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• Luis Gamboa Santander

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Torque Mar´ıa Agudo, Luis Gamboa Laboratorio de F´ısica General I, Departamento de F´ısica, Facultad Experimental de Ciencias y Tecnolog´ıa, Universidad de Carabobo, Valencia - Venezuela Resumen: La pr´ actica est´ a constitu´ıda por dos experimentos los cuales buscan estudiar fuerzas resultantes y equilibrantes para fuerzas no concurrentes; as´ı como fuerzas no perpendiculares al brazo de palanca. En el primer experimento se equilibr´ o la barra al aplicarle diversos torques. En el segundo experimento, se ensambl´ o un sistema f´ısico en donde se le aplic´ o una fuerza no perpendicular a la barra, se calcul´ o la sumatoria de torques que result´ o ser nula y adem´ as se experiment´ o con una rueda de torque obteniendo resultados an´ alogos. Cada uno de los experimentos demostraron que el equilibrio en un sistema rotacional es alcanzado cuando el torque neto es nulo.

I.

´ INTRODUCCION

En el estudio del movimiento traslacional se relaciona una fuerza con la aceleraci´ on lineal de un cuerpo. Entonces, ¿qu´e magnitud se asocia al movimiento rotacional, con la aceleraci´ on angular del cuerpo? A esa magnitud que produce rotaci´ on recibe el nombre de Torque. Este, producido por una fuerza, no s´ olo depende de la magnitud y de la direcci´ on de dicha fuerza, sino tambi´en del punto de aplicaci´ on con respecto al origen. El concepto de torque, tambi´en llamado momento, se origin´ o con los estudios de Arqu´ımedes sobre palancas. Arqu´ımedes observ´ o que la cantidad de fuerza aplicada al objeto, el momento de la fuerza, se define como M = rF , donde F es la fuerza aplicada y r es la distancia desde la fuerza aplicada al objeto. Sin embargo, la evoluci´ on hist´ orica del t´ermino ”momento” y su uso en diferentes ramas de la ciencia, como las matem´aticas, la f´ısica y la ingenier´ıa, no est´ a clara. Federico Commandino, en 1565, traducido al lat´ın de Arqu´ımedes: El centro de gravedad de cada figura s´ olida es ese punto dentro de ´el, sobre el cual se encuentran partes de igual momento en todos los lados [1]. Aparentemente, este fue el primer uso de la palabra momento (lat´ın, momentum) en el sentido en que lo conocemos ahora: un momento sobre un centro de rotaci´ on [2]. Utilizando los conceptos f´ısicos adecuados se proceder´ a a realizar el estudio de los torques producidos por fuerzas de diversas magnitudes y diferentes ´ angulos con respecto al brazo de palanca para un sistema en equilibrio. Adem´ as, se buscar´ a la relaci´ on matem´atica que debe existir entre varios torques con el fin de balancear una barra.

II.

OBJETIVOS

Objetivo General

Estudiar las fuerzas que producen rotaci´ on en los cuerpos (Torque).

Objetivos Espec´ıficos

Aplicar la expresi´on general de torque para diferentes fuerzas. Estudiar los torques producidos por fuerzas perpendiculares al brazo de palanca. Determinar el torque neto de un sistema f´ısico en el que se aplican dos o m´as fuerzas.

III.

´ FUNDAMENTOS TEORICOS

Se sabe que las fuerzas que act´ uan sobre un cuerpo pueden afectar su movimiento de traslaci´on, es decir, el movimiento del cuerpo como un todo a trav´es del espacio. La magnitud y direcci´on de la fuerza son aspectos importantes para provocar o modificar el movimiento rotacional, pero tambi´en lo es la posici´on del punto de aplicaci´on. [3] Cuando se ejerce una fuerza en un objeto r´ıgido que se articula en torno a un eje, el objeto tiende a dar vuelta en torno a dicho eje. La tendencia de una fuerza a dar vuelta un objeto en torno a cierto eje se mide mediante una cantidad llamada momento de torsi´on (τ ). La magnitud del momento de torsi´on asociada con la fuerza F~ se define mediante la expresi´on: τ ≡ rF senφ

(1)

A partir de (1) se tiene que d = rsenφ. La cantidad d se llama brazo de momento (o brazo de palanca) de F~ [4]. Ahora, si una fuerza F~ act´ ua en un punto que tiene un vector de posici´on ~r con respecto a un origen, el torque ~τ de la fuerza con respecto al origen es la cantidad vectorial: ~τ = ~r × F~

(2)

Si dos o m´as fuerzas act´ uan sobre un objeto r´ıgido, cada una tiende a producir rotaci´on en torno al eje O. Se usa la convenci´on de que el signo del momento de torsi´on que resulta de una fuerza es positivo si la tendencia

2 a girar de la fuerza es contra las manecillas del reloj y negativo si la tendencia a girar es en sentido de las manecillas del reloj. En consecuencia, el momento de torsi´on neto en torno a un eje a trav´es de O es: X τ = τ1 + τ2 (3) No se debe confundir el momento de torsi´on con la fuerza. Las fuerzas tambi´en pueden causar un cambio en el movimiento rotacional, pero la efectividad de las fuerzas en causar este cambio depende tanto de las magnitudes de las fuerzas como de los brazos de momento de las fuerzas, en la combinaci´ on que se llama momento de torsi´ on [4]. Otro concepto relevante para la pr´ actica es el de Rueda de Torque. La rueda de torque es un mecanismo formado por un disco el cual puede girar alrededor de un eje que pasa por su centro y adem´ as est´ a montado sobre una base magn´etica. Dicho disco posee tambi´en varios orificios donde pueden insertarse clavijas, las cuales sirven de soporte para la aplicaci´ on de fuerzas. La rueda de torque trae impl´ıcito un patr´ on de circunferencias conc´entricas espaciadas 2 mm una de otra, lo cual constituye una escala radial de longitudes. Todo ello con el fin de facilitar el m´etodo para lograr alcanzar el equilibrio entre varios torques.

IV.

Figura 1. Montaje del sistema.

Se ajusta la barra en el soporte del pivote hasta que la misma permanezca horizontalmente en equilibrio. Seguidamente, se inserta un sujetador con un colgador de pesas en cada uno de los extremos de la barra (debe medirse previamente la masa de cada sujetador y de cada colgador). Se coloca una pesa de 50 g en cada colgador y se deslizan hasta el punto medio entre cada extremo y el eje de rotaci´on de la barra (v´ease Fig. 2).

EQUIPOS E INSTRUMENTOS Figura 2. Esquema del sistema

Tablero de experimentaci´ on. Pivote. Dinam´ ometro. Pesas calibradas. Nivel de burbuja. Barra de equilibrio con sujetadores. Colgadores de pesas. Polea.

Se mide la distancia de cada colgador hasta el eje de rotaci´on y se determina la sumatoria de torques del sistema. Debe agregarse una masa de 20 g a M1 , se equilibra el sistema reubicando al otro colgador y se determina nuevamente la sumatoria de torques. Se cambia el valor de M2 (por lo menos 3 veces m´ as) y en cada caso se equilibra el sistema y se debe determinar la sumatoria de torques. Finalmente, se adiciona un tercer colgador con su respectiva pesa, la balanza del mismo lado donde se encuentra M2 .

Rueda de torque con indicadores. Regla graduada de apreciaci´ on 0,001 m.

V.

PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

Experimento 2

Se retiran los sujetadores pl´asticos de la barra de equilibrio y se ajusta hasta que la misma est´e perfectamente balanceada (ver figura 1).

Experimento 1

Con la ayuda de un nivel de burbuja, se debe trazar una l´ınea horizontal sobre el tablero de experimentaci´on y realizar el montaje como se muestra en la figura 1.

Usar un colgador de masas, el dinam´ometro y una polea para aplicar las fuerzas, tal como se muestra en la figura 3. Nota: Invertir el sujetador pl´astico que une la cuerda con el dinam´ometro, de manera que el centro del

3 transportador se encuentre justo detr´ as del centro de dicho sujetador, lo cual mejora la medici´ on del ´ angulo (ver la figura 4).

Figura 5. Arreglo experimental con rueda de torque.

Figura 3. Esquema del sistema

Se determina la magnitud de las fuerzas y la distancia desde el punto de rotaci´on hasta las fuerzas aplicadas. Se debe calcular el torque para cada fuerza e indicar el sentido de cada torque, adem´as de sumar algebraicamente los torques en sentido horario y antihorario y obtener el torque total. El experimento debe repetirse para diferentes fuerzas y ´angulos.

VI.

´ RESULTADOS Y ANALISIS Experimento 1

Figura 4. Detalle del sujetador.

Medir d1 y d2 y anotar los resultados. Tambi´en debe anotarse el valor de la masa M2 y la magnitud de la fuerza F~2 . Usar estos valores para calcular el torque producido por esta fuerza respecto al pivote de la barra de equilibrio. Moviendo la polea, se ajusta la direcci´ on de F~ hasta fijar un ´ angulo θ = 80◦ . Mover el dinam´ometro acerc´ andolo o alej´ andolo de la polea, con el fin de equilibrar la barra. Anotar la lectura en el dinam´ometro. Se determina el torque producido por F~1 y F~2 respecto al pivote, con sus respectivas incertidumbres. Comparar ambos resultados. Se fija el ´ angulo de F~1 para valores de 70◦ , 60◦ , 50◦ y ◦ 40 . Para cada ´ angulo se balancea la barra de equilibrio y se calcula la sumatoria de torques.

En el experimento 1 se estudian fuerzas no concurrentes, es decir, fuerzas que act´ uan en puntos diferentes de un objeto. Dichas fuerzas producen rotaci´on en los cuerpos; a partir de ellas se descubre el concepto f´ısico Torque. Tras realizar el montaje y el procedimiento experimental, se hicieron las mediciones necesarias para calcular el torque neto del sistema f´ısico. El experimento busca equilibrar la barra, por lo tanto, el torque neto obtenido deber´ıa ser nulo. Las mediciones registradas se muestran en la tabla I. Datos (m1 ± 0, 01) [g] (m2 ± 0, 01) [g] (d1 ± 0, 001) [m] (d2 ± 0, 001) [m] (F1 ±9,8)×10−5 [N] (F2 ±9,8)×10−5 [N]

1 57,37 57,34 0,092 0,094 56223,0 56193,0

2 77,56 57,34 0,092 0,126 76009,0 56193,0

4 77,56 47,3 0,092 0,154 76009,0 46354,0

5 77,56 27,34 0,045 0,133 76009,0 26793,0

Tabla I. Mediciones del experimento 1.

En la tabla I se muestran las mediciones directas de las masas y sus distancias al eje de rotaci´on con sus respectivas incertidumbres, as´ı como tambi´en los c´ alculos de las fuerzas que ejerc´ıan m1 y m2 . Dichas fuerzas fueron calculadas seg´ un la ecuaci´on (4): F = mg

Se instala la rueda de torque tal como se muestra en la figura 5, se usan poleas y colgadores de masas para aplicar tres torques sobre la rueda.

3 77,56 77,24 0,092 0,094 76009,0 75695,0

(4)

Donde su incertidumbre asociada se calcul´ o con el m´etodo de las derivadas parciales, siendo ´este:

4

∆F = g∆m

(5)

A partir de los datos obtenidos se pudieron calcular los diferentes torques que ejercen las masas colgadas a la barra de equilibrio (v´ease tabla II), al ser fuerzas perpendiculares al brazo de palanca, los torques fueron calculados por la ecuaci´ on 1 y considerando que el seno de 90o es 1: τ = rF

−4

−4

τ1 × 10 [Nm] τ2 × 10 [Nm] 517,2±5,6 528,2±5,6 699,3±7,6 708,0±5,6 699,3±7,6 711,5±5,6 699,3±7,6 713,9±4,6 342,0±7,6 356,3±2,7

(6)

τ [Nm] 0,0011±0,0008 0,0009±0,0009 0,0012±0,0011 0,0015±0,0009 0,0014±0,0008

50 0,061 0,086 1,49 0,038

60 0,062 0,04 0,51 0,013

70 0,122 0,107 0,55 0,014

80 0,062 0,04 0,35 0,009

Tabla III. Mediciones del experimento 2.

que el torque neto en cada caso resulta ser despreciable.

Experimento 2

Adem´ as de los datos mostrados en la tabla I, se hizo una experimentaci´ on m´ as, en donde se adicion´ o un tercer colgador con su respectiva pesa a la balanza, del mismo lado donde se encontraba m2 . En donde: m1 =(47,55±0,01)g, m2 =(57,35±0,01)g, m3 =(36,33±0,01)g. Colocando los colgadores a distintas distancias al eje de rotaci´ on de la barra, ´estos ejerc´ıan cierta fuerza, resultando diversos torques, tales como: τ1 =(0,0731±0,0005)Nm, τ2 =(0,0213±0,0006)Nm, τ3 =(0,0531±0,0004)Nm. Al estar τ2 y τ3 al mismo lado de la barra, ambos causar´ıan una rotaci´ on en sentido horario, por lo tanto son negativos. En cambio, τ1 causar´ıa rotaci´ on en sentido antihorario y resulta positivo. La suma de τ2 y τ3 debe ser igual a τ1 , ya que el sistema se equilibra cuando la suma de los torques en sentido horario es igual a la suma de los torques en sentido antihorario. Para demostrar que el sistema alcanz´ o el equilibrio, se calcular´ a la sumatoria de torques al igual que en los datos mostrados en la tabla II: τ = τ1 − (τ2 + τ3 ) = 0, 0013N m

40 0,062 0,034 0,71 0,018

En el sistema existe una fuerza adicional sobre la barra de equilibrio, el empuje hacia arriba del pivote. Sin embargo, la fuerza que ejerce el pivote sobre la barra no produce torque alguno ya que no existe brazo de palanca.

P

Tabla II. Resultados del experimento 1, torques producidos por F1 y F2

X

´ Angulo (θ ± 1)o d1 ± 0, 001 [m] d2 ± 0, 001 [m] (F1 ± 0, 04) [N] (x ± 0, 001) [m]

(7)

Donde se tom´ o el valor absoluto del resultado. Adem´as, su incertidumbre viene dada por: X p ∆ τ = ∆τ1 2 + ∆τ2 2 + ∆τ3 2 = 0, 0009N m (8) As´ı, la sumatoria de torques en el sistema de tres colgadores con masa en la barra de equilibrio es de P τ = 0, 0013 ± 0, 0009 Nm. Siguiendo el mismo razonamiento, se puede afirmar que el equilibrio fue alcanzado en todas las repeticiones del experimento 1, debido a

A diferencia del experimento anterior, en este se estudiaron fuerzas no perpendiculares a la barra, es decir, la fuerza aplicada y el vector dirigido desde el eje de rotaci´on hasta el punto de aplicaci´on de la fuerza no forman un ´angulo de 90o . Por lo tanto, se determin´ o el ´angulo de la fuerza no perpendicular al brazo de palanca. Tras ensamblar el sistema f´ısico compuesto por el tablero, dinam´ometro y poleas, se procedi´o a realizar las mediciones, que se muestran en la tabla III. Donde m2 =(77,28±0,01)g siempre fue constante y por ende tambi´en F2 =(0,75734±0,00004)N. Adem´ as, se us´o la constante de elasticidad calculada en experiencias pasadas, siendo ´esta k=(39,24±0,34)N/m. La fuerza 1, al estar unida al dinam´ometro, se calcul´o seg´ un: Fs = −kx

(9)

Siendo x la elongaci´on. La incertidumbre de la fuerza est´a dada por: p ∆Fs = (x∆k)2 + (k∆x)2 (10) En la Tabla IV se muestran los torques producidos por las distintas fuerzas, donde F2 es perpendicular a la barra y F1 no, por lo tanto se emple´o la ecuaci´ on (1) usando el ´angulo medido anteriormente. Denotando que, a diferencia del experimento anterior, τ1 causa rotaci´ on en sentido horario (negativo), y τ2 en sentido antihorario (positivo). A partir de los torques obtenidos, se denota que el equilibrio fue alcanzado en casi todas las repeticiones del experimento, exceptuando el pen´ ultimo dato de la tabla IV. Puede deberse a alg´ un error al momento de medir alguna magnitud f´ısica en el laboratorio, dado que se dificultaba la medici´on de las distancias d1 y d2 al alcanzar el equilibrio sin perturbar el sistema.

5 τ1 × 10−4 [Nm] (τ2 ±7,6)×10−4 [Nm] 304,2±7,1 257,5 696,8±14,9 651,3 273,9±5,1 302,9 629,8±5,5 810,4 215,6±3,5 302,9

P

τ [Nm] 0,005±0,001 0,005±0,002 0,003±0,001 0,018±0,001 0,009±0,001

sistema f´ısico experimental. En el experimento 1 se estudiaron torques aplicados a la barra de equilibrio y se determin´o que cuando se compensaban los torques respecto al punto de rotaci´ on, el brazo permanec´ıa nivelado. Esto se comprob´o al calcular la sumatoria de torques del sistema que result´ o ser nula.

Tabla IV. Resultados del experimento 2. Datos (m1 ± 0, 01) [g] (m2 ± 0, 01) [g] (r1 ± 0, 002) [m] (r2 ±0,002) [m] (F1 ±9,8)×10−5 [N] (F2 ±9,8)×10−5 [N]

1 5,16 5,23 0,022 0,018 5056,8 5125,4

2 15,26 15,34 0,026 0,026 14954,8 15033,2

3 5,16 45,30 0,024 0,002 5056,8 44394,0

El experimento 2 ten´ıa un prop´osito similar, pero con fuerzas no perpendiculares al brazo de palanca. Tambi´en pudo lograrse el equilibrio y el torque neto fue nulo. Adem´as, se emple´o la rueda de torque para facilitar los c´alculos, donde se lleg´o a los resultados esperados, ya que el torque neto fue nulo para un sistema f´ısico constitu´ıdo por dos masas colgadas a la rueda de torque.

Tabla V. Mediciones de la rueda de torque. VIII. Rueda de Torque

La tabla V muestra las mediciones obtenidas a partir del experimento de la rueda de torque. Donde r1 y r2 fueron f´ acilmente calculados a partir de las circunferencias de la rueda de torque. Las fuerzas se calcularon con la ecuaci´ on (4). Los torques obtenidos se muestran en la tabla VI. Donde τ1 , al causar rotaci´ on en sentido antihorario, es positivo. Por el contrario, τ2 va en sentido horario y es negativo. Al momento de realizar el experimento, la rueda de torque no daba mucha confianza al medir. Cada vez que se le adicionaba masa a los colgadores, la rueda de torque parec´ıa m´ as inestable. Pero los resultados son sorprendentes debido a que, a pesar de todo, el torque neto, dentro de los l´ımites de las incertidumbres, es nulo. P τ1 × 10−4 [Nm] τ2 × 10−4 [Nm] τ [Nm] 11,12±1,01 9,22±1,03 0,0002±0,0001 38,88±2,99 39,09±3,01 0,0000±0,0004 12,14±1,01 8,87±2,10 0,0003±0,0002

RECOMENDACIONES

Se recomienda a futuros investigadores ser muy cuidadosos al momento de tomar las mediciones luego de alcanzar el equilibrio tanto en la barra como en la rueda de torque, ya que un peque˜ no movimiento puede desestabilizar el sistema. Adem´as, se debe tener en claro la teor´ıa y tener un buen uso de las ecuaciones, sobretodo las unidades de cada magnitud f´ısica. Se deben convertir las unidades de cada medida tomada, para as´ı calcular correctamente las fuerzas y los torques.

IX.

BIBLIOGRAF´ IA

[1] Commandino, F. Federici Commandini Vrbinatis Liber de centro grauitatis solidorum, ex officina Alexandri Benacii. (1974). [2] Crew, Henry; Smith, Keith Kuenzi. Mechanics for Students of Physics and Engineering, The Macmillan Company, New York. (1930).

Tabla VI. Resultados de la rueda de torque.

[3] Sears F., Zemansky M., Young H., F´ısica Universitaria, Addison-Wesley (1988). VII.

CONCLUSIONES

En toda la pr´ actica se les aplic´ o fuerzas a objetos que pose´ıan un eje de rotaci´ on, con el fin de equilibrar el

[4] Serway R. y Jewett J., F´ısica para Ciencias e Ingenier´ıa, CENGAGE Learning (2008).