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• Fabio Arevalo

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Topolog´ıa general [un primer curso]

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6

Topolog´ıa general [un primer curso]

Gustavo N. Rubiano O. Profesor titular

Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Sede Bogot´a

vi, 295 p. : 3 il. 00 ISBN 978-958-719-442-5 1. Topolog´ıa general Gustavo N. Rubiano O.

-2

c Edici´on en castellano: Gustavo Nevardo Rubiano Orteg´on Universidad Nacional de Colombia.

01

Mathematics Subject Classification 2000: 00–00.

6

Topolog´ıa general, 4a. edici´on Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogot´a Facultad de Ciencias, 2016

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NO

Diagramaci´on y dise˜ no interior en LATEX: Gustavo Rubiano

Cuarta edici´on, 2016 Impresi´on: Editorial UN Bogot´a, D. C. Colombia

Contenido

Pr´ ologo

VIII

0. Preliminares en conjuntos

1 1

0.2. Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

01

6

0.1. Operaciones entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

0.2.2. Relaci´on de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

0.2.3. Relaci´on de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

0.3. Cardinalidad

-2

0.2.1. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

NO

1. Conjuntos con topolog´ıa

5 7 7

1.2. Abiertos b´asicos (generaci´on de topolog´ıas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3. Vecindades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.4. Nuevos espacios: los subespacios de un espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2. Espacios m´ etricos

IA

1.1. Los reales —una inspiraci´on— . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

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2.1. M´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.2. Espacios unitarios o euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.2.1. Caracterizaci´on de los espacios euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.3. Topolog´ıa para una m´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.3.1. M´etricas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

3. Bases y numerabilidad

47

3.1. 2-contable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

3.2. 1-contable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

4. Funciones –comunicaci´ on entre espacios–

52

4.1. Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

4.2. La categor´ıa Top . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

4.3. Propiedades heredables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

5. Filtros, convergencia y continuidad

59 v

vi

6.

CONTENIDO

5.1. Filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

5.1.1. Base de filtro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

5.2. Ultrafiltros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

5.3. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

Espacios de identificaci´ on –cociente–

69

6.1. Topolog´ıa cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

6.1.1. Descomposici´on can´onica por una funci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

7. La topolog´ıa producto

77 77

7.2. La topolog´ıa producto –caso finito– . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

7.3. La topolog´ıa producto —caso infinito— . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

7.4. Propiedades productivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

-2

01

6

7.1. Definici´on sint´etica de producto entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

7.6. Continuidad para el producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

7.7. Topolog´ıas al inicio y al final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

7.7.1. La topolog´ıa inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

7.7.2. La topolog´ıa final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

NO

7.5. La topolog´ıa producto —en los m´etricos— . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Posici´ on de un punto respecto a un conjunto

92 92

8.1.1. Operadores de clausura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

8.1.2. La adherencia es productiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

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IA

8.1. Conjuntos cerrados y adherencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.2. Puntos de acumulaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

8.2.1. Puntos aislados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

8.3. Interior – exterior – frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 8.4. Subconjuntos densos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 9. Compacidad

109

9.1. Espacios compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 9.2. Dos caracterizaciones de la compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 9.2.1. Compacidad v´ıa cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 9.2.2. Compacidad v´ıa filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 9.2.3. Compacidad v´ıa ultrafiltros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 9.3. Producto de dos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 9.4. Teorema de Tychono↵ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 9.5. Compacidad y sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

vii

CONTENIDO

9.6. Compacidad para m´etricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 9.7. Ordinales como ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 9.8. Compacidad local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 9.8.1. Compactaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 10.Espacios m´ etricos y sucesiones —completez—

138

10.1. Sucesiones de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 10.1.1. Filtros de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 10.2. Espacios de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

6

10.3. Completez de un espacio m´etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

01

10.4. Espacios de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 11.Los axiomas de separaci´ on

148

-2

11.1. T0 , T1 y T2 o de Hausdor↵ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 11.2. Regulares, T3 , Tychono↵ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 11.2.1. Inmersi´on en cubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 11.3. Normales, T4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

NO

11.4. Lema de Urysohn o existencia de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 11.5. Tietze o extensi´on de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 12.Conexidad

166

IA

12.1. La conexidad como invariante topol´ogico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 12.2. Subespacios conexos maximales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 12.3. El conjunto C de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

RU B

12.4. Conexidad local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

12.5. Conexidad por caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 Bibliograf´ıa

186

Pr´ologo El tema central de esta nueva edici´on es presentar un texto que sirva como gu´ıa para un primer curso formal en topolog´ıa general o de conjuntos. Se han hecho cambios importantes que justifican que se trate de una nueva edici´on y no de una simple reimpresi´on de la anterior.

01

6

La mayor´ıa de las herramientas y conceptos utilizados en el estudio de la topolog´ıa se agrupan en dos categor´ıas: invariantes topol´ogicos y construcciones de nuevos espacios a partir de los ya conocidos.

-2

En la parte de invariantes, el ´enfasis en los espacios 1-contable o espacios que satisfacen el primer axioma de enumerabilidad, como espacios para los cuales las sucesiones son suficientes para describir la topolog´ıa, justifica la introducci´on del concepto de filtro como una adecuada noci´on de convergencia, que resulte conveniente para describir la topolog´ıa en espacios m´as generales; de paso, este concepto nos proporciona una manera c´omoda para llegar al teorema de Tychono↵, imprescindible en cualquier curso no trivial, teorema que corresponde a la parte de construcciones.

NO

Nuevos cap´ıtulos, secciones, demostraciones, gr´aficos y referencias hist´oricas han sido introducidos a fin de motivar al lector y presentar de manera activa una de las a´reas m´as prol´ıficas de la matem´atica y la ciencia. Como en casi todo libro de texto, poco o nada es original por parte del autor, excepto posiblemente la manera de manejar la influencia de varios cl´asicos sobre el tema o la introducci´on de algunos ejemplos nuevos.

RU B

IA

Agradezco a la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogot´a, el darme ese tiempo extra que siempre necesitamos los docentes para plasmar de forma escrita la experiencia diaria.

Gustavo N. Rubiano O.

viii

0 Preliminares en conjuntos

6

En este cap´ıtulo presentamos de manera sucinta los conceptos de la teor´ıa de conjuntos que el lector debe tener presente para la lectura de este texto, con la finalidad de establecer un lenguaje com´ un entre el autor y el lector respecto a la notaci´on.

01

0.1. Operaciones entre conjuntos

-2

Algunas veces es conveniente adjudicar un nombre o ´ındice a cada elemento de una colecci´on A de conjuntos.

Un conjunto J y una correspondencia f : J ! A definida por j 7! Aj –para cada j 2 J, el conjunto f (j) 2 A es notado como f (j) = Aj – que asigna a cada j 2 J un conjunto Aj constituye por definici´on una familia A indizada por J y brevemente la notamos

NO

A = {Aj : j 2 J}.

Siempre olvidamos c´omo se defini´o f y lo u ´nico que registramos es que la familia qued´o efectivamente indizada como A = {Aj }j2J . Definimos los siguientes conjuntos:

IA

1. Uni´ on de una familia de conjuntos, [ [ A= Aj = {x | x 2 Aj , alg´ un j 2 J}.

RU B

j2J

2. Intersecci´ on de una familia de conjuntos, \ \ A= Aj = {x | x 2 Aj , para cada j 2 J}. j2J

3. Producto de una familia de conjuntos, Y [ Aj = {f : J ! Aj | f (j) 2 Aj }. j2J

j2J

4. Suma de una familia de conjuntos. Tambi´en se acostumbra notar como entonces el coproducto de la familia, X Aj = {(a, j) | a 2 Aj , j 2 J}.

`

j2J

Aj y llamarse

j2J

Si A = {Aj | j 2 J} es tal que cada Aj ✓ X, decimos entonces que A es una familia de subconjuntos de X. Si J = ; —el conjunto vac´ıo— entonces, 1

2 1. 2.

S T

j2J j2J

Preliminares en conjuntos

Aj = ;. Aj = X.

Decimos que la familia A = {Aj | j 2 J} es una partici´ on de X si para todo i, j 2 J se tiene que 1. Aj 6= ;. 2. i 6= j implica Ai \ Aj = ;. S 3. j2J Aj = X.

6

La condici´on 3 dice que A es un cubrimiento de X.

1. (

S

T

j2J

Acj .

RU B

IA

NO

j2J

-2

S Aj )c = j2J Acj . S T S S S T 3. ( j2J Aj ) ( i2I Bi ) = i2I ( j2J (Aj Bi )). T S T T T S 4. ( j2J Aj ) ( i2I Bi ) = j2J ( i2I (Aj Bi )). Q El axioma de elecci´ on1 dice que j2J Aj 6= ; si y solo si Aj 6= ; para cada j 2 J 6= ;. Q Q 5. j2J Aj ✓ j2J Bj si y solo si Aj ✓ Bj para cada j 2 J. Q T Q Q T 6. j2J Aj Bj). j2J Bj = j2J (Aj Q S Q Q S 7. j2J Aj Bj ). j2J Bj ✓ j2J (Aj S S S 8. ( i2I Ai ) ⇥ ( j2J Bj ) = (i,j)2I⇥J (Ai ⇥ Bj ). 2. (

T

c j2J Aj ) =

01

Dadas las familias A = {Aj | j 2 J}, B = {Bi | i 2 I} en X se tienen las siguientes igualdades —Ac , X\A o {A denotan el complemento de A en X—:

0.2. Relaciones

Una relaci´ on R de un conjunto X en un conjunto Y es un subconjunto de X ⇥Y . Si (x, y) 2 R entonces notamos xRy, o R(x) = y. El dominio de R se define como dom(R) = {x : (x, y) 2 R para alg´ un y 2 Y }.

La relaci´ on inversa de R se define como R

1

= {(b, a) : (a, b) 2 R}.

Dadas dos relaciones R ✓ X ⇥ Y , S ✓ Y ⇥ Z definimos la composici´ on S S

R ✓ X ⇥ Z como

R = {(x, z) : para alg´ un y 2 Y, xRy y ySz}.

En el caso que X = Y decimos que R es una relaci´on en X. 1 Introducido en la primera d´ecada del siglo XX por Ernst F. F. Zermelo (1871-1953), transform´o la teor´ıa de conjuntos de Cantor y Dedekind.

3

0.2 Relaciones

0.2.1. Funciones Una relaci´on f ✓ X ⇥ Y se llama una funci´ on si 1. dom(f ) = X, 2. xf y y xf z implica y = z —para cada x la imagen es u ´nica—. En este caso es usual notar la funci´on f como f : X ! Y . Definimos la imagen de A ✓ X por f como el conjunto f (A) = {y 2 Y : y = f (x) para alg´ un x 2 A}. La imagen inversa de B ✓ Y por f es el conjunto 1

f

(B) = {x 2 X : f (x) 2 B}.

1

6. f (f

(Bjc ) = (f 1

1

(Bj ))c .

(Bi )) ✓ Bi .

7. Ai ✓ f

1

(f (Ai )).

N´otese que el comportamiento de f

NO

5. f

-2

01

6

Sean {Ai | i 2 I}, {Bj | j 2 J} familias de conjuntos en X y Y respectivamente. Es un ejercicio verificar las siguientes propiedades: T T 1. f ( i2I Ai ) ✓ i2I f (Ai ). S S 2. f ( i2I Ai ) = i2I f (Ai ). T T 3. f 1 ( j2J Bj ) = j2J f 1 (Bj ). S S 4. f 1 ( j2J Bj ) = j2J f 1 (Bj ).

1

—la imagen inversa por f — es impecable.

IA

Una funci´on f : X ! Y se dice sobre o sobreyectiva si f (X) = Y ; f se dice uno a uno o inyectiva si x 6= y implica f (x) 6= f (y).

RU B

Dada f : X ! Y y cualesquiera A, B ✓ X, C ✓ Y tenemos que:

1. f es inyectiva si y solo si f (A \ B) = f (A) \ f (B). 2. f es sobre si y solo si f

1

(C) 6= ; para todo C 6= ;.

3. Si f es inyectiva y sobre —biyecci´ on— entonces f

1

es una biyecci´on de Y en X.

4. Si f es biyecci´on entonces f (Ac ) = f (A)c . 5. f es sobre si y solo si f (f

6. f es inyectiva si y solo si f

1

(C)) = C. 1

(f (A)) = A.

7. f es biyecci´on si y solo si para cada y 2 Y , f 1 (y) es un conjunto unitario de X. Caso para el cual f 1 : Y ! X es una funci´on bien definida. La siguiente afirmaci´on utiliza el concepto de composici´ on de relaciones. Sean f : X ! Y , g : Y ! X dos funciones tales que g f = idX donde idX : X ! X es la funci´on identidad, entonces g es sobre y f es uno a uno. Si H es una familia indizada de funciones

H = {hi : Xi ! Yi }i2I Q Q Q definimos la funci´ on producto h = i2I hi : Xi2I ! Yi2I como h((xi )i ) := (h(xi ))i .

4

Preliminares en conjuntos

0.2.2. Relaci´on de equivalencia Decimos que una relaci´on R en X es: 1. Reflexiva: (x, x) 2 R para todo x 2 X —esto es equivalente a decir que (X) es la relaci´on id´entica o diagonal de X—. 2. Sim´ etrica: (x, y) 2 R implica (y, x) 2 R. —R

1

(X) ✓ R, donde

= R—. 1

3. Antisim´ etrica: (x, y), (y, x) 2 R implica x = y —R

\R✓

(X)—.

4. Transitiva: (x, y), (y, z) 2 R implica (x, z) 2 R —R R ✓ R—.

01

6

R es de equivalencia si es reflexiva, sim´etrica y transitiva. Cada relaci´on de equivalencia determina una partici´on X/R = {[x] : x 2 X} de X formada por las clases de equivalencia [x] = {y : xRy}; de manera natural existe una funci´on sobreyectiva q : X ! X/R.

X

f

NO

El siguiente diagrama es conmutativo, donde Rf se encarga de igualar los puntos que tienen una misma imagen, con lo cual hf definida como hf ([x]) := f (x) est´a bien definida, es un monomorfismo y por su codominio es un epimorfismo, i. e., tenemos un isomorfismo con inversa hf 1 (y) = f 1 (y).

-2

Toda funci´on f : X ! Y define una relaci´on ⇠ de equivalencia en X si definimos x ⇠ y si y solo  si f (x) = f (y). En este caso notamos la relaci´ on (y la partici´on) como Rf con Rf = {f 1 (t) : t 2 f (X)}. -

q

?

⇡-

hf

6 i

f [X]

IA

X/Rf

Y

RU B

El diagrama se conoce como teorema de la factorizaci´ on de funciones entre conjuntos o teorema del cociente para conjuntos.

0.2.3. Relaci´on de orden

R ✓ X ⇥ X es una relaci´ on de orden si es reflexiva, antisim´etrica y transitiva. Es com´ un en este caso notar a R como  (o `) de suerte que (x, y) 2 R se nota x  y (x ` y, o x < y si x 6= y) y decimos —l´ease— que x es menor o igual a y (o x menor que y). El par (X, ) se llama un conjunto ordenado. Un elemento b 2 X es una cota superior (inferior) para A ✓ X si a  b (b  a) para todo a 2 A —b debe ser mayor (menor) o igual que cada elemento de A—. Con A" —l´ease el superior de A— denotamos el conjunto de las cotas superiores de A, y con A# el conjunto de las cotas inferiores. Si A = {a}, A" es notado como " a, o [a, !).

Si existe un elemento s 2 A tal que a  s (s  a) para cada a 2 A decimos que s es el m´ aximo (m´ınimo) de A. N´otese que s 2 A es el m´ınimo de A si A ✓" s.

Un elemento m 2 X es maximal para X si m  x implica m = x —cada vez que m est´e relacionado, m debe ser entonces mayor o igual, esto es, m no es superado por ning´ un elemento en X. W El elemento m´ınimo de A" (si existe) es el supremo de A denotado por A o supVA (no tiene  por qu´ e ser un elemento de A). De manera dual se define el ´ınfimo de A, denotado A o ´ınf A.

5

0.3 Cardinalidad

En el caso en que A = {x, y}, simplemente notamos x _ y := sup {x, y} y x ^ y := ´ınf{x, y}. Si para todo par de elementos x, y existen x _ y y x ^ y, se dice que (X, ) es un ret´ıculo. (X, W ) es un ret´ Vıculo completo (o reticulado completo) si para todo subconjunto W VS de X existen S = sup S y S = ´ınf S. Si se quiere resaltar el papel de X se escribe X S y X S, respectivamente. N´otese que en un ret´ıculo completo (X, ) se tiene ´ınf ; = sup X = m´aximo de X = >, sup ; = ´ınf X = m´ınimo de X = ?.

01

6

Un subconjunto P de X es totalmente ordenado o es una cadena si para cada par de elementos a, b 2 P se tiene que a  b o b  a; u 2 X es una cota superior para P si x  u para todo x 2 P .

-2

Un resultado fundamental —y equivalente al axioma de elecci´on— conocido como el Lema de Zorn2 , nos asegura la existencia de elementos (exactamente de elementos maximales):

K Si en un conjunto X ordenado —parcial o total— todo subconjunto P totalmen-

NO

te ordenado posee una cota superior en X, entonces X tiene al menos un elemento maximal.

IA

0.3. Cardinalidad

RU B

Dos conjuntos X, Y son equivalentes si existe una biyecci´on f : X ! Y . Esta es una relaci´on de equivalencia en la colecci´on de los conjuntos, y a cada clase de equivalencia la llamamos un n´ umero cardinal y la notamos #(X). El cardinal de N lo notamos de manera especial como ! o @0 . El cardinal de R como c.

X es finito si es equivalente al conjunto {1, 2, 3, 4, . . . , n} para alg´ un n 2 N. En caso contrario decimos que X es infinito. Si X es finito o equivalente a N, decimos que X es enumerable o contable.

K Sin duda alguna el problema irresoluble m´as famoso —desde los axiomas usuales de la teor´ıa de conjuntos— es el primer problema de Hilbert:

Hip´ otesis del continuo —Cantor—: Si X ✓ R es no contable entonces existe una biyecci´on f : X ! R. Si J es enumerable y cada conjunto Aj es enumerable, entonces tambi´en lo es

S

j2J

Aj .

Tenemos una gran diferencia entre uniones enumerables y productos enumerables. Si J es Q enumerable infinito y cada Aj es enumerable, entonces j2J Aj es no enumerable. 2 Este es el nombre dado por J. Tukey a un principio maximal introducido en 1935 por M. Zorn (1906-1993), aunque principios similares ya hab´ıan sido introducidos por otros matem´aticos como Hausdor↵, Kuratowski y Brouwer.



6

Preliminares en conjuntos

Teorema de Cantor3 . Si }(X) —o 2X — denota el conjunto de los subconjuntos de X 6= ;, entonces el cardinal de X es menor que el cardinal de }(X). La aritm´etica de los n´ umeros cardinales la podemos resumir como: 1. Sean d, e n´ umeros cardinales con d  e, d 6= 0 y e infinito. Entonces d + e = e y d · e = e. 2.

m nm @0 c

@0 c c c

c 2c 2c 2c

RU B

IA

NO

-2

01

6

ab n @0 c

3

La teor´ıa de conjuntos naci´ o en diciembre de 1873 cuando G. Cantor (1845-1918) estableci´o que la colecci´ on de los n´ umeros reales es incontable. En 1873 Cantor prob´o que los n´ umeros racionales son numerables, es decir, que pueden colocarse en correspondencia uno a uno con los n´ umeros naturales. Tambi´en mostr´o que los n´ umeros algebraicos, es decir, los n´ umeros que son ra´ıces de ecuaciones polinomiales con coeficientes enteros, son numerables. Sin embargo, sus intentos por decidir si los n´ umeros reales eran numerables, le hac´ıan ver que se trataba de un problema m´ as dif´ıcil. Cantor pudo probar que los n´ umeros reales no son numerables hasta diciembre de 1873. En las d´ecadas siguientes la teor´ıa floreci´ o con sus trabajos sobre los n´ umeros ordinales y cardinales.

1 Conjuntos con topolog´ıa

1.1. Los reales —una inspiraci´on—

01

6

No hay nada m´as familiar a un estudiante de matem´aticas que el conjunto R de los n´ umeros reales y las funciones f : R ! R. Si u ´nicamente tuvi´eramos en cuenta la definici´on usual de funci´on de R en R, es decir, una colecci´on de pares ordenados (x, y) 2 R ⇥ R donde cada elemento de R es la primera componente de una y de solo una pareja ordenada, estar´ıamos desperdiciando el concepto de intervalo que conocemos para los n´ umeros reales y, a´ un m´as, el hecho de que en R podemos decir qui´enes son los vecinos de un punto x 2 R.

NO

-2

En efecto, los vecinos al punto x en una distancia menor que un " > 0 son todos los y 2 R tales que |x y| < "; es decir, el intervalo (x ", x + ") es la vecindad b´asica de x con radio ". Cuando a una funci´on de R en R la obligamos a tener en cuenta el concepto anterior de vecindad b´asica, lo que estamos exigiendo es que se satisfaga la definici´on ", de continuidad empleada en el c´alculo. Revisemos esta definici´on de continuidad. La funci´on f : R ! R se dice continua en el punto c 2 R si: “Para cada n´ umero positivo ", existe un n´ umero positivo que |x c| < ”.

tal que |f (x)

RU B

IA

Pero |f (x) f (c)| < " significa f (x) 2 (f (c) ", f (c) + "); as´ı mismo, |x x 2 (c , c + ); luego la definici´on entre comillas la podemos reescribir como 2

f (c)

f (c)| < " siempre c|
0, x = (x1 , . . . , xn ) 2 Rn } (y1 , . . . , yn ) 2 Rn

n X i=1

(xi

yi ) 2

!1/2

9 = 0, existe > 0 tal que x < implica f (x) < ". Por tanto d(x, y) < implica m(x, y) = f (d(x, y)) < ", lo cual no es m´as que contenencia entre bolas. Por ser f creciente se verifica que si m(x, y) = f (d(x, y)) < f (") entonces d(x, y) < ", con lo cual tenemos la otra contenencia entre las bolas. A manera de ejemplo, notemos que las funciones ↵u (para ↵ > 0),

u , 1+u

log(1 + u),

m´ın{1, u},

arctan u

satisfacen las condiciones para f . ¿Qu´e m´etricas son inducidas por estas funciones?

45

2.3 Topolog´ıa para una m´etrica

1

Para el caso X = R con la m´etrica usual del valor absoluto, y la funci´on f (u) = arctan u tenemos que su compuesta produce la m´etrica f (d(x, y)) = | arctan x arctan y|.

Esta nueva m´etrica mide el a´ngulo (medido en radianes) entre las rectas descritas por la figura —en este caso se restan, pero si x y y tienen diferente signo entonces se suman—. Es una m´etrica acotada por ⇡, y adem´as resulta ser topol´ogicamente equivalente y x con la usual ya que la funci´on f es continua en 0.

01

6

En el sentido contrario a como hemos desarrollado esta u ´ltima secci´on, obtenemos una pregunta que ha influenciado el desarrollo de la Topolog´ıa: dado un espacio topol´ogico (X, T) ¿existe una m´etrica d para X tal que la topolog´ıa T sea inducida por d? El estudio de la metrizabilidad, es decir, la b´ usqueda de condiciones necesarias y/o suficientes para que una topolog´ıa provenga de una m´etrica, es un cap´ıtulo abierto a la investigaci´on con sus propios teoremas, algunos de ellos cl´asicos en la literatura matem´atica.

-2

K Ning´un espacio topol´ogico (X, T) finito y no discreto es metrizable. En otras palabras, si (X, d) es m´etrico con X finito, siempre tenemos que hd i = discreta.

NO

Ejercicios 2.3

IA

1. Muestre que la relaci´on de equivalencia topol´ogica para las m´etricas es en efecto una relaci´on de equivalencia. 2. ¿C´omo son las bolas en la m´etrica del mensajero? —ver p´ag. 30—.

RU B

3. A partir de la definici´on de elipse en la m´etrica usual, ¿c´omo es una elipse, una circunferencia, una recta para la m´etrica del taxista? 4. Dados dos espacios m´etricos (X, m), (Y, n) muestre que las m´etricas d1 , d2 , d1 (ejercicio 1 de 2.1) son equivalentes. Sugerencia: para todo par de puntos x, y 2 X ⇥ Y se verifica d1 (x, y)  d2 (x, y)  d1 (x, y)  2d1 (x, y).

5. Generalice el problema anterior para un producto finito cualquiera de espacios m´etricos. 6. Muestre que toda m´etrica sobre un conjunto finito genera la topolog´ıa discreta. 7. D´e un ejemplo de una m´etrica sobre un conjunto enumerable que no genera la topolog´ıa discreta. 8. Ya hemos definido la m´etrica d1 del sup para el conjunto de las funciones continuas C([0, 1], R). Pero la notaci´on nos lleva a conjeturar la existencia de toda la gama de m´etricas dp para p 1 —notamos C p [0, 1] = ((C[0, 1], R), dp )— que mide la distancia entre dos funciones f, g asign´andoles el n´ umero dp (f, g) :=

✓Z

1 0

|f (x)

g(x)|

p

◆ p1

.

46

Espacios m´etricos

El estudio de estas m´etricas se sale de las pretensiones de este texto. Pero para el caso concreto de p = 1, 2 muestre que efectivamente se trata de m´etricas y que a) hd1 i * hd2 i. b) hd2 i ✓ hd1 i. c) hd1 i * hd1 i.

d ) hd1 i * hd1 i. Sugerencia caso a: Para la desigualdad triangular en d2 ap´oyese en la desigualdad de Schwartz ✓Z b ◆2 Z b Z b 2 f (t)g(t)dt  f (t)dt g 2 (t)dt. a

a

a

01

6

Para negar la contenencia considere la sucesi´on de funciones continuas {gn } —figura 1.5— definidas como ( 1 nx si 0  x  n1 gn (x) = 0 si n1  x  1

NO

-2

Note que cada gn tiene un segmento de recta en el eje X cada vez m´as largo. Es f´acil ver que r 1 d2 (0, gn ) = 3n mientras que d1 (0, gn ) = 1. y

...... ........... ... ... ........................ ........... .... .. . .. ................. ...... .... .. ...... ... ... .. . .... .. ........ ..... ... . . .. .. .. ... .... . ... .. ... ... .... ... ... ... ... ... .. ... ... ... .... ... ... ... .... ... .. ... ... ... . .... .... .... .... . ... . . . . ... .. ... ... .... ... .. .... .... .... .... ... ... ... ... ... .. .. . . .... ... .. ... ... ... ... ... ... .... ... .. ... ... ... ... .. .... ... ... ... ... ... ... .... ... ... ... ... ... ... .. ... ... .... ... . ... . . ... ... .. ... .... ... ... .... ... .. ... .... ... ... ... ... ... ... ... .... ... .. .. .

RU B

IA

1

Luego la bola B1/2 (0) en d1 de centro la funci´on nula y con radio 1/2, no contiene a ninguna gn , con lo cual, no existe en d2 alguna bola centrada en la funci´on nula, que pueda estar contenida en B1/2 (0) ya que 1/3n ! 0 cuando n ! 1.

1 n

1 1 4 3

1 2

1

Sugerencia caso c: tome = ".

x

Sugerencia caso d : considere la sucesi´on de funciones continuas {gn } definidas como ( 1 4nx + 4 si 0  x  2n gn (x) = 1 2 si 2n  x  1. Para la funci´on constante f (x) = 2 verifique / B11 (f ). que cada gn 2 B 11 (f ) y gn 2 n

Esta contenencia no se tiene, pues siempre podemos encontrar funciones g tales que su integral (´area bajo la curva) sea tan peque˜ na como queramos y sin embargo tengan una ‘punta’ tan larga como queramos.

3 Bases y numerabilidad

6

Un espacio (X, T) puede poseer muchas bases, siendo la mayor de todas la misma T. Cuando en un espacio tenemos en cuenta la cardinalidad de las bases, motivamos las siguientes definiciones, cuyos nombres responden m´as a un car´acter hist´orico que descriptivo.

01

3.1. 2-contable

-2

Definici´ on 3.1. Un espacio (X, T) se dice 2-contable si entre sus bases existe alguna con un n´ umero enumerable —finito o infinito— de elementos. Esta condici´on impone una cota al n´ umero de abiertos en la topolog´ıa (ver ejercicio 12 de la p´ag. 51). Tambi´en nos dice que la topolog´ıa puede ser descrita en t´erminos de un n´ umero contable de piezas de informaci´on.

NO

Ejemplo 3.2. Ru es 2-contable. Por supuesto la base formada por todos los intervalos abiertos no es enumerable, pero de ella podemos extraer la subfamilia enumerable B = {(p, q) : p < q, p, q 2 Q}.

IA

Esta subfamilia es de nuevo una base —verif´ıquelo!— y es enumerable ya que su cardinal es el mismo de Q ⇥ Q.

RU B

Ejemplo 3.3. (R, cof initos) no es 2-contable. Si existiera una base enumerable B = {BS 1 , B2 , . . .}, c cada Bn de la base es un abierto y por tanto X \ Bn es finito, T elemento T con lo cual i=1 Bn = c ( i=1 Bn ) es un conjunto enumerable, luego existe un elemento y 2 n=1 Bn y como R \ {y} es un abierto, debe existir un j 2 N con Bj contenido en ´el, pero esto es imposible ya que para todo n 2 N se tiene y 2 Bn .

Ejemplo 3.4. X = (RN , primeriza) no es 2-contable (ver ej. 4 de la p´ag. 31). Recordemos que en este espacio lo que importa es el comportamiento inicial de las sucesiones, a diferencia de lo ‘usual’ en sucesiones, donde importa el comportamiento final. Si existiera una base B = {B1 , B2 , . . .}, por cada n 2 N tomamos un elemento (i. e., una sucesi´on) tn = (tnk )1 otese que la sucesi´on k=1 2 Bn . N´ {tn1 }1 est´ a conformada por la primera coordenada de cada una de las anteriores sucesiones tn . n=1 Construimos ahora la sucesi´on q = (qn ) en la cual q1 6= tn1 para cada n, con lo que la primera componente de q es diferente de la primera componente de cada una de las sucesiones tn , lo que implica tn 2 / B1/2 (q) para todo n, puesto que al diferir q y tn en su primera componente, ya est´an lo m´as lejanas posible, esto es d(q, tn ) = 1. As´ı que ninguna Bn de la base puede estar contenida en B1/2 (q). Ejemplo 3.5. El espacio H de Hilbert es 2-contable. Definimos una base B enumerable de la manera siguiente. S Sea D = Dn , (n 2 N) donde

Dn := {(xn ) 2 H, xn 2 Q : si k > n entonces xk = 0}. 47

48

Bases y numerabilidad

D est´a constituido de todas las sucesiones en H formadas por n´ umeros racionales y a la larga constantes a cero. D es enumerable. Definimos B := {Br (d) : d 2 D, r 2 Q}. B es enumerable. Para verificar que B es una base, probaremos que cualquier abierto U ✓ H es reuni´on de bolas en B. En efecto, dado t = (tk ) 2 U existe una bola B" (t) ✓ U . Ahora veamos que podemos encontrar una P bola2 Br (q) (q 2 D, r 2 Q) con la propiedad que t 2 Br (q) ✓ B" (t). Como t 2 H, sabemos que k=1 tk es convergente y por tanto existe un t´ermino xN en la sucesi´on, a partir del cual la suma de la serie es menor que "2 /9, esto es X t2k < "2 /9.

6

k=N +1

|qk

tk |
0 existe > 0 tal que, si x 2 X satisface d(a, x) < entonces m(f (a), f (x)) < ". En otras palabras, x 2 B d (a) implica f (x) 2 B"m (f (a)).

NO

Ejemplo 4.6. Sean X un conjunto cualquiera y (Y, d) un espacio m´etrico. Una funci´on f : X ! (Y, d) se dice acotada si el conjunto f (X) es acotado en (Y, d). Sobre el conjunto B(X, Y ) = {f | f : X ! (Y, d) es acotada },

IA

definimos la siguiente m´etrica —conocida como la m´etrica del supremo o sup— d1 (f, g) := sup{d(f (x), g(x)) : x 2 X}.

RU B

La topolog´ıa generada por esta m´etrica se conoce como la topolog´ıa de la convergencia uniforme y posee propiedades interesantes seg´ un las propiedades que el espacio X posea. Si Y —en el codominio— es un espacio normado, el conjunto B(X, Y ) es un espacio vectorial y definimos la norma, kf k1 := sup{kf (x)k : x 2 X} para la cual d1 (f, g) = kf

gk1 .

Un tipo de continuidad m´as fuerte que la usual se define para los espacios m´etricos de la manera siguiente. Definici´ on 4.7. Sean (X, d), (Y, m) dos espacios m´etricos. Una funci´on f : X ! Y se llama uniformemente continua si para cada " > 0, existe > 0 tal que si d(x, y) < entonces m(f (x), f (y)) < ".

K En otras palabras, dado cualquier " > 0, existe

> 0 — dependiendo u ´nicamente de ", con lo que es uniforme para todos los puntos x 2 X a diferencia de la continuidad usual— tal que para cualquier x 2 X, f (B (x)) ✓ B" (f (x)).

54

Funciones –comunicaci´on entre espacios–

Ejemplo 4.8. Sean (X, d), (Y, m) dos espacios m´etricos. Una funci´on f : (X, d) ! (Y, m) se llama Lipschitziana con factor de contracci´ on k si para todo par de puntos x, y 2 X se tiene m(f (x), f (y))  k d(x, y) con k > 0. f es uniformemente continua. Dado " > 0 tomemos = "/k. Para d(x, y) < se tiene que m(f (x), f (y))  kd(x, y) < k < ". Si k = 1, esto es, m(f (x), f (y)) = d(x, y) decimos que f es una isometr´ıa —es continua e inyectiva—. Si f es sobreyectiva entonces f 1 es una isometr´ıa con lo que los espacios resultan homeomorfos. Ejemplo 4.9. Por supuesto toda funci´on uniformemente continua es continua. Pero lo contrario no se tiene:

-2

01

6

Ejemplo 4.10. Una funci´on tan simple como f : Ru ! Ru definida por f (x) = x2 es continua pero no lo es uniformemente. En efecto, para " = 1 no existe tal que |x y| < implique 1 1 |x2 y 2 | < 1 para todo par x, y; por ejemplo para x = + , y = . Pero si x2 es restringida a un 2 " intervalo cerrado y acotado [ A, A] entonces s´ı es uniformemente continua, pues |x y| < 2A + 1 implica " |x2 y 2 | = |x + y||x y|  2A 0 encontremos > 0 tal que si d(x, y) < entonces |d(x, A) d(y, A)| < ". Para esto es suficiente probar que para cada par de puntos x, y 2 X se tiene |d(x, A) d(y, A)|  d(x, y), con lo cual = " satisface la condici´on —tenemos una contracci´on—. d(x, A) = ´ınf{d(x, a) | a 2 A}  ´ınf{d(x, y) + d(y, a) | a 2 A} = d(x, y) + ´ınf{d(y, a) | a 2 A} = d(x, y) + d(y, A), invirtiendo los papeles de x y y obtenemos d(y, A)  d(x, y) + d(x, A) con lo cual d(x, A)

d(y, A)  d(x, y)

lo que implica |d(x, A)

d(y, A)|  d(x, y).

y

d(y, A)

d(x, A)  d(x, y)

55

4.1 Funciones continuas

Ejemplo 4.12. Dado (X, d), la funci´on d : X ⇥ X X ⇥ X lo dotamos de la m´etrica

! R es uniformemente continua cuando a

d1 (x, y) = m´ax{d(x1 , y1 ), d(x2 , y2 )} para x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ). En efecto, dado " > 0 tomemos = "/2. Si d1 (x, y) < esto implica que d(x1 , y1 ) < , d(x2 , y2 ) < . Como d(x1 , x2 )  d(x1 , y1 ) + d(y1 , y2 ) + d(y2 , x2 ) entonces d(x1 , x2 )

|d(x1 , x2 )

6

d(x1 , x2 ) < ", con lo cual, d(y1 , y2 )| < ".

01

Similarmente d(y1 , y2 )

d(y1 , y2 )  d(x1 , y1 ) + d(x2 , y2 ) < 2d1 (x, y) < 2 = ".

I

I

I

NO

Ejemplo 4.14.

I

-2

R R R1 Ejemplo 4.13. En (C(I, R), sup) la funci´on I : C(I, R) ! R definida por I (f ) = 0 f (t)dt es uniformemente continua. En efecto, basta verificar la siguiente desigualdad que muestra que tenemos una contracci´on, Z Z Z Z f g  |f g|  kf gk1 = kf gk1 .

La funci´on

f : (R, (a, b]) ! (R, usual)

IA

descrita en la figura es continua. Si en el dominio tuvi´eramos la topolog´ıa usual, ella es un cl´asico de no continuidad en un punto.

RU B

Ejemplo 4.15. M´ etricas ex´ oticas para R. Sean X un conjunto y (Y, m) un espacio m´etrico. Dada una funci´on inyectiva f : X ! Y , definimos una m´etrica d⇤ llamada la m´etrica inducida por la funci´on f como d⇤ (x, y) := m(f (x), f (y)), 1

la cual hace de f una isometr´ıa; si f es sobre entonces tanto f como f

resultan ser continuas.

Para el caso X = Y = R y m = usual, obtenemos m´etricas ex´oticas seg´ un consideremos a ⇤ x y f . Por ejemplo, d (x, y) =| arctag(x) arctg(y) |, | e e |, o en el caso de considerar R>0 obtenemos | 1/x 1/y |. Pero ¿cu´ales de estas m´etricas resultan equivalentes a la usual? Si f : (X, d) ! (Y, m) es un homeomorfismo —f es biyectiva y tanto f como f 1 son continuas— entonces la m´etrica d⇤ (x, y) := m(f (x), f (y)) es equivalente a la m´etrica d. Para ello basta ver que la funci´on identidad idX : (X, d) ! (X, d⇤ ) es un homeomorfismo —ejercicio 4 p´ag. 56—.

f

(X, d)

-

(Y, m)

@

@ @ id X

f

@ @ R

1

?

(X, d⇤ )

En el caso de la funci´on tan : ( ⇡/2, ⇡/2) ! R y su inversa arctan, obtenemos que la m´etrica usual es equivalente a la m´etrica d⇤ (x, y) = | arctan(x) arctan(y) | (ver p´agina 45). De manera similar para | ex ey |.

56

Funciones –comunicaci´on entre espacios–

Ejercicios 4.1 1. La compuesta de funciones continuas es continua. 2. Muestre que f : (X, T) ! (Y, H) es continua si f

1

(B) ✓ T para una base B ✓ H.

3. En Ru muestre la continuidad de f : R ! R, f (x) = x2 observando c´omo es f

1

((a, b)).

4. Sean (X, d), (X, m) dos espacios m´etricos. Muestre que d y m son topol´ogicamente equivalentes si y solo si las funciones identidad idX : (X, d) ! (X, m) y idX : (X, m) ! (X, d) son continuas.

01

6

5. Si X, Y tienen la topolog´ıa de los cofinitos, f : X ! Y no constante es continua si y solo si f tiene fibras finitas –una fibra es la imagen inversa de un elemento f 1 (y)–. 6. Si X, Y tienen la topolog´ıa del punto incluido, f : X ! Y es continua si y solo si f preserva los puntos incluidos.

-2

7. Sea (X, J ) un espacio para el cual toda f : (X, J ) ! Ru es continua. Muestre que J es la discreta.

NO

8. Decimos que una funci´on f : X ! Y entre espacios es abierta (cerrada) si la imagen de un subconjunto abierto (cerrado) es un abierto (cerrado) en Y . D´e ejemplos de funciones abiertas que no sean continuas, de funciones continuas que no sean abiertas, de funciones continuas y abiertas, de funciones ni continuas ni abiertas. Sugerencia: considere las proyecciones de R2u en Ru .

! Y estrictamente creciente

IA

9. Sean X, Y conjuntos linealmente ordenados. Toda f : X —x < y implica f (x) < f (y)— y sobreyectiva es continua.

RU B

4.2. La categor´ıa Top

Las definiciones de espacio topol´ogico y funci´on continua satisfacen los siguientes numerales: 1. Se defini´o una clase de objetos Top, llamada los espacios topol´ogicos. 2. A cada par de objetos —espacios topol´ogicos— le hemos definido un conjunto M or(X, Y ) = {f | f : (X, T) ! (Y, H) es continua }

llamado el conjunto de las flechas o el conjunto de los morfismos de X en Y . 3. Dados X, Y, W en Top existe una ley de composici´on M or(X, Y ) ⇥ M or(Y, W ) ! M or(X, W ) dada por (f, g) 7! g f. Adem´as 1, 2 y 3 satisfacen: 4. h (g f ) = (h g) f —asociatividad —. 5. Dado X en Top, existe la funci´on id´entica idX 2 M or(X, X) la cual es una flecha y satisface f idX = f, idX g = g cada vez que las composiciones sean posibles. Estas propiedades las podemos generalizar para llegar al concepto de categor´ıa.

57

4.3 Propiedades heredables

Definici´ on 4.16. Una categor´ıa (O, M) consiste de una colecci´on O llamada los objetos de la categor´ıa, y de una colecci´on M de conjuntos cuyos elementos se llaman los morfismos o las flechas de la categor´ıa, con la propiedad que para cada par de objetos A, B 2 O existe un conjunto M or(A, B) 2 M que satisface: 1. Para cada tr´ıo A, B, C de objetos existe la composici´on de morfismos denotada por si f 2 M or(A, B), g 2 M or(B, C) entonces g f 2 M or(A, C). 2. Dados los morfismos f, g, h entonces h est´e definida.

(g

f ) = (h

g)

tal que

f cada vez que la composici´on

1. La clase de todos los conjuntos y las funciones entre conjuntos es una cate-

01

Ejemplo 4.17. gor´ıa.

6

3. Para cada objeto A 2 O existe un morfismo identidad idA 2 M or(A, A) con la propiedad que es neutro para la operaci´on de composici´on.

-2

2. La clase de todos los grupos y los homomorfismos de grupos es una categor´ıa.

NO

3. Dado un conjunto X y un orden parcial sobre X, si tomamos como objetos los elementos de X y como morfismos M or(x, y) el conjunto unitario, o el conjunto vac´ıo, seg´ un sea que x est´e o no relacionado con y, obtenemos una categor´ıa.

IA

El concepto de categor´ıa puede ser visto como una abstracci´on a las propiedades compartidas por una gran variedad de sistemas en matem´aticas. Ha llegado a ser tambi´en un a´rea de las matem´aticas puras con su propio inter´es. Brevemente, una ‘categor´ıa’ es un campo del discurso matem´atico, caracterizado de una manera muy general y por lo tanto su teor´ıa puede ser utilizada como un conjunto de herramientas que pueden atravesar un espectro muy amplio de la vida matem´atica.

RU B

4.3. Propiedades heredables

Cuando una propiedad del espacio tambi´en pasa a los subespacios, decimos que la propiedad es hereditaria; por ejemplo, la propiedad de poseer una base enumerable es hereditaria, al igual que poseer una base enumerable en un punto. Otro ejemplo de una propiedad que se hereda a los subespacios es la metrizabilidad. Proposici´ on 4.18. Si (X, T) es un espacio metrizable, entonces para cada A ✓ X la topolog´ıa TA de subespacio es de nuevo metrizable. Demostraci´on. Sea d : X ⇥ X ! R una m´etrica que genera la topolog´ıa T; la restricci´on d|A⇥A de d al subconjunto A ⇥ A es una m´etrica. Para ver que la topolog´ıa generada por d|A⇥A coincide con la topolog´ıa TA de subespacio, basta notar S que un abierto V de TA es de la forma V = U \ A donde U es un abierto de T, esto es, U = i2I Bi donde cada Bi es una bola para la m´etrica d, con lo cual U \ A = ([i2I Bi ) \ A = [i2I (Bi \ A). Dado x 2 B" (y) \ A tomando = m´ın{d(x, y), " d(x, y)} tenemos B las bolas abiertas en d|A⇥A son base para la topolog´ıa inducida TA .

d|A⇥A

(x) ✓ B" (y) \ A; luego

58

Funciones –comunicaci´on entre espacios–

Ejemplo 4.19. Si X es un espacio discreto —grosero— entonces cualquier A ✓ X hereda la discreta —grosera— como la topolog´ıa de subespacio, pues dado a 2 A el conjunto {a} = A \ {a} es un abierto de la topolog´ıa inducida. Ejemplo 4.20. Sea (X, T) un espacio y (A, TA ) un subespacio de X. La funci´on inclusi´on i : A ,! X con i(x) = x es una funci´on continua, pues claramente si U es abierto de X, i 1 (U ) = U \ A que es la forma como hemos definido los abiertos.

K Parece que la topolog´ıa de subespacio de A fuese expresamente definida para hacer

6

la funci´on inclusi´on cont´ınua de la mejor manera —¿por qu´e?—.

-2

01

Ejercicios 4.3

1. ¿Cu´ales de las siguientes propiedades son hereditarias: discreto, 1-contable, 2-contable, T1 , Hausdor↵, convergencia trivial, convergencia u ´nica, Alexandro↵?

IA

NO

2. Teorema del pegamiento. Sean (X, T) y A, B cerrados en X. Si f : A ! Y , g : B ! Y son funciones continuas tales que f |A\B = g |A\B entonces h : A [ B ! Y definida por h |A = f y h |B = g es continua.

RU B

K

5 Filtros, convergencia y continuidad

6

Los conceptos de filtro1 y ultrafiltro aparecen en un espectro amplio de ramas de la matem´atica: teor´ıa de modelos, topolog´ıa, a´lgebra combinatoria, teor´ıa de conjuntos, l´ogica, etc. En esta secci´on estudiamos su relaci´on con la topolog´ıa y en especial con el concepto de convergencia.

01

5.1. Filtros

-2

Recordemos que el conjunto V(x) de las vecindades de un punto x en un espacio (X, T) satisface las propiedades: 1) La intersecci´on de dos vecindades es una vecindad —cerrado para intersecciones finitas— 2) Si Vx es una vecindad de x entonces cualquier conjunto W tal que Vx ✓ W es de nuevo una vecindad —cerrado para superconjuntos—.

NO

La siguiente definici´on, que se debe a H. Cartan en 1937, es dada en el esp´ıritu de estas dos propiedades. Definici´ on 5.1. Dado un conjunto X, un filtro F para X es una colecci´on, no vac´ıa, de subconjuntos, no vac´ıos, de X tal que: 1. Si F1 , F2 2 F entonces F1 \ F2 2 F,

IA

2. Si F 2 F y F ✓ G entonces G 2 F.

RU B

K Si en la anterior definici´on permitimos que ; 2 F obtenemos }(X) o el filtro impropio.

Ejemplo 5.2. Dados un espacio (X, T) y un punto x 2 X, el conjunto V(x) de las vecindades de x es un filtro para X.

5.1.1. Base de filtro

Definici´ on 5.3. Dado un filtro F decimos que B ⇢ F es una base de filtro para F si dado F 2 F existe B 2 B tal que B ✓ F . Usualmente los filtros se definen dando tan solo algunos de sus elementos, a partir de los cuales los dem´as pueden obtenerse por la contenencia de la propiedad 2 de la definici´on 5.1, i. e., los elementos del filtro son los superconjuntos de los elementos de la base. 1

Para el estudio de la convergencia en los espacios topol´ogicos en general, las sucesiones ordinarias (i. e., funciones definidas sobre los n´ umeros naturales) son demasiado restrictivas. Hoy en d´ıa existen dos generalizaciones, una es el concepto de filtro, introducido por Henri Cartan, la otra es el concepto de red, introducido por Moore y Smith. Las dos teor´ıas son equivalentes, pero si uno aprende la de filtros, estoy seguro que todo mundo estar´a de acuerdo que esta es de lejos la manera m´ as natural y elegante de hacer las cosas.

59

60

Filtros, convergencia y continuidad

La definici´on de base de filtro no es puntual, como en el caso de la definici´on de base para una topolog´ıa. Teorema 5.4. B ✓ 2X es una base para un u ´nico filtro F de X si y s´olo si satisface: 1. ; 2 / B y B 6= ;, 2. Si B1 , B2 2 B entonces existe B3 2 B con B3 ✓ B1 \ B2 . Al filtro F lo denotamos como F = hBi y lo llamamos el filtro generado por B. Es el filtro m´as peque˜ no que contiene a B.

01

F := {F ✓ X | B ✓ F para alg´ un B 2 B} = h B i.

6

Demostraci´on. Definimos

-2

F es el conjunto de todos los superconjuntos de los elementos en B. Que F es un filtro es inmediato. Si G tambi´en tiene como base a B, entonces es claro que G est´a contenido en F. Para la otra contenencia notemos que B ✓ G. Luego dado F 2 F sabemos que existe B 2 B ✓ G tal que B 2 F con lo cual F 2 G por ser G un filtro.

NO

La condici´on 2 garantiza que la colecci´on B cumple: la intersecci´on finita de elementos de la familia nunca es vac´ıa —propiedad de la intersecci´on finita PIF—. Inversamente, cualquier familia S de subconjuntos de X que satisface la PIF es por definici´on una subbase para un filtro F en el sentido que la familia S junto con todas las intersecciones finitas de sus miembros forma una base de filtro. Esta condici´on dice tambi´en que una base de filtro con la relaci´on ◆ es un conjunto dirigido2 .

IA

Ejemplo 5.5. Sea A ✓ X. B = {A} es una base de filtro. El filtro generado FhAi = hA i se llama filtro principal asociado a A. El caso en que A = {a} —un conjunto unitario— es un ejemplo interesante.

RU B

Ejemplo 5.6. Dados un espacio X y x 2 X, el conjunto de las vecindades abiertas es una base de filtro para el filtro V(x). N´otese que V(x) ✓ hxi. Ejemplo 5.7. Sea B ✓ 2N el conjunto de las colas de N, esto es

B := {Sn | n 2 N} con Sn := {n, n + 1, . . .}.

El filtro generado se llama filtro de Fr` echet. Ejemplo 5.8. En un conjunto infinito X, Fc = {A ✓ X | Ac es finito} es el filtro de los cofinitos o complementos finitos. Ejemplo 5.9. En R la colecci´on de las colas a derecha y abiertas tiene la PIF. An´alogo a como sucede con las bases en los espacios topol´ogicos, es de esperarse que existan bases de filtro que generen un mismo filtro; en tal caso, tambi´en es u ´til definir una relaci´on de equivalencia. Un conjunto dirigido (D, 6) es un conjunto parcialmente ordenado con la propiedad adicional que para cada par de puntos a, b 2 D existe un elemento c 2 D que los supera, i. e., a 6 c y b 6 c. En particular, todo conjunto totalmente ordenado es un conjunto dirigido. Un ejemplo importante de conjunto dirigido es, el conjunto de las vecindades de un punto x en un espacio topol´ ogico, dotado de la relaci´on de inclusi´on ◆ donde un conjunto se dir´ a ’mayor´ que otro si est´ a incluido en ´el. Los conjuntos dirigidos son importantes, entre otras cosas, porque dan origen al concepto de red, una generalizaci´ on al concepto de sucesi´ on. 2

61

5.2 Ultrafiltros

Definici´ on 5.10. Sean X 6= ; y B1 , B2 dos bases de filtro en X. Decimos que son equivalentes si hB1 i = hB2 i —notamos B1 ⌘ B2 —. El ejemplo siguiente nos muestra que a cada filtro corresponde un espacio topol´ogico el cual no puede ser de Hausdor↵ —¿por qu´e?—. Ejemplo 5.11. Dado un filtro F en X, T = F [ {;} es una topolog´ıa —llamada filtrosa—. En general, si F, G son dos filtros sobre X tales que F ✓ G, decimos que G es m´as fino que F —este concepto corresponde al de subsucesi´on. Esta relaci´on define un orden parcial sobre el conjunto F il(X) de todos los filtros sobre X, y por supuesto tendremos derecho de hablar de todas las definiciones conexas a un orden.

-2

01

6

En particular F il(X) es inductivo, esto es, toda cadena tiene una cota superior — ¿por qu´e?— luego ser´a posible ‘zornificar’ como en el teorema 5.13. Si admitimos el filtro impropio }(X) (a los dem´as filtros los llamamos propios) entonces F il(X) resulta ser un ret´ıculo completo.

5.2. Ultrafiltros

NO

Definici´ on 5.12. Dado un conjunto X, un ultrafiltro U para X es un elemento maximal de F il(X); esto es, ning´ un filtro es m´as fino que U. Teorema 5.13. Dado un filtro F en X, existe un ultrafiltro U en X tal que F ✓ U.

IA

Demostraci´on. (Usaremos el lema de Zorn: ‘Si (P, ) es un conjunto parcialmente ordenado, con la propiedad que cada cadena —una cadena es un subconjunto de P que sea totalmente ordenado por — tiene una cota superior en P , entonces P tiene un elemento maximal’). Sea M = {G | F ✓ G y G un filtro en X}.

RU B

S M se ordena por la inclusi´on. Sea H una cadena en M. Si definimos H = M, i. e., H es la reuni´on de todos los filtros que est´an en M, vemos que H es un filtro y es cota superior para M; luego, aplicando el lema de Zorn, existe un elemento maximal U en M, es decir U es maximal en el conjunto de los filtros que contienen a F, por tanto es un ultrafiltro.

KSi A ✓ X con A = {a}, el filtro generado por A es un ultrafiltro llamado principal

o fijo (los otros ultrafiltros se llaman no principales o libres). Fuera de este ejemplo no conocemos m´as ultrafiltros de manera concreta; los dem´as tendr´an la garant´ıa de existir pero no los conoceremos.

Definici´ on 5.14. Un filtro F sobre X se llama libre si

T

F 2F

= ;.

Por tanto, los filtros principales no son libres. Se puede mostrar que un filtro F sobre X es libre si y solo si es m´as fino que el filtro de Fr´echet asociado a X. ¿C´omo podemos reconocer si un filtro dado es un ultrafiltro?

62

Filtros, convergencia y continuidad

Proposici´ on 5.15. Un filtro U en X es un ultrafiltro si y solo si dado A ✓ X entonces A 2 U o Ac 2 U. Demostraci´on. () Si F es un filtro tal que U ✓ F, debemos mostrar que U = F. Si existiera F 2 F tal que F 2 / U entonces F c 2 U y por tanto F c 2 F, lo cual implica que ; 2 F. )) Supongamos que existe A tal que A 2 / U y Ac 2 / U. La colecci´on B := {F \ A | F 2 U}

6

es una base de filtro en X, pues se tiene la PIF y si F \ A = ; para alg´ un F esto implica F ✓ Ac y por tanto Ac 2 U. El filtro G = hBi contiene a U y es m´as fino ya que A 2 G, lo cual contradice que U es un ultrafiltro.

01

Proposici´ on 5.16. Sean U un ultrafiltro en X y A, B ✓ X. Si A [ B 2 U entonces A 2 U ´ o B 2 U.

-2

Demostraci´on. Si B 2 U hemos terminado. Supongamos entonces que B 2 / U y veamos que necesariamente A 2 U. Si sucede que A 2 / U, entonces F := {M ✓ X | A [ M 2 U}

NO

es un filtro en X estrictamente m´as fino que U ya que B 2 F.

K La anterior demostraci´on nos indica una manera de crear nuevos filtros a partir de

IA

uno ya conocido y, de paso, refinarlo al tomar un elemento que no est´e en ´el.

RU B

Ejemplo 5.17. El filtro de Fr`echet en N no es un ultrafiltro, pues N = P [ I —los pares unidos con los impares— y tanto P como I no est´an en Fr`echet. Proposici´ on 5.18. Un filtro F en X es la intersecci´on de todos los ultrafiltros en X que lo contienen. Demostraci´on. Sea D la colecci´on de todos los ultrafiltros que contienen a F. Dado A 2 \D veamos que A 2 F. Si A 2 / F entonces Ac \ F 6= ; para todo F 2 F, luego existe un ultrafiltro D c para el cual A 2 D con lo que A 2 / D, y esto contradice que A 2 \D. Si un ultrafiltro U contiene al filtro Fc de los cofinitos entonces U es no principal o libre. Lo interesante es anotar que este es el u ´nico tipo de ultrafiltro libre. Teorema 5.19. Sea U un ultrafiltro sobre un conjunto infinito X. Entonces Fc ✓ U o U es principal. Demostraci´on. Si no se tiene la contenencia, existe A 2 / U con A 2 Fc . Como Ac es finito y Ac 2 U existe x 2 Ac con {x} 2 U y as´ı U es principal. SiTU no es principal, para todo x 2 X tenemos {x}c 2 U. Dado A 2 Fc , la intersecci´on finita A = {{x}c : x 2 Ac } est´a en U.

63

5.2 Ultrafiltros

Ejercicios 5.2 1. Muestre que un filtro F sobre X es una familia de subconjuntos no vac´ıos de X que satisface la condici´on A \ B 2 F , A 2 F y B 2 F. 2. Dado un conjunto ordenado (X, ) las colas x "= {y : x

y} son una base de filtro en X.

b) ¿Qui´en es V(x) para cada x 2 X? c) ¿Qui´en es V(!)?

-2

d ) Muestre que si F1 ✓ F2 entonces T(F1 ) ✓ T(F2 ).

01

a) T(F) := 2X [ {F [ {!} | F 2 F} es una topolog´ıa para X + .

6

3. Dado un conjunto infinito X, sea X + = X [ {!} con ! 2 / X. Dado un filtro F sobre X muestre que

4. ¿Tiene la anterior construcci´on alguna relaci´on con el espacio de Arens-Fort? (P´ag. 29). 5. Dados un conjunto X y p 2 X, muestre que para cada ultrafiltro U en X la siguiente familia de subconjuntos define una topolog´ıa {p}

NO

G(p, U ) := 2X

[ U.

6. Sea F un filtro sobre X y A ✓ X. Muestre que la traza de X sobre A, esto es,

IA

F \ A := {F \ A | F 2 F}

es una base de filtro en A si y solo si cada F \ A 6= ;. ¿C´omo es la relaci´on de contenencia entre estos filtros? (creando nuevos filtros).

RU B

7. * Sea U un ultrafiltro en un conjunto X. Si T ✓ X y T \ S 6= ; para todo S 2 U entonces T 2 U. 8. Sea U un ultrafiltro en X. Si un miembro de U es particionado en finitas partes entonces una de las partes pertenece a U. 9. * Muestre que U ✓ 2X es un ultrafiltro en un conjunto X si y solo si U es maximal en (2X , ✓) con respecto a la PIF. 10. * Muestre que si un ultrafiltro posee un conjunto finito, entonces es principal. 11. Encuentre —construya— un filtro en N m´as fino que el filtro de Fr´echet. 12. * Consulte una demostraci´on de la afirmaci´on: existe un n´ umero no contable de ultrafiltros m´as finos que el filtro de Fr´echet en N. 13. Muestre que la intersecci´on de filtros es un filtro. 14. Sea f : X ! Y una funci´on sobreyectiva y F un filtro sobre Y . Muestre que f ⇤ (F) := {f es un filtro sobre X.

1

(A) : A 2 F}

64

Filtros, convergencia y continuidad

15. Si X es un espacio T1 entonces el filtro de las vecindades para un elemento cualquiera no es libre. 16. Muestre que en un espacio X un punto a es aislado, i. e., {a} es abierto si y s´olo si el filtro de sus vecindades es un ultrafiltro.

5.3. Sucesiones Recordemos que una funci´on f : N ! X se llama una sucesi´ on en X y la denotamos por (xn ) donde xn = f (n).

01

6

Definici´ on 5.20. Sean X un espacio y (xn ) una sucesi´on en X. La sucesi´on converge a un punto x 2 X, i. e., xn ! x si dada cualquier vecindad Vx , existe k 2 N tal que si m k entonces xm 2 Vx —a la larga o finalmente todos los t´erminos de la sucesi´on est´an en la vecindad—.

-2

Si una sucesi´on converge a un punto x, cualquier vecindad del punto es un superconjunto para alguna cola de la sucesi´on. Es como si las colas fuesen una base para un filtro m´as fino que las vecindades de x.

NO

Ejemplo 5.21. En R con la topolog´ıa cofinita casi todas las sucesiones convergen, las u ´nicas sucesiones no convergentes son las sucesiones en las cuales existe m´as de un punto que se repite de manera infinita —existe m´as de una subsucesi´on constante—. Ejemplo 5.22. En (R2 , lexi) la sucesi´on ( n1 , n12 ) no converge al punto (0, 0). Para que una sucesi´on converja a (0, 0), debe hacerlo a lo largo de una recta vertical que pase por (0, 0).

IA

Ejemplo 5.23. El espacio del disco tangente, plano de Moore o semiplano de Niemytzki, se debe a Niemytzki, 1928 (ver fig. 5.1).

RU B

Sea P = {(x, y) | y > 0} ✓ R2 dotado de la topolog´ıa T de subespacio. Denotemos por L = {(x, 0) | x 2 R} al eje real. Definimos una topolog´ıa T ⇤ para X = P [ L a˜ nadiendo a T los conjuntos de la forma {a} [ D donde a 2 L y D es un disco abierto en P , el cual es tangente a L justamente en el punto a. Notemos que (X, usual) ✓ (X, T ⇤ ) donde la usual es la de subespacio de R2 . La sucesi´on yn = ( n1 , 0), que en R2u es convergente al punto (0, 0) no lo es en el semiplano de Niemytzki. Una sucesi´on para poder converger a (0, 0) debe ‘aproximarse’ por ‘dentro’ de un disco.

• Figura 5.1: La topolog´ıa del disco tangente.

65

5.3 Sucesiones

Definici´ on 5.24. Decimos que el espacio X es de convergencia u ´ nica si dada cualquier sucesi´on (xn ) que converge, ella lo hace a un u ´nico punto. Proposici´ on 5.25. Si X es un espacio de Hausdor↵ entonces X es de convergencia u ´nica. Demostraci´on. Si (xn ) converge tanto a x como a y para x, y 2 X, por ser X de Hausdor↵ existen Vx , Vy con Vx \ Vy = ;. Pero de otra parte, casi toda (xn ) est´a en Vx y casi toda (xn ) est´a en Vy , y esto no puede suceder a menos que x = y. El rec´ıproco de la proposici´on anterior no se tiene —¿puede dar un ejemplo?— a menos que el espacio sea 1-contable.

01

6

Proposici´ on 5.26. Sea X un espacio 1-contable. Si X es de convergencia u ´nica entonces X es de Hausdor↵.

-2

Demostraci´on. Si X no es de Hausdor↵ existen x, y 2 X tales que para todo par Vx , Vy tenemos Vx \Vy 6= ;. En particular para las bases locales enumerables Bx = {B1x , B2x , . . .}, By = {B1y , B2y , . . .} tenemos Bnx \ Bny 6= ; para cada n. Por cada n 2 N elegimos xn 2 Bnx \ Bny (podemos suponer que cada una de estas dos bases locales est´a encajada —¿por qu´e?—) lo cual nos produce una sucesi´on (xn ) que converge tanto a x como a y, y nos contradice la convergencia u ´nica.

NO

Definici´ on 5.27. Un espacio (X, T) se dice de convergencia trivial si las u ´nicas sucesiones convergentes son las sucesiones a la larga constantes; es decir, no convergen sino las inevitables. Ejemplo 5.28. Un espacio discreto es de convergencia trivial.

IA

Ejemplo 5.29. El espacio de Arens-Fort X = (N⇥N)[{w} (p´ag. 22) es un espacio de convergencia trivial:

RU B

1. Ninguna sucesi´on puede converger a un punto de N⇥ N a menos que a la larga sea constante, ya que para estos puntos los conjuntos unitarios son abiertos. 2. Ninguna sucesi´on puede converger a w. Si xn ! w entonces cada fila contendr´a, a lo m´as, finitos t´erminos de la sucesi´on. Excluyendo estos t´erminos en cada una de las filas, obtenemos un conjunto abierto que contiene a w y no contiene los t´erminos de la sucesi´on. Por supuesto, este espacio no es discreto y adem´as no es 1-contable precisamente en el punto w, pues de existir una base local Bw = {B1 , B2 , . . .}, por cada i 2 N existe xi = (mi , ni ) 2 Bi con mi , ni > i; esto es, cada elemento de la base posee un punto tan arriba y tan a la derecha de la diagonal como queramos. Luego el conjunto Uw = (X {xi | i 2 N}) [ {w} es un abierto y por supuesto ning´ un Bn satisface Bn ✓ Uw . Las funciones continuas tienen la propiedad que respetan la convergencia en el sentido de la siguiente proposici´on. Proposici´ on 5.30. Sea f : (X, T) ! (Y, H) una funci´on continua entre espacios. Si xn ! x entonces f (xn ) ! f (x). Demostraci´on. Si (f (xn )) no converge a f (x), existe Vf (x) tal que para infinitos n 2 N, f (xn ) 2 / Vf (x) ; luego no existir´ıa Vx tal que f (Vx ) ✓ Vf (x) , puesto que cada Vx contiene a partir de alg´ un xk todos los dem´as t´erminos de la sucesi´on.

66

Filtros, convergencia y continuidad

Cuando una funci´on f satisface la propiedad de la proposici´on anterior se llama secuencialmente continua o continua por sucesiones. Para los espacios m´etricos tenemos la siguiente caracterizaci´on de la continuidad. Teorema 5.31. Una funci´on f : (X, d) ! (Y, m) entre espacios m´etricos es continua si y solo si dada xn ! x entonces f (xn ) ! f (x).

6

Demostraci´on. Por el teorema anterior basta probar que si la condici´on se tiene para f entonces f es continua. Si f no fuera continua, existir´ıa un punto x 2 X y una vecindad Vf (x) de f (x) para la cual no existe Vx con f (Vx ) ✓ Vf (x) . En otras palabras, ninguna bola B" (x) satisface que f (B" (x)) ✓ Vf (x) , luego para cada n 2 N existe un elemento xn de X tal que xn 2 B1/n (x) y f (xn ) 2 / Vf (x) . Claramente, para la sucesi´on as´ı definida tenemos que xn ! x, y de otra parte Vf (x) no contiene a ning´ un f (xn ), lo que niega la propiedad.

01

En la demostraci´on anterior lo realmente b´asico para esta caracterizaci´on de continuidad es el hecho de que en (X, d) existe una base local contable en cada punto, i.e., 1-contable; luego podemos generalizar el teorema anterior.

-2

Teorema 5.32. Para los espacios 1-contable, la continuidad secuencial es equivalente a la continuidad en general.

NO

Demostraci´on. Como el espacio de dominio de la funci´on es 1-contable, por cada x 2 X existe Bx = {B1 , B2 , . . .}, base local encajada para el punto x. Para ella razonamos como en el teorema anterior y extraemos la sucesi´on (xn ) conveniente. Ejemplo 5.33. La identidad idR : (R, coenumerables) ! (R, usual) es secuencialmente continua pero no es continua. ¿Qu´e sucesiones convergen en (R, coenumerables)?

IA

La siguiente definici´on extiende la noci´on de convergencia hasta el concepto de filtro.

RU B

Definici´ on 5.34. Sea F un filtro en (X, T). Decimos que F converge al punto x 2 X si F es m´as fino que el filtro de vecindades de x. Lo notamos F ! x. Ejemplo 5.35. 1. Si X es un espacio y x 2 X, el filtro principal Fx ! x. Si X tiene la topolog´ıa discreta, Fx converge no solo a x sino a cualquier otro punto. 2. En Ru el filtro Fcof initos no converge, pues todo punto tiene vecindades que no pertenecen al filtro. En un espacio m´etrico (X, d) la topolog´ıa generada por la m´etrica puede describirse completamente en t´erminos de la convergencia de sucesiones; esto es, un subconjunto A ✓ X es cerrado si y solo si, dada (xn ) una sucesi´on de puntos en A con xn ! x, entonces debemos tener que x 2 A. Este resultado no se generaliza a espacios topol´ogicos arbitrarios. Por ejemplo el conjunto A = (0, 1) no es cerrado en R, con la topolog´ıa de los coenumerables, y sin embargo satisface la propiedad, i. e., toda sucesi´on en A que es convergente lo hace a un punto en A —solo convergen las sucesiones constantes—. En los espacios topol´ogicos, en general, no podemos caracterizar el ser de Hausdor↵ —al menos sobre los que no son 1-contable— en t´erminos de la convergencia usual de sucesiones. Necesitamos entonces de un mecanismo de convergencia no en t´erminos de sucesiones. Veremos que los filtros nos proporcionan este mecanismo.

67

5.3 Sucesiones

K La raz´on por la cual las sucesiones no son adecuadas es que, al tomar un punto

xU por cada vecindad U de x, estamos en general forzados a hacer un n´ umero de escogencias que no necesariamente es contable. Esto no ser´ıa necesario si el espacio fuera 1-contable. Es decir, en los espacios 1-contable las sucesiones son adecuadas para describir la topolog´ıa, en particular para los espacios m´etricos. Pero para espacios m´as generales necesitamos cambiar la palabra sucesi´on por filtro.

Sea x un punto en un espacio X. Por Conv(x) notamos el conjunto de todos los filtros F convergentes a x. Todos los filtros en Conv(x) son m´as finos T que V(x) el filtro de vecindades de x, y como V(x) 2 Conv(x), tenemos que V(x) = F Conv(x). Esto significa que la topolog´ıa de un espacio puede ser determinada por la convergencia de los filtros.

6

A cada sucesi´on en un espacio se le asocia de manera can´onica un filtro de la manera siguien-

te.

01

Definici´ on 5.36. Sea (xn ) una sucesi´on en el espacio X y para cada n 2 N consideremos la cola Xn = {xn , xn+1 , . . .}. Definimos F(xn ) el filtro asociado a la sucesi´ on como

-2

F(xn ) := {A ✓ X | Xn ✓ A para alg´ un n 2 N}.

F(xn ) est´a constituido por todos los subconjuntos de X que contienen a casi toda la sucesi´on.

NO

Teorema 5.37. Sean X un espacio y (xn ) una sucesi´on en X. xn ! x si y solo si F(xn ) ! x. Demostraci´on. )) Si xn ! x entonces dada Vx tenemos por la definici´on de convergencia de sucesiones que Vx est´a en el filtro asociado.

IA

() Si cada vecindad est´a contenida en el filtro asociado a la sucesi´on, entonces dada una Vx existe una cola Xn tal que Xn ✓ Vx .

RU B

El hecho que el concepto de filtro sea m´as general que las propiedades de vecindad tiene reflejos en la continuidad entre los espacios topol´ogicos, ya que esta continuidad se puede caracterizar en t´erminos de filtros, as´ı como la caracterizamos en t´erminos de convergencia de sucesiones. Proposici´ on 5.38. Sea f : X colecci´on

! Y una funci´on entre conjuntos. Dado un filtro F en X, la f (F) := {f (F ) | F 2 F}

es una base para un filtro en Y notado f⇤ (F), es decir, hf (F)i = f⇤ (F). Si f es sobre f (F) = f⇤ (F). Adem´as f⇤ preserva el orden –la contenencia– entre filtros. Demostraci´on. Es claro que cada elemento de f (F) es no vac´ıo. Dados G1 , G2 elementos de f (F), existen F1 , F2 2 F con f (F1 ) = G1 , f (F2 ) = G2 . Como F1 \ F2 2 F tenemos f (F1 \ F2 ) ✓ f (F1 ) \ f (F2 ).

Si f es sobre, veamos que f (F) es un filtro. Supongamos que H ✓ Y es tal que G ✓ H para alg´ un G 2 f (F). Existe F 2 F para el cual f (F ) = G. Luego F ✓ f 1 (G) y f 1 (G) 2 F, as´ı pues, F ✓ f 1 (H) y por tanto f 1 (H) 2 F. Pero f (f 1 (H)) = H por ser f sobre y esto muestra que H 2 f (F). Para mostrar que f⇤ es mon´otona, es suficiente mostrar que para todo filtro F se tiene A 2 f⇤ (F) si y solo si f 1 (A) 2 F. (Ejercicio)

68

Filtros, convergencia y continuidad

Teorema 5.39. f : (X, T) ! (Y, H) es continua en el punto x 2 X si y solo si para cada filtro F de X tal que F ! x el filtro hf (F)i ! f (x). Demostraci´on. )) Supongamos que f es continua y que F ! x. Dada Vf (x) vecindad de f (x), existe Vx con f (Vx ) ✓ Vf (x) . Como Vx 2 F, tenemos que Vf (x) 2 hf (F)i.

() Si f no fuera continua en el punto x existir´ıa Vf (x) para la cual ninguna vecindad Vx satisface f (Vx ) ✓ Vf (x) . Claramente el filtro V(x) de las vecindades de x converge a x; luego, hf (F)i deber´ıa converger a f (x) y esto no puede suceder ya que Vf (x) 2 / hf (V(x))i.

6

Ejercicios 5.3

01

1. Un espacio X es de Hausdor↵ si y solo si todo filtro F que converge es de convergencia u ´nica.

-2

2. Muestre que (R, coenumerables) y (R, discreta) tienen el mismo tipo de convergencia de sucesiones. 3. Muestre que si (X, T) es de convergencia trivial entonces es T1 . ¿Se tiene el rec´ıproco? 4. Muestre que si (X, T) es m´as fino que (X, coenumerables) entonces es de convergencia trivial.

NO

5. Muestre que (X, Tp ) —punto elegido— es de convergencia u ´nica excepto para la sucesi´on constante a p.

IA

6. (El espacio de Fort modificado). Sea X = N [ {x1 , x2 }, con x1 , x2 2 / N. La topolog´ıa para X es dada a partir del sistema de vecindades para cada uno de los puntos de X. Si n 2 N entonces {n} 2 T. Ahora, A ✓ X es vecindad abierta de xi si xi 2 A y N A es finito (i = 1, 2).

RU B

Este espacio es T1 pero no T2 ya que los puntos x1 , x2 no pueden ser separados. La funci´on inclusi´on f : N ,! X dada por f (m) = m converge tanto a x1 como a x2 . 7. Sea (X, ) un conjunto linealmente ordenado y considere la topolog´ıa Tad . Si X tiene un elemento m´ınimo, entonces todo filtro es convergente. 8. Muestre que en (R, cof initos) todo ultrafiltro es convergente. 9. ¿C´omo es la convergencia en (N ⇥ N, lexicogr´afico)?

10. Sea F un ultrafiltro en N m´as fino que el filtro de Fr`echet. En el conjunto RN de todas las sucesiones en R, definimos la siguiente relaci´on: (an ) ⌘ (bn ) si y solo si {n | an = bn } 2 F. Muestre que ⌘ es de equivalencia. El conjunto R⇤ := RN / ⌘ de las clases de equivalencia es un modelo de los n´ umeros reales no est´andar. Demuestre que esta relaci´on es consistente con las operaciones de suma, multiplicaci´on y orden asociado a las sucesiones. R⇤ es un modelo de un cuerpo ordenado no completo. 11. Sea f : (X, d) ! (Y, m) una funci´on continua entre espacios m´etricos. Si definimos d⇤ (x, y) := d(x, y) + m(f (x), f (y)) muestre que d, d⇤ son topol´ogicamente equivalentes y, adem´as, d⇤ hace de f una funci´on uniformemente continua. Sugerencia: muestre que d, d⇤ son equivalentes si xn ! x en (X, d) si y solo si xn ! x en (X, d⇤ ).

6 Espacios de identificaci´on –cociente–

6

En un curso de ´algebra se encuentran los conceptos de grupo cociente o anillo cociente, en los cuales la idea es dar una estructura algebraica al conjunto de coclases de un subgrupo o un ideal. Estos conceptos (basados en una relaci´on de equivalencia) dan una estructura algebraica a una partici´on del grupo o del anillo.

01

En lo concerniente a la topolog´ıa, el concepto equivalente es el de espacio cociente al dar una topolog´ıa a una partici´on del espacio donde los elementos ser´an ahora las clases de equivalencia inherentes a la partici´on.

-2

Si R es una relaci´on de equivalencia en el espacio X, ¿c´omo dar una topolog´ıa al conjunto cociente X/R (de las clases de equivalencia o elementos de la partici´on) a partir de la topolog´ıa de X?

NO

6.1. Topolog´ıa cociente

Dados un espacio (X, T) y una relaci´on R de equivalencia en el conjunto X, queremos ante todo que la funci´on cociente

IA

q : X ! X/R definida por x 7 ! [x]

sea por supuesto continua y de la mejor manera, i. e., de manera que X/R tenga la mayor cantidad posible de abiertos y q sea continua.

RU B

Definici´ on 6.1. Dados un espacio (X, T) y una relaci´on R definimos la topolog´ıa cociente T/R para X/R como T/R := {V ✓ X/R : q 1 (V ) es un abierto de X}.

Un subconjunto de X que es uni´on de elementos de una partici´on se llama saturado. El conjunto saturado m´as peque˜ no que contiene a A ✓ X se llama la saturaci´ on de A. A es saturado si q 1 (q(A)) = A, i. e., A es igual a su saturaci´on. V ✓ X/R es abierto si y solo si V = q(A) con A ✓ X abierto y saturado. EjemploS6.2. En el intervalo [0, 1] identificamos 0 ⌘ 1. [0, 1]0⌘1 ⇡ S 1 . Tenemos que la partici´on es {0, 1} {{a} : a 2 (0, 1)}.

Ejemplo 6.3. Cinta de M¨obius 1 . Muchos espacios se construyen a trav´es de otro identificando algunos puntos; por ejemplo, M la cinta de M¨obius. 1

Esta superficie fue encontrada en 1858 por el matem´atico y astr´onomo alem´an, August M¨obius (1790-1868). M¨ obius fue estudiante y profesor de la Universidad de Leipzig. Curiosamente, el escrito que M¨obius present´ o a la ‘Acad´emie des Sciences’ en el cual discut´ıa las propiedades de una superficie de una sola cara solo fue encontrado despu´es de su muerte.

69

70

Espacios de identificaci´on –cociente–

01

6

Figura 6.1: Esquema para la construcci´ on de S 1 .

-2

Figura 6.2: Esquema para la construcci´ on de una cinta de M¨ obius.

NO

A partir del rect´angulo X = [0, 3] ⇥ [0, 1] con la topolog´ıa T de subespacio de R2 hacemos la identificaci´on R esquematizada por la figura 6.2 (observe la orientaci´on de las flechas) donde (0, y)R(3, 1 y) y los dem´as puntos s´olo se relacionan con s´ı mismos.

IA

(0, y)

(3, 1

y)

RU B

Figura 6.3: La imagen inversa de un abierto en la cinta de M¨ obius.

La preimagen de un disco abierto en la cinta es, o bien el conjunto formado por los dos semidiscos abiertos, o un disco abierto interior al rect´angulo. En todo caso se trata de un abierto en X/R pues su preimagen por q corresponde a un abierto en la topolog´ıa del rect´angulo (fig. 6.3).

La construcci´on anterior, hecha sobre una relaci´on de equivalencia, puede ser tambi´en descrita en t´erminos de la partici´on.

71

6.1 Topolog´ıa cociente

Definici´ on 6.4. Sea (X, T) un espacio y sea R = {Ai } una partici´on o descomposici´on de X. Formamos un nuevo espacio Y , llamado el espacio identificaci´ on o cociente, como sigue. Los puntos de Y son los miembros de R y si q : X ! Y es la funci´on cociente q(x) 7! Ai si x 2 Ai , la topolog´ıa para Y es la m´as grande para la cual q es continua, es decir, U ✓ Y es abierto si y solo si q 1 (U ) es abierto en X. Esta topolog´ıa se llama identificaci´ on o cociente para la partici´on R y notamos T/R : T/R := {U ✓ Y : q 1 (U ) es un abierto de X}.

6

Pensemos en Y como esos subconjuntos de X que han sido identificados a un solo punto por medio de R. Como cada partici´on R genera una relaci´on de equivalencia R (notada de la misma manera), el conjunto Y tambi´en es notado como Y = X/R . De suerte que S U es abierto en X/R si y solo si q 1 (U ) = [x]2U [x] 2 T.

01

La continuidad para estos espacios identificaci´on est´a determinada por la continuidad desde el espacio inicial, como afirma el siguiente teorema de gran utilidad en topolog´ıa. q

X

@

@

f q

-

X/R f

@ R ? @

Z

NO

-2

Teorema 6.5. Sean X/R un espacio identificaci´on, Z un espacio y f : X/R ! Z. f es continua si y solo si f q es continua – donde q : X ! X/R . (Si el domino es un cociente lo podemos remplazar por el espacio).

IA

Demostraci´on. Si f es continua claramente f q tambi´en lo es. En el otro sentido, asumamos que f q es continua y sea U ✓ Z con U 2 T. Para ver que f 1 (U ) es un abierto de X/R debemos tener que q 1 (f 1 (U )) sea abierto de X, es decir, (f q) 1 (U ) lo sea.

6.1.1. Descomposici´on can´onica por una funci´on Dada una funci´on sobreyectiva f : X ! Y entre conjuntos, la colecci´on de las fibras Rf := 1 (y)}y2Y determina una partici´on en X.

RU B

{f

La funci´on cociente q : X ! X/Rf satisfa1 ce q(x) = [x] = f (f (x)); luego la funci´on hf : X/Rf ! Y dada por hf ([x]) := f (x) o hf (f 1 (y)) = y est´a bien definida y es una biyecci´on.

q

X @

@ f

-

X/Rf h

f @ @ R ? @

Y

Teorema 6.6. Si X, Y son espacios y f : X ! Y es continua, entonces hf : X/Rf ! Y es continua. (Como f = hf q decimos que el diagrama representa la descomposici´on can´onica de f ). Demostraci´on. Dado U un abierto de Y , tenemos hf 1 (U ) = q(f q 1 (hf 1 (U )) = q 1 (q(f

1

(U )) = f

1

1

(U )), con lo cual

(U ),

y como f 1 (U ) es abierto en X, tenemos que hf 1 (U ) es abierto en X/Rf por la definici´on de la topolog´ıa cociente.

72

Espacios de identificaci´on –cociente–

K Podemos ahora preguntarnos qu´e tanto se identifica, i. e., ¿cu´ando h morfismo? (teorema 6.7), esto es, ¿cu´ando hf 1 (y) = f

1

f

es un homeo-

(y) es continua?

Teorema 6.7. Sean X, Y dos espacios y f : X ! Y continua y sobreyectiva. Si f es abierta o cerrada entonces hf : X/Rf ! Y es un homeomorfismo. Demostraci´on. Supongamos que f es abierta y veamos que hf tambi´en lo es. Sea U un subconjunto abierto en X/Rf , entonces hf (U ) = f (q 1 (U )) el cual es un abierto. En caso que f sea cerrada, la demostraci´on se deja como ejercicio.

6

La siguiente clase de funciones generaliza a las funciones cociente q : X ! X/R .

1

(V ) 2 T}.

-2

TYf = {V ✓ Y | f

01

Definici´ on 6.8. Sean (X, T) un espacio, Y un conjunto y f : X ! Y una funci´on sobreyectiva. La topolog´ıa cociente o identificaci´on sobre Y es la colecci´on

La topolog´ıa cociente algunas veces se llama la topolog´ıa final con respecto a la funci´on f .

K La topolog´ıa T

Y f

IA

NO

es mucho m´as que requerir la continuidad, pues la requiere de la ‘mejor’ manera (la m´as fina sobre Y que hace que f sea continua), por eso algunas veces se conoce como topolog´ıa de continuidad fuerte. El siguiente teorema es la raz´on por la cual los espacios de identificaci´on son tambi´en llamados cociente.

RU B

El siguiente teorema generaliza al teorema 6.5 y adem´as caracteriza la topolog´ıa cociente TfY como la u ´nica topolog´ıa sobre Y con estas dos propiedades. Teorema 6.9. Si Y tiene la topolog´ıa cociente TYf para la funci´on f : (X, T) ! Y . Entonces 1. f : (X, T) !

(Y, TYf )

2. Una funci´on g : Y

es continua, y

f

X

@ @

g f

-

g

@ R ? @

Z

! Z es continua si y solo si g f lo es.

Demostraci´on. Por la definici´on de TYf la continuidad de f es inmediata pues f rema 4.3).

Y

1

(TYf ) ✓ T (teo-

Si g es continua entonces lo es la compuesta g f . En el otro sentido, supongamos que g f es continua y tomemos un abierto U ✓ Z, entonces (g f ) 1 (U ) = f 1 (g 1 (U )) es abierto pues g f es continua, con lo cual g 1 (U ) es abierto por definici´on de la topolog´ıa identificaci´on. Finalmente, n´otese que la funci´on id´entica idY : (Y, TYf ) ! (Y, H) es un homeomorfismo si Y est´a equipado de una topolog´ıa H con estas propiedades. Definici´ on 6.10. Una funci´on sobreyectiva f : (X, T) ! Y es una funci´ on cociente si la topolog´ıa sobre Y es la topolog´ıa cociente.

73

6.1 Topolog´ıa cociente

Esto significa que una funci´on sobreyectiva f : (X, T) ! Y es una funci´ on cociente si y solo si para todo V ✓ Y se tiene f

1

(V ) es abierto en X si y solo si V es abierto en Y.

En este caso decimos que Y es un espacio de identificaci´ on —la raz´on para este nombre es que Y puede ser mirado como un espacio cociente, teorema 6.11—. Teorema 6.11. Sean X, Y espacios y f : X ! Y una funci´on cociente. Entonces Y ⇡ X/Rf —Y es homeomorfo a identificar puntos en X—.

q

-

X/Rf

6

X

@

@

Y

-2

f

⇡hf

@ @ R ? @

01

Demostraci´on. Veamos que hf es abierta, esto es, hf 1 es continua. Sea U un subconjunto abierto de X/Rf . Como f es una funci´on cociente, basta mostrar que f 1 (hf (U )) es abierto en X. Pero f 1 (hf (U )) = q 1 (U ) y como q es continua, tenemos que q 1 (U ) es abierto. Si observamos que hf q = f obtenemos que hf 1 f = q es continua y como f es una cociente, por el teorema anterior hf 1 es continua.

K ¿C´omo podemos reconocer las funciones cociente? i. e., ¿bajo qu´e condiciones una

NO

topolog´ıa dada proviene de una funci´on cociente? Parte de la respuesta la da el siguiente teorema.

IA

Teorema 6.12. Sea f : (X, T) ! (Y, H) continua y sobre. Si f es abierta o cerrada, entonces f es una funci´on cociente, i. e., H= TfY . Demostraci´on. Debemos ver que H = TYf . Claramente H ✓ TYf por la definici´on de TYf .

RU B

Para la contenencia TYf ✓ H tomemos U 2 TYf ; como f 1 (U ) es abierto entonces U = f (f 1 (U )) es un abierto en H, puesto que la funci´on f es abierta y sobreyectiva. Si f es cerrada, el mismo argumento se aplica cambiando ‘abierto’ por ‘cerrado’.

Corolario 6.13. Sea f : (X, T) ! (Y, H) continua y sobre. Si adem´as X es compacto y Y es de Hausdor↵, entonces f es una funci´on cociente. Demostraci´on. El concepto de compacto se define en el cap´ıtulo 7 donde adem´as se muestra que con la hip´otesis del corolario 6.13 f es cerrada. Ejemplo 6.14. Sean X = [0, 2⇡] y Y = S 1 . f : X ! Y definida como f (x) := (cos(x), sen(x)) es una identificaci´on, con lo cual S 1 ⇡ [0, 2⇡]/R donde R identifica los extremos, i. e., a 0 con 2⇡. Ejemplo 6.15. El toro. Sea X = [0, 1] ⇥ [0, 1] con la topolog´ıa de subespacio usual de R2 . Particionamos a X en cuatro clases mediante la siguiente relaci´on R (ver figura 6.4). 1. {(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1)}: las esquinas se identifican. 2. {(x, 0), (x, 1)} para cada x 2 (0, 1): ‘pegamos’ el borde inferior con el borde superior. 3. {(0, y), (1, y)} para cada y 2 (0, 1): ‘pegamos’ los lados.

74

Espacios de identificaci´on –cociente–

01

4. {(x, y)} para x 2 (0, 1) y y 2 (0, 1): el interior no cambia.

6

Figura 6.4: Una partici´ on sobre I ⇥ I que conduce al Toro

Estas dos descripciones coinciden. Definimos

-2

El espacio T asociado a esta partici´on es el toro, tambi´en descrito como T = S 1 ⇥ S 1 , el producto de dos circunferencias. f : [0, 1] ⇥ [0, 1] ! S 1 ⇥ S 1

NO

como f (x, y) = (e2⇡ix , e2⇡iy ) donde e2⇡ix := (cos 2⇡x, sin 2⇡x) y e2⇡iy := (cos 2⇡y, sin 2⇡y). La relaci´on Rf en [0, 1] ⇥ [0, 1] definida por la funci´on f , es decir Rf = {f

1

(a) : a 2 T }

es exactamente la partici´on inicial R; luego, por el corolario 6.13

IA

[0, 1] ⇥ [0, 1]/Rf ⇡ S 1 ⇥ S 1

RU B

ya que como [0, 1] ⇥ [0, 1] es compacto y S 1 ⇥ S 1 es de Hausdor↵, f resulta ser una identificaci´on.

Figura 6.5: Un famoso homeomorfismo entre una taza y el toro.

Ejemplo 6.16. Nuevamente en X = [0, 2⇡] ⇥ [0, 2⇡] —nuestra hoja de papel— consideramos una relaci´on definida como en el esquema de la figura 6.6, donde los lados verticales nos producen el cilindro y los lados horizontales identifican la base de la botella con su boca pero en sentido contrario —como lo hab´ıamos hecho en la cinta de M¨obius— y es aqu´ı donde surge la imposibilidad de realizaci´on en tres dimensiones; y hablamos de botella ya que esta construcci´on se conoce como botella de Klein Curiosamente, si una botella de Klein sufriera una ca´ıda que produjera una rotura en dos partes y a lo largo, ¡obtendr´ıamos dos cintas de M¨obius! Esto es, la botella de Klein es obtenible v´ıa sutura para los dos bordes de dos cintas de M¨obius, pero el coser estos dos bordes es imposible en nuestro universo tridimensional, aunque cada borde no sea m´as que una circunferencia —¡int´entelo!—

75

NO

-2

Figura 6.6: Botella de Klein.

01

6

6.1 Topolog´ıa cociente

RU B

Ejercicios 6.1

IA

Figura 6.7: Botella de Klein partida por la mitad.

1. Muestre que la topolog´ıa cociente es en efecto una topolog´ıa y que es la m´as fina para la cual la funci´on proyecci´on es continua. 2. Muestre que un subconjunto es cerrado para la topolog´ıa cociente si es la imagen de un conjunto saturado y cerrado. 3. Sean ⌘, ⇠ relaciones de equivalencia sobre los espacios X, Y respectivamente. Dada una funci´on continua f : X ! Y tal que a ⌘ b implica f (a) ⇠ f (b) entonces fb : X/⌘ ! Y /⇠ definida por fb([x]) = [f (x)] es una funci´on bien definida y continua.

4. Sea f : X ! Y una funci´on cociente. Decimos que A ✓ X es f -saturado o f -inverso si f 1 (f (A)) = A. a) Muestre que A es f –saturado si existe B tal que A = f

1

(B).

b) ¿C´omo caracterizar los abiertos en una funci´on cociente? Los abiertos de Y son precisamente las im´agenes por f de los subconjuntos abiertos f -saturados de X. c) ¿Puede caracterizar los cerrados en una funci´on cociente?

76

Espacios de identificaci´on –cociente–

5. ¿Es la composici´on de funciones cociente una funci´on cociente? 6. Sea f : X se tiene

! Y sobreyectiva. Muestre que f es una funci´on cociente si para todo V ✓ Y f

1

(V ) es cerrado en X si y solo si V es cerrado en Y.

7. Muestre que una biyecci´on continua es una funci´on cociente si y solo si es un homeomorfismo.

RU B

IA

NO

-2

01

6

8. Muestre que la topolog´ıa TYf es la mejor —m´as fina— que hace a f continua.

f

X

C

⇡

[f,g]

H Y HH

pX

?

X ⇥Y

*

Y

pY

-2

Visto X ⇥Y de otra manera — sint´etica y no anal´ıtica— tenemos lo siguiente.

HHg H j H

01

Dados dos conjuntos X, Y , una construcci´on familiar es su producto cartesiano, el cual se define —de manera anal´ıtica— como X ⇥ Y := {(x, y) | x 2 X, y 2 Y }.

6

7 La topolog´ıa producto

7.1. Definici´on sint´etica de producto entre conjuntos

IA

NO

Si tomamos a X, Y como objetos en la categor´ıa de los conjuntos, este producto cartesiano es un objeto que tiene asociadas de manera natural dos flechas o morfismos, las proyecciones pX : X ⇥ Y ! X y pY : X ⇥ Y ! Y . La propiedad fundamental de este objeto X ⇥ Y y de las flechas pX , pY que adem´as lo caracteriza es: si existe otro conjunto C con dos funciones f : C ! X, g : C ! Y entonces estas funciones las podemos factorizar por medio de pX , pY . En otras palabras, existe una u ´nica funci´on [f, g] : C ! X ⇥ Y tal que el diagrama conmuta, i. e., f = pX [f, g] y g = pY [f, g].

RU B

K Posiblemente para el lector no sea familiar esta propiedad del producto cartesiano.

Su valor consiste en que no hace referencia a la parte intr´ınseca del conjunto, sino a las propiedades que este objeto y sus flechas tienen dentro de la categor´ıa de los conjuntos —factoriza tanto a f como a g— lo cual nos da una visi´on sint´etica del concepto.

Otro ejemplo en esta l´ınea de pensamiento —no anal´ıtico— es el de las funciones inyectivas y sobreyectivas. Dados dos conjuntos A, B una funci´on f : A ! B notada como f 2 M or(A, B) es inyectiva si dados cualquier conjunto C y cualquier par de flechas m, n que satisfacen f m = f n podemos concluir m = n (cancelaci´on a izquierda). La ventaja de mirar estos conceptos en t´erminos de flechas y diagramas consiste en que los podemos generalizar a categor´ıas donde el concepto no depende de la definici´on puntual —por elementos— de un conjunto.

7.2. La topolog´ıa producto –caso finito– Una tarea importante en topolog´ıa es construir nuevos espacios a partir de los ya conocidos. La secci´on anter16iva la definici´on de producto para dos espacios topol´ogicos, donde adem´as de mirar la parte conjuntista debemos hacer intervenir la estructura topol´ogica; es decir, dados 77

78

La topolog´ıa producto

(X, T), (Y, H) dos espacios topol´ogicos, el producto X ⇥ Y de los dos espacios debe tener una topolog´ıa que haga que las dos proyecciones sean morfismos topol´ogicos, es decir, las dos funciones pX : X ⇥ Y ! X y pY : X ⇥ Y ! Y ‘deben’ ser continuas.

Como pX debe ser continua, dado un abierto U ✓ X, pX1 (U ) = U ⇥ Y debe ser abierto en X ⇥ Y ; similarmente pY 1 (V ) = X ⇥ V debe ser abierto si V lo es en Y . As´ı que tanto U ⇥ Y como X ⇥ V deben ser abiertos, y puesto que queremos una topolog´ıa en X ⇥ Y la intersecci´on de los abiertos tendr´a que ser un abierto, i. e., (U ⇥ Y ) \ (X ⇥ V ) = U ⇥ V debe ser un abierto de X ⇥ Y . Proposici´ on 7.1. Dados (X, T), (Y, H) espacios, la colecci´on B = {U ⇥ V : U 2 T, V 2 H}

01

6

es base para una topolog´ıa en X ⇥ Y .

-2

Demostraci´on. Claramente B es un cubrimiento. Sean B1 , B2 en B con B1 = U1 ⇥V1 , B2 = U2 ⇥V2 . Dado (m, n) 2 B1 \ B2 existe B3 = (U1 \ U2 ) ⇥ (V1 \ V2 ) tal que (m, n) 2 B3 ✓ B1 \ B2 con B3 2 B. La topolog´ıa de la proposici´on anterior se llama topolog´ıa producto en X ⇥ Y para los espacios (X, T), (Y, H).

NO

La topolog´ıa producto es la ‘mejor’, la que posee la menor cantidad posible de abiertos de tal manera que las proyecciones sean continuas, o en otras palabras, la topolog´ıa producto es la intersecci´on de todas las topolog´ıas en X ⇥ Y que hacen las proyecciones continuas.

IA

Definimos la topolog´ıa producto para un n´ umero finito de espacios topol´ogicos X1 , . . . , Xn como la topolog´ıa generada por la subbase S formada por la colecci´on de las im´agenes inversas de abiertos por medio de las proyecciones S = {pi 1 (Ui ) : Ui abierto de Xi , i = 1, . . . , n}. Los conjuntos

RU B

pi 1 (Ui ) = X1 ⇥ X2 ⇥ · · · ⇥ Ui ⇥ · · · ⇥ Xn = Ui ⇥

Y

Xj

j6=i

se denominan cilindros abiertos. De suerte que los elementos de la base generada (llamados cajas abiertas) son de la forma B = U1 ⇥ U2 ⇥ · · · ⇥ Un .

(7.1)

Ejercicios 7.2

1. ¿Es el producto de dos espacios groseros un espacio grosero? 2. ¿C´omo es la topolog´ıa para el producto de dos espacios, uno con la topolog´ıa discreta y el otro con la topolog´ıa grosera? 3. Sean (X, T), (Y, H) dos espacios topol´ogicos. Muestre que si BX , BY son bases para X, Y respectivamente, entonces BX ⇥ BY = {BX ⇥ BY : BX 2 BX , BY 2 BY } es una base para el espacio producto.

79

7.3 La topolog´ıa producto —caso infinito—

4. ¿Se puede localizar el anterior ejercicio para obtener una base local en el punto (x, y) 2 X ⇥Y a partir de bases locales para x y y respectivamente? 5. Muestre que el producto finito de espacios 2–contable es un espacio 2–contable. 6. Muestre que si A es cerrado en X y B es cerrado en Y entonces A ⇥ B es cerrado en X ⇥ Y . ¿Se tiene la rec´ıproca?, i. e., ¿es todo cerrado un producto de cerrados? Sugerencia: (X ⇥ Y )/(A ⇥ B) = ((X/A) ⇥ Y ) [ (X ⇥ (Y /B)). 7. Sean A un subespacio de X y B un subespacio de Y . Muestre que la topolog´ıa producto para A ⇥ B es la misma topolog´ıa que el subconjunto A ⇥ B hereda como subespacie de X ⇥Y.

10. ¿Es pX : X ⇥ Y

01

9. Muestre que (R, usual) ⇥ (R, usual) = (R2 , usual).

6

8. Muestre que X ⇥ Y es ‘can´onicamente’ isomorfo a Y ⇥ X. ! X una funci´on abierta? ¿Una funci´on cerrada?

-2

11. * Sean (X, 0 tal que (s ", s] ✓ U si s = b o para s < b tendr´ıamos (s ", s + ") ✓ U y por ser s un sup existe > 0 tal que < " y s 2 M . Luego el intervalo [a, s ] est´a contenido en la uni´on de un subcubrimiento finito de U , llam´emoslo M. Por tanto M [ {U } es un recubrimiento finito de [a, s], es decir s 2 M . Si s fuese menor que b entonces ([M) [ U contendr´ıa a [a, s + "] y contradice que s es sup de M . Esta propiedad de los intervalos cerrados y acotados de R la generalizamos a los espacios topol´ogicos y con la siguiente definici´on2 le damos nombre.

9.1. Espacios compactos 1

Introducido por el matem´ atico alem´ an Heinrich Heine (Berl´ın 1821-Halle 1881) en 1872 (quien tambi´en formul´ o el concepto de la continuidad uniforme), modificado por el matem´atico y pol´ıtico franc´es F´elix Borel (Saint-A↵rique 1871-Par´ıs 1956) en 1894 y por Henri L´eon Lebesgue (Beauvais 1875-Par´ıs 1941), matem´atico franc´es que formul´ o la teor´ıa de la medida en 1910. 2 Fue introducida en 1923 con el nombre inicial de bicompacto y de manera independiente por el gran top´ ologo ruso Pavel Alexandro↵ (1896-1982 Mosc´ u) y por el matem´atico ucraniano Pavel Urysohn (Odessa, Ucrania 1898– Francia 1924).

109

110

Compacidad

Definici´ on 9.3. Un espacio (X, T) se dice compacto si cada cubrimiento abierto de X admite un subcubrimiento finito. A ✓ X esScompacto si AScomo subespacio de X es compacto; i. e., dado un cubrimiento abierto A ✓ i2I Vi —A = i2I (Vi \ A) es reuni´on de abiertos del subespacio—, existe una S S subfamilia finita Vi1 , Vi2 , . . . , Vik tal que A ✓ ki=1 Vik ; esto implica A = nk=1 (Vik \ A).

La siguiente visualizaci´on de la compacidad se debe a John D. Baum:

01

6

Supongamos que una gran multitud de personas —posiblemente infinitas— est´an afuera bajo la lluvia, y que cada una de estas personas usa su sombrilla, claramente ellas permanecer´an sin mojarse. Pero por supuesto es posible que ellas est´en juntas de manera tan compacta, que no sea necesario sino que un n´ umero finito de ellas abran sus sombrillas y todav´ıa permanezcan sin mojarse. En este caso pensamos que ellas forman una especie de espacio compacto. Ejemplo 9.4. Si X es un conjunto finito toda topolog´ıa es compacta.

-2

Ejemplo 9.5. (R, cof initos) es compacto pues dado un cubrimiento abierto U , tomemos U 2 U; como U c es finito necesitamos adjuntarle a U tan solo finitos miembros de U para obtener un subcubrimiento abierto.

NO

Ejemplo 9.6. Ru no es compacto pues el cubrimiento abierto formado por la colecci´on (n 1, n+1) para n 2 Z no tiene un subcubrimiento finito. Ejemplo 9.7. Para un conjunto infinito X y a 2 X, (X, T a ) es compacta mientras (X, Ta ) no lo es.

IA

Ejemplo 9.8. La compacidad no se hereda. Por ejemplo, el intervalo (0, 1) ✓ [0, 1] no es compacto pues {(0, 1 1/n)}n2N es un cubrimiento abierto de (0, 1) que no se puede reducir a un subcubrimiento finito.

RU B

El siguiente teorema muestra que en el caso en que el subespacio sea cerrado, la compacidad si es hereditaria. Teorema 9.9. Sean (X, T) un espacio compacto y A ✓ X un cerrado, entonces A es compacto. S Demostraci´on. Sea U una familia de abiertos de X tal que A ✓ U . Si a˜ nadimos a U el conjunto Ac obtenemos un cubrimiento abierto de X. Luego existen U1 , . . . , Un en U tales que X = U1 [ U2 [ . . . [ Un [ Ac y por tanto A ✓ U1 [ U2 [ . . . [ Un . Ejemplo 9.10. Esta es una aplicaci´on del teorema 9.9. En (R, [a, b)) el subespacio [0, 1] no es compacto, pues [0, 1) no lo es y es un cerrado en [0, 1] ya que su complemento {1} = [0, 1] \ [1, 2) es un abierto en [0, 1]. La compacidad es un invariante topol´ogico; m´as a´ un, es preservada por las funciones continuas y, esta es otra manera de mostrar si un espacio es compacto: vi´endolo como una imagen continua de un compacto. Teorema 9.11. Sea f : (X, T) ! (Y, H) sobre y continua. Si X es compacto entonces Y es compacto.

111

9.1 Espacios compactos

Demostraci´on. Sea U un cubrimiento abierto de Y . La familia f

1

(U ) = {f

1

(U ) : U 2 U}

es un cubrimiento abierto de X. Como X es compacto, existe un subcubrimiento 1

{f

(U1 ), . . . , f

1

(Un )}

de f 1 (U ) y por ser f sobre tenemos f (f 1 (Uk )) = Uk para 1  k  n. As´ı, Y = f (X) = U1 [ . . . [ Un y por tanto U admite un subcubrimiento finito.

01

6

Corolario 9.12. No existe f : [0, 1] ! (0, 1) continua que sea sobreyectiva. Por tanto estos espacios no pueden ser homeomorfos.

-2

Los subconjuntos compactos de un espacio de Hausdor↵ tienen propiedades deseables, que pueden faltarles a los espacios compactos en general. Esta es una raz´on para que algunos autores llamen ‘compacto’ a lo que nosotros hemos definido, exigiendo adem´as que el espacio sea de Hausdor↵ —bicompactos para la antigua escuela rusa y aun para la escuela Bourbaki—.

NO

Una de estas propiedades es que ellos se pueden ‘separar’ de los puntos que no contienen.

..................................................... .............. ....... ........ ...... ..... ..... . . .... .... ... ... ... ... ... . . . . . . ... .. ... . . . . . ... .. ... . .... ... . .. .... ... . ... .... .. . .... . ... .. ... . . . . .... . . ... . . .... .... . .... .. . ... . x ... . . ... a .. ... .. .. ... .. . . .. ... .. ... .... ....... ..... . . . ....... . ...... ...... ....... ........... ..............................

A

IA

a •

• x

Uxa

RU B

U

.... .... .... .... .... .... ... ... . ... .. ... .. ... . .. ... . . . ... ... .... .... .... ... . .... ....

Figura 9.1: Los compactos en un espacio de Hausdor↵ son cerrados.

Teorema 9.13. Sean (X, T) un espacio de Hausdor↵ y A un subespacio compacto de X. Dado x 2 X con x 2 / A, existen vecindades disyuntas Vx , VA de x y de A respectivamente. —En particular esto implica que A es cerrado—. Demostraci´on. Sea a 2 A. Como X es de Hausdor↵, existen abiertos disyuntos Uax , Uxa de a, x respectivamente. Cuando a var´ıa en A, obtenemos un cubrimiento de A dadoT por U = {Uax | a 2 A} finito {Uax1 , . . . , Uaxn }. Si Ux = ni=1 Uxai entonces Sny dex ´el extraemos un subcubrimiento Sn Ux \ ( i=1 Uai ) = ; y adem´as A ✓ i=1 Uaxi . El hecho de que una funci´on continua f sea una biyecci´on asegura la existencia de su inversa, pero no la continuidad de esta u ´ltima, i. e., no podemos tener la certeza de que f sea una funci´on abierta. El teorema 9.14 muestra que bajo ciertas circunstancias, como en el caso de los espacios compactos, todas las biyecciones continuas son funciones abiertas.

112

Compacidad

K En general compacidad y Hausdor↵ son una buena combinaci´on, de hecho forman

una propiedad ´optima (realmente minimal, ejercicio 19). Una topolog´ıa que es m´as fina que una topolog´ıa de Hausdor↵ es de Hausdor↵, mientras que una topolog´ıa que es m´as gruesa que una topolog´ıa compacta es a su vez compacta.

Teorema 9.14. Sean (X, T), (Y, H) espacios con X compacto y Y de Hausdor↵. Si f : X ! Y es una biyecci´on continua entonces f es un homeomorfismo.

6

Demostraci´on. Solo nos resta verificar que f 1 es continua, i. e., f es cerrada. Si C en un cerrado de X entonces C es compacto y por tanto f (C) es compacto en Y , y como Y es Hausdor↵, f (C) es adem´as cerrado.

-2

01

Ejemplo 9.15. Un camino sobreyectivo f : [0, 1] ! [0, 1] ⇥ [0, 1]. Estos caminos existen3 aunque la intuici´on nos falle y se construyen mediante un proceso iterativo como en la figura 9.2— no puede ser inyectivo, i.e., el camino pasa dos veces por el mismo punto, pues de lo contrario ser´ıa una biyecci´on y por el teorema anterior un homeomorfismo, y ya sabemos que estos espacios no son homeomorfos.

NO

Ejercicios 9.1

1. Sean (X, T), (Y, H) espacios con X compacto y Y de Hausdor↵. Si f : X ! Y es continua entonces f (A) = f (A) para todo A ✓ X.

IA

2. ¿Es la intersecci´on de espacios compactos un compacto?

RU B

Sugerencia: considere el espacio producto X = (R, usual) ⇥ ({0, 1}, grosera).

Grafique los subespacios S a) A = [a, b] ⇥ {0} (a, b) ⇥ {1}, S b) B = (a, b) ⇥ {0} [a, b] ⇥ {1}.

Como cada abierto que contiene al punto (a, 0) contiene al punto (a, 1), entonces A y B son compactos. Pero A \ B = (a, b) ⇥ {0, 1} no es un compacto ya que el intervalo (a, b) no lo es.

3. ¿Es la uni´on de espacios compactos un compacto? 4. Muestre que ([0, 1), usual) no es compacto. 5. Considere a (0, 1) con la base {(0, 1/n)}n2N . ¿Qui´en es la adherencia de (0, 1/2)? ¿Es (0, 1/2) compacto? 6. Muestre que en un espacio de Hausdor↵, A es compacta si A lo es. 3

Fue el matem´ atico italiano Giuseppe Peano (Spinetta 1858–Tur´ın 1932) el primero en descubrir una de ellas, y se llaman desde entonces curvas de Peano. La famosa curva de Peano que llena el espacio apareci´o en 1890 como un contraejemplo que us´ o para mostrar que una curva continua no puede ser encerrada en una regi´on arbitrariamente peque˜ na. Este fue un ejemplo temprano de lo que se conoce como fractal.

113

9.1 Espacios compactos

n=2

n=3

n=4

n=5

01

6

n=1

RU B

IA

NO

-2

n=6

Figura 9.2: Construcci´ on de una curva de Peano –este tipo en particular fue creado por George P´ olya (1887 Budapest, Hungria–1985 California, USA), y llena el cuadrado en su proceso llevado al l´ımite.

114

Compacidad

7. Sea (X, T) un espacio 1-contable. X es de Hausdor↵ si y solo si cada subconjunto compacto es cerrado. 8. Sea X = ([0, 1), usual). Muestre que la funci´on e : X ! S 1 definida por e(t) = (cos 2⇡t, sen 2⇡t) —la restricci´on de la funci´on exponencial— es una biyecci´on continua que no es un homeomorfismo. 9. Muestre que el conjunto [0, 1] ⇥ [0, 1] como subespacio de (R2 , lexico) no es compacto. 10. Sea (X, ) un conjunto parcialmente ordenado con un primer elemento y dotado con la topolog´ıa de colas " x a derecha (filtros de orden principales). Muestre que X es compacto.

01

12. Muestre que un espacio discreto es compacto si y solo si es finito.

6

11. Sea (X, ) un conjunto totalmente ordenado. La topolog´ıa del orden es compacta si y solo si X es un ret´ıculo completo. Revise la demostraci´on del teorema 9.2.

13. Sean T1 , T2 dos topolog´ıas para X. Muestre que si T1 es compacta y T2 ✓ T1 entonces T2 es compacta.

-2

14. Regularidad–compacidad local. Muestre que en un espacio Hausdor↵ y compacto, dado x 2 X y cualquier vecindad Vx , existe una vecindad abierta Ux tal que Ux ✓ Ux ✓ Vx .

NO

15. No abundan los compactos. Si (X, T) es de Hausdor↵ y todos los subconjuntos de X son compactos entonces la topolog´ıa es discreta. 16. Sea (X, T) un espacio. La familia

Tcompacto := {U 2 T : U c es compacto} [ {;}

IA

es una topolog´ıa compacta para X.

17. Muestre que en un espacio m´etrico todo subconjunto compacto es cerrado y acotado. ¿Se tiene la rec´ıproca? 18. Muestre que un subconjunto compacto de la l´ınea de Sorgenfrey es a lo m´as enumerable.

RU B

K

19. Muestre que compacto–Hausdor↵ es una propiedad minimal: si X es compacto y de Hausdor↵ con respecto a una topolog´ıa T, entonces cualquier otra topolog´ıa que sea estrictamente m´as fina que T es de Hausdor↵ pero no compacta, mientras que toda otra topolog´ıa m´as gruesa que T es compacta pero no de Hausdor↵. Sugerencia: aplique el teorema 9.14 a la funci´on id´entica de X.

9.2. Dos caracterizaciones de la compacidad 9.2.1. Compacidad v´ıa cerrados Sean X un conjunto y A = {Ai }i2I , una familia de subconjuntos de X. A tiene la propiedad de la intersecci´ on finita PIF si la intersecci´ on de cualquier subfamilia finita de A es no vac´ıa, T i. e., si para todo J ✓ I finito se tiene j2J Aj 6= ;. El siguiente teorema da una caracterizaci´on de la compacidad en t´erminos de los subconjuntos cerrados del espacio.

115

9.2 Dos caracterizaciones de la compacidad

Teorema 9.16. (X, T) es compacto si y solo si cada colecci´on C = {Ci }i2I de cerrados que posee la PIF satisface que \C = 6 ;. T S Demostraci´on. )) Para cada i 2 I, sea Ui = X Ci . Si i2I Ci = ; entonces i2I Ui = X y por tanto {Ui }i2I es un cubrimiento abierto de X. Como X es compacto existe Ui1 , Ui2 , . . . , Uin Sn un subcubrimiento finito k=1 Uik = X y al tomar complementos en esta igualdad se contradice la PIF para C.

() Si X no es compacto existe {Ui }i2I cubrimiento abierto que no se puede reducir a uno finito. Sea Ci = X Ui para cada i 2 I. Claramente C = {Ci }i2I tiene la PIF pero \C = ;, lo que contradice la hip´otesis.

01

6

Corolario 9.17 (Encaje de Cantor). Sea (X, T) un espacio compacto. Si C = {Ci }, (i 2 I) es una cadena descendente —encaje— de cerrados no vac´ıos entonces \C = 6 ;. Demostraci´on. C satisface la PIF.

-2

Ejemplo 9.18. Ru no es compacto, ya que la familia de cerrados {[z, 1)}z2R tiene la PIF, y sin embargo la intersecci´on de todos los elementos de esta familia es vac´ıa.

NO

La siguiente proposici´on generaliza el cl´asico teorema de B. Bolzano4 dado en 1830 en el contexto de los n´ umeros reales: cada subconjunto infinito y acotado de n´ umeros reales tiene un punto de acumulaci´on.

IA

Proposici´ on 9.19 (Bolzano-Weierstrass). Todo subconjunto infinito de un espacio compacto X tiene un punto de acumulaci´on.

RU B

Demostraci´on. Si A es un subconjunto de X que no tiene puntos de acumulaci´on, veamos que A es finito. Como A no tiene puntos de acumulaci´on, entonces para todo x 2 X existe Vx tal que Vx \ A = ; o´ Vx \ A = {x} en el caso que x 2 A. La colecci´on {Vx }, (x 2 X) forma un cubrimiento abierto de X (compacto) el cual admite un subcubrimiento finito Vx1 , . . . , Vx2 . Sn Claramente A ✓ i=1 Vxi = X y por tanto A tiene a lo m´as {x1 , x2 , . . . , xn } puntos.

K En un espacio compacto todo subconjunto que no tenga puntos de acumulaci´on es finito, i. e., si el espacio compacto no es finito una parte de ´el se acumula.

Si el espacio compacto es adem´as de Hausdor↵, el siguiente teorema da condiciones para su cardinalidad. Teorema 9.20. Sea X un espacio compacto y de Hausdor↵, con la propiedad que cada uno de sus puntos es de acumulaci´on, i. e., no posee puntos aislados. Entonces X es incontable. 4

Matem´ atico checo (1781 Praga-1848 Praga). Bolzano liber´o de manera exitosa al c´alculo del concepto de infinitesimal. Tambi´en dio ejemplos de funciones 1-1 entre elementos de un conjunto infinito y elementos de un subconjunto propio. Se adelant´ o a los analistas rigurosos del siglo XIX, a saber: en el concepto de funci´on continua y en la demostraci´ on de sus propiedades, en el criterio de convergencia de series, y en la existencia de funciones continuas sin derivadas; pero por haber publicado sus escritos de an´alisis en Praga, ciudad entonces alejada de los centros cient´ıficos, o por permanecer in´editos, como su importante Teor´ıa de Funciones, que apareci´o en 1930, la influencia de sus ideas fue escasa. Defini´ o lo que hoy se conoce como sucesiones de cauchy.

116

Compacidad

Demostraci´on. Dado A = {a1 , a2 , . . .} ✓ X mostremos que existe x 2 X tal que x 2 / A. Para encontrar tal x construiremos un encaje de cerrados noTvac´ıos C1 ◆ C2 ◆ C3 ◆ · · · con la propiedad que an 2 / Cn y como X es compacto existe x 2 1 n=1 Cn .

Para la construcci´on de {Cn }n utilizamos de manera inductiva el siguiente hecho: dados un abierto U 6= ; y b 2 X, existe una vecindad W contenida en U y tal que b 2 / W (b puede estar o no en U ). En efecto, sea y 2 U con y 6= b (si b 2 U utilizamos que b es de acumulaci´on, si b 2 /U tomamos y 2 U pues U 6= ;). Como el espacio es de Hausdor↵, existen vecindades Vby \ Vyb = ;; luego, Wy = Vyb \ U satisface b 2 / W.

6

La construcci´on: sea X el primer abierto y escojamos W1 ✓ X con a1 2 / W1 . Hagamos C1 = W1 . Sea W2 ✓ W1 con a2 2 / W2 y C2 = W2 . Continuamos este proceso escogiendo Wn+1 ✓ Wn con T1 an+1 2 / Wn+1 y hacemos y Cn+1 = Wn+1 . La intersecci´on n=1 Cn nos proporciona el punto x2 / A.

01

Corolario 9.21. R es incontable.

-2

9.2.2. Compacidad v´ıa filtros

Definici´ on 9.22. Sea F un filtro en el espacio (X, T). Un punto x 2 X es adherente al filtro si para toda Vx y todo F 2 F se tiene Vx \ F 6= ;. Es decir, V(x) \ F es una base de filtro.

NO

Definimos F la adherencia del filtro como el conjunto de puntos que son adherentes al filtro; en particular \ F = {F | F 2 F}.

IA

Teorema 9.23. Un espacio X es compacto si y solo si cada filtro en X tiene un punto adherente.

RU B

T Demostraci´on. )) Sean X compacto, F un filtro en X y veamos que {F | F 2 F} 6= ;. La colecci´on C := {F | F 2 F} posee la PIF, pues dada F1 , F2 , . . . , Fn una subfamilia finita de C

y como F es un filtro tenemos F = \C = 6 ;.

Tn

i=1

n \

i=1

Fi ✓

n \

Fi

i=1

Fi 6= ;, con lo cual

Tn

i=1

Fi 6= ;. Por tanto \C = 6 ; y as´ı

() Para verificar que X es compacto tomemos una familia C de cerrados con la PIF. C es una subbase de un filtro F pues el conjunto M de todas las intersecciones finitas de elementos de C es una base de filtro ya que 1. La intersecci´on no vac´ıa de dos elementos de M contiene a un elemento de M. 2. M es no vac´ıo y el conjunto vac´ıo no es un elemento de M. Sea F el filtro generado por M, i. e., F := hMi = {F ✓ X : M ✓ F, alg´ un M 2 M}. T Sabemos que F 6= ; y por tanto existe x 2 X con x 2 {F | F 2 F} y como C ✓ F tenemos \ \ \ {F : F 2 F} ✓ {C : C 2 C} = {C : C 2 C}, T pues cada C es cerrado. De tal manera que x 2 {C : C 2 C}.

117

9.3 Producto de dos compactos

Ejemplo 9.24. (R, cof initos) es compacto (v´ıa los filtros). Sea F un filtro en R y supongamos que a 2 R satisface que a 2 / F, i. e., existen Va y F 2 F para los cuales Va \ F = ;. Luego F ✓ X Va y como la topolog´ıa es la de los cofinitos F es un conjunto finito, digamos F = {x1 , x2 , . . . , xn }.

Afirmamos que existe un ´ındice i 2 {1, 2, . . . , n} para el cual se satisface que el punto xi est´a en todos los elementos del filtro, pues en caso contrario existen F1 , . . . , Fn 2 F (uno por cada ´ındice) tales que xk 2 / Fk , (k = 1, . . . , n) y as´ı F \ (F1 \ . . . \ Fn ) = ; lo cual no puede suceder. Para este ´ındice i se tiene entonces que xi 2 F.

01

La compacidad tiene una definici´on en t´erminos de los ultrafiltros.

6

9.2.3. Compacidad v´ıa ultrafiltros

Teorema 9.25. Un espacio (X, T) es compacto si y solo si cada ultrafiltro en X es convergente.

NO

-2

Demostraci´on. )) Sea U un ultrafiltro en X y supongamos que U no es convergente; para cada x 2 X existe Vx abierta tal que Vx 2 / U, y como U es un ultrafiltro entonces Vxc 2 U. Por supuesto {Vx }, (x 2 X) es un cubrimiento abierto deSX y por laTcompacidad lo podemos reducir a un subcubrimiento finito Vx1 , Vx2 , · · · , Vxn . As´ı, ( ni=1 Vxi )c = ni=1 Vxci = ;, con lo cual ; estar´ıa en U y esto no puede suceder.

() Consideremos una familia C = {Ci }i2I de cerrados en X con la PIF y veamos que \C = 6 ;. C es una subbase de filtro, en el sentido que la colecci´on de las intersecciones finitas de elementos de C forman una base de filtro.

IA

Sea U un ultrafiltro que contiene al filtro generado por esta subbase, hCi ✓ U. Como U es convergente, sea p 2 X tal que U ! p. Tenemos que p 2 \C pues de lo contrario existe C 2 C con p 2 C c , luego C c 2 U por ser vecindad de p y tendr´ıamos que tanto C como C c est´an en U , lo cual no puede suceder.

RU B

Ejemplo 9.26. (R, cof initos) es compacto (v´ıa los ultrafiltros). Sea U un ultrafiltro en R y veamos que ´el es convergente. Si U es principal entonces claramente es convergente. Si no es principal todos sus elementos son infinitos, y por tanto dado un x y una vecindad Vx cualquiera se tiene que Vx 2 U pues de lo contrario Vxc 2 U, pero sabemos que U no la admite por ser finita. Por tanto U converge a todo punto.

9.3. Producto de dos compactos Teorema 9.27. Sean (X, T), (Y, H) dos espacios. La topolog´ıa producto para X ⇥Y es compacta si y solo si X y Y son compactos. Demostraci´on. )) Si X ⇥ Y es compacto, las proyecciones nos garantizan que tanto X como Y tambi´en son compactos. () Sea O = {Oi }, (i 2 I) un cubrimiento abierto de X ⇥ Y . Por cada (x, y) 2 X ⇥ Y existen abiertos Vxy ✓ X, Vyx ✓ Y tales que (x, y) 2 Vxy ⇥ Vyx ✓ Oi para cada Oi que contenga a (x, y). Luego es suficiente mostrar que los rect´angulos b´asicos Vxy ⇥ Vyx construidos de esta manera

K

118

01

6

Compacidad

-2

contienen una subfamilia finita que recubre a X ⇥ Y , ya que para cada elemento de esta subfamilia tomamos uno de los Oi que lo contiene.

NO

Dado y 2 Y , consideremos la familia {Vxy }x2X , la cual es un cubrimiento abierto de X y por tanto existe un subcubrimiento Vxy1 , Vxy2 , . . . , Vxym —m(y) es un entero que depende de y—. Por T xi cada i = 1, . . . , m(y) consideremos el respectivo Vyxi y construyamos Qy = m(y) i=1 Vy una vecindad abierta de y. N´otese que {Vxy1 ⇥ Qy , Vxy2 ⇥ Qy , . . . , Vxym(y) ⇥ Qy }

IA

es un cubrimiento abierto de X ⇥ Qy . Como este Qy fue construido para un y dado, la familia {Qy }y2Y es cubrimiento abierto de Y . Sea Qy1 , . . . , Qyn un subcubrimiento finito; luego la familia {Vxykt ⇥ Qyt }t=1,2,...,n k=1,2,...,m(yt )

RU B

es un cubrimiento abierto y finito de X ⇥ Y . Como Qy ✓ Vyxk la familia {Vxy ⇥ Vyx }(x,y) , (x, y) 2 X ⇥ Y

admite un subcubrimiento finito.

¿C´omo caracterizar los subespacios en Rnu que son compactos? Teorema 9.28. A ✓ Rnu es compacto si y solo si A es cerrado y acotado. Demostraci´on. )) Si A es compacto entonces A es cerrado. Para ver que es acotado notemos que {Bn (0)}, (n 2 N) con 0 = (0, 0, . . . , 0) es un cubrimiento abierto de A. Como A es compacto, est´a contenido en la uni´on de un n´ umero finito de estas bolas, pero esta uni´on es precisamente la bola de radio m para m el mayor de los radios. () Si A es acotado lo podemos colocar dentro de un cubo n–dimensional, i. e., existe un t 2 N tal que A ✓ [ t, t] ⇥ [ t, t] ⇥ · · · ⇥ [ t, t] —n copias de [ t, t]— y como cada [ t, t] es compacto, tenemos que A es un cerrado contenido en un compacto, luego A es compacto.

119

9.3 Producto de dos compactos

Ejemplo 9.29. Los subconjuntos de matrices On y SOn (ejemplo 2.9) son compactos por ser 2 subconjuntos cerrados y acotados de Rn , mientras que GLn no lo es pues se trata de un subconjunto abierto; tampoco es conexo por cuanto es la uni´on disyunta de los abiertos formados por las matrices con determinante positivo y negativo respectivamente. Ejemplo 9.30. El toro T y la cinta de M¨obius son compactos por ser cerrados y acotados. Note que T tiene una representaci´on en R3 que equivale a pegar en cada punto de S 1 al mismo S 1 algo m´as reducido, luego lo podemos ver como el producto S 1 ⇥ S 1 de dos compactos. Ejemplo 9.31. Una funci´on num´erica y continua sobre un espacio compacto es acotada y tiene valores tanto m´aximo como m´ınimo.

01

6

En otras palabras, si X es compacto y f : X ! Ru es continua, entonces existen a, b 2 X tales que f (a)  f (x)  f (b) para todo x 2 X. Esto es consecuencia directa del hecho que el conjunto f (X) ✓ R es cerrado y acotado.

-2

Proposici´ on 9.32. Sean (X, T), (Y, H) espacios topol´ogicos con Y compacto. Si M ✓ X ⇥ Y es un cerrado entonces la proyecci´on pX (M ) es un cerrado en X —la funci´on proyecci´on pX es cerrada—.

NO

Demostraci´on. Veamos que el complemento de pX (M ) es un conjunto abierto. Si a 2 / PX (M ) entonces {a} ⇥ Y ✓ M c . Por cada (a, y) existe un abierto b´asico Vay ⇥ Vya ✓TM c . La colecci´on {Vya }, (y 2 Y ) cubre a Y y la reducimos a una finita {Vyai }ni=1 ; entonces Va = ni=1 Vayi satisface Va \ PX (M ) = ; y as´ı Va ✓ PX (M )c .

IA

Ejemplo 9.33. En la proposici´on 9.32, si Y no es compacto pX (M ) no necesariamente es cerrado; por ejemplo, si M = graf o(f ) ✓ R2u y f (x) = 1/x. Proposici´ on 9.34 (Wallace). Sea A⇥B un subespacio compacto de un espacio producto X ⇥Y . El conjunto {V1 ⇥ V2 : V1 2 V(A), V2 2 V(B)}

RU B

es un sistema fundamental de vecindades del conjunto A ⇥ B. A⇥B

..... ....... ... ... ..... .................................................................................................................................................................... ... ... ... ... .. .. . ... .. . . ...... ...... ...... ...... .................. ...... ...... ...... ......... ...... ...... ...... .... ... ... ... .... ....... ...... . . . .... ... ... . . ... .. ............................................................ ................................ ............. .. . ... . .... ... ... . ... . ... .. ..... ..... .... ..... ... . . . ... . ... ....... ...... ... ....... ..... ..... ..... ... .. .. .... . . . ... . .. ... ..... . ...... ...... ..... ......... .. . ... . . ... . . . . . ... ........ ....... ... ... .......... ....... ....... ...... .... ... ... .... . ........ ........ ........ ........ ...... ....... .......... ............ .......... .. . . ... . . ... ............. .... ...... ....... .... .... ....... ....... ...... ...... ... ... ... .... .... ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... .......... ... . . ... . . . ... ....... . .. ...... ........ .. ...... ...... ....... ......... ... .. . . . . . . ... ... .............. ... .... .... ... .... ... .... ... ... .... ... ..... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... .. ... ... ... ... . . . . ... ... ... ... .... ...... ...... .... .... ...... ....... ....... ...... .... .... .... .. . ... ... ... ... ... ... . ... ... . . . . . ... ....... . .... .... ..... ....... . .. . ... ... ... . . . . . . ..... ..... ... ........ ...... ..... ...... ... .. ... . . ... . ... . . . .... .... ... .. .... .... ... ... . . .. ... . . . . . . ... . . . . . . ... .. ...... ...... ... .. ... .. ...... ...... ...... ..... ... ... ... . . . . ..... .... ... .... .... .... ..... ... . .. . ... . ... . . . . . . ... . . .. . ... .... ....... .......... ... .... ...... ...... ...... .......... ... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... ... ... . . ... . . . ... ............................................................ ................................. ........... .. ... ... . . .. . . ... . ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ... . ... .... . . ... ... ... . . ... . ... . . .......................................................................................................................................................... ... ... ...... ...... ...... ...... .................................................................................................................................................................................................................................................... .. ..... ..... ..... ..... ....

... ... .. A ⇥ {y} .... ... V B ... .. ... ... ... ..

W

... ... ... ... ...

U ⇥V

.......A........

.......

................................................................ U

Demostraci´on. Sea W un abierto con A ⇥ B ✓ W . Por cada (x, y) 2 A ⇥ B existe Uxy ⇥ Vyx ✓ W . La colecci´on {Uxy }, (x 2 A) es un de A ⇥ {y} el cual reducimos a uno finito {Uxyi }ni=1 ; Tncubrimiento xi consideremos la vecindad Vy = i=1 Vy .

120

Compacidad

S Para los abiertos U y = ni=1 Uxyi y Vy tenemos que A ⇥ {y} ✓ U y ⇥ Vy , luego la colecci´on {Vy }, (y 2 B) es un abierto de B el cual podemos reducir a uno finito Vy1 , . . . , Vym ; T cubrimiento S de suerte que U = ni=1 V yi , V = ni=1 Vyi satisfacen A ⇥ B ✓ U ⇥ V ✓ W . Si A, o B no son compactos, la proposici´on 9.34 deja de ser verdad; por ejemplo, en (R2 , usual) considere el subconjunto [1, 1) ⇥ [1, 2]. El abierto W es asint´otico a A ⇥ B y por tanto no podemos encontrar U ⇥ V ✓ W .

-2

Demostraci´on. {x0 } ⇥ Y es un compacto en el espacio X ⇥ Y .

01

6

Corolario 9.35 (Teorema del tubo). Considere el espacio producto X⇥Y , donde Y es compacto. Si W es un abierto que contiene a la fibra {x0 } ⇥ Y entonces W contiene un tubo Vx0 ⇥ Y .

NO

Ejercicios 9.3

1. Muestre que la caracterizaci´on en el teorema 9.28 no se puede extender a los espacios m´etricos en general.

IA

2. La distancia o m´ etrica de Hausdor↵ mide cuan lejos est´an uno de otro dos subconjuntos compactos de un espacio m´etrico.

RU B

Sea (X, d) un espacio m´etrico. En

H = {A ✓ X | A es compacto}

definimos la distancia entre dos conjuntos como dH (A, B) := m´ax{d(A, B), d(B, A)}

donde

d(a, B) := ´ınf{d(a, b) : b 2 B} d(A, B) := m´ax{d(a, B) : a 2 A}. 

Muestre que dH es una m´etrica para H conocida como m´ etrica o distancia de Haus2 dor↵ . En general d(A, B) 6= d(B, A) —en Ru considere dos discos, fig. 9.3—. Es la m´ axima distancia de un conjunto al punto m´as cercano en el otro conjunto. 3. Sean X, Y espacios de Hausdor↵ con Y compacto. f : X graf o(f ) es cerrado en X ⇥ Y .

! Y es continua si y solo si

121

9.4 Teorema de Tychono↵

d(A, B) d(B, A)

B

6

A

01

Figura 9.3: Distancias d(A, B) 6= d(B, A) entre dos discos A y B.

-2

9.4. Teorema de Tychono↵

RU B

IA

NO

Los siguientes p´arrafos est´an encaminados a demostrar el resultado que A. Tychono↵ present´o en 1930, el cual ha sido descrito algunas veces como el resultado —individualmente— m´as importante de la topolog´ıa general. Lo que s´ı es cierto sin ninguna duda, es que es uno de los medios m´as poderosos para garantizar la compacidad de ciertos espacios cl´asicos del An´alisis, ya que asegura la compacidad para el producto arbitrario de espacios compactos5 . Ya vimos como caracterizar

Figura 9.4: ....

la convergencia de una sucesi´on en un espacio producto en t´erminos de la convergencia de las proyecciones. Veamos ahora c´omo caracterizar la convergencia para los filtros. 5 J. L. Kelley mostr´ o en 1950 que el teorema de Tychono↵ es equivalente al axioma de elecci´on; no es de extra˜ nar as´ı que toda demostraci´ on de este teorema involucre al Lema de Zorn o alguna otra forma equivalente al axioma de elecci´ on.

122

Compacidad

Q Teorema 9.36. Sean X = i2I Xi un espacio con la topolog´ıa producto, x = (xi ) un punto en X y F un filtro en X. F ! x si y solo si para cada i 2 I el filtro —dado por la proyecci´ on— pi (F) ! xi en Xi . Demostraci´on. )) Como pi es continua y F ! x entonces pi (F) ! xi .

() Consideremos Vx ✓ X una vecindad de x. No perdemos generalidad si suponemos que Vx es un abierto b´asico: Y Vx = Ui1 ⇥ Ui2 ⇥ · · · ⇥ Uin ⇥ Xi , i 6= i1 , . . . , in .

k=1

(Uik ⇥

lo que significa F ! x.

Y

i6=ik

Xi ) = Vx 2 F

-2

n \

01

6

Luego pik (Vx ) = Uik es una vecindad de xik puesto que las proyecciones son abiertas. Como pik (F) ! xikQ , pik (Vx ) 2 pik (F), y por tanto existe Fk 2 F tal Q que pik (F ) ✓ pik (Vx ), luego Fk ✓ Uik ⇥ i6=ik Xi . Por ser F un filtro tenemos que Uik ⇥ i6=ik Xi est´a en F para cada k = 1, . . . , n. Por tanto, la intersecci´on finita F1 \ F2 \ . . . \ Fn est´a contenida en

NO

Q Teorema 9.37 (Tychono↵ a ). Sea X = i2I Xi un espacio con la topolog´ıa producto. Entonces X es compacto si y solo si cada espacio coordenado Xi es compacto. a

IA

El teorema recibe su nombre de Andrey Nikolayevich Tychono↵, quien en 1930 lo demostr´o para el producto del intervalo unidad [0, 1] y en 1935 lo enunci´o de manera m´as general pero anotando que la demostraci´ on en ˇ este caso discurr´ıa como en el caso anterior. La primera demostraci´on publicada se debe a Eduard Cech en un art´ıculo de 1937.

RU B

Demostraci´on. )) Si X es compacto, por ser cada proyecci´on pi continua tenemos que cada Xi es compacto. () Veamos que cada ultrafiltro U de X es convergente. Ya que las proyecciones son sobreyectivas, por cada i 2 I, pi (U ) es un ultrafiltro en Xi y como cada Xi es compacto, pi (U ) ! xi para alg´ un xi 2 Xi . Por el lema 9.36, U converge al punto x = (xi ), (i 2 I) de X.

KLa prueba del teorema de Tychono↵ que hemos presentado es, por supuesto, diferente

a la original, la cual en su tiempo no contaba con las herramientas de los filtros — concepto que fue introducido para estudiar la convergencia— lo que hoy la hace tan sencilla. Es posible encontrar al menos otras diez demostraciones diferentes de este teorema, una de ellas en t´erminos de subbases, Lema de Alexander, y otra en t´erminos de la teor´ıa de convergencia de redes. Parece que el teorema de Tychono↵ marchara en contra del sentido com´ un, pues compacidad es una propiedad de ‘finitud’ (cubrimientos abiertos finitos) y no se esperar´ıa que una construcci´on involucrando infinitud de espacios compactos fuese de nuevo compacta.

Ejemplo 9.38. El cubo I N =

Q

i2N [0, 1]i

es compacto si lo dotamos de la topolog´ıa producto.

123

9.5 Compacidad y sucesiones

Ejemplo 9.39. Sean ({0, 1}, Sierpinski) y (X, T) un espacio topol´ogico cualquiera. Consideremos el espacio producto Y (X) = {0, 1}U con {0, 1}U = {0, 1} para cada U 2 T. U 2T

(X) con la topolog´ıa producto es compacto. Ahora definamos la funci´on b : X ! (X) como x 7! x b(U ), donde x b(U ) = 0 si x 2 U o x b(U ) = 1 si x 2 / U . Claramente b es continua ya que as´ı lo son las funciones proyecci´on (pU

b) 1 ({0}) = {x 2 X : x b(U ) = 0} = {x : x 2 U } = U ;

01

b = {b b U x : x 2 U } = {b x:x bU = 0} = pU 1 ({0}) \ X.

6

o m´as aun, ya que X tiene la topolog´ıa inicial dada por b. Adem´as b es abierta pues

U 2T

NO

9.5. Compacidad y sucesiones

-2

b i. e., En caso que X sea T0 tenemos que b es inyectiva y por tanto un homeomorfismo sobre X, Y b✓ X⇡X {0, 1}U .

IA

Hist´oricamente la primera noci´on de ‘compacidad’ se dio en t´erminos de la convergencia de sucesiones. Esta propiedad no implica ni es implicada por la noci´on de compacidad que hemos definido en t´erminos de cubrimientos abiertos. Veremos que esta noci´on de compacidad es m´as fuerte que la compacidad contable pero resultan ser equivalentes en la clase de los espacios 1contable. Definici´ on 9.40. Un espacio (X, T) se dice compacto por sucesiones si cada sucesi´on en X contiene una subsucesi´on convergente.

RU B

Ejemplo 9.41. Todo subconjunto finito de un espacio es compacto por sucesiones (la topolog´ıa de subespacio). Ejemplo 9.42. Ru no es compacto por sucesiones y tampoco lo es el espacio (R, coenumerables). En ambos casos la sucesi´on (xn ) = N no admite ninguna subsucesi´on convergente. Los conceptos de compacto y compacto por sucesiones no son equivalentes. En general existen espacios compactos que no son compactos por sucesiones y viceversa, aunque como veremos unas l´ıneas adelante, los ejemplos son m´as bien esot´ericos. Claro est´a que en el contexto de los espacios m´etricos estos conceptos son equivalentes (secci´on 9.6). La compacidad por sucesiones es preservada por la continuidad; de aqu´ı que sea un invariante topol´ogico. Proposici´ on 9.43. Sea f : (X, T) ! (Y, H) una funci´on continua y sobre. Si X es compacto por sucesiones, tambi´en lo es Y . Demostraci´on. Sea (yn ) una sucesi´on en f (X). Definimos (xn ) en X tomando xn 2 f 1 (yn ). Como X es compacto por sucesiones, existe una subsucesi´on (xnk ) y x0 2 X tal que xnk ! x0 . Por ser f continua, en particular es secuencialmente continua y as´ı yn ! f (x0 ).

124

Compacidad

Una forma de compacidad m´as d´ebil que la compacidad usual y la compacidad por sucesiones es exigir tan solo que los cubrimientos abiertos que deben tener subcubrimientos finitos sean los cubrimientos contables. Esta compacidad contable posee muchas de las propiedades topol´ogicas que posee la compacidad; m´as a´ un, en el contexto de los espacios metrizables o aun en espacios de Lindelo↵ ellas son equivalentes. Definici´ on 9.44. Un espacio (X, T) se dice compacto contablemente o !–compacto si cada cubrimiento abierto y enumerable de X admite un subcubrimiento finito. Si recordamos que un espacio es de Lindel¨of si cada cubrimiento abierto admite un subcubrimiento enumerable, entonces los espacios compactos son los que son tanto de Lindel¨of como !–compacto

6

K La diferencia entre compacidad secuencial y compacidad contable es tan fina que

-2

01

pr´acticamente se necesita la opini´on de un experto. Veamos la implicaci´on de una de ellas sobre la otra y posteriormente en 9.46 un refinado contraejemplo para la otra implicaci´on.

El corolario 9.59 muestra que en el marco de los espacios 1–contable los dos conceptos son equivalentes.

NO

Teorema 9.45. Si (X, T) es un espacio compacto por sucesiones entonces X es compacto contablemente.

IA

Demostraci´on. Si X no es contablemente compacto existe un cubrimiento abierto U = {U1 , U2 , . . .} con la S propiedad que no se puede reducir a un subcubrimiento finito, i. e., para cada n 2 N existe c xn 2 ( ni=1 Ui ) . Sea (xnk ) una subsucesi´on convergente de (xn ) y sea xSel punto de T convergencia. c m c Tomemos Uj 2 U tal que x 2 Uj . Para m > j sabemos que xm 2 ( m U ) = i=1 i i=1 Ui luego xm 2 Ujc . As´ı que, para todos los elementos xnk con nk > j se tiene xnk 2 / Uj , lo cual contradice la convergencia de la subsucesi´on.

RU B

Ejemplo 9.46. El cubo X = [0, 1][0,1] es un espacio compacto y por tanto contablemente compacto, pero no es compacto por sucesiones. X no es compacto por sucesiones —miramos a X como el conjunto de todas las funciones de I = [0, 1] en I—. Definimos una sucesi´on de funciones (↵n )n2N con ↵n 2 X de la manera siguiente: dado x 2 I, ↵n (x) es el n-´esimo d´ıgito en la expansi´on binaria de x. (↵n )n2N no tiene ninguna subsucesi´on convergente; en efecto, si (↵nk )nk 2N es una subsucesi´on que converge al punto ↵ 2 X, entonces para cada x 2 I, ↵nk (x) ! ↵(x) —recordemos que la convergencia en la topolog´ıa producto para X es puntual—. Sea t 2 I con la propiedad que ↵nk (t) = 0 si nk es impar, ↵nk (t) = 1 si nk es par. La sucesi´on (↵nk (t)) = {0, 1, 0, 1, 0, 1, . . .} no puede converger. En el ejemplo 7.9 mostramos que no es 1-contable.

Ejemplo 9.47. (R, cof initos) es contablemente compacto y adem´as compacto por sucesiones. Ejemplo 9.48. (R, coenumerables) no es compacto por sucesiones. El siguiente ejemplo muestra que en general, la propiedad de ser contablemente compacto no se hereda a los subespacios. Ejemplo 9.49. [0, 1] con la topolog´ıa usual es compacto; luego en particular es contablemente compacto. Pero (0, 1) ✓ [0, 1] no es contablemente compacto, ya que el cubrimiento abierto {(0, 1 1/2n)}, (n 2 N) no admite alg´ un subcubrimiento finito.

125

9.5 Compacidad y sucesiones

En caso que el subespacio sea cerrado, el lector debe verificar que la propiedad s´ı se hereda.Tambi´en se debe mostrar que ser contablemente compacto es un invariante por medio de las funciones continuas. Con la ayuda del siguiente concepto, m´as d´ebil que el concepto de punto l´ımite, podemos obtener una forma equivalente a la definici´on de compacidad contable; ver teorema 9.54. Definici´ on 9.50. Sean (X, T) un espacio y (xn ) una sucesi´on en X. Decimos que x 2 X es un punto adherido, de adherencia o de acumulaci´ on de la sucesi´ on (xn )n2N si toda Vx tiene infinitos t´erminos de la sucesi´on.

6

Si una sucesi´on (xn ) tiene una subsucesi´on convergente entonces tiene un punto adherido. Pero el hecho de que la sucesi´on posea un punto de clausura no significa que posea una subsucesi´on convergente, como lo muestra el siguiente ejemplo.

01

Ejemplo 9.51. El espacio X = (N ⇥ N) [ {(0, 0)} de Arens-Fort posee una sucesi´on que tiene un punto de clausura y no tiene una subsucesi´on convergente.

-2

Observemos que el conjunto X {(0, 0)} es enumerable, i. e., existe una biyecci´on f : N ! X {(0, 0)}. f es una sucesi´on que tiene a (0, 0) como punto de clausura ya que toda vecindad de este punto tiene infinitos t´erminos de la sucesi´on, pero ninguna subsucesi´on es convergente a (0, 0) pues ya hemos visto que este espacio es de convergencia trivial.

NO

Por supuesto que en los espacios m´etricos no tendr´ıamos este problema. M´as a´ un, en los espacios 1–contables tampoco lo tenemos; si x es un punto de acumulaci´on de (xn ) y {B1 , B2 , . . .} es una base local encajada para x, por cada k 2 N podemos encontrar nk k tal que xnk 2 Bk y la subsucesi´on xnk ! x. Ejemplo 9.52. Dados (X, T) un espacio y una sucesi´on (xn ) en X, un punto x es un punto de clausura para la sucesi´on si y solo si x es adherente al filtro asociado a la sucesi´on.

IA

Ejemplo 9.53. En Ru , 0 es un punto de clausura para la sucesi´on {0, 1, 0, 1 . . .}.

RU B

Teorema 9.54. (X, T) es un espacio contablemente compacto si y solo si cada sucesi´on tiene un punto adherido en X. Demostraci´on. )) Sea (an ) una sucesi´on en X que no tiene un punto de adherencia, es decir, para cada x 2 X existen una vecindad abierta Wx y un N 2 N tales que Wx \ {aN +1 , aN +2 , . . .} = ;. Por cada n 2 N definimos [ Un = {Wx : Wx \ {an+1 , an+2 , . . .} = ;, x 2 X}.

Cada Un es un conjunto abierto y la colecci´on {Un }, (n 2 N) es un cubrimiento abierto de X que no admite un subcubrimientro finito, o de lo contrario para X = Ui1 [. . .[Uim y m = m´ax{i1 , . . . , im } se tiene que Um solamente puede tener finitos t´erminos de la sucesi´on que est´en antes de am+1 y as´ı am+2 no pertenece al subcubrimiento finito; luego X no ser´ıa contablemente compacto. () Si X no fuera contablemente compacto, existe un cubrimiento Snabierto {Un }, (n 2 N) que no admite un subcubrimiento finito. Por cada n 2 N, el conjunto X 6= ;. Sea x1 2 X U1 . i=1 Ui S n1 Definimos Un1 como el primer Ui donde x1 est´a. Ahora tomemos x 2 X i=1 Ui . Supongamos Snk 2 que xk ha sido escogido y xk 2 Unk ; escogemos xk+1 2 X i=1 Ui . Con estas definiciones, la sucesi´on (xk ) de infinitos t´erminos diferentes debe poseer un punto x adherente a la sucesi´on y adem´as x 2 Un para alg´ un n 2 N. Pero si N 2 N es suficientemente grande, digamos N > n, tenemos que xk 2 / Un para k > N . Luego Un 2 V(x) y contiene tan s´olo finitos t´erminos de la sucesi´on, es decir, x no es un punto de clausura.

K

126

Compacidad

La siguiente noci´on de punto de !-acumulaci´ on para un subconjunto A —una clase particular de punto de acumulaci´on— fue introducida por Hausdor↵. Definici´ on 9.55. Dado A ✓ (X, T), decimos que a 2 X es un punto de !-acumulaci´ on para a A y notamos A! si para toda vecindad Va se tiene que Va \ A es un conjunto infinito. N´otese que Aa! ✓ Aa . Ejemplo 9.56. En un espacio compacto X todo subconjunto infinito A ✓ X posee al menos un punto de !-acumulaci´on. Pues de lo contrario, por cada x 2 X podemos encontrar una Vx abierta con Vx \ A finito; esta colecci´on de vecindades forma un recubrimiento abierto el cual reducimos a uno finito Vx1 . . . Vxn . Por tanto

6

A = A \ X = A \ ([nk=1 Vxk ) = [nk=1 (A \ Vxk )

01

ser´ıa finito.

-2

Corolario 9.57. Un espacio (X, T) es compacto contablemente si y solo si para cada A subconjunto infinito se tiene Aa! 6= ;. Demostraci´on. )) Sea A ✓ X infinito que no admite un punto de !-acumulaci´on. Una sucesi´on (an ) en A de t´erminos diferentes, no tiene un punto adherido o de lo contrario A lo tendr´ıa. () Aplicamos literalmente el teorema 9.54.

NO

Ejemplo 9.58. En N consideremos la topolog´ıa generada por la base {{1, 2}, {3, 4}, {5, 6}, . . .}.

RU B

IA

En este espacio todo A ✓ N posee un punto de acumulaci´on; pero, por ejemplo, los n´ umeros pares no poseen un punto de !-acumulaci´on. Note que este espacio no es compacto por sucesiones, ya que la sucesi´on {1, 2, 3, 4, . . .} no contiene ninguna subsucesi´on convergente y tampoco admite un punto de clausura. Finalmente este espacio no es contablemente compacto, pues la base misma es un cubrimiento abierto que no admite un subcubrimiento finito. Corolario 9.59. En un espacio 1-contable, los conceptos de compacidad contable y compacidad por sucesiones coinciden. Demostraci´on. )) Sea (xn ) una sucesi´on en X. Si A = {xn : n 2 N} es finito existe una subsucesi´on constante convergente. Si A es infinito, por el corolario 9.57 existe un punto a de !acumulaci´on, y al considerar una base encajada obtenemos una subsucesi´on convergente al punto a. () Como en el teorema 9.54.

Ejercicios 9.5 1. Muestre que la compacidad por sucesiones es cerrada-hereditaria, i. e., se hereda a los subespacios cerrados. 2. Si un espacio 1–contable es compacto, entonces es compacto por sucesiones.

127

9.6 Compacidad para m´etricos

3. Muestre que la compacidad contable se hereda a los subespacios cerrados. 4. Muestre que el producto de dos espacios compactos por sucesiones es de nuevo compacto por sucesiones. 5. Muestre que la compacidad contable es un invariante topol´ogico. 6. D´e un ejemplo donde Aa! = Aa . 7. Muestre que en un espacio 2-contable los conceptos de compacidad, compacidad contable y compacidad secuencial son equivalentes.

6

8. Estudie los conceptos de compacidad para la l´ınea de Khalinsky del ejemplo 1.18 (p´agina 13).

01

9.6. Compacidad para m´etricos

-2

El estudio de la compacidad en los espacios m´etricos se facilita dado el gran n´ umero de formas equivalentes a las cuales se puede recurrir y que no se dan para los espacios en general. No olvidemos que el concepto primario de compacidad viene del estudio de espacios de funciones de subespacios de Rn en Rm .

NO

El prop´osito principal de esta secci´on es mostrar que en los espacios m´etricos los conceptos de compacidad, compacidad contable, compacidad por sucesiones y la propiedad B-W son equivalentes.

RU B

IA

Definici´ on 9.60. Un espacio m´etrico (X, d) se dice totalmente acotado si dado " > 0 existe un Sn subconjunto finito F = {x1 , x2 , . . . , xn } —dependiendo de "— llamado "-red tal que X = i=1 B" (xi ), (xi 2 F ). Lo de "-red se justifica porque dado x 2 X tenemos d(x, F ) < "; esto es, toda bola de radio " intercepta a F . .. .......... .... .................................. ................. .......... .... .......... ........ ....... ........ ... ...... ....... ... ...... ...... .... ..... ...... . . . . .... .... .... .... . . . .... .... .... . ... . ... .... ... . . ... .... ... ... . . ... .... ... . ... .... ... ... . . . ... ..... ..... ... .. ... .... .. .. ........ .. ....... . ... ........ .. ......... ... .... ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... .... ... . ...... . ......... ... .... .... .... . .. . ..... ... . ... ..... ... .. . .... . . ... .... .... .... . .. . ... ... ... . . . . . . . . . ... ... . . . .... ... ... . ....... . ... .... .. ... .. ... ... . .... ... ....... .... . ... ........... . . ....... .... .... ........... ..... ................................. . . . .... . ...... ... .. ...... ...... ....... . ...... ........ ....... ..... ........... ........ ...... .. ............. ................................................................................................................................................................................................................................................................ ... ... ..

•

•

•

•

•

•

• •

• • •

• •

• (1, 1) • •

• • • •

•

•

•

•

• •

•

•

Figura 9.5: Un disco es totalmente acotado.

K Como el concepto de totalmente acotado depende de la funci´on m´etrica, es de espe-

rarse que no sea una propiedad topol´ogica. En efecto (0, 1) y (1, !) son homeomorfos por medio de f (x) := 1/x, pero el segundo espacio no es totalmente acotado. ¿por qu´e?

El concepto de totalmente acotado implica el de acotado para los espacios m´etricos en general; pero no todo espacio m´etrico acotado es necesariamente totalmente acotado.

128

Compacidad

Ejemplo 9.61. R con la m´etrica d0 (x, y) = ´ınf{1, |x y|} no admite una "-red finita para " < 1. En el caso de (Rn , usual) estos dos conceptos coinciden. Teorema 9.62. Todo espacio m´etrico (X, d) compacto por sucesiones es totalmente acotado.

6

Demostraci´on. Si X no es totalmente acotado, existe un " > 0 para el cual no existe ninguna "-red finita. Construimos de manera inductiva una sucesi´on que no admite una subsucesi´on convergente. Sea x1 2 X, como {x1 } no es "-red, existe x2 con d(x1 , x2 ) ". Supongamos que hemos construido {x1 , x2 , . . . , xn } en X con la propiedad que d(xi , xj ) " para todo i, j  n, (i 6= j). Como {x1 , x2 , . . . , xn } no es una "-red existe xn+1 con d(xi , xn+1 ) ", (i = 1, . . . , n). Es claro que la sucesi´on (xn ) no admite una subsucesi´on convergente.

01

Corolario 9.63. Todo espacio m´etrico (X, d) compacto por sucesiones es 2-contable y separable.

-2

Demostraci´on. Como X es totalmente acotado, para cada n existe una familia de bolas abiertas B1/n (xn1 ), . . . , B1/n (xnk ) que cubre a X, donde Fn = {xn1 , . . . , xnk } es una n1 –red. S La colecci´on de todas estas bolas nos produce una base enumerable para X y la reuni´on D := n=1 Fn nos da un subconjunto enumerable y denso en (X, d).

NO

Para el caso de los espacios m´etricos ya ten´ıamos otra manera de caracterizar la compacidad contable. Corolario 9.64. Sea (X, d) un espacio m´etrico. X es contablemente compacto si y solo si es compacto por sucesiones.

IA

Demostraci´on. Por el corolario 9.59.

Teorema 9.65. Todo espacio m´etrico (X, d) compacto es 2-contable.

RU B

Demostraci´on. Para cada (n 2 N) la colecci´on Bn = {B1/n (x) : x 2SX} es un cubrimiento abierto el cual se puede reducir a uno finito An ✓ Bn . La colecci´on A := n=1 An es contable. Dado un abierto U y x 2 U tomemos B" (x) ✓ U y consideremos n tal que 1/n < "/4. Existe B1/n (y) 2 An con x 2 B1/n (y). Veamos que B1/n (y) ✓ B" (x). Si t 2 B1/n (y) entonces d(t, x)  d(t, y) + d(y, x)  1/n + 1/n < "/4 + "/4 = ".

N´umero de Lebesgue

Dado un cubrimiento abierto {U↵ }↵ de un espacio m´etrico, el n´ umero de Lebesgue para este cubrimiento es un n´ umero ✏ > 0 tal que cada bola B✏ (x) en X est´a contenida en al menos un conjunto U↵ del cubrimiento. Este n´ umero depende del cubrimiento que se tome y nos informa que un cubrimiento no puede tener todos sus elementos por debajo de cierto di´ametro. El siguiente teorema nos garantiza la existencia del n´ umero de Lebesgue para los espacios m´etricos compactos. Teorema 9.66. Sea U un cubrimiento abierto del espacio m´etrico (X, d) donde X es compacto por sucesiones. Entonces existe un > 0 — es el n´ umero de Lebesgue— tal que para cada x 2 X existe U 2 U con la propiedad que B (x) ✓ U . Decimos que el cubrimiento {B (x)}x2X

129

9.6 Compacidad para m´etricos

es m´as fino que U . Demostraci´on. Razonando por contradicci´on, supongamos que para U no existe tal n´ umero; es decir, por cada n 2 N existe xn tal que B1/n (xn ) no est´a contenida en ning´ un miembro de U . Como X es compacto por sucesiones, la sucesi´on (xn ) tiene un punto adherido x. Sea U 2 U con x 2 U . Tomemos r = d(x, U c ), as´ı r > 0 y escogemos N 2 N el cual satisfaga simult´aneamente que d(xN , x) < r/2 y 4/N < r. Con estas condiciones B1/N (xN ) ✓ U ya que si d(y, xN ) < 1/N entonces y 2 U puesto que d(x, y)  d(x, xN ) + d(xN , y)  r/2 + 1/N < r/2 + r/4 < r

6

y esto finalmente contradice la manera como escogimos a xN .

01

Con el anterior teorema podemos probar la equivalencia entre las diferentes definiciones de compacidad, cuando nos restringimos a la categor´ıa de los espacios m´etricos.

-2

Corolario 9.67. Sea (X, d) un espacio m´etrico. X es compacto si y solo si X es compacto por sucesiones. Demostraci´on. )) Si X es compacto, entonces lo es contablemente compacto y as´ı, es compacto por sucesiones.

NO

() Si X es compacto por sucesiones, dado un cubrimiento U abierto de X, sea el n´ umero de Lebesgue. Al ser X totalmente acotado tomamos una -red ={x1 , x2 , . . . , xn } y por cada B (xi ) escogemos un Ui 2 U tal que B (xi ) ✓ Ui . Luego {U1 , U2 , . . . , Un } es un subcubrimiento finito de U.

IA

Corolario 9.68 (Continuidad para compactos). Una funci´on continua f : (X, d) ! (Y, m) de un espacio m´etrico compacto X a un espacio m´etrico Y es continua uniformemente.

RU B

Demostraci´on. Dado " > 0, la colecci´on {B"/2 (y)}y2Y es un cubrimiento abierto de Y y por tanto {f 1 (B"/2 (y))}y2Y lo es para X. Si es el n´ umero de Lebesgue asociado a este cubrimiento, cada bola B (x) satisface f (B (x)) ✓ B"/2 (y) para alguna bola B"/2 (y). Por tanto, si d(x, a) < entonces m(f (x), f (a))  m(f (x), y) + m(y, f (a)) < ✏/2 + ✏/2 = ✏.

Ejercicios 9.6

1. Muestre que en un espacio m´etrico los conceptos de compacidad, compacidad contable y compacidad secuencial son equivalentes. 2. Muestre que en un espacio m´etrico los conceptos de separable, 2-contable y Lindel¨o↵ son equivalentes. 3. Muestre que un espacio m´etrico compacto es Lindel¨o↵ y por tanto es 2-contable y separable. 4. Muestre que todo cerrado de un espacio Lindel¨o↵ es de nuevo Lindel¨o↵.

130

Compacidad

5. Muestre que un espacio S m´etrico (X, d) es separable si y solo si dado " > 0 existe D ✓ X, D contable tal que X = B" (d), (d 2 D).

6. Sea (X, T) un espacio compacto. Dada una sucesi´on (xn ) con un u ´nico punto de clausura, muestre que ella converge a este punto. 7. Sea A ⇢ (X, d). A es totalmente acotado si y solo si A lo es. 8. Si U es un cubrimiento abierto del espacio m´etrico (X, d), el n´ umero de Lebesgue para U satisface: para cada A ✓ X con diam(A) < existe un elemento del cubrimiento que contiene a A.

6

9. Muestre que toda funci´on continua de un espacio compacto en un espacio m´etrico es acotada.

RU B

IA

NO

-2

01

9.7. Ordinales como ejemplo

Figura 9.6: N´ umeros ordinales.

A continuaci´on introducimos los n´ umeros ordinales con el prop´osito de dar algunos ejemplos cl´asicos en topolog´ıa (para m´as ejemplos ver [13]). Los n´ umeros ordinales son la consecuencia inmediata al concepto de conjunto bien ordenado —conjuntos totalmente ordenados en los cuales cada subconjunto no vac´ıo tiene un primer elemento— adjudicando a cada conjunto bien ordenado un n´ umero ordinal, de manera similar a como se definen los n´ umeros cardinales sobre conjuntos arbitrarios; dos conjuntos (A, ), (B, ) bien ordenados tienen el mismo n´ umero ordinal –el mismo tipo de orden– o son equivalentes, si son isom´orficamente ordenados, es decir, existe un isomorfismo de orden f entre ellos, “f : A ! B una funci´on biyectiva con a  b si y solo si f (a)  f (b)”. Esta definici´on es una relaci´on de equivalencia en la clase de los conjuntos bien ordenados, y por definici´on, un n´ umero ordinal es una clase de equivalencia entre estos conjuntos. Excepto para los conjuntos finitos, cuyos ordinales notamos por 1, 2, . . . (dos conjuntos finitos bien ordenados son equivalentes si y solo si tiene el mismo n´ umero n de elementos) usualmente se utilizan las letras griegas min´ usculas ↵, , , . . . para denotar los n´ umeros ordinales no finitos y, la letra O para denotar la colecci´on total. Introducimos un orden en O de la manera siguiente. Sean

131

9.7 Ordinales como ejemplo

↵, n´ umeros ordinales y A, B conjuntos bien ordenados que los representan; escribimos ↵ si 6 A es isomorfo con un ideal I en B. Este orden sobre O es total y adem´as cualquier subconjunto de O es bien ordenado. El conjunto de los n´ umeros ordinales es u ´til en la construcci´on de ejemplos en topolog´ıa. O es no contable y bien ordenado por . El conjunto (O, ) contiene un elemento ⌦ con la siguiente propiedad: si ↵ 2 O y ↵ ⌦ entonces { | ↵} es contable. ⌦ se llama primer ordinal no contable. Por ! denotamos el primer elemento en O con la propiedad que el conjunto {↵ | ↵ !} es contable pero no finito; ! es llamado primer ordinal infinito y corresponde al conjunto ! = {0, 1, 2, . . .} = N. Los n´ umeros ordinales pueden representarse como

6

O = 0, 1, 2, . . . , !, ! + 1, ! + 2, . . . , 2!, 2! + 1, 2! + 2, . . . , 3!, . . .

01

. . . , ! 2 , ! 2 + 1, . . . , ! 3 , . . . , ! 4 , . . . , ! ! , ! ! + 1, . . . , ⌦, . . . Las notaciones se deben a G. Cantor pues fue ´el quien nos ense˜ no´ a contar.

-2

Note que !, ! + 1 son ordinales contables —es decir, su cardinalidad es la misma de N—; adem´as ! = {0, 1, 2, . . .} es diferente de ! + 1 = ! [ {!} = {0, 1, 2, . . . , !}

NO

ya que el primero no tiene un u ´ltimo elemento, mientras que el segundo s´ı.



IA

En general llamamos a un n´ umero ordinal un ordinal l´ımite si no tiene un predecesor7 inmediato. ! es el primer ordinal l´ımite, el segundo ordinal l´ımite es 2! = 0, 1, . . . , !, ! + 1, . . . As´ı tambi´en lo son 3!, . . . , ! 2 , . . . , ! 3 , .. y llegamos a ! ! donde su cardinal no es NN =c, ¡´el todav´ıa es un ordinal contable —insomnio—! Si un n´ umero ordinal no es l´ımite lo llamamos ordinal sucesor. !

RU B

Existe un significado natural para ! ! , . . . y al final de esta hilera arribamos a un ordinal el cual Cantor llam´o ⇠. ¡Este es todav´ıa un ordinal contable! Ahora aparece ⌦, el primer ordinal no contable. Finalmente, y como curiosidad, sea R = {x | x es un n´ umero ordinal}.

R es un n´ umero ordinal y R no es un conjunto; de paso, R es el u ´nico n´ umero ordinal que no es un conjunto. K

La siguiente propiedad de los n´ umeros ordinales nos ser´a u ´til. Proposici´ on sup A ⌦.

9.69. Si

A

✓

O

es

contable

y

⌦

2 /

A

entonces

Demostraci´on. Sea X = { | ↵, para alg´ un ↵ 2 A}; es decir, X est´a formado por los elementos de A o cualquier elemento de O que preceda alguno de A. X es contable ya que por cada ↵ 2 A el conjunto de sus predecesores es contable. Como O es bien ordenado, existe un primer elemento µ de X c . As´ı µ es una cota superior para X y adem´as es la menor de las cotas 6

Recordemos que I ✓ B es un ideal si dados x, y 2 B con x 2 I, y  x implica y 2 I; es decir, para cualquier elemento x 2 I se tiene # x ✓ I (todos los precedentes a ´el tambi´en pertenecen a I). 7 Una justificaci´ on para este nombre es que un ordinal l´ımite es en efecto un l´ımite en el sentido topol´ogico de todos sus ordinales m´ as peque˜ nos (respecto a la topolog´ıa del orden).

132

Compacidad

superiores. Por otra parte, { | no puede ser ⌦; es decir, sup A

µ} es contable ya que si µ ⌦.

µ entonces

2 X. Por tanto µ

En lo que sigue, los conjuntos ⌦ = [0, ⌦) formado por todos los ordinales contables, y ⌦ + 1 = [0, ⌦] = { 2 O | ⌦} son dotados de la topolog´ıa del orden inducida por la relaci´on de orden . Una base conveniente para ⌦ = [0, ⌦) es {(↵, ] | ↵, 2 ⌦} [ {0}. Proposici´ on 9.70. [0, ⌦] es compacto.

01

6

Demostraci´on. Esto es consecuencia de que [0, ⌦] es completo, es decir, cada subconjunto no vac´ıo posee tanto sup como inf —completez—. En efecto, dado U un cubrimiento abierto de [0, ⌦], sea A el subconjunto formado por todos los t tales que [0, t) puede ser cubierto por un subcubrimiento finito de U . Sean ↵ = sup A y U 2 U tal que ↵ 2 U , por tanto U ✓ A —¿por qu´e?—. Luego existe (⌘, ⇣) ✓ U tal que ↵ 2 (⌘, ⇣) (a menos que ↵ = ⌦), pero como ↵ es el sup de A, tenemos que (↵, ⇣) = ;, luego ⇣ 2 A, pero esto no puede suceder, con lo cual A = [0, ⌦].

Proposici´ on 9.71. [0, ⌦] no es 1-contable.

-2

Note que cada subespacio cerrado [0, ] ✓ [0, ⌦] es ahora compacto.

NO

Demostraci´on. Por la proposici´on 9.69 el punto ⌦ no posee una base local contable, pues si (↵n , ⌦], (n 2 N) es una base local, entonces para = sup{↵n } tenemos ⌦, luego no existir´ıa ning´ un elemento de la base contenido en ( + 1, ⌦]. Proposici´ on 9.72. [0, ⌦) es 1-contable.

IA

Demostraci´on. Basta verificar que el u ´nico punto en [0, ⌦] que no posee una base local contable es ⌦.

RU B

Proposici´ on 9.73. [0, ⌦) y [0, ⌦] no son separables. Demostraci´on. Demostremos que [0, ⌦) no lo es. Dado un subconjunto A contable, sea ↵ = sup A. Por 9.69, ↵ ⌦ y por tanto existe un intervalo (↵ + 1, ⌦) ✓ Ac , con lo cual A no puede ser denso. Proposici´ on 9.74. [0, ⌦) no es compacto ni de Lindel¨o↵. Demostraci´on. Sea U = {[0, ⇣) : ⇣ ⌦}. U es un cubrimiento abierto donde cada elemento del cubrimiento es contable y U no admite un subcubrimiento finito o contable, pues si C ✓ U es contable entonces [C es contable y no puede contener a [0, ⌦). Corolario 9.75. [0, ⌦) no es compacto pero s´ı es contablemente compacto y compacto por sucesiones. Demostraci´on. Si no es contablemente compacto, existe U = {U1 , U2 , . . .} un cubrimiento abierto para el cual no existe un subcubrimiento finito; por tanto, para cada n existe xn 2 / U1 [ . . . [ Un . Si ↵ = supn ↵n entonces por el teorema 9.69, ↵ 2 [0, ⌦) y ninguna subcolecci´on finita de U cubre al compacto [0, ⌦]. Como es 1-contable y de Hausdor↵, es compacto por sucesiones.

133

9.8 Compacidad local

Ejercicios 9.7 1. Revise el argumento en la demostraci´on de la proposici´on 9.70 y el utilizado en el teor. 9.2 para mostrar que [0, 1] es compacto. 2. Sea (X, ) un conjunto bien ordenado con la topolog´ıa del orden. Muestre que X es compacto si y solo si contiene un elemento maximal. 3. Muestre que los ordinales finitos y ! son espacios discretos, y ning´ un ordinal mayor que ellos es discreto.

01

6

4. Muestre que el conjunto de puntos de acumulaci´on (o puntos l´ımite) de un ordinal ↵ es precisamente el conjunto de ordinales l´ımite menores que ↵. 5. El espacio [0, !) es precisamente N con la topolog´ıa discreta, mientras que [0, !] es el compactado de Alexandro↵ de N.

-2

6. Muestre que [0, ⌦] coincide con N [ {w} donde la topolog´ıa es T(F) = 2N [ {F [ {w} : F 2 F} para F el filtro de Fr`echet en N.

NO

7. Muestre que los ordinales sucesores (y el cero) menores que ↵ son puntos aislados en ↵. 8. Muestre que el ordinal ↵ es compacto como espacio si y solo si ↵ es un ordinal sucesor.

IA

9. Muestre que cualquier ordinal es, por supuesto, un subconjunto abierto de cualquier ordinal mayor.

RU B

9.8. Compacidad local

Aunque el espacio no sea compacto, el concepto de compacidad lo podemos localizar en un punto. Definici´ on 9.76. (i) Un espacio (X, T) es localmente compacto si cada punto del espacio posee una vecindad compacta, i. e., si cada x 2 X est´a en el interior de un subconjunto compacto. Ejemplo 9.77.

1. Todo espacio compacto es localmente compacto.

2. (Rn , usual) es localmente compacto, pues las cajas cerradas son compactas. 3. Si X es infinito, la topolog´ıa discreta es localmente compacta (para cada x, {x} es una vecindad compacta) pero no es compacta. 4. Para X infinito, la topolog´ıa Ix del punto incluido es localmente compacta (pero no compacta). 5. (R, (a, !)) no es localmente compacto. Es com´ un en la literatura de este tema encontrar la siguiente definici´on de compacidad local, diferente a la def. 9.76.

134

Compacidad

Definici´ on 9.78. (ii) Dados un espacio (X, T) y x 2 X, decimos que X es localmente compacto en x si dada una vecindad abierta Ux existe otra vecindad Vx abierta con V compacta que satisface x 2 V x ✓ V x ✓ Ux . Esta definici´on exige que para el punto x exista un sistema fundamental de vecindades cerradas y compactas. Si X es localmente compacto en cada punto decimos que es localmente compacto. Ejemplo 9.79. (R, cof initos) es localmente compacto seg´ un (i) pero no lo es seg´ un (ii) pues la adherencia de una vecindad de un punto es todo R.

6

Sobre los espacios de Hausdor↵ estas dos definiciones coinciden; es decir, la existencia de una sola vecindad compacta para el punto, asegura la existencia de todo un sistema fundamental de vecindades compactas para el punto.

01

Teorema 9.80. Sea X un espacio de Hausdor↵. X es localmente compacto si, y solo si, todo filtro convergente en X tiene un miembro compacto.

-2

Demostraci´on. )) Si X es localmente compacto y F es un filtro en Xconvergente a x, por definici´on toda vecindad de x pertence a F. Pero entonces basta tomar una vecindad compacta de X (que existe porque X es localmente compacto) y se concluye que F contiene un miembro compacto.

NO

() Sea x un punto cualquiera de X. Como la colecci´on de todas las vecindades de x es un filtro que converge a x, por hip´otesis debe contener alg´ un miembro compacto, as´ı que x posee una vecindad compacta Vx .

RU B

IA

Ejemplo 9.81. La topolog´ıa de intervalos encajados. Para X = (0, 1) ✓ R definimos T = {(0, 1 1 )} (n = 2, 3, 4, . . .) y por supuesto a˜ nadimos el ; y X. n n Esto nos da un ejemplo de un espacio que satisface la definici´on 9.76 pero no la definici´on 9.78 puesto que la adherencia de cualquier vecindad es todo el espacio el cual no es compacto. Muestre que en este espacio el u ´nico subespacio cerrado que es compacto es el vac´ıo y que todo subespacio abierto es compacto, excepto X mismo. Proposici´ on 9.82. El espacio de Hilbert H no es localmente compacto. Demostraci´on. Dados x 2 H y " > 0 veamos que la bola cerrada B" (x) no es compacta. Sea x = (x1 , x2 , . . .) y por cada n 2 N definimos yn = (x1 , x2 , . . . , xn 1 , xn + ", xn+1 , . . .). p yn 2 B" (x) y adem´as d(yi , yj ) = 2" para todo i, j 2 N. As´ı, la sucesi´on (yn ) no admite una subsucesi´on convergente; es decir, B" (x) no es compacta por sucesiones, lo que es equivalente en este espacio m´etrico a decir que no es compacta. Ejemplo 9.83. La compacidad local en general no es hereditaria. Q con la topolog´ıa de subespacio de Ru no es localmente compacto en el punto 0 pues ninguna vecindad de 0 es compacta. En efecto, dado un intervalo [p, q] en Q que contenga a 0, podemos obtener un cubrimiento abierto de [p, q] no reducible a uno finito; basta tomar t 2 R Q con p < t < q y considerar la colecci´on {[p, t 1/n) [ (t + 1/n, q]}, (n 2 N) trazada con Q —algunas intersecciones pueden resultar vac´ıas—. Claro que esto no sucede en caso que los subespacios sean abiertos o cerrados, es decir, la compacidad local es hereditaria–cerrada (¡demu´estrelo!).

135

9.8 Compacidad local 1

0.5

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-0.5

-1

6

Figura 9.7: Grafo de f (x) = sen(1/x).

-2

01

Ejemplo 9.84. Sea D el grafo de la funci´on f (x) = sen(1/x) para 0 < x  1/⇡. El conjunto D⇤ = D [ {(0, 0)} dotado de la topolog´ıa de subespacio de R2u no es localmente compacto en el punto (0, 0) ya que cualquier vecindad V de este punto contiene una sucesi´on de puntos —sobre una recta paralela al x–eje que no posee un punto de acumulaci´on en V , i. e., V no es cerrada.

NO

Ejemplo 9.85. La compacidad local no se preserva por funciones continuas en general. La funci´on idQ : (Q, discreta) ! (Q, usual) es continua pero no preserva la compacidad local. Pero si f adem´as de continua es abierta s´ı se preserva.

9.8.1. Compactaci´on

IA

La proyecci´on estereogr´afica de la esfera S 2 , puede ser vista como una compactaci´on del plano R2 , ya que identifica al plano con la esfera punteada (el polo norte es removido). Al a˜ nadirle 2 2 un punto al espacio no compacto R lo hemos identificado con la esfera S que s´ı es compacta.

RU B

Definici´ on 9.86. Sea (X, T) un espacio. Un espacio (Y, H) compacto se llama un compactado de X si existe una funci´on f : X ! Y continua e inyectiva tal que f : X ! f (X) ✓ Y es un homeomorfismo con f (X) denso en Y . En particular decimos que f realiza la compactaci´ on de X. Si adem´as Y \ f (X) se reduce a un conjunto unitario, decimos que Y es un compactado de Alexandro↵ o compactado por un punto. La siguiente construcci´on es un m´etodo para construir desde un espacio X un nuevo espacio compacto X ⇤ = X [ {1} que tiene inmerso a X. Proposici´ on 9.87. Sean (X, T) un espacio y un punto 1 2 / X. Para X ⇤ = X [ {1} definimos ⇤ ⇤ la topolog´ıa T que tiene tanto a T como a los W ✓ X tales que 1 2 W y W c es un cerrado y compacto en X. El par (X ⇤ , T ⇤ ) se llama compactado (por un punto) de Alexandro↵ de X. Demostraci´on. Claramente ; y X ⇤ est´an en T ⇤ pues ; es trivialmente compacto. Veamos que T ⇤ es cerrada para la intersecci´on finita. Si U, V 2 T ⇤ y ambos est´an en T entonces U \V 2 T ⇤ ; si U 2 T y 1 2 V , V c es cerrado y compacto en T luego V \X es abierto en X y as´ı U \V 2 T ✓ T ⇤ . Si 1 est´a tanto en U como en V entonces U c , V c son cerrados y compactos en X, luego (U \ V )c = U c [ V c tambi´en es cerrado y compacto en X por ser uni´on de dos compactos, con lo que U \ V 2 T ⇤ .

136

Compacidad

S S ⇤ Ahora examinemos la uni´on deSuna familia V = {V } ✓ T . Si 1 2 / V entonces V2T✓ i i S c ⇤ c c c T . Pero S si 1 2 Vi 2 V entonces ( V) ✓ V Si ; como ( V) es cerrado y Vi es compacto tenemos que ( V)c es cerrado y compacto, esto es V 2 T ⇤ . Proposici´ on 9.88. El espacio (X ⇤ , T ⇤ ) es compacto. Demostraci´on. Sea U un cubrimiento abierto de X ⇤ . Existe U0 2 U con 1 2 U0 y U0c compacto. Claramente U es tambi´en cubrimiento abierto de U0c , luego lo podemos reducir a un subcubrimiento S finito U1 , . . . , Un y as´ı X ⇤ ✓ ni=0 Ui .

6

Proposici´ on 9.89. X es denso en X ⇤ si y solo si X no es compacto.

01

Demostraci´on. )) Si X = X ⇤ entonces X no es compacto, pues de lo contrario X ser´ıa cerrado y compacto con lo cual {1} ser´ıa un abierto y {1} \ X = ;, negando que 1 2 X.

-2

() Basta ver que 1 2 X. Sea V1 una vecindad de 1 en T ⇤ . Entonces V1c es un subconjunto cerrado y compacto de X, con lo cual V1c no puede ser todo X, as´ı que V1 \ X 6= ;, y por tanto 1 2 X, lo que implica X = X ⇤ en T ⇤ . En el caso de partir en la construcci´on desde un espacio de Hausdor↵, tenemos el siguiente teorema.

NO

Teorema 9.90. (X, T) es Hausdor↵ y localmente compacto si y solo si (X ⇤ , T ⇤ ) es Hausdor↵.

IA

Demostraci´on. )) Sea X localmente compacto y de Hausdor↵. Dados x, y 2 X ⇤ veamos que los podemos separar. Si x, y 2 X no hay nada que demostrar puesto que X es T2 . Si x = 1, como X es localmente compacto y Hausdor↵, existe Vy compacta y por tanto cerrada, luego 1 2 (X ⇤ Vy ) 2 T ⇤ y (X ⇤ Vy ) \ Vy = ;.

RU B

() Supongamos que (X ⇤ , T ⇤ ) es Hausdor↵. X como subespacio de X ⇤ es de nuevo Hausdor↵. Veamos que X es localmente compacto. Sea x 2 X y encontremos una vecindad compacta. Existen Vx , V1 abiertas en T ⇤ con Vx \ V1 = ;, esto es, X ⇤ /V1 es un subconjunto cerrado y compacto de X con Vx ✓ X ⇤ V1 ; luego Vx ✓ X ⇤ V1 y por ser Vx un cerrado dentro de un compacto, es compacta. Corolario 9.91. Cada espacio localmente compacto y Hausdor↵ es homeomorfo a un subespacio de un espacio compacto y de Hausdor↵. Demostraci´on. Basta considerar la inclusi´on i : X ,! X ⇤ . Dado U ✓ X, U es abierto en x si y solo si lo es en X ⇤ . Luego G ⇤ induce la topolog´ıa original G de X. (X, T) no se pierde en (X ⇤ , T ⇤ ). En resumen, hemos demostrado el siguiente teorema. Teorema 9.92. Sea X un espacio localmente compacto y no compacto. Entonces i : X ,! X ⇤ —la inyecci´on can´onica— es una compactaci´on de Alexandro↵ para X.

Ejercicios 9.8

137

9.8 Compacidad local

1. Muestre que en los espacios de Hausdor↵ la compacidad local se hereda a los subconjuntos cerrados o abiertos. 2. Muestre que la compacidad local es un invariante topol´ogico. 3. Muestre que un espacio producto de espacios es localmente compacto si y solo si cada espacio coordenado es localmente compacto y todos excepto un n´ umero finito de espacios coordenados son compactos. 4. Sea X = Ru . Muestre que X ⇤ (la compactaci´on de Alexandro↵) es homeomorfo a S 1 con la topolog´ıa usual.

01

6

Sugerencia: la funci´on f : X ⇤ ! S 1 es un homeomorfismo si es definida por ◆ 8✓ 2 < 1 x , 2x , x2X 1 + x2 1 + x2 f (x) = : ( 1, 0) x = 1.

RU B

IA

NO

-2

5. Sea (X, T) un espacio Hausdor↵ y localmente compacto. Si A ✓ X y x 2 / A, existen vecindades disyuntas de A y x —podemos separar puntos de cerrados—.

10 Espacios m´etricos y sucesiones —completez—

6

Una manera cl´asica de presentar al espacio Ru es la siguiente: es el menor espacio m´etrico completo que contiene a Q como subespacio. El sentido de ‘completo’ y su generalizaci´on es lo que estudiamos en este cap´ıtulo. Intuitivamente un espacio m´etrico es completo si cada sucesi´on que ‘quiere’ converger realmente tiene a d´onde hacerlo.

01

10.1. Sucesiones de Cauchy

-2

Definici´ on 10.1. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Una sucesi´on (xn ) en X se dice sucesi´ on de Cauchy si dado un " > 0 existe un entero positivo N (depende de ") tal que si m, n N entonces d(xm , xn ) < " —podemos controlar la distancia entre los puntos a partir de un momento dado y controlarla tanto como queramos—.

NO

Definici´ on 10.2. Un espacio m´etrico (X, d) es completo si cada sucesi´on de Cauchy en X es convergente a alg´ un punto de X. (Las sucesiones que quieren converger encuentran a qui´en hacerlo).

IA

Proposici´ on 10.3. En un espacio m´etrico (X, d) una sucesi´on de Cauchy es un conjunto acotado.

RU B

Demostraci´on. Existe N1 tal que para m, n N1 , d(xm , xn )  1. En particular para todo n N1 tenemos d(xn , xN1 )  1, y tomando para los t´erminos que est´an anteriores a xN1 el m´aximo M = m´axkN1 d(xk , xN1 ), tenemos que todo xn satisface d(xn , xN1 )  m´ax{M, 1}. Proposici´ on 10.4. Si una sucesi´on de Cauchy en un espacio m´etrico (X, d) tiene una subsucesi´on convergente entonces la sucesi´on converge. Demostraci´on. Sea (xn ) una sucesi´on de Cauchy para la cual existe una subsucesi´on xnk ! l 2 X. Para " > 0 existen N" y k" en N tales que para todo m, n N" , d(xm , xn ) < 2" y para todo k k" , d(xnk , l) < 2" . Si M = m´ax{N" , nk" } entonces para n d(xn , l)  d(xn , xnk" ) + d(xnk" , l)  ",

M tenemos y as´ı xn ! l.

Las proposiciones 10.3, 10.4 implican que los espacios m´etricos que son compactos son completos. Pero esto no significa que haya escasez de espacios m´etricos completos que no sean compactos, por ejemplo Ru . Desafortunadamente la propiedad de completez no es un invariante topol´ogico. Por ejemplo Ru ⇡ (0, 1) pero el segundo no es completo. 138

139

10.1 Sucesiones de Cauchy

Como la definici´on de sucesi´on de Cauchy no es una cualidad topol´ogica sino que depende de la m´etrica usada en particular, podemos tener la misma topolog´ıa proveniente en un caso de un espacio completo y en otro de un espacio no completo —la noci´on de sucesi´on de Cauchy no es topol´ogica—. Por ejemplo, si sobre R definimos la m´etrica d(x, y) =

x 1 + |x|

y , 1 + |y|

tenemos que (R, d) es homeomorfo a Ru —m´etricas ex´oticas— pero la sucesi´on (n)n2N es de Cauchy en la m´etrica d y no lo es en la usual.

6

Esta situaci´on, m´as bien estresante, puede ser remediada de manera parcial con la introducci´on del concepto de completez topol´ogica.

01

Definici´ on 10.5. Un espacio m´etrico (X, d) es completo topol´ ogicamente si existe una m´etrica m equivalente a d y (X, m) es completo.

-2

Por supuesto, los espacios m´etricos completos son completos topol´ogicamente. La pregunta es si todo espacio m´etrico puede tener una m´etrica equivalente que lo haga completo topol´ogicamente. Aunque la respuesta es no, por ejemplo Q, veremos en la secci´on 10.3 c´omo completar cualquier espacio m´etrico.

NO

Ejemplo 10.6. (RN , d) con d la m´etrica primeriza o de Baire (ver p´ag. 31) es completo.

IA

Si x = (xn )n2N es una sucesi´on de Cauchy en R con xn = (xkn )k y donde xkn es la k-´esima coordenada del t´ermino n-´esimo de la sucesi´on x— entonces, por la definici´on de la m´etrica de Baire, para cada k la sucesi´on (xkn )n es a la larga constante, digamos a xk , pues dado ✏ > 0 existe 1 con d(xn , xm ) < N1 para n, m > N , lo que implica que las dos sucesiones se igualan a partir del N ´ındice N en adelante. Claramente xn ! (xk ).

RU B

Esta es una m´etrica que har´ıa de Q \ (0, 1) un espacio completo al tomar cada racional en su expansi´on decimal.

10.1.1. Filtros de Cauchy

As´ı como para las sucesiones en un espacio m´etrico, tambi´en existe una versi´on de Cauchy para los filtros. Definici´ on 10.7. Sea (X, d) un espacio m´etrico y F un filtro en X. Se dice que F es de Cauchy en X si para cada ✏ > 0 existe un F 2 F tal que F ⇥ F ✓ {(x, y) 2 X ⇥ X : d(x, y) < ✏}. El filtro posee elementos con di´ametro tan peque˜ no como queramos. Proposici´ on 10.8. Si una sucesi´on (xn )n2N es de Cauchy, entonces el filtro asociado tambi´en es de Cauchy. Demostraci´on. Para abreviar, diremos que F ✓ X es ✏–peque˜ no si satisface la condici´on del enunciado, a saber F ⇥ F ✓ {(x, y) 2 X ⇥ X : d(x, y) < ✏}.

K

140

Espacios m´etricos y sucesiones —completez—

El filtro asociado F(xn ) tiene como base a las colas Sk = {xn : n k}. Fijado ✏ > 0, como (xn ) es de Cauchy existe r 2 N tal que si n, m r tenemos d(xn , xm ) < ✏. As´ı pues la secci´on Sr (y todas las Sk , con k < r) son ✏–peque˜ nas y por tanto F es de Cauchy. Proposici´ on 10.9. Si F es un filtro de Cauchy en (X, d) entonces F converge a cada uno de sus puntos adheridos.

6

Demostraci´on. Sean F un filtro de Cauchy en X y x un punto adherente de F, es decir, x 2 F para cada F 2 F. Para ver la convergencia es suficiente mostrar que las bolas abiertas B✏ (x) pertenecen al filtro. Pero esto se tiene ya que dada B✏ (x) existe F 2 F que es ✏/2–peque˜ no y esto implica F ✓ B✏ (x). En efecto, dado y 2 F tomemos z 2 B✏/2 (x) \ F y como F es ✏/2–peque˜ no, tenemos d(y, x)  d(y, z) + d(z, x) < ✏.

01

En los espacios m´etricos completos los filtros de Cauchy caracterizan a los filtros convergentes.

-2

Proposici´ on 10.10. Sea (X, d) un espacio m´etrico completo. Un filtro F es convergente si y solo si es de Cauchy. Demostraci´on. )) Supongamos que F converge a x. Entonces B✏/2 (x) 2 F y adem´as B✏/2 (x) es ✏–peque˜ na.

NO

() Sea F de Cauchy. Construyamos una sucesi´on (xn ) de Cauchy y mostremos que F converge al punto que converge tal sucesi´on. Dado n tomamos Fn que sea n1 –peque˜ no y elegimos xn 2 F1 \ · · · \ Fn . La sucesi´on (xn ) as´ı definida es la que necesitamos.

IA

Ejemplo 10.11. La completez no es hereditaria. R es completo ya que toda sucesi´on de Cauchy al ser acotada est´a contenida dentro de un subespacio compacto y por lo tanto compacto por sucesiones, con lo cual se admite una subsucesi´on convergente y por 10.4 tenemos la completez.

RU B

En Q con la topolog´ıa de subespacio usual p de R la sucesi´on (1, 1,4, 1,41, 1,414, 1,4142, . . .) es de Cauchy y no converge —quiere converger a 2 que no est´a en Q—. Teorema 10.12. En un espacio m´etrico completo (X, d), los subespacios que son completos son los cerrados. Demostraci´on. )) Sea A un subespacio de X. Si A es cerrado, dada (xn ) de Cauchy en (A, dA ), ella tambi´en lo es en (X, d) y su l´ımite pertenece a A ya que A es cerrado. () Si (A, dA ) es completo, todo punto b adherente a A admite una sucesi´on (xn ) en A que es convergente a b, pero como (xn ) es de Cauchy y A es completo, b 2 A. La propiedad de completez es m´as d´ebil que la de compacidad; una evidencia de esto son los espacios m´etricos Rn . Algo m´as interesante a´ un es que, tomando separadamente la completez y la propiedad de totalmente acotado, ellas no son propiedades topol´ogicas, pero al tomarlas simult´aneamente dan un invariante topol´ogico que es la compacidad (teorema 10.13). Ya vimos en la p´agina 138 que la compacidad en un espacio m´etrico implica su completez. El siguiente teorema da condiciones para garantizar la inversa.

141

10.2 Espacios de Baire

Teorema 10.13. Sea (X, d) un espacio m´etrico. X es compacto si y solo si X es completo y totalmente acotado. Demostraci´on. )) Proposiciones 10.3, 10.4.

() Sea (xn ) en X. Si un t´ermino se repite un n´ umero infinito de veces, ella contiene una subsucesi´on convergente —constante—. Si este no es el caso, veamos que de todas formas existe una subsucesi´on convergente, lo cual muestra que X es compacto por sucesiones; lo que para nuestro caso m´etrico es equivalente a compacidad.

01

6

Dado un " > 0 existe una "-red finita y por tanto un cubrimiento B" —finito— por bolas de radio ". As´ı, para cada " existe una bola B" (t" ) en B" —alg´ un t" — que contiene infinitos t´erminos de la sucesi´on (xn ). Sea xn1 el primer t´ermino de la sucesi´on contenido en B1 (t1 ). Similarmente escogemos a xnj como el primer elemento de {xk : k > nj 1 } contenido en B1/j (t1/j ). La subsucesi´on (xnj ) es de Cauchy y como X es completo ella converge a alg´ un x 2 X.

-2

La siguiente es una propiedad importante de los espacios m´etricos completos. Es una generalizaci´on de la propiedad de Cantor en Rn . Teorema 10.14 (Encaje de Cantor). Sea (X, d) un espacio m´etrico completo. Si A1 A2 A3 . . . es un encaje decreciente de subconjuntos cerrados de X con l´ ım(diam(A )) = 0 (el n T l´ımite de los di´ametros es cero) entonces n2N An = {x} para alg´ un x 2 X.

IA

NO

Demostraci´on. Por cada entero positivoTn seleccionamos un xn 2 An . Veamos que (xn ) es de Cauchy y que su l´ımite es el punto en n2N An . Dado " > 0, existe un entero positivo N tal que diam(AN ) < ". Como la sucesi´on {An }n es decreciente, para xm , xn con m, n > N tenemos d(xm , xn ) < ", con lo cual (xn ) es de Cauchy y convergente digamos al punto x. Para cada j 2 N, la sucesi´on (xj+i ), (i = 1, 2, . . .) es una sucesi´ T on en Aj con xj+i ! x; as´ı, x 2 Aj para cada j pues Aj es cerrado. Si existiera otro punto y 2 n2N An entonces diam(An ) d(x, y) > 0.

RU B

10.2. Espacios de Baire

El siguiente teorema fue introducido por B. Baire1 en 1889 para los n´ umeros reales y por F. Hausdor↵ en 1914 para los espacios m´etricos completos. Teorema 10.15. Supongamos que (X, d) es un espacio m´etrico completo y sea {Dn }n2N una T colecci´on enumerable de conjuntos abiertos y densos en X. Entonces n2N Dn es densa en X.

Demostraci´on. Veamos que para cualquier abierto U se tiene ! \ U\ Dn 6= ;. n2N

Como U \D1 6= ; entonces existe una bola abierta B1 con B1 ✓ U \D1 y diam(B1 )  1. De manera inductiva se puede construir una sucesi´on (Bn )n2N de bolas abiertas con la siguiente propiedad: Bn ✓ (Bn 1 ) \ Dn y diam(Bn )  1/n,

(n 2 N).

1 Ren´e-Louis Baire (Par´ıs, 1874-Chamb´ery, 1932) matem´atico franc´es, notable por sus trabajos sobre continuidad de funciones, los n´ umeros irracionales y el concepto de l´ımite. Su libro Le¸cons sur les th´eories g´en´erales de l’analyse (1908) se convirti´ o en un cl´ asico de la did´ actica del an´alisis matem´atico.

142

Espacios m´etricos y sucesiones —completez—

Entonces

\

n2N

Bn ✓ U \

\

Dn

n2N

!

,

y como las Bn forman T un T encaje que satisface las condiciones del teorema 10.14 tenemos ; lo que implica U n2N Dn 6= ;.

T

n2N

Bn 6=

La anterior propiedad no es exclusiva de los espacios m´etricos completos, m´as a´ un, puede ser pose´ıda por espacios topol´ogicos no metrizables. Los espacios que comparten esta propiedad se conocen como espacios de Baire.

6

Definici´ on 10.16. Un espacio (X, T) se dice espacio de Baire si dada una familia enumerable {Dn }n2N de abiertos densos en X su intersecci´on es densa en X.

01

Proposici´ on 10.17. Sea (X, T) un espacio de Baire. Si {Cn }n2N es un cubrimiento por cerrados de X, entonces al menos uno de los Cn contiene un conjunto abierto (tiene interior no vac´ıo).

-2

S Demostraci´on. Es una aplicaci´ o n de las leyes de De Morgan. Si X = n2N Cn tomando compleT c mentos se tiene n2N Cn = ; y como el espacio es de Baire, alguno de los Cn c no es denso, i.e., Cn contiene un abierto.

NO

En un espacio topol´ogico se puede pensar que los conjuntos cerrados con interior vac´ıo son como ‘puntos’ en el espacio (son demasiado delgados para contener ‘algo’). Ignorando los espacios con puntos aislados, que son su propio interior, un espacio de Baire es grande en el sentido que no puede construirse como una uni´on enumerable de estos conjuntos ‘delgados’.

IA

Por ejemplo en R2u cualquier colecci´on enumerable de l´ıneas, sin importar que l´ıneas escojamos, no pueden cubrir al espacio. Los conjuntos del p´arrafo anterior reciben un nombre especial.

RU B

Definici´ on 10.18. Sean (X, T) un espacio y M ✓ X. Se dice que M es magro, delgado o diseminado en X si M = ;

Ejemplo 10.19. Los subconjuntos finitos y Z son diseminados en Ru . Q no lo es.

Ejercicios 10.2

1. Muestre que (xn ) es sucesi´on de Cauchy si d(xn , xm ) ! 0 cuando n, m ! 1. 2. Muestre que la definici´on de sucesi´on de Cauchy es equivalente a decir que el filtro F generado por la sucesi´on (xn ) satisface que, dado " > 0, existe F 2 F tal que el di´ametro de F sea menor que "; esto es, diam(F ) = sup d(F ⇥ F ) = sup{d(x, y) : x, y 2 F } < ".

143

10.3 Completez de un espacio m´etrico

3. Muestre que en Rn una sucesi´on converge si y solo si es de Cauchy. Este ejercicio muestra que la clase de las sucesiones de Cauchy es la misma que la de las sucesiones convergentes. Pero en general esto no es as´ı para los espacios m´etricos, y da origen a la definici´on de completez. 4. Muestre que el rec´ıproco del teorema 10.14 es cierto; es decir, si tenemos la propiedad para cada encaje es porque el espacio es completo. 5. Sea (xn ) una sucesi´on en el espacio m´etrico (X, d). Muestre que (xn ) es de Cauchy si y solo si l´ımn!1 diam(Xn ) = 0 donde Xn = {xn , xn+1 , . . .}. 6. Muestre que H —el espacio de Hilbert— es completo.

qm = {qm1 , qm2 , . . . , qmn , . . .},

01

muestre que

6

Sugerencia: si (qm ) es una sucesi´on de Cauchy en H con

-2

a) Para cada j, (qmj )m2N es una sucesi´on de Cauchy en los reales. Luego existe su l´ımite zj . b) z = (z1 , z2 , . . .) 2 H. c) qm ! z.

NO

7. Muestre que un espacio (X, T) de Hausdor↵ y localmente compacto es de Baire. 8. Si (X, T) es un espacio de Baire entonces

a) La uni´on de cualquier familia numerable de subconjuntos diseminados o densos en ninguna parte tiene interior vac´ıo.

IA

b) X no se puede expresar como una uni´on enumerable de conjuntos densos en ninguna parte.

RU B

c) Toda uni´on enumerable de subconjuntos cerrados con interior vac´ıo, tiene interior vac´ıo. 9. Si (X, T) es Hausdor↵ y compacto entonces X es de Baire. 10. Si M es diseminado en (X, T) tambi´en lo es M . 11. Si M es diseminado en (X, T) entonces ext(M ) es denso en X.

10.3. Completez de un espacio m´etrico Uno de los m´etodos —introducido por Hausdor↵ en 1914— de construir los n´ umeros reales es a partir de los n´ umeros racionales, usando clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy en los n´ umeros racionales. Por supuesto, existen otros m´etodos como el propuesto por Dedekind utilizando sus llamadas cortaduras y luego extendido por MacNeille para conjuntos parcialmente ordenados. Lo que haremos en esta secci´on no es m´as que resaltar la belleza de la t´ecnica utilizada por Hausdor↵, para mostrar una de las formas cl´asicas de abstraer en matem´aticas y de paso ‘completar’ un espacio m´etrico cualquiera.

144

Espacios m´etricos y sucesiones —completez—

Recordemos que una isometr´ıa es una clase particular de funci´on continua f : (X, d) ! (Y, m) entre espacios m´etricos que, como su nombre lo indica, no cambia la medida, esto es m(f (x), f (y)) = d(x, y) para todo x, y 2 X. Por ejemplo, R est´a isom´etricamente inmerso en R2 a trav´es del eje ordenado x, precisamente f : R ! R2 con f (x) = (x, 0).

En general decimos —cuando existe una isometr´ıa— que el espacio m´etrico X est´a inmerso isom´etricamente en Y por medio de f . Lo que mostraremos en estos p´arrafos es: si nuestro espacio m´etrico (X, d) no es completo podemos obtener un espacio m´etrico X ⇤ de tal modo que X ⇤ es completo y X est´a inmerso en X ⇤ de una manera representativa; esto es, la copia de X por medio de la isometr´ıa es un subconjunto denso en X ⇤ .

6

Teorema 10.20. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Existe un espacio m´etrico (X ⇤ , d⇤ ) completo y una isometr´ıa f : X ! X ⇤ tal que f (X) es denso en X ⇤ . El par (f, (X ⇤ , d⇤ )) se llama un completado del espacio (X, d).

01

Demostraci´on. Notemos por S el conjunto de todas las sucesiones de Cauchy en X. Sobre S definimos la siguiente relaci´on: i

-2

(xi ) ⇡ (yi ), si y solo si l´ım d(xi , yi ) = 0, (i 2 N).

Es inmediato ver que ⇡ es de equivalencia. Sea X ⇤ = S/ ⇡ el conjunto de todas las clases [(xi )] de equivalencia. Definimos una m´etrica sobre X ⇤ como

NO

d⇤ ([(xi )], [(yi )]) = l´ım d(xi , yi ), (i 2 N). i

Para ver que d⇤ es una m´etrica basta notar que si (xi ), (yi ) 2 S entonces (d(xi , yi )) es de Cauchy en R, por lo cual su l´ımite existe.

IA

Cada elemento x 2 X lo identificamos en X ⇤ con la sucesi´on x = (x) constante al punto x, con lo cual f : (X, d) ! (X ⇤ , d⇤ ) definida por f (x) = x = [(x)] es una isometr´ıa con X := f (X).

RU B

Para verificar que X = f (X) es denso en X ⇤ consideremos (xn ) 2 S y veamos que [(xn )] 2 X. Dado " > 0, sea [xi ] = [(xi , xi , . . .)] para cada i —note que [xi ] = f (xi ) pertenece a f (X)—. Como (x1 , x2 , · · · ) es de Cauchy, existe un entero N tal que d(xi , xj ) < " para cada i, j N . Luego d([(xn )], f (xN ) = limn d(xn , xN ) < ",

as´ı, [(xn )] es un punto adherente a X (f (xN ) es un punto en f (X)), luego X = f (X) es denso en X ⇤. Finalmente revisemos la completez. Sea (xn ) una sucesi´on de Cauchy en X ⇤ donde xn = Podemos asumir que el di´ametro del conjunto {xni | i 2 N} es menor que 1/n ya que para alg´ un K, d(xni , xnj ) < 1/n, para i, j K y as´ı (xn1 , xn2 , . . .) es equivalente a (xnk , xnk+1 , . . .) con lo cual (xn ) puede ser representada por ´esta u ´ltima sucesi´on. [(xn1 , xn2 , xn3 , . . .)].

Veamos que x = (x11 , x22 , x33 , . . . ) es una sucesi´on de Cauchy. Dado " > 0 existe N tal que d(xm , xn ) = l´ımk d(xkn , xkm ) < " para m, n > N . Luego para alg´ un K fijo K N , tenemos K K d(xn , xm ) < "/3 para m, n > N . Escojamos M tal que 1/M < "/3. Entonces para m, n N tenemos n m K K K K n d(xm m , xn )  d(xm , xm ) + d(xm , xn ) + d(xn , xn ) < 3"/3 = ". K Como d(xm , [x]) = l´ımK d(xK n , xK ) < "/3 para n completo.

N entonces (xn ) ! [x], es decir X ⇤ es

145

10.4 Espacios de funciones

Corolario 10.21. Un espacio m´etrico X es completo si y solo si X ⇡ X ⇤ —homeomorfos—. Demostraci´on. )) Si X ⇡ X ⇤ entonces X es completo.

() Si X es completo, dado x 2 X ⇤ con x representado por la sucesi´on de Cauchy (x1 , x2 , . . .) entonces (x1 , x2 , . . .) ! x, (x 2 X) y as´ı (x1 , x2 , . . .) es equivalente a (x, x, . . .), con lo cual x puede representarse por (x, x, . . .) y por tanto x 2 X.

10.4. Espacios de funciones

01

6

Recordemos que si X es un conjunto y (Y, d) es un espacio m´etrico, sobre el conjunto B(X, Y ) de todas las funciones acotadas de X en Y , definimos la m´etrica d1 (f, g) = supx2X {d(f (x), g(x))}. Esta m´etrica genera la topolog´ıa del sup o topolog´ıa de la convergencia uniforme.

-2

Definici´ on 10.22. Sean (X, T) un espacio, (Y, d) un espacio m´etrico y (fn )n2N una sucesi´on de funciones fn : (X, T) ! (Y, d). Supongamos que para cada x 2 X el l´ımn (fn (x)) existe. Si definimos f (x) como el valor de este l´ımite, entonces f (x) define una f : (X, T) ! (Y, d). En este caso decimos que (fn ) converge puntualmente a f .

NO

Si suponemos en la definici´on anterior que cada fn es continua, en general no podemos esperar que f tambi´en sea continua. Necesitamos entonces un tipo de convergencia m´as fuerte para una sucesi´on de funciones —evoquemos lo que es la continuidad uniforme para una funci´on f — de tal manera que la funci´on l´ımite pueda heredar la continuidad a partir de las fn .

IA

Definici´ on 10.23. Sean (X, T) un espacio, (Y, d) un espacio m´etrico y (fn ) una sucesi´on de funciones con fn : (X, T) ! (Y, d). Decimos que (fn )n converge uniformemente a una funci´on f si para cada " > 0 existe N 2 N tal que si n N entonces d(fn (x), f (x)) < " para cada x 2 X.

RU B

Si (fn ) ! f uniformemente, en particular lo hace puntualmente; esto es, la continuidad uniforme de funciones implica la convergencia puntual, pues el N de la definici´on de convergencia uniforme depende u ´nicamente de " mientras que en la puntual tambi´en debe depender del punto x. Teorema 10.24. Sean (X, T) un espacio, (Y, d) un espacio m´etrico y (fn ) con fn : (X, T) ! (Y, d) una sucesi´on de funciones continuas. Si fn ! f uniformemente entonces f es continua. Demostraci´on. Dados a 2 X y " > 0 veamos que existe una Va tal que para cada x 2 Va se tiene d(f (x), f (a)) < ". Como fn ! f , existe N 2 N tal que d(fN (x), f (x)) < "/3 para todo x 2 X. De otra parte, d(f (x), f (a))  d(f (x), fN (x)) + d((fN (x), f (N (a)) + d(fN (a), f (a)) < d(fN (x), fN (a)) + 2"/3 y como fN es continua, existe Va tal que para x 2 Va , d(fN (x), fN (a)) < "/3, con lo cual se satisface que, x 2 Va implica d(f (x), f (a)) < ". La siguiente es la raz´on por la cual la m´etrica d1 sobre B(X, Y ) se llama la distancia de la convergencia uniforme.



146

Espacios m´etricos y sucesiones —completez—

Teorema 10.25. Sean (X, T) un espacio, (Y, d) un espacio m´etrico y (fn ) una sucesi´on en B(X, Y ). En (B(X, Y ), d1 ), fn ! f si y solo si la convergencia es uniforme. Demostraci´on. )) Como fn ! f en la topolog´ıa del sup, dado " > 0 existe N 2 N tal que para n N se tiene d1 (f, fn ) < ". Luego en particular para cada x 2 X tenemos que d(f (x), fn (x))  sup{d(fn (x), f (x))} = d1 (fn , f ) < ". x

() Dado " > 0 existe N 2 N tal que para n N se tiene d(fn (x), f (x)) < "/2 para cada x 2 X. Luego si n > N entonces supx {d(fn (x), f (x))}  "/2 < " con lo cual d1 (f, fn ) < " para n > N.

01

6

Proposici´ on 10.26. Sean (X, T) un espacio y (Y, d) un espacio m´etrico completo. El espacio B(X, Y ) de las funciones acotadas con la m´etrica d1 de la convergencia uniforme es completo.

x2X

-2

Demostraci´on. Sea (fn )n2N una sucesi´on de Cauchy en B(X, Y ), i. e., dado " > 0, existe N" 2 N tal que para m, n N" se tiene sup d(fn (x), fm (x))  ". En particular para un x fijo, la sucesi´on (fn (x))n es de Cauchy en el espacio completo (Y, d) y por tanto existe su l´ımite, el cual notamos como f (x) = l´ımn (fn (x)).

NO

Hemos definido as´ı f : X ! Y . Veamos que ella es acotada. Existe N1 2 N tal que d1 (fN1 , fn )  1 para todo n N1 . Sea a 2 Y y notemos por a la funci´on a : X ! Y constante a a. Para todo x 2 X y n N1 , d(a, fn (x))  d(a, fN1 (x)) + 1  d1 (a, fN1 ) + 1.

IA

Fijando x y tomando el l´ımite cuando n ! 1 obtenemos

d(a, f (x))  d1 (a, fN1 ) + 1

RU B

y como esto es independiente de x, tenemos que f 2 B(X, Y ).

Veamos por u ´ltimo que efectivamente fn ! f . Para " > 0 y x 2 X tenemos la desigualdad d(fn (x), fm (x))  " si m, n N" . Tomando el l´ımite cuando m ! 1 y fijando a x obtenemos d(fn (x), f (x))  " para todo x y n N" . Como N" no depende de x, tenemos d1 (fn , f )  ". Por tanto, l´ımn!1 d1 (fn , f ) = 0 y as´ı fn ! f . Corolario 10.27. Sean (X, T) un espacio y (Y, d) un espacio m´etrico completo. El espacio CB (X, Y ) de las funciones continuas y acotadas con la m´etrica d1 de la convergencia uniforme es completo. Demostraci´on. Sea (fn )n2N una sucesi´on de Cauchy en CB (X, Y ). Solo nos falta verificar que f de la demostraci´on del teorema 10.26 es continua. Sea a 2 X y veamos que f es continua en a. Dado " > 0 existe un entero N tal que d(fn (x), f (x)) < "/3 para n N y cada x 2 X. Como fn es continua existe una vecindad abierta Ua de a, tal que para cada x 2 Ua , d(fn (x), fn (a)) < "/3. Luego " d(f (x), f (a))  d(f (x), fn (x)) + d(fn (x), fn (a)) + d(fn (a), f (a)) < 3 = ". 3 As´ı, f es continua en a. En particular, CB (X, Y ) es un subconjunto cerrado de B(X, Y ).

147

10.4 Espacios de funciones

Figura 10.1: La convergencia uniforme.

RU B

IA

NO

-2

01

6

Corolario 10.28. Sean (X, T) un espacio compacto y (Y, d) un espacio m´etrico completo. El espacio C(X, Y ) de las funciones continuas con la m´etrica d1 de la convergencia uniforme es completo.

11 Los axiomas de separaci´on

6

La definici´on de espacio topol´ogico es en s´ı muy general: una colecci´on de subconjuntos con dos propiedades de clausura, una para la uni´on y otra para la intersecci´on; por tanto, no muchos teoremas pueden demostrarse a menos que limitemos las clases de espacios a considerar. Para obtener estas clases espec´ıficas, debemos imponer condiciones de suerte que, a m´as condiciones, m´as espec´ıfica sea la clase y entonces m´as teoremas —propiedades— puedan ser demostrados.

-2

01

Hemos visto c´omo algunas propiedades topol´ogicas de un espacio (X, T) dependen directamente de condiciones impuestas sobre la cardinalidad de T o m´as precisamente de la cardinalidad de sus bases, por ejemplo 2-contable, 1-contable, ejerciendo a su turno un control sobre la cantidad de abiertos involucrados en el espacio.

11.1.

NO

Esta cardinalidad tambi´en afecta a la continuidad, en el sentido de que, a mayor cantidad de abiertos para el espacio en el dominio, la posibilidad de continuidad aumenta, o disminuye para el caso del codominio.

T0, T1 y T2 o de Hausdor↵

IA

Otras condiciones que interesan y comenzamos a estudiar son la manera como los abiertos est´an ‘distribuidos’ sobre el espacio. Estas separaciones fueron estudiadas por Alexandro↵ y Hopf1 , bajo la denominaci´on de axiomas Tk , k = 0, 1, 2, 3, 4, los cuales nos muestran b´asicamente el grado en que puntos y conjuntos pueden mantenerse aparte, o separarse por medio de conjuntos abiertos.

RU B

Este estudio surge en relaci´on con los problemas de seudometrizaci´on y metrizaci´on de un espacio topol´ogico. Pretend´ıan encontrar una condici´on de separaci´on, bajo la cual los espacios topol´ogicos resultaran metrizables o bien seudometrizables.

Figura 11.1: P. Alexandro↵ y H. Hopf, Z¨ urich, 1931. 1

En un excelente libro sobre Topolog´ıa del a˜ no 1932.

148

149

11.1 T0 , T1 y T2 o de Hausdor↵

Al hablar de separaci´on en un espacio topol´ogico nos referimos a la separaci´on que podemos inducir entre los puntos del espacio vali´endonos de los conjuntos abiertos. En un espacio indiscreto, por ejemplo, esta separaci´on es nula pues para cualesquiera dos puntos es imposible hallar un abierto que contenga a uno de ellos sin contener al otro. Nuestro estudio se limitar´a a los axiomas Tk mencionados, aunque no dejan de existir esfuerzos en crear cada d´ıa otro Tk , k -racional, donde podr´ıa pensarse que la separaci´on o´ptima la poseen los espacios m´etricos. El axioma de separaci´on m´as primitivo afirma que, dados dos puntos del espacio, al menos uno de ellos se puede separar del otro por medio de un abierto2 .

6

Definici´ on 11.1. Un espacio (X, T) es T0 o de Kolmogoro↵ a si, dados x, y 2 X con x = 6 y, existe una vecindad abierta Ux de x que no contiene a y o existe una vecindad abierta Uy de y que no contiene a x.

-2

01

a Andrei Kolmogoro↵ (Tambov 1903-Mosc´ u 1987), matem´atico ruso que hizo progresos importantes en los campos de la teor´ıa de probabilidad y de la topolog´ıa. En particular, desarroll´o una base axiom´atica que supone el pilar b´ asico de la teor´ıa de las probabilidades a partir de la teor´ıa de conjuntos. Trabaj´o al principio de su carrera en l´ ogica constructivista y en la serie de Fourier. Fue el fundador de la teor´ıa de la complejidad algor´ıtmica.

Ejemplo 11.2. El espacio de Sierpinsky {0, 1} (p´ag. 13) es T0 .

NO

Ejemplo 11.3. Dado un conjunto parcialmente ordenado (X, ), el espacio (X, Td ) con la topolog´ıa generada por las colas a derecha cerradas es T0 . Que el espacio X sea T0 por definici´on significa que, para cada par de elementos diferentes x, y 2 X, al menos uno de ellos posee una vecindad abierta que no posee al otro y esto implica que y 2 / {x} o´ x 2 / {y}.

IA

Ejemplo 11.4. 1. El espacio del ejemplo 10.29 —intervalos encajados— no es T0 pues todo 1 1 abierto no vac´ıo contiene simult´aneamente a los puntos 10 , 8.

RU B

2. Dado un conjunto X y a, b 2 X definimos G := {A ✓ X : {a, b} ✓ A} [ {;}.

En este espacio los puntos a, b no se pueden “distinguir” topol´ogicamente.

3. Si (X, T) un espacio T0 y 2-contable, la cardinalidad del conjunto X queda acotada por |X|  2! . Si B := {B1 , B2 , . . .} es una base la funci´on f : X ! 2B definida por f (x) = {B 2 B : x 2 B} es inyectiva y por tanto |X|  2B  2! . Definici´ on 11.5. Un espacio (X, T) es T1 o accesiblea si, dados x, y 2 X con x 6= y, existen vecindades abiertas Ux , Uy tales que y 2 / Ux y x 2 / Uy . Este axioma algunas veces es referido como de Fr`echet o axioma de separaci´on de Riesz. a

En 1907 Friedrich Riesz introdujo el axioma de separaci´on T1 .

Ejemplo 11.6. (R, cof initos) es un espacio T1 . Nota. La definici´on de T1 es equivalente a que cada conjunto unitario {a} del espacio sea cerrado. En efecto, el complemento de {a} es un conjunto abierto, pues por cada x 6= a tomamos una S vecindad abierta Vxa de x tal que a 2 / Vxa , y as´ı {a}c = x6=a Vxa .

2 En 1935 se public´ o el libro Topologie I de Pavel S. Alexandro↵ y Heinz Hopf. En ´este se indica que el axioma de separaci´ on m´ as d´ebil fue introducido por Andrei Kolmogoro↵.

150

Los axiomas de separaci´ on

El axioma de separaci´on m´as conocido fue introducido por Hausdor↵3 y es el que nosotros hemos exigido en la definici´on de un espacio de Hausdor↵ o T2 . Algunas veces este espacio se llama ‘separado’, que no debe confundirse con separable, lo cual tiene un significado completamente diferente. Ya hemos visto que esta es una propiedad heredable y productiva, la cual resulta de un valor apreciable cuando se trata de espacios compactos. En los espacios de Hausdor↵ la convergencia de una sucesi´on o de un filtro, en caso de existir, es u ´nica, lo que es uno de los requisitos m´ınimos para desarrollar una teor´ıa de convergencia. Ejemplo 11.7.

1. Todo espacio m´etrico es de Hausdor↵.

2. (R, cof initos) es T1 pero no es T2 .

Ejercicios 11.1

NO

1. Muestre que en un espacio T0 , la relaci´on

-2

4. Por supuesto tenemos la implicaci´on T2 ! T1 ! T0 .

01

6

3. Muchos otros ejemplos de espacios que no son de Hausdor↵ pueden ser construidos, pero ellos de alguna manera son no ‘naturales’.

x  y sii x 2 {y}

es de orden en el conjunto X.

IA

2. Un espacio (X, T) es T0 si y solo si para todo par x, y 2 X con x 6= y se tiene {x} = 6 {y}.

RU B

3. Sea (X, T) un espacio T0 . Con la anterior caracterizaci´on definimos la relaci´on ⇠ en X como: a ⇠ b sii {a} = {b}.

(11.1)

Muestre que la anterior relaci´on es de equivalencia y por tanto las clases de equivalencia [a] forman una partici´on. Muestre que para cada clase [a] ✓ (X, T) la topolog´ıa de subespacio es la trivial.

4. Muestre que, en un espacio (X, T), ser T1 es equivalente a cada una de las siguientes afirmaciones: a) Todos los conjuntos unitarios son cerrados. b) Todos los subconjuntos finitos son cerrados. c) Para cada A ✓ X la intersecci´on de todos los abiertos UA que contienen a A es el propio A. d ) Para cada a 2 X la intersecci´on de todos los abiertos Ua que contienen al punto a es {a}. e) Cada subconjunto de X es uni´on de subconjuntos cerrados.

f ) Cada subconjunto no vac´ıo contiene alg´ un subconjunto cerrado no vac´ıo. g) Para cada x 2 X el conjunto {x}a = ;. 3

¨ El 1914 Felix Hausdor↵ introdujo el axioma de separaci´on T2 en su famoso libro GrundzAuge der Mengenlehre.

151

11.1 T0 , T1 y T2 o de Hausdor↵

h) Para cada A ✓ X, Aa = Aa! (definici´on 9.55). 5. Un espacio (X, T) es TD si y solo si para todo x 2 X el conjunto {x}a es cerrado. Muestre que T1 implica TD . 6. Muestre que si (X, T) es T1 entonces Aa es cerrado para cada A ✓ X. 7. Muestre que todo espacio finito que es T1 necesariamente es discreto. 8. Muestre que la definici´on de un espacio (X, T) de Hausdor↵ es equivalente a: a) Para cada a 2 X la intersecci´on de todas las vecindades cerradas del punto a es el conjunto {a}. b) La diagonal

01

es cerrada en el espacio producto X ⇥ X.

6

X = {(x, x) : x 2 X}

c) La convergencia de filtros es u ´nica.

-2

9. Muestre que la propiedad de ser T2 no es equivalente a la propiedad de la convergencia u ´nica por sucesiones. 10. Sea f : (X, T) ! (Y, H) continua y (Y, H) un espacio T2 . Entonces el grafo de f , Gf := {(x, f (x)) | x 2 X},

NO

es cerrado en el espacio producto X ⇥ Y . Sugerencia: considere la funci´on

h = (f, idY ) : X ⇥ Y Entonces

! Y ⇥ Y,

(x, y) 7! (f (x), y).

RU B

IA

h 1 ( Y ) = h 1 ({(y, y) | y 2 Y }) = {(x, y) | f (x) = y, x 2 X} = {(x, f (x)) | x 2 X} = Gf .

11. Sean f, g : (X, T) ! (Y, H) continuas y (Y, H) un espacio T2 . Entonces el subconjunto de coincidencia C(f, g) = {x 2 X : f (x) = g(x)} donde f y g coinciden, es cerrado.

Sugerencia: considere la funci´on (f, g) : X ! Y ⇥ Y .

12. ¿Las propiedades T0 , T1 , T2 son hereditarias? 13. Muestre que T0 , T1 , T2 son invariantes topol´ogicos. 14. Muestre que T0 , T1 , T2 son productivas, i. e., el espacio producto si y solo si cada espacio factor lo es.

Q

i2I (Xi , Ti )

es T0 , T1 , T2

15. Muestre que si f : (X, T) ! (Y, H) es una funci´on inyectiva y continua con (Y, H) de Hausdor↵ entonces X es de Hausdor↵. 16. (R, co-compacto). En R definimos C ✓ R cerrado si C es cerrado y acotado en el sentido usual. Muestre que este espacio es T1 pero no es T2 . 17. (X, T) es T2 1 o de Urysohn, si todo par de puntos puede ser separado por vecindades 2 cerradas. Un espacio T2 1 es de Hausdor↵. 2

152

11.2.

Los axiomas de separaci´ on

Regulares, T3, Tychono↵

En esta secci´on vemos la separaci´on entre puntos y conjuntos, con un axioma introducido por Vietoris4 en 1921. Definici´ on 11.8. Un espacio (X, T) es regular si, dados x 2 X y un cerrado F ✓ X con x2 / F , existen abiertos Vx , VF disyuntos que contienen a x y a F respectivamente. Algunos autores prefieren llamar a estos espacios T3 .

Ejemplo 11.9. Un espacio que es T2 pero no es regular.

-2

01

6

En R definimos una subbase a˜ nadiendo a la topolog´ıa usual el conjunto Q. La topolog´ıa generada T es T2 , pues esta subbase es m´as fina que la usual. N´otese que hemos agregado los intervalos que constan u ´nicamente de n´ umeros racionales o uni´on de los intervalos usuales con los intervalos formados exclusivamente por racionales. El conjunto I de los n´ umeros irracionales es cerrado en (R, T) pero no lo podemos separar del punto x = 0, pues cualquier vecindad VI necesariamente tiene que ser igual a R. Ejemplo 11.10. En R consideremos el conjunto A = {1/n | n 2 N}. Definimos una topolog´ıa T para R as´ı: V 2 T si y solo si V = U \ B c donde U es abierto de la topolog´ıa usual de R y B ✓ A.

NO

Esto es, los elementos de la topolog´ıa son los abiertos de la usual, con el derecho a extraerles cualquier cantidad de n´ umeros de la forma 1/n. Note que la usual est´a contenida en T y por lo tanto T es Hausdor↵. Sin embargo, este espacio no es regular pues el punto 0 y el conjunto cerrado A (A es cerrado ya que Ac = R \ Ac es abierto) no pueden separarse. ¿Por qu´e?

IA

La siguiente es una caracterizaci´on local de los espacios regulares y es quiz´as la forma m´as u ´til de presentar este axioma.

RU B

Teorema 11.11. Un espacio (X, T) es regular si y solo si para cada subconjunto abierto U y para cada x 2 U existe un abierto Vx tal que x 2 Vx ✓ Vx ✓ U.

Demostraci´on. )) Sean U abierto y x 2 U . Como U c es cerrado existen vecindades disyuntas abiertas V, W de x y U c respectivamente. As´ı, x 2 V ✓ W c y como W c ✓ U tenemos x 2 V ✓ V ✓ U ya que W c es cerrado. () Dado un F cerrado y x 2 / F , el conjunto F c es una vecindad abierta de x. As´ı que existe c Vx tal que Vx ✓ Vx ✓ F c . Si tomamos U = Vx entonces F ✓ U y adem´as Vx \ U = ;.

K Un espacio (X, T) es regular si para cada x 2 X las vecindades cerradas de x forman

un sistema fundamental de vecindades de x; i. e., cada vecindad de x contiene una vecindad cerrada.

4

Leopoldo Vietoris (1891 Radkersburg, Austria–Innsbruck, Austria 2002). Vivi´ o 110 a˜ nos (de hecho casi 111, muri´ o menos de dos meses antes) en tres siglos diferentes. Es conocido principalmente por sus estudios en topolog´ıa, rama de las matem´ aticas de la que se le considera uno de los fundadores e impulsores. Tambi´en se interes´ o por la historia de las matem´ aticas, la filosof´ıa y fue un gran alpinista y esquiador. Durante toda su vida public´ o 80 trabajos en diversos campos, el u ´ltimo de ellos a los 104 a˜ nos.

153

11.2 Regulares, T3 , Tychono↵

Ejemplo 11.12. Bajo la anterior caracterizaci´on del teorema 11.11 es claro que la topolog´ıa de los complementos finitos en R no es regular, ya que ninguna vecindad de un punto es cerrada. No siempre es el caso que cada espacio regular implique los dem´as axiomas de separaci´on T0 , T1 , T2 . Por ejemplo (X, grosera) es regular pero no necesariamente es T2 pues un punto no necesita ser un conjunto cerrado. Es por ello que a los espacios regulares los reforzamos en la siguiente definici´on para que as´ı Ti implique Ti 1 .



6

Ejemplo 11.13. Recordemos que una topolog´ıa de partici´on es una topolog´ıa que puede ser definida en cualquier conjunto X mediante una partici´on P de X en subconjuntos disjuntos — relaci´on de equivalencia— y estos subconjuntos forman la base para la topolog´ıa. En esta topolog´ıa los conjuntos abiertos tambi´en resultan ser cerrados, y esta propiedad caracteriza a las topolog´ıas de partici´on.

01

Esta topolog´ıa –excepto la trivial– no es T1 ni de Hausdor↵, pero es regular, completamente regular, normal y completamente normal.

-2

Definici´ on 11.14. Un espacio (X, T) que es regular y adem´as T1 se llama un espacio T3 . Esto es, adem´as de poder separar puntos de conjuntos cerrados, exigimos que los conjuntos unitarios sean cerrados. Proposici´ on 11.15. La propiedad de ser T3 es hereditaria.

NO

Demostraci´on. Sea A ✓ (X, T) donde X es T3 . Basta notar que, para x 2 A, si V(x) es un sistema fundamental de vecindades cerradas de x en (X, T) entonces VA (x) = {V \ A : V 2 V(x)}

IA

es un sistema fundamental de vecindades cerradas de x en (A, TA ).

RU B

Proposici´ on 11.16. Un espacio producto X = y solo si cada Xi es regular.

Q

i2I

Xi con la topolog´ıa producto es regular si

Demostraci´on. )) Supongamos que para alg´ un ´ındice i0 , Xi0 no es regular y veamos que entonces X tampoco lo es. Luego existen xi0 2 Xi0 y un cerrado Ai0 ✓ Xi0 que no contiene a xi0 , los cuales no pueden separarse. Definimos un punto x = (xi ) 2 X tomando a xi0 en la componente Q i0 y en las 1 otras i–ordenadas elegimos un puntoQ cualquiera xi para cada i. Sea A = pi0 (Ai0 ) = i6=i0 Xi ⇥ Ai0 —el cilindro—; consideremos Ux = Uxi , (i 2 I) una vecindad cualquiera de x y UA cualquier vecindad abierta de A. Entonces UAi0 := {yi0 | y = (yj ) 2 UA y yi = xi para cada i 6= i0 } —hemos elegido las coordenadas i–´esimas de estos puntos y = (yi )— es un abierto en Xi0 con Ai0 ✓ UAi0 , con lo cual Uxi0 y UAi0 tambi´en se interceptan. Por tanto Ux y UA se interceptan, es decir, x no puede ser separado de A. Q () Supongamos que Xi es regular para cada i. Sea Ux = Uxi , (i 2 I) un abierto de x en X —no perdemos generalidad si lo suponemos b´asico—. Si Uxi = XiQ definimos Vi = Xi . Si Uxi Q $ Xi escogemos Vi abierto tal que x 2 Vi ✓ Vi ✓ Uxi . Entonces V = Vi , (i 2 I) es abierto y Vi , (i 2 I) es un cerrado con x 2 V ✓ V ✓ Ux , es decir X es regular.



154

Los axiomas de separaci´ on

Corolario 11.17. El espacio X = si y solo si cada Xi es T3 .

Q

Xi , (i 2 I) con la topolog´ıa producto es T3 (regular y T1 )

Demostraci´on. Muestre que un espacio producto es Ti , (i = 0, 1) si y solo si cada espacio factor lo es (ejercicos 7.1). Ejemplo 11.18. Sorgenfrey (R, J+ ) es T3 . Dados U abierto y x 2 U existe [a, b) tal que x 2 [a, b) ✓ U . Recordemos que esta topolog´ıa es m´as fina que la usual; as´ı, los intervalos abiertos tambi´en son abiertos de esta topolog´ıa, con lo cual los elementos [a, b) de la topolog´ıa son simult´aneamente abiertos y cerrados. Por el teorema 11.11 tenemos la regularidad. Solo resta verificar que el espacio es T1 .

6

De manera m´as general tenemos el siguiente ejemplo.

01

Ejemplo 11.19. Sea (X, ) un espacio totalmente ordenado. Entonces las topolog´ıas J0 , J+ , J son T3 (p´ag. 23).

-2

1. J0 . Un sistema fundamental de vecindades de x es V(x) = {(a, b) : a < x < b}. Es suficiente mostrar que todo elemento en V(x) contiene una vecindad de x que es cerrada. Sea (a, b) 2 V(x):

NO

a) Si existen t, t0 tales que a < t < x y x < t0 < b entonces x 2 (t, t0 ) ✓ [t, t0 ] ✓ (a, b).

b) Si no existe t tal que a < t < x entonces: o bien existe t0 con x < t0 < b, con lo cual x 2 (a, t0 ) ✓ [a, t0 ] ✓ (a, b), o bien no existe t0 con x < t0 < b, con lo cual (a, b) = {x} es vecindad cerrada de x.

IA

c) Si no existe t0 tal que x < t0 < b, razonamos como en (b). 2. T+ . Sabemos que es T2 y recordemos que los abiertos [x, y) son igualmente cerrados pues

RU B

[x, y)c =

[

a 0 puesto que g no es adherente a F —. Entonces B"g /2 (g), (g 2 G) es un abierto que contiene a G y no intercepta a F . De manera similar construimos un abierto para F que no corte a G. Muestre que realmente estos abiertos no se cortan. Por supuesto existen espacios normales que no son metrizables. Ejemplo 11.29. Sea R con la topolog´ıa T definida como: U 2 T si U c es contable o 0 2 / U. La topolog´ıa T es de Hausdor↵, pues dados x 6= y, uno de los dos, digamos x, es diferente de 0; por tanto {x} y R {x} son abiertos. Para ver que (R, T) es normal tomemos F, G cerrados disyuntos no vac´ıos; uno de los dos no contiene al punto 0, digamos F , luego F es abierto y F c es tambi´en un abierto conteniendo a G.

157

11.3 Normales, T4

De otra parte, para el punto 0 ya que si existiera {B1 , B2 , . . .} T no existe una base local enumerable S c tenemos que n=1 Bn = {0} y de otra parte n=1 Bn deber´ıa ser contable puesto que 0 2 Bn para cada n, y como cada Bn es abierto, solo puede serlo si Bnc es contable. ¿Puede ver usted el filtro involucrado en este ejemplo y la construcci´on en general?

Ejemplo 11.30. El semiplano de Niemytzki del ejemplo 5.23 es un espacio que muestra que ser T4 no es consecuencia de ser T1 y regular. Veamos a continuaci´on sus principales propiedades:

6

Para ver que (X, T ⇤ ) es regular utilicemos la caracterizaci´on local; es decir, dado un abierto U y b 2 U , existe Vb abierta tal que Vb ✓ V b ✓ U . Sean U 2 T ⇤ y b 2 U . Si b 2 P , como U es abierto existe una B" (b) ✓ U , luego para Vb = B"/2 (b) tenemos la condici´on. Si b 2 L, existe D un disco tal que {b} [ D ✓ U , esto es (B" ((b, x)) [ {b}) ✓ U —alg´ un x—. As´ı B"/2 ((b, x/2)) satisface la condici´on.

-2

01

Ahora mostremos que no es normal. En efecto, construyamos dos subconjuntos cerrados que no se pueden separar. Dado A ✓ L, Ac es abierto en T ⇤ con lo cual cada A ✓ L es cerrado —diferente a decir que todo A ✓ L es abierto, pues el complemento se toma en todo X—. Por tanto, los subconjuntos Q = {(x, 0) | x es racional}, I = {(x, 0) | x es irracional} son cerrados, y veremos que Q, I no pueden separarse por abiertos. Sean VQ , VI abiertos disyuntos separando a Q, I. Por cada (x, 0) 2 I ✓ VI existe un disco Dx ✓ VI de radio rx y tangente a L en el punto (x, 0). Sea Sn = {(x, 0) 2 I | rx > 1/n}. As´ı, Sn ✓ Sn+1 y la colecci´on {Sn } junto con los puntos de Q forman un cubrimiento contable de L.

NO

Veamos que en R sucede lo siguiente:

Si R es una uni´on contable de los subconjuntos {Sn } entonces por lo menos uno de ellos contiene un intervalo abierto.

IA

Supongamos que cada Sn tiene interior vac´ıo, esto es, dado cualquier intervalo I ✓ L, existe un subintervalo J ✓ I tal que Sn \ J = ; (recuerde que Sn es cerrado y esto es equivalente a decir que el interior de la adherencia de cada Sn es vac´ıo, es decir Sn es denso en ninguna parte).

RU B

Como los racionales son enumerables, sea {q1 , q2 , . . .} una enumeraci´on de ellos. Para n = 1 tomamos un intervalo I1 tal que q1 2 / I1 ; as´ı, existe J1 ✓ I1 tal que J1 \ S1 = ;. Si q2 2 J1 , tomamos un subintervalo I2 ✓ J1 tal que q2 2 / I2 y de ´este extraemos J2 tal que J2 \ S2 = ; ; si q2 2 / J1 tomamos un I2 ✓ J1 tal que I2 \ S2 = ;. De esta manera, construimos inductivamente una sucesi´on de intervalos cerrados In tal que In+1 ✓ In con qn 2 / In y In \TSn = ;. Por el principio de Cantor para los intervalos encajados, existe un n´ umero t tal que t 2 n2NIn . Claramente t no es un n´ umero racional y para alg´ un n suficientemente grande tenemos t 2 Sn , pero esto contradice que In \ Sn = ;. Luego para alg´ un n´ umero natural n se debe tener que existe un intervalo I de la recta real tal que cada subintervalo de I corta a Sn . As´ı que cada punto de I es un punto de acumulaci´on de Sn ; en particular existe un racional r con r 2 Sna . Sea B ((r, 0)) ✓ VQ . Para x1 2 Sn suficientemente cercano a r, existe un disco B" ((x1 , 0)) con B ((r, 0)) \ B" ((x1 , 0)) 6= ;, y esto contradice que VQ , VI son disyuntos. En un espacio las propiedades de ser Hausdor↵, normal y compacto se relacionan de acuerdo con el siguiente teorema. Teorema 11.31. Si (X, T) es un espacio de Hausdor↵ y compacto entonces X es normal. Demostraci´on. Si F, G son dos cerrados disyuntos, como el espacio es de Hausdor↵ y es compacto ellos son compactos. Dado g 2 G, lo podemos separar de cada punto f 2 F por medio de vecindades disyuntas Vgf , Vfg de g y f respectivamente.

158

Los axiomas de separaci´ on

La colecci´on {Vfg | f 2 F } es un cubrimiento abierto de F , el cual lo podemos reducir a un T subcubrimiento finito {Vfgi }, (i = 1, 2, . . . , n). Definimos Vg = S ni=1 Vgfi —la intersecci´on de las vecindades de g correspondientes a estos fi — y definimos UFg = ni=1 Vfgi . As´ı F ✓ UFg . Repitiendo el anterior proceso para cada g 2 G, obtenemos un cubrimiento {Vg | g 2 G} de G el cual lo reducimos a uno finito Vg1 , Vg2 , . . . , Vgm . S Tm g i Finamente M := m i=1 Vgi y N := i=1 UF son vecindades abiertas disyuntas de G y F respectivamente.

6

Ejemplo 11.32. Tabl´on de Tychono↵ . Sea X = [0, !]⇥[0, ⌦]; cada factor es un espacio compacto, pues cada una de sus topolog´ıas provienen de un orden completo. X es normal de acuerdo con el teorema 11.31. Definimos W el tabl´ on de Tychono↵ como el espacio X menos el punto (!, ⌦), i. e., W = X {(!, ⌦)} = [0, !] ⇥ [0, ⌦] {(!, ⌦)}.

.. .. .. .. .. .. .. ... .. .. ... .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. . .. ... .. .. .. . .. ... .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. ... .. . .. .. .. .. .. ... .. . .. .. .. .. .. .. ....

NO

.. .

-2

A • • • • • ( , ) .. ... . . .. .. .. .. • • • • • · · · ......•.....

..................................... ......... . ........................................

• • • • • 0

• • • • • 1

IA

4 3 2 1 0

• • • • • 2

• • • • • 3

• • • • • 4

··· ··· ··· ···

01

Probemos que el tabl´on no es normal con la topolog´ıa de subespacio, negando as´ı que la normalidad sea hereditaria.

• • • • •

B

RU B

Figura 11.2: El tabl´ on de Tychono↵.

Para ello construyamos dos cerrados disyuntos A, B en W y mostremos que es imposible separarlos. A = {(x, ⌦) | x 2 [0, !)} la u ´ltima fila superior, B = {(!, y) | y 2 [0, ⌦)} la u ´ltima columna a la derecha. Son cerrados en la topolog´ıa de subespacio de W ya que sus complementos en W son claramente abiertos. Supongamos que existen UA , UB abiertos que separan. Entonces por cada ↵ 2 [0, !) sea ↵ el menor elemento en [0, ⌦] tal que (↵, ) 2 UA para > ↵ . La colecci´on S = { ↵ }, (↵ 2 [0, !)) es contable, luego so = sup S < ⌦ (proposici´on 9.69) y por tanto {(↵, ) | ↵ < !, > so } ✓ UA . Notemos que para con so < < ⌦ se tiene que el punto (!, ) 2 UB , luego puntos ‘cercanos’ a ´el, est´an tanto en UA como en UB .

Ejercicios 11.3 1. Muestre que el producto de espacios normales no necesariamente es normal, aun en el caso de un n´ umero finito de factores.

159

11.4 Lema de Urysohn o existencia de funciones

Sugerencia: considere el espacio —ejemplo 8.49— con la topolog´ıa de los cuadrados semiabiertos de Sorgenfrey y considere los subconjuntos F , G en la diagonal, dados por los puntos con componentes racionales y los puntos con componentes irracionales respectivamente. Este ejemplo muestra tambi´en que T3 no implica T4 . 2. El espacio de Sierpinski es un ejemplo de un espacio normal que no es regular. 3. Muestre que la normalidad se respeta por homeomorfismos, pero no es un invariante bajo continuidad. ¿Qu´e sucede si f es continua, cerrada y sobre? 4. Muestre que en el ejemplo 11.30, X es separable pero el subespacio L no lo es. 5. Muestre que si un espacio producto es normal, entonces cada espacio factor es normal.

6

6. Si (X, T) es regular y de Lindel¨of entonces es normal.

01

7. Si (X, T) es regular y 2-contable entonces es normal.

-2

8. Revise el ejemplo 11.29 y general´ıcelo para cualquier filtro en cualquier conjunto X.

11.4. Lema de Urysohn o existencia de funciones

NO

El objeto de esta secci´on es resaltar la relaci´on entre la normalidad en el espacio X y la existencia de funciones f : X ! Ru continuas y no constantes. Definici´ on 11.33. Dados (X, T) y A, B ✓ X, decimos que A, B son separados por funciones continuas si existe f : X ! R con f (A) = 0, f (B) = 1.

IA

N´otese que si esto sucede entonces A y B son disyuntos pues el conjunto cerrado f 1 (1) contiene a A y por tanto contiene a A. Lo mismo sucede para f 1 (0) y B. Podemos preguntarnos: si A, B son subconjuntos cerrados disyuntos, ¿existir´a f que los separe?

RU B

Para los espacios m´etricos la respuesta es afirmativa. A

!0

A

B

B

!1

Figura 11.3: Una funci´ on que separa.

Proposici´ on 11.34. Si A, B son dos cerrados disyuntos no vac´ıos de un espacio m´etrico (X, d) entonces existe f : X ! [0, 1] continua y tal que f (A) = 0, f (B) = 1. Demostraci´on. Definimos f como f (x) :=

d(x, A) . d(x, A) + d(x, B)

Lo que veremos ahora es que esta propiedad —creaci´on de funciones continuas— puede usarse para caracterizar la normalidad. Tenemos el siguiente lema —el cual es un teorema—.

160

Los axiomas de separaci´ on

Figura 11.4: Construcci´ on en el lema de Urysohn.

01

6

Teorema 11.35 (Lema de Urysohn). Un espacio (X, T) es normal si y solo si dado un par de subconjuntos A, B cerrados, disyuntos y no vac´ıos de X, existe u : X ! [0, 1] continua y tal que u(A) = 0, u(B) = 1.

-2

Demostraci´on. La ‘idea’ en la demostraci´on es brillante pero no por eso complicada; la funci´on u es obtenida como la u ´ltima (el l´ımite) de una sucesi´on de funciones escalonadas que al ir defini´endolas en una regi´on que se expande entre A y B c (figura 11.4) crecen gradualmente desde u(A) = 0 hasta u(B) = 1. Estas funciones en cada paso incrementan el n´ umero de escalones a fin de dejar una funci´on definida de manera continua con rango en [0, 1]. El n´ umero de escalones en cada paso est´a dado por una cadena enumerable de subconjuntos entre A y B c :

NO

A = A0 ✓ A1 ✓ . . . ✓ An ✓ . . . ✓ B c y la funci´on escalonada se define involucrando los ´ındices de cada Ai . Como queremos que Ai 1 nunca toque la frontera de Ai a fin de garantizar la construcci´on de los escalones, debemos garan1

✓ Ai y es aqu´ı donde de manera inductiva aplicamos la normalidad del

RU B

IA

tizar entonces que Ai espacio.

Figura 11.5: Un paso no permitido en la construcci´ on de las funciones escalonadas.

p En [0, 1] tomamos los n´ umeros racionales de la forma n , 0 < p < 2n donde p, n son enteros 2 positivos. Este conjunto de n´ umeros se llama fracciones di´ adicas —fracciones cuyo denominador es una potencia de 2— y lo denotamos por D. ⇢ 1 1 3 1 3 5 7 1 15 D= , , , , , , , ,..., ,... 2 4 4 8 8 8 8 16 16 es denso en [0, 1], pues se obtiene de dividir sucesivamente de dos en dos el intervalo [0, 1]; efectivamente, dado (a , a + ) para a 2 [0, 1] veamos que existe d 2 D con d 2 (a , a + ). Como

161

11.4 Lema de Urysohn o existencia de funciones

1 ! 0 existe una potencia q = 2N tal que 0 < 1/q < . Ya que 2n      1 1 2 2 3 q 2 q 1 q 1 [0, 1] = 1, [ , [ , [ ... [ , [ ,1 q q q q q q 1 q q h i existe m con a 2 mq , m+1 , luego mq  a  m+1 y como 1/q < entonces a < q q

m q

a 1.

6. Muestre que la esfera S n ✓ Rn+1 es conexa para n

1.

7. Muestre que el espacio de Sorgenfrey (R, J+ ) no es conexo.

01

6

8. Muestre que un espacio (X, T) es conexo si y solo si para todo A ✓ X, A 6= ; se tiene que F r(A) 6= ;.

-2

9. Dados un espacio (X, T) y A, B ✓ X con A un subespacio conexo, muestre que si A \ B 6= ; 6= A \ B c entonces A \ F r(B) 6= ;. Esta propiedad se conoce con el nombre de teorema del paso de aduana. 10. Revise el corolario 12.16 y de topolog´ıas para R de tal manera que exista una funci´on f continua y su grafo no sea un solo trazo.

NO

11. Sea (X, T) conexo y R una relaci´on de equivalencia en X. Muestre que el espacio identificaci´on X/R es conexo. 12. Muestre que si n > 1 entonces Rn no es homeomorfo a R.

IA

13. Toda topolog´ıa por debajo de una conexa es conexa. Si (X, T) es conexo y H  T entonces (X, H) es conexo.

RU B

14. Los espacios finitos (no unitarios) conexos y T1 no existen. Muestre que si (X, T) es conexo y T1 entonces X es infinito o unitario.

12.2. Subespacios conexos maximales Un espacio no conexo obviamente puede tener subespacios conexos, y entre estos vamos a analizar aquellos que son maximales con respecto a la relaci´on de inclusi´on, lo cual nos brinda una manera natural de definir una partici´on del espacio, haciendo uso del concepto de conexidad. En otras palabras, vamos a definir una relaci´on de equivalencia. Definici´ on 12.21. Sean (X, T) un espacio y A un subespacio de X. Decimos que A es una componente conexa de X o un conexo maximal en X si A es conexo y no es subconjunto propio de alg´ un otro subespacio conexo de X. Como la adherencia de un conexo es de nuevo conexa (teorema 12.13) las componentes son subconjuntos cerrados del espacio, y cada punto x 2 X pertenece a una u ´nica componente: exactamente a la uni´on de todos los subespacios conexos que contienen el punto x. As´ı, el conjunto de las componentes conexas de un espacio X determina una partici´on de X. Si las componentes son u ´nicamente conjuntos unitarios tenemos la siguiente definici´on.

172

Conexidad

Definici´ on 12.22. Un espacio (X, T) se llama desconectado totalmente si las componentes conexas son los conjuntos unitarios {x}. Ejemplo 12.23. Cada espacio discreto es desconectado totalmente; pero existen espacios desconectados totalmente que no son discretos, por ejemplo X= {0} [ {1/n | n 2 N}, o X = Q (como subespacios de (R, usual)). Por supuesto todo espacio desconectado totalmente es T1 . M´as a´ un, cualquier subespacio contable de un espacio m´etrico es totalmente desconectado, y algunos no contables, como los irracionales I ✓ Ru .

1. Muestre que (R, [a, b)) es totalmente desconectado.

01

6

Ejercicios 12.2

-2

2. Muestre que las componentes conexas en un espacio X son conjuntos disyuntos no vac´ıos cuya reuni´on es X.

NO

3. Sea (X, T) un espacio. La relaci´on x ⌘ y si y solo si x, y pertenecen a la misma componente conexa es una relaci´on de equivalencia. 4. Sea (X, T) un espacio. Muestre que si X tiene finitas componentes conexas entonces, para cada x, la componente conexa que contiene a x es un aberrado. 5. Muestre que un espacio es conexo si y solo si posee una u ´nica componente conexa.

IA

6. Sea (Xi , Ti ), (i 2 I) una familia de espacios topol´ogicos. Dado un punto x = (xi ) en el espacio producto de esta familia, muestre que la componente conexa del punto x es igual al producto de las componentes conexas de cada xi .

RU B

7. Muestre que el n´ umero de componentes es un invariante topol´ogico. 8. Muestre que si A ✓ (X, T) es un subespacio conexo y adem´as aberrado entonces A es una componente conexa de X. 9. Si (X, T) es un espacio con la propiedad que: dado cualquier par de elementos x, y 2 X existe un subespacio conexo de X que los contiene entonces X es conexo.

12.3. El conjunto C de Cantor El siguiente espacio totalmente desconectado es uno de los espacios m´as patol´ogicos e interesantes que ha acompa˜ nado a la topolog´ıa desde sus inicios. Fue introducido independientemente por G. Cantor1 y por H. J. Smith en 1875; Cantor lo construy´o para resolver de manera afirmativa un problema que se hab´ıa planteado en el marco 1

Georg Cantor (San Petersburgo, 1845-Halle, 1918), matem´atico alem´an, inventor con Dedekind y Frege de la teor´ıa de conjuntos, que es la base de las matem´aticas modernas. Gracias a sus atrevidas investigaciones sobre los conjuntos infinitos fue el primero capaz de formalizar la noci´on de infinito bajo la forma de los n´ umeros transfinitos (cardinales y ordinales). Muri´ o en una cl´ınica psiqui´atrica de monjas, aquejado de una enfermedad man´ıaco-depresiva (la cual se le atribuye a su edad).

173

12.3 El conjunto C de Cantor

de la naciente topolog´ıa, a saber, si exist´ıa o no un subconjunto compacto no vac´ıo de R que fuera totalmente desconectado y denso en s´ı mismo. Posteriormente se demostr´o que todos los conjuntos con estas caracter´ısticas son topol´ogicamente equivalentes —homeomomorfos—. Hoy se conoce como el conjunto C de Cantor.

C es un subconjunto no contable del intervalo [0, 1]; exactamente consiste de todos los n´ umeros reales x que pueden ser representados de la forma x=

1 X

↵n 3

n

,

01

-2

donde ↵n 2 {0, 2} para cada n 2 N. Aunque hablamos del conjunto de Cantor, ´el lleva intr´ınsecamente la topolog´ıa de subespacio de (R, usual). La definici´on anterior hace que algunas veces se le llame conjunto tri´ adico o ternario de Cantor.

6

i=1

NO

En otras palabras, C es el conjunto de todos los n´ umeros x 2 [0, 1] cuya expansi´on x = 0.x1 x2 . . . xn . . . en la base 3 no utiliza el d´ıgito 1, esto es xi 6= 1 para todo i con lo que xi 2 {0, 2}. Debido a esta descripci´on un punto x 2 C es en la pr´actica un elemento x 2 {0, 2}N , x : N ! {0, 2} lo cual nos hace pensar en un producto cartesiano. Geom´etricamente puede describirse formando los siguientes subconjuntos An cerrados en [0, 1]:

IA

=[0, 1] =[0, 1/3] [ [2/3, 1] =[0, 1/9] [ [2/9, 1/3] [ [2/3, 7/9] [ [8/9, 1] =[0, 1/27] [ [2/27, 1/9] [ [2/9, 7/27] [ [8/27, 1/3] [ [2/3, 19/27][ [20/27, 7/9] [ [8/9, 25/27] [ [26/27, 1] ...

RU B

A0 A1 A2 A3

etc.; en general Ai+1 se obtiene de Ai removiendo la tercera parte en el medio de cada una de las componentes de Ai , con lo que \ C= Ai . i2N

N´otese que cada punto en los extremos de las componentes de los Ai pertenece a C. El conjunto de Cantor C puede ser entonces descrito como: j

1

1 3 [ 1 [ 3i + 1 3i + 2 C = [0, 1] \ ( j , ). 3 3j j=1 i=0

Tenemos as´ı dos definiciones para C, una en t´erminos de sucesiones y otra de manera constructiva y conjuntista. No es dif´ıcil ver la relaci´on entre estas dos definiciones si notamos que al construir A1 , cuando retiramos el intervalo (1/3, 2/3) lo que hacemos precisamente es eliminar todos los n´ umeros reales

174

Conexidad

A0 ............................................................................ .......................... A1 .......................... ......... ......... A2 ......... ......... .... .... .... .... A3 .... .... .... ... ... ... 2 9

1 9

0

1 3

2 3

7 9

8 9

1

6

Figura 12.4: Conjunto de Cantor.

01

en [0, 1] que requieren x1 = 1 en su desarrollo en base tres, i. e., los n´ umeros que empiezan por 0,1 (menos el 1/3 que tambi´en se puede escribir 0, 02222222222 . . . en base tres).

-2

Como segundo paso, en A2 retiramos los intervalos intermedios de [0, 1/3] y [2/3, 1] —los n´ umeros reales en [0, 1] que requieren x2 = 1 en su desarrollo tri´adico— eliminando as´ı el intervalo (1/3, 2/3) que corresponde a los n´ umeros que empiezan por 0,1 (menos el 1/3 que tambi´en se puede escribir 0, 02222... en base tres) y el intervalo (1/9, 2/9) que corresponde a los n´ umeros que empiezan por 0,01 y as´ı sucesivamente. Por ejemplo 14 = ,020202 . . ., 23 = ,2000 . . ., 1 = ,222 . . .

NO

Las dos presentaciones anteriores motivan la siguiente proposici´on. Q Proposici´ on 12.24. El conjunto C de Cantor es homeomorfo al espacio producto X = i2N Xi , donde Xi = ({0, 2}, discreta) para cada i. Este espacio se llama discontinuo de Cantor.

IA

Demostraci´on. Sea x 2 X, con x = (x1 , x2 , . . .) donde xn 2 {0, 2}. Definimos f:

Y i2N

Xi ! C

como

f (x) :=

1 X

xn 3

n

i=1

RU B

con lo cual f es una funci´on biyectiva. Para verificar la continuidad de f tomemos un x 2 X y por cada n 2 N consideremos Vx (n) := {q 2 X : qi = xi para i  n}

—los que coinciden con x en las primeras n-componentes—. Dado ✏ > 0, existe N 2 N tal que la serie ✓ ◆n 1 X 2 < ✏ 3 n=N +1 y por tanto si q 2 Vx (N ) entonces | f (x)

f (q) |=

1 X xi

n=N +1

qi 3n

✓ ◆n 1 X 2  < ✏ 3 n=N +1

esto es, f es continua. Como X es compacto y C es de Hausdor↵, entonces f

1

tambi´en es continua.

Por construcci´on C es cerrado y es compacto, pues es la intersecci´on de subconjuntos cerrados del espacio compacto [0, 1]. Luego es un espacio m´etrico completo y por tanto satisface todos los axiomas Ti de separaci´on.

175

12.3 El conjunto C de Cantor

Si µ es la funci´on de medida —longitud— en R, entonces C tiene “medida” 0 pues la medida de su complemento µ(C c ) con respecto a [0, 1] es la medida de la uni´on de las terceras partes medias, i. e., ✓ ◆ 1 1 X 1 2 4 8 2n 1 X 2n 1 1 + + + + ··· = = = = 1. 3 9 27 81 3n+1 3 n=0 3n 3 1 23 n=0 Pero como [0, 1] tiene tambi´en medida 1, entonces C tiene medida cero. As´ı que “el todo no es mayor que cada una de sus partes”.

6

C no tiene puntos aislados, es decir C ✓ C a , todo punto es de acumulaci´on de C mismo. Dado x 2 C, x es un punto de acumulaci´on de C {x} pues dado p 2 C cualquier abierto Up ✓ C contiene puntos de C distintos de p; por tanto, C es denso en s´ı mismo —X es denso en Y si Y ⇢ X—.

01

Pero de otra parte C es denso en ninguna parte con respecto a [0, 1] pues dados x, y 2 C con x < y, existe un intervalo J = (a, b) ✓ C c tal que x < a < b < y —mire la expansi´on binaria de los puntos x, y—, esto es, (C) = C = ;.

-2

C es tambi´en totalmente desconectado —dados x, y 2 X existe una separaci´on A, B de X tal que x 2 A, y 2 B— pues las componentes conexas de cada punto se reducen al propio punto.

NO

[0, 1] es una imagen continua de C. La funci´on f : C ! [0, 1] definida por ◆ 1 ✓ 1 X X 1 n f (x) = xn 2 para x = xn 3 n 2 i=1 i=1 es continua y sobreyectiva. Esto muestra que C no es contable.

RU B

IA

En general cualquier espacio m´etrico que sea compacto, totalmente desconectado, denso en s´ı mismo —todo punto sea de acumulaci´on—, es homeomorfo al conjunto de Cantor. As´ı que las anteriores propiedades topol´ogicas son una carta de presentaci´on para C, excepto por la forma disfrazada con que se presente el espacio homeomorfo. Pero en topolog´ıa el color no nos concierne. C es homeomorfo a C⇥C. Considere a f : C ! C⇥C definida como f ((a1 , a2 , a3 , ...), (b1 , b2 , b3 , ...)) := (a1 , b1 , a2 , b2 , a3 , b3 , ...).

Figura 12.5: Variaci´ on fractal en el conjunto de Cantor.

Como un u ´ltimo comentario, si al lector le incomoda la base 3, defina el conjunto de Cantor como los puntos de [0, 1] que tienen en su expansi´on decimal tan s´olo 0 o 9. ¿C´omo ser´a su representaci´on

K

176

Conexidad

gr´afica? ¡Int´entelo! En una frase final, C tiene una infinidad no enumerable de puntos pero ning´ un intervalo cabe en ´el, es denso en s´ı mismo pero tambi´en denso en ninguna parte y contiene muchos m´as puntos que los extremos de los intervalos en el proceso de construcci´on.

12.4. Conexidad local Casi de igual manera a como fue ‘localizado’ el concepto de compacidad podemos localizar la conexidad en un punto.

01

6

Definici´ on 12.25. Un espacio (X, T) es localmente conexo en el punto x 2 X si dada cualquier vecindad Ux existe una vecindad abierta y conexa Vx tal que x 2 Vx ✓ Ux . Si X es localmente conexo en cada punto decimos que es localmente conexo —cada punto posee un sistema fundamental de vecindades conexas—.

-2

......................................................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................................................

NO

Ejemplo 12.26. El siguiente espacio no es conexo localmente. Por cada entero positivo n definamos el segmento de recta An ✓ R2 como An = {(x, n1 ) : 0  x  1} y A0 = {(x, 0) : 0  x  1}. Sea X = A0 [([n=1 An ). Las componentes conexas de X son A0 , A1 , A2 , . . . Sabemos que A0 es cerrada, pero claramente no es abierta en X. Esto nos produce un ejemplo de un espacio cuyas componentes no necesitan ser abiertas.

...................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... . ......................................................................................................................................................................................................................

IA

El siguiente teorema muestra que para los espacios localmente conexos no se tiene la consecuencia del ejemplo 12.26. ¿Podr´a ser esta una justificaci´on para haberlos definido?

RU B

Teorema 12.27 (Caracterizaci´on). Un espacio (X, T) es localmente conexo si y solo si las componentes de cada subespacio abierto de X son abiertas.

Demostraci´on. Supongamos que X es localmente conexo y que C es una componente de un subconjunto U abierto. Dado c 2 C existe una Vc conexa y abierta —seg´ un X— tal que Vc ✓ U ; as´ı Vc ✓ C, pues C es maximal y por tanto C es abierta. En el otro sentido, dados x 2 X y Ux vecindad abierta de x, la componente conexa Vx de Ux que contiene a x es abierta y x 2 Vx ✓ Ux . Luego X es localmente conexo.

Corolario 12.28. Cualquier componente en un espacio localmente conexo es abierta y cerrada —aberrada—.

Demostraci´on. Considere a X como un subconjunto abierto de s´ı.

177

12.4 Conexidad local

Ejemplo 12.29. La curva seno del top´ologo. Es definida como la uni´on A [ B en R2 del grafo A de la funci´on sen x1 , (0 < x  1 ) con el segmento B de recta en el eje Y dado por los puntos ⇡ {(0, y) | 1 < y < 1} y un arco de circunferencia que une los extremos de la curva y la recta (ver figura 8.4). Este espacio es conexo pero no localmente conexo en cada uno de los puntos del segmento {(0, y) | 1 < y < 1}. Note que A = A [ B.

. ....... .... .. ... .... .... ...... .. .. ... . ... .... ...... ...... .. ... .. .. ... .... .... .. . ... ..... ... . ... ....... ...... ... ... ... ... ... .. ... ..... ...... ... ... ... .. .. ... ... . ... ...... ...... ... ... .. ... .... .. .. ...... ..... ... ... .. ... .. .. . ... ..... ..... .. .. . ... . ... .. ... ... ... ... ... ... .. . ... .... ... . ... ... ... .... ... ... ... ... ... .. ... .. .. ... .... ... ... ... .. ... ... . ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. ... .. ... .. ... ... .. ...... ....... ...... .. ... ... .... .... .... .. .. ... .. . ... ..... ...... ...... ... ... ... ... .. . . ... ... .. ....... ....... ........ ... .... ... ... .. ...... ...... ..... ... .... ... ... .. ...... ..... ...... ... .. ... .. ... ... .. ...... ..... ...... ... .. .. ... ... .. ... ... ... .. .. ... ... .. .... ... ... ... ... .... ... .. . .. .. .. .... .. .. ... ... . ... . . . ... ... ... ... ... ... ... ... .... . . . .... ... ..... ..... ...... ...... ....... ....... ......... .........................................

01

6

La imagen por una funci´on continua de un espacio localmente conexo no es en general localmente conexa; de lo contrario, todo espacio (X, T) ser´ıa localmente conexo, puesto que es imagen del espacio (X, discreta) por medio de la funci´on id´entica. El siguiente teorema nos da las condiciones necesarias (en particular muestra que la conexidad local es un invariante topol´ogico).

-2

Teorema 12.30. Sean (X, T), (Y, H) espacios con X localmente conexo y f : (X, T) ! (Y, H) una funci´on continua, cerrada (abierta) y sobre. Entonces Y es localmente conexo.

NO

Demostraci´on. Sea U 2 H y sea C una componente conexa de U . Por el teorema 12.27 debemos ver que C es abierta. Por cada x 2 f 1 (C) sea Cx la componente conexa de x en f 1 (U ). Sabemos que Cx es abierta y como f (x) 2 C el conjunto conexo f (Cx ) debe estar contenido en C. As´ı, [ f 1 (C) = {Cx : x 2 f 1 (C)} con lo que f 1 (C) es abierto. Como f es cerrada y sobre f (f 1 (C)c ) = C c , con lo cual C c es cerrado ya que f 1 (C)c es un cerrado; esto demuestra que C es abierta. Es un ejercicio demostrar el teorema con la hip´otesis de f abierta a cambio de cerrada.

RU B

IA

Ejemplo 12.31. Sean X = {0, 1, 2, . . .}, Y = {0, 1, 1/2, 1/3, . . .} con la topolog´ıa de subespacios de (R, usual). La funci´on f : X ! Y definida por f (0) = 0, f (n) = 1/n es una biyecci´on continua; pero X es localmente conexo mientras que Y no lo es, pues en el punto 0 se acumula el espacio, impidiendo as´ı tener vecindades conexas. Teorema 12.32. El producto finito de espacios localmente conexos es localmente conexo. Q Demostraci´on. Sean X1 , . . . , Xn espacios localmente conexos y X = Xi , (i = 1, . . . , n) el espacio producto. Sean x = (x1 , . . . , xn ) 2 X y U un abierto en X tal que x 2 U . Existe un abierto b´asico U1 ⇥ . . . ⇥ Un ✓ U conteniendo a x, y como cada Xi es localmente conexo, tomemos por cada i un Vi abierto y conexo tal que xi 2 Vi ✓ Ui . Entonces V = V1 ⇥ . . . ⇥ Vn es un abierto y conexo contenido en U y que tiene a x.

Ejercicios 12.4 1. Muestre el teorema 13.20 suponiendo que f es abierta a cambio de cerrada. 2. ¿Es necesaria en el teorema 13.21 la condici´on sobre el cardinal para el n´ umero de factores? 3. Sean X = {a, b, c, d}, T = {;, {a}, {a, b}, {a, b, c}, X}. ¿Es (X, T) un espacio conexo? ¿Localmente conexo?

178

Conexidad

4. Muestre que todo espacio finito es localmente conexo. 5. Muestre que ser localmente conexo no es una propiedad hereditaria. 6. Muestre que todo subespacio abierto de un espacio localmente conexo es localmente conexo. 7. Muestre que si un espacio tiene un n´ umero finito de componentes entonces cada componente es aberrada.

12.5. Conexidad por caminos

-2

NO

Ejemplo 12.33. La figura (un disco con una circunferencia exterior) es no conexa seg´ un este criterio ya que todo ‘camino’ que vaya de la circunferencia al disco, tiene que pasar por ‘fuera’ de las dos regiones —la regi´on comprendida entre ellas—. Claro que en este ejemplo el criterio de conexidad de Wierstrass y el que vimos en la secci´on anterior coinciden, pero no siempre es el caso.

01

6

La primera noci´on de ‘conexidad’ fue dada por K. Weierstrass2 , la cual en el contexto de R2 intuitivamente significa lo siguiente: un subconjunto M ✓ R2 es conexo si dos puntos cualesquiera de M pueden ser conectados por un camino que no se sale de M .

IA

Definici´ on 12.34. Un camino en un espacio X es una funci´on continua f : [0, 1] ! X. Si f (0) = a, f (1) = b, decimos que el camino tiene punto inicial en a y punto final en b. f conecta a con b.

RU B

El concepto de camino es mucho m´as sutil de lo que aparenta. En la mayor´ıa de los casos al camino lo identificamos con f ([0, 1]) y es en esta situaci´on cuando nos sorprende lo que pueda llegar a ser un camino. Jordan en 1877 y Peano en 1890 anunciaban la existencia de curvas capaces de llenar un cuadrado. ¿Se trataba de ‘monstruos’ desprovistos de utilidad? En un comienzo se crey´o as´ı, pero poco a poco se apropiaron, con justa raz´on y valor, de su propio derecho a existir y hoy en d´ıa los podr´ıamos ubicar como pioneros de la teor´ıa de los “fractales” de Mandelbrot. Cerremos este comentario evocando las palabras de Cantor a Dedekind, 20 junio de 1877: (ver figura 9.2 de la p´agina 113) “ ... lo veo pero no puedo creerlo... se trata de mostrar que las superficies, los vol´ umenes e incluso las variedades continuas de n dimensiones pueden ponerse en correspondencia un´ıvoca con curvas continuas, o sea con variedades de una sola dimensi´on, y que por consiguiente las superficies, los vol´ umenes y las variedades de n dimensiones tienen tambi´en la misma potencia que las curvas...”.

Definici´ on 12.35. Un espacio (X, T) es conexo por caminos si dados x, y 2 X, existe un camino f con punto inicial en x y punto final en y. Cada par de puntos en X puede ser unido por un camino. Ejemplo 12.36. Para cada n 2 N, Rnu es conexo por caminos. Ejemplo 12.37. Para cada n 2 N, la esfera S n es conexa por caminos.

179

12.5 Conexidad por caminos

Ejemplo 12.38. S = {0, 1} con la topolog´ıa de Sierpinski es conexo por caminos. f : [0, 1] ! S definida por f (t) = 0 si t 2 [0, 1) y f (1) = 1 es continua. El concepto de conexidad por caminos es m´as fuerte que el de conexidad. Teorema 12.39. Si (X, T) es conexo por caminos entonces es conexo. Demostraci´on. Sea a 2 X. Para cada x 2 X existe un camino ↵x : [0, 1] ! X que conecta a con x. ↵x ([0, 1]) ✓ X es conexo para cada x 2 X; adem´as, ↵x (0) = a = \x ↵x ([0, 1]) y por el lema 12.19 esto implica que X = [x ↵x ([0, 1]) es conexo.

6

Ejemplo 12.40. X = [0, 1] ⇥ [0, 1] con el orden lexicogr´afico es conexo pero no conexo por caminos.

-2

01

Si existe ↵ : [0; 1] ! X con ↵(0) = (0, 0), ↵(1) = (1, 1), ↵ tiene que pasar por todos los valores intermedios, esto es Im(↵) = X. Entonces para cada intervalo vertical Ux en X, Ux = ((x, 0), (x, 1)), ↵ 1 (Ux ) es un abierto no vac´ıo y podemos encontrar un intervalo abierto Ix ✓ [0, 1] tal que ↵(Ix ) ✓ Ux . Como los Ix son disjuntos, tenemos que [0, 1] contiene a una uni´on no numerable de intervalos disjuntos y esto es imposible. Producto de caminos

NO

En el conjunto C([0, 1], X) de los caminos sobre X —subconjunto de X I — introducimos una operaci´on interna ⇧ .

RU B

IA

Definici´ on 12.41 (multiplicaci´on de caminos). Dados un espacio X, y dos caminos f, g con f (1) = g(0), definimos un nuevo camino f ⇧ g: ( f (2t) si 0  t  1/2 f ⇧ g(t) := (12.1) g(2t 1) si 1/2  t  1.

.......... ......... ......... ......... ......... ........ . . . . . ... . .. . ........ ....... .. ...... ......................... .. . . . . . . . . .... . . . . ... . .... . . . . . .................................................. ...... ............ .. .. ..... ......... . . . .. .......... . ....... ... . . ...... . . ... ... ...... . . . . ... . ... ... . . ................. . . . ... ......... ..... .. ... ...... ... . ... .. . ... .. ... . . ... ... .... ... ..... .. .... ... .. .. .... ... .. ..... ... .. . ... ...................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ..... . . ........................ . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . ........................ ... ... ........................ ... . ...... .... ... ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ..................... . . . . ................ ....... ..... . . . . . . . . . .. ..... .. ...... ..... .............. . ....... ............. ....... . ..... ..... ............. ...... .. .............. .. ..... ... ............. . . . . . . .... .... . . . . ... .. . . ... ..... .................... .. .. .. .........................................................................................................................................................................................................................................................

0•

g

f

•

•1

............................................•....... ... ... ... ... ... ... ... ..•1.

• 0

1 2

Figura 12.6: En f ⇧ g los caminos f, g se recorren a doble velocidad.

B´asicamente, f ⇧ g consiste en poner un camino a continuaci´on del otro, pero para no gastar m´as tiempo en el recorrido (el tiempo es [0, 1]) cada uno de los caminos se recorre ahora a doble velocidad como en la ecuaci´on 12.1 (f (2t) y g(2t 1)).

180

Conexidad

f ⇧ g es continua, ya que f (2t) y g(2t 1) est´an definidas sobre los conjuntos cerrados [0, 1/2], [1/2, 1] y el conjunto donde coinciden es {1/2}, que es la intersecci´on de los dos intervalos cerrados (para t = 1/2 tenemos f (2 · 12 ) = f (1) = g(0) = g(2 · 12 1)).

RU B

IA

NO

-2

01

6

La demostraci´on de la continuidad se basa en el siguiente hecho sobre como extender un dominio para la continuidad.

181

12.5 Conexidad por caminos

Teorema 12.42 (Teorema del pegamiento de funciones). Si A, B son subconjuntos cerrados del espacio X y existen funciones continuas f : A ! Y , g : B ! Y sobre un espacio Y tales que f y g coinciden sobre la intersecci´ on A \ B, entonces podemos extender la continuidad a una funci´on H : A [ B ! Y definida de manera natural como h(x) = f (x) si x 2 A o h(x) = g(x) si x 2 B. Si f es un camino desde a hasta b en X, entonces existe el camino inverso fr (el reverso de f ) desde b hasta a dado por fr (t) = f (1 t); n´otese que fr tiene el mismo “lugar” de f , pero su direcci´on es la contraria. fr ⇧ f es entonces un camino cerrado —el punto inicial coincide con el punto final—. Por comodidad tambi´en notaremos fr = f r .

01

6

Ejemplo 12.43. Un espacio que es conexo, pero no conexo por caminos es la curva seno del top´ologo (p´ag. 177) puesto que no existe un camino que una al punto ( ⇡1 , 0) con (0, 0).

-2

Si existe un camino ↵ : [0, 1] ! X con ↵(0) = ( ⇡1 , 0) y ↵(1) = (0, 0), al ser ↵([0, 1]) conexo tenemos ↵([0, 1]) = X —¿por qu´e?—. Seleccionamos en [0, 1] una sucesi´on de puntos x1 < x2 < . . . con xn ! 0 y adem´as ↵(xn ) teniendo como segunda componente a 1 ´o 1 seg´ un que n sea par o impar. Por tanto ↵(xn ) no converge y ↵ no ser´ıa continua.

NO

Este ejemplo muestra que, contrario a la conexidad, la conexidad por caminos no pasa a la adherencia. Para obtener una condici´on, la cual garantice que los espacios conexos tambi´en sean conexos por caminos, debemos hacer local nuestra definici´on.

IA

Definici´ on 12.44. Un espacio (X, T) es localmente conexo por caminos si dados x 2 X y un abierto Ux existe un abierto V conexo por caminos —V considerado como subespacio— tal que x 2 V ✓ Ux .

RU B

Teorema 12.45. Si (X, T) es un espacio conexo y localmente conexo por caminos entonces X es conexo por caminos. Demostraci´on. Sea x 2 X y considere el conjunto A = {z 2 X | existe un camino de x a z}.

A es no vac´ıo y veamos que A es aberrado en X. Dado z 2 A, por ser X localmente conexo por caminos existe Vz ✓ X, Vz abierto y conexo por caminos; luego Vz est´a contenida en A y, as´ı, A es abierto. Para ver que Ac es abierto tomemos z 2 Ac y sea Wz una vecindad de z conexa por caminos. Si A \ Wz 6= ;, existe un punto w en la intersecci´on de tal manera que x se puede conectar por un camino con z, lo que contradice que z 2 Ac . As´ı Wz ✓ Ac , es decir Ac es abierto. Como X es conexo A = X, esto es, cada punto en X se puede conectar por medio de un camino con x, lo que implica que X es conexo por caminos. Corolario 12.46. Los subconjuntos conexos y abiertos de Rnu son conexos por caminos. Demostraci´on. Cada bola abierta es una vecindad conexa, lo cual produce un sistema fundamental de vecindades conexas.

182

Conexidad

Definici´ on 12.47. Un espacio (X, T) compacto, conexo y Hausdor↵ es llamado un continuo. Ejemplo 12.48. Cada subconjunto cerrado, acotado y conexo de Rn es un continuo. Ejemplo 12.49. La uni´on de dos continuos que se interceptan es un continuo. Por la definici´on misma, ser continuo es un invariante topol´ogico. Definici´ on 12.50. Un espacio m´etrico (X, d) continuo y localmente conexo se llama un continuo de Peano.

6

Definici´ on 12.51. Un arco en un espacio (X, T) es una inmersi´on f : [0, 1] ! X con I ⇡ f (X) homeomorfos.

-2

01

Esta definici´on, de sencillez aparente, esconde formas inimaginables; H. Mazurkiewicz demostr´o en 1913 que todo continuo de Peano es una imagen continua del arco I = [0, 1]. Por tanto, existe una funci´on continua y sobreyectiva de I en el cubo n-dimensional o, a´ un m´as asombroso, de I sobre el cubo de Hilbert. El descubrimiento hecho por Peano en 1890 de que I pod´ıa ser enviado de manera continua sobre todo el cuadrado unidad cre´o (como ya dijimos pero insistimos en repetir) un estremecimiento en el mundo matem´atico de la ´epoca —en otros mundos nadie dijo nada—. Aunque no demostraremos este hecho, a cambio damos un ejemplo universal, motivo de la portada de este texto.

NO

Ejemplo 12.52. La curva universal o esponja de Menger. Este es un continuo de Peano de dimensi´on uno con la propiedad que cada continuo 1-dimensional puede ser inmerso en ella. La construcci´on se basa en el procedimiento de Cantor o en las llamadas carpetas de Sierpinski.

RU B

IA

Comenzamos con el cubo unidad, dividimos cada una de sus caras en nueve cuadrados iguales; hacemos un agujero a trav´es del interior de los cuadrados centrales y extraemos hacia el interior del cubo (ver figura 12.7). Esta extracci´on nos produce a M1 formado por 20 nuevos cubos. En cada uno de ellos, procedemos como en el paso anterior y obtenemos a M2 formando 400 nuevos cubos, etc. En la sexta iteraci´on M6 tenemos 64.000.000 cubos. T La esponja es quien est´a al final del proceso, i. e., es el objeto l´ımite dado por la intersecci´on n Mn .

Ejercicios 12.5

1. Muestre que la conexidad por caminos es preservada por las funciones continuas. 2. D´e un ejemplo en R2 que muestre la necesidad de ser abierto en las hip´otesis del corolario anterior. 3. Muestre que el producto finito de espacios es conexo por caminos si y solo si cada factor lo es. ¿Es necesario que el producto sea finito? 4. En oposici´on al concepto de conexidad, de un ejemplo de un A ✓ R2 que sea conexo por caminos pero su adherencia no lo sea.

183

RU B

IA

NO

-2

01

6

12.5 Conexidad por caminos

Figura 12.7: La curva universal o esponja de Menger.

184

RU B

IA

NO

-2

01

6

Conexidad

Figura 12.8: Dentro de Menger.

topolog´ıa orden

continuo lineal

buen-orden topolog´ıa

desconectado totalmente

regular+ 2-countable

conexo localmente

IA -2 conexo por caminos

conexo

NO

normal

completamente normal

metrizable

01

6

T1

Hausdor↵

regular

completamente regular

Hausdor↵ compacto loc.

compacto+Hausdor↵

lema de la sucesi´ on

1-contable

+metrizable

compacto loc.

2-contable

compacto

+metrizable

w-compacto

+metrizable

Lindel¨ of

+metrizable

separable

RU B +1-contable+T1

compacto por sucesiones

12.5 Conexidad por caminos

185

Figura 12.9: Relaciones entre espacios.

Bibliograf´ıa [1] Armstrong, M. A., Basic Topology, UTM Series, SpringerVerlag, Berlin Heidelberg New York, 1997. [2] Crossley, M. D., Essential Topology, Series: Springer Undergraduate Mathematics Series, SpringerVerlag, Berlin Heidelberg New York, 2005.

6

Uno de los t´ıtulos m´as recientes como texto introductorio.

01

[3] Christenson, C., Voxman W., Aspects of Topology Series: Pure and applied Mathematics, M. Dekker, New York, 1977.

-2

Un texto con material para dos semestres con una colecci´on excelente de ejercicios. Se puede leer una y otra vez... Una primera parte en topolog´ıa de conjuntos y una segunda en topolog´ıa algebraica con un tratamiento especial en teor´ıa simplicial y sistemas inversos. [4] Dugundji, J., Topology, Allyn and Bacon, Boston, 1966.

NO

“... Dugundji’s book is short, modern, and impeccable. It covers every topic an undergraduate should know and even more. It is still useful for me after years of use. It exposes all important concepts of set topology and gives a short but focused introduction to algebraic topology...”. [5] Gamelin, T. W., Greene, R. E., Introduction to Topology, second edition, Dover Publ., Inc., Mineola, NY, 1999.

IA

[6] Garc´ıa Marrero, M., Topolog´ıa, Alhambra, Madrid, 5 vols. 1975. Un esfuerzo enciclop´edico que consta de cinco vol´ umenes. [7] J¨anich, K., Topology. Springer, 1984.

RU B

¡Este hermoso libro debe ser le´ıdo ya! Contenido: Introduction - Fundamental Concepts - Topological Vector Spaces - The Quotient Topology - Completion of Metric Spaces - Homotopy - The Two Countability Axioms - CW-Complexes - Construction of Continuous Functions on Topological Spaces - Covering Spaces - The Theorem of Tychono↵ - Set Theory (by T. Br—cker) - References - Table of Symbols -Index. [8] Hrbacek, K., Jech, T., Introduction to set theory, Monographs and Textbooks in Pure and Applied Series, vol. 220, Marcel Dekker, New York, NY, 1999. Este es uno de los pocos libros s´ olidos en la moderna teor´ıa de conjuntos. Curiosamente su primer intento de publicaci´on, por parte de sus autores checos, fue fallido. [9] Komj´ath, P., Totik, V., Ultrafilters, American Mathematical Monthly, 115 (2008), 33-44. Una excelente introducci´ on l´ udica al concepto de ultrafiltro. [10] Lefschetz, S., Topology, AMS Coll. Publ. 12, Providence, RI, 1930. Como dice el autor, “se trata de un libro-texto de car´acter introductorio, sin pretensiones de ser una obra de referencia”. [11] http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/ MacTutor History of Mathematics Archive, donde han sido consultadas varias referencias hist´ oricas.

186

BIBLIOGRAF´IA

187

[12] Munkres, James R., Topology: a first course, second edition, Prentice Hall, Inc., Englewood Cli↵s, NJ, 1999. 514 M966top 21. Deber´ıa ser el texto gu´ıa en muchos cursos. Como material introductorio a la topolog´ıa general es mi favorito. [13] Steen, L. A., Seebach, J. A., Counterexamples in Topology, Dover Publ. Inc., Mineola, NY, 1995. Una referencia obligada. [14] Vassiliev, V. A., Introduction to Topology (Student Mathematical Library, V. 14), A. Sossinski (translator), American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. [15] Viro, O. et alt., Elementary Topology, a first course, 2005.

01

[16] Prasolov, V., Intuitive Topology, American Mathematical Society 1995.

6

Puede y debe consultarse en: http://www.math.uu.se/˜oleg/2topoman.pdf

RU B

IA

NO

-2

[17] http://es.wikipedia.org/ Donde han sido consultadas varias referencias hist´oricas.