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• Miguel Paats

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Ley de Hooke generalizada y recipientes de paredes delgadas Determinación si un recipiente es de pared delgada ó gruesa: cuando la relación entre el radio medio del recipiente y el espesor de la pared es 10 ó mayor que 10, se puede suponer que se trata de Recipiente de pared delgada. Su cálculo se realiza por el método de la membrana. Fórmula de Laplace

𝜍𝑚 𝜌𝑚

+

𝜍𝑡 𝜌𝑡

=

𝑝 𝑒

m tensión meridional: tiene la misma dirección del meridiano que engendra la cáscara. t tensión transversal: tiene la dirección perpendicular al meridiano que engendra la cáscara. No necesariamente es normal al elemento m radio meridional: es el radio de curvatura de la curva meridiana generatriz. t radio transversal: es el segmento de recta medido sobre la perpendicular trazada al elemento y cuyos extremos son el elemento y el eje de revolución. Para cada elemento diferencial de cáscara, existe un vector N que es perpendicular a su superficie y se dirige hacia afuera del cuerpo, vector normal externo. Decimos hacia afuera del cuerpo cuando sigue la dirección y sentido que va del eje de revolución hacia el elemento considerado. Los radios se consideran positivos cuando sus sentidos coinciden con el sentido del vector externo N. Los radios deben introducirse con sus signos en la fórmula de Laplace. pi es la presión interna  p = pi  pe + q pe es la presión externa q es el peso propio de la cascara e = espesor de la pared de la cascara

Eje de revolución N m

m = t = R

t

m = 

N t

Eje de revolución N

t = R t m CILINDRO

ESFERA N

Referencias: Ortiz Berrocal – pag. 148 Popov pag. 184

m N N

Preguntas y ejercicios conceptuales a) En un reservorio esférico sometido a una presión interna p, determinar el aumento del radio del mismo. DATOS p : presión interna Ro: radio del reservorio E: Módulo de Elasticidad e: espesor : coeficiente de Poisson

Como se trata de un reservorio esférico, los radios y las tensiones transversales y meridionales son iguales. ς ς p pR Por la ecuación de Laplace toma la forma: RT + RT = e ; ςT = ςM = 2 e0 T

T

T es la tensión transversal y produce deformación unitaria de la circunferencia, así εT =

ςT E



μ

ς = E M

De 1 : ∆R 0T =

ςT

1μ =

E p R 20

1μ

2Ee

p R0 2Ee

;

1μ =

C ircunf (final )  C ircunf (inicial ) C ircunf (inicial )

∆𝑅0 = ∆𝑅0𝑇 =

p R 20 2Ee

=

2 π Rf  2 π R0 2 π R0

=

∆R 0T R0

(1)

1μ

b) Para un conducto de pared delgada de radio “r”, espesor “e”, modulo de elasticidad “E”, abierto en sus extremos y sometido a la presión uniforme “p”, determinar la formula que indique el aumento de su radio. La tensión longitudinal es nula y la transversal: 𝑇 = Como  = E  ;

𝑇 =

𝑝𝑟 𝑒

= 𝐸 ;

 =

𝑝𝑟 𝑒

𝑝𝑟 𝐸𝑒

Como  es la deformación unitaria, la deformación de la circunferencia transversal es: Circunf =  2  r =

2  p r2 Ee

La longitud final de la circunferencia transversal es: El aumento del radio es:

p r2 Ee

2r+

2  p r2 Ee

= 2 r+

p r2 Ee

c) Para un depósito cilíndrico cerrado, de pared delgada, de radio “r” y espesor “e”, sometido a una presión interior uniforme “p”, indicar como se producirá la falla del material en la pared lateral y fundamentar el motivo de la falla. 𝜍

𝜍

Por la ecuación de Laplace, 𝜌𝑚 + 𝜌 𝑡 = 𝑚

𝑝𝑟

𝜍𝑡 =

𝑒

𝑦

𝜍𝑚 =

𝑡

𝑝 𝑒

y para un depósito cilíndrico cerrado ρm =  ; ρt = r

𝑝𝑟 2𝑒

La tensión transversal es mayor que la meridional, por lo tanto resistirá menos a esfuerzos transversales. La falla del material se producirá longitudinalmente. d) El corte de un neumático indicado en la figura está sometido a una presión “p”, siendo su espesor “e”. Establecer la ecuación de Laplace, para calcular las tensiones de la membrana en los puntos A; B y C del mismo (en función de los datos del problema). A R

B

C

D La ecuación de Laplace correspondiente a recipientes de paredes delgadas es: σm

Para el punto A: m = R

;

t = 

Para el punto B: m = R

;

t = D + R

Para el punto C: m = R

;

t = (D − R)

;

R

;

+

σt 

σm R

;

=

p e

σm

;

R

σ

+ D+t R = σm R

σ

σm ρm

σ

p

+ ρt = e t

p

=e

p e

+ −(D t R) =

p e

e) Indicar como mínimo 4 limitaciones en la teoría de la membrana (paredes delgadas) aplicadas a recipientes sometidos a presión interna. abcde-

No es aplicable a envolventes sometidos a flexión La presión no necesariamente debe ser constante El recipiente debe presentar simetría respecto a un eje de revolución El espesor de la pared se considera despreciable respecto a las otras longitudes El apoyo de la estructura debe ser tal que la sección recta de la misma debe ser perpendicular al sistema de apoyo, a fin de evitar que se produzcan momentos flectores. f- No es compatible con la teoría de la membrana, las cargas concentradas que actúen perpendicularmente a la superficie media.

f) Un cascarón cónico de pared delgada está lleno hasta la parte superior con un líquido cuyo peso específico es . Demuestre que: 𝛔𝐦 =

𝛄.𝐲. 𝟑𝐚−𝟐𝐲 .𝐬𝐞𝐧𝛂

𝛔𝐓 =

y

𝟔.𝐞.𝐜𝐨𝐬𝟐 𝛂





Por otro lado: r =

y.tg α cos α

σt ρt

𝐞.𝐜𝐨𝐬𝟐 𝛂

a

e

Por la ecuación de Laplace:

𝛄.𝐲. 𝐚−𝐲 .𝐬𝐞𝐧𝛂

σ

+ ρm = m

p e

;

m =  ; t = r ;

; p = (a – y) reemplazando en (1): 𝜍𝑡 =

σt r

=

p e

𝛾 𝑎 −𝑦 .𝑦.𝑡𝑔𝛼 𝑒.𝑐𝑜𝑠𝛼

;

=

σt =

p.r e

(1)

𝛾.𝑦. 𝑎−𝑦 .𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑒.𝑐𝑜𝑠 2 𝛼

La proyección vertical de las fuerzas de tracción engendradas por las tensiones meridianas m sobre la sección de corte es: 2  tg .e.m.cos Que se equilibria con el peso del volumen del líquido = [y2(a−y)tg2 + 1/3 y2.y.tg2] = y2tg2(a−2/3y) Igualando las expresiones: 2  tg .e.m.cos = y2tg2(a−2/3y) ; γ.tg α

2

σm = 2.e.cos α y a − 3 y =

γ.y. 3a−2y .sen α 6.e.cos 2 α

Ortiz Berrocal 2da. ed. Pag. 151

Ejercicios resueltos 1- Un tambor cilíndrico de acero construido de placa soldada de 10 mm tiene un diámetro interior d = 1,20 m. Calcular el aumento del diámetro si en su interior actúa una presión p =1,5 M Pa. Tomar  = 0,3 y E = 200 G Pa. Datos: p = 1,5 M Pa d = 1,2 m e = 0,01 m  = 0,3 E = 200 G Pa

εT = T =

ςT



E

μ

pd

ςM =

E

π d  π d0 π d0

=

1,5 x 10 6 x 1,2 2 x 0,01 x 200 x 10 9

2eE

∆d

;

d0

1

0,3 2



μ pd E 4e

pd 2eE

=

𝑝𝑑

𝜍𝑇 =

Por la ecuación de Laplace:

=

1

∆d 1,2

2𝑒

μ 2

pd 2eE

=

;

; 1

𝜍𝑀 = μ 2

𝑝𝑑 4𝑒

(T es la deformación unitaria circunferencial)

∆d d0

∆d = 0,459 mm

2- Se desea construir un depósito cilíndrico vertical de agua de 8 m de diámetro y 12 m de altura. Determinar el espesor que debe tener la pared si el depósito se llena hasta el borde y la tensión admisible del material de la pared es adm = 40 M Pa. Cuando el depósito esté lleno la mayor presión se producirá en el borde inferior de la pared y su valor es: p =  g h = 1000 x 9,81 x 12 = 117 720 N/m2 ςT =

pD 2e

;

e=

pD 2 ςT

117 720 x 8

= 2 x 40 x 106 = 0,0118 m = 11,8 mm

3- Un pilar cilíndrico macizo de concreto está envuelto por un tubo de acero de 0,5 cm de espesor. Si el límite elástico de la deformación unitaria longitudinal es lim = 10 3 Calcular: a) La máxima carga P aplicable a la pieza sin pasar lim, cuando el tubo de acero disminuye su temperatura 30ºC b) La tensión transversal en el acero para el caso a) Datos: Acero Concreto Ea = 2 x 106 kg/cm2 Ec = 2 x 105 kg/cm2 a = 0,30 c = 0,40 5  = 2 x 10 1/ºC D = 50 cm e = 0,5 cm

p y x z

e

D

Como la deformación unitaria longitudinal es lim = y = 10 3, en el concreto se verifica: ςy μ εy = E  E c ςx + ςz ;  10 3 . 2 x 105 =  p  0,40( q  q) c

c

 200 =  p + 0,8 q εx =

ςx Ec



μc

ςy + ςz

Ec

𝜀𝑥 =

;

𝜀𝑥 =

𝑞



𝐸𝑐

𝜇𝑐 𝐸𝑐

 𝑞 1  𝜇𝑐 𝐸𝑐

e

q

(1)

𝑝𝑞 +

𝜇𝑐 𝐸𝑐

𝑝

(2)

La acción sobre el acero es: 𝜍𝑇 𝑟𝑇

+

𝜀𝑥 =

𝜍𝑀 𝑟𝑀 𝜍𝑇 𝐸𝑎

𝑝

=



𝜇𝑎 𝐸𝑎

De (3) y (4) De (5) y (2)

𝜍𝑇 =

;

𝑒

𝑞 𝐷

𝜍𝑀 + 𝛼 ∆𝑡 𝜀𝑥 = 𝜇𝑐 𝑝 𝐸𝑐



𝑞𝐷 2 𝑒 𝐸𝑎

2 𝜋 𝑟 𝑓  2 𝜋 𝑟𝑜 2 𝜋 𝑟𝑜

=

𝑟 𝑓  𝑟𝑜 𝑟𝑜

=

∆𝑟 𝑟𝑜

= 𝜀𝑟

(4) + 𝛼 ∆𝑡

𝑞 1  𝜇𝑐 𝐸𝑐

𝜀𝑐𝑖𝑟𝑐 =

(3)

𝑒 2

=

(5)

𝑞𝐷 2 𝑒 𝐸𝑎

+ 𝛼 ∆𝑡

;

4 p  6 q = 50 q  1200 p  14 q =  300

(6)

De (1) y (6)  200 =  p + 0,8 q 300 = p  14 q

 500 =  13,2 q

q = 37,88 kg/cm2 p = 230,30 kg/cm2 T = 1894 kg/cm2

5- Un cilindro macizo (1) recibe una fuerza de compresión P y está envuelto por otro cilindro hueco (2) del mismo material con una holgura  entre ambos. Entre el ala del cilindro (1) y el cilindro (2) hay una separación . Determinar el valor de P que produzca contacto entre el ala del cilindro (1) y la parte superior del cilindro (2). Datos Cilindro (1) Cilindro (2) E1 = 400 000 kg/cm2 E2 = 5 E1 D = 50 cm L=3D  = 0,05 cm  = 50  e = 1 cm  = 0,25 En el capítulo anterior se determinó que para ςy = 64

P 

y (1)

(2)

(2) L

x

e 

kg

e

D

cm2 el contacto se produce entre las

caras laterales de ambos cilindros. Ahora bien, ςy = 64 1

dado por: εy = 1 =

L+ .ς y E1

=

kg

= L+ 

cm2 produce una disminución 1 de la longitud del cilindro (1) que está ςy E1

150,05 64 400 000



μ E1

ςx + ςz

;

pero

x = z = 0

= 0,024 cm por lo tanto, luego de aplicar la tensión de 64 kg/cm2,

entre los cilindros queda una holgura 2 =   1 = 0,05  0,024 = 0,026 cm y a partir de ésta tensión aparece una presión de contacto q en las caras laterales de los cilindros. εy =

2 L+ 2

=

ςy 2 E1



μ E1

ςx + ςz

;

pero

x = z = q ;

0,026 150,026

=

ςy 2 E1



0,5 E1

q

Para determinar y2 debemos encontrar el valor de q Por la ecuación de Laplace

ςt rt

ς

+ rM = M

p e

; rM =  ; p = q ;

𝜍𝑡 =

𝑞 𝐷+2 +𝑒 𝑒

2

6-

El tanque cónico de la figura tiene en su interior un gas a presión pi = 0,3 kg/cm2. El tanque está sumergido en agua. Determinar: a) El esfuerzo en el cabo b) Dimensionar el cabo sabiendo que se tensión admisible es de 1000 kg/cm2 y que su deformación total debe ser menos que 0,02 cm c) Las tensiones en el punto A Datos: e = 0,2 cm Cabo recipiente = 9,3 g/cm3 E = 2,1 x 106 kg/cm2 pi = 0,3 kg/cm2 adm = 1000 kg/cm2 3 3 agua = 10 kg/cm adm = 0,02 cm

Nivel del agua

60 cm

70 cm

Agua 90 cm

pi A Agua

50 cm Agua 200 cm

a) Cálculo del esfuerzo en el cabo:  Fy = 0 1 3

1

;

3

Abase . h. γagua  Vrec . γrec = T

π . 302 .140 . 10 3  π . 302 + 30 . π . 302 + 1402 0,2 .9,3 . 10 3 = T

T = 131,95  30,36 = 101,59 kg

b) Dimensionamiento del cabo: ς=

N A

≤ 1000

;

101,59 π d2 4

≤ 1000

;

d ≥ 0,36 cm

M

d = 0,78 𝛿=

𝑁𝐿 𝐴𝐸

≤ 0,02 ;

101,59 . 200 2,1 . 10 6

𝜋 𝑑2 4

≤ 0,02

;

T R = 10,71

M A

𝑑 ≥ 0,78 50

c) Cálculo de las tensiones en el punto A:

12,09º

En el punto A se tiene una presión externa pe = agua . 160 = 0,16 kg/cm2 La presión interna es pi = 0,30 kg/cm2 ςM ρM

+

ςT ρT

=

p e

;

𝜌𝑇 =

𝑅 𝑐𝑜𝑠𝛼

=

;

Diferencia pA = 0,14 kg/cm2

10,71 cos 12,09

= 10,96

;

𝜍𝑇 10,96

=

0,14 0,2

2𝜋 𝑅 𝑒 cos 𝛼 𝜍𝑀 = 𝐹𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟  𝐹𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 + 𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑠𝛼 Finterior =  R2 pi =  . 10,712 . 0,3 = 108,11 kg 1 Fexterior = 3 πR2 50 + πR2 160 γagua = π10,712 .176,67 . 10 3 = 63,66 kg Peso = πR 10,712 + 502 e γrec = π 10,71 .51,13 .0,2 .9,3 . 10 3 = 3,20 kg M = 3,54 kg/cm2

;

𝑇 = 7,67 kg/cm2