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Cálculo de momentos de inercia

08/07/2019

𝐼 = lim 𝑟𝑖2 ∆𝑚𝑖 =

Sesión (Último corte)

∆𝑚→0

𝑟 2 𝑑𝑚

1

Momento de torsión (torque, torca) La magnitud del momento de torsión asociada con la fuerza se define mediante la expresión 𝐹𝑠𝑒𝑛𝜃

𝜃

𝜏𝑂 = 𝑟𝐹𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝐹𝑑

𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃 Línea de acción

El torque como vector

Utilizaremos un punto (⊙) para representar un vector que apunta hacia afuera de la página (véase la figura) y una cruz (⊗) para representar un vector que apunta hacia adentro de la página.

𝜏 =𝑟×𝐹

𝜏=

𝐹𝑡 𝑟 = 𝑚𝑎𝑡 𝑟 = 𝑚𝑟𝛼 𝑟

𝜏 = 𝑚𝑟 2 𝛼 𝐼: (momento de inercia) 𝜏 = 𝐼𝛼 08/07/2019

Sesión (Último corte)

2

10.1. Calcule el torque (magnitud y dirección) alrededor del punto 𝑂 debida a la fuerza en cada una de las situaciones que se representan en la figura. En todos los casos, la fuerza y la varilla están en el plano de la página, la varilla mide 4m de largo y la fuerza tiene magnitud 𝐹 = 10N +↺

𝜏𝑂 = 𝐼𝛼

4m

4m = 10N

= 10N

𝜏𝑜 = + 10 4 𝜏𝑜 = +40Nm

= 10N

𝜏𝑜 = + 10 4sen60°

𝜏𝑜 = + 10 4sen30°

𝜏𝑜 = +34,64Nm

𝜏𝑜 = +20Nm

= 10N

4m

10N = 2m 4m

𝜏𝑜 = − 10 2sen60°

4m

= 10N

𝜏𝑜 = 0

𝜏𝑜 = 0

𝜏𝑜 = −17,32Nm 08/07/2019

Sesión (Último corte)

3

𝐹5 3m 2m

𝐹2

4m

90°

80° 𝐹4 𝐹3

60°

𝐹1

08/07/2019

Sesión (Último corte)

4

10.4. Se aplican tres fuerzas a una rueda con radio de 0.35𝑚, como se indica en la figura. Una fuerza es perpendicular al borde, otra es tangente a este y la otra forma un ángulo de 40° con el radio. ¿Cuál es el torque neto sobre la rueda debida a estas tres fuerzas para un eje perpendicular a la rueda y que pasa por su centro? +↺

𝜏𝑂 = 𝐼𝛼

𝜏𝑜 = −0,30Nm

+↺

𝜏𝑂 = − 14,6 0,35sen40° + 8,5 0,35

La rueda gira en sentido de las manecillas del reloj.

10.7. En la figura, las fuerzas 𝐴, 𝐵, 𝐶 y 𝐷 y tienen cada una 50N de magnitud y actúan en el mismo punto en el objeto. a) ¿Qué torque (magnitud y dirección) ejercen cada una de estas fuerzas sobre el objeto sobre el punto 𝑃? b) ¿Cuál el torque total sobre el punto 𝑃?

+↺

𝜏𝑃 =

𝜏𝑃 = 50N

𝜏𝐴

+ 𝜏𝐵 +

𝜏𝐶

Antihorario

cero

horario

0,2m sen60° + 0 − 50N

𝜏𝑃 = −6,3Nm 08/07/2019

Sesión (Último corte)

+

𝜏𝐷 horario

0,2m sen30° − 50N

0,2m

horario 5

10.2. Calcule el torque alrededor del punto 𝑂 para las dos fuerzas aplicadas como en la figura. La varilla y las dos fuerzas están en el plano de la página.

+↺

+↺

𝜏𝑂 = 𝐼𝛼

𝜏𝑂 = + 12 2sen30° − 8 5 = +12 − 40 = −28Nm

Entrando al plano de la hoja 10.3. Una placa metálica cuadrada de 0.180𝑚 por lado pivota sobre un eje que pasa por el punto 𝑂 en su centro y es perpendicular a la placa (figura E10.3). Calcule la torca neta alrededor de este eje debida a las tres fuerzas que se muestran en la figura, si las magnitudes de las fuerzas son 𝐹1 = 18N, 𝐹2 = 26Ny 𝐹3 = 14N. La placa y todas las fuerzas están en el plano de la página. 26N =

= 18N

𝑑2

𝑑1

+↺

𝜏𝑂 = 𝐼𝛼

𝜏𝑜 = +2,498Nm

𝑑3 =

0,09

2

+ 0,09

2

= 0,127

Saliendo al plano de la hoja

= 14N 08/07/2019

Sesión (Último corte)

6

Ejercicio 1: A un cilindro de una pieza se le da la forma que se muestra en la figura, con una sección central que sobresale desde el cilindro más grande. El cilindro es libre de dar vuelta en torno al eje central que se muestra en el dibujo. Una cuerda enrollada en torno al tambor, que tiene radio 𝑅1 , ejerce una fuerza 𝑇1 hacia la derecha sobre el cilindro. Una soga enrollada en torno a la parte central, que tiene radio 𝑅2 , ejerce una fuerza 𝑇2 hacia abajo sobre el cilindro. a) ¿Cuál es el momento de torsión neto que actúa en el cilindro en torno al eje de rotación (que es el eje 𝑧 en la figura)? b) Suponga que 𝑇1 = 5N, 𝑅1 = 1m, 𝑇2 = 15N, 𝑅2 = 0,5m. ¿Cuál es el momento de torsión neto que actúa en el cilindro en torno al eje de rotación (que es el eje 𝑧 en la figura) de modo que gira el cilindro desde el reposo? Para la polea aplicamos la 2da ley Newton a la rotación: −↻

𝜏 = 𝜏1 + 𝜏2 = 𝑅2 𝑇2 − 𝑅1 𝑇1

𝜏 = 0,5m 15N − 1m 5N = 2,5N∙ m 𝜏 = 2,5N∙ m

08/07/2019

Sesión (Último corte)

7

Ejercicio 2: Una rueda de radio 𝑅, masa 𝑀 y momento de inercia I se monta sobre un eje horizontal sin fricción, como en la figura. Una cuerda ligera enrollada alrededor de la rueda sostiene un objeto de masa 𝑚. Calcule la aceleración angular de la rueda, la aceleración lineal del objeto y la tensión en la cuerda. 𝛼 =?

𝑎 =?

𝑇 =?

Para la polea aplicamos la 2da ley Newton a la rotación. 𝜏𝑂 = 𝐼𝛼

(1)

𝑇𝑅 = 𝐼𝛼

Para la masa colgante 𝑚 aplicamos la 2da ley Newton a la traslación. 𝐹𝑦 = 𝑚𝑎

(2)

𝑚𝑔 − 𝑇 = 𝑚𝑎

No olvidar que la relación entre la velocidad angular y la tangencial de la polea, está dada por la expresión: 𝑎 = 𝑅𝛼

(3)

El sistema de ecuaciones (1), (2) y (3) nos dan los siguientes resultados: 𝑎=

08/07/2019

𝑔 1 + 𝐼/𝑚𝑅2

𝛼=

𝑔 𝑅 + 𝐼/𝑚𝑅

Sesión (Último corte)

𝑇=

𝑚𝑔 1 + 𝑚𝑅2 /𝐼

8

1- Una polea sin fricción tiene la forma de un disco sólido uniforme de masa igual a 2.50 kg y radio de 20.0 cm. Una piedra de 1.50 kg se sujeta a un alambre muy ligero que se enrolla alrededor del borde de la polea, y el sistema se libera del reposo. a) ¿Qué distancia debe descender la piedra para que la polea tenga 4.50 J de energía cinética? b) ¿Qué porcentaje de la energía cinética total tiene la polea? c) Determine el momento angular del sistema con respecto al eje de giro de la polea d) la aceleración angular de la polea e) La tensión en la cuerda 𝑀 = 2.5𝑘𝑔 𝑟 = 0.2𝑚 𝑚 = 1.5𝑘𝑔 𝜔𝑖 = 𝑣𝑖 = 0

𝐸𝑖 =

𝐸𝑓

𝐸𝑖 = 𝑚𝑔ℎ = 14,7ℎ

1 2

Para la polea: 𝐾𝑟 = 𝐼𝜔2 = 4.5𝐽 1 1 𝐼 = 𝑀𝑅2 = 2.5 0.2 2 2 𝜔=

1 1 𝐸𝑓 = 𝐼𝑐𝑚 𝜔2 + 𝑚𝑣 2 2 2 Se debe calcular 𝐼𝑐𝑚 , 𝜔 y 𝑣

2

= 0,05𝑘𝑔 ∙ 𝑚2

4,5 2 = 13.4 𝑟𝑎𝑑 𝑠 0,05

𝑣 = 𝜔𝑅 = 2.68 𝑚 𝑠 es la rapidez con que baja la piedra

𝐸𝑖 =

𝐸𝑓

𝐸𝑖 = 𝑚𝑔ℎ = 14,7ℎ 1 1 1 𝐸𝑓 = 𝐼𝑐𝑚 𝜔2 + 𝑚𝑣 2 = 4,5 + 1,5 2,68 2 2 2 14,7ℎ = 9,88

2

= 4.5 + 5.38 = 9,88𝐽

ℎ = 0,67𝑚

b) ¿Qué porcentaje de la energía cinética total tiene la polea? 𝐾𝑟𝑜𝑡 = 4.5𝐽, 𝐾𝑟𝑜𝑡 𝐾𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

× 100 =

𝐾𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 9.88𝐽 4.5 9.88

× 100 = 45.5%

c) Determine el momento angular del sistema con respecto al eje de giro de la polea ↺+

𝐿𝑧 = 𝐿1𝑧 + 𝐿2𝑧

𝑅 𝐿1𝑧 = 𝐼𝑐𝑚 𝜔 =

1 𝑀𝑅2 𝜔 = 0,05 13,4 = 0,67 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2 𝑠 2

𝐿2𝑧 = 𝑚𝑣𝑙 = 𝑚𝑣𝑅 = 0.804 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2 𝑠 ↺+

𝐿𝑧 = 0.67 + 0.804 = 1,47 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2 𝑠

d) la aceleración angular de la polea 𝜔𝑓2 = 𝜔𝑖2 + 2α∆𝜃 13.42 = 0 + 2𝛼 3.35

𝑝 = 𝑚𝑣

13.42 𝛼= = 26.8 𝑟𝑎𝑑 𝑠 2 6.7

∆𝜃 =

𝑆 𝑅

=

ℎ 𝑅

=

0.67 0.2

= 3.35𝑟𝑎𝑑

e) La tensión en la cuerda Para la polea:

𝑅 ↺+ 𝑇

𝜏0 = 𝐼𝑐𝑚 𝛼

𝑇𝑅 = 𝐼𝑐𝑚 𝛼 1 𝑇𝑅 = 𝑀𝑅2 𝛼 2 1 1 𝑇 = 𝑀𝑅𝛼 = 2.5 0.2 26.8 2 2

𝑇

𝑚𝑔

𝑇 = 6.7𝑁

Para la piedra: +↓

𝐹𝑦 = 𝑚𝑔 − 𝑇 = 𝑚𝑎𝑐𝑚

𝑎𝑐𝑚 = 𝑅𝛼 = 0.2 26.8 = 5.36 𝑚 𝑠 2 1.5 9.8 − 𝑇 = 1.5 5.36 14.7 − 𝑇 = 8.04

𝑇 = 14.7 − 8.04 𝑇 = 6.7𝑁

Dos cilindros que tienen masas diferentes m1 y m2 están conectados por una cuerda que pasa sobre una polea, como se muestra en la figura. La polea tiene un radio R y momento de inercia I en torno a su eje de rotación. La cuerda no se desliza sobre la polea y el sistema se libera desde el reposo. Encuentre las magnitudes de velocidad traslacionales de los cilindros después de que el cilindro 2 desciende una distancia h, y encuentre la rapidez angular de la polea en este momento.

Sol. Se toma NR en el punto más bajo, tal como se muestra. Dado que el sistema es conservativo, porque no hay fricción, entonces: 𝐸𝑖 = 𝑈𝑔1 + 𝑈𝑔2 𝐸𝑓 = 𝑈𝑔1 + 𝑈𝑔2 𝜔=

NR

𝑣 𝑅

𝑣=

𝐸𝑓 =

𝑖

+ 𝐾1 + 𝐾2 + 𝐾𝑃

𝑖

𝑓

+ 𝐾1 + 𝐾2 + 𝐾𝑃

𝑓

𝐸𝑖

= 𝑈𝑔2𝑖 = 𝑚2 𝑔ℎ 1 1 1 = 𝑚1 𝑔ℎ + 𝑚1 𝑣 2 + 𝑚2 𝑣 2 + 𝐼𝜔2 2 2 2

𝐸𝑓 = 𝑚1 𝑔ℎ +

1 1 1 𝑚1 + 𝑚2 𝑣 2 + 𝑀𝑅2 2 2 2

𝐸𝑓 = 𝑚1 𝑔ℎ +

1 1 𝑚1 + 𝑚2 + 𝑀 𝑣 2 2 2

2 𝑚2 − 𝑚1 𝑔ℎ 1 𝑚1 + 𝑚2 + 𝑀 2

𝜔=

𝑣 𝑅

1 2 𝑚2 − 𝑚1 𝑔ℎ 𝑅 𝑚 + 𝑚 + 1𝑀 1 2 2

2

Ejemplo: Una barra uniforme de longitud L y masa M unida en un extremo a un pivote sin fricción es libre de dar vueltas en torno al pivote en el plano vertical, como en la figura. La barra se libera desde el reposo en la posición horizontal. ¿Cuales son la aceleración angular inicial de la barra y la aceleración traslacional inicial de su extremo libre? a) ↻ + 𝑀𝑔

𝜏𝑜 = 𝜏𝑔 = 𝐼𝛼 𝐿 1 = 𝑀𝐿2 𝛼 2 3 𝛼=

3𝑔 2𝐿

b) 𝑎 = 𝑅𝛼

𝑎 = 𝐿𝛼 3

𝑎 = 2 𝑔 (mayor que la gravedad) 08/07/2019

Sesión (Último corte)

14

Ejercicio: Una barra uniforme de 2𝑚 de largo pivotea sobre un pasador horizontal sin fricción a través de uno de sus extremos. La barra se libera del reposo en un ángulo de 30° por encima de la horizontal a) Realiza una grafica de la situación inicial de la barra según el ejercicio b) ¿Cuál es la aceleración angular de la barra en el instante en que se suelta? c) Calcule la rapidez angular cuando la barra está en la posición horizontal d) Calcule la rapidez angular cuando la barra está en la posición vertical

Una barra uniforme de longitud L y masa M tiene libertad de dar vuelta sobre un pivote sin fricción que pasa a través de un extremo. La barra se libera desde el reposo en la posición horizontal. a) ¿Cual es su rapidez angular cuando la barra llega a su posición mas baja? b) Determine la rapidez tangencial del centro de masa y la rapidez tangencial del punto mas bajo en la barra cuando esté en su posición vertical.

Una viga uniforme de 8𝑚 de largo y 1500𝑘𝑔 está unida por una bisagra a la pared y sostenida por un cable delgado sujeto a 2𝑚 del extremo libre de la viga. La viga está sostenida a un ángulo de 30° arriba de la horizontal. a) Dibuje el DCL de la viga b) Calcule la tensión en el cable c) Calcule la magnitud de la fuerza de reacción que la bisagra hace sobre la viga 𝐿 = 8m 𝑇 =?

40°

30°

𝑂

2m

𝑚 = 1500kg 𝑅𝑦 =?

𝑅𝑥 =?

2- Una puerta de 4.00 m de ancho y 2.00 m de altura pesa 500N; su centro de gravedad está en su centro, y tiene bisagras en A y B. Para aliviar la deformación en la bisagra superior, se instala el alambre CD como se muestra en la figura La tensión en CD se aumenta hasta que la fuerza horizontal en la bisagra A es cero. a) Dibuje sobre la puerta todas las fuerzas que ella recibe b) ¿Qué tensión hay en el alambre CD? c) ¿Qué magnitud tiene la componente horizontal de la fuerza en la bisagra B? d) ¿Qué fuerza vertical combinada ejercen las bisagras A y B? 𝑇 𝑅𝐴𝑦

𝑅𝐵𝑦 𝑅𝐵𝑥

𝑀𝑔

b) ¿Qué tensión hay en el alambre CD? 𝑇 𝑅𝐴𝑦

↺+

𝜏𝐵 = 𝜏 𝑇 − 𝜏𝑔 = 0

𝜃

𝑅𝐵𝑦

𝜏 𝑇 = 𝑇𝑑 𝑇 = 𝑇 𝑟𝐵𝐶 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 30° 𝑅𝐵𝑥

𝑟𝐵𝐶 =

42 + 22 = 4.47𝑚

𝑡𝑎𝑛𝜃 =

2 4

𝑀𝑔

Otra forma para calcular 𝜏 𝑇 :

𝜃 = 26.56°

𝜏 𝑇 = 𝑇𝑥 𝑑𝑥 + 𝑇𝑦 𝑑𝑦

𝜏 𝑇 = 𝑇𝑑 𝑇 = 𝑇 4.47𝑠𝑒𝑛56.56° = 3.73𝑇

𝜏 𝑇 = 𝑇𝑐𝑜𝑠30° 2 + 𝑇𝑠𝑒𝑛30° 4

𝜏𝑔 = 𝑀𝑔𝑑 = 500 2 = 1000𝑁 ∙ 𝑚

𝜏 𝑇 = 1.73𝑇 + 2𝑇

3.73𝑇 − 1000 = 0

𝜏 𝑇 = 3.73𝑇

𝑇 = 268.1𝑁

c) ¿Qué magnitud tiene la componente horizontal de la fuerza en la bisagra B? 𝑇

𝐹𝑥 = 𝑅𝐵𝑥 − 𝑇𝑐𝑜𝑠30° = 0

𝑅𝐴𝑦

𝑅𝐵𝑥 = 268.1cos30° = 232.18N 𝑅𝐵𝑦 𝑅𝐵𝑥

d) ¿Qué fuerza vertical combinada ejercen las bisagras A y B? 𝑀𝑔

𝐹𝑦 = 𝑅𝐴𝑦 + 𝑅𝐵𝑦 + 𝑇𝑠𝑒𝑛30° − 𝑀𝑔 = 0 𝑅𝐴𝑦 + 𝑅𝐵𝑦 = 500 − 268.1sen30° 𝑅𝐴𝑦 + 𝑅𝐵𝑦 = 365.95N

𝜃=

𝑠 𝑟

𝑒𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠

𝑠 = 𝑟𝜃 𝜋 → 180° 𝜃 → 𝜃°

𝜋𝜃 ° 𝜃 𝑟𝑎𝑑 = 180°

𝑣𝑐𝑚 =

𝑑𝑠 𝑑 𝑅𝜃 𝑑𝜃 = =𝑅 = 𝑅𝜔 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑎𝑐𝑚 =

𝑑𝑣𝑐𝑚 𝑑𝜔 =𝑅 = 𝑅𝛼 𝑑𝑡 𝑑𝑡

21

1 1 2 2 𝐾 = 𝐼𝐶𝑀 𝜔 + 𝑚𝑣𝐶𝑀 2 2 la energía cinética total de un objeto en rodamiento es la suma de la energía cinética rotacional en torno al centro de masa y la energía cinética traslacional del centro de masa.

Una esfera de masa M y radio R parte del reposo en lo alto del plano, determine la rapidez traslacional del centro de 2 masa al llegar al final del plano y la aceleración del centro de masa. Recuerde que para una esfera 𝐼𝐶𝑀 = 𝑀𝑅2 . 5

Una esfera de masa M y radio R parte del reposo en lo alto del plano, determine la rapidez traslacional del centro de masa al llegar al final del plano y la aceleración del centro de masa. Recuerde que para 2 una esfera 𝐼𝐶𝑀 = 𝑀𝑅2 .

𝐸𝑓 =

𝐸𝑖 = 𝑈𝑔𝑖 + 𝐾𝑟𝑜𝑡 + 𝐾𝑡𝑟𝑎𝑠

5

𝐸𝑓 = 𝑈𝑔𝑓 + 𝐾𝑟𝑜𝑡 + 𝐾𝑡𝑟𝑎𝑠 𝐸𝑓 =

𝑓

𝑖

= 𝑀𝑔ℎ

1 1 1 2 2 = 𝐼𝐶𝑀 𝜔2 + 𝑀𝑣𝐶𝑀 = 𝑀𝑅2 2 2 2 5

1 2 7 + 1 𝑀𝑣 2 = 𝑀𝑣 2 2 5 10

7 𝑀𝑣 2 = 𝑀𝑔ℎ 10

𝑣=

𝐸𝑖

10 𝑔ℎ 7

b) 𝑣 2 = 𝑣𝑖2 + 2𝑎𝑥

𝑎𝐶𝑀

10 𝑔ℎ 5𝑔 𝑥𝑠𝑒𝑛𝜃 = 7 = 2𝑥 7𝑥

5 𝑎𝐶𝑀 = 𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 7

𝑣𝐶𝑀 𝑅

2

1 2 + 𝑀𝑣𝐶𝑀 2

Rodar sin resbalar

𝑣cm = 𝑅𝜔 (condición para rodar sin resbalar) 1

La energía cinética de la rueda es 𝐾 = 𝐼1 𝜔2 , siendo 𝐼1 el momento de inercia de la rueda alrededor de un eje que 2 pasa por el punto 1 1 𝐾 = 𝐼1 𝜔2 2

Siendo

1 1 𝐾 = 𝐼cm 𝜔2 + 𝑀𝑅2 𝜔2 2 2

𝐼1 = 𝐼cm + 𝑀𝑅

2

(Steiner)

𝑣 Pero 𝜔 = cm entonces se tiene: 𝑅

𝐾=

1

1 𝐼cm + 𝑀𝑅2 𝜔2 2 1

2 𝐾 = 𝐼cm 𝜔2 + 𝑀 𝑣cm 2 2

La energía cinética de la rueda, cuando rueda sin deslizar. 25

10.87. Un cilindro sólido uniforme de masa 𝑀 y radio 2𝑅descansa en una mesa horizontal. Se ata una cuerda mediante un yugo a un eje sin fricción que pasa por el centro del cilindro, de modo que este pueda girar sobre el eje. La cuerda pasa por una polea con forma de disco de masa 𝑀 y radio 𝑅, que está montada en un eje sin fricción que pasa por su centro. Un bloque de masa 𝑀 se suspende del extremo libre del hilo (figura). La cuerda no resbala en la polea, y el cilindro rueda sin resbalar sobre la mesa. Si el sistema se libera del reposo, determine la magnitud de la aceleración del bloque

Resuelva el problema anterior por dos métodos diferentes: Método 1: Leyes de Newton. Método 2: Consideraciones de Energía

A continuación se muestra el diagrama de cuerpo libre del cilindro, la polea y el bloque Cilindro

Polea

Bloque

𝑛

08/07/2019

Sesión (Último corte)

26

Método 1: Leyes de Newton.

Cilindro

𝜏 = 𝐼𝛼

(a)

𝐹𝑥 = 𝑚𝑎

(b)

𝑎 = 𝑅𝛼 1

𝐼 = 𝑚𝑟 2 2

(c) para el disco o polea

𝑛 +↻

𝜏 = 𝑓𝑠 2𝑅 = 𝐼𝛼

→

Simplificando obtenemos

𝑓𝑠 2𝑅 = 1

𝑓𝑠 = 𝑀𝑎 2

1 2

𝑀 2𝑅

2

𝑎 2𝑅

(1)

Por otro lado, aplicado la segunda ley Newton para el movimiento de traslación del centro de masa del cuerpo rígido. + →

𝐹𝑥 :

𝑇1 − 𝑓𝑠 = 𝑀𝑎

(2)

Aplicado la 2da ley Newton a la rotación a la polea de masa 𝑀 y radio 𝑅. +↻

𝜏 = 𝑇2 𝑅 − 𝑇1 𝑅 = 𝐼𝛼

Simplificando obtenemos

08/07/2019

→

𝑇2 − 𝑇1 𝑅 = 1

𝑇2 − 𝑇1 = 𝑀𝑎 2

1

2

𝑀𝑅2

𝑎

𝑅

(3)

Sesión (Último corte)

27

Bloque

Aplicando la segunda ley de Newton al bloque

+↓

𝐹𝑦 = 𝑀𝑔−𝑇2 = 𝑀𝑎

(4)

Resumiendo las ecuaciones del movimiento a resolver son: 1

𝑓𝑠 = 𝑀𝑎

(1) cilindro

𝑇1 − 𝑓𝑠 = 𝑀𝑎

(2) cilindro

2

1

𝑇2 − 𝑇1 = 𝑀𝑎

(3) polea

𝑀𝑔−𝑇2 = 𝑀𝑎

(4)

2

Bloque

Resolviendo las ecuaciones para encontrar los valores de

𝑓𝑠 =?

08/07/2019

𝑇1 =?

𝑇2 =?

𝛼 =?

Sesión (Último corte)

1 𝑎= 𝑔 3

Respuesta

28

Trabajo y potencia en movimiento de rotación 𝑊=

𝑥𝑓 𝑥𝑖

𝑊=

𝜃2 𝜃1

𝐹𝑥 𝑑𝑥

𝜏𝑧 𝑑𝜃

𝑊 = 𝜏𝑧 𝜃2 − 𝜃1 = 𝜏𝑧 ∆𝜃 𝑊𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 =

𝑃=

1 2 1 2 𝐼𝜔 − 𝐼𝜔 2 2 2 1

𝑊 = 𝜏𝑧 𝜔𝑧 ∆𝑡

Un motor eléctrico ejerce una torca constante de 10 N·m sobre una piedra de afilar montada que tiene un momento de inercia de la piedra de 2.0 kg·m2. El sistema parte del reposo. Calcule el trabajo W efectuado por el motor en 8.0 s y la energía cinética K en ese lapso. ¿Qué potencia media Pmed desarrolló el motor?

1. Se enrolla un cordel varias veces en el borde de un aro pequeño de 8.00 cm de radio y masa de 0.180 kg. El extremo libre del cordel se sostiene fijo y el aro se suelta del reposo (ver figura). Después de que el aro ha descendido 75.0 cm, calcule: a) la rapidez angular del aro al girar y b) la rapidez de su centro.

2. Una esfera sólida se suelta del reposo y baja por una ladera que forma un ángulo de 65.0° abajo de la horizontal. a) ¿Qué valor mínimo debe tener el coeficiente de fricción estática entre la ladera y la esfera para que no haya deslizamiento? b) ¿El coeficiente de fricción calculado en el inciso a) bastaría para evitar que una esfera hueca (como un balón de fútbol) resbale? Justifique su respuesta. c) En el inciso a), ¿por qué usamos el coeficiente de fricción estática y no el coeficiente de fricción cinética?

3. Una rueda de afilar de 1.50 kg con forma de cilindro sólido tiene 0.100 m de radio. a) ¿Qué torca constante la llevará del reposo a una rapidez angular de 1200 rev/min en 2.5 s? b) ¿Qué ángulo habrá girado en ese tiempo? c) Use la ecuación 𝑊 = 𝜏𝑧 𝜃2 − 𝜃1 = 𝜏𝑧 ∆𝜃 para calcular el trabajo efectuado por la torca . d) ¿Qué energía cinética tiene la rueda al girar a 1200 rev/min? Compare esto con el resultado del inciso c).

4. La hélice de un avión tiene longitud de 2.08 m (de punta a punta) y masa de 117 kg. Al arrancarse, el motor del avión aplica una torca constante de 1950 N·m a la hélice, que parte del reposo. a) Calcule la aceleración angular de la hélice, tratándola como varilla delgada. (Véase la tabla 9.2.) b) Calcule la rapidez angular de la hélice después de 5.00 revoluciones. c) ¿Cuánto trabajo efectúa el motor durante las primeras 5.00 revoluciones? d) ¿Qué potencia media desarrolla el motor durante las primeras 5.00 revoluciones? e) ¿Qué potencia instantánea desarrolla el motor en el instante en que la hélice ha girado 5.00 revoluciones?

Ejercicios propuestos Capítulo x Px.19 – Px.20 – Px.21 – Px.24

Problemas x.45 – x.51 – x.120 – x.122

Referencia Sears, F.; Zemansky, M.; Young, H.; Freedman, R. Física Universitaria, Vol. 1. Décimo tercera edición. México, Addison Wesley Longman, 2004. 864p, ISBN: 978-607-442-288-7.

Física Mecánica