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Topología General

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Capítulo 0

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Breve reseña histórica Sus orígenes están asociados a la obra de Euler, Cantor y Möbius. La palabra topología había sido utilizada en 1847 por J.B Listings en un libro titulado Vorstudien zur Topologie. Este había sido un alumno de Gauss en el año 1834. Usaba el término topología para lo que prefería llamar “geometría de posición”, sin embargo von Staudt usaba este último para la geometría proyectiva. Para algunos historiadores de las matemáticas, el punto decisivo fue dado por la publicación de Análisis Situs de Poincaré en 1895. La geometría elemental maneja las magnitudes (longitud, ángulos y áreas) que son invariantes por movimientos rígidos, (transformaciones isométricas o que conservan la medida), mientras que la geometría proyectiva trata los conceptos (puntos, línea, incidencia, razón simple) que son invariantes por el grupo, todavía más extenso, de las transformaciones proyectivas (proyectar, seccionar). Pero los movimientos rígidos y las proyecciones son casos muy particulares de las transformaciones topológicas que son correspondencias biunívocas y bicontinuas entre dos conjuntos. La topología estudia entonces los conceptos invariantes frente a dichas transformaciones. Felix Hausdorff creó una teoría de espacios abstractos usando la noción de vecindario (Grundzüge der Mengenlehre, 1914). Un espacio topológico se define como un conjunto de puntos junto con una familia de vecindarios asociados a ellos. Aquí hay varias nociones que se establecen: espacio compacto, conexo, separable. También es aquí donde entra la idea de homeomorfismo. Una vez establecido esto, se formula la topología conjuntista como aquélla que estudia las propiedades invariantes bajo homeomorfismos. Hausdorff también dio la noción de completitud, que el mismos Fréchet había usado en 1906. Usó la noción de conectividad, planteada antes por otros matemáticos (aunque él no lo sabía), Para considerar conjuntos conexos como ideas topológicas. Hausdorff formalizó la topología conjuntista mediante una nueva concepción de geometría en la cual un espacio tiene una estructura que consiste en relaciones que pueden definirse en términos de un grupo de transformaciones. Con el trabajo de Hausdorff se afirmó la topología conjuntista como una disciplina propia dentro de las matemáticas. -3-

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En el siglo XX, la topología se afirmó como una nueva disciplina con toda propiedad dentro de las matemáticas, el igual que la geometría, el álgebra o el análisis, y participó de un espíritu de convergencia que ha caracterizado buena parte de las matemáticas modernas; se trata de la utilización de métodos de una disciplina en las otras, potenciando constantemente nuevas ramas de un árbol cada vez más complejo y diversificado.

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Capítulo 0 Conjuntos Con el interés de identificar un elemento de una colección de conjuntos, algunas veces es conveniente adjudicar un “nombre” a cada elemento. Definición 0.1 Sea A una colección no vacía de conjuntos. Una función indexada para A es una función sobreyectiva f de un conjunto J denominado conjunto de índices, en A. La familia A, junto con la función f , se denomina familia indexada de conjuntos. Dado α ∈ J , representaremos el conjunto f (α ) por Aα Y denotamos la familia indexada, propiamente dicha, mediante

{ Aα }α∈J que se lee como “la familia de todos los Aα cuando α recorre J”. En ocasiones escribiremos { Aα } , si no ofrece dudas cuál es el conjunto de índices. Obsérvese que, aunque es necesario que una función indexada sea sobreyectiva, no se necesita que sea inyectiva. Aα y Aβ pueden ser el mismo conjunto de A, incluso si α ≠ β . Una forma de usar funciones indexadas es dar una nueva notación para uniones e intersecciones arbitrarias de conjuntos. Supongamos que f : J → A es una función indexada para A ; representemos f (α ) por Aα . Entonces definimos:

UA

α

= { x : al menos para un α ∈ J , x ∈ Aα }

α ∈J

y

IA

α

α ∈J

= { x : para todo α ∈ J , x ∈ Aα }

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Leyes de Morgan

(U A )

C

= I AαC

(I A )

C

= U AαC

α

y α

Definición 0.2 Dado un conjunto A , una relación R en A es un subconjunto del producto cartesiano A × A . Definición 0.3 Sea ~ una relación en A (anotamos ( a, b ) ∈: o a : b ) decimos que es una relación de equivalencia si se verifican tres propiedades: a) Reflexiva a : a ∀a ∈ A b) Recíproca si a : b entonces b : a ∀a, b ∈ A c) Transitiva si a : b y b : c entonces a : c ∀a, b, c ∈ A Definición 0.4 Dada una relación de equivalencia ~ en un conjunto A y un elemento x de A definimos un cierto subconjunto de A que anotamos [ x ]: llamado clase de equivalencia determinada por x, mediante la ecuación:

[ x ]: = {a ∈ A : a : x} Observación 1 x ∈ [ x ]: ya que x : x es decir las clases de equivalencia son no vacías Propiedad Las clases de equivalencia tienen las siguientes propiedades: i) Dos clases de equivalencia o son disjuntas o son iguales. Demostración: Sean E y E’ dos clases de equivalencia definidas por x y x’ respectivamente entonces si no son disjuntas eso quiere decir que existe un elemento en común  y∈E ⇒ y : x  ∃y ∈ A / y ∈ E I E ′ ⇒   ⇒ x : x′  y ∈ E ′ ⇒ y : x′  Entonces ∀z ∈ E ⇒ z : x (y como x : x′ por transitiva) ⇒ z : x′ ⇒ z ∈ E ′ o sea E ⊆ E′ -6-

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análogamente E′ ⊆ E lo que concluye que E = E′ ii) La unión de todas las clases de equivalencia de A es todo A ya que todo elemento de A tiene asociada una clase de equivalencia. A ⊆ U [ x ]: por definición x∈ A

A ⊇ U [ x ]: ya que si z ∈ U [ x ]: ⇒ ∃x0 ∈ A / z ∈ [ x0 ]: x∈ A

x∈A

⇒ z ∈ A por definición de [ x0 ]: La familia de las clases de equivalencia de A es un ejemplo de lo que se llama partición del conjunto A. Definición 0.5 Una partición de un conjunto A es una familia de subconjuntos disjuntos no vacíos de A cuya unión es todo A Definición 0.6 Dada una relación de equivalencia en un conjunto A llamamos espacio cociente al conjunto formado por todas las clases de equivalencia. Y anotamos A : A = {[ x ] : x ∈ A} : : Definición 0.7 Una relación ≤ en un conjunto A se denomina relación de orden (parcial) si verifica las siguientes propiedades: i) Reflexiva x≤x

∀x ∈ A

ii) Antisimétrica x ≤ y  ⇒ x = y ∀x , y ∈ A y ≤ x iii) Transitiva x ≤ y  ⇒ x ≤ z ∀x, y , z ∈ A y ≤ z Ejemplo 0.1 Si A es un conjunto sea P(A) el conjunto de potencia de A es decir:

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P(A) = { X : X ⊂ A} Definimos la relación ≤ de la siguiente manera: X ≤ Y si X ⊆ Y ∀X , Y ∈ P(A) verifica las tres propiedades, por lo que es una relación de orden. Definición 0.8 Dado un conjunto A y una relación ≤ de orden en A se dice que la pareja ( A, ≤ ) es un conjunto ordenado. Definición 0.9 Si ( A, ≤ ) es un conjunto ordenado y consideramos un subconjunto S ⊂ A , definimos: i) a ∈ A es cota superior (inferior) de S si x ≤ a ∀x ∈ S (a ≤ x ∀x ∈ S ) ii) m ∈ A es máximo si es cota superior y pertenece a S Definición 0.10 Si ( A, ≤ ) es un conjunto ordenado y S un subconjunto de A decimos que m es un elemento maximal si se cumple: si x ∈ S y m ≤ x ⇒ m = x Definición 0.11 Dado un conjunto A y una relación de orden ≤ decimos que es una relación de orden total si: a ≤ b  dados a, b ∈ A ⇒  o b ≤ a  y a la pareja ( A, ≤ ) llamamos conjunto totalmente ordenado. Observación 2 si A es un conjunto finito y totalmente ordenado tiene máximo y mínimo. Demostración : Consideremos por inducción sobre el cardinal de A i) Para # A = 1 es obvio. ii) Si vale para # A = n − 1 y # A = n , A = {a1 ,..., an } Por hipótesis el conjunto {a2 ,..., an } tiene máximo y mínimo por tener n-1 elemento sean estos M y m respectivamente. Sea m0 = min {a1 , m} ⇒ es el mínimo de A ya que: m0 ∈ A m0 ≤ a1 y m0 ≤ m ≤ ak ∀k = 2,..., n De la misma forma -8-

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M 0 = max {a1 , M } es el máximo de A Definición 0.12 Si ( A, ≤ ) es un conjunto ordenado llamamos cadena a un subconjunto C de A tal que (C , ≤ ) es totalmente ordenado. Lema 0.1 ( Lema de Zorn ) Sea ( A, ≤ ) un conjunto ordenado en el que toda cadena tiene una cota superior, entonces A tiene un elemento maximal. Ejemplo 0.2. Consideremos el siguiente conjunto que llamamos partes finitas de los naturales PF ( • ) = { A ⊂ • : # A es finito} Con la relación de orden dada por la inclusión. B≤ A⇔ B⊆ A Entonces (PF ( • ) , ≤ ) no tiene elemento maximal, ya que si A es maximal ⇒ A ∈PF ( • ) y B ≤ A ∀B ∈PF ( • ) Pero para cualquier A ∈ P F(N) , ∃x ∈ • con x ∉ A , porque A es finitos ⇒ A U { x} es de finitos elementos ⇒ A U { x} ∈PF ( • ) y obviamente A U { x} ë A ⇒ A no es maximal. Zorn

Entonces como (PF ( • ) , ≤ ) no tiene elemento maximal ⇒ ∃ una cadena C de PF ( • ) , que no está acotada superiormente, por ejemplo: C = {{1} , {1, 2} ,{1, 2,3} ,...,{1,...n} ,...} es una cadena y no está acotada ya que una cota tiene que tener a todos los naturales y eso no esta en el conjunto. A cota ⇒ A = • y • ∉PF ( • ) Veamos una aplicación del pasado lema: Proposición 0.1 Todo espacio vectorial V tiene una base. Demostración: Vamos a pensar una base de un espacio vectorial como un subconjunto L.i. maximal, sea entonces L = { A ⊂ V : A es L.i.} con la relación de orden ≤ definida: B≤ A⇔ B⊂ A -9-

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Entonces (L , ≤ ) es un conjunto ordenado y sea { Aα } ⊂ L una cadena, (subconjuntos de L totalmente ordenados), vamos a probar que está acotada, sea A = U Aα veremos que es L.i. consideremos una n-upla en A, x1 ,..., xn ∈A ⇒ ∀xi ∃α i con i ∈ {1,..., n} / xi ∈ Aαi , además como

{A

α1

,..., Aα n } es

finito y totalmente ordenado, entonces tiene máximo Aα0 xi ∈ Aαi ⊂ Aα0 ∀i = 1,..., n ⇒ xi ∈ Aα0 ∀i = 1,..., n ⇒

{ x1 ,..., xn } ⊂ Aα y Aα es L.i. ⇒ { x1 ,..., xn } es L.i. ⇒ A es L.i. 0

0

y es una cota superior de L entonces por el lema de Zorn L tiene elemento maximal ⇒ que V tiene una base. Definición 0.13 Sean A1 , A2 ,..., An conjuntos ,definimos un nuevo conjunto llamado producto cartesiano y anotamos por A1 × A2 × ... × An a: A1 × A2 × ... × An = {( a1 ,..., an ) : ai ∈ Ai } a ( a1 ,..., an ) puede pensarse como una función f : {1,..., n} → U Ai tal que f ( i ) = ai ∀i = 1,..., n Entonces en forma más general . Sea { Aα }α∈I una familia de conjuntos llamamos producto cartesiano de esos

∏ A a: ∏ A = { f : I → UA

conjuntos y anotamos

α

α∈I

α

α

: f (α ) ∈ Aα ∀α ∈ I }

α ∈I

Axioma de elección Sea { Aα }α∈I una familia de conjuntos no vacíos entonces el producto cartesiano de ellos es no vacío. Aα ≠ φ ∀α ∈ I ⇒ ∏ Aα ≠ φ α ∈I

Esto es equivalente a decir que dada una familia de conjuntos no vacíos podemos elegir un elemento de cado conjunto ( en forma simultánea). Una cuestión básica sobre un conjunto es conocer la cantidad de elementos, sin grandes conocimientos matemáticos para saber la cantidad de elementos de un conjunto lo que hacemos es contarlos, ¿pero que significa esto, a cada elemento le estamos asociando un número con el cuidado de no repetir elementos y para asegurarnos de no repetir números le asociamos el 1, 2, ....,n en ese orden entonces lo que establecemos es una función inyectiva (no repetimos elementos) y sobreyectiva (no dejamos ningún elemento sin su correspondiente). Es decir: - 10 -

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Existe una función f : A → {1,..., n} biyectiva ⇒ cardinal de A es n Definición 0.14 Dados dos conjuntos A y B decimos que tienen el mismo cardinal o que son coordinables o equipotente si existe una función f : A → B biyectiva. Proposición 0.2 La relación de Card ( A ) = Card ( B ) verifica las propiedades de una relación de equivalencia. Demostración i) A es equipotente con A ya que la identidad es una función biyectiva de A en si mismo ⇒ card ( A ) = card ( A ) . ii) Si A es equipotente con B entonces B es equipotente con A card ( A) = card ( B ) ⇒ existe f : A → B biyectiva ⇒ que f −1 : B → A es biyectiva ⇒ card ( B ) = card ( A ) iii) Si A es equipotente con B y B es equipotente con C entonces A es equipotente con C. f : A → B Por hipótesis existen  biyectivas ⇒ g o f : A → C también es biyectiva g : B → C Y eso implica que A es equipotente con C. Definición 0.15 Dados dos conjuntos A y B decimos que el cardinal de A es menor o igual que el cardinal de B si existe una función f : A → B inyectiva . Card ( A ) ≤ Card ( B ) ⇒ ∃ f : A → B inyectiva Ejemplo 0.3 Sabemos que el Card ( ¢ ) ≤ Card ( ° ) ya que la inclusión es una función inyectiva. inc : ¢ → ° a→a Ejemplo 0.4 Si X es un conjunto Card ( X ) ≤ Card (P ( X ) ) basta tomar la función ϕ : X → P ( X ) definida ϕ ( x ) = { x} es decir que a cada elemento x del conjunto X le asociamos el conjunto cuyo único elemento es el propio x. Esta función claramente es inyectiva Observar que si X es finito con Card ( X ) = n entonces Card (P ( X ) ) = 2n . Proposición 0.3 Dados dos conjuntos A y B entonces existe una función f : A → B inyectiva si y solo si existe una función g : B → A sobreyectiva. - 11 -

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Demostración: ⇒ Sea f : A → B inyectiva con A ≠ φ y sea a0 ∈ A

f

A

B b

Im f

a a0 g Entonces : si b ∈ Im f ⇒ ∃a ∈ A tal que b = f ( a ) y como f es inyectiva el “a” es único y podemos definir: g ( b ) = a si b ∉ Im f definimos g ( b ) = a0 Definimos de esta forma una función g : B → A  f −1 ( b ) si b ∈ Im f g (b ) =  si b ∉ Im f a0 Que es sobre. ⇐ Dada g : B → A sobreyectiva Entonces { g −1 ( a ) : a ∈ A} establece una partición en B ya que:

Ug

−1

( a ) = B por ser g sobreyectiva

a∈ A

y g −1 ( a1 ) ≠ g −1 ( a2 ) ⇔ a1 ≠ a2  g ( b ) = a1 ya que si g −1 ( a1 ) = g −1 ( a2 ) ⇒ ∃b ∈ B /  ⇒ absurdo si a1 ≠ a2 por se g una  g ( b ) = a2 función. Por el teorema de elección podemos elegir un representante por cada clase que anotamos  g −1 ( a )  entonces definimos: f : A → B por f ( a ) =  g −1 ( a )  Por ser g sobre esta bien definida para todo a ∈ A y además es inyectiva ya que: f ( a1 ) = f ( a2 ) ⇒  g −1 ( a1 )  =  g −1 ( a2 )  ⇒ a1 = a2 - 12 -

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f es inyectiva.

Proposición 0.4 ( Teorema de Cantor ) Dado X un conjunto no vacío entonces: Card ( X ) < Card (P ( X ) ) Ya sabemos que Card ( X ) ≤ Card (P ( X ) ) Probaremos que Card ( X ) ≠ Card (P ( X ) ) para ello supongamos por absurdo que son iguales y por lo tanto existe una función: f : X → P ( X ) biyectiva Demostración

x → f ( x ) ∈P ( X ) Consideremos: B = { x ∈ X : x ∉ f ( x )} pero como B ⊆ X ⇒ B ∈P ( X ) ⇒ ∃u ∈ X / B = f ( u ) por ser f sobreyectiva entonces si u ∈ B ⇔ u ∉ f ( u ) ⇔ u ∉ B B= f (u )

Corolario Si N es el conjunto de los números naturales aplicando lo anterior Card ( • ) < Card (P ( • ) ) Proposición 0.5 (Teorema de Cantor-Bernstein) Dados dos conjuntos X e Y tales que: Card ( X ) ≤ Card (Y )   ⇒ Card ( X ) = Card (Y ) Card (Y ) ≤ Card ( X )  Demostración Como Card ( X ) ≤ Card (Y ) ⇒ ∃ una función h : X → Y inyectiva entonces si llamamos B = Im h la función h : X → B es biyectiva. Por otro lado Card (Y ) ≤ Card ( X ) ⇒ ∃ una función g : Y → X inyectiva y si llamamos A = Im g la función g : Y → A seria biyectiva. Sea f : X → X la composición f = iA o g o iB o h donde iA e iB son las correspondientes inclusiones. Claramente f es inyectiva por ser composición de funciones inyectivas.

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h X

B

iA

iB A

Y

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Queremos encontrar una función ϕ : X → A biyectiva para ello tomamos el conjunto C = A − f ( X ) ⇒ ( C U f ( X ) = A ) y el conjunto S = C U ( U i≥1 f i ( X ) ) con f n la composición de f consigo misma n veces. f ( S ) = f C U ( U i ≥1 f i ( C ) ) = f ( C ) U i ≥ 2 f i ( C ) = U i ≥1 f i ( C )

(

)

Luego S = C U f ( S ) definimos entonces a φ de la siguiente manera:  x si x ∈ S ϕ (x) =   f ( x ) si x ∈ X − S Por definición ϕ ( S ) = S y ϕ ( X − S ) = f ( X − S ) además es sobreyectiva ya que: ϕ ( X ) = ϕ ( S ) U ϕ ( X − S ) = S Uϕ ( X − S ) = C U f ( S ) U f ( X − S ) = C U f ( X ) = A Finalmente probaremos que es inyectiva, como ϕ |S y ϕ | X − S son inyectivas por definición, entonces bastará con ver que ϕ ( S ) y ϕ ( X − S ) son disjuntos, supongamos que no lo son, es decir que existe x ∈ S = C U f ( S ) tal que x = f ( x′ ) con x′ ∈ X − S ⇒ x ∉ f ( S ) por ser f inyectiva ya que si x ∈ f ( S ) ⇒ ∃x′′ ∈ S / f ( x′′ ) = x = f ( x′ ) ⇒ x′ = x′′ lo cual es absurdo por pertenecer a conjunto disjuntos. Pero si x ∉ f ( S ) ⇒ x ∈ C y por definición de C x ∉ f ( X ) lo que es una contradicción pues x era la imagen de un x’ por medio de f. La función ϕ así definida es una biyección y entonces Card ( X ) = Card ( A) = Card (Y ) ∴ Card ( X ) = Card (Y ) Definición 0.16 Dado un conjunto A decimos que es finito si es vacío o es coordinable con el conjunto {1,..., n} para algún n ∈ ¢ + . En caso contrario se dirá que el conjunto es infinito. Definición 0.17 Dado un conjunto A decimos que es numerable si es finito o de ser infinito es coordinable con el conjunto de los números naturales.  A finito A numerable ⇔  card ( A) = Card ( • ) Observación 3 P ( • ) es no numerable por ser Card ( • ) ≠ Card (P ( • ) ) Definición 0.18 Se dice que un subconjunto A de los números reales es inductivo si contiene el número 1, y si para todo x de x+1 también está en A. Sea A la familia de todos los subconjuntos inductivos de R. Entonces, el conjunto Z+ (números naturales) de enteros positivos se define de la forma. - 14 -

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Capítulo 0 ¢+ =

I

- 15 A

A∈A

Obsérvese que le conjunto R+ de los reales positivos es inductivo, pues contiene al 1, y la afirmación x > 0 implica x + 1 > 0 . Por lo tanto ¢ + ⊂ ° + y de esta forma los elementos de ¢ + son efectivamente positivos, tal y como la elección de la terminología sugiere. De echo se comprueba que 1 es el elemento más pequeño de ¢ + , ya que el conjunto de todos los números reales x para los cuales x ≥ 1 es inductivo. Las propiedades básicas de ¢ + , las cuales se deducen inmediatamente de la definición, son las siguientes: (1) ¢ + es inductivo. (2) (Principio de inducción ). Si A es un conjunto inductivo de enteros positivos entonces A = ¢ + . Proposición 0.6 (Principio del buen orden) Todo subconjunto no vacío de ¢ + tiene un mínimo. Demostración En primer lugar vamos a demostrar que, para cada n ∈ ¢ + , se verifica la siguiente afirmación: Todo subconjunto no vacío de {1,..., n} tiene un mínimo. Sea A el conjunto de todos los enteros positivos n para los cuales se cumple dicha afirmación. Entonces A contiene al 1, ya que si n = 1 , el único subconjunto no vacío de {1,..., n} es el propio {1} . Por tanto, suponiendo que A contiene a n, vamos a demostrar que también contiene a n + 1 . Sea C un subconjunto no vacío de {1,..., n + 1} . Si C está formado únicamente por n + 1 , entonces dicho elemento es el menor elemento de C . En caso contrario, consideremos el conjunto C I {1,..., n} , que es no vacío. Como n ∈ A , este conjunto tiene un mínimo que automáticamente será también el mínimo de C. Así A es inductivo, y podemos concluir que A = ¢ + ; y por lo tanto, la afirmación es cierta para todo n ∈ ¢ + . Ahora vamos a demostrar el teorema. Supongamos que D es un subconjunto no vacío de ¢ + . Elijamos un elemento n ∈ D . Entonces, el conjunto A = D I {1,.., n} es no vacío, y A tiene un mínimo k. El elemento k será también el mínimo de D. Proposición 0. 7 Todo los subconjunto de números naturales son numerables.

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 A = φ ⇒ es numerable Demostración Dado A ⊆ • si   A ≠ φ ⇒ ∃a1 = min {a ∈ A} por proposición 0.6  A = {a1} es finito ⇒ numerable si   A ≠ {a1} ⇒ ∃ a2 = min { A \ {a1} por proposición 0.6} Nuevamente  A = {a1 , a2 } finito ⇒ numerable Si   A ≠ {a1 , a2 } ⇒ ∃a3 = min { A \ {a1, a2 }} Y así sucesivamente  A = {a1 ,..., an } es finito ⇒ numerable Si   A ≠ {a1 ,..., an } ⇒ ∃an +1 = min { A \ {a1 ,..., an }} Sea ϕ : • → A tal que ϕ ( k ) = ak es una biyección ya que: ϕ ( k + 1) > ϕ ( k ) por elección ⇒ inyectiva Ahora si a ∈ A sea n = max {k : ak < a} ⇒ a = min { A \ {a1 ,..., an }} = an +1 = ϕ ( n + 1) Lo que quiere decir que ϕ es sobreyectiva. Proposición 0.8 Dado un conjunto A no vacío, es numerable si y solo sí: 1) Existe una función ϕ : A → • inyectiva o 2) Existe una función ψ : • → A sobreyectiva. Demostración: ⇒ Sea A numerable entonces puede suceder que A sea i) infinito ⇒ Card ( A ) = Card ( • ) ⇒ ∃ϕ : A → • biyectiva y por lo tanto inyectiva. ii) finito ⇒ hay una biyección ϕ 0 entre A y {1,..., n} entonces definimos: ϕ : A → • tal que: ϕ ( a ) = ϕ 0 ( a ) es inyectiva ⇐ Supongamos ahora que existe una función inyectiva ϕ : A → • lo que significa que ϕ : A → ϕ ( A ) es una biyección , y entonces Card ( A ) = Card (ϕ ( A ) ) pero como ϕ ( A ) ⊂ • ⇒ ϕ ( A ) es numerable por proposición anterior. Entonces si ϕ ( A ) es infinito ⇒ Card (ϕ ( A ) ) = Card ( • ) por definición y por transitiva Card ( A ) = Card ( • ) ⇒ por definición A es numerable. Si ϕ ( A ) es finito ⇒ ∃n ∈ • tal que Card (ϕ ( A ) ) = n por definición y por transitiva Card ( A) = n ⇒ por definición A es numerable. Corolario 0.9 Sea B un conjunto numerable y ϕ : A → B inyectiva entonces A es numerable. - 16 -

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Demostración Si B es numerable ⇒ por proposición anterior ∃ψ : B → • inyectiva entonces ψ o ϕ : A → • es inyectiva ⇒ A es numerable. Corolario 0.10 Si A es un conjunto numerable y ∃ψ : A → B sobreyectiva entonces B es numerable. Demostración Si A es numerable ⇒ ∃ϕ : • → A ψ o ϕ : • → B es sobreyectiva ⇒ B es numerable.

sobreyectiva entonces

Corolario 0.11 Si B es un conjunto numerable y A ⊂ B ⇒ A es numerable. Demostración Sea ϕ ≡ inclución ⇒ ϕ : A → B que es inyectiva entonces por corolario 0.9 ⇒ A es numerable. Proposición 0.12 • × • es numerable. Demostración Basta ver que la función ψ : • × • → • dada por: ψ ( m, n ) = 2 m.3n es inyectiva, por tanto • × • es numerable. Proposición 0.13 • ×24 • ...3 • es numerable. 14 j

Demostración Sean p1 ,..., p j primos distintos, entonces ψ : • × •...• → • donde n

ψ ( n1 ,..., n j ) = p1n1 ... p j j es inyectiva. Corolario 0.14 Sean A1 ,..., An conjuntos numerable ⇒ A1 × A2 × ... × An es numerable Demostración Para cada i = 1,..., n el que Ai sea numerable ⇒ ∃ϕi : Ai → • inyectiva. Entonces si definimos: ϕ : A1 × ... × An → • × ... × • por ϕ ( a1 ,..., an ) = (ϕ1 ( a1 ) ,..., ϕ n ( an ) ) queda naturalmente inyectiva. Y por lo tanto existe la función ψ o ϕ : A1 × ... × An → • inyectiva lo que implica que A1 × ... × An es numerable.

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Proposición 0.15 Sea I un conjunto numerable, y Ai un conjunto numerable ∀i ∈ I entonces

UA

i

es numerable.

i∈I

Demostración Como I es numerable ⇒ ∃ ϕ : • → I sobreyectiva y por ser Ai numerable ⇒ ∃ ψ i : • → Ai ∀i ∈ I definimos: J : • × • → U Ai i∈I

por J ( m, n ) = ψ ϕ ( m ) ( n ) entonces ∀a ∈ U Ai ⇒ a ∈ Ai0 para algún i0 ∈ I y como ϕ es sobre ⇒ ∃m ∈ • / i0 = ϕ ( m ) y i∈I

como a su vez ψ i0 es sobre ⇒ ∃n ∈ • / a = ψ i0 ( n ) luego: a = ψ i0 ( n ) = ψ ϕ ( m ) ( n ) = J ( m, n ) lo que significa que J es sobreyectiva ⇒ por ser • × • numerable ⇒ U Ai es i∈I

numerable. Ejemplo 0.5 § es numerable Sea I = {( m, n ) : con m ∈ •, n ∈ • − {0}} ⊂ • × • que es numerable por ser un subconjunto de uno numerable, entonces como: m §= U ( m , n )∈I n es numerable Ejemplo 0.6 Todo conjunto infinito tiene un subconjunto infinito numerable. Demostración Sea A un conjunto infinito. Sea x0 ∈ A, entonces A − x0 es infinito, entonces existe x1 ∈ A tal que x1 ≠ x0 y entonces como A − { x1 , x0 } es infinito, existe x2 ∈ A tal que x2 ≠ xi con i = 0,1 . En general, definimos { x0 , x1,..., xk } y tenemos que A − { x0 , x1,..., xk } es infinito así que existe xk +1 ∈ A tal que xk +1 ≠ xi con i = 0,1,..., k . Entonces la función f : • → A dada por f ( i ) = { xi } es una biyección entre • y { x0 , x1 ,..., xn ,...} ⊂ A por tanto dicho subconjunto de A es numerable que es al conjunto infinito numerable que buscábamos. - 18 -

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Ejemplo 0.7 Si A es infinito y B es numerable entonces A es coodinable con A U B Demostración Por la proposición de Cantor-Bernstein, basta encontrar una función inyectiva de A en A U B y otra inyectiva de A U B en A . Para la primera la inclusión es una función inyectiva inc : A → A U B ⇒ Card ( A ) ≤ Card ( A U B ) . Para encontrar una función inyectiva g : A U B → A . Como A es infinito (ver ejercicio 6) tiene un subconjunto infinito numerable que llamaremos C. Entonces como B y C son numerables C U B es numerable lo que implica Card ( C U B ) = Card ( • ) = Card ( C ) ⇒ C U B y C son coordinables luego existe una función g 0 : C U B → C biyectiva Consideremos la siguiente función: g : A U B → A dada por :  a si a ∈ A \ ( C U B ) g (a) =   g 0 ( a ) si a ∈ C U B  a si a ∈ A \ ( C U B ) ⇒a=b g (a) =   g 0 ( a ) si a ∈ C U B ⇒ g 0 ( a ) = b ⇒ que b ∈ C b si b ∈ A \ ( C U B ) ⇒ a = b por ser g 0 inyectiva g (b ) =  g b si b ∈ C U B  0( ) entonces g es inyectiva, y por tanto Card ( A U B ) ≤ Card ( A) luego son iguales y los conjuntos son coordinables. Ejemplo 0.8 Sea n un entero positivo. Sean A un conjunto y a0 un elemento de A. Entonces Card ( A ) = n + 1 ⇔ Card ( A − {a0 }) = n Demostración Tenemos que probar que existe una correspondencia biyectiva f entre A y el conjunto {1,..., n + 1} si, y solamente sí, existe una correspondencia biyectiva del conjunto A − {a0 } con {1,..., n} . Supongamos en primer lugar, que existe una correspondencia biyectiva g g : A − {a0 } → {1,..., n} Definimos entonces una función: f : A → {1,..., n + 1} de la forma: f ( x ) = g ( x ) si x ∈ A − {a0 } f ( a0 ) = n + 1 es claro que f es biyectiva. Recíprocamente: Supongamos que existe una correspondencia biyectiva : - 19 -

Topología General

Capítulo 0

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f : A → {1,..., n + 1} i) Si f asocia a0 al número n+1, todo es especialmente sencillo; en este caso, la restricción f | A−{a0} nos da la correspondencia biyectiva buscada entre A − {a0 } y

{1,..., n} . ii) En caso contrario sea f ( a0 ) = m y sea a1 el punto de A tal que n + 1 = f ( a1 ) . Entonces a1 ≠ a0 Definimos una nueva función: h : A → {1,..., n + 1} Mediante: h ( a0 ) = m h ( a1 ) = n + 1 h ( x ) = f ( x ) para x ∈ A − {a1 , a0 } De esta forma h es biyectiva y está comprendida en el caso i) luego la restricción h | A−{a0} es la biyección buscada entre A − {a0 } y {1,..., n} Ejemplo 0.9 Sea A un conjunto de cardinal n para algún n ∈ ¢ + . Sea B un subconjunto propio de A. Entonces el cardinal de B es distinto de n Si B ≠ φ Entonces existe algún m < n tal que el cardinal de B es m. Demostración Tenemos que probar que no existe biyección alguna g : B → {1,..., n} . Pero si B ≠ φ sí existe una biyección h : B → {1,..., m} para algún m < n . El caso de que B es vacío es trivial, ya que no puede existir una biyección entre el conjunto vacío B y un conjunto no vacío {1,..., n} . Demostraremos la afirmación por inducción. Sea C el subconjunto de ¢ + formado por aquellos entero n para los cuales la afirmación es cierta. Vamos a probar que C es inductivo ⇒ C = ¢ + y por lo tanto la afirmación es cierta para todo entero positivo. En primer lugar demostramos la afirmación para n = 1 .En este caso A está formado por un único elemento {a} y su único subconjunto propio B es el conjunto vacío. Supongamos ahora que el teorema es cierto para n; vamos a ver que también lo es para n + 1 Sea f : A → {1,..., n + 1} una biyección y sea B un subconjunto propio no vacío de A. Elegimos un elemento a0 de B y un elemento de a1 de A − B y aplicando lo del ejemplo anterior, podemos deducir que existe una biyección: g : A − {a0 } → {1,..., n} Por otro lado, B − {a0 } es un subconjunto propio de A − {a0 } , ya que a1 pertenece a A − {a0 } y no a B − {a0 } . Como la afirmación se supone cierta para el entero n, podemos concluir lo siguiente: - 20 -

Topología General

Capítulo 0

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1) No existe ninguna biyección h : B − {a0 } → {1,..., n} 2) Bien B − {a0 } = φ , bien existe una biyección k : B − {a0 } → {1,..., p} para algún p < n El ejercicio anterio junto 1), implica que no existe ninguna biyección entre B y {1,..., n + 1} Esto completa la primera mitad del resultado al que queremos llegar. Para demostrar la segunda parte, obsérvese que si B − {a0 } = φ , existe una biyección entre B y el conjunto {1} , mientras que si B − {a0 } ≠ φ , podemos aplicar lo del ejercicio anterior, junto con 2) , para concluir que existe una biyección entre B y {1,..., p + 1} . En cualquiera de los casos, va a existir una biyección de B con {1,..., m} para algún m < n + 1 , tal como se buscaba. El principio de inducción demuestra que la afirmación es cierta para todo n ∈ ¢ + . Ejemplo 0.10 Si A es un conjunto finito, no existe ninguna biyección de A con un subconjunto propio de sí mismo. Demostración Supongamos que B es un subconjunto propio de A y que f : A → B es una biyección. Por hipótesis existe una biyección g : A → {1,..., n} para algún n. La composición g o f −1 es, por tanto, una biyección entre B y {1,..., n} . Esto contradice la afirmación del ejemplo anterior Ejemplo 0.11 Un conjunto es infinito si y solo sí es coordinable con un conjunto propio. Demostración Sea A un conjunto infinito, primero observemos que por el ejemplo 6 tiene un subconjunto infinito numerable que llamamos B. Sea C = A − B entonces hay tres posibilidades: 1) Que C = φ Quiere decir que A = B y como B es numerable por construcción ⇒ A numerable ⇒ Card ( N ) = Card ( A ) pero ya vimos que todo subconjunto (propio) de una numerable es numerable ⇒ si A′ ‹ A ⇒ Card ( A′ ) = Card ( • ) ⇒ que A y A’ son coordinables 2) Que C sea finito ≠ φ . Si C es finito entonces A = C U B por ser unión de dos numerables es numerable ⇒ Card ( A ) = Card ( • ) = Card ( B ) es decir que A es coordinable con el conjunto B ‹ A 3) Que C sea infinito, como B es numerable ⇒ (ver ejemplo 7) que C es coordinable con C U B = A . Recíprocamente Sea A un conjunto coordinable con un subconjunto propio. - 21 -

Topología General

Capítulo 0

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Si A fuera finito tenemos una contradicción con lo probado en el ejemplo 10 luego A tiene que ser infinito. Proposición 0.16 El conjunto de las partes finitas de los naturales que anotamos PF ( • ) es numerable. PF ( • ) = { A ⊂ • : A es finito} Demostración Definimos: Pn ( • ) = { A ⊂ • : Card ( A ) = n} entonces PF ( • ) = U Pn ( • ) n∈•

alcanza con probar que ∀n ∈ • Pn ( • ) es numerable y para ello definimos la siguiente función: ϕ n : Pn ( • ) → • n como sigue: Si A∈Pn ( • ) entonces A = {ai1 , ai2 ,..., ain } y definimos ϕ n como la función que a cada n-upla le corresponde la n-upla ordenada en forma creciente, es decir: ϕ n ( A ) = ( a1 ,..., an ) con a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an Claramente ϕ n es inyectiva ya que si A y B son conjuntos con n elementos ϕ n ({ai1 ,..., ain }) = ( a1 ,..., an ) con a1 ≤ ... ≤ an ϕ n ({bi1 ,..., bin } ) = ( b1,..., bn ) con b1 ≤ ... ≤ bn entonces

( a1 ,..., an ) = ( b1 ,..., bn ) ⇒ {ai ,..., ai } = {bi ,..., bi } o sea A = B y como • n es numerable ⇒ Pn ( • ) es numerable ⇒ la unión 1

n

1

n

numerable de numerables es numerable por la proposición anterior. ⇒ PF ( • ) es numerable Corolario 0.17 Las partes finitas de un conjunto A numerable es numerable. PF ( A ) = { X ⊂ A : X es finito} Demostración igual que el teorema definimos: Pn ( A ) = { X ⊂ A : Card ( X ) = n} y ϕ n : Pn ( A ) → An inyectiva - 22 -

Topología General

Capítulo 0

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como An es numerable ⇒ Pn ( A ) es numerable y como la unión de una cantidad numerable I de conjuntos numerables es numerable. PF ( A ) = UPn ( A ) (e I ⊂ • ⇒ I numerable) n∈I

es numerable. Corolario 0.18 Las partes infinitas de los naturales es no numerable P∞ ( • ) = { A ⊂ • : A es infinito} Demostración Si fuera numerable como: P ( • ) = PF ( • ) U P∞ ( • ) sería numerable Y ya vimos que es no numerable. De la anterior proposición se desprende que el cardinal de las partes infinitas de los naturales (conjunto potencia de los naturales ) no es igual al de los naturales y lo que demostraremos a continuación es que dicho cardinal es igual al cardinal de los números reales. Pero con dicho propósito antes demostraremos algunos teoremas previos. El primero de ellos hace referencia a la posibilidad de escribir cualquier número real entre 0 y 1 como una serie. Dependiendo de una sucesión de ceros y unos (notación binaria del real en cuestión) Lema 1 Sea t ∈ ( 0,1] entonces existe una sucesión {ak : k ≥ 1} donde ak ∈ {0,1} para todo k y tal que: ∞ a t = ∑ kk k =1 2 salvo que para algunos reales esa descomposición no es única Por ejemplo. 1 1 5 0 + 22 + 0 + 24 = 16 0 + 212 + 0 + 0 + 215 + 216 + ... + 21n + ... Hay dos formas de elegir la sucesión 0,1, 0,1,0, 0, 0, 0,.... pero una de ellas es finita. Es decir: {ak } =   0,1, 0,0,1,1,1,1,1,... ∞ ∞ a b Si t = ∑ kk = ∑ kk con ak , bk ∈ {0,1} y {ak } ≠ {bk } ⇒ no son la misma sucesión k =1 2 k =1 2 ⇒ que existe n0 tal que: - 23 -

Topología General

Capítulo 0

- 24 n0 6 474 8 {ak } = ...........1, 0, 0, 0, 0.....

ak = 0 ∀k > n0 y bk = 1 ∀k > n0  o b = 0 ∀k > n y a = 1 ∀k > n  k 0 k 0

{bk } = ...........0,1,1,1,1,1,..... ⇒

o n0 6 474 8 {ak } = ...........0,1,1,1,1,1,....

{bk } = ............1,0,0,0,0,.... Demostración Si 0 < t < 12 se define a1 = 0 Si 12 ≤ t ≤ 1 se define a1 = 1 En ambos caso se verifica: a 1 0≤t− 1 ≤ 2 2 ahora definimos a2  0 si 0 ≤ t − a1 < 1  2 4 a2 =  1 si 1 ≤ t − a1 ≤ 1  4 2 2 entonces en ambos casos: a a 1 0 ≤ t − 1 − 22 ≤ 2 2 2 2 Y así sucesivamente tenemos a1 , a2 ,..., an ∈ {0,1} tales que: n a 1 0 ≤ t − ∑ kk ≤ n 2 k =1 2 se define an+1 como: n ak 1  0 si 0 ≤ t − < n+1 ∑ k  2 k =1 2 an+1 =  n 1 si 1 ≤ t − ak ≤ 1 ∑ k  2 n+1 2n k =1 2

en ambos casos: ak 1 ≤ n +1 k 2 k =1 2 { n +1

0≤t −∑

→0

por lo tanto ∞ ak a t − ∑ k → 0 ⇒ t = ∑ kk k =1 2 k =1 2 - 24 n +1

Topología General

Capítulo 0

Lema 2 Si {an } ≠ {bn } y

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∞ ak bk = = t entonces tenemos que probar que existe ∑ ∑ k k k =1 2 k =1 2 ∞

n0 tal que: bk = 1 ∀k > n0 y ak = 0 ∀k > n0  o b = 0 ∀k > n y a = 1 ∀k > n  k 0 k 0 Demostración Sea n0 = min {k : ak ≠ bk } se puede suponer sin perder generalidad que an0 = 1 y bn0 = 0

Sea

a1 P b1

=1 } ....... an0 .....

a2 P , b2 ....... bn0 ..... { =0

Tenemos que: n0 −1

=0 } bn0

∞ bk bk b = ∑ k + n0 + ∑ kk = ∑ k 2 k =1 2 k =1 2 k = n0 +1 2 ∞

bk ≤1 ∞ ∞ ak bk } n0 −1 ak 1 = ∑ k + ∑ k ≤↓ ∑ k + ∑ k k =1 2 k = n0 +1 2 (1) k =1 2 k = n0 +1 2 n0 −1

n0 −1

n0 ∞ ak 1 ak ak + = ≤ = ∑ n0 k k ↓ ∑ k 2 2 2 = 1 = 1 k =1 2 k k (2) {

=∑

=

an 0 2n0

bk k k =1 2 Lo que implica que todas las desigualdades son igualdades y entonces: (1) ⇒ bk = 1 ∀k > n0 ∞

=∑

( 2 ) ⇒ ak = 0 ∀k > n0 Si hubiésemos supuesto que era an0 = 0 y bn0 = 1 hubiéramos llegado a: bk = 0 ∀k > n0 ak = 1 ∀k > n0

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Topología General

Capítulo 0

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Lema 3 Card ( ( 0,1]) = Card (P∞ ( • ) ) Demostración Para la demostración lo que haremos es definir una función biyectiva entre dichos conjuntos. Para ello usamos los lemas 1 y 2 que quieren decir que todo número entre 0 y 1 se escribe en notación binaria como una sucesión infinita de ceros y unos. A este número binario le asociamos el conjunto de los índices correspondientes a los lugares en que lleva un uno su desarrollo binario. Que claramente es un subconjunto de las partes infinitas de los números naturales. Consideremos la siguiente función: ϕ : ( 0,1] → P∞ ( • ) definida de la siguiente forma: Si t ∈ ( 0,1] entonces existe una única sucesión {ak } tal que {k : ak = 1} es infinito siendo ∞ a t = ∑ kk k =1 2 Siempre hay una ya que si hay una finita tal que: n a t = ∑ kk , an = 1 k =1 2 definimos ∞ b = ak ∀k < n b t = ∑ kk donde k bn = 0 , bk = 1 ∀ k > n k =1 2 definimos: ϕ ( t ) = {k : ak = 1} ∈P∞ ( • ) Por ejemplo: 5 1 1 =0+ 2 +0+ 4 16 2 2 ⇒ ϕ ( t ) = {2,5,6,7,8,.....} 5 1 1 1 1 ∞ 1 1 1 = 0 + 2 + 0 + 0 + 5 + 6 + ... = + ∑ k = + 4 16 2 2 2 4 k =5 2 4 2 ϕ es inyectiva ya que si ϕ ( t ) = ϕ ( s ) sea {ak } tal que: ∞ ak = 1 si k ∈ ϕ ( t ) a ⇒ t = ∑ kk = s ak = 0 si k ∈ ϕ ( t ) k =1 2 además es sobreyectiva ya que si A ∈P∞ ( • ) sea {ak } tal que: ∞ ak = 1 si k ∈ A a y sea t = ∑ kk ak = 0 si k ∉ A k =1 2 ∞ ∞ a 1 1 Como los ak son infinitos ⇒ ak ≤ 1 ∀k ∈ • ⇒ ∑ kk ≤ ∑ k = 2 = 1 es decir que 1 k =1 2 k =1 2 2 la serie converge en (0,1] ⇒ t ∈ ( 0,1] ⇒ A = ϕ ( t ) . - 26 -

Topología General

Capítulo 0

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Proposición 0.19 El cardinal del conjunto potencia de los naturales es el del continuo. Es decir Card ( ° ) = Card (P ( • ) ) Demostración Primero se demuestra que Card ( ° ) = Card ( ( 0,1]) por medio de una función apropiada; por ejemplo por medio de la función y = tan x que es biyectiva para x ∈ ( − π2 , π2 ) se tiene que: Card ( ° ) = Card ( − π2 , π2 ) Luego por medio del segmento de recta Card ( ( − π2 , π2 ) ) = Card ( ( 0,1]) Por el ejemplo 0.7 se tiene que un conjunto es infinito si, y solamente sí, es coordinable con un subconjunto propio ⇒ P ( • ) es infinito ⇒ Card (P ( • ) ) = Card (P∞ ( • ) ) Ya que P∞ ( • ) ‹ P ( • ) y como por la proposición anterior: Card ( ( 0,1]) = Card (P∞ ( • ) ) Card ( ( 0,1]) = Card (P ( • ) )   y  ⇒ Card ( ° ) = Card (P ( • ) )  Card ( ( 0,1]) = Card ( ° )  Ejemplo practico Sea la familia de intervalos de extremos racionales F F = {[ a, b ] : a, b ∈ §} Definimos la función ϕ : F → § × § de la siguiente manera: ϕ ([ a, b ] ) = ( a, b ) ∈ § × § Es decir que a cada intervalo de extremos a,b le asociamos la pareja ordenada (a,b) Dicha función es inyectiva ya que - 27 -

Topología General

Capítulo 0

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a ≠ a′  [ a, b ] ≠ [ a′, b′] ⇒  o ⇒ ( a, b ) ≠ ( a′, b′ ) ⇒ ϕ ([ a, b]) ≠ ϕ ([ a′, b′])  b ≠ b′  y como § es numerable ⇒ que el producto cartesiano § × § es numerable Tenemos una función inyectiva del conjunto F a un conjunto numerable, como la función es biyectiva sobre su imagen, que es un subconjunto de uno numerable, luego numerable; entonces como podemos definir una biyección de F a un conjunto numerable, este F es numerable.

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Capítulo 1 Espacios Métricos Definición 1.1 Sea E un conjunto no vacío una distancia o métrica es una función d : E × E → ° tal que verifica: 1) d ( x, y ) ≥ 0 ∀x, y ∈ E 2) d ( x, y ) = 0 ⇔ x = y 3) d ( x, y ) = d ( y, x ) ∀x, y ∈ E 4) d ( x, z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y, z ) ∀x, y,z ∈ E desigualdad triangular Al par ( E , d ) le llamamos espacio métrico Definición 1.2 Sea E en las mismas condiciones que antes pero sin la propiedad 2, es decir se puede dar el caso en que la distancia es cero y no se trate de la identidad, llamamos en dicho caso seudo distancia o seudo métrica. Ejemplo 1.1 Si E = ° y d ( x, y ) = x − y es una métrica. Ejemplo 1.2 Sea E = ° n x = ( x1 ,..., xn ) , y = ( y1, ..., yn ) entonces podemos definir la siguiente distancias 1) Distancia taxi n

d1 ( x, y ) = ∑ xi − yi i =1

2) Distancia euclidiana

3) Distancia del máximo

 n 2 d 2 ( x, y ) =  ∑ ( xi − yi )   i =1 

1

2

Topología General

Capítulo 1

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d ∞ ( x, y ) = max i =1,...,n { xi − yi } Ejemplo 1.3 Distancia discreta Dado E ≠ φ definimos 0 si x = y d ( x, y ) =  1 si x ≠ y fácilmente se comprueba que es una métrica. Ejemplo 1.4 Distancia indiscreta Dado E ≠ φ definimos d ( x, y ) = 0 ∀x, y ∈ E Ejemplo 1.5 Sea E = C ° [ a, b ] = { f : [ a, b ] → ° / f es continua} entonces definimos la distancia que llamamos distancia infinito o del supremo de la siguiente manera: d ∞ ( f , g ) = sup x∈[ a ,b] { f ( x ) − g ( x ) } Cumple con las propiedades 1,2, 3 ∀x ∈ [ a, b ] y f , g , h ∈ C° [ a, b ] la propiedad 4 se tiene f ( x) − g ( x) = f ( x) − h ( x) + h( x) − g ( x) ≤ f ( x) − h ( x) + h( x) − g ( x) y los supremos también cumplen dicha desigualdad luego se cumple la desigualdad triangular La distancia del supremo se puede definir para el espacio de las funciones continuas en el intervalo [ a, b ] siendo f : [ a, b] → £ (complejos) representamos dicho conjunto como C [ a, b ] . Sea E = Cb ( ° ) = { f : ° → £ cont. y acotadas} = Cb ,° ( ° ) = { f : ° → ° cont. y acotadas} Definimos la distancia igual que antes: d ( f , g ) = sup x∈° { f ( x ) − g ( x ) } Dicha definición es consistente ya que: Si f ( x ) es tal que f ( x ) ≤ M1 ∀x ∈ ° y g ( x ) tal que g ( x ) ≤ M2 ∀ x ∈ ° Entonces f ( x ) − g ( x ) ≤ f ( x ) + g ( x ) ≤ M 1 + M 2 ∀x ∈ ° y esto implica que f ( x ) − g ( x ) está acotado ⇒ tiene supremo

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Topología General

Espacios Métricos

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Observación 1.1 Para un mismo conjunto podemos tener distintos espacios métricos asociados, según la métrica que estemos considerando, así si la métrica es la indiscreta al espacio llamamos indiscreto, si la métrica es la discreta al espacio llamamos discreto, si la métrica que estamos considerando es la euclidea al espacio llamamos euclideo. Definición 1.3 Sea V un espacio vectorial sobre K ( ° o £ ) una norma sobre el espacio vectorial es una función :V → ° que cumple con las siguientes propiedades: 1) x ≥ 0 ∀x ∈ V y x = 0 ⇔ x ≡ 0 2) λ x = λ x ∀λ ∈ K , y ∀x ∈ V 3) x + y ≤ x + y ∀x, y ∈ V Definición 1.4 Tenemos un espacio vectorial normado cuando sobre el espacio vectorial tenemos definida una norma. Ejemplo 1.6 El producto interno

,

en V nos define una norma mediante la siguiente relación: x = ( x, x

)

1

2

Observación 1.2 Todo espacio V vectorial normado se transforma en un espacio métrico por medio de la distancia definida de la siguiente forma: d ( x, y ) = x − y ∀x, y ∈ V Demostración d ( x, y ) = y − x ≥ 0 por definición de norma d ( x, y ) = 0 ⇒ y − x = 0 ⇔ y − x = 0 ⇔ x = y d ( x, y ) = y − x = − ( x − y ) = −1 x − y = x − y = d ( y, x ) d ( x, z ) = z − x = z − y + y − x ≤ z − y + y − x = d ( y, z ) + d ( x, y ) Definición 1.5 Sea x ∈ ° n x = ( x1 ,..., xn ) definimos las siguientes tres normas: 1) n

x 1 = ∑ xi i =1

2)  n 2 x 2 =  ∑ xi   i =1  - 31 -

1

2

Topología General

Capítulo 1

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3) x ∞ = max { xi : i = 1,..., n} Todos son normas que inducen las respectivas distancias d1 , d 2 , d∞ con la igualdad. d ( x, y ) = y − x Ejemplo 1.7 £ [ a, b ] es un £ espacio vectorial con las operaciones punto a punto o sea si f , g ∈ £ [ a, b ] definimos :( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x )

( λ f )( x ) = λ f ( x ) entonces: f = sup x∈[a ,b] { f ( x ) } es una norma en £ [ a, b ] que induce la distancia habitual. La misma vale en £ ° [ a, b ] , £ b (° ) , £ b ,° ( ° ) Sea l1 el conjunto de las sucesiones complejas { xn } l1° el conjunto de las sucesiones reales . Tales que

∑x

n

< ∞ (convergen)

1

l es un espacio vectorial con las operaciones x = { xn } ∈ l1 y = { yn } ∈ l1 λ ∈£ como

( x + y ) n = xn + yn ( λ x ) n = λ xn

∑x

n

+ yn ≤ ∑ x n + ∑ y n < ∞

y

∑ λx

n

=λ

∑x

n

0 llamamos bola abierta de centro x y radio ε al siguiente conjunto: Bε ( x ) = { y ∈ E : d ( x, y ) < ε } Que también anotamos B ( x, ε ) Ejemplo 1.9 En ° n

Bεl1 ( x )

Bεl2 ( x )

Bεl∞ ( x )

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Topología General

Capítulo 1

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Si tomamos las funciones continuas en [ a, b ] , C° [ a, b ] , f ∈ C° [ a, b ]

Bε ( f ( x ) ) = { g ∈ C° [ a, b ] : max x∈[ a ,b] f ( x ) − g ( x ) < ε } f +ε f

f −ε a b Si g ∈ Bε ( f ( x ) ) ⇒ ∀x ∈ [ a, b ] f ( x ) − g ( x ) < ε y el gráfico de g cae en la zona rayada limitad por f + ε y f − ε . Ejemplo 10 Espacio discreto Sea ( E , d ) con la distancia discreta es el espacio que llamaremos discreto, es decir: 1 si x ≠ y d ( x, y ) =  0 si x = y Sea B ( x, 2 ) = { y ∈ E : d ( x, y ) < 2} = E ∴ B ( x, ε ) = E si ε > 1 Sea B ( x,1) = { y ∈ E : d ( x, y ) < 1} = { x} ∴ B ( x, ε ) = { x} si ε ≤ 1 Es decir que las bolas son todo el espacio o los puntos. Proposición 1.1 Dado una espacio métrico ( E , d ) , x ∈ E , ε > 0 ,sea la bola B ( x, ε ) . Si y ∈ B ( x, ε ) entonces : ∃δ > 0 tal que B ( y, δ ) ⊂ B ( x, ε ) Demostración Sea δ ≤ ε − d ( x, y ) entonces Si z ∈ B ( y, δ ) ⇒ d ( x, z ) ≤ d ( x, y ) + d ( y, z ) 123 0, sea B F ( x, ε ) la bola con la métrica relativa y sea: B E ( x, ε ) la bola con la métrica en E entonces: B F ( x, ε ) = B E ( x, ε ) I F Ya que: B F ( x , ε ) = { y ∈ F : d ( x , y ) < ε } = { y ∈ E : d ( x, y ) < ε } I { y ∈ F } Ejemplo 1.11 Así por ejemplo si en R con la métrica habitual F = [ 0,1) Si x ∈ [ 0,1) B F ( 0, 1 2 ) = [0, 1 2 ) y B ° ( 0, 1 2 ) = ( − 1 2 , 1 2 ) Entonces: [ 0, 1 2 ) = [ 0,1) I ( − 1 2 , 1 2 ) Definición 1.8 Sea ( E , d ) un espacio métrico y A ⊂ E no vacío, decimos que A es un conjunto abierto si: ∀x ∈ A ∃ε x > 0 tal que B ( x, ε x ) ⊂ A En el caso que A es vacío lo definimos como abierto. Corolario 1.2 Las bolas abiertas en un espacio métrico cualquiera son conjuntos abiertos Demostración Es consecuencia inmediata de la proposición anterior. Ejemplo 1.12 En los espacios discretos todo conjunto A ⊂ E es abierto ya que si x ∈ A entonces: B ( x,1) = { x} ⊂ A Ejemplo 1.13 En

£ ° [ 0,1] A = { f ∈ £ ° [0,1] : f ( 0 ) > 0}

si

f ∈A

tomando

ε=

tenemos B ( f , ε ) ⊂ A ya que si g ∈ B ( f , ε ) ⇒ por definición que: max x∈[ 0,1] { f ( x ) − g ( x ) } < ε (en particular) ⇒ f ( 0 ) − g ( 0 ) < ε - 35 -

f (0) >0 2

Topología General

Capítulo 1

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o sea −ε < f ( 0 ) − g ( 0 ) < ε f (0) − ε < g (0) y si tomamos f (0) f (0) ε= ⇒0< < g ( 0 ) ⇒ g ∈ A por definición de A luego 2 2 B ( f ,ε ) ⊂ A Proposición 1.3 Sea ( E , d ) un espacio métrico entonces se cumplen las siguientes propiedades: 1) E y φ son abiertos 2) Si { Aα }α∈I es una familia de subconjuntos abiertos de E entonces: ⇒ U Aα es abierto α∈I

3) Si A1 , A2 ,..., An son una cantidad finita de subconjuntos abiertos de E entonces: n

IA

k

es abierto

k =1

Demostración 1) B ( x, ε ) ⊂ E ∀x ∈ E , ε > 0 ⇒ E es abierto φ es abierto por definición . 2) Si x ∈ U Aα ⇒ ∃α 0 ∈ I tal que x ∈ Aα0 que es abierto, luego α ∈I

∃ε > 0 tal que B ( x, ε ) ⊂ Aα0 ⇒ como Aα0 ⊂ U Aα ⇒ B ( x, ε ) ⊂ U Aα o sea que

UA

α

α ∈I

α ∈I

es abierto

α∈I n

3) Si x ∈ I Ak ⇒ x ∈ Ak con Ak abierto ∀k = 1,..., n ⇒ ∃ε k tal que B ( x, ε k ) ⊂ Ak sea k =1

n

ε = min {ε k : k = 1,..., n} ⇒ B ( x, ε ) ⊂ B ( x, ε k ) ⊂ Ak ∀k = 1,..., n ⇒ B ( x, ε ) ⊂ I Ak k =1

n

∴ I Ak es abierto k =1

Proposición 1.4 Sea ( E , d ) un espacio métrico y A ⊂ E no vacío entonces A es abierto si y solo sí, es unión de bolas abiertas.

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Topología General

Espacios Métricos

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Demostración ⇐ ya vimos que la unión de bolas abiertas es un conjunto abierto. ⇒ Si A es abierto ⇒ si x ∈ A ∃B ( x, ε x ) ⊂ A y nos tomamos:

U B ( x, ε

x

)⊂ A

x∈A

además como si x ∈ A ⇒ x ∈ B ( x, ε x ) ⇒ x ∈ U B ( x, ε x ) x∈ A

⇒ A ⊂ U B ( x, ε x ) x∈ A

∴ A = U B ( x, ε x ) x∈A

es decir que

A es abierto ⇔ A = U B ( x, ε x ) x∈ A

Proposición 1.5 Sea ( E , d ) un espacio métrico y un F ⊂ E subconjunto, A ⊂ F es abierto con la métrica relativa ( abierto en F) si y solo sí A = U I F donde U es abierto en E. Demostración Se sabe que B F ( x, ε ) = B E ( x, ε ) I F ∀x ∈ F , ε > 0 Si A es abierto en F ⇒ A = U B F ( xα , εα ) por teorema anterior α ∈I E

A = U ( B ( xα , εα ) I F ) = U B E ( xα , εα ) I F α ∈I α ∈I 14 4244 3 =U abierto en E

luego A = U I F con U abierto en E ⇐ Si U ⊂ E es abierto ⇒ U = U B E ( xα , εα ) ⇒ α ∈I

A = U I F = U B ( xα , εα ) I F = U ( B E ( xα , εα ) I F ) = U B F ( xα , εα ) que es abierto E

α ∈I

α ∈I

α ∈I

en F. Ejemplo 1.14 Sea E = ° con la métrica habitual y F = [0,1) U ( 2,3) A = [ 0,1) es abierto en F ya que

0

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1

2

3

Topología General

Capítulo 1

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A = ( −1,1) I F { abierto en E

( 2,3) es abierto ya que 2,3) I F ( 2,3) = ({ abierto en E

Definición 1.9 Sea ( E , d ) un espacio métrico y el subconjunto A ⊂ E se dice que A es cerrado si AC es abierto ( AC = E \ A ). Ejemplo 1.15 Como en el ejemplo anterior [ 0,1) es abierto en F y su complemento que es ( 2,3) es por definición es cerrado. Al igual que el complemento de ( 2,3) que es [ 0,1) ambos son abiertos y cerrados es decir abierto no es oposición de cerrado. Proposición 1.6 Sean d1 y d2 dos métricas en E las siguientes afirmaciones son equivalentes. 1) Todo abierto en ( E , d1 ) es abierto en ( E , d 2 ) 2) Dados ε > 0, x ∈ E existe δ > 0 tal que B d2 ( x, δ ) ⊂ B d1 ( x, ε ) Demostración 1) ⇒ 2) B d1 ( x, ε ) es abierto con d1 ⇒ que es abierto con d2 ⇒ por definición de abierto Si x ∈ B d1 ( x, ε ) ⇒ ∃δ > 0 tal que B d2 ( x, δ ) ⊂ B d1 ( x, ε ) como se quería. 2) ⇒ 1) Sea A ⊂ E abierto en ( E , d1 ) lo que quiere decir por definición que: para cada elemento x de A ∃ε x > 0 tal que B d1 ( x, ε a ) ⊂ A y además ya vimos que

A = U B d1 ( x, ε x ) x∈A

entonces aplicando la hipótesis 2) para cada x ∈ A ∃δ x > 0 tal que B d2 ( x, δ x ) ⊂ B d1 ( x, ε x ) entonces

⇒ U B d2 B ( x, δ x ) ⊂ U B d1 ( x, ε x ) = A x∈ A

x∈A

por otro lado - 38 -

Topología General

Espacios Métricos

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∀x ∈ A ⇒ x ∈ B d2 ( x, δ x ) ⇒ A ⊂ U B d2 ( x, δ x ) x∈ A

luego

A = U B d 2 ( x, δ x ) x∈ A

lo que quiere decir que A es abierto en ( E , d 2 ) . Este teorema nos lleva a realizar las siguientes definiciones. Definición 1.10 Dos métricas d1 y d2 en un mismo conjunto E decimos que son métricas equivalentes si : A ⊂ E es abierto en d1 ⇔ es abierto en d 2 Ejemplo 1.16 Las métricas d1 , d 2 y d ∞ son equivalentes en ° 2 Demostración Dado ε > 0 ∃δ = ε tal que ∀x ∈ ° 2

B d 2 ( x, ε ) B d1 ( x, ε )

x

B d1 ( x, δ ) ⊂ B d 2 ( x, ε ) y ∈ B d1 ( x, δ ) ⇒ d1 ( x, y ) < δ Ya que si

y− x 0, x ∈ ° n δ = > 0 tal que B d 2 ( x, δ ) 2 B d2 ( x, δ ) ⊂ B d1 ( x, ε ) ya que si y ∈ B d2 ( x, δ ) ⇒ d 2 ( x, y ) < δ

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x

Topología General

Capítulo 1

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ε entonces se prueba analíticamente que 2 y1 − x1 + y2 − x2 < ε ⇒ d1 ( x, y ) < ε ⇒ y ∈ B d1 ( x, ε ) como queríamos demostrar. Observando lo que probamos es que dado un cuadrado podemos encontrar una bola dentro del mismo como en la figura Luego los abiertos en ( E , d1 ) son abiertos en ( E , d 2 ) ∴ d1 : d 2 en ° 2 en ° n es totalmente análogo. Análogamente se demuestra que d 2 : d ∞ o d1 : d ∞ ya que se puede inscribe un cuadrado en una circunferencia o en un cuadrado. 2

2

d 2 ( x, y ) = ( y1 − x1 ) + ( y2 − x2 ) < δ =

B d2 B d∞

B d∞ B d1

Ejemplo 1.17 Si E = ¢ y sea d1 la distancia relativa a la euclidea y d 2 la métrica discreta. {n} es abierto en ¢ con d 2 ya que: B d2 ( x, ε ) = { x} si ε < 1 pero también es abierto con d1 ya que: n − 12 , n + 12 ) I ¢ {n} = (14 4244 3 abierto en °

Si A ⊂ ¢ y A ≠ φ A = U {a} es abierto por ser unión de abiertos. a∈ A

Entonces los abiertos con d1 son todos los subconjuntos de ¢ , y con d 2 también. Por la tanto d1 , y d 2 son métricas equivalentes. Ejemplo 1.18 Sean ( E , d E ) y ( F , d F ) dos espacios métricos y d1 , d 2 y d ∞ las métricas en E × F dadas por: - 40 -

Topología General

Espacios Métricos

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d1 [( e, f ) , ( e′, f ′ )] = d E ( e, e′ ) + d F ( f , f ′ ) 1

2 2 d 2 [( e, f ) , ( e′, f ′ )] = ( d E ( e, e′ ) ) + ( d F ( f , f ′ ) )  2 d ∞ [( e, f ) , ( e′, f ′ )] = max {d E ( e, e′ ) , d F ( f , f ′ )} es fácil ver de que se trata de distancias métricas, vamos a probar de que son equivalentes.

Bεd1 ( e, f ) ⊂ Bεd∞ ( e, f ) ya que si d E + d F < ε cada una es menor que ε y Bεd2 ( e, f ) ⊂ Bεd∞ ( e, f ) ya que si:

B d1 B d∞ 1

 ( d E ( e, e′ ) ) 2 + ( d F ( f , f ′ ) ) 2  2 < ε   2 2 ⇒ ( d E ( e, e′ ) ) + ( d F ( f , f ′ ) ) < ε 2 ( d E ( e, e′ ) )2 < ε 2 ⇒ d E ( e, e′ ) < ε ⇒ cada uno es menor que ε ⇒  2 2 ( d F ( f , f ′ ) ) < ε ⇒ d F ( f , f ′ ) < ε O sea que si x ∈ Bεd2 ⇒ x ∈ Bεd∞ 2

Por otro lado Bεd2∞ ( e, f ) ⊂ Bεd1 ( e, f ) ya que si d E y d F < ε ⇒ dE + dF < ε

B d1 2 B d∞

y Bεd∞ ( e, f ) ⊂ Bεd2 ( e, f ) ya que: 2

1

 2   1 2 2 2  d E ( e, e′ ) ) + ( d F ( f , f ′ ) )  < ( ε 2 ) 2 = ε  ⇒ (14243 14 4244 3 dF ( f , f ′) < ε  2 2  0 tal que: B ( x, ε ) ⊂ U ⇒ B ( x, ε ) ⊂ N Ejemplo 2.8 Sea ( X ,τ ) el espacio topológico discreto N ∈ Nx ⇔ x ∈ N Ejemplo 2.9 Sea ( X ,τ ) espacio topológico indiscreto, los abiertos ya vimos que son φ y todo X entonces: N x = { x} Ejemplo 2.10 Sea ( ¢,τ ) con τ = { A ⊂ ¢ : 2n ∈ A ⇔ 2n − 1 ∈ A} {1, 2} ∈ N 2   ⇒ N 2 = { A ⊂ ¢ : {1, 2} ⊂ A} {1, 2,3} ∈ N 2  Ejemplo 2.11 Sea ( X ,τ ) con τ topología de complementos finitos. Sean x ∈ X entonces: si N ∈ N x ⇒ existe U ∈ τ tal que x ∈U ⊂ N C C entonces N C ⊂ U { ⇒ N es finito ⇒ N ∈ τ es decir: finito

N x = {U ∈ τ : x ∈ U } Proposición 2.1 Sea ( X ,τ ) es un espacio topológico, x ∈ X entonces: 1) N ∈ N x y N ⊂ M ⇒ M ∈ N x 2) Si N , M ∈ N x ⇒ N I M ∈ N x 3) N x ≠ φ 4) U ⊂ X es abierto ⇔ U ∈ N x ∀x ∈ U es decir si U es entorno de todos sus puntos. - 46 -

Topología General

Espacios Topológicos

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Demostración 1) Si N ∈ N x ⇒ ∃U ∈ τ tal que x ∈U ⊂ N y como N ⊂ M ⇒ x ∈ U ⊂ M ⇒ M ∈ N x 2) Sean U N ,U M tal que: x ∈U N ⊂ N   ⇒ x ∈U N I U M ⊂ N I M x ∈U M ⊂ M  y como U N I U M ∈ τ ⇒ N I M ∈ N x 3) X ∈ N x ∀x ∈ X ⇒ N x ≠ ? 4) ⇒ Si U es abierto y para todo x ∈ U ⇒ x ∈ U ⊂ U ⇒ U ∈ Nx ⇐ Si U ∈ N x para todo x ∈ U ⇒ que para cada x ∈ U existe U x ∈ τ tal que: x ∈U x ⊂ U ⇒

UU

x

x∈U

⊂U

pero como ∀x ∈ U ⇒ x ∈ U x ⇒ x ∈ U U x ⇒ U ⊂ x∈U

∴U= y como U x ∈ τ ⇒

UU

UU

UU

x

x∈U

x

x∈U x

∈ τ por propiedad 2 de la definición de topología y luego

x∈U

U ∈ τ (es abierto) Observación 2.1 De la definición de entorno y de la propiedad anterior podemos tenemos: A es abierto ⇔ ∀x ∈ A ∃U ∈ τ tal que x ∈ U ⊂ A Es decir que un conjunto es abierto si para todo punto de él se puede encontrar un elemento de la topología incluido en él. Si sustituimos elemento de la topología por bolas es la misma propiedad que teníamos para espacios métricos. Lo que era de esperar ya que los elementos de la topología en el caso de espacios métricos son las bolas. Definición 2.5 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico, A ⊂ X . Se dice que x ∈ A es un punto interior a A, si A es entorno del punto, es decir A ∈ N x . Y llamaremos interior de A al conjunto de los puntos interiores de A Ao = { x ∈ X : x es interior de A} Observación 2.2 De la misma definición se desprende que. - 47 -

Topología General

Capítulo 2

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Ao ⊂ A Proposición 2.2 Dado ( X ,τ ) espacio topológico y A, B ⊂ X dos conjuntos con A ⊂ B entonces: Ao ⊂ B o Demostración Que x ∈ Ao implica que A es entorno de x y por definición de entorno: ∃U ∈ τ tal que x ∈ U ⊂ A y como A ⊂ B se tiene: ∃U ∈ τ tal que x ∈ U ⊂ B luego B es entorno de x y eso implica que x es interior a B ⇒ Ao ⊂ B o Proposición 2.3 Sea ( X ,τ ) en espacio topológico A ⊂ X Entonces si A es abierto se tiene que A = Ao . Demostración Por definición sabemos que se cumple Ao ⊂ A . Para probar la otra inclusión Si x ∈ A como A es abierto, es entorno de todos sus puntos es decir A ∈ N x lo que implica por definición que x ∈ Ao luego A ⊂ Ao y se da la igualdad. Proposición 2.4 Sea ( X ,τ ) en espacio topológico A ⊂ X Entonces Ao es el mayor abierto contenido en A. Demostración Primero probaremos que Ao es abierto, para ello probaremos que es entorno de todos sus puntos. Sea x ∈ Ao ⇒ por definición A ∈ N x ⇒ ∃U ∈ τ tal que: x ∈U ⊂ A Pero esto no alcanza trataremos de ver que U ⊂ Ao y para ello: Si y ∈ U ⇒ y ∈U ⊂ A ⇒ A ∈ N y ⇒ por definición y ∈ Ao luego: es decir que ∃U ∈τ tal que:

U ⊂ Ao

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Topología General

Espacios Topológicos

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x ∈ U ⊂ Ao ⇒ Ao ∈ N x Esto mismo se tiene para todo punto de Ao entonces por proposición 2.1 – 4) Ao es abierto. Para probar de que es el mayor probamos que cualquier otro abierto incluido en A está contenido en Ao Sea entonces B ⊂ A ⇒ por proposición 2.2 B o ⊂ Ao y como B es abierto se tiene por proposición 2.3 B = B o luego: B ⊂ Ao Observación 2.2 Uniendo las proposiciones 2.2 y 2.3 se tiene que: A es abierto ⇔ A = Ao Ejemplo 2.12 Sea ( °,τ ) τ = { A ⊂ ° : 0 ∈ A} U {φ } Dado A ⊂ °

 A si 0 ∈ A Ao =  φ si 0 ∉ A

Definición 2.6 Dado ( X ,τ ) espacio topológico decimos que es T0 si se verifica que si dados x ≠ y ⇒ N x ≠ N y Ejemplo 2.13 Sea ( ¢,τ ) con τ = { A ⊂ ¢ : 2n ∈ A ⇔ 2n − 1 ∈ A} U {φ } N 2 = { A ⊂ ¢ : {1, 2} ⊂ A} N1 = { A ⊂ ¢ : {1, 2} ⊂ A} Luego N1 = N 2 pero 1 ≠ 2 ⇒ que no es T0 Proposición 2.5 Un espacio topológico ( X ,τ ) es T0 si y solo sí dados x ≠ y existe N ∈ N x tal que y ∉ N o existe: M ∈ N y tal que x ∉ M N x y Demostración ⇒ si ∃N ∈ N x tal que y ∉ N ⇒ N ∉ N y   ⇒ N x ≠ N y por definición es T0 ∃M ∈ N y tal que x ∉ M ⇒ M ∉ N x  - 49 -

Topología General

Capítulo 2

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⇒ Si X es T0 x ≠ y ⇒ N x ≠ N y entonces puede suceder al menos una de las siguientes posibilidades: 1) ∃N ∈ N x tal que N ∉ N y ⇒ por ser N entorno ∃U ∈ τ tal que x ∈U ⊂ N si y ∈U ⇒ y ∈U ⊂ N Y entonces N ∈ N y lo cual es absurdo o sea que y ∉ U y como U es abierto es entorno de todos sus puntos o sea encontramos un U ∈ N x tal que y ∉ U . 2) ∃M ∈ N y tal que M ∉ N x ⇒ al igual que lo anterior ∃V ∈ N y tal que x ∉ V . Ejemplo 2.14 Dado el espacio topológico ( °,τ ) con τ = { A ⊂ ° : 0 ∈ A} U {φ } Sean dos puntos x ≠ y cualesquiera distintos en principio de cero. x ≠ y entonces {0, x} ∈ τ ⇒ que es entorno de todos sus puntos en particular de x o sea que {0, x} ∈ N x donde y ∉ {0, x} . Ahora si uno de ellos es el cero. Sea x = 0 entonces claramente {0} ∈ τ o sea : {0} ∈ N 0 y ∉ {0} Luego este espacio topológico es T0 . A pesar de que todos los entornos de y contienen al cero es decir al cero lo podemos separar del y por entornos pero no al y del cero. Nuestro próximo axioma de separación contemplará que tanto unos como otros son separables por entornos. Definición 2.7 Dado un espacio topológico decimos que es T1 si se verifica que: I N = {x} N ∈N x

Proposición 2.6 Dado el espacio topológico ( X ,τ ) este es T1 si y solo sí, dados x ≠ y cualesquiera existen N y M con: N ∈ N x tales que y ∉ N x y M ∈ N y tales que x ∉ M

Demostración ⇒ Si ( X ,τ ) es un espacio topológico T1 , x ≠ y entonces por definición

I

N = { x} y como x ≠ y ⇒ y ∉

N ∈N x

I

N ∈N x

lo que significa que: ∃N ∈ N x tal que y ∉ N - 50 -

N

Topología General

Espacios Topológicos

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⇐ Si ∃N ∈ N x tal que y ∉ N esto implica: y∉

I

∀y ≠ x

N ⇒ { x} =

N ∈N x

I

N

N ∈N x

Corolario 2.7 Dado un espacio topológico ( X ,τ ) si es T1 ⇒ es T0 Demostración La proposición 2.6 implica la proposición 2.5 que es más débil y por lo tanto se cumple que es T0 Ejemplo 2.15 Sea ( °,τ ) con τ = { A ⊂ ° : 0 ∈ A} U {φ } como

I

N = {0, x} si x ≠ 0 no es T1

N ∈N x

Ejemplo 2.16 Sea X con la topología de complemento finito. C C Dados dos puntos x ≠ y {y} ∈ N x e y ∉ { y} luego X es T1 . Definición 2.8 Dado el espacio topológico ( X ,τ ) decimos que es T2 (o de Hausdorff ) si dados x ≠ y existen: N ∈ N x , M ∈ N y tales que N I M = φ N M x y Observación 2.3 Todo espacio topológico que es T2 ⇒ T1 Claramente por definición. Ejemplo 2.18 Sea X infinito con la topología de complemento finito. Si A, B ∈ τ tal que A I B = φ con A y B no vacíos entonces: C X={ AC U B { ⇒ X sería finito finito

finito

con esta topología no tenemos abiertos disjuntos, y como: N x = { A ∈ τ : x ∈ A} Si A ∈ N x , B ∈ N y tales que A I B = φ serían dos abiertos no vacíos disjuntos que ya vimos que en esta topología no los hay ⇒ X no es T2 aunque sí T1 como ya vimos. Ejemplo 2.19 Todo espacio métrico es de Hausdorff. - 51 -

Topología General

Capítulo 2

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Demostración Si x ≠ y Sea ε
ε ∃δ > 0 tal que δ < d ( x , y ) − ε ver figura Si z ∈ B − ( x, ε ) I B ( y , δ ) entonces: d ( x, y ) ≤ d ( x, z ) + d ( z , y ) < ε + δ < d ( x, y ) 123 123 ≤ε

x δ

0 tal que B ( x, ε ) ⊂ A ahora consideremos mx tal que: 1 ε 1 < y xnk tal que d ( x, xnk ) < mx 2 mx que es posible por ser { xn } denso ⇒ { xn } I B ( x, 1 mx ) ≠ φ entonces x ∈ B ( xnk , 1 mx ) además si z ∈ B ( xnk , 1 mx ) tenemos: 2 d ( x, z ) ≤ d ( x, xnk ) + d ( xnk , z ) < 0 existe m ∈ • tal que m1 < ε para este m E = U B ( xnm , m1 ) n∈•

entonces si x ∈ E ⇒ x ∈ U B ( x ,

m 1 n m

n∈•

m n0

d ( x, x

)
0 y x ∈ E existe un xnm ∈ A tal que xnm ∈ B ( x, ε ) es decir ∀ε > 0, x ∈ E A I B ( x, ε ) ≠ φ y A es entonces denso en E. 3) ⇒ 1) ya lo vimos en la proposición 2.22 Observación En general las implicancias que se cumplen son las del siguiente diagrama Y hemos visto ejemplos donde las flecha no se cumplen en sentido contrario al representado en L el esquema. Así L no implica N2 ejemplo 2.38 y S no implica N2 ejemplo 2.36. Se trata del mismo N2 espacio topológico que siendo S y L no es N2. Para ver que L no implica S o S no implica L S veremos los dos ejemplo siguientes: Ejemplo 2.40 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico donde X es no numerable y τ es la topología donde los abiertos son el vacío y los conjuntos de P ( X ) con complemento numerable. Para cualquier cubrimiento por abiertos se tiene. X = U Uα con Uα ∈ τ ∀ α ∈ I α ∈I

tomemos uno cualquiera de estos abiertos U α0 entonces como su complemento por

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Topología General

Espacios Topológicos

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definición de la topología tiene una cantidad de elementos numerable podemos llamarles a estos xn con n ∈ • , y se tiene: U αC0 = { x1 , x2 ,..., xn ,..} y para cada xi con i ∈ • xi ∈ X ⇒ xi ∈ U U α ⇒ ∃α i ∈ I tal que xi ∈ U αi α∈I

n

y entonces

UU i =0

αi

es un subcubrimiento de X claramente numerable por lo que X es

de Lindelöff. Pero no es separable ya que si A es un conjunto denso y numerable en X se tiene por ser denso: ∀U ∈ τ U I A ≠ φ y en particular como A es numerable AC ∈ τ y se tiene: AC I A = φ luego A no es denso. Ejemplo 2.41 Veremos un caso en que sí es separable pero no es de Lindelöff. Sea X = ° 2 con la topología de los rectángulos semiabiertos es decir: τ = {[ a, b ) × [c, d ) ⊂ ° 2 : a, b, c, d ∈ °} Sea A = {( p, q ) ∈ ° 2 : p, q ∈ §} es claro de que es un conjunto numerable y denso en X. Sean los abiertos que anotamos U ( a ,− a ) y U (b,− b) definidos: U ( a ,− a ) = {[ a, b ) × [ − a, d ) ⊂ ° 2 : a, b, d ∈ °} U ( b,− b ) = {[ a, b ) × [c, −b ) ⊂ ° 2 : a, b, c ∈ °} es decir los rectángulos con vértice (opuestos) en la recta y = − x como en la figura. Claramente X = U U ( a , − a ) U U U (b , − b ) a∈°

b∈°

Como el conjunto de puntos de la recta es discreto y no numerable no existe entonces un subcubrimiento del anterior que sea numerable. Luego no es de Lindelöff.

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Topología General

Capítulo 2

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Definición 2.23 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico y x ∈ X , una familia Bx de entornos de x es una base local si dado N ∈ N x existe V ∈Bx tal que x ∈ V ⊂ N Ejemplo 2.42 Bx = {U ∈ N x : U es abierto en X } es una base local de x . ya que si: U ∈ N x ⇒ ∃V ∈ τ tal que x ∈ V ⊂ U y V ∈Bx por definición. Ejemplo 2.43 Sea ( E , d ) espacio métrico x ∈ E Bx = { B ( x, 1 n ) : n ∈ •} o Bx′ = { B ( x, an ) : n ∈ • y an → 0} son bases de x Ejemplo 2.44 Si B = {Bα }α∈I es una base de la topología τ en X y si x ∈ X entonces: Bx = { Bα ∈B : x ∈ Bα } es una base local. Ya que dado N ∈ N x ⇒ ∃V ∈ τ tal que x ∈ V ⊂ N por definición de entorno pero como V ∈ τ tenemos: V = U Bα y si x ∈V ⇒ α∈I

∃α x ∈ I tal que x ∈ Bα x ⊂ V ⊂ N con Bα x ∈Bx es decir que dado un entorno N de x existe un elemento Bα x ∈Bx tal que Bα x ⊂ N definición de base local. Ejemplo 2.45 Sea τ la topología discreta entonces

Bx = { x} es una base local ya que { x} es abierto en esta topología y obviamente esta contenido en cualquier entorno de x Ejemplo 2.46 Sea ( ¢,τ ) con τ = { A ⊂ ¢ : 2n ∈ A ⇔ 2n − 1 ∈ A} U {φ } Entonces: - 70 -

Topología General

Espacios Topológicos

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B2 n = {{2n, 2n − 1}} = B2 n−1 es una base local. Definición 2.24 Dado un ( X ,τ ) espacio topológico decimos que es N1 o que verifica el primer axioma de numerabilidad si todo punto de X tiene una base de entornos (base local ) numerable. Proposición 2.25 Un ( X ,τ ) espacio topológico que es N2 es entonces N1 Demostración Si B es una base numerable de la topología τ entonces para cada x ∈ X sea: Bx = {B ∈B : x ∈ B} ya vimos que es una base local y como Bx ⊂ B numerable ⇒ Bx es numerable Ejemplo 2.47 Sea X no numerable y τ la topología discreta entonces: Bx = {{ x}} en ejemplo 2.45 vimos que es una base local y por ser un solo elemento es numerable. Luego es N1 pero no es N2 ya que Sea B una base de la topología como { x} ∈ τ entonces { x} se puede escribir como unión de elementos de B ⇒ { x} ∈B ⇒ B no es numerable. Este es un contraejemplo de que no vale la proposición recíproca de la 2.25 Ejemplo 2.48 Todo espacio métrico es N1 ya que: Bx = {B ( x, 1n ) : n ∈ •} es una base local numerable. Ejemplo 2.49 Sea ( ¢,τ ) con τ = { A ⊂ ¢ : 2n ∈ A ⇔ 2n − 1 ∈ A} U {φ } entonces: B2 n = {{2n, 2n − 1}} es una base local ( con un solo elemento ) numerable luego es N1 Ejemplo 2.50 Sea ( X ,τ ) con X numerable y τ de complemento finito ya vimos que: PF ( X ) = { A ⊂ X : A finito} - 71 -

Topología General

Capítulo 2

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es numerable y como podemos definir ϕ : PF ( X ) → τ \ {φ } de la siguiente forma ϕ ( A ) = AC como ϕ es biyectiva y PF ( X ) numerable ⇒ τ \ {φ } es numerable o sea τ es numerable, luego el propio τ es una base numerable y por lo tanto N2. Ejemplo 2.51 Sea X no numerable con la topología de complementos finitos ya vimos en el ejemplo 2.35 que no es N2 ,veremos ahora que tampoco es N1 Supongamos que: Bx = {U n ∈ τ : x ∈U n , n ∈ •} entonces C

  C  IUn  = UUn  n∈•  n∈• C que como U n ∈ τ ⇒ U n es finito ⇒ Unión numerable de numerables es numerable entonces: C

  C x}  I U n  ≠ {{ 1  n∈• no numerable 424 3 numerable

o sea

IU

n∈•

n

≠ { x} ⇒ ∃y ≠ x tal que y ∈ I U n n∈•

C

C n

C

es entonces { y} ⊂ U n ∀n ∈ • ⇒ U ⊂ { y} lo que significa que U n ⊄ { y} pero

{ y}C ∈ τ por se abierto es entorno de todos sus puntos en particular como C C C x ≠ y ⇒ x ∈ { y} ⇒ { y} ∈ N x y U n ⊄ { y} ∀n ∈ • ⇒ U n no es base local de x en X. Ejemplo 2.52 Sea l1 = {( xn )n∈• , reales o complejas tal que ∑ xn < ∞} con la norma ∞

x = ∑ xn n =1

define una distancia d ( x, y ) = x − y entonces ( l , d ) es un espacio métrico. 1

Definimos el siguiente conjunto en l1 - 72 -

Topología General

Espacios Topológicos

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D = {( yn )n∈• : ∃n0 tal que yn = 0∀n ≥ n0 } Probaremos que D es denso para ello se tiene que cumplir Que si ε > 0 y x ∈ l1 ⇒ ∃y ∈ D tal que d ( x, y ) < ε y esto se cumple porque Si x ∈ l1 ⇒ ∀ε > 0 ∃n0 tal que

∞

∑x

i

0 ∃z ∈ E tal que d ( x, z ) < ε ⇒ E = l1 E numerable ⇒ l1 separable. Ejemplo 2.53 Sea l∞ = {( xn )n∈• : reales o complejas, acotadas } con la norma del supremo x = sup n∈• { xn } definimos la distancia - 73 -

Topología General

Capítulo 2

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d ( x, y ) = sup n∈• { xn − yn } Consideremos A = {( xn )n∈• ⊂ l∞ : xn = 0 o 1 ∀n ∈ •} Sean x, y ∈ A con x ≠ y ⇒ d ( x, y ) = 1 y solo es cero en el caso que sean iguales entonces A es discreto luego el único conjunto denso es el propio A que no es numerable por ser de igual cardinal que P ( • ) o ° ya que Sea ϕ : A → P ( • ) definida tal que a ϕ ( A ) le asociamos el conjunto de índices en los que la sucesión correspondiente vale 1 dicho conjunto pertenece a las partes de N Claramente dicha función es biyectiva por lo que los conjuntos tienen el mismo cardinal. Proposición 2.26 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico, x ∈ X tiene una base local numerable entonces tiene una base local numerable decreciente. Demostración Sea {U n }n∈• una base local numerable de x Tomamos V1 = U1 V2 = U 2 I V1 V3 = U3 I V2 M Vn = U n I Vn−1 Por construcción Vn ⊂ Vn−1 Además Vi = U i I Vi ⇒ Vi es entorno de x ∀i { { entorno

entorno

⇒ Vn ∈ N x ∀n ∈ • y si N ∈ N x ⇒ ∃n0 ∈ • tal que U n0 ⊂ N y entonces como Vn0 ⊂ N ⇒ ∀N ∈ N x ∃Vn tal que Vn ⊂ N para algun n ∈ • O sea que {Vn }n∈• es una base local.

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Capítulo 3 Convergencia y Continuidad Definición 3.1 Dado el espacio topológico ( X ,τ ) una sucesión es una función de los naturales a X. x:• → X xn = x ( n ) Notación cuando nos referimos a la sucesión anotamos { xn } o ( xn ) y para hacer referencia a un termino de la sucesión xn sin corchetes ni paréntesis. Definición 3.2 Una sucesión { xn } en un espacio topológico ( X ,τ ) converge a x ∈ X si dado N ∈ N x ∃n0 ∈ • tal que ∀n ≥ n0 xn ∈ N Ejemplo 3.1 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico con τ la topología indiscreta es decir τ = {φ , X } ⇒ toda sucesión en este espacio converge a cualquier punto. Ejemplo 3.2 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico con τ la topología discreta, entonces en este espacio convergen las sucesiones que son constantes a partir de un n0 Definición 3.3 Dado en un espacio topológico ( X ,τ ) una sucesión { xn } ⊂ X llamamos a { xnk } subsucesión de la dada si { xnk } ⊂ { xn } y la aplicación de • → • que k → nk tal que lim k →+∞ nk = +∞ Proposición 3.1 Dado un espacio topológico ( X ,τ ) y una sucesión { xn } ⊂ X entonces xn → x ⇔ toda subsucesión converge a x

Topología General

Capítulo 3

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Demostración ⇒ Es inmediata aplicando la definición ⇐ Si xnk → x ⇒ Dado N ∈ N x por definición ∃n0 ( k ) tal que ∀nk ≥ n0 ( k )

se

cumple que

xnk ∈ N Como lim k →+∞ nk = +∞ ⇒ dado un cierto n0 ( k ) > 0 ∃k0 tal que ∀k ≥ k0 se cumple nk > n0 ( k ) Dado N ∈ N x ∃n0 = n0 ( k0 ) tal que ∀n ≥ n0 Proposición 3.2 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico y A ⊂ X , x ∈ X entonces si existe una sucesión { xn } ⊂ A tal que xn converge a x ⇒ x ∈ A Demostración Por definición de convergencia xn → x Dado N ∈ N x ∃n0 ∈ • tal que ∀n ≥ n0 xn ∈ N ⇒ N I { xn } ≠ φ y como { xn } ⊂ A entonces N I A ≠ φ ⇒ x∈ A

Proposición 3.3 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico y A ⊂ X , x ∈ X con base local numerable en x, entonces si x ∈ A ⇒ existe una sucesión { xn } ⊂ A tal que converge a x. Demostración Como x tiene una base local numerable entonces existe una base local decreciente {Vn } de x . Luego si x ∈ A ⇒ ∀n ∈ • Vn I A ≠ φ por definición de clausura. Entonces elegimos xn ∈ Vn ⊂ A ⇒ { xn } ⊂ A y además dado N ∈ N x ∃n0 ∈ • tal que Vn0 ⊂ N por ser {Vn } base local decreciente Además

∀n ≥ n0 xn ∈ Vn ⊂ Vn0 ⊂ N ∴ { xn } converge a x Ejemplo 3.3 Sea R con la topología de complementos numerables y sea - 76 -

Topología General

Convergencia y Continuidad

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A = ° \ {0} tenemos que A = ° ya que sea U ∈ τ con 0 ∈ U ⇒ U ∈ N 0 por ser abierto U C es numerable esto implica que U no puede ser solo el cero es decir U ≠ {0} luego U I A≠φ lo que significa que A es denso ∴A = ° Consideremos una sucesión { xn } tal que xn ≠ 0 ∀n ∈ • entonces como C C

({ x } ) n

C

= { xn } es numerable ⇒ { xn } ∈ N 0

C

Ya que { xn } ∈ τ ⇒ que es entorno de todos sus puntos Luego C C { xn } ∈ N 0 y { xn } I { xn } = φ lo que significa que la sucesión no tiende a cero esto sucede por no ser este espacio topológico N1 y no poder aplicar la proposición anterior. Definición 3.4 Un conjunto dirigido es un par ( D, ≤ ) donde D es un conjunto no vacío y una relación de orden ≤ que verifica: i) d ≤ d ∀d ∈ D d ≤ e ii)  ⇒ d ≤ l ∀d , e, l ∈ D e≤l  iii) Dados d 0 , d1 ∈ D entonces existe d ∈ D tal que d ≥ d0 y d ≥ d1 Ejemplo 3.4 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico y x ∈ X , ( N x , ≤ ) con la relación de orden definida como sigue: Definimos U ≥ V ⇔ U ⊂ V entonces: ( N x , ≤ ) es un conjunto dirigido, es claro que se cumplen 1) y 2) probaremos la 3) iii) Dados U ,V ∈ N x ⇒ U I V ∈ N x y U I V ≥ U ,V ya que U I V ⊂ U ,V Ejemplo 3.5 Sea D = {a, b, c} con la relación de orden x ≤ x ∀x ∈ D y además : a≤b c≤b Se cumplen las tres propiedades - 77 -

b

a

c

Topología General

Capítulo 3

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Ejemplo 3.6 Sean ( D, ≤ D ) y ( E , ≤ E ) son dos conjuntos dirigidos entonces definimos: ( D × E , ≤ ) con el orden lexicográfico definido por: d D d ′  ( d , c ) ≤ ( d ′, c′ ) ⇔ o  d = d ′ y c c′  E comparar con el orden alfabético de las palabras, se cumple que es un conjunto dirigido i) y ii) son inmediatas. iii) Dados ( d , e ) , ( d ′, e′ ) sea d 0 ≥ D d , d 0 ≥ E d ′ y e0 ≥ E e , e0 ≥ E e′ que existen por ser cada conjunto dirigido y: ( d 0 , e0 ) ≥ ( d , e ) ( d 0 , e0 ) ≥ ( d ′, e′ ) Otro orden es tomar componente a componente es decir: d ≤ d ′  ( d , c ) ≤ ( d ′, c′ ) ⇔  y  c ≤ c′  Definición 3.5 sean ( x,τ ) un espacio topológico y ( D, ≤ ) un conjunto dirigido. Una red es una función T : D → X que anotamos {Td } a toda la red y Td a un elemento de la red. Por ejemplo las sucesiones son redes. Definición 3.6 Sea {Td } una red en un espacio topológico ( X ,τ ) y sea x ∈ X . Se dice que {Td } converge a x si dado N ∈ N x existe d 0 ∈ D tal que: Td ∈ N ∀d ≥ d 0 Ejemplo 3.7 Sea ( X ,τ ) con τ discreta Td converge a x si se cumple que existe d 0 ∈ D tal que: Td ∈ {x} ∀d ≥ d 0 es decir que Td = x ∀d ≥ d 0 Ejemplo 3.8 En ¢ con la topología τ = { A ⊂ ¢ : 2n ∈ A ⇔ 2n − 1 ∈ A} U {φ } Si Td es una red que converge a 2n si y solo sí converge a 2n-1. Ya que : N 2 n = N 2 n −1

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Topología General

Convergencia y Continuidad

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Ejemplo 3.9 Sea D = {an : n ∈ •} U {bn : n ∈ •} donde los elementos an y bn son distintos entre sí. Y consideramos la relación ≤ dada por: an ≤ am si n ≤ m bn ≤ am si n + 1 ≤ m bn ≤ bn Podemos representar gráficamente: a1 a2 a3 a4

b1

b2

b3

Consideremos la red T : D → ° dada por x ( an ) = ( 1n ,0 ) x ( bn ) = ( 1n ,1 − 1n ) 2

( 0,1)

x ( b4 ) x ( b3 ) x ( b2 ) x ( b1 ) x ( a4 ) x ( a3 ) x ( a2 )

x ( a1 )

Vemos que Td tiende a ( 0,0 ) pero no tiende a otro punto por ejemplo ( 0,1) Proposición 3.4 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico, A ⊂ X , x ∈ X entonces un punto x está en A ⇔ existe una red {Td } ⊂ A que converge a x. Demostración ⇐ Si existe una red {Td } ⊂ A convergente a x ⇒ por definición que: Dado N ∈ N x , existe d 0 ∈ D tal que Td ∈ N ∀d ≥ d 0 luego Td0 ∈ N I A y entonces N I A ≠ φ ⇒ x ∈ A ⇒ Sea x ∈ A tomemos el conjunto dirigido ( N x , ≤ ) como ya vimos definido por : U ≤ V si U ⊃ V Entonces si U ∈ N x , U I A ≠ φ ya que x ∈ A y U I A ∈ N x Definimos una red {TU } de la siguiente forma TU = U I A es decir T : N x → A - 79 -

Topología General

Capítulo 3

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Tenemos así una red {TU } ⊂ A y además TU converge a x ya que si N ∈ N x entonces ∃U 0 = N tal que si U ≥ U 0 se tiene: TU ∈ U I A ⊂ A I U 0 = A I N ⊂ N o sea TU ∈ N ∀U ≥ U 0 lo que implica que TU converge a x Corolario 3.5 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico. Un conjunto A ⊂ X es cerrado si y solo sí para roda red {Td } ⊂ A que converge a x se tiene que x ∈ A Demostración Es una fácil consecuencia del anterior resultado y del hecho de que A es cerrado si A = A Corolario 3.6 Sean σ y τ dos topologías en X entonces σ ⊂ τ si y solo sí toda red que converge con la topología τ implica que converge con la topología σ . Es decir: Td  → x ⇒ Td  →x τ σ Demostración Si σ ⊂ τ observemos que dado un entorno N ∈ N xσ por definición existe U ∈ σ tal que x ∈ U ⊂ N y como σ ⊂ τ ⇒U ∈τ tal que x ∈ U ⊂ N luego también por definición N ∈ N xτ . Entonces como Td  → x dado N ∈ N xσ ⊂ N xτ ⇒ ∃d 0 ∈ D tal que Td ∈ N ∀d ≥ d0 τ luego Td  →x σ Recíprocamente Tomemos A ⊂ X cerrado con la topología σ Queremos probar que A es cerrado con la topología τ para lo cual tenemos que probar que Aτ = A (clausura de A según τ ) una inclusión se cumple siempre A ⊂ Aτ Sea x ∈ Aτ entonces por proposición 3.4 existe una red {Td } ⊂ A tal que σ →x ⇒ →x ⇒ Td  { Td  { x∈ A τ σ por hip.

prop. 3.4

y como A es cerrado en σ ⇒ A = A entonces x ∈ A luego Aτ ⊂ A y por lo tanto Aτ = A y A es τ -cerrado Es decir que si U ∈ σ ⇒ U C es σ -cerrado ⇒ U C es τ -cerrado ⇒ U ∈ τ luego σ ⊂τ τ tiene más abiertos que σ , entonces si una red converge con la topología que tiene más abiertos (más fina ) converge con la otra topología (más gruesa). σ

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Topología General

Convergencia y Continuidad

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Observación 3.1 Dos topología coinciden si toda ves que una red converge con una de las topologías también converge con la otra y viceversa. En cierta forma la convergencia de las redes caracterizan a la topología. Proposición 3.7 ( Unicidad de la Convergencia) Sea ( X ,τ ) un espacio topológico. Toda red en X converge a lo sumo en un punto si y solo sí X es de Hausdöff. Demostración ⇐ Si X es de Hausdöff supongamos que Td converge a dos puntos x e y distintos. Sean U ∈ N x , V ∈ N y tal que U I V = φ Entonces existen d 0 y d1 ∈ D tales que Td ∈ U si d ≥ d 0  d 2 ≥ d0 entonces  sea d 2 tal que  Td ∈ V si d ≥ d1   d 2 ≥ d1 Td2 ∈ U I V absurdo por ser U I V = φ ⇒ Supongamos que X no es de Hausdöff o sea que existen: x e y distintos tales que U I V ≠ φ ∀U ∈ N x , V ∈ N y y sea D = N x × N y con (U ,V ) ≤ (U ′,V ′ ) ⇔ U ′ ⊂ U y V ′ ⊂ V es fácil ver que es un conjunto dirigido Si (U ,V ) ∈ N x × N y sea T(U ,V ) ∈ { U I V ⊂ U entonces T(U ,V ) converge a x ya elegimos uno

que dado W ∈ N x existe (U 0 ,V0 ) = (W , X ) tal que si (U ,V ) ≥ (W , X ) entonces: 123 d0

T(U ,V ) ∈ U ⊂ W ⇒ T(U ,V ) → x Análogamente se prueba que T(U ,V ) → y Definición 3.7 Sea {Td } una red en un espacio topológico ( X ,τ ) . Un punto x ∈ X se dice de aglomeración de {Td } si dados N ∈ N x y d 0 ∈ D entonces existe d ∈ D con d ≥ d 0 tal que: Td ∈ N Definición 3.8 Dados ( D, ≤ D ) , ( E , ≤ E ) dos conjuntos dirigidos, una función f : E → D es cofinal si dado d 0 ∈ D ∃e ∈ E tal que f ( e ) ≥ d0

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Topología General

Capítulo 3

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Definición 3.9 Sea {Td }d∈D una red en un ( X ,τ ) espacio topológico y sea ( E , ≤ ) un conjunto dirigido y f : E → D una función cofinal tal que ∀d 0 ∈ D existe e0 ∈ E tal que f ( e ) ≥ d 0 si e ≥ e0 entonces {T f (e ) } es una subred de {Td } . e∈E Proposición 3.8 Sea {Td } una red en un ( X ,τ ) espacio topológico y x ∈ X entonces x es de aglomeración de {Td } si y solo sí existe una subred de {Td } que converge a x Demostración ⇐ Si existe una subred {T f (e ) } que converge a x con f : E → D cofinal entonces : Dado N ∈ N x y d 0 ∃e0 ∈ E tal que f ( e ) ≥ d 0 ∀e ≥ e0 y además

∃e1 ∈ E tal que {T f (e ) } ∈ N ∀e ≥ e1 Sea e2 ∈ E tal que e2 ≥ e1 , e2 ≥ e0 ⇒

f ( e2 ) ≥ d 0 y {T f (e2 ) } ∈ N ⇒ que x es de aglomeración. ⇒ Si x es de aglomeración sea E = N x × D con el orden componente a componente o sea: U ⊂ U ′  d ≥ d′ Dado (U , d ) ∈ N x × D sea f (U , d ) ∈ D tal que f : N x × D → D (cofinal ) definida por: f (U , d ) ≥ d y T f (U ,d ) ∈ U

(U , d ) ≥ (U ′, d ′) 

Dado d 0 ∈ D sea e0 = ( X , d 0 ) entonces si tomamos (U , d ) ≥ ( X , d 0 ) se tiene f (U , d ) ≥ d ≥ d 0

f (U , d ) ≥ d 0 ⇒ {T f (U ,d ) } es una subred de {Td } Además: {T f (U ,d ) } converge a x ya que: dado N ∈ N x sean d 0 ∈ D y e0 = ( N , d 0 ) si (U , d ) ≥ ( N , d 0 ) entonces: T f (U ,d ) ∈ U ⊂ N ⇒ T f (U ,d ) ∈ N luego

{T ( ) } → x f U ,d

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Topología General

Convergencia y Continuidad

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Definición 3.10 Sean X e Y espacios topológicos, f : X → Y , x ∈ X se dice que f es continua en x si: Dado W ∈ N f ( x ) ∃N ∈ N x tal que

f (N) ⊂W Decimos que f es continua si es continua en todo punto. Observación para el caso particular de espacios métricos la definición se puede rescribir f : X → Y , x ∈ X f es continua en x ⇔ dado una bola B ( f ( x ) , ε ) implica que existe una bola B ( x, δ ) tal que f ( B ( x, δ ) ) ⊂ B ( f ( x ) , ε ) dicho de otra forma : Si dado ε > 0 ∃δ > 0 tal que si d ( x, y ) < δ entonces d ( f ( x ) , f ( y )) < ε Proposición 3.9 Sean X e Y espacios topológicos, f : X → Y una función entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1) f es continua 2) ∀x ∈ X , N ∈ N f ( x ) se tiene que f −1 ( N ) ∈ N x 3) A ⊂ Y abierto ⇒ f −1 ( A) es abierto 4) Para toda base B de la topología de Y ; f −1 ( B ) es abierto ∀B ∈B 5) Para toda subbase S de la topología de Y; f −1 ( C ) es abierto ∀C ∈ S 6) Si F ⊂ Y es cerrado, f −1 ( F ) es cerrado. Demostración 1) ⇒ 2) por definición de continuidad si W ∈ N f ( x ) , ∃N ∈ N x tal que f ( N ) ⊂ W entonces como

N ⊂ f −1 ( f ( N ) ) ⊂ f −1 (W ) es decir que N ⊂ f −1 (W ) y como

N ∈ N x ⇒ f −1 ( N ) ∈ N x 2) ⇒ 3) Si A es abierto implica que es entorno de todos sus puntos A ∈ N y ∀y ∈ A

pero si y ∈ A ⊂ Y ⇒ ∃x ∈ f −1 ( A ) ⊂ X tal que y = f ( x ) luego A ∈ N f ( x ) ⇒ por la hipótesis que ∀x ∈ f −1 ( A ) , f −1 ( A ) ∈ N x ⇒ f −1 ( A ) es entorno de todos sus puntos luego es abierto. 3) ⇒ 4) ⇒ 5) son obvios 5) ⇒ 6) ahora si F ⊂ Y es cerrado ⇒ F C es abierto sea S una subbase de la topología de Y entonces

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Topología General

Capítulo 3

C α α α F { = U S1 I S 2 I ... I Snα

abierto

- 84 índice que indica una selección.

α

entonces:  f −1 ( F C ) = f −1  U S1α I ... I S nαα α

 f −1 ( S1α ) I ... I f −1 ( S nαα ) es abierto por ser  = U1 3  α 424 abiertos 1444424444 3 intersección finita de abiertos es abierto

unión de abiertos luego como C

f −1 ( F C ) =  f −1 ( F )  abierto ⇒ f −1 ( F ) es cerrado

6) ⇒ 1) Primero observemos que: Si f −1 ( F ) es cerrado ∀F ⊂ Y ⇒ para todo A ⊂ Y abierto ⇒ AC es cerrado ⇒ C

f −1 ( AC ) =  f −1 ( A)  es cerrado ⇒ f −1 ( A ) es abierto Sean x ∈ X , W ∈ N f ( x )

∃A ⊂ Y abierto tal que

⇒ { por def. de entorno

f ( x) ∈ A ⊂ W como A es abierto ⇒ f

( A) es abierto por la observación de más arriba y f ( x ) ∈ A ⇒ x ∈ f ( A ) por ser abierto es entorno de todos sus puntos llamemos N a f −1 ( A ) ∈ N x y se tiene que: −1

−1

  f  f −1 ( A )  ⊂ A ⊂ W ⇒ f ( N ) ⊂ W 424 3 1  N  Luego se cumple la definición de continuidad. Ejemplo 3.10 Sea X con la topología discreta e Y un espacio topológico cualquiera, toda función f : X → Y es continua ya que para cualquier A ⊂ Y se tiene f −1 ( A ) lo podemos escribir como la unión de sus elementos que son abiertos en X f −1 ( A ) = U { x} ⇒ unión de abiertos es abierto . { x∈ f −1 A ( ) abierto

Ejemplo 3.11 Sea Y con la topología indiscreta entonces toda función f : X → Y es continua ya que: Y = {φ } U Y que son los únicos abiertos de Y.

f −1 (φ ) = φ , f −1 (Y ) = X que son abiertos en X

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Topología General

Convergencia y Continuidad

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Ejemplo 3.12 Sea en X dos topologías τ y σ tal que τ ⊂ σ ( σ es más fina que τ ) y sea la función Id : ( X ,σ ) → ( X ,τ ) es continua ya que:

∀A ⊂ Y tal que A ∈ τ entonces Id −1 ( A) = A ∈ τ ⊂ σ luego es abierto en el dominio. Ejemplo 3.13 Sea la función f : X → Y continua , A ⊂ X entonces: f | A : A → Y definida como f | A ( x ) = f ( x ) (también suele anotarse en vez de f | A ( x ) como f A ( x ) ) es continua con la topología relativa ya que: Sea U abierto en Y f A−1 (U ) = f −1 (U ) I A ⇒ 1 424 3 abierto en X

por definición que f

−1 A

(U ) es abierto en A con la topología relativa.

Ejemplo 3.14 Sea la función f : X → Y continua y consideremos : f% : X → f ( X ) definida f% ( x ) = f ( x ) tenemos que es continua con la topología relativa en f ( X ) ya que: Sea U abierto en f ( X ) entonces por definición U = V I f ( X ) con V abierto en Y f% −1 (U ) = f% −1 (V ) I f% −1 ( f ( X ) ) = f −1 (V ) I X = f −1 (V ) que es abierto en X luego f% es continua. Ejemplo 3.15 Sean f,g dos funciones continuas f : X →Y ⇒ g o f : X → Y es continua g :Y → Z Sea U abierto en Z entonces   g −1 (U )  ⇒ abierto por f ( g o f )−1 (U ) = f −1  1 3  424  abierto por g  Ejemplo 3.16 Sea X = A U B con A y B cerrados en X si f : X → Y es tal que sus restricciones f | A = f1 , f |B = f 2 son funciones continuas y tal que en los puntos de A I B vale f1 = f 2 entonces f es continua.

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Topología General

Capítulo 3

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Demostración  f ( x ) si x ∈ A f ( x) =  1  f 2 ( x ) si x ∈ B la condición f1 ( x ) = f 2 ( x ) ∀x ∈ A I B es para que f está bien definida. Entonces sea F ⊂ X cerrado en X f −1 ( F ) = f1−1 ( F ) U f 2−1 ( F ) f1 : A → Y es continua ⇒ f1−1 ( F ) es cerrado en A y como A a su vez es cerrado en X entonces f1−1 ( F ) es cerrado en X ; análogamente con f 2−1 ( F ) es cerrado en X luego f −1 ( F ) es cerrado o sea f es continua. Proposición 3.10 Sean X e Y espacios topológicos, x ∈ X entonces f es continua en x si y solo sí para toda red {Td } que converge a x se tiene que la red { f (Td )} converge a f ( x ) . Demostración ⇒ si f es continua y Td → x por definición Dado W ∈ N f ( x ) ⇒ f −1 (W ) ∈ N x y en consecuencia ∃d 0 ∈ D tal que

Td ∈ f −1 (W ) ∀d ≥ d 0 entonces si d ≥ d 0 f (Td ) ∈ f ( f −1 (W ) ) ⊂ W f ( Td ) ∈ W y por lo tanto { f (Td )} converge a f ( x ) . ⇐ Supongamos que f no es continua en x es decir que: ∃W ∈ N f ( x ) tal que ∀N ∈ N x se tiene: f (U ) ⊄ W Sea D = N x si U ∈ N x sea TU ∈ U tal que f (TU ) ∉ W f (U ) ⊄ W . Dado V ∈ N x , si U ≥ V ⇒ TU ∈ U ⊂ V ⇒ TU → x Pero { f (TU )} no converge a f ( x ) ya que f (TU ) ∉ W ∀U ∈ N x Construimos así una red {TU } convergente a x pero que: f (TU ) → f ( x ) lo que contradice la hipótesis.

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es posible por ser

Topología General

Convergencia y Continuidad

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Proposición 3.11 Sean X e Y espacios topológicos , f : X → Y las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1) f es continua. 2) Para todo A ⊂ X se cumple f ( A ) ⊂ f ( A ) 3) para todo B ⊂ Y se cumple f −1 ( B ) ⊂ f −1 ( B ) 4) para todo B ⊂ Y se cumple f −1 ( B o ) ⊂ ( f −1 ( B ) )

o

Demostración 1) ⇒ 2) Sea x ∈ A ( ⇒ f ( x ) ⊂ f ( A ) ) ⇒ por proposición 3.4 ∃{Td } ⊂ A tal que Td → x y además f (Td ) ⊂ f ( A ) y f es continua ⇒ f ( Td ) → f ( x ) entonces por la misma proposición 3.4 f ( x ) ∈ f ( A ) o sea f ( A ) ⊂ f ( A )

2) ⇒ 3) como B ∈ Y ⇒ f −1 ( B ) ⊂ X y aplicamos lo anterior

(

)

f f −1 ( B ) ⊂ f ( f −1 ( B ) ) ⊂ B 14243 ⊂B

Luego

( (

))

f −1 f f −1 ( B ) ⊂ f −1 ( B )

(

)

f −1 ( B ) ⊂ f −1  f f −1 ( B )  ⊂ f −1 ( B )   es decir

f −1 ( B ) ⊂ f −1 ( B ) 3) ⇒ 4) usando el lema 2.13 b) f

−1

o

(B ) = f

−1

(

 ( B )o   

C C

)

C

o C =  f −1 ( B )   =  

C

o

C

C =  f −1 B C  ⊂  f −1 ( B C )  = ( f −1 ( B C ) )  =      

( )

o

C o =  f −1 ( B C )  = ( f −1 ( B ) )  

4) ⇒ 1) Sea B abierto en Y entonces como B o = B aplicando lo anterior o

f −1 ( B ) = f −1 ( B o ) ⊂ ( f −1 ( B ) ) ⊂ f −1 ( B ) o

luego f −1 ( B ) = ( f −1 ( B ) ) ⇒ f −1 ( B ) es abierto y por lo tanto f es continua. - 87 -

Topología General

Capítulo 3

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Definición 3.11 Sean E y F espacios métricos, f : E → F es uniformemente continua si dado ε > 0 ∃δ > 0 tal que si x, y ∈ E , d ( x, y ) < δ ⇒ d ( f ( x ) , f ( y )) < ε El concepto de continuidad es un concepto local (para un punto) mientras que el concepto de continuidad uniforme es un concepto global.( no depende del punto). De la definición se desprende que continuidad uniforme implica continuidad. Definición 3.12 Sean E , F espacios métricos f : E → F es una inmersión isométrica si: d ( x, y ) = d ( f ( x ) , f ( y ) ) ∀x, y ∈ E Proposición 3.12 Si f es un inmersión isométrica se cumplen las siguientes propiedades: 1) f es inyectiva 2) f es uniformemente continua 3) la composición de inmersiones isométricas es también una inmersión isométrica. Demostración 1) si f ( x ) = f ( y ) ⇒ 0 = d ( f ( x ) , f ( y ) ) = d ( x, y ) ⇒ x = y porque estamos en un espacio métrico. 2) Dado ε > 0, tomando δ = ε entonces si d ( x, y ) < δ ⇒ d ( f ( x ) , f ( y ) ) = d ( x, y ) < δ = ε 3) es inmediato por definición. Definición 3.13 Una isometría es una inmersión isométrica sobreyectiva. Definición 3.14 Dos espacios métricos E,F son isométricos si existe i : E → F isometría Observación La inversa de una isometría y la composición de isometrías son isometrías. La isometría se comporta como una relación de equivalencia. Definición 3.15 Sea ( E , d ) un espacio métrico, A ⊂ E , A ≠ φ Si x ∈ E la distancia de x a A es por definición: d ( x, A ) = inf {d ( x, a ) : a ∈ A} como consecuencia de lo anterior definición : - 88 -

Topología General

Convergencia y Continuidad

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A = { x : d ( x, A ) = 0} Demostración Si d ( x, A ) = 0 ⇒ ∃{ xn } ⊂ A tal que 1 d ( xn , x ) < ⇔ B ( x, 1n ) I A ≠ φ ⇔ x ∈ A n Definición 3.16 Definimos un función llamada función distancia d A : E → ° tal que d A ( x ) = d ( x, A ) Proposición 3.13 La función distancia es uniformemente continua. Demostración Dado ε > 0 si d ( x, y )
0 ∃δ = tal que si d ( x, y ) < δ ⇒ d A ( x ) − d A ( y ) < ε ⇒ d A ( x ) 2 uniformemente continua.

es

Definición 3.17 Si X , Y son espacios topológico f : X → Y es un homeomorfismo si f es tal que: i) f es continua. ii) f es biyectiva iii) f −1 es continua. Definición 3.18 Se dice que los espacios topológicos X,Y son homeomorfos si existen f : X → Y homeomorfismo. Ejemplo 3.17 Sean X,Y espacios topológicos discretos entonces f : X → Y es continua por ser X discreto entonces f −1 es continua por ser Y discreto, entonces tienen el mismo cardinal si y solo sí son homeomorfos. Ejemplo 3.18 X e Y indiscretos son homeomorfos si y solo sí tienen el mismo cardinal. Definición 3.19 Sean X,Y espacios topológicos f : X → Y se dice que f es abierta si f ( A ) esabiertoparatodo A ⊂ X abierto. Y se dice que f es cerrada si f ( F ) es cerrado para todo F ⊂ X cerrado. Proposición 3.14 Sean X,Y espacios topológicos f : X → Y biyectiva entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1) f es un homeomorfismo 2) f es continua y abierta 3) f es continua y cerrada. - 90 -

Topología General

Convergencia y Continuidad

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Demostración 1) ⇒ 2) como f −1 es continua solo para que la notación quede más amigable llamemos a f −1 = g si A ⊂ X es abierto entonces ( g −1 ( A) ) es abierto = f ( A) 2) ⇒ 3) si F es cerrado implica F C es abierto y por hipótesis

( f ( F ))

f ( F C ) es abierto ⇒

C

C

es cerrado = f ( F )

3) ⇒ 1) Si F ⊂ X es cerrado llamemos g = f −1 entonces f ( F ) es cerrado = g −1 ( F ) luego g = f −1 es continua y por lo tanto un homeomorfismo. Definición 3.20 Sean E y F espacios métricos consideremos el conjunto B ( E , F ) = { f : E → F : acotada} f acotada: f ( E ) ⊂ F es acotada como conjunto es decir: diamf ( E ) = sup {d ( f ( x ) , f ( y ) ) : x, y ∈ E} < ∞ a su vez podemos definir una distancia en B ( E , F ) de la siguiente forma: d ( f , g ) = sup {d ( f ( x ) , g ( x ) ) : x, y ∈ E} en el conjunto B ( E , F ) el supremo es finito. Sea e ∈ E ∀x ∈ E d ( f ( x ) , g ( x ) ) ≤ d ( f ( x ) , f ( e )) + d ( f ( e ) , g ( e ) ) + d ( g ( e ) , g ( x ) ) 1442443 144244 3 ≤ diamf ( E )

≤ diamf ( E )

entonces d ( f ( x ) , g ( x ) ) ≤ diamf ( E ) + d ( f ( e ) , g ( e ) ) + diamf ( E ) 14243 144244 3 14243 acotado

acotado

acotado

luego el supremo de d ( f ( x ) , g ( x ) ) es finito por estar la distancia acotada. Definición 3.21 El conjunto de funciones acotadas B ( E , F ) con la distancia del supremo define un espacio métrico llamado espacio de convergencia uniforme. Definición 3.22 Una red { f d } de funciones se dice que converge uniformemente a f si para cada ε > 0 ∃d 0 ∈ D tal que ∀d ≥ d 0 se cumple: d ( f d ( x ) , f ( x ) ) < ε ∀x ∈ E u Anotamos f d ⇒ f o f d  →f El nombre de dicho espacio métrico está justificado por la siguiente proposición

- 91 -

Topología General

Capítulo 3

- 92 -

Proposición 3.15 Una red { f d } ⊂ B ( E , F ) que converge a f en ( B ( E , F ) , d ) si y solo sí { f d } converge uniformemente a f. Demostración ⇒ Si f d → f ⇒ dado ε >0 existe d 0 ∈ D tal que ∀d ≥ d 0 d ( fd , f ) < ε es decir que ∀x ∈ E d ( f d ( x ) , f ( x ) ) ≤ sup {d ( f d ( x ) , f ( x ) ) : x ∈ E} < ε luego f d ⇒ f ⇐ Si d 0 ∈ D tal que ∀d ≥ d 0 se cumple: ε d ( fd ( x ) , f ( x ) ) < ∀x ∈ E 2 tomando supremo ε d ( f d , f ) = sup {d ( f d ( x ) , f ( x ) ) : x ∈ E} ≤ < ε 2 luego f d ä f converge uniformemente. Proposición 3.16 Sea el conjunto Cb ( E , F ) = { f : E → F : continuas y acotadas } entonces Cb ( E , F ) es cerrado en ( B ( E , F ) , d ) . Demostración Sea f ∈ Cb ( E , F ) ⇒ ∃{ f n } ⊂ Cb ( E , F ) tal que fn → f hay que probar que f es acotada y continua para probar que f ∈ Cb ( E , F ) por definición de convergencia dado x ∈ E , ε > 0 sea n0 tal que ∀n ≥ n0 ε d ( fn , f ) < 3 Y como f n0 es continua sabemos que existe δ > 0 tal que si d ( x, y ) < δ entonces d ( f n0 ( x ) , f n0 ( y ) )
0 Sea n0 tal que n0 < ε tomamos dos elementos del conjunto de 2 ∞ ∞ x y 1 Cantor a distancia menor que n0 Sean ∑ ii , ∑ ii ⇒ xi = yi ∀i ≤ n0 en este 3 i =1 3 i =1 3 caso:

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Topología General

Capítulo 4  d 

 ∞ x f  ∑ ii  i =1 3

- 102 -

  ∞ yi   1 ∞ xi − yi ≤ , f  ∑ i  = ∑ i   i =1 3   2 n0 +1 2

∞ 1 ∞ xi − yi 1 1 1 ≤ 2 = n0 < ε ∑ ∑ i i 2 n0 +1 2 2 n0 +1 2 2 1 entonces si t , s ∈ C y d ( t , s ) < n0 = δ entonces: 3 d ( f (t ) , f ( s )) < ε por lo que f es uniformemente continua. Como corolario podemos afirmar que el conjunto de Cantor es no numerable.

≤

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Capítulo 5 Topología Producto Veamos primero la definición de topología producto para el cado finito. Definición 5.1 Sea {( X i ,τ i ) : i = 1,..., n} una familia finita de espacios topológicos. Entonces la familia de subconjuntos del producto cartesiano X 1 × X 2 × ... × X n B = {U1 × U 2 × ... × U n : U i ∈ τ i ∀i = 1,..., n} Como X 1 × X 2 × ... × X n se puede expresar como unión de elementos de B ,basta con tomar los U i = X i que son elementos de τ i , y como este conjunto es cerrado por intersecciones finitas Por tanto según corolario 2.18 existe una única topología sobre dicho conjunto respecto de la cual B es una base. La llamaremos topología producto y al espacio resultante producto topológico. Observación Para referirnos a un elemento del espacio producto podemos adoptar las siguientes anotaciones: n n   X = f : 1,..., n → X i : f ( i ) ∈ X i ∀i = 1,..., n  { }  U ∏ i   i =1 i =1 también suele usarse la siguiente notación n n   X = x : 1,..., n → X i : xi ∈ X i ∀i = 1,..., n  { }  U ∏ i   i =1 i =1 poniendo xi en vez de x ( i ) . n

Definición 5.2 Dado el producto cartesiano

∏X

i

definimos las funciones

i =1

n

pi : ∏ X i → X i como i =1

pi ( f ) = f ( i ) o pi ( x ) = xi que llamamos proyección canónica asociada al índice i

Topología General

Capítulo 5

- 104 -

Proposición 5.1 Las funciones proyecciones son continuas. Demostración Para probar el enunciado tenemos que probar que la imagen inversa de un abierto es abierto. Sea U i abierto en X i n   p (U i ) =  x ∈ ∏ X i : pi ( x ) = xi ∈ U i con U i ∈ τ i    i =1 −1 i

lo que significa:

pi−1 (U i ) = X 1 × ... × X i −1 × U i × X i +1 × ... × X n y por lo tanto

pi−1 (U i ) es abierto en el producto por lo que las proyecciones son continuas para todo i

Topología Producto

Caso infinito

Definición 5.3 Sea {( X α ,τ α ) : α ∈ I } una familia indexada de espacios topológicos se define el producto cartesiano de espacios topológicos a:   X α =  f : I → U X α : f (α ) ∈ X α  ∏   α∈I α∈I El axioma de elección nos dice que este conjunto producto es no vacío si y solo sí cada factor X α no lo es. A los elementos del espacio producto en ocasiones los anotaremos por x en lugar de f y en este caso x (α ) lo anotamos por xα con esta notación   X α =  x : I → U X α : xα ∈ X α  ∏   α∈I α ∈I Definición 5.4 Sea {( X α ,τ α ) : α ∈ I } una familia de espacios topológicos indexada definimos topología producto como la menor (la menos fina) topología que hace continua a las proyecciones pα : ∏ X β → X α β∈I

para todo α ∈ I .Así que definimos como topología producto como a la generada por la subbase S = { pα−1 (Uα ) : Uα abierto ,Uα ⊆ X α ∀α ∈ I } los abiertos de la base son entonces de la forma. - 104 -

Topología General

Topología Producto

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pα−11 (U α1 ) I pα−21 (Uα2 ) I ... I pα−n1 (U αn ) con n finito también podemos escribir a los mismos como ∏ X β × Uα1 × ... × Uαn β ∈I

β ≠{α1 ,...,α n }

Esto es, un abierto B de la base es un producto donde todos los espacios coordenados son los X α salvo para un número finito de índices α i con i = 1,..., n donde tenemos abiertos propios de cada uno de los espacios indexados. Finalmente un abierto de la topología producto será todo lo que podamos expresar cono unión de estos elementos B de la base que anotamos por B. Suele llamarse a esta topología, topología producto de Tychonoff pues fue A. Tychonoff quién en el año 1929 definió esta topología y probó sus más importantes propiedades. Observación 5.1 Realmente esta topología (τ ) es la menos fina de las que hacen continua todas las proyecciones. Demostración Supongamos que tenemos otra topología que llamamos σ que también hace continuas todas las proyecciones. Como   B =  I pα−1 (Uα ) : con Uα abierto, Uα ⊆ X α y F ⊂ I finito  α∈F  es la base de la topología producto τ . Entonces si U ∈B ⇒ U = pα−11 (Uα1 ) I ... I pα−n1 (Uα n ) y como cada pα−i1 (Uαi ) es abierto en σ porque esta topología hace continua las proyecciones entonces la intersección finita de abiertos es abierto en σ y U ∈ σ . Todo elemento de la base de τ esta en σ entonces si A es abierto con la topología τ como ⇒ A = U Aα con Aα ∈B y cada Aα es abierto según σ , la unión de abiertos α

es abierto ⇒ A = U Aα es abierto según σ ⇒ τ ⊂ σ o sea σ tiene más abiertos que α

τ la topología producto. Observación 5.2 Si tomamos como base de una topología aquellos conjuntos que sean producto arbitrario de abiertos, esto es si llamamos B a un elemento de la base: B = ∏Uα con U α abierto en X α ,α ∈ I α ∈I

obtenemos la llamada topología caja introducida por H. Tietze en 1923 históricamente anterior a la introducida por Tychonoff la cual posea más abiertos que nuestra topología producto y por tanto la contiene. Como las proyecciones son continuas con la topología producto entonces son continuas con la topología cajas. Ya que: - 105 -

Topología General

Capítulo 5

- 106 -

f : X →Y

  f continua  −1 1 2 τ 1X ⊂ τ X2  sea U abierto en τ Y ⇒ f (U ) ∈ τ X ⊂ τ X ⇒  2  según τ X 1  f continua según τ X  A menos que especifiquemos lo contrario, cuando hablemos del espacio producto, entenderemos que la topología involucrada es la topología producto de Tychonoff. Y la hemos preferido ya que la topología caja tiene ciertos defectos como. ß Tiene muchos abiertos si lo que queremos es hacer las proyecciones continuas, es claro que cuanto más abiertos tengamos en el dominio de una función más fácil es de que sea continua. ß No siempre el producto de espacios compactos es compacto ß No siempre el producto de espacios conexos es conexo. ß La continuidad de una función que llega a un espacio producto no puede ser caracterizada en términos de la continuidad de las funciones coordenadas.( ver ejemplo 5.1) ß Aún en el caso de productos enumerables no se garantiza que el producto de espacios N1 sea N1 Proposición 5.2 En el espacio producto con la topología producto las proyecciones son funciones continuas y abiertas. pα : ∏ X β → X α son continuas y abiertas β∈I

Demostración Que son continuas porque la topología producto se definió con dicho propósito. Para probar que es abierta alcanza con probar que pα ( B ) es abierto para todo abierto B de la base B . Tomemos un abierto B de la base ⇒ ∃α1 ,...,α n ∈ I y abiertos Uαi ∈ X αi ∀i = 1,..., n tales que B = pα−11 (Uα1 ) I ... I pα−n1 (Uα n ) = Uα1 × ... × Uα n ×

∏

Xβ

β ∈I

β ≠{α1 ,...,α n }

entonces pα ( B ) = Uαi si α = α i   para i = 1,..., n pα ( B ) = X α si α ≠ α i  en ambos casos la imagen es un abierto. Es decir que la imagen de abiertos de la base es un abierto.

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Topología General

Topología Producto

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Proposición 5.3 Dada una red {Td } ⊂ ∏ X β converge a x si y solo sí β∈I

pα (Td ) → pα ( x ) ∀α ∈ I Demostración ⇒ Si la red converge Td → x como las proyecciones son continuas entonces pα (Td ) → pα ( x ) ∀α ∈ I ⇐ Si pα (Td ) → pα ( x ) ∀α ∈ I Como si V ∈ N x ⇒ existe A abierto tal que x ∈ A ⊂ V y A es abierto implica que es unión de elementos de la base A = U Bβ donde Bβ son abiertos de la base β

entonces si x ∈ A ⇒ x ∈ U Bβ ⇒ ∃β 0 tal que x ∈ Bβ0 es decir que β

x ∈ Bβ0 ⊂ A ⊂ V entonces basta con probar que dado un abierto B de la base que contenga a x existe d 0 ∈ D tal que Td ∈ B ∀d ≥ d 0 así Td ∈ B ⊂ U Bβ = A ⊂ V β

Luego sea B un abierto de la base que contiene a x n

B = I pα−i1 (Uαi ) donde Uαi son abiertos en X αi ∀i = 1,..., n i =1

por hipótesis si x ∈ B ⇒ x ∈ pα−i1 (Uαi ) ⇒ pαi ( x ) ∈ Uαi ∀i = 1,..., n y por hipótesis

∃di ∈ D tal que Td ∈ Uαi ∀d ≥ di con i = 1,..., n sea: d 0 ≥ max {d1 ,..., d n } que existe porque cada dos di d j se puede obtener una mayor que esos dos, repetimos este razonamiento con este último y otro d cualquiera y así tenemos uno mayor que todos . ∀d ≥ d 0 ⇒ d ≥ di ⇒ pαi (Td ) ∈ Uαi ∀i = 1,..., n o sea

Td ∈ pα−i1 (Uαi ) ∀i = 1,..., n y por lo tanto Td ∈ B ∀d ≥ d 0 - 107 -

Topología General

Capítulo 5

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Observación 5.3 Sea X un conjunto e Y un espacio topológico. Anotamos Y X = ∏Y = { f : X → Y } x∈ X

entonces una red { f d } converge a f ⇔ { f d ( x )} converge a f ( x ) ∀x ∈ X o sea, la convergencia en la topología producto es la convergencia puntual. El espacio producto también nos da otra forma de ver las sucesiones, estas son elementos del espacio X • . Proposición 5.4 Sean Y , X α ∀α ∈ I espacios topológicos una función f : Y → ∏ Xα α∈I

es continua si y solo sí

( pα o f ) : Y → ∏ X α es continua ∀α ∈ I α ∈I

Demostración ⇒ Como pα es continua pα o f es continua si f es continua Y ⇐ Si pα o f son continuas ∀α ∈ I sea x ∈ Y y sea Td la red que converge a x entonces pα o f ( pα o f )(Td ) → ( pα o f ) ( x ) en X α es decir: pα [ f (Td )] → pα [ f ( x )] ∀α ∈ I por proposición anterior f (Td ) → f ( x ) en ∏ X α

f

∏X

α

α∈I

pα Xα

α∈I

y por proposición 3.10 f es continua. Ejemplo 5.1 Consideremos °ω , el producto numerable de R consigo mismo infinitas veces. Es decir °ω = ∏ X n con X n = ° ∀n ∈ • n∈•

Sea R con la topología usual y definimos f : ° → °ω mediante la ecuación: f ( x ) = ( x, x,...., x,...) la n-ésima función coordenada de f es la función pn ( f ( x ) ) = x cada una de las funciones coordenadas pn o f : ° → ° es continua; así pues, la función f es continua si °ω está dotado con la topología producto por la proposición anterior. Pero f no es

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Topología General

Topología Producto

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continua si °ω está dotado con la topología por cajas. Consideremos, por ejemplo, el elemento básico 1 1 1 1 B = ( −1,1) ×  − ,  ×  − ,  × ......  2 2  3 3 para la topología por cajas. Afirmamos que f −1 ( B ) no es abierto en R. Ya que primero que nada como el 0 ∈ B y f −1 ( 0 ) = 0 ⇒ 0 ∈ f −1 ( B ) entonces si f −1 ( B ) es abierto en R es entorno de todos sus puntos en particular del cero entonces tendría algún abierto ( −δ , δ ) ⊂ f −1 ( B ) . Esto significa que f ( ( −δ , δ ) ) ⊂ f ( f −1 ( B ) ) ⊂ B , por lo que aplicando pn a ambos lado de la inclusión, 1 1 pn ( f ( −δ , δ ) ) ⊂  − ,  ∀n ∈ • 144244 3  n n =( −δ ,δ )

lo que implica que δ = 0 ⇒ ( −δ , δ ) = {0} que no es abierto en R con la topología usual. Proposición 5.5 Dados ( X α ,τ α ) α ∈ I espacios topológicos tenemos entonces que son Hausdöff para todo α ∈ I si y solo sí

∏X

α

es de Hausdöff.

α∈I

Demostración

⇒ X α sean de Hausdöff ∀α ∈ I tomamos

x, y ∈ ∏ X α con x ≠ y α∈I

entonces ∃α 0 ∈ I tal que x (α 0 ) ≠ y (α 0 ) y como X α 0 es de Hausdöff implica que existen U ,V abiertos en X α0 tales que x (α 0 ) ∈ U , y (α 0 ) ∈ V con U I V = φ y como pα−01 (U ) , pα−01 (V ) son abiertos de la subbase de

∏X

α

y además son disjunto ya que

α∈I

de no serlo el elemento en común tendría que proyectarse sobre X α 0 en la interseción de U y V que es vacía. x ∈ pα−01 (U ) Tenemos que y ∈ pα−01 (V )

abiertos y disjuntos ⇒ que el producto es de Hausdöff

⇐ Si ∏ X α es de Hausdöff tomemos un X α 0 cualquiera y en él sean xα 0 , yα 0 ∈ X α 0 α∈I

con xα0 ≠ yα0 y sean x, y ∈ ∏ X α tales que x (α ) = y (α ) ∀α ≠ α 0 y : α ∈I

x (α 0 ) = xα 0 y (α 0 ) = yα0

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Topología General

Capítulo 5

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Entonces como x ≠ y implica que existen abiertos de la base U, V disjuntos tales que x ∈ U e y ∈ V lo que significa a su vez que: existen α1 ,...,α n ∈ I tales que Uαi abierto de X αi ∀i = 1,..., n y β1 ,..., β m ∈ I tal que

Vβi abierto de X βi ∀i = 1,..., m tales que: n

U = I pα−i1 (Uαi ) = Uα1 × ... × Uα n × i =1

∏

Xα

∏

Vβ

α ≠{α1 ,...,α n }

U

m

V = I pβ−i1 (Vβi ) = Vβ1 × ... × Vβ m × i =1

β ≠{ β1 ,..., β m }

Uα0 xα0 Vα0 yα0

como: x ∈U ⇒

V

X α0

p i ( x ) ∈ Uαi ∀i = 1,..., n 1α2 3 = pαi ( y ) si α i ≠α 0 = pαi ( x ) si α i ≠α 0

y ∉ U ⇒ ∃α i con i = 1,..., n tal que

678 pαi ( y ) ∉ Uαi

es decir que uno de los α i = α 0 (podemos suponer que además es único ya que de haber más de uno tomamos la intersección de ellos ) Análogamente ∃j tal que β j = α 0 único. Entonces proyectando U,V sobre X α 0 xα0

∈   } pα0  Uα1 × ... × U α n × ∏ X α  = Uα0 α ≠{α1 ,...,α n }     pα0  Vβ1 × ... × Vβ m × ∏ X β  = Vα0 β ≠{ β1 ,..., β m }   {

abiertos disjuntos en X α0

∈

yα0

ya que como U I V = φ ⇒ Uα 0 I Vα 0 = φ luego conseguimos dos abiertos disjunto que separan a x (α 0 ) e y (α 0 ) en X α 0 ⇒ es de Hausdöff . Proposición 5.6 Sean ( E1 , d1 ) ,..., ( En , d n ) espacios métricos y : d ∞ ( ( x1 ,..., xn ) , ( y1 ,..., yn ) ) = max {di ( xi , yi ) : ∀i = 1,..., n} la topología inducida por d ∞ es la topología producto. Demostración Sea {Td } una red en E1 × E2 × ... × En tal que: d∞ Td  → x Entonces dado ε > 0 ∃d 0 ∈ D tal que : - 110 -

Topología General

Topología Producto

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pi (Td )  }  Td = (Td (1) ,..., Td ( n ) )  P     y  max  di  Td ( i ) , xi   < ε ∀d ≥ d 0     x = ( x1 ,..., xn )    

lo que implica pi (Td ) = Td ( i )  → xi ∀i ya que: di Si el máximo de los di ( Td ( i) , xi ) es < ε ⇒ que son todos menores que ε Sea di (Td ( i ) , xi ) < ε ∴ pi (Td ) = Td ( i )  → xi ∀i di y como la convergencia coordenada a coordenada implica en la topología producto que Td → x con la topología producto y recíprocamente todas las implicaciones son recíprocas. Proposición 5.7 Sea {En }n∈• una familia numerable de espacios métricos entonces: ∞

∏E

n

es metrizable

1

Demostración Recordar que si ( E , d ) es un espacio métrico decimos que es acotado si: ∃k > 0 tal que d ( x, y ) ≤ k ∀x, y ∈ E Si no esta acotado sea: d 0 ( x, y ) = min {1, d ( x, y )} es una distancia en E y además esta acotada probaremos que induce la misma topología que d. O sea d 0 , d inducen la misma topología porque: Si xn  → x ⇔ d ( x, xn ) → 0 ⇔ d 0 ( x, xn ) → 0 ⇔ xn  →x d d0 Entonces se puede suponer que los espacios métricos ( En , d n ) están acotados para todo n si no es así cambiamos por ( En , d 0 ) y no cambia la topología entonces: d n ( x, y ) ≤ 1 ∀n ∈ • Se define ∞

∞

1

1

d : ∏ En × ∏ E n → °

x = { x ( i )} y = { y ( i )} : ∞

d ( x, y ) = ∑ 1

di ( x ( i ) , y ( i ) ) 2i

es fácil ver que es una distancia y además - 111 -

Topología General

Capítulo 5

- 112 -

∞

1 =1< ∞ i 1 2 d induce la topología producto en ∏ En como: d ( x, y ) ≤ ∑ n∈•

Te  → x ⇔ Te ( i )  → x (i ) top. prod. di entonces tenemos que probar que: Te  → x ⇔ Te ( i )  → x (i ) d di ⇐ Dado ε > 0 sea k ∈ • tal que:

∞

1

∑2 k +1

i


0 2

y para i ≤ k sea ei tal que: ε si e ≥ ei 2 Sea e tal que e ≥ ei ∀i = 1,..., k Entonces si e ≥ e di ( Te ( i ) , x ( i ) )
0 ∃δ > 0 tal que si t − t0 < δ entonces α ( t ) − α ( t0 ) < ε Sea t1 tal que t1 − t0 < δ entonces α ( t1 ) ∈ B I B (α ( t0 ) , ε ) pero tenemos que existe t ∈ ( t0 , t1 ) tal que α1 ( t ) =

3 2

1 y para este t + 2n

 1  α (t ) =  2 , −1 ∉ B (α ( t0 ) , ε )  3 + 2n  Luego t0 < 1 nos lleva a un absurdo por lo tanto t0 = 1 ⇒ que no podemos salimos de A. Lo que implica que no es conexo por camino. Además sus componentes conexas por camino son A y B (B no es cerrado) Mientras que componente conexa hay una sola, ya que X es conexo. Definición 6.11 Sea X un espacio topológico decimos que es localmente conexo por caminos si todo punto x ∈ X tiene una base de entornos conexos por caminos. - 131 -

Topología General

Capítulo 6

- 132 -

Anotamos lcc Proposición 6.26 Sea X un espacio topológico las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1) X es lcc 2) Si A ⊂ X abierto entonces las componentes conexas por camino de A son abiertas. 3) Existe una base de X cuyos miembros son conexos por camino. Demostración 1) ⇒ 2) Si X es localmente conexo por camino ⇒ ∀x ∈ X se tiene : Bx = {V ∈ N x : V conexo por camino} Sea A abierto y C una componente conexa por camino de A.( C ⊂ A ) Tomemos x ∈ C al ser A abierto implica que es entorno de todos sus puntos, como x ∈ A ⇒ A ∈ N x por definición de base local ⇒ ∃V ∈Bx tal que x ∈ V ⊂ A . Como V es conexo por camino y tiene a x en común con C entonces: ∀y ∈ V ⇒ { y :C x ⇒ { y ∈ C ⇒V ⊂ C x∈V

x∈C

en resumen ∀x ∈ C ∃V ∈ N x tal que V ⊂ C por lo tanto C es abierto. 2) ⇒ 3) Sea B = { A ∈ τ : A es conexo por camino} Si B es abierto por hipótesis las componentes conexas por camino de B son abiertas llamemos a estas CCxB para x ∈ B entonces: B = U CC xB x∈B

B x

y por ser los CC conexos y abiertos ⇒ CCxB ∈B ∀x ∈ B luego todo abierto se puede escribir como unión de elementos de B ⇒ es una base. 3) ⇒ 1) Sea B una base de conexos por caminos, x ∈ X , definimos. Bx = {V ∈B : x ∈ V } implica queBx es una base de entornos conexos por camino de x ya que si V ∈B ⇒ V es abierto y como x ∈ V ⇒ V ∈ N x y conexo por camino. Proposición 6.27 Si X es un espacio topológico localmente conexo por camino entonces las componentes conexas por camino CCx de x, son abiertas y cerradas ∀x ∈ X . Demostración Por la proposición anterior 2) si tomamos A = X tenemos que las componentes conexas por camino de X son abiertas. - 132 -

Topología General Sea

x0 ∈ ( CC x )

C

Espacios Conexos

- 133 -

⇒ x0 : C x como el espacio es localmente conexo por camino

implica que existe N ∈ N x0 con N conexo por camino ∀y ∈ N supongamos que y : C x como y : C x0 ⇒ x : C x0 Luego y : C x ⇒ y ∈ ( CCx )

C

C

⇒ N ⊂ ( CCx ) o sea que el complemento es abierto y

por lo tanto la componente conexa por camino es cerrada. Proposición 6.28 Sea X un espacio topológico localmente conexo por camino entonces: X es conexo si y solo sí, X es conexo por camino. Demostración ⇐ ya está demostrado en la proposición 6.20 ⇒ Sea x ∈ X y CCx su componente conexa por camino que por la proposición anterior es abierta y cerrada luego como por hipótesis X es conexo, entonces usando proposición 6.1(2) CC = φ ⇒ x CCx = X y como CCx es no vacía ya que x ∈ CCx ⇒ CCx = X Es decir que X tiene solo una componente conexa por camino ⇒ es conexo por camino (por proposición 6.22). Ejemplo practico Sea X un espacio topológico y A ⊂ X . Sea C ⊂ X un conjunto conexo tal que C I A ≠ φ y C I AC ≠ φ . Probar que C I ∂A ≠ φ Demostración Supongamos por absurdo que C I ∂A = φ primero que nada observemos que C I A \ ∂A = C I A − C I ∂A = C I A 123 =φ

y como A \ ∂A = Ao ⇒ es abierto en X pero esto a su vez implica que C I A es abierto en C y distinto del vacío por hipótesis. Por otro lado como ∂A = ∂AC ya que por definición: ∂A = A I AC y entonces aplicando la definición al complemento se tiene - 133 -

Topología General

Capítulo 6

- 134 -

C

∂AC = AC I ( AC ) = AC I A = ∂A luego podemos hacer el mismo razonamiento que más arriba para C I AC . C I AC \ ∂AC = C I AC − C I ∂{ AC = C I AC =∂A 1 424 3 =φ

y como

C

A \ ∂A = ( A C

C o

)

que es abierto en X luego C I AC es abierto en C y

distinto del vacío por hipótesis. Es decir que en resumen tenemos que los conjuntos C I A y C I AC son abiertos no vacíos en C y disjuntos por serlo A y AC tales que: C = ( C I A) U ( C I AC ) lo cual es absurdo por ser C conexo. Luego tiene que ser C I ∂A ≠ φ

- 134 -

Capítulo 7 Espacios Métricos Completos Definición 7.1 Una sucesión { xn } es de Cauchy en un espacio métrico ( E , d ) si: Dado ε > 0 ∃n0 ∈ • tal que ∀m, n ≥ n0 se cumple: d ( xm , xn ) < ε Proposición 7.1 Si una sucesión { xn } es convergente entonces es de Cauchy Demostración Si xn → x ⇒ Dado ε > 0 ∃n0 ∈ • tal que ∀n ≥ n0 ε d ( xn , x ) < 2 entonces si n, m ≥ n0 aplicando la desigualdad triangular d ( xn , xm ) ≤ d ( xn , x ) + d ( xm , x ) < ε 1 424 3 1 424 3
n%0 existe nk > n%0 (por definición de d ( xnk , x )
0 entonces existe n0 ∈ • tal que ∀m, n ≥ n0 se cumple d E ( xn , xm ) < ε Sea y0 ∈ F fijo y consideremos la función h : E → ( E × F , d ∞ ) definida por h ( x ) = ( x, y0 ) h es una inmersión isométrica ya que d ∞ ( h ( x ) , h ( x′ ) ) = max {d E ( x, x′ ) , dE ( y0 , y0 )} = d E ( x, x′ ) entonces aplicando la proposición 7.4 por ser la inmersión isométrica uniformemente continua {h ( xn )} = {( xn , y0 )} es de Cauchy en E × F luego x → x ( xn , y0 ) → ( x, y ) ⇒  n  y0 → y = y0 luego ( E , d E ) es completo. Análogamente con ( F , d F ) ⇐ Si ( E , d E ) y ( F , d F ) son completos y consideramos una sucesión de Cauchy {( xn , yn )} en el producto ( E × F , d∞ ) como: d E ( xn , xm ) ≤ d ∞ [( xn , yn ) , ( xm , ym )] = max {d E ( xn , xm ) + d F ( yn , ym )} al ser {( xn , yn )} de Cauhy se tiene que para cada ε > 0 ∃n0 ∈ • tal que ∀m, n ≥ n0 d E ( xn , xm ) ≤ d ∞ [( xn , yn ) , ( xm , ym )] < ε por lo tanto al ser d ( xn , xm ) < ε ∀m, n ≥ n0 ⇒ { xn } es de Cauchy en E De la misma forma { yn } es de Cauchy en F entonces como E y F son completos xn → x en E   ⇒ ( xn , yn ) → ( x, y ) en E × F yn → y en F 

- 139 -

Topología General

Capítulo 7

- 140 -

Lema 7.10 Sea ( E , d ) un espacio métrico y en el xn → x e yn → y entonces d ( xn , yn ) → d ( x, y ) es decir lim n d ( xn , yn ) = d ( x, y ) Es como que podemos pasar del límite de la distancia al límite de sus componentes Demostración Si xn → x ⇒ para cada ε > 0 ∃n1 ∈ • tal que ∀n ≥ n1 se cumple d ( xn , x ) < ε y que yn → y ⇒ para cada ε > 0 ∃n2 ∈ • tal que ∀n ≥ n2 se cumple d ( yn , y ) < ε entonces si tomamos n0 = max {n1 , n2 } entonces ∀n ≥ n0 se cumple: d ( xn , y n ) − d ( x , y ) ≤ ≤ d ( xn , y n ) − d ( xn , y ) + d ( xn , y ) − d ( x , y ) ≤ ≤ d ( yn , y ) + d ( xn , x ) < ε 1 424 3 1 424 3 0 tal que d ( f n0 ( x ) , f n0 ( y ) ) < k

∀x, y ∈ E

entonces ∀n, m ≥ n0 d ( f n ( x ) , f m ( y ) ) ≤ d ( f n ( x ) , f n0 ( x ) ) + d ( f n0 ( x ) , f n0 ( y ) ) + d ( f n0 ( y ) , f m ( y ) ) < k + ε 1442443 144 42444 3 144 42444 3 0

d ( f% ( x ) , f% ( y ) ) < ε

por lo tanto f% es uniformemente continua. Si f es una inmersión isométrica se tiene d ( f% ( x ) , f% ( y ) ) = lim d ( f ( xn ) , f ( yn ) ) n →∞

= {

f inm. isom.

lim d ( xn , yn ) = d ( x, y ) n →∞

luego f% también es una inmersión isométrica además como f% : M → f% ( M ) es sobre entonces es una isometría. Por ser f% ( x ) = lim f ( xn ) ⇒ f% ( x ) ∈ Im f ⇒ Im f% ⊂ Im f Por otro lado - 143 -

Topología General

Capítulo 7

- 144 -

Como M = X tenemos que es cerrado luego por ser f% es una isometría f% ( M ) es cerrado ⇒ Im f% = Im f% entonces como Im f ⊂ Im f% luego

⇒ Im f ⊂ Im f% = Im f%

Im f = Im f%

Definición 7.4 Sea M un espacio métrico una completación de M es un par Mˆ , i

(

)

donde Mˆ es completo e i : M → Mˆ es una inmersión isométrica tal que i ( M ) = Mˆ Ejemplo 7.5 La pareja ( °,inc ) es una completación de § ya que inc:§ → R es una inmersión isométrica y § = ° . Ejemplo 7.6 Un espacio métrico completo X tiene como completación la pareja ( X , Id.) Proposición 7.14 Si M,N son espacios métricos, N completo f : M → N uniformemente continua, Mˆ , i una completación de M entonces existe una única

(

)

f% : Mˆ → N uniformemente continua. Y si además f es una inmersión isométrica entonces f% también y además: f% Mˆ = f ( M )

( )

Im f% = Im f

Demostración Sea −1 ˆ i i −1 X = i ( M ) ⊂ M y sea f 0 = f o i Como f es uniformemente continua implica M que f 0 también Al ser X = Mˆ por teorema anterior existe una única f% : Mˆ → N tal que f% es una extensión continua de f Si x ∈ M tenemos

f%

i ( M ) ⊂ Mˆ

N f

0

( f% o i ) ( x ) = f% (i ( x )) = ( f o i ) (i ( x ) ) = f ( x ) −1

f% es uniformemente continua y es una inmersión isométrica si f lo es.

- 144 -

Topología General

Espacios Métricos Completos

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Como Mˆ = i ( M ) ⇒ Mˆ es cerrado y como f% : Mˆ → f% Mˆ

( )

es una isometría se

tiene que f% Mˆ es cerrado .

( )

Por otro lado f% Mˆ = f% i ( M ) ⊂ f% ( i ( M ) ) = ( f o i −1 ) ( i ( M ) ) = f ( M )

( )

(

)

Luego

f% Mˆ ⊂ f ( M )

( )

por ser f% una extensión de f tenemos f ( M ) ⊂ f% Mˆ

( )

Tenemos

f ( M ) ⊂ f% Mˆ ⊂ f ( M )

( )

y por lo tanto f ( M ) ⊂ f% Mˆ ⊂ f ( M )

( ) f ( M ) ⊂ f% ( Mˆ ) ⊂ f ( M ) es decir que

f% Mˆ = f ( M )

( )

Proposición 7.15 Sea ( M , d ) un espacio métrico. Si

( Mˆ , i ) y ( Mˆ , i ) 1 1

2

son dos

2

completaciones de M entonces existe una isometría j : Mˆ 1 → Mˆ 2 tal que j o i1 = i2 m i1

M i2

i1 ( m )

i1

i2 ( m )

i2

Mˆ 1

j

Mˆ 2 j

Demostración Podemos aplicar el teorema anterior tomando f = i2 ⇒ f% = j Como además i2 es una inmersión isométrica implica que j es una inmersión isométrica y j Mˆ = i ( M ) = Mˆ

( ) 1

2

2

Como j es sobre entonces es una isometría - 145 -

M i1

i1−1 Mˆ 1

Mˆ 2

i2 j

Topología General

Capítulo 7

- 146 -

Proposición 7.16 Todo espacio métrico tiene una completación Demostración Consideremos un punto fijo m0 ∈ M entonces para cada x ∈ M nos definimos una función f x : M → ° tal que f x ( y ) = d ( y, x ) − d ( y, m0 ) f x es continua para cada x ∈ M por ser la distancia una función continua. Probaremos que está acotada fx ( y) − fx ( z ) = d ( y, x ) − d ( y, m0 ) − ( d ( z , x ) − d ( z , m0 ) ) ≤ y

≤ d ( y, x ) − d ( y, m0 ) + d ( z , x ) − d ( z , m0 ) ≤

z

≤ d ( x, m0 ) + d ( x, m0 ) = = 2d ( x, m0 ) cte para cada x ∈ M ∀y, z

x

m0

Luego f x está acotada ⇒ f x ∈Cb ( M , ° ) y este último es cerrado y completo ( proposición 7.12) Definimos i : M → Cb ( M , ° ) como i ( x ) = f x Tenemos que probar que i es una inmersión isométrica. d ( i ( x ) , i ( y ) ) = d ( f x , f y ) = sup { f x ( z ) − f y ( z ) : z ∈ M } y como f x ( z ) − f y ( z ) = d ( z , x ) − d ( z , m0 ) − d ( z , y ) + d ( z , m0 ) = = d ( z , x ) − d ( z , y ) ≤ d ( x, y ) luego d ( f x , f y ) = sup { f x ( z ) − f y ( z ) : z ∈ M } ≤ d ( x, y ) y como para z = x se tiene f x ( x ) − f y ( x ) = d ( x, x ) − d ( x, m0 ) − d ( x, y ) + d ( x, m0 ) = d ( x, y ) por lo tanto d ( f x , f y ) = sup { f x ( z ) − f y ( z ) : z ∈ M } = d ( x, y ) es decir d ( i ( x ) , i ( y ) ) = d ( x, y ) por lo que i es una inmersión isométrica. Consideremos Mˆ = i ( M ) como Mˆ es cerrado dentro de Cb ( M , ° ) que es completo entonces Mˆ es completo y por lo tanto el par Mˆ , i es una completación de M.

(

- 146 -

)

Topología General

Espacios Métricos Completos

- 147 -

Proposición 7.17 (Teorema de Cantor) Sea ( M , d ) un espacio métrico entonces M es completo si y solo sí para toda sucesión { Fn } de conjuntos cerrados no vacíos encajados, es decir Fn ⊂ Fn−1 cuyo diámetro tiende a cero se tiene que existe a ∈ M tal que I Fn = {a} Demostración ⇒ tomemos un xn ∈ Fn esto es posible por ser los Fn no vacíos. Que el diámetro tienda a cero implica que dado ε > 0 ∃n0 ∈ • tal que ∀n ≥ n0 se cumple que diamFn = sup {d ( x, y ) : x, y ∈ Fn } < ε Ahora xn ∈ Fn ⊂ Fn0  ∀m, n ≥ n0  ⇒ d ( xn , xm ) < diam Fn0 < ε xm ∈ Fm ⊂ Fn0  luego ∀m, n ≥ n0 d ( xn , xm ) < ε ⇒ { xn } es de Cauchy en M que es completo luego ∃a ∈ M tal que xn → a Es decir que si tomamos B ( a, ε ) ∃n0 ∈ • tal que xn ∈ B ( a, ε ) entonces B ( a, ε ) I Fn ≠ φ ∀n ≥ n0 y si n < n0 ⇒ Fn0 ⊂ Fn B ( a, ε ) I Fn ⊃ B ( a, ε ) I Fn0 ≠ φ luego B ( a, ε ) I Fn ≠ φ ∀n ∈ • ⇒ a ∈ Fn = { Fn cerrados

es decir {a} ∈ I Fn n∈•

ahora si existiera otro {b} ∈ I Fn ⇒ a, b ∈ Fn ∀n ∈ • y n∈•

d ( a, b ) ≤ diamFn < ε para todo ε > 0 d ( a, b ) < ε ⇒ d ( a, b ) = 0 ⇒ a = b .luego existe un único punto a ∈ M que cumple la tesis. ⇐ Sea { xn } una sucesión de Cauchy en M. Definimos Fn Fn = { xk : k ≥ n} xn xn+1 Por ser la sucesión de Cauchy se cumple que ∀ε > 0 ∃n0 ∈ • tal que ∀m, n ≥ n0 se cumple que

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Topología General

Capítulo 7

- 148 -

ε 3 Sea Fn con n ≥ n0 y tomemos dos puntos x, y ∈ Fn como x ∈ { xk : k ≥ n} entonces por definición de clausura para cualquier entorno del punto x tenemos puntos del conjunto y en particular: ε ∃xl con l ≥ n ≥ n0 tal que d ( xl , x ) < 3 análogamente para y ∈ Fn ε ∃xt t ≥ n ≥ n0 tal que d ( xt , y ) < 3 entonces aplicando desigualdad triangular d ( x, y ) ≤ d ( x, xl ) + d ( xl , xt ) + d ( xt , y ) < ε 1 424 3 1 424 3 1 424 3 d ( xn , xm )
0 B ( x, ε ) I A ≠ φ  x ∈ ∂A ⇒  y  C C  x ∈ A ⇒ ∀ ε > 0 B ( x, ε ) I A ≠ φ es decir que cualquier bola de centro x contiene puntos de A y como A I ∂A = φ por ser A abierto, entonces no hay bola que este totalmente contenida en ∂A . ⇒ Tiene interior vacío. Ejemplo 7.10 Sea M = ° y consideremos el conjunto de Cantor C ya vimos que o

o

C = C = φ ⇒ C nunca denso en °

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Topología General

Espacios Métricos Completos

- 151 -

esto implica que es magro en ° ( pero más adelante veremos que no es magro en sí mismo) Observación 7.1 A es magro si y solo sí A ⊂

UD

n

con Dn cerrados con interior

n∈•

o

vacíos ya que por definición es magro si A ⊂ U Fn con Fn = φ pero siempre n∈•

Fn ⊂ Fn ⇒ A ⊂

UF

n

⊂

n∈•

UF

n

con Fn cerrado.

n∈•

⇐ A ⊂ U Dn con Dn cerrado ⇒ Dn = Dn

y como tienen interior vacío por

n∈•

o

o

hipótesis se cumple Dn = Dn = φ por definición A es magro. Observación 7.2 Todo conjunto nunca denso es magro ya que lo podemos ver como la unión de sí mismo. Es decir es la unión numerable (un solo conjunto ) de conjuntos nunca densos (él mismo). Pero no se cumple el recíproco, por ejemplo los racionales ya dijimos que es magro pero no es nunca denso. Proposición 7.20 Sea X un espacio topológico, A ⊂ X entonces o

1) A es nunca denso en X si y solo sí ( AC ) es denso en X 2) Si A es cerrado, A nunca denso si y solo sí AC es denso. o

C

Demostración Sea B = ( A ) ⇒ por lema 2.13 (a) B = ( AC ) por otro lado como o

o

C

B = A y A nunca denso ⇔ A = φ ⇔ ( B C ) = φ ⇔ ( B ) = φ ⇔ B = X ⇒ B es C

denso en X. o

C

2) Si A es cerrado , y A nunca denso ⇔ por 1) ( AC ) es denso ⇔ ( A ) es denso ⇔ como A es cerrado entonces AC es denso en X. Proposición 7.21 (Teorema de Baire) Sea M un espacio métrico completo y {U n }n∈• una familia numerable de abiertos densos en M entonces IU n es denso en M. Demostración Vamos a probar que ∀x ∈ M y r > 0 entonces B ( x, r ) I ( IU n ) ≠ φ Dado entonces x ∈ M , r > 0 Sea B1 = B ( x, r ) como U 1 es denso ⇒ ∃x2 ∈ U1 I B1 además por ser U 1 y B1 abierto ⇒ U1 I B1 es abierto y entonces existe r1 > 0 tal que

- 151 -

Topología General

Capítulo 7

- 152 -

B ( x2 , r1 ) ⊂ U 1 I B1 ⊂ B1 1 r1 , entonces B ( x2 , ε 2 ) ⊂ B ( x2 , r1 ) 2 2 Llamemos B2 = B ( x2 , ε 2 ) se tiene que: Sea ε 2 = min

{ }

B2 ⊂ U 1 I B1 ⊂ B1 ⊂ B1 es decir B2 ⊂ B1 a su vez como U 2 es denso ⇒ ∃x3 ∈U 2 I B2 y por ser U 2 y B2 abiertos ⇒ U 2 I B2 es abierto luego igual que antes existe r2 > 0 tal que: B ( x3 , r2 ) ⊂ U 2 I B2 ⊂ B2 1 r Sea ε 3 = min , 2 ⇒ B ( x3 , ε 3 ) ⊂ B ( x3 , r2 ) 3 2 Llamemos B3 = B ( x3 , ε 3 ) se tiene que:

{ }

B3 ⊂ B ( x3 , r2 ) ⊂ U 2 I B2 ⊂ B2 ⊂ B2 De esta forma tenemos { xn } , ε n tales que Bn = B ( xn , ε n ) con ε n < 1n y Bn ⊂ B n−1 cerrados no vacíos y como U n es denso tenemos que existe xn+1 ∈ U n I Bn y por ser U n y Bn abiertos U n I Bn es abierto ⇒ ∃rn > 0 tal que B ( xn+1 , rn ) ⊂ U n I Bn 1 r Sea ε n+1 = min , n ⇒ B ( xn+1 , ε n+1 ) ⊂ B ( xn+1 , rn ) ⊂ U n I Bn n 2 Llamemos Bn+1 = B ( xn+1 , ε n+1 ) se tiene que:

{ }

Bn+1 ⊂ U n I Bn ⊂ Bn ⊂ Bn obtenemos una sucesión de cerrados encajados no vacíos cuyo diámetro cumple: diamBn < 2n ⇒ diamBn → 0 entonces podemos aplicar el teorema de Cantor es decir que existe a ∈ M tal que a ∈ I Bn n∈•

Entonces: ∀n ∈ • a ∈ Bn+1 ⊂ U n I Bn ⊂ U n ⇒ a ∈ I U n

   ⇒ a ∈ B1 I ( IU n ) a ∈ Bn+1 ⊂ Bn ⊂ ... ⊂ B2 ⊂ U 1 I B1 ⊂ B1 ⇒ a ∈ B1  Por lo tanto IU n es denso en M. n∈•

Una forma diferente de enunciar el teorema de Baire es el siguiente corolario o

Corolario 7.22 Sea M un espacio métrico completo y F es magro entonces F es vacío.

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Topología General

Espacios Métricos Completos

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o

Demostración F magro si F ⊂ U Dn con Dn cerrado y Dn = φ ver observación 7.1 o

Sea D = U Dn afirmamos que D = φ ya que D C = ( U Dn ) = I DnC C

como Dn es cerrado ⇒ DnC es abierto, por la proposición 7.20 por ser Dn nunca o

denso entonces ( DnC ) es denso ⇒ DnC es denso, por el teorema de Baire, al ser M un espacio métrico completo la intersección numerable de abiertos densos es denso. Es decir que D C = I DnC es denso DC = X lema 3.13 b o o  ⇒ o C ⇒ F ⊂ D ⇒ F ⊂ D =φ  D  = X ⇒ Do = φ     Corolario 7.23 Si M es un espacio métrico completo entonces no es magro en sí mismo. Demostración Si M fuera magro en M por corolario anterior o

M = M =φ lo que es un absurdo. Corolario 7.24 Sea M un espacio métrico tal que M = U Fn y Fn es cerrado o

entonces existe n0 ∈ • tal que Fn0 ≠ φ o

o

Demostración Si no fuera así se tendría que Fn = { Fn = φ ∀n ∈ • ⇒ nunca denso cerrado o

lo que quiere decir que M es magro y por corolario 7.23 ⇒ M = φ Observación 7.3 El teorema de Baire como alguno de sus corolarios siguen siendo verdaderos si sustituimos la hipótesis de espacio métrico por la de espacio topológico homeomorfo a un espacio métrico completo. Definición 7.8 Un espacio topológico cualquiera se dice de Baire si todo conjunto magro tiene interior vacío

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Topología General

Capítulo 7

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Con esta terminología y con el corolario 7.22 podemos enunciar el teorema de Baire como sigue. Proposición 7.25 Sea M un espacio métrico completo entonces es un espacio de Baire. Observación 7.4 La terminología usada por el propio Baire era, a los espacios de Baire se les llamaba espacios de primera categoría y se decía que otro espacio que no fuera de Baire, de segunda categoría Proposición 7.26 Sea M un espacio métrico completo, A abierto entonces A es homeomorfo a un espacio métrico completo. Demostración Sea una función f : M → ° definida como: d ( x, AC ) = inf {d ( x, b ) : b ∈ AC } si x ∈ A f ( x) =  0 si x ∈ AC Primero que nada f es continua por ser d continua y la función 0 estando definidas en cerrados tales que su unión es todo el espacio y en los puntos comunes valen lo mismo es decir si x ∈ ∂A = A I AC ⇒ x ∈ AC ⇒ d ( x, AC ) = 0 (ver ejemplo 3.16 ) Además tenemos que si para algún x f ( x ) = 0 ⇒ inf {d ( x, b ) : b ∈ AC } = 0 e implica que existe bn ∈ AC tal que d ( x, bn )
0 y definimos la siguiente función: ϕ : A→ M ×° C

(

es decir ϕ ( a ) = a,

1 f (a)

)

 1  a →  a,   f (a)  está bien definida por ser f ( a ) > 0 y es continua ya que:

π 1 o ϕ ( a ) = a es continua π 2 oϕ (a) = 1

que tambien es continua f (a) además Im ϕ ⊂ {( x, r ) ∈ M × ° : f ( x ) r = 1} y Sea ( x, r ) ∈ M × ° tal que f ( x ) r = 1 ⇒ f ( x ) ≠ 0 entonces existe x ∈ A tal que

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Topología General

Espacios Métricos Completos

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1 y luego ( x, r ) = ϕ ( x ) f ( x) implica que ( x, r ) ⊂ Im ϕ luego: Im ϕ = {( x, r ) ∈ M × ° : f ( x ) r = 1} ahora probaremos que este conjunto es cerrado. Para ello sea {( xn , rn )}n∈• ⊂ Im ϕ una sucesión tal que ( xn , rn ) → ( x, r ) r=

Ahora como los ( xn , rn ) ∈ Im ϕ ⇒ f ( xn ) rn = 1 y como f es continua f ( xn ) → f ( x ) y por se rn → r se tiene que f ( xn ) rn → f ( x ) r luego ( x, r ) ∈ Im ϕ por lo tanto Imϕ es cerrado en M × ° que es completo luego Imϕ es completo. Además ϕ : A → ϕ ( A ) es inyectiva por ser la primer coordenada inyectiva (es la identidad). Entonces sobre su imagen es biyectiva y con inversa: ϕ −1 ( x, r ) = x que es la proyección luego es continua. Así tenemos que ϕ es un homeomorfismo de A en Imϕ que es un espacio métrico completo. La métrico correspondiente es la inducida por M × ° o sea: d (ϕ ( x1 , r1 ) ,ϕ ( x2 , r2 ) ) = d M ( x1 , x2 ) + r1 − r2 Ejemplo 7.11 Sea M un espacio métrico completo con una cantidad numerable de elementos entonces de acuerdo al teorema de Baire (corolario 7.22) debe tener un punto aislado porque de lo contrario M sería magro y por lo tanto el interior de M sería vacío y esto es absurdo. En realidad M debe tener infinitos puntos aislados pues si x1 ∈ M es aislado (ya sabemos que hay uno) entonces M − { x1} es cerrado en M y por lo tanto completo (proposición 7.7) luego existe un punto aislado x2 ∈ M − { x1} y así sucesivamente. En particular todo subconjunto cerrado numerable del espacio euclidiano ° n posee una infinidad de puntos aislados. El teorema de Baire proporciona también una demostración de que el conjunto de los números reales no es numerable, por ser un espacio métrico completo sin puntos aislados. Ejemplo 7.12 El conjunto de cantor C es cerrado en [ 0,1] que es completo luego por proposición 7.7 es completo y como por la proposición 4.7 todos sus puntos son de acumulación, es decir no tiene puntos aislados entonces como en el ejemplo anterior no es numerable. Además C no es magro en sí mismo, por corolario 7.23, ver ejemplo 7.10. - 155 -

Topología General

Capítulo 7

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Ejemplo practico Enunciado Un subconjunto P de un espacio topológico se llama perfecto si y solo sí es igual al conjunto de sus puntos de acumulación. a) Probar que un espacio métrico perfecto y completo no es numerable. b) Dar un ejemplo de un espacio métrico perfecto numerable.

a) Dado un espacio métrico P sabemos que es de Hausdöff luego es T1 y los conjuntos unipuntuales son cerrados . { x} = { x} Todo conjunto se puede escribir como la unión de sus elementos es decir: P = U { x} x∈P

Decimos que un punto es aislado si no es de acumulación; entonces un conjunto perfecto no tiene puntos aislados y como: o

{ x} = φ si {x} no es aislado o sea que o

{ x} = φ si x es de acumulación Entonces si P es perfecto y numerable se tiene o

o

P = U { x} y { x} = { x} = φ x∈P

es decir un conjunto perfecto P numerable es magro por ser unión numerable de conjuntos nunca densos Pero ya vimos que un espacio métrico completo no es magro en sí mismo porque sino sería vacío. Luego si P es perfecto y completo entonces no es numerable. b) Los racionales § ⊂ ° con la topología relativa usual ß Primero que nada es un espacio métrico con la métrica relativa a la de ° en § . ß Además es perfecto porque no contiene puntos aislados ya que todo entorno de un racional siempre contiene puntos racionales. ß Y los racionales son numerables.

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Capítulo 8 Espacios Compactos Cuando un espacio topológico posee una propiedad local, es natural considerar la familia de los entornos (abiertos) donde se satisface dicha propiedad. Esta familia constituye un recubrimiento del espacio, y en el estudio de la propiedad dada es, sin duda, de gran ayuda saber que este recubrimiento puede ser reducido a uno finito. La compacidad de un espacio nos proporciona siempre un recubrimiento finito dentro de cualquier recubrimiento abierto del espacio, y ello permite, bajo ciertas hipótesis, poder pasar de lo “local” a lo “global” ; es decir, poder obtener una propiedad del espacio como consecuencia de resultados locales en un número finito de puntos. Por su naturaleza, los espacios compactos retienen muchas propiedades de los conjuntos finitos. Así, a modo de ejemplos, tenemos que toda función real continua de un espacio compacto siempre alcanza su máximo y su mínimo, y que dos subconjuntos compactos disjuntos en un espacio de Hausdörff pueden ser separados por abiertos disjuntos. Definición 8.1 Un espacio topológico X decimos que es compacto si todo cubrimiento por abiertos de X tiene un subcubrimiento finito. Si A ⊂ X decimos que es compacto si lo es con la topología relativa Proposición 8.1 Dado el espacio topológico X, A ⊂ X es compacto si y solo sí para todo cubrimiento de A por abiertos de X admite un subcubrimiento finito que lo sigue recubriendo. Demostración ⇒ Un cubrimiento por abiertos de X con la topología relativa es una familia de la forma {Uα I A}α∈I donde Uα es abierto en X ∀α ∈ I si A = U (Uα I A ) α ∈I

Topología General

Capítulo 8

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esto es la mismo que tomar una familia {Uα }α∈I de abiertos en X tales que: A ⊂ U Uα α∈I

Entonces como A es compacto con la topología relativa significa que existen (Uα1 I A) ,..., (Uαn I A) con αi ∈ I ∀i = 1,..., n tal que n

A = U (Uαi I A ) i =1

lo que es lo mismo n

A ⊂ U U αi i =1

Entonces todo cubrimiento de A por abiertos de X tienen un subcubrimiento finito que lo siguen recubriendo. Y recíprocamente: Sea A = U Vα con Vα abierto de la topología relativa o sea que α∈I

Vα = Uα I A con Uα abierto en X entonces

A = U (Uα I A ) ⇒ A ⊂ U Uα α ∈I

α ∈I

entonces por hipótesis existen Uα1 ,...,Uα n con α i ∈ I ∀i = 1,..., n tal que n

n

A ⊂ U Uαi ⇒ A = U (Uαi I A ) i =1

i =1

n

∴ A = UVαi i =1

y por definición A es compacto Ejemplo 8.1 Los reales no es compacto ya que {( −n, n ) : n ∈ •} es un cubrimiento de ° por abiertos sin recubrimiento finito ° = U ( − n, n ) n∈•

si tuviera subcubrimiento finito l

° = U ( − nk , nk ) = ( − m, m ) k =1

siendo m = max {nk : k = 1,..., l} Ejemplo 8.2 Sea X finito con cualquier topología X = UUα α∈I

- 158 -

Topología General

Espacios Compactos

- 159 -

sea α i ∈ I tal que xi ∈Uαi entonces: X=

UU

xi ∈X

αi

que es un subcubrimiento finito por ser X finito Ejemplo 8.3 X con la topología discreta es compacto si y solo sí es finito ya que X = U { x} x∈X

es un cubrimiento por abiertos de X solo existe subcubrimiento finito si X es finito. Ejemplo 8.4 Sea X con la topología de complementos finitos tomemos un cubrimiento {Uα }α∈I por abiertos de X . X = UUα α∈I

tomemos un abierto cualquiera no vacío Uα0 se tiene por definición de abierto en esta topología UαC0 = { x1 ,..., xn } para cada xi ∃Uαi tal que xi ∈ Uαi y entonces

{U

α0

,Uα1 ,...,Uαn } es un cubrimiento finito ⇒ X es compacto.

Ejemplo 8.5 Sea ( 0,1] no es compacto ya que

( 0,1] = U ( 1n ,1] n∈•

supongamos que existe un subcubrimiento finito ( 0,1] = U ( 1n ,1] n∈F

tal que F es un conjunto finito luego podemos tomar el max {n ∈ F } = m

U ( ,1] = ( ,1] ≠ ( 0,1] ya que 1 n

1 m

1 m

>0

n∈F

Proposición 8.2 ( Teorema de Heire-Borel ) Sean los reales con la topología usual entonces [ a, b ] ⊂ ° es compacto. Demostración Sea {Uα }α∈I una familia de abiertos en ° tal que cubren al intervalo [ a, b ] es decir

[ a, b ] = U U α α∈I

definimos el siguiente conjunto   S =  x ∈ [ a, b ] : [ a, x ] ⊂ U Uα para algún F finito    α∈F - 159 -

Topología General

Capítulo 8

- 160 -

con F = {α1 ,...,α n } es decir es el conjunto de los x para el cual existe un subcubrimiento finito El conjunto S no es vacío ya que a ∈ S [ a, a ] = {a} que claramente es cubierto por algún abierto por definición de cubrimiento. Además S está acotada superiormente por b, luego existe extremo superior o supremo que llamaremos c .Como c ∈ [ a, b ] ⇒ ∃Uα 0 tal que c ∈ Uα 0 como Uα0 es abierto ⇒ ∃ε > 0 tal que ( c − ε , c + ε ) ⊂ Uα 0 por definición de supremos ∃s ∈ S tal que n

c − ε < s ≤ c ⇒ ∃α1 ,...,α n ∈ I tal que [ a, s ] ⊂ UUαi

s

i =1

Uα0

x

entonces n

[ a , c ] ⊂ UU α U U α i =1

i

a

c −ε

c

c +ε

b

0

y por lo tanto c ∈ S . Sabemos que c ≤ b : Supongamos que c < b ⇒ ∀x tal que c{ < x < c{ + ε entonces x∈Uα0

c i =1

i

0

Luego c = b ⇒ [ a, b ] tiene subcubrimiento finito y luego es compacto Proposición 8.3 Sea X un espacio topológico Hausdörff , K ⊂ X compacto x ∉ K entonces existen abiertos disjuntos U ,V tales que K ⊂ U , x ∈ V Demostración Sea y ∈ K como x ∉ K y es espacio es de Hausdörff entonces existen entornos (que podemos tomar abiertos) U y ,Vy tales que y ∈ U y , x ∈ Vy con U y I Vy = φ tenemos que K ⊂

UU

y

y como K es compacto existe un subcubrimiento finito es

y∈K

n

decir ∃y1 ,..., yn tal que K ⊂ UU yi i =1

n

nos definimos a U = UU yi tenemos que es i =1

n

abierto por ser unión de abiertos por construcción y tomemos como V = IVyi que i =1

es abierto por ser la intersección finita de abiertos y como x ∈ Vy ∀y ⇒ x ∈ V además

- 160 -

Topología General

Espacios Compactos

- 161 -

n   z ∈ U = UU yi ⇒ ∃k ∈ {1,..., n} tal que z ∈ U yk z ∈U IV ⇒  ⇒ i =1  z ∈ V ⇒ z ∈ V ∀i = 1,..., n ⇒ z ∈ V yi yk 

z ∈ U yk I V yk

absurdo ya que por construcción estos son disjuntos.

Luego U y V así obtenidos son los abiertos de la tesis. Proposición 8.4 Dado un espacio topológico X de Hausdörff y en él dos conjuntos disjuntos K ⊂ X , L ⊂ X compactos entonces existen abiertos U ,V abiertos disjuntos tales que K ⊂ U y L ⊂ V . Demostración Como los conjuntos K y L son disjuntos si tomamos x ∈ L ⇒ x ∉ K y podemos aplicar la proposición anterior, luego existen abiertos U x ,Vx tales que: K ⊂ Ux   y U x I Vx = φ x ∈ Vx  tenemos que L ⊂ U Vx luego como L es compacto ∃x1 ,..., xn tales que: x∈L

n

L ⊂ UVxi i =1

n

entonces nos definimos

V = UVxi que es abierto por ser unión de abiertos y i =1

n

U = IU xi que es abierto por ser la intersección finita de abiertos además K ⊂ U x i =1

para todo x lo que implica que K ⊂ U y también por construcción L ⊂ V ahora si n   z ∈ V = UVxi ⇒ ∃k ∈ {1,..., n} tal que z ∈ Vxk z ∈U IV ⇒  ⇒ i =1  z ∈ U ⇒ ∀i = 1,..., n z ∈ U ⇒ z ∈ U xi xk 

z ∈ U xk I Vxk

absurdo ya que por construcción esos conjuntos son disjuntos.

Luego U y V son disjuntos y son los que cumplen con el enunciado de la proposición. Proposición 8.5 Sea X un espacio topológico compacto,Y ⊂ X cerrado entonces Y es compacto. Demostración Sea {Uα }α∈I una familia de abiertos de X tales que Y ⊂ UUα α∈I

- 161 -

Topología General

Capítulo 8

- 162 -

como Y es cerrado Y C es abierto y entonces {Uα }α∈I U Y C es un cubrimiento por n

abiertos de X que es compacto ⇒ ∃α1 ,...,α n ∈ I tales que {Uαi }i =1 U Y C sigue siendo un recubrimiento de X (a Y C lo agregamos en caso que no integre el cubrimiento finito ) entonces se tiene: n

n

i =1

i =1

X = UU αi U Y C ⇒ Y ⊂ UU αi entonces por la proposición 8.1 Y es compacto Proposición 8.6 Sea X un espacio topológico de Hausdörff e K ⊂ X compacto entonces K es cerrado. Demostración Primero que nada si K = X el enunciado no aporta nada nuevo, entonces podemos considerar que existe un x ∉ K y por la proposición 8.3 existen abiertos U ,V tales que K ⊂ U , x ∈ V con U I V = φ ⇒ V I K = φ es decir que x ∈V ⊂ K C luego ∀x ∈ K C ∃V abierto tal que x ∈ V ⊂ K C lo que quiere decir que K C es abierto ⇒ K es cerrado. Ejemplo 8.6 Sea {Kα }α∈I una familia de compactos en un espacio topológico de Hausdörff entonces

IK

α

es compacto.

α∈I

Demostración Por la proposición anterior los Kα son cerrados y por lo tanto la intersección de ellos es un cerrado tal que I Kα ⊂ Kα0 para cualquier α 0 ∈ I α∈I

luego por la proposición 8.5 ( un cerrado en un compacto es compacto) ⇒ I Kα es α∈I

compacto. Ejemplo 8.7 Un conjunto K ⊂ ° con la topología usual es compacto si y solo sí es cerrado y acotado. Demostración Si K ⊂ ° es compacto como ° es de Hausdörff por proposición 8.6 K es cerrado. Además es acotado porque {( −n, n ) : n ∈ •} es un cubrimiento por abierto de ° y en particular como: - 162 -

Topología General

Espacios Compactos

- 163 -

K ⊂ U ( −n, n ) n∈•

entonces tiene un subcubrimiento finito luego: m

K ⊂ U ( −nk , nk ) k =1 m

sea m0 = max {nk : k = 1,..., m} ⇒ K ⊂ U ( −nk , nk ) ⊂ ( − m0 , m0 ) k =1

y por lo tanto K ⊂ ( −m0 , m0 ) está acotado. Recíprocamente Si K es cerrado y acotado en ° ⇒ ∃a, b ∈ ° tal que K ⊂ [ a, b ] y como este último es compacto por la proposición 8.5 K es compacto. Proposición 8.7 ( Lema de Alexander ) Sea ( X ,τ ) un espacio topológico si existe S una subbase de τ tal que todo cubrimiento por abiertos de S tiene un subcubrimiento finito entonces X es compacto. Demostración Supongamos por el absurdo que X no es compacto. Definimos el siguiente conjunto: F = {U : U es cubrimiento de X sin subcubrimiento finito} F ≠ φ porque supusimos que X no es compacto. Ordenamos F por inclusión es decir establecemos el siguiente orden parcial: U ≤V ⇔U ⊂V obtenemos así un conjunto (F , ≤ ) ordenado Sea {Uα }α∈I ⊂ F linealmente ordenado (una cadena) consideremos: U = U Uα α∈I

Probaremos que U ∈F para lo cual suponemos por el absurdo que no es así n

entonces existen U1 ,...,U n ∈ U tal que X = UU i pero como los U i ∈ U = U Uα i =1

α∈I

⇒ ∃α i ∈ I tal que U i ∈Uαi ∀i = 1,..., n pero por orden lineal existe α 0 ∈ {α 1 ,...,α n } tal que Uαi ⊂ Uα0 ∀i = 1,..., n ⇒ Uαi ∈ Uα0 ∀i = 1,..., n ⇒ Uα 0 es un cubrimiento por abiertos que tiene un subcubrimiento finito lo cual es absurdo porque Uα0 ∈F . Luego U ∈F ⇒ F ordenado y acotado entonces por el Lema de Zorn existe elemento maximal M ∈F . Antes de seguir con la demostración demostraremos tres afirmaciones necesarias para terminar de demostrar este lema - 163 -

Topología General

Capítulo 8

- 164 -

Afirmación 1 Sea φ ≠ A ∈ τ , A ∉ M ⇔ ∃M 1 ,..., M n ∈ M tal que X = A U M 1 U .... U M n Demostración Como φ ≠ A ∉ M y M ∈F maximal esto implica que M U A ∉F luego tiene un subcubrimiento finito lo que implica ∃M 1 ,..., M n ∈M tal que X = A U M 1 U ... U M n además A tiene que formar parte del recubrimiento finito porque sino sería M el que tiene subcubrimiento finito ⇒ M ∉F lo cual es absurdo. Recíprocamente si existen M 1 ,..., M n ∈M tal que X = A U M 1 U .... U M n entonces A ∉M porque sino fuera así se tendría un subcubrimiento de X en M lo cual es absurdo porque M ∈F . Afirmación 2 φ ≠ A ∈ τ , A ∉ M A ⊂ B ∈ τ ⇒ B ∉ M Demostración Si A ∉ M ⇒ por la afirmación 1 que ∃M 1 ,..., M n ∈M tal que X = A U M 1 U ... U M n ⊂ B U M 1 U ... U M n como la otra inclusión es obvia X = B U M 1 U ... U M n y por el recíproco de la afirmación 1 ⇒ B ∉M Afirmación 3 Si A, B ∉ M   ⇒ A I B ∉M A, B ∈ τ \ φ  Demostración Como φ ≠ A ∉M por la afirmación 1 ∃M 1 ,..., M n ∈M tal que X = A U M 1 U ... U M n Análogamente φ ≠ B ∉M por la afirmación 1 ∃N1 ,..., N m ∈M tal que X = B U N1 U ... U N m ahora si x ∉ M 1 U ... U M n U N1 U ... U N m ⇒ x ∈ A I B luego : 14 4244 3 14 4244 3 x∈A

x∈B

X = A I B U M 1 U ... U M n U N1 U ... U N m y por el recíproco de la afirmación 1 A I B ∉ M Continuemos con la demostración del Lema Sea S la subbase de la topología τ de la hipótesis, con S = { Aα }α∈I .

- 164 -

Topología General

Espacios Compactos

- 165 -

Para cada x ∈ X se tiene que existe M x ∈M tal que x ∈ M x por ser M un cubrimiento por abiertos de X además por definición de subbase ∃Aα1 ,..., Aα n ∈ S tal que: n

x ∈ I Aαi ⊂ M x i =1 n

Por la afirmación 2 como M x ∈ M ⇒ I Aαi ∈ M ya que si no fuera así es decir si i =1

n

IA i =1

αi

∉ M como

n

IA i =1

αi

⊂ M x por la afirmación 2 ⇒ M x ∉M lo cual es absurdo

y por la afirmación 3 (contrarecíproco de la misma ) n

Si I Aαi ∈ M ⇒ ∃α 0 ∈ {α 1 ,...,α n } tal que Aα0 ∈ M i =1

Es decir que x ∈ Aα0 ∈M En resumen para cada x ∈ X encontramos un Aα0 ( x ) ∈ S tal que x ∈ Aα 0 ( x ) ∈ S I M ⇒ X =

UA

x∈ X

α0 ( x )

tenemos que { Aα0 ( x ) : x ∈ X } = S I M es un cubrimiento de X por elementos de S que como S I M ⊂ M ⇒ que no tiene subcubrimiento finito lo cual es absurdo porque contradice la hipótesis. Proposición 8.8 Sean X e Y espacios topológicos, con X compacto y una función f : X → Y continua entonces f ( X ) es compacto. Demostración Consideremos un cubrimiento {Uα }α∈I por abiertos de Y es decir: Y ⊂ UUα

como f ( X ) ⊂ Y ⊂ U Uα se tiene

α∈I

α∈I

  X ⊂ f −1 ( f ( X ) ) ⊂ f −1  U Uα  = U f −1 (Uα )  α∈I  α∈I −1 y como f es continua los f (Uα ) son abiertos en X , { f −1 (Uα )}α∈I es entonces un cubrimiento por abiertos de X que por hipótesis es compacto luego tiene un subcubrimiento finito ⇒ ∃α1 ,...,α n tal que n

X ⊂U f i =1

n

−1

n

f ( f (U ) ) ⊂ UU (U ) ⇒ f ( X ) ⊂ U 14 4244 3 −1

αi

i =1

- 165 -

αi

⊂Uαi

i =1

αi

Topología General

Capítulo 8

- 166 -

y por lo tanto f ( X ) es compacto. Proposición 8.9 Sea X e Y espacios topológicos con X compacto e Y Hausdörff y sea f : X → Y una función continua entonces f es cerrada. Si además f es biyectiva entonces f es un homeomorfismo. Demostración Sea F ⊂ X cerrado, como X es compacto por proposición 8.5 tenemos que F es compacto y por ser f continua por la proposición anterior se tiene que f ( F ) es compacto pero Y es Hausdörff ⇒ f ( F ) es cerrado luego f lleva cerrados en cerrados y por la proposición una función biyectiva que sea cerrada y continua es un homeomorfismo. Proposición 8.10 Sea X un espacio topológico compacto y f : X → ° continua entonces f alcanza máximo y mínimo. Demostración Como X es compacto y f continua, luego f ( X ) es compacto en ° ya vimos que es cerrado y acotado ver ejemplo 8.7 luego existe s = sup { f ( x ) : x ∈ X } y como s ∈ f ( X ) {= f ( X ) ⇒ es máximo cerrado

análogamente con el mínimo. Proposición 8.11 ( Teorema de Tijonov ) Sean X α espacios topológicos ∀α ∈ I , entonces es compacto ∀α ∈ I . Demostración

⇒ Si

∏X

α

∏X

α

es compacto si y solo sí X α

es compacto ⇒ X α = Pα ( ∏ X α ) y como Pα es

continua ∀α ∈ I ⇒ X α es compacto para todo α .

⇐ Sea S = {Pα−1 ( A ) : A ⊂ X α abierto ∀α ∈ I } es una subbase del

∏X

α

como

vimos en su momento. Probaremos que si tenemos un cubrimiento por abiertos de la subbase podemos obtener un subcubrimiento finito para aplicar el lema de Alexander. Tomemos un cubrimiento A ⊂ S por abiertos de ∏ X α y definimos para cada α∈I

Aα = { A abiertos ⊂ X α : y tal que P ( A ) ∈A } Probaremos que existe α 0 ∈ I tal que Aα0 es un cubrimiento de X α 0 . α ∈I

−1 α

Supongamos de que no es así o sea que para todo α ∈ I Aα no cubre a X α luego existe - 166 -

Topología General

xβ ∈ X β \

U

Espacios Compactos

- 167 -

A con β ∈ I U

A∈Aβ

x

Entonces sea x ∈ ∏ X α tal que x ( β ) = xβ Como x ∈ ∏ X α que es cubierto por A ⇒ ∃U abierto tal que U ∈A pero los abiertos de A son elementos de la subbase S es decir U = Pα−1 ( A) con A abierto de X α

A

xβ

α=β

∀α ∈ I en particular para α = β es decir que existe U = Pβ−1 ( A) con A abierto en X β y tal que x ∈ U ⇒ xβ = x ( β ) ∈ Pβ (U ) = Pβ ( Pβ−1 ( A ) ) = A ⊂ X β es decir xβ ∈ A pero por definición A ∈Aβ ⇒ xβ ∈

U

A

A∈Aβ

luego existe α 0 ∈ I tal que Aα 0 es un cubrimiento de X α 0 que por hipótesis es compacto lo que implica que ∃A1 ,..., An abiertos de X α 0 que siguen recubriendo a

X α0 y por lo tanto

∏X

α

{P

−1 α0

( A1 ) ,..., Pα−1 ( An )} ⊂ A es un subcubrimeiento finito de 0

con elementos de S ya que: n

Si x ∈ ∏ X α ⇒ Pα 0 ( x ) ∈ X α 0 = U Ai ⇒ i =1

∃i ∈ {1,..., n} tal que Pα0 ( x ) ∈ Ai ⇒ x ∈ Pα−01 ( Ai ) n

n

i =1

i =1

es decir que x ∈ U Pα−01 ( Ai ) ⇒ ∏ X α ⊂ U Pα−01 ( Ai )

∏X

Aplicando el lema de Alexander es

α

compacto.

Corolario 8.12 Sea K ⊂ ° n es compacto si y solo sí es cerrado y acotado. Demostración ⇒ Si K es compacto en un espacio de Hausdörff (por ser producto de espacios de Hausdörff ) entonces por la proposición 8.6 es cerrado y como además {B ( 0, n ) : n ∈ •} es un cubrimieto de K por se K compacto existe un cubrimiento finito k

{B ( 0, n1 ) ,..., B ( 0, nk )} ⇒ K ⊂ U B ( 0, ni ) i =1

sea n0 = max {ni : i = 1,..., k} entonces k

K ⊂ U B ( 0, ni ) ⊂ B ( 0, n0 ) i =1

- 167 -

Topología General

Capítulo 8

- 168 -

y por lo tanto K está acotado. ⇐ Si K es cerrado y acotado en ° n significa que está acotado en cada coordenada o sea que existen [ ai , bi ] con i = 1,..., n tal que Pi ( K ) ⊂ [ ai , bi ] ∀i = 1,..., n y se tiene: n

K ⊂ U [ ai , bi ] i =1

y como cada [ ai , bi ] ⊂ ° es compacto entonces por la proposición anterior se tiene n

∏ [ a , b ] compacto i

i

i =1

entonces K que es cerrado dentro de un compacto es compacto. Definición 8.2 Sea X un conjunto y {Sα }α∈I una familia de subconjuntos no vacíos de X. Se dice que {Sα }α∈I tiene la propiedad de intersección finita si: n

IS i =1

≠ φ ∀n ∈ • α i ∈ I

αi

es decir que siempre que tomemos una cantidad finita de ellos la intersección es distinta del vacío. Ejemplo 8.8 Sea X = ° S x = [ x, +∞ ) este conjunto tiene la propiedad de intersección finita que siempre que tomamos finitos de ellos l

I [ x , +∞ ) = [ m, +∞ ) ≠ φ i

i =1

siendo m = max { xi : i = 1,..., l} Proposición 8.13 Sea X un espacio topológico , X es compacto si y solo sí para toda familia {Fα } de cerrados con la PIF (propiedad de intersección finita) se tiene:

IF

α

≠φ

α

Demostración Si X es compacto y {Fα } una familia de cerrados con la PIF supongamos que C

  Iα Fα = φ ⇒  Iα Fα  = Uα FαC = X y como Fα son cerrados ⇒ FαC son abiertos ⇒ {FαC } es un cubrimiento por abierto de X y como X es compacto admite un subcubrimiento finito {FαC1 ,..., FαCn } tal que

- 168 -

Topología General

Espacios Compactos

- 169 -

n

UF

C αi

i =1

=X

Tomando los complementos C

n  n C F = Fαi = X C = φ I  U αi   i =1  i =1 lo cual es absurdo por ser {Fα } un conjunto con la P.I.F. Recíprocamente Si {Uα } es un cubrimiento por abiertos de X entonces los complementos son cerrados y C

  Iα U =  Uα Uα  = X C = φ entonces por hipótesis no tiene la P.I.F. porque sino IUαC ≠ φ C α

α

luego existe una cantidad finita de los UαC tal que: n

IU i =1

C αi

= φ para algún n

y tomando otra vez complemento C

es decir que los Uα1 ,...,Uα n

n  n C  IU α i  = UU α i = X  i =1  i =1 son un subcubrimiento finito de X ⇒ X es compacto.

Proposición 8.14 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico, X es compacto si y solo sí toda red tiene una subred convergente. Demostración ⇒ Sea X compacto y tomemos una red {Td }d∈D ⊂ X entonces si d ∈ D se define Fd = {Te : e ≥ d } {Fd } es una familia de cerrados con la P.I.F. ya que dados Fd1 ,..., Fdn , sea e ∈ D tal que e ≥ di para todo i = 1,..., n que existe porque D es un conjunto dirigido. Entonces: n

n

i =1

i =1

Te ∈ I Fdi ⇒ I Fdi ≠ φ

- 169 -

Fd d

Topología General

Capítulo 8

- 170 -

y como además X es compacto entonces por proposición anterior x ∈ I Fd es de aglomeración de la red {Td } ya que:

IF

d

≠ φ luego si

d∈D

d ∈D

Dados N ∈ N x y d 0 ∈ D como x ∈ Fd ∀d ∈ D en particular

x ∈ Fd0 = {Td : d ≥ d 0 } ⇒ N I {Td : d ≥ d 0 } ≠ φ lo que implica ∃d ≥ d 0 tal que Td ∈ N ⇒ que x es de aglomeración de {Td } ⇐ Sea {Fα : cerrados α ∈ I } con la P.I.F. y nos definimos: n  F = I Fαi : α1 ,...,α n ∈ I   i =1  ordenado por inclusión es decir F , G ∈F F ≤ G ⇔ F ⊃ G el conjunto F es un conjunto dirigido. ∀F ∈F ⇒ F ≠ φ ∃xF ∈ F entonces { xF }F∈F es una red entonces por hipótesis existe una subred convergente ⇒ ∃x ∈ X de aglomeración entonces : Para todo N ∈ N x y ∀F0 ∈F ∃F > F0 tal que xF ∈ N luego como F ⊂ F0 tal que xF ∈ N pero xF ∈ F ⇒ xF ∈ N I F ⊂ N I F0 ∴ N I F0 ≠ φ entonces ∀N ∈ N x ∀α ∈ I N I Fα ≠ φ ⇒ x ∈ Fα = Fα ⇒ x ∈ I Fα α

y por proposición anterior el conjunto X es compacto. Corolario 8.15 Sea X compacto y N1 entonces toda sucesión tiene una subsucesión convergente. Demostración Sea { xn }n∈• una sucesión que es un caso particular de red entonces tiene punto x de aglomeración ⇒ x ∈ { xn } por ser N1 (proposición 3.3) existe

{x } ⊂ {x } nk

n

tal que

xnk → x Definición 8.3 Dado un espacio topológico X decimos que es secuencialmente compacto o compacto por sucesiones si toda sucesión en él tiene una subsucesión convergente. - 170 -

Topología General

Espacios Compactos

Proposición 8.16 Dado un espacio topológico X secuencialmente compacto.

- 171 -

compacto y N1 entonces es

Demostración Sea en X una sucesión { xn }n∈• por el corolario anterior tiene una subsucesión convergente luego por definición es secuencialmente compacto. Proposición 8.17 Sea ( M , d ) es un espacio métrico compacto entonces M es completo. Demostración Dada una sucesión de Cauchy { xn }n∈• como por hipótesis M es compacto y espacio métrico (que es N1) esto implica por proposición anterior que es secuencialmente compacto luego tiene una subsucesión convergente y por proposición 7.2 la sucesión dada es convergente lo que significa por definición que M es completo. Proposición 8.18 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico secuencialmente compacto y N2 entonces X es compacto. Demostración Sea {Uα }α∈I un cubrimiento por abierto de X como el espacio es N2 implica que es de Lindelöff o sea que existe un subcubrimiento numerable que llamamos {U n }n∈• supongamos por el absurdo que este cubrimiento no tiene subcubrimiento finito o sea : U1 ≠ X ya que de no ser así U1 sería un subcubrimiento de {U n }n∈• obviamente finito. ⇒ ∃x1 ∉ U1 y como {U n } cubre a X ⇒ ∃n1 ∈ • tal que x1 ∈ U n1 n1

análogamente sea A1 = UU i ≠ X que tampoco es un subcubrimiento luego x2 ∉ A1 i =1

lo que implica que ∃n2 ∈ • tal que x2 ∈ U n2 con n2 > n1 ya que si no fuera así se tendría que x2 ∈ A1 y esto es absurdo. nk −1

Sea

Ak −1 = U U i ≠ X ⇒ ∃xk ∉ Ak −1

luego

i =1

∃nk ∈ • con nk > nk −1 tal que xk ∈ U nk nk

tenemos que así construimos sucesiones { xk }k∈• , {nk }k∈• ( creciente) y Ak = UU i i =1

tal que { xk }k∈• no tiene punto de aglomeración porque si este fuera x ∈ X como {U n }n∈• es cubrimiento de X ⇒ ∃i0 ∈ • tal que x ∈ U i0 como U i0 es abierto es

- 171 -

Topología General

Capítulo 8

- 172 -

entorno de todos sus puntos U i0 ∈ N x y {nk }k∈• es creciente entonces existe

k0 ∈ • tal que nk0 −1 ≤ i0 ≤ nk0 ⇒ ∀k ≥ k0 nk0

xk ∈ Ak pero xk ∉ Ak −1 ⇒ xk ∉ Ak0 = UU i ⇒ xk ∉ U i0 ∀k ≥ k0 i =1

es decir que

∀x ∈ X ∃U i0 ∈ N x , k0 ∈ • tal que ∀k ≥ k0 xk ∉ U i0 luego { xk } no tiene puntos de aglomeración lo que significa que no tiene subsucesión convergente o sea no es secuencialmente compacto lo que es absurdo por hipótesis.

N1 X cto

X sec. cto N2

Definición 8.4 Un espacio topológico X decimos que tiene la propiedad de BolzanoWeiestrass (B-W) si todo subconjunto infinito de X tiene un punto de acumulación Ejemplo 8.9 ° no es B-W ya que el conjunto de los enteros ¢ es infinito y no tiene ningún punto de acumulación en ° . Proposición 8.19 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico entonces se cumple que 1) Si X es secuencialmente compacto implica que verifica B-W 2) Si X verifica B-W, es T1 y N1 implica que es secuencialmente compacto. Demostración 1) Sea un conjunto A infinito incluido T1 y N1 en X entonces existe { xn } ⊂ A tal que X B -W xn ≠ xm si n ≠ m como { xn } es una sucesión en X X sec. cto que es sec. cto. Implica que tiene una subsucesión convergente a y; sea N ∈ N y ∃n0 ∈ • tal que xnk ∈ N ∀nk ≥ n0 como además xn ≠ y por como se eligió la sucesión entonces

{ xn } I N − { y} ≠ φ es más tiene infinitos elementos luego y es de acumulación de { xn } ⊂ A y por lo tanto es de acumulación de A lo que significa que verifica B-W. 2) Sea { xn } ⊂ X si { xn } es finito implica que hay una subsucesión constante y por lo tanto convergente luego es sec. cto. Si { xn } es infinito por ser B-W tiene un punto y de acumulación en X que por ser N1 tiene una base local numerable y decreciente {Vn } del punto y Dado V1 existe n1 ∈ • tal que xn1 ∈ V1 − { y} - 172 -

Topología General

Espacios Compactos

Como X es T1 existe W2 ∈ N y tal que

{ x ,..., x } I W n1

1

2

- 173 -

=φ

Por ser { xn } − { x1 ,..., xn1 } es infinito e y es de acumulación entonces existe n2 ∈ • tal que xn2 ∈ V2 I W2 − { y} además n2 > n1 repetimos el procedimiento por ser X espacio T1 existe W3 ∈ N y tal que

{ x ,..., x 1

n1

, xn1 +1 ,..., xn2 } I W3 = φ

así sucesivamente sea: xnk ∈ Vk con n j > n j −1 ∀j = 2,..., k entonces por ser T1 implica que

∃Wk +1 ∈ N y tal que

{ x ,..., x 1

n1

}

, xn1 +1 ,..., xn2 ,..., xnk −1 +1 ,..., xnk , I Wk +1 = φ

por ser y de acumulación entonces existe xnk +1 ∈ Vk +1 I Wk +1 − { y} además nk +1 > nk 14243 ∈N y

construimos así una subsucesión

{x } nk

k∈•

de { xn } ya que los {nk }k∈• es una

sucesión creciente en los naturales tal que xnk ∈ Vk luego xnk → y es decir que tenemos una subsucesión convergente lo que implica que X es sec. Cto. Proposición 8.20 Sea ( E , d ) un espacio métrico secuencialmente. compacto entonces es separable. Demostración Supongamos que E tiene más de un elemento si no fuera así no hay que probar nada. Definimos An = { A ⊂ E : d ( x, y ) ≥ 1n si x, y ∈ A, x ≠ y} como el espacio E tiene más de un elemento entonces tenemos al menos dos puntos x, y ∈ E y sea n0 tal que 1 1 d ( x, y ) ≥ ⇒ n0 ≥ >0 n0 d ( x, y ) 1 1 además ∀n ≥ n0 ⇒ ≤ ≤ d ( x, y ) ⇒ { x, y} ∈ An ⇒ An ≠ φ ∀n ≥ n0 n n0 Para cada n ordenamos los An por inclusión ( A ≤ B ⇔ A ⊂ B ) y sea { Aα }α∈I una cadena ( conjunto linealmente ordenado) en ( An , ≤ ) Probaremos que U Aα ∈ An α∈I

ya que si x, y ∈ U Aα ⇒ ∃α1 ,α 2 ∈ I tal que x ∈ Aα1 e y ∈ Aα 2 luego α ∈I

⇒ { x, y} ∈ max { Aα1 , Aα 2 } ∈ An ⇒ d ( x, y ) ≥ - 173 -

1 si x ≠ y ⇒ { x, y} ∈ An n

Topología General

Capítulo 8

luego

UA

α

- 174 -

⊂ An

α∈I

Entonces ( An , ≤ ) es un conjunto ordenado tal que toda cadena en él esta acotada lo que implica por el lema de Zorn que existe elemento maximal y llamémosle M n ∀n ≥ n0 Además M n es finito para todo n ≥ n0 ya que si fuera infinito ∃{ xn } ⊂ M n con xk ≠ x j ∀k ≠ j como estamos en un espacio secuencialmente compacto implica que tendríamos una subsucesión { xni }n ∈• convergente en M n pero la subsucesión { xni } i

no puede ser convergente ya que por construcción: d xn j , xnk ≥ 1n si xn j ≠ xnk

(

)

es decir que no es de Cuachy lo que es absurdo por proposición 7.1 luego M n es finito y por lo tanto numerable. Sea M = U Mn n∈•

como M es unión numerable de conjuntos numerables es numerable y además probaremos que M = E es decir es denso y por lo tanto E es separable. Si x ∈ M ⇒ B ( x, ε ) I M ≠ φ ⇒ x ∈ M Por otro lado si x ∉ M ⇒ x ∉ M n ∀n ≥ n0 dado ε sea n0 tal que n10 < ε entonces { x} U M n ’ M n lo que significa { x} U Mn ∉ An por ser M n el elemento maximal de An lo que implica que no cumple la definición del conjunto An o sea ∃y ∈ M n tal que d ( x, y ) < 1n ≤ n10 ≤ ε ∀n ≥ n0 luego ∃y ∈ B ( x, ε ) ⇒ y ∈ B ( x, ε ) I M n ⊂ B ( x, ε ) I M ∴ B ( x, ε ) I M ≠ φ ⇒ { x∈ M por def.

Proposición 8.21 Sea ( E , d ) un espacio métrico entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1) E es compacto 2) E es secuencialmente compacto 3) E verifica B-W Demostración 1) ⇔ 2) como ( E , d ) es espacio métrico ⇒ que es N1 entonces compacto y N1 ⇒ secuencialmente compacto ahora por la proposición anterior en

- 174 -

Topología General

Espacios Compactos

- 175 -

espacios métricos secuencialmente compacto ⇒ separable ⇒ N 2 por proposición 2.21 y por ser sec. cto y N2 ⇒ es compacto. N1

Espacios métricos

X cto

X cto

X se. cto N2

X se. cto

T1 y N1 X B-W

X B-W

2) ⇔ 3) Sea ( E , d ) espacio métrico luego es N1 y es Haurdösff ⇒ T1 ; entonces si el espacio es sec. cto ⇒ que verifica B-W y ahora como es espacio métrico es T1 y N1 ⇒ sec. cto. Proposición 8.22 Sea ( E , d ) un espacio métrico compacto y {Uα }α∈I un cubrimiento por abiertos de E entonces ∃λ > 0 tal que ∀x ∈ E ∃α ( x ) ∈ I se cumple B ( x, λ ) ⊂ U α ( x ) además decimos que λ es el número de Lebesgue del cubrimiento Demostración Para cada x ∈ E se tiene ∃α ( x ) ∈ I tal que x ∈ Uα ( x ) por ser éste último

abierto

en

un

espacio

métrico

⇒ ∃r ( x ) tal que B ( x, r ( x ) ) ⊂ Uα ( x )

consideremos el conjunto: r x 2

{ B ( x, ( ) ) : x ∈ E } Que es un cubrimiento por abiertos de E que por ser compacto ∃x1 ,..., xn tal que: n

E ⊂ U B xi , r (2xi ) i =1

Sea λ = min

ri x 2

{ ( ) : i = 1,..., n} probaremos

(

)

que este λ cumple con la tesis de

proposición . ∀x ∈ E ⇒ ∃i0 ∈ {1,..., n} tal que  r ( xi0 )  x ∈ B  xi0 ,   2   ahora si z ∈ B ( x, λ ) ⇒ d ( x, z ) < λ y - 175 -

la

Topología General

Capítulo 8

d ( z , xi0 ) ≤ d ( z , x ) + d ( x, xi0 ) < λ +

- 176 r ( xi0 ) 2

≤ r ( xi0 )

luego se tiene que z ∈ B ( xi0 , r ( xi0 ) ) es decir que:

B ( x, λ ) ⊂ B ( xi0 , r ( xi0 ) ) ⊂ Uα ( x ) i0 ∴ B ( x, λ ) ⊂ Uα ( x ) con α ( xi0 ) ∈ I i0 Corolario 8.23 Dado ( E , d ) espacio métrico, K ⊂ E compacto, sea U abierto tal que K ⊂ U entonces existe λ > 0 tal que U B ( x, λ ) ⊂ U x∈K

Demostración Sea {Uα }α∈I un cubrimiento por abiertos de K la prueba es la misma que la proposición anterior poniendo E = K . Definición 8.5 Dado ( X ,τ ) espacio topológico decimos que es localmente compacto si es Hausdörff y todo punto tiene un entorno compacto. Ejemplo 8.9 Si X es compacto y T2 ⇒ localmente compacto. En los reales ° dado x ∈ ° se tiene [ a, b ] es compacto y tal que x ∈ [ a, b ] luego es localmente compacto pero no es compacto.} Al igual que ° n no es compacto pero para cualquier punto x siempre existe una bola B ( x, δ ) tal que x ∈ B ( x, δ ) compacto X con la topología indiscreta el propio punto { x} es compacto Ejemplo 8.10 Los racionales § ya vimos que no es compacto pero sí es localmente compacto porque dado un q ∈ § tenemos que: q − ε , q + ε ] I § ⊂ [ a, b ] ⇒ [ q − ε , q + ε ] es compacto [1442443 { cerrado en §

compacto

Ejemplo 8.11 Como § es numerable sabemos que existe f : • → § biyectiva y sea • con la topología indiscreta ⇒ que f es continua ya que:   B = U q ⇒ f −1 ( B ) = f −1  U q  = U f −1 ( q ) abierto { ∈§ q∈B  q∈B  q∈B 123 abierto

la compacidad local no se conserva por aplicaciones continuas. - 176 -

Topología General

Espacios Compactos

- 177 -

Lema 8.24 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico de Hausdörff y compacto dado en X un cerrado F y un abierto A con F ⊂ A entonces existe un abierto V tal que F ⊂ V yV⊂A Demostración Como F ⊂ A ⇒ F I AC = φ además como A es abierto ⇒ AC es cerrado entonces los conjuntos F , AC como son cerrados en un compacto son compactos y podemos aplicar la proposición 8.4 es decir existen abiertos U ,V ⊂ X disjuntos tales que F C A ⊂U y F ⊂V

A F V

Pero si AC ⊂ U ⇒ U C ⊂ A además V I U = φ ya que de no ser así U abierto }   z ∈U ⇒ U ∈ N z Si z ∈ V I U ⇒   z ∈ V ⇒ V I U ≠ φ luego V I U = φ ⇒ V ⊂ U C ⊂ A encontramos un abierto que contiene a F y su clausura esta dentro del A como queríamos. Proposición 8.25 Sea X un espacio topológico de Hausdörff entonces los entornos cerrados del punto constituyen una base local. Demostración para demostrar la tesis tenemos que demostrar que dado un entorno cualquiera del punto es posible encontrar un entorno del punto cerrado. Dado N ∈ N x ⇒ ∃A abierto tal que x ∈ A ⊂ N .Como { x} es cerrado por se X de Hausdörff podemos tomar F = { x} y aplicar el lema anterior luego existe V abierto tal que { x} = F ⊂ V y V ⊂ A entonces como x ∈ V{ ⊂ V ⇒ V ∈ N x abierto

tal que V ⊂ A ⊂ N encontramos un entorno cerrado del punto contenido en el entorno dado. Proposición 8.26 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico localmente compacto entonces los entornos compacto de cada punto constituyen una base local. Demostración Sea x ∈ X tomemos un entorno cualquiera de x N ∈ N x y encontremos un entorno compacto de x en N. - 177 -

Topología General

Capítulo 8

- 178 -

Como X es localmente compacto implica que existe U ∈ N x compacto entonces como U I N ∈ N x existe una abierto A tal que x ∈ A ⊂ U I N como el punto x es un subconjunto cerrado por ser X de Hausdörff ( T2 ⇒ T1 ) en un abierto A podemos aplicar el lema tomando U N = X y F = { x} luego existe un abierto N V ⊂ N tal que x ∈V V ⊂ A ⊂ U I N x V en particular V ⊂ U ,al ser V abierto en N y A como V ⊂ A y A es abierto en X implica que V es abierto en X . También V es cerrado en U más como X es de Hausdörff el compacto U es cerrado en X luego V coincide con la clausura de V en X. Por otro lado como V es cerrado en U que es compacto implica que es compacto. Luego conseguimos un V compacto tal que x ∈ V{ ⊂ V ⇒ V ∈ N x abierto

Proposición 8.27 El producto finito de espacios localmente compacto es localmente compacto. Demostración Hausdörff .

Primero vamos a probar que el producto de Hausdörff es de n

Sean entonces dos puntos del producto distintos x ≠ y ∈ ∏ X i por ser distintos i =1

significa que existe j ∈ {1,..., n} tal que x j ≠ y j y como X j es de Hausdörff existen abiertos disjuntos U ,V ⊂ X j tal que x j ∈ U , y j ∈ V entonces x ∈ X 1 × ... × X j −1 × U × X j +1 × ... × X n   abiertos disjuntos y ∈ X 1 × ... × X j −1 × V × X j +1 × ... × X n  n

luego

∏X

i

es Hausdörff

i =1

n

Sea x ∈ ∏ X i ⇒ ∀xi ∈ X i ∃U i ∈ N xi ⊂ X i con U i compacto entonces: i =1

n

x ∈ ∏ U i es compacto y entorno del x i =1

Luego es localmente compacto. Veamos algunas aplicaciones. - 178 -

Topología General

Espacios Compactos

Proposición 8.28 ( Teorema de Dini ) Sea X un espacio topológico compacto continuas tales que: i) f n ( x ) ≤ f n+1 ( x ) ∀x ∈ X ii) existe lim f n ( x ) = f ( x ) continua

- 179 -

f n : X → ° sucesiones de funciones

n

entonces f n ⇒ f (converge uniformemente) Demostración Dado ε > 0 tomemos Fn = { x ∈ X : f n ( x ) − f ( x ) ≥ ε } Por ser f n y f continuas ⇒ f n − f es continua luego   −1 Fn = ( f n − f )  [ε , +∞ )  ⇒ Fn es cerrado ∀n ∈ •  123   cerrado  como f n ( x ) ≤ f n+1 ( x ) entonces: f n ( x ) − f ( x ) = f ( x ) − f n ( x ) ≥ f ( x ) − fn+1 ( x ) = f n+1 ( x ) − f ( x ) ≥ ε luego si x ∈ Fn+1 ⇒ x ∈ Fn ⇒ Fn+1 ⊂ Fn Por la hipótesis de convergencia puntual (ii) ∀x ∈ X ∃n0 ( x ) ∈ • tal que f n ( x ) − f ( x ) < ε ∀n ≥ n0 ( x ) luego x ∉ Fn ∀n ≥ n0 ( x ) por lo tanto I Fn = φ n∈•

es decir no hay un x que pertenezca a todos los Fn luego como estamos en un espacio compacto { Fn } no puede tener la P.I.F k

⇒ ∃n1 ,..., nk tales que

IF j =1

nj

=φ

sea n%0 = max { x1 ,..., xk } entonces k

IF j =1

nj

= Fn%0 = φ ⇒ ∀n ≥ n%0 Fn ⊂ Fn%0 = φ ⇒ Fn = φ

luego ∀n ≥ n%0 f n ( x ) − f ( x ) < ε ∀x ∈ X luego por definición converge uniformemente.

- 179 -

Topología General

Capítulo 8

- 180 -

Corolario 8.29 Sea X un espacio topológico compacto supongamos que existe { Pn } sucesión de polinomios Pn ∈ ° [ X ] en las hipótesis del teorema anterior con f ( x ) = x en [0,1] entonces Pn ⇒ f Demostración Consideremos P0 ( t ) = 0 y Pn+1 ( t ) = Pn ( t ) + 12 ( t − Pn2 ( t ) ) ∀n ≥ 1 si t ∈ [ 0,1] Por inducción se demuestra que 0 ≤ Pn ( t ) ≤ t Sea g : [0,1] → ° g ( x ) = x + 12 t − x 2  como g ′ ( x ) = 1 − x ≥ 0 en [ 0,1] ⇒ g Z y g entonces si 0 ≤ x < t ⇒ g ( x ) ≤ g

( t)=

( t)=

t

t

como 0 ≤ Pn ( t ) ≤ t g ( Pn ( t ) ) ≤ t 1 424 3 P

Pn +1 ≤ t Pn+1 ( t ) = Pn ( t ) + 12 ( t − Pn2 ( t ) ) ≥ Pn ( t ) 14243 ≥0

Pn+1 ( t ) ≥ Pn ( t ) Al ser Pn creciente y Pn ( t ) ≤ t acotada superiormente entonces existe el límite puntual ∃ lim Pn ( t ) = ϕ ( t ) n

tomando límite en la siguiente igualdad Pn+1 ( t ) = Pn ( t ) + 12 ( t − Pn2 ( t ) ) ↓

↓

↓

ϕ ( t ) = ϕ ( t ) + 12 ( t − ϕ 2 ( t ) ⇒ t − ϕ 2 ( t ) = 0 ⇒ como ϕ ≥ 0 es ϕ ( t ) = t

)

que es continua entonces como

tenemos que Pn : [ 0,1] → ° con Pn ( t ) ≤ Pn+1 ( t ) y tal que Pn ( t )  → t luego por el n teorema de Dini - 180 -

Topología General

Espacios Compactos

- 181 -

lim Pn ( t ) ⇒ t n

Proposición 8.30 Sea K ⊂ ° compacto y f ( x ) = x entonces existe qn ( x ) ∈ ° [ x ] tal que qn ⇒ f en K

f :X →°

definida

como

Demostración Se tiene que existe L ∈ ° tal que K ⊂ [ − L, L ] sea g : [ − L, L ] → [ 0,1] tal que 2 x g (x) =   L Sabemos que existe Pn ∈ ° [ X ] tal que Pn ¶ x en [0,1] luego: x Pn o g ⇒ g ( x ) = { L polinomio Sea qn = L.Pn ( g ( x ) ) ∈ ° [ X ] Ejemplo practico Enunciado Probar que un espacio métrico compacto y localmente conexo tiene un número finito de componentes conexas Probar con ejemplos que las hipótesis son necesarias. Sea X espacio topológico compacto y localmente conexo. Por ser localmente conexo sabemos que si A ⊂ X es abierto entonces sus componentes conexas son abiertas , en particular si A = X las componentes conexas de X son abiertas. Llamemos C x la componente conexa que contiene a x entonces {C x } x∈X es un cubrimientos por abiertos de X, que por ser compacto tiene un subcubrimiento finito es decir existen { x1 ,..., xn } tal que n

X = U C xi i =1

luego X tiene una cantidad finita de componentes conexas que serían a lo sumo las C xi con i = 1,..., n .Digo a lo sumo porque podría suceder que C xi I C x j ≠ φ y eso implica que C xi , C x j es la misma componente conexa. ß Sea en los reales el siguiente subconjuto X con la topología relativa usual

- 181 -

Topología General

Capítulo 8

- 182 -

X = U ( n, n + 1) n∈¢

Tenemos que es localmente conexo ya que: x ∈ X = U ( n, n + 1) ⇒ ∃m ∈ ¢ tal que x ∈ ( m, m + 1) n∈¢

y los intervalos ( x − δ , x + δ ) con δ < min { x − m, m + 1 − x} es una base de entornos conexos de x. Además como los conexos en ° vimos que son los intervalos tenemos que ( n, n + 1) ⊂ X es conexo para todo n ∈ ¢ que son disjuntos por ser abiertos luego son componentes conexas y por lo tanto tenemos infinitas componentes conexas. En este ejemplo no se cumple que el espacio sea compacto ya que en los reales, los compactos son cerrados y acotados y por definición X no es acotado. ß Sea C el conjunto de Cantor sabemos que es compacto por ser cerrado dentro de [ 0,1] que es compacto. Por otro lado sabemos que no tiene ningún intervalo luego los únicos conjuntos conexos son los conjuntos unipuntuales. En este ejemplo lo que no se cumple es la hipótesis de localmente conexo porque las componentes conexas (conjuntos unipuntuales ) no son abiertos ya que si fueran abiertos serían aislados y sabemos que son de acumulación y tenemos no numerables componentes conexas.

- 182 -

Capítulo 9 Espacio Cociente Modelos geométricos sencillos como el cono, el cilindro o la pirámide son habitualmente construidos pegando partes de una pieza plana de papel de acuerdo con ciertas reglas. Esta operación es un ejemplo muy simple de la noción de objeto cociente en matemática. Habitualmente éste viene definido por una relación de equivalencia sobre el conjunto subyacente al objeto dado, compatible, en cierto sentido, con su estructura. Definición 9.1 Sea f : X → Y una función entre el espacio topológico ( X ,τ ) y un conjunto Y llamamos topología final de τ por medio de f es la topología τ f dada por τ f = {U ⊂ Y : f −1 (U ) ∈ τ } Definición 9.2 Sea p : X → Y una función sobreyectiva entre el espacio topológico ( X ,τ ) y un conjunto Y , llamamos topología cociente a la topología final de τ por medio de p. Y a la función p le llamamos aplicación cociente. Definición 9.3 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico, ~ una relación de equivalencia en X y π : X → X : la proyección canónica. Llamaremos espacio cociente a ( X : ,τ π ) siendo τ π la topología cociente definida por π ( es decir la topología final de τ por medio de π ) donde: π ( x ) = [ x ]: y [ x ]: denota la clase de x por medio de la relación de equivalencia ~ A la topología cociente τ π también suele anotarse como τ X : y por lo antes dicho: τ X : = { A ⊂ X : : π −1 ( A ) ⊂ τ } los abiertos de la topología cociente son los que su imagen inversa por π (proyección canónica) son abiertos en X.

Topología General

Capítulo 9

- 184 -

Proposición 9.1 Sea A ⊂ X : ⇒ π (π −1 ( A ) ) = A Demostración Para cualquier función π y cualquier conjunto A siempre: π (π −1 ( A ) ) ⊂ A para probar la otra inclusión tomemos un elemento a ∈ A ⊂ X : como π : X → X : es sobreyectiva implica que existe x ∈ X tal que a = π ( x ) lo que implica x ∈ π −1 ( A ) o sea: a = π ( x ) ∈ π (π −1 ( A ) ) y luego A ⊂ π (π −1 ( A ) ) por lo cual se cumple la igualdad. Sin embargo no es cierto siempre que π −1 (π ( B ) ) = B lo que podemos afirmar es que: π −1 (π ( B ) ) = { x ∈ X : x : b para algún b ∈ B} en general lo que se cumple es que B ⊂ π −1 (π ( B ) ) . Definición 9.4 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico y π la proyección canónica asociada a una relación de equivalencia ~ .Se dice que B ⊂ X es saturado por π si π −1 (π ( B ) ) = B Además el saturado de un conjunto C ⊂ X es π −1 (π ( C ) ) anotamos sat ( C ) = π −1 (π ( C ) ) veremos algunas propiedades relacionadas con los conjuntos saturados. Proposición 9.2 Sea B ⊂ X entonces es saturado si y solo sí existe A ⊂ X : tal que π −1 ( A ) = B Demostración ⇒ por ser B saturado B = π −1 (π ( B ) ) llamemos A = π ( B ) ⊂ X : luego se cumple la tesis. ⇐ si existe A ⊂ X : tal que B = π −1 ( A ) ⇒ π ( B ) = π (π −1 ( A ) ) = A por ser π sobre entonces sustituyendo:

luego B es saturado.

  B = π −1  π ( B )  {  A 

Proposición 9.3 Sea A ⊂ X : entonces es cerrado si y solo sí π −1 ( A ) es cerrado - 184 -

Topología General

Espacio Cociente

- 185 -

Demostración A es cerrado ⇔ AC es abierto ⇔ π −1 ( AC ) es abierto pero: C

π −1 ( AC ) = (π −1 ( A) ) abierto ⇔ π −1 ( A ) es cerrado Proposición 9.4 π lleva compactos en compactos, conexos en conexos. Demostración π : X → X : es continua y sobre entonces si X compacto X : = π ( X ) es compacto X conexo X : = π ( X ) es conexo Proposición 9.5 A ⊂ X : es abierto si y solo sí existe B ⊂ X abierto saturado tal que A = π ( B ) . Demostración ⇒ Si A es abierto en X : , sea B = π −1 ( A ) ⇒ B es abierto en X y saturado por proposición 9.2 entonces: π ( B ) = π (π −1 ( A ) ) = A ∴ A = π ( B)   ⇐ Sea A = π ( B ) con B abierto y saturado ⇒ B = π −1  π ( B )  = π −1 ( A) abierto {  A  luego A es abierto en X : Definición 9.5 Dada una relación de equivalencia, decimos que es una relación abierta (cerrada) si la proyección canónica π es abierta (cerrada) . Ejemplo 9.1 Sea X = ° y la relación x : y ⇔ x − y ∈ ¢ Sea B ⊂ ° abierto entonces π −1 (π ( B ) ) = { x ∈ ° : x : b para algún b ∈ B} lo que podemos escribir: π −1 (π ( B ) ) = {b + n ∈ ° : n ∈ •, b ∈ B} = U B + n n∈•

B + n = {b + n ∈ ° : b ∈ R} es homeomorfo a B para cada n ya que si consideramos la aplicación f :B → B+n b→b+n - 185 -

Topología General

Capítulo 9

- 186 -

es decir f ( b ) = b + n es un homeomorfismo ya que es una traslación, continua biyectiva y abierta (lleva bolas abiertas en bolas abiertas) luego es un homeomorfismo y por lo tanto B + n es abierto ⇒ U B + n es abierto n∈•

⇒ π (π ( B ) ) es abierto ⇒ π ( B ) es abierto ⇒ : es abierta. Ahora consideremos B cerrado como por ejemplo: B = {n + 1n : n ≥ 2} B es cerrado ya que su complemento: B C = ( −∞, 2 + 12 ) U U ( n + 1n , n + 1 + n1+1 ) −1

n≥2

es unión de abiertos ⇒ es abierto. Tomemos el saturado de B π −1 (π ( B ) ) = {n + 1n + m ∈ ° : n ≥ 2, m ∈ ¢} y tomando m = − n nos queda

{

{

}

1 ∈ ° : n ≥ 2 es decir que: n

}

1 ∈ ° : n ≥ 2 ⊂ π −1 (π ( B ) ) n

pero 0 ∈ π −1 (π ( B ) ) \ π −1 (π ( B ) ) ⇒ que no es cerrado luego π no es cerrada ⇒ ~ no es cerrada. Proposición 9.6 La relación ~ es abierta (cerrada) si el saturado de un abierto (cerrado) es abierto (cerrado). Demostración Sea B un abierto de X entonces π ( B ) es abierto ⇔ π -1 (π ( B ) ) es abierto ⇔ sat ( B ) es abierto análogamente con cerrado. Ejemplo 9.2  x=y  Sea X = °, x : y ⇔  o  x, y ∈ ¢  Si B ⊂ ° tenemos que:  B si B I ¢ = φ sat ( B ) = π −1 (π ( B ) ) =   B U ¢ si B I ¢ ≠ φ

- 186 -

Topología General

Espacio Cociente

- 187 -

implica que si B es cerrado sat ( B ) en ambos casos es cerrado por ser B C I ¢ C abierto, entonces por definición la relación es cerrada. Además no es abierta ya que si tomamos B = ( − 12 , 12 ) como 0 ∈ B ⇒ sat ( B ) = ( − 12 , 12 ) U ¢ que no es abierto luego la relación ~ no es abierta. Por otro lado X : no es N1. Supongamos por el absurdo que si es N1 ⇒ que si tiene una base local numerable ⇒ por la proposición 2.25 que también tiene una base local de abiertos numerable decreciente {Vn } de por ejemplo π ( 0 ) . π ( 0 ) = { y ∈ ° : 0 : y} = { y ∈ ¢} = ¢ π -1

0

1

2

3

4

-1

0

2

3

4

π −1 Vn ∈ Nπ ( 0) ⇒ ¢ ∈ Vn entonces π (Vn ) = Vn Al ser π continua y Vn abierto π −1 (Vn ) es abierto y ¢ ⊂ π −1 (Vn ) entonces

∀n ∃an ∈ π −1 (Vn ) tal que n < an < n + 1 y sea C

B = {an : n ∈ •} que es abierto y saturado ya que ¢ ⊂ B sat ( B ) = B U ¢ = B ⇒ { π ( B ) es abierto 9.5 −1

y por lo tanto π ( B ) ∈ Nπ ( 0) y como an ∈ π (Vn ) ⇒ π ( an ) ∈ Vn

{Vn } es base local decreciente de π ( 0 ) ⇒ si π ( B ) ∈ Nπ ( 0) ⇒ ∃n0 tal que ∀n ≥ n0 : Vn ⊂ π ( B ) ∈ Nπ ( 0 ) y como π ( an ) ∈ Vn ⊂ π ( B ) ⇒ π ( a n ) ∈π ( B ) ⇒ an ∈ π −1 (π ( B ) ) = B Proposición 9.7 Sean X,Y espacios topológicos , ~ una relación de equivalencia en X ,y una función f : X : → Y entonces f es continua si y solo sí f o π es continua.

- 187 -

Topología General

Capítulo 9

Demostración ⇒ Si f es continua como π es continua entonces f o π es continua. ⇐ Si f o π es continua sea U ⊂ Y abierto entonces: −1 π −1 ( f −1 (U ) ) = ( f o π ) (U ) es abierto

- 188 -

X

f oπ

Y f

π X :

pero si π −1 ( f −1 (U ) ) es abierto ⇒ f −1 (U ) es abierto en X ∼

∴ f es continua Proposición 9.8 (propiedad universal del cociente) Sea f : X → Y continua con X,Y espacios topológicos, sea ~ la relación de equivalencia x, y ∈ X x : y ⇔ f ( x ) = f ( y ) entonces existe una única función f% : X : → Y continua tal que el siguiente diagrama conmuta. O sea

f = f% o π y además Im f = Im f%

Demostración Si existe f% debe cumplir: f% ([ x ]~ ) = ( f% o π ) ( x ) = f ( x )

X

π

f

Y

f%

como [ x ]~ = [ y ]~ ⇒ f ( x ) = f ( y ) o sea: X : f% ([ x ]~ ) = f ( x ) esta bien definida además f% es continua ya que f% o π = f es continua y Im f = Im f% porque π es sobre. Ejemplo 9.3 Sea I = [ 0,1] , ~ una relación de equivalencia en I definida como sigue: x= y   x: y⇔ 0 { x, y} = {0,1}  vamos a probar que I : es homeomorfo a S 1 = { z ∈ £ : z = 1} Sea ϕ : [ 0,1] → S 1 por ϕ ( t ) = e 2π it se tiene que:

ϕ ( t ) = ϕ ( s ) ⇔ e2π it = e2π is ⇔ t − s ∈ ¢

- 188 -

Topología General

Espacio Cociente

- 189 -

t=s     ⇔ o ⇔t :s {t , s} = {0,1}   entonces por el teorema anterior existe ϕ% continua tal que: ϕ% o π )( t ) = ϕ ( t ) (1 424 3

X

ϕ

ϕ%

π

P

Y

ϕ% ([t ]) = ϕ ( t )

I : y como ϕ% ([t ]) = ϕ% ([ s ]) ⇔ ϕ ( t ) = ϕ ( s ) ⇔ t : s ⇔ [t ] = [ s ] luego ϕ% es inyectiva y por ser ϕ sobre ⇒ { ϕ% es sobre ⇒ ϕ% es biyectiva. Im ϕ = Im ϕ%

Por ser entoncesϕ% continua , biyectiva y ser [ 0,1] compacto entonces ϕ% : [ 0,1] → S 1 es un homeomorfismo por proposición 8.9 ya que S 1 es Hausdörff . Ejemplo 9.4 Toro El toro n-dimensional T n = ° n : con ~ definido: ( x1 ,..., xn ) : ( y1 ,..., yn ) ⇔ xi − yi ∈ ¢ ∀i = 1,...n T n es homeomorfo a S114 ×24 ... ×3 S1 Definimos ϕ : ° n → ( S

n veces 1 n

)

como ϕ ( x1 ,..., xn ) = ( e 2π ix1 ,..., e 2π ixn ) entonces:

ϕ ( x ) = ϕ ( y ) ⇔ x : y entonces existe ϕ% : ° n : → ( S 1 ) 1 n

(S )

(

entonces ϕ% es sobre y al ser n

⇒ π [ 0,1]

)=°

n

n

Como ϕ |[0,1]n es sobre

[ 0,1] compacto ⇒ [0,1]n es compacto

: es compacto y por lo tanto como en el ejemplo anterior ϕ% es

un homeomorfismo. Ejemplo 9.5 Cilindro Sea J = [ − 12 , 12 ] en J 2 definimos ( x, y ) = ( x′, y′ ) ( x, y ) : ( x′, y′ ) ⇔  1  x = ± 2 y = y′

es homomorfo al cilindro

- 189 -

− 12

1 2

Topología General

Capítulo 9

- 190 -

Ejemplo 9.6 Cinta de Möbius Sea J 2 : con la relación ~ definida como sigue:  ( x, y ) = ( x′, y′ ) ( x, y ) : ( x′, y′ ) ⇔  1 1 ( − 2 , y ) : ( 2 , − y )

Ejemplo 9.7 Botella de Klein Sea J 2 : con la relación ~ de equivalencia definida como sigue:  ( x, y ) : ( x′, y′ )  ( x, y ) : ( x′, y′ ) ⇔  ( − 12 , y ) : ( 12 , y ) ( − y, 1 ) : ( y, − 1 )  2 2 Ejemplo 9.8 Espacio proyectivo real ° n+1 \ {0} n PR = donde la relación de equivalencia x : y ⇔ x = λ y para algún : n λ ∈ ° PR n es homeomorfo a S donde ~1 esta definida: x :1 y ⇔ x = ± y :1  1  Sn Sea ϕ : ° \ {0} → definida por ϕ ( x ) =  x  con x = :1  x  :1 1 1 Entonces ϕ ( x ) = ϕ ( y ) ⇒ x=± y despejando: x y x x=± y⇒x: y y Si n +1

- 190 -

(∑( x ) ) 2

i

1

2

Topología General

Espacio Cociente

- 191 -

 λ  x : y ⇒ x = λ y ⇒ ϕ ( x) =  y = λ y   :1 λ 1   1   λ . y y  =  ±1 y y  = ϕ ( y )   :1   :1 ∴ϕ ( x ) = ϕ ( y ) ⇔ x : y n

n

⇒ ϕ% : PR → S es inyectiva y continua y sobre . PR n es además compacto alcanza con proyectar la esfera S n ° n+1 \ {0} n n n +1 PR = π ( S ) π : ° \ {0} → entonces: :1 PR n es compacto y S n es Hausdörff ⇒ ϕ% es un homeomorfismo.

- 191 -

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-v-

Indice Capítulo 0 Relación de Orden...................................................................................... Orden total.................................................................................................. Cadena........................................................................................................ Lema de Zorn............................................................................................. Axioma de Elección................................................................................... Cardinal...................................................................................................... Teorema de Cantor..................................................................................... Conjunto finito........................................................................................... Conjunto Numerable..................................................................................

7 8 9 9 10 11 13 14 14

Capítulo 1 Distancia métrica....................................................................................... Norma........................................................................................................ Bola Abierta............................................................................................... Métrica Relativa......................................................................................... Conjunto Abierto........................................................................................ Conjunto Cerrado....................................................................................... Métricas Equivalentes................................................................................

29 31 33 35 35 38 39

Capítulo 2 Espacios Topológicos................................................................................. Metrizable................................................................................................... Entorno........................................................................................................ Interior......................................................................................................... T0.................................................................................................................. T1................................................................................................................ T2 o Hausdörff............................................................................................ Clausura...................................................................................................... Punto de Acumulación................................................................................ Punto Aislado.............................................................................................. - vi -

43 44 45 47 49 50 51 52 57 57

Frontera........................................................................................................ Conjunto Denso........................................................................................... Conjunto Separable...................................................................................... Base.............................................................................................................. Sub-base....................................................................................................... N2................................................................................................................. Cubrimiento................................................................................................. Subcubrimiento........................................................................................... Espacio de Lindelöff................................................................................... Base Local................................................................................................... N1.................................................................................................................

57 58 58 60 62 63 65 65 65 69 70

Capítulo 3 Sucesión Convergente................................................................................ Conjunto Dirigido...................................................................................... Red............................................................................................................. Punto de Acumulación.............................................................................. Continuidad............................................................................................... Continuidad Uniforme............................................................................... Homeomorfismo........................................................................................ Función Abierta......................................................................................... Función Acotada..........................................................................................

75 77 78 81 83 88 90 90 91

Capítulo 4 Conjunto de Cantor..................................................................................... 95

Capítulo 5 Topología Producto..................................................................................... 103 Proyección Canónica................................................................................... 103

Capítulo 6 Espacio Conexo........................................................................................... 113 Teorema de Bolzano.................................................................................... 116 - vii -

Conexo en Espacios Normados................................................................... 118 Conectados................................................................................................... 122 Componente Conexa.................................................................................... 122 Localmente Conexo..................................................................................... 124 Camino......................................................................................................... 127 Localmente Conexo por Camino................................................................. 131

Capítulo 7 Sucesión de Cauchy..................................................................................... 135 Espacio Métrico Completo.......................................................................... 137 Completación............................................................................................... 144 Teorema de Cantor...................................................................................... 147 Contracción y punto fijo.............................................................................. 148 Magro........................................................................................................... 150

Capítulo 8 Espacio Topológico Compacto.................................................................... 157 Teorema de Heire-Borel.............................................................................. 159 Lema de Alexander...................................................................................... 163 Teorema de Tychonoff................................................................................ 166 PIF............................................................................................................... 168 Espacio Secuencialmente Compacto........................................................... 170 Espacio de Bolzano-Weiestrass................................................................... 172

Capítulo 9 Topología Final............................................................................................ 183 Topología Cociente...................................................................................... 184 Conjunto Saturado....................................................................................... 184 Relación de Equivalencia Abierta (Cerrada)............................................... 185 Propiedad Universal del Cociente............................................................... 188 Cinta de Möbius........................................................................................... 190

- viii -

Índice alfabético Adherente 52 Aplicación cociente 183 Axioma de elección 10 Base 60 Base local 69 Bola abierta 33 Botella de Klein 190 Cadena 9 Camino 127 Cardinal 11 Cardinal del conjunto potencia 27 Cilindro 189 Cinta de Möbius 190 Clase de equivalencia 6 Clausura 52 Cofinito 44 Complementos finitos 44 Completación 144 Componente conexa 122 Componente conexa por camino 129 Conectado por camino 127 Conectados 122 Conjunto abierto 35 Conjunto cerrado 38 Conjunto compacto 157 Conjunto conexo 113 Conjunto convexo 118 Conjunto de Cantor 95 Conjunto de índices 5 Conjunto de partes finitas 22 Conjunto denso 58 Conjunto dirigido 77 Conjunto finito 14 Conjunto numerable 14 Conjunto ordenado 8 Conjunto saturado 184 Conjunto totalmente ordenado 8 Contracción 148 Convergencia puntual 93 Convergencia uniforme 91 Cota superior 8 Cubrimiento por abiertos 65 Disconexo 113

Distancia 29 Distancia discreta 30 Elemento maximal 8 Entorno 45 Equipotente 11 Espacio cociente 183 Espacio de convergencia uniforme 91 Espacio discreto 34 Espacio métrico 29 Espacio métrico completo 137 Espacio proyectivo real 190 Espacio topológico compacto 157 Espacio topológico de Baire 153 Espacio vectorial normado 31 Espacios conexos 113 Espacios homeomorfos 90 Espacios isométricos 88 Espacios Topológicos 43 Extensión continua 142 Familia indexada de conjuntos 5 Frontera 57 Función abierta 90 Función cerrada 90 Función cofinal 81 Función continua 83 Función distancia 89 Función Indexada 5 Función uniformemente continua 88 Hausdörff 51 Homeomorfismo 90 Inductivo 15 Inmersión 88 Interior 47 Isometría 88 Lema de Alexander 163 Lema de Zorhn 9 Lindelöff 65 Localmente compacto 176 Localmente conexo 124 Localmente conexo por camino 131 Magro 150 Máximo 8 Métrica relativa 35

Métricas equivalentes 39 Metrizable 44 N1 70 N2 63 Norma 31 Número de Lebesgue 175 Nunca denso 150 Partición 7 Primer axioma de numerabilidad 70 Principio del buen orden 15 Producto cartesiano 10 Producto cartesiano 103 Propiedad Bolzano-Weiestrass 172 Propiedad de intersección finita 168 Propiedad universal del cociente 188 Proyección canónica 103 Punto aislado 57 Punto de acumulación 57 Punto de aglomeración 81 Punto fijo 148 Punto interior 47 Red 78 Red convergente 78 Relación 6 Relación abierta 185 Relación cerrada 185 Relación de equivalencia 6 Relación de orden parcial 7 Relación de orden total 8 Secuencialmente compacto 170 Segundo axioma de numerabilidad 63 Separable 58 Seudo distancia 29 Subcubrimiento 65 Subred 82 Subsucesión 75 Sucesión 75 Sucesión convergente 75 Sucesión de Cauchy 135 T1 50 T2 51 Teorema de Baire 151 Teorema de Bolzano 116 Teorema de cantor 13

Teorema de Cantor 147 Teorema de Cantor-Bernstein 13 Teorema de Dini 179 Teorema de Heire-Borel 159 Teorema de Tijonov 166 Teorema de unicidad de convergencia 81 To 49 Topología discreta 44 Topología final 183 Topología indiscreta 44 Topología más fina 62 Topología Producto 103 Topología relativa 45 Toro 189 Unión de numerables 18