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Topolog´ıa Algebraica: Una introducci´ on Sergio Plaza1 Semestre de Primavera 2010

1

Depto. de Matem´atica, Facultad de Ciencias, Universidad de Santiago de Chile,

Casilla 307–Correo 2. Santiago, Chile. e–mail [email protected], Homepage http://fermat.usach.cl/˜dinamicos/SPlaza.html

Contenidos 1

Espacios Topol´ ogicos Usuales

1

1.1

Espacio Euclideano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

El disco unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3

Esfera Unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.4

Producto de Discos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.5

Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.6

Disco cerrado como espacio cuociente . . . . . . . . . . . . . .

3

1.7

Suma topol´ ogica de espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.8

Espacios Lenticulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.9

Espacios Lenticulares Generalizados . . . . . . . . . . . . . .

6

1.10 Toros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.11 Espacio Proyectivo Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.12 Espacio Proyectivo Complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.13 Grupos Cl´ asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.14 Acci´ on de Grupos sobre Espacios Topol´ ogicos . . . . . . . . .

14

1.14.1 Ejemplos de acciones de grupos topol´ ogicos . . . . . .

15

1.15 Espacios Homog´eneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.16 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2 Homotop´ıa

21

2.1

Homotop´ıa de Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2

Espacios Contractibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

i

ii 2.3

Retractos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.4

Homotop´ıa y Extensi´ on de Aplicaciones . . . . . . . . . . . .

39

3 Grupo Fundamental

42

3.1

Producto de Caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

3.2

Grupo Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.3

Dependencia del grupo fundamental respecto del punto base .

49

3.4

Homomorfimo inducido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

3.5

Grupo fundamental de grupos topol´ ogicos . . . . . . . . . . .

57

4 Teorema de Seifert – van Kampen

60

4.1

C´ alculo del grupo fundamenetal de algunos espacios . . . . .

67

4.2

Grupo fundamental de superficies . . . . . . . . . . . . . . . .

69

5 Grupo fundamental del c´ırculo

73

5.1

Aplicaciones del grupo fundamental de c´ırculo . . . . . . . . .

78

5.2

Grupo fundamental de algunos grupos cl´ asicos

80

. . . . . . . .

6 Espacios de recubrimiento

85

7 Grupo fundamental y espacios de recubrimiento

93

7.1

Grupo fundamental de un espacio de ´ orbitas . . . . . . . . . .

8 Existencia de Levantamientos 9

Recubrimiento Universal 9.1

94 97 106

Condici´ on necesaria para existencia del recubrimiento universal106

10 Ejercicios parte 1

111

11 Grupos de Homolog´ıa de Complejos Simpliciales

129

11.1 Simplices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 11.2 Complejos simpliciales y poliedros . . . . . . . . . . . . . . . 130 11.3 Homolog´ıa simplicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

iii 11.4 Grupo de cadenas, grupo de ciclos y grupo de bordes . . . . 132 11.4.1 Operador borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 11.4.2 Significado geom´etrico de r–ciclo y r–borde . . . . . 136 11.5 Grupos de homolog´ıa simplicial . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 11.6 Ejemplos de c´ alculo de homolog´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . 139 11.7 Conexidad y grupos de homolog´ıa

. . . . . . . . . . . . . . . 151

11.8 Estructuras de los grupos de homolog´ıa . . . . . . . . . . . . 152 11.9 N´ umeros de Betti y el teorema de Euler–Poincar´e . . . . . . . 153 12 Homolog´ıa Singular

156

12.1 Homolog´ıa 0–dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 12.2 Relaci´ on entre π1 (X) y H1 (X, Z) . . . . . . . . . . . . . . . 161 12.3 Homomorfismo inducido en homolog´ıa singular . . . . . . . . 165 12.4 Homolog´ıa reducida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 12.5 Axioma de homotop´ıa para homolog´ıa singular . . . . . . . . 167 12.6 Homolog´ıa relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 12.7 Homomorfismo inducido en homolog´ıa reducida . . . . . . . . 172 12.8 Teorema de excisi´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 12.9 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 12.10F´ ormula de K¨ unneth para homolog´ıa singular . . . . . . . . . 180 12.11Sucesi´ on de Mayer–Vietoris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 12.12Sucesi´ on de Mayer-Vietoris para homolog´ıa reducida . . . . . 182 13 Homolog´ıa de algunos espacios

184

13.1 Complejos esf´ericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 13.1.1 Espacio adjunci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 14 Homolog´ıa de suspensi´ on, cilindro y cono

195

14.1 Espacio suspensi´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 14.2 Cilindro de una aplicaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 14.3 Cono de una aplicaci´ on

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

14.4 Sucesi´ on de homolog´ıa de Puppe . . . . . . . . . . . . . . . . 203

iv 15 N´ umeros de Betti y caracter´ıstica de Euler–Poincar´ e

205

16 Orientaci´ on en Variedades

208

17 Cohomolog´ıa singular

213

18 Productos cup y cap

218

18.0.1 Producto cap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 19 Grupos de homotop´ıa de orden superior

222

Cap´ıtulo 1

Espacios Topol´ ogicos Usuales En este cap´ıtulo describimos algunos espacios topol´ogicos que seran de uso corriente en las notas. Comenzamos con los m´as simples.

1.1

Espacio Euclideano

El primer y m´as usual espacio que conocemos es el espacion euclideano que es definido como Rn = {(x1 , x2 , . . . , xn ) : xi ∈ R} = R × R × · · · × R | {z }

(1.1)

Cn = C × C × · · · × C {z } |

(1.2)

n copias

De modo an´alogo se define el espacio complejo Cn , es decir,

n copias

En el texto, en muchas ocaciones necesitamos identificar Rn (resp. Cn ) con el subespacio de Rm (resp. de Cm ), donde n < m . Esto lo hacemos de la siguiente forma Rn = {(x1 , . . . , xn , xn+1 , . . . , xm ) ∈ Rm : xn+1 = · · · = xm = 0} (resp. Cn = {(z1 , . . . , zn , zn+1 , . . . , zm ) ∈ Cm : zn+1 = · · · = zm = 0}.)

1

2

Sergio Plaza Usamos la notaci´on Rn ֒→ Rm (resp.

Cn ֒→ Cm ) para la identificaci´on

anterior. Observaci´ on Para n = 0 , el espacio R0 se reduce s´olo al origen, es decir, R0 = {0} .

Para x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , se define la norma euclideana denotada por ||x|| ,

est´a es la m´as la usual, es decir,

||(x1 , . . . , xn )|| = (x21 + · · · + x2n )1/2 .

1.2

(1.3)

El disco unitario

El disco unitario en Rn es definido por Dn = {x ∈ Rn : ||x|| < 1} ,

(1.4)

donde Para n > 1 , se tiene que Dn = f −1 ( ] − ∞, 1[ ) , donde f : Rn −→ R es definida por f (x) = ||x||2 .

El disco unitario cerrado es definido por D

1.3

n

= {x ∈ Rn : ||x|| 6 1} = f −1 ( ] − ∞, 1] ) ,

Esfera Unitaria

La esfera unitaria Sn en Rn+1 es definida por Sn = {x ∈ Rn : ||x|| = 1} .

(1.5)

3

Sergio Plaza

Definamos f : Rn+1 −→ R por f (x) = ||x||2 − 1 , tenemos entonces que

Sn = f −1 (0) .

1.4

Producto de Discos

La aplicaci´on h : Dp × Dq −→ Dp+q definida por  ||y||   p (x, y)   2 + ||y||2  ||x||       ||x|| h(x, y) = p (x, y)   ||x||2 + ||y||2          0

0 < ||x|| 6 ||y|| 0 < ||y|| 6 ||x|| x=y=0

es un homeomorfismo. El lector puede describir una forma geom´etrica de obtener esta f´ormula.

1.5

Cilindro

El cilindro n–dimensional C n es el producto C = Sn−1 × R .

Para cada n > 1 , el espacio euclideano agujereado, Rn − {0} , es homeo-

morfo (difeomorfo) al cilindro n–dimensional C n . Para verlo, definimos el homeomorfismo (difeomorfismo C ∞ ) es f : Rn − {0} −→ Sn−1 × R por f (x) =   1 −1 : Sn−1 × R −→ Rn − {0} es definido por ||x|| x, log(||x||) . Su inverso f f −1 (y, t) = et y .

1.6

Disco cerrado como espacio cuociente

El disco cerrado D

n

puede ser visto como un espacio cuociente, es decir, homeo-

morfo a un espacio cuociente. Por ejemplo, si en el espacio producto Sn−1 × I identificando el subespacio n

Sn−1 × {0} a un punto, digamos 0 ∈ D , entonces D

n

es homeomorfo al espacio

cuociente descrito. Para verlo, consideremos la aplicaci´on q : Sn−1 × I −→ D

n

definida por q(x, t) = tx . Es f´ acil ver que la aplicaci´on q es continua y sobreyectiva. Adem´as, satisface q(x, t) = q(x′ , t′ ) si y s´olo si t = t′ = 0 y x 6= 0 o x = x′ . Luego,

4

Sergio Plaza n

q induce una aplicaci´on continua y biyectiva q¯ : Sn−1 × I/Sn−1 × {0} −→ D , tal

que el siguiente diagrama es conmutativo. Sn−1 × I c

π

q

D

n

q¯

X = Sn−1 × I/Sn−1 × {0} donde π : Sn−1 × I −→ Sn−1 × I/Sn−1 × {0} es la aplicaci´on couciente. Ahora, como Sn−1 × I/Sn−1 × {0} es compacto y D

n

es Hausdorff se sigue que q¯ es un

homeomorfismo.

1.7

Suma topol´ ogica de espacio

Sean X e Y dos espacios topol´ogicos. La suma topol´ ogica de X con Y , denotada por X ∨ Y , es definida como la uni´on disjunta de dos replicas de X e Y , respec-

tivamente. La topolog´ıa es dada como sigue. Un conjunto V ⊂ X ∨ Y es abierto si, y s´olo si, V ∩ X es abierto en X y V ∩ Y es abierto en Y .

Si f : A ⊂ X −→ Y es una aplicaci´on continua. Podemos “pegar” X e

Y con respecto a f , esto es, introducimos la relaci´on de equivalencia “∼” sobre X ∨ Y , por

(

x∼y

x1 ∼ x2

si x ∈ A , y ∈ Y y f (x) = y

si x1 , x2 ∈ A y f (x1 ) = f (x2 ) .

El espacio cuociente X ∨ Y / ∼ es denotado por X ∪f,A Y . En particular si

A = {x0 } ⊂ X y f : X −→ Y es continua y f (x0 ) = y0 , entonces X ∪f,{x0 } Y es

denotado por X ∪x0 ,y0 Y , y es llamado el wedge (=cu˜ na) de los espacios X e Y . n

Proposici´ on 1.1 La esfera unitaria Sn ⊂ Rn+1 (n > 1) es homeomorfa a D ∪i,Sn−1 n

D , donde i : Sn−1 −→ Sn−1 es la aplicaci´ on identidad.

Demostraci´ on. Definamos los espacios B1 = {(x1 , . . . , xn+1 ) ∈ Sn : xn+1 > 0}

y B2 = {(x1 , . . . , xn+1 ) ∈ Sn : xn+1 6 0} . Tenemos que B1 ∪ B2 = Sn y

B1 ∩ B2 = Sn−1 (ecuador de Sn ).

5

Sergio Plaza

Es claro que la proyecci´on (x1 , . . . , xn+1 ) −→ (x1 , . . . , xn ) determina un n

homeomorfismo desde B1 (resp. desde B2 ) sobre el disco unitario cerrado D . Ahora, esa proyecci´on es la identidad sobre Sn−1 . El espacio D

n

por lo tanto homeomorfo a S . n

∪i,Sn−1 D

n

es

n

Proposici´ on 1.2 La esfera unitaria Sn es homeomorfa al espacio cuociente D / ∼ , donde Sn−1 = ∂D

n

∼ ∗ (∗ un punto).

Demostraci´ on. Sean B1 = {x ∈ D

n

: ||x|| 6 1/2} y B2 = {x ∈ D

||x|| 6 1} . Tenemos que B1 es homeomorfo a D

Sn−1 × I . Sea q : D

n

n

n

n

: 1/2 6

y B2 es homeomorfo al espacio

n

−→ D / ∼= D /Sn−1 la proyecci´on. Tenemos

n

a) D /Sn−1 es un espacio compacto, uni´on de q(B1 ) y q(B2 ) . n

n

n

n

b) q(B1 ) es un conjunto cerrado en D /Sn−1 , homeomorfo a D . c) q(B2 ) es un conjunto cerrado en D /Sn−1 , homeomorfo a D . d) q(B1 ) ∩ q(B2 ) es homeomorfo a Sn−1 . n

Luego, D /Sn−1 es homeomorfo a Sn . Por ejemplo, tenemos que si f : Sn−1 = ∂D n

n−1

D /S

≈D

n

n

n

−→ {∗} (∗ un punto) entonces

∪f,Sn−1 {∗} ≈ S . (Aqu´ı ≈ significa homeomorfo a.) 2

Tenemos tambi´en que S1 = [0, 1]/0 ∼ 1 y S2 = D /S1

p

Proposici´ on 1.3 La esfera unitaria Sn (n > 1) es homeomorfa a D ×Sq ∪i,Sp−1 ×Sq

Sp−1 × D

q+1

∂(Sp−1 × D

p

, donde p + q = n e i : Sp−1 × Sq = ∂(D × Sq ) −→ Sp−1 × Sq =

q+1

) es la aplicaci´ on identidad.

Demostraci´ on. Sean B1 = {(x1 , . . . , xn+1 ) ∈ Sn : x21 + · · · + x2p 6 1/2} y B2 = {(x1 , . . . , xn+1 ) ∈ Sn : x21 + · · · + x2p > 1/2} . Tenemos que B1 ∪ B2 = Sn y

B1 ∩ B2 = {(x1 , . . . , xn+1 ) ∈ Sn : x21 + · · · + x2p = 1/2} = Sp−1 × Sq . La aplicaci´on p

h : B1 −→ D × Sq definida por 

 √ √ xp+1 xn+1  h(x1 , . . . , xn+1 ) =  2 x1 , . . . , 2 xp , q ,..., q P P 2 1 − i6p xi 1 − i6p x2i

6

Sergio Plaza q+1

es un homeomorfismo, y la aplicaci´on k : B2 −→ Sp−1 × D definida por   √ √ x x 1 p k(x1 , . . . , xn+1 ) =  q ,..., q , 2 xp+1 , . . . , 2 xn+1  P P 1 − i>p+1 x2i 1 − i>p+1 x2i tambi´en es un homeomorfismo. Las aplicaciones h y k satisfacen k ◦ h−1 es la

identidad sobre Sp−1 × Sq . Lo cual concluye la prueba. 2

Por ejemplo, S3 = D × S1 ∪ S1 × D

2

es la descomposici´on de S3 como la

uni´on de dos toros s´olidos pegados por el borde T2 = S1 × S1

Figura.

1.8

Espacios Lenticulares

Sea S2n+1 = {z = (z1 , . . . , zn+1 ) ∈ Cn+1 : ||z|| =

Pn+1 j=1

||zj ||2 = 1} la esfera

unitaria de dimensi´on 2n + 1 y sea λ una ra´ız primitiva p–´esima de la unidad,

es decir, λ ∈ S1 y λp = 1 . El grupo Zp act´ ua de modo propiamente discontinuo y libre sobre S2n+1 mediante la acci´on Θ : Zp × S2n+1 −→ S2n+1 dada

por Θ(r, (z1 , . . . , zn+1 )) = (λr z1 , . . . , λr zn+1 ) . El espacio de ´orbitas, L2n+1 = p S2n+1 /Zp es una variedad conexa de dimensi´on 2n + 1 , llamada el espacio lenticular de dimensi´on 2n + 1 y grupo Zp .

1.9

Espacios Lenticulares Generalizados

Consideremos un subgrupo finito de S1 . Es sabido que estos subgrupos son ciclicos e isomorfos a Zk (aditivo) para alg´ un k . Un tal grupo Zk act´ ua sobre C , con la acci´on dada por z −→ e2πi

kj −1 k

z , donde kj es entero con 0 6 kj 6 k . Luego,

7

Sergio Plaza existe una acci´on de Zk sobre Cn+1 y sobre S2n+1 , esta es dada por   (z1 , . . . , zn+1 ) → e2πi1/k z1 , e2πik1 /k z2 , . . . , e2πikn /k zn+1 .

Esta acci´on es propiamente discontinua y libre cuando kj y k son coprimos

(j = 1, . . . , n). El espacio cuociente S2n+1 /Zk es llamado espacio lenticular generalizado, y es denotado por L(k, k1 , . . . , kn ) . Cuando n = 1 reobtenemos el espacio lenticular L(k, k1 ) .

1.10

Toros

El toro n–dimensional, Tn , es la variedad Tn = S1 × · · · × S1 . | {z } n−veces

Proposici´ on 1.4 El toro n–dimensional Tn es homeomorfo al espacio cuociente Rn /Zn , donde la acci´ on de Zn sobre Rn es dada por Θ : Zn × Rn −→ Rn ,

Θ((m1 , . . . , mn ), (x1 , . . . , xn )) = (x1 + m1 , . . . , xn + mn ) .

Demostraci´ on. Sea π : Rn −→ Rn /Zn la proyecci´on can´onica. Definamos f :

Rn −→ Tn por f (x1 , . . . , xn ) = (exp(2πix1 ), . . . , exp(2πixn )) . Tenemos que f es continua y sobreyectiva. Definamos f¯ : Rn /Zn −→ Tn por f¯([(x1 , . . . , xn )]) = f (x1 , . . . , xn ) . Ahora es f´acil verificar que f¯ es una biyecci´on continua. Como Rn /Zn es compacto y Tn es Hausdorff, se sigue que f¯ es homeomorfismo. f

Rn

c π

Tn

f¯

Rn /Zn

1.11

Espacio Proyectivo Real

El grupo multiplicativo R∗ = R−{0} act´ ua de modo propiamente discontinuo sobre Rn+1 − {0} por las homotecias x −→ tx , donde t ∈ R∗ . El espacio de ´orbitas

8

Sergio Plaza

Rn+1 − {0}/R∗ puede ser interpretado como el conjunto de las rectas pasando a trav´es del origen en Rn+1 . El espacio proyectivo n–dimensional es el espacio de orbitas de la acci´on de R∗ sobre Rn+1 − {0} dadas por las homotecias. ´

Sea R la relaci´on de equivalencia sobre Rn+1 − {0} asociada a la acci´on de

R∗ anterior. La relaci´on R sobre Sn ⊂ Rn+1 − {0} puede ser interpretada como la relaci´on de equivalencia asociada a la acci´on del grupo Z2 = {1, −1} sobre Sn dada por (±1, x) −→ ±x .

Proposici´ on 1.5 La inclusi´ on can´ onica i : Sn ֒→ Rn+1 − {0} induce un homeomorfismo ¯i : Sn /Z2 −→ RPn . Demostraci´ on. Basta ver que el siguiente diagrama conmuta.

i

Sn

Rn+1 − {0} c

π1

Sn /Z2

¯i

π

RPn

Complete los detalles de la prueba. Teorema 1.1 RPn es una variedad compacta y conexa de dimensi´ on n . Demostraci´ on. Ver Notas de Cursos de Variedades Diferenciables. Proposici´ on 1.6 El espacio proyectivo RPn es homeomorfo al espacio cuociente de D

n

identificando antipodalmente los puntos de Sn−1 = ∂D

ficamos x con −x , para todo x ∈ S

n−1

n

(es decir, identi-

).

Demostraci´ on. F´acil y se deja a cargo del lector. Tenemos que RP0 es un punto, y RP1 es homeomorfo a S1 . Para mostrar esto u ´ltimo consideremos la aplicaci´on f : S1 −→ S1 dada por f (z) = z 2 , y definamos f¯ : S1 /(z ∼ −z) −→ S1 por f¯(π(z)) = f (z) , es f´acil ver que f¯ es una

9

Sergio Plaza

biyecci´on continua, como S1 /z ∼ −z es compacto y S1 es Hausdorff se sigue el resultado.

f

S1

S1

c

π

f¯

S1 /(z ∼ −z)

Para n < m la inclusi´on can´onica i : Sn ֒→ Sm induce un homeomorfismo desde RPn sobre un subespacio cerrado de RPm , el cual identificamos con Rn .

−x

x∼y

•

•

−1

1

x

Finalmente, identificando 1 ∼ −1 se obtiene S1 . Proposici´ on 1.7 Sea q : Sn−1 = ∂D

n

tonces RPn es homeomorfo al espacio D

−→ RPn−1 la proyecci´ on can´ onica. Enn

∪q,Sn−1 RPn−1 .

Demostraci´ on. F´acil y se deja cargo del lector. Corolario 1.1 El complemento de RPn−1 en RPn es homeomorfo a D n .

10

Sergio Plaza

Usando el corolario anterior, tenemos la siguiente manera de visualizar el plano proyectivo 2–dimensional, ´esta es como sigue. Dentro del espacio R3 considere una banda de M¨obius M 2 , con borde incluido, tenemos que ∂M = S1 . Ahora considere R3 ⊂ R4 , y eliga un punto w fuera del hiperplano R3 . Una cada punto del borde de la banda de M¨obius con w a trav´es una linea recta. El espacio obtenido es el plano proyectivo incrustado en R4 .

1.12

Espacio Proyectivo Complejo

El grupo multiplicativo C∗ = C−{0} act´ ua de modo propiamente discontinuo sobre Cn+1 − {0} por las homotecias z −→ λz . El espacio de ´orbitas Cn+1 − {0}/C∗

puede ser interpretado como el conjunto de las rectas complejas, es decir, planos reales 2–dimensionales, pasando a trav´es del origen en Cn+1 . El espacio proyectivo complejo de dimensi´on n , CPn es el espacio de ´orbitas Cn+1 − {0}/C∗ .

Sea R la relaci´on de equivalencia sobre Cn+1 − {0} inducida por la acci´on de

C∗ . La restricci´on de R a S2n+1 puede ser interpretada como la relaci´on de equivalencia asociada a S1 sobre S2n+1 , dada por (λ, (z1 , . . . , zn+1 )) −→ (λz1 , . . . , λzn+1 ) ,

donde λ ∈ S1 ⊂ C .

Proposici´ on 1.8 La inclusi´ on can´ onica i : S2n+1 ֒→ Cn+1 − {0} induce un homeomorfismo ¯i : S2n+1 /S1 −→ CPn . Demostraci´ on. F´acil y se deja a cargo del lector. Proposici´ on 1.9 Sea q : S2n−1 = ∂D

2n

−→ CPn−1 la proyecci´ on can´ onica (en 2n

este caso, llamada fibraci´ on de Hopf ). Entonces CPn es homeomorfo a D ∪q,S 2n−1

CPn−1 .

Demostraci´ on. Sea f : D

2n

−→ CPn la aplicaci´on definida por f (z1 , . . . , zn ) =

[(z1 , . . . , zn , 1 − ||(z1 , . . . , zn )||)] . Sea i : CPn−1 ֒→ CPn la inclusi´on can´onica. La

aplicaci´on h : CPn−1 ∪ D D

2n

2n

−→ CPn , igual a i sobre CPn−1 e igual a f sobre

induce un homeomorfismo desde CPn−1 ∪q,S2n−1 D

2n

en CPn .

Corolario 1.2 El complemento de CPn−1 en CPn es homeomorfo a R2n . Corolario 1.3 CP1 es homeomorfo a S2 .

11

Sergio Plaza

Demostraci´ on. Como CP0 es un punto y CP1 es homeomorfo al espacio cuociente de D

2

identificando su borde a un punto, se tiene lo pedido.

1.13

Grupos Cl´ asicos

Denotemos por M(n, C) el ´ algebra compleja de dimensi´on n2 de las matrices cuadradas de orden n × n con coeficientes complejos.

T

Sea A ∈ M(n, C) , por A∗ denotamos las matriz A , donde si A = (aij )n×n

entonces A = (¯ aij )n×n es la matriz cuyos coeficientes son los conjugados (complejos) de los coeficientes de A , y AT = (aji )n×n indica la matriz traspuesta de A . La matriz A∗ es llamada matriz adjunta de A . En M(n, C) consideremos los siguientes conjuntos: 1. GL(n, C) = {A ∈ M(n, C) : det(A) 6= 0} = det−1 (C − {0}) , grupo lineal complejo.

2. U (n, C) = {A ∈ GL(n, C) : AT = A−1 } = {A ∈ GL(n, C) : A∗ A = I} , grupo unitario.

3. SU(n, C) = {A ∈ U (n, C) : det(A) = 1} = {A ∈ GL(n, C) : A∗ A = I y det(A) = 1} , grupo especial unitario.

An´alogamente, para M(n, R) el ´algebra de las matrices cuadradas n × n con

coeficientes reales , consideramos los siguientes conjuntos:

1. GL(n, R) = GL(n, C) ∩ M(n, R) = {A ∈ M(n, R) : det(A) 6= 0} = det−1 (R − {0} , grupo lineal.

2. O(n, R) = U (n, C) ∩ M(n, R) = {A ∈ GL(n, R) : AAT = I} , grupo ortogonal.

3. SO(n, R) = SU (n, C) ∩ M(n, R) = {A ∈ O(n, R) : det(A) = 1} , grupo especial ortogonal.

Para n < m , identificamos M(n, C) con la sub´algebra de M(m, C) , formada por las matrices A = (ajk )m×m tales que ajk = δjk para j > n o k > n , donde δjk es la delta de Kronecker, la cual es dada por ( 1 si j = k δjk = 0 si j = 6 k.

12

Sergio Plaza Tenemos que:

1. GL(n, C) es un conjunto abierto de M(n, C) , pues GL(n, C) = det−1 (C − {0}) y la funci´on det : M(n, C) −→ C es continua, de hecho diferenciable de

clase C ∞ .

2. GL(n, R) = det−1 (R − {0}) , luego es un conjunto abierto de M(n, R) . 3. GL(n, C) y GL(n, R) son grupos topol´ogicos. 4. U (n, C) , SU (n, C) , GL(n, C) , O(n, R) y SO(n, R) son subgrupos cerrados de GL(n, C) .

5. Sea f : U (n, C) −→ SU (n, C) × S1 dada por f (A) = (A/det(A), det(A)) es un isomorfismo.

An´alogamente, la funci´o n f : O(n, R) −→ SO(n, R) × {−1, 1} dada por  A f (A) = , det(A) es un isomorfismo. det(A)

6. La aplicaci´on exponencial, exp : M(n, C) −→ GL(n, C) , la cual es definida por

exp(A) =

∞ X Ak k=0

k!

es un difeomorfismo desde una vecindad de 0 en M(n, C) sobre una vecindad de I (matriz identidad) en GL(n, C) .

An´alogamente, para exp :

M(n, R) −→ GL(n, R) . 7. Sea A ∈ U (n, C) . Entonces (a) exp(A) ∈ U (n, C) si y s´olo si A + A∗ = 0 , es decir, A es antisim´etrica. (b) exp(A) ∈ SU(n, C) si y s´olo si A + A∗ = 0 y traza(A) = 0 . (c) exp(A) ∈ GL(n, R) si y s´olo si A ∈ M(n, R) . (d) exp(A) ∈ SO(n, R) si y s´olo si A ∈ M(n, R) y A + AT = 0 , es decir, A es antisim´etrica.

8. SO(2, R) y U (1, C) son isomorfos a S1 . Proposici´ on 1.10 Los grupos topol´ ogicos U (n, C) , SU (n, C) , O(n, R) y SO(n, R) son compactos.

13

Sergio Plaza Demostraci´ on. F´acil, se deja a cargo del lector.

Proposici´ on 1.11 Los grupos GL(n, C) , U (n, C) , SU (n, C) , GL(n, R) y SO(n, R)

son variedades topol´ ogicas de dimensi´ on 2n2 , n2 , n2 − 1 , n2 y (n2 − n)/2 , re-

spectivamente.

Demostraci´ on. Ver Notas de Curso de Variedades. Proposici´ on 1.12 El grupo topol´ ogico SU (n, C) es conexo por caminos. Demostraci´ on. Sea A ∈ SU (n, C) entonces existe B ∈ SU(n, C) tal que BAB −1 =

C es una matriz diagonal, C = (cjk )n×n , con cjk = δjk e2πiλj y λ1 + · · · + λn = 0 .
Luego, α : I −→ SU (n, C) definido por α(t) = Ct = δjk e2πitλj n×n es un camino en SU (n, C) , uniendo I con C . Por lo tanto, β : I −→ SU (n, C) dada por β(t) = B −1 Ct B es un camino en SU (n, C) uniendo I con A . Corolario 1.4 El grupo U (n, C) es conexo por caminos. Demostraci´ on. Inmediata. Proposici´ on 1.13 El grupo SO(n, R) es conexo por caminos. Demostraci´ on. Sea A ∈ SO(n, R) entonces existe B ∈ SO(n, R) tal que C =

BAB −1 tiene la forma                  

1

0 .. 0

0 .. .

. 1 0

0 cos(2πλ1 )

sen(2πλ1 )

−sen(2πλ1 )

cos(2πλ1 )

!

0 ..

. 0

(los lugares no llenos, son 0’s) El lector puede ahora completar la prueba.



     0     0      !   cos(2πλp ) sen(2πλp )  −sen(2πλp ) cos(2πλp )

14

Sergio Plaza Corolario 1.5 El grupo O(n, R) tiene dos componentes conexas por caminos. Proposici´ on 1.14

1. GL(n, R) es homeomorfo a O(n, R) × R

n2 +n 2

.

2

2. GL(n, C) es homeomorfo a U (n, C) × Rn . 3. GL(n, C) es conexo. Demostraci´ on. Se deja a cargo del lector. Proposici´ on 1.15 Los espacios homog´eneos O(n+1, R)/O(n, R) y SO(n+1, R)/SO(n, B) son ambos homeomorfos a Sn

Demostraci´ on. Tenemos que O(n + 1, R) y SO(n + 1, R) operan transitivamente sobre la esfera Sn , y los subgrupos de isotrop´ıa del punto (0, . . . , 0, 1) son respectivamente, O(n, R) y SO(n, R) . Luego, como O(n + 1, R) es compacto se tiene que Sn es homeomorfo a O(n + 1, R)/O(n, R) y tambi´en a SO(n + 1, R)/SO(n, R) .

Proposici´ on 1.16 Los espacios homog´eneos U (n+1, C)/U (n, C) y SU (n+1, C)/SU(n, C) son ambos homeomorfos a S2n+1 .

Demostraci´ on. An´aloga a la anterior.

1.14

Acci´ on de Grupos sobre Espacios Topol´ ogicos

Sean H y G grupos y ψ : H −→ G un homomorfismo. Definamos la aplicaci´on Θ : H × G −→ G por Θ(h, g) = ψ(h) · g . Entonces Θ es una acci´on por la izquierda de H sobre G .

Ahora, si G y H son grupos topol´ogicos y ψ : H −→ G es un homomorfismo

de grupos topol´ogicos, entonces la acci´on Θ definida arriba es continua. En el caso que H es un subgrupo topol´ogico de G o cuando H = G y ψ es la inclusi´on (identidad) de H en G , decimos que H act´ ua como grupo de traslaciones a la izquierda sobre G .

15

Sergio Plaza

1.14.1

Ejemplos de acciones de grupos topol´ ogicos

1. GL(n, R) act´ ua de modo natural sobre Rn , en este caso Θ : GL(n, R) × Rn −→ Rn es dada por Θ(A, x) = Ax.

2. Sea H ⊂ GL(n, R) un subgrupo, entonces ΘH = Θ|H : H × Rn −→ Rn

define una acci´on. Observemos que ΘH = Θ ◦ i , donde i : H ֒→ GL(n, R)

es la aplicaci´on inclusi´ on. Como i y Θ son continuas, se sigue que ΘH es continua. 3. Sea H=

(

a

b

0

a

!

: a>0

)

⊂ GL(2, R) ,

no es dif´ıcil ver que H es una variedad 2–dimensional C ∞ , la cual es un grupo. Las aplicaciones producto e inversi´on son ambas C ∞ . Adem´as, es claro que H es un conjunto cerrado de GL(2, R), por lo tanto H es un subgrupo del grupo GL(2, R). La aplicaci´on, ΘH : H × R2 −→ R2 , es dada

en este caso por

ΘH

a

b

0

a

!

,

x y

!!

=

ax + by ay

!

la cual es claramente es continua. Definici´ on 1.1 Sea G un grupo que act´ ua sobre un conjunto M . Dado el conjunto A ⊂ M , definimos G · A = {g · a : g ∈ G , a ∈ A}. La ´ orbita de x ∈ M

bajo la acci´ on de G es, orbG (x) , la cual denotamos simplemente por G · x , es el conjunto G · x = {g · x : g ∈ G}. Si G · x = x , decimos que x es un punto fijo de

la acci´ on de G sobre M . Si G · x = M para alg´ un x ∈ M , decimos que G act´ ua de modo transitivo sobre M . En este caso, G · x = M para todo x ∈ M .

Ejemplo. Sean M = Rn y G = GL(n, Rn ). Entonces 0 ∈ Rn es un punto

fijo de la acci´on de GL(n, Rn ) sobre Rn definida arriba. Adem´as, esta acci´on es transitiva sobre Rn − {0}, pues si x ∈ Rn , x 6= 0 entonces existe una base

F = {f1 , . . . , fn } de Rn tal que f1 = x. Expresando esa base en t´erminos de la P base can´onica, es decir, escribiendo fi = nj=1 aij ei , i = 1, . . . , n, se tiene que

x = Ae1 , donde A = (aij ) ∈ GL(n, R). Luego cada x ∈ R− {0} est´a en la ´orbita de

e1 . Restringiendo la acci´on a H = O(n) , se tiene que la ´orbita de cada x ∈ R − {0}

Sergio Plaza

16

es la esfera Snkxk = esfera de radio kxk y centro en el origen. Por otro lado, el

origen es el u ´nico punto fijo de H .

Ahora si G es un grupo topol´ogico y M es un espacio topol´ogico, y Θ : G × M −→ M es una acci´on, definimos p ∼ q si y s´olo si existe g ∈ G tal que

q = Θ(g, p) , adem´as, ∼ es una relaci´on de equivalencia. A M/G se le llama espacio

de ´orbitas. Dotamos M/G con la topolog´ıa cuociente inducida por la proyecci´on can´onica π : M −→ M/G . Teorema 1.2 Sea G un grupo topol´ ogico y H ⊂ G un subgrupo topol´ ogico. En-

tonces la proyecci´ on can´ onica π : G −→ G/H es continua y abierta. Adem´ as, G/H

es Hausdorff si y s´ olo si H es cerrado. Demostraci´ on. Topolog´ıa general.

Definici´ on 1.2 Sea G un grupo topol´ ogico que act´ ua sobre un conjunto X y sea x ∈ X , el grupo de isotrop´ıa o estabilizador de x es el subgrupo Gx = {g ∈ G : g · x = x} .

Lema 1.1 Sea G un grupo topol´ ogico que act´ ua transitivamente sobre un conjunto M . Entonces para todo x, y ∈ M , se tiene que Gx es isomorfo a Gy . Demostraci´ on. Sea x 6= y , entonces existe g ∈ G tal que g · x = y . Definamos φ : Gx −→ Gy por φ(k) = g −1 kg , se tiene que φ es el isomorfismo buscado. La verificaci´on es f´acil y se deja al lector.

Luego en el caso en que un grupo act´ ua transitivamente sobre un conjunto, podemos hablar del grupo de isotrop´ıa como el grupo de isotrop´ıa de cualquier punto del conjunto.

1.15

Espacios Homog´ eneos

Definici´ on 1.3 Decimos que un epacio topol´ ogico M es homog´eneo si existen un grupo topol´ ogico G y un subgrupo topol´ ogico H ⊂ G tal que M = G/H . Ejemplo. La esfera Sn . El grupo O(n + 1) act´ ua de modo natural sobre Sn . La

acci´on es dada por Θ(A, x) = Ax , la cual es transitiva. El grupo de isotrop´ıa de e1 = (1, 0, · · · , 0) ∈ Sn es el grupo de las matrices de la forma, ! 1 0 , donde A ∈ O(n) 0 A

17

Sergio Plaza Luego Sn = O(n + 1)/O(n) . An´alogamente Sn = SO(n + 1)/SO(n) .

Teorema 1.1 Si G act´ ua transitivamente sobre M , entonces existe una correspondencia biyectiva entre M y G/H , donde H es el grupo de isotrop´ıa (la acci´ on es considerada por la izquierda). Demostraci´ on. Sea x0 ∈ M , fijo. Definimos la correspondencia f : G/Gx0 −→ M por f (g · Gx0 ) = Lg (x0 ) , es f´acil probar que f es la biyecci´on buscada. Ejemplos. 1. RPn . El conjunto de rectas pasando por el origen en Rn+1 . El grupo O(n+1)

act´ ua transitivamente sobre la variedad RPn como sigue: Θ(A, [p]) = [Ap], consideremos la recta generada por e1 = (1, 0, · · · , 0), ella es transformada en s´ı misma por las transformaciones ortogonales siguientes, ! ±1 0 , donde A ∈ O(n) 0 A

El grupo de isotrop´ıa es por lo tanto isomorfo al producto directo O(1) × O(n), de donde

2. e

RPn = O(n + 1)/(O(1) × O(n))

G = (R, +) act´ ua sobre S1 = { e2πiϕ : ϕ ∈ R} como sigue: Lt (e2πiϕ ) =

2πi(t+ϕ)

. Como e2πi = 1, el grupo de isotrop´ıa de 1 es isomorfo a Z, luego

S1 = R/Z. En general, si Tn = S1 × · · · × S1 , ( n–veces), es el toro n–dimensional, tenemos la acci´on de (Rn , +) sobre Tn dada por   L(t1 ,...,tn ) (e2πiϕ1 , . . . , e2πiϕn ) = e2πi(t1 +ϕ1 ) , . . . , e2πi(tn +ϕn ) y el grupo de isotrop´ıa es Zn , por lo tanto Tn = Rn /Zn . 3. Variedad de Stiefel Vn,k . Cada punto de esta variedad es un conjunto ortonormal ordenado de k vectores X = (v1 , . . . , vk ), vi ∈ Rn , hvi , vj i =

δij y kvi k = 1, donde δij es la delta de Kronecker.

Toda matriz A ∈ O(n) transforma un punto x = (v1 , . . . , vk ) ∈ Vn,k en un

punto Ax = (Av1 , . . . , Avn ), es f´acil ver que Ax ∈ Vn,k .

18

Sergio Plaza

La variedad de Stiefel Vn,k es una subvariedad en Rnk . De hecho los vectores v1 , . . . , vk ∈ Rn escritos en una base ortonormal cualquiera en Rn son caracterizados por sus coordenadas vi = (xi1 , . . . , xin ), i = 1, . . . , k. Las cantidades xij , i = 1, . . . , k, j = 1, · · · , n, son las coordenadas de un punto

en Rnk . Esas coordenadas est´an relacionadas por un sistema de k(k + 1)/2 ecuaciones

hvi , vj i = δij =

n X

xis xjs ,

i , j = 1, . . . k i 6 j

s=1

La variedad de Stiefel Vn,k es una subvariedad de dimensi´on nk −

en Rnk .

k(k + 1) 2

En efecto, como O(n) opera transitivamente sobre Vn,k basta construir una

parametrizaci´on en un punto cualquiera de Vn,k . Sea este punto x0 = (xij ), donde xij = δij , i = 1, . . . , k, j = 1, . . . , n. Para construir una parametrizaci´on en torno a x0 basta mostrar que la matriz jacobiana del sistema de ecuaciones anterior tiene rango

k(k+1) 2

en el punto x0 , lo cual es

claro. Ahora sea xij = xij (t) una curva en Vn,k tal que (xij (0)) = x0 . Tenemos

n X

xis (t)xjs (t) = δij

i , j = 1, . . . , k, i 6 j,

s=1

xij (0) = δij

El vector velocidad ξij = d 0= dt

n X

dxij dt |t=0

i = 1, . . . , k , j = 1, . . . , n . de esta curva verifica la ecuaci´on, !

xis (t)xjs (t)

s=1

= ξij + ξji , i, j = 1, . . . , k ,

luego Tx0 Vn,k consiste de los vectores ξij , i = 1, . . . , k, j = 1, . . . , n, tales que ξij = −ξij , i, j = 1, . . . , k. Como O(n) act´ ua transitivamente sobre Vn,k podemos buscar el grupo de

isotrop´ıa, para ello incrustamos el sistema de k vectores ortonormales v1 , . . . , vk

19

Sergio Plaza

de Rn en una base ortonormal v1 , . . . , vn ∈ Rn . En el sistema de coorde-

nadas elegido la matriz ortogonal que deja los vectores v1 , . . . , vk invariantes tiene la forma siguiente, 

1  .  .  .   0  0

 0 ..   .  , ··· 1 0   ··· 0 A ··· 0 . .. . ..

donde A ∈ O(n − k) .

Luego el grupo de isotrop´ıa es O(n − k), es decir, Vn,k = O(n)/O(n − k) . Es f´acil ver tambi´en que Vn,k = SO(n)/SO(n − k) . En particular, Vn,n

=

O(n)

Vn,n−1

=

SO(n)

Vn,1

=

Sn−1

4. Variedad de Grassmann G(n, k, R) Los puntos de la variedad de Grassmann son los k-planos pasando por el origen en Rn . El grupo O(n) act´ ua transitivamente sobre Rn y ello induce

una acci´on natural sobre Gn,k como sigue: elijamos un k-plano P ∈ Gn,k

y A ∈ O(n), entonces es claro que A(P ) es un k-plano. Busquemos un

grupo de isotrop´ıa de P , para ello introducimos un sistema de coordenadas ortogonales en Rn de modo que los primeros k vectores est´en contenidos en P . Las matrices ortogonales que dejan P invariante son de la forma ! A 0 , donde A ∈ O(k) y B ∈ O(n − k) . 0 B Luego Gn,k = O(n)/(O(k) × O(n − k)), de donde es clara la igualdad Gn,k = Gn,n−k y el hecho que Gn,1 = RPn−1 .

20

Sergio Plaza 5. Espacios homogeneos del grupo unitario U (n).

U (n) = SU (n) =

{A ∈ GL(n, C) : AA¯T = I} ⊂ GL(n, C) {A ∈ U (n) : det(A) = 1} ⊂ U (n)

Sea S2n−1 ⊂ R2n = Cn la esfera unitaria compleja, S2n−1 = {(z1 , . . . , zn ) ∈ Cn : |z1 |2 + · · · + |zn |2 = 1}. Como antes se prueba

1.16 1.

(a)

S2n−1 = U (n)/U (n − 1) = SU (n)/SU (n − 1)

(b)

CPn−1 = U (n)/(U (1) × U (n − 1)), plano proyectivo complejo

(c)

GC n,k = U (n)/(U (k) × U (n − k)), variedad de Grassmann compleja.

Ejercicios Pruebe que si M = G/H entonces dim M = dim G − dim H. Calcule

dim GC n,k .

2. Estudie los ejemplos, (a) SO(2n)/U (n); (b) SU (n)/SO(n); (c) SO(p + q)/SO(p) × SO(q); (d) SU (p + q)/SU (p) × SU (q); (e) SL(N, R)/SO(n); (f) SO(n, C)/SO(n, R).

Cap´ıtulo 2

Homotop´ıa Introduciremos la noci´on de homotop´ıa, la cual es la m´as fundamental en topolog´ıa algebraica.

2.1

Homotop´ıa de Aplicaciones

Dados dos espacios topol´ogicos X e Y , denotamos por C(X, Y ) el conjunto de

aplicaciones continuas de X en Y . En C(X, Y ) definiremos una relaci´on de equiva-

lencia, “∼” , llamada homotop´ıa. Intuitivamente homotop´ıa significa que dadas dos aplicaciones continuas f0 , f1 : X −→ Y , podemos deformar la imagen de f0 en la imagen de f1 dentro del espacio Y .

f0 (X)

f0

X

Y

f1

f1 (X)

Figura 2.1 en la figura (2.1) podemos deformar la imagen de f0 en la imagen de f1 dentro de Y.

21

22

Sergio Plaza

f0 (X)

f0

X

Y

f1

f1 (X)

Figura 2.1 en la figura (2.1) no podemos deformar la imagen de f0 en la imagen de f1 dentro del espacio Y pues existe un “hoyo”. En todo lo que sigue, salvo menci´on contraria, por I denotamos el intervalo [0, 1] . Definici´ on 2.1 Sean f0 , f1 : X −→ Y aplicaciones continuas. Decimos que f0

es homot´ opica a f1 si, existe una aplicaci´ on continua F : X × I −→ Y tal que ( F (x, 0) = f0 (x) F (x, 1)

= f1 (x)

para todo x ∈ X . La aplicaci´on F es llamada una homotop´ıa entre f0 y f1 . Algunas veces usamos la notaci´on f0 ∼F f1 o F : f0 ∼ f1 para indicar expl´ıcitamente la homotop´ıa entre f0 y f1 , cuando sea necesario, si no simplemente escribimos f0 ∼ f1 .

Para cada t ∈ I , definimos la aplicaci´on Ft : X −→ Y por Ft (x) = F (x, t) .

Es claro que Ft es continua, luego dar la homotop´ıa F equivale a definir una familia continua a 1–par´ametro (Ft )t∈I de aplicaciones continuas de X en Y . La continuidad de la familia significa que la aplicaci´on (x, t) −→ Ft (x) es continua. Tenemos F0 = f0 y F1 = f1 . Es com´ un pensar en el par´ametro t , como el tiempo,

de esta forma una homotop´ıa puede ser pensada como un proceso de deformaci´on de la aplicaci´on f0 , donde tal deformaci´on tiene lugar en una unidad de tiempo. Ejemplos

Sergio Plaza

23

1. Caminos. Un camino en X es una aplicaci´on continua f : I −→ X . Cada camino f : I −→ X es homot´opico a la aplicaci´on constante εf (0) : I −→ X , definida por εf (0) (t) = f (0) , para todo t ∈ I .

En efecto, sea F : I × I −→ X dada por F (s, t) = f ((1 − t)s) . Es claro que F es continua, y satisface F (s, 0) = f (s) y F (s, 1) = f (0) = εf (0) .

2. Sea X uno de los espacios Rn o Dn = {x ∈ Rn : ||x|| < 1} (disco unitario

n–dimensional centrado en el origen). Sea f : X −→ Y una aplicaci´on

continua. Entonces f es homot´opica a la aplicaci´on constante εf (0) : X −→

Y , dada por εf (0) (x) = f (0) .

En efecto, consideremos la aplicaci´on F : X × I −→ Y dada por F (x, t) =

f ((1 − t)x) . Se tiene que F es continua, y satisface F (x, 0) = f (x) y

F (x, 1) = f (0) = εf (0) .

3. Sean f0 , f1 : X −→ Rn o f0 , f1 : X −→ Dn aplicaciones continuas, entonces f0 ∼ f1 .

En efecto, sea F : X × I −→ Rn (o Dn ) dada por F (x, t) = (1 − t)f0 (x) +

tf1 (x) . Es claro que F es continua, y satisface F (x, 0) = f0 (x) y F (x, 1) = f1 (x) . Notemos que la deformaci´on la producimos a lo largo del segmento de recta que une f0 (x) y f1 (x) para cada x ∈ X , por esta raz´on F es llamada

homotop´ıa lineal entre f0 y f1 .

Lo mismo vale cambiando Rn o Dn por un conjunto convexo de un espacio vectorial normado. 4. Sean f0 , f1 : X −→ Y dos aplicaciones aplicaciones constantes, f0 (x) = p

y f1 (x) = q para todo x ∈ X . Entonces f0 y f1 son homot´opicas si y s´olo si p y q pertenecen a la misma componente conexa por caminos de Y . En efecto, (⇒) Si F : f0 ∼ f1 , entonces para cada x ∈ X la aplicaci´on α : I −→ X ,

dada por α(t) = F (x, t) es un camino uniendo p y q .

(⇐) Si p y q pertenecen a la misma componente conexa por caminos de Y , existe un camino α : I −→ Y tal que α(0) = p y α(1) = q . Definamos F : X × Y −→ Y , por F (x, t) = α(t) , y se tiene que F : f0 ∼ f1 .

5. Sean f, g : Sn −→ Sn aplicaciones continuas tales que f (x) 6= −g(x) para todo x ∈ Sn , es decir, si a : Sn −→ Sn es la aplicaci´on antipodal a(x) = −x ,

24

Sergio Plaza entonces f 6= a ◦ g . Se tiene f ∼ g .

En efecto, notemos que la condici´on f (x) 6= −g(x) significa que para cada

x ∈ Sn el segmento de recta en Rn+1 uniendo f (x) y g(x) no pasa

por el origen. Luego podemos definir F : Sn × I −→ Sn por F (x, t) = (1 − t)f (x) + tg(x) , es inmediato que F es continua y satisface F (x, 0) = k(1 − t)f (x) + tg(x)k f (x) g(x) ||f (x)|| = f (x) y F (x, 1) = ||g(x)|| = g(x) .

f (x) g(x) −f (x)

Dos casos particulares (a) Si f : Sn −→ Sn no tiene puntos fijos, es decir, f (x) 6= x para todo x ∈ Sn , entonces f ∼ a .

En efecto, tenemos que f (x) 6= x = a ◦ a(x) para todo x ∈ Sn . (b) Si f : Sn −→ Sn es tal que f (x) 6= −x para todo x ∈ Sn , es decir, f no tiene puntos antipodales. Entonces f ∼ IdSn .

En efecto, f (x) 6= −x = a ◦ IdSn (x) para todo x ∈ Sn . 6. Si n es impar, entonces la aplicaci´on antipodal a : Sn −→ Sn es homot´opica a la aplicaci´on identidad IdSn de Sn .

En efecto, como n = 2k + 1 es impar podemos considerar Sn = S2k+1 ⊂ R2(k+1) ∼ = Cn+1 , y los puntos de de Sn pueden ser interpretados como (k +1)–uplas de n´ umeros complejos (z0 , . . . , zk ) tales que |z0 |2 +· · ·+|zk |2 =

1 . Dados z = (z0 , . . . , zk ) ∈ Sn y u ∈ C , con |u| = 1 , definimos uz

por uz = (uz1 , . . . , uzk ) . Es inmediato que uz ∈ Sn . Ahora, sea H :

Sn × I −→ Sn dada por H(z, t) = eπit z . Tenemos que H es continua,

25

Sergio Plaza

y satisface H(z, 0) = z y H(z, 1) = eπi z = −z = a(z) . (Recuerde que

ea+ib = ea (cos(b) + isen(b)) .)

Nota. Afirmamos que si n es par entonces la aplicaci´on antipodal a : Sn −→

Sn no es homot´opica a la aplicaci´on identidad. La prueba de esta afirmaci´on queda pendiente por el momento, la daremos m´as adelante. 7. Campos de Vectores y Homotop´ıas en Sn Un campo continuo de vectores tangentes en Sn es una aplicaci´on continua v : Sn −→ Rn+1 que satisface hv(x), xi = 0 para todo x ∈ Sn . Una

singularidad de v es un punto x0 ∈ Sn tal que v(x0 ) = 0 . x

v(x)

Afirmaci´ on 2.1 Si n es impar, digamos n = 2k − 1 entonces existe un campo continuo de vectores tangentes sin singularidades en Sn .

En efecto, tenemos que S2k−1 ⊂ R2k , luego podemos escribir los puntos x ∈ R2k en la forma x = (x1 , . . . , xk , y1 , . . . , yk ) . Sea v : S2k−1 −→ S2k−1

dada por v(x1 , . . . , xk , y1 , . . . , yk ) = (−y1 , . . . , −yk , x1 , . . . , xk ) . Es claro que v es continua y satisface v(x) 6= 0 y hv(x), xi = 0 para todo x ∈ S2k−1 .

Afirmaci´ on 2.2 Si existe un campo continuo de vectores tangentes en Sn entonces la aplicaci´ on antipodal es homot´ opica a la aplicaci´ on identidad. En efecto, sea v : Sn −→ Rn+1 un campo continuo de vectores tangentes sin

singularidades en Sn . Definamos la aplicaci´on f : Sn −→ Sn por f (x) = v(x)+x ||v(x)+x||

.

26

Sergio Plaza

v(x)

x •

x + v(x) f (x)

Es claro que f es continua. Como v(x) 6= x para todo x ∈ Sn , se tiene que

f (x) 6= x = a ◦ a(x) , luego f ∼ a . Resta probar que f ∼ IdSn , y usando que la relaci´on de homotop´ıa es transitiva (se mostrar´a luego) se tiene que f ∼ IdSn ∼ a . Sea H : Sn × I −→ Sn dada por H(x, t) =

x+tv(x) ||x+tv(x)||

. Tenemos que H es

continua y satisface H(x, 0) = IdSn (x) y H(x, 1) = f (x) . Lo que concluye la prueba de la afirmaci´on. Tenemos lo siguiente 1. n impar =⇒ Existe un campo continuo de vectores tangentes sin singularidades sobre Sn . 2. Existe un campo continuo de vectores tangentes sin singularidades sobre Sn =⇒ la aplicaci´on antipodal a : Sn −→ Sn es homot´opica a la aplicaci´on identidad de Sn .

3. n impar =⇒ Existe un campo continuo de vectores tangentes sin singularidades sobre Sn =⇒ la aplicaci´on antipodal a : Sn −→ Sn es homot´opica a la aplicaci´on identidad de Sn .

4. Existe un campo continuo de vectores tangentes sin singularidades sobre Sn =⇒ la aplicaci´on antipodal a : Sn −→ Sn es homot´opica a la aplicaci´on identidad de Sn

sin prueba

−→

n impar.

Resumiendo lo probado hasta ahora, tenemos el siguiente teorema. Teorema 2.1 En Sn existe un campo continuo de vectores tangentes sin singularidades si y s´ olo si n es impar.

27

Sergio Plaza

Teorema 2.2 (Poincar´e–Bohl) Sea E un espacio vectorial normado. Si f, g : X −→ E − {0} son aplicaciones continuas tales que ||f (x) − g(x)|| < ||f (x)|| para

todo x ∈ X, entonces f ∼ g .

Demostraci´ on. Basta probar que en estas condiciones que 0 ∈ / [f (x), g(x)] =

{(1−t) f (x)+t g(x) : t ∈ I} para todo x ∈ X , es decir, 0 no pertenece al segmento

de recta uniendo f (x) y g(x) , pues si 0 ∈ [f (x), g(x)] para alg´ un x ∈ X entonces

||f (x) − g(x)|| = ||f (x)|| + ||g(x)|| > ||f (x)|| .

Hecho lo anterior, podemos definir la homotop´ıa lineal F (x, t) = (1 − t) f (x) +

t g(x) entre f y g .

Observaci´ on. Cabe notar que el contradominio Y juega un rol importante en las homotop´ıas de aplicaciones f0 , f1 : X −→ Y , pues es dentro de Y donde ocurre la deformaci´on. De hecho puede ocurrir que dos aplicaciones f0 , f1 : X −→ Y ′ , con Y ′ ⊂ Y no sean homot´opicas, pero consideradas como aplicaciones de X

en Y si lo sean, por ejemplo tomando Y ′ = R − {0} e Y = R dos aplicaciones

f0 , f1 : X −→ Y ′ constantes f0 (x) = −1 y f1 (x) = 1 para todo x ∈ X no pueden

ser homot´opicas, pero consideradas como aplicaciones de X en R si lo son.

Ahora impondremos algunas restricciones a las homotop´ıas, las cuales nos ser´an u ´tiles m´as adelante. Definici´ on 2.2 (Homotop´ıa relativa) Sea A ⊂ X y sean f0 , f1 : X −→ Y aplica-

ciones continuas tales que f0 (x) = f1 (x) para todo x ∈ A , es decir, f0 |A = f1 |A .

Decimos que f0 es homot´ opica a f1 relativo a A , y usamos las notaciones f0 ∼ f1

rel A o F : f0 ∼ f1 rel A si, existe una homotop´ıa F : X × I −→ Y entre f0 y f1 , tal que para todo a ∈ A y todo t ∈ I se tiene que F (a, t) = f0 (a) = f1 (a) .

Note que en esta definici´on, la homotop´ıa deja los puntos f0 (a) = f1 (a) para todo a ∈ A , invariantes durante la deformaci´on. Ejemplos. 1. Sea r : Rn − {0} −→ Rn − {0} dada por r(x) =

1 ||x|| n

x . Afirmamos que r

es homot´opica a la aplicaci´on identidad relativo a S . En efecto, sea H : (Rn − {0}) × I −→ Rn − {0} dada por H(x, t) = (1 −

28

Sergio Plaza t)x + tr(x) . La aplicaci´on H es continua y satisface     H(x, 0) = x = Id(x) H(x, 1) = r(x)    H(a, t) = a

para todo a ∈ Sn y todo t ∈ I .

2. Sea X = S1 × R el cilindro y sea A = S1 × {0} ∼ = Y significa = S1 (aqui X ∼ que X e Y son homeomorfos). La aplicaci´on p : X −→ S1 × {0} dada por p(x, y, z) = (x, y, 0) es homot´opica a la aplicaci´on identidad relativo a A .

En efecto, definamos la aplicaci´on H : X × I −→ X por H(x, y, z, t) = (x, y, tz) . Es f´acil verificar que la aplicaci´on H satisface lo pedido.

El siguiente lema de topolog´ıa nos ser´a de gran utilidad para probar que aplicaciones continuas definidas por “ramas” son continuas bajos sus hip´otesis. Lema 2.1 (Gluing Lemma=lema del pegado) Sea X espacio topol´ ogico. Supongamos que podemos escribir X = A ∪ B , donde A y B son conjuntos abiertos

(resp. cerrados). Dadas aplicaciones continuas f : A −→ Y y g : B −→ Y tales

que f |(A ∩ B) = g|(A ∩ B) , definamos la aplicaci´ on h : X −→ Y por h(x) =

(

f (x) g(x)

si x ∈ A

si x ∈ B .

Entonces h es continua. Demostraci´ on. Haremos la prueba en el caso que ambos A y B son conjuntos abiertos en X , en el caso que ambos sean cerrados, la prueba es completamente an´aloga. Sea O ⊂ Y un conjunto abierto. Tenemos h−1 (O) = h−1 (O) ∩ (A ∪ B) =

(h−1 (O) ∩ A) ∪ (h−1 (O) ∩ B) = f −1 (O) ∪ g −1 (O) , este conjunto es abierto, pues f y g son continuas.

Teorema 2.3 La relaci´ on de homotop´ıa relativa es una relaci´ on de equivalencia en el conjunto de las aplicaciones continuas de X en Y que tienen la misma imagen sobre un conjunto A ⊂ X . En particular, la relaci´ on de homotop´ıa es una relaci´ on de equivalencia en C(X, Y )

Sergio Plaza

29

Demostrac´ on. La relaci´on de homotop´ıa relativa a A es una relaci´on refleja, pues basta tomar la homotop´ıa H(x, t) = f (x) para todo x ∈ X y todo t ∈ I .

Para mostrar que es sim´etrica, vemos que si F : f ∼ g rel A , entonces

K(x, t) = F (x, 1 − t) satisface K : g ∼ f rel A .

Finalmente, para mostrar que es transitiva tenemos que si F : f ∼ g rel A

y G : g ∼ h rel A , entonces la aplicaci´on H : X × I −→ Y definida por ( F (x, 2t) si 0 6 t 6 1/2 H(x, t) = G(x, 2t − 1) si 1/2 6 t 6 1

satisface H(x, 0) = F (x, 0) = f (x) , H(x, 1) = G(x, 1) = h(x) , y si a ∈ A y t ∈ I

entonces H(a, t) = f (a) = g(a) = h(a) . Resta probar que H es continua. Para

esto notemos que para todo x ∈ X y para t = 1/2 se tiene que F (x, 1) = g(x) y

G(x, 0) = g(x) , es decir, F |X × {1/2} = G|X × {1/2} , por lo tanto H es continua por el Gluing Lemma.

Ahora usaremos la noci´on de homotop´ıa para dar una relaci´on de equivalencia sobre la clase de los espacios topol´ogicos. Definici´ on 2.3 Sea X , Y espacios topol´ ogicos. Decimos que X e Y tienen el mismo tipo de homotop´ıa o que ellos son homot´ opicamente equivalentes, y usamos la notaci´ on X ≡ Y , si existen aplicaciones continuas f : X −→ Y y g : Y −→ X

tales que g ◦ f ∼ IdX y f ◦ g ∼ IdY .

Las aplicaciones f, g como en la definici´on son llamadas inversas homot´ opicas, tambi´en decimos que f es una equivalencia homot´opica y que g es su inversa homot´opica. Ejemplos. 1. Si X e Y son homeomorfos entonces X ≡ Y . En este caso, si f : X −→ Y

es un homeomorfismo entonces f es una equivalencia homot´opica y su inversa homot´opica es el homeomorfismo inverso f −1 .

2.

Rn ≡ {0} .

En efecto, sean f : Rn −→ {0} y g : {0} −→ Rn dadas por f (x) = 0 para

todo x ∈ Rn y g(0) = 0 , respectivamente. Tenemos que g ◦ f (x) = 0 para

todo x ∈ Rn . Sea H : Rn × I −→ Rn dada por H(x, t) = tx , es claro

que H es una homotop´ıa entre IdRn y g ◦ f . Por otra parte, se tiene que f ◦ g(0) = f (0) = 0 = Id{0} (0) .

Sergio Plaza

30

3. Sean X = S1 × R e Y = S1 × {0} entonces X ≡ Y . En efecto, sean p : S1 × R −→ S1 × {0} (proyecci´on) e i : S1 × {0} ֒→

S1 × R (inclusi´on can´onica) las aplicaciones dadas por p(x, y, z) = (x, y, 0) e

i(x, y, 0) = (x, y, 0) , respectivamente. Tenemos que p◦i(x, y, 0) = p(x, y, 0) = (x, y, 0) , es decir, p ◦ i = IdS1 ×{0} , por otra parte, i ◦ p(x, y, z) = i(x, y, 0) = (x, y, 0) , definamos H : S1 ×R×I −→ S1 ×R por H(x, y, z, t) = (x, y, tz) , es

claro que H es continua y satisface H(x, y, z, 0) = (x, y, 0) y H(x, y, z, 1) = (x, y, z) = IdS1 ×R (x, y, z) . 4. Sea X la banda de M¨obius y sea Y su c´ırculo central. Entonces X ≡ Y . En efecto, la banda de M¨obius puede ser obtenida como el espacio cuociente del cuadrado Q = [0, 1] × [0, 1] identificando los puntos (0, y) con (1, 1 − y) de su borde, y en el interior cada punto se identifica consigo mismo.

Ahora note que en la banda de M¨obius los puntos correspondientes a la linea {(x, 1/2) : 0 6 x 6 1} de Q forman un c´ırculo, el cual llamamos c´ırculo

central. Es claro que la linea {(x, 1/2) : 0 6 x 6 1} y el cuadrado Q tienen el mismo tipo de homotop´ıa. Es f´acil ver ahora que esa equivalencia de homotop´ıa induce una equivalencia de homotop´ıa entre la banda de M¨obius y su c´ırculo central. Tenemos el siguiente. Teorema 2.4 La relaci´ on “mismo tipo de homotop´ıa” es una relaci´ on de equivalencia en la clase de los espacios topol´ ogicos. Demostraci´ on. F´acil, se deja a cargo del lector.

Sergio Plaza

31

Sea f : X −→ Y una aplicaci´on continua, por [f ] denotamos su clase de

equivalencia m´odulo homotop´ıa, es decir, [f ] = {g : X −→ Y / g ∼ f } . Defini-

mos tambi´en [X, Y ] = { [f ] / f : X −→ Y } , este es el conjunto de las clases de

homotop´ıa de aplicaciones continuas de X en Y .

Proposici´ on 2.1 Si X ≡ X ′ e Y ≡ Y ′ entonces [X, Y ] y [X ′ , Y ′ ] tienen la misma cardinalidad.

Demostraci´ on. Sean ϕ : X ′ −→ X y ψ : Y −→ Y ′ equivalencias homot´opicas. Definamos la aplicaci´on Γ : [X, Y ] −→ [X ′ , Y ′ ] por Γ([f ]) = [ψ ◦ f ◦ ϕ] . Es f´acil

ver que Γ es una biyecci´on, lo que concluye la prueba.

La Moral del Asunto. La idea de buscar espacios con el mismo tipo de homotop´ıa es la siguiente: asociaremos a un espacio X ciertos grupos, veremos que ellos son invariantes por homotop´ıa, esto quiere decir que espacios con el mismo tipo de homotop´ıa tienen asociados los mismos grupos, por lo tanto, para estudiar un espacio buscamos unos m´as simple y con el mismo tipo de homotop´ıa, y estudiamos este u ´ltimo.

2.2

Espacios Contractibles

Es esta secci´on estudiaremos los espacios cuyo tipo de homotop´ıa es el m´as simple, es decir, tienen el mismo tipo de homotop´ıa que un punto, y los llamamos espacios contractible. Ejemplos. 1.

Rn y Dn son contractible.

2. Sea A ⊂ Rn un conjunto convexo, entonces A es contractible. 3. Sea E ⊂ Rn . Decimos que E es estrellado en p ∈ E si para cada x ∈ E el

segmento de recta uniendo p y x , el cual es dado por [p, x] = {(1 − t)p + t : 0 6 t 6 1} , est´a contenido en E . Note que todo conjunto convexo es

estrellado en cualquiera de sus puntos, la rec´ıproca es obviamente falsa. Si E es estrellado, entonces E es contractible. 4. Un ejemplo de un espacio no contractible es Sn , esto lo probaremos m´as adelante.

32

Sergio Plaza

Proposici´ on 2.2 Un espacio X es contractible si y s´ olo si la aplicaci´ on identidad IdX : X −→ X es homot´ opica a una aplicaci´ on constante c : X −→ X , digamos c(x) = p para todo x ∈ X .

Demostraci´ on. Supongamos que X es contractible. Sea f : X −→ {p} una

equivalencia homot´opica y sea g : {p} −→ X su inversa homot´opica. Tenemos que g ◦ f ∼ IdX , es claro que g ◦ f es una aplicaci´on constante.

Rec´ıprocamente, si IdX : X −→ X es homot´opica a la aplicaci´on constante

c : X −→ X , digamos c(x) = p para cada x ∈ X , entonces IdX y c son equivalencias homot´opicas.

Proposici´ on 2.3 Todo espacio contractible es conexo por caminos. Demostraci´ on. Sea X un espacio contractible. Fijemos p ∈ X . Sea H : X × I −→ X una homotop´ıa entre IdX y una aplicaci´on constante c : X −→ X

dada por c(x) = p para cada x ∈ X . Para cada x sea αx : I −→ X dado por αx (t) = H(x, t) . Es claro que αx es un camino en X uniendo x y p .

Proposici´ on 2.4 Si X o Y es contractible entonces cualquier aplicaci´ on continua f : X −→ Y es homot´ opica a una aplicaci´ on constante. Demostraci´ on. Supongamos que X es contractible. Sea H : X × I −→ X una

homotop´ıa entre IdX y una aplicaci´on constante. Entonces f ◦ H : X × I −→ Y

es una homotop´ıa entre f y una aplicaci´on constante.

Ahora, si Y es contractible, sea K : Y × I −→ Y una homotop´ıa entre

IdY y una aplicaci´on constante. Entonces H : X × I −→ Y dada por H(x, t) = K(f (x), t) es una homotop´ıa entre f y una aplicaci´on constante. Corolario 2.1

a) Si X es contractible e Y es conexo por caminos, entonces

cualquier par de aplicaciones continuas f, g : X −→ Y son homot´ opicas. b) Si Y es contractible entonces cualquier par de aplicaciones continuas f, g : X −→ Y son homot´ opicas. Demostraci´ on. a) Sea H : X × I −→ X una homotop´ıa entre IdX y una

aplicaci´on constante c : X −→ X dada por c(x) = p para todo x ∈ X . Entonces f ◦H : X×I −→ Y es una homotop´ıa entre f y la aplicaci´on constante c˜ : X −→ Y

Sergio Plaza

33

dada por c˜(x) = f (p) para todo x ∈ X . An´alogamente, g ◦ H : X × I −→ Y es

una homotop´ıa entre g y la aplicaci´on constante c¯ : X −→ Y dada por c¯(x) =

g(p) para todo x ∈ X . Ahora, como Y es conexo por caminos, las aplicaciones

constante c˜, c¯ : X −→ Y son homot´opicas. b) F´acil, se deja a cargo del lector.

Corolario 2.2 Si X es contractible entonces X ×Y tiene el mismo tipo de homo-

top´ıa que Y . En particular, si Y es contractible entonces X × Y es contractible. Demostraci´ on. Sea H : X × I −→ X una homotop´ıa entre IdX y una aplicaci´on constante c : X −→ X dada por c(x) = p para cada x ∈ X . Consideremos las aplicaciones p2 : X × Y −→ Y e ip : Y ֒→ X × Y dadas por p2 (x, y) = y e ip (y) = (p, y) , respectivamente. Tenemos que p2 e ip son equivalencias homot´opicas, pues

ip ◦ p2 (x, y) = ip (y) = (p, y) = ip (y) y p2 ◦ ip (y) = p2 (p, y) = y = IdY (y) . Sea

K : X × Y × I −→ X × Y dada por K(x, y, t) = (H(x, t), y) . Tenemos que K

es continua y satisface K(x, y, 0) = (x, y) = IdX×Y (x, y) y K(x, y, 1) = (p, y) = ip ◦ p2 (x, y) , lo cual termina la prueba. Ejemplos. 1.

Rn × Y , Dn × Y , C × Y , y E × Y tiene el mismo tipo de homotop´ıa

que Y , donde C ⊂ Rn es un conjunto convexo y E ⊂ Rn es un conjunto

estrellado en p ∈ E .

2. Toro S´olido T ⊂ R4 . Este es definido como el producto T = D2 × S1 , del disco unitario D2 ⊂ R2 y el c´ırculo unitario. Tenemos que T ≡ S1 .

34

Sergio Plaza

2.3

Retractos

Definici´ on 2.4 Sea A ⊂ X . Decimos que A es un retracto de X si, existe una

aplicaci´ on continua r : X −→ A , llamada retracci´ on, tal que r◦i = IdA : A −→ A ,

donde i : A ֒→ X es la aplicaci´ on inclusi´ on i(x) = x para todo x ∈ A .

Observaci´ on. La condici´on r ◦ i = IdA significa que r|A = IdA . es decir,

para cada a ∈ A se tiene que r(a) = a , m´as espec´ıficamente el siguiente diagram conmuta

Ejemplos. 1. Sea C = S1 × R el cilindro. Entonces S1 × {0} ∼ = S1 es un retracto de C .

En efecto, definamos la retracci´on r : C −→ S1 × {0} por r(x, y, z) = (x, y, 0) .

2. La esfera unitaria Sn es un retracto de Rn+1 − {0} . En efecto, definamos la retracci´on r : Rn+1 − {0} −→ Sn por r(x) =

1 x. ||x||

w z

z w = ||w|| ||z||

z w π(z) = ||z|| = ||w|| = π(w)

3. Sean C1 y C2 dos c´ırculos disjuntos en S3 , los cuales estan entrelazados como muestra la figura

Figura

35

Sergio Plaza

Sea T2 = S1 × S1 el toro 2–dimensional contenido en S3 . Entonces T2 es un retracto de S3 − (C1 ∪ C2 ) .

En efecto, tenemos que S3 = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 : x21 + x22 + x23 + x24 =

1} = T1 ∪ T2 , donde

T1

: x21 + x22 6 1/2

T2

: x23 + x24 > 1/2 .

Es claro que Ti ≈ S1 × D2 es un toro s´olido para i = 1, 2 , y que S3 =

S1 × D2 ∪f D2 × S1 , donde la identificaci´on f : ∂(S1 × D2 ) −→ ∂(D2 × S1 )

es la aplicaci´on que pega los borde de los toros s´olidos, llevando meridianos en paralelos y vice versa. Ahora, pensemos S3 como R3 ∪{∞} , gr´aficamente, vemos como est´a definida la retracci´on de S3 − (C1 ∪ C2 ) en el toro T2 = S1 × S1 ⊂ S3 .

Figura

4.

El toro T2 puede ser obtenido como el espacio cuociente T2 = [0, 1] ×

[0, 1]/ ∼ , donde (x, 0) ∼ (x, 1) y (0, y) ∼ (1, y) , y en el interior del cuadrado la idenficaci´on es la identidad. Sea X = T2 − {p} , donde p ∈ T2 . Tenemos que X tiene como retracto a la figura 8 .

Sergio Plaza

5.

36

El plano proyectivo RP2 es obtenido como el espacio cuociente RP2 = D2 / ∼ , identificando antipodalmente los puntos del borde de D2 y en el interior la idenficaci´on es la identidad.

Figura Tenemos que RP2 − {p} tiene como retracto a S1 .

37

Sergio Plaza 6. El c´ırculo central es un retracto de la banda de M¨obius.

7. Sea Tg una superficie compacta dos dimensional orientable de g´enero g (un g –toro). Entonces Tg − {p} tiene como retracto el borde del espacio de un trebol de g hojas.

Figura 8. Sea I n = I × · · · × I (n–veces) el cubo unitario n–dimensional en Rn .

Sea F la caja formada por los bordes de I n , sin la tapa superior, es decir,

F = ∂(I n−1 ) × I ∪ I n−1 . Tenemos que I n y F tienen el mismo tipo de homotop´ıa.

Para mostrarlo, fijemos un punto p ∈ Rn en el eje xn fuera de I n como

muestra la figura. Geom´etricamente, es f´acil construir la homotop´ıa requerida. 2

2

9. Sea D ⊂ R2 em disco unitario cerrado. Sea X = D × I n ⊂ Rn+2 y 2

2

F = D ×{0}∪S1 ×I n . Entonces D ×I n tienen el mismo tipo de homotop´ıa. Para verlo adaptamos la idea del ejemplo anterior.

Notemos que para la retracci´on r : S1 × R −→ S1 × {0} dada por r(x, y, z) =

(x, y, 0) tenemos que r ◦ i = IdS1 : S1 −→ S1 (hemos identificado S1 × {0} con S1 ,

pues claramente estos espacios son homeomorfos), tambi´en tenemos i ◦ r ∼ IdC ,

donde C = S1 × R , para ver esto definamos F : C × I −→ C por F (x, y, z) =

(x, y, tz) , esta es una homotop´ıa entre i ◦ r e IdC . Esto nos lleva a la siguiente

definici´on.

38

Sergio Plaza

Definici´ on 2.5 Decimos que un subconjunto A ⊂ X es un retracto de deformaci´ on de X si, existe una retracci´ on r : X −→ A tal que i ◦ r ∼ IdX .

Observaci´ on. Desde la definici´on, tenemos que A es un retracto de deformaci´on de X si existe una homotop´ıa F : X × I −→ X tal que ( F (x, 0) = IdX (x) para todo x ∈ X F (x, 1) ∈ A

para todo x ∈ X

Note tambi´en que si A es un retracto de deformaci´on de X , entonces X y A tienen el mismo tipo de homotop´ıa, donde las equivalencias homot´opicas son dadas por r : X −→ A e i : A ֒→ X , siendo una la inversa homot´opica de la otra. Ejemplos. 1.

Sn es un retracto de deformaci´on de Rn+1 − {0} .

1 En efecto, sea r : Rn+1 − {0} −→ Sn la aplicaci´on dada por r(x) = ||x|| x.   1 1 Tenemos que r es una retracci´on y i ◦ r(x) = i ||x|| x = ||x|| x . Ahora, t x. definamos F : (Rn+1 −{0})×I −→ Rn+1 −{0} por F (x, t) = (1−t)x+ ||x||

Tenemos que F es continua y satisface F (x, 0) = x y F (x, 1) = para todo x ∈ R

n+1

− {0} .

1 ||x|| x

∈ Sn

Notemos que en el ejemplo anterior, adem´as se tiene que i ◦ r ∼ IdRn+1 −{0}

t rel S , pues si a ∈ Sn entonces F (a, t) = (1 − t)a + ||a|| a = (1 − t)a + ta = a para n

todo t ∈ I . Esto nos lleva a la siguiente definici´on.

Definici´ on 2.6 Decimos que un subconjunto A de un espacio topol´ ogico X es un retracto de deformaci´ on fuerte de X si, existe una retracci´ on r : X −→ A tal que i ◦ r ∼ IdX rel A .

Observaci´ on. Se tiene que A ⊂ X es un retracto de deformaci´on fuerte de X si existe una homotop´ıa F : X × I −→ X tal que   para todo x ∈ X   F (x, 0) = x F (x, 1) ∈ A    F (a, t) = a

para todo x ∈ X

para todo a ∈ A y todo t ∈ I .

Geom´etricamente, esto significa que podemos deformar X en A (dentro de X ) dejando A fijo durante la deformaci´on.

39

Sergio Plaza Ejemplos. Vea los anteriores.

2.4

Homotop´ıa y Extensi´ on de Aplicaciones

Uno de los problemas m´as importante en topolog´ıa es el de extensi´on de aplicaciones continuas. En este problema es dada una aplicaci´on continua f : A −→ Y , definida

en un subconjunto cerrado A de un espacio topol´ogico X , y se pregunta sobra la posibilidad de extender f a todo X , es decir, se pregunta sobre la existencia de una aplicaci´on continua f¯ : X −→ Y tal que f¯|A = f .

El teorema de Titze–Urysohn asegura una respuesta afirmativa eal problema

anterior cuando X, un espacio normal e Y es un intervalo de la recta real. A seguir veremos la conexi´on entre el problema anterior y homotop´ıa. Teorema 2.5 Una aplicaci´ on continua f : Sn −→ X se exttiende continuamente a la bola cerrada D

n+1

si y s´ olo si f es homot´ opica a una aplicaci´ on constante.

n+1 Demostraci´ on. ( =⇒ ) Si existe una aplicaci´on f¯ : D −→ X tal que f¯|Sn = f n+1 es contractil, existe una homotop´ıa entre f¯ y una aplicaci´on entonces como D

constante. La restricci´on de esa homotop´ıa a Sn × I nos da una homotop´ıa entre f y una aplicaci´on constante.

(⇐= ) Sea H : Sn × I −→ X una homotop´ıa entre f , y una aplicaci´on constante. n

Definimos ϕ : Sn × I −→ D + 1 por ϕ(x, t) = 1 − t)x . Es claro que ϕ es continua Sn × {1} 0•

I (x, t)

D

n+1

Sn × {0}

Notemos que ϕ(x, 1) = 0 luego ϕ(Sn × {1}) = 0 .

Ahora, para x, x′ ∈ Sn y t, t′ ∈ I tenemos que ϕ(x, t) = ϕ(x′ , t′ ) , es decir,

(1 − t)x = (1 − t′ )x′ , si y s´olo si (x, t) = (x′ , t′ ) o t = t′ = 1 . Lueho, en ambas

40

Sergio Plaza

posibilidades se tiene que H(x, t) = H(x′ , t′ ) , es decir, el siguiente diagrama es conmutativo,

H

Sn × I c

ϕ

D

X

f¯

n+1

n+1 Definamos f¯ : D −→ X por f¯(x, t) = H)x, t) . Es claro que f¯ est´a bien definida y es tal que f¯ ◦ ϕ = H . Para x ∈ Sn tenemos que f¯(x) = f¯((a − 0)x) = H(x, 0) = f (x) , luego f¯ extiende a f . Para probar la continuidad de f¯ basta

probar el siguiente lema. Lema 2.2 Si K, L ⊂ Rn son subconjuntos compactos y ϕ : K −→ L es una aplicaci´ on continua y sobreyectiva. Entonces una aplicaci´ on g : K −→ X es

continua si y s´ olo si g ◦ ϕ : K −→ X es continua. Demostraci´ on. Topolog´ıa general.

g◦ϕ

K

ϕ

L

c

X

f¯

41

Sergio Plaza

Para concluir la demostraci´on del teorema, notemos que H = f¯ ◦ ϕ . Luego,

se tiene lo pedido, y la demostraci´on est´a completa.

Observaci´ on. Podemos construir f¯ directamente como sigue. Sea H una homotop´ıa entre f y una aplicaci´on constante, digamos c(x) = p , es decir, (

H(x, 0) = f (x)

H(x, 1) = c(x) = p   x n+1 para todo x ∈ Sn . Definimos f¯(x) = H , 1 − ||x|| para x ∈ D y ||x|| f¯(0) = p = c(x) . La continuidad de f¯ es para para x 6= 0 . Se deja a cargo del lector probar que f¯ es continua en x = 0 .

Cap´ıtulo 3

Grupo Fundamental En este cap´ıtulo introducimos uno de los m´as simple de los invariantes topol´ogicos que estudiaremos en todo el texto, nos referimos al grupo fundamental.

3.1

Producto de Caminos

En todo lo que sigue consideramos solamente caminos definidos en el intervalo I = [0, 1] , esto no constituye ninguna restricci´on, pues todo intervalo cerrado y acotado [a, b] es homeomorfo a I , y podemos reparametrizar los caminos. Adem´as consideramos los caminos orientados por el tiempo en el sentido creciente.

Definici´ on 3.1 Sean α, β : I −→ X dos caminos tales que α(1) = β(0) . El camino producto, denotado por α ∗ β , de los caminos α y β es dado por α ∗ β(t) =

(

α(2t)

si 0 6 t 6 1/2

β(2t − 1)

si 1/2 6 t 6 1 .

Es claro que el camino producto es continuo, pues α(1) = β(0) (Gluing Lemma).

42

43

Sergio Plaza

β(1) β(t) α(1) = β(0)

α(t) α(0)

Definici´ on 3.2 Decimos que dos caminos α, β : I −→ X tales que α(0) = β(0) y α(1) = β(1) son equivalentes, notaci´ on α ∼ β , si α ∼ β rel {0, 1} . α(1) = β(1)

Ft (x)

α(0) = β(0)

Observaci´ on. Desde la definici´on, tenemos que dos caminos α, β : I −→ X , con α(0) = β(0) y α(1) = β(1) son equivalentes si y s´olo si existe F : I × I −→ X continua, tal que

  F (t, 0) = α(t)     F (t, 1) = β(t)  F (0, s) = α(0) = β(0)     F (1, s) = α(1) = β(1)

44

Sergio Plaza

Lo anterior significa que los extremos de los caminos permenecen fijos durante la deformaci´on de α en β . Sean x0 , x1 ∈ X , por C(X; x0 , x1 ) denotamos el conjunto de los caminos

α : I −→ X tales α(0) = x0 y α(1) = x1 . Tenemos entonces que la relaci´on

definida anteriormente es una relaci´on de equivalencia en C(X; x0 , x1 ) .

Notaci´ on. Sea α : I −→ X un camino, definimos [α] = { β : I −→ X ; β(0) = α(0) , β(1) = α(1) , y β ∼ α} , clase de equivalencia del camino α .

Proposici´ on 3.1 El producto de caminos es compatible con la relaci´ on de equivalencia ∼, esto es, si α, β, δ, θ : I −→ X son caminos con α(0) = β(0) , α(1) = β(1) = δ(0) = θ(0) , y δ(1) = θ(1) , son tales que α ∼ β y δ ∼ θ , entonces α∗δ ∼ β ∗θ.

θ(1) = δ(1) θ(t)

δ(t)

α(1) = δ(0) β(t)

α(t)

α(0) = β(0) Demostraci´ on. Sean F, G : I ×I −→ X homotop´ıas, con F : α ∼ β y G : δ ∼ θ , ambas rel {0, 1} . Definamos H : I × I −→ X por H(t, s) =

(

F (2t, s)

si 0 6 t 6 1/2

G(2t − 1, s)

si 1/2 6 t 6 1 ,

45

Sergio Plaza tenemos que H es continua y satisface ( F (2t, 0) H(t, 0) = G(2t − 1, 0) =

(

0 6 t 6 1/2 1/2 6 t 6 1

α(2t)

0 6 t 6 1/2

δ(2t − 1)

1/2 6 t 6 1

= α ∗ δ(t) H(t, 1) =

(

F (2t, 1)

0 6 t 6 1/2

G(2t − 1, 1)

1/2 6 t 6 1

=

(

β(2t)

0 6 t 6 1/2

θ(2t − 1)

1/2 6 t 6 1

(

= β ∗ θ(t)

H(0, s) = F (0, s) = α(0) = β(0) H(1, s) = G(1, s) = δ(1) = θ(1) .

Lo que completa la prueba. Como consecuencia de la proposici´on anterior, podemos definir el producto de clases de equivalencia de caminos, es decir, si α, β : I −→ X son caminos con α(1) = β(0) , podemos definir [α] · [β] = [α ∗ β] . Este producto no tiene buenas

propiedades, por ejemplo, no siempre podemos multiplicar un par de caminos.

3.2

Grupo Fundamental

Sea x0 ∈ X . Decimos que un camino α : I −→ X es cerrado con base en x0 si

α(0) = α(1) = x0 .

Observaci´ on. Es claro que si α, β : I −→ X son caminos cerrados con base en x0 ∈ X , entonces el camino producto α ∗ β , de α y β est´a bien definido.

Definici´ on 3.3 Sea π1 (X, p) = { [α] : α : I −→ X , camino cerrado con base en p } el conjunto de clases de homotop´ıas de caminos cerrados con base en p ∈ X

Teorema 3.1 El conjunto π1 (X, p) dotado con el producto de clases de homotop´ıa es un grupo.

46

Sergio Plaza

Demostraci´ on. Asociatividad. Basta probar que si α, β, γ : I −→ X son caminos tales que α(1) = β(0) y β(1) = γ(0) entonces (α ∗ β) ∗ γ ∼ α ∗ (β ∗ γ)

(Note que como funciones (α∗β)∗γ 6= α∗(β ∗γ) , pues sus dominios son diferentes.) Tenemos (α ∗ β) ∗ γ 0

α

1 4

(α ∗ β) ∗ γ(t) =

y

1 2

β

1

γ

    α(4t)

0 6 t 6 1/4

β(4t − 1)    γ(2t − 1)

1/4 6 t 6 1/2 1/2 6 t 6 1

α ∗ (β ∗ γ) 0

1 2

α

α ∗ (β ∗ γ)(t) =

    α(2t)

β(4t − 2)    γ(4t − 3)

3 4

β

γ

0 6 t 6 1/2 1/2 6 t 6 3/4 3/4 6 t 6 1 .

Definamos F : I × I −→ X por

F (t, s) =

   4t  α s+1       

β(4t − s − 1)           γ 4t−s−2 2−s

06t6

s+1 4

s+1 4

6t6

s+2 4

6t61

y tenemos que F : (α ∗ β) ∗ γ ∼ α ∗ (β ∗ γ) rel {0, 1} .

s+2 4

1

47

Sergio Plaza

α ∗ (β ∗ γ) 1 2

α

3 4

β

γ

s t=

0

s+1 4

1 4

α

t=

β

1 2

s+2 4

γ

1 t

(α ∗ β) ∗ γ Elemento Neutro. Esto es, existe un camino εp : I −→ X tal que para cada [α] ∈ π1 (X, p) se tiene que [εp ][α] = [α][εp ] = [α] . Para esto basta probar que

si α : I −→ X es un camino con α(0) = x y α(1) = y , entonces los caminos constantes εx , εy : I −→ X , dados εx (t) = x y εy (t) = y , para todo t ∈ I ,

satisfacen [εx ][α] = [α] = [α][εy ] , es decir, εx ∗ α ∼ α y α ∗ εy ∼ α ambas rel {0, 1} .

En efecto, s´olo probaremos que εx ∗ α ∼ α rel {0, 1} , la otra es an´aloga.

Tenemos

εx ∗ α(t)

=

(

εx (2t)

0 6 t 6 1/2

α(2t − 1)

1/2 6 t 6 1

=

(

x

0 6 t 6 1/2

α(2t − 1)

1/2 6 t 6 1.

48

Sergio Plaza

s

t=

0

εx

1−s 2

α

1 2

1 t

Definamos F : I × I −→ X por

  x   F (t, s) =  α 2t−1+s 1+s

06t6 1−s 2

1−s 2

6 t 6 1.

Tenemos F (t, 0) = εx ∗ α(t) , F (t, 1) = α(t) , F (0, s) = x y F (1, s) = α(1) . Notaci´ on. Denotamos [εp ] ∈ π1 (X, p) por e , este es el elemento neutro para el producto de clases de equivalencias en π1 (X, p) .

Elemento Inverso. Esto es, dado [α] ∈ π1 (X, p) existe un camino α : I −→ X

tal que [α][α] = [α][α] = e , donde e = [εp ] es el elemento neutro de π1 (X, p) . Para probar esto, basta ver que si α : I −→ X es un camino con extremos α(0) = x y

α(1) = y entonces el camino α : I −→ X definido por α(t) = α(1 − t) satisface

[α][α] = [εx ] y [α][α] = [εy ] , es decir, α ∗ α ∼ εx y α ∗ α ∼ εy , ambas rel {0, 1} .

S´olo probaremos que α ∗ α ∼ εx rel {0, 1} , la otra es an´aloga. Tenemos

49

Sergio Plaza

α ∗ α(t)

=

(

α(2t)

0 6 t 6 1/2

α(2t − 1)

1/2 6 t 6 1

=

(

α(2t)

0 6 t 6 1/2

α(2 − 2t)

1/2 6 t 6 1.

Definamos F : I × I −→ X por

F (t, s) =

(

α(2t(1 − s))

α((2 − 2t)(1 − s))

0 6 t 6 1/2 1/2 6 t 6 1 .

Tenemos que F es continua y satisface F (t, 0) = α ∗ α(t) , F (t, 1) = α(0) =

εx (t) , F (0, s) = α(0) = (α ∗ α)(0) , y F (1, s) = α(0)(α ∗ α)(1) .

Notaci´ on. Si [α] ∈ π1 (X, p) el elemento [α] ∈ π1 (X, p) , inverso de [α] , lo deno-

tamos por [α] = [α]−1 .

3.3

Dependencia del grupo fundamental respecto del punto base

Sean x, y ∈ X . La pregunta natural que nos podemos hacer en este momento es ¿Cu´al es la relaci´on entre π1 (X, x) y π1 (X, y) ? Nos gustar´ıa que no hubiese dependencia del punto base en el cual calculamos el grupo fundamental, esto es, que π1 (X, x) y π1 (X, y) sean isomorfos. Para esto tenemos que imponer una condici´on extra a nuestros espacio. Tenemos el siguiente teorema.

Teorema 3.2 Sean x, y ∈ X . Supongamos que x e y estan en la misma com-

ponente conexa por caminos de X entonces los grupos π1 (X, x) y π1 (X, y) son isomorfos.

Demostraci´ on. Supongamos que x, y ∈ X estan en la misma componente conexa por caminos de X . Sea f : I −→ X un camino con f (0) = x y f (1) = y

50

Sergio Plaza

f x

y

α

Definamos la aplicaci´on uf : π1 (X, x) −→ π1 (X, y) por uf ([α]) = [f¯ ∗ α ∗ f ] .

Tenemos que

1.- uf es un homomorfismo de grupos. Sean [α], [β] ∈ π1 (X, x) entonces uf ([α][β])

= = =

uf ([α ∗ β])

[f¯ ∗ (α ∗ β) ∗ f ]

[(f¯ ∗ α ∗ f ) ∗ (f¯ ∗ β ∗ f )]

=

[f¯ ∗ α ∗ f ] [f¯ ∗ β ∗ f ]

=

uf ([α])uf ([β])

2.- Usando el camino inverso f¯ : I −→ X , definimos el homomorfismo uf¯ : π1 (X, y) −→ π1 (X, x) , dado por u ¯([γ]) = [f ∗ γ ∗ f¯] . f

3.- Sea [α] ∈ π1 (X, x) . Tenemos

uf¯ ◦ uf ([α])

= = =

uf¯([f¯ ∗ α ∗ f ])

[f ∗ (f¯ ∗ α ∗ f ) ∗ f¯]

[(f ∗ f¯) ∗ α ∗ (f ∗ f¯)]

51

Sergio Plaza =

[εx ∗ α ∗ εx ]

=

[εx ] [α] [εx ]

=

[α] ,

es decir, uf¯ ◦ uf = Idπ1 (X,x) . An´alogamente, se muestra que uf ◦ uf¯ = Idπ1 (X,y) . Esto completa la prueba.

Corolario 3.1 Si X es conexo por caminos entonces para todo x, y ∈ X se tiene

que π1 (X, x) es isomorfo a π1 (X, y) .

Nota. Si X es conexo por caminos, entonces por el corolario anterior, podemos considerar el grupo fundemental, π1 (X) , sin referencia del punto base. Observaciones. 1.

Si X es conexo por caminos, no existe un isomorfismo can´onico entre π1 (X, x) y π1 (X, y) , para x, y ∈ X , pues el isomorfismo uf construido

arriba depende de la clase de homotop´ıa del camino f : I −→ X uniendo x con y .

Por otra parte es f´acil ver que si f, g : I −→ X son caminos con f (0) = g(0) = x , f (1) = g(1) = y , y f ∼ g rel {0, 1} entonces uf = ug .

2. Si X no es conexo por caminos, puede ocurrir que para dos puntos x, y ∈ X

en diferentes componentes conexas de X tengamos grupos fundamentales π1 (X, x) y π1 (X, y) no isomorfos. Por ejemplo, sea X1 = segmento de recta uniendo a y b , y X2 = S1 , con X1 ∩ X2 = ∅ , como muestra la figura

S1

a

b

∪

Sea X = X1 ∪ X2 . Es claro que X no es conexo por caminos. Ahora, sean x ∈ X1 e y ∈ X2 . Vamos a mostrar que π1 (X, x) = {e} y π1 (X, y) = Z .

52

Sergio Plaza

En consecuencia imponemos la siguiente condici´on a los espacios topol´ogicos que vamos a considerar. Condici´ on: En lo que sigue, s´olo consideramos espacios topol´ogicos conexos por caminos.

3.4

Homomorfimo inducido

Sea X, Y espacios topol´ogicos, y sea ϕ : X −→ Y una aplicaci´on continua. Tenemos

1.- Si α : I −→ X es un camino entonces ϕ ◦ α : I −→ Y es un camino. 2.- Si α ∼ β rel {0, 1} en X entonces ϕ ◦ α ∼ ϕ ◦ β rel {0, 1} en Y . Por lo tanto, podemos definir una aplicaci´on

ϕ∗ : π1 (X; x) −→ π1 (Y, ϕ(x)) por ϕ∗ ([α]) = [ϕ ◦ α] , la cual est´a bien definida. Tenemos la siguiente. Proposici´ on 3.2 Si ϕ : X −→ Y es una aplicaci´ on continua entonces ϕ∗ : π1 (X, x) −→ π1 (Y, ϕ(x)) es un homomorfismo de grupos, llamado homomorfismo inducido.

Demostraci´ on. Sean [α], [β] ∈ π1 (X, x) . Tenemos ϕ∗ ([α ∗ β])

= [ϕ ◦ (α ∗ β)] = [(ϕ ◦ α) ∗ (ϕ ◦ β)]

(⋆)

= [ϕ ◦ α] [ϕ ◦ β] = ϕ∗ ([α])ϕ∗ ([β]) , es decir, ϕ∗ ([α ∗ β]) = ϕ∗ ([α])ϕ∗ ([β]) . Justificamos ahora el paso en (⋆). Tenemos

ϕ ◦ (α ∗ β)(t)

= =

    ϕ(α(2t))

   ϕ(β(2t − 1))

(ϕ ◦ α) ∗ (ϕ ◦ β)(t)

0 6 t 6 1/2 1/2 6 t 6 1

Sergio Plaza

53

Observaci´ on. Si ϕ : X −→ Y es inyectiva (resp. sobreyectiva) no necesariamente ϕ∗ : π1 (X, x) −→ π1 (Y, ϕ(x)) lo es. Por ejemplo, asumamos por el momento que π1 (R) = π1 (R2 ) = {0} y que π1 (S1 ) = Z . Tenemos

a) Sea i : S1 ֒→ R2 la aplicaci´on inclusi´on. Tenemos que i es continua e inyectiva, pero i∗ : π1 (S1 , 1) −→ π1 (R2 , (1, 0)) = {0} , luego no puede ser inyectiva.

b) Sea exp : R −→ S1 la aplicaci´on exponencial, la cual es dada por exp(x) = e2πix = (cos(2πx), sen(2πx)) . Tenemos que exp es sobreyectiva, pero como π1 (R, 0) = {0} , se sigue que exp∗ no puede ser sobreyectiva. Proposici´ on 3.3 Si ϕ : X −→ Y y ψ : Y −→ Z son aplicaciones continuas

entonces (ψ ◦ ϕ)∗ = ψ∗ ◦ ϕ∗ .

Demostraci´ on. Sea [α] ∈ π1 (X, x) . Tenemos ψ∗ ◦ ϕ∗ ([α]) = ψ∗ ([ϕ ◦ α]) = [ψ ◦ (ϕ ◦ α)] = [(ψ ◦ ϕ) ◦ α] = (ψ ◦ ϕ)∗ ([α]) .

Proposici´ on 3.4 Si Id : X −→ X es la aplicaci´ on identidad entonces Id∗ : π1 (X, x) −→ π1 (X, x) es el homomorfismo identidad. Demostraci´ on. Inmediata. Corolario 3.2 Si ϕ : X −→ Y es un homeomorfismo entonces ϕ∗ : π1 (X, x) −→ π1 (Y, ϕ(x)) es un isomorfismo. Demostraci´ on. Inmediata. Observaci´ on. Si π1 (X, x) es isomorfo a π1 (Y, y) no necesariamente X es homeomorfo a Y . Por ejemplo, probaremos que π1 (Rn ) = {0} (n > 1). Tambi´en veremos que π1 (banda de M¨obius) = π1 (S1 ) = Z , observemos que esta u ´ltima igualdad no

es casualidad, pues sabemos que la banda de M¨obius es homot´opicamente equivalente a su c´ırculo central, esto es el contenido del teorema siguiente. Teorema 3.3 Si r : X −→ A es retracto entonces el homomorfismo inducido

r∗ : π1 (X, a) −→ π1 (A, a) , con a ∈ A , es sobreyectivo y el homomorfismo i∗ : π1 (A, a) −→ π1 (X, a) inducido por la inclusi´ on can´ onica i : A ֒→ X , es inyec-

tivo. En consecuencia, π1 (A, a) es isomorfo a un grupo cuociente y tambi´en a un subgrupo de π1 (X, a) .

54

Sergio Plaza

Demostraci´ on. Como r◦i = IdA , se tiene que r∗ ◦i∗ = Id : π1 (A, a) −→ π1 (A, a) ,

luego r∗ , es sobreyectivo e i∗ es inyectivo. De esto se sigue el resultado.

Ahora, desde el teorema del isomorfismo tenemos que π1 (X, a)/ ker(r∗ ) ≈

π1 (A, a) , y como i∗ : π1 (A, a) −→ π1 (X, a) es inyectiva se sigue que π1 (A, a) ≈ i∗ (π1 (A, a)) ⊂ π1 (X, a) .

Corolario 3.3 Si el grupo fundamental de X es finitamente generado, entonces el grupo fundamental de cualquier retracto de X tambi´en es finitamente generado.

Demostraci´ on. Inmediata.

Teorema 3.4 Sean ϕ, ψ : X −→ Y aplicaciones continuas. Si F : ϕ ∼ ψ , de-

finamos f : I −→ Y por f (t) = F (x0 , t) , con x0 ∈ X . Entonces los homomorfis-

mos inducidos ϕ∗ : π1 (X, x0 ) −→ π1 (Y, ϕ(x0 )) y ψ∗ : π1 (X, x0 ) −→ π1 (Y, ψ(x0 ))

satisfacen uf ◦ ϕ∗ = ψ∗ , es decir, el siguiente diagrama conmuta.

ϕ∗

π1 (X, x0 )

π1 (Y, ϕ(x0 ))

c uf

ψ∗

isomorfismo

π1 (Y, ψ(x0 ))

Demostraci´ on. Dado [α] ∈ π1 (X, x0 ) , debemos probar que uf ◦ ϕ∗ ([α]) = ψ∗ ([α]) , es decir, [f¯∗ (ϕ ◦ α) ∗ f ] = [ϕ ◦ α] , m´as precisamente, f¯∗ (ϕ ◦ α) ∗ f ∼ ψ ◦ α

rel {0, 1} . Tenemos que

55

Sergio Plaza

f¯ ∗ ϕ ◦ α ∗ f (t)

 ¯    f (4t) = f (1 − 4t) = (ϕ ◦ α)(4t − 1)    f (2t − 1)     F (x0 , 1 − 4t) = F (α(4t − 1), 0)    F (x , 2t − 1) 0

0 6 t 6 1/4 1/4 6 t 6 1/2 1/2 6 t 6 1 0 6 t 6 1/4 1/4 6 t 6 1/2 1/2 6 t 6 1 .

Por otra parte, ψ ◦ α(t) = F (α(t), 1) para 0 6 t 6 1 , pero sabemos que

ψ ◦ α ∼ εy0 ∗ (ψ ◦ α) ∗ εy0 rel {0, 1} , donde y0 = ψ(x0 ) , esto u ´ltimo puede ser escrito como

(εy0 ∗ (ψ ◦ α) ∗ εy0 )(t) =

    F (x0 , 1)

F (α(4t − 1), 1)    F (x , 1) 0

0 6 t 6 1/4 1/4 6 t 6 1/2 1/2 6 t 6 1 .

Ahora definamos la homotop´ıa H : I × I −→ Y por     F (x0 , 1 − 4t(1 − s)) H(t, s) = F (α(4t − 1), s)    F (x , s + (2t − 1)(1 − s)) 0

0 6 t 6 1/4 1/4 6 t 6 1/2 1/2 6 t 6 1 .

Es f´acil ver que H es una homotop´ıa entre f¯ ∗ (ϕ ◦ α) ∗ f y εy0 ∗ (ψ ◦ α) ∗ εy0 .

Lo que completa la prueba.

Teorema 3.5 Si ϕ : X −→ Y es una equivalencia homot´ opica entonces ϕ∗ : π1 (X, x) −→ π1 (Y, ϕ(x)) es un isomorfismo.

Demostraci´ on. Sea ψ : Y −→ X una inversa homot´opica de ϕ , entonces ψ ◦ ϕ ∼ IdX y ϕ ◦ ψ ∼ IdY . Tenemos entonces que uf ◦ (ψ ◦ ϕ)∗ = Id∗ , luego ψ∗ ◦ ϕ∗ es

un isomorfismo, pues Id∗ y uf lo son. De esto concluimos que ψ∗ es sobreyectiva

y que ϕ∗ es inyectiva. An´alogamente, de ϕ ◦ ψ ∼ IdY , se obtiene que ψ∗ es inyectiva y que ϕ∗ es sobreyectiva. Lo cual completa la prueba.

Corolario 3.4 Si A ⊂ X es un retracto de deformaci´ on de X entonces π1 (A, a) ≈ π1 (X, a) , con a ∈ A .

Sergio Plaza

56

Demostraci´ on. Inmediata. Dados dos espacios topol´ogicos X e Y ¿Cu´al es la relaci´on entre π1 (X ×

Y, (x0 , y0 )) y π1 (X, x0 ) , π1 (Y, y0 ) ?

Teorema 3.6 Sean X, Y espacios topol´ ogicos entonces π1 (X × Y, (x0 , y0 )) es

isomorfo a π1 (X, x0 ) × π1 (Y, y0 ) (grupo producto directo).

Demostraci´ on. Sean p : X × Y −→ X y q : X × Y −→ Y las proyecciones can´onicas p(x, y) = x y q(x, y) = y . Dados dos caminos α, β : I −→ X × Y

cerrados con base en (x0 , y0 ) , si F : I × I −→ X × Y es una homotop´ıa entre α

y β , rel {0, 1} entonces F1 = p ◦ F y F2 = q ◦ F definen homotop´ıa rel {0, 1} entre p ◦ α y p ◦ β , y entre q ◦ α y q ◦ β , rel{0, 1} .

Ahora consideremos la aplicaci´on Θ : π1 (X × Y, (x0 , y0 )) −→ π1 (X, x0 ) ×

π1 (Y, y0 ) , dada por Θ([α]) = ([p ◦ α], [q ◦ α]) = (p∗ ([α]), q∗ ([α])) . Tenemos que Θ

est´a bien definida. Afirmamos que Θ es un isomorfismo de grupos.

1.- Θ es un homomorfismo de grupos. Tenemos que las aplicaciones p∗ : π1 (X × Y, (x0 , y0 )) −→ π1 (X, x0 ) y q∗ : π1 (X × Y, (x0 , y0 )) −→ π1 (Y, y0 ) son homomorfismos de grupos, luego Θ tambi´en lo es.

2.- Θ es sobreyectiva. Sea ([α], [β]) ∈ π1 (X, x0 )×π1 (Y, y0 ) . Definamos el camino δ : I −→ X × Y por δ(t) = (α(t), β(t)) . Es claro que Θ([δ]) = ([α], [β]) .

3.- Θ es inyectiva. Si Θ([α]) = Θ([β]) entonces [p ◦ α] = [p ◦ β] y [q ◦ α] = [q ◦ β] .

Sean F1 : p ◦ α ∼ p ◦ β y F2 : q ◦ α ∼ q ◦ β , ambas rel {0, 1} . Definamos F : I × I −→ X × Y por F (t, s) = (F1 (t, s), F2 (t, s)) . Es claro que F es continua y satisface F (t, 0) = (F1 (t, 0), F2 (t, 0)) = (p ◦ α(t), q ◦ α(t)) = α(t) , F (t, 1) = (F1 (t, 1), F2 (t, 1)) = (p ◦ β(t), q ◦ β(t)) = β(t) , F (0, s) = (F1 (0, s), F2 (0, s)) =

(F1 (1, s), F2 (1, s)) = F (1, s) . Por lo tanto F : α ∼ β , rel{0, 1} . Lo que concluye la prueba.

Ejemplos. 1. Sea Tn = S1 × · · ·× S1 (n factores) el toro n–dimensional contenido en R2n . Tenemos que π1 (Tn ) = π1 (S1 ) × · · · × π1 (S1 ) = Zn

2. Sea Z = Rn × S1 . Entonces π1 (Z) = π1 (Rn ) × π1 (S1 ) = {0} × Z ≈ Z

Sergio Plaza

57

Definici´ on 3.4 Decimos que un espacio topol´ ogico X es simplemente conexo si, X es conexo por caminos y para alg´ un (luego para todo) x ∈ X se tiene que π1 (X, x) = {1} .

Observaci´ on. Usamos la notaci´on 1 para el elemento neutro de π1 (X, x) , pues por razones psicol´ogicas hemos definido un producto ∗ en ese conjunto de modo a tener una estructura algebraica de grupo.

Ejemplo. Todo espacio contractible es simplemente conexo. La rec´ıproca es falsa. Vamos a demostrar Sn es simplemente conexa para todo n > 2 , pero no es contractible. Proposici´ on 3.5 Si X es simplemente conexo e Y es arbitrario, entonces π1 (X× Y ) ≈ π1 (Y ) . En particular, si X e Y son simplemente conexos entonces tambi´en

lo es el espacio producto X × Y . Demostraci´ on. Inmediata.

Ejemplo. Si X = S2 e Y = S1 entonces π1 (S2 × S1 ) ≈ π1 (S1 ) ≈ Z . Corolario 3.5 Si X es simplemente conexo entonces cada retracto de X tambi´en lo es.

3.5

Grupo fundamental de grupos topol´ ogicos

Una multiplicaci´on en un espacio topol´ogico X es una aplicaci´on m : X×X −→ X , el valor de m en (x, y) lo denotamos por m(x, y) = x · y .

Un elemento e ∈ X es llamado elemento neutro para la multiplicaci´on m si

e · x = x · e = x para todo x ∈ X .

Si X es un espacio topol´ogico dotado de una multiplicaci´on continua con

elemento neutro, podemos definir un nuevo producto de caminos como sigue: si α, β : I −→ X son dos caminos, definimos el producto α · β como el camino (α · β)(t) = α(t) · β(t) .

Si α, β : I −→ X son caminos cerrados con base en el elemento neutro e ,

entonces α·β es un camino cerrado con base en e . Adem´as, si α, α′ , β, β ′ : I −→ X

son caminos cerrados con base en e , tales que α ∼ α′ y β ∼ β ′ , rel {0, 1} entonces α · β ∼ α′ · β ′ rel {0, 1} . Por lo tanto en π1 (X, e) tenemos definida una nueva

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Sergio Plaza

operaci´on dada como sigue: si α = [a] y β = [b] , donde a, b : I −→ X son caminos cerrados con base en e , entonces α · β = [a · b] , la cual est´a bien definida.

Un grupo topol´ogico es un espacio topol´ogico G en el cual tenemos definida

una multiplicaci´on continua, con elemento neutro, la multiplicaci´on es asociativa, y adem´as la aplicaci´on inv : X −→ X dada por inv(x) = x−1 es continua. Ejemplos. 1. S1 = {z ∈ C : |z| = 1} es un grupo topol´ogico. 2. Sea GL(Rn ) = {A ∈ M (n × n, R) : det(A) 6= 0} el conjunto de las matrices inversible. Se tiene que GL(Rn ) es un grupo topol´ogico con el producto usual de matrices. 3. Sea H = {q = x + yi + zj + wk : x, y, z, w ∈ R} el espacio R4 , donde

definimos el producto q · q ′ = (x + yi + zj + wk) · (x′ + y ′ i + z ′j + w′ k) como el producto usual de polinomios, y los elementos i, j, k satisfacen lo siguiente i2 = j 2 = k 2 = −1

i· j = k, j ·k = i, k · i = j .

Con este producto H es un grupo topol´ogico. Este es llamado el espacio cuaternio. Dado un cuaternio q = x + yi + jz + kw se define la norma de q por p ||q|| = x2 + y 2 + z 2 + w2 .

Considerando la esfera S3 ⊂ H , que es el conjunto de los cuaternios de norma 1, se tiene que S3 es un grupo topol´ogico.

Lema 3.1 Sea X un grupo topol´ ogico dotado de una multiplicaci´ on continua con elemento neutro e . Si α, β : I −→ X son dos caminos cerrados con base en e entonces

(α ∗ e¯) · (¯ e ∗ β) = α ∗ β

(¯ e ∗ α) · (β ∗ e¯) = β ∗ α, donde e¯ : I −→ X es el camino constante e¯(t) = e . Demostraci´ on. Tenemos que α ∗ e¯(s) =

(

α(2s)

0 6 s 6 1/2

e

1/2 6 s 6 1 .

59

Sergio Plaza Por otra parte, e¯ ∗ β(s) =

(

e

0 6 s 6 1/2

β(2s − 1)

1/2 6 s 6 1 .

Por lo tanto, (α ∗ e¯· e¯∗ β)(s) = α ∗ e¯(s)· e¯∗ β(s) = α(2s)·e = α(2s) = (α ∗ β)(s)

para 0 6 s 6 1/2 , an´alogamente tenemos (α ∗ e¯ · e¯ ∗ β)(s) = α ∗ e¯(s) · e¯ ∗ β(s) =

e · β(2s − 1) = α ∗ β(s) para 1/2 6 s 6 1 . Luego, α ∗ e¯ · e¯ ∗ β = α ∗ β . La otra parte se prueba en forma an´aloga. Tenemos ahora el siguiente. Teorema 3.7 Sea X un espacio topol´ ogico con una multiplicaci´ on continua y con elemento neutro. Entonces el grupo fundamental π1 (X, e) es abeliano, y para [α], [β] ∈ π1 (X, e) los productos [α][β] y [α] · [β] coinciden. Demostraci´ on. Dados caminos cerrados con base en e , α, β : I −→ X , tenemos α ∗ β = α ∗ e¯ · e¯ ∗ β ∼ α · β ∼ e¯ ∗ α · β ∗ e¯ = β ∗ α , lo que concluye la prueba. Corolario 3.6 El grupo fundamental de un grupo topol´ ogico es abeliano.

Cap´ıtulo 4

Teorema de Seifert – van Kampen

En este cap´ıtulo estudiaremos el Teorema de Seifert–van Kampen, el cual nos permitir´a calcular grupos fundamentales de varios espacios.

Supongamos que X = U1 ∪ U2 , donde U1 y U2 son conjuntos abiertos y

conexos por caminos, y son tales que U1 ∩ U2 es conexo por caminos. Sean ψi : Ui ֒→ X y ϕi : U1 ∩ U2 ֒→ Ui (i = 1, 2) las respectivas inclusiones. Tenemos el siguiente diagrama conmutativo

60

61

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U1 ϕ1

ψ1

ψ1 ◦ ϕ1 = ψ2 ϕ2

U1 ∩ U2

ϕ2

X

ψ2 U2

Sea x0 ∈ U1 ∩ U2 . El diagrama anterior induce el siguiente diagrama conmu-

tativo a nivel de grupos fundamentales

π1 (U1 , x0 ) ϕ1∗

ψ1∗

ψ1∗ ◦ ϕ1∗ = ψ2∗ ◦ ϕ2∗

π1 (U1 ∩ U2 , x0 )

ϕ2∗

π1 (X, x0 )

ψ2∗ π1 (U2 , x0 )

Supongamos que conocemos π1 (U1 ∩ U2 , x0 ) , π1 (U1 , x0 ) y π1 (U2 , x0 ) , es de-

62

Sergio Plaza

cir, tenemos representaciones π1 (U1 ∩ U2 , x0 ) = hS, Ri , π1 (U1 , x0 ) = hS1 , R1 i y

π1 (U2 , x0 ) = hS2 , R2 i , donde S , S1 y S2 son los generadores de los respectivos

grupos y R , R1 y R2 , son las relaciones que satisfacen los elementos generadores

de esos grupos. Sea s ∈ S , entonces ϕ1∗ s ∈ π1 (U1 , x0 ) y ϕ2∗ s ∈ π1 (U2 , x0 ) . Luego estos

elementos pueden ser representados por palabras en los generadores S1 y S2 ,

respectivamente, las cuales denotamos por ‘ϕ1∗ s’ y ‘ϕ2∗ s’. Sea RS el siguiente conjunto de palabras en S1 ∪ S2 , RS = {‘ϕ1∗ s’ = ‘ϕ2∗ s’ : s ∈ S} . Ahora necesitamos el siguiente lema de topolog´ıa de espacios m´etricos. Lema 4.1 (del cubrimiento de Lebesgue). Sea (X, d) un espacio m´etrico compacto y sea U = {Uj }i∈J un cubrimiento abierto de X . Entonces existe un n´ umero δ > 0 (llamado n´ umero de Lebesgue del cubrimiento) tal que cada S ⊂ X, con diam (S) < δ est´ a contenido en alg´ un abierto del cubrimiento U de X .

Demostraci´ on. Ver Lima “Topolog´ıa Geral”. Lema 4.2 (Generadores de π1 (X, x0 )) En las condiciones anteriores π1 (X, x0 ) es generado por ψ1∗ π1 (U1 , x0 ) ∪ ψ2∗ π1 (U2 , x0 ) , esto es, si [α] ∈ π( X, x0 ) , entonces [α] = Πfinito ψλ(k)∗ [αk ] , donde [αk ] ∈ π1 (Uλ(k) , x0 ) y λ(k) = 1 o 2. Demostraci´ on. Sea α : I −→ X un camino cerrado con base en x0 ∈ U1 ∩ U2 .

Sea δ > 0 el n´ umero de Lebesgue del cubrimiento abierto {α−1 (U1 ), α−1 (U2 )} del

intervalo I , esto significa que si 0 = t0 < t1 < · · · < tn = 1 es una partici´on de

I , con ti − ti−1 < δ entonces α([ti−1 , ti ]) est´a contenido en U1 o en U2 para

i = 1, . . . , n . Adem´as, podemos suponer que α(ti ) ∈ U1 ∩ U2 , pues si esto no

ocurre entonces α([ti−1 , ti ]) y α([ti , ti+1 ]) estan ambos contenidos en U1 o estan ambos contenidos en U2 , y podemos considerar el intervalo [ti−1 , ti+1 ] para el cual se tiene que α([ti−1 , ti+1 ]) est´a contenido en U1 o est´a contenido en U2 , y reindiciamos los intervalos para tener la propiedad deseada.

Sergio Plaza

63

Figura Pendiente. Sean αi : I −→ X (i = 1, . . . , n) los caminos definidos por αi (t) = α((1 −

t)ti−1 + tti ) . Tenemos que αi (0) = α(ti−1 ) , αi (1) = α(ti ) , y αi (I) est´a contenido en U1 o en U2 . Afirmaci´ on. [α] = [α1 ][α2 ] · · · [αn ] .

En efecto, sean gi : I −→ X los caminos uniendo x0 con α(ti ) , con i =

1, . . . , n − 1 con g1 (I) ⊂ U1 ∩ U2 , y sean g0 , gn : I −→ U1 ∩ U2 los caminos

constantes definidos por g0 (t) = gn (t) = x0 para todo t ∈ I .

Figura. Como [α] = [α1 ][α2 ] · · · [αn ] = [g0 ][α1 ][¯ g1 ][g1 ][α2 ][¯ g2 ] · · · [gn−1 ][αn ][¯ gn ] y cada

camino gi−1 ∗ αi ∗ g¯i es un camino cerrado con base en x0 el cual est´a enteramente contenido en U1 o en U2 , de donde se tiene lo pedido.

Corolario 4.1 Sea X = U1 ∪ U2 como antes. Si U1 y U2 son simplemente

conexos y U1 ∩ U2 es conexo por caminos entonces X es simplemente conexo. Demostraci´ on. Inmediata.

Ejemplo. Probaremos ahora que la esfera n–dimensional Sn , es simplemente conexa para n > 2 . Sean pN = (0, . . . , 0, 1) y pS = (0, . . . , 0, −1) los polos norte

y sur de la esfera Sn , respectivamente. Sean U1 = Sn − {pN } y U2 = Sn − {pS } .

Tenemos que U1 y U2 son simplemente conexos, pues ambos son homeomorfos a Rn v´ıa las correspondientes proyecciones estereogr´aficas. Ahora, U1 ∩ U2 =

Sn − {pN , pS } es homeomorfo a Rn − {0} , el cual es conexo por caminos si n > 2 . Por el corolario se sigue que Sn es simplemente conexa si n > 2 .

Observaci´ on. Una situaci´on importante en la cual se aplica la proposici´on anterior es cuando X = X1 ∪ X2 , con X1 ∩ X2 conexo por caminos, pero X1 y/o X2

es(son) no abierto(s). Para aplicar la proposici´on anterior de hecho es suficiente que existan abiertos U1 ⊃ X1 , U2 ⊃ X2 , con U1 ∩ U2 conexo por caminos, tales

64

Sergio Plaza

que las inclusiones can´onicas i1 : X1 ֒→ U1 e i2 : X2 ֒→ U2 sean equivalencias de homotop´ıas. Ejemplo. Sea X = Sn ∨p Sm el espacio formado por las esferas Sn y Sm pegadas

por un punto p . Consideremos puntos x ∈ Sn e y ∈ Sm , con x 6= p e y 6= p , y los conjuntos U1 = X − {x} y U2 = X − {y} , las inclusiones can´onicas i1 : Sm ֒→ U1

e i2 : Sn ֒→ U2 son equivalencias homot´opicas. Ahora, si n, m > 2 , entonces se sigue que X es simplemente conexo.

p

x

Sn

y

Sm

Observaci´ on. No es necesariamente verdad que la uni´on de dos espacios simplemente conexos con un punto en com´ un sea simplemente conexo. Para mostrar esto, consideramos los siguientes espacios: sean Yn y Zn (n ∈ N), los c´ırculos de radio 1/n y centro en los puntos (−1/n, 0) y (1/n, 0) , respectivamente. Recordemos que

el cono de un espacio topol´ogico Z , denotado por C(Z) es el espacio cuociente C(Z) = Z × I/(Z × {1} ∼ ∗) , el punto ∗ es llamado el v´ertice de C(Z) .

Ahora pongamos Y = ∪n∈N Yn y Z = ∪n∈N Zn . Sea C(Y ) el cono sobre

Y , con v´ertice en el punto (0, 0, 1) , y sea C(Z) el cono sobre Z con v´ertice en (0, 0, −1) . Es claro que C(Y ) y C(Z) son simplemente conexos, pues son contractibles. Adem´as, C(Y ) ∩ C(Z) = (0, 0, 0) , pero X = C(Y ) ∨(0,0,0) C(Z) no

65

Sergio Plaza

es simplemente conexo, pues un camino cerrado con base en (0, 0, 0) que recorra una infinidad de c´ırculos Yn y una infinidad de c´ırculos Zn no puede se homot´opico a un camino constante (justifique esto). Ejemplo. Sea X la figura 8, es decir, X = S1 ∨x0 S1 . Sean a, b puntos de la figura 8, con a 6= x0 y b 6= x0 , uno en cada c´ırculo, como muestra la figura siguiente

x0

a

S1a

b

S1b

Definamos U1 = figura 8 − {a} y U2 = figura 8 − {b} . Ambos conjuntos U1 y

U2 son abiertos y U1 ∩ U2 = figura 8 − {a, b} . Ahora tenemos que X1 = X2 = S1

son retractos de deformaci´on fuerte (por lo tanto homot´opicamente equivalentes) a U1 y a U2 , respectivamente. Sea [α] un generador de π1 (S1a ) y sea [β] un generador de π1 (S1b ) . Entonces π1 (X, x0 ) es generado por [α] y [β] . Note que esto no significa que π1 (X, x0 ) = h[α], [β]i , pues pueden existir relaciones entre los generadores S1 y S2 de π1 (U1 , x0 ) y π1 (U2 , x0 ) , respectivamente.

Lema 4.3 (Relaciones en π1 (X, x0 ) ) Los generadores S1 ∪ S2 de π1 (X, x0 ) satisfacen las relaciones R1 ∪ RS ∪ R2 .

Demostraci´ on. Como ψj∗ : π1 (Uj , x0 ) −→ π1 (X, x0 ) (j = 1, 2) son homomorfismos de grupos, se tiene que cualquier relaci´on que satisfacen los elementos de Sj en π1 (Uj , x0 ) (j = 1, 2) la satisfacen sus im´agenes ψj∗ s en π1 (X, x0 ) . Observaci´ on. Si s ∈ Sj , usaremos la notaci´on s en vez de ψj∗ s para representar dicho elemento en π1 (X, x0 ) . Luego, como Sj genera π1 (Uj , x0 ) , tenemos que ψ1∗ S1 ∪ ψ2∗ S2

notaci´ on

=

S1 ∪ S2 genera π1 (X, x0 ) , luego los elementos de π1 (X, x0 )

satisfacen las relaciones R1 ∪ R2 .

66

Sergio Plaza

Ahora, si s ∈ RS tenemos que ψ1∗ ◦ ϕ1∗ s = ψ2∗ ◦ ϕ2∗ s es denotado simple-

mente por ϕ1∗ s = ϕ2∗ s , donde s ∈ S , estos elementos de π1 (X, x0 ) satisfacen las relaciones RS .

Lema 4.4 Si los elementos de S1 ∪ S2 en π1 (X, x0 ) satisfacen alguna relaci´ on

entonces esa relaci´ on es consecuencia de R1 ∪ RS ∪ R2 . demostraci´ on. Se deja a cargo del lector.

Teorema 4.1 (Seifert–van Kampen) Sea X = U1 ∪ U2 , donde U1 y U2 son conjuntos abiertos conexos por caminos, con U1 ∩ U2 conexo por caminos. Sean hS1 , R1 i y hS2 , R2 i representaciones de π1 (U1 , x0 ) y π1 (U2 , x0 ) , respectivamente.

Sean ϕ1 : U1 ∩ U2 ֒→ U1 , ϕ2 : U1 ∩ U2 ֒→ U2 , ψ1 : U1 ֒→ X , y ψ2 : U2 ֒→ X las

respectivas inclusiones can´ onicas

U1 ϕ1

ψ1

ψ1 ◦ ϕ1 = ψ2 ϕ2

U1 ∩ U2

ϕ2

X

ψ2 U2

Sea π1 (U1 ∩ U2 , x0 ) = hS, RS i , donde RS = {‘ϕ1∗ s’ = ‘ϕ2∗ s’ : s ∈ S} .

Entonces π1 (X, x0 ) = hS1 ∪ S2 , R1 ∪ RS ∪ R2 i .

67

Sergio Plaza

4.1

C´ alculo del grupo fundamenetal de algunos espacios

En esta secci´on veremos c´omo utilizando el Teorema de Seifert–van Kampen, podemos calcular el grupo fundamental de algunos espacios. Toro T2 . Sabemos que el toro T2 es el espacio cuociente del cuadrado Q = [0, 1] × [0, 1] identificando los puntos (x, 0) con (x, 1) , y (0, y) con (1, y) del

borde de Q , y la identificaci´on en el interior del cuadrado Q es la identidad. a2

x1

a1

y

x1

a1

x0

x1

a2

x1

Sean U1 = T2 − {y} , U2 = T2 − (a1 ∪ a2 ) . Es claro que U1 y U2 son abiertos

y conexos por caminos, con U1 ∩ U2 = T2 − (a1 ∪ a2 ∪ {y}) conexo por caminos. Sea

C una curva cerrada (c´ırculo centrado en y ) que pasa por x0 ∈ T2 como muestra la figura arriba. Sea d una curva simple desde x0 a x1 .

Si α1 y α2 denotan caminos cerrados en U1 con base en x1 , que recorren una vez a1 y a2 , respectivamente, como indica la Figura. Entonces π1 (U1 , x1 ) es un grupo libre con generadores [α1 ] y [α2 ] . Sea δ = [d] . Tenemos entonces que ¯ y [d ∗ α2 ∗ d] ¯ , los cuales π1 (U1 , x0 ) es un grupo libre con generadores [d ∗ α1 ∗ d] denotamos por A1 y A2 , respectivamente.

El punto x0 es un retracto de deformaci´on fuerte de U2 , luego π1 (U1 , x0 ) = {1} . Por otra parte, U1 ∩ U2 tiene al c´ırculo C como retracto de deformaci´on

fuerte, luego si γ denota el camino cerrado en U1 ∩ U2 que recorre C una vez, entonces π1 (U1 ∩ U2 , x0 ) = h[γ]i .

Por el Teorema de Seifert–van Kampen, tenemos que π1 (T2 , x0 ) es generao

68

Sergio Plaza por {A1 , A2 } y sujeto a la relaci´on ‘ϕ1 [γ]’=‘ϕ2 [γ]’. Ahora, en U1 tenemos que ¯ [ϕ1 ◦ γ] = [d ∗ α1 ∗ α2 ∗ α1 ∗ α2 ∗ d] ¯ ∗ α2 ∗ d] ¯ ¯ ¯ = [d ∗ α1 ∗ d][d ∗ α2 ∗ d][d ∗ α1 ∗ d][d −1 = A1 A2 A−1 1 A2 ,

−1 es decir, en π1 (U1 , x0 ) se tiene que ‘ϕ1∗ [γ]’=‘A1 A2 A−1 1 A2 ’. Por otra parte, se −1 ∼ tiene que ‘ϕ2∗ [γ]’=1, por lo tanto, tenemos que π1 (T2 , x0 ) = h{A1 , A2 : A1 A2 A−1 1 A2 }i =

Z×Z

Botella de Klein K2 . Sabemos que que la botella de Klein se obtiene como el espacio cuociente del cuadrado Q = [0, 1] × [0, 1] identificando los puntos del borde como indica la figura. En el interior de Q la identificaci´on es la identidad. a2 x1 x1

y

a1

a1

x0

x1

x1 a2 Sean U1 = K −{y} y U2 = K −(a1 ∪a2 ) . Es claro que U1 y U2 son abiertos 2

2

conexos por caminos, y que U1 ∩ U2 es conexo por caminos. Se tiene que la figura

8 es un retracto de deformaci´on fuerte de U1 , luego, π1 (U1 , x1 ) = h[α1 ], [α2 ]i . Por ¯ [d ∗ α2 ∗ d]i ¯ = hA1 , A2 i . Por otra parte, como lo tanto π1 (U1 , x0 ) = h[d ∗ α1 ∗ d],

U2 es contractible se tiene que π1 (U2 , x0 ) = {1} . Tenemos tambi´en que U1 ∩ U2

tiene a C como un retracto de deformaci´on fuerte. Si C es representado por el camino γ que recorre C una vez, entonces π1 (U1 ∩ U2 , x0 ) = h[γ]i . Ahora, en U1 tenemos que

ϕ1∗ [γ] = =

¯ [d ∗ α1 ∗ α2 ∗ α1 ∗ α2 ∗ d] ¯ ∗ α2 ∗ d][d ¯ ∗ α1 ∗ d][d ¯ ∗ α2 ∗ d] ¯, [d ∗ α1 ∗ d][d

2 es decir, ‘ϕ1∗ [γ]’= A1 A2 A−1 1 A2 . Por otra parte, ‘ϕ2∗ [γ]’ = 1, por lo tanto π1 (K , x0 ) = ∼ h{a, c : a2 c2 = 1}i h{A1 , A2 : A1 A2 A−1 A2 = 1}i = 1

Plano Proyectivo RP2 . Tenemos que el plano proyectivo RP2 se obtiene como

69

Sergio Plaza

el espacio cuociente del disco unitario D2 identificando los puntos de su borde antipodalmente. En el interior del disco la identificaci´on es la identidad. x1

y x0

x1 2

Sean U1 = RP −{y} y U2 = RP2 −a . Tenemos que π1 (U1 , x1 ) = h[α]i , luego ¯ = hAi . Tambi´en tenemos que π1 (U2 , x0 ) = {1} . Como C π1 (U1 , x0 ) = h[d ∗ α ∗ d]i es un retracto de deformaci´on fuerte de U1 ∩U2 , se sigue que π1 (U1 ∩U2 , x0 ) = h[γ]i , donde γ : I −→ RP2 recorre C una vez. En U1 tenemos que ¯ ϕ1∗ [γ] = [d ∗ α ∗ α ∗ d] ¯ ∗ α ∗ d] ¯, = [d ∗ α ∗ d][d es decir, ‘ϕ1∗ [γ]’= A2 , y en U1 se tiene que ‘ϕ2∗ [γ]’=1, por lo tanto π1 (RP2 , x0 ) = ∼ Z2 . h{A : A2 = 1}i =

4.2

Grupo fundamental de superficies

Hasta el momento hemos calculado el grupo fundamental de la superficies correspondiente al toro, la botella de Klein y el plano proyectivo. La idea usada para esos c´alculo se extiende de modo simple al resto de las superficies (variedades 2– dimensionales) compactas y conexas. Tenemos Teorema 4.2 Sea S una superficie 2–dimensional compacta y conexa. Entonces, S = S2 #mT2 #nRP2 y su grupo fundamental es un grupo libre con generadores c1 , d1 , c2 , d2 , . . . , cm , dm , f1 , f2 , . . . , fn y una relaci´ on −1 −1 −1 −1 −1 2 2 2 c1 d1 c−1 1 d1 c2 d2 c2 d2 · · · cm dm cm dm f1 f2 · · · fn = 1 .

Demostraci´ on. Podemos escribir S como

70

Sergio Plaza

S = X ∪ H1 ∪ H2 ∪ · · · ∪ Hm ∪ M 1 ∪ · · · ∪ M n , donde X es la esfera S2 con m + n = q discos abiertos removidos desde ella, H1 , H2 , . . . , Hm son asas, es decir, toros T2 con un disco abierto removido, y M1 , . . . , Mn son bandas de M¨obius, es decir, planos proyectivos con un disco removido. Sean b1 , . . . , br los c´ırculos bordes en X . Entonces tenemos que

X ∩ H1

=

bi , i = 1, 2, . . . , m

X ∩ Mj

=

bm+j , j = 1, 2, . . . , n .

Notemos que X es homemorfa a un disco D2 con q − 1 discos abiertos re-

movidos. Sea x0 ∈ Int(X) y sean x1 , . . . , xq puntos en b1 , . . . , bq como muestra la figura.

Figura El subespacio de X , que cosniste de a1 , a2 , . . . , aq−1 y b1 , . . . , bq−1 es un retracto de deformaci´on fuerte de X . Sean α1 , . . . , αq caminos en X desde x0 a x1 , correspondientes a las curvas a1 , . . . , aq y sean β1 , . . . , βq caminos cerrados en X con puntos bases x1 , . . . xq , respectivamente, correspondiendo a las curvas b1 , . . . , bq . Entonces

π1 (X, x0 ) = hB1 , . . . , Bq−1 , Bq ; B1 B2 · · · Bq−1 Bq = 1i , donde Bi = [αi ∗βi ∗αi ] . Tenemos, Bq−1 = B1 B2 · · · Bq−1 , es decir, B1 B2 · · · Bq−1 Bq = 1.

71

Sergio Plaza

Adem´as, π1 (X, xi ) , i = 1, . . . , q es dado por el grupo libre con generadores h(Bj ) , j = 1, . . . , q y una relaci´on hi (B1 B2 · · · Bq ) = 1 , donde hi : π1 (X, x0 ) −→

π1 (X, xi ) es el isomorfismo dado por hi ([θ]) = [αi ∗ θ ∗ αi ] . Figura

Ahora, sea Hi una asa. Tenemos que π1 (Hi , xi ) = hCi , Di i , donde Ci =

[εi ∗ γi ∗ εi ] y Di = [εi ∗ δi ∗ εi ] .

Notemos que el camino cerrado βi , correspondiente a bi , puede ser expresado

en t´erminos de Ci y Di como

[βi ] = Ci Di Ci−1 Di−1 . Ahora, consideremos una banda de M¨obius Mj . El grupo fundamental de Mj es generado por

Fj = [εj+m ∗ ϕj ∗ εj+m ] , donde εj+m es representado por el camino cerrado ej+m y ϕj (I) =c´ırculo central de la banda de M¨obius. Notemos que [βj+m ] = Fj2 . Luego,

π1 (Mj , xj+m ) =

hFj i .

Calcularemos el grupo fundamental de S inductivamente. Definamos X0 , X1 , . . . , Xq como sigue.

X0

= X

Xi

= Xi−1 ∪ Hi , i = 1, . . . , m

Xm+j

= Xm+j−1 ∪ M1 , j = 1, . . . , n .

Afirmamos que

π1 (Xi , x0 )

= hc1 , d1 , c2 , d2 , . . . , ci , di , Bi+1 , . . . , Bi+1 ;

−1 −1 −1 c1 d1 c−1 1 d1 · · · ci di ci di Bi+1 Bi+2 · · · Bq = 1i

72

Sergio Plaza

π1 (Xm+j , x0 )

= hc1 , d1 , c2 , d2 , . . . , cm , dm , f1 , f2 , . . . , fj , Bm+j+1 , . . . , Bq ;

−1 −1 −1 2 2 2 c1 d1 c−1 1 d1 · · · ci di ci di f1 f2 · · · fj Bm+j+1 Bm+j+2 · · · Bq = 1i

Para poder usr el teorema de Seifert– van Kampen necesitamos expresar Xk como una uni´on de dos subconjuntos abiertos. Tenemos que Xk = Xk−1 ∪ Yk ,

donde Yk = Hi o Mj para alg´ un i o j . Pero ninguno de esos subespacios son abiertos. Recordemos que al tomar sumas conexas, existe una vecindad abierta Nk de bk en S , la cual es homeomorfa al cilindro abierto S1 × ] − 1, 1[ , tal que si gk : Nk −→ S1 × ] − 1, 1[ es el homeomorfismo, entonces gk (bk ) = S1 × {0} y gk−1 (S1 × ] − 1, 1[ ) ⊂ X ⊂ Xk−1 y gk−1 (S1 × [0, 1[ ) ⊂ Yk .

Luego, definimos Uk = Xk−1 ∪Nk ⊂ Xk−1 ∪Yk y Vk = Nk ∪Yk ⊂ Xk−1 ∪Yk ⊂

Xk . Tenemos que Uk y Vk son abiertos, conexos por caminos y Uk ∩ Vk = Nk

es abierto y conexo por caminos. Aplicamos entonces Seifert–van Kampen a Xk = Uk ∪ Vk y xk ∈ bk como punto base. Es claro que Xk−1 , Yk , bk son retracto de deformaci´on fuerte de Uk , Vk y Uk ∪ Vk , respectivamente. Luego, π1 (Uk , xk )

= π1 (Xk−1 , xk )

π1 (Vk , xk )

= π(Yk , xk )

π1 (Uk ∩ Vk , xk )

= π1 (bk , xk ) = h[βk ] ; ∅i .

Ahora el c´alculo, usando inducci´on, es f´acil y se deja a cargo del lector.

Cap´ıtulo 5

Grupo fundamental del c´ırculo En este cap´ıtulo mostraremos que el grupo fundamental del c´ırculo S1 es isomorfo al grupo aditivo Z . Para esto introducimos el concepto de levantamiento de aplicaciones. Adem´as, en el desarrollo sistem´atico de este ejemplo se encuentran las ideas fundamentales para el estudio de espacios recubrimiento, t´opico que estudiaremos en cap´ıtulos posteriores. Nos dedicaremos a demostrar el siguiente.

Teorema 5.1 π1 (S1 ) ∼ = Z. Consideremos la aplicaci´ on exponencial e = exp : R −→ S1 ⊂ C , la cual es dada por exp(t) = e2πit = cos(2πt) + isen(2πt) . Tenemos que e−1 (1) ∼ = Z . La idea para probar que π1 (S1 ) ∼ = Z es la siguiente. Dado un camino cerrado α : I −→ S1

con base en 1 ∈ S1 , mostraremos que existe un u ´nico camino α ˜ : I −→ R , tal que α(0) ˜ = 0 y e◦α ˜ = α . Ahora, como α(1) = 1 se tiene que α ˜ (1) ∈ e−1 (1) ∼ = Z. Definimos de este modo el grado de α , denotado por deg(α) , como deg(α) = α ˜ (1)

y podemos definir la aplicaci´on deg : π1 (S1 , 1) −→ Z por deg([α]) = α ˜ (1) , la cual est´a bien definida, pues si [α] = [β] en π1 (S1 , 1) entonces tendremos que ˜ . Finalmente, mostraremos que deg es el isomorfismo deseado. α(1) ˜ = β(1)

73

Sergio Plaza

74

Figura. Lema 5.1 Sea U ⊂ S1 −{1} un conjunto abierto. Denotemos por V = I∩e−1 (U ) .

Entonces e−1 (U ) es una uni´ on disjunta de conjuntos abiertos Vn , con n ∈ Z ,

donde Vn = V + n = {t + n : t ∈ V } . Adem´ as, para cada n ∈ Z , tenemos que e|Vn : Vn −→ U es un homeomorfismo.

Demostraci´ on. Sin perdida de generalidad, podemos suponer que U es un arco abierto de S1 , es decir, U = {e2πit : 0 6 a < t < b 6 1 , donde a, b ∈ I .

Tenemos entonces que V = ]a, b[ y Vn = ]a + n, b + n[ , con n ∈ Z . Es claro que

e−1 (U ) = ∪n∈Z Vn es una uni´ on disjunta de abiertos.

Ahora sea en = e|Vn . Tenemos que en es continua y biyectiva. Sea W ⊂

Vn un conjunto cerrado, por lo tanto compacto. Como W es compacto y S1

es Hausdorff, se sigue que en induce un homeomorfismo desde W en en (W ) , luego en (W ) es un compacto en S1 , por lo tanto es un conjunto cerrado, y en consecuencia e−1 es continua, como quer´ıamos probar. n Corolario 5.1 Si f : X −→ S1 es una aplicaci´ on continua y no sobreyectiva,

entonces f es homot´ opica a una aplicaci´ on constante (es decir, homot´ opicamente nula).

Demostraci´ on. Sea x ∈ S1 − Imagen(f ) . Tenemos que S1 − {x} es homeomorfo

a R , por lo tanto contractible. De este hecho se sigue el resultado.

Teorema 5.2 (Levantamiento de caminos). Sea α : I −→ S1 un camino. En-

tonces existe un camino α ˜ : I −→ R , llamado un levantamiento de α , tal que

e◦α ˜ = α . Adem´ as, dado t0 ∈ R con e(t0 ) = α(0) entonces existe un u ´nico

levantamiento α ˜ de α , tal que α ˜ (0) = t0 .

Demostraci´ on. Para cada x ∈ S1 , sea Ux una vecindad abierta de x , tal

que e−1 (Ux ) es una uni´on disjunta de subconjuntos abiertos de R , los cuales son aplicados por e homeomorficamente sobre Ux (por ejemplo, tomar Ux como un arco abierto peque˜ no alrededor de x y aplicar el lema anterior). Tenemos entonces que {α−1 (Ux ) : x ∈ S1 } es un cubrimiento abierto de I , el cual

puede ser escrito en el forma { ]xj , yj [ ∩I : i ∈ J} , donde J es un conjunto

de ´ındices. Como I es compacto, existe un subcubrimiento finito de I de la

Sergio Plaza

75

forma [0, t1 + ε1 [ , ]t2 − ε2 , t2 + ε2 [ , . . . , ]tn − εn , 1] , con ti+1 − εi+1 < ti + εi , para i = 1, . . . , n − 1 . Ahora elegimos ai ∈ ]ti+1 − εi+1 , ti + εi [ , de modo que

a0 = 0 < a1 < · · · < an−1 < an = 1 . Es claro que α([ai , ai+1 ]) est´a contenido en

un conjunto abierto Si de S1 , tal que e−1 (Si ) es una uni´on disjunta de abiertos que son aplicados por e homeomorficamente sobre Si . Definimos levantamientos α ˜k de α sobre los intervalos [0, ak ] , inductivamente, con k = 0, 1, . . . , n , los que tienen la propiedad que α ˜ k (0) = t0 . Para k = 0 , definimos α ˜ 0 (0) = t0 , la cual es la u ´nica elecci´on posible una vez fijado t0 ∈ R . Supongamos que tenemos definido α ˜ k : [0, ak ] −→ R , el cual

es u ´nico con las propiedades que α ˜ k (0) = t0 y e ◦ α ˜ k = α|[0, ak ] . Tenemos que

α( ]ak , ak+1 [ ) est´a contenido en un conjunto abierto Sk de S1 , tal que e−1 (Sk ) es una uni´on disjunta de conjuntos abiertos {Wj : j ∈ Γ} tal que para cada j ∈ Γ se tiene que ej = e|Wj : Wj −→ Sk es un homeomorfismo.

Figura. Es claro que α ˜ (ak ) ∈ W para alg´ un W ∈ {Wj : j ∈ Γ} . Cualquier extensi´on

α ˜k+1 de α ˜ k debe aplicar [ak , ak+1 ] en W , pues [ak , ak+1 ] es conexo por caminos. Como e|W : W −→ Sk es un homeomorfismo, existe una u ´nica aplicaci´on continua

ρ : [ak , ak+1 ] −→ W tal que e ◦ ρ = α|[ak , ak+1 ] , para esto basta tomar ρ =

(e|W )−1 ◦ α .

Ahora definamos α ˜k+1 : [0, ak+1 ] −→ R por ( α ˜ k (t) t ∈ [0, ak ] α ˜k+1 (t) = ρ(t) t ∈ [ak , ak+1 ] ,

por el Gluing Lemma, se tiene que α ˜ k+1 es continua, lo que completa la prueba del teorema. Ahora, dado α : I −→ S1 un camino cerrado con base en 1, sea α ˜ : I −→ R

el u ´nico levantamiento de α con α ˜ (0) = 0 . Como e ◦ α ˜ = α y α(1) = 1 se tiene

Sergio Plaza

76

que α ˜ (1) = e−1 (1) ∼ = Z . definimos el grado de α , denotado por deg(α) , como deg(α) = α(1) ˜ . La pregunta natural que surge aqu´ı es la sigueiente: Si α, β : I −→ S1 son

caminos cerrados con base en 1, y α ∼ β rel {0, 1} en S1 ¿vale que deg(α) = deg(β)? La respuesta viene dada por los siguientes teoremas.

Teorema 5.3 (Levantamiento de Homotop´ıas). Sea F : I × I −→ S1 una aplicaci´ on continua. Entonces existe un levantamiento F˜ : I ×I −→ R de F . Adem´ as, ˜ dado x0 ∈ R con e(x0 ) = F (0, 0) , existe un u ´nico levantamiento F de F , con F˜ (0, 0) = x0 .

Demostraci´ on. An´aloga a la anterior, se deja a cargo del lector. Teorema 5.4 (Monodromia para exp : R −→ S1 ). Sean α, β : I −→ S1 caminos cerrados con base en 1 ∈ S1 . Si α ∼ β rel {0, 1} y α, ˜ β˜ denotan los u ´nicos ˜ levantamientos α y β , respectivamente, con α ˜ (0) = β(0) = 0 entonces α ˜ (1) = ˜ . β(1) Demostraci´ on. Sea F : I × I −→ S1 una homotop´ıa rel {0, 1} entre α y β . Entonces por el teorema anterior existe un u ´nico levantamiento F˜ : I × I −→ R de ˜ . Como F (t, 0) = α(t) y F (t, 1) = β(t) , se sigue que F , con F˜ (0, 0) = α ˜ (0) = β(0) ˜ . Adem´as, tenemos que F˜ (1, s) es un camino desde F˜ (t, 0) = α ˜ (t) y F˜ (t, 1) = β(t) ˜ , pues α(1) = β(1) = F (1, s) , pero F˜ (1, s) ∈ e−1 (1) , luego F˜ (1, s) es α(1) ˜ a β(1) ˜ . constante, por lo tanto F˜ (1, s) = α ˜ (1) = β(1)

Corolario 5.2 La aplicaci´ on deg : π1 (S1 , 1) −→ Z est´ a bien definida. Teorema 5.5 π1 (S 1 , 1) ∼ = Z. Demostraci´ on. Tenemos definida la aplicaci´on deg : π1 (S1 , 1) −→ Z . Afirmamos

que deg es un isomorfismo de grupos. i) deg es sobreyectiva.

Dado n ∈ Z , sea gn : I −→ R el camino definido por gn (t) = nt . Tenemos

que αn = e◦gn : I −→ S1 es un camino cerrado con base en 1. Por definici´on, gn es un levantamiento de αn con gn (0) = 0 , luego deg([αn ]) = deg(αn ) = gn (1) = n . ii) deg es un homomorfismo de grupos.

77

Sergio Plaza

Sea ℓa (α) el levantamiento del camino cerrado α : I −→ S1 con base en 1, tal

que ℓa (α)(0) = a ∈ e−1 (1) , es decir, ℓa (α) es el levantamiento de α , comenzando en a ∈ e−1 (1) . Tenemos que ℓ0 (α) = α ˜ y ℓa (α) = a + α ˜ . Adem´as, es claro que ℓa (α ∗ β) = ℓa (α) ∗ ℓb (β) , donde b = α ˜ (1) + a . Ahora, sean [α], [β] ∈ π1 (S1 , 1) . Tenemos

deg([α][β])

=

deg([α ∗ β])

=

α] ∗ β(1)

=

ℓ0 (α ∗ β)(1)

=

ℓ0 (α) ∗ ℓb (β)(1)

=

ℓb (β)(1)

=

b + ℓ0 (β)(1)

=

˜ α ˜ (1) + β(1)

=

deg([α]) + deg([β])

donde b = α ˜ (1)

iii) deg es inyectiva. Supongamos que deg([α]) = 0 , es decir, deg(α) = 0 , esto significa que el levantamiento α ˜ de α satisface α ˜ (0) = α(1) ˜ = 0 . Como R es contractible, se tiene que α ˜ ∼ ε0 rel {0, 1} , donde ε0 : I −→ R es el camino constante ε0 (t) = 0 para todo t ∈ I . Luego, existe una homotop´ıa F : I × I −→ R tal que   ˜   F (t, 0) = α(t) F (t, 1) = ε0 (t) = 0    F (0, s) = F (1, s) = 0 .

Por ejemplo, F (t, s) = (1 − s)˜ α(t) . Ahora, e ◦ F : I × I −→ S1 es continua y

satisface

  ˜ (t) = α(t)   e ◦ F (t, 0) = e ◦ α

e ◦ F (t, 1) = e ◦ ε0 (t) = e(0) = 1    e ◦ F (0, s) = e ◦ F (1, s) = e(0) = 1,

es decir, e ◦ F es una homotop´ıa rel {0, 1} entre α y el camino constante ε1 : I −→ S1 , dado por ε1 (t) = 1 para todo t ∈ I . Por lo tanto, [α] = 1 ∈ π1 (S1 , 1) . Esto completa la prueba del teorema.

78

Sergio Plaza

5.1

Aplicaciones del grupo fundamental de c´ırculo

Veremos ahora algunas consecuencias del isomorfismo π1 (S1 ) ∼ = Z. Comenzamos justificando algunos hechos, usados en cap´ıtulos anteriores. 1.- Sea Tn = S1 × · · · × S1 el toro n–dimensional. Entonces π1 (Tn ) ∼ = Zn . | {z } n–veces

2.- Sea M la banda de M¨obius. Tenemos que el c´ırculo central de M es un retracto ∼ π1 (S1 ) ∼ de deformaci´on fuerte, luego π1 (M ) = = Z. 3.- S1 no es simplemente conexo. En particular S1 no es contractible. Lo mismo ocurre con Tn . 2 2 2 4.- Sea S1 × D el toro s´olido. Entonces π1 (S1 × D ) ∼ = Z , pues S1 × D tiene el

mismo tipo de homotop´ıa que S1 .

2

Observaci´ on. En el toro s´olido D × S1 los meridianos y los paralelos son indis-

tinguibles, pues la aplicaci´on h : S1 × S1 −→ S1 × S1 definida por h(z, w) = (w, z)

es un homeomorfismo que lleva meridianos en paralelos y vice versa. Ahora consideremos T2 ⊂ R3 , representaci´on geom´etrica de S1 × S1 . Tenemos que existe un

homeomorfismo h : T2 −→ T2 que transforma paralelos en meridianos y vice versa, ¯ : R3 −→ R3 , pero tal homeomorfismo h no se extiende a un homeomorfismo h pues de ser as´ı, ¯h deber´ıa llevar el toro s´olido en si mismo, pero en el toro s´olido

un meridiano es homot´opicamente trivial, y no podr´ıa ser llevado en un paralelo, pues este es un generador del grupo fundamental del toro s´olido.

Figura. Teorema 5.6 (del punto fijo de Brouwer) Toda aplicaci´ on continua del disco unitario cerrado en si mismo tiene al menos un punto fijo. Demostraci´ on. Aqu´ı s´olo daremos la prueba para las dimensiones n = 1 y n = 2 .

79

Sergio Plaza 1

Para n = 1 , se tiene que D = [−1, 1] y sabemos que cada aplicaci´on continua f : [−1, 1] −→ [−1, 1] tiene al menos un punto fijo (teorema del valor intermedio). 2

2

Prueba para n = 2 . Sea f : D −→ D una aplicaci´on continua. Supongamos

que f no tiene puntos fijos, es decir, para cada x ∈ D 2

2

2

se tiene que f (x) 6= x .

Definamos ϕ : D −→ ∂D por ϕ(x) =punto de S obtenido por la intersecci´on del 1

segmento de recta desde f (x) pasando por x con S1 . Tenemos que ϕ es continua, 2

y adem´as si x ∈ S1 , entonces ϕ(x) = x . Sea i : S1 ֒→ D la inclusi´on can´onica.

Es claro que ϕ ◦ i = IdS1 , es decir, tenemos el siguiente diagrama conmutativo

Figura el cual induce el siguiente diagrama conmutativo

Figura. D

2

Id

es contractible, lo cual es una contradicci´on, pues del diagrama tenemos que

S1 ∗

= Id = ϕ∗ ◦ i∗ = 0 .

Teorema 5.7 Sea f : S1 −→ S1 una aplicaci´ on continua. Si f es homot´ opica

a una aplicaci´ on constante entonces existe z ∈ S1 , tal que f (z) = f (−z) . En particular, f no es inyectiva.

Demostraci´ on. Como f es homot´opica a una aplicaci´on constante, existe una aplicaci´on continua f˜ : S1 −→ R tal que e ◦ f˜ = f (la prueba de esto es f´acil y se deja a cargo del lector). Ahora, basta probar que f˜ asume el mismo valor en un par

80

Sergio Plaza

de punto de antipodales, pues si f˜(z) = f˜(−z) para alg´ un z ∈ S1 entonces f (z) = e ◦ f˜(z) = e ◦ f˜(−z) = f (−z) . Si tenemos que f˜(z0 ) = f˜(−z0 ) para alg´ un z0 ∈ S1

no hay nada que probar. Si no, definamos la aplicaci´on g(z) = f˜(z) − f˜(−z) . Tenemos que g es continua y satisface g(−z) = −g(z) , y siendo S1 conexo, debe existir z1 ∈ S1 tal que g(z1 ) = 0 , es decir, f˜(z1 ) = f˜(−z1 ) . Lo que completa la prueba del teorema.

Teorema 5.8 (Borsuk–Ulam) Para cada aplicaci´ on continua f : S2 −→ R2 existe

x ∈ S2 tal que f (x) = f (−x) .

Demostraci´ on. Supongamos que existe una aplicaci´on continua f : S2 −→ R2 tal

que f (x) 6= f (−x) para todo x ∈ S2 . En este caso podemos definir una aplicaci´on g : S2 −→ S1 por g(x) =

f (x)−f (−x) ||f (x)−f (−x)|| 2

, la cual es continua e impar, es decir,

g(−x) = −g(x) para todo x ∈ S . Restringiendo g al ecuador S1 = {(x, y, z) ∈

S2 : z = 0} de S2 , obtenemos una aplicaci´on continua h : S1 −→ S1 homot´opica a una constante, pues se extiende a un hemisferio de S2 conteniendo a S1 , este 2

hemisferio es un conjunto contractible por ser homeomorfo al disco D . Ahora, es claro que h(x) 6= h(−x) para todo x ∈ S1 , lo cual es una contradicci´on. Corolario 5.3 La esfera S2 no es homeomorfa a ning´ un subconjunto abierto del plano R2 . Demostraci´ on. Por el teorema anterior, ninguna aplicaci´on continua f : S2 −→ R2 puede ser inyectiva.

5.2

Grupo fundamental de algunos grupos cl´ asicos En esta secci´on vamos a calcular el grupo fundamental de algunos gurpos

cl´asicos, tales como SO(3) , SO(3) × S3 y SO(2)

Recordemos que los cuaternios es el conjunto H = {x + iy + zj + wk :

x, y, z, w ∈ R} , no es otro que R4 dotado de un producto, donde el producto de dos cuaternios q = x + iy + zj + wk y q ′ = x′ + y ′ i + z ′j + w′ k es definido multi-

plicando estos como se multipican polinomios, y usando el hecho que los cuaternios unitarios i, j, k satisfacen i2 = j 2 = k 2 = −1 , ij = k , kj = i , ki = j.

81

Sergio Plaza

·

ˆi

ˆj

kˆ

ˆi

−1

kˆ

−ˆj

−1

ˆi

ˆj −kˆ kˆ

ˆj

−ˆi −1

kˆ ˆj

ˆi

Adem´as, dado un cuaternio q = x + yi + zj + wk se define su conjugado de q¯ , como q¯ = x − yi − zj − wk . Tenemos (verificci´on rutinaria) que q q¯ = q¯q = x2 + p y 2 + z 2 + w2 , esto permite definir la norma de q como ||q|| = x2 + y 2 + z 2 + w2 . Es claro tambi´en que el producto de cuaternios definido arriba es asociativo y no conmutativo. Los cuaternios unitarios son aquellos que tienen norma 1, es decir, son los elementos de H que pertenecen a la esfera S3 . Los cuarternios imagnirarios puros son aquellos de la forma q = yi + zj + wk . Tenemos el siguiente lema. Lema 5.2 Si un cuaternio w conmuta con todo imaginario puro. Entonces w es real. Adem´ as, si w ∈ S3 entonces w = ±1 . Demostraci´ on. Si w = a + bi + cj + dk entonces iw = −b + ai − dj + ck y

wi = −b + ai + dj − ck , como iw = wi se sigue que c = d = 0 . Luego, w = a + bi . Ahora, wj = aj + bk y jw = aj − bk , y como wj = jw se sigue que b = 0 . Por lo tanto w = a, es real.

Proposici´ on 5.1 Existe un homomorfismo continuo ϕ : S3 −→ SO(3) . Demostraci´ on. A cada u ∈ S3 asociamos la transformaci´on lineal ϕu : R3 −→ R3

definida por ϕu (w) = uwu−1 . De hecho, ϕu : R4 −→ R4 . Es claro que ϕu es

lineal , y como ϕu (1) = 1 , se tiene que ϕu deja invariante el eje real, por lo tanto tambi´en deja invariante su complemento ortogonal, es decir, si w = xi + yi + zk entonces uwu−1 tambi´en es imaginario puro. Por lo tanto podemos considerar ϕu : R3 −→ R3 . Los vectores columnas de la matriz de ϕu son uiu−1 , uju−1

y uku−1 , los cuales dependen continuamente de u ∈ S3 . Tenemos tambi´en que

det(ϕu ) = ±1 para todo u ∈ S3 , y como para u = 1 se tiene que det(ϕu ) = 1 , se sigue por conexidad de S3 que det(ϕu ) = 1 , para todo u ∈ S3 . Luego, ϕu ∈ SO(3) para todo u ∈ S3 . Por lo tanto la aplicaci´on ϕ : S3 −→ SO(3) definida

82

Sergio Plaza

por ϕ(u) = ϕu es continua. Adem´as es claro que ϕuv = ϕu ◦ ϕv , luego ϕ es un homomorfismo de grupos. Ahora el n´ ucleo de ϕ es dado por ker(ϕ)

= = =

{u ∈ S3 : ϕu = Id}

{u ∈ S3 : ϕu (w) = w para todo w ∈ R3 }

{u ∈ S3 : uwu−1 = w para todo w ∈ R3 }

=

{u ∈ S3 : uw = wu para todo w ∈ R3 }

=

{1, −1},

es decir, ϕ(x) = ϕ(y) si y s´olo si x = ±y . Vamos a mostrar que ϕ es sobreyectiva. Para esto usamos el argumento siguiente: si ϕ es una aplicaci´on abierta (es decir, lleva abiertos en abiertos) entonces se tiene que ϕ(S3 ) es un conjunto abierto, y como S3 es compacta se sigue que ϕ(S3 ) es un conjunto compacto, por lo tanto cerrado, y por la conexidad de SO(3) se tiene que ϕ(S3 ) = SO(3) . Note que los vectores columnas de ϕu dependen C ∞ de u ∈ S3 , y como ϕ es un homomorfismo su rango es constante. Adem´ as, como ϕ(x) = ϕ(y) si y s´olo si y = ±x , se tiene

que ϕ es localmente inyectiva, por lo tanto rango(ϕ) = 3 , pues dim SO(3) = 3 . En particular, ϕ es una submersi´on. Como ϕ(w) = ϕ(w′ ) si y s´olo si w′ = ±w se tiene que ϕ identifca puntos

antipodales, por lo tanto pasando al cuociente tenemos una biyecci´on ϕ¯ : RP3 = S3 / ker(ϕ) −→ SO(3) . Como RP3 es compacto y SO(3) es Hausdorff se sigue que ϕ¯ es un homeomorfismo.

Tenemos entonces el siguiente teorema, para ello usamos el hecho que π1 (RP3 ) ∼ =

Z2 , que ser´a probado m´as adelante

Teorema 5.9 π1 (SO(3)) es isomorfo a Z2 . Demostraci´ on. Tenemos que SO(3) es homeomorfo a RP3 , luego π1 (SO(3)) ∼ = 3 ∼ π1 (RP ) = Z2 . Expl´ıcitamente, podemos exhibir un camino cerrado cuya clase de homotop´ıa es el elemento no trivial en π1 (SO(3)) , como sigue: consideremos el camino en S3 dado por α ˜ : I −→ S3 , α(t) ˜ = cos(πt) + sen(πt)k . Tenemos que α ˜ (0) = 1

y α ˜ (1) = −1 . Definamos α = ϕ ◦ α ˜ : I −→ SO(3) . Tenemos que α es un

camino cerrado no homot´opico a una constante. Para cada t ∈ I , la matriz de la

83

Sergio Plaza

transformaci´on lineal α(t) = ϕα˜ tiene por columnas las im´agenes de los vectores i, j, k ∈ R3 y son dadas por α(t)i

= (cos(πt) + sen(πt)k)i(cos(πt) − sen(πt)k)

= (cos2 (πt) − sen2 (πt))i + 2sen(πt) cos(πt) = cos(2πt)i + sen(2πt)j α(t)j

= −sen(2πt)i + cos(2πt)j

α(t)k

= k,

por lo tanto, el generador de π1 (SO(3)) es la clase de homotop´ıa del camino de matrices formado por las transformaciones α(t) : R3 −→ R3 , cuyas matrices tienen

la forma



cos(2πt)

  sen(2πt)  0

−sen(2πt) 0 cos(2πt) 0



 0  . 1

Teorema 5.10 El espacio topol´ ogico SO(4) es homeomorfo a SO(3) × S3 . Demostraci´ on Sea h : SO(4) −→ SO(3) × S3 la aplicaci´on que asocia a cada aplicaci´on lineal ortogonal T : R4 −→ R4 el par (T ′ , v) , donde v = T (1) y

T ′ : R3 −→ R3 es definida por T ′ (u) = T (u)v −1 (producto de cuaternios). Es

claro que ||v|| = 1 . Ahora, como T ′ (1) = T (1)v −1 = vv −1 = 1 se sigue que T ′ , la

cual de hecho es una aplicaci´on de R4 es si mismo, deja el eje real invariante, por lo tanto la podemos considerar como aplicaci´on de R3 en si mismo. Finalmente, es f´acil ver que h es una biyecci´on continua, por lo tanto un homeomorfismo, pues SO(4) es compacto y SO(3) × S3 es Hausdorff. Corolario 5.4 π1 (SO(4)) ∼ = Z2 . Demostraci´ on. Tenemos π1 (SO(4)) ∼ = π(SO(3)×S3 ) ∼ = π1 (SO(3))×π1 (S3 ) ∼ = Z2 . Teorema 5.11 SO(2) es isomorfo a S1 . Demostraci´ on. F´acil, se deja a cargo del lector. Teorema 5.12 (Poincar´e) No existen campos continuos de vectores tangentes sin singularidades en S2 .

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Sergio Plaza

Demostraci´ on. Supongamos que existe v : S2 −→ R3 un campo de vectores

continuo sin singularidades. Podemos definir entonces la aplicaci´on u : S2 −→ S2

por u(x) =

v(x) ||v(x)||

, la cual satisface hu(x), xi = 0 . Definamos la aplicaci´on w :

S −→ S por w(x) = x × v(x) . Tenemos entonces que para cada x ∈ S2 la matriz 2

2

cuyas columnas son x, u(x), w(x) es una matriz ortogonal, M (x) = (x u(x) w(x)) .

Es claro que la aplicaci´on x −→ M (x) es continua y det M (x) = 1 , es decir, M (x) ∈ SO(3) . Consideremos SO(2) ⊂ SO(3) mediante la inclusi´on a

b

c

d

!



a

 ֒→   c

0

b

0



 d 0   0 1

y definimos h : S2 × SO(2) −→ SO(3) por h(x, L) = M (x)L . Tenemos que existe

h−1 : SO(3) −→ S2 × SO(2) , la cual es dada por h−1 (T ) = (x, M (x)−1 T ) , donde

x = T (1) . Como h es continua, se tiene que h es un homeomorfismo y por lo tanto π1 (S2 × SO(2)) ∼ = Z es isomorfo π1 (SO(3)) ∼ = Z2 , lo cual es absurdo. Por lo tanto no existe un campo de vectores continuo sin singularidades en S2 .

Cap´ıtulo 6

Espacios de recubrimiento En esta secci´on vamos a generalizar la idea que usamos para calcular el grupo fundamental del c´ırculo a otros espacios, que tienen esencialmente el mismo tipo de propiedades que el caso del triple (R, S1 , exp) , es decir, exp : R → S1 es una

aplicaci´on continua y sobreyectiva, y para cada z ∈ S1 existe una vecindad abierta U de z tal que exp−1 (U ) = ∪j∈Z Uj , es una uni´on de conjuntos abiertos disjuntos, tales que para cada j ∈ Z , la restricci´on exp|Uj : Uj → U es un homeomorfismo.

e → X una aplicaci´ Definici´ on 6.1 Sea p : X on continua. Decimos que un subconjunto abierto U ⊂ X es eventualmente recubierto por p si, p−1 (U ) es una e , cada uno de los cuales es aplicado por uni´ on disjunta de conjuntos abiertos de X p homeom´ orficamente sobre U , es decir,

 −1    p (U ) = ∪j∈J Uj , Ui ∩ Uj = ∅ si i 6= j e es abierto para cada j ∈ J , y Uj ⊂ X    p|U : U → U homeomorfismo para cada j ∈ J . j j

e X, p) , donde X e y X son esDefinici´ on 6.2 Un recubrimiento es un triple (X, e → X es una aplicaci´ pacios topol´ ogicos, p : X on continua y sobreyectiva, y se

satisface lo siguiente: para cada punto x ∈ X existe una vecindad abierta evene son llamados espacio base y tualmente recubierta por p . Los espacios X y X espacio recubrimiento, respectivamente, y p es llamada aplicaci´ on recubrimiento. e X, p) es un recubrimiento si: En otras palabras, (X,

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e → X es continua y sobreyectiva, i) p : X

ii) para cada x ∈ X existe una vecindad abierta U de x , tal que p−1 (U ) = ∪j∈J Uj , para alguna colecci´on {Uj : j ∈ J} de subconjuntos abiertos de e , con Ui ∩ Uk = ∅ si i 6= k , y p|Uj : Uj → U es un homeomorfismo. X

e → X para denotar un cubrimiento. Usamos la notaci´on p : X

Ejemplos.

1. exp : R → S1 , dada por exp(t) = e2πit es un recubrimiento. 2. exp × exp : R2 → S1 × S1 = T2 , dada por exp × exp(t, s) = (e2πit , e2πis ) es un recubrimiento.

e → X es un homeomorfismo entonces h es un recubrimiento. 3. Si h : X

4.

e = X × Y , entonces la proyecci´on Sea Y un espacio discreto y sea X e → X , dada por p(x, y) = x es un recubrimiento. Por can´onica p : X ejemplo, p : S1 × Z → S1 es un recubrimiento.

5.

Para cada n ∈ Z , con n 6= 0 , la aplicaci´on pn : S1 → S1 dada por

pn (z) = z n es un recubrimiento.

Una fuente natural de espacios recubrimientos consiste de las acciones de grupos sobre espacios topol´ogicos, sujetas a ciertas restricciones como veremos m´as adelante. Definici´ on 6.3 Sean G un grupo y X un espacio topol´ ogico. Decimos que G act´ ua sobre X por la izquierda si existe una aplicaci´ on Θ : G × X → X , que satisface:

a) Θ(e, x) = x , para todo x ∈ X , donde e es el elemento neutro de G . b) Θ(g, Θ(h, x)) = Θ(gh, x) para todo x ∈ X y todo g, h ∈ G . La aplicaci´ on Θ es llamada una acci´ on de G sobre X . Por comodidad, usaremos la notaci´on Θ(g, x) = g · x . Ejemplos. Los siguientes son ejemplos de acciones por la izquierda de un grupo sobre un espacio topolgico.

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87

1. Sea X un espacio topol´ogico y sea G = Homeo(X, X) = {f : X → X :

f es homeomorfismo} el grupo de los homeomorfismos de X (con la composici´on de funciones). Definamos Θ : G × X → X por Θ(f, x) = f (x) .

2. Sean G = Z2 = {1, −1} (grupo multiplicativo) y X = Sn . Definamos Θ : Z2 × Sn → Sn por Θ(±1, x) = ±x .

3. Sean G = Z (grupo aditivo) y X = R . Sea Θ : Z × R → R dada por Θ(n, x) = n + x .

4. Sean G = Z2 y X = R2 , y Θ : Z2 × R2 → R2 la acci´on dada por Θ((n, m), (x, y)) = (n + x, m + y) .

5. Sea X = {(x, y) ∈ R2 : −1/2 6 y 6 1/2}. Definamos Θ : Z × X → X por Θ(n, (x, y)) = (x + n, (−1)n y) .

Proposici´ on 6.1 Si Θ : G × X → X es una acci´ on de G sobre X , entonces

para cada g ∈ G la aplicaci´ on Θg : X → X definida por Θg (x) = Θ(g, x) es una biyecci´ on.

Demostraci´ on. Tenemos que Θg ◦ Θh = Θgh y Θe = IdX , luego Θg ◦ Θg−1 = Θg−1 ◦ Θg = IdX . Lo que concluye la prueba.

Sea Θ : G × X → X una acci´on. Definamos la siguiente relaci´on en X : sean

x, y ∈ X decimos que x ∼G y si y s´olo si existe g ∈ G tal que y = g · x , es decir, y = Θ(g, x) .

Esta es una relaci´on de equivalencia sobre X . Cada clase de equivalencia es llamada una ´ orbita de la acci´ on de G sobre X . Si x ∈ X , usamos la notaci´on orbG (x) para denotar la ´orbita de x , es decir, orbG (x) = {y ∈ X : y ∼G x} . Luego, x ∼G x si y s´olo si y ∈ orbG (x) .

Notaci´ on. Al conjunto cuociente de X por la relaci´on de equivalencia ∼G lo denotamos por X/G .

Al conjunto X/G lo dotamos de la topolog´ıa cuociente inducida por la proyecci´on π : X → X/G , esto es, U ⊂ X/G es abierto si y s´olo si π −1 (U ) ⊂ X es abierto.

Con esta topolog´ıa la proyecci´on π es una aplicaci´on continua. Ejemplos.

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1. Sn /Z2 ≡ RP2 . 2. Sea X = {(x, y) ∈ R2 : −1/2 6 y 6 1/2} , y sea G = Z , y la acci´on Θ(n, (x, y)) = (x + n, (−1)n y) . Es f´acil ver que X/Z ≡ banda de M¨obius .

3.

R/Z ≡ S1 .

4.

R2 /Z2 ≡ S1 × S1 .

5. Rn /Zn ≡ Tn = S1 × · · · × S1 (n factores). Definici´ on 6.4 Sean G un grupo y X un espacio topol´ ogico. Decimos que X es un G–espacio si G act´ ua sobre X y para cada g ∈ G la aplicaci´ on Θg : X → X es continua. En particular, para cada g ∈ G la aplicaci´ on Θg es un homeomorfismo, pues Θ−1 g = Θg−1 .

Proposici´ on 6.2 Sea X un G–espacio. Entonces la proyecci´ on can´ onica π : X → X/G es una aplicaci´ on abierta. Demostraci´ on. Sea U ⊂ X un subconjunto abierto. Tenemos que π −1 (π(U )) =

∪g∈G g · U = ∪g∈G Θg (U ) , y esta es una uni´on de abiertos, pues las aplicaciones Θg son homeomorfismos para cada g ∈ G .

Definici´ on 6.5 Decimos que la acci´ on de G sobre X es propiamente discontinua o que G act´ ua de modo propiamente discontinuo sobre X si, para cada x ∈ X

existe una vecindad abierta V de x tal que g · V ∩ g ′ · V = ∅ para todo g, g ′ ∈ G , con g 6= g ′ .

Observaci´ on. La condici´on g · V ∩ g ′ · V = ∅ cuando g 6= g ′ es equivalente a g · V ∩ V = ∅ para todo g ∈ G , con g 6= e .

Teorema 6.1 Sea X un G–espacio. Si la acci´ on de G sobre X es propiamente discontinua entonces π : X → X/G es un recubrimiento. Demostraci´ on. Tenemos que π : X → X/G es continua y sobreyectiva. Ahora, sea U ⊂ X una vecindad abierta de x ∈ X . Como π es una aplicaci´on abierta, se sigue que π(U ) ⊂ X/G es una vecindad abierta de π(x) . Restringiendo, si es

necesario, podemos suponer que U satisface la propiedad de propiamente discontinua, es decir, g · U ∩ g ′ · U = ∅ si g 6= g ′ . Tenemos que π −1 (π(U )) = ∪g∈G g · U

es una uni´on disjunta de conjuntos abiertos de X y que π|g · U : g · U → π(U ) es una biyecci´on continua y abierta, por lo tanto un homeomorfismo.

89

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Definici´ on 6.6 Sea Θ : G × X → X una acci´ on. Decimos que la acci´ on es libre si, para cada x ∈ X y cada g ∈ G , con g 6= e , se tiene que g · x 6= x .

Observaci´ on. Toda acci´on propiamente discontinua es libre. La rec´ıproca es falsa en general. Teorema 6.2 Sean X un espacio Hausdorff y G un grupo finito. Si X es un G–espacio y la acci´ on de G sobre X es libre, entonces es propiamente discontinua. Demostraci´ on. Sea G = {g0 = e, g1 , . . . , gn } . Dado x ∈ X , existen vecindades

abiertas U0 , U1 , . . . , Un de x, g1 · x, . . . , gn · x , respectivamente, tales que U0 ∩ Uj =

∅ , para j = 1, . . . , n . Sea U = ∩nj=0 gj−1 · Uj = ∩nj=0 Θ−1 gj (Uj ) . Tenemos que U es una vecindad abierta de x , y U ⊂ U0 . Ahora, gi · U = ∩nj=0 gi gj−1 · Uj ⊂ Ui y gi · U ∩ gj · U

=

gj (gj−1 gi · U ∩ U ) ,

=

gj (gk · U ∩ U ) ,

=

∅.

i 6= j

gk 6= e

Ejemplo. Espacios Lenticulares. Sea S3 ⊂ C2 la esfera unitaria, es decir, S3 = {(z1 , z2 ) ∈ C : |z1 |2 + |z2 |2 =

1} . Sean G = Zp y q un entero positivo coprimo con p . Definamos h : S3 → S3

por h(z1 , z2 ) = (e2πi/p z1 , e2πiq/p z2 ) . Es f´acil ver que h es un homeomorfismo, el cual satisface hp = h ◦ · · · ◦ h = Id (p factores). Definimos una acci´on de Zp sobre S3 como sigue Θ(n, (z1 , z2 )) = hn (z1 , z2 ) . Esta acci´on es libre (la verificaci´on se

deja a cargo del lector). Ahora, como S3 es Hausdorff, esta acci´on es propiamente discontinua. Luego, π : S3 → S3 /Zp es un recubrimiento. El espacio S3 /Zp es

llamado espacio lenticular, y es denotado por L(p, q) . Desde la definici´on vemos que L(2, 1) = RP3 . Ahora, volvamos a los recubrimiento. e → X un recubrimiento. Entonces Teorema 6.3 Sea p : X 1) p es una aplicaci´ on abierta.

2) X tiene la topolog´ıa cuociente inducida por p , es decir, V ⊂ X es abierto e es abierto. si y s´ olo si p−1 (V ) ⊂ X

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e un conjunto abierto. Sea x ∈ p(U ) entonces existe Demostraci´ on. 1) Sea U ⊂ X una vecindad abierta V de x tal que p−1 (V ) es una uni´on disjunta de conjun-

tos abiertos, cada uno aplicado por p homeom´orficamente sobre V . Escribamos p−1 (V ) = ∪j∈J Vj . Entonces U ∩ Vj es un conjunto abierto contenido en Vj , y como p|Vj : Vj → V es homeomorfismo, se tiene que p(Vj ∩ U ) es un subconjunto

abierto de V , por lo tanto de X . Adem´as, x ∈ p(Vj ∩ U ) ⊂ p(U ) , por lo tanto

cada x ∈ p(U ) posee una vecindad abierta enteramente contenida en p(U ) , es decir, p(U ) es un conjunto abierto.

2) Como p es una aplicaci´on continua y abierta, se tiene lo pedido. e → X un recubrimiento y sea f : Y −→ X una apliDefinici´ on 6.7 Sea p : X e es un levantamiento de caci´ on continua. Decimos que una aplicaci´ on f˜ : Y −→ X f si, p ◦ f˜ = f .

Figura e −→ X un recubrimiento y f˜, f¯ : Y −→ X e dos Proposici´ on 6.3 Sean p : X levantamientos de f : Y −→ X . Si Y es conexo y f˜(y0 ) = f¯(y0 ) para alg´ un y0 ∈ Y entonces f˜ = f¯ .

Demostraci´ on. Definamos el conjunto Y ′ = {y ∈ Y : f˜(y) = f¯(y)} . Es claro

que Y ′ 6= ∅ , pues y0 ∈ Y ′ . p

−1

Sea y ∈ Y .

Entonces existe una vecindad abierta V de f (y) tal que e son conjuntos abiertos para cada j ∈ J , y (V ) = ∪j∈J Vj , donde Vj ⊂ X

Vj ∩ Vk = ∅ si j 6= k , y p|Vj : Vj −→ V es un homeomorfismo para cada j ∈ J . 1) Sea y ∈ Y ′ entonces f˜(y) = f¯(y) ∈ Vk para alg´ un k ∈ J . Tenemos que −1 −1 ˜ ¯ f (Vk )∩ f (Vk ) es una vecindad abierta de y , la cual est´a contenida en Y ′ , pues si x ∈ f˜−1 (Vk )∩f¯−1 (Vk ) entonces f˜(x), f¯(x) ∈ Vk , luego p◦f˜(x) = p◦f¯(x) = f (x) , y como p|Vk : Vk −→ V es un homeomorfismo, se tiene que f˜(x) = f¯(x) . Por lo

tanto Y ′ es un conjunto abierto.

2) De forma an´aloga se prueba que Y ′ es un conjunto cerrado. Siendo Y conexo e Y ′ 6= ∅ se sigue que Y ′ = Y .

91

Sergio Plaza

e es conexo por caminos (por lo tanto conexo). Corolario 6.1 Supongamos que X e e Sea ϕ : X −→ X una aplicaci´ on continua que satisface p ◦ ϕ = p . Si ϕ(x1 ) = x1 e para alg´ un x1 ∈ X entonces ϕ = Id e . X

Demostraci´ on. Tenemos el siguiente diagrama conmutativo

Figura e y α : I −→ X e un camino con α(0) = x1 y α(1) = x . Como Sean x ∈ X

ϕ(x1 ) = x1 se tiene que ϕ ◦ α(0) = α(0) . Tambi´en tenemos que p ◦ (ϕ ◦ α) = p ◦ α , luego ϕ◦α y α son levantamientos del camino p◦α : I −→ X , con ϕ◦α(0) = α(0) , por lo tanto ϕ ◦ α(t) = α(t) para todo t ∈ I , en particular, ϕ(α(1)) = α(1) , es e arbitrario se sigue el resultado. decir, ϕ(x) = x , y siendo x ∈ X

e −→ X un Teorema 6.4 (Levantamiento de caminos y homotop´ıa) Sea p : X recubrimiento.

e con p(a) = α(0) , entonces existe 1) Dados un camino α : I −→ X y a ∈ X e de α , con la condici´ un u ´nico levantamiento α ˜ : I −→ X on α ˜ (0) = a .

e con p(a) = F (0, 0) , entonces existe un 2) Dada F : I × I −→ X y a ∈ X e con la condici´ u ´nico levantamiento F˜ : I × I −→ X on F˜ (0, 0) = a .

Demostraci´ on. An´aloga al caso del grupo fundamental del c´ırculo.

Corolario 6.2 (Teorema de Monodrom´ıa) Supongamos que f0 , f1 : I −→ X son e levantamientos de f0 dos caminos con f0 ∼ f1 rel {0, 1} . Sean f˜0 , f˜1 : I −→ X

y f1 , respectivamente. Si f˜0 (0) = f˜1 (0) entonces f˜0 ∼ f˜1 rel {0, 1} . Demostraci´ on. An´aloga al caso exp : R −→ S1 .

Sergio Plaza

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e −→ X un recubrimiento, con X e simplemente conexo. Teorema 6.5 Sea p : X e Entonces para cada a ∈ X existe una biyecci´ on entre los conjunto π1 (X, p(a)) y

p−1 (p(a)) (fibra sobre p(a) .

Demostraci´ on. Definamos la funci´on ϕ : π1 (X, p(a)) −→ p−1 (p(a)) por ϕ([f ]) = e es el u f˜(1) , donde f˜ : I −→ X ´nico levantamiento de f con la condici´on f˜(0) = a .

Por el teorema anterior, ϕ est´a bien definida. Ahora definamos ψ : p−1 (p(a)) −→ e un camino con π1 (X, p(a)) como sigue. Dado x ˜ ∈ p−1 (p(a)) , sea f˜ : I −→ X f˜(0) = a y f˜(1) = x ˜ . El camino f = p ◦ f˜ : I −→ X es un camino cerrado con

base en p(a) , luego f determina una u ´nica clase de homotop´ıa [f ] ∈ π1 (X, p(a)) . ˜ Definimos entonces ψ(˜ x) = [f ] = [p ◦ f ] .

Ahora bien, ψ est´a bien definida, pues para cualquier par de caminos f˜, g˜ : e , con f˜(0) = g˜(0) y f˜(1) = g˜(1) son homot´opicos, es decir, ψ no depende I −→ X e. del camino elegido uniendo a y x ˜ en X Finalmente, es f´acil verificar que ϕ y ψ son inversas una de la otra.

Ejemplos. 1. exp : R −→ S1 , en este caso se tiene que p−1 (x0 ) ≈ Z 2. p : Sn −→ RPn . Si x0 ∈ RPn entonces p−1 (x0 ) = {x0 , −x0 } ≈ {1, −1} . Moral del Asunto. Para calcular π1 (X, x0 ) bastar´ıa encontrar un recubrimiento e −→ X , con X e simplemente conexo, y encontrar una estructura de grupo en p:X

el conjunto p−1 (x0 ) , de modo que la biyecci´on ϕ : π1 (X, x0 ) −→ p−1 (x0 ) sea un isomorfismo.

Cap´ıtulo 7

Grupo fundamental y espacios de recubrimiento e −→ X , sean x e y x0 ∈ X con p(˜ Dado un recubrimiento p : X ˜0 ∈ X x0 ) = x0 . e e x˜0 ) −→ Tenemos los grupos π1 (X, x ˜0 ) y π1 (X, x0 ) y el homomorfismo p∗ : π1 (X, π1 (X, x0 ) . Describiremos ahora algunas propiedades de este esquema.

e x Teorema 7.1 El homomorfismo p∗ : π1 (X, ˜0 ) −→ π1 (X, x0 ) es inyectivo. ˜ ∈ π1 (X, ˜ , es decir, [p◦ α e x Demostraci´ on. Sean [˜ α], [β] ˜0 ) , con p∗ ([˜ α]) = p∗ ([β]) ˜] = ˜ [p ◦ β] . Tenemos entonces una homotop´ıa F : I × I −→ X entre p ◦ α ˜ y p ◦ β˜ , e entre α rel {0, 1} , levantando F obtenemos una homotop´ıa F˜ : I × I −→ X ˜ y β˜ , ˜ . rel {0, 1} , por lo tanto [˜ α] = [β]

e entonces existe un camino f : I −→ X con Teorema 7.2 Sean x ˜0 , x ˜1 ∈ X e x e x f (0) = p(˜ x0 ) y f (1) = p(˜ x1 ) , tal que uf ◦ p∗ (π1 (X, ˜0 )) = p∗ (π1 (X, ˜1 )) (es −1 e e decir, [f ] p∗ π1 (X, x ˜0 )[f ] = p∗ π1 (X, x ˜1 ) ). Demostraci´ on. Figura.

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e un camino con f˜(0) = x Sea f˜ : I −→ X ˜0 y f˜(1) = x ˜1 . Tenemos que f˜ e e e x determina un isomorfismo u ˜ : π1 (X, x ˜0 ) −→ π1 (X, x ˜1 ) . Luego, p∗ ◦u ˜π1 (X, ˜0 ) = f

f

e x˜1 ) . Definamos el camino f : I −→ X por f = p ◦ f˜ . Tenemos entonces p∗ π1 (X, e x˜0 ) = p∗ π1 (X, e x que p∗ ◦ u ˜ = uf ◦ p∗ , luego uf ◦ p∗ π1 (X, ˜1 ) . f

Si en el teorema anterior tomamos x˜0 , x ˜1 ∈ p−1 (x0 ) entonces el camino f =

p ◦ f˜ es un camino cerrado en X con base en x0 = p(˜ x0 ) = p(˜ x1 ) , es decir, [f ] ∈ −1 e e π1 (X, x0 ) , y tenemos que [f ] p∗ π1 (X, x ˜0 )[f ] = p∗ π1 (X, x ˜1 ) , esto significa que los

e x e x subgrupos p∗ π1 (X, ˜0 ) y p∗ π1 (X, ˜1 ) de π1 (X, x0 ) son subgrupos conjugados, de

hecho tenemos m´as que eso.

e x Teorema 7.3 Para cada x0 ∈ X , la colecci´ on {p∗ π1 (X, ˜) : x ˜ ∈ p−1 (x0 )} es

una clase de conjugaci´ on de π1 (X, x0 ) .

Demostraci´ on. Por el teorema anterior cualquier par de elementos de la colecci´on e x {p∗ π1 (X, ˜) : x ˜ ∈ p−1 (x0 )} son subgrupos conjugados de π1 (X, x0 ) .

Ahora sea H un subgrupo de π1 (X, x0 ) conjugado a uno de los subgrupos e x˜) , digamos a p∗ π1 (X, e x e x p∗ π1 (X, ˜0 ) , esto es, H = α−1 p∗ π1 (X, ˜0 )α para alg´ un

α ∈ π1 (X, x0 ) . Pongamos α = [f ] , donde f : I −→ X es un camino cerrado e el u con base en x0 . Denotemos por f˜ : I −→ X ´nico levantamiento de f , con ˜ ˜ e e e x f (0) = x˜0 . Entonces p∗ π1 (X, f (1)) = uf ◦ p∗ π1 (X, x ˜0 ) = α−1 p∗ π1 (X, ˜0 )α = H , e f˜(1)) . por lo tanto H = p∗ π1 (X,

7.1

Grupo fundamental de un espacio de ´ orbitas

Recordemos que el grupo aditivo Z act´ ua sobre R , donde Θ : Z × R −→ R

es la acci´on dada por Θ(n, x) = n + x . Esta acci´on es propiamente discontinua ∼ Z . Otro ejemplo que vimos y R/Z ≡ S1 . Adem´as, tenemos que π1 (R/Z) =

fu´e la acci´on del grupo multiplicativo Z2 = {1, −1} sobre Sn , donde Θ : Z2 × Sn −→ Sn es dada por Θ(±1, x) = ±x . Esta acci´on es propiamente discontinua, y

tenemos que Sn /Z2 ≡ RPn , y adem´as π1 (Sn /Z2 ) ≈ {1, −1} este conjunto est´a en

correspondencia biyectiva con Z2 .

En el cap´ıtulo anterior probamos que si X es un G–espacio y la acci´on es propiamente discontinua, entonces la proyecci´on π : X −→ X/G es un recubrimiento. En vista de los ejemplos anteriores nos podemos preguntar ¿Cu´al es la relaci´on entre G y π1 (X) ?

95

Sergio Plaza

Sea x0 ∈ X e y0 = π(x0 ) ∈ X/G entonces π −1 (y0 ) = {g · x0 : g ∈ G} es la

´orbita de x0 por G . Si [f ] ∈ π1 (X/G, y0 ) entonces existe un u ´nico levantamiento ˜ ˜ ˜ f : I −→ X de f , con f (0) = x0 . Como f (1) ∈ {g · x0 : g ∈ G} , existe un u ´nico gf ∈ G tal que f˜(1) = gf · x0 . Definamos la aplicaci´on ϕ : π1 (X/G, y0 ) −→ G

por ϕ([f ]) = gf . Es claro que ϕ est´a bien definida (corolario anterior). Tenemos ahora el siguiente teorema. Teorema 7.4 La aplicaci´ on ϕ : π1 (X/G, y0 ) −→ G definida por ϕ([f ]) = gf

como fue hecho arriba, es un homomorfismo de grupos.

Demostraci´ on. An´aloga al caso de S1 y se deja a cargo del lector. Teorema 7.5 El n´ ucleo de ϕ es p∗ π1 (X, x0 ) . Demostraci´ on. Tenemos que ker(ϕ) = {[f ] ∈ π1 (X/G, y0 ) : ϕ([f ]) = e} = {[f ] ∈ π1 (X/G, y0 ) : f˜(1) = x0 } , esto es, son las clases de homotop´ıas en π1 (X/G, y0 )

para las cuales el u ´nico levantamiento f˜ de f es un camino cerrado con base en x0 , m´as precisamente, son los elementos [f ] ∈ π1 (X/G, y0 ) de la forma [π ◦ f˜] ,

con [f˜] ∈ π1 (x, x0 ) , es decir, ker(ϕ) = π∗ π1 (X, x0 ) .

En particular, del teorema anterior tenemos que π1 (X/g, y0)/ ker(ϕ) ∼ = π1 (X/G, y0 )/π∗ π1 (X, x0 ) , es un grupo cuociente, pues ker(ϕ) = π∗ π1 (X, x0 ) es un subgrupo normal de π1 (X/G, y0 ) , y por el Teorema del Isomorfismo, tenemos que π1 (X/G, y0 )/π∗ π1 (X, x0 ) ∼ = Imagen(ϕ) , es decir, tenemos el siguiente teorema. Teorema 7.6 π1 (X/G, y0 )/π∗ π1 (X, x0 ) ∼ = G. Demostraci´ on. El homomorfismo ϕ es sobreyectivo. La prueba de esto es an´aloga al caso de S1 , y se deja a cargo del lector. Corolario 7.1 Si X es simplemente conexo entonces π1 (X/G,0 ) ∼ = G. Ejemplos.

Sergio Plaza

96

1. π1 (R/Z, 1) ∼ = Z. 2. π1 (S3 /Zp , x0 ) = π1 (L(p, q), x0 ) ∼ = Zp 3. Para n > 2 , se tiene que π1 (Sn /Z2 ) = π1 (RPn ) ∼ = Z2 Observaci´ on. La aplicaci´on f : S1 −→ S1 definida por f (z) = z 2 induce por paso al cuociente un homeomorfismo f¯ : RP1 −→ S1 , es decir, se tiene el siguiente diagrama conmutativo

Figura. Por lo tanto π1 (RP1 ) ∼ = Z.

Cap´ıtulo 8

Existencia de Levantamientos e −→ X un recubrimiento. Dada una aplicaci´on continua f : Y −→ X , Sea p : X tenemos:

e , entonces f˜ es esencialmente u 1) Si existe un levantamiento f˜ : Y −→ X ´nica e (´ unica si fijamos puntos x ˜0 ∈ X , x0 ∈ X e y0 ∈ Y tales que p(˜ x0 ) = x0 = f (y0 ) . e , fijemos y0 ∈ Y , x0 ∈ X y x e, 2) Si existe un levantamiento f˜ : Y −→ X ˜0 ∈ X con f (y0 ) = x0 = p(˜ x0 ) . Tenemos entonces el siguiente diagrama conmutativo.

Figura. El cual induce el diagrama conmutativo siguiente.

97

98

Sergio Plaza Figura. e x Luego, f∗ π1 (Y, y0 ) = p∗ ◦ f˜∗ π1 (Y, y0 ) ⊂ p∗ π1 (X, ˜0 ) , esto es, e x˜0 ) f∗ π1 (Y, y0 ) ⊂ p∗ π1 (X,

(condici´ on (⋆))

Luego la condici´on (⋆) es necesaria para la existencia de un levantamiento f˜ de f . Esta reduce un problema topol´ogico a un problema algebraico. Para que (⋆) sea una condici´on suficiente para la existencia del levantamiento ˜ f de f , debemos imponer una condici´on extra al espacio topol´ogico Y . Condici´ on. El espacio topol´ ogico Y debe ser conexo y localmente conexo por caminos (lcc) Definici´ on 8.1 Decimos que un espacio topol´ ogico Y es localmente conexo por caminos (lcc) si, para cada y ∈ Y , cada vecindad abierta de y contiene una vecindad abierta conexa por caminos de y .

Ejemplo. Sea f : ]0, ∞[ −→ R la aplicaci´on dada por f (x) = sen(1/x) , y sea

A = {0} × I ⊂ R2 . Entonces Y = graf (f ) ∪ A es conexo pero no localmente conexo por caminos como es f´ acil de verificar.

Lema 8.1 Si Y es conexo y localmente conexo por caminos entonces Y es conexo por caminos. Demostraci´ on. Sea y ∈ Y . Definamos el conjunto Uy = {a ∈ Y : existe un camino en Y uniendo y con a } . Tenemos que Uy 6= ∅ , pues y ∈ Uy .

1) Uy es un conjunto abierto. Sea u ∈ Uy entonces existe una vecindad abierta conexa por caminos V de u , pues Y es una vecindad de u . Sea v ∈ V , como V

es conexo por caminos existe un caminos β : I −→ V , con β(0) = u y β(1) = v .

Figura

Sergio Plaza

99

Tomemos el camino γ = α ∗ β este satisface γ(0) = a y γ(1) = v , luego

V ⊂ Uy .

2) Uy es un conjunto cerrado. La prueba es an´aloga a la anterior, se deja a cargo del lector.

Como Y es conexo se sigue que Uy = Y . Teorema 8.1 (Existencia de levantaminentos de aplicaciones) Dados un recubrime −→ X , y un espacio topol´ iento p : X ogico Y conexo y localmente conexo por e y x0 ∈ X , con p(˜ caminos. Sean y0 ∈ Y , x ˜0 ∈ X x0 ) = x0 y f : Y −→ X , con ˜ e de f con f˜(y0 ) = x f (y0 ) = x0 . Entonces existe un levantamiento f : Y −→ X ˜0 e x˜0 ) . si, y s´ olo si, f∗ π1 (Y, y0 ) ⊂ p∗ π1 (X, Demostraci´ on. =⇒) Ya vimos arriba que esta condici´on vale.

⇐=) Sean y ∈ Y y ϕ : I −→ Y un camino con ϕ(0) = y0 y ϕ(1) = y , entonces γ = f ◦ ϕ : I −→ X es un camino con γ(0) = f (ϕ(0)) = f (y0 ) = x0 y γ(1) = f (y) .

Figura

El Teorema de levantamiento de caminos implica que existe un u ´nico camino e tal que γ˜ (0) = f] γ˜ = f] ◦ ϕ : I −→ X ◦ ϕ(0) = x˜0 . Definamos f˜(y) = γ˜ (1) = f] ◦ ϕ(1) . Tenemos: 1) f˜ est´a bien definida.

La u ´nica elecci´on que hicimos fue el camino ϕ que une y0 con y en Y , por lo tanto basta probar que la definici´on de f˜ no depende del camino ϕ . Para ello, sea ψ : I −→ Y otro camino con ψ(0) = y0 y ψ(1) = y , entonces ϕ ∗ ψ¯ es un

¯ ∈ π1 (Y, y0 ) , y de la condici´on camino cerrado en Y con base en y0 . Luego, [ϕ ∗ ψ] ¯ = [(f ◦ ϕ) ∗ (f ◦ ψ)] ∈ p∗ π1 (X, e x (⋆) tenemos que f∗ ([ϕ ∗ ψ]) ˜0 ) , es decir, existe

e , camino cerrado con base en x˜0 tal que (f ◦ ϕ) ∗ (f ◦ ψ) ∼ p ◦ α α ˜ : I −→ X ˜

rel {0, 1} . Como f ◦ ϕ ∼ (f ◦ ϕ) ∗ εf (y) ∼ (f ◦ ϕ) ∗ (f ◦ ψ) ∗ (f ◦ ψ) ∼ ((f ◦ ϕ) ∗ (f ◦ ψ)) ∗ (f ◦ ψ) ∼ (p ◦ α) ˜ ∗ (f ◦ ϕ) todas las homotop´ıas rel {0, 1} , y siendo

Sergio Plaza

100

α ˜ un camino cerrado, se tiene que (p ◦ α ˜^ ) ∗ (f ◦ ψ) = α ˜ ∗ (f] ◦ ψ) , por lo tanto (p ◦ α ˜^ ) ∗ (f ◦ ψ)(1) = α ˜ ∗ (f] ◦ ψ)(1) = f] ◦ ψ)(1) . 2) Por construcci´on se tiene que p ◦ f˜ = f , es decir, f˜ es un levantamiento (si es

continua) de f . 3) f˜ es continua.

Es en esta parte de la prueba donde usamos la hip´otesis de que Y es conexo y localmente conexo por caminos (para lo anterior s´olo usamos que Y es conexo por caminos). e ⊂X e un conjunto abierto. Dado y ∈ f˜−1 (U e ) , elijamos una vecindad Sea U abierta U de f (y) , la cual es eventualmente recubierta por p y est´a contenida en e) . p(U

Figura. Tenemos que p−1 (U ) = ∪j∈J Vj , donde para cada j ∈ J se tiene que Vj ⊂

e es un conjunto abierto, Vi ∩ Vk = ∅ si i = X 6 k , y p|Vj : Vj −→ U es un ˜ homeomorfismo. Como f (y) ∈ U y p ◦ f = f , se tiene que f˜(y) ∈ Vk para f = U e ∩ Vk es una vecindad abierta de f˜(y) y p(W f ) es alg´ un k ∈ J , luego W

una vecindad abierta de f (y) , la cual es eventualmente recubierta por p , pues f ) ⊂ U . Como f es continua f −1 (p(W f )) es una vecindad abierta U lo es y p(W

de y . Luego, existe una vecindad abierta conexa por caminos V de y tal que f )) . V ⊂ f −1 (p(W e , esto es, V ⊂ f˜−1 (U e ) . (Esto implica que f˜−1 (U e) Afirmamos que f˜(V ) ⊂ U

es un conjunto abierto.) e . Sea y ′ ∈ V , entonces existe un camino ϕ : I −→ V ⊂ Y En efecto, f˜(y) ∈ U tal que ϕ(0) = y y ϕ(1) = y ′ . Por definici´on de f˜ se tiene que f˜(y ′ ) = f] ◦ ϕ(1) ,

donde f] ◦ ϕ es el u ´nico levantamiento de f ◦ ϕ que comienza en f˜(y) . El camino

Sergio Plaza

101

f )) = ∪j∈J Wj , con Wj f] ◦ ϕ tiene su imagen enteramente contenida en p−1 (p(W

conjuntos abiertos, Wj ∩ Wk = ∅ si j 6= k y p|Wj : Wj −→ W homeomorfismo. Tenemos que f˜(y) ∈ Wk para alg´ un k ∈ J , luego f] ◦ ϕ(I) ⊂ Wk , por lo tanto ˜ e e ] f ◦ ϕ(1) ∈ Wk ⊂ U , pues f (y) ∈ U . Lo que completa la prueba del teorema. Corolario 8.1 Si Y es simplemente conexo y localmente conexo por caminos, entonces dada cualquier aplicaci´ on continua f : Y −→ X existe un levantamiento e de f . f˜ : Y −→ X Demostraci´ on. Evidentemente vale la condici´on del teorema anterior, pues {1} = e x f∗ π1 (Y, y0 ) ⊂ p∗ π : 1(X, ˜0 ) , para cualesquier que sea f : Y −→ X continua. Corolario 8.2 Sean p1 : X1 −→ X y p2 : X2 −→ X recubrimientos, con X1 y X2 conexos y localmente conexos por caminos. Sean x1 ∈ X1 , x2 ∈ X2 y x0 ∈ X

tales que p1 (x1 ) = p2 (x2 ) = x0 . Si p1∗ π1 (X1 , x1 ) = p2∗ π1 (X2 , x2 ) entonces existe un homeomorfismo h : X1 −→ X2 tal que h(x1 ) = x2 y p2 ◦ h = p1 . Demostraci´ on. Figura.

Tenemos que existe levantamiento p˜1 : X1 −→ X2 de p1 , tal que p2 ◦ p˜1 = p1

y p˜1 (x1 ) = x2 .

Figura.

Sergio Plaza

102

Tenemos que existe levantamiento p˜2 : X2 −→ X1 de p2 , tal que p1 ◦ p˜2 = p2

y p˜2 (x2 ) = x1

Definamos ϕ = p˜2 ◦ p˜1 : X1 −→ X1 . Tenemos que ϕ(x1 ) = p˜2 ◦ p˜1 (x1 ) =

p˜2 (x2 ) = x1 , luego ϕ = IdX1 , de donde p˜1 es inyectiva y p˜2 es sobreyectiva. Por otra parte, si definimos ψ = p˜1 ◦ p˜2 : X2 −→ X2 , se tiene que ψ(x2 ) = x2 , luego

ψ = IdX2 , de donde p˜2 es inyectiva y p˜1 es sobreyectiva. Finalmente, tomamos h = p˜1 . Es claro que p2 ◦ h = p1 y que h(x1 ) = x2 . Corolario 8.3 Sean p1 : X1 −→ X y p2 : X2 −→ X recubrimientos, con X1 y

X2 conexos y localmente conexos por caminos. Sean x1 ∈ X1 , x2 ∈ X2 y x0 ∈ X , tales que p1 (x1 ) = p2 (x2 ) = x0 . Si existe un homeomorfismo h : X1 −→ X2 tal que h(x1 ) = x2 y p2 ◦ h = p1 entonces p1∗ π1 (X1 , x1 ) = p2∗ π1 (X2 , x2 ) .

Demostraci´ on. Como h es homeomorfismo, se sigue que h∗ : π1 (X1 , x1 ) −→

π1 (X2 , x2 ) es un isomorfismo. Como el siguiente diagrama es conmutativo Figura

tenemos que p1∗ π1 (X1 , x1 ) = p2∗ ◦ h∗ π1 (X1 , x1 ) = p2∗ π1 (X2 , x2 ) . Definici´ on 8.2 Decimos que dos recubrimientos p1 : X1 −→ X y p2 : X2 −→ X

son equivalentes si, existe un homeomorfismo h : X1 −→ X2 , con p2 ◦ h = p1 , es decir, el siguiente diagrama conmuta.

Figura. Observaci´ on. No se requiere de puntos bases.

103

Sergio Plaza

Teorema 8.2 Sean p1 : X1 −→ X y p2 : X2 −→ X recubrimientos, con X1 y

X2 conexos y localmente conexos por caminos. Sean x1 ∈ X1 , x2 ∈ X2 y x0 ∈ X

tales que p1 (x1 ) = p2 (x2 ) = x0 . Entonces los recubrimientos son equivalentes si y s´ olo si los subgrupos p1∗ π1 (X1 , x1 ) y p2∗ π1 (X2 , x2 ) de π1 (X, x0 ) son conjugados. Demostraci´ on. Inmediata desde los corolarios anteriores. e −→ X un recubrimiento. El grupo de transformaciones Definici´ on 8.3 Sea p : X de recubrimiento es

e p, X) = G(X,

=

e −→ X e : h es un homeomorfismo y p ◦ h = p } {h : X e X) e : p ◦ h = p} {h ∈ Homeo(X,

e X) e Tenemos que h es una transformaci´on de recubrimiento si, h ∈ Homeo(X,

y el siguiente diagrama conmuta.

Figura. e es un G(X, e X, p)–espacio con la acci´on Θ : G(X, e X, p) × X e −→ Observaci´ on. X e dada por Θ(h, x X ˜) = h(˜ x) .

e −→ X un recubrimiento, con X e conexo y localmente Teorema 8.3 Sea p : X e X, p) sobre X e es propiamente conexo por caminos. Entonces la acci´ on de G(X, continua.

e y sea U una vecindad de x = p(˜ Demostraci´ on. Sea x ˜∈ X x) , eventualmente −1 e recubierta por p , esto es, p (U ) = ∪j∈J Uj , con Uj ⊂ X abierto, Ui ∩ Uk = ∅ si i 6= k , y p|Uj : Uj −→ U es un homeomorfismo.

e X, p) . Si h(˜ Tenemos que x ˜ ∈ Uj para alg´ un j ∈ J . Sea h ∈ G(X, x) = x ˜

entonces h = IdXe . Luego, si h 6= IdXe se tiene que h(˜ x) 6= x ˜ , y como p ◦ h = p

se sigue que h(˜ x) ∈ Uk para alg´ un k ∈ J . Si Uk = Uj entonces h = IdXe , ˜ ∈ Uj y por lo tanto, si h 6= IdXe se tiene necesariamente que j 6= k , luego x

Sergio Plaza

104

e es localmente h(˜ x) ∈ Uk , y como Uj ∩ Uk = ∅ (pues j 6= k ). Ahora, como X conexo por caminos, se tiene que X tambi´en lo es. Luego, podemos suponer que

U es conexa por caminos, y en consecuencia Uj es conexa por caminos para cada j ∈ J . Como p ◦ h(Uj ) ⊂ U se sigue que h(Uj ) ⊂ ∪ℓ∈J Uℓ , con Uℓ conexo por

caminos, y h(˜ x) ∈ Uk para x ˜ ∈ Uj , por lo tanto h(Uj ) ⊂ Uk , y en consecuencia Uj ∩ h(Uj ) = ∅ , si h 6= IdXe , como quer´ıamos probar.

e −→ X es un recubrimiento, con X e conexo y localmente Corolario 8.4 Si p : X e −→ X/G( e e X, p) es un reconexo por caminos entonces la proyecci´ on π : X X, cubrimiento.

Demostraci´ on. Inmediata. e −→ X un recubrimiento, con X e conexo y localmente Teorema 8.4 Sea p : X e x˜0 ) es un subgrupo normal de π1 (X, x0 ) , donde conexo por caminos. Si p∗ π1 (X, e e X, p) . x0 = p(˜ x0 ) . Entonces X es homeomorfo al espacio cuociente X/G( X,

e x Demostraci´ on. Como p∗ π1 (X, ˜0 ) es un subgrupo normal de π1 (X, x0 ) , tenemos e e que p∗ π1 (X, x ˜0 ) = p∗ π1 (X, x ˜1 ) para todo x ˜1 ∈ p−1 (x0 ) . Luego, existe un homeo-

e −→ X e con h(˜ e X, p) . Por morfismo h : X x0 ) = x ˜1 y p ◦ h = p , es decir, h ∈ G(X, e X, p) tal que h(˜ lo tanto, si p(˜ x0 ) = p(˜ x1 ) existe h ∈ G(X, x0 ) = x˜1 . e X, p) tal que h(˜ Rec´ıprocamente, si existe h ∈ G(X, x0 ) = x ˜1 , se tiene que e x p∗ π1 (e x, x ˜0 ) = p∗ π1 (X, ˜1 ) y p(˜ x0 ) = p(˜ x1 ) . e e del mismo modo que lo En resumen, G(X, X, p) identifica los puntos de X

e e X, p) y X , como conjuntos, estan en correspondencia hace p . Luego, X/G( X, e e X, p) tienen la topolog´ıa cuociente determinada biyectiva. Adem´as, X y X/G( X, e −→ X y π : X e −→ X/G( e e X, p) , respectivamente, luego X y por p : X X, e e X, p) son homeomorfos. X/G( X,

e −→ X un recubrimiento, con X e conexo y localmente Corolario 8.5 Sea p : X e x˜0 ) es un subgrupo normal de π1 (X, x0 ) , donde conexo por caminos. Si p∗ π1 (X, e x e X, p) . p(˜ x0 ) = x0 . Entonces π1 (X, x0 )/p∗ π1 (X, ˜0 ) ∼ = G(X, Demostraci´ on. Inmediata.

e −→ X es un recubrimiento, con X e simplemente conexo Corolario 8.6 Si p : X ∼ G(X, e X, p) . y localmente conexo por caminos, entonces π1 (X, x0 ) =

Sergio Plaza

105

Demostraci´ on. Inmediata. Ejemplo. Tenemos que S2 es simplemente conexo y localmente conexo por caminos (pruebe esto). Sea p : S2 −→ RP2 la proyecci´on can´onica, tenemos que p es un recubrimiento. Por lo tanto, G(S2 , RP2 , p) ∼ = π1 (RP2 ) ∼ = Z2 . En este caso, G(S2 , RP2 , p) = {Id, a} , donde a : S2 −→ S2 es la aplicaci´on antipodal a(x) = −x .

Cap´ıtulo 9

Recubrimiento Universal En el cap´ıtulo anterior mostramos que un recubrimiento, salvo algunas condiciones, queda completamente determinado, a menos de equivalencias, por la clase de cone x jugaci´on de p∗ π1 (X, ˜) . Estudiaremos ahora el siguiente problema: Dada una clase de conjugaci´on de e −→ X tal que p∗ π1 (X, e x subgrupos de π1 (X, x0 ) ¿Existe un recubrimiento p : X ˜0 ) pertenece a dicha clase de conjugaci´on? La respuesta es, en general, no.

Observemos que siempre existe un recubrimiento correspondiente a la clase de

conjugaci´on de π1 (X, x0 ) , el cual es dado por Id : X −→ X .

Ahora, si tomamos el subgrupo trivial {e} ⊂ π1 (X) , en general no tenemos

una respuesta positiva al problema anterior.

Definici´ on 9.1 El recubrimiento asociado a la clase de conjugaci´ on del subgrupo trivial {e} ⊂ π1 (X) , es llamado el recubrimiento universal de X . e −→ X es un recubrimiento universal, Observaci´ on. Notemos que si p : X e es simplemente conexo, pues el homomorfismo p∗ : π1 (X, e x entonces X ˜0 ) −→ π1 (X, x0 ) , con x0 = p(˜ x0 ) , es inyectivo.

9.1

Condici´ on necesaria para existencia del recubrimiento universal

e −→ X es un recubrimiento universal. Sean x ∈ X y Supongamos que p : X e . Tenemos que existe una vecindad U de x en X tal que p−1 (U ) = ∪j∈J Vj , x˜ ∈ X

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Sergio Plaza

107

e abierto para cada j ∈ J , Vi ∩ Vk = ∅ si i 6= k , y p|Vj : Vj −→ U con Vj ⊂ X

homeomorfismo. Como x ˜ ∈ p−1 (x) existe un ´ındice k ∈ J tal que x ˜ ∈ Vk = V , y tenemos el siguiente diagrama conmutativo.

Figura. el induce el diagrama conmutativo siguiente

Figura de aqu´ı concluimos que i∗ es el homomorfismo trivial, pues para todo [α] ∈ π1 (U, x) se tiene que i∗ ([α]) = e .

Definici´ on 9.2 Decimos que un espacio topol´ ogico X es semilocalmente simplemente conexo (slsc) si, para cada x ∈ X existe una vecindad U de x tal que cualquier camino cerrado en U con base en x es equivalente en X rel {0, 1} al camino constante εx : I −→ X , dado por εx (t) = x para todo t ∈ I .

Observaci´ on. Si U es como arriba satisface la condici´on de la definici´on, entonces cualquier vecindad V ⊂ U de x tambi´en satisface la condici´on. Ejemplo. Sea X = ∪n∈N Cn , donde Cn es el c´ırculo de centro en (1/n, 0) y radio 1/n en el plano. Tenemos que (0, 0) ∈ Cn para cada n ∈ N . Es claro que X es

conexo y localmente conexo por caminos, pero no es semilocalmente simplemente conexo, para verlo considire una vecindad del origen.

108

Sergio Plaza

Teorema 9.1 Sea X un espacio conexo y localmente conexo por caminos. Ene −→ X si y s´ tonces existe un recubrimiento universal p : X olo si X es semilocalmente simplemente conexo.

Demostraci´ on. =⇒) Ya vimos que esa condici´on es necesaria. ˜, ⇐=) Fijemos un punto base x0 ∈ X . Comenzamos por definir el conjunto X como sigue

e = { [α] : α : I −→ X , α(0) = x0 } X

e −→ X por p([α]) = α(1) . Como [α] = [β] si y s´olo si α ∼ β y la aplicaci´on p : X

rel {0, 1} , se tiene que α(1) = β(1) , luego p est´a bien definida.

e . Sea U ⊂ X un conjunto abierto y sea α : I −→ X un Topolog´ıa en X camino con α(0) = x0 y α(1) ∈ U . Definimos [U, α] = { [α ∗ β] : β : I −→

X camino con β(I) ⊂ U } . Definimos U como la clase de conjuntos que contiene e y a las uniones arbitrarias de conjuntos de la forma [U, α] , al conjunto vac´ıo ∅, a X donde U ⊂ X es un conjunto abierto.

e . Para ver esto, basta probar que la Afirmamos que U es una topolog´ıa para X

intersecci´on de dos elementos de U es un elemento de U , el resto de las propiedades a verificar son inmediata.

Para mostrar que la intersecci´on de dos elementos de U es un elemento de U

mostraremos primero que si [γ] ∈ [U, α] , entonces [U, γ] = [U, α] . Si [γ] ∈ [U, α]

existe un camino β : I −→ X tal que β(0) = α(1) , β(I) ⊂ U , y [γ] = [α ∗ β] . Sea

δ : I −→ U un camino, con δ(0) = β(1) . Tenemos [γ∗δ] = [(α∗β)∗δ] = [α∗(β∗δ)] ,

de donde [γ ∗ δ] ∈ [U, γ] y [α ∗ (β ∗ δ)] ∈ [U, α] , pues β ∗ δ es un camino que comienza en α(1) y est´a enteramente contenido en U . Luego, [U, γ] ⊂ [U, α] . De

modo an´alogo se prueba que [U, α] ⊂ [U, γ] .

Ahora, sean [U, α], [U ′ , α′ ] ∈ U , con [U, α] ∩ [U ′ , α′ ] 6= ∅ . Sea β ∈ [U, α] ∩

[U ′ , α′ ] entonces [U, β] = [U, α] y [U ′ , β] = [U ′ , α′ ] , luego [U ∩ U ′ , β] ⊂ [U, α] ∩

[U ′ , α′ ] . Por lo tanto, [U, α] ∩ [U ′ , α′ ] es la uni´on de la colecci´on { [U ∩ U ′ , β] : β ∈ [U, α] ∩ [U ′ , α′ ] } .

e −→ X es una aplicaci´ p:X on continua y sobreyectiva. a) p es sobreyectiva.

Sean x ∈ X y α : I −→ X un camino, con α(0) = x0 y α(1) = x . Es claro e y que p([α]) = α(1) = x . que [α] ∈ X

109

Sergio Plaza b) p es una aplicaci´on continua.

Sea U ⊂ X un conjunto abierto. Si p−1 (U ) = ∅ no hay nada que probar. Si e es un conjunto no, sea [α] ∈ p−1 (U ) . Por definici´on de la topolog´ıa, [U, α] ⊂ X abierto, y

p([U, α]) = =

{α ∗ β(1) , donde {β(1) , donde

β : I −→ U, con α(1) = β(0)}

β : I −→ U, con α(1) = β(0)} ⊂ U ,

luego, p−1 (U ) = ∪[α]∈p−1 (U) [U, α] . e −→ X es un recubrimiento. p:X

S´olo nos resta probar que cada x ∈ X tiene una vecindad eventualmente

recubierta por p . (Es en esta parte donde es necesaria la condici´on que X sea semilocalmente simplemente conexo.)

Sea x ∈ X y sea V una vecindad de x , la cual asumimos conexa por caminos

y es tal que cada camino cerrado en V con base en x es equivalente en X al camino constante εx . Tenemos que p−1 (V ) = ∪[α]∈p−1 (V ) [V, α] . Si [V, α]∩[V, β] 6= ∅ entonces existe

un elemento [γ] ∈ [V, α] ∩ [V, β] . Luego, [V, γ] = [V, α] y [V, γ] = [V, β] , de esto se

sigue que [V, α] = [V, β] , ,lo que muestra que p−1 (V ) es una uni´on de conjuntos

abiertos disjuntos. Ahora debemos probar que pα = p|[V, α] : [V, α] −→ V es un homeomorfismo.

Es claro que pα es continua, pues p−1 α (V ) = [V, α] . Si x ∈ V , sea β : I −→ V

un camino, con β(0) = α(1) y β(1) = x . Entonces [α∗β] ∈ [V, α] y p([α∗β]) = x , luego pα es sobreyectiva.

Para mostrar que pα es inyectiva, supongamos que pα ([α ∗ β]) = pα ([α ∗ γ])

para elementos [α ∗ β], [α ∗ γ] ∈ [V, α] . Como pα ([α ∗ β]) = pα ([α ∗ γ]) , se tiene que β y γ terminan en el mismo punto,

Figura en consecuencia el camino β ∗ γ¯ es un camino cerrado en V , por lo tanto es

Sergio Plaza

110

equivalente en X al camino constante εx . En particular, β ∼ γ rel {0, 1} , luego [α ∗ β] = [α ∗ γ] , lo que prueba que pα es inyectiva.

Ahora debemos probar que pα es homeomorfismo, para lo cual basta probar

que p−1 α : V −→ [V, α] es continua, o equivalentemente, hay que probar que pα es una aplicaci´on abierta.

Sea [W, β] un subconjunto abierto de [V, α] . Tenemos entonces que N = p([W, β]) es el conjunto de puntos de W que pueden ser unidos por un camino en W a β(1) . Para cada y ∈ N existe una vecindad abierta conexa por caminos Wy

en W de y . Como y ∈ N y Wy es conexa por caminos, se sigue que Wy ⊂ N , luego N = ∪y∈N Wy , por lo tanto p([W, β]) = N es un conjunto abierto. e es simplemente conexo. X

e es conexo por caminos. Primero mostraremos que X

Sea x ˜0 = [εx0 ] la clase de homotop´ıa del camino constante εx0 : I −→ X , e . Definamos α e por dado por εx0 (t) = x0 para todo t ∈ I . Sea [α] ∈ X ˜ : I −→ X

α(s) ˜ = [αs ] , donde αs (t) = α(s · t) , para t ∈ I . Tenemos que α ˜ es un camino e e en X , que une x ˜0 a [α] . Luego X es conexo por caminos. Notemos que α ˜ e un

levantamietnto de α .

e con base en x˜0 . Por unicidad de Ahora, sea β un camino cerrado en X levantamientos de caminos, se tiene que β = p] ◦ β , luego [p ◦ β] = [p ◦ (p] ◦ β)] = p] ◦ β(1)] = x ˜0 = [εx0 ] . Por lo tanto, β = p] ◦ β es equivalente al camino constante e , esto es, X e es simplemente conexo. en X

Corolario 9.1 Sea X un espacio conexo, localmente conexo por caminos y semilocalmente simplemente conexo. Dado un subgrupo H 6 π1 (X, x0 ) , existe un recubrimiento pH : XH −→ X , u ´nico salvo equivalencias, tal que H = pH∗ π1 (XH , xH ) .

En particular, dada cualquier clase de conjugaci´ on de subgrupos de π1 (X, x0 ) existe un recubrimiento p′ : X ′ −→ X tal que p′∗ π1 (X ′ , x′ ) pertenece a dicha clase de conjugaci´ on.

e −→ X recubrimiento universal. Como los grupos Demostraci´ on. Sea p : X e e X, p) el G(X, X, p) y π1 (X, x0 ) son isomorfos, podemos considerar H ′ 6 G(X, ′ e cual es una copia isomorfica de H 6 π1 (X, x0 ) . Sean XH = X/H y pH : XH −→

X la proyecci´on can´onica. Tenemos que pH : XH −→ X es un recubrimiento, y e es simplemente conexo, se sigue que pH∗ π1 (XH , xH ) ∼ como X =H.

Cap´ıtulo 10

Ejercicios parte 1 Problema 1 Demuestre que el proceso ortonormalizaci´on de Gramm-Schmidt define una retracci´on r : GL(Rn ) −→ O(n) . Restringuiendo r , demuestre que cada

uno de los espacios abajo es un retracto de deformaci´on del correspondiente espacio, SO(n) ⊂ SL(n) ⊂ GL+ (Rn ) donde GL+ (Rn ) = {A ∈ GL(Rn ) : det(A) > 0}. Problema 2 Sea f : [0, 1/π] −→ R definida por f (x) = sen(1/x) si 0 < x 6 1/π

y f (0) = 0 . Sea X el gr´afico de f y sea Y un arco simple cuyas extremidades son los puntos (0, 0) y (1/π, 0) , sus puntos tienen ordenada positiva y no pertenecen a X . Sea Z = X ∪ Y . Pruebe que Z es simplemente conexo, pero no localmente conexo por caminos.

Problema 3 Sea S2n+1 ⊂ Cn+1 . Considere el grupo multiplicativo S1 ⊂ C de

los n´ umeros complejos de m´odulo 1. Defina la acci´on Θ : S1 × S2n+1 −→ S2n+1 por

Θ(u, (z1 , . . . , zn+1 )) = (uz1 , . . . , uzn+1 ) . Pruebe que esta acci´on es propiamente discontinua y calcule π1 (CPn ) . Problema 4 Sea SO(n) el grupo de rotaciones de Rn , es decir, SO(n) est´a con-

stituido de las transformaciones lineales T : Rn −→ Rn tales que hT (u), T (v)i =

hu, vi para todo u, v ∈ Rn y det(T ) = 1 , equivalentemente, SO(n) es el conjunto

de las matrices reales n × n ortogonales con determinante igual a 1. Claramente

SO(n) es un grupo conexo por caminos (pruebe esta afirmaci´on)

111

112

Sergio Plaza 1. Pruebe que SO(1) = {I} .

2. Pruebe que SO(2) es isomorfo a S1 , y deduzca de esto que π1 (SO(2)) ∼ = Z. 3. Pruebe que O(3) es homeomorfo a RP3 , y de esto pruebe que π1 (SO(3)) ∼ = Z2 .

Problema 5 Muestre que para cualquier grupo abeliano finitamente generado G existe un espacio topol´ogico XG , cuyo grupo fundamental es isomorfo a G . Problema 6 Sea Y = (C − {0})/K , donde K = {ϕn : n ∈ Z} y ϕ : C − {0} −→ C − {0} es dada por ϕ(z) = 4z . Calcule π1 (Y ) .

Problema 7 Sea X = R × [0, 1] ⊂ C . Sea T : X −→ X dada por T (z) =

z¯ + 1 + i . Pruebe que T define un homeomorfismo de X . Sea G = h{T }i (grupo

libre generado por T ). Pruebe que X/G es la banda de M¨obius y deduzca que π1 (X/G) ∼ = Z.

Problema 8 Pruebe que el grupo fundamental de la botella de Klein es isomorfo al siguiente grupo: G = {am b2n+ε : m, n ∈ Z, ε = 0 o 1, ba = a−1 b}. Problema 9 Pruebe que si n > 2 entonces no existe una aplicaci´on continua ϕ : Sn −→ S1 tal que ϕ(−x) = ϕ(x) . Problema 10 Pruebe que el subespacio P de R dado por P = {0} ∪ { n1 : n ∈ N} no es localmente conexo por caminos

Problema 11 Sean p1 : X1 −→ S1 y p2 : X2 −→ S1 dos recubrimientos con n–hojas (n finito). Pruebe que estos recubrimientos son equivalentes. Problema 12 Determine todos los espacios recubrimientos de: 1. S1 , 2. S1 × S1 , 3. X , donde X es simplemente conexo y localmente conexo por caminos.

Sergio Plaza

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Problema 13 Sean p1 : X1 −→ X y p2 : X2 −→ X dos recubrimientos, con X conexo y localmente conexo por caminos.

1. Pruebe que si existe una aplicaci´on continua y sobreyectiva f : X1 −→ X2 , entonces f : X1 −→ X2 es un recubrimiento.

2. Pruebe que si X2 es conexo por caminos y existe una aplicaci´on continua f : X1 −→ X2 , entonces f : X1 −→ X2 es un recubrimiento. Problema 14 Pruebe que el espacio formado por un toro con un disco generado por un meridiano es homot´opicamente equivalente a S1 ∨ S1 . Problema 15 Pruebe que el espacio formado por un toro con un disco generado por un meridiano y un disco generado por un paralelo es homot´opicamente equivalente a S2 . Problema 16 Pruebe que si un espacio topol´ogico X es deformable (por homotop´ıa) a un subespacio A conexo por caminos. Entonces X es conexo por caminos. Problema 17 Sean X1 , X2 dos toros s´olidos, y sea f : ∂X1 −→ ∂X2 un difeo-

morfismo. Defina Mf3 = X1 ∪f X1 como el espacio obtenido identificando los puntos x ∈ ∂X1 y f (x) ∈ ∂X2 . Construya ejemplos de difeomorfismos f como arriba de modo que la variedad obtenida sea difeomorfa a: 1. S3 . 2. S2 × S1 . 3. RP3 . Problema 18 Sea X el espacio obtenido desde la esfera S2 con un segmento de recta uniendo los polos norte y sur. Calcule π1 (X) Problema 19 Sea G = Z2 × Z3 × Z × Z5 × Z10 × Z × Z50 . Construya un espacio ∼ G. topol´ogico conexo por caminos X con π1 (X, x0 ) =

Problema 20 Sea f : S1 −→ S1 definida por f (z) = z ℓ , ℓ ∈ Z . Describa el

homomorfismo inducido f∗ : π1 (S1 , 1) −→ π1 (S1 , 1) .

Problema 21 Demuestre S2 y T2 (toro 2–dimensional) no son homeomorfos.

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114

e −→ X un recubrimiento, con X conexo por caminos. Problema 22 Sea p : X

1. Pruebe que π1 (X, x0 ) act´ ua transitivamente sobre p−1 (x0 ) , es decir, para todo x ˜0 , x ˜1 ∈ p−1 (x0 ) existe g ∈ π1 (X, x0 ) tal que g · x ˜0 = x˜1 .

2. Muestre que si p es un recubrimiento con n–hojas, es decir, para cada x ∈

X el conjunto p−1 (x) consiste de n puntos. Entonces el homomorfismo e x inducido p∗ : π1 (X, ˜0 ) −→ π1 (X, x0 ) es la inclusi´on de un subgrupo de

´ındice n . Ilustre esto con algunos ejemplos.

3. Pruebe que si X es simplemente conexo entonces p es un homeomorfismo. e x 4. Pruebe que p es un homeomorfismo si y s´olo si p∗ π1 (X, ˜0 ) = π1 (X, x0 ) .

Problema 23 Sea Y = {(q, 0) ∈ R2 : q ∈ Q} . Calcule π1 (R2 − Y, (0, −1)) .

Problema 24 Sean p1 : S1 −→ S1 y p1 : S1 −→ S1 dos recubrimientos de n– hojas. Pruebe que estos recubrimientos son equivalentes. Problema 25 Sea X = S3 − S1 . Calcule π1 (X) . Problema 26 Sea X = T2 ∨x0 T2 el espacio formado por dos copias del toro T2 pegadas por el punto x0 . Calcule π1 (X, x0 ) .

˜k , donde S ˜k = Problema 27 En RPn encuentre el tipo de homotop´ıa de RPn − S {x21 + · · · + x2k+1 = 1 , xk+1 = · · · = xn = 0} .

Problema 28 Sean X e Y espacios topol´ogicos. Sean x0 ∈ X e y0 ∈ Y defini-

mos el espacio topol´ogico X ∨ Y , como el espacio cuociente (X, x0 ) ∪ (Y, y0 ))/x0 ∼ y0 . Pruebe que π1 (X ∨ Y, (x0 , y0 )) ∼ = π1 (X, x0 ) ∗ π1 (Y, y0 ) , donde G1 ∗ G2 es el

grupo producto libre de los grupos G1 y G2 .

Problema 29 Considere un peque˜ no disco cerrado en la variedad abierta Rn × Sn−k y pegue el espacio proyectivo RPn en su lugar, es decir, retire un disco Dn

desde Rn × Sn−k e identifique los puntos x y −x de la frontera ∂Dn = Sn−1 .

Pruebe que el espacio obtenido es homot´opicamente equivalente a RPn−1 ∨ S n−k . Problema 30 Encuentre el tipo de homotop´ıa del espacio Cn − ∆ , donde ∆ = ∪i,j ∆ij y ∆ij = {x ∈ Cn : xi = xj } .

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Problema 31 Calcule el n´ umero de aplicaciones, salvo homotop´ıa, de: 1. RPn −→ RPn . 2. RPn+1 −→ Rn . 3. CPn −→ CPn . 4. Cn+1 −→ CPn . Problema 32 Pruebe que Sn−1 puede ser representada como una uni´on Sr × Dn−r ∪ Dr+1 × Sn−r−1 con la frontera com´ un Sr × Sn−r−1 .

Problema 33 Considere la esfera Sn−1 ⊂ Rn , y en ella considere las esferas in-

crustadas Sr−1 = {xr+1 = · · · = xn = 0} y Sn−r−1 = {x1 = · · · = xr = 0} .

Pruebe que dados x ∈ Sn−r−1 e y ∈ Sr entonces existe un camino, dado por un u ´nico arco grande de c´ırculo que une x con y , y que no posee otros puntos de

intersecci´on con esas esferas. Problema 34 Pruebe que el espacio de los polinomios de grado 3 sin ra´ıces m´ ultiples es homot´opicamente equivalente al complemento de un trebol de 3 hojas en S3 . Problema 35 Encuentre el tipo de homotop´ıa del espacio X × Sn /X ∨ Sn . Problema 36 Sea X = S1 ∨x0 S2 . Clasifique los recubrimientos de X . Problema 37 Sea i : RPn ֒→ RPm la inclusi´on can´onica, donde 2 6 n 6 m . Pruebe que i induce un isomorfismo desde π1 (RPn , x) en π1 (RPm , x) . Problema 38 Pruebe que CPn es simplemento conexo para todo n > 0 . Problema 39 Sea F = Dn × {0} ∪ Sn−1 × I ⊂ Dn × I . Pruebe que F es un retracto de Dn × I . ¿Es este un retracto de deformaci´on?

Problema 40 Pruebe que dos caminos f, g : I −→ X , con f (0) = g(0) = x

y f (1) = g(1) = y , inducen el mismo isomorfismo de π1 (X, x) en π1 (X, y) , es decir, uf = ug , si y s´olo si [g ∗ f¯] ∈ Z(π1 (X, x)) , donde Z(G) = {a ∈ G : ab =

ba para todo b ∈ G} es el centro del grupo G . Use esto para probar si π1 (X, x)

es abeliano entonces el isomorfismo desde π1 (X, x) en π1 (X, y) no depende del camino que une x e y .

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e −→ Problema 41 Sea X = banda de M¨obius. Encuentre un recubrimiento p : X −1 e X , tal que para cada x ∈ X se tiene que #p (x) = 2 . Calcule π1 (X) .

e −→ X es regular si, para Problema 42 Decimos que un recubrimiento p : X e e alg´ un x ˜0 ∈ X se tiene que p∗ π1 (X, x ˜0 ) es un subgrupo regular de π1 (X, p(˜ x0 )) .

Sea G un grupo que act´ ua de modo propiamente discontinuo sobre un espacio

topol´ogico X y sea p : X −→ X/G la proyecci´on can´onica. Pruebe que este ree −→ X es un recubrimiento cubrimiento es normal (Indicaci´on: pruebe que si p : X regular y si f : I −→ X es un camino cerrado. Entonces cada levantamiento de f es cerrado o ninguno de ellos es cerrado).

Problema 43 Sea π : R3 −→ RP3 la proyecci´on can´onica y sea Y ⊂ RP3 la

imagen bajo π del conjunto Γ = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 − z 2 = 1} . Calcule π1 (Y ) .

Problema 44 En R3 sea Y : (x − 1/n)2 + y 2 = (1/n)2 , n ∈ N y z = 0 . Sea

K2 el cono de v´ertice en (1, 0, 1) y base Y . Sea Y1 la reflexi´on respecto al plano x = 0 de K2 . Pruebe que K1 y K2 son simplemente conexos, y que K1 ∪ K2 es

conexo por caminos pero no simplemente conexo ¿Contradice esto el Teorema de Seifert–van Kampen? e −→ X es un recubrimProblema 45 Suponga que π1 (X, x0 ) ∼ = Z y que p : X e x iento con #p−1 (x0 ) = finita . Calcule π1 (X, ˜0 ) , donde x˜0 ∈ p−1 (x0 ) .

e = {(x, y) ∈ R2 : x o y es entero} , X = {(z1 , z2 ) ∈ Problema 46 Sean X e −→ X dada por p(x, y) = S1 × S1 : z1 = 1 o z2 = 1 } , y la aplicaci´on p : X e −→ X es un recubrimiento. (e2πix , e2πy ) . Pruebe que p : X Problema 47 ¿Cu´ales de las siguientes aplicaciones es un recubrimiento? 1. p : C − {0} −→ C − {0} definida por p(z) = z n , con n entero fijo. 2. p : C −→ C definida por p(z) = sen(z) .

3. p : C − {0, 1} −→ C − {0} definida por p(z) = (1 − z)m z n , donde n, m son enteros fijos.

e −→ X y q : Ye −→ Y recubrimientos. Pruebe que Problema 48 Sean p : X

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e × Ye −→ X × Y es un recubrimiento. 1. p × q : X

f = {(˜ e × Ye : p(˜ e −→ X , 2. Si X = Y y W x, y˜) ∈ X x) = q(˜ y } , entonces f : X donde f (˜ x, y˜) = p(˜ x) es un recubrimiento.

Problema 49 Sean a, b : C −→ C los homeomorfismos definidos por a(z) = z + i

y b(z) = z¯ + i + 1/2 . Pruebe que b ◦ a = a−1 ◦ b y deduzca que G = {am ◦ b2n ◦ bε : m, n ∈ Z y ε = 0 o 1 } es un grupo de homeomorfismo de C . Adem´as, pruebe

que la acci´on de G es propiamente discontinua y que el espacio cuociente C/G es Hausdorff. Finalmente pruebe que C/G es la botella de Klein. Incrustaci´ on de la botella de Klein en R4 . Sea ϕ : C −→ R5 definida por ϕ(x + iy) = (cos(2πy), cos(4πx), sen(4πx), sen(2πy) cos(2πx), sen(2πx)sen(2πy))

Pruebe que ϕ identifica a un punto cada ´orbita de G . deduzca que ϕ induce un homeomorfismo desde C/G en ϕ(C) . Sea ψ : R5 −→ R4 definida por

ψ(p, q, r, s, t) = ((p+ 2)q, (p+ 2)r, s, t) . Pruebe que ψ|Im(ϕ) es un homeomorfismo. e −→ X un recubrimiento, con X conexo por caminos. Problema 50 Sea p : X Pruebe que #p−1 (x) es independiente de x ∈ X . Si este n´ umero es finito, digamos e n , entonces decimos que el recubrimiento p : X −→ X es un recubrimiento de n– hojas.

Problema 51 Encuentre un recubrimiento de 2–hojas p : S1 × S1 −→ K , donde K es la botella de Klein.

Problema 52 Sea p : S2 −→ RP2 la proyecci´on can´onica. Dada una curva cerrada simple Σ en PR2 . Pruebe que p−1 (Σ) es siempre una curva cerrada simple en S2 o es la uni´on de dos curvas cerradas simples disjuntas en S2 . Problema 53 ¿Existe un espacio topol´ogico X tal que S1 × X es homeomorfo a RP2 o a S2 ?

Problema 54 Encuentre π1 (C2 − C) .

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Problema 55 Pruebe que Rm − Rn y Sm−n−1 , para n 6 m − 2 , tienen el mismo

tipo de homotop´ıa.

Problema 56 Pruebe que Rm − Rn , para n 6 m − 3 , es simplemente conexo. Problema 57 Sea pn : S1 −→ S1 dada por p(z) = z n , donde n ∈ N , Calcule

π1 (S1 )/Imagen(p∗ )

Problema 58 Pruebe que si m > 3 entonces ning´ un abierto de Rm es homeomorfo a un abierto de R2 . Problema 59 Describa el recubrimiento universal de la figura 8. Problema 60 Sea G = h{a, b}i , donde a, b : R2 −→ R2 son las aplicaciones

dadas por a(x, y) = (−x, y + 1) y b(x, y) = (x + a, y) . Pruebe que b ◦ a ◦ b = a ,

y que el grupo G act´ ua de modo propiamente discontinuo sobre R2 . Describa R2 /G y sus recubrimientos, incluyendo su recubrimiento universal. Problema 61 Calcule π1 (SO(n), 1) , para n > 2 , y pruebe que para n > 3 se tiene que i∗ : π1 (SO(2), 1) −→ π1 (SO(n)) (homomorfismo inducido por la inclusi´on can´onica i : SO(2) ֒→ SO(n) ) es sobreyectiva.

Calcule ker(i∗ ) y

π1 (SO(2), 1)/ ker(i∗ ) .

Problema 62 Encuentre un retracto de deformaci´on (fuerte) de R2 −{x1 , . . . , xn } ,

donde x1 , . . . , xn ∈ R2 son n puntos distintos.

Problema 63 Sea X = A/ ∼ , donde A = {z ∈ C : 1 6 |z| 6 2} y ∼ es la

relaci´on que identifica los puntos del c´ırculo |z| = 2 antipodalmente e identifica los

puntos del c´ırculo |z| = 1 antipodalmente. Calcule π1 (X) .

Problema 64 Pruebe que si n > 2 entonces toda aplicaci´on continua f : RPn −→

S1 es homot´opica a una aplicaci´on constante.

Problema 65 Pruebe que toda aplicaci´on continua de S2 en el toro T2 es homot´opica a una aplicaci´on constante. Lo mismo para aplicaciones de S2 en S1 . Problema 66 Considere los recubrimientos p1 , p2 : S1 −→ S1 , dados por p1 (z) =

z 12 y p2 (z) = z 3 . Fijando z1 = z2 = 1 en S1 . Pruebe que existe un homeomorfismo f : S1 −→ S1 tal que f (1) = 1 . De hecho pruebe que f (z) = z 4 .

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Problema 67 Sean p1 : X1 −→ X y p2 : X2 −→ X recubrimientos, con X1

simplemente conexo y localmente conexo por caminos y X2 conexo y localmente conexo por caminos. Pruebe que existe una aplicaci´on continua p : X1 −→ X2 , la

cual es un recubrimiento.

Problema 68 Sea Yn = {z ∈ C : |z − j − 1/2| = 1/2 , j = 1, . . . , n} . Calcule

π1 (Yn , 0) .

Problema 69 Sean M1 y M2 variedades topol´ogicas de dimensi´on n . Se define la variedad topol´ogica M1 #M2 , suma conexa de M1 con M2 como sigue. Sean Di ⊂ Mi (i = 1, 2) subconjuntos abiertos homeomorfos al disco Dn . Sea f : ∂Dn −→ ∂Dn un homeomorfismo. Entonces f induce un homeomorfismo desde

∂D1 en ∂D2 y M1 #M2 es el espacio cuociente obtenido identificando x ∈ ∂D1 con su imagen f (x) ∈ ∂D2 .

Si π1 (M1 ) = hS1 , R1 i y π1 (M2 ) = hS2 , R2 i pruebe que π1 (M1 #M2 ) = hS1 ∪

S2 , R1 ∪ R2 i .

Problema 70 Calcule π1 (SO(2)) . Problema 71 Encuentre el subgrupo normal de π1 (figura 8) para la cual se tiene el siguiente recubrimiento Figura

Problema 72 (Suspensi´on de Espacios Topol´ogicos) Sea X un espacio topol´ogico y sea I = [0, 1] . La suspensi´on de X , denotado por S(X) , es el espacio cuociente obtenido desde X × I identificando los subespacios X × {0} y X × {1} a puntos

u y v , respectivamente. Los puntos u y v son llamados los polos norte y sur de S(X) , respectivamente.

1. Pruebe que existe un subespacio X ′ ⊂ S(X) imagen homeomorfica de X por

la proyecci´on can´onica p : X × I −→ S(X) . Se usa en general la notaci´on X para denotar tal subespacio y decimos que consideremos X dentro de S(X) .

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Sergio Plaza

2. Si f : X −→ Y es una aplicaci´on continua. Pruebe que existe una extensi´on continua S(f ) : S(X) −→ S(Y ) de f , llamada la suspensi´on de f .

3. Sean U y V los subespacios de S(X) definidos por U

= {p(x, t) : x ∈ X , 1/2 6 t 6 1}

V

= {p(x, t) : x ∈ X , 0 6 t 6 1/2} .

Pruebe que U y V son contractibles y que S(X) = U ∪ V . 4. Pruebe que S(Sn ) es homeomorfo a Sn+1 . 5. Sea f : S1 −→ S1 , definida por f (z) = z 2 (donde consideramos S1 ⊂ C ).

Construya, S(f ) : S2 −→ S2 , S 2 (f ) = S(S(f )) : S3 −→ S3 , . . . , S n (f ) : Sn+1 −→ Sn+1 .

6. Si f, g : X −→ Y son homot´opicas ¿Son S(f ) y S(g) homot´opicas?. Problema 73 (Mapping Cylinders) Sea f : X −→ Y una aplicaci´on continua.

Consideremos la suma topol´ogica disjunta, W = X × I ∪ Y . Si para cada punto

x ∈ X se identifica con el punto (x, 1) ∈ X × I con el punto f (x) ∈ Y , obtenemos un espacio cuociente Z(f ) , llamado “mapping cylinder” de f : X −→ Y . Sea

π : W −→ Z(f ) la proyecci´on can´onica.

1. Pruebe que las aplicaciones i : X ֒→ Z(f ) , h : Y ֒→ Z(f ) , definidas por i(x) = π(x, 0) y h(y) = π(y) son incrustaciones (es decir, homeomorfismos sobre su respectiva imagen). Por lo tanto, podemos considerar X e Y como subespacios (disjuntos) de Z(f ) . 2. Pruebe que el subespacio Y de Z(f ) es un retracto de deformaci´on fuerte de Z(f ) . 3. Pruebe que la inclusi´on h : Y −→ Z(f ) es una equivalencia de homotop´ıa. 4. En el siguiente diagrama

se tiene que i 6= h ◦ f (pruebe esto). Pruebe que i y h ◦ f son homot´opicas.

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5. Pruebe que si f, g : X −→ Y son homot´opicas entonces Z(f ) y Z(g) son homot´opicamente equivalentes.

Problema 74 (Cono sobre un Espacio Topol´ogico). Sean X un espacio topol´ogico y sea v un punto fuera de este. Sea k : X −→ {v} . El mapping cylinder Z(k) es

llamado el cono sobre X , denotado por C(X) , el punto v es llamado el v´ertice de C(X) . 1. Construya C(S0 ) , C(S1 ) , . . . , C(Sn ) , y C(X) para otros espacios conocidos, por ejemplos, C(Rn ) (n > 0), C(RP2 ) , C( banda de M¨obius) , etc. 2. Pruebe que una aplicaci´on f : X −→ Y es homot´opica a una constante si y s´olo si puede extenderse continuamente a C(X) .

3. Pruebe que C(X) es contractible, cualquiera que sea el espacio topol´ogico X Problema 75 (Mapping Cones). Sea f : X −→ Y una aplicaci´on continua.

Consideremos el mapping cylinder Z(f ) de f . Identificando el subespacio X de

Z(f ) a un s´olo punto punto u , obtenemos un espacio cuociente, C(f ) , llamado el mapping cones de f . El punto u es llamado el v´ertice de C(f ) . Sea w : Z(f ) −→ C(f ) la proyecci´on can´onica.

Claramente C(f ) puede ser definido directamente como el espacio cuociente de W = X × I + Y , obtenido identificando el subespacio X al punto u e identificando (x, 1) con f (x) , para cada x ∈ X . Sea ρ : W −→ C(f ) la proyecci´on can´onica.

Tenemos que ρ = w ◦ π . El espacio Y puede ser considerado como un sube-

spacio de C(f ) mediante la incrustaci´on P (f ) : Y −→ C(f ) dada por P (f )(y) = ρ(y) . La aplicaci´on P (f ) es llamada incrustaci´on asociada a Y . 1. Pruebe que P (f ) = w ◦ h . 2. Pruebe que C(X) ∼ IdX . 3. Pruebe que C(f ) puede ser definido como el espacio cuociente de la suma topol´ogica disjunta M = C(X) + Y , donde cada x ∈ X se identifica con f (x) ∈ Y . (Recuerde que podemos pensar X ⊂ C(f ) )

4. Pruebe que el espacio cuociente obtenido identificando el subespacio Y de C(f ) a un s´olo punto v , es la suspensi´on S(X) de X .

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5. Sea X uno de los espacios siguientes: Sn , RP2 , banda de M¨obius. Construya C(X) . 6. Sea f = S n (fk ) : Sn+1 −→ Sn+1 , donde fk : S1 −→ S1 es dada por f (z) = z k . Construya C(f ) .

7. Sea π : S2 −→ RP2 la proyecci´on can´onica. Cosntruya C(π) . Problema 76 Sea α : Sn −→ Sn la aplicaci´on antipodal α(x) = −x . Construya Z(α) , S(α) : Sn+1 −→ Sn+1 y C(α) . Problema 77 Construya C(Sn ) . Problema 78 Sea ri : Sn −→ Sn la aplicaci´on dada por r1 (x0 , . . . , xi , . . . xn ) =

(x0 , . . . , −xi , . . . , xn ) (es decir, ri cambia el signo a xi .) Construya Z(ri ) , S(ri ) :

Sn+1 −→ Sn+1 y C(ri ) . (Note que α = r0 ◦ r1 ◦ · · · ◦ rn .)

Problema 79 Sea π : Sn −→ RPn la proyecci´on can´onica. Construya Z(π) ,

S(π) : Sn+1 −→ S(RPn ) y C(π) .

Problema 80 (Espacio Proyectivo Complejo), CPn . El espacio proyectivo complejo n–dimensional es el espacio cuociente CPn = (Cn+1 − {0})/ ∼ , donde si u, v ∈ Cn+1 entonces u ∼ v si y s´olo si existe λ ∈

C − {0} tal que v = λu .

Sea π : Cn+1 − {0} −→ CPn la proyecci´on can´onica. En CPn consideramos la

topolog´ıa cuociente, es decir, A ⊂ CPn es un conjunto abierto si s´olo si π −1 (A) ⊂ Cn+1 − {0} es un conjunto abierto.

1. Considere S2n+1 ⊂ R2n+2 = Cn+1 . Pruebe que CPn = S2n+1 / ∼ , donde si

u, v ∈ S2n+1 entonces u ∼ v si y s´olo si existe λ ∈ S1 tal que v = λu . Sea

π ˜ : S2n+1 −→ CPn la proyecci´on can´onica. Pruebe que el siguiente diagrama es comnutativo.

Figura.

123

Sergio Plaza

2. Pruebe que para cada punto p ∈ CPn se tiene que π ˜ (p) es un c´ırculo grande de S2n+1 . (Nota, dado x ∈ S2n+1 el subconjunto {eiθ z : θ ∈ R} de S2n+1

es llamado c´ırculo grande.)

3. Sea i : S2n−1 ֒→ S2n+1 la inclusi´on can´onica. Pruebe que i induce una inclusi´on j : CPn−1 ֒→ CPn . Problema 81 Sea H = {x + yi + zj + wk : x, y, z, w ∈ R} el espacio cuaternio. Construya el espacio proyectivo cuaternio HPn = (Hn+1 − {0})/ ∼ , donde si u, v ∈ Hn − {0} entonces u ∼ v si y s´olo si existe q ∈ H − {0} tal que v = qu .

Repita la construcci´on del problema anterior, considerando una esfera de di-

mensi´on adecuada. Problema 82 Considere R3 = R × C . Sean U = {(t, z) ∈ S2 : t 6 0} , V =

{(t, z) ∈ S2 : t > 0} , y p, q n´ umeros enteros positivos coprimos. Sea ω = 2πp/q . Identifique cada punto (t, z) ∈ U con el punto (−t, eiω ) ∈ V .

1. Pruebe que el espacio cuociente es el espacio lenticular L(p, q) . 2. Pruebe que L(2, 1) = RP3 . 3. Sea σ : E 3 = {(t, z) ∈ R3 : t2 +|z|2 6 1} −→ L(p, q) la proyecci´on can´onica. Sean X 1 = σ(S1 ) y X 2 = σ(S2 ) .

a) Pruebe que X 1 puede ser identificado con S1 y que ξ = σ|S1 −→ S1 = X 1 es de la forma ξ(z) = z p .

b) Defina ρ : E 2 = {(t, z) ∈ R3 : t = 0} −→ X 2 , por ρ(0, z) = p σ( 1 − |z|2 , z) ∈ X 2 . Pruebe que ρ es sobreyectiva, y por lo tanto una identificaci´on.

4. Pruebe que L(p, q) es el mapping cone de la aplicaci´on η = σ|S2 : S2 −→ X 2 . Problema 83 Estudie los espacios M(n × n, R) , M(n × n, C) , M(n × n, H) ,

GL(n, R) , GL(n, C) , GL(n, H) , O(n, R) = {A ∈ M(n × n, R) : AAT = I} , SL(n, R) = {A ∈ O(n R) : det−1 (A) = 1} , U (n, C) = {A ∈ M(n × n, C) : AA∗ = T

I} , donde A∗ = A

es la matriz conjugada y traspuesta obtenida a partir de A ),

SU (n, C) = {A ∈ U (n, C) : det−1 (A) = 1} , Sp(n) = {A ∈ GL(n, H) : AA∗ = I} T

(donde A∗ = A , pero en este caso, evidentemente consideramos la conjugaci´on en H ), sp(n) = {A ∈ Sp(n) : det(A) = 1} .

124

Sergio Plaza 2

2

Problema 84 Sea X = D × S1 ∪f S1 × D , donde f : S1 × S1 −→ S1 × S1 es inducida por la aplicaci´on lineal L : R2 −→ R2 cuya matriz en la base can´onica es ! a b , con a, b, c, d ∈ Z y ad − bc = 1 c d

Calcule π1 (X) en t´erminos de a, b, c, d (Nota. Considere que S1 × S1 es

homeomorfo al espacio R2 / ∼ , donde (x, y) ∼ (u, v) si, y s´olo si, x − u, y − v ∈ Z .) Problema 85 Sean x, y ∈ X . Denote por P (x, y) el conjunto de clase de equivalencia de caminos en X uniendo x con y , bajo la relaci´on rel {0, 1} .

Pruebe que existe una correspondencia inyectiva entre P (x, y) y P (x, x) si y

s´olo si P (x, y) 6= ∅ . Problema 86 Sea 0 < s < 1 . Dados caminos p y q con p(1) = q(0) , defina h por h(t) =

(

p(t/s)

06t6s

q((t − s)/(1 − s))

s6t61

.

Pruebe que h ∼ p ∗ q rel {0, 1} . n

Problema 87 Pruebe que existe una retracci´on r : D −→ Sn−1 si y s´olo si Sn−1 es contractible.

Problema 88 Pruebe que si X es conexo e Y tiene el mismo tipo de homotop´ıa que X entonces Y es conexo. Problema 89 Un retracto d´ebil de X es un subconjunto A ⊂ X para el cual existe una retracci´on r : X −→ A tal que r ◦ i ∼ IdA , donde i : A ֒→ X es la

inclusi´on.

Pruebe que cada retracto es un retracto d´ebil, y encuentre un ejemplo de un retracto d´ebil que no sea un retracto. Problema 90 Dar un ejemplo de un retracto de deformaci´on que no es un retracto de deformaci´on fuerte. Problema 91 Sea A ⊂ X . Pruebe que A × Y es un retracto de X × Y si y s´olo si A es un retracto de X .

125

Sergio Plaza Problema 92 Pruebe que la relaci´on “es un retracto de” es transitiva.

Problema 93 Sea f : I −→ X un camino y sea h : I −→ I una aplicaci´on

continua e inyectiva, con h(0) = 0 y h(1) = 1 . Pruebe que f ∼ f ◦ h rel {0, 1} . Si h(0) = 1 y h(1) = 0 , pruebe que f¯ ∼ f ◦ h rel {0, 1} . Problema 94 Sean f, g : I −→ X caminos uniendo x, y ∈ X . Pruebe que f ∼ g rel{0, 1} si, y s´olo si, f ∗ g¯ ∼ εx rel {0, 1} .

Problema 95 Suponga que 0 = t0 < t1 < · · · < tq = 1 y que f : I −→ X es un

camino. Defina los caminos f1 , . . . , fq : I −→ X por fi (t) = f ((1 − t)ti−1 + tti ) .

Pruebe que [f ] = [f1 ][f2 ] · · · [fq ] .

Problema 96 Sea A un retracto de deformaci´on fuerte de X . Pruebe que la inclusi´on can´onica i : A ֒→ X induce un isomorfismo i∗ : π1 (A, a) −→ π1 (X, a) ,

donde a ∈ A .

Problema 97 Dado [f ] ∈ π1 (S1 , 1) , sea γ el contorno {f (t) : t ∈ I} ⊂ C . R dz 1 Defina ω(f ) = 2πi . Pruebe que γ z 1. ω(f ) ∈ Z .

2. ω(f ) no depende del representante elegido en [f ] . 3. ω(f ) = deg(f ) . Problema 98 Sea fk : S1 −→ S1 dada por fk (z) = z k . Describa fk∗ en t´erminos del isomorfismo π1 (S1 , 1) ∼ = Z. Problema 99 Sean α, β : I −→ S1 ×S1 los caminos dados por α(t) = (exp(2πit), 1)

y β(t) = (1, exp(2πit)) . Pruebe que α ∗ β ∼ β ∗ α rel {0, 1} . Problema 100 Pruebe que el conjunto de los z ∈ D 2

2

2

para los cuales D − {z} 2

2

es simplemente conexo es el c´ırculo S1 = ∂D . Concluya que si f : D −→ D es un homeomorfismo entonces f (S1 ) = S1 .

Problema 101 Calcule el grupo fundamental de los siguientes espacios 1. C − {0} .

126

Sergio Plaza

2. (C − {0})/G , donde G es el grupo de homeomorfismos {ϕn : n ∈ Z} y ϕ(z) = 2z .

3. (C − {0})/H , donde H es el grupo de homeomorfismos {ψ n : n ∈ Z} y ψ(z) = 2¯ z.

4. (C − {0})/{e, a} , donde e = Id y a(z) = −z . e −→ X un recubrimiento. Sean X0 ⊂ X y X e0 = Problema 102 Sea p : X e0 −→ X0 dada por p0 (˜ p−1 (X0 ) . Pruebe que p0 : X x) = p(˜ x) es un recubrimiento. e −→ X un recubrimiento y sea G(X, e X, p) el grupo de Problema 103 Sea p : X

las transformaciones de recubrimiento. Pruebe que el grupo de transformaciones e . Describa el de recubrimiento act´ ua de modo propiamente discontinuo sobre X e e X, p) para los siguiente recubrimientos: espacio cuociente X/G( X, 1. p : R −→ S1 dado por p(t) = exp(2πit) . 2. p : Sn −→ RPn proyecci´on can´onica. 3. p : R × R −→ S1 × S1 , dado por p(t, s) = (exp(2πit), exp(2πis)) . e −→ X un recubrimiento, y sea x0 ∈ X . Problema 104 Sea p : X

e 1. Para x˜ ∈ p−1 (x0 ) y [f ] ∈ π1 (X, x0 ) , defina x˜·[f ] = f˜(1) , donde f˜ : I −→ X ˜ es el u ´nico levantamiento de f , con f (0) = x˜ . Pruebe que esto define una acci´on de π1 (X, x0 ) sobre p−1 (x0 ) (acci´on por la derecha).

2. Pruebe que π1 (X, x0 ) act´ ua transitivamente sobre p−1 (x0 ) . Problema 105 Sean C1 , C2 ⊂ S3 c´ırculos entrelazados y disjuntos.

Calcule

π1 (S3 − C1 ∪ C2 ) .

Problema 106 Pruebe que no existe ning´ un espacio topol´ogico X tal que B × X sea homeomorfo a R2 × L(p, q) , donde B es la banda de M¨obius.

Problema 107 Calcule el grupo fundamental del bitoro agujereado en un punto. Problema 108 Sean X un espacio topol´ogico y f : S1 −→ X una aplicaci´on continua. Pruebe que f es homot´opicamente nula (es decir, homot´opica a una 2

aplicaci´on constante) si, y s´olo si, existe una aplicaci´on continua g : D −→ X tal que g|S1 = f .

Sergio Plaza

127

Problema 109 Sea f : I −→ X un camino y sea f¯ : I −→ X el camino f¯(t) =

f (1 − t) .

Pruebe que si f, g : I −→ X son caminos con f (0) = g(0) y f (1) = g(1) , entonces f ∼ g rel {0, 1} si y s´olo si f¯ ∼ g¯ rel {0, 1} . Problema 110 Sea x0 ∈ S1 . Pruebe que S1 ×{x0 } es un retracto de S1 ×S1 , pero

no es un retracto de deformaci´on fuerte ¿Es S1 × {x0 } un retracto de deformaci´on

(d´ebil) de S1 × S1 ?

Problema 111 Sea h : S3 −→ S2 definida por h(u) = u−1 iu = ϕu (i) . Pruebe

que h es continua, sobreyectiva, y h(u) = h(v) si y s´olo si uv −1 conmuta con i , es decir, si y s´olo si w = uv −1 = a + ib ∈ C . Use esto para probar que la relaci´on de equivalencia sobre S3 inducida por h es la misma que define CP1 como espacio ¯ : CP1 −→ S2 . cuociente. Pasando al cuociente obtenga un homeomorfismo h Problema 112 Pruebe que toda matriz 3×3 con entradas positivas tiene un valor propio positivo. Problema 113 Sean f, g : S2 −→ R aplicaciones continuas tales que f (−x) = −f (x) y g(−x) = −g(x) para todo x ∈ S2 . Pruebe que existe x0 ∈ S2 tal que f (x0 ) = g(x0 ) = 0 .

Problema 114 Pruebe que SU (2, C) es homeomorfo a S3 . Problema 115 Sea B = B[0, π] ⊂ R3 la bola cerrada de centro en 0 y radio π .

Defina ϕ : B −→ SO(3) asociando a cada x ∈ B la rotaci´on ϕ(x) de ||x|| radianes alrededor del eje determinado por x . Pruebe que ϕ es sobreyectiva y continua, y que por paso al cuociente ϕ induce un homeomorfismo ϕ¯ : RP3 −→ SO(3) . Problema 116 Sea p(z) un polinomio no constante en la variable z ∈ C y coeficientes complejos. Sea F ⊂ C el conjunto de las ra´ıces de p′ (deridada de p ).

Sean X = C − p−1 (p(F )) e Y = C − p(F ) . Pruebe que p|X : X −→ Y es un recubrimiento de n–hojas, donde n es el grado de p .

e −→ X un recubrimiento, con X conexo y localmente Problema 117 Sea p : X e se tiene conexo por caminos. Pruebe que para cada componente conexa C ⊂ X que p(C) = X . Concluya que p|C : C −→ X es un recubrimiento.

Sergio Plaza

128

Problema 118 Pruebe que no existe una funci´on continua f : R −→ R tal que

f −1 (y) tenga exactamente 2 puntos, para cada y ∈ R ¿Qu´e puede decir si f : C −→ C ?

Problema 119 Considere la vecindad U = {eit : −π < t < π} de 1 ∈ S1 . Defina el homeomorfismo local f : U −→ S1 por f (t) = eit/2 . Pruebe que f no se extiende continuamente a un homeomorfismo f¯ : S1 −→ S1 .

e −→ X y una aplicaci´on continua Problema 120 Dado un recubrimiento p : X e : f (z) = p(˜ e −→ Z f : Z −→ X . Sea Ze = {(z, x ˜) ∈ Z × X x)} . Pruebe que q : Z

definida por q(x, x˜) = z es un recubrimiento. e −→ X es un recubrimiento de n –hojas y Z = X e Pruebe adem´as, que si p : X e e y f = p entonces Z consiste de la uni´on de n copias disjuntas de X .

Cap´ıtulo 11

Grupos de Homolog´ıa de Complejos Simpliciales 11.1

Simplices

Sean p0 , . . . , pr , r + 1 puntos en Rm , con m > r . Decimos que esos puntos son geom´etricamente independientes si ning´ un plano (r − 1) – dimensional contiene a los r + 1 puntos, equivalentemente, los vectores p1 − p0 , . . . , pr − p0 son linealmente

independientes.

El r simplice generado por r + 1 puntos geom´etricamente independientes p0 , . . . , pr de Rm , denotado por σr = hp0 , . . . , pr i , es el conjunto σr = {x ∈ Rm : x =

r X

λi pi ,

λi > 0 para i = 0, . . . , r y

i=0

Pr

i=0

λi = 1 }.

Notemos que un 0–simplice es un punto σ0 = hp0 i , un 1–simplice σ1 =

hp0 , p1 i es el segmento de recta que une p0 con p1 , un 2–simplice σ2 = hp0 , p1 , p2 i

es el tri´angulo de v´ertices p0 , p1 y p2 con su interior incluido, un 3–simplice σ3 = hp0 p1 p2 p3 i es el tetraedro con v´ertices p0 , p1 , p2 y p3 con su interior

incluido.

129

130

Sergio Plaza Figura

Pr En el r–simplice σr = {x ∈ Rm : x = i=0 λi pi , λi > 0 para i = Pr 0, . . . , r y entrica i=0 λi = 1 } el punto (λ0 , λ1 , . . . , λr ) es llamado coordenada baric´ del punto x ∈ σr . Como σr es un conjunto cerrado y acotado de Rm , se sigue que σr es un conjunto compacto.

Sea q un entero con 0 6 q 6 r . Si elegimos q + 1 puntos pi0 , . . . , piq en {p0 , . . . , pr } , esos q + 1 puntos generan un q–simplice σq = hpi0 , . . . , piq i , llamado

una q–cara de σr . Si σq es una q –cara de σr , usamos la notaci´on σq 6 σr .

Si σq 6= σr , decimos que σq es una cara propia de σr , y usamos la notaci´on

σq < σr . Un! c´alculo simple muestra que el n´ umero de q –caras en un r–simplice r+1 es . q+1 Nota. Un 0–simplice no tiene caras propias.

11.2

Complejos simpliciales y poliedros

Sea K un conjunto finito de simplices en Rn . Decimos que K es un complejo simplicial si los simplices de K satisfacen 1. Una cara arbitraria de un simplice en K pertenece a K , esto es, si σ ∈ K y σ ′ 6 σ entonces σ ′ ∈ K .

2. Si σ , σ ′ son dos simplices en K , la intersecci´on σ ∩ σ ′ es o bien vac´ıa o

una cara de σ y de σ ′ , esto es, si σ, σ ′ ∈ K entonces o bien σ ∩ σ ′ = ∅ o σ ∩ σ′ 6 σ y σ ∩ σ′ 6 σ′ .

La topolog´ıa de K es la inducida por la topolog´ıa de Rn . Ejemplo. Dibujo Ejemplo. Sea σr un r–simplice y sea K = {σ ′ : σ ′ 6 σ} , el conjunto de las caras de σ . Entonces K es un complejo simplicial r–dimensional. Por ejemplo, si σ3 = h p0 p1 p2 p3 i . Entonces, K

= {p0 , p1 , p2 , p3 , hp0 , p1 i, hp0 , p2 i, hp0 p3 i, hp1 p2 i, hp1 p3 i, hp2 p3 i, hp0 p1 p2 i, hp0 p1 p3 i, hp0 p2 p3 i, hp1 p2 p3 i, hp0 p1 p2 p3 i} .

Sergio Plaza

131

Un complejo simplicial K es un conjunto cuyos elementos son simplices. Si cada simplice es mirado como un subconjunto de Rm ( m > dim K ), la uni´on de todos los simplices es entonces un subconjunto de Rm . Este conjunto es llamado el poliedro |K| del complejo simplicial K . La dimensi´on de |K| como subconjunto de Rm es la misma que la dimensi´on de K , es decir, dim |K| = dim K .

Definici´ on 11.1 Sea X un espacio topol´ ogico. Si existe un complejo simplicial K y un homeomorfismo f : |K| −→ X , decimos que X es triangulable y que

(K, f ) es una triangulaci´on de X .

Dado un espacio topol´ogico triangulable, su triangulaci´on no es u ´nica. Ejemplos. La siguiente figura muestra una triangulaci´on del cilindro S1 × [0, 1]

La siguiente, no es una triangulaci´on del cilindro S1 × [0, 1]

Ejercicio. Dar al menos dos ejemplos de triangulaciones para la esfera 2–dimensional S2 .

11.3

Homolog´ıa simplicial

Orientaci´on de un r–simplice, r > 1 . Usaremos (· · ·) en vez de < · · · > para

denotar un simplice orientado, y el s´ımbolo σr se usar´a indistintamente para representar los dos casos. Un 1–simplice orientado σ1 = (p0 p1 ) es el segmento de linea que une p0 y p1 , recorrido desde p0 a p1 . El otro 1–simplice orientado que contiene a p0 y

132

Sergio Plaza

a p1 es (p1 p0 ) , dada la orientaci´on de hp0 p1 i por (p0 p1 ) denotamos el otro sim-

plice orientado hp1 p0 i por (p0 p1 ) = −(p1 p0 ) . Esto tendr´a sentido m´as adelante

cuando estudiemos grupos abelianos finitamente generados, asociados a construcciones geom´etricas. Un r–simplice orientado, r > 1 , es construido como sigue. Sean p0 , . . . , pr , r + 1 puntos linealmente independientes en Rm (m > r) , y sean {pi0 , pi1 , . . . , pir } una permutaci´on de ellos. Decimos que {p0 , . . . , pr } es equivalente a {pi0 , . . . , pir } si

P =

0

1

2

i0

i1

i2

···

r

· · · ir

!

es una permutaci´on par. Claramente esta es una relaci´on de equivalencia y cada clase de equivalencia es llamado un r–simplice orientado. Existen dos clases de equivalencia, una que consiste de las permutaciones pares de p0 , . . . , pr y la otra a las permutaciones impares. La clase de equivalencia ( r–simplice orientado) que contiene a p0 p1 . . . pr es denotada por σr = (p0 p1 · · · pr ) y la otra es denotada por

−σr = −(p0 · · · pr ) , es decir, (pi0 · · · pir ) = signo(P )(p0 p1 · · · pr ) .

Los 0–simplice orientados son, formalmente, formados por un punto p0 es

decir, sin signo.

11.4

Grupo de cadenas, grupo de ciclos y grupo de bordes

Sea K = {σα } un complejo simplicial n–dimensional. Pensamos los simplices σβ de K como simplices orientados, pero usamos el mismo s´ımbolo para denotarlos.

El grupo de r–cadenas Cr (K) de un complejo simplicial K es de grupo abeliano generado por los r–simplices orientados de K . Si r > dim K , definimos Cr (K) como el grupo {0} . Un elemento de Cr (K) es llamado una r–cadena.

Sea Ir el n´ umero de r–simplices en K . Denotamos estos por σri , 1 6 i 6 Ir .

Luego un elemento c ∈ Cr (K) se expresa como

c=

Ir X i=1

ci σr,i ,

133

Sergio Plaza

ci ∈ Z y s´olo un n´ umero finito de ellos es no cero. Los enteros ci son llamados los

coeficientes de c . La estructura de grupo sobre Cr (K) es dada como sigue. X X Suma. Sean c = ci σr,i y c′ = c′1 σr,i dos r–cadenas, se define su suma c + c′ como

i

i

c + c′ =

X

(ci + c′i )σr,i .

i

Elemento neutro. El elemento neutro se define como 0 =

X

0σr,i .

i

Elemento Inverso. Si c =

X i

ci σr,i , su inverso es −c =

X i

−ci σr,i .

Observaci´ on. Un r–simplice opuestamente orientado −σr es indenficado con el elemento −1σr ∈ Cr (K) .

Tenemos que Cr (K) es un grupo abeliano de rango Ir , es decir,

Cr (K) =

11.4.1

r ⊕Ii=1 Z

Operador borde

Denotamos la frontera (borde) de un r–simplice σr por ∂r σr . Debemos entender ∂r como un operador actuando sobre σr para producir su borde. Veamos los casos de dimensi´on peque˜ na. Como un 0–simplice no tiene frontera, definimos

∂0 p0

=

0.

Para un 1–simplice σ1 = (p0 p1 ) , definimos

∂1 σ1 = ∂1 (p0 p1 ) = p1 − p0 . Veamos una justificaci´on para esta definici´on. Esta es relacionada con la orientaci´on. El siguiente ejemplo clarifica la situaci´on.

134

Sergio Plaza

Consideremos el 1–simplice (p0 p2 ) y dividamoslo en dos 1–simplice (p0 p1 ) y (p1 p2 )

p0

p1

p2

estamos de acuerdo en que la frontera de (p0 p2 ) es p0 ∪p2 que debe ser la misma de

(p0 p1 ) + (p1 p2 ) . Si definimos ∂1 (p0 p2 ) = p0 + p2 , tenemos ∂1 (p0 p1 ) + ∂1 (p1 p2 ) = p0 + p1 + p1 + p2 . Esto no es deseable, pues p1 es una frontera ficticia. Si en vez de ello, definimos ∂1 (p0 p2 ) = p2 − p1 , tendremos ∂1 (p0 p1 ) + ∂1 (p1 p2 ) = p1 − p0 + p2 − p1 = p2 − p0 , como era de esperar. Analizaremos ahora el caso del tri´angulo

p1

p0

p2

Estamos de acuerdo que su frontera es la suma de tres 1–simplices orientados (p0 p1 ) + (p1 p2 ) + (p2 p0 ) . Si insistimos en la regla ∂1 (p0 p1 ) = p0 + p1 tenemos ∂1 (p0 p1 )+∂1 (p1 p2 )+∂1 (p2 p0 ) = p0 +p1 +p1 +p2 +p2 +p0 lo cual contradice nuestra intuici´on. Si por otra parte, tomamos ∂1 (p0 p1 ) = p1 − p0 , tenemos ∂1 (p0 p1 ) + ∂1 (p1 p2 ) + ∂1 (p2 p0 ) = p1 − p0 + p2 − p1 + p0 − p2 = 0 , como se esperaba.

Ahora damos la definici´on del borde para un r–simplice. Sea σr = (p0 · · · pr ) ,

(r > 0) , un r—simplice orientado. El borde ∂r σr de σr es la (r − 1)− cadena definida por

∂r σr =

r X i=1

(−1)i (p0 · · · pˆi · · · pr )

donde el s´ımbolo pˆi significa que ese punto es omitido. Ejemplo. Tenemos ∂2 (p0 p1 p2 ) = (p1 p2 ) − (p0 p2 ) + (p0 p1 ) y ∂3 (p0 p1 p2 p3 ) = (p1 p2 p3 ) − (p0 p1 p3 ) − (p0 p1 p2 ) y como ya acordamos, si r = 0 , ∂0 σ0 = 0 .

135

Sergio Plaza Extendemos ∂r a Cr (K) linealmente, es decir, si c =

X

ci σr,i es una r–

i

cadena en Cr (K) , entonces

∂r c =

X

ci ∂r σr,i .

i

Note que

X

ci ∂r σr,i es un elemento de Cr−1 (K) . De este modo tenemos

i

definido un homomorfismo

∂r : Cr (K) −→ Cr−1 (K) llamado operador de borde. Sea K un complejo simplicial n–dimensional. A K hemos asociado una sucesi´on de grupos abelianos Cr (K) y homomorfismos ∂r : Cr (K) −→ Cr−1 (K) ,

es decir, tenemos

i

∂

∂n−1

∂

∂

∂

2 1 0 n C1 (K) −→ C0 (K) −→ 0 0 ֒→ Cn (K) −→ Cn−1 (K) −→ · · · −→

donde i : 0 ֒→ Cn (K) es la aplicaci´on inclusi´on, es decir, 0 es pensando como el elemento neutro de Cn (K) . Una sucesi´on {Cℓ (K), ∂ℓ } de grupos y homomorfismos ∂ℓ : Cℓ (K) −→ Cℓ−1 (K) , como la anterior es llamada una cadena compleja asociada con K . Ahora estudiaremos el n´ ucleo y la imagen del homomorfismos ∂r .

Definici´ on 11.2 Un elemento c ∈ Cr (K) es llamado un ciclo si c ∈ ker(∂r ) , es decir, ∂r c = 0 .

Notaci´ on. El n´ ucleo de ∂r , Zr (K) = ker(∂r ) , es llamado el grupo de los r–ciclos. Claramente Zr (K) ⊆ Cr (K) . Si r = 0 , entonces ∂ c es identicamente nulo, luego

Z0 (K) = C0 (K) .

Definici´ on 11.3 Decimos que una r–cadena c ∈ Cr (K) es un borde o un r–borde si, existe una cadena d ∈ Cr+1 (K) tal que ∂r+1 d = c .

El conjunto de los r–bordes es Br (K) = Imagen(∂r+1 ) . Claramente, Br (K) es un subgrupo de Cr (K) . Para r = n , definimos Bn (K) como 0. Tenemos la siguiente relaci´on entre Zr (K) y Br (K) .

136

Sergio Plaza

Teorema 11.1 La aplicaci´ on compuesta ∂r ◦ ∂r+1 : Cr+1 (K) −→ Cr−1 (K) es la aplicaci´ on nula, es decir, ∂r ∂r+1 c = 0 para toda (r + 1)–cadena c ∈ Cr+1 (K) .

Demostraci´ on. Basta probar la identidad ∂r ◦ ∂r+1 = 0 sobre los generadores de Cr+1 (K) . Si r = 0 , es claro que ∂0 ∂1 = 0 pues ∂0 es la aplicaci´on nula. Supongamos que r > 1 . Tomemos σ = (p0 · · · pr pr+1 ) ∈ Cr+1 (K) . Entonces

∂r ∂r+1 σ

=

∂r

r+1 X i=0

=

r+1 X i=0

=

r+1 X i=0

+ =

ji

Del teorema anterior tenemos que

Br (K) ⊆ Zr (K) .

11.4.2

Significado geom´ etrico de r–ciclo y r–borde

Con nuestra definici´on ∂r toma la frontera de una r–cadena. Si c es un r–ciclo, la igualdad ∂r c = 0 nos dice que c no tiene frontera. Si c = ∂r+1 d es un r–borde, c es la frontera de d cuya dimensi´on es uno m´as que la dimensi´on de c . Sabemos que una frontera no tiene frontera, es decir, Zr (K) ⊇ Br (K) .

137

Sergio Plaza

11.5

Grupos de homolog´ıa simplicial

Asociado a un complejo simplicial K tenemos los grupos Cr (K) ⊇ Zr (K) ⊇

Br (K) .

La pregunta natural que surge es ¿C´omo se relacionan estos con las

propiedades topol´ogicas de K o de un espacio topol´ogico X cuya triangulaci´on es dada por (K, f ) ? otra pregunta es la siguiente ¿Es posible para Cr (K) expresar cualquier propiedad que es preservada por homeomorfismos? Por ejemplo, sabemos que el tri´angulo (sin su interior) es homeomorfismo al cuadrado (sin su interior) ¿Cu´al es la relaci´on entre los grupos de cadenas de ellos? Por ejemplo, el grupo de 1–cadenas asociado al tri´angulo K1 es p2

p0

C1 (K1 ) = ∼ =

p1

{i(p0 p1 ) + j(p1 p2 ) + k(p2 p0 ) : i, j, k ∈ Z} Z⊕Z⊕Z

mientras que el grupo de 1–cadenas asociado al cuadrado K2 es p3

p2

p0

p1

C1 (K2 ) = Z ⊕ Z ⊕ Z ⊕ Z Claramente, C1 (K1 ) no es isomorfo a C1 (K2 ) . Este ejemplo muestra que Cr (K) no puede ser un candidato a invariante topol´ogico. Lo mismo es verdadero para los grupos Zr (K) y Br (K) . Veremos enseguida que los grupos de homolog´ıa son invariantes topol´ogicos.

138

Sergio Plaza

Definici´ on 11.4 Sea K un complejo simplicial n–dimensional. El r–´esimo grupo de homolog´ıa, Hr (K) , para 0 6 r 6 n , asociado con K es definido por

Hr (K) =

Zr (K)/Br (K) .

Observaci´ on. Si es necesario, definimos Hr (K) = 0 para r > n y r < 0 . Observaci´ on. Notemos que al construir Cr (K) hemos tomado coeficientes en Z , la misma construcci´on vale si tomamos coeficientes en un grupo cualquiera, y en tal caso, especificamos esto usando la notaci´on, Cr (K; G), Zr (K; G) , Br (K; G) y Hr (K; G) . Caso no especifiquemos G , entendemos que G = Z . Los grupos m´as comunes que usaremos para los coeficientes son G = Z , G = R o G = Z2 . Observaci´ on. Nos hemos referido a Cr (K; G) , Zr (K; G) , Br (K; G) y Hr (K; G) como grupos, pero en realidad, si G es un grupo, estos son G–m´odulos y caso G sea un cuerpo son G–espacios vectoriales. En lo que sigue trabajaremos con G = Z , pero teniendo en cuenta que todo lo que hagamos vale para un grupo G arbitrario, y que en casos particulares de G , s´olo tenemos m´as propiedades, adicionales a aquellas obtenidas para G = Z . Como Br (K) es un subgrupo de Zr (G) , se sigue que Hr (K) est´a bien definido. Adem´as, por definici´on

Hr (K) = {[z] : z ∈ Zr (K)} donde cada clase de equivalencia, [z] , es llamada una clase de homolog´ıa. Ahora bien, por definici´on dos r–ciclos z y z ′ est´an en la misma clase de equivalencia si y s´olo si z − z ′ ∈ Br (K) , en cuyo caso decimos que z es hom´ ologo a z ′ y usamos

la notaci´on z ∼ z ′ . Geom´etricamente z − z ′ es una frontera de alg´ un espacio. Por

definici´on, cualquier borde b ∈ Br (K) es hom´ologo a 0, pues b − 0 ∈ Br (K) .

Tenemos lo siguiente. Los grupos de homolog´ıa son invariantes topol´ ogicos,

esto es, ellos no dependen de la tri´angulaci´on de X . M´as precisamente, tenemos el siguiente. Teorema 11.2 Sean X e Y espacios topol´ ogicos homeomorfos, y sean (K, f ) y (K, g) triangulaciones de X e Y , respectivamente. Entonces

139

Sergio Plaza

Hr (K) ∼ = Hr (L) para r = 0, 1, . . . . En particular, si (K, f ) y (L, g) son triangulaciones de X , entonces

Hr (K) ∼ = Hr (L) , para r = 0, 1, . . . . Demostraci´ on. Larga, ver Amstrong, 1983 o J.M. Munkres. Este teorema nos permite definir los grupos de homolog´ıa para un espacio X , que no necesariamente es un complejo simplicial, pero que es triangulable, como sigue. Sea (K, f ) una triangulaci´on de X , definimos los grupos de homolog´ıa, Hr (X) , para X como

Hr (X) ≡ Hr (K) ,

r = 0, 1, 2, . . .

El teorema, nos dice que est´a definici´on no depende de la particular triangulaci´on elegida.

11.6

Ejemplos de c´ alculo de homolog´ıa

1. Sea K = {p0 } . Tenemos que C0 (K) = {ip0 : i ∈ Z} ∼ = Z . Tambi´en,

Z0 (K) = C0 (K) y B0 (K) = 0 , pues ∂0 p0 = 0 y p0 no puede ser borde. Luego H0 (K) ≡ Z0 (K)/B0 (K) ≡ C0 (K) ∼ = Z. Ejercicio. Sea K = {p0 , p1 } un complejo simplicial que consiste de dos 0

simplices. Muestre que

H0 (K) =

(

Z⊕Z {0}

r=0 r 6= 0 .

140

Sergio Plaza

2. Sea K = {p0 , p1 , (p0 p1 )} . Tenemos C0 (K) = {ip0 + jp1 : i, j ∈ Z} y C1 (K) = {k(p0 p1 ) : k ∈ Z} .

p0

p1

Como (p0 p1 ) no es la frontera de ning´ un simplice en K , se tiene que B1 (K) = 0 y H1 (K) = Z1 (K)/B1 (K) = Z1 (K) . Ahora, si z = m(p0 p1 ) ∈ Z1 (K) , entonces

∂1 z

=

m∂1 (p0 p1 )

=

m(p1 − p0 )

=

mp1 − mp0 = 0

luego m = 0 , por lo tanto Z1 (K) = 0 , de donde H1 (K) = 0 . Ahora para H0 (K) , tenemos Z0 (K) = C0 (K) = {ip0 + jp0 : i, j ∈ Z} y

B0 (K) = Imagen(∂1 ) = {∂1 (i(p0 p1 )) : i ∈ Z} = {i(p1 − p2 ) : i ∈ Z} . Definamos f : Z0 (K) −→ Z por f (ip0 + jp1 ) = i + j . Es claro que f es un

homomorfismo sobreyectivo. Ahora

ker(f ) = f −1 (0) = {ip0 + jp1 : f (ip0 + jp1 ) = i + j = 0} = {ip0 − ip1 : i ∈ Z} = B0 (K) . Por el teorema del isomorfismo, tenemos

141

Sergio Plaza

Z0 (K)/ ker(f ) ∼ = Imagen(f ) ∼ = Z, | {z } B0 (K)

es decir, H0 (K) ∼ = Z.

3. Sea K = {p0 , p1 , p2 , (p0 p1 ), (p1 p2 ), (p2 p0 )} p2

p0

p1

Esta es una triangulaci´ on de S1 . Como no hay 2–simplices en K , se sigue que B1 (K) = 0 y H1 (K) = Z1 (K)/B1 (K) = Z1 (K) . Ahora, sea z = i(p0 p1 ) + j(p1 p2 ) + k(p2 p0 ) un elemento de Z1 (K) , donde i, j, k ∈ Z . Entonces,

∂1 z

=

i(p1 − p0 ) + j(p2 − p1 ) + k(p0 − p2 )

=

(k − i)p0 + (i − j)p1 + (j − k)p2 = 0

de donde k − i = 0, i − j = 0 y j − k = 0 , es decir, i = j = k . Por lo tanto

Z1 (K) = {i((p0 p1 ) + (p1 p2 ) + (p2 p0 )) : i ∈ Z} ∼ = Z, luego H1 (K) = Z1 (K) ∼ = Z. Por otra parte, tenemos que Z0 (K) = C0 (K) y

B0 (K) = =

{∂1 (l(p0 p1 ) + m(p1 p2 ) + n(p2 p0 )) : l, m, n ∈ Z}

{(n − lp0 + (l − m)p1 + (m − n)p2 : l, m, n, ∈ Z}

142

Sergio Plaza

Definamos f : Z0 (K) −→ Z por f (ip0 + jp1 + kp2 ) = i + j + k . Es claro

que f es un homomorfismo sobreyectivo, y que ker(f ) = B0 (K) . Luego por el teorema del isomorfismo Z0 (K)/ ker(f ) ∼ = Imagen(f ) = Z , es decir, ∼ H0 (K) = Z0 (K)/B0 (K) = Z . De esto, tenemos que H0 (S1 ) = H1 (S1 ) = Z y Hr (S1 ) = 0 para r 6= 0 y r 6= 1 .

Ejercicio. Sea K = {p0 , p1 , p2 , p3 , (p0 p1 ) , (p1 p2 ) , (p2 p3 ) , (p3 p0 )} un complejo simplicial, cuyo poliedro es el cuadrado (sin interior). Verifique que los grupos de homolog´ıa son los mismos que hemos obtenido arriba. 4. Sea K = {p0 , p1 , p2 , (p0 p1 ) , (p1 p2 ) , (p2 p0 ) , (p0 p1 p2 )} el complejo simplicial, cuyo poliedro es la regi´on triangular p2

p0

p1

Como la estructura de 0–simplices y 1–simplices es la misma del ejemplo 3, ∼ Z . C´alculo de H1 (K) = Z1 (K)/B1 (K) . tenemos que H0 (K) = Desde el ejemplo 3, tenemos que

Z1 (K) = ∼ =

{i((p0 p1 ) + (p1 p2 ) + (p2 p0 )) : i ∈ Z}

Z

Ahora sea c = m(p0 p1 p2 ) ∈ C2 (K) . Si b = ∂2 c ∈ B1 (K) , entonces

b = ∂2 c

=

m((p1 p2 ) − (p0 p2 ) + (p0 p1 ))

=

m((p0 p1 ) + (p1 p2 ) + (p2 p0 )) ,

m ∈ Z,, esto muestra que Z1 (K) = B1 (K) , luego H1 (K) = Z1 (K)/B1 (K) ∼ = {0} .

143

Sergio Plaza

Como no hay 3–simplices en K , tenemos que B2 (K) = 0 . Luego H2 (K) = Z2 (K)/B2 (K) = Z2 (K) . Como ∂2 z = m((p1 p2 ) − (p0 p2 ) + (p0 p1 )) = 0 , se

sigue que m = 0 , y por lo tanto Z1 (K) = 0 , de donde H2 (K) ∼ = {0} . Ejercicio. Sea K

=

{p0 , p1 , p2 , p3 , (p0 p1 ) , (p0 p2 ) , (p0 p3 ) , (p1 p2 ) , (p1 p3 ) , (p2 p3 ) , (p0 p1 p2 ) , (p0 p1 p3 ) , (p1 p2 p3 )}

un complejo simplicial, cuyo poliedro es la superficie de un tetrahedro. Muestre que H0 (K) ∼ = Z , H1 (K) ∼ = 0 y H2 (K) ∼ = Z . Esta es una triangulaci´on de la esfera S2 .

p3 p2 ∼ =

p0

p1

Note que en todos ejemplos anteriores, excepto aquel con K = {p0 , p1 } se tiene que H0 (K) ∼ = Z . Esta no es una coincidencia, y es dado por el siguiente Teorema 11.3 Sea K un complejo simplicial, cuyo poliedro es conexo por caminos. Entonces H0 (K) ∼ = Z.

144

Sergio Plaza

Demostraci´ on. Como |K| es conexo por caminos, para cada par de 0–simplices pi y pj , existe una sucesi´on de 1–simplices (pi pk ), (pk pl ), . . . , (pm pj ) , tal que

∂1 ((pi pk ) + (pk pl ) + · · · + (pm pj )) = pj − pi , esto es, pi es hom´ologo a pj , es decir,

[pi ] = [pj ] . Por lo tanto cualquier 0–simplice en K es hom´ologo, digamos, a p1 . I0 X Ahora, sea z = ni pi ∈ Z0 (K) , donde I0 es el n´ umero de 0–simplices en i=1

K.

Entonces la clase de homolog´ıa de z es generada por un s´olo punto,

[z] =

"

=

I0 X

#

ni pi =

i

I0 X

!

I0 X

ni [pi ] =

i

I0 X

ni [p1 ]

i

[p1 ] .

i

De aqu´ı, es claro que [z] = 0 , es decir, z ∈ B0 (K) cuando

Ii X

ni = 0 .

i

Ahora, sea σj = (pj,1 pj,2 ) , donde 1 6 j 6 I1 , un 1–simplice en K , aqu´ı I1 denota el n´ umero de 1-simplices en K . Entonces

B0 (K) = Imagen(∂1 ) = {∂1 (n1 σ1 + · · · + nI1 σI1 ) : n1 , . . . , nI1 ∈ Z}

= {n1 (p1,2 − p1,1 ) + · · · + nI1 (pI1,2 − pI1 ,1 ) : n1 , . . . , nI1 ∈ Z}. Notemos que nj (1 6 j 6 I1 ) siempre aparece dos veces, una con +nj y otra con −nj en un elemento de B0 (K) . Luego, si z=

X j

X

entonces

nj pj ∈ B0 (K) ,

nj = 0 .

j

Por lo tanto hemos probado que en K , se tiene z =

I0 X i

s´olo si

I0 X i

ni = 0 .

ni pi ∈ B0 (K) si y

145

Sergio Plaza Ahora, definamos f : Z0 (K) −→ Z por f (n1 p1 + · · · + nI0 pI0 ) =

I0 X

ni .

i=1

Es claro que f es un homomorfismo sobreyectivo, y que ker(f ) = B0 (K) . Luego por el teorema del isomorfismo

H0 (K) =

Z0 (K)/B0 (K)

=

Z0 (K)/ ker(f )

∼ =

Imagen(f )

∼ =

Z.

Ejemplo 5. Consideremos la banda de M¨obius K . p0

p1

p2

p3

p1

p4

p5

p0

y la triangulaci´on dada en la figura arriba. Claramente B2 (K) = 0 . Ahora, sea z ∈ Z2 (K) , entonces

z

= i(p0 p1 p2 ) + j(p2 p1 p4 ) + k(p2 p4 p3 ) + l(p3 p4 p5 ) + m(p3 p5 p1 ) + n(p1 p5 p0 )

y

∂z

= i[(p1 p2 ) − (p0 p2 ) + (p0 p1 )] + j[(p1 )p4 − (p2 p4 ) + (p2 p1 )] +k[(p4 p3 ) − (p2 p3 ) + (p2 p4 )] + l[(p4 p5 ) − (p3 p5 ) + (p3 p4 )] +m[(p5 p1 ) − (p3 p1 ) + (p3 p5 )] + n[(p5 p0 ) − (p1 p0 ) + (p1 p5 )] = 0.

146

Sergio Plaza

Como cada uno (p0 p2 ) , (p1 p4 ) , (p2 p3 ) , (p4 p5 ) , (p3 p1 ) y (p5 p0 ) aparecen s´olo una vez en ∂1 z , todos los coeficientes deben ser nulos, es decir, i = j = k = l = m = n = 0 . Luego Z2 (K) = 0 y H2 (K) = Z2 (K)/B2 (K) ∼ = {0} . Para encontrar H1 (K) , evitaremos los largos tediosos c´alculos haciendo uso de la intuici´on. Vamos a encontrar un ciclo que hace un circuito completo. Uno de tales ciclos es z = (p0 p1 ) + (p1 p4 ) + (p4 p5 ) + (p5 p0 ) . Todos los otros ciclos completos, son hom´ologos a un m´ ultiplo de z . Por ejemplo, si z ′ = (p1 p2 ) + (p2 p3 ) + (p3 p5 ) + (p5 p1 ) entonces z ′ es hom´ologo a z , pues z − z ′ = ∂2 ((p2 p1 p4 ) + (p2 p4 p3 ) + (p3 p4 p5 ) + (p1 p5 p0 )) .

Por otra parte, si tomamos z ′′ = (p1 p4 ) + (p4 p5 ) + (p5 p0 ) + (p0 p2 ) + (p2 p3 ) +

(p3 p1 ) tenemos que z ′′ es hom´ologo a 2z , pues

2z ′ − z

=

2(p0 p1 ) + (p1 p4 ) + (p4 p5 ) + (p5 p0 ) − (p0 p2 ) − (p2 p3 ) − (p3 p1 )

=

∂2 ((p0 p1 p2 ) + (p1 p4 p2 ) + (p2 p4 p3 ) + (p3 p4 p5 ) + (p3 p5 p1 ) + (p0 p1 p5 ))

Es f´acil probar que cualquier circuito cerrado es hom´ologo a nz , para alg´ un n ∈ Z . Luego H1 (K) es generado por un s´olo elemento, digamos z , y de ah´ı, H1 (K) = { i [z] : i ∈ Z} ∼ = Z.

Finalmente, como K es conexo por caminos, se sigue por el teorema anterior ∼ Z. que H0 (K) = Ejemplo 6. Sea K el complejo simplicial con poliedro |K| , como se muestra en la figura. Esta es una triangulaci´on del plano proyectivo. Claramente B2 (K) = 0 . Tomemos z ∈ Z2 (K) , z

=

m1 (p0 p1 p2 ) + m2 (p0 p4 p1 ) + m3 (p0 p5 p4 ) +m4 (p0 p3 p5 ) + m5 (p0 p2 p3 ) + m6 (p2 p4 p3 ) +m7 (p2 p5 p4 ) + m8 (p2 p1 p5 ) + m9 (p1 p3 p5 ) +m10 (p1 p4 p3 ) .

147

Sergio Plaza El borde de z es

∂2 z

= m1 ((p1 p2 ) − (p0 p2 ) + (p0 p1 )) +m2 ((p4 p1 ) − (p0 p1 ) + (p0 p4 )) +m3 ((p5 p4 ) − (p0 p4 ) + (p0 p5 )) +m4 ((p3 p5 ) − (p0 p5 ) + (p0 p3 )) +m5 ((p2 p3 ) − (p0 p3 ) + (p0 p2 )) +m6 ((p4 p3 ) − (p2 p3 ) + (p2 p4 )) +m7 ((p5 p4 ) − (p2 p4 ) + (p2 p5 )) +m8 ((p1 p5 ) − (p2 p5 ) + (p1 p2 )) +m9 ((p3 p5 ) − (p1 p5 ) + (p1 p3 )) +m10 ((p4 p3 ) − (p1 p3 ) + (p1 p4 )) = 0, p5

p4

p3 p0

p1

p2

p3

p4

p5 reagrupando, obtenemos, por ejemplo, (m1 − m2 )(p0 p1 ) , luego m1 − m2 = 0 ,

148

Sergio Plaza

an´alogamente, m1 − m2 = 0 , −m1 + m5 = 0 , m4 − m5 = 0 , m2 − m3 = 0 ,

m1 − m8 = 0 , m9 − m10 = 0 , −m2 + m10 = 0 , m5 − m6 = 0 , m6 − m7 = 0 , m6 − m10 = 0 . Esto u ´ltimo se satisface si y s´olo si mi = 0 , para i = 1, 2, . . . , 10 , lo cual significa que Z2 (K) es trivial, y tenemos

H2 (K) = Z2 (K)/B2 (K) ∼ = {0} . Antes de calcular H1 (K) , veamos H2 (K) desde otro punto de vista, ligeramente distinto. Sumemos todos los 2–simpleces de K con el mismo coeficiente, es decir, tomamos

z=

10 X

mσ2,i ,

i=1

m ∈ Z.

Observemos que cada 1–simplice de K es una cara com´ un de exactamente dos 2–simplices. Como una consecuencia, el borde de z es ∂2 z = 2m(p3 p5 ) + 2m(p5 p4 ) + 2m(p4 p3 ) ,

(∗)

luego, si z ∈ Z2 (K) , el coeficiente m debe ser 0, y tenemos que Z2 (K) = 0 , como

antes.

Esta observaci´on simplifica, notablemente el c´alculo de H1 (K) . Notemos, que cada 1–ciclo es hom´ologo a un m´ ultiplo de z = (p3 p5 ) + (p5 p4 ) + (p4 p3 ) . Adem´as, (*) muestra que un m´ ultiplo par de z es el borde de una 2–cadena. Luego z es un ciclo y z + z es hom´ologo a 0. Por lo tanto, tenemos que H1 (K) = {[z] : [z] + [z] ∼ 0} ∼ = Z2 . Este ejemplo muestra que los grupos de homolog´ıa no son necesariamente grupos abelianos libres, pero tiene toda la estructura de un grupo abeliano finitamente generado. Finalmente como K es conexo por caminos, tenemos que H0 (K) ∼ = Z.

149

Sergio Plaza

En los siguientes ejemplos apelaremos a la intuici´on para evitar los largos y tediosos c´alculos. Ejemplo 7. Sea Tg una superficie compacta, orientable, conexa, de genero g ,

b1

bg

b2

a1

a2

ag

Como Tg no tiene frontera y no existen 3–simplices, la superficie Tg en si ∼ Z . Ahora H1 (Tg ) es generado por aquellos misma genera libremente H2 (Tg ) = lazos que no son frontera de alguna ´area. Ver la figura arriba. Luego

H1 (Tg ) = ∼ =

{i1 [a1 ] + j1 [b1 ] + · · · + ig [ag] + jg [bg ] : i1 , j1 . . . , ig , jg ∈ Z} Z | ⊕Z⊕ {z· · · ⊕ Z} . 2g−factores

Como Tg es conexa por caminos, se tiene que H0 (Tg ) ∼ = Z. Ejercicios.

1. Encuentre una triangulaci´on para Tg , g = 1, 2, . . . . 2. Usando la triangulaci´on encontrada en (1), calcule usando los m´etodos anteriores (ejemplos 5 y 6) los grupos de homolog´ıa de T2 = T2 (toro) y T3 .

Ejemplo 8. Botella de Klein

150

Sergio Plaza

p0

p1

p2

p0

p4

p4

p3

p3

p0

p2

p1

p0

Triangulaci´on de la botella de Klein. Como B2 (K) = 0 , tenemos que H2 (K) = Z2 (K) . Ahora, sea z ∈ Z2 (K) . Si z es una combinaci´on lineal de todos los 2– P i mσ2,i , los 1–simplices

simplices de K con el mismo coeficiente, es decir, si z =

del interior se anulan dos a dos, dejando solamente un 1–simplice exterior, de donde

151

Sergio Plaza

∂2 z = −2ma , donde a = (p0 p1 ) + (p1 p2 ) + (p2 p0 ) . Para que ∂z = 0 se debe tener que m debe ∼ {0} . ser nulo, luego H2 (K) = Z2 (K) =

Para calcular H1 (K) , primero notemos que cada 1–ciclo es hom´ologo a ia+jb ,

para alg´ un i, j ∈ Z . Para que una 2–cadena tenga un borde consistiendo de a y b

solamente, todos los 2–simplices en K deben ser sumados con el mismo coeficiente. P Como resultado para una tal 2–cadena z = i mσ2,i , tenemos ∂z = 2ma . Esto muestra que 2ma ∼ 0 . Luego H1 (K) es generado por dos ciclos a y b tal que a + a = 0 , es decir, H1 (K) = {i[a] + j[b] : i, j ∈ Z, [a] + [a] = 0} ∼ = Z2 ⊕ Z . Como K es conexo por caminos H0 (K) ∼ = Z.

11.7

Conexidad y grupos de homolog´ıa

Sean K = {p0 } y L = {p1 , p1 } . Vimos que H0 (K) ∼ = Z y H0 (L) ∼ = Z ⊕ Z . M´as, general tenemos el siguiente

Teorema 11.4 Si |K| es la uni´ on disjunta de N componentes conexas por caminos, |K| = |K1 | ∪ · · · ∪ |KN | , donde |Ki | ∩ |Kj | = ∅ si i 6= j . Entonces Hr (K) = Hr (K1 ) ⊕ Hr (K2 ) ⊕ · · · ⊕ Hr (KN ) . Demostraci´ on. Primero notemos que un grupo de r–cadenas es consistentemente separado en una suma directa de N subgrupos de r–cadenas. Sea

Cr (K) =

(

Ir X i=1

)

ci σr,i : ci ∈ Z

donde Ir es el n´ umero de r–simplices linealmente independientes en K . Es siempre posible reordenar σi de tal modo aquellos r–simplices en K1 estan primero, aquellos en K2 est´an enseguida, y as´ı sucesivamente. Entonces Cr (K) es separado en una suma directa de subgrupos,

Cr (K) =

Cr (K1 ) ⊕ Cr (K2 ) ⊕ · · · + Cr (KN ) .

Lo mismo puede ser hecho para Zr (K) y Br (K) , es decir, podemos escribir

152

Sergio Plaza

Zr (K) = Zr (K1 ) ⊕ Zr (K2 ) ⊕ · · · ⊕ Zr (KM ) Br (K) = Br (K1 ) ⊕ Br (K2 ) ⊕ · · · ⊕ Br (KN ) . Ahora definamos los grupos de homolog´ıa de cada componente Ki por Hr (Ki ) = Zr (Ki )/Br (Ki ) Finalmente, tenemos

Hr (K) = Zr (K)/Br (K) = (Zr (K1 ) ⊕ · · · ⊕ Zr (KN ))/(B1 (K1 ) ⊕ · · · ⊕ Br (KN )) = Zr (K1 )/Br (K1 ) ⊕ · · · ⊕ Zr (Kn )/Br (KN ) = Hr (K1 ) ⊕ · · · ⊕ Hr (KN ) . Corolario 11.1

a) Sea |K| = ∪N on disjunta de N componentes i=1 |Ki | , la uni´

conexas por caminos. Entonces

H0 (K) ∼ = Z⊕ ··· ⊕ Z. ∼ Z , |K| es conexo. (Junto con el resultado anterior, tenemos b) Si H0 (K) = ∼ Z si y s´ H0 (K) = olo si K es conexo por caminos).

11.8

Estructuras de los grupos de homolog´ıa

Tenemos que Zr (K) y Br (K) son grupos abelianos libres, pues son subgrupos del grupo abeliano libre Cr (K) . Luego, tenemos que Hr (K) ∼ ⊕ · · · ⊕ Z ⊕ Zk1 ⊕ · · · ⊕ Zkq . =Z | {z } | {z } p−f actores

q−f actores

Es, intuitivamente, claro que el n´ umero de generadores de Hr (K) cuenta el n´ umero hoyos (r + 1)–dimensional en |K| .

153

Sergio Plaza

Los primeros p factores forman un grupo abeliano libre de rango p y los segundos q factores son llamados el grupo de torsi´ on de Hr (K) . Por ejemplo, ∼ el plano proyectivo tiene H1 (K) = Z2 , y la botella de Klein tiene H1 (K) ∼ = Z ⊕ Z2 . En un sentido, el grupo de torsi´on detecta los torsiminetos (“twisting”) en el poliedro |K| .

Observaci´ on. Hr (Ki ; R) ∼ =

11.9

p M

R.

i=1

N´ umeros de Betti y el teorema de Euler– Poincar´ e

Definici´ on 11.5 Sea K un complejo simplicial. El r–´esimo n´ umero de Betti, br (K) , es definido por br (K) = dim Hr (K; R) . En otras palabras, br (K) es el rango de la parte abeliana libre de Hr (K, Z) . Ejemplos. 1. Para K = T2 (el toro 2–dimensional), tenemos b0 (T2 ) = 1 , b1 (T2 ) = 2 y b2 (T2 ) = 1 . 2. Para K = S2 (esfera 2–dimensional), tenemos que b0 (S2 ) = 1 , b1 (S2 ) = 0 y b2 (S2 ) = 1 . 3. Para la botella de Klein b0 (K) = 1 , b1 (K) = 1 y b2 (K) = 0 . 4. Para el plano proyectivo RP2 , tenemos b0 (RP2 ) = 1 , b1 (RP2 ) = b2 (RP2 ) = 0. La caracteristica de Euler de un complejo simplicial n–dimensional K es definida por χ(K) =

n X

(−1)r Ir ,

r=0

Ir denota el n´ umero de r–simplices en K . La caracteristica de Euler del poliedro |K| es definida por

154

Sergio Plaza

χ(|K|) = χ(K) . Teorema 11.5 (Euler–Poincar´e) Sea K un complejo simplicial n–dimensional y sea Ir el n´ umero de r–simplices en K . Entonces χ(K) =

n X

(−1)r Ir =

r=0

n X

(−1)r br (K) .

r=0

Demostraci´ on. Consideremos el homomorfismo de borde, ∂r : Cr (K; R) −→ Cr−1 (K; R) , donde definimos C−1 = C−1 (K; R) como 0. Como ambos Cr (K; R) y Cr−1 (K; R) son espacios vectoriales. Tenemos

Ir

=

dim Cr (K; R)

=

dim ker(∂r) + dim Imagen(∂r )

=

dim Zr (Ki ; R) + dim Br−1 (K; R)

donde B−1 (K; R) es definido como 0. Tambi´en tenemos

br (K) =

dim Hr (K; R)

=

dim Zr (K; R)/Br (K; R)

=

dim Zr (K; R) − dim Br (K; R) .

Desde esa relaciones, obtenemos

χ(K) =

n X

(−1)r Ir

r=0

=

n X

(−1)r (dim Zr (K; R) + dim Br−1 (K; R))

r=0

=

n X r=0

=

n X r=0

((−1)r dim Zr (K; R) − (−1)r dim Br (K; R)) (−1)r br (K) .

155

Sergio Plaza

Como los n´ umeros de Betti son invariantes topol´ogicos, χ(K) tambi´en es conservada bajo homeomorfismos. En particular si f : |K| −→ X y g : |K ′ | −→ X son triangulaciones de X ,

tenemos que χ(K) = χ(K ′ ) .

Esto hace que la siguiente definici´on tenga sentido. Definici´ on 11.6 Sea X un espacio triangulable y sea (|K|, f ) una triangulaci´ on de X . La caracter´ıstica de Euler de X es χ(X) = χ(K) .

Cap´ıtulo 12

Homolog´ıa Singular Sea R∞ el producto numerable de infinitas copias de R . Sean

e0

= (0, 0, . . .)

e1

= (1, 0, 0, . . .)

e2 = (0, 1, 0, . . .) .. . en

= (0, 0, 0 . . . , 0, 1, 0, . . .),

1 en el lugar n

son elementos de R∞ . el espacio Rn puede ser identificado con un subespacio de R∞ mediante la aplicaci´on (x1 , . . . , xn ) ֒→ (x1 , . . . , xn , 0, . . .) . Con esta identificaci´on, R ⊂ R2 ⊂

R3 ⊂ · · · ⊂ Rn ⊂ · · · ⊂ R∞ . Sea ∆n = he0 , e1 , . . . , en i el n–simplice estandard generado por e0 , e1 , . . . , en en R∞ .

Dado un conjunto de q + 1 puntos distintos x0 , x1 , . . . , xq en Rn , existe una u ´nica transformaci´on af´ın desde ∆q en Rn , la cual aplica ei en xi , para i = 0, 1, . . . , q . Denotamos esta aplicaci´on por (x0 , x1 , . . . , xq ) . Definici´ on 12.1 Sea X un espacio topol´ ogico.

Una aplicaci´ on continua σ :

∆q −→ X es llamado un q–simplice singular en X . Observaci´ on. Como ∆q es compacto y conexo, se sigue que σ(∆q ) ⊂ X es compacto y conexo.

156

157

Sergio Plaza

Un 1–simplice singular en X es simplemente un camino en X , mientras que un 0–simplice singular en X es un punto. Sea R un anillo conmutativo con unidad 1 6= 0 , y sea Sq (X) el R–m´odulo

libre generado por el conjunto de todos los q–simplice singulares en X , es decir, los elementos de Sq (X) son combinaciones lineales formales de q–simplice singulares en X con coeficientes en R . M´as precisamente, un elemento en Sq (x) es de la forma X

νσ σ

σ

donde νσ ∈ R y la suma es tomada sobre q–simplices singulares en X y ν = 0

salvo un n´ umero finito.

Ahora, sea Fqi : ∆q−1 −→ ∆q (1 6 i 6 q) la u ´nica aplicaci´on af´ın que aplica

los v´ertices (e0 , e1 , . . . , eq−1 ) en el conjunto en el que el punto ei es omitido, esto es, Fqi (ej ) =

(

ej ,

ji

)

Por ejemplo DIBUJO Luego, Fqi aplica ∆q−1 homeomorficamente y af´ınmente sobre la cara de ∆q opuesta al v´ertice ei . Por esta raz´on Fqi es llamado i–´esimo operador cara del q–simplice ∆q . Dado un q–simplice singular σ , la compuesta σ (i) = σ ◦ Fqi es llamada la

i–´esima cara de σ (i = 0, 1, . . . , q) .

Sea σ un q–simplice singular, se define la frontera, denotada por, ∂(σ) , de σ como el elemento de Sq−1 (X) dado por ∂(σ) =

q X

(−1)i σ (i) .

i=0

Como Sq (X) es el R–m´ odulo libre generado por los q–simplices singulares de P rσ σ es una q–cadena

X , podemos extender ∂ por linearidad, es decir, si c = singular en X , entonces

∂(c) =

X

rσ ∂(σ)

158

Sergio Plaza

De este modo obtenemos un R–homorfismo, el cual continuamos denotando por ∂ , en otras palabras, hemos definido el homomorfismo ∂ : Sq (X) −→ Sq−1 (X) para todo q > 1 . Tenemos el siguiente resultado. j Lema 12.1 Los operadores cara Fqi y Fq−1 , 0 6 j < i 6 q , satisfacen j i−1 Fqi ◦ Fq−1 = Fqj ◦ Fq−1 .

Demostraci´ on. F´acil, se deja al lector. Como consecuencia, se tiene el siguiente teorema. Teorema 12.1 La compuesta ∂q−1 ◦ ∂q = 0 para todo q > 1 . Demostraci´ on. Basta probar que ∂q−1 ◦∂q (σ) = 0 para los q–simplices singulares. Tenemos.

∂q−1 ◦ ∂q (σ)

=

=

q X (−1)i ∂(σ (i) )

i=0 q X

(−1)i

i=0

=

q X

j 0 , este no es otro que la aplicaci´on constante σq : ∆q −→ {x} . Tenemos entonces ( σq−1 q > 0 par ∂(σq ) = 0 q impar,

de donde Zq (X, R) = Bq (X, R) =

(

0

si q > 0 es par

Sq (X, R) si q es impar

por lo tanto, Hq ({x}) = 0 para q > 0 . Por otra parte, se tiene Z0 = S0 y B0 = 0 , ∼ R , el isomorfismo es dado por νσ0 −→ ν . luego H0 ({x}) =

12.1

Homolog´ıa 0–dimensional

Teorema 12.2 Si X es conexo por caminos entonces H0 (X, R) ∼ = R. Demostraci´ on. Por definici´on tenemos que Z0 (X) = S0 (X) . Ahora, si c = P ri σi es una 1–cadena en X , entonces cada σi es un camino en X y ∂(c) = Pk i=0 ri (σi (1) − σi (0)) ∈ B0 (X) y tiene la propiedad que la suma de los coeficientes Pk de ∂(c) es cero. Rec´ıprocamente, sea x0 ∈ X y supongamos que i=1 ri xi es Pk una 0–cadena la cual tiene la propiedad que i=1 ri = 0 . Como X es conexo por caminos, podemos encontrar un camino, digamos σxi uniendo x0 con xi para

i = 1, 2, . . . , k . Entonces c

=

k X

ri xi

i=1

=

k X i=1

=

k X i=1

=

k X

ri xi −

∂

i=1

ri (xi − x0 ) ri ∂(σxi )

i=1

=

k X

k X i=1

ri σxi

!

.

ri

!

x0

160

Sergio Plaza

P Luego, B0 (X) consiste de todas las 0–cadenas c = ri xi en X con la propiedad P que ri = 0 . Definamos un R–homomorfismo ε : S0 (X) −→ R , llamado apliP P caci´ on aumentaci´ on, por ε( ri xi ) = ri . La aplicaci´on ε es sobreyectiva y ker(ε) = B0 (X) . Por lo tanto,

H0 (X) = Z0 (X)/B0 (X) ∼ = R. Observaci´ on. El 0–m´odulo de homolog´ıa aumentado H0# es obtenido definiendo un operador frontera diferente sobre las 0–cadenas ! X X # ∂ νx σx = νx . x

Es f´acil ver que ∂ # ◦ ∂ = 0 . Definimos H0# (X, R) = ker(∂ # )/Imagen(∂1 ) . Si

X es conexo por caminos H0# (X, R) = 0 , y si X tiene r componentes conexas L # por caminos, entonces H0# (X, R) = r−1 i=1 R . Para q > 0 definimos Hq (X, R) = Hq (X, R) .

En general, tenemos el siguiente teorema Teorema 12.3 Sea {Xi : i ∈ I} la familia de las componentes conexas por M ∼ caminos de X . Entonces para todo q > 0 se tiene Hq (X) = Hq (Xi ) . i∈I

Demostraci´ on. Como ∆q es un espacio conexo por caminos, cualquier q–simplice singular σ : ∆q −→ X es de hecho un simplice singular en Xi para alg´ un i ∈ I . Luego,

Sq (X) =

M

Sq (Xi ),

i∈I

Zq (X) =

M

Zq (Xi )

i∈I

Bq (X) =

M

Bq (Xi )

i∈I

de donde el resultado se sigue Corolario 12.1 Para cualquier espacio X , H0 (X) es el R–m´ odulo libre consistiendo de tantas copias de R como componentes conexas por caminos de X .

Sergio Plaza

12.2

161

Relaci´ on entre π1 (X) y H1(X, Z)

Supongamos que X es conexo por caminos y sea H1 (X) = H1 (X, Z) el Z–m´odulo de homolog´ıa. Fijemos x0 ∈ X . Para cada x ∈ X , sea wx un camino uniendo x0

con x , existen muchos de tales caminos y elegimos uno de ellos el cual llamamos wx . Tenemos que wx : I −→ X y un 1–simplice singular es una aplicaci´on continua

desde el 1–simplice estandard [e0 , e1 ] en X . Como existe un homeomorfismo af´ın entre I y cualquier 1–simplice en Rn , un camino es un 1–simplice en X y cualquier 1–simplice lo podemos pensar como un camino en X . Hecha esta aclaraci´on, tenemos que si w es un camino cerrado en X con base en cualquier punto, entonces el correspondiente 1–simplice es un ciclo en X . Notemos tambi´en que un camino constante w en X aplicando todos los puntos en x0 ∈ X no s´olo es un ciclo, si no que adem´as es un borde.

Para verlo considideremos el 2–simplice constante σ2 : ∆2 −→ X , dado por

σ(u) = x0 . Entonces ∂(σ2 ) = camino constante. M´as, general si w es un camino uniendo x0 y x1 entonces la 1–cadena w + w−1 es un borde. En efecto, consideremos el 2–simplice singular σ : ∆2 −→ X el cual aplica [e0 , e1 ] como w y es

constante sobre cada linea de ∆2 paralela a [e1 , e2 ]

Hacer ls Figura La restricci´on de σ a [e2 , e0 ] nos da w−1 . Como la restricci´on de σ a [e1 , e2 ] es constante, se tiene que ∂(σ) = w− constante +w−1 , y como el camino constante es un borde, se sigue que w + w−1 es un borde. Hemos probado el siguiente lema. Lema 12.2 Cualquier camino constante en X es un 1–borde singular. Si w es un camino en X , entonces la 1–cadena singular w + w−1 es un borde en X . Definimos una aplicaci´on φ : π1 (X, x0 ) −→ H1 (X) por φ(w) = [w] . Veamos

que φ est´a bien definida.

Lema 12.3 Si w ∼ w′ rel {0, 1} . Entonces la 1–cadena singular w − w′ es un

borde en X .

Demostraci´ on. Sea F : I × I −→ X una homotop´ıa rel {0, 1} entre w y w′ .

Como F |{0} × I es constante, se sigue que F se fatoriza a trav´es de la aplicaci´on de I × I −→ ∆2 , que aplica {0} × I en el v´ertice e0 de ∆2 . De esta forma

162

Sergio Plaza

obtenemos un 2–simplice singular σ : ∆2 −→ X tal que σ = w sobre [e0 , e1 ] , σ = w′ sobre [e0 , e2 ] y es el camino constante wx0 sobre [e1 , e2 ] .

Hacer la Figura Luego ∂(σ) = w − wx0 − w′ y como el camino constante wx0 es un borde, se sigue que w − w′ es un borde.

Como consecuencia, tenemos que la aplicaci´on φ definida anteriormente est´a

bien definida. Proposici´ on 12.1 Si w y w′ son dos caminos cerrados en X con base en x0 . Entonces la 1–cadena w∗w′ −w−w′ es un borde en X , es decir, [w+w′ ] = [w]+[w] en H1 (X) .

Demostraci´ on. Podemos asumir que w est´a definido sobre el lado [e0 , e1 ] y w′ est´a definido sobre [e1 , e2 ] . Definamos el 2–simplice singular σ : ∆2 −→ X de modo que sea constante sobre cada linea perpendicular al lado [e0 , e2 ]

HACER EL DIBUJO Tenemos que σ|[e0 , e2 ] = w ∗ w′ . Luego, ∂(σ) = w + w′ − (w ∗ w′ ). LO que termina la prueba. Resumiendo, hemos probado que la aplicaci´on φ : π1 (X, x0 ) −→ H1 (X, Z) [w] −→ [w]

es un homomorfismo de grupos. Sabemos que H1 (X, Z) es abeliano, y vemos que φ([π1 (X, x0 ), π1 (X, x0 )]) = 0 , es decir, [π1 (X, x0 ), π1 (X, x0 )] ⊆ ker(φ) . Sea

φ : π1 (X, x0 )/[π, (X, x0 ), π1 [X, x0 ]] −→ H1 (X, Z)

163

Sergio Plaza

Ahora probaremos que φ es un isomorfismo, para ello basta ver que ker(φ) = [π1 (X, x0 ), π1 (X, x0 )] Teorema 12.4 (Poincar´e–Hurewicz) Supongamos que X es conexo por caminos. Entonces el homomorfismo φ definido anteriormente es un isomorfismo. Demostraci´ on. Construiremos un homomorfismo ψ : H1 (X, Z) −→ π1 (X, x0 )/[π1 (X, x0 ), π1 (X, x0 )] que ser´a el inverso de φ . Sea σ : ∆1 −→ X un 1–simplice singular en X . Poniendo σ(e0 ) = σ(0) y

−1 σ(e1 ) = σ(1) , obtenemos el camino cerrado σ ˆ = wσ(0) ∗ σ ∗ wσ(1) con base en x0 ,

donde wx es un camino uniendo x0 con x , existen varias elecciones para wx . De este modo σ ˆ no es unicamente definido por σ , pero notemos que su coseto en π1 (X, x0 )/[π1 (X, x0 ), π1 (X, x0 )] es unicamente determinado. Como S1 (X, Z) es un grupo abeliano libre generado por todos los 1–simplices σ en X , obtenemos un homomorfismo ψ : S1 (X, Z) −→ π1 (X, x0 )/[π1 (X, x0 ), π1 (X, x0 )] . Lema 12.4 Imagen(ψ) = {1} , elemento identidad de π1 (X, x0 )/[π1 (X, x0 ), π(X, x0 )] ,

en otras palabras, ψ aplica el grupo B1 (X, Z) de los 1–bordes en X en el elemento trivial de π1 (X, x0 )/[π1 (X, x0 ), π1 (X, x0 )] . Demostraci´ on. Como B1 (X, Z) es generado por todos los elementos del tipo

∂(σ) , donde σ : ∆2 −→ X es un 2–simplice singular, basta ver que para cualquier tal σ , se tiene que ψ(∂(σ)) es el elemento identidad.

Pongamos σ(ei ) = yi , i = 0, 1, 2 . Si f = σ (2) g = σ (0) ,, h = (σ (1) )−1 denotan la i–´esima cara de σ , entonces ψ(∂(σ))

= =

ψ(σ (0) − σ (1) + σ (2) ) ψ(f + g − h−1 )

=

ψ(f )ψ(g)(ψ(h−1 ))−1

=

ˆ −1 )]−1 [fˆ][ˆ g][(h

=

ˆ −1 )−1 ] [fˆ ∗ gˆ ∗ (h

= =

[wy0 ∗ f ∗ wy−1 ∗ wy1 ∗ g ∗ wy−1 ∗ (wy0 ∗ h−1 ∗ wy−1 )−1 ] 1 2 2 [wy0 ∗ f ∗ g ∗ h ∗ wy−1 ]. 0

164

Sergio Plaza

Como el camino cerrado f ∗g∗h con base en x0 tiene una extensi´on al 2–disco,

es homot´opico al camino constante en y0 , luego wy0 ∗ f ∗ g ∗ h ∗ wy−1 ∼ εx0 rel{0, 1} . 0 Esto completa la prueba.

La aplicaci´on x −→ wx es, de hecho, una aplicaci´on desde los generadores

de S0 (X, Z) en S1 (X, Z) . Luego la podemos extender a un homomorfismo w : P P S0 (X, Z) −→ S1 (X, Z) por w( ni xi ) = ni wxi . Proposici´ on 12.2 Si σ es un 1–simplice singular en X , entonces φ ◦ ψ(σ) es

representado por el ciclo σ +wσ(0) −wσ(1) = σ +w∂(c) . Si c es un 1–ciclo entonces φ ◦ ψ(c) = c − w∂(c) y φ ◦ ψ(c) = [c] si c es un ciclo.

Demostraci´ on. Tenemos que w + w−1 es un borde para cualquier camino w , es decir, [w] = −[w−1 ] en H1 (X, Z) . Ahora, para cualquier 1–simplice singular se tiene

φ◦ψ

−1 = φ(wσ(0) ∗ σ ∗ wσ(1) )

−1 = [wσ(0) ] + [σ] + [wσ(1) ]

−1 = [wσ(0) + σ − wσ(1) ]

= [σ + w∂(σ) ] .

Demostraci´ on del Teorema de Poicar´ e–Hurewicz. Tenemos que φ : π(X, x0 )/[π1 (X, x0 ), π1 (X, x0 )] −→ H1 (X, Z) es un homo-

morfismo. El Lema 12.4 define un homomorfismo ψ : H1 (X, Z) −→ π1 (X, X0 )/[π1 (X, x0 ), π1 (X, x0 )]

poniendo ψ([z]) = [ψ(z)] . Adem´as, para cada clase de caminos cerrados en x0 [α] , tenemos ψ ◦ ψ[α]

= ψ([α]) = [wx0 ∗ α ∗ wx0 ] = [α]

en π1 (X, x0 )/[π1 (X, x0 ), π1 (X, x0 )] . Reciprocamente, para cada [z] ∈ H1 (X, Z) se tiene que φ ◦ ψ([z]) = φ([ψ(z)]) = [z] .

Lo que completa la prueba del teorema.

Ejemplos

165

Sergio Plaza

1. H1 (S , Z) ∼ = Z , H1 (Sn , Z) = 0 para todo n > 2 , 1

H1 (T , Z) = n

H1 (RPn , Z) ∼ = Z2 , n > 2 , H1 (L(p, q), Z) ∼ = Zp . 2. Sea X la figura 8. L H1 (8, Z) ∼ =Z Z

12.3

Entonces π1 (X) = h{a, b}i (no abeliano).

n M

Z,

i=1

Luego

Homomorfismo inducido en homolog´ıa singular

Sea f : X −→ Y una aplicaci´on continua. Si σ : ∆q −→ X es un q–simplice

singular en X , entonces f ◦ σ : ∆q −→ Y es un q–simple singular en Y . Luego, para todo q > 0 , podemos definir un homomorfismo f♯,q : Sq (X) −→ Sq (Y ) por P P f♯,q ( νi σi ) = νi (f ◦ σi ) . Tenemos el siguiente resultado.

Teorema 12.5 Para cada q > 0 , la sucesi´ on de homomorfismos f♯,q : Sq (X) −→ Sq (X) , es un homomorfismo de cadena.

Demostraci´ on. Debemos probar que para todo q > 1 , los cuadrados en el diagrama siguiente son conmitativos · · · −→ Sq (X) −→ Sq−1 (X) −→ · · · ↓ f♯,q

↓ f♯,q−1

· · · −→ Sq (X) −→ Sq−1 (Y )

En efecto, sea σ ∈ Sq (X) . Entonces f♯,q ∂(σ)

−→ · · ·

=

X f♯,q ( (−1)i σ i ) X (−1)i f♯,q (σ ◦ Fqi ) X (−1)i (f ◦ σ) ◦ Fqi

=

∂(f♯,q (σ))

= = =

∂(f ◦ σ)

Como consecuencia vemos que una aplicaci´on continua f : X −→ Y induce

un R–homomorfismo f∗,q : Hq (X) −→ Hq (Y ) para todo q > 0 , por f∗,q ([z]) = [f♯,q (z)] .

166

Sergio Plaza Tenemos el siguiente teorema.

Teorema 12.6 (Axioma de la identidad) Si Id : X −→ X es una aplicaci´ on

identidad, entonces para todo q > 0 el homomorfismo Id∗,q : Hq (X) −→ Hq (X)

es el isomorfismo identidad.

Teorema 12.7 (Axioma de la composici´on) Sea f : X −→ Y y g : Y −→ Z aplicaciones continuas, entonces para todo q > 0 , se tiene que (g ◦ f )∗,q = g∗,q ◦ f∗,q . Corolario 12.2 Si f : X −→ Y es un homeomorfismo, entonces para todo q > 0 el homomorfismo f∗,q : Hq (X) −→ Hq (X) es un isomorfismo.

el corolario nos dice que los grupos de homolog´ıa singular son un invariante topol´ogico. Proposici´ on 12.3 Sea X e Y espacios conexos por caminos y sea f : X −→ Y

una aplicaci´ on continua. Entonces el homomorfismo inducido f∗,q : H0 (X) −→

H0 (Y ) es un isomorfismo. En particular, cuando X = Y , cualquier aplicaci´ on

continua f : X −→ X induce el homomorfismo identidad f∗,0 : H0 (X) −→

H0 (X) .

Demostraci´ on. Se deja a cargo del lector. Proposici´ on 12.4 Si f : X −→ Y es una aplicaci´ on constante, entonces para todo q > 1 , el homomorfismo f∗,q ∗ : Hq (X) −→ Hq (Y ) es el homomorfismo cero.

Demostraci´ on. Supongamos que f (x) = y0 ∈ Y para todo x ∈ X . Entonces f : X −→ Y se factoriza como sigue X

f

c

Y i

{y0 } donde c : X −→ y0 es la aplicaci´on constante e i es la aplicaci´on inclusi´on. Luego, para todo q > 0 el homomorfismo f∗,q : Hq (X) −→ Hq (Y ) se factoriza como sigue

167

Sergio Plaza f∗,q

Hq (X) c∗,q

Hq (Y ) i∗,q

Hq ({y0 }) Como Hq ({y0 }) = 0 para todo q > 1 y f∗,q = i∗,q ◦ c∗,q se sigue el resultado.

12.4

Homolog´ıa reducida

Sea S∗ (X) el complejo de cadena singular de X . Consideremos un complejo de cadena abstracto Cq , tal que C0 = R y Cq = 0 para todo q 6= 0 . Entonces existe P P una aplicaci´on de cadenas complejas ε : S∗ (X) −→ C∗ donde ε( ri xi ) = ri en

el nivel 0 y ε ≡ 0 para q > 1 . Esta aplicaci´on cadena es sobreyectiva. Adem´as, ker(ε) es un subcomplejo de S∗ (X) , el cual denotamos por Se∗ (X) , es llamado

complejo de cadena singular reducido de X . Como S∗ (X) es un complejo de R– m´odulos libres, la aplicaci´on aumentation ε se descompone, y tenemos S0 (X) = Se0 (X) ⊕ R y Sq (X) = Seq (X) para todo q > 1 .

Definimos los m´odulos de homolog´ıa singular reducida de X , denotados por e q (X) como la homolog´ıa del complejo de cadena Se∗ (X) . H Como ε( Imagen (∂1 )) = 0 , se tiene que Imagen (∂1 ) ⊆ ker(ε) = Se0 (X) .

Por lo tanto,

e 0 (X) ⊕ R H0 (X) = S0 (X)/ Imagen (∂1 ) = Se0 (X)/ Imagen (∂1 ) ⊕ R = H

e q (X) = Hq (X) , para todo q > 0 . y H

12.5

Axioma de homotop´ıa para homolog´ıa singular

Teorema 12.8 (Axioma de homotop´ıa) Sean f, g : X −→ Y dos aplicaciones

homot´ opicas. Entonces, para todo q > 0 , se tiene que f∗,q = g∗,q : Hq (X) −→

Hq (Y ) .

Demostraci´ on. Sea F : X × I −→ Y una homotop´ıa entre f y g , es decir, F (x, 0) = f (x) y F (x, 1) = g(x) , para todo x ∈ X . Sean i0 , i1 : X −→ X × I

168

Sergio Plaza

las aplicaciones definidas por i0 (x) = (x, 0) e i1 (x) = (x, 1) . Entonces f = F ◦ i0

y g = F ◦ i1 . Luego basta probar que i0∗,q = i1∗,q : Hq (X) −→ Hq (X × I)

para todo q > 0 . Decimos que i0♯ , i1♯ : S∗ (X) −→ S∗ (X × I) son cadenas

homot´ opicas si existe un homomorfismo Dq : Sq (X) −→ Sq+1 (X × I) tal que ∂ ◦ Dq + Dq−1 ∂ = i1♯,q − i0♯,q .

∂

S2 (X)

∂

S1 (X) i0♯

D1

i1♯

S2 (X × I)

∂

S0 (X)

0

i0♯ D0

S1 (X × I)

i1♯ ∂

S0 (X × I)

0

Comenzamos definiendo D0 : S0 (X) −→ S1 (X ×I) por D0 (σ) = σ ×I , donde

σ es un 0–simplice singular en X y σ × I denota el 1–simplice singular en X × I . Extendemos D0 a las 0–cadenas por linealidad. Entonces para todo x ∈ X se tiene

∂D0 (x)

= ∂(x × I) = (x, 1) − (x, 0) = i1 (x) − i0 (x)

luego, ∂D0 = i1♯ − i0♯ .

Notemos que D0 es una aplicaci´on natural en el siguiente sentido. Si h :

X −→ Y es una aplicaci´on continua entonces el siguiente diagrama conmuta. D

0 S0 (X) −→

h♯ ↓

S0 (Y )

D0

S1 (X × I) ↓ (h × I)♯

−→ S1 (Y × I)#

En efecto, para un 0–simplice singular σ en X , tenemos

(h × I)♯ ◦ D0 (σ)

= (h × I) ◦ (σ × I)

169

Sergio Plaza = (h ◦ σ) × I = D0 (h(σ)) = D0 h♯ (σ).

Ahora pasamos a definir Dj : Sj (X) −→ Sj+1 (X × I) inductivamente y

satisfaciendo las siguientes propiedades

(a) ∂j+1 ◦ Dj + Dj−1 ◦ ∂j = i1♯ − i0♯ . (b) Para cada aplicaci´on continua h : X −→ Y , se tiene que Dj h♯ = (h× I)♯ Dj . Observemos que desde (a) se tiene para j = q − 1 , ∂q (i1♯ − i0♯ ) = (i1♯ − i0♯ )∂q = ∂q Dq−1 ∂q , de donde ∂q (i1♯ − i0♯ − Dq−1 ∂q ) = 0 . Construcci´ on de Dq . Sea δq : △q −→ △q la aplicaci´on identidad. Entonces (i1♯ − i0♯ − Dq−1 ∂q )(δq ) e q# (△q × es un q–ciclo. Como el complejo de cadena △q × I es ac´ıclico (es decir, H I) = 0 para todo q > 0 ), existe ω ∈ Sq+1 (△q × I) tal que ∂q+1 (ω) = (i1♯ − i0♯ − Dq−1 ∂q )(δq ). Definimos Dq (δq ) = ω . Tenemos as´ı que ∂q+1 Dq (δq ) + Dq−1 ∂q (δq ) = (i1♯ − i0♯ )(δq ). Definimos, para un q–simplice singular σ ∈ Sq (X) , Dq (σ) = (σ × I)♯ (Dq (δq )), y extendemos por linealidad a las q–cadenas complejas. Esto define un homomorfismo Dq : Sq (X) −→ Sq+1 (X × I) que satisface las propiedades (a) y (b) anteriores. En efecto, para verificar la condici´on (b), tenemos

170

Sergio Plaza

Dq h♯ (σ)

=

Dq (hσ)

=

(hσ × I)♯ Dq (δq )

=

(h × I)♯ (σ × I)♯ Dq (δq )

=

(h × I)♯ Dq (σ) .

Para verificar (a), tenemos

(i)

∂q+1 Dq (σ)

=

∂q+1 ((σ × I)♯ Dq (δq ))

=

(σ × I)♯ ∂q+1 Dq (δq ) .

Escribiendo σ = σ♯ (δq ) y aplicando ∂q obtenemos ∂q σ = σ♯ ∂q (δq ) . Por lo tanto,

(ii)

Dq−1 ∂q (σ)

=

Dq−1 σ♯ ∂q (δq )

=

(σ × I)♯ Dq−1 ∂q (δq ).

De (i) y (ii) obtenemos,

(∂q+1 Dq + Dq−1 ∂q )(σ)

= (σ × I)♯ (∂q+1 Dq + Dq−1 ∂q )(δq ) = (σ × I)♯ (i1♯ − i0♯ )(δq ) = (i1♯ − i0♯ )σ♯ (δq ) (ya que (σ × I)ij = ij ◦ σ, j = 0, 1) = (i1♯ − i0♯ )(σ) .

Esto completa la prueba del teorema. Corolario 12.3 Sean f, g : X −→ Y aplicaciones homot´ opicas. Entonces f♯ , g♯ :

S∗ (X) −→ S∗ (Y ) son cadenas homot´ opicas. Demostraci´ on. Inmediata

171

Sergio Plaza

Corolario 12.4 Si f, g : X −→ Y es una equivalencia hom´ otopica, entonces para

todo q > 0 , el homomorfismo f∗,q : Hq (X) −→ Hq (Y ) es un isomorfismo. Demostraci´ on. F´acil, se deja a cargo del lector.

Aqu´ı voy, 07/10/2009 12.6

Homolog´ıa relativa

Un par topol´ogico (X, A) significa un espacio topol´ogico X con un subespacio A de X . Cuando A = ∅ , identificamos el par topol´ogico (X, ∅) con X .

Si (X, A) y (Y, B) son pares topol´ogicos, entonces una aplicaci´on continua

f : X −→ Y es llamada una aplicaci´on de pares si f (A) ⊆ B , y escribimos

f : (X, A) −→ (X, B) .

Si f : (X, A) −→ (Y, B) y g : (Y, B) −→ (Z, C) entonces g ◦ f : (X, A) −→

(Z, C) .

Ahora sea (X, A) un par topol´ogico. Entonces S∗ (A) es un subcomplejo del complejo de cadena S∗ (X) , y podemos formar el complejo de cadena cuociente S∗ (X)/S∗ (A) , el cual denotamos por S∗ (X, A) , este complejo de cadena es llamado el complejo de cadena singular del par (X, A) . Tenemos el siguiente diagrama conmutativo. Sq (X) ∂↓

−→

Sq (X)/Sq (A) ↓∂

Sq−1 (X) −→ Sq−1 (X)/Sq−1 (A) donde si c ∈ Sq (X) , definimos ∂ (coseto de c mod Sq (A) )=coseto de ∂c mod Sq−1 (A) , m´as precisamente ∂(c + Sq (A)) = ∂c + Sq−1 (A) . Ahora sean

Zq (X, A) = ker(∂ : Sq (X)/Sq (A) −→ Sq−1 (X)/Sq−1 (A)) Bq (X, A) = Imagen (∂ : Sq+1 (X)/Sq+1 (A) −→ Sq (X)/Sq (A)), como ∂ ◦ ∂ = 0 , se sigue Bq (X, A) es un subm´odulo de Zq (X, A) , y podemos formar el m´odulo cuociente

Hq (X, A) = Zq (X, A)/Bq (X, A),

172

Sergio Plaza el cual es llamado el q–´esimo m´ odulo de homolog´ıa relativo de X m´ odulo A . Notemos que Zq (X, A) = {c ∈ Sq (X) : ∂(c) ∈ Sq−1 (A)} y Bq (X, A) = {b ∈ Sq (A) : b = ∂(c′ ) para alguna c′ ∈ Sq+1 (X)}.

Observaci´ on. Si A = ∅ , entonces Sq (A) = 0 para todo q , luego por definici´on Hq (X, ∅) = Hq (X) .

12.7

Homomorfismo inducido en homolog´ıa reducida

Sea f : (X, A) −→ (Y, B) una aplicaci´on de pares. La aplicaci´on f : X −→ Y

induce una aplicaci´on de cadena f∗ : S∗ (X) −→ S∗ (Y ) , y su restricci´on f |A : A −→ B induce una aplicaci´ on de cadena (f |A)∗ : S∗ (A) −→ S∗ (B) . Luego, f : (X, A) −→ (Y, B) induce una aplicaci´on de cadena f♯,q : S∗ (X, A) −→ S∗ (Y, B)

y este induce un homomorfismo f∗,q : Hq (X, A) −→ Hq (Y, B) para todo q > 0 .

Proposici´ on 12.5 (Axioma de la identidad para homolog´ıa reducida) Si Id : (X, A) −→ (X, A) es la aplicaci´ on identidad, entonces para todo q > 0 el homomorfismo Id∗,q : Hq (X, A) −→ Hq (X, A) es la identidad.

Proposici´ on 12.6 (Axioma de la composici´on para homolog´ıa reducida) Si f : (X, A) −→ (X, B) y g : (Y, B) −→ (Z, C) son aplicaciones de pares topol´ ogicos,

entonces para todo q > 0 se tiene que (g ◦ f )∗,q = g∗,q ◦ f∗,q : Hq (X, A) −→

Hq (Z, C) .

Definici´ on 12.2 Decimos que dos aplicaciones de pares f, g : (X, A) −→ (Y, B)

son homot´ opicas si, existe una aplicaci´ on F : (X × I, A × X) −→ (Y, B) de pares,

tal que F (x, 0) = f (x) y F (x, 1) = g(x) para todo x ∈ X .

Teorema 12.9 (Axioma de homotop´ıa para homolog´ıa reducida) Sean f, g : (X, A) −→ (Y, B) aplicaciones homot´ opicas. Entonces, para todo q > 0 , se tiene que

f∗,q = g∗,q : Hq (X, A) −→ Hq (Y, B).

173

Sergio Plaza Demostraci´ on. An´aloga al caso de homolog´ıa absoluta

Ahora sea (X, A) un par topol´ogico. Sean i : A ֒→ X y j : (X, ∅) ֒→ (X, A)

las aplicaciones inclusiones. Entonces, para todo q > 0 tenemos homomorfismos inducidos i∗,q : Hq (A) −→ Hq (X) y j∗,q : Hq (X) −→ Hq (X, A) . Tenemos el siguiente resultado.

Teorema 12.10 (Axioma de exactitud) Para cualquier par topol´ ogico (X, A) , existe una sucesi´ on exacta larga en homolog´ıa i

j∗

∂

i

∗ ∗ · · · −→ Hq (A) −→ Hq (X) −→ Hq (X, A) −→ Hq−1 (A) −→ ···

donde ∂ : Hq (X, A) −→ Hq−1 (A) es el homomorfismo conector. Demostraci´ on. Definamos primero el homomorfismo conector ∂ : Hq (X, A) −→

Hq−1 (A) como sigue.

Dado un q− ciclo relativo z representando la clase de

homolog´ıa relativa [z] ∈ Hq (X, A) . Entonces por definici´on, ∂z es una (q − 1)− cadena en A , pero como ∂∂z = 0 , se sigue que ∂z es de hecho un (q−1)− ciclo

en A , y podemos considerar su clase de homolog´ıa [∂z] ∈ Hq−1 (A) . Esta clase

solo depende de la clase [z] , pues si z ∼ z ′ mod A entonces z = z ′ + ω + ∂z ′′ ,

donde ω es una q− cadena en A y z ′′ es una (q + 1)− cadena en X . Luego, ∂z = ∂z ′ + ∂ω , es decir, ∂z ∼ ∂z ′ mod A , por lo tanto [∂z] = [∂z ′ ] .

Veamos la exactitud de la cadena en Hq (X, A) , es decir, Imagen(j∗,q ) =

ker(∂) . Sea z un q− ciclo en X . Entonces ∂j∗,q [z] = [∂z] = 0 , luego Imagen(j∗,q ) ⊆

ker(∂) . Ahora, sea z un q–ciclo relativo mod A tal que ∂([z]) = 0 , esto significa que ∂z = ∂ω , donde ω es una q–cadena en A .

Por lo tanto α = z − ω es un q− ciclo en X , pues ∂α = ∂z − ∂ω = 0 .

Adem´as, la clase de homolog´ıa relativa de z − ω es la misma que la de z . Luego, j∗,q ([z − ω]) = [z] , esto significa que ker(∂) ⊆ Imagen(j∗,q ) .

El resto de la prueba es f´acil y se deja a cargo del lector.

Observaci´ on. La sucesi´on de homolog´ıa termina a la derecha en j∗

· · · −→ H0 (X) −→ H0 (X, A) −→ 0 y la exactitud en H0 (X, A) significa que Imagen(j∗,0 ) = H0 (X, A) , esto es, j∗,0 es sobreyectivo a este nivel.

174

Sergio Plaza

Teorema 12.11 (Axioma de conmutatividad). El homomorfismo conector ∂ : Hq (X, A) −→ Hq−1 (A) es natural en el par (X, A) , es decir, si f : (X, A) −→ (Y, B) es una aplicaci´ on de pares topol´ ogicos entonces el diagrama siguiente conmuta para todo q > 0

· · · −→

Hq (A) f∗,q ↓

· · · −→ Hq (B)

i∗,q

j∗,q

−→ Hq (X) −→ Hq (X, A) f∗,q ↓

i∗,q

−→ Hq (Y )

j∗,q

−→

f∗,q ↓

Hq (Y, B)

∂

−→ Hq−1 (A) ∂

f∗,q−1 ↓

−→ Hq−1 (B)

−→ · · · −→ · · ·

Demostraci´ on. F´acil, se deja a cargo del lector.

Proposici´ on 12.7 Para cada espacio topol´ ogico X y para todo q > 0 , se tiene que Hq (X, X) = 0 . Demostraci´ on. Inmediata considerando la sucesi´on exacta de homolog´ıa, pues en este caso i = Id : X −→ X . Proposici´ on 12.8 Si A ⊆ X es un retracto de X , entonces para todo q > 0 se tiene que

Hq (X) ∼ = Hq (A) ⊕ Hq (X, A) . Demostraci´ on. Sea r : X −→ A una retracci´on. Entonces, r ◦ i : A −→ A es la

aplicaci´on identidad, luego para todo q > 0 tenemos

Hq (A)

i∗,q

Id∗,q

Hq (X) r∗,q Hq (A)

Ahora, considerando la sucesi´on exacta del par (X, A) tenemos

175

Sergio Plaza

i∗,q

∂

· · · −→ Hq (A)

−→ ← r∗,q

j∗,q

∂

Hq (X) −→ Hq (X, A) −→ Hq−1 (A)

−→ · · ·

Como r∗,q ◦ i∗,q = Id∗,q , se sigue que i∗,q es inyectiva y r∗,q es sobreyectiva.

Luego {0} = ker(i∗,q ) = Im(∂) , de donde ker(∂) = Hq (X, A) = Imagen(j∗,q ) ,

en otras palabras, j∗,q es sobreyectiva. Podemos por tanto considerar la sucesi´on exacta corta

i∗,q

−→ ← r∗,q

0 −→ Hq (A)

j∗,q

Hq (X) −→ Hq (X, A) −→0

la cual se descompone. Por lo tanto, para todo q > 0 se tiene Hq (X) ∼ = Hq (A) ⊕ Hq (X, A) . Proposici´ on 12.9 Si A ⊆ X es un retracto de deformaci´ on de X , entonces ∼ Hq (X, A) = 0 para todo q > 0 . En particular Hq (X) = Hq (A) para todo q > 0 . Demostraci´ on. Como A es un retracto de deformaci´on de X , se tiene que la inclusi´on i : A ֒→ X es una equivalencia homot´opica, con inversa homot´opica la retracci´on r : X −→ A . Luego, i∗,q : Hq (A) −→ Hq (X) es un isomorfismo. De esto se sigue que en la sucesi´on exacta

i∗,q

· · · −→ Hq (A)

−→ ← r∗,q

j∗,q

∂

Hq (X) −→ Hq (X, A) −→ Hq−1 (A)

−→ · · ·

se tiene que Imagen(i∗,q ) = Hq (X) = ker(j∗,q ) , es decir, j∗,q es el homomorfismo 0 . Por lo tanto, 0 = Imagen(j∗,q ) = ker(∂) = Hq (X, A).

12.8

Teorema de excisi´ on

Sea U ⊆ A ⊆ X . Decimos que la aplicaci´on inclusi´on (X − U, A − U ) ֒→ (X, A)

176

Sergio Plaza es una excisi´ on si induce un isomorfismo Hq (X − U, A − U ) → Hq (X, A)

para todo q > 0 . Decimos en este caso que U puede ser cortado desde X, sin afectar la homolog´ıa. La prueba del siguiente teorema, no la daremos aqu´ı, el lector interesado puede consultar [5]. Teorema 12.12 Si la clausura de U est´ a contenida en el interior de A . Entonces U puede ser cortado sin afectar la homolog´ıa. Teorema 12.13 Supongamos que V ⊆ U ⊆ A y que (i) V puede ser cortado sin afectar la homolog´ıa, es decir, la aplicaci´ on inclusi´ on (X − V, A − V ) ֒→ (X, A) es una excisi´ on. (ii) (X − U, A − U ) es un retracto de deformaci´ on (X − V, A − V ) . Entonces U puede ser cortado sin afectar la homolog´ıa. Demostraci´ on. F´acil, se deja a cargo del lector.

Figura

12.9

Aplicaciones

− n Sean E+ n , En los hemisferios cerrados norte y sur de la esfera S

Notemos que

E+ n

Se tiene que

∩ E− n + (En ,

=S

n−1

S

n−1

es el ecuador de S . n

) −→ (Sn , E− on. n ) es una excisi´

Corolario 12.5 Para todo n > 1 se tiene ( R, si q = 0 o q = n , n Hq (S ) = 0, otro caso.

( n > 1 ).

177

Sergio Plaza n

Corolario 12.6 Sn−1 no es un retracto de D . Demostraci´ on. Si existe un retracto r : D

n

−→ Sn−1 , entonces i ◦ r = Id .

Considerando homolog´ıa con coeficiente sn Z y tenemos el siguiente diagrama conmutativo

Z = Hn−1 (Sn−1 )

n

Hn−1 (D ) = 0

i∗,n−1

c r∗,n−1 Id = Id∗,n−1

Hn−1 (Sn−1 ) = Z Si n > 2 . Esto es una contradicci´on. Para el caso n = 1 , esto es f´acil, s´olo hay que usar argumento de conexidad. Teorema 12.14 ( Teorema de Brouwer del punto fijo) Toda aplicaci´ on continua n

f : D −→ D

n

tiene un punto fijo.

Demostraci´ on. Supongamos que existe una aplicaci´on continua f : D sin puntos fijos. Definamos la aplicaci´on ϕ : D la figura siguiente

n

−→ Sn−1 = ∂D

n

n

−→ D

n

como muestra

ϕ(x) x f (x)

en otras palabras, ϕ(x) es obtenido intersectando el rayo que parte de f (x) y que n

pasa por x con el borde de D , que no es otra que la esfera Sn−1 . Es claro que n

si x ∈ ∂D = Sn−1 entonces ϕ(x) = x y que ϕ es continua.

178

Sergio Plaza n

Ahora, considerando la aplicaci´on inclusi´on i : Sn−1 ֒→ D , obtenemos el siguiente diagrama conmutativo i

Sn−1

D c

Id

n

ϕ

Sn−1 Ahora, aplicando homolog´ıa con coeficientes en Z se sigue el resultado a trav´es de una contradicci´on. Proposici´ on 12.10 Sea r : Sn −→ Sn la reflexi´ on r(x0 , . . . , xn ) = (−x0 , x1 , . . . , xn ) . Entonces, para todo n > 1 , el homomorfismo r∗,n : Hn (Sn ) −→ Hn (Sn ) es la multiplicaci´ on por −1 , es decir, r∗,n ([z]) = −[z] .

Demostraci´ on. La afirmaci´ on es v´alida para n = 0 siempre y cuando consideree 0 (S0 ) , como puede ser f´acilmente verificado. mos los m´odulos de homolog´ıa H Ahora procedemos por inducci´on sobre n . Tenemos el siguiente diagrama

conmutativo

iso

♯ Hn (Sn ) −→ Hn−1 (Sn−1 )

r∗,n ↓

iso

↓ r∗,n−1

♯ Hn (Sn ) −→ Hn−1 (Sn−1 )

del cual se sigue el resultado.

Proposici´ on 12.11 Cada rotaci´ on en Sn es homot´ opica a la aplicaci´ on identidad de Sn . Demostraci´ on. Recuerde que una rotaci´on en Rn es una transformaci´on lineal ortogonal con det igual a 1. Para los casos n = 2 y n = 3 , esto es trivial. Para n > 4 , se deja a cargo del lector. Proposici´ on 12.12 Sea g : Sn −→ Sn la restricci´ on de una transformaci´ on ortogonal de Rn+1 . Entonces g∗,n : Hn (Sn ) −→ Hn (Sn ) es multiplicaci´ on por ±1 ( = det(g) ).

179

Sergio Plaza

Demostraci´ on. Podemos asumir que det(g) = −1 , entonces r ◦ g y g ◦ r son −1 rotaciones, r(x0 , . . . , xn ) = (−x0 , x1 , . . . , xn ) . Luego g∗,n = r∗,n =multiplicaci´on

por −1 . Corolario 12.7 Sea α : Sn −→ Sn la aplicaci´ on antipodal, α(x) = −x . Entonces

α∗,n : Hn (Sn ) −→ Hn (Sn ) es multiplicaci´ on por (−1)n+1 . Demostraci´ on.

Sean ri : Sn −→ Sn definidas por ri (x0 , . . . , xi , . . . , xn ) =

(x0 , x1 , . . . , −xi , . . . , xn ) . Entonces α = r0 ◦ r1 ◦ · · · ◦ rn . Luego basta probar que ri∗,n : Hn (Sn ) −→ Hn (Sn ) es multiplicaci´on por −1 , esto es an´alogo al caso de r = r0 .

Ahora terminaremos una parte de las implicaciones que dejamos pendiente cuando estudiamos campos de vectores sin singularidades sobre Sn . Teorema 12.15 Sn admite un campo continuo de vectores tangentes, sin singularidades si y s´ olo si n es impar. Demostraci´ on. S´olo nos resta probar que si existe un campo continuo de vectores tangentes, sin singularidades, en Sn , entonces n es impar. Sea v un campo continuo de vectores tangentes sin singularidades sobre Sn . Como v(x) 6= 0 para todo x ∈ Sn se sigue que ω(x) = v(x)/kv(x)k ∈ Sn para todo

x , es un campo continuo de vectores tangente unitario, esto es, ω : Sn −→ Sn . Es

claro que hω(x), xi = 0 para todo x ∈ Sn .

ω(x)

−x

x

Ahora , sea F : Sn × I −→ Sn definida por F (x, t) = cos(tπ)x + sin(tπ)ω(x) .

Se tiene que F (x, 0) = x , F (x, 1/2) = ω(x) y F (x, 1) = x . Luego Id ∼ ω ∼ α , y por tanto multiplicaci´on por 1 = multiplicaci´on por (−1)n+1 de donde n + 1 debe ser par, y as´ı n debe ser impar.

180

Sergio Plaza

12.10

F´ ormula de K¨ unneth para homolog´ıa singular

El problema ahora es calcular la homolog´ıa singular del espacio producto X × Y de dos espacios topol´ogicos X e Y , de los cuales conocemos su homolog´ıa singular.

Denotemos por S∗ (X) = S∗ (X, Z) y S∗ (Y ) = S∗ (Y, Z) . Queremos conocer S∗ (X × Y ) . Eilenberg–Zilber establecieron que S∗ (X × Y ) es cadena equivalente al producto tensorial S∗ (X) ⊗ S∗ (Y ) . Como consequencia inmediata, para todo q > 0 , tenemos que

Hq (X × Y ) ∼ = Hq (S∗ (X) ⊗ S∗ (Y )) . Teorema 12.16 (K¨ unneth) Para todo n > 0 , la siguiente sucesi´ on exacta corta

0→

X

p+q=n

µ

Hp (X) ⊗ Hq (Y ) → Hn (X × Y ) →

X

p+q=n−1

Tor(Hp (x), Hq (Y )) → 0

de grupos abelianos se descompone. Observaci´ on. Sea G un grupo abeliano. Entonces existe una resoluci´on libre de G 0 −→ R

β

−→ F

α

−→ G −→ 0

es decir, la sucesi´on es exacta (corta) y los grupos F y G son abelianos libres. Esto significa que una resoluci´on libre corresponde a la elecci´on de generadores y relaciones para el grupo abeliano G . La elecci´on no es u ´nica, sin embargo si 0

−→ R1

β1

−→ F1

α

1 −→ G

es otra resoluci´on libre de G , entonces existen homomorfismos ψ : F −→ F1 y θ : R −→ R1 , que hacen conmutativo el diagrama siguiente 0 0

−→ −→

R θ↓ R1

β

−→ −→

α

F ψ↓ F1

−→ −→

G Id ↓ G

−→ 0 −→ 0

Ahora, sea H un grupo abeliano, entonces la siguiente sucesi´on es exacta 0

−→ ker(β ⊗ 1) −→ R ⊗ H

β⊗1

−→ F ⊗ H

α⊗1

−→ G ⊗ H

−→ 0

181

Sergio Plaza

y se define T or(G, H) = ker(β ⊗ 1) . De hecho, puede probarse que T or(G, H) no depende de la elecci´on de la resoluci´on libre, es decir, est´a bien definido.

Si consideramos homolog´ıas Hq (X, G) y Hq (Y, G′ ) , donde G y G′ son grupos abelianos. Tenemos el siguiente Teorema 12.17 (K¨ unneth) Sean G y G′ grupos abelianos tales que T or(G, G) = 0 , entonces la siguiente sucsi´ on de grupos de homolog´ıa singular se descompone 0 −→ −→

X

p+q=n

X

Hp (X, G) ⊗ Hq (Y, G′ ) −→ Hn (X × Y, G ⊗ G′ ) −→

p+q=n−1

Tor(Hp (X, G), Hq (Y, G′ )) −→ 0

Adem´ as, la sucesi´ on es natural sobre X e Y y tambi´en sobre los coeficientes G y G′ , (La descomposici´ on no es natural). Ejemplo. Para G = Z y X = Sn tenemos H0 (Sn ) ∼ =Z∼ = Hn (Sn ) y Hq (Sn ) = 0 en otro caso. Luego, por la f´ormula de K¨ unneth, obtenemos, si m 6= n , entonces ( Z si q = 0, m, n, m + n , Hq (Sn × Sm ) = 0 otro caso. y para m = n , tenemos n

n

Hq (S × S ) =

      

Z

si q = 0 o q = 2n ,

Z ⊕ Z si q = n 0

otro caso.

Ejemplo. Para el plano proyectivo RP2 , tenemos H0 (RP2 × RP2 ) ∼ =Z 2 2 ∼ H1 (RP × RP ) = Z2 ⊕ Z2 H2 (RP2 × RP2 ) ∼ = Z2

Hq (RP2 × RP2 ) = 0, para q > 3.

12.11

Sucesi´ on de Mayer–Vietoris

Sean X1 , X2 subespacios de X . Si conocemos los grupos de homolog´ıa singular de X1 , X2 y X1 ∩ X2 ¿Qu´e podemos decir del grupo de homolog´ıa de X = X1 ∪ X2 ?

(compare con el resultado de Seifert–van Kampen).

182

Sergio Plaza

Sean i1 : X1 ∩ X2 ֒→ X1 , i2 : X1 ∩ X2 ֒→ X2 , j1 : X1 ֒→ X1 ∪ X2 y

j2 : X2 ֒→ X1 ∪ X2 las inclusiones can´onicas. La sucesi´on exacta

· · · −→

Hq (X1 ∩ X2 )

i1∗ ⊕i2∗

−→

Hq (X1 ) ⊕ Hq (X2 )

j1∗ −j2∗

−→

∂

Hq (X1 ∪ X2 ) −→ Hq−1 (X1 ∩ X2 )

es llamada la sucesi´ on de Mayer–Vietoris.

12.12

Sucesi´ on de Mayer-Vietoris para homolog´ıa reducida

Como antes sean X1 , X2 subespacios de X , los cuales satisfacen X1 ∩ X2 6= ∅ y

X1 ∪ X2 = Int(X1 ) ∪ Int(X2 ) . La siguiente sucesi´on de homolog´ıa reducida

˜ q (X1 ∩X2 ) −→ H ˜ q (X1 )⊕H ˜ q (X2 ) −→ H ˜ q X1 ∪X2 ) −→ H ˜ q−1 (X1 ∩X2 ) −→ · · · · · · −→ H es exacta. Ejemplo. Sea X el trebol de n p´etalos. Entonces X = X1 ∪ X2 ∪ · · · ∪ Xn , donde todos los Xi est´an pegados por el mismo punto

X1

X2

Entonces

−→ · · ·

183

Sergio Plaza

Hq (X1 ∪ X2 ∪ · · · ∪ Xn ) =

  Z    n  M     

si q = 0 , Z

si q = 1

i=1

0

otro caso.

Cap´ıtulo 13

Homolog´ıa de algunos espacios 13.1

Complejos esf´ ericos

Consideramos ahora una t´ecnica para construir espacios topol´ogicos, as´ı c´omo tambi´en veremos como calcular sus grupos de homolog´ıa.

13.1.1

Espacio adjunci´ on

Sean X e Y espacios topol´ogicos. Dado un subespacio A de X y una aplicaci´on continua f : A −→ Y construimos un nuevo espacio, X ∪f,A Y , llamado espacio

adjunci´ on de X e Y a trav´es de A y f . Para esto consideramos la uni´on disjunta X ∪ Y de X e Y , con la topolog´ıa obvia. Identificamos A ∋ x ∼ f (x) ∈ Y .

Definimos X ∪f,A Y = (X ∪ Y )/(x ∼ f (x)) . Note que la proyecci´on p :

X ∪ Y −→ X ∪f,A Y aplica Y homeomorficamente sobre p(Y ), e identificamos este subespacio con Y . Si f¯ : X −→ X ∪f,A Y es la restricci´on p|X, entonces, m´odulo identificaci´on f¯|A = f . Sea (X, A) un par topol´ ogico, si existe una vecindad B de A en X tal que

A 6= B y A es un retracto de deformaci´on fuerte de B, decimos que B es un

collar A en X .

Restringimos ahora los pares (X, A) a considerar, con el objeto de calcular sus homolog´ıas.

184

185

Sergio Plaza En lo que sigue consideramos s´olo pares (X, A) tales que (1) X es Hausdorff, (2) A es cerrado en X,

(3) puntos de X − A pueden ser separados de A, es decir, para cada x ∈ X − A, existen vecindades disjuntas U y V, con x ∈ U y A ⊆ V,

(4) A tiene collar en X . En este caso decimos que (X, A) es un par collar. Ejemplos n

(1) (D , Sn−1 ) es un par collar. n

En este caso decimos que el espacio D ∪f,Sn−1 Y se obtiene desde Y adjun-

tando una n–c´elula v´ıa f .

(2) Sea M una variedad con borde y sea A = ∂M . Entonces (M, ∂M ) es un par collar. Proposici´ on 13.1 Sea (X, A) un par collar e Y un espacio de Hausdorff. Sea f : A −→ Y una aplicaci´ on continua y sea Z = X ∪f,A Y . Entonces (Z, Y ) es

un par collar. M´ as a´ un, si B es un collar de A en X, entonces Y ∪ f (B) es un collar de Y en Z . Adem´ as, f¯ aplica X − A homeomorficamente sobre Z − Y . Definici´ on 13.1 Un homeomorfismo relativo es una aplicaci´ on de pares f : (X, A) −→ (Y, B) que aplica X − A homeomorficamente sobre Y − B .

Definici´ on 13.2 Un complejo esf´erico es un espacio topol´ ogico construido como sigue. Comenzamos con un n´ umero finito de puntos, y sucesivamente adjuntamos c´elulas de dimensiones variadas, pero s´ olo en un n´ umero finito de ellas. Observaci´ on. Es claro que un complejo esf´erico es un espacio de Hausdorff. Ejemplos. n

(1) Sean X = D , A = Sn−1 , Y = {∞} y f : X −→ Y . n

Entonces D ∪f,Sn−1 {∞} = Sn .

186

Sergio Plaza n

(2) Sean X = D , A = Y = Sn−1 y Id : Sn−1 −→ Sn−1 la aplicacci´on n

n

identidad. Entonces D ∪Id,Sn−1 Sn−1 = D .

(3) Sean Y = S1 , f : S0 −→ Y aplicaci´on constante sobre un punto p de 1

Y . Entonces D ∪f,S0 S1 = figura 8 . Repitiendo este procedimiento (r − 1)− veces obtenemos una rosa con r p´etalos.

(4) Sea Y = G2 .

x0

α

β

x0

β

x0 β

x0

α

α

x0

2 Usando que D ∼ = I 2 y que el per´ımetro de I 2 es homeomorfo a S1 , adjun-

tando una 2–c´elula a G2 se tiene que I 2 ∪f,∂I 2 G2 = T2 . (5) CPn (resp. RPn ) es obtenido desde CPn−1 (resp. RPn−1 ) adjuntando una 2n–c´elula (resp. una n–c´elula) v´ıa la proyecci´on can´onica f : S2n−1 −→ CPn−1 (resp. f : Sn−1 −→ RPn−1 ).

Observaci´ on. Como CP1 ∼ = S2 , la proyecci´on can´onica f : S3 −→ CP1 ∼ = S2 es tal que para cada z ∈ S2 , la preim´agen f −1 (z) ∼ = S1 . En este caso, f es llamada aplicaci´ on de Hopf y el esquema S1 ֒→ S3 → S2 es llamado fibraci´ on de Hopf.

(6) Sea H el ´algebra no conmutativa de los cuaternios.

Tenemos HPn es

obtenido desde HPn−1 adjuntando una 4n− c´elula v´ıa la proyecci´on f : S4n+3 −→ HPn−1 .

187

Sergio Plaza

Se tiene que HP1 ∼ = S4 , luego tenemos otra aplicaci´on de Hopf f : S7 −→ S4 con fibra f −1 (q) ∼ = S3 . f.

Supongamos que Z = X ∪f,A Y y sea f : X −→ Z la extensi´on can´onica de

Teorema 13.1 Si (X, A) es un par collar. Entonces f∗,q : Hq (X, A) −→ Hq (Z, Y ) es un isomorfismo, para todo q > 0 . Demostraci´ on. Sea B un collar de A en X . Consideremos el siguiente diagrama conmutativo i

Hq (X, A) −→ f1 ↓

Hq (X, B) ↓ f2

j

Hq (X, Z) −→ Hq (Z, Y ∪ f¯(B)) donde i, j son los homomorfismos inducidos por las respectivas inclusiones can´onicas y f1 , f2 son los homomorfismos inducidas por f . Sie i , j y f2 son isomorfismos, entonces f1 tambi´en lo es. Afirmaci´on. f2 es isomorfismo. En efecto, consideremos el diagrama conmutativo siguiente Hq (X − A, B − A)

f3 ↓ Hq (Z − Y, f¯(B − A))

excisi´ on

−→

Hq (X, B)

excisi´ on

Hq (Z, Y ∪ f¯(B))

−→

↓ f2

y como f3 es inducido por un homeomorfismo, se sigue que es un isomofismo. Luego f2 es isomorfismo como afirmamos. Lema 13.1 (de los cinco) Dado un diagrama de R–m´ odulos y homeomorfismos, con todos los rect´ angulos conmutativos A1 α↓ B1

f1

−→ g1

−→

A2 β↓ B2

f2

−→ g2

−→

A3 γ↓ B3

f3

−→ g3

−→

A4 δ↓ B4

f4

−→ g4

−→

A5 ε↓ A5

donde las filas son exactas y α , β , δ y ǫ son isomorfismos. Entonces γ es isomorfismo.

188

Sergio Plaza

Ahora, usando el Lema de los Cinco y el hecho que A (resp. Y ) es un retracto de deformaci´on de B (resp. de Y ∪ f¯(B) ) se prueba que i (resp. j ) es un isomorfismo. Tenemos el siguiente resultado.

Lema 13.2 (Barratt–Whitehead) Dado un diagrama de R–m´ odulos y homomorfismos en el cual todos los rect´ angulos son conmutativos y las filas son exactas

··· → ··· →

Ci+1 γi+1 ↓ ′ Ci+1

→ →

fi

→

Ai αi ↓

Bi βi ↓

fi

A′i

Bi′

→

gi

→ gi

→

h

→i

Ci γi ↓

hi

Ci′

→

Ai−1 αi−1 ↓

→ Bi−1

→ ···

′ → Bi−1

→ ···

βi−1 ↓

A′i−1

Si los homomorfismos γi son isomorfismos, entonces entonces existe una sucesi´ on exacta larga Φ

Ψ

Γ

i i i · · · −→ Ai −→ A′i ⊕ Bi −→ Bi′ −→ Ai−1 −→ · · ·

donde Φi = (αi

L

fi ) ◦ ∆ , Ψi = ∇′ ◦ (−fi′

∆(a) = (a, a) y ∇′ (x, y) = x + y .

L

βi ) , Γi = hi ◦ γi−1 ◦ gi′ , donde

´ Demostraci´ on. Algebra. Aplicando este lema a la escalera ··· →

Hq (A) fq ↓

· · · → Hq (Y )

→ Hq (X) → Hq (X, A) → f¯q ↓ ≈↓ →

Hq (Z)

→

→

Hq (Z, Y )

Hq−1 (A) ↓

→ Hq−1 (X) → · · ·

Hq−1 (Y ) →

↓

Hq−1 (Z)

→ ···

obtenemos la sucesi´on exacta larga (sucesi´on de Mayer–Vietoris), donde Z es el espacio adjunci´on Z = X ∪f,A Y · · · −→ Hq (A) −→ Hq (Y ) ⊕ Hq (X) −→ Hq (Z) −→ Hq−1 (A) −→ · · · n

Ahora, para el caso especial (X, A) = (D , Sn−1 ), tenemos que n

♯ ∂ : Hq (D , Sn−1 ) −→ Hq−1 (Sn−1 )

es un isomorfismo para todo q > 0 . Del diagrama conmutativo Hq (D, Sn−1 ) ↓

Hq (Z, Y )

♯ −→ Hq−1 (Sn−1 )

−→

fq−1 ↓

♯ Hq−1 (Y )

189

Sergio Plaza en la sucesi´on exacta del par (Z, Y ) · · · Hq (Y ) −→ Hq (Z) −→ Hq (Z, Y ) −→ Hq−1 (Y ) −→ · · ·

podemos reemplazar el m´odulo de homolog´ıa relativo del par (Z, Y ) por la homolog´ıa reducida de Sn−1 , es decir, tenemos la sucesi´on exacta larga ∗ fq−1

♯ ♯ ♯ ♯ · · · → Hq (Y ) → (Z) → Hq−1 (Sn−1 ) −→ Hq−1 (Y ) → Hq−1 (Z) → Hq−1 (Sn−1 ) → · · · ♯ Ahora como Hq−1 (Sn−1 ) = 0 excepto para q = n, obtenemos

(a) Hq♯ (Z) ∼ = Hq♯ (Y ) para q 6= n y q 6= n − 1, ♯ ♯ ♯ ♯ (b) Hn−1 (Z) ∼ = Hn−1 (Y )/Imagen(fn−1 ) = coker(fn−1 ) .

(c) Una sucesi´on exacta ψ

∗ ) −→ 0 0 −→ Hn♯ (Y ) −→ Hn♯ (Z) −→ ker(fn−1 ∗ Observaci´ on. Si ker(fn−1 ) es un m´odulo libre, esta sucesi´on exacta se descompone

y podemos escribir Hn♯ (Z) ∼ = Hn−1 (Y )

M

∗ ker(fn−1 ).

Nota. Descomponer una sucesi´on exacta corta significa que existe un homeomor∗ fismo ker(fn−1 ) −→ Hn♯ (Z) que es una inversa a la derecha de ψ. Por ejemplo,

si R = Z

o

∗ R es un cuerpo esto ocurre, en otras palabras, ker(fn−1 ) es un

R–m´odulo libre. Teorema 13.1 n

Hq (CP ) =

(

0

si q > 2n o q es impar; ,

R

si q es par y 0 6 q 6 2n .

Demostraci´ on. Para n = 0 , CP0 = punto . Por inducci´on, CPn es obtenido de CPn−1 adjuntando una 2n− c´elula v´ıa la proyecci´on can´onica f : S2n−1 −→ CPn−1 . Luego por el corolario anterior, basta considerar s´olo cuando q = 2n y q = 2n − 1 . Tenemos H2n−1 (CPn ) =

∗ ∗ 0 , pues H2n−1 (CPn−1 ) . Ahora, H2n (CPn ) = ker(f2n−1 ) . Como f2n−1 es el n ∼ homomorfismo cero, tenemos que H2n (CP ) = R .

190

Sergio Plaza

Teorema 13.2 Sea f : Sn −→ RPn la proyecci´ on can´ onica. Si n es par fn∗ = 0 . Si n es impar, existen isomorfismos Hn (RPn ) ∼ = R ∼ = Hn (Sn ) tales que f ∗ es n

multiplicaci´ on por 2, es decir, se tenemos el siguiente diagrama conmutativo ×2

−→

R ≈↓

R ↓≈

−→ Hn (RPn )

n

Hn (S )

Demostraci´ on. Sabemos que RPn es obtenido de RPn−1 adjuntando D proyecci´on can´onica f : S

n−1

−→ RP

n−1

. Luego, f : (D, S

n−1

induce isomorfismos en homolog´ıa.

n

v´ıa la

n

) −→ (RP , RPn−1 )

Consideremos la escalera obtenida desde la aplicaci´on f : (Sn , Sn−1 ) −→

n

(RP , RPn−1 ) 0 −→

Hn (Sn ) f1 ↓

n

0 −→ Hn (RP )

j

−→ j′

−→

∂

Hn (Sn , Sn−1 ) f2 ↓ n

n−1

Hn (RP , RP

Hn−1 (Sn−1 )

−→

f3 ↓

∂′

−→ 0

) −→ Hn−1 (RPn−1 ) −→ 0

f1 , f2 y f3 son inducidos por f . La fila superior se descompone, esto por razones algebraicas, pero para calcular f2 necesitamos descomponer de manera compatible con las aplicaciones inducidas. La idea es colapsar Sn−1 ⊂ Sn a un punto, esto nos da Sn ∨ Sn , donde cada esfera es aplicada homeomorficamente sobre RPn /RPn−1 . Sucesiones exactas formalizan esta noci´on. Por sucesi´on exacta larga de un triple, excisi´on y lema de descomposici´on en suma directa, obtenemos

Hn (Sn , En+ )

≈

Hn (Sn , Sn−1 )

Hn (En− , Sn−1 )

Hn (Sn , En− )

≈

Hn (En+ , Sn−1 )

191

Sergio Plaza

n donde E± ⊂ Sn son los hemisferios superior e inferior, respectivamente. Sea

n−1 e± : (En , Sn−1 ) −→ (E± ) el homeomorfismo inverso de la proyecci´on son,S p bre las primeras n coordenadas. Tenemos que e± (x) = (x, ± 1 − kxk) . Ahora, n

f ◦ e± : (D , S n−1 ) −→ (RPn , RPn−1 ) induce isomorfismos en homolog´ıa, luego f2 es sobreyectiva.

n

n

Sea Φ : (D , Sn−1 ) −→ (D , Sn−1 ) definida por Φ(x) = −x . Tenemos que

Φ | Sn−1 es la aplicaci´on antipodal, y

f ◦ e− = f ◦ e+ ◦ Φ ,

pues e+ ◦ Φ(x) = (−x,

p 1 − kxk) = −e− (x) .

Sean in ∈ Hn (Sn ) e in−1 ∈ Hn−1 (Sn−1 ) generadores de modo que en isomor-

fismo

Hn (Sn ) −→ Hn−1 (Sn−1 ) in

7→

in−1

Ahora tenemos Hn (Sn )

Hn (Sn , En− )

n

Hn (D , Sn−1 )

Hn−1 (Sn−1 )

(e+ )∗ n

Hn (D , Sn−1 ) n

n Definamos K ∈ Hn (D , S n−1 ) por la condici´on ∂(K) = in−1 , y K ± Hn (E± , Sn−1 )

por K ± = (e± )∗ (K) y sea η ∈ Hn (RPn , RPn−1 ) por η = f2 (K + ) . Por con-

strucci´on η genera Hn (RPn , RPn−1 ) . Pensamos K ± como generadores de los sumandos Hn (Sn ) y Hn (Sn , Sn−1 ) . Ahora tenemos (a) Jin = (K + , −K − ) . Por naturalidad, ∂(K ± ) = in−1 . Luego un generador para ker(∂) es (K + , −K − ) . Por exactitud j(in ) = m(K + , −K − ) para alg´ un m ∈ R . Tenemos mK + = K + es decir, m = 1 .

(b) f2 (K − ) = (−1)n η . En efecto, f2 (K − ) = (f ◦ e− )∗ (K) = (f ◦ e+ ◦ Φ)∗ (K) = (−1)n (f ◦ e+ )∗ (K) = (−1)n f2 (K + ) .

De (a) y (b) se tiene que f2 ◦ j(in ) = (1 − (−1)n )η .

192

Sergio Plaza

Cuando n es par f2 ◦ j(in ) = 0 . Como ∂ ′ es inyectivo, f∗n = f1 es la aplicaci´on cero.

Cuando n es impar, obtenemos que j ′ = 0 pues f2 es inyectivo y f3 = f∗n−1 = 0 . Luego, j ′ es un isomorfismo y Hn (RPn ) ∼ = R es generado por (j ′ )−1 (η) . Entonces, f∗n (in ) = f1 (in ) = (j ′ )−1 ◦ f2 ◦ j(in ) = 2(j ′ )−1 η . Teorema 13.2 Tenemos   0     R 2 Hq (RPn ) = R   2    R

si q > n si q es par y 1 < q 6 n si q es impar y 1 6 q 6 n − 1

si q = 0 y q = n si n es impar .

donde R2 es el subm´ odulo de R aniquilado por multiplicaci´ on por 2 . Demostraci´ on. Por inducci´on sobre n . ∼ S1 y el resultado es inmediato. Por otra parte, Para n = 1, se tiene que RP1 = tenemos tambi´en que Hq (RPn ) ∼ = Hq (RPn−1 ) para q 6 n−2 y Hq (RPn ) = 0 para q > n . Tenemos tambi´en la sucesi´on exacta f∗

0 −→ Hn (RPn ) −→ Hn−1 (Sn−1 ) −→ Hn−1 (RPn−1 ) −→ Hn−1 (RPn−1 ) −→ 0 Si n es par, f∗ es multiplicaci´on por 2, luego Hn (RPn ) = R2 y Hn−1 (RPn ) ∼ = R/2R . Si n es impar, f∗ ≡ 0, luego Hn (RPn ) ∼ = R y Hn−1 (RPn ) ∼ = R2 . Por ejemplo, para R = Z, tenemos    

Z

si q = 0 ,

Z/2

si q = 1 ,

0   Z        Z/2 3 Hq (RP ) = 0     Z     0

si q > 2 .

2

Hq (RP ) =

  

si q = 0 , si q = 1 , si q = 2 , si q = 3 , si q > 4 .

193

Sergio Plaza y para R = Z, tenemos

n

Hq (RP ) =

(

Z/2 mboxsi 0

si

q 6 n, q > n.

Teorema 13.3 Sea T2 el toro 2− dimensional. Entonces

2

Hq (T ) =

      

R R×R 0

si q = 0 y q = 2 , si q = 1 , si q > 2 .

Demostraci´ on. T2 es obtenido de Y = G2 adjuntando una 2− c´elula. Ahora, H1 (G2 ) es el R–m´odulo libre generado por las clases de homolog´ıa α y β de los caminos cerrados φ ◦ a y φ ◦ b, donde Φ : I 2 −→ T2 es dada por Φ(x, y) = (e2πix , e2πiy ), y la aplicaci´on de adjunci´on f : S1 −→ G2 aplica el

generador de H1 (S1 ) sobre α + β − α − β = 0, luego f∗1 es el homomorfismo cero. El resto de los argumentos es f´acil.

De modo an´alogo si Tg es la superficie compacta y orientable de g´enero g, es decir, una esfera con g–asas, entonces

Hq (Tg ) =

    R   

si q = 0 y q = 2 ,

2g

si q = 1 ,

0

si q > 2 .

R

Para calcular la homolog´ıa de superficies compactas no orientables, veamos primero el caso del plano proyectivo RP2 . Este es obtenido del cuadrado identificando los lados del borde como indica la figura

figura en otras palabras, es obtenida a partir de G2 adjuntando una 2− c´elula v´ıa la aplicaci´on del per´ımetro como es descrito en la figura, es decir, a21 a22 . M´as general, aplicando el per´ımetro de un 2h–pol´ıgono v´ıa la expresi´on a21 a22 · · · a2k

obtenemos una superficie Uh (U1 = RP2 ) . La homolog´ıa de Uh viene dada por

194

Sergio Plaza

  R     Rh−1 × R/2 Hq (Uh ) =  R2     0

si q = 0 , si q = 1 , si q = 2 , si q > 2 .

Notemos que en este caso f∗1 : H1 (S1 ) −→ H1 (Gh ) ∼ = Rh aplica el generador

de H1 (S1 ) en 2(a1 + · · · + an ) , donde a1 , . . . , an son los generadores libres de

H1 (Gh ) . El cokernel de este homomorfismo es isomorfo a Rh−1 × R/2, pues a1 +

· · · + ak , a2 , . . . , ah son generadores libres, mientras que el kernel es R2 .

Cap´ıtulo 14

Homolog´ıa de suspensi´ on, cilindro y cono 14.1

Espacio suspensi´ on

En el espacio X × I identificamos, respectivamente, los subespacios X × {0} y

X × {1} a un s´olo punto u y v , obteniendo el espacio cuociente S(X) , los puntos u y v son llamados polos sur y polo norte de S(X) , respectivamente.

•

u

S(X)

U

X × {1/2} ≈ X

I

V •

X

v

Sea p : X × I −→ S(X) la proyecci´on can´onica y sea i : X ֒→ S(X) la

195

196

Sergio Plaza

inclusi´on i(x) = p(x, 1/2) . Claramente usando i podemos identificar X con p(X, 1/2) ⊆ S(X) .

Sean U, V ⊆ S(X) los subespacios definidos por U

= {p(x, t) : x ∈ X, 1/2 6 t 6 1}

V

= {p(x, t) : x ∈ X, 0 6 t 6 1/2} .

Es claro que U y V son contractibles. Se tienea dem´as que U ∩ V = X y

U ∪ V = S(X) .

Como U es contractible, en la sucesi´on exacta del par (U, X) se tiene que ∂ : Hq+1 (U, X) −→ Hq♯ (X)

es un isomorfismo, para todo q > 0 . Considerando la sucesi´on exacta de homolog´ıa reducida del par (S(X), V ) . Como V es contractible, se tiene que ♯ ∂∗ : Hq+1 (S(X)) −→ Hq+1 (S(X), V )

es un isomorfismo para cada q > 0 . Ahora, sea e : (U, X) ֒→ (S(X), V ) la aplicaci´on inclusi´on. Se tiene que e es una excisi´on del conjunto abierto M = Int(V ) = S(X) − U del par (S(X), V ) .

Consideremos el conjunto abierto N ⊆ S(X) definido por N = {p(x, t) : x ∈ X, 0 6 t < 1/3}.

Se tiene que N ⊆ M y la aplicaci´on inclusi’on h(U, X) ֒→ (S(X) − N , V − N ) es una equivalencia homot´opica. Luego para cada q > 0 e∗ : Hq+1 (U, X) −→ Hq+1 (S(X), V ) es un isomorfismo. Tenemos el siguiente diagrama de isomorfismos e

∗ Hq+1 (U, X) −→ Hq+1 (S(X), X)

∂↓

Hq♯ (X)

↓ j∗

♯ Hq+1 (S(X))

197

Sergio Plaza luego la composici´on ♯ σ = ∂∗ ◦ e∗ ◦ ∂ −1 : Hq♯ (X) −→ Hq+1 (S(X))

es un isomorfismo, llamado isomorfismo de suspensi´ on. Ejemplo. Tenemos que Sn+1 = S(Sn ) , para todo n > 0 . De aqu´ı ( R si q = n ♯ n Hq (S ) = 0 si q 6= n y

Hq (Sn ) =

      

n 6= q = 0 o n = q 6= 0

R

si

R⊕R

si

n=q=0

si

q 6= n 6= 0 .

0

Dada una aplicaci´on continua f : X −→ Y . Definamos S(f ) : S(X) −→

S(Y ) por S(f )(p(x, t)) = p(f (x), t) . La aplicaci´on S(f ) es llamada la aplicaci´ on suspensi´ on de la aplicaci´on f .

Proposici´ on 14.1 Para cada aplicaci´ on continua f : X −→ Y y cada q > 0 , se tiene el siguiente diagrama conmutativo σ

Hq♯ (X) −→ f∗ ↓

Hq♯ (Y

)

σ

♯ Hq+1 (S(X))

↓ S(f )∗

−→ Hq+1 ♯(S(Y ))

donde σ es el correspondiente isomorfismo suspensi´ on. Demostraci´ on. A cargo del lector.

14.2

Cilindro de una aplicaci´ on

Sea f : X −→ Y una aplicaci´on continua. Consideremos la suma topol´ogica W = X × I + Y . Para cada x ∈ X , identificamos los puntos (x, 1) ∈ X × {1} con f (x) ∈ Y . El espacio cuociente

Z = Z(f )

es llamado el cilindro de la aplicaci´ on f : X −→ Y .

198

Sergio Plaza

Sea π : W −→ Z la proyecci´on can´onica. Consideremos los espacios X

e Y como subespacios de Z por medio de las incrustaciones i : X −→ Z , y h : Y −→ Z , definidas por i(x) = π(x, 0) y h(y) = π(y) , respectivamente.

De esta forma X e Y pueden ser considerados subespacios disjuntos de Z .

Lema 14.1 El subespacio Y de Z(f ) es un retracto de deformaci´ on fuerte. Demostraci´ on. Geom´etricamente, π(X × I) se retracta sobre la parte de Y

correspondiente a f (X) . Para definir la retracci´on consideremos la aplicaci´on dt : Z −→ Z definida por dt (z) =

(

π(x, s + t(1 − s))

si

z

si

z = π(x, s) ∈ π(X × I)

z∈Y .

Es claro que d0 = Id y que d1 aplica Z en Y , ahora es inmediato ver que dt (z) = z para todo z ∈ Y y cada t ∈ I . Corolario 14.1 La aplicaci´ on inclusi´ on h : Y ֒→ Z(f ) es una equivalencia homot´ opica. Demostraci´ on. Consideremos el siguiente diagrama, no conmutativo, (i 6= h ◦ f ) f

X

i

Y

h Z

Tenemos el siguiente lema. Lema 14.2 Las aplicaciones i y h ◦ f son homot´ opicas. Demostraci´ on. Definimos F : X × I −→ Z por F (x, t) = π(x, t) . Tenemos F (x, 0) = i y F (x, 1) = h ◦ f (x) .

De lo anterior, Para la homolog´ıa reducida tenemos la siguiente proposici´on.

199

Sergio Plaza Proposici´ on 14.2 Para cada q > 0 , tenemos que el diagrama siguiente

f∗

Hq♯ (X)

i∗

Hq♯ (Y )

h∗ Hq♯ (Z)

es conmutativo, esto es, i∗ = h∗ ◦ f∗ . Adem´ as, h∗ es un isomorfismo. Ahora consideremos la aplicaci´on inclusi´on g : Y ֒→ (Z, X) Tenemos que el diagrama h

X

g

Y

j (Z, X)

es conmutativo, es decir, g = j ◦ h . Podemos considerar entonces la sucesi´on f∗

g∗

∂

· · · −→ Hq (X) −→ Hq (Y ) −→ Hq (Z, X) −→ Hq−1 (X) −→ · · · llamada de homolog´ıa del cilindro de la aplicaci´ on f : X −→ Y . Proposici´ on 14.3 La sucesi´ on de homolog´ıa del cilindro de una aplicaci´ on f : X −→ Y es exacta. Demostraci´ on. Tenemos la sucesi´on exacta del par (Z, X) , i

j∗

∂

∗ · · · −→ Hq (X) −→ Hq (Z) −→ Hq (Z, X) −→ Hq−1 (X) −→ · · ·

y considerando los diagramas conmutativos anteriores, tenemos g : Y ֒→ (Z, X)

200

Sergio Plaza Tenemos que el diagrama

Hq (Y ) f∗

≈

g∗ h∗

i∗ Hq (X)

j∗ Hq (Z)

∂ Hq (Z, X)

Hq (X)

Ahora es f´acil probar que la sucesi´on f∗

g∗

∂

· · · −→ Hq (X) −→ Hq (Y ) −→ Hq (Z, X) −→ Hq−1 (X) −→ · · · es exacta. Corolario 14.2 El homomorfismo inducido f∗ : Hq (X) −→ Hq (Y ) es un isomorfismo si y s´ olo si Hq (Z, X) = 0 para cada q > 0 . Resultado an´alogo vale para la homolog´ıa reducida.

14.3

Cono de una aplicaci´ on

Sea f : X −→ Y una aplicaci´on continua, y sea Z(f ) el cilindro de f . Si

identificamos el subespacio X de Z(f ) a un punto, digamos u , obtenemos un espacio cuociente, C(f ) , llamado el cono de la aplicaci´ on f . El punto u es llamado el v´ertice de C(f ) . Sea w : Z(f ) −→ C(f ) la proyecci´on can´onica. Observaci´ on. El cono C(f ) de f puede ser obtenido directamente definiendo el espacio cuociente de W = X × I + Y e identificando X × {0} ∼ u y (x, 1) ∼ f (x) , para cada x ∈ X .

Sea ρ : W −→ C(f ) la proyecci´on can´onica. Tenemos ρ = w ◦ π . El espacio

Y puede ser considerado como subespacio de C(f ) por medio de la aplicaci´on P (f ) : Y −→ C(f ) definida por P (f )(y) = ρ(y) . La aplicaci´on P (f ) es llamada inscrustaci´ on asociada a la aplicaci´on f : X −→ Y .

201

Sergio Plaza

Como P (f ) = ρ|Y y h = π|Y se tiene el siguiente diagrama conmutativo

Y h

Z(f )

P (f )

C(f )

ω

y tenemos la siguiente proposici´on Proposici´ on 14.4 Para cada q > 0 , el siguiente diagrama es conmutativo

Hq (Y ) h∗

Hq (Z(f ))

P (f )∗

Hq (C(f ))

ω∗

An´alogo resultado vale para la homolig´ıa reducida. Teorema 14.1 Sea f : X −→ Y , con X 6= ∅ , entonces para cada q > 0 , la suceci´ on

f∗

P (f )∗

Hq♯ (X) −→ Hq♯ (Y ) −→ Hq (C(f )) es exacta. Demostraci´ on. Consideremos los subespacios K

=

{π(x, t) : x ∈ X, 0 6 t 6 1/2}

H

=

Int(K) = {π(x, t) : x ∈ X, 0 < t < 1/2}

B

=

∂K = {π(x, t) : x ∈ X , t = 1/2}

T

=

Z − H,

de Z(f ) . La parte c

d

∗ ∗ Hq♯ (B) −→ Hq (T ) −→ Hq (T, B)

202

Sergio Plaza

de la sucesi´on exacta del par (T, B) es exacta, es decir, Imagen(c∗ ) = ker(d∗ ) , donde c : B ֒→ T y d : T ֒→ (T, B) son la aplicaci´on inclusi´on. Sea k : X −→ B

definida por k(x) = π(x, 1/2) . Consideremos el diagrama X k↓ B

f

−→ Y

↓g

c

inclusi´ on

−→ T

se tiene que c ◦ h 6= g ◦ f . Por otra parte, F : X × I −→ T definida por

F (x, t) = π(x, (t + 1)/2) satisface F (x, 0) = c ◦ k(x) y F (x, 1) = g ◦ f (x) . Luego

el diagrama siguiente es conmutativo

f∗

Hq♯ (X) −→ Hq♯ (Y ) k∗ ↓

Hq♯ (B)

c∗

−→

↓ g∗

Hq♯ (T )

Ahora, como k es un homeomorfismo e Y es un retracto de deformaci´on de T , se tiene que k∗ y g∗ son isomorfismos. Luego Imagen(f∗ ) = g∗−1 (Imagen(c∗ )) . Ahora sean M , U ⊆ C(f ) los subespacios definidos por U = w(K) y M = w(H) . Consideremos el diagrama

T

ℓ

Z(f )

ω

C(f ) j

d (T, B)

θ

(C(f ) − M, U − M )

(C(f ), U )

e

donde θ es definido por la proyecci´on w y d , e , j , l son las respectivas inclusiones. Tenemos que el rect´angulo es conmutativo, es decir, e ◦ θ ◦ d = j ◦ w ◦ l .

Luego, tenemos el rect´angulo conmutativo

Hq♯ (T )

ℓ∗

Hq (Z(f ))

ω∗

Hq♯ (C(f )) j∗

d∗ Hq (T, B)

θ∗

Hq (C(f ) − M, U − M )

e∗

Hq (C(f ), U )

203

Sergio Plaza

Tenemos que e∗ es un isomorfismo. Como U es contractivo, se tiene que j∗ es un isomorfismo. Finalmente, θ∗ es un isomorfismo, pues θ es homeomorfismo. Luego, ker(d∗ ) = l∗−1 (ker(w∗ )) . Como P (f ) = w ◦ l ◦ g se sigue que P (f )∗ =

w∗ ◦ l∗ ◦ g∗ y siendo l∗ y g∗ isomorfismos, tenemos que ker(P (f )∗ ) =

14.4

g∗−1 (l∗−1 (ker(w∗ )))

=

g∗−1 (ker(d∗ ))

=

g∗−1 (Imagen(c∗ ))

=

Imagen(f∗ ) .

Sucesi´ on de homolog´ıa de Puppe

Sea f : X −→ Y una aplicaci´on continua. Definamos los subespacios S(X) , obtenido de C(f ) identificando P (f )(Y ) a un s´olo punto, digamos v , y sea S(f ) la suspensi´on de la aplicaci´on f . Sea Q(f ) : C(f ) −→ S(X) la proyecci´on can´onica. Tenemos la sucesi´on f

P (f )

Q(f )

S(f )

X −→ Y −→ C(f ) −→ S(X) −→ S(Y ) y la proposici´on siguiente. Proposici´ on 14.5 La sucesi´ on

f∗

P (f )∗

Q(f )∗

S(f )∗

Hq ♯(X) −→ Hq♯ (Y ) −→ Hq♯ (C(f )) −→ Hq♯ (S(X)) −→ Hq♯ (S(Y )) es exacta. Demostraci´ on. A cargo del lector. ♯ Para q > 0 , sea σ : Hq−1 (X) −→ Hq♯ (S(X)) el isomorfismo suspensi´on.

Pongamos

♯ τ = σ −1 ◦ Q(f )∗ : Hq♯ (C(f )) −→ Hq−1 (X) .

204

Sergio Plaza Corolario 14.3 La sucesi´ on

τ

f∗

P (f )∗

τ

f∗

e q (Y ) −→ Hq♯ (C(f )) −→ H ♯ (X) −→ · · · · · · −→ Hq♯ (X) −→ H q−1

es exacta. Esta sucesi´ on es llamada la sucesi´on de homolog´ıa de Puppe.

Cap´ıtulo 15

N´ umeros de Betti y caracter´ıstica de Euler–Poincar´ e Sea G un grupo abeliano finitamente generado, entonces T = {g ∈ G : g de orden finito} es un subgrupo de G , llamado subgrupo de torsi´ on de G . Adem´as, el grupo cuo-

ciente G/T es un grupo abeliano libre. El n´ umero m´ınimo de elementos generadores de G/T es llamado el rango de G . Ahora, si tomamos homolog´ıa con coeficientes en los enteros, puede ocurrir que Hq (X, Z) sea finitamente generado, si este es el caso, el rango de Hq (X, Z) es llamado el q–´esimo numero de Betti, βq , de X y definimos la caracter´ıstica de Euler - Poincar´e de X , como χ(X) =

X

(−1)q βq .

q

cuando la suma es finita. Estos n´ umeros son invariantes topol´ogicos. Ejemplo. Para X = Sn , se tiene que β0 = βn = 1 y βq = 0 en otro caso. Luego

n

χ(S ) =

(

0

si n es impar

2

si n es par.

205

206

Sergio Plaza

Ejemplo. Sea Gr el r–p´etalo. Tenemos β0 = 1 , β1 = r y βq = 0 para todo q > 2 . Luego χ(Gr ) = 1 − r . Ejemplo. Para CPn se tiene βq = 0 para q impar o q > n , βq = 1 para q par 0 6 q 6 2n . Luego χ(CPn ) = n + 1 . Ejemplo. Para RPn se tiene que β0 = 1 , βn = 1 si n es impar y βq = 0 en todos los otros casos. Luego, n

χ(RP ) =

(

1

si

n es par

0

si

n es impar.

Ejemplo. Para la supericie compacta y orientable Tg , se tiene que β0 = β2 = 1 , β1 = 2g y βq = 0 para todo q > 2 . Luego χ(Tg ) = 2 − 2g . Ejemplo. Sea Uh la superficie no orientada de g´enero g . Entonces β0 = 1 , β1 = 1 − h y βq = 0 para todo q > 1 . Luego χ(Uh ) = 2 − h . Si Hq (X, A) es finitamente generado podemos definir χ(X, A) del par (X, A) como lo hicimos antes. Teorema 15.1 Si χ(A) , χ(X, A) y χ(X) est´ an definidos. Entonces χ(X) = χ(A) + χ(X, A). Teorema 15.2 (Lema Algebraico) Dada una sucesi´ on exacta de grupos abelianos finitamente generados i

i

ir−1

1 2 0 −→ A1 −→ A2 −→ · · · −→ Ar −→ 0

entonces rango(A1 ) − rango(A2 ) + · · · + (−1)r+1 rango(Ar ) = 0 . Demostraci´ on. A cargo del lector. Demostraci´ on de 15.1. Considere la sucesi´on exacta del par (X, A) y aplique el lema algebraico.

207

Sergio Plaza

Corolario 15.1 Sea Z el espacio obtenido desde Y adjuntando una n–c´elulas. Si χ(Y ) est´ a definido, entonces χ(Z) = χ(Y ) + (−1)n . n Demostraci´ on. Tenemos que Hq (Z, Y ) ∼ = Hq (D , Sn−1 ) para todo q . Luego n

n

debemos calcular χ(Z, Y ) = χ(D , Sn−1 ) . Ahora χ(D , Sn−1 ) = 1−(1+(−1)n−1) =

(−1)n .

Corolario 15.2 Sea X un complejo esf´erico obtenido a partir de α0 puntos adjunto αq c´elulas q−dimensionales para q = 1, . . . , n . Entonces χ(X) =

n X q=0

Demostraci´ on. Inmediata.

(−1)q αq .

Cap´ıtulo 16

Orientaci´ on en Variedades Sea M una variedad topol´ogica n–dimensional (n > 1) . Lema 16.1 Para cada x ∈ M , se tiene que Hn (M, M − x) ∼ = R. Demostraci´ on. Sea U una vecindad abierta de x , homeomorfa a la bola unitaria en Rn . Por excisi´on del conjunto cerrado M −U desde el conjunto abierto M −{x} , obtenemos

Hn (U, U − x)g −→Hn (M, M − x) La sucesi´on exacta de homolog´ıa del par (U, U − x) es dada por · · · → Hq (U − x) → Hq (U ) → Hq (U, U − x) → Hq−1 (U − x) → Hq−1 (U ) → · · · como U es contractible se tiene Hq (U ) = 0 para todo q > 1 . Para q = n tenemos que 0 −→ Hn (U, U − x) −→ Hn−1 U − x) −→ 0 es exacta. Luego Hn (U, U − x)g −→Hn−1 (U − x) . Como U − x ≡ Sn−1 , se sigue que Hn−1 (U − x) ∼ = R. Para n = 2 y R = Z , existen dos posibles generadores para H2 (M, M − x) ∼ =

H1 (U − x) = Z ; Dibujo

208

Sergio Plaza

209

Elegir uno de los generadores, corresponde intuitivamente, a la eleci´on de una orientaci´on alrededor de x . Para n > 2 , debemos determinar los posibles generadores de Hn−1 (U − ∼ x) = Hn−1 (Sn−1 ) . Ahora, pensando Sn−1 como el borde geom´etrico del s´ımplice geom´etrico ∆n , se puede ver que si δn : ∆ −→ ∆n es la aplicaci´on identidad

entonces ±∂δn son los generadores de Hn−1 (Sn−1 ) .

Definici´ on 16.1 Una R−orientaci´ on local de M alrededor de x es un generador del R−m´ odulo Hn (M, M − x) . Para definir una orientaci´on global, debemos evitar lo que ocurre si tomamos un cubrimiento abierto finito por bolas del c´ırculo central de la banda de M¨obius. Lema 16.2 (de continuaci´on). Dado αx ∈ Hn (M, M − x) , existe una vecindad

abierta U de x y α ∈ Hn (M, M −x) tal que αx = JxU (α) , donde JxU : Hn (M, M −

U ) −→ Hn (M, M − x) es el homomorfismo inducido por la inclusi´ on can´ onica

JxU : (M, M − U ) ֒→ (M, M − x) .

Demostraci´ on. Sea a un ciclo relativo representando a αx . Entonces el soporte |∂a| de ∂a es un subconjunto compacto de M y |∂a| ⊆ M − x . Definimos

U = M − |∂a| , es claro que U es una vecindad abierta de x . Ahora, sea α ∈

Hn (M, M − U ) la clase de homolog´ıa relativa de a , relativo a M − U . Es claro que JxU (α) = αx .

Observaci´ on. En el lema anterior α es llamada una continuaci´ on de αx . Lema 16.3 (de coherencia). Si αx genera Hn (M, M −x) , entonces U y α puede ser elegido de modo que αy = JyU (α) genera Hn (M, M − y) para todo y ∈ U . Demostraci´ on. Consecuencia directa del siguiente lema.

Lema 16.4 (localmente constante). Cada vecindad W de x contiene una vecindad U de x tal que para cada y ∈ U , se tiene que JyU es un isomorfismo ( luego

αx tiene una u ´nica continuaci´ on en U ).

210

Sergio Plaza

Demostraci´ on. Sea V ⊆ W una vecindad de coordenadas homeomorfa a Bn , y sea U homeomorfo a Bn (r) (r < 1) . Entonces, para cada y ∈ U , tenemos el

siguiente diagrama conmutativo Hn (M, M − U )

excisi´ on

Hn (M, M − y)

excisi´ on

JyU ↓

← ←

∂

Hn (V, V − U ) → ↓≃

Hn (V, V − y)

˜ n−1 (V − U ) H

↓≃ ˜ → Hn−1 (V − y) . ∂

Ahora, la inclusi´on , V − U −→ V − y es una equivalencia de homotop´ıa

(radial). Luego JyU es un isomorfismo.

Definici´ on 16.2 Sea U ⊆ M un subespacio. Un elemento α ∈ Hn (M, M − x) tal

que JyU (α) genera Hn (M, M − y) para cada y ∈ U es una R−orientaci´ on local de M a lo largo de U .

Si V ⊆ U son subespacios de M , sea JVU : Hn (M, M − U ) −→ Hn (M, M − V ) el homomorfismo inducido por la inclusi´on can´onica (M, M − U ) ֒→ (M, M − V ) . Lema 16.5 Si α es una R−orientaci´ on local de M a lo largo de U , entonces JVU (α) es una R−orientaci´ on local de M a lo largo de V . Demostraci´ on. Para cada y ∈ V , se tiene que JyV ◦ JVU (α) = JyU . Definici´ on 16.3 ( R−orientaci´on global de M ). Supongamos que i) existe un cubrimiento abierto U = {Ui }i∈I de M , ii) para cada i ∈ I , existe una R−orientaci´ on local αi ∈ Hn (M, M − Ui ) de M a lo largo de Ui

Decimos que esto define un sistema de R−orientaci´ on si la siguiente condici´ on de compatibilidad vale. Para cada x ∈ M , si x ∈ Ui ∩ Uj , entonces U

iii) JxUi (αi ) = Jx j (αj ) En este caso una R–orientaci´ on est´ a bien definida en cada punto x por

211

Sergio Plaza iv) αx = JxUi (αi ) , x ∈ Ui

Dado otro sistema de R–orientaci´ on {(Vk , βk )}k∈Γ . Decimos que este define

la misma R−orientaci´ on que el sistema de R−oreintaci´ on {(Ui , αi )}i∈I si v) αx = βx para todo x ∈ M .

Una R−orientaci´ on global de M es una clase de equivalencia de sistemas de R−orientaci´ on, donde la relaci´ on de equivalencia es dada por la condici´ on (v) . Definici´ on 16.4 Decimos que M es R−orientable (resp. orientable) si existe un sistema de R−orientaci´ on (resp. de Z−orientaci´ on). Teorema 16.1

a) Una subvariedad abierta N de una variedad R−orientable

M es R−orientable. b) M es R−orientable si y s´ olo si todas sus componentes conexas lo son. Demostraci´ on. a) Sea {(Ui , αi )} un sistema de R−orientaci´on para M . Para cada x ∈ N , sea βx ∈ Hn (N, N − x) correspondiendo a αx v´ıa el isomorfismo de excisi´on

Hn (N, N − x)g −→Hn (M, M − x). Tenemos que existe una vecindad abierta Vx de x tal que Vx ⊆ N ∩ Ui para alg´ un e i tal que βx tiene una u ´nica continuaci´on a una R−orientaci´on local βx de N a lo largo de Vx . Adem´as, podemos elegir Vx suficientemente peque˜ na de modo que

M − N ⊆ Int(M − Vx ) . Tenemos entonces para cada y ∈ Vx el siguiente diagrama

conmutativo

Hn (N, N − y)

≈

Hn (M, M − y) Hn (M, M − U )

Hn (N, N − Vx )

≈

Hn (M, M − Vx )

muestra que la R−orientaci´on local de V en y inducida por βex es igual a βy . Luego (Vx , βex ) es un sistema de R−orientaci´on en N . La parte (b) se sigue de (a) .

Sergio Plaza

212

Proposici´ on 16.1 Supongamos que X es conexo. Entonces dos R−orientaciones de X que coinciden en un punto son iguales. Demostraci´ on. F´acil, considere el conjunto A de los puntos de X donde dos orientaciones coinciden y su complemento. Pruebe que ambos son abiertos. Corolario 16.1 Una vaariedad conexa orientable tiene axactamente dos orientaciones distintas. Ejemplo. Para X = Sn y cualquier x ∈ Sn , la aplicaci´on Hn (Sn ) −→ Hn (S n , Sn −

x) es un isomorfismo, pues Sn − x es contractible. Tomando el cubrimiento

abierto consistente s´olo de Sn y αx un generador de Hn (Sn ) , vemos que Sn es R−orientable. Proposici´ on 16.2 Toda variedad tiene una u ´nica Z2 −orientaci´ on

Demostraci´ on. Para cada x , se tiene que αx debe ser el u ´nico elemento no cero de Hn (M, M − x, Z2 ) . Si tomamos una vecindad abierta Ux de x en la cual αx tiene una u ´nica continuaci´on. Es claro que esas orientaciones son compatibles.

Teorema 16.2 Sea M una variedad conexa no orientable. Entonces existe un f −→ M tal que M f es orientable. recubrimiento conexo de dos hojas p : M Demostraci´ on. Definimos

f = {(x, αx ) : x ∈ M y αx es uno de los generadores de Hn (M, M − x, Z)} M

f es orientable y que p : M f −→ M es un y p(x, αx ) = x . Verifique que M cubrimiento de dos hojas orientable.

Corolario 16.2 Toda variedad simplemente conexa es orientable. M´ as general, cada variedad conexa cuyo grupo fundamental no contiene subgrupos de ´ındice 2 es orientable. f, x Demostraci´ on. Se tiene que p∗ π1 (M e) es un subgrupo de ´ındice 2 de π1 (M, x) ,

p(e x) = x .

Ejemplo. p : S2 −→ RP2 es un recubrimiento de 2 hojas con S2 orientable. Ejemplo. p : T2 −→ botella de Klein es un recubrimiento de 2 hojas con T2 orientable.

Cap´ıtulo 17

Cohomolog´ıa singular Definici´ on 17.1 El R–m´ odulo S q (X) de todas las cocadenas singulares sobre X es HomR (Sq (X), R) = Sq (X)∗ , esto es, una q–cocadena singular es un R– homomorfismo lineal c : Sq (X) −→ R . Sea c una q–cocadena singular y sea z una q–ocadena singular, denotamos el valor de c sobre z por [z, c] , es decir, c(z) = [z, c] . Tenemos entonces [z1 + z2 , c] = [z1 , c] + [z2 , c] [z, c1 + c2 ] = [z, c1 ] + [z, c2 ] [νz, c] = ν[z, c] = [z, νc] ,

ν∈R

Luego [ , ] es bilineal. Una q–cocadena es lineal, por lo tanto es completamente determinada por sus valores sobre los q–s´ımplices, y estos valores pueden ser asignados arbitrariamente. Luego, S q (X) es isomorfo al producto directo de tantas copias de R como q−s´ımplices singulares existen en X . Ahora, si f : X −→ Y es una aplicaci´on continua, entonces tenemos un

homomorfismo f # : S q (Y ) −→ S q (X) definido por la f´ormula [z, f #(c)] = [f# (z), c]

para z ∈ Sq (X) y c ∈ S q (Y ) . En el caso que z es un q–s´ımplice σ , entonces la f´ormula se escribe como

[σ, f # (c)] = [f ◦ σ, c].

213

214

Sergio Plaza

Proposici´ on 17.1 Existe un u ´nico homomorfismo δ : S q (X) −→ S q+1 (X) tal

que

[∂z, c] = [z, δc] para toda (q+1)–cadena z y toda q–cocadena c . Si f : X −→ Y es una aplicaci´ on continua, entonces

δ ◦ f #q = f #(q+1) ◦ δ. Adem´ as, δ ◦ δ = 0 . Demostraci´ on. La f´ormula [z, δc] = [∂z, c] para z ∈ Sq+1 (X) y c ∈ S q (X) define el operador δ de modo u ´nico. El resto de la prueba es de verificaci´on inmediata. El homomorfismo δ es llamado operador de coborde. Ahora sean Z q (X) = ker(δ : S q (X) −→ S q+1 (X)) y B q (X) = Imagen (δ : S q−1 (X) −→ S q (X)) . La identidad δ ◦ δ = 0 implica que B q (X) es un subm´odulo de Z q (X) .

Se define el q−´esimo m´odulo de cohomolog´ıa de X , H q (X, R) , por H q (X, R) = Z q (X, R)/B q (X, R).

Cuando no sea necesario especificar el R m´odulo, usamos la notaci´on H q (X) para H q (X, R) . Si f : X −→ Y es una aplicaci´on continua, entonces f ∗q respeta cociclos y

cobordes, y por paso al cuociente induce un homomorfismo f #q : H q (Y ) −→ H q (X) .

Si g : Y −→ Z es otra aplicaci´on continua, entonces (g ◦ f )∗q = f ∗q ◦ g ∗q ,

para todo q > 0 .

Sea (X, A) un par topol´ ogico. Definamos q

S (X, A) = HomR (Sq (X)/Sq (A), R)

215

Sergio Plaza q

y definimos el operador de coborde δ : S (X, A) −→ S

q+1

(X, A) por la ecuaci´on

[z, δc] = [∂z, c] , donde ∂ : Sq+1 (X)/Sq+1 (A) −→ Sq (X)/Sq (A) . Sea q

H q (X, A) = ker(δ : S (X, A) −→ S

q+1

(X, A))/Imagen(δ : S

q−1

q

(X, A) −→ S (X, A)) .

Ahora, sean i : A ֒→ X y j : X ֒→ (X, A) las aplicaciones inclusiones can´onica, entonces tenemos homomorfismo j∗

i∗

δq

· · · −→ H q (X, A) −→ H q (X) −→ H q (A) −→ H q+1 (X) −→ · · · para ello debemos definir el operador conector δ : H q (A) −→ H q+1 (X, A) . Con-

sideremos el diagrama conmutativo

0 0

−→

j#

S q (X, A)

−→ S

q+1

S q (X)

−→

↓ (X, A)

↓

j#

−→ S

q+1

i#

S q (A)

i#

q+1

−→

(X) −→ S

↓ (A)

−→ 0 −→ 0

Sea c una q–cocadena en X tal que i# (c) sea un q–cociclo en A representando una clase de cohomolog´ıa c . Como i♯ ◦ δ(c) = δ ◦ i♯ (c) = 0 se tiene

que δ(c) es un (q + 1)–cociclo relativo representando una clase de cohomolog´ıa δc ∈ H q+1 (X, A) . Esta clase no depende de la elecci´on de c . Definimos entonces δc = δc . Teorema 17.1 Los m´ odulos de cohomolog´ıa singular satisfacen. 1. Contrafuntorialidad. Si f : X −→ Y , entonces f ∗q : H q (Y, R) −→ H q (X, R) 2. Diagramas conmutativos H q (A) f ∗q ↑

H q (B)

δ

−→ H q+1 (X, A) δ

−→

↑ f ∗(q+1)

H q+1 (Y, B)

216

Sergio Plaza 3. Sucesi´ on exacta

δ

0 −→ H 0 (X, A) −→ · · · −→ H q (X) −→ H q (A) −→ H q+1 (X, A) −→ · · · 4. Invariancia homot´ opica. Si f ∼ = g entonces f ∗q = g ∗q para todo q > 0 . 5. Excisi´ on. Si clausura(U ) ⊆ interior(A) , entonces H q (X, A) −→ H q (X − U, A − U ) es un isomorfismo. 6. Para un punto p , se tiene

q

H ({p}) =

(

R

si q = 0

0

otro caso .

7. Se definen los m´ odulos de cohmolog´ıa aumentados para X 6= ∅ por H 0# (X) = coker(H 0 ({p}) −→ H 0 (X)) donde X −→ p es la aplicaci´ on constante. Para A 6= ∅ , se tiene que H 0# (X, A) = H 0 (X, A) . Entonces la sucesi´ on de cohomolog´ıa aumentada es exacta. Nota. Si f : A −→ B es un homomorfismo, se define el coker de f como coker(f ) = B/Imagen(f ) .

8. Para un triple topol´ ogico (X ′ , X, A) la siguiente sucesi´ on de m´ odulos de cohomolog´ıa

· · · −→ H q (X ′ , X) −→ H q (X ′ , A) −→ H q (X, A) −→ · · · es exacta.

Sergio Plaza

217

9. Sucesi´ on de Mayor–Vietoris exacta para una triada exacta

· · · −→ H q (X1 ∪ X2 ) −→ H q (X1 ) ⊕ H q (X2 ) −→ H q (X1 ∩ X2 ) −→ · · · 10. Sucesi´ on de Mayer–Vietoris relativa exacta. 11. Si X es contractible entonces H q# (X) = 0 para todo q > 0 .

Cap´ıtulo 18

Productos cup y cap Sea S • (X) =

L

q>0

S q (X) . Si c ∈ S q (X) y d ∈ S q (X) definiremos el producto

cup de c y d , notaci´on c ∪ d , de modo que c ∪ d ∈ S p+q (X) y es bilineal, esto es,

(c1 + c2 ) ∪ d = c1 ∪ d + c2 ∪ d y c ∪ (d1 + d2 ) = c ∪ d1 + c ∪ d2 . Basta definir el

producto c ∪ d sobre un (p + q)−s´ımplice singular de σ . Para ello, consideremos las aplicaciones

λp : ∆p −→ ∆p+q

y

ρq : ∆q −→ ∆p+q

definidas por λp = (e0 , . . . , ep ) , ρq = (ep , ep+1 , . . . , ep+q ) . Usando esto definimos

Si c =

P

[σ, c ∪ d] = [σ ◦ λp , c] · [σ ◦ ρq , d] ∈ R P • p cp y d = q dq son elementos de S (X) , definimos c∪d=

X p,q

cp ∪ dq .

Proposici´ on 18.1 El pruducto cup en S • (X) es bilineal, asociativo, y tiene como elemento identidad a la 0−cocadena 1 definida por [x, 1] = 1 para cada x ∈ X . Demostraci´ on. Se deja al lector. Proposici´ on 18.2 El operador de coborde es una derivaci´ on en el anillo graduado S • (X) , es decir, δ(c ∪ d) = δc ∪ d + (−1)p c ∪ δd para c ∈ S p (X) y d ∈ S q (X) .

218

219

Sergio Plaza

Demostraci´ on. Sea σ un (p + q + 1)−s´ımplice. De c´alculo directo de [σ, δc ∪ d] , [σ, c ∪ δd] y [σ, δ(c ∪ d)] , despu´es de algunos arreglos algebraicos se obtiene el resultado.

L q • • Corolario 18.1 Z • (X) = q>0 Z (X) es un subanillo de S (X) y B (X) = L q • q>0 B (X) es un ideal (por la izquierda y la derecha) de Z (X) . En partic-

ular, el producto cup pasa al cuociente, y define un producto cup en H • (X) = L q • algebra graduada. q>0 H (X) , con este producto cup, H (X) es un R−´ Demostraci´ on. Se deja a cargo del lector.

Si f : X −→ Y es una aplicaci´on continua, entonces f induce un homomor-

fismo f #q : S q (Y ) −→ S q (X) para todo q > 0 , luego induce un homeomorfismo f #• : S • (Y ) −→ S • (X) definido por f

X

#•

p

cp

!

=

X

f #p (cp ).

p

y pasando al cuociente, se obtiene un homomorfismo f • : H • (Y ) −→ H • (X) . Proposici´ on 18.3 f #• y f • so homomorfismos de anillos. Demostraci´ on. Sea c ∈ S p (Y ) , d ∈ S q (Y ) y σ un (p + q)−s´ımplice sobre X . Entonces

[σ, f #(p+q) (c ∪ d)]

= [f ◦ σ, c ∪ d] = [(f ◦ σ) ◦ λp , c][(f ◦ σ) ◦ ρp , d] = [f ◦ (σ ◦ λp ), c][f ◦ (σ ◦ ρp ), d] = [σ, f #(p) (c)][σ, f #(q) (d)].

Teorema 18.1 H • (X) es antisim´etrica, es decir, a ∪ d = (−1)pq b ∪ a para a ∈ H p (X) y b ∈ H q (X) . En particular, si a = b y p es impar, entonces a ∪ a = 0 , cuando R tiene caracter´ıstica distinta de 2.

220

Sergio Plaza Demostraci´ on. Ver (Greenberg − Harper, pag. 198 - 202)

Ejemplo. H • (Sn ) es el R−´algebra graduada generada por un elemento a de grado n , sujeto a la u ´nica condici´on a2 = 0 .

18.0.1

Producto cap

El producto cap ∩ : Sp+q (X) × S p (X) −→ Sq (X) es definido como sigue. Para cada c ∈ S p (X) , z ∈ Sp+q , z∩c es la u ´nica q−cadena que satisface

[z ∩ c, d] = [z, c ∪ d] para cada q−cocadena d . Expl´ıcitamente, si σ es un (p + q)−s´ımplice en X , entonces σ ∩ c = [σ ◦ λp , c](σ ◦ ρq ) y extendemos a las (p + q)−cadenas por linealidad. Extendiendo por linealidad, definimos ∩ : S• (X) × S • (X) −→ S• (X). Proposici´ on 18.4 El producto ∩ hace de S• (X) un S • (X)−m´ odulo unitario

derecho.

Demostraci´ on. Algebraica. Ejercicio. Pruebe que z ∩ (c ∩ d) = (z ∩ c) ∩ d . Proposici´ on 18.5 Para cada z ∈ Sp+q (X) y c ∈ S p (X) , tenemos ∂(z ∩ c) = (−1)p (∂z ∩ c − z ∩ δc). Demostraci´ on. Calculando ambos lados de la igualdad y comparando los resultados se sigue la prueba.

221

Sergio Plaza

Corolario 18.2 Por paso al cuaciente, el producto cap induce un pareamiento bilineal ∩ : Hp+q (X) × H p (X) −→ Hq (X) Proposici´ on 18.6 Sea f : X −→ Y una aplicaci´ on continua. Entonces f∗p (a ∩ f ∗q (b)) = f∗(p+q) (a) ∩ b para a ∈ Hp+q (X) y b ∈ H q (Y ) Demostraci´ on. Verificando la f´ormula para cadenas y cocadenas, se sigue el resultado.

Cap´ıtulo 19

Grupos de homotop´ıa de orden superior —indexGrupos de homotop´ıa de orden superior Una aplicaci´on de pares, f : (X, A) −→ (Y, B) significa que f : X −→ Y ,

es tal que f (A) ⊆ B . Dos aplicaciones de pares f, g : (X, A) −→ (Y, B) son

homot´opicas si, existe una aplicaci´on de pares F (X × I, A × I) −→ (Y, B) , tal que (

F (x, 0)

= f (x)

F (x, 1)

= g(x) .

Note que para todo t ∈ I , a ∈ A , se tiene que F (a, t) ∈ B . Por lo tanto,

una homotop´ıa entre f, g : (X, A) −→ (Y, B) es una homotop´ıa entre f y g , tal que para todo t ∈ I y todo a ∈ A , se tiene F (a, t) ∈ B .

Sea I n = I × · · · × I , ( n-veces) el cubo unitario n–dimensional en Rn y sea

∂I n su frontera. n

Dado un espacio topol´ogico X y un punto x0 ∈ X , definimos el conjunto

π(I , ∂I n , X, x0 ) = {[ϕ] / ϕ : (I n , ∂I n ) −→ (X, x0 )} , conjunto de clases de ho-

motop´ıas de aplicaciones ϕ : (I n , ∂I n ) −→ (X, x0 ) , es decir, ϕ : I n −→ X y ϕ(∂I n ) = x0 .

Tambi´en podemos considerar el conjunto π(Sn , p0 , X, x0 ) = {ψ | ψ : (Sn , p0 ) −→

(X, x0 )} , donde p0 ∈ Sn .

222

223

Sergio Plaza

Proposici´ on 19.1 Existe una correspondencia biyectiva entre π(I n , ∂I n , X, x0 ) y π(Sn , p0 , X, x0 ) . Demostraci´ on. Primero notemos que el espacio cuociente I n /∂I n es homeomorfo a Sn . Sea θ : I n /∂I n −→ Sn un tal homeomorfismo, el interior Int(I n ) del cubo I n corresponde biyectivemente por el homeomorfismo θ¯ a Sn −{p0 } . La aplicaci´on

θ es llamada un homeomorfismo relativo.

Ahora, dada f : (Sn , p0 ) −→ (X, x0 ) asociamos a ella la aplicaci´on f ◦

θ : (I n , ∂I n ) −→ (X, x0 ) , esto induce una aplicaci´on Γ : π(Sn , p0 , X, x0 ) −→

π(I n , ∂I n , X, x0 ) dada por Γ([f ]) = [f ◦ θ] . Es f´acil verificar que Γ est´a bien

definida (ejercicio al lector). Rec´ıprocamente, dada g : (I n , ∂I n ) −→ (X, x0 ) asociamos a ella la aplicaci´on g : (Sn , p0 ) −→ (X, x0 ) , que coincide con g ◦ θ−1 sobre Sn − {p0 } y que lleva el punto p0 en x0 . ˜ : π(I n , ∂I n , X, x0 ) −→ π(Sn , p0 , X, x0 ) , que es Esto induce una aplicaci´on Γ

la inversa de Γ .

θ

In π

c

Sn θ¯

I n /∂I n Se deja a cargo del lector la verificaci´on de los detalles. Teorema 19.1 El conjunto π(I n , ∂I n , X, x0 ) , n > 1 , es un grupo abeliano. Este grupo es llamado grupo de homotop´ıa de orden n del espacio X con base en el punto x0 ∈ X , y es denotado por πn (X, x0 ) . Demostraci´ on. Sean [ϕ], [ψ] ∈ π(I n , ∂I n , X, x0 ) .

Definimos la suma [ϕ] + [ψ] como [ϕ] + [ψ] = [ϕ + ψ] , donde la aplicaci´on,

ϕ + ψ es definida por

(ϕ + ψ)(t1 , t2 , . . . , tn ) =

(

ϕ(2t1 , t2 , . . . , tn ),

0 6 t1 6 1/2

ψ(2t1 − 1, t2 , . . . , tn ),

1/2 6 t 6 1 .

Es claro que esta suma est´a bien definida y es asociativa (verifique esta afirmaci´on).

224

Sergio Plaza

Definimos el elemento 0 como la clase de la aplicaci´on constante θ : (I n , ∂I n ) −→

(X, x0 ) , dada por θ(I n ) = x0 . Tenemos que [ϕ]+[θ] = [ϕ] , para toda [ϕ] , es decir, ϕ+ θ es homot´opica a ϕ , para ello tomamos la homotop´ıa Φ : (I n × I, ∂I n × I) −→ (X, x0 ) dada por

Φ(t, s) =

   2t1 1+s   ϕ , t , . . . , t  2 n , 0 6 t1 6   1+s 2      x0

1+s 6 t1 6 1 2

donde t = (t1 , . . . , tn ) Verifique que tambi´en [θ] + [ϕ] = [ϕ] . Para [ϕ] ∈ π(I n , ∂I n , X, x0 ) , definimos su inverso como [ϕ ◦ η] , donde η :

I n −→ I n es dada por η(t1 , . . . , tn ) = (1 − t1 , t2 , . . . , tn ) , es decir, (ϕ ◦ η)(t) = ϕ(1 − t1 , t2 , . . . , tn ) . Ahora, para verificar que [ϕ] + [ϕ ◦ η] = [θ] consideramos una homotop´ıa Φ entre ϕ + θ y θ dada por

Φ(t, s) =

  x0 ,             ϕ(2t1 − s, t2 , . . . , tn )

    ϕ(−2t1 + 2 − s, t2 , . . . , tn )          x 0

0 6 t1 6 s/2 s/2 6 t1 6 1/2 1/2 6 t1 6 1 − s/2 1 − s/2 6 t1 6 1 .

Finalmente mostraremos que πn (X, x0 ) es abeliano. Sean [ϕ], [φ] ∈ πn (X, x0 ) ,

mostraremos que las aplicaciones ϕ + ψ y ψ + ϕ son homot´opicas a la misma aplicaci´on. Consideremos la homotop´ıa Φ1 (t, s)

225

Sergio Plaza

Φ1 (t, s) =

                              

x0

0 6 t2 6

s 2

2t2 − s ϕ(2t1 , , t3 , . . . tn ), 2−s

s 2

1 2

ψ(2t1 − 1,

2t2 , t3 , . . . , tn ), 2−s

6 t2 6

   

0 6 t1 6

   s 2

0 6 t2 6 1 − 1−

x0 ,

s 2

6 t2 6 1

Entonces Φ1 (t, 0) = (ϕ + ψ)(t) , y

Φ1 (t, 1) =

             

x0

            

0 6 t2 6

Φ2 (t, s) =

                

1 2

ψ(2t1 − 1, 2t2 , t3 , . . . , tn ),

0 6 t2 6

x0 ,

1 2

               

ϕ



2t1 , 2t2 − 1, t3 , . . . , tn 1+s



1+s 2

x0 ψ



1 2



2t1 − 1 + s , 2t2 , t3 , . . . , tn , 1+s

1−s 2

1 2

    

   6 t1 6 1 

    ψ(t1 , 2t2 − 1, t3 , . . . , tn ) 0 6 t1 6 1,    ψ(t , 2t , t , . . . , t ), 1 2 3 n

    

1+s 2

0 6 t1 6 1

1 2

6 t1 6 1 .

1 2

1/2 6 t1 6 1 .

   6 t1 6 1 

1−s 2

1 2

0 6 t1 6

   

0 6 t1 6

Entonces Φ2 (t, 0) = Φ1 (t, 1) y

Φ2 (t, s) =

   

  6 t2 6 1 

0 6 t1 6

x0

  

  6 t2 6 1 

ϕ(2t1 , 2t2 − 1, t3 , . . . , tn ),

Consideremos otra homotop´ıa,

1 2

   

1 2

6 t2 6 1

0 6 t2 6

6 t2 6 1

0 6 t2 6

1 2

.

1 2

.

226

Sergio Plaza

Luego, tenemos ϕ + ψ ∼ Φ1 (t, 1) = Φ2 (t, 0) ∼ Φ2 (t, 1) . Ahora, para la suma

ψ + ϕ , tenemos las homotop´ıas.

Ψ1 (t, s) =

                                

  2t2 ψ 2t1 , , t3 , . . . , t n , 1−s

0 6 t2 6 1 −

x0 ,

1−

s 2

s 2

    

s 2

x0 ,

0 6 t2 6

  2t2 − s , t3 , . . . , t n , ϕ 2t1 − 1, 2−s

s 6 t2 6 1 2

tenemos que ψ1 (t, 0) = (ψ + ϕ)(t) , y

Ψ1 (t, 1) =

                          

ψ(2t1 , 2t2 , t3 , . . . , tn ),

0 6 t2 6 1−

x0 ,

s 2

x0 ,

0 6 t2 6

ϕ(2t1 − 1, 2t2 − 1, t3 , . . . , tn ),

Finalmente,

Ψ2 (t, s) =

                                    

ψ



x0 ,

ϕ



1 2

   



2t1 , 2t2 , t3 , . . . , tn , 1+s

nos da Ψ2 (t, 0) = Ψ1 (t, 1) y Ψ2 (t, 1) = Φ2 (t, 1)

1+s 2

   

1−s 2

1 2

6 t1 6 1

   6 t 6 1 0 1−s  1 2 

 6 t1 6 1    

0 6 t1 6

1 2

1 2

6 t1 6 1

0 6 t1 6

0 6 t1 6

1+s 2

1 2

   

  6 t2 6 1 

 2t1 − 1 + s , 2t2 − 1, t3 . . . , tn , 1+s

x0 ,

    

   

1 2

  6 t2 6 1 

1 2

0 6 t1 6

   6 t2 6 1 

   

1 2

6 t2 6 1

0 6 t2 6

1 2

.

Sergio Plaza

227

Tenemos ψ+ϕ ∼ ψ1 (t, 1) = ψ2 (t, 0) ∼ ψ2 (t, 1) = Φ2 (t, 1), de donde obtenemos

ϕ + ψ ∼ Φ2 (t, 1), ψ + ϕ ∼ Φ2 (t, 1) , por lo tanto, ϕ + ψ ∼ ϕ + ϕ .

Teorema 19.2 Toda aplicaci´ on continua f : (X, x0 ) −→ (Y, y0 ) induce un ho-

morfismo π(I n ,∂I n ) (f ) : πn (X, x0 ) −→ πn (Y, y0 ) . Demostraci´ on. An´aloga al caso π1

Index H0 , 143

Complejos simpliciales y poliedros, 130

Conexidad y grupos de homolog´ıa, 151 Grupos de homolog´ıa de complejos sim- Cono de una aplicaci´on, 197 pliciales, 129 Definici´on de homotop´ıa de aplicaciones, Acci´on de grupos sobre espacios topol´ogicos, 22 14

Definici´on de recubrimiento, 85

Algunos espacios usuales, 1

Dependencia del grupo fundamental res-

Aplicaciones del grupo fundamental de c´ırculo, 78

pecto del punto base, 49 Disco unitario, 2

Axioma de exactitud, 173 Axioma de homotop´ıa, 167

Ejemplos de c´alculo de homolog´ıa, 139

Axioma de homotop´ıa para homolog´ıa ejercicios teor´ıa de homotopia, 111 reducida, 172

Equivalencia homot´opica, 29

Axioma de homotop´ıa para homolog´ıa Equivalencia homot´opica de caminos, 43 singular, 167

esfera unitaria, 2

Axioma de la composici´on para homolog´ıa Espacio adjunci´on, 184 reducida, 172

Espacio proyectivo complejo, 10

Axioma de la composici’on, 166

Espacio proyectivo real, 7

Axioma de la identidad, 166

Espacio suspensi´on, 195

Axioma de la identidad para homolog´ıa Espacion de recubrimiento, 85 reducida, 172

Espacios contractibles, 31

Espacios homog´eneos, 16 C´alculo del grupo fundamenetal de al- Espacios lenticulares, 6 gunos spacios, 67 Espacios lenticulares generalizados, 6 Caminos y producto de caminos, 42 Estructuras de los grupos de homolog´ıa, Campos de vectores y homotop´ıa, 25

152

Cohomolog´ıa singular, 213 Complejos esf´ericos, 184

F´ormula de K¨ unneth para homolog´ıa sin-

228

229

Sergio Plaza gular, 180 Fibraci´on de Hopf, 186

Lema de Barratt–Whitehead, 188 Lema de los cinco, 187

Lema del pegado, 28 Grupo de cadenas, grupo de ciclos y grupo Levantamiento de aplicaciones, 99 de bordes, 132 Levantamiento de caminos y homotop´ıa, Grupo fundamental, 45

91

Grupo fundamental de algunos grupos cl´asicos, 80 Grupo fundamental de grupos topol´ogicos, 57 Grupo fundamental de superficies, 69

N´ umeros de Betti y caracter´ıstica de Euler– Poincar´e, 205 N´ umeros de Betti y el teorema de Euler– Poincar´e, 153

Grupo fundamental de un espacio de ´orbitas, Operador borde, 133 94 Orientaci´on en variedades, 208 Grupo fundamental del c´ırculo, 73 Grupo fundamental y espacios de recubrim-Productos cup y cap, 218 iento, 93 grupos cl´asicos, 11 Grupos de homolog´ıa simplicial, 137

Recubrimiento universal, 106 Relaci´on entre π1 (X) y H1 (X, Z), 161 Retracto de deformaci´on, 38

Homolog´ıa 0–dimensional, 159

Retracto de deformaci´on fuerte, 38

Homolog´ıa de algunos espacios, 184

Retractos, 34

Homolog´ıa reducida, 167 Homolog´ıa relativa, 171 Homolog´ıa simplicial, 131 Homolog´ıa singular, 156 Homomorfismo inducido, 52 Homomorfismo inducido en homolog´ıa reducida, 172

Simplices, 129 Simplices singulares, 156 Sucesi´on de homolog´ıa de Puppe, 203 Sucesi´on de Mayer–Vietoris, 181 Sucesi´on de Mayer-Vietoris para homolog´ıa reducida, 182

Homomorfismo inducido en homolog´ıa sin- Teorema Brower del punto fijo, 177 gular, 165 Teorema de (Poincar´e–Hurewicz, 163 Homotop´ıa de aplicaciones, 21

Teorema de excisi´on, 175

Homotop´ıa de aplicaciones de pares, 172 Teorema de levantamiento, 97 Homotop´ıa realtiva, 27

Teorema de Monodrom´ıa, 91

Homotop´ıa y extensi´on de aplicaciones, Teorema de Poincar´e–Bohl, 27 39

Teorema de Seifert–van Kampen, 60

Sergio Plaza Toros, 7 Variedad de Grassmann, 19

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