gamma 300

Precio del aceite de girasol 270 255 285

La familia García compra cada mes 3 litros de aceite de oliva y 1 de aceite de girasol. La familia Pérez adquiere 2 litros de aceite de oliva y 2 de aceite de girasol al mes. Calcular, utilizando matrices, el gasto total en aceite realizado mensualmente por cada familia según el hipermercado en que compre. 4) Un contratista de la construcción aceptó pedidos por casas de 3 tipos, las llamaremos tipo I, II y III. Construirá 5 casas tipo I, 7 casas tipo II y 12 casas tipo III. a) Exprese los datos anteriores mediante una matriz fila, llámela A. En la matriz R se expresan las materias primas que son necesarias para construir cada tipo de casa.

Casa tipo I Casa tipo II Casa tipo III

Acero 5 7 6

Madera 20 18 25

Vidrio 16 12 8

Pintura 7 9 5

=R

b) Resolver A.R, llamar P a la matriz obtenida. ¿Qué representa la matriz P? c) Los costos de los materiales son el acero $1500, la madera$800, el vidrio $500 y la pintura $100 (Los costos están expresados por unidad). Exprese estos datos mediante una matriz columna, llámela C. d) ¿Cuál es el costo total de construcción para todas las casas? 5) Un contratista de construcción aceptó pedidos por 6 casas de estilo colonial y 8 casas de estilo moderno. a) Representar mediante una matriz Q1x2 dichos datos. Las materias primas que se utilizan en cada uno de los tipos de edificación son acero, madera y vidrio. La matriz R representa el número de unidades de cada uno de los materiales que se invierten en cada tipo de casa:

Colonial Moderna

Acero 20 5

Madera 5 30

Vidrio 10 8

= R2x3

14

b) ¿Se puede obtener Q. R? ¿De qué tamaño es? ¿Qué representa? c) Si suponemos que el acero cuesta $2000 por unidad, la madera $ 1000 por u. y el vidrio $ 500, expresar mediante una matriz columna C3x1 los costos. Hallar R.C, ¿Qué representa? d) Obtener Q.R.C, ¿Qué dato se obtiene? SISTEMAS DE ECUACIONES 1.- Resuelva el sistema de ecuaciones en R2. Elija un método conveniente de resolución. 5x + 7y = 3

2x + 7y = 13

4x - 2y = - 6

a.-   2x + 3y = 1

b.-   2x + 2y = - 2

c.-   - 2x + y = 3

 x − 2y =0  d.-  2 x − 26 3  = y− 2  4

 x − 2y = −1  e.-  2 x −26 5  = y− 2  4

 x − 2y x + y 7 + =  f.-  2 x −36 2 x −22 y 3  − = −2 2  4

2.- Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales y clasificarlos.

a)

 x - 2y + 3z = 5   2x + z = 12 3x + y - 3z = 12 

 x+y+z=6

e) 2x - 3y + z = - 4

4x + 5y - 10z = 13 

b)

 x + y - 5 z = - 11   2x − y + z = 5 3x + 2y + z = 13 

x + y + z = 1

f)  2x - 3y = 5 3y + 4 z = 1 

c)

x - 3y - z = - 3  2x - 5y + z = - 13 - 3x + y - 2z = 8 

 y - 2z = - 5

g) 2x - y + z = - 2 4x - y = - 4 

d)

2x - y + 3z = 1  - 4x + 3y - z = 0 - 2x + 2y + 2z = 1 

2x - y + z = 1

h) - x + 2y - z = 2 - 2x + y - z = 0 

APLICACIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES 1) Un comercio vende tres clases de productos: A, B y C. Vende dos unidades de A, tres unidades de B y cuatro unidades de C por $215; una unidad de A, cinco unidades de B y tres unidades de C por $ 245; tres unidades de A y seis unidades de B por $ 285. ¿Cuál es el precio de venta, por unidad, de cada producto? 2) En un viaje por Francia, Italia y España, un turista gastó diariamente en hospedaje: € 200; € 250 y € 300, respectivamente. En comida, sus gastos diarios fueron: € 250; € 175 y € 300 también respectivamente. En concepto de varios, gastó € 100 diarios en cada país. Si en total de hospedaje gastó € 3800, en comida € 3750 y en varios € 1500. ¿Cuántos días pasó en cada país? 3) Una empresa elabora tres productos que se procesan en tres departamentos. En la tabla se resumen las horas requeridas por unidad de cada producto en cada departamento. Además las capacidades semanales se expresan para cada departamento en términos de horas de trabajo disponibles. Se desea determinar

15

si hay combinaciones de los tres grupos que aprovechen al máximo las capacidades semanales de los tres departamentos. Departamento A B C

Producto 1 2 3 2 3,5 3 3 2,5 2 4 3 2

Horas disponibles 1200 1150 1400

4) Una industria farmacéutica produce dos tipos de medicamentos, A y B. La producción de una unidad del medicamento A requiere 5 minutos en la planta de mezclado y 10 minutos en la planta de empacado. Por su parte, la producción de una unidad del medicamento B, requiere 8 minutos en la planta de mezclado y 6 en la planta de empacado. Si la planta de mezclado tiene 3 días disponibles y la de empacado 4, a la semana, ¿Cuántas unidades de A y B se deben producir para que las plantas se utilicen al máximo? 5) Una empresa de transportes gestiona una flota de 60 camiones de tres modelos diferentes. Los mayores transportan una media diaria de 15000 kg. y recorren diariamente una media de 400 kilómetros. Los medianos transportan diariamente una media de 10000 kilogramos y recorren 300 kilómetros. Los pequeños transportan diariamente 5000 kilogramos y recorren 100 km. de media. Diariamente los camiones de la empresa transportan un total de 475 toneladas y recorren 12500 km. entre todos. ¿Cuántos camiones gestiona la empresa de cada modelo? 6) Un cliente de un supermercado ha pagado un total de $ 3120 por 24 l de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Y se sabe que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de leche, a.- Plantear el problema en forma matricial b.- Plantearlo para aplicar Gauss-Jordan. c.- Calcular el precio de cada artículo por el método que desee. 7) Una compañía paga a sus trabajadores calificados $ 150 por hora en su departamento de ensamblado. Los trabajadores semicalificados en ese departamento ganan $ 90 por hora. A los empleados de envíos se les paga $ 100 por hora. A causa de un incremento en los pedidos la compañía necesita contratar un total de 70 trabajadores en los departamentos de ensamblado y envíos. Pagará un total de $ 7600 por hora a estos empleados. A causa de un contrato con el sindicato deben emplearse el doble de trabajadores semicalificados que de trabajadores calificados. Cuántos trabajadores semicalificados, calificados y empleados de envíos debe contratar la compañía? 8) Una empresa fabrica 3 tipos de productos, dichos productos requieren de dos etapas: producción y ensamblado. El tiempo que se insume para cada una de las etapas se muestra en la siguiente tabla:

16

Tipo Producción Ensamblado

I 5 hs 6 hs

II 7 hs 2 hs

III 6 hs 8 hs

Total por mes 597 hs 526

Además los costos de producción de cada tipo son $3, $5 y $4 respectivamente. Si en un mes el costo de producción total es de $403 ¿Qué cantidad de cada tipo de producto se fabrica. 9) El dueño de un bar ha comprado refrescos, cerveza y vino por importe de $ 500 (sin impuestos). El valor del vino es $ 60 menos que el de los refrescos y de la cerveza conjuntamente. Teniendo en cuenta que los refrescos deben pagar un IVA del 6%, por la cerveza del 12% y por El vino del 30%, lo que hace que la factura to tal con impuestos sea de $ 592.4, calcular la cantidad invertida en cada tipo de bebida. 10) La edad de un padre es doble de la suma de las edades de sus dos hijos, mientras que hace unos años (exactamente la diferencia de las edades actuales de los hijos), la edad del padre era triple que la suma de las edades, en aquel tiempo, de sus hijos. Cuando pasen tantos años como la suma de las edades actuales de los hijos, la suma de edades de las tres personas será 150 años. ¿Q ué edad tenía el padre en el momento de nacer sus hijos? 11) Se venden tres especies de cereales: trigo, cebada y mijo. Cada volumen de trigo se vende por 4 €, el de la cebada por 2 € y el de mijo por 0.5 €.Si se vende 100 volúmenes en total y si obtiene por la venta 100 €, ¿cuántos volúmenes de cada especie se venden? 12-a) El gerente de una compañía decide invertir los excedentes operativos del periodo pasado, 600.000, en tres tipos de proyectos que rentan el 18%, 12% y 14% de interés efectivo por periodo. Si se sabe que los rendimientos totales al cabo de un periodo son 90.000 y que los rendimientos por las inversiones al 18% y al 12% son iguales, se quiere saber: ¿Cuánto invirtió en cada proyecto? 12-b) El gerente de una compañía decide invertir los excedentes operativos del periodo pasado, 600.000, en tres tipos de proyectos que rentan el 18%, 12% y 14% de interés efectivo por periodo. Si se sabe que los rendimientos totales al cabo de un periodo son 90.000 y que las inversiones al 18% y al 12% son iguales, se quiere saber: ¿Cuánto invirtió en cada proyecto? 13) Un videoclub está especializado en películas de tres tipos: infantiles, oeste americano y terror. Se sabe que: El 60% de las películas infantiles más el 50% de las del oeste representan el 30% del total de las películas. El 20% de las infantiles más el 60% de las del oeste más del 60% de las de terror al representan la mitad del total de las películas. Hay 100 películas más del oeste que de infantiles. Hallar el número de películas de cada tipo.

17

14) Un gerente de producción dispone de 2580 horas-hombre para la producción de tres tipos de producto; A, B, y C. Los costos hora-hombre para cada producto son: 8000, 12000 y 18000 respectivamente y el costo total es de 6.000.000. Si el número de horas-hombre para el producto A es igual a dos veces las horashombre para el producto C; calcule el número de horas-hombre que puede disponerse para cada producto. ………………………………………………………………………………………… Respuestas Vectores. 3 5.- 1) = 2

2) = −

8 3

7.- La demanda total de los consumidores para estos bienes está dada por la suma D1 + D2 + D3= [3 2 5] + [0 17 1] + [4 6 12]= [7 25 18] La demanda industrial total está dada por la suma Dc + De + Ds= [0 1 4] + [20 0 8] + [30 5 0]= [50 6 12] Por tanto, la demanda global total está dada por [7 25 18] + [50 6 12]= [57 31 30]

Así la industria del carbón vende un total de 57 unidades, el total de unidades de electricidad vendidas es de 31 y el total de unidades de acero que fueron vendidas es de 30. Matrices

 −1 − 2   7 

1) a) A − B =   −1

1  0   1 −12 

b) 

 1 − c)  3  − 1  3

2  3 7   3 

−

 − 13 − 3 25    2)  22 − 1 41   − 9 − 6 10    0 −7  5   20 − 1 − 15 

3) 

18

4) b)

x, y , z,w = 2,4,1,3

6    5) a)  − 1  5   

 8 −1    d)  − 2 − 3   12 − 5   

3 2 2    c)  6 4 4  0 0 0   

b) No

6) A2= matriz nula

 10 − 1 12    b)  − 1 5 − 4  12 − 4 16   

5 1  7) a)    1 26 

8) a) -207 b) 16 c) 30 d) 60 e) -12

3 8

9) a) A- 1= ( 1 −2

1 −2

1

)

 1   5 b)  2  5  16 −  35

2 5 1 − 5 2 − 35

 0  0  1  7

c), d) y f) no tienen inversa

APLICACIÓN DE MATRICES 1.- a) 2, b) 2017, c) 2017, d)57 4.- CT= 785600 SISTEMAS DE ECUACIONES 1.- a) S = {(2; -1)

b) S = {(-4; 3)}

c) S = {(x; y) / 4x – 2y = -6}

d) S= {(x,y)/ y = 1/2x} e) S= {(x,y)/ y = 1/2x+1} 2.- a) (5,3,2),

b) (2,2,3),

f)S= {(3,1))

c) (0,2,-3),

d) S.C.I.: {(x,y,z) = (3/2 – 4z, 2-5z, z)} h) S.I.

e) (2,3,1), f) (1,-1,1), g) S.I.

APLICACIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES

1)25,35,15

2)5,4,6

3)200,100,150

6)20,320,60

7)20,40,10 8)27,35,42

9)120,160,220

10)50,15,10

11) SCI

T= -50+0.75M

C= 150-1.75 M

12)𝑎) 𝑁𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛, 𝑏) {300000,300000,0}

5)5,25,30

13){500,600.900}

19

Trabajo Práctico III Funciones escalares Función lineal 1.- Graficar las siguientes funciones lineales, indicando dominio, imagen, intersecciones con ejes e intervalos de positividad y negatividad: i) f(x)= x

ii) f(x)= -3x

iii) f(x)= 4x-1

iv) f(x)= -x+3

v) f(x)= 3/2x+5

vi) f(x)= -5

vii) f(x)= -2x+4

viii) f(x)= - 4/3x+2

ix) f(x)= 2/5x-4

2.- Hallar la ecuación de la recta de pendiente m que pasa por el punto P, siendo: i) P=(-1,4) m= 2 iii) P=(4,0) m= -2/3

ii) P=(2,-3) iv) P=(1/5,-2/5)

m= -4 m= 0

3.- Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos: i) P=(2,1) Q=(3,-4) iii) P =(-2,3) Q =(-4,6)

ii) P =(5,6) Q = (-3,6) iv) P =(-1,3) Q =(2,-5)

4.- Hallar la pendiente de la recta que pasa por (3,2) y (4,a). ¿Para qué valores de a la pendiente vale 8? ¿Para qué valor de a la recta corta al eje de las y en el punto (0,3). 5.- Hallar el área del triángulo determinado por la recta r y los ejes coordenados, siendo r la recta que pasa por M = (4,-1) y es perpendicular a s: y = 1/2 x. 6.- La Demanda de un cierto artículo está dada por: D = - 3/4 p + 3000. Hallar: a) Cantidad de artículos demandados si p = 2000 y p = 3500 b) Dominio e Imagen c) ¿Hay consumidores dispuestos a pagar un precio de $ 4200? d) ¿Cuál es el precio para una demanda de 1950 artículos? 7.- Una agencia de alquiler de autos cobra $ 350 diarios más 2 pesos por kilómetro. i.- Expresar el costo de alquiler de un auto durante un día en función de la cantidad de kilómetros y representarlo gráficamente ii.- ¿Cuánto cuesta alquilar un auto un día cualquiera para un viaje de 50 kilómetros? iii.- ¿Cuántos kilómetros se recorrerían si el costo diario de alquiler fuera de $ 4620?

20

8.- La demanda de un producto es de 80 unidades cuando su precio es de $ 30 por unidad, cuando se disminuye el precio del producto en un 20 % la demanda aumenta en un 25 %. i) ii) iii)

Determinar la función de demanda, sabiendo que corresponde a una función lineal. Calcular la demanda para p = 39. Graficar.

9.- Desde el comienzo del año, el precio del pan integral en un supermercado sube a una tasa constante de $ 2 por mes. El primero de noviembre, el precio por unidad había llegado a $ 22. Expresar el precio del pan como función del tiempo y determinar el precio a principio de año. Graficar. 10.- La afiliación a un club privado de tenis cuesta $ 4000 por año y da derecho al socio a utilizar las canchas de tenis por un valor de $ 30 por hora. En el club de la competencia, la afiliación cuesta $ 6000 por año y el uso de las canchas $ 20 por hora. Si sólo tienen en cuenta las condiciones financieras, ¿cómo debería elegir un jugador de tenis a qué club asociarse?

11.- Un fabricante puede vender cierto producto a $ 110 por unidad. El precio total equivale a costos fijos de $ 7500 más costos de producción de $ 60 por unidad. a) ¿Cuántas unidades debe vender el fabricante para no salir perdiendo? b) ¿Cuál es el beneficio o la pérdida si se venden 100 unidades? c) ¿Cuántas unidades debe vender para obtener una utilidad de $ 1250?

12.- Los estudiantes de un Colegio pueden inscribirse por correo previamente para sus clases de otoño, durante el verano. Los que no lo hacen deben inscribirse personalmente en marzo. La persona encargada de la inscripción puede registrar 35 estudiantes por hora durante el período de inscripción de marzo. Si el 1º de marzo, después de 4 horas, se inscribieron 360 estudiantes (incluidos los que se inscribieron previamente): a) Expresar el número de estudiantes inscriptos como una función del tiempo y elaborar la gráfica. b) ¿Cuántos estudiantes se inscribieron después de 3 horas? c) ¿Cuántos estudiantes se inscribieron previamente durante el verano? 13.- Durante el verano un grupo de estudiantes construye kayaks en un garaje adaptado para tal fin. Alquilar el garaje durante el verano cuesta $ 6000 y los materiales que se necesitan para construir un kayak cuestan $ 250. Los kayaks pueden venderse a $ 1750 cada uno. a) ¿Cuántos kayaks deben vender para no salir perdiendo? b) ¿Cuántos deben vender para tener una utilidad de $ 25500?

21

14.- Determinada agencia de alquiler de autos cobra $ 250 por día más $ 6 por km. Una segunda agencia cobra $ 300 más $ 5 por km. ¿Qué agencia ofrece el mejor trato? Graficar.

15.- Una administradora de negocios desea determinar la diferencia entre los costos de ser propietaria y de alquilar un auto. Puede alquilar un auto pequeño por $ 6000 al mes (sobre una base anual).Según este plan el costo por km (de nafta y aceite) es de $ 60. Si comprara el auto, el gasto fijo anual sería de $ 40000, y los otros costos sumarían $ 80 por km. ¿Cuál es el número mínimo de km que tendría que conducir al año para hacer que el alquiler no fuera más costoso que la compra? 16.- Un auto comprado hoy en $ 80000 disminuye su valor linealmente con el tiempo, de modo tal que en 4 años valdrá $ 48000. Análogamente una camioneta comprada hoy en $ 70000 valdrá dentro de 6 años $ 46000. Determinar gráfica y analíticamente dentro de cuánto tiempo ambos vehículos tendrán el mismo valor. 17.- Un fabricante de artefactos no tiene pérdidas ni ganancias con un volumen de ventas de $ 200.000. Los costos fijos son de $ 50.000 y cada unidad se vende a $ 8. Determinar el costo variable por unidad. 18.- Los administradores de una compañía desean saber el total de unidades que deben venderse para que la firma obtenga un beneficio de $ 100.000. Se conocen los siguientes datos: precio unitario de venta: $ 20; costos variables por unidad: $ 15; costos fijos totales: $ 600.000. Determinar las ventas que se requieren. 19.-Una fábrica de cajas tiene un costo de producción de $15 por cada caja y de $1200 fijos por mes. Por cada unidad vendida recibe $25. a.- ¿Cuál es el ingreso en un mes, si vendió 300 artículos? b.- ¿Qué cantidad deberá vender para no tener pérdida ni ganancia? c.- ¿Qué cantidad deberá vender para tener una ganancia de $ 40000? Graficar las tres funciones (CT, IT y BT) en un mismo par de ejes. 20.- Se desea adquirir contenedores para almacenamiento, para obtener 150 contenedores se requiere $2500, en cambio si se necesitan 230 el costo será de $2640. a. Determinar la función costo sabiendo que se comporta linealmente. b. ¿Qué cantidad de contenedores podrán comprarse si se posee sólo $2000 para invertir en dicha operación? c. Graficar. 21.- Una empresa ha anunciado su balance económico de los dos últimos bimestres del año 2017 con unos beneficios netos (en millones de pesos) que se

22

representan en la siguiente tabla, siendo x el tiempo (en bimestres) e y los beneficios (en millones de pesos): x y (en millones de pesos)

5 20

6 26

a.- Desarrolle la ecuación de estimación lineal que describa estos datos. Graficar b.- Si se mantuvo en la misma línea estimar qué beneficio habrá tenido en el primer bimestre del año 2018. c.- Predecir cuándo tendrá un beneficio de 45 millones de pesos. 22.- Una empresa fabrica calculadoras y tiene plantas en Rosario y Córdoba. En la planta de Rosario, los costos fijos son de $ 7000 al mes y el costo de fabricar cada calculadora es $ 7,50. En la planta de Córdoba, los costos fijos son de $ 8800 mensuales y se requieren $ 6 para fabricar cada unidad. El siguiente mes la empresa debe fabricar 1500 calculadoras. ¿Cuántas deben fabricarse en cada planta para que sean iguales los costos totales en cada una? 23.- Para animar a los automovilistas a establecer convenios para transportar pasajeros, las autoridades del tránsito en determinada área metropolitana ofrecieron una tarifa especial reducida en los peajes para los vehículos que llevaran 4 o más personas. Cuando empezó el programa, hace 30 días, 157 vehículos calificaron para obtener la tarifa reducida durante las horas de mayor tráfico por las mañanas. Desde entonces, la cantidad de vehículos que califican aumentó a una tasa constante y en la actualidad 247 vehículos están autorizados. a.- expresar la cantidad de vehículos que califican cada mañana para obtener la tarifa reducida como una función del tiempo y dibujar la gráfica. b.- si la tendencia continúa, ¿cuántos vehículos calificarán dentro de 14 días durante la hora de mayor tráfico por las mañanas? 24.- El punto de equilibrio de mercado para un producto ocurre cuando se fabrican 13500 unidades a un precio de $ 4,50 por unidad. El fabricante no hace oferta de unidades con precio de $ 1 y los consumidores no demandan unidades a $ 20. Obtenga las ecuaciones de oferta y demanda si ambas son lineales. 25.- Desde el principio del mes, una represa local perdió agua a una tasa constante. El día 12 la represa tenía 200 millones de m3 de agua, el 21 tenía solo 164 millones. a.- expresar la cantidad de agua que permanece en la represa como una función del tiempo y elaborar la gráfica. b.- el día 8, ¿cuánta agua había en la represa?

23

26.- Según las disposiciones de un proyecto de ley de impuestos sobre la propiedad, el propietario de una casa pagará $ 500 más el 8 % del valor de la casa. Según las disposiciones de otro proyecto de ley, el propietario de una casa pagará $ 2500 más el 3 % del valor estimado. Si sólo se tienen en cuenta las consideraciones financieras ¿cómo debería decidir el propietario qué proyecto de ley respaldar? Graficar. 27.- Un fabricante de artefactos no tiene pérdidas ni ganancias con un volumen de ventas de $ 200.000. Los costos fijos son de $ 50.000 y cada unidad se vende a $ 8. Determinar el costo variable por unidad. Obtener y graficar la función beneficio total. 28.- La demanda de un producto es de 100 unidades cuando su precio es de $ 60 por unidad, cuando se aumenta el precio del producto a $ 80 la demanda disminuye a 85 unidades. i.- Determinar la función de demanda, sabiendo que corresponde a una función lineal. ii.-De cuánto será la demanda cuando se aumenta el precio del producto a $90. iii.- Graficar. 29.- Un maratonista corre a una velocidad constante de 10 km/h. Si corre 5 kilómetros pierde 300 calorías; si corre 17 kilómetros pierde 1150 calorías y si corre 35 kilómetros pierde 2425 calorías. Ver si la pérdida de calorías C está en función lineal de x kilómetros recorridos. Si es así escribir la función lineal C(x) y estimar cuántos kilómetros habrá corrido si perdió 2850 calorías 30.- En una fábrica de galletitas se observa que existe una relación entre la cantidad x de harina (en toneladas) y el consumo de energía eléctrica y (en pesos). La relación se muestra en la siguiente tabla: X Y

12 60

23 31 115 155

a.- Las variables están ligadas linealmente? Si es así desarrolle la ecuación de estimación lineal que describa estos datos. Graficar b.- estimar el consumo de energía si se utilizan 50 toneladas de harina. c.- Si se gastó $ 200 en energía, cuánta harina fue usada? 31.- La empresa “Análisis” obtiene una ganancia de $1.000.000 anuales. Sus costos de producción son de $100.000 fijos y de $250 variables por unidad; mientras que el precio de venta unitario es de $ 360. a. Determinar el número de unidades vendidas. b. Escribir la Ley de Beneficio y Beneficio Medio. 32.- Cuando el precio de un producto es de p pesos por unidad, supóngase que un fabricante ofrece 2p – 8 unidades del producto al mercado, y que la demanda de los consumidores será de 300 – 2p unidades. Se dice que el mercado está en equilibrio cuando el valor de p hace que la oferta sea igual a la demanda. Encuentre el valor de p del punto de equilibrio.

24

33.- Un fabricante puede vender cierto producto a $ 150 por unidad. El precio total equivale a costos fijos de $ 3000 más costos de producción de $ 50 por unidad a) ¿Cuántas unidades debe vender el fabricante para no salir perdiendo? b) ¿Cuál es el beneficio o la pérdida si se venden 100 unidades? c) ¿Cuántas unidades debe vender para obtener una utilidad de $ 17000? 34.- El punto de equilibrio de mercado para un producto ocurre cuando se fabrican 16 unidades a un precio de $ 20 por unidad. El fabricante no hace oferta de unidades con precio de $ 4 y los consumidores no demandan unidades a $ 28. Obtenga las ecuaciones de oferta y demanda si ambas son lineales. Función cuadrática 1.- Graficar las siguientes funciones cuadráticas, indicando vértice, eje, dominio e imagen, intervalos de crecimiento y decrecimiento, intersecciones con ejes e intervalos de positividad y negatividad: i) f(x)= -x2+3

ii) f(x)= -x2+4x

iii) f(x)= x2+2x-15

iv) f(x)= x2-3/2x-10

v) f(x)= x2+ 13/2x+3

vi) f(x)= -x2+6x-9

2.- Un artículo tiene un costo total CT(q)=q2+ 8q + 16, y un ingreso total IT(q)= q2+ 10 q, calcular: i)Ley de beneficio y beneficio medio, ii)BT e IT de vender 40 unidades, iii)A partir de qué nivel de producción aproximado las ventas producen ganancia?, iv)Si la venta de q unidades produce un ingreso de $ 144 , hallar el valor de q y el beneficio que produce la venta, v)Graficar. 3.- Dada la función de costo total C.T(q) = q2+ 4q+3 ; hallar i) CT de producir 3 unidades, ii) función de costo variable, iii) costo fijo, iv) costo medio, v) C. Medio de producir 3u., vi) graficar. 4.- Una librería puede obtener un atlas de la editorial a un costo de $ 50 por ejemplar y estima que, si se expende a p pesos el ejemplar, venderá aproximadamente q = 20.(220-p) ejemplares cada mes. Expresar la utilidad (beneficio) mensual de la librería por la venta del atlas como una función del precio, dibujar la gráfica y emplearla para estimar el precio óptimo de venta. 5.- Con 500 m de alambre se quiere alambrar un campo rectangular de largo “l” y altura “x”, gastando todo el alambre. i.- Buscar la expresión del largo l en función de la altura x. Si l = l(x), calcular l(10). ii.- ¿Cuál es el dominio de la función?. Graficarla.

25

iii.- Escribir la expresión del área A del rectángulo en función de la altura x. Calcular A(10). Graficar A(x).

6.- Un agricultor desea cercar un campo rectangular con 2400 m de cerca. Si el campo está limitado en uno de sus lados por un arroyo (que no requiere cerca), expresar el área del campo como una función de su ancho. Graficar la función área obtenida. ¿Cuáles serán las dimensiones del mismo que hagan máxima el área? 7.- Un fabricante estima que, si se produce mensualmente q unidades de un artículo, el costo total será: CT(q) = 0,4q2 + 3q+ 17 pesos Y todas las unidades pueden venderse a un precio de: P(q)= 0,2 (45 – 0,5 q) pesos por unidad Determinar el nivel de producción que genera el máximo beneficio ¿Cuál es el precio óptimo correspondiente? 8.- Un fabricante puede producir mesas a un costo de $ 140 cada una. Se estima que si las mesas se venden a p pesos cada una, los usuarios comprarán q = 2000 - p de ellas al mes. Expresar el beneficio mensual del fabricante como una función del precio, dibujar la gráfica de esta función y utilizarla para estimar el precio óptimo de venta. 9.- Un fabricante puede producir sillas a un costo de US$ 20 cada una. Se estima que si las sillas se venden a p dólares cada una, los usuarios comprarán q=120 – p de ellas al mes. Expresar el beneficio mensual del fabricante como una función del precio, dibujar la gráfica de esta función y utilizarla para estimar el precio óptimo de venta. 10.- La empresa “P.B” se dedica a las ventas de carteras de cuero importadas. El costo total esta dado por CT= 40q + 20000 y la demanda es P= –0,01q+100. Determinar cantidades y el precio que maximiza el beneficio. 11.- Un estudio sobre la aplicación de nuevas tarifas de colectivos propone que la demanda de la cantidad de pasajeros por día en función del precio del boleto, en pesos, está dada por: 𝑞 = 10.000 − 125𝑝

a. Determinar la tarifa que se debe cobrar para maximizar el ingreso diario de las empresas de transporte b. ¿Cuál es el ingreso máximo esperado? c. ¿Cuántos pasajeros por día se esperan con dicha tarifa?

12.- Semanalmente una fábrica produce x unidades de cierto artículo que vende a p pesos cada uno y cuya ecuación de demanda viene dada por: 1500x + 3p = 3.861.000

26

a) ¿Cuántos artículos debe vender para obtener ingresos de $1.286.500? b) En este caso, ¿a qué precio se vendió cada artículo? 13.-Los ingresos mensuales de cierta compañía, están dados por: IT= 800 p -7p2, en donde p es el precio en dólares del producto que fabrica. ¿A qué precio se obtendrían ingresos de $10.000, si el precio debe ser superior a $50 dólares? 14.- Supóngase que los consumidores adquieran q unidades de un producto, si 80−𝑞 el precio es de 4 por unidad. ¿Cuántas unidades deben venderse para que los ingresos por ventas sean de 400 dólares? 15.- Una compañía vende 20.000 unidades de un producto cuando el precio unitario es de 28.000 pesos y ha advertido que puede vender 2.000 unidades más cada vez que baja $4.000 el precio por unidad. ¿Cuántas unidades debe vender para obtener ingresos de 128 millones de pesos? 16.- Usted es el asesor en jefe de una empresa propietaria de un complejo de oficinas que cuenta con 50 suites. Se puede rentar cada una de éstas en 4.000 dólares mensuales. Sin embargo, por cada $200 de aumento por mes habrá 2 de ellas desocupadas, sin posibilidad de rentarlas. La compañía desea obtener un total de $202.400 dólares mensuales con la renta del total del complejo. Se pide determinar la renta que debe cobrarse por cada suite. 17.- Un vendedor sabe por experiencia que si vende sus revistas a $1.500 cada una, puede vender 800 revistas. Cada vez que aumenta el precio de cada revista en $300 deja de vender 50 revistas. ¿Cuántas revistas puede vender para obtener ingresos de $1.200.000, pero vendiendo menos revistas? 18.- Un fabricante puede producir puertas a un costo de $ 250 cada una. Se estima que, si las puertas se venden a p pesos cada una, los usuarios comprarán q = 3000 - p de ellas al mes. Expresar el beneficio mensual del fabricante como una función del precio, dibujar la gráfica de esta función y utilizarla para estimar el precio óptimo de venta. 19.- Sabiendo que el perímetro de un terreno rectangular es 240 m. i.- Buscar la expresión del largo y en función del ancho x. ii.- ¿Cuál es el dominio de la función?. Graficarla. iii.- Escribir la expresión del área A del rectángulo en función del ancho x. Graficar A(x) e investigar cuál es el área máxima. iv.- Si su área es 3200 m2, calcular largo y ancho sabiendo que el largo es mayor que el ancho. 20.- Para mayor seguridad un fabricante planea colocar una reja de 360 m en un área rectangular de almacenamiento adyacente a un edificio, utilizando a éste como uno de los lados del área que se debe cubrir. Expresar el área como una función de su ancho. Graficar la función área obtenida. Cuáles serán las dimensiones del mismo que hagan máxima el área?

27

21.- En una industria, el costo total de producción de q unidades durante el 1 período diario de producción es 𝐶(𝑞) = 2 𝑞 2 − 10𝑞 + 90 dólares. En un día normal de trabajo, se fabrican 𝑞(𝑡) = 20𝑡 unidades las primeras “t” horas de un período de producción. a. Graficar la función Costo total diario de producción en función de la cantidad. b. Hallar el mínimo costo diario de producción. ¿A qué hora se alcanza? c. ¿Cuánto habrá gastado en producción al finalizar la tercera hora? 22.-Resolver gráfica y analíticamente los siguientes sistemas:

 y = x 2 - 4x - 5 i.-   y+ x =5

 y- x =6 ii.-  2 y = x + 4x - 12

 y = x -1 iii.-  2 y = x + 6x - 7

 y = x2 iv.-   y + 2x = 3

  y = 1 / 2x 2 + x − 4 v.-  2   y = − x + 4x − 4

 y = x 2 - 4x + 7 vi. -   y+x =7

 y = x 2 - 4x - 3  y+x =7 vii.-   y = x 2 + 1 ix.-   y + 2x = 4

 y- x =6 viii.-  2  y = x + 4x - 4

 y = x 2 + x − 3 x.-  y = − x 2 + 4x − 4

23.- Dadas las siguientes funciones de oferta y demanda, encontrar el punto de equilibrio de mercado y graficarlas dando sus dominios:

q = - 2p + 70 i.-   q = 3p - 30

 q 2 = p -1 ii.-  p + q = 13

 p = - q + 130 iii.-  2 p = 1/50 q + 30

 p + q2 - 7 = 0 iv.-  2 - q + p - 2q = - 5

 p − 9 = q 2 + 6q v.-   p + 1 / 2q = 174

 p − 4 = q 2 + 4q vi. -   p + 1 / 3q = 124

28

 p − 1 = (q + 1) 2 vii.-   p = 152 − 3q 24.- Hallar el precio de equilibrio y la cantidad correspondiente de unidades ofrecidas y demandadas si la función de oferta para un determinado artículo es p = q2 + 2q , y la función de demanda es p = - ½ q2 + 640. Graficar indicando dominio e imagen. 25.- Hallar el precio de equilibrio y la cantidad correspondiente de unidades ofrecidas y demandadas si la función de oferta para un determinado artículo es p = q2 + 2q, y la función de demanda es p = - 2q2 + 33. Graficar indicando dominio e imagen. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Respuestas TP III Función lineal 2.- i) y = 2x+6, ii) y = -4x+5, iii) y = -2/3x+8/3, iv) y = - 2/5. 3.- i) y = - 5x + 11. ii) y = 6 , iii) y = - 3/2 x. 4.- i.- m = a-2, ii.- a = 10, a = 5/3. 5.- A =12,25 u.A. 6.- a.- 1500, 375. c.- no d.- 1400 7.- CT= 2k+350 8.- p = - 3/10 q + 54 ii.- q = 50 10.- x  200 → C1 , x  200 → C2 11.- BT = 50 q – 7500, a.- 150, b.- - 2500, c.- 175 12.- a.- I(h) = 35h + 220. b.- I(3) = 325 c.- 220 13.- a) 4 b) x= 21 15.- 1600 km. 17.- $ 6 por unidad 18.- q= 140000 20.-a) CT= 7/4 x + 4475/2, b) Ninguno. 22.- qR= 800 qC= 700 31 37 24.- D: 𝑝 = − 27000 𝑞 + 20, Of: 𝑝 = 27000 𝑞 + 1 25.- CA(t)= -4t+248, CA(8)=216 30.- a) y= 5x, b) Y= 250, c) x= 40. 32.- p= 77, q= 146. 34.- Of: p= q+4 Función cuadrática 1.- Raíces

3y − 3

Vértice

eje

Dominio

Imagen

(0,3)

x=0

R

( -∞ 3]

ii.- 0 y 4

(2,4)

x=2

R

(-∞,4]

iii.- 3 y –5

(-1,-16)

x = -1

R

[-16, +∞)

i.-

29

iv.- 4 y – 5/2

(3/4,-169/16)

v.- -6 y – ½

(-13/4,-121/16)

vi.- 3 (doble)

( 3, 0 )

x=¾

R

[ - 169/16, +∞)

x = -13/4

R

[-121/16,+∞)

x=3

R

(- ∞ , o]

i.- BT(q) = 2q – 16 ii.- BT(40) = 64 , IT(40) = 2000 iii.- q = 8.

2.-

3.- CT (3) = 24, Cme(3) = 8 5.- l(10) = 240 m

Bme (q) = 2 – 16/q Bme (40) = 1,6 Iv.- q = 8, BT (8) = 0 4.- p= 135, BT= 144500

6.- x= 1200 m, l= 600 m, Amax= 720000 m2

7.- q=6, p= 8.4

8.- p=1070, BT=864900

9.- p= 70, BT=2500 11.- DomIT(p)=[0,80], IT(p)=-125p2+10000p , a) p= 40, b) IT=200000, c) q= 5000. 13.- R. $100 dólares.

14.- 40 unidades.

15.- Debe vender 32.000 unidades.

16.- $4.400 o bien $4.600.

17.- 250 18.- p= 1625, BT=1890625, q= 1375 20.- x= 90 m, y = 180 m, Amax= 16200 m2 22.- i.- S = {(-2,7), (5,0)} iv.-S= {(1,1), (-3,9)}

ii.- S= {(-6,0), (3,9)}

iii.- S= {(-6, -7), (1,0)}

v.- S = {(0, -4), (2,0)}

vi. - S = {(10,7), (3,4)}

vii.- S = {(-2,9), (5,2)} viii.- S = {(2,8), (-5,1)}

23.-

i.- q= 30, p = 20

ii.- q= 3, p= 10

iii.- q = 50, p = 80

iv.- p = 3, q = 2

v.- p = 169, q = 10.

vi.- p = 121 , q = 9

vii.- p = 122, q = 10 24.- q= 20, p= 440 25.- q=3, p= 15

30

Trabajo práctico N° IV Funciones definidas en tramos 1.- Graficar las siguientes funciones, indicando dominio y recorrido:

x - 3........s i x  - 1 i) f(x)=   2 − 3x......six  −1

iii)

  x.......... .....six  3 f(x)=  2 x − 3....... six  3  3

 x.......... si.x  2 ii) f(x)=   x + 2...... si.x  2  − x 2 + 2..... si.x  0  iv) f(x) = 2.......... .si.0  x  2  − x.......... ..si.x  2 

2.- Un mayorista de juguetes vende autitos, según los siguientes precios: $6 c/u hasta 200 unidades. $5 c/u entre 200 y 500 unidades. $4 c/u entre 500 y 1000 unidades. $3 c/u por más de 1000 unidades. Hallar y graficar la funciones de precio y de ingreso total en función de la cantidad vendida. Dar la imagen en cada caso.

3.- En un país los ciudadanos pagan impuestos a las ganancias de la siguiente forma: si la ganancia es menor a $ 15000 no se abona; si la ganancia es mayor o igual a $ 15000 pero a su vez menor a $ 20000 se paga el 2 % de la misma, y si es mayor o igual a $ 20000 se abonará un impuesto equivalente al 3 % . Plantear la función que permita halla el valor del impuesto que se abona según la ganancia. Graficar y dar dominio e imagen.

4.- Durante una sequía, los residentes de una provincia tuvieron que hacer frente a una severa escasez de agua. Para impedir el consumo excesivo, el distrito de agua de la provincia fijó drásticos aumentos de tarifa. La tarifa mensual para una familia de cuatro miembros fue $ 122 por 100 m3 de agua para los primeros 1200 m3, $ 200 por cada 100 m3 de agua para los 1200 m3 siguientes y $ 500 por cada 100 m3 de allí en adelante. Expresar el valor de la factura mensual de agua para una familia de cuatro miembros como una función de la cantidad de agua consumida. Graficar.

5.- Una compañía de micros adoptó la siguiente política de fijación de precios para grupos que deseen alquilar los vehículos: a grupos formados por no más de 40 personas se les cobrará una cantidad fija de $ 60 a cada uno. En grupos que tienen entre 40 y 80 personas, cada una pagará $ 60 menos 50 centavos por cada 31

persona adicional a 40 (esta metodología se aplica a todos los pasajeros). La tarifa más baja de la compañía, $ 40 por persona, se ofrecerá a grupos de más de 80 personas. Expresar: i.- el costo de cada pasajero en función de la cantidad de personas. Graficar. ii.- los ingresos de la compañía de micros como una función de la cantidad de personas. Graficar.

6.- Una línea aérea cobra en un vuelo $ 3000 por pasajero, y sin son más de 80 pasajeros, la empresa cobra $ 50 menos por pasajero por cada persona adicional a las 80 y en el vuelo pueden viajar como máximo 150 pasajeros. i.- Escriba una función que represente la cantidad de dinero que recibe la línea aérea por vuelo como función del número de pasajeros. ii.- Si la compañía recibió 120 pasajeros ¿cuánto dinero recibió? Cuánto pagó cada pasajero? iii.- Si en el vuelo la compañía recibió $ 300000¿cuántos pasajeros viajaron? iv.- Graficar indicando dominio e imagen.

7.- Una empresa considera ofrecer un seminario. Para hacerlo económicamente factible considera que, por lo menos, 10 personas deben inscribirse y cubrir un costo de $ 50 cada una. La empresa acepta reducir la cuota en $ 1,25 por cada persona adicional a las primeras 30. Plantear la función que permita hallar el ingreso de la empresasi el límite máximo de asistentes es de 40 personas. Graficar y dar dominio e imagen. ¿Cuántas personas deben inscribirse para que el ingreso de la empresa sea máximo?

8.- Considere los planes de cobro ofrecidos por una compañía de telefonía celular. Si suponemos que las llamadas son todas locales durante las horas pico, o sea, ignoraremos las cuotas por roaming, tasas en horas no pico y tarifas de larga distancia. En marzo de 2018 esta compañía ofrece el plan siguiente: $ 550 mensual compra 300 minutos. El tiempo adicional cuesta 90 centavos por minuto. Expresar el costo total mensual como una función del tiempo(minutos hablados). Graficar dicha función y dar dominio e imagen. Si calculamos hablar 10 horas en el mes, ¿cuánto abonaremos? 9.- Una empresa de alquiler de baños químicos tiene los siguientes valores para el año 2018: un baño por $72 por día, si el alquiler se realiza hasta 7 días y de $55 por baño, si se alquila por entre 7 y 15 días, en ambos casos se cobra $140 por traslado. Sí el alquiler se realiza por más de 15 días, el precio es de $ 900 fijos por cada baño y no se cobrará el traslado. i.- Escribir la función que exprese el precio de alquiler por baño, según la cantidad de días. ii.- Indicar dominio e imagen. Graficar. iii.- ¿Cuánto deberá pagar, en total, una persona que alquile un baño por 3 días, otro por 11 días y tres por 20 días?

32

Funciones exponenciales y logarítmicas 1.- Graficar, indicando dominio y recorrido, las siguientes funciones: i) f(x)= 3x

ii) f(x)= 4x - 2

iii) f(x)= ex

iv) f(x)= log x

v) f(x)= ln (x -1)

vi) f(x)= ln (x + 4) - 3

Crecimiento exponencial: una función Q(t) crece exponencialmente si Q(t)= Q0 e k t donde k es una constante positiva y Q0 es el valor inicial Q(t =0)

2.- Los biólogos han determinado que, en condiciones ideales, el número de bacterias presentes en un cultivo crece exponencialmente. Supóngase que en principio hay 2000 bacterias en cierto cultivo y que 20 minutos después hay 6000; ¿Cuántas bacterias habrá al final que una hora?

Decrecimiento exponencial: una función Q(t) decrece exponencialmente si Q(t)= Q0 e -k t donde k es una constante positiva y Q0es el valor inicial Q(t =0).

3.- Determinada maquina industrial se desprecia de modo que su valor después de t años está dado por una función de la forma Q(t) = Q0 e -0,04 t. Después de 20 años, la maquina cuesta $ 8986,58. ¿Cuál fue su valor original? 4.- Si se supone que el crecimiento de la población del mundo es exponencial puede demostrarse que dentro de t años la población estará dada por una función de la forma P (t)=P0e 0.02t, donde P0 es la población actual. Suponiendo que este modelo de crecimiento de la población es correcto ¿cuánto tiempo tardara la población mundial en duplicarse?

5.- Un experto en eficiencia, contratado por una empresa manufacturera, reunió los siguientes datos al relacionar la producción de los trabajadores con la experiencia: Experiencia (meses) Producción (unidades por hora)

0 300

6 410

El experto cree que la producción Q se relaciona con la experiencia T mediante una función de la forma Q(t) = 500-ae –kt. Hallar una función de esta forma que concuerde con los datos.

33

6.- La población N (t) (en millones) de Estados Unidos T años después de 1980 se puede aproximar mediante la fórmula N(t)=227e0,0095 t . Si esta aproximación es correcta, ¿Cuánto será hoy la población? ¿Cuándo será de 350 millones? 7.- La función de demanda de un producto viene dada por p= f(q)= 300e –q+1. Hallar qué cantidad q se espera vender si el precio es de $50 cada unidad. 8.-Se sabe que el valor de una máquina en función de los años transcurridos, esta expresado por: 𝑉(𝑡) = 𝑉0 . 𝑒 −0,4𝑡 Si luego de 3 años, su valor es de $7530, calcular: ¿A qué precio fue adquirida la máquina? ¿Cuántos años deberán transcurrir para que su valor sea de $1520? 9.- Un experto en eficiencia, contratado por una empresa manufacturera, reunió los siguientes datos al relacionar la producción de los trabajadores con la experiencia: Experiencia (en años) 0 4 Producción (unidades por hora) 60 85 El experto cree que la producción Q se relaciona con la experiencia t mediante una función de la forma Q(t) = 100 –a e –k t. a.- Hallar una función de esta forma que concuerde con los datos. b.- Estimar cuándo producirá 95 unidades por hora. b.- Graficar. 10.- Una vez terminada la publicidad inicial para el lanzamiento de un nuevo libro, las ventas de la edición de tapa dura tienden a decrecer exponencialmente (Q(t) = a. e-kt) Al momento de discontinuar la publicidad, cierto libro experimentaba ventas de 25.000 ejemplares por mes. Un mes después, las ventas del libro bajaron a 10.000 ejemplares por mes ¿Cuántos ejemplares se venderán después de un mes más?. 11.- Un economista recolectó los siguientes datos sobre el producto bruto interno (PBI) de cierto país: año PBI (en miles de millones)

2000 500

2010 640

Emplear estos datos para predecir el PBI en el año 2020, si crece: a.- linealmente, b.- exponencialmente. 12.- El valor de cierto libro se duplica cada 10 años. En principio el libro se valoró en $ 3. a.- ¿Cuál es el valor del libro a los 30 años? b.- Expresar la función correspondiente. ¿Es lineal la relación entre el valor del libro y su edad? Realizar un gráfico.

34

13.- El producto bruto interno (PBI) de cierto país ascendió a US$ 100000 millones en 2000 y US$ 165000 millones en 2010. Suponiendo que el PBI crece exponencialmente ¿Cuál será el PBI en el año 2020? Límites y continuidad 1.- Calcular los siguientes límites: i) lim x →0

𝑥

ii) lim x→0

𝑥 3 +2𝑥 2 −8𝑥 𝑥 2 −25

iv) lim x→5𝑥 2 −𝑥−20 vii) lim x → 2 x) lim x→ - 2

v) lim x→1

𝑥 2 +3𝑥+2 2−√𝑥−4

2𝑥 2 +2𝑥−4

𝑥 2 −6𝑥

vi) lim x →6 𝑥 2 −2𝑥−24

𝑥 2 −𝑥

xi) lim x→3[

𝑥 3 −4𝑥

𝑥 2 -2x -3 𝑥+1

xiv) lim x →

𝑥 2 −64 2𝑥−1 𝑥+2

xvi) limx→[5𝑥+6]

2

xix) limx→ 1[1−𝑥 3 − 𝑥 2 −1] −3𝑥 2

xxii) limx→  𝑥 2 −5 xxv) limx →

𝑥

viii) lim x →0

𝑥 3 +6x 2 +12x+8

3

iii) lim x→3 𝑥−3

𝑥 3 −2𝑥 2 −3𝑥

√𝑥−√2 𝑥−2

xiii) lim x → 8

𝑥 2 −9

𝑠𝑒𝑛𝑥

e x

2𝑥

]

xii) lim x →4

2𝑥 2 −𝑥−3 𝑥 2 −𝑥−2 √𝑥−2 𝑥−4 2𝑥+1

3x - 5

xv) lim x→𝑥 2 -3x+5

2x+3

xvii) lim x → 0

ix) lim x→ -1

3 𝑥.𝑐𝑜𝑡 𝑔(3𝑥)

𝑥 2

𝑡𝑔( )

xviii) lim x → 0

−4𝑥−1 2𝑥

2𝑥

4

√𝑥−3 9−√𝑥

xx) lim x→[ 3𝑥+2 ]

xxi) lim x

xxiii) lim x→+  ex

xxiv) limx→ - ex

xvi) limx → +  e-x

xvii) lim→x

→81

-

e-x 1

(3)1/x

xxviii) lim x → 0+

xxix) lim x → 0 -

(3)1/x

xxx) lim x → 0+

1−3𝑥 1

2+3𝑥 1

xxxi) limx → 0 –

5𝑥 −2 1 3+5𝑥

xxxii) lim x → 0 (1+ 6x)2x

5x-3 2𝑥−4

xxxiii) lim x →[ 2x-4 ]

2.- Cuando cierta máquina industrial tenga t años, su valor de reventa será V(t) = 4800 e – t/5 + 400 pesos. i.- Dibujar la gráfica de V(t) ¿Qué sucede con el valor de la máquina cuando t crece sin límite? ii.- ¿ Cuál era el valor de la máquina cuando estaba nueva? iii.- ¿ Cuál será el valor de la máquina después de 10 años?

35

3.- El ritmo al que un empleado postal puede clasificar el correo está en función de su experiencia. Si el director de correos estima que después de t meses en el trabajo, el empleado puede clasificar Q(t) = 700 – 400 e – 0,5 t cartas por hora. i.- ¿Cuántas cartas por hora puede clasificar un empleado nuevo? ii.- ¿Cuántas cartas por hora puede clasificar un empleado con 6 meses de experiencia? iii.- Aproximadamente, ¿Cuántas cartas por hora podrán clasificar como máximo? Graficar. 4.- Dadas las siguientes funciones, se pide: 1.- Dominio, 2.- Intersecciones con ejes, 3.- Asíntotas, 4.- Analizar continuidad, 5.- Graficar, 6.- Imagen (o recorrido). i) f(x) =

2x − 1 4x + 3

iii) f(x) =

x−2 2 x + 3x − 4

x3 + x 2 − 4x − 4 v) f(x) = x 2 − 3x + 2

x 2 + 2x - 15 x 2 − 25

ii) f(x) =

iv) f(x) =

x 3 + 3 x 2 − 18x x 2 − 36

x 2 − 3x vi) f(x) = 3 x − 16x

vii) f(x) =

x 3 + 3x 2 − 10x x 3 − 4 x 2 + 3x

viii) f(x) =

ix) f(x) =

x 2 + 2 x − 15 x −1

x) f(x) =

x+4 x 2 − 16

xi) f(x) =

x 2 − 2x x 2 − 3x − 4

xii) f(x) =

2x 2 − x x 2 − 2x − 3

x3 −1 3x 2 + 1

5.- Dar una función cuyo gráfico admita: i) ii) iii)

Una A. V. y una A. H. Una A. V. y una A. O. Dos A. V. y una A. O.

iv)

Dos discontinuidades esenciales y una evitable. Una discontinuidad esencial con límite infinito y otra esencial sin límite Infinito.

6.- Definir una función que presente:

v)

36

7.- Si una esfera hueca de radio R se carga con una unidad de electricidad estática, la intensidad del campo E(x) en el punto P localizado a x unidades del centro de la esfera satisface las ecuaciones:

 0.......... .......... ....si0  x  R  1  2 .......... .......... ...six = R  2x  1 .......... .......... ....... six  R  x 2 Trazar la gráfica de E(x). ¿Es E(x) una función continua para x > 0? 8.- El costo en pesos de eliminar x % de la polución del agua en cierto riachuelo está dado por C( x ) =

75000 x 100 - x

para 0  x