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• Neyver Vela Portocarrero

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FUERZA LONGITUDINAL CORTANTE Por teoria de las formulas de cara axial se vio que la torsion y la flexion eran expresadas matematicamente, primero se vio puesta la distribucion de la deformacion unitaria, con base a suposiciones respecto a la seccion trasversal. Sin embargo la deformacion cortante sobre todo peralte de una viga no puede ser expresada matematicamente con facilidad: por ejemplo no es uniforme o lineal en el caso de las secciones rectangulares transversales. En pocas palabras el esfuerzo cortante longitudinal se desarrollara de manera diferente a lo trabajado en la formula de flexiòn. Anteriormente se mostrò que la vigas soportan cargas de cortante y de momento, la fuerza cortante transversal es el resultado de la distribucion cortante del esfuerzo. Tambien debemos de notar que los esfuerzos cortantes longitudinales tambien estan a los largo de los planos de la viga. En consecuencia se desarrollaran deformaciones que deformaran o tenderan a distorsionar la seccion transversal de una manera un tanto compleja. Cuando se aplicala fuerza V esta tiende a deformar las linea de la siguiente manera:

Teniendo en cuenta este ejemplo tan claro podemos deducir de esta columna que forma una estructura de un puente; si no tuvo los calculos previos necesarios acerca de la fuerza cortante que a de soportar debido a su propio peso y las distintas fuerzas que soportara a lo largo de toda su estructura, es muy probable que NO RESISTA al cizallamiento de las fuerzas cortantes vistas en la figura y por consecuencia se desplome.

FORMULA DEL ESFUERZO CORTANTE El desarrollo de uan relacion entre la distribucion del esfuerzo cortante que actùa sobre la secciòn transversal de una viga y la fuerza cortante resultante en la seccion, se basa en el estudio del esfuerzo cortante longitudinal y los resultados de la ecuacion: 𝑉=

𝑑𝑀 𝑑𝑥

Para mostrar la relacion que existe, consideramos el principio deequilibrio de las fuerzas horizontales, que existe en una porcion de la viga que veremos a continuaciòn.

La cual para que este en equilibrio obviaremos su fuerzas verticales y unicamente pondremos las fuerzas horizontales para considerar.

Puesto que los momentos resultantes a cada lado difieren en cada lado difieren en Dm, esto no será satisfecho hasta que actúe un esfuerzo cortante longitudinal a lo largo de toda la cara del segmento. Aplicamos la ecuación de equilibrio de fuerzas horizontales.

Ejemplo:

TUBOS DE PARED DELGADA La teoría de torsión descrita en las secciones anteriores es aplicable a barras de sección transversal circular, sólidas o huecas. Tales formas se emplean comúnmente para miembros sujetos a torsión, especialmente en maquinaria. Sin embargo, en estructuras ligeras, tales como aeronaves y naves espaciales, se requieren a menudo miembros tubulares de pared delgada y de formas no circulares, para soportar torsión. Para obtener fórmulas que sean aplicables a una variedad de formas de sección, consideremos un tubo de pared delgada de forma de sección transversal arbitraria, fig. 1. El tubo es cilíndrico (esto es, todas las secciones transversales tienen las mismas dimensiones) y está sometido a torsión pura por pares T que actúan en los extremos. El espesor t de la pared del tubo puede variar alrededor de la sección transversal, pero se asume que t es pequeño comparado con el ancho total del tubo. Los esfuerzos cortantes que actúan sobre las secciones transversales se ilustran en la fig. 2, que muestra un elemento del tubo recortado entre dos secciones transversales separadas una distancia dx. Los esfuerzos cortantes tienen direcciones paralelas a las orillas de la sección transversal, y “fluyen” alrededor del tubo. La intensidad de los esfuerzos cortantes varía tan ligeramente a través del espesor del tubo (porque se supuso que el tubo era delgado) que para muchos fines se considera que es constante a través del espesor. Por supuesto, la manera en que varía alrededor de la sección transversal debe determinarse de consideraciones de equilibrio.

fig. 1. Tubo de pared delgada con forma de sección transversal arbitraria.

fig. 2. Detalle de tubo de pared delgada con forma de sección transversal arbitraria. Para determinar la magnitud de los esfuerzos cortantes, considérese un elemento rectangular obtenido al efectuar dos cortes longitudinales ab y cd fig. 1 y fig. 2. Este elemento se separa como un cuerpo libre en la fig. 2. Sobre la cara de la sección transversal bc actúan los esfuerzos mostrados en la fig. 2. Se supone que estos esfuerzos pueden variar en intensidad conforme se traslada a lo largo de la sección transversal desde b hasta c. Así que el esfuerzo cortante en b se denota por b y en c se denota por c. Según sabemos del equilibrio en la otra cara de la sección transversal ad, actúan esfuerzos cortantes idénticos, pero en dirección opuesta. Sobre las caras longitudinales ab y cd actuarán esfuerzos cortantes de la misma magnitud que aquellos de las secciones transversales, ya que los esfuerzos cortantes sobre planos perpendiculares son de magnitudes iguales. Así, los esfuerzos cortantes constantes sobre las caras ab y cd son iguales a b y c, respectivamente. Los esfuerzos cortantes que actúan sobre las caras longitudinales producen fuerzas Fb y Fc_, fig. 2, que pueden determinarse al multiplicar los esfuerzos por las áreas sobre las que éstos actúan; así,

en las cuales tb y tc representan los espesores del tubo en b y c, respectivamente. Además, se producen fuerzas F1 debidas a los esfuerzos que actúan en las caras ab y cd. Pero estas fuerzas no se incluyen en nuestro estudio. A partir del equilibrio del elemento en la dirección x, se aprecia que Fb = Fc, o sea:

Dado que la localización de los cortes longitudinales ab y cd se seleccionó arbitrariamente, se puede apreciar en la ecuación anterior que el producto del esfuerzo cortante y el espesor t del tubo es el mismo en cada punto de la sección transversal. Este producto se conoce como el flujo de cortante y se denota por la letra f:

Así, el máximo esfuerzo cortante se presenta cuando el espesor del tubo es más pequeño y viceversa. Por supuesto, en las regiones donde el espesor es constante, el esfuerzo cortante también lo es.

Relación entre el flujo cortante f (en consecuencia, el esfuerzo el tubo.

) con el par T que actúa sobre

Considérese un elemento de área A, de longitud ds en la sección transversal fig. 3. La distancia s se mide a lo largo de la línea media de la sección transversal (mostrada en la figura como una línea punteada). La fuerza cortante total que actúa en el elemento de área fds, y el momento de esta fuerza alrededor de cualquier punto O es:

Donde: r es la distancia perpendicular desde O hasta la línea de acción de la fuerza. Esta última es tangente a la línea media de la sección transversal en el elemento ds.

Fig. 3. Sección transversal de un tubo de pared delgada. El par total T producidos por los esfuerzos cortantes se obtiene al integrar a lo largo de toda la longitud Lm de la línea media de la sección transversal:

La integral en esta expresión tiene una interpretación geométrica simple. La cantidad rds representa el doble del área del triángulo sombreado que se indica en la fig. 3; obsérvese que el triángulo tiene una longitud de base ds y una altura igual a r. Por lo tanto, la integral representa el doble del área Am limitada por la línea media de la sección transversal; así,

De esta ecuación obtenemos:

A partir de estas ecuaciones se puede calcular el flujo de cortante f y los esfuerzos cortantes cualquier tubo de pared delgada.

para

El ángulo de torsión puede calcularse al considerar la energía de deformación del tubo. Ya que los elementos del tubo están en cortante puro, la densidad de energía de deformación es 2G .Por lo que la energía de deformación de un pequeño elemento del tubo, con área de sección transversal tds fig. 3 y longitud dx fig. 1 y fig. 2 es:

Por lo tanto, la energía de deformación total del tubo es:

donde se considera el hecho de que el flujo cortante f es una constante y puede salir de los signos de integrales. También notamos que t puede variar con la posición alrededor de la línea media, por lo que debe permanecer bajo el signo de integral con ds. La integral interior es igual a la longitud L del tubo, por lo que la ecuación para U resulta:

Al sustituir el flujo cortante de la ecuación, obtenemos:

como la ecuación para la energía de deformación del tubo en términos del par T. La expresión para la energía de deformación puede formularse de manera más simple al introducir una nueva propiedad de la sección transversal que se conoce como la constante de torsión J. Para un tubo de pared delgada, la constante de torsión es:

Con esta notación, la ecuación para la energía de deformación resulta:

En el caso especial de una sección transversal de espesor constante t, la expresión para J se simplifica a:

Obsérvese que J tiene unidades de longitud a la cuarta potencia. Para cada forma de sección transversal, se puede evaluar J con alguna de las ecuaciones anteriores. Por ejemplo, considérese un tubo circular de pared delgada fig. 4 de espesor t y radio r de la línea media. La longitud de la línea media y el área que limita son:

En consecuencia, la constante de torsión es:

Fig. 4. Tubo circular de pared delgada.

Fig.4 Tubo rectangular de pared delgada. La fig. 4 muestra otro ejemplo; un tubo rectangular de pared delgada. El tubo tiene un espesor t_1en los lados y t2 en la cima y la base; la altura y el ancho (en la línea media de la sección transversal) son h y b, respectivamente. Para esta sección transversal, tenemos:

y

Así, la constante de torsión es:

El ángulo de torsión para un tubo de pared delgada puede determinarse al igualar el trabajo realizado por los pares aplicados T con la energía de deformación de la barra:

de donde:

Nuevamente se observa que la ecuación es de la misma forma que la correspondiente a una barra circular ecuación. El ángulo de torsión por unidad de longitud, , puede obtenerse al dividir por L; así,

La cantidad GJ se conoce en general como la rigidez torsional de una barra. En el caso de una barra circular, la constante de torsión J es el momento polar de inercia; en el caso de un tubo de pared delgada, J está dada por la ecuación antes vista. Para otras formas de sección transversal, se requieren diferentes fórmulas para J. Considerando de nuevo el tubo de pared delgada fig. 4, el flujo de cortante y los esfuerzos cortantes en este tubo están dados por las fórmulas:

Estas expresiones se obtienen al sustituir en las ecuaciones anteriores

El ángulo de torsión es:

Estos resultados concuerdan con los obtenidos de las ecuaciones derivadas anteriormente para una barra circular hueca. Si la barra hueca es de pared delgada, el momento polar de inercia es aproximadamente:

que coincide con la ecuación para J. Usando esta expresión para Ip en la fórmula de la torsión, se determina la ecuación para . Si un tubo sometido a torsión tiene paredes muy delgadas, debe considerarse la posibilidad de pandeo de las paredes. Por ejemplo, un tubo circular largo construido de acero dulce se pandeará bajo esfuerzos de trabajo normales cuando la relación r/t es de alrededor 60. Por lo que, en este estudio se supone que el espesor de pared es lo bastante grande como para evitar el pandeo por torsión.

RESORTES HELICOIDALES DEFINICION SON COMPONENTES MECÁNICOS QUE ESTÁN DESTINADOS A ALMACENAR ENERGÍA CUANDO ESTÁN DEFORMADOS Y A RESTITUIR UNA CANTIDAD SEMEJANTE DE LA MISMA CUANDO SE RELAJAN. Los resortes mecánicos cumplen en las máquinas la misión de elementos flexibles, pudiendo sufrir grandes deformaciones por efecto de cargas externas y volviendo a recuperar su forma inicial cuando cesa la acción de las mismas, es decir, presentan una gran elasticidad. Se usan para asegurar el contacto y la distancia entre dos piezas, acelerar movimientos que lo necesiten, disminuir los efectos de choques y vibraciones, etc.

PARTES DE UN RESORTE

CLASIFICACION Existen diferentes tipos de resortes, cada uno de ellos con sus aplicaciones determinadas. La clasificación puede realizarse desde diferentes parámetros:  Según la forma del resorte: helicoidal cilíndrico, helicoidal cónico, en espiral, laminar.  Según la forma de la sección transversal del hilo: circular, cuadrada, rectangular.  Según el tipo de carga que soportan: de compresión, de tracción, de torsión, de flexión. En esta ocasión analizaremos los resortes según el tipo de carga que soportan

A.- RESORTE DE COMPRESION Los resortes de compresión están destinados a soportar esfuerzos de compresión y choque. Esto les permite disminuir su volumen cuando se aumenta la presión ejercida sobre ellos, convirtiéndose en los dispositivos de almacenamiento de energía disponible más eficientes. Representan la configuración más común utilizada en el mercado actual.

B.- RESORTE DE TRACCION Se caracterizan por ser generalmente de bobina o espiral cerrada, destinados a soportar cargas de tracción cuando está sometido a la acción de fuerzas opuestas.

C.- RESORTE DE TORCION Un resorte helicoidal de torsión se deforma al ser sometido por sus extremos a un par de fuerzas paralelas y de sentidos opuestos perpendiculares a su eje. Está formado por un hilo de acero arrollado en forma de hélice cilíndrica con dos brazos extremos, los cuales se deforman angularmente al estar apoyados en los elementos que tienen el giro relativo. Las diferentes formas que pueden presentar sus extremos son muy variadas.

La función de torsión está proporcionada por los resortes helicoidales de torsión y los resortes en espiral.

D.- RESORTE DE FLEXION Este tipo de resorte se conoce con el nombre de ballesta(o muelle para los vehículos). Está formado por una serie de láminas de acero de sección rectangular de diferente longitud, las cuales trabajan a flexión; la lámina de mayor longitud se denomina lámina maestra.

RESOLUCION DE PROBLEMAS DISEÑO DE RESORTES HELICOIDALES DE COMPRESION PARA CARGAS A FATIGA Se suponen conocidas la fuerza máxima, mínima y la inicial (Fi) que actúan en el resorte por cada ciclo, de manera que se puede definir una componente alternante y otra componente media:

A partir de estas fuerzas se calculan los esfuerzos correspondientes

Donde el factor de corrección K puede variar. Para el cálculo del límite de resistencia a la fatiga por torsión para vida finita

También definimos el índice del resorte como una medida de la curvatura de las espiras:

Siendo Ks un factor de aumento de esfuerzo cortante y se define mediante la ecuación:

Como recomendación práctica puede tomarse para C, el rango dado por:

A los resortes de compresión en una gran variedad de aplicaciones, se le debe comprimir hasta el punto de que todas sus espiras se encuentren en contacto, por lo que deben determinarse parámetros como la longitud del resorte sin carga (longitud libre), la longitud del resorte totalmente comprimido (longitud sólida) y la deformación axial necesaria para convertir el resorte en un sólido (deformación al sólido). Dichos parámetros se relacionan a través de:

El factor de seguridad para verificar la probabilidad de un fallo por fatiga en el cuerpo del resorte se obtiene a partir de la teoría de Goodman Modificada aplicada a elementos precargados:

Dónde: τmin : esfuerzo cortante correspondiente a la carga mínima

Adicionalmente, debe verificarse simultáneamente con la probabilidad de un fallo por fatiga, la probabilidad de un fallo por fluencia:

EJERCICIOS EXTERIORMENTE AL RESORTE Ejercicio 1 Cuatro pasajeros con una masa total de 300 kg observan que al entrar en un automóvil los amortiguadores se comprimen 5 cm. Si la carga total que soportan los amortiguadores es de 900 kg, hállese el período de oscilación del automóvil cargado. Solución: m = 300 kg. x = 5 cm. Carga total = 900 kg. K = F/x K = 300.9,8 / 0,05 = 58800 N/m

EJERCICIO 2

Acoplamiento o bridas empernadas Un acoplamiento es un dispositivo gire se utiliza para unir dos ejes en sus extremos con el fin de transmitir potencia . Existen dos tipos generales de acoplamientos rígidos y flexibles. Los acoplamientos son sistemas de transmisión de movimiento entre dos ejes o árboles, cuyas misiones son asegurar la transmisión del movimiento y absorber las vibraciones en la unión entre los dos elementos. Las vibraciones son debidas a que los ejes no son exactamente coaxiales. Hay desalineaciones angulares o radiales, aunque lo normal es que se presente una combinación de ambas. El modelo rígido no permite desalineaciones. Distinguimos 3 tipos: 

De manguito 



De brida o de plato

Acoplamientos Flexibles

El modelo flexible admite desalineaciones. Se puede clasificar en dos Grandes grupos: 

Acoplamientos elásticos



Rígidos a torsión

Para transmitir torsión entre dos elementos se realizan acoplamientos entre sí a través de uniones con pernos como se muestra en la figura.

Donde: n = Número de secciones de pernos τ = Tensión cortante φ = Diámetro de la sección del perno R = radio

Si se tiene más de un radio:

𝑃1 𝑃2 𝑃3 = = 𝑅1 𝑅2 𝑅3

Ejemplo 1 Determinar el diámetro (𝜙) de la sección del roblón que puede soportar una carga P=8000 kg de tal manera de no sobrepasar la tensión admisible de corte de 700 Kg/cm2.

Solución a) Cálculo del baricentro del grupo de roblones.-

b) Cálculo de los radios R1 = 16 cm

Pcrítico = P3

R2 = 4 cm Por estar más alejado del centro de gravedad R3 = 20 cm c) Aplicación de la 1era ecuación Mt = P1R1 + P2R2 + P3R3 d) Aplicación de la 2da ecuación

𝑃1 𝑃2 𝑃3 = = 𝑅1 𝑅2 𝑅3

P1 =

𝑃3 𝑅3 𝑅3

𝑃2 =

𝑃3 𝑅2 𝑅3

e) Parte final, remplazando 2 en 1 𝑀𝑡 =

𝑃3 2 𝑃3 2 𝑃3 2 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 𝑅3 𝑅3 𝑅3

𝑃∗𝑑 =

𝑃3

𝑃 ∗ 𝑑 = 𝑅3 Σ𝑅𝑖 2

𝑃3 (𝑅12 + 𝑅22 + 𝑅32 ) 𝑅3

(3)

Sabiendo que: 1) 𝜏 =

𝑃 𝐴

2) A = 2*Aφ (Dos áreas de corte por roblón) 3) Pcrit = P3

Entonces tenemos que: 𝜏𝑎𝑑𝑚 =

𝑃3 2𝐴𝜙

𝑃3 = 2 ∗ 𝜏𝑎𝑑𝑚 ∗ 𝐴𝜙 Remplazando en 3 𝑃∗𝑑 =

𝜏𝑎𝑑𝑚 ∗ 2𝐴𝜙 Σ𝑅𝑖 2 𝑅3

𝜋𝜙 2 𝜏𝑎𝑑𝑚 ∗ 2 4 𝑃∗𝑑 = Σ𝑅𝑖 2 𝑅3 Despejando 𝜙 se tiene: 2 ∗ 𝑃 ∗ 𝑑 ∗ 𝑅3 𝜙=√ 𝜏𝑎𝑑𝑚 ∗ 𝜋 ∗ Σ𝑅𝑖 2

2 ∗ 8000 ∗ 48 ∗ 20 𝜙=√ 600 ∗ 𝜋 ∗ (162 + 42 + 202 ) 𝜙 = 3.48 𝑐𝑚

Ejemplo 2 Determinar el valor de la fuerza P que puede soportar el grupo de roblones de tal manera de no sobrepasar la tensión admisible de corte de 700 Kg/cm2. Datos τadm = 700Kg/cm2 ΦR = 16 mm Incógnitas Pmáx =?

Solución Fórmulas a utilizar: 1) 𝑀𝑡 = Σ𝑁𝑖𝑅𝑖𝑃𝑖 2)

𝑃1 𝑅1

+

𝑃2 + 𝑅2 𝑃

3) 𝜏 = 𝐴𝜙

⋯ +=

𝑃𝑛 𝑅𝑛

a) Cálculo del baricentro del grupo de roblones.𝑀𝑡 = 𝑃1𝑅1 + 𝑃2𝑅2 + 𝑃3𝑅3 Cálculo del baricentro: 𝑋𝐺 = 𝑌𝐺 =

0 + 0 + 15𝐴 = 5 𝑐𝑚 3𝐴

0 + 16𝐴 + 8𝐴 = 8 𝑐𝑚 3𝐴

b) Cálculo del radio: 𝑅1 = 𝑅2 = √52 + 82 = 9.43 𝑐𝑚 R3 = 10 cm P.crítico= P3 Por ser el más alejado

Entonces la ecuación será: 𝑃 ∗ 𝑑 = 𝑃1𝑅1 + 𝑃2𝑅2 + 𝑃3𝑅3

(1)

c) Planteo de la ecuación 2 𝑃1 𝑃2 𝑃3 = = 𝑅1 𝑅2 𝑅3

P1 =

𝑃3

𝑃2 = 𝑅3 𝑅2

𝑃3 𝑅3 𝑅3

(2)

Remplazamos (2) en (1)

𝑃∗𝑑 =

𝑃3 2 𝑃3 2 𝑃3 2 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 𝑅3 𝑅3 𝑅3

𝑃∗𝑑 =

𝑃∗𝑑 =

𝑃3 Σ𝑅𝑖 2 𝑅3

𝑃3 (𝑅12 + 𝑅22 + 𝑅32 ) 𝑅3

(3)

De la fórmula 𝜏=

𝑃3 𝐴𝜙

𝑃3 = 𝜏𝑎𝑑𝑚 ∗ 𝐴𝜙

Remplazando en (3)

𝑃∗𝑑 =

𝑃∗𝑑 =

𝜏𝑎𝑑𝑚 ∗ 𝐴𝜙 Σ𝑅𝑖 2 𝑅3 𝜏𝑎𝑑𝑚 ∗ 𝑅3

𝜋𝜙 2 4 Σ𝑅𝑖 2

Remplazando datos

𝑃=

𝜋1.62 4 (9.432 + 9.432 + 102 ) 10.29

700

𝑃 = 1348.46 𝐾𝑔