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Dr. Fernando Villafañe Duarte Julio 2010

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Índice general 1. Cardinalidad de conjuntos 1.1. Conjuntos finitos . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Conjuntos numerables y no numerables 1.3. Conjuntos infinitos . . . . . . . . . . . . . 1.4. Tópicos en teoría de conjuntos . . . . . . 1.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Espacios métricos 2.1. Definición de espacio métrico . . . . . 2.2. Bolas y esferas . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Distancia de un punto a un conjunto . 2.4. Isometrías . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5 . 5 . 8 . 13 . 14 . 17

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19 19 24 29 31 33

3. Funciones continuas 3.1. Definición y ejemplos de funciones continuas . 3.2. Propiedades de las funciones continuas . . . . 3.3. Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Métricas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Continuidad de las transformaciones lineales . 3.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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35 35 37 40 44 46 48

4. Lenguaje topológico 4.1. Conjuntos abiertos . . . . . . . . . 4.2. Conjuntos abiertos y continuidad 4.3. Espacios topológicos . . . . . . . . 4.4. Base de una topología . . . . . . . 4.5. Topología producto en X × Y . . . 4.6. Topología de subespacio . . . . . . 4.7. Conjuntos cerrados . . . . . . . . . 4.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . .

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51 51 55 57 59 61 62 63 69

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ÍNDICE GENERAL

4 5. Conjuntos conexos 5.1. definición y ejemplos . . . . . . . . . . . . 5.2. Propiedades de los conjuntos conexos . 5.3. Conexidad y funciones continuas en R 5.4. Conexidad por caminos . . . . . . . . . . 5.5. Componentes conexas . . . . . . . . . . . 5.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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73 73 74 78 81 84 85

6. Sucesiones en espacios métricos 6.1. Límites de sucesiones . . . . . . . . . . . 6.2. Sucesiones de números reales . . . . . . 6.3. Series en espacios vectoriales normados 6.4. Convergencia y topología . . . . . . . . . 6.5. Sucesiones de funciones . . . . . . . . . . 6.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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87 87 92 93 94 96 100

7. Espacios métricos completos 7.1. Sucesiones de Cauchy . . . . . . . . . 7.2. Espacios métricos completos . . . . . 7.3. Completación de un espacio métrico 7.4. El teorema de Baire . . . . . . . . . . 7.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . .

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101 . 101 . 103 . 105 . 107 . 114

8. Espacios compactos 8.1. Teoremas: Bolzano-Weierstrass y Borel-Lebesgue 8.2. Espacios métricos compactos . . . . . . . . . . . . . 8.3. Caracterizaciones de espacios compactos . . . . . . 8.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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115 . 115 . 117 . 122 . 127

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Capítulo 1

Cardinalidad de conjuntos En este capítulo se estudiará el concepto general de la cardinalidad de un conjunto, así como también algunos criterios que facilitarán el establecer la cardinalidad de ciertos conjuntos.

1.1.

Conjuntos finitos

Si n es un entero positivo o número natural, denotamos por En el conjunto de enteros positivos menores o iguales a n, es decir, En = {1, 2, . . . , n}. Los conjuntos En son los prototipos de los conjuntos finitos. Definimos también E0 = ∅ . Definición 1 (conjunto finito y cardinal). Diremos que un conjunto A es finito si es vacío o existe una correspondencia biyectiva f : A → En para algún n ∈ N. Si A = ∅ diremos que A tiene cardinal 0; si existe una biyección f : A → En , diremos que A tiene cardinal n.

Es claro que el conjunto En tiene cardinal n ya que la identidad es una biyección de En en En . A continuación veremos hechos que nos conducen a establecer que un cardinal de un conjunto está determinado completamente por dicho conjunto, o lo que es lo mismo, dado un conjunto A no vacío, no pueden existir correspondencias biyectivas entre A y dos conjuntos En y Em con n = / m; este hecho, que puede verse como obvio, requiere del sustento matemático para poder hablar de el cardinal de un conjunto.

Lema 1.1. Sean n ∈ N, A un conjunto no vacío y a0 un elemento de A. Entonces existe una correspondencia biyectiva f entre A y En+1 si, y sólo si, existe una correspondencia biyectiva entre A \ {a0 } y En . Prueba: Supongamos que existe una biyección f : A → En+1 si f(a0 ) = n+ 1, basta considerar la restricción de f a A\{a0 } sobre En ; en caso contrario, si f(a0 ) = m y a1 es el elemento de A tal que f(a1 ) = n+ 1, se define la función 5

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CAPÍTULO 1. CARDINALIDAD DE CONJUNTOS

h : A → En+1 por h(a0 ) := n + 1, h(a1 ) := m y h(x) := f(x) para todo x en A \ {a0 , a1 }. No es difícil ver que h es también una biyección y que h/A \ {a0 } es una biyección entre A \ {a0 } y En como en el primer caso. Recíprocamente, si g : A \ {a0 } → En es una biyección, se define f : A → En+1 por: f(x) := g(x) para todo x ∈ A \ {a0 } y f(a0 ) := n + 1, la cual es claramente biyectiva.  Teorema 1.2. Sea A un conjunto para el cual existe una biyección f : A → En para algún n ∈ N. Sea B un subconjunto propio de A, (B A). Entonces, no existe una biyección g : B → En y si B = / ∅, existe una biyección h : B → Em para algún m < n.

Prueba: Si el conjunto propio B es vacío, no puede existir una biyección entre B y un conjunto no vacío como En . Probemos por inducción que el teorema es válido para todo n ∈ N. En efecto, para n = 1, A está constituido por un solo elemento, digamos A = {a}, el único subconjunto propio es ∅, en consecuencia se satisface el teorema. Supongamos que el teorema se cumple para n y probemos que también es válido para n + 1. Sea f : A → En+1 una biyección y sea B un subconjunto propio no vacío de A. Elegimos elementos a0 ∈ B y a1 ∈ A \ B. A partir de la suposición y aplicando el lema anterior (lema 1.1), aseguramos que existe una biyección g : A \ {a0 } → En .

Dado que a1 pertenece a A y no a B (y por tanto a1 =/ a0 ), B \ {a0 } es un subconjunto propio de A \ {a0 }. De la hipótesis inductiva se tiene que: (1) No existe biyección alguna h : B \ {a0 } → En .

(2) Ó, B \ {a0 } = ∅, o existe una biyección

k : B \ {a0 } → Ep para algún p < n

Se concluye, a partir del lema anterior y (1), que no existe una biyección entre B y En+1 . Por otra parte, si B \ {a0 } = ∅, entonces B = {a0 } y existe una biyección entre B y E1 = {1}; si B \ {a0 } = / ∅, nuevamente por el lema anterior y (2) concluimos que existe una biyección entre B y Ep+1 . Es decir, siempre existe una biyección entre B y Em para algún m < n + 1. Esto termina el proceso inductivo y prueba el teorema para todo n ∈ N.  En términos del cardinal el teorema anterior nos dice que un subconjunto propio de un conjunto finito A tiene cardinal estrictamente menor que el cardinal de A y que todo subconjunto de un conjunto finito, también es finito. El siguiente corolario nos da una condición necesaria para que un conjunto sea finito. Corolario 1.3. Si A es un conjunto finito, entonces no existe una biyección entre A y un subconjunto propio del mismo.

1.1. CONJUNTOS FINITOS

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Prueba: Sea B un subconjunto propio y no vacío de A, por reducción al absurdo supongamos que existe una biyección f : A → B. Por hipótesis A es finito y por tanto, existe una biyección g : A → En para algún n ∈ N. La función g ◦ f−1 : B → En es una biyección de B en En lo que contradice el teorema 1.2.  El contrarecíproco de este corolario 1.3 nos permite probar la no finitud de algunos conjuntos. Corolario 1.4. N no es finito. Prueba: La función f : N → N \ {1} definida por f(n) = n + 1 es inyectiva pues f(n) = f(m) si y sólo si n + 1 = m + 1, es decir, n = m. f es sobreyectiva pues dado p en N \ {1}, p − 1 es un elemento de N tal que f(p − 1) = (p − 1) + 1 = p. Por lo tanto f es una biyección entre N y un subconjunto propio del mismo, luego, no puede ser finito.  Corolario 1.5. El cardinal de un conjunto finito A está unívocamente determinado por A. En otras palabras, si n y m tienen la propiedad de ser cardinal de A, entonces tiene que ser n = m. Prueba: Supongamos por absurdo que m < n y que A tiene cardinal tanto m como n. Es decir, existen biyecciones f : A → En y g : A → Em . Entonces la composición g ◦ f−1 : En → Em es una biyección entre En y un subconjunto propio de En . Esto contradice el corolario 1.3.  El siguiente corolario es consecuencia casi directa del teorema 1.2 y se deja como Ejercicio.



Corolario 1.6. Si B es un subconjunto de un conjunto finito A, entonces B también es finito. Si B es un subconjunto propio de A, entonces el cardinal de B es estrictamente menor que el cardinal de A. El siguiente corolario nos ofrece una caracterización de los conjuntos finitos. Corolario 1.7. Sea B un conjunto no vacío. Las siguientes proposiciones son equivalentes: (1) B es finito. (2) Existe una función sobreyectiva de algún En (para algún n ∈ N) en B. (3) Existe una función inyectiva de B en algún En . Prueba: (1)⇒(2). Como B = / ∅, por definición de conjunto finito existe una biyección entre B y algún En . Esto prueba (2) tomando f−1 . (2)⇒(3). Por hipótesis existe una función sobreyectiva f : En → B; se define g : B → En por: g(b) = m´ın f−1 ({b}). Siendo f sobreyectiva, el conjunto f−1 ({b}) es no vacío y por el principio del buen orden1 se asegura que g está

1 Principio del buen orden: Todo subconjunto de N posee un primer elemento o equivalentemente, posee un elemento mínimo.

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CAPÍTULO 1. CARDINALIDAD DE CONJUNTOS

bien definida (dado b ∈ B existe uno y sólo un g(b) ∈ En ). Ahora bien, g es inyectiva ya que para b = / b ′ , por definición de función, los conjuntos f−1 ({b}) −1 ′ y f ({b }) son disjuntos y en consecuencia, poseen mínimos distintos. (3)⇒(1) Por hipótesis, existe una función inyectiva g : B → En consideremos el rango o imagen de g, g(B) que es subconjunto de En . Si g es sobreyectiva, entonces g es una biyección entre B y En lo que dice que B es finito. En caso contrario, g(B) es un subconjunto propio de En , por el teorema 1.2, existe una biyección h : g(B) → Ek para algún k < n. Entonces, la funb : B → g(B) (la restricción de g a su rango) definida por g b(b) = g(b), ción g que no es mas que la restricción de g a su rango, es una biyección y en b : B → Ek es también una biyección, lo que consecuencia, la función h ◦ g implica que el conjunto B es finito. 

Corolario 1.8. Uniones finitas y productos cartesianos finitos de conjuntos finitos, son finitos.

Prueba: Se hará la prueba para la unión y el producto de dos conjuntos finitos. Sean A, B dos conjuntos finitos. Si A o B es vacío, el resultado es obvio. Así que suponemos que ambos son no vacíos y existen biyecciones f : Em → A y g : En → B para ciertos n, m ∈ N. Se define entonces h : Em+n → A ∪ B por: f(i) si i = 1, 2, . . . , m h(i) = g(i − m) si i = m + 1, . . . , m + n

h es sobreyectiva porque f y g lo son. Por la parte (2) del teorema 1.7, se tiene que A ∪ B es finito. Veamos ahora que A × B es finito. Dado a ∈ A, podemos definir ϕ : {a} × B → B por ϕ(a, b) = b. De inmediato vemos que ϕ es una biyección. Así que, como existe una biyección entre B y En , también existe una de {a}×B en En , o sea que es un conjunto finito. Considerando la misma biyección de arriba f : Em → A y denotando f(i) = ai ∈ A, podemos escribir: A×B=

m [

i=1

{f(i)} × B =

m [

{ai } × B

i=1

así A × B es una unión finita de conjuntos finitos y por tanto, es finito. El caso de la unión o producto cartesiano de n conjuntos finitos se prueba  por inducción y se deja como Ejercicio.



1.2.

Conjuntos numerables y no numerables

El conjunto N es el prototipo de los conjuntos infinitos-numerables. el concepto de conjunto numerable esta asociado con la idea de tener la posibilidad de “etiquetar” o identificar a cada elemento del conjunto numerable con un elemento de N (la etiqueta) o en otras palabras, la posibilidad de enumerar o contar los elementos del conjunto numerable, de allí que algunos textos utilizan el término conjunto enumerable.

1.2. CONJUNTOS NUMERABLES Y NO NUMERABLES

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Definición 2 (conjunto infinito). Un conjunto A se dice infinito si éste no es finito. Se dice que es infinito-numerable si existe una correspondencia biyectiva f:A→N Ejemplo 1. El conjunto Z de todos los enteros es infinito-numerable. En efecto, es posible definir la función f : Z → N definida por 2n si n > 0 f(n) = −2n + 1 si n ≤ 0

 f es inyectiva pues si f(n) = f(m) ambos son pares o ambos son impares, en consecuencia sólo puede ocurrir que 2n = 2m o −2n + 1 = −2m + 1, cada una implica que n = m. También f es sobreyectiva ya que dado n ∈ N si n es par n = 2k para algún k, en este caso n = f(k); si n es impar, n = 2k + 1 para algún k ∈ N en este caso, f(−k) = −2(−k) + 1 = 2k + 1 = n. Lema 1.9. El conjunto N × N es infinito numerable. Prueba: Considerando la representación cartesiana de N × N, se puede etiquetar cada elemento de N × N en la forma que sugiere el dibujo mediante f

A

a 10

a6

a9

a3 a5 a 8 a1 a 2 a4 a7

Figura 1.1: Representación esquemática de la función f(x, y) = (x + y − 1, y) la siguiente función f : N × N → A donde A es el conjunto de los pares (x, y) en N × N tales que y ≤ x; f se define por:

f(x, y) = (x + y − 1, y) Entonces, ahora definimos una función g : A → N por

g(x, y) =

1 (x − 1)x + y. 2

Tanto f como g son biyecciones y su composición es un biyección entre N×N en N. 

CAPÍTULO 1. CARDINALIDAD DE CONJUNTOS

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Definición 3 (numerable, no numerable). Se dice que un conjunto es numerable si es finito o es infinito numerable. Un conjunto que no es numerable se dice no numerable . El siguiente teorema nos da un criterio para establecer que un conjunto sea numerable. Teorema 1.10. Sea B un conjunto no vacío. Entonces son equivalentes las siguientes proposiciones: (1) B es numerable. (2) Existe una función sobreyectiva f : N → B. (3) Existe una función inyectiva g : B → N.

Prueba: (1)⇒(2). Sea B un conjunto numerable. Si B es infinito numerable, por definición existe una biyección entre N y B, la cual es en particular, sobreyectiva. Si B es finito (y no vacío), por definición existe una biyección h entre En y B para algún n ∈ N. Entonces definimos h(i) si 1 ≤ i ≤ n H(i) = h(1) si i > n

H es una sobreyección de N sobre B. (2)⇒(3). Supongamos que f : N → B es una sobreyección. Se define g : B → N por: para b ∈ B, g(b) = m´ın f−1 ({b}).

Por ser f sobreyectiva, f−1 ({b}) es un subconjunto no vacío de N y por el principio del buen orden, g esta bien definida. Además, g es inyectiva pues si b =/ b ′ , por definición de función, los conjuntos f−1 ({b}) y f−1 ({b ′ }) son disjuntos y por lo tanto, con mínimos distintos. (3)⇒(1). Sea g : B → N una función inyectiva; si el rango de g es finito, existe una biyección entre g(B) y En para algún n ∈ N por el teorema 1.7, B es finito. Ahora bien, si el rango de g es un infinito de N, definimos H(1) = m´ın g(B) (principio del buen orden). De manera recursiva, se define para i ∈ N, H(i) = m´ın(g(B) \ H({1, 2, . . . , i − 1}). entonces H es una biyección b : B → g(B) entre N y g(B); como la función g es inyectiva, la función g b(b) = g(b) es una biyección entre B y g(B). Luego, H−1 ◦ g b es definida por g una biyección entre B y N, por lo que B es infinito numerable. 

Lema 1.11. Si C es un subconjunto infinito de N, entonces C es infinito numerable. Prueba: Se define la función h : N → C, por h(1) = m´ın C, el mínimo de C existe por el principio del buen orden. Si ya están fijados h(1), . . . , h(n−1), se define h(n) = m´ın C \ h({1, . . . , n − 1}).

1.2. CONJUNTOS NUMERABLES Y NO NUMERABLES

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El conjunto C \ h({1, . . . , n − 1}) es no vacío porque C es infinito (en caso contrario, h : {1, . . . , n − 1} → C sería sobreyectiva y entonces C sería finito). Por otra parte, h es inyectiva ya que si m < n, h(m) pertenece al conjunto h({1, . . . , n − 1} y por definición, h(n) no pertenece al mismo, así que h(m) = / h(n). También h es sobreyectiva. En efecto, sea c un elemento de C, el rango o imagen de h, h(N), es infinito por ser h inyectiva, así que no puede estar contenido en {1, . . . , c} que es finito; es decir, algún elemento de la imagen de h es mayor que c. Consideramos m como el menor elemento de N tal que h(m) ≥ c. Entonces, para i < m se tiene que h(i) < c. Luego c no pertenece al conjunto h({1, . . . , m − 1}) o lo que es lo mismo, c ∈ C \ h({1, . . . , m − 1}), por la definición de h(m) se concluye que h(m) ≤ c. Por la desigualdad de arriba, se concluye que h(m) = c como se quería demostrar.  Corolario 1.12. Un subconjunto de un conjunto numerable es numerable. Prueba: Sea B un conjunto numerable y A ⊆ B. Entonces existe una inyección f entre B y N. La restricción de f en A es una inyección de A en N.  Teorema 1.13. La unión numerable de conjuntos numerables es numerable. Prueba: Consideremos una familia indizada mediante un conjunto numerable J, {An }n∈J , donde cada An es a su vez, un conjunto numerable. Se puede suponer, sin pérdida de generalidad, que cada conjunto An es no vacío. Dado que cada An es numerable, para cada n ∈ J existe una función sobreyectiva fn : N → An (teorema 1.10 parte (2)); del mismo modo, existe una función sobreyectiva g : N → J. Entonces, se define [ h:N×N→ An n∈J

por

h(k, m) = fg(k) (m) Es claro que h es sobreyectiva. Vimos en el corolario 1.9 que N × N es infinito numerable y por tanto, existe una biyección ϕ : N → N × N. Luego, S h ◦ ϕ : N → n∈J An es una sobreyección. La numerabilidad de la unión se sigue por la parte (2) del teorema 1.10.  Teorema 1.14. El producto cartesiano finito de conjuntos numerables, es numerable.

Prueba: Veamos el resultado para el producto cartesiano de dos conjuntos numerables A, B. Si A o B es vacío, el producto es vacío y por tanto numerable. Si tanto A como B son no vacíos por el teorema 1.10 existen funciones sobreyectivas f : N → A y g : N → B. Entonces la función, h : N × N → A × B definida por: h(n, m) = (f(n), g(m)), es sobreyectiva y así A × B es numerable. En el caso general se procede por inducción. 

12

CAPÍTULO 1. CARDINALIDAD DE CONJUNTOS

Note que el teorema anterior establece la numerabilidad para productos cartesianos finitos. Producto cartesiano numerable de conjuntos incluso finitos no es numerable, esto se muestra en el siguiente teorema. Teorema 1.15. El producto cartesiano {0, 1}ω = Πi∈N {0, 1} es no numerable. Prueba: Para la prueba de este teorema utilizamos nuevamente el teorema 1.10 mostrando que cualquier función

g : N → {0, 1}ω

no puede ser sobreyectiva. Para cada n ∈ N, g(n) es una ω-upla que podemos representar por: g(n) = (xn1 , xn2 , · · · , xnm , · · · )

donde xij ∈ {0, 1}. Consideremos ahora el elemento y = (y1 , . . . , yn , . . . ) de {0, 1}ω donde 0 si xnn = 1 yn = 1 si xnn = 0 El elemento y no pertenece a el rango de g ya que para cualquier n ∈ N, g(n) y y difieren en la n-ésima posición. Esto prueba que g no es sobreyectiva y como es arbitraria, concluimos que {0, 1}ω es no numerable.  Otra forma de ver el teorema anterior, es interpretar cada elemento de {0, 1}ω como los dígitos correspondientes a la expansión en base 2 de un elemento del intervalo [0, 1), esto establece una sobreyección entre {0, 1}ω y el intervalo [0, 1), probando previamente que dicho intervalo es un conjunto no numerable, concluimos que también {0, 1}ω es no numerable. El siguiente teorema nos sirve, entre otras cosas, para mostrar otro ejemplo de un conjunto no numerable, a saber, el conjunto de partes de N, P(N). Teorema 1.16. Sea A un conjunto cualquiera, entonces no existe ninguna función inyectiva f : P(A) → A ni tampoco una función sobreyectiva g : A → P(A).

Prueba: Si B es un conjunto no vacío, la existencia de una función inyectiva f : B → C implica la existencia de una función sobreyectiva g : C → B definiendo g(c) = f−1 (c) sobre cada elemento del rango o imagen de f y g restringida a C \ f(B) algún elemento fijo de B. Luego, para demostrar el teorema basta demostrar que dada una función g : A → P(A), ésta no puede ser sobreyectiva. Consideremos entonces tal función g; para cada elemento a en A, la imagen g(a) es un subconjunto de A que puede contener o no al propio elemento a. Sea ahora B el subconjunto de A constituido por los elementos a tales que g(a) no contiene a a. Es decir,

B = {a ∈ A : a ∈ / g(a)} el conjunto B pudiera ser vacío o cualquier otro subconjunto de A, lo cierto es que B no pertenece al rango de g. En efecto, si suponemos que existe algún elemento a0 de A tal que B = g(a0 ) se tiene que

a0 ∈ B ⇔ a0 ∈ / g(a0 ) = B

1.3. CONJUNTOS INFINITOS

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lo cual es una flagrante contradicción. Luego, g no es sobreyectiva.

1.3.



Conjuntos infinitos

En la sección anterior se establecieron algunos criterios para ver que un conjunto sea infinito. Utilizando el corolario 1.6 se tiene que A es infinito si tiene un subconjunto infinito numerable y por el corolario 1.3, A es infinito si existe una biyección entre A y un subconjunto propio del mismo. Ahora se establecerá una caracterización de los conjuntos infinitos. Teorema 1.17. Sea A un conjunto. Las siguientes proposiciones son equivalentes: (1) Existe una función inyectiva f : N → A.

(2) Existe una biyección de A con un subconjunto propio del mismo. (3) A es infinito.

Prueba: (1)⇒(2) Supongamos que existe una función inyectiva f : N → A. Para cada n en N denotemos su imagen mediante f por: f(n) = an . Siendo f inyectiva, resulta que an = / am si n = / m. Se define ahora

por:

g : A → A \ {a1 } g(an ) = an+1 para cada an ∈ f(N) g(x) = x para x ∈ A \ f(N).

Es fácil ver que g es una biyección y esto prueba (2). (2)⇒(3) Esta proposición es el contrarecíproco del corolario 1.3 y por tanto, queda demostrada. (3)⇒(1) Supongamos que A es un conjunto infinito, en consecuencia, A es no vacío y se puede seleccionar un punto a1 de A que nos sirve para comenzar a definir una función f : N → A haciendo f(1) = a1 . Luego, definiendo de manera recursiva, si ya se han definido las imágenes f(1), . . . , f(n − 1) se quiere definir la imagen f(n). El conjunto A \ f({1, . . . , n − 1}) es no vacío, pues si lo fuere, la función f : {1, . . . , n − 1} sería biyectiva y en consecuencia, A sería finito. Entonces, seleccionando un elemento de A \ f({1, . . . , n − 1}), y definiendo f(n) como dicho elemento, se ha definido f en todo N. Ahora bien, f es inyectiva porque si m < n, entonces f(m) pertenece al conjunto f({1, . . . , n − 1}) y por definición, f(n) no pertenece a dicho conjunto; así, f(m) = / f(n).  La prueba del teorema anterior, se apoya en un importante axioma llamado axioma de elección. Axioma de elección Dada una colección A de conjuntos disjuntos no vacíos, existe un conjunto C formado exactamente por un elemento de cada

CAPÍTULO 1. CARDINALIDAD DE CONJUNTOS

14

conjunto de la familia A, esto es, un conjunto C tal que C está contenido en la unión de los elementos de A, y que para cada A ∈ A, el conjunto C ∩ A contiene un único elemento.

1.4.

Tópicos en teoría de conjuntos

en esta sección se repasarán algunos tópicos de la teoría de conjuntos que con cierta frecuencia se citan en diversos campos de la matemática. Es conocida la propiedad de N según la cual todo subconjunto no vacío posee un mínimo o un primer elemento, sabiendo también que éste conjunto tiene definida una relación de orden. Definición 4 (orden parcial). Sea A un conjunto. Una relación  definida en A se dice un orden parcial si es reflexiva, antisimétrica y transitiva; es decir, si para a, b y c elementos de A, se tiene: (1) a  a (reflexividad). (2) a  b ∧ b  a ⇒ a = b (antisimetría).

(3) a  b ∧ b  c ⇒ a  c (transitividad).

El conjunto A junto con la relación  se le llama conjunto parcialmente ordenado. En la misma secuencia tenemos el llamado orden total, lineal o simple: Definición 5. Un orden total es un conjunto A parcialmente ordenado mediante la relación  tal que todo par de elementos de A son comparables, es decir, dados a, b en A, a  b ó b  a. Un conjunto dotado de un orden total es llamado conjunto totalmente ordenado, también se le llama conjunto linealmente ordenado, simplemente ordenado o cadena. Sea A un conjunto parcialmente ordenado y B un subconjunto de A. Un elemento b se dice el máximo de B si b ∈ B y p  b para todo p ∈ B. Análogamente, se dice que c es el mínimo de B si c ∈ B y c  p para todo p ∈ B. Diremos que un conjunto B está acotado superiormente si existe un elemento b en A tal que p  b para todo p en B; tal elemento b se denomina cota superior de B. Si el conjunto de cotas superiores de B tiene un mínimo, éste se denomina supremo de B y se denota por sup B. Análogamente, diremos que un conjunto B está acotado inferiormente si existe un elemento c en A tal que c  p para todo p en B; tal elemento c se denomina cota inferior de B. Si el conjunto de cotas inferiores de B tiene un máximo, éste se denomina ínfimo de B y se denota por ´ınf B. En el conjunto de los números reales R, la siguiente propiedad es conocida como axioma del supremo.

1.4. TÓPICOS EN TEORÍA DE CONJUNTOS

15

Definición 6 (propiedad del supremo(ínfimo)). Un conjunto ordenado A se dice que satisface la propiedad del supremo (ínfimo), si todo subconjunto no vacío de A, acotado superiormente(inferiormente), tiene supremo(ínfimo). Una propiedad bastante conocida de los naturales es la siguiente: Teorema 1.18 (Principio del buen orden). Todo subconjunto no vacío de N posee un mínimo (o un primer elemento). Para facilitar la prueba de este principio, probemos primero el siguiente Lema 1.19. Para cada n ∈ N, se tiene que todo subconjunto no vacío de {1, . . . , n} tiene un mínimo. Prueba: Consideremos el conjunto A de todos los enteros positivos n, para los cuales vale la tesis del teorema y procedamos por inducción. Para n = 1, el único conjunto no vacío es {1} y claramente tiene mínimo. Así 1 ∈ A. Supongamos ahora que A contiene a n (hipótesis inductiva). Consideremos un subconjunto no vacío C de {1, . . . , n, n + 1}. Si C consta únicamente de n + 1, es claro que C tiene un mínimo. En caso contrario, C ∩ {1, . . . , n} es un subconjunto no vacío de {1, . . . , n} y por la hipótesis inductiva, tiene un mínimo que también es mínimo de C. Luego, n + 1 pertenece a A. Esto prueba el teorema.  Ahora probemos el principio del buen orden: Prueba: Sea B un subconjunto no vacío de N, elegimos un elemento n ∈ B, entonces el conjunto A = B ∩ {1, . . . , n} es un subconjunto no vacío de {1, . . . , n}; por el lema, dicho conjunto tiene mínimo, que a su vez, es mínimo de B.  Generalizando este concepto, tenemos: Definición 7 (conjunto bien ordenado). Un conjunto totalmente ordenado A, se dice que esta bien ordenado, si todo subconjunto no vacío de A tiene un mínimo. El siguiente teorema fue demostrado por Zermelo 2 en 1904 y sobrecogió al mundo de las matemáticas. Hubo un considerable debate sobre la corrección de la demostración; la ausencia de cualquier tipo de procedimiento constructivo para establecer un buen orden en un conjunto no numerable arbitrario conducía a muchos a ser escépticos. Cuando la demostración fue analizada cuidadosamente, el único punto que se encontró que podía cuestionarse fue una construcción que implicaba un número infinito de elecciones arbitrarias, esto es, una construcción que utilizaba el axioma de elección. Teorema 1.20 (Teorema del buen orden). Si A es un conjunto, existe una relación de orden sobre A que lo hace un conjunto bien ordenado. 2 Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo (1871-1953) fue un matemático y filósofo alemán con amplias contribuciones en la teoría de conjuntos.

16

CAPÍTULO 1. CARDINALIDAD DE CONJUNTOS

El conjunto de los números naturales, como subconjunto de R que es un conjunto parcialmente ordenado y con la propiedad del supremo, no posee cota superior. En efecto, supongamos que N está acotado superiormente, entonces tiene supremo, digamos S = sup N ∈ R; entonces existe n ∈ N tal que S − 1 < n pues de no ser así, S − 1 sería una cota superior de N menor que el supremo. Pero entonces se tiene que S < n + 1, como n + 1 ∈ N, esto contradice que S es cota superior de N. Otra forma equivalente de enunciar esa propiedad es la siguiente: Lema 1.21 (Propiedad arquimediana). Dados dos números reales positivos a, b, existe un número natural n tal que b < na. El siguiente principio fue formulado por primera vez por Hausdorff3 en 1914. Teorema 1.22 (El principio del máximo). Sea A un conjunto parcialmente ordenado. Entonces existe un subconjunto totalmente ordenado maximal B de A. En la prueba de este teorema se utiliza el teorema del buen orden (teorema 1.20), aunque el argumento no es complicado, escapa del objetivo de este capítulo introductorio. Otro resultado quizás de uso más frecuente, es el llamado lema de Zorn4 que puede ser visto como consecuencia directa del principio del máximo y enunciamos a continuación, pero antes una definición. Definición 8 (elemento maximal). Decimos que m es un elemento maximal de un conjunto parcialmente ordenado A, si ningún elemento a de A verifica la relación m  a siendo a distinto de m. Lema 1.23 (Lema de Zorn). Sea A un conjunto parcialmente ordenado. Si toda cadena en A (todo subconjunto totalmente ordenado) posee una cota superior (en A), entonces existe al menos un elemento maximal.

3 Felix Hausdorff (1868-1942) fue un matemático alemán que está considerado como uno de los fundadores de la moderna Topología y que ha contribuido significativamente a la teoría de conjuntos, la teoría descriptiva de conjuntos, la teoría de la medida, el análisis funcional y la teoría de funciones. 4 Max August Zorn (1906-1993) fue un matemático alemán nacionalizado estadounidense. Trabajó en los campos del álgebra abstracta, teoría de grupos y análisis numérico. Es famoso por el lema de Zorn, una herramienta poderosa de teoría de conjuntos, que se puede aplicar a un amplio abanico de entes matemáticos como espacios vectoriales, conjuntos ordenados, etc. El lema de Zorn fue descubierto por primera vez por Kazimierz Kuratowski en 1922, y después de forma independiente, por Zorn en 1935.

1.5. EJERCICIOS

1.5. 1

17

Problemario No 1

(a) Determine cuántas funciones inyectivas f existen de la forma:

f : {1, 2} → {1, 2, 3}

muestre que ninguna es biyectiva. Esto prueba que un conjunto con cardinal 2 no puede tener cardinal 3. (b) ¿Cuántas funciones inyectivas f entre los siguientes conjuntos existen? f : {1, . . . , 8} → {1, . . . , 10}

Sugerencia: no hace falta listarlas todas. Razone como en combinatoria... para f(1) ¿cuántas posibles imágenes hay?; una vez fijada, ¿cuántas posibles imágenes hay para asignar a f(2)?, etc.

2

Demuestre que si B no es finito y B ⊆ A, entonces A no es finito.

3

Defina una biyección entre el conjunto {0, 1}ω y un subconjunto propio del mismo.

4

Suponga que el conjunto A × B es finito, ¿implica esto que tanto A como B son finitos?

5

Si A y B son conjuntos finitos, demuestre que el conjunto de todas las funciones f : A → B es finito.

6

Demuestre que el conjunto Q de los números racionales, es numerable.

7

Defina una biyección entre el conjunto P(N) y el producto cartesiano {0, 1}ω .

8

Un ejercicio de conteo: (a) Se dice que un número real es algebraico (sobre los racionales) si es raíz de algún polinomio con coeficientes racionales, es decir satisface una ecuación del siguiente tipo:

xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0 donde los coeficientes ai son racionales y n ∈ N. Asumiendo el Teorema Fundamental del Álgebra que afirma que un polinomio de grado n posee a lo sumo n raíces, demuestre que el conjunto de los números algebraicos es numerable.

18

CAPÍTULO 1. CARDINALIDAD DE CONJUNTOS (b) Se dice que un número real es trascendente si no es algebraico. Asumiendo que el conjunto de los números reales es no numerable, demuestre que el conjunto de los números trascendentes es no numerable. (Aunque pocos son los que tienen fama por ejemplo: e y π).

Capítulo 2

Espacios métricos 2.1.

Definición de espacio métrico

Definición 9 (métrica). Una métrica en un conjunto M es una función d : M × M → R, que asocia a cada par de elementos x, y ∈ M un número real d(x, y) llamado la distancia de x a y y que satisface las siguientes propiedades para cualesquiera x, y, z ∈ M: (1) d(x, x) = 0;

(2) si x = / y, entonces d(x, y) > 0; (3) d(x, y) = d(y, x); (4) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)

De la (1) y (2) se deduce que la la distancia es no negativa y que d(x, y) = 0 si, y sólo si, x = y. La (3) afirma que la distancia d(x, y) es una función simétrica en las variables x, y. La condición (4) es llamada desigualdad triangular; su nombre nace por el hecho de que, en el plano euclidiano, la longitud de un lado del triángulo no supera a la suma de los otros dos.

Figura 2.1: Desigualdad triangular en el plano Definición 10 (espacio métrico). Un espacio métrico es un par (M, d) donde M es un conjunto y d es una métrica en M. 19

CAPÍTULO 2. ESPACIOS MÉTRICOS

20

Diremos simplemente “el espacio métrico M”, cuando se sobrentiende cuál es la métrica “d” que se está considerando. Los elementos de un espacio métrico pueden ser de diferente naturaleza: números, puntos, vectores, funciones, matrices etc. Pero en general los llamaremos puntos de M. Se comentarán ahora algunos ejemplos de espacios métricos. Ejemplo 2. La métrica “cero-uno”. Todo conjunto M se puede convertir en un espacio métrico definiendo la métrica d : M × M → R por d(x, x) = 0 y d(x, y) = 1 si x = / y.  Ejemplo 3. El conjunto de los números reales R es un importante ejemplo de espacio métrico. La distancia entre dos puntos x, y ∈ R está dada por d(x, y) = |x − y| las propiedades de la definición 9 son propiedades elementales del valor absoluto. Ésta es llamada “métrica usual de R”. A menos que se especifique lo contrario, se considerará ésta métrica cuando se hable de R como espacio métrico.  Ejemplo 4. Este ejemplo generaliza el anterior. Los puntos de Rn son nuplas x = (x1 , . . . , xn ) donde cada una de las n coordenadas xi es un número real. Dados x = (x1 , . . . , xn ) y y = (y1 , . . . , yn ), elementos de Rn , existen al menos tres formas de definir la distancia: " n #1/2 q X 2 d(x, y) = (x1 − y1 )2 + · · · + (xn − yn )2 = (xi − yi ) , i=1

′

d (x, y) = |x1 − y1 | + · · · + |xn − yn | =

n X

|xi − yi | y

i=1

d ′′ (x, y) = m´ax{|x1 − y1 | , . . . , |xn − yn |} = m´ax |xi − yi | . 1≤i≤n

Las funciones d, d ′ , d ′′ : Rn × Rn → R son métricas. Es bastante claro que ellas cumplen (1),(2) y (3) de la definición 9. En virtud de las propiedades del valor absoluto, es mas o menos visible que d y d ′ verifican (4); también d verifica (4) y se verá más adelante como consecuencia del lema 2.1. La métrica d es llamada métrica euclidiana en honor a Euclides1  Ejemplo 5. Subespacio; métrica inducida. Si (M, d) es un espacio métrico, todo subconjunto S ⊆ M, se puede considerar, de una forma natural como un espacio métrico: basta considerar la restricción de d a S × S, es decir, utilizar para los elementos de S, la misma distancia que ellos tenían como elementos de M. En este caso, S se llama subespacio de M y la métrica se dice inducida por la de M. Esta idea simple nos permite obtener una amplia variedad de 1 Euclides (en griego Eυκλǫιδησ, Eukleides) fue un matemático y geómetra griego, que vivió alrededor del 300 a.C. (325 - 265 a. C.). Se le conoce como “El Padre de la Geometría”.

2.1. DEFINICIÓN DE ESPACIO MÉTRICO

21

ejemplos de espacios métricos, considerando los distintos subconjuntos de una espacio métrico dado.  La métrica euclidiana d es más natural para consideraciones geométricas; sin embargo, d ′ y d ′′ son formalmente más simples en su definición y ya que son “equivalentes” en un sentido que se estudiará en el capítulo 3, es conveniente considerarlas a pesar de que su significado geométrico es un tanto artificial. Definición 11 (función acotada). Sea X un conjunto arbitrario. Una función real f : X → R es llamada acotada si existe una constante K = K(f) > 0 tal que |f(x)| ≤ K para todo x ∈ X.

Ejemplo 6. Un espacio de funciones. Denotamos por B(X; R) al conjunto de las funciones acotadas f : X → R. La suma, la diferencia y el producto de funciones acotadas es también acotada (de hecho más adelante veremos que es un espacio vectorial). Para dos elementos f, g de B(X; R) cualesquiera se define d(f, g) = sup |f(x) − g(x)| . x∈X

ésta es una métrica llamada métrica de la convergencia uniforme o métrica del supremo.  En el caso particular en que X es el intervalo [a, b] ⊆ R. Dadas f, g : [a, b] → R acotadas, la distancia d(f, g) es la longitud máxima de los segmentos verticales que unen el gráfico de g y f, ver figura 2.2. Más concretamente, en el espacio métrico B([0, 1]; R), la distancia de la función f(x) = x a la función g(x) = x2 es d(f, g) = 1/4. 1 d(f,g) f g

0

1

Figura 2.2: Distancia del supremo Definición 12 (norma). Sea E un espacio vectorial real o complejo. Una norma en E es una función real k·k : E → R que asocia a cada vector x ∈ E el número real kxk, llamado “la norma de x” y que satisface las siguientes propiedades para cualesquiera x, y ∈ E y un escalar λ: (1) si x = / 0 entonces kxk = / 0;

CAPÍTULO 2. ESPACIOS MÉTRICOS

22 (2) kλ · xk = |λ| · kxk;

(3) kx + yk ≤ kxk + kyk (desigualdad triangular); Ejemplo 7. Espacios vectoriales normados. Un espacio vectorial normado es un par (E, k k) donde E es un espacio vectorial y k k una norma en E. Se nombrará al espacio vectorial normado por E dejando sobrentendida la norma. Un ejemplo de espacio vectorial normado es Rn , donde se pueden definir las siguientes tres normas para un vector x = (x1 , . . . , xn ):

kxk =

qX

′

x2i ; kxk =

X

′′

|xi | y kxk = m´ax |xi |

No es difícil observar que se satisfacen las propiedades de norma para estas funciones, excepto quizá la desigualdad triangular para la primera, ésta se muestra más adelante en el ejemplo 8. Otro ejemplo de espacio vectorial normado es B(X; R), definiendo kfk = supx∈X |f(x)|. Todo espacio vectorial normado (E, k k) es un espacio métrico mediante la definición d(x, y) = kx − yk. Diremos que esta métrica es proveniente de o inducida por la norma k k. Por ejemplo, la métricas d, d ′ y d ′′ en Rn son ′ ′′ inducidas por las normas k k , k k y k k respectivamente. Así mismo, la métrica del supremo en B(X : R) es inducida por la norma del supremo definida arriba y se puede escribir kf − gk en lugar de d(f, g). Las propiedades de la métrica inducida por la norma se deducen a partir de las propiedades de la norma; como ejemplo veamos la desigualdad triangular: dados x, y, z ∈ E,

d(x, z) = kx − zk = k(x − y) + (y − z)k ≤ kx − yk + ky − zk = d(x, y) + d(y, z)  Definición 13 (producto interno). Sea E un espacio vectorial sobre el campo K (R ó C). Un producto interno es una función h·, ·i : E × E :→ K, que asocia a cada par ordenado de vectores x, y ∈ E el escalar hx, yi, llamado el producto interno de x por y, y que satisface las siguientes propiedades para x, x ′ , y ∈ E y λ ∈ K arbitrarios: (1) hx + x ′ , yi = hx, yi + hx ′ , yi (aditividad en el primer factor); (2) hλx, yi = λ hx, yi (homogeneidad en el primer factor); (3) hx, yi = hy, xi (simetría conjugada); (4) x = / 0 ⇒ hx, xi > 0.

2.1. DEFINICIÓN DE ESPACIO MÉTRICO

23

La barra en la tercera propiedad indica la operación de conjugación compleja. En el caso de que E sea un espacio vectorial real (K = R), se omite la barra (de hecho el conjugado de un real puro es el mismo real). Así mismo, la propiedad (4) afirma además que independientemente que el espacio vectorial sea real o complejo, la expresión hx, xi es un número real no negativo para todo x ∈ E. A partir de las tres primeras propiedades se pueden deducir otras:

hx, y + y ′ i = hx, yi + hx, y ′ i

hx, λyi = λ hx, yi

y

h0, yi = 0

De esta forma vemos que e producto interno es lineal en el primer factor pero no en el segundo (en el caso complejo), en el segundo factor satisface la aditividad y la homogeneidad conjugada, esto se resume en ocasiones diciendo que el producto interno es “lineal conjugado” en el segundo factor. Ejemplo 8. Espacios vectoriales con producto interno. Sea E un espacio vectorial con producto interno. El producto interno p define una norma mediante la siguiente expresión: para cada x ∈ E, kxk = hx, xi . Las primeras dos propiedades de la norma son inmediatas a partir de las propiedades del producto interno. La tercera se deduce a partir de la desigualdad de Cauchy-Schwarz. De esta forma cada espacio vectorial con producto interno es también un espacio vectorial normado y en consecuencia, es un espacio métrico.  Lema 2.1 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz). Sea E un espacio vectorial con producto interno. Para todo x, y ∈ E se tiene:

|hx, yi| ≤ kxk kyk

Prueba: Caso real. Sean x, y ∈ E. Notemos primero que si x = 0 se tiene una igualdad obvia. Supongamos que x =/ 0, haciendo el escalar λ = 2 hx, yi / kxk , se puede verifica que si z = y−λ·x, entonces hz, xi = 0. Utilizando éste último hecho y calculando el producto interno de y = z+λ·x por si mismo, 2 2 2 2 2 se obtiene que kyk = kzk + λ2 · kxk . De aquí se deduce que λ2 kxk ≤ kyk . 2 2 2 2 2 2 Pero λ2 kxk = hx, yi / kxk . Luego, hx, yi ≤ kxk · kyk lo que implica la desigualdad buscada. Caso complejo. Sean x, y ∈ E y λ ∈ C. Suponemos que x = /0 y y = / 0. 2

kx + λyk = hx + λy, x + λyi

= hx, xi + hx, λyi + hλy, xi + hλy, λyi 2

= kxk + λ hx, yi + hx, λyi + λλ kyk 2

2

2

= kxk + λ hx, yi + λ hx, yi + |λ| kyk 2

2

= kxk + 2Re(λ hx, yi) + |λ| kyk

2

2

Aquí debemos asumir que x, y son linealmente independientes y así, kx + λyk > 0; luego, 2

2

2

kxk + 2Re(λ hx, yi) + |λ| kyk > 0 para todo λ ∈ C

CAPÍTULO 2. ESPACIOS MÉTRICOS

24

Por simplicidad, denotemos z = hx, yi, z ∈ C; si z = 0, se tiene obviamente la desigualdad: 0 = z = hx, yi ≤ kxk kyk. Así que asumimos que z = / 0 y hacemos z λ = t |z| , con t ∈ R arbitrario, y se obtiene 2

2

2

0 < kxk + 2Re(λ hx, yi) + |λ| kyk   2 tz zz 2 2 = kxk + 2Re t + kyk |z| |z| 2

2

= kxk + 2t |z| + t2 kyk 2

2

= (kyk )t2 + (2 |z|)t + (kxk )

La última expresión es un polinomio de coeficientes reales, en la variable real t y como es positivo para todo t ∈ R, no tiene raíces reales; por lo tanto, su discriminante es negativo, de allí que 2

2

(2 |z|)2 − 4 kyk kxk < 0 Recordando que z = hx, yi, se tiene

|hx, yi| < kxk kyk Si x = αy, es decir, si x, y son linealmente dependientes, entonces 2

|hx, yi| = |hαy, yi| = |α| kyk = |α| kyk kyk = kαyk kyk = kxk kyk 

Con esta desigualdad se prueba rápidamente la desigualdad triangular para la norma inducida por el producto interno, en efecto: 2

2

2

kx + yk = hx + y, x + yi = kxk + kyk + 2Re(hx, yi) 2

2

2

2

≤ kxk + kyk + 2 |hx, yi|

≤ kxk + kyk + 2 kxk · kyk = (kxk + kyk)2

2.2.

Bolas y esferas

En un espacio métrico la noción de proximidad la proporciona el concepto de bola, más adelante veremos que en realidad, las bolas son conjuntos “básicos” de la topología. Definición 14 (bola abierta, bola cerrada y esfera). Sea a un punto de un espacio métrico M, y r > 0 un número real positivo. La bola abierta de centro a y radio r es el conjunto B(a; r) de los puntos de M que están a distancia menor que r de a, es decir:

B(a; r) = {x ∈ M : d(x, a) < r}

2.2. BOLAS Y ESFERAS

25

La bola cerrada de centro a y radio r es el conjunto B[a; r] de los puntos de M que están a distancia menor o igual a r de a, es decir:

B[a; r] = {x ∈ M : d(x, a) ≤ r} La esfera de centro a y radio r es el conjunto S(a; r) de los puntos de M que están a distancia r de a, es decir:

S(a; r) = {x ∈ M : d(x, a) = r} Si X es un subespacio del espacio métrico M, cada bola y esfera relativa al subespacio, es la intersección de la bola o esfera en M con X. Como notación, utilizaremos la letra que designa el subespacio como un subíndice:

BX (a; r) = B(x; r) ∩ X;

BX [a; r] = B[a; r] ∩ X;

SX (a; r) = S(a; r) ∩ X

Aún cuando estos nombres son motivados por ese tipo de conjuntos en R3 , es conveniente resaltar que, dependiendo del espacio en estudio junto a su métrica, las bolas pueden tomar formas inesperadas. Ejemplo 9. Sea M dotado de la métrica cero-uno (ejemplo 2), entonces para todo a ∈ M, se tiene que B(a; r) = B[a; r] = M para todo r > 1 y B(a; r) = B[a; r] = {a} si r < 1. Así mismo, B(a; 1) = {a} y B[a; 1] = M. Finalmente, S(a; r) = ∅ si r = / 1 y S(a; 1) = M \ {a}.  Ejemplo 10 (bolas en R). En R con la métrica usual, la bola abierta de centro a y radio r > 0 es el intervalo abierto (a − r, a + r), ya que la proposición |x − a| < r es equivalente a a − r < x < a + r. Análogamente, la bola cerrada B[a; r] es el intervalo cerrado [a−r, a+r], mientras que la esfera S(a; r) consta sólo de los puntos a − r y a + r.  Ejemplo 11. Una bola abierta B(a; r) en R2 con la métrica euclidiana es la parte interna de un círculo de centro a y radio r, pero con la métrica del máximo (ver ejemplo 4), es la parte interna de un cuadrado de centro en a y lados de longitud 2r paralelos a los ejes. Y con la métrica de la suma es la parte interior de un cuadrado de centro en a con diagonales paralelas a los ejes y de longitud 2r, ver figura 2.3:

Figura 2.3: Bolas abiertas en R2 según la métrica utilizada.



CAPÍTULO 2. ESPACIOS MÉTRICOS

26

Ejemplo 12. Sea f una función del espacio B([a, b], R) (ver ejemplo 6). La condición para que una función acotada g : [a, b] → R pertenezca a la bola abierta B(f; r) es que kg − fk = supx∈[a,b] |g(x) − f(x)| < r; gráficamente se puede interpretar esa condición considerando una banda o faja de amplitud 2r alrededor del gráfico de f formada por los puntos (x, y) del plano R2 tales que x ∈ [a, b] y f(x) − r < y < f(x) + r como se muestra en la siguiente figura 2.4

Figura 2.4: Bolas abiertas en B([a, b], R). Las funciones g pertenecientes a la bola abierta B(f; r) son todas aquellas funciones acotadas definidas en [a, b] cuyo gráfico esta contenido en la faja alrededor de f (y que el supremo de |g(x) − f(x)| sea menor que r). Note que no es suficiente que el gráfico de g esté en la faja alrededor de f, por ejemplo si f : [0, 1] → R es la función nula (f ≡ 0) y g : [a, b] → R es la función g(x) = rx si 0 ≤ x < 1 y g(1) = 0, el gráfico de g está contenido en una faja alrededor de f de amplitud 2r, pero kg − fk = supx∈[a,b] |g(x) − f(x)| = r y por tanto g ∈ / B(f; r).  Ejemplo 13. Si M1 , . . . , Mn son espacios métricos, el producto cartesiano M = M1 × · · · × Mn es un espacio métrico definiendo la métrica por d(x, y) = m´ax1≤i≤n d(xi , yi ). Con esta métrica las bolas como en R2 (ver ejemplo 11) resultan ser productos cartesianos de bolas en los factores Mi :

B(a : r) = B(a1 ; r) × · · · × B(an ; r), B[a; r] = B[a1 ; r] × · · · × B[an ; r], donde a = (a1 , . . . , an ).



Definición 15 (punto aislado). Sea M un espacio métrico. Un punto a ∈ M, se dice que es un punto aislado de M cuando él, como conjunto unitario, es una bola abierta en M; es decir, cuando existe un r > 0 tal que B(a; r) = {a}. Decir que un punto a ∈ M no es aislado, significa afirmar que para todo r > 0 existe un punto x ∈ M (distinto de a) a distancia menor que r de a ó 0 < d(x, a) < r.

2.2. BOLAS Y ESFERAS

27

Ejemplo 14. Sea Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . } el conjunto de los números enteros con la métrica inducida por la métrica usual en R. Todo punto en Z es aislado ya que para r = 1, si x está en B(n; 1), entonces n − 1 < x < n + 1 por tanto, x = n. Con la misma métrica inducida por la métrica usual en R, consideremos el conjunto P = {0, 1, 1/2, 1/3, . . . , 1/n, . . . }. En este conjunto, el 0 no es aislado en P. En efecto, para cualquier r > 0 existe un número natural n tal que nr > 1 (propiedad arquimediana lema 1.21). Entonces 0 < 1/n < r, en consecuencia, 1/n pertenece a la bola B(0; r) y es diferente de su centro. Sin embargo, cualquier otro punto en P es aislado; en efecto, para un punto 1/n de P el punto más cercano en este conjunto es 1/(n + 1) con distancia 1/n(n + 1) y si se toma r tal que 0 < r < 1/n(n + 1), la bola abierta B(1/n; r) contiene solamente a 1/n. De hecho, en el conjunto P = {1, 1/2, . . . , 1/n, . . . }, todo punto es aislado.  Ejemplo 15. En un espacio vectorial normado no trivial, ningún punto es aislado. En efecto, dados a ∈ E y r > 0, la bola B(a; r) contiene vectores r · y, que es distintos de a. Tomemos un vector y =/ 0 y hacemos z = 2kyk un vector no nulo de norma r/2. Entonces, el vector x = a + z es tal que 0 < kx − ak < r, como se quería demostrar.  Definición 16 (espacio discreto). Un espacio métrico M se llama discreto cuando todo punto de M es aislado. Un conjunto A de un espacio métrico se dice que es discreto si como subespacio es un espacio discreto. Por ejemplo, un espacio con la métrica cero-uno es discreto. Así mismo, como se vio en el ejemplo 14, Z, y P = P \ {0} son discretos. Proposición 2.2. Dados dos puntos a = / b de un espacio métrico M, si r > 0 y s > 0 son tales que r + s ≤ d(a, b), entonces las bolas B(a; r) y B(b; s) son disjuntas.

Figura 2.5: Propiedad de separación de puntos en un espacio métrico. Prueba: Si existe algún punto x en la intersección B(a; r) ∩ B(b; s), entonces, d(a, x) < r y d(x, b) < s por lo tanto,

d(a, b) ≤ d(a, x) + d(x, b) < r + s ≤ d(a, b) lo cual es una contradicción.



28

CAPÍTULO 2. ESPACIOS MÉTRICOS

Definición 17 (conjunto acotado). Un conjunto A de un espacio métrico M se dice acotado si existe una constante K > 0 tal que para todo x, y ∈ A, se tiene que d(x, y) ≤ K. Definición 18 (diámetro). Si A es un conjunto acotado de un espacio métrico M se define el diámetro de A por: diam(A) = sup {d(x, y) : x, y ∈ A} Si A es un conjunto no acotado, se escribe diam(A) = ∞ para indicar que para todo K > 0, existen elementos xK , yK e A tales que d(xK , yK ) > K.

Ejemplo 16. Toda bola en un espacio métrico es un conjunto acotado y su diámetro es menor o igual al doble de su radio (puede ser menor estricto). En efecto, para x, y elementos cualesquiera de B(a; r), se tiene que d(x, y) ≤ d(x, a) + d(a, y) < r + r = 2r. En Z con la métrica inducida por R, para cada a ∈ Z la bola B(a; 1) = {a} tiene diámetro 0. 

Ejemplo 17. Sin embargo, en un espacio vectorial normado no trivial, toda bola abierta de radio r tiene diámetro igual a 2r. Ya hemos visto que el diámetro es menor o igual a 2r, veamos que si c es tal que 0 < c < 2r, c no es diámetro de la bola. Efectivamente, como se trata de un espacio vectorial normado, podemos considerar un vector no nulo y, con él construimos el y vector x = t kyk donde t es un número real tal que c < 2t < 2r; x tiene norma t (que es menor que r), en consecuencia, los vectores a − x y a + x pertenecen a B(a; r) y la distancia entre ellos es: k(a − x) − (a + x)k = 2 kxk = 2t > c, de esta forma el diámetro es mayor que c. Luego, como c es cualquier número positivo menor que 2r, el diámetro de B(a; r) es mayor o igual a 2r. De las dos desigualdades se tiene, que diam(B(a; r)) = 2r.  Ejemplo 18. Existen ejemplos de espacios métricos acotados. Bastaría considerar en un espacio métrico un subconjunto acotado y estudiarlo como espacio métrico con la métrica inducida. Ahora bien, un espacio vectorial normado no trivial nunca es acotado, en efecto, si V = / 0 es un vector en un v tiene espacio vectorial normado E, para cualquier c > 0, el vector x = c |v| norma c y la distancia entre éste vector y 0 es kv − 0k = kvk = c; luego, el conjunto de distancias entre elementos de E no está acotado superiormente.  Ejemplo 19. La unión de dos conjuntos acotados es acotada. Sean A, B subconjuntos acotados de un espacio métrico M, si alguno fuese vacío el resultado sería directo. Así, fijamos a ∈ A y b ∈ B; para un par de elementos x, y de la unión A ∪ B tenemos tres posibilidades: (1) x ∈ A, y ∈ B, (2) x, y ∈ A y (3) x, y ∈ B. En el primer caso tenemos:

d(x, y) ≤ d(x, a) + d(a, b) + d(b, y) ≤ diam(A) + d(a, b) + diam(B)

2.3. DISTANCIA DE UN PUNTO A UN CONJUNTO

29

en el segundo d(x, y) ≤ diam(A) y en el tercer caso d(x, y) ≤ diam(B). Luego, diam(A) + d(a, b) + diam(B) es una cota superior del conjunto de distancias entre elementos de A ∪ B.  Definición 19 (función acotada). Una función f : X → M definida en un conjunto X y a valores en un espacio métrico M, se dice que es acotada si su rango o imagen f(X) es un conjunto acotado en M. (Compare con la definición 11). 1 Ejemplo 20. La función f : R → R, definida por f(x) = 1+x 2 es acotada ya que su rango es el intervalo (0, 1]. Mientras que g : R → R dada por g(x) = x2 , no es acotada ya que su rango es g(R) = [0, +∞). 

Ejemplo 21. Veamos ahora un contexto más general del ejemplo 6. Sea X un conjunto arbitrario y M un espacio métrico. Denotemos por B(X; M) el conjunto de las funciones acotadas f : X → M. Para dos funciones f, g pertenecientes a B(X; M), el conjunto de distancias d(f(x), g(x)) cuando x recorre todo X, es un conjunto acotado de M, ya que, tanto el rango de f como el de g son conjuntos acotados y en consecuencia, es acotado el conjunto f(X) ∪ g(X) ⊆ M. De esta forma, la distancia entre las funciones f, g : X → M se puede definir como: d(f, g) = sup d(f(x), g(x)). x∈X

ésta métrica en B(X; M) se le llama métrica del supremo ó métrica de la convergencia uniforme En el caso particular en que el espacio de llegada es además un espacio vectorial normado E, es posible definir la suma y la multiplicación por escalar de funciones acotadas que son operaciones cerradas; se verifica en esta situación que B(X; E) es un espacio vectorial normado, la métrica del supremo proviene de la norma del supremo: kfk = supx∈X |f(x)|. 

2.3.

Distancia de un punto a un conjunto

Generalizando lo que significa en el plano R2 la distancia de un punto a a una recta, definida como la distancia de a a x0 el pié de la perpendicular a la recta, que a su vez es el punto de la recta mas cercano a a. Entonces, se puede escribir

d(a, x0 ) = ´ınf {d(a, x) : x está en la recta}. Definición 20 (distancia de un punto a un conjunto). Sea M un espacio métrico, X un subconjunto de M y a un punto cualquiera de M. Se define la distancia del punto a al conjunto X como el número real:

d(a, X) := ´ınf d(a, x) x∈X

30

CAPÍTULO 2. ESPACIOS MÉTRICOS

El conjunto de distancias de arriba está acotado inferiormente por 0, por lo tanto, existe el ínfimo. Por una caracterización de ínfimo para probar que un número real d es la distancia de a a X, se deben verificar dos cosas: primero, que d es cota inferior de ese conjunto, es decir, d ≤ d(a, x) para todo x ∈ X; segundo: que si d < c, entonces existe un elemento xc ∈ X tal que d ≤ d(a, xc ) < c. Ejemplo 22. Si X = {x1 , x2 , . . . , xn } es un conjunto finito, entonces la distancia d(a, X) es el menor de los números: d(a, x1 ), . . . , d(a, xn ). 

Ejemplo 23. Si un punto p pertenece al conjunto X, entonces d(p, X) = 0; pero pueden existir puntos del espacio métrico, cuya distancia a un conjunto es cero sin que pertenezca al conjunto. Por ejemplo, para el intervalo abierto X = (a, b) se tiene que d(a, X) = d(b, X) = 0. En un espacio vectorial normado E, sea B = B(a; r) la bola de centro a y radio r > 0. para un elemento v ∈ E, se verifica que d(v, B) = 0 si, y sólo si, v pertenece a la bola cerrada B[a; r]. En efecto, primero probemos el contrarecíproco del sentido directo. Sea z un vector no perteneciente a la bola cerrada B[a; r], entonces, d(z, a) > r, es decir, kz − ak > r. Para un elemento arbitrario x de B, tenemos que kx − ak < r, por lo tanto, 0 < kz − ak − r < kz − ak − kx − ak < k(z − a) − (x − a)k = kz − xk luego, kz − ak − r es cota inferior de las distancias de z a elementos de B, es decir, d(z, B) > 0. Recíprocamente, si v ∈ B[a; r], entonces kv − ak ≤ r. Hay dos posibilidades: primero que kv − ak < r en cuyo caso v ∈ B y d(v, B) = 0; segundo que v−a = v−a kv − ak = r. En esta caso consideramos el vector unitario u = kv−ak r . Dado ε > 0, tomamos el escalar λ > 0 (real) tal que r − ε < λ < r que equivale a 0 < r − λ < ε. En este orden de ideas, construimos el vector y = a + λ · u, y obtenemos que d(y, a) = ky − ak = λ < r, es decir, y ∈ B; por otra parte,

d(y, v) = kv − yk = kv − a − λ · uk = kr · u − λ · uk = r − λ < ε En conclusión, dado ε > 0, existe y en B a distancia menor que ε de v; lo que implica que d(v, B) = 0.  Proposición 2.3. Sea M un espacio métrico. Dados a, b ∈ M y un subconjunto no vacío X de M, X ⊆ M, se verifica: d(a, X) − d(b, X) ≤ d(a, b).

Prueba: Por las propiedades conocidas del valor absoluto, es suficiente mostrar que −d(a, b) ≤ d(a, X)−d(b, X) ≤ d(a, b). Ahora, por la definición 20 y la desigualdad triangular, para todo x ∈ X, d(a, X) ≤ d(a, x) ≤ d(a, b) + d(b, x),de donde

d(a, X) − d(a, b) ≤ d(b, x)

para todo x ∈ X.

2.4. ISOMETRÍAS

31

Luego, d(a, X) − d(a, b) ≤ d(b, X), equivalentemente,

d(a, X) − d(b, X) ≤ d(a, b). La otra desigualdad se obtiene en forma similar. Ejercicio.





Corolario 2.4. Sean a, b, x untos en M se tiene que d(a, x) − d(b, x) ≤ d(a, b).

Es posible definir la distancia entre dos conjuntos no vacíos.

Definición 21 (distancia entre conjuntos). Sea M un espacio métrico y X, Y ⊆ M subconjuntos no vacíos. La distancia entre X y Y se define por

d(X, Y) = ´ınf {d(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y}. Nótese que si X ∩ Y = / ∅, entonces d(X, Y) = 0, pero el recíproco es falso: si X = (−∞, 0) y Y = (0, +∞) se tiene que X ∩ Y = ∅ pero d(X, Y) = 0.

2.4.

Isometrías

En esta sección se estudiarán algunos aspectos relacionados con funciones que preservan distancias definidas entre dos espacios métricos. Definición 22 (inmersión isométrica). Sean M, N espacios métricos. Una función f : M → N se llama inmersión isométrica si para todo x, y ∈ M, se verifica d(f(x), f(y)) = d(x, y). Otra forma de referirse a estas funciones es llamarlas embebimiento isométrico, también se dice que son funciones que preservan distancias. En el caso de transformaciones lineales de un espacio vectorial en sí mismo, se les llama movimientos rígidos. Una inmersión isométrica f : M → N siempre es inyectiva, pues si f(x) = f(y), entonces d(x, y) = d(f(x), f(y)) = 0 lo que implica que x = y. Definición 23 (isometría). Una isometría es una inmersión isométrica sobreyectiva. La compuesta de dos isometrías y la inversa de una isometría son también isometrías. Ejercicio. Consideremos una función inyectiva f : X → M, donde X es un conjunto y M un espacio métrico. Haciendo d ′ (x, y) = d(f(x), f(y)) se define una métrica en X que es llamada métrica inducida por f. Ésta es la única métrica en X que convierte a f en una inmersión isométrica.



CAPÍTULO 2. ESPACIOS MÉTRICOS

32

Ejemplo 24. Sea Rn con la métrica inducida por alguna norma cualquiera. Tomando a, u ∈ Rn siendo u un vector unitario (kuk = 1). La función f : R → Rn definida por f(t) = a + t · u es una inmersión isométrica entre R y Rn . En efecto, para s, t ∈ R, se tiene d(f(s), f(t)) = kf(s) − f(t)k = k(s − t) · uk = |s − t| = d(s, t). Fijando a ∈ Rn , la aplicación g : Rn → Rn definida por g(x) = x + a es una isometría. También h : Rn → Rn definida por h(x) = −x es una isometría.  Nos referiremos al siguiente ejemplo cuando estudiemos el tema de la completitud de un espacio métrico. Ejemplo 25. Mostraremos que un espacio métrico M = (M, d) puede ser inmerso isométricamente en el espacio vectorial normado E = B(M; R). En una primera instancia supondremos que M es acotado. Entonces definimos una función ϕ : M → B(M; R) asignando, a cada x ∈ M, ϕ(x) = dx donde dx : M → R es la función “distancia al punto x”, es decir, dx (y) = d(x, y) para todo y ∈ M. Siendo M un espacio acotado, dx es una función acotada, de modo que ϕ toma valores en B(M; R). La función ϕ preserva distancias ya que, por el corolario 2.4, para x, x ′ en M arbitrarios tenemos |dx (y) − dx ′ (y)| ≤ d(x, x ′ ). Luego,

kdx − dx ′ k = sup |dx (y) − dx ′ (y)| ≤ d(x, x ′ ). y∈M

En particular, para y = x ′ , se obtiene que |dx (y) − dx ′ (y)| = d(x, x ′ ) (es cota superior y elemento del conjunto), por tanto,

d(ϕ(x), ϕ(x ′ )) = kdx − dx ′ k = d(x, x ′ ) lo que muestra que ϕ es una inmersión isométrica de M en B(M; R). En el caso en que M no sea acotado, fijamos un punto a ∈ M y definimos la aplicación ψ : M → B(M; R) por ψ(x) = dx − da . Por el mismo argumento de arriba, se tiene que kψ(x)k = kdx − da k ≤ d(a, x), lo que afirma que ψ(x) es una función acotada (la imagen de ψ pertenece a B(M; R)). Además,

d(ψ(x), ψ(x ′ )) = kψ(x) − ψ(x ′ )k = k(dx − da ) − (dx ′ − da )k = kdx − dx ′ k = d(x, x ′ ) como se probó arriba. Luego, ψ es una inmersión isométrica de M en el espacio vectorial normado B(M; R). 

2.5. EJERCICIOS

2.5.

33

Problemario No 2

1

Sea d : M × M → R una función que satisface d(x, y) = 0 ⇔ x = y; y para todo x, y, z ∈ M vale d(x, z) ≤ d(x, y) + d(z, y). Pruebe que d es una métrica.

2

Muestre que d : R × R → R, definida por d(x, y) = (x − y)2 , no es una métrica.

3

p Sea d : M × M → R una métrica. Verifique que α(x, y) = d(x, y) , d(x,y) β(x, y) = 1+d(x,y) y γ(x, y) = m´ın{1, d(x, y)} son métricas en M.

Sugerencia: para β pruebe que 0 ≤ a ≤ b ⇒

a 1+a

≤

b 1+b

4

Pruebe que toda norma en R es de la forma kxk = a · |x|, donde a es una constante positiva. Concluya que toda norma en R proviene de un producto interno.

5

En cualquier espacio métrico M se tiene que

B[a; r] =

\

B(a; s) =

\

b(a; r) =

n=1

s>r

y

{a} =

∞ \

r>0

∞ \

n=1

  1 B a; r + n   1 . B a; n

Muestre también que una bola abierta se puede expresar como una unión de bolas cerradas. 6

Responda mediante argumentos las siguiente preguntas: (a) ¿Todo espacio métrico finito es discreto? (b) ¿Todo espacio discreto es finito? (c) ¿Todo espacio infinito numerable es discreto?

7

Sea X un conjunto infinito numerable. Muestre que es posible definir una métrica en X, respecto a la cual, ningún punto de X es aislado.

8

Dé ejemplos de dos conjuntos discretos X, Y ⊆ R tales que X ∪ Y no sea discreto.

9

Si b ∈ / B[a; r], pruebe que existe s > 0 tal que B[a; r] ∩ B[b; s] = ∅.

34

CAPÍTULO 2. ESPACIOS MÉTRICOS

10

En un espacio métrico M, sea b ∈ B(a; r) pruebe que existe una bola abierta de centro en b contenida en B(a; r). Muestre, mediante un ejemplo, que esta afirmación pudiera ser falsa para b ∈ B[a; r].

11

Sea X ⊆ M un subconjunto discreto. Determine, para cada x ∈ X, una bola abierta Bx = B(x; rx ) en M, de tal forma que si x 6= y, entonces Bx ∩ By = ∅.

12

Dé un ejemplo de un conjunto acotado X ⊆ R tal que no existan elementos x, y en X con |x − y| = diam(X).

13

Todo espacio métrico es unión numerable de subconjuntos acotados.

14

Sean a un punto y C un subconjunto no vacío de un espacio métrico. Suponiendo que d(a, C) = 2, pruebe que existe una bola abierta B(a; r) tal que d(x, C) > 1 para todo x ∈ B(a; r).

15

Sea F = M \ B(a; r) el complemento de una bola abierta en el espacio métrico M. Pruebe que si d(x, F) = 0, entonces x ∈ F.

16

En un espacio vectorial normado E sean X = B(a; r) y X = B[a : r]. Pruebe que para todo vector v ∈ E, se tiene que d(v, X) = d(v, X).

17

Sean A, B conjuntos acotados y no vacíos de un espacio métrico M. Pruebe que diam(A ∪ B) ≤ diam(A) + diam(B) + d(A, B).

18

Muestre un ejemplo de conjuntos no vacíos A, B tales que A ∩ B = ∅ pero d(A, B) = 0.

19

Demuestre que en un espacio vectorial normado E, dos bolas abiertas (cerradas) del mismo radio son isométricas. Mas aún existe una isometría de E que aplica una de las bolas en la otra. Muestre que esto, para espacios métricos en general, es falso.

20

Sea E un espacio vectorial con producto interno. Dada una transformación lineal T : E → E, las siguientes proposiciones son equivalentes: (a) T es una inmersión isométrica. (b) kTxk = kxk para todo x ∈ E. (c) hTx, Tyi = hx, yi para cualesquiera x, y ∈ E. Si además la dimensión de E es finita, en estas condiciones, T es una isometría.

Capítulo 3

Funciones continuas 3.1.

Definición y ejemplos de funciones continuas

Definición 24 (continuidad en un punto). Sean M, N espacios métricos. Se dice que una función f : M → N es continua en un punto a ∈ M si para todo ε > 0, existe un δ > 0 tal que d(x, a) < δ implica que d(f(x), f(a)) < ε. Se dice que f : M → N es continua si f es continua en todo punto de su dominio.

En términos de bolas, la continuidad de f : M → N en el punto a ∈ M, se puede expresar así: para cualquier ε > 0, la bola B(f(a); ε) contiene la imagen, mediante f, de la bola B(a; δ) para algún δ > 0 ó para todo ε > 0, existe δ > 0, tal que f(B(a; δ)) ⊆ B(f(a); ε).

Ejemplo 26. Si f es una función de variable real a valores reales, es decir, si f : M ⊆ R → R, f es continua en a ∈ M si para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que si x ∈ M y x ∈ (a − δ, a + δ), entonces f(x) ∈ (f(a) − ε, f(a) + ε). Por lo que f aplica todo el conjunto (a − δ, a + δ) ∩ M dentro del intervalo (f(a) − ε, f(a) + ε).  Definición 25 (función Lipschitziana). Sean M, N espacios métricos y f : M → N una función. Si existe una constante L > 0 (llamada constante de Lipschitz1 ) tal que

d(f(x), f(y) ≤ L · d(x, y), para cualesquiera x, y ∈ M

diremos que f es una función lipschitziana o que satisface una condición de Lipschitz. 1 Rudolph Otto Sigismund Lipschitz (1832-1903) fue un matemático alemán, dio su nombre a la condición de continuidad de Lipschitz, y trabajó en una amplia gama de áreas. Éstas incluyen teoría de números, álgebras con involución, análisis matemático, geometría diferencial y mecánica clásica.

35

CAPÍTULO 3. FUNCIONES CONTINUAS

36

Ejemplo 27. Si f : M → N es lipschitziana, entonces es continua (en cada punto a ∈ M). En efecto, sean L una constante de Lipschitz para f y a ∈ M, dado ε > 0, hacemos δ = ε/L. Entonces, d(x, a) < δ implica que d(f(x), f(a)) ≤ L · d(x, a) < L · δ = ε. Para funciones reales de variable real la condición de Lipschitz significa que para todo x, y en el dominio, |f(x) − f(y)| / |x − y| ≤ L, por lo que la pendiente de cualquier recta secante al gráfico de f es, en valor absoluto, menor o igual a L. Si una función f, está definida en un intervalo I, f : I → R, y es diferenciable con derivada acotada, |f ′ (x)| ≤ c, entonces es lipschitziana con constante de Lipschitz c; ya que por el Teorema del valor medio, para algún z entre x y y, se tiene que |f(x) − f(y)| = |f ′ (z)(x − y)| ≤ c · |x − y|.  Definición 26 (localmente lipchitziana). Una función f : M → N se llama localmente lipschitziana cuando para cada punto a del dominio existe una bola B de radio r > 0 tal que la restricción de f a la bola B, f/B, es lipschitziana. Dado que la continuidad en un punto es un concepto local, toda función localmente lipschitziana, es continua. Ejemplo 28. Una potencia de x es lipschitziana en cada parte acotada de R. Si f : R → R está definida por f(x) = xn donde n es un entero positivo y n−1 |x| ≤ a, entonces |f ′ (x)| = n |x| ≤ n · an−1 . Esto también se puede ver sin hacer uso de la derivada: si se tiene que |x| ≤ a y |y| ≤ a, entonces |xn − yn | = |x − y| · xn−1 + xn−2 y + · · · + yn−1

≤ |x − y| (|x|

≤ c · |x − y|

n−1

+ |x|

n−2

|y| + · · · + |y|

n−1

)

donde c = n · an−1 . Ya que un polinomio es una combinación lineal de potencias de x, se concluye que todo polinomio cumple una condición de Lipschitz en cada intervalo acotado; luego, es continuo.  Ejemplo 29. La función r : R \ {0} → R, definida como r(x) = 1/x es continua. En efecto, si |x| ≥ k y |y| ≥ k, entonces |r(x) − r(y)| = |1/x − 1/y| = |x − y| / |xy| ≤ (1/k2 ) |x − y|. Esto demuestra que r es lipschitziana, y por tanto continua, en cada conjunto de la forma: Xk = {t ∈ R : |t| > k}; así que cada número real a 6= 0 es centro de una bola contenida en Xk para algún k > 0, en la cual r es continua.  Ejemplo 30. Contracciones débiles. Sea f : M → N, se dice que f es una contracción débil si para todo x, y ∈ M, se tiene d(f(x), f(y)) ≤ d(x, y), es decir, que son funciones lipschitzianas con constante de Lipschitz igual a 1; en consecuencia, son funciones continuas. A continuación se nombran varias de ellas:

3.2. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS

37

(a) Las funciones constantes. (b) Todas las inmersiones isométricas. Como un caso particular, tenemos la función inclusión i : X → M donde X ⊆ M. (c) De la proposición 2.3 del capítulo 2, se sigue que la función distancia a un conjunto no vacío X de M, d(·, X) : M → R es una contracción débil. (d) En un espacio vectorial normado, la norma es una contracción débil, en virtud de la conocida propiedad: |kxk − kyk| ≤ kx − yk. (e) Toda proyección πi : M1 × · · · × Mn → Mi dada por πi (x1 , . . . , xn ) = xi es una contracción débil, utilizando cualquiera de las tres métricas vistas en el producto cartesiano. (f) La misma métrica d : M × M → R es una contracción débil cuando se considera, en el producto cartesiano M × M, la métrica de la suma:

|d(x, y) − d(x ′ , y ′ )| = |d(x, y) − d(x ′ , y) + d(x ′ , y) − d(x ′ , y ′ )| ≤ |d(x, y) − d(x ′ , y)| + |d(x ′ , y) − d(x ′ , y ′ )| ≤ d(x, x ′ ) + d(y, y ′ ) = d((x, x ′ ), (y, y ′ )). (g) La suma de vectores en un espacio vectorial normado, s : E × E → E es una contracción débil, tomando como norma en E × E, k(x, y)k = kxk + kyk, ya que

ks(x, y) − s(a, b)k ≤ kx − ak + ky − bk = k(x, y) − (a, b)k .  Ejemplo 31. Continuidad en espacios discretos. En cada punto aislado p de un espacio métrico M, toda función f : M → N es continua, pues dado ε > 0, basta tomar δ > 0 menor o igual al radio que aísla a p, entonces d(x, p) < δ ⇒ p = x ⇒ d(f(x), f(p)) = 0 < ε. Se sigue de ahí que toda función definida sobre un espacio discreto es continua. Por otro lado, si el espacio de llegada N es discreto, f es continua si, y sólo si, cada punto p de M es centro de una bola sobre la cual f es constante. 

3.2.

Propiedades de las funciones continuas

En esta sección se estudiarán las principales propiedades de las funciones continuas, varias de ellas se utilizarán para probar el hecho de la continuidad de otras funciones. Comenzaremos por establecer que la composición de funciones continuas es continua.

38

CAPÍTULO 3. FUNCIONES CONTINUAS

Proposición 3.1. Si f : M → N es continua en el punto a y g : N → P es continua en el punto f(a), entonces la función compuesta g ◦ f : M → P es continua en el punto a. Prueba: Sea ε > 0. Como g es continua en f(a), existe λ > 0 tal que d(y, f(a)) < λ ⇒ d(g(y), g(f(a)) < ε; ahora bien, por la continuidad de f en a, para este λ > 0 existe δ > 0 tal que

d(x, a) < δ ⇒ d(f(x), f(a)) < λ ⇒ d(g(f(x)), g(f(a))) < ε



Figura 3.1: La composición de funciones continuas es continua. La restricción de una función continua, es continua. Corolario 3.2. Si f : M → N es continua en el punto a ∈ X ⊆ M, entonces la restricción de f a X, f/X : X → N, es continua en el punto a. Prueba: Basta notar que f/X = f ◦ i donde i : X → M es la función inclusión, i(x) = x, para todo x ∈ X. 

Ejemplo 32. Continuidad conjunta y separada. Una función f : M × N → P es una función de dos variables; de la definición 24, y considerando en el producto M×N la métrica del máximo, resulta que f es continua en un punto (a, b) si, y sólo si, para un ε > 0 dado, existen δ1 > 0 y δ2 > 0 tales que d(x, a) < δ1 y d(y, b) < δ2 ⇒ d(f(x, y), f(a, b)) < ε. En esta situación, se dice que f es continua conjuntamente en las variables x, y. Por otra parte, se dice que la función f : M × N → P es continua respecto a la primera variable en el punto (a, b) cuando la función parcial fb : M → P definida por: fb (x) = f(x, b), es continua en a. Del mismo modo, se dice que f es continua respecto a la segunda variable en el punto (a, b) si la función parcial fa : N → P, definida por: fa (y) = f(a, y), es continua en b. Si las dos continuidades se tienen, se dice que f es continua separadamente respecto a cada una de sus variables. Si ib : M × {b} → M × N e ia : {a} × N → M × N son funciones inclusión, entonces fb = f ◦ ib y fa = f ◦ ia . De esta forma, vemos que la continuidad conjunta implica la continuidad separada. El recíproco es falso. Un clásico ejemplo es la función f : R × R → R, si x2 + y2 6= 0 y f(0, 0) = 0. Esta función es definida por f(x, y) = x2xy +y2

3.2. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS

39

continua separadamente en (0, 0) pues f(x, 0) = f(0, y) = 0; pero es discontinua en (0, 0) porque su restricción a la recta y = ax de R2 es una función discontinua:

f(x, ax) =

a ax2 = si x 6= 0 y f(0, 0) = 0 2 2 2 x +a x 1 + a2 

Ejemplo 33. Continuidad del producto por escalar Sea E un espacio vectorial normado real. Veamos que el producto por escalar, m : R × E → E donde m(λ, x) = λ · x, es lipschitziana en cada parte acotada de R × E. Sean λ, µ en R y x, y en E tales que |λ| , |µ| ≤ a y kxk , kyk ≤ a, entonces   d m(λ, x), m(µ, y) = kλ · x − µ · yk = kλ · x − µ · x + µ · x − µ · yk
≤ |λ − µ| kxk + |µ| · kx − yk ≤ a |λ − µ| + kx − yk
= a · d (λ, x), (µ, y) Luego, la multiplicación por escalar es continua. Como caso particular, la función producto de números reales es continua. 

Consideremos los espacios métricos M, N1 y N2 , una función f : M → N1 × N2 está constituida por dos funciones llamadas las funciones coordenadas de f, f1 : M → N1 y f2 : M → N2 , y son tales que f(x) = (f1 (x), f2 (x)) para todo x ∈ M. Como notación se utiliza f = (f1 , f2 ). Nótese que f1 = π1 ◦ f y f2 = π2 ◦ f, donde πi con i = 1, 2 son las respectivas proyecciones de N1 × N2 . Proposición 3.3. Una función f : M → N1 × N2 es continua (en el punto a ∈ M) si, y sólo si, sus funciones coordenadas f1 : M → N1 y f2 : M → N2 , son continuas (en el punto a).

Prueba: Si f es continua y siendo las proyecciones π1 , π2 continuas como se vio en el ejemplo 30 parte (e), también son continuas f1 = π1 ◦ f y f2 = π2 ◦ f. Recíprocamente, consideramos en N1 × N2 la métrica del máximo; por la continuidad de cada fi : M → Ni con (i = 1, 2), dado ε > 0, existen δ1 , δ2 > 0 tales que d(x, a) < δi ⇒ d(fi (x), fi (a)) < ε (i = 1, 2). Tomando δ = m´ın{δ1 , δ2 }, se tiene que 

d(x, a) < δ ⇒ d(f(x), f(a)) = m´ax d f1 (x), f1 (a) , d f2 (x), f2 (a) < ε. Luego, f es continua en a.



Corolario 3.4. Si f1 : M1 → N1 y f2 : M2 → N2 son continuas, entonces también es continua la función definida por

ϕ = f1 × f2 : M1 × M2 → N1 × N2 , ϕ(x1 , x2 ) = (f1 (x1 ), f2 (x2 )).

CAPÍTULO 3. FUNCIONES CONTINUAS

40

   Prueba: ϕ = f1 ◦ π1 , f2 ◦ π2 Frecuentemente, en lugar de utilizar directamente la definición de continuidad, resulta mas sencillo expresar la función objeto de estudio, como composición de funciones más simples, cuya continuidad ya se haya establecido. Ésta es la técnica utilizada en la siguiente proposición. Proposición 3.5. Sean M un espacio métrico, E un espacio vectorial normado y f, g : M → E, α, β : M → R funciones continuas, con β(x) 6= 0 para todo x ∈ M. Entonces, también son continuas las funciones f+g:M→E α·f:M→E α/β : M → R α(x) (f + g)(x) = f(x) + g(x) (α · f)(x) = α(x) · f(x) (α/β) (x) = β(x) . Prueba: Ya se ha probado que las siguientes funciones son continuas: r : R\ → E, r(x) = 1/x (ver ejemplo 29), s : E × E → E, s(x, y) = x + y (ver ejemplo 30(g)), y m : R × E → E, m(λ, x) = λ · x (ver ejemplo 33). Entonces, las siguientes funciones son continuas en virtud de la proposición 3.3, el corolario 3.4 y la proposición 3.5:

f + g = s ◦ (f, g),

α · f = m ◦ (α, f)

y

α/β = m ◦ (I × r) ◦ (α, β) 

En particular, la suma, el producto y el cociente de funciones reales continuas es continua.

3.3.

Homeomorfismos

Los homeomorfismos en la Topología son como los isomorfismos en el Álgebra Lineal o como los homomorfismos en Teoría de grupos, en el sentido que, como lo veremos más adelante, preservan las “propiedades topológicas” de los espacios donde está definida. La propiedad esencial mediante la cual se transmiten dichas propiedades, es la continuidad. Por otra parte, aunque la inversa de una transformación lineal biyectiva es también una transformación lineal y la inversa de un homomorfismo biyectivo también es un homomorfismo, en Topología nos encontraremos con funciones continuas y biyectivas cuya inversa no es continua. Ejemplo 34. Consideremos los siguientes subespacios de R con la métrica usual: M = [−1, 0] ∪ (1, +∞) y N = [0, +∞); se define f : M → N por f(x) = x2 para todo x ∈ M. Es claro que f es la restricción del polinomio x2 a M y por tanto, es continua. Además, es una biyección; su inversa g = f−1 : N → M está dada por √ y si y > 1 √ g(y) = − y si 0 ≤ y ≤ 1

la cual es discontinua en el punto 1. En efecto, primero vemos que g(1) = −1, tomemos 0 < ε < 2, mostremos que existen elementos de M arbitrariamente

3.3. HOMEOMORFISMOS

41

Figura 3.2: Una función continua con inversa discontinua. cerca de 1 pero cuya imagen (mediante g) está lejos de −1. Dado cualquier δ > 0, seleccionamos n ∈ N tal que 1/n < δ, entonces la distancia de 1 a 1 + (1/n) es |(1 + 1/n) − 1| = 1/n < δ; pero p p |g(1 + 1/n) − g(1)| = 1 + 1/n − (−1) = 1 + 1/n + 1 > 2 > ε.



Ejemplo 35. Un ejemplo más sencillo pero más sorprendente es considerar la función identidad de R, considerando la métrica cero-uno y la métrica usual; denotemos estos espacios con sus métricas, R10 y R respectivamente. La función identidad I : R10 → R definida por I(x) = x, es continua porque el espacio R10 es discreto. La inversa I−1 : R → R10 por el contrario, no es continua porque para que lo fuese, es necesario que cada punto en R, sea centro de una bola donde la función I−1 sea constante (ver ejemplo 31), lo cual no se satisface.  Ejemplo 36. Consideremos la circunferencia unitaria del plano euclidiano S1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}. La parametrización de S1 , f : [0, 2π) → S1 , definida por f(t) = (cos t, sen t), es continua pues sus dos funciones coordenadas son continuas. Además es biyectiva por las propiedades de sen y cos. Esquemáticamente, la función f lo que hace es tomar el intervalo [0, 2π) enrollarlo sobre S1 sin “estirarlo” ni “arrugarlo”, de tal forma que el punto t = 0 se hace corresponder con el punto p = (1, 0) ∈ S1 . La función inversa g = f−1 : S1 → [0, 2π) es discontinua en el punto p. Intuitivamente, la función inversa rompe la circunferencia S1 en el punto p y la rectifica sobre el intervalo [0, 2π). Veamos que la función inversa es discontinua en p: g(p) = 0. Tomemos ε = π y para cada n ∈ N, sean tn = 2π − (1/n) y zn = f(tn ) entonces, la distancia de zn a p = (0, 1) es menor que 1/n. (El arco tn es mayor que la cuerda). Sin embargo, g(zn ) = tn es tal que |g(zn ) − g(p)| = 2π − 1/n > π = ε para todo n.  Definición 27 (homeomorfismo). Sean M y N espacios métricos. Un homeomorfismo de M sobre N es una biyección continua f : M → N cuya inversa

42

CAPÍTULO 3. FUNCIONES CONTINUAS

Figura 3.3: Una parametrización de S1 .

f−1 : N → M también es continua. En este caso se dice que M y N son homeomorfos. Desde el punto de vista de la Topología, dos espacios homeomorfos son indistintos. Una propiedad de un espacio M se dice que es una propiedad topológica si todo espacio homeomorfo a M también tiene dicha propiedad. Las propiedades topológicas se distinguen de las propiedades métricas que se preservan mediante isometrías. Dado que una isometría es también un homeomorfismo, toda propiedad preservada por homeomorfismos es también preservada por las isometrías, es decir, toda propiedad topológica es propiedad métrica; el recíproco es falso como se verá posteriormente. Ejemplo 37. Sea f : M → N inyectiva y continua; supongamos que para algún a ∈ M se tiene que f(a) es aislado en N, entonces existe un radio ε > 0 tal que la bola B(f(a); ε) = {f(a)} es un conjunto unitario. Por la continuidad, para este ε existe δ > 0 tal que f(B(a; δ)) ⊆ B(f(a); ε) ⊆ {f(a)}; pero como f es inyectiva, la bola B(a; δ) tiene un único elemento, precisamente a, luego es aislado. En consecuencia, si dos espacios son homeomorfos, y uno es discreto el otro también lo es. De modo que ser discreto es una propiedad topológica. Por otra parte, ser acotado es una propiedad métrica que no es una propiedad topológica. Por ejemplo, los naturales N y el conjunto P = {1, 21 , . . . , n1 , . . . } con la métrica inducida por la recta, son discretos e infinito numerables, por tanto, existe una biyección entre N y P. Ésta biyección y su inversa son continuas por estar definidas en espacios discretos; así, N y P son homeomorfos, P es acotado pero N no lo es.  Ejemplo 38. Homeomorfismo entre bolas. Sea E un espacio vectorial normado. Para todo a ∈ E y todo número real λ > 0, la traslación ta : E → E definida por ta (x) = x + a y la homotecia2 mλ : E → E definida por mλ (x) = λ · x, son homeomorfismos de E, pues ya hemos visto que la suma de vectores es continua (ejemplo 30(g)) y la traslación es una restricción de ella. También, 2 Una homotecia es una transformación afín que, a partir de un punto fijo, multiplica todas las distancias por un mismo factor. En general una homotecia de razón diferente de 1 deja un único punto fijo, llamado centro de la transformación. La homotecia de centro C y razón k (factor de escala) transforma un vector v en el vector v ′ por la ecuación: v ′ − C = k(v − C)

3.3. HOMEOMORFISMOS

43

en el ejemplo 33 vimos que el producto por escalar es continuo. Luego, sus inversas (ta )−1 = t−a y (mλ )−1 = m(1/λ) son continuas. Dos bolas abiertas en E son homeomorfas mediante una composición de traslaciones y homotecias; sean B(a; r) y B(b; s) en E, esquemáticamente primero se traslada el centro de la primera bola al cero de E u origen. Luego se escala del radio r al radio s y finalmente se traslada del origen 0 al centro b. Se define ϕ : E → E como ϕ = tb ◦ ms/r ◦ t−a que es un homeomorfismo de E en E y satisface que ϕ(B(a; r)) = B(b; s). Nótese que este homeomorfismo nos permite mostrar que dos bolas cerradas también son homeomorfas.  Ejemplo 39. La proyección estereográfica. Sean Sn = {x ∈ Rn+1 : kxk = 1} la esfera unitaria n-dimensional y p = (0, . . . , 0, 1) ∈ Sn su “polo norte”. La proyección estereográfica π : Sn \{p} → Rn establece un homeomorfismo entre la esfera sin el polo norte y el espacio euclidiano Rn . Geométricamente, π(x) → con el hiperplano x es el punto de intersección de la semirrecta − px n+1 = 0, el cual se identifica con Rn .

Figura 3.4: La proyección estereográfica La expresión de dicha aplicación se puede obtener del modo siguiente: la → se puede expresar en la siguiente forma p + t · (x − p) con t > 0. semirrecta − px Resolviendo la ecuación 1 + t(xn+1 − 1) = 0 se obtiene que t = 1/(1 − xn+1 ). Si x = (x1 , x2 , . . . , xn , xn+1 ) denotamos por x ′ la n-upla x ′ = (x1 , x2 , . . . , xn ). Entonces, π(x) = p + (x − p)/(1 − xn+1 ), simplificando tenemos

π(x) =

x′ = 1 − xn+1



xn x1 ,..., 1 − xn+1 1 − xn+1



de la expresión anterior, se deduce que π es continua (ya que x ∈ Sn \ {p}, xn+1 6= 1). Para verificar que π es un homeomorfismo, basta considerar la

CAPÍTULO 3. FUNCIONES CONTINUAS

44

aplicación ϕ : Rn → Sn \ {p}, definida por ϕ(y) = x donde las primeras n

coordenadas de x es x ′ =

2y kyk2 +1

y la coordenada n + 1 es xn+1 =

ϕ es la inversa de π. Ejercicio.

3.4.



kyk2 −1 . kyk2 +1



Métricas equivalentes

Intuitivamente, la idea de utilizar una métrica más fina que otra es utilizar una unidad de medida menor; por ejemplo, en lugar de medir en metros medir en centímetros o milímetros, así la cinta métrica posee más divisiones o marcas y en consecuencia, la medida es “más fina” y en algún sentido, “más grande”. Dadas las métricas d1 y d2 en el mismo conjunto M, denotamos M1 = (M, d1 ), M2 = (M, d2 ), B1 (a; r) la bola de centro a y radio r según la métrica d1 etc. Definición 28 (métrica más fina). Sean d1 y d2 dos métricas en M. Diremos que d1 es más fina que d2 , lo cual denotaremos d1 ≻ d2 , cuando la función identidad i1 2 : M1 → M2 fuere continua.

Ya que se trata de la función identidad, para que d1 sea más fina que d2 es necesario y suficiente que para todo a ∈ M y todo ε > 0, exista δ > 0 tal que B1 (a; δ) ⊆ B2 (a; ε); esto es, toda bola según d2 contiene una bola del mismo centro según d1 .

Ejemplo 40. Si d1 es una métrica discreta en M, es decir, una métrica según la cual M es un espacio discreto, entonces d1 es más fina que cualquier otra métrica d2 en M; ya que siendo M1 discreto, la identidad i1 2 : M1 → M2 es continua (ejemplo 31). Por otra parte, sea a ∈ M, si d2 es más fina que d1 , y ε > 0 es el radio que aísla a a (según d1 ), existe δ > 0 tal que B2 (a; δ) ⊆ B1 (a; ε) = {a}; en consecuencia, d2 también es una métrica discreta.  Lema 3.6. Si existe una constante c > 0 tal que para todo x, y en un espacio métrico M, d2 (x, y) ≤ c · d1 (x, y), entonces d1 es más fina que d2 . Prueba: La hipótesis es una condición de Lipschitz para la función i 1 2 : M1 → M2 . 

Ejemplo 41. Sea E = C0 ([a, b], R) el espacio de las funciones continuas (y acotadas) definidas sobre el intervalo [a, b]. En este espacio hemos estudiado la norma del supremo: kfk = supa≤x≤b |f(x)|. Por otra parte, dado que toda función continua es integrable (Riemann-integrable), la expresión

kfk1 =

Zb a

|f(x)| dx

3.4. MÉTRICAS EQUIVALENTES

45



(Aquí se utiliza el hecho conocido de que define una norma. Ejercicio. la integral de una función continua no negativa es cero si, y sólo si, es la función nula). Sea d la métrica inducida por la norma del supremo y d1 la métrica inducida por la norma k·k1 . Para f, g ∈ E, se tiene,

d1 (f, g) =

Zb a

|f(x) − g(x)| dx ≤ (b − a) · sup |f(x) − g(x)| = (b − a) · kf − gk a≤x≤b

Luego, la métrica del supremo o de la convergencia uniforme es más fina que la métrica inducida por la norma k·k1 . Pero por otra parte, la métrica d1 no es más fina que la métrica d. Para ver esto, consideramos la función g : [a, b] → R, que es cero excepto en el intervalo [a, a + c] ⊆ [a, b], con c < 2δε . En este subintervalo, el gráfico de g es un triángulo isósceles, cuya base es [a, a + c] y cuya altura es 2ε. El área Rb de este triángulo es por un lado, ε · c por el otro es a g(x)dx. Luego,

kgk1 = ε · c < ε ·

δ δ = 2ε 2

Figura 3.5: La métrica d1 no es más fina que la métrica del Sup. de este modo, k(f + g) − fk1 = kgk1 < δ y por tanto, (f + g) ∈ B1 (f; δ) pero, como g(a+c/2) = 2ε, k(f + g) − fk = kgk = 2ε > ε por lo que (f+g) ∈ / B(f; ε). En conclusión, ninguna bola según d puede contener un bola según d1 .  Proposición 3.7. Sea M un espacio métrico dotado de las métricas d1 y d2 , como notación hacemos M1 = (M, d1 ) y M2 = (M, d2 ). Las siguientes proposiciones son equivalentes: (1) d1 ≻ d2 . (2) Para todo espacio métrico N

f : M2 → N es continua ⇒ f : M1 → N es continua.

(3) f : M2 → R es continua ⇒ f : M1 → R es continua.

CAPÍTULO 3. FUNCIONES CONTINUAS

46

(4) Para todo a ∈ M, la función d2a : M1 → R definida por d2a (x) = d2 (a, x), es continua en el punto a.

(5) Toda bola abierta según d2 contiene una bola abierta según d1 . (6) La función d2 : M1 × M1 → R es continua.

Prueba:

(1) ⇒ (2) Observemos el siguiente diagrama conmutativo: M1 i12 ↓ M2

f

−→ ր f

N

por hipótesis, d1 ≻ d2 , así la identidad i12 : M1 → M2 es continua; luego, si f : M2 → N es continua, entonces f : M1 → N es continua. (2) ⇒ (3) ⇒ (4) es bastante claro porque cada una es un caso particular de la anterior. (4) ⇒ (1). El hecho de que d2a : M1 → R sea continua en a ∈ M se expresa por definición:

∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que , d1 (x, a) < δ ⇒ |d2a (x) − d2a a| = d2a (x) < ε

que equivale a

∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que B1 (a; δ) ⊆ B2 (a; ε). De aquí, es claro que eso implica la continuidad de la identidad i12 : M1 → M2 De lo anterior también se desprende que (4) ⇔ (5). (1) ⇒ (6) De (1) se tiene que i12 es continua, así también es continua la identidad i12 × i12 : M1 × M1 → M2 × M2 . Ya se ha visto que la métrica d2 : M2 × M2 → R es continua, en consecuencia, la función d2 = d2 ◦ i12 : M1 × M1 → R es continua. (6) ⇒ (4) La función descrita en (4) es una restricción de la función descrita en (6). 

Definición 29 (métricas equivalentes). Dos métricas d1 d2 en un espacio métrico M se llaman equivalentes cuando cada una es más fina que la otra (d1 ≻ d2 y d2 ≻ d1 ), esto es, cuando la función identidad, i1 2 : (M, d1 ) → (M, d2 ), es un homeomorfismo. Lo denotaremos por d1 ∼ d2 .

3.5.

Continuidad de las transformaciones lineales

Definición 30 (transformaciones, funcionales). Sean E y F espacios vectoriales reales. Una función T : E → F se llama transformación lineal, si para cualesquiera x, y ∈ E y α ∈ R, f(x + y) = f(x) + g(x) y f(αx) = αf(x). Si f : E → R es una transformación lineal, diremos que f es un funcional lineal.

3.5. CONTINUIDAD DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES

47

Ejemplo 42. Toda transformación lineal definida en un espacio de dimensión finita, es continua. En efecto , sea T : E → F una transformación lineal, con {v1 , . . . , vn }, una base de E, entonces dado un vector arbitrario x ∈ E con x = α1 v1 + · · · + αn vn , se tiene

kT (x)k ≤ |α1 | kT (v1 )k + · · · + |αn | kT (vn )k Haciendo K = m´ax{kT (vi )k , . . . , kT (vn )k} y utilizando en E la norma kxk = kα1 v1 + · + αn vn k = |α1 | + · · · + |αn |. Se verifica que:

kT (x)k ≤ K kxk Entonces, para x, y ∈ E, kT (x) − T (y)k = |T (x − y)| ≤ K |x − y|. Luego, T es lipschitziana y por tanto continua.  Proposición 3.8. Sean E y F espacios vectoriales normados. Las siguientes proposiciones respecto a una transformación lineal T : E → F son equivalentes: (1) T es continua.

(2) T es continua en el punto 0 ∈ E. (3) Existe K > 0 tal que kT (x)k ≤ K · kxk para todo x ∈ E. (4) Existe K > 0 tal que |T (x) − T (y)| ≤ K · kx − yk para x, y ∈ E. Prueba: (1) ⇒ (2) obvia. (2) ⇒ (3) Dada la continuidad de T en 0 y que por ser transformación lineal, T (0) = 0, tomamos ε = 1 para el cual existe δ > 0 tal que kxk = kx − 0k < δ ⇒ kT (x) − T (0)k = kT (x)k < ε. Consideramos ahora un número K > 0 tal que 0 < K1 < δ. La desigualdad de (3) vale obviamente cuando x = 0; sea x x ∈ E un vector no nulo, el vector Kkxk tiene norma 1/K menor que δ, de esta   x forma, T Kkxk < 1. Por la linealidad de T tenemos es decir,

1 kT (x)k < 1 K kxk

kT (x)k ≤ K kxk

(3) ⇒ (4) Por la linealidad de T , para x, y ∈ E, se tiene que kT (x) − T (y)k = kT (x − y)k ≤ K · |x − y|

(4) ⇒ (1) La proposición (4) es una condición de Lipschitz para T , por tanto, T es continua. 

CAPÍTULO 3. FUNCIONES CONTINUAS

48

3.6. 1

Problemario No 3

Sean f, g : M → R continuas en el punto a ∈ M. Si f(a) < g(a), demuestre que existe δ > 0 tal que, para x, y ∈ M,

d(x, a) < δ, d(y, a) < δ ⇒ f(x) < g(y).

Enuncie el caso particular en que f es la función nula. Concluya a partir de allí que si B ⊆ M es una bola cerrada y c ∈ M \ B, entonces existe una bola abierta (y por tanto una bola cerrada) B′ , de centro c, tal que B′ ∩ B = ∅. 2

Sean f, g : M → N funciones continuas en el punto a ∈ M. Si f(a) = / g(a), entonces existe una bola abierta B, de centro a, tal que f(B) ∩ g(B) = ∅. En particular, x ∈ B, implica que f(x) = / g(x).

3

Sean f, g : M → N funciones continuas. Dado a ∈ M, suponga que toda bola de centro a contiene algún punto tal que f(x) = g(x). Concluya que f(a) = g(a). Utilice este hecho para probar que si f, g : R → R son funciones continuas que son iguales en cada número racional, entonces f = g.

4

Sea f : I ⊆ R → R diferenciable en todo punto del intervalo I. Pruebe que si f es lipschitziana, entonces su derivada es acotada en I.

5

Sean I, J intervalos cualesquiera de R y f : I → J una biyección creciente (x < y ⇒ f(x) < f(y)). Pruebe que f (y en consecuencia f−1 ) es continua. √ Concluya de ahí la continuidad de la función raíz cuadrada, f(x) = x.

6

Una versión del teorema del valor intermedio. Dada f : [a, b] → R continua, con f(a) > 0 > f(b), sea c = sup{x ∈ [a, b] : f(x) > 0}. Pruebe que f(c) = 0. Infiera de lo anterior que si f : I → R es continua, e I es un intervalo, la imagen de I mediante f, f(I), es un intervalo.

7

Toda función continua f : [a, b] → R es acotada. (Sugerencia: defina X = {x ∈ [a, b] : f/[a, x] es acotada} y haga c = sup X. Pruebe que c ∈ X y concluya que X = [a, b]).

8

Teorema del valor extremo. Para toda función continua f : [a, b] → R, existen x0 , x1 ∈ [a, b] tales que f(x0 ) ≤ f(x) ≤ f(x1 ) para todo x ∈ [a, b]. (Sugerencia: si por ejemplo no existiera x1 , haciendo α = sup{f(x) : x ∈ X}, 1 sería continua y no acotada en [a, b]). la función g(x) = f(x)−α

3.6. EJERCICIOS 9

49

En un espacio métrico M, sean F = B[a; r] y G = M \ B(a; s), donde 0 < r < s. Demuestre que la función f : M → [0, 1], definida por

f(x) =

d(x, F) d(x, F) + d(x, G)

es continua y además f−1 (0) = F, f−1 (1) = G. 10

Sean f : M → N y g : N → P continuas tales que g ◦ f : M → P es un homeomorfismo. Suponiendo que f sea sobreyectiva (o bien que g sea inyectiva), pruebe que tanto f como g son homeomorfismos.

11

Muestre que los siguientes espacios son dos a dos homeomorfos:

X = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 1} Y = S1 × R

Z = R2 \ {0} 12

Sea B la bola cerrada de centro en el origen y radio 1 en R2 defina un homeomorfismo entre R2 \ B y R2 \ {0}.

13

Sea ϕ : [0, +∞) → [0, +∞) una función creciente, tal que ϕ(0) = 0 y ϕ(x+y) ≤ ϕ(x)+ϕ(y). Entonces, si d es una métrica en M, ϕ◦d también es una métrica en M. Además si ϕ es continua en 0, las métricas d y ϕ ◦ d son equivalentes.

50

CAPÍTULO 3. FUNCIONES CONTINUAS

Capítulo 4

Lenguaje topológico 4.1.

Conjuntos abiertos

Definición 31 (punto interior). Sea X un subconjunto de un espacio métrico M. Un punto a ∈ X se dice que es un punto interior de X si existe una bola abierta de centro a contenida en X. Es decir, si existe r > 0 tal que d(x, a) < r ⇒ x ∈ X.

Definición 32 (interior de un conjunto). Sea X un subconjunto de un espacio métrico M. Se llama interior de X al conjunto de todos los puntos interiores de X, el cual denotaremos por int(X). Todo punto interior de un conjunto X pertenece a X (int(X) ⊆ X), decir que un elemento de X no es interior a X significa que toda bola abierta centrada en él, contiene puntos del complemento de X.

Figura 4.1: a pertenece a int(X) y b pertenece a ∂X. Definición 33 (frontera). Sea X un subconjunto de un espacio métrico M. La frontera de X en M es el conjunto de los puntos b ∈ M tales que toda bola abierta de centro b contiene al menos un punto de X y un punto del complemento M \ X. Se denotará por ∂X.

51

52

CAPÍTULO 4. LENGUAJE TOPOLÓGICO

Ejemplo 43. En R el interior del conjunto X = [0, 1) es el intervalo abierto (0, 1) y su frontera contiene sólo los puntos 0 y 1. En efecto, dado un elemento a ∈ (0, 1), tomamos como radio el mínimo de las distancias de a a cada extremo del intervalo, r = m´ın{|a − 0| , |a − 1|} = m´ın{a, 1 − a}, entonces, (a − r, a + r) ⊆ [0, 1), luego a ∈ int[0, 1). Por otra parte, 0 ∈ ∂[0, 1) ya que 0 pertenece al conjunto y toda bola de centro 0 contiene números reales negativos y por tanto no pertenecientes a [0, 1). Del mismo modo, 1 ∈ ∂[0, 1) ya que 1 ∈ / [0, 1) y toda bola centrada en 1 contiene números reales positivos menores que 1. No es difícil verificar que un número negativo o mayor que 1 no es punto frontera de [0, 1).  Ejemplo 44. Sea Q el conjunto de los números racionales. El interior de Q en R es vacío pues es conocido que todo intervalo abierto contiene tanto racionales como irracionales. Utilizando esa misma premisa, la frontera de Q en R es toda la recta real.  En el siguiente ejemplo veremos que las nociones de interior y fronteras son relativas al espacio métrico en el que se considere que el conjunto X está inmerso. Ejemplo 45. Sea M = [0, 1) ∪ (3, 4) con la métrica inducida por la métrica usual en R. Siendo X = [0, 1) (compare con el ejemplo 43) se tiene que el interior del conjunto X en M es todo el conjunto X = [0, 1) mientras que la frontera de X en M es vacía. Esto se debe a que las bolas del subespacio M son intervalos abiertos en R intersectados con M.  Sea X un subconjunto de un espacio métrico M, para un punto cualquiera p ∈ M, existen tres posibilidades excluyentes: o p es centro de una bola contenida en X (p ∈ int(X)), o existe una bola de centro p contenida en M \ X (p ∈ int(M \ X)) o bien toda bola de centro p contiene tanto puntos de X como puntos de M \ X (p ∈ ∂(X)). En consecuencia, cada conjunto X de M determina una descomposición del espacio como una unión de tres subconjuntos dos a dos disjuntos:

M = int(X) ∪ ∂X ∪ int(M \ X). Definición 34 (conjunto abierto). Un subconjunto A de un espacio métrico M se llama conjunto abierto en M si todos sus puntos son interiores, es decir, si int(A) = A. De acuerdo con ésta definición, para probar que un conjunto A de M es abierto, se debe probar que para cada a ∈ A existe un radio ra tal que B(a; ra ) ⊆ A. Proposición 4.1. Toda bola abierta de un espacio métrico M es un conjunto abierto.

4.1. CONJUNTOS ABIERTOS

53

Prueba: Sea M un espacio métrico, veamos que una bola B(a; r) de centro a ∈ M y radio r es un conjunto abierto. En efecto, dado x un elemento arbitrario de la bola, d(a, x) < r, entonces tomamos 0 < s ≤ r − d(a, x); con este radio, B(x; s) ⊆ B(a; r), ya que si y ∈ B(x; s) entonces d(x, y) < s y por tanto, d(a, y) ≤ d(a, x) + d(x, y) < d(a, x) + s ≤ r

Figura 4.2: Toda bola abierta es un conjunto abierto. 

Corolario 4.2. Para todo conjunto X de M, int(X) es un conjunto abierto. Prueba:

Ejercicio.





Ejemplo 46. Observemos que el conjunto vacío ∅, es un conjunto abierto ya que negar ese hecho significa encontrar un punto del conjunto ∅ que no sea punto interior; como eso no es posible, se concluye que ∅ es abierto. Así mismo, todo espacio métrico es obviamente abierto en sí mismo.  Ejemplo 47. Los intervalos abiertos de R son conjuntos abiertos. Un intervalo abierto acotado (a, b) es abierto por ser una bola abierta de centro a+b 2 . Por otra parte, si c es un elemento de (a, +∞) y r = c − a , eny radio b−a 2 tonces el intervalo (c − r, c + r) es una bola de centro c contenida en (a, +∞), así (a, +∞) es abierto. De forma similar, se prueba que (−∞, b) es abierto.  Proposición 4.3. Sea U la colección de los subconjuntos abiertos de un espacio métrico M. Entonces: (1) El espacio M y ∅ son abiertos: M ∈ U y ∅ ∈ U . (2) La intersección finita de abiertos es abierto: Si A1 , . . . , An ∈ U , entonces A1 ∩ · · · ∩ An ∈ U . (3) La unión de una familia arbitraria de conjuntos abiertos es abierta: Si Aλ ∈ U para todo λ en algún conjunto de índices Λ, entonces [ Aλ ∈ U . λ∈Λ

54

CAPÍTULO 4. LENGUAJE TOPOLÓGICO

Prueba: (1) Ya esto se observó en el ejemplo 46. Para probar (2) supongamos que a ∈ A1 ∩ · · · ∩ An , siendo A1 , . . . , An abiertos, existen r1 > 0, . . . , rn > 0 tales que B(a; r1 ) ⊆ A1 , . . . , B(a; rn ) ⊆ An . Sea r = m´ın{r1 , .., rn }, entonces B(a; r) ⊆ B(a; ri ) ⊆ Ai para todo i = 1, . . . , n y en consecuencia, B(a; r) ⊆ A1 ∩ · · · ∩ An . Luego, A1 ∩ · · · ∩ An es abierto. (3) Sea a ∈ ∪λ∈Λ Aλ , entonces existe un λ ∈ Λ tal que a ∈ Aλ , como este conjunto es abierto existe un radio r tal que B(a : r) ⊆ Aλ . Luego, B(a; r) ⊆ ∪λ∈Λ Aλ . 

Corolario 4.4. Un subconjunto A de un espacio métrico M es abierto si, y sólo si, es una unión de bolas abiertas.

Prueba: (sólo si) Si A es S abierto, para S cada a ∈ A existe ra > 0 tal que B(a; ra ) ⊆ A entonces, A = a∈A {a} ⊆ a∈A B(a; ra ) ⊆ A por lo que A es una unión de bolas abiertas. (si) Es consecuencia directa de la parte (3) del teorema 4.3 y de la proposición 4.1.  Ejemplo 48. Una intersección infinita de conjuntos abiertos puede no ser abierto. Si un punto a de un espacio métrico no es aislado, el conjunto unitario {a} no es un conjunto abierto y se puede expresar mediante: {a} = T 1 B(a; n∈N n ); en efecto, es claro que a pertenece a todas las bolas de centro a, si b = / a, existe n ∈ N tal que d(a, b) < 1/n así b ∈ / B(a; 1/n), por lo tanto el único punto de la intersección es a.  Ejemplo 49. Abiertos de un subespacio. Sea M un espacio métrico y X ⊆ M un subespacio con la métrica inducida por M, entonces Los conjuntos abiertos de un subespacio métrico X son intersecciones A ∩ X de un conjunto abierto A en M con el subespacio X. Ya hemos visto que las bolas de un subespacio se expresan como la intersección de una bola en M del mismo centro y del mismo radio con el subespacio. Por el corolario 4.4 un abierto A′ en X es unaSunión de bolas S de X. Luego, AS′ ⊆ X es abierto (en X) si y sólo Ssi, A′ = λ∈L BX,λ = λ∈L (Bλ ∩ X) = ( λ∈L Bλ ) ∩ X = A ∩ X, donde A = λ∈L Bλ es abierto en M. En particular, si X es abierto en M, los abiertos del subespacio X son los conjuntos abiertos en M que están contenidos en X. Cuando X no es abierto en M entonces, evidentemente, todo abierto de M que está contenido en X también es abierto en X, pero existen subconjuntos A′ ⊆ X que son abiertos en X pero no en M (el mismo X sería un ejemplo de ello). Por ejemplo, para 0 < r < b − a, el intervalo [a, a + r) es un conjunto abierto del subespacio [a, b] de R, pero no es abierto en R.  Ejemplo 50. El conjunto de las funciones acotadas y discontinuas en abierto en B(M; N). Recordemos el ejemplo 21 (capítulo 2, página 29). Probaremos primero que dado a ∈ M, el conjunto Da , de todas las funciones acotadas f : M → N

4.2. CONJUNTOS ABIERTOS Y CONTINUIDAD

55

que son discontinuas en a, es un conjunto abierto en B(M; N). Para esto, tomamos un elemento f ∈ Da . Entonces existe ε > 0 que satisface lo siguiente: para cualquier δ > 0, existe un elemento xδ ∈ M con d(xδ , a) < δ pero d(f(xδ ), f(a)) ≥ 3 · ε. Afirmamos que si una función acotada g ∈ B(M; N) está suficientemente cerca de f, d(f, g) < ε, entonces g ∈ Da . Utilizando la definición de distancia en este espacio, se tiene, en estas condiciones, que 3 · ε ≤ d(f(xδ ), f(a)) ≤ d(f(xδ ), g(xδ )) + d(g(xδ ), g(a)) + d(g(a), f(a))

< ε + d(g(xδ ), g(a)) + ε

luego, d(g(xδ ), g(a)) > ε. Resumiendo: existe un ε > 0 tal que para cualquier δ > 0, existe xδ ∈ M tal que d(xδ , a) < δ pero, d(g(xδ ), g(a)) ≥ ε. Así, g ∈ Da . Si denotamos por D el conjunto de todas S las funciones acotadas y discontinuas f : M → N, tenemos que D = a∈M Da . En consecuencia, D es abierto en B(M; N).  Definición 35 (entorno o vecindad). Un conjunto V se dice que es un entorno o vecindad de un punto p si p ∈ int(V). A partir de esta definición podemos decir que V es una vecindad de a si, y sólo si, V contiene un abierto que a su vez contiene a a. Si V es una vecindad de a y W ⊇ V , entonces W es también una vecindad de a. La intersección finita de vecindades de A es también una vecindad de A.

4.2.

Conjuntos abiertos y continuidad

De la definición de continuidad, se puede afirmar lo siguiente: para que una función f : M → N sea continua en el punto a ∈ M es necesario y suficiente que, para cada vecindad V de f(a) en N, exista una vecindad U de a en M tal que f(U) ⊆ V . La noción de conjunto abierto en la Topología tiene una importancia esencial, en buena medida debido al siguiente resultado: Proposición 4.5. Sean M, N espacios métricos. Para que una función f : M → N sea continua, es necesario y suficiente que la imagen inversa f−1 (A′ ) de cualquier conjunto abierto A′ de N, sea un conjunto abierto de M.

Prueba: (necesidad) Supongamos que f es continua, tomemos A′ ⊆ N abierto y probemos que f−1 (A′ ) es abierto en M. De hecho, para cada a ∈ f−1 (A′ ), tenemos que f(a) ∈ A′ . Por la definición de conjunto abierto, existe ε > 0 tal que B(f(a); ε) ⊆ A′ . Siendo f continua en a, a este ε > 0 le corresponde un δ > 0 tal que f(B(a; δ)) ⊆ B(f(a); ε) ⊆ A′ . Por tanto, B(a; δ) ⊆ f−1 (A′ ). Luego, f−1 (A′ ) es abierto. (suficiencia) Supongamos ahora que la imagen inversa mediante f de cada conjunto abierto de N es un abierto en M. Dado a ∈ M mostremos que f es

CAPÍTULO 4. LENGUAJE TOPOLÓGICO

56

Figura 4.3: Noción de continuidad en términos de conjuntos abiertos. continua en a, ver figura 4.3. En es un conjunto abierto en N, que f−1 (A′ ) es un abierto en M que δ > 0 para el cual B(a; δ) ⊆ A, es

efecto, dado ε > 0, la bola A′ = B(f(a); ε) contiene a f(a). Luego, su imagen inversa contiene a a. En consecuencia, existe un decir, f(B(a; δ)) ⊆ B(f(a); ε) = A′ . 

Corolario 4.6. El producto cartesiano A1 × · · · × An de conjuntos abiertos Ai ⊆ Mi es un subconjunto abierto de M = M1 × · · · × Mn . Prueba: Vimos en el ejemplo 30 que cada proyección πi : M → Mi 1 es continua (con i = 1, . . . , n), por tanto, para cada i el conjunto π− i (Ai ) es −1 −1 abierto en M. De esta forma, A1 ×· · ·×An = π1 (A1 )∩· · ·∩πn (An ) es abierto en M por ser una intersección finita de conjuntos abiertos.  Corolario 4.7. Sean f1 , . . . , fn : M → R funciones continuas a valores reales. El conjunto A = {x ∈ M : f1 (x) > 0 ∧ · · · ∧ fn (x) > 0} es abierto en M. Prueba: Una forma de probar este corolario es la siguiente: sea F : M → Rn , definida por F(x) = (f1 (x), . . . , fn (x)) entonces A = F−1 (A′ ) donde A′ = (0, +∞) × · · · × (0, +∞) el cual es abierto como producto finito de intervalos abiertos en R, así su imagen inversa es un abierto en M.  Otra forma de enunciar el corolario anterior es decir que si las funciones continuas f1 , . . . , fn son positivas en el punto a, existe una bola abierta B(a; r) tal que f1 (x) > 0, . . . , fn (x) > 0 para todo x ∈ B(a; r). Corolario 4.8. Sean f, g : M → N continuas. El conjunto A = {x ∈ M : f(x) = / g(x)} es abierto en M. Prueba: Definiendo la función ϕ : M → R por ϕ(x) = d(f(x), g(x)), tenemos que es continua ya que d, f y g lo son. Entonces

A = {x ∈ M : ϕ(x) > 0}, por el corolario anterior, A es abierto en M.



4.3. ESPACIOS TOPOLÓGICOS

57

Ejemplo 51. La imagen f(A) de un conjunto abierto A ⊆ M mediante una función continua f : M → N puede no ser un conjunto abierto en N. Por ejemplo, considerando la función f : R → R definida por f(x) = x2 , para el abierto A = (−a, a) tenemos que f(A) = [0, a2 ), que no es un conjunto abierto en R.  Definición 36 (función abierta). Una función f : M → N se llama abierta cuando para cada subconjunto abierto A de M, su imagen f(A) es un conjunto abierto en N. Ejemplo 52. Vimos en el ejemplo 51 que una función continua no necesariamente es abierta. Tampoco una función abierta necesita ser continua. De hecho, por la proposición 4.5, una biyección f : M → N es continua si, y sólo si, su inversa f−1 : N → N es abierta. Si consideramos una biyección f : M → N continua que no sea un homeomorfismo (ver: ejemplo 34, ejemplo 36), entonces su inversa f−1 : M → N no es continua pero es abierta. Así mismo, si N es un espacio discreto toda aplicación f : M → N es abierta (ya que todo subconjunto de N es abierto). Mas no toda función f : M → N es continua.  Si h es un homeomorfismo, tanto h como h−1 son abiertas e inducen una biyección entre la colección de abiertos de los espacios homeomorfos. En consecuencia, dos métricas d1 , d2 son equivalentes si los espacios (M, d1 ) y (M, d2 ) poseen los mismos abiertos. Proposición 4.9. Un subconjunto A de M × N es abierto si, y sólo si, es unión de “rectángulos” de la forma U × V , donde U ⊆ M y V ⊆ N son abiertos (en sus espacios). Prueba: Por S el corolario 4.6 cada rectángulo Uλ × Vλ es abierto en M × N, así A = λ (Uλ × Vλ ) es abierto. Recíprocamente, si se considera en M × N la métrica del máximo en M × N, cada bola es el producto de una bola abierta en M por una bola abierta en N. Entonces, para cada elemento a en A, existen bolas abiertas Ua de M y Va de N tales que {a} ⊆ Ua × Va ⊆ A. Luego, [ [ A= {a} ⊆ Ua × Va ⊆ A a∈A

y así, A =

4.3.

S

a∈A

a∈A

Ua × Va que era lo que se quería mostrar.



Espacios topológicos

En esta sección se hace una abstracción del concepto de espacio métrico mediante la formulación del concepto de topología para un espacio topológico. Estudiaremos varios de los conceptos establecidos para espacios métricos en

CAPÍTULO 4. LENGUAJE TOPOLÓGICO

58

el contexto más general de espacio topológico, muy especialmente el concepto de continuidad de una función. Observando las propiedades que satisface la colección de conjuntos abiertos de un espacio métrico, vistas en la proposición 4.3, tenemos la siguiente definición: Definición 37 (topología). Una topología sobre un conjunto X es una colección τ de subconjuntos de X que satisfacen las siguientes propiedades: (1) ∅ y X pertenecen a

τ.

(2) S Para cualquier subcolección {Uα }α∈L de α∈L Uα pertenece a τ.

τ,

se tiene que la unión

(3) Para cualquier subcolección finita A1 , . . . , An de elementos de intersección A1 ∩ · · · ∩ An pertenece a τ.

τ

la

Definición 38 (espacio topológico). Un espacio topológico es un par ordenado (X, τ) donde X es un conjunto y τ una topología sobre X. Un subconjunto de X será llamado conjunto abierto si, y sólo si, pertenece a τ. Ejemplo 53. Sea X el conjunto de tres elementos {a, b, c}. En X se pueden definir varias topologías; entre otras podemos citar: la colección que consta sólo de ∅ y el mismo X esta es la topología más simple que se puede definir sobre un conjunto y es llamada topología trivial . Otra colección que satisface las propiedades de una topología es la colección de todos los subconjuntos de X o partes de X, P(X), a ésta topología se le conoce como topología discreta.  Ejemplo 54. Sea X un conjunto, consideremos la colección τf de todos los subconjuntos U de X tales que su complemento X \ U es finito o es todo X. Entonces τf es una topología sobre X llamada topología de los complementos finitos X \ X es finito y X \ ∅ es todo X, esto muestra que tanto X como ∅ pertenecen a τf . Si {Uα } es una familia en τf , entonces

X\

[

Uα =

\

(X \ Uα ).

el último conjunto es finito pues cada conjunto (X \ Uα ) es finito. Por otra parte, si U1 , . . . , Un son elementos no vacíos de τf , entonces

X\

n \

i=1

Ui =

n [

(X \ Ui )

i=1

que por ser unión finita de conjuntos finitos es finito. Lo anterior prueba que τf es una topología.



4.4. BASE DE UNA TOPOLOGÍA

59

Ejemplo 55. Sea X un conjunto y sea τN la colección de todos los subconjuntos U de X tales que X \ U es numerable o todo X. Por argumentos similares a los utilizados en el ejemplo 54 anterior, se prueba que τN es una topología sobre X.  Definición 39 (interior y vecindades). Sea X un espacio topológico con topología τ y S un subconjunto de X. Se define el interior S de S como la unión de todos los abiertos de X contenidos en S, int(S) = {U ∈ τ : U ⊆ S}. Un conjunto V es una vecindad de p si p ∈ int(V). Definición 40 (topología más fina). Sean τ y τ′ dos topologías sobre un conjunto X. Se dice que τ′ es más fina que τ si τ′ ⊇ τ (τ′ es mas grande que τ). Al mismo tiempo, se dice que τ es mas gruesa que τ′ . Si la inclusión es propia diremos que τ′ es estrictamente más fina que τ.

4.4.

Base de una topología

En general, resulta difícil describir a toda la colección de abiertos y consecuentemente, es más sencillo trabajar con una colección más pequeña que “genere” a toda la topología. Definición 41 (base de una topología). Si X es un conjunto, una base para una topología sobre X es una colección B de subconjuntos de X (llamados elementos básicos) tales que: (1) Para cada x ∈ X, existe un elemento básico B ∈ B tal que x ∈ B . (2) Si B1 , B2 ∈ B y x pertenece a B1 ∩ B2 , entonces existe B3 ∈ B tal que x ∈ B3 ⊆ B1 ∩ B2 . Definición 42 (topología generada). Si B es una colección de subconjuntos de X que satisface las condiciones de base, se define la topología τB generada por B de la siguiente forma: un conjunto U se dice abierto en X (esto es un elemento de τB ), si para cada x ∈ U, existe un elemento básico B ∈ B tal que x ∈ B ⊆ U.

Nótese que B ⊆ τB . Es inmediato que ∅ y X son elementos S de B . Consideremos una familia {Uα }α∈J de elementos de τB . Para x ∈ Uα , existe α0 ∈ J tal Sque x ∈ Uα0 . Como Uα0 es abierto, existe B ∈ B tal que x ∈ B ⊆ Uα0 ⊆ Uα . Luego, S Uα ∈ τB . Sean U1 , U2 ∈ τB , veamos que U1 ∩ U2 ∈ τB . Si x ∈ U1 ∩ U2 , existen B1 , B2 ∈ τB tales que x ∈ B1 ⊆ U1 y x ∈ B2 ⊆ U2 , entonces existe B3 en τB tal que x ∈ B3 ⊂ B1 ∩ B2 ⊆ U1 ∩ U2 , así U1 ∩ U2 ∈ τB . Por el proceso de inducción matemática se obtiene que si U1 , U2 , . . . , Un ∈ τB , entonces U1 ∩ · · · ∩ Un ∈ τB .

CAPÍTULO 4. LENGUAJE TOPOLÓGICO

60

Lema 4.10. Sea X un conjunto y B una base para una topología τ sobre X. Entonces τ es la colección de todas las uniones de elementos de B . Prueba: Dado que B ⊆ τ, toda unión de elementos de B , pertenece a τ. Recíprocamente, si A ∈ τ, para cada a ∈ A, existe Ba ∈ B tal que a ∈ Ba ⊆ A, luego [ [ A= {a} ⊆ Ba ⊆ A a∈A

a∈A

de esta forma, A = ∪a∈A Ba , es decir, todo abierto en τ es unión de conjuntos básicos de B .  El siguiente lema nos permite establecer si una colección de conjuntos es base para una topología dada.

Lema 4.11. Sea X un espacio topológico. Supongamos que C es una colección de conjuntos abiertos en X tal que, para cualquier conjunto abierto U de X, y para cada x ∈ U, existe un elemento C ∈ C tal que x ∈ C ⊆ U. Entonces C es una base de la topología de X. Prueba: Primero veamos que C es una base. Como X es abierto, para cada x ∈ X existe por definición, un elemento C ∈ C tal que x ∈ C ⊆ X. Sean C1 , C2 ∈ C y x ∈ C1 ∩ C2 , como C1 y C2 son abiertos, también su intersección, así existe un C3 ∈ C tal que x ∈ C3 ⊆ C1 ∩ C2 . Sea τ la topología de X y τC la topología generada por C (ver la definición 42). Por la propiedad de C , para cada abierto U de τ, si x ∈ U, existe C en C tal que x ∈ C ⊆ U, entonces U ∈ τC . Recíprocamente, dado que C ⊆ τ, como consecuencia del lema 4.10, se tiene que τC ⊆ τ.  El siguiente lema establece que una topología es más fina que otra en términos de sus bases. Lema 4.12. Sean B y B ′ bases para las topologías sobre X, τ y vamente. Entonces son equivalentes las siguientes proposiciones: (1)

τ′ respecti-

τ′ es más fina que τ, (τ ⊆ τ′ ).

(2) Para cada x ∈ X y cada elemento básico B de B que contenga a x, existe un elemento básico B′ ∈ B ′ tal que x ∈ B′ ⊆ B. Prueba: (1)⇒(2): Sea x ∈ X y B ∈ B tal que x ∈ B, por definición, B ∈ τ y por hipótesis, τ ⊆ τ′ , es decir, B es un abierto en la topología τ′ ; por lo tanto, existe un elemento básico B′ en B ′ tal que x ∈ B′ ⊆ B. (2)⇒(1): Consideremos un abierto no vacío U en la topología τ, para cada x ∈ U existe un elemento básico B ∈ B tal que x ∈ B ⊆ U; por hipótesis, para este B, existe un B′ ∈ B ′ , tal que x ∈ B′ ⊆ B ⊆ U. Esto implica que U es un abierto en la topología τ′ . Luego, τ ⊆ τ′ .  Definición 43 (subbase). Una subbase S para una topología sobre X es una colección de subconjuntos de X, cuya unión es igual a X. La topología generada por la subbase S se define como la colección τS de todas las uniones de intersecciones finitas de elementos de S .

4.5. TOPOLOGÍA PRODUCTO EN X × Y

61

Conviene establecer que la colección descrita en la definición, τS , es efectivamente, una topología; para esto basta verificar, por el lema 4.10, que la colección de las intersecciones finitas de elementos de S , BS es una base. Por la definición de subbase, dado un elemento x ∈ X, éste pertenece a algún elemento de S , de modo que se cumple la primera condición. Sean ahora B1 , B2 dos elementos de BS , entonces

B 1 = S1 ∩ · · · ∩ Sn

B2 = S′1 ∩ · · · ∩ S′m ;

la intersección es otro elemento de BS

B1 ∩ B2 = S1 ∩ · · · ∩ Sn ∩ S′1 ∩ · · · ∩ S′m . luego, BS es una base y

4.5.

τS

es una topología.

Topología producto en X × Y

Siendo X y Y espacios topológicos, definiremos una topología sobre el producto cartesiano X × Y y se estudiarán algunas propiedades. Definición 44 (topología producto (X × Y )). Sean X, Y espacios topológicos. La topología producto sobre X × Y es la topología generada por la base B constituida por todos los conjunto de la forma U × V , donde U es abierto en X y V es abierto en Y . La colección B descrita en la definición es, efectivamente, una base ya que todo punto pertenece a X × Y que es un producto de abiertos y por tanto, un elemento de B . Además si tomamos dos elementos de B , U1 ×V1 y U2 ×V2 , su intersección es otro elemento de B :

(U1 × V1 ) ∩ (U2 × V2 ) = (U1 ∩ U2 ) × (V1 ∩ V2 ) pues (U1 ∩ U2 ) es abierto en X y (V1 ∩ V2 ) es abierto en Y . Teorema 4.13. Si B es una base para la topología de X y C es una base para la topología de Y , entonces la colección

D = {B × C : B ∈ B y C ∈ C } es una base para la topología de X × Y . Prueba: Tomemos un conjunto abierto W en X×Y y un punto arbitrario (x, y) de W , entonces existe un elemento básico, U × V , de la topología producto tal que (x, y) ∈ U × V ⊆ W , donde U es abierto en X y V abierto en Y . Como B es base sobre X y C es base sobre Y , existen B ∈ B y C ∈ C tales que x ∈ B ⊆ U y y ∈ C ⊆ V . De esta forma, (x, y) ∈ B × C ⊆ U × V ⊆ W . Por el lema 4.11, se concluye que D es una base para la topología producto en X × Y . 

CAPÍTULO 4. LENGUAJE TOPOLÓGICO

62

Recordemos las proyecciones definidas en el producto cartesiano X × Y , π1 : X × Y → X y π2 : X × Y → Y , definidas por π1 (x, y) = x y π2 (x, y) = y 1 respectivamente. Para U abierto en X, π− 1 (U) = U × Y es abierto en X × Y (es 1 un conjunto básico). Del mismo modo, π− 2 (V) = X × V es abierto en X × Y . La intersección de estos dos conjuntos es U × V .

Teorema 4.14. La colección

1 −1 S = {π− 1 (U) : U es abierto en X} ∪ {π2 (V) : V es abierto en Y}

es una subbase para la topología producto sobre X × Y .

Figura 4.4: Un elemento de la subbase para la topología producto en X × Y . Prueba: Denotemos por τ la topología producto y por τS la topología generada por S . Como ya se observó, cada elemento de S está en τ, por tanto, también las uniones de intersecciones finitas de elementos de S , así τS ⊆ τ. Por otra parte, cada conjunto básico, U × V , para la topología producto es de la forma 1 −1 U × V = π− 1 (U) ∩ π2 (V) ∈ S ⊆ τS , y así,

4.6.

τ ⊆ τS .



Topología de subespacio

Definición 45 (topología relativa). Sea X un espacio topológico con topología

τ. Si Y es un subconjunto de X, la colección τY = {U ∩ Y : U ∈ τ}

es una topología sobre Y , llamada topología de subespacio ó topología relativa, con esta topología se dice que Y es un subespacio de X. La colección τY es, efectivamente, una topología para Y ya que ∅ = ∅ ∩ Y y Y = X ∩ Y ; además

(U1 ∩ Y) ∩ · · · ∩ (Un ∩ Y) = (U1 ∩ · · · ∩ Un ) ∩ Y, ! [ [ (Uα ∩ Y) = Uα ∩ Y. α∈J

α∈J

4.7. CONJUNTOS CERRADOS

63

Lema 4.15. Si B es una base para la topología de X, entonces la colección

BY = {B ∩ Y : B ∈ B} es una base para la topología de subespacio sobre Y . Prueba: Un abierto en Y es de la forma U ∩ Y donde U es abierto en X, para y ∈ U ∩ Y existe B ∈ B tal que y ∈ B ⊆ U, luego y ∈ B ∩ Y ⊆ U ∩ Y ; por el lema 4.11, BY es una base para la topología de subespacio sobre Y . 

4.7.

Conjuntos cerrados

En esta sección se discute el concepto de conjunto cerrado tanto en espacios topológicos como en espacios métricos. Definición 46 (punto adherente). Un punto p de un espacio métrico M se dice que es adherente al subconjunto A si d(p, A) = 0. Si p es adherente a A, significa que existen puntos de A arbitrariamente cerca de p; equivalentemente, dado ε > 0, existe a ∈ A tal que d(a, p) < ε, o bien, toda bola de centro p intersecta a A y por ende, todo abierto que contenga a p intersecta a A. Es claro que todo punto de un conjunto A está a distancia cero de A, también por definición, todo punto de la frontera de A es punto adherente de A. Definición 47 (clausura). La clausura o adherencia de un conjunto A de un espacio métrico M, es el conjunto A formado por todos los puntos adherentes de A. Se tiene que ∅ = ∅, M = M y A ⊆ A para todo conjunto A de M. Así mismo, A ⊆ B ⇒ A ⊆ B. Para que un punto x0 en un espacio métrico M, no sea un punto adherente de un conjunto A, es necesario y suficiente que exista una bola abierta de centro x0 que no intersecte a A, es decir, que x0 ∈ int(M \ A),recordando que M = int(A) ∪ ∂(A) ∪ int(M \ A), se concluye que

A = int(A) ∪ ∂(A). Definición 48 (conjunto cerrado). Sea X un espacio métrico o topológico, un conjunto C de X se dice cerrado si su complemento es abierto, Ejemplo 56. Consideremos el espacio M = (−∞, 0) ∪ (0, +∞) con la métrica inducida por R, entonces el conjunto A = (0, +∞) es abierto en M ya que es la intersección del intervalo abierto (0, +∞) con M; pero también es cerrado porque su complemento (en M) es el conjunto (−∞, 0) que también es abierto en M. Esto nos muestra que el concepto de conjunto cerrado, no es la negación de ser abierto. 

CAPÍTULO 4. LENGUAJE TOPOLÓGICO

64

Definición 49 (clausura en un espacio topológico). Sea X un espacio topológico y C ⊂ X un subconjunto, se define la clausura, C, de C como la intersección de todos los conjuntos cerrados de X que contienen a C. La siguiente proposición expone las propiedades de los conjuntos cerrados semejantes a las propiedades de los conjuntos abiertos. Proposición 4.16 (Propiedades de los conjuntos cerrados). Sea X un espacio topológico (o métrico), entonces: (1) ∅ y X son conjuntos cerrados. (2) Si C1 , . . . , Cn son cerrados, entonces

Sn

i=1

Ci es cerrado.

(3) T Si {Cα } es una familia de conjuntos cerrados, entonces la intersección α Cα es cerrado.

Prueba: (1) Dado que tanto X como ∅ son abiertos, sus complementos son cerrados. (2) Sean C1 , . . . , Cn conjuntos cerrados en X, entonces sus complementos X \ C1 , . . . , X \ Cn son conjuntos abiertos, luego ! n n [ \ X\ Ci = (X \ Ci ) es abierto en X. i=1

i=1

(3) Dada la familia {Cα } de conjuntos cerrados, tenemos para cada α que (X \ Cα ) es abierto, luego ! \ [ X\ Cα = (X \ Cα ) es abierto en X. α

α



Proposición 4.17. Sean M un espacio métrico y A un subconjunto de M. Entonces para todo punto p ∈ M, se tiene que d(p, A) = d(p, A). Prueba: cada p ∈ M,

Sea p ∈ M. Primero recordemos que A ⊆ A por tanto, para

{d(p, a) : a ∈ A} ⊆ {d(p, x) : x ∈ A}, así, d(p, A) ≤ d(p, A). Sean x ∈ A y ε > 0, entonces existe a ∈ A tal que d(x, a) < ε, por lo tanto, d(p, A) ≤ d(p, a) ≤ d(p, x) + d(x, a) < d(p, x) + ε, de esta forma, d(p, A) − ε es cota inferior de d(p, x) y por tanto, d(p, A) ≤ d(p, A) + ε; y como ε > 0 es arbitrario, d(p, A) ≤ d(p, A), lo que completa la prueba. 

4.7. CONJUNTOS CERRADOS

65

Proposición 4.18. Sea X un espacio métrico o topológico y A ⊆ X, entonces,

A = A. Prueba:

Si X es un espacio métrico, por la proposición anterior,

p ∈ A ⇒ d(p, A) = d(p, A) = 0 ⇒ p ∈ A.

Si X es un espacio topológico, ya sabemos que A es una intersección de cerrados que contienen a A, por la proposición 4.16, la clausura A es un conjunto cerrado que contiene a A; así, A ⊆ A. En ambos casos, se concluye que A ⊆ A, la otra inclusión siempre se tiene.  Proposición 4.19. Sea X un espacio métrico o topológico. Un subconjunto C de X es cerrado si, y sólo si, C = C. Prueba: En espacios topológicos es muy directo a partir de la definición de clausura; si C es cerrado, el mismo C es un conjunto cerrado que contiene a C, por lo tanto, C ⊆ C y siempre C ⊆ C. Recíprocamente, si C = C, entonces C es intersección de cerrados y por tanto cerrado. Si X es un espacio métrico,

/ C, no es punto adherente a C; C = C ⇔ todo punto p ∈ ⇔ ∀p ∈ X \ C, ∃r > 0 tal que B(p; r) ∩ C = ∅; ⇔ ∀p ∈ X \ C, ∃r > 0 tal que B(p; r) ⊆ X \ C ⇔ X \ C, es abierto. ⇔ C es cerrado.



Definición 50 (conjunto denso). Un conjunto D de un espacio métrico o topológico X se dice que es denso en X si D = X. Lema 4.20. Sea D un conjunto denso en un espacio topológico o métrico X. Entonces, todo abierto no vacío U de X intersecta a D. Prueba: Si D es denso en un espacio topológico X, y C es un conjunto cerrado que contiene a D, entonces X = D ⊆ C por lo que C = X; es decir, el único cerrado que contiene a D es X. En consecuencia, dado cualquier abierto U no vacío de X, X \ U es cerrado y no es X por tanto, no contiene a D, esto implica que U intersecta a D. Si D es un subconjunto denso en un espacio métrico X, todo punto de X es adherente a D. Dado cualquier abierto no vacío U en X, y p ∈ U existe r > 0 tal que B(p; r) ⊆ U, como p es adherente a D, la bola abierta B(p; r), y por tanto U, intersectan a D.  Así como se caracterizó la continuidad de una función, mediante la condición de ser abierta la imagen inversa de cualquier abierto, la siguiente proposición nos presenta una propiedad similar pero con conjuntos cerrados.

66

CAPÍTULO 4. LENGUAJE TOPOLÓGICO

Proposición 4.21. Sean X, Y espacios métricos o topológicos. Para que una función f : X → Y sea continua, es necesario y suficiente que la imagen inversa, f−1 (C′ ), de cualquier conjunto cerrado C′ en Y , sea un subconjunto cerrado de X. Prueba: Este es un resultado inmediato de la proposición 4.5, la definición de conjunto cerrado. Sea f : X → Y continua y C′ ⊆ Y cerrado. Entonces Y \ C′ es abierto y por la proposición 4.5,

X \ f−1 (C′ ) = f−1 (Y \ C′ )

es abierto en X

luego, f−1 (C′ ) es cerrado. Recíprocamente, sea f : X → Y una función que satisface la hipótesis, si A′ ⊆ Y es abierto, Y \ A′ es cerrado y por tanto,

X \ f−1 (A′ ) = f−1 (Y \ A′ )

es cerrado en X

luego, f−1 (A′ ) es abierto en X. Por la proposición 4.5, f es continua.



Ejemplo 57. Si f : X → R es continua, el conjunto {x ∈ X : f(x) ≥ 0} es cerrado en X ya que no es mas que el conjunto f−1 ([0, +∞)) y el intervalo [0, +∞) es cerrado en R. Del mismo modo si {fλ }λ∈L es una familia de funciones continuas fλ : X → R, el conjunto \ 1 {x ∈ X : (∀λ ∈ L(, fλ (x) ≥ 0} = f− es cerrado en X. λ ([0, +∞)) λ∈L

 Definición 51 (espacio de Hausdorff). Un espacio topológico X se dice que es un espacio de Hausdorff si para cada par de puntos x1 , x2 del espacio, existen abiertos U1 que contiene a x1 y U2 que contiene a x2 , tales que U1 ∩ U2 = ∅. En vista de la proposición 2.2, todo espacio métrico es un espacio de Hausdorff. Teorema 4.22. Sea X un espacio de Hausdorff, entonces todo subconjunto finito es cerrado. Prueba: Es suficiente probar que todo conjunto unitario es cerrado. Sea x0 ∈ X y x un punto de X distinto de x0 . Como X es un espacio de Hausdorff, existen abiertos y disjuntos U0 y U tales que x0 ∈ U0 y x ∈ U. Entonces el complemento X \ U es un conjunto cerrado que contiene a {x0 } y no contiene a x; de esta forma, x no pertenece a la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen a {x0 }, es decir, x no pertenece a la clausura de {x0 }. En otras palabras, ningún punto distinto de x0 pertenece a su clausura por lo que {x0 } = {x0 } y por la proposición 4.19, el conjunto unitario {x0 } es cerrado. 

4.7. CONJUNTOS CERRADOS

67

Ejemplo 58. El gráfico de una función continua f : X → Y es un subconjunto cerrado de X × Y . En efecto, el gráfico de f se define por: Gr(f) = {(x, f(x)) ∈ X × Y : x ∈ X}. Definimos la siguiente función auxiliar ϕ : X × Y → R por ϕ(x, y) = d(f(x), y). Siendo f continua, la función ϕ es continua ya que la podemos expresar así: ϕ = d ◦ f × I, donde I es la identidad en Y y d la distancia en Y . Entonces, Gr(f) = ϕ−1 ({0}) y por lo tanto es cerrado. En particular la diagonal es un conjunto cerrado de X × X vista como el gráfico de la identidad de X.  La siguiente proposición relaciona la clausura relativa a un subespacio con la clausura respecto a todo el espacio. Recordemos que si C es cerrado en un subespacio S de X, S \ C es abierto en S, es decir, está en la topología relativa, así existe U abierto en X tal que S\C = U∩S, entonces, C = (X\U)∩S, es decir, todo cerrado en el subespacio se expresa como un cerrado en X intersectado con el subespacio. Proposición 4.23. Sea S un subespacio de un espacio topológico o métrico X. e a la clausura de A respecto al subespacio S y Si para A ⊆ S denotamos por A A la clausura de A en X, tenemos que

e = A ∩ S. A

Prueba:

Si X es un espacio métrico,

e = {p ∈ S : d(p, A) = 0} = {p ∈ X : d(p, A) = 0} ∩ S = A ∩ S. A

Si X es un espacio topológico,

e= A

\

A⊆C

C cerrado en S

C=

\



A⊆F

 (F ∩ S) = 

F cerrado en X

\

A⊆F

F cerrado en X



 F ∩ S = A ∩ S 

Definición 52 (punto frontera en espacios topológicos). Sea X un espacio topológico y A un subconjunto de X. La frontera de A se define como ∂(A) = Definición 53 (punto de acumulación). Un punto p se dice que es un punto de acumulación del conjunto A si toda vecindad de p intersecta al conjunto A en al menos un punto diferente de p.. El conjunto de todos los puntos del conjunto A se denotará por ac(A). No es difícil verificar que p ∈ ac(A) ⇔ p ∈ A \ {p}.

Proposición 4.24. Sea A un subconjunto del espacio X. Entonces,

A = ac(A) ∪ A

68

CAPÍTULO 4. LENGUAJE TOPOLÓGICO

Prueba: Por definición, si p está en ac(A), toda vecindad de p intersecta a A por tanto, p ∈ A; como siempre A ⊆ A, se sigue que A ∪ ac(a) ⊆ A. Recíprocamente, si p ∈ A, tenemos dos casos: p ∈ A ó p ∈ / A, en el primer caso, obviamente p ∈ A ∪ ac(A); en el segundo caso, como p está en la clausura de A, toda vecindad de p intersecta a A, como p ∈ / A, dicho entorno intersecta a A en algún punto distinto de p, por tanto, p ∈ ac(A) ⊆ ac(A) ∪ A. 

4.8. EJERCICIOS

4.8.

69

Problemario No 4

1

La frontera de un conjunto abierto tiene interior vacío.

2

Si un conjunto y su complemento tienen interior vacío, entonces la frontera de cada uno es todo el espacio.

3

En un espacio vectorial normado E, pruebe que todo subespacio vectorial F 6= E tiene interior vacío. A partir de allí deduzca que el subespacio afín o variedad afín a + F = {a + x : x ∈ F} tiene interior vacío.

4

Pruebe que todo conjunto abierto no vacío A de Rn contiene al menos un punto x = (x1 , . . . , xn ) cuyas coordenadas son todas racionales. Utilice este hecho para probar que si C es una colección de abiertos no vacíos y disjuntos dos a dos en Rn , entonces C es numerable.

5

Sea M = X ∪ Y un espacio métrico. Si un subconjunto S ⊆ M es abierto en S ∪ X y en S ∪ Y , entonces S es abierto en M. Concluya de ese hecho que si S ⊆ M \ X es abierto en M \ X y en S ∪ X, entonces S es abierto en M.

6

Pruebe que no es cierto que X ⊆ Y ⇒ ∂X ⊆ ∂Y . Mientras que sí vale ∂(int S) ⊆ ∂S.

7

Sea f : M → N continua. Sea X un subconjunto de M y sea V un abierto de N que contiene a la imagen f(X), pruebe que existe un abierto U de M, que contiene a X y tal que f(U) ⊆ V .

8

Sea S {Xλ }λ∈L una familia de subconjuntos del espacio M que satisfacen λ∈L int Xλ = M. Si f : M → N es tal que f/Xλ es continua para cada λ ∈ L, entonces f es continua.

9

10

Sea χA : M → R la función característica de un conjunto A de M, (χA (x) = 1 si x ∈ A y χA (x) = 0 si x ∈ / A). El conjunto de los puntos de discontinuidad de χA es la frontera de A en M. Dada una función a valores reales continua f : M → R definida en el espacio métrico M. Considere el conjunto A = {x ∈ M : f(x) > 0}. Muestre que para todo x ∈ ∂A, se tiene que f(x) = 0. Dé un ejemplo en el cual se tenga f(x) = 0 con x ∈ / ∂A.

70

CAPÍTULO 4. LENGUAJE TOPOLÓGICO

11

Consideremos a ϕ : M → N una sobreyección continua y abierta. Una función f : N → P es continua si, y sólo si, la función compuesta f ◦ ϕ : M → P es continua.

12

Una función f : M → N es continua si, y sólo si, para todo Y ⊆ N, se cumple que f−1 (int Y) ⊆ int f−1 (Y).

13

Dados X, Y ⊆ M, se tiene que int(X ∩ Y) = (int X) ∩ (int Y) y que int(X ∪ Y) ⊇ (int X) ∪ (int Y). Dé un ejemplo en el cual ésta inclusión no sea una igualdad.

14

Una función real f : M → R se dice que es semicontinua inferiormente en un punto a ∈ M cuando, para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que d(x, a) < δ ⇒ f(a) − ε < f(x). Enuncie una definición análoga para la semicontinuidad superior. Pruebe que si f y g son funciones semicontinuas inferiormente en el punto a, entonces también lo es f + g y c · f si c > 0, si c < 0 c · f es semicontinua superiormente. Pruebe que f : M → R es semicontinua inferiormente (en todo punto del dominio) si, y sólo si, para todo b ∈ R, el conjunto f−1 ((b, +∞)) es abierto en M. Concluya que un subconjunto A ⊆ M es abierto si, y solamente si, su función característica χA es semicontinua inferiormente.

15

Sea A un subconjunto de un espacio topológico X. Supongamos que para cada x ∈ A existe un conjunto abierto U que contiene a x tal que U ⊆ A. Pruebe que A es abierto en X.

16

¿Es la colección

τ∞ = {U ⊆ X : X \ U es infinito o vacío o todo X} una topología sobre X? 17

Si {τα } una familia de S topologías sobre X, pruebe que topología sobre X. ¿Es τα una topología sobre X?

T

τα

es una

18

Demuestre que si A es una base para una topología de X, entonces la topología generada por A es igual a la intersección de todas las topologías sobre X que contienen a A. Pruebe un resultado similar si A es una subbase.

19

Demuestre que la siguiente colección numerable

B = {(a, b) : a < b, a y b racionales } es una base que genera la topología usual sobre R.

4.8. EJERCICIOS

71

20

Pruebe que si Y es un subespacio de X y A subconjunto de Y , entonces la topología que A hereda como subespacio de Y es la misma topología que la topología que hereda como subespacio de X.

21

Sea C una colección de subconjunto de X. Supongamos que ∅ y X pertenecen a C y que las uniones finitas y las intersecciones arbitrarias de elementos de C pertenecen a C . pruebe que la colección

τ = {X \ C : C ∈ C } es una topología sobre X. 22

Sean A, B y la familia {Aα } subconjuntos de un espacio (topológico o métrico) X. Pruebe que: (a) A ∪ B = A ∪ B.

(b) A ∩ B ⊆ A ∩ B. S S Aα ⊇ Aα . (c) T T (d) Aα ⊆ Aα .

23

Pruebe que un espacio topológico X es de Hausdorff si, y sólo si, la diagonal ∆ = {(x, x) : x ∈ X} es cerrada en X × X.

24

Pruebe que en un espacio métrico X, dado un conjunto arbitrario A, se tiene que ∂A = A ∩ X \ A. Use esta igualdad para definir la frontera de un conjunto en un espacio topológico. Pruebe que tanto en un espacio métrico como en uno topológico, un subconjunto A tiene frontera vacía (∂A = ∅) si, y sólo si, A es simultáneamente abierto y cerrado.

25

Sea D un conjunto denso en el espacio X, f : X → Y , una función continua y sobreyectiva, entonces demuestre que f(D) es denso en Y .

26

Dé un ejemplo de un conjunto tal que el interior de su frontera sea no vacía.

72

CAPÍTULO 4. LENGUAJE TOPOLÓGICO

Capítulo 5

Conjuntos conexos 5.1.

definición y ejemplos

Definición 54. Una separación en un espacio X es una descomposición de X en la forma X = A ∪ B, donde A y B son abiertos disjuntos. Las dos condiciones X = A ∪ B y A ∩ B = ∅, equivalen a que A = X \ B y B = X \ A, por lo tanto, en una separación X = A ∪ B, tanto A como B son conjuntos abiertos y cerrados en X. Ejemplo 59. El espacio R\{0} se puede expresar como (−∞, 0)∪(0, +∞) que es una separación ya que cada intervalo es abierto en R y así es un abierto en R intersectado con el subespacio. Si X es discreto cualquier subconjunto A determina una separación X = A ∪ (X \ A). Considerando en espacio Q de los números racionales con la topología relativa a la topología usual de R; dado un número irracional α, sean A = (−∞, α) ∩ Q y B = (α, +∞) ∩ Q. Entonces Q = A ∪ B es una separación de Q.  Todo espacio posee al menos una separación, a saber, X = X ∪ ∅, ésta es llamada separación trivial. Definición 55 (conjunto conexo). Un espacio métrico o topológico se dice conexo si la única separación que posee X es la separación trivial. Un subconjunto C de X es conexo si como subespacio es un espacio conexo. Si un espacio admite una separación no trivial se dice que es disconexo. Proposición 5.1. Sea X un espacio métrico o topológico. Entonces las siguiente proposiciones son equivalentes: (1) X es conexo. (2) X y ∅ son los únicos subconjuntos de X que son abiertos y cerrados. 73

CAPÍTULO 5. CONJUNTOS CONEXOS

74

(3) Si A ⊆ X tiene frontera vacía, entonces A = X ó A = ∅.

Prueba: (1)⇒(2) Sea A ⊆ X un subconjunto abierto y cerrado, entonces X = A ∪ (X \ A) es una separación de X, como X es conexo, A = X ó A = ∅. (2)⇒(3) Sea A ⊆ X tal que ∂(A) = ∅, entonces

Int(A) ⊆ A ⊆ A = int(A) ∪ ∂(A) = int(A)

así, A = int(A) = A, A es abierto y cerrado, por hipótesis A = ∅ ó A = X. (3)⇒(1) Sea X = A ∪ B una separación de X, entonces B = X \ A y como B es abierto, B = int(B) = int(X \ A); como A es abierto, A = int(A), entonces tenemos X = A ∪ B = int(A) ∪ int(X \ A); pero ya sabemos que X = int(A) ∪ ∂(A) ∪ int(X \ A). En consecuencia, ∂(A) = ∅, aplicando la hipótesis tenemos, A = X ó A = ∅; por tanto, la separación X = A ∪ B es la trivial. Luego, X es conexo.  Ejemplo 60. El conjunto R \ {0} es disconexo ya que vimos la separación R\{0} = (−∞, 0)∪(0, +∞). Así mismo, de los números √ el conjunto√ √ racionales Q es disconexo, para el irracional 2, Q = [(−∞, 2) ∩ Q] ∪ [( 2, +∞) ∩ Q] es una separación. Más aún si C es un subconjunto conexo de Q, entonces C es un conjunto unitario. En efecto, si suponemos que C tiene dos elementos a y b, podemos asumir que a < b y tomamos un número irracional α tal que a < α < b, entonces haciendo A = {x ∈ C : x < α} y B = {x ∈ C : x > α} obtenemos una separación no trivial de C, primero no son vacíos pues a ∈ A y b ∈ B, y son abiertos en C ya que A = (−∞, α) ∩ C y B = (α, +∞) ∩ C.  Ejemplo 61 (R es conexo). Procedamos por reducción al absurdo. Supongamos que existe una separación no trivial R = A ∪ B. Como ninguno es vacío, sean a ∈ A y b ∈ B. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que a < b. Ahora, consideramos el conjunto C = {x ∈ A : x < b}; C es no vacío pues a ∈ C y claramente b es una cota superior de C; por lo tanto, existe s = sup C. Por propiedades del supremo, tenemos, para todo ε > 0, existe un elemento x de C (y por tanto de A) tal que s − ε < x ≤ s, es decir, toda bola abierta de centro en s intersecta a A, entonces s ∈ A; como A es cerrado, A = A y así s ∈ A. Ahora, como A también es abierto, existe r > 0 tal que (s − r, s + r) = B(s; r) ⊆ A; en particular, todo punto del intervalo (s, s + r) está en A. Como s ∈ A y b ∈ B, tiene que ser s < b; r > 0 puede ser escogido tal que s + r < b, entonces el intervalo (s, s + r) está contenido en C, es decir, hay puntos en C mayores que s = sup C, lo cual es una flagrante contradicción. Luego, no puede existir una separación no trivial de R y en consecuencia, R es conexo. 

5.2.

Propiedades de los conjuntos conexos

Proposición 5.2. La imagen de un conjunto conexo mediante una función continua es un conjunto conexo.

5.2. PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS CONEXOS

75

Prueba: Sea f : X → Y una función continua. Primero supongamos que f es sobreyectiva, y que X es conexo, se quiere probar que f(X) = Y es conexo. Si Y = A ∪ B es una separación, entonces f−1 (A) y f−1 (B) son abiertos y disjuntos por lo que X = f−1 (A) ∪ f−1 (B) es una separación, como X es conexo, f−1 (A) o f−1 (B) es vacío y siendo f sobreyectiva, esto implica que A = ∅ o B = ∅. En el caso general, dada f : X → Y continua y C ⊆ X conexo, la restricción f^ = f/C : C → f(C) es continua y sobreyectiva, por lo ^ que f(C) = f(C) es conexo.  El siguiente corolario nos muestra la conexidad como un invariante topológico, es decir, una propiedad que se preserva por homeomorfismos. Corolario 5.3. Si X es conexo y Y es homeomorfo a X, entonces Y también es conexo. En virtud de este corolario, se puede afirmar que no pueden existir dos espacios homeomorfos tales que uno sea conexo y el otro no. Ejemplo 62 (Todo intervalo abierto es conexo). En R, la bola abierta B = x , como la B(0; 1) es el intervalo abierto (−1, 1). Sea f definida por: f(x) = 1+|x| función valor absoluto es continua (es la norma en R) y 1 + |x| no se anula |x| para todo x ∈ R, concluimos que f es continua. Además, |f(x)| = 1+|x| < 1 por y tanto, f : R → B es continua. Definamos ahora g : B → R por g(y) = 1−|y| . Como |y| < 1 para todo y ∈ B, concluimos que g es continua. Fácilmente se verifica que f(g(y)) = y para todo y ∈ B y que g(f(x)) = x para todo x ∈ R. Luego, g = f−1 y f es un homeomorfismo. En consecuencia, como R es conexo, también el intervalo (−1, 1) es conexo. Como se vio en el ejemplo 38 en el capítulo 3, en un espacio vectorial normado dos bolas abiertas arbitrarias son homeomorfas, R es, en particular, un espacio vectorial normado y cualquier intervalo abierto acotado (a, b) es y radio b−a . Luego, todo intervalo abierto una bola abierta de centro a+b 2 2 acotado en R es conexo. También un intervalo abierto no acotado es homeomorfo a R. En efecto, para el intervalo (a, +∞) tenemos la función f : R → (a, +∞) definida por f(x) = a + ex es continua y tiene inversa f−1 : (a, +∞) → R definida por f−1 (y) = ln(y − a) también continua. Finalmente un intervalo abierto no acotado de la forma (−∞, b) es homeomorfo a el intervalo (−b, +∞) mediante el homeomorfismo t 7→ −t. Luego, todo intervalo abierto en R es conexo por ser homeomorfo a R.  Ejemplo 63. La circunferencia unitaria S1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1} es un conjunto conexo de R2 ya que es la imagen de la función continua f : R → S1 f(t) = (cos(t), sen(t)).  Proposición 5.4. La clausura de un conjunto conexo es conexo.

76

CAPÍTULO 5. CONJUNTOS CONEXOS

Prueba: Probaremos primero el caso cuando un conjunto conexo C ⊆ X sea denso en el espacio X. Sea X = A ∪ B una separación de X, entonces C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) es una separación para C; siendo C conexo, (A ∩ C) = ∅ o (B ∩ C) = ∅, como C es denso esto implica que A = ∅ o B = ∅, por lo que la única separación posible para X es la trivial, y por lo tanto, C es conexo. Para un conjunto conexo arbitrario C tenemos que C es denso en C, así C es conexo.  Corolario 5.5. Si X ⊆ Y ⊆ X y X es conexo, entonces Y es conexo.

e = X ∩ Y = Y . Luego, X es denso Prueba: La clausura de X en Y es X en Y y por tanto, Y es conexo.  Del corolario anterior se deduce que todo intervalo en R cerrado acotado o no es conexo y todos los intervalos de la forma [a, b) ó (a, b] también son conexos. En resumen, todo intervalo en R es conexo. Ejemplo 64. Sea f : M → N una función continua, entonces la función, G = (I, f) : M → Gr(f) dada por G(x) = (I(x), f(x)) = (x, f(x)), es continua y su inversa es la restricción de la proyección π1 : M × N → M al gráfico de f, Gr(f), la cual es también continua. Así, el dominio de una función continua es homeomorfo a su gráfico. Por lo tanto, si el dominio de una función continua es conexo, el gráfico también es conexo.

Figura 5.1: El gráfico de cos(1/x) en el intervalo (0, 1) generado con el sistema de álgebra computacional wxMaxima (software libre). Sea C el gráfico de la función f : (0, 1) → R definida por f(x) = cos(1/x), ver figura 5.1. Siendo f continua y el intervalo abierto (0, 1) conexo, tenemos que el gráfico C es conexo. Sea J el intervalo [−1, 1] sobre el eje y en R2 , es decir, J = {0} × [−1, 1]. Todo punto de J es adherente a C, de esta forma, para cualquier subconjunto T de J, tenemos que C ⊆ C∪ T ⊆ C. Por el corolario 5.5 anterior, se concluye que C ∪ T es conexo. Este ejemplo tiene una relevancia teórica evidente ya que aunque los conjuntos C y T nunca se intersectan, su unión es conexo, esto puede chocar un poco con la noción intuitiva de lo que es un conjunto conexo que es un conjunto de una sola pieza; así que debemos mantener esa idea intuitiva pero con cierta cautela. 

5.2. PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS CONEXOS

77

Proposición 5.6. Sea {Cλ }λ∈L una familia de conjuntos conexos en un espacio métrico o topológico X.SSi todos los Cλ contienen un punto en común p ∈ X, entonces la unión C = λ∈L Cλ es conexa.

Prueba: Sea C = A ∪ B una separación de C. El punto p pertenece a alguno de los dos conjunto A ó B. Asumamos que p ∈ A. Para cada λ ∈ L, los conjuntos A ∩ Cλ y B ∩ Cλ son abiertos en Cλ . Luego, Cλ = (A ∩ Cλ ) ∪ (B ∩ Cλ ) es una separación de Cλ . El elemento p pertenece a cada Cλ por tanto, para todo λ ∈ L, p ∈ A ∩ Cλ , como Cλ es conexo, esto implica que para todo S λ ∈ L, B ∩ Cλ = ∅. En consecuencia, B = (B ∩ Cλ ) = ∅, es decir, la única separación posible para C es la trivial. Luego, C es conexo.  Corolario 5.7. Para que un espacio X sea conexo es necesario y suficiente que cualquier par de puntos a, b en X estén contenidos en algún conjunto conexo Cab en X. Prueba: Si X es conexo basta tomar Cab = X para cada par. RecíproS camente, si se cumple la condición, se puede escribir X = b∈X Cab . Ya que para todo b ∈ X, a ∈ Cab , por proposición 5.6, X es conexo.  Ejemplo 65. Todo espacio vectorial normado E es conexo ya que para a, b en E, el conjunto Lab = {(1 − t) · a + t · b : t ∈ R} contiene a a y b y es homeomorfo a R (mediante t 7→ a + t · (b − a)) por lo tanto, es conexo. Parafraseando el ejemplo 62, la función f : E → B(0; 1) definida por y x es un homeomorfismo con inversa f−1 (y) = 1−kyk . Luego, la f(x) = 1+kxk bola abierta B(0; 1) es conexa. Como dos bolas abiertas cualesquiera son homeomorfas (ejemplo 38), concluimos que toda bola abierta en un espacio vectorial normado es conexa. Así mismo, toda bola cerrada es conexa al ser la clausura de una bola abierta.  Proposición 5.8. El producto cartesiano X = C1 × C2 × · · · × Cn es conexo si, y sólo si, cada factor Ci es conexo. Prueba: (Sólo si) Cada proyección πi : X → Ci es continua y sobreyectiva, por lo tanto, si X es conexo, entonces Ci es conexo.

Figura 5.2: Representación del producto cartesiano C1 × C2

78

CAPÍTULO 5. CONJUNTOS CONEXOS

(Si) Basta hacer la prueba para dos factores si C1 y C2 son conexos, su producto cartesiano C = C1 × C2 es conexo. Fijemos un punto a = (a1 , a2 ) ∈ C1 ×C2 , para cada x = (x1 , x2 ) en C1 ×C2 el conjunto Cx = (C1 ×{a2 })∪({x1 }×C2 ) es conexo ya que es la unión de dos conjuntos conexos (son homeomorfos a C1 y C2 resp.) con un punto en común (x1 , a2 ), ver la figura S 5.2. Observemos que a ∈ Cx para todo x en C. Entonces C = C1 × C2 = x∈C Cx , por la proposición 5.6, C1 × C2 es conexo.  Corolario 5.9. El espacio Rn es conexo.

5.3.

Conexidad y funciones continuas en R

Proposición 5.10. Un subconjunto de R es conexo si, y sólo si, es un intervalo. Prueba: (Si) Ya se vio en el ejemplo 62 que todo intervalo abierto en R es conexo y mediante el corolario 5.5 que los demás tipos de intervalos también son conexos. (Sólo si) Sea J ⊆ R conexo, si J es un conjunto unitario {p} se puede entender como el intervalo “degenerado” [p, p]. Supongamos que J posee al menos dos puntos digamos a y b. Si c ∈ R es tal que a < c < b probaremos que c está en J ya que si no fuese así, obtendríamos una separación de J = [(−∞, c) ∩ J] ∪ [J ∩ (c, +∞)] que no es la trivial porque a pertenece al primer conjunto y b al segundo. Luego, todo elemento c entre a y b también pertenece a J; esta propiedad implica que J es un intervalo de R.  Corolario 5.11 (Teorema del valor intermedio). Sea f : [a, b] → R continua. Si K es un valor intermedio entre f(a) y f(b), es decir f(a) < K < f(b) ó f(b) < K < f(a), entonces existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = K.

Prueba: La prueba resulta muy sencilla con la teoría desarrollada, compare con el problema 6 del problemario No 3. La función f es continua y el intervalo [a, b] es conexo (proposición 5.10), entonces, la imagen o rango de f, f([a, b]), es un conexo en R y por tanto es un intervalo por la misma proposición 5.10; Así, el valor intermedio K pertenece al rango de f, por lo tanto existe c ∈ [a, b] tal que f(c) = K. Siendo K = f(c) distinto de f(a) y f(b) tiene que ser c ∈ (a, b).  Ejemplo 66. Todo polinomio con coeficientes reales y grado impar, posee al menos una raíz real. Sea p(x) = xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 con n impar. El polinomio p es una función p : R → R, que es continua como se vio en el ejemplo 28 del capítulo 3. Para x 6= 0 se puede escribir: h a a1 a0 i n−1 (5.1) + · · · + n−1 + n p(x) = xn · 1 + x x x Sea k = 1 + |an−1 | + · · · + |a0 |. Si se toma |x| > k (en particular, |x| > 1), se obtiene: a a0 |an−1 | + · · · + |a1 | + |a0 | a1 n−1 + · · · + n−1 + n ≤ k, la expresión entre corchetes en la ecuación (5.1) es positiva, por lo tanto, el signo de p(x) es igual al signo de xn . Como n es impar, p(x) toma valores tanto positivos como negativos; en otros términos existen x1 , x2 ∈ R tales que p(x1 ) < 0 < p(x2 ), por el teorema del valor intermedio, proposición 5.11, existe x0 ∈ R tal que p(x0 ) = 0 o, lo que es lo mismo, el polinomio p(x) posee alguna raíz real.  Definición 56 (monotonía). Una función f : X ⊆ R → R se dice que es: creciente si para x, y ∈ X, x < y ⇒ f(x) < f(y); no decreciente si para x, y ∈ X, x < y ⇒ f(x) ≤ f(y); decreciente si para x, y ∈ X, x < y ⇒ f(x) > f(y); no creciente si para x, y ∈ X, x < y ⇒ f(x) ≥ f(y);

Si una función satisface alguna de las condiciones de arriba se dice que es monótona. Proposición 5.12. Sea f : X ⊆ R → R una función monótona. Si su imagen f(X) es densa en un intervalo J, entonces f es continua.

Prueba: Supongamos que f es no decreciente. Sea p un punto cualquiera de X el dominio de f y veamos que f es continua en p. Sea ε > 0 y suponemos primero que f(p) es un punto interior de J, así para algún 0 < r < ε, (f(p) − r, f(p) + r) está contenido en J. Por la densidad de f(X), existen y1 = f(x1 ) y y2 = f(x2 ) en el rango de f, tales que (5.2)

f(p) − ε < y1 < f(p) < y2 < f(p) + ε.

Como f es no decreciente, x1 < p < x2 . Tomemos δ = m´ın{p − x1 , x2 − p}. Entonces, para x ∈ X

|x − p| < δ ⇒ p − δ < x < p + δ

⇒ x1 < p < x2 ⇒ y1 ≤ f(x) ≤ y2 ⇒ f(p) − ε ≤ f(x) ≤ f(p) + ε

(monotonía de f) (por (5.2))

⇒ |f(x) − f(p)| < ε

Luego, f es continua en p. Si f(p) es el extremo superior de J. Como f es no decreciente y f(X) ⊆ J, se sigue que p < x ⇒ f(x) = f(p). Dado ε > 0, existe y1 = f(x1 ) en f(X) tal que f(p) − ε < y1 < f(a). Tenemos que x1 < a porque f es no decreciente. Ahora, tomando δ = p − x1 , vemos que para x ∈ X,

|x − p| < δ ⇒ x1 < x ⇒ y1 ≤ f(x) ≤ f(p) ⇒ |f(x) − f(p)| < ε.

Para el caso en que f(p) sea el extremo inferior de J, se procede en forma similar. También, para los otros tipos de monotonía con ligeras adaptaciones se obtiene el resultado. 

CAPÍTULO 5. CONJUNTOS CONEXOS

80

Corolario 5.13. Si f : X ⊆ R → R es monótona y f(X) es un intervalo, entonces f es continua.

Proposición 5.14. Sea f : I ⊆ R → R continua e inyectiva, donde I es un intervalo. Entonces, (1) f es monótona;

(2) f es un homeomorfismo de I sobre el intervalo J = f(I). Prueba: Para demostrar (1), supondremos inicialmente que I = [a, b] un intervalo cerrado y acotado. Como f es inyectiva, f(a) 6= f(b). Para fijar ideas, sea f(a) < f(b), en este caso mostraremos que f es creciente. De hecho, si no fuese así, existirían x < y en [a, b] con f(y) < f(x). Hay dos posibilidades: f(a) < f(y) ó f(y) < f(a). En el primer caso, se tiene que f(a) < f(y) < f(x). Luego, por el teorema del valor intermedio (proposición 5.11), existe c ∈ (a, x) tal que f(c) = f(y) lo que contradice la inyectividad de f. En el segundo caso, tenemos f(y) < f(a) < f(b). El mismo teorema nos da un punto c ∈ (y, b) tal que f(c) = f(a), lo que nuevamente contradice la inyectividad de f. Cuando I es cualquier otro intervalo, es fácil ver que f : I → R es monótona si, y sólo si, su restricción a cada intervalo [a, b] ⊆ I es monótona. Para probar (2) sabemos que f : I → R es continua e inyectiva, I es un intervalo y por tanto, es conexo; por la proposición 5.2 J = f(I) es conexo ^ por lo tanto, J es un intervalo. así f^ : I → J = f(I) (f(x) = f(x)), es una biyección . La inversa de una biyección monótona también es monótona. Luego, f^−1 : J → I es continua por el corolario anterior, corolario 5.13. Es decir, f es un homeomorfismo entre I y J.  Corolario 5.15. Sea f : I → J una biyección entre los intervalos I, J. Para que f sea un homeomorfismo, es necesario y suficiente que sea una función monótona. Prueba:

Ejercicio.





Ejemplo 67. En relación a la proposición 5.14 tenemos los siguientes ejemplos donde alguna de las condiciones falla. x Sea f : R → R, definida por f(x) = x + |x| si x 6= 0 y f(0) = 0. Esta función está definida en un intervalo, es monótona pero es discontinua y su imagen no es un intervalo. Por otra parte, pueden existir biyecciones entre intervalos que no son continuas como la siguiente g : [0, 3] → [0, 3] definida por:   1 − x si 0 ≤ x ≤ 1 x si 1 < x < 2 g(x) =  5 − x si 2 ≤ x ≤ 3 Esto sucede porque g no es monótona.



5.4. CONEXIDAD POR CAMINOS

81

Figura 5.3: Funciones del ejemplo 67 Proposición 5.16 (Teorema de la aduana). Sean C y V subconjuntos de un espacio métrico M. Si C es conexo y tiene puntos en V y en M \ V , entonces algún punto de C pertenece a la frontera de V . Prueba: Dado que el conjunto C es conexo, al verlo como subespacio sabemos, por la parte (3) de la proposición 5.1, que los únicos conjuntos con frontera vacía son ∅ y C; por hipótesis C ∩ V no es vacío ni es todo C. Por lo tanto su frontera (en C) no es vacía y en consecuencia, existe c ∈ C perteneciente a la frontera de C ∩ V en C. De esta manera, para todo ε > 0, existe un punto v ∈ C ∩ V ⊆ V con d(c, v) < ε y existe un punto p ∈ C \ (C ∩ V) = C \ V ⊆ M \ V tal que d(c, p) < ε. En conclusión, c ∈ ∂V en M. 

Figura 5.4: Teorema de la aduana.

5.4.

Conexidad por caminos

La definición de espacio conexo como aquél que admite sólo una separación trivial es la expresión matemática de la idea de un conjunto formado por una sola pieza. Otra forma de expresar la conexidad es decir que se puede pasar de un punto a otro en un movimiento continuo sin salir del espacio. Esto nos lleva a la noción de espacio conexo por caminos. Definición 57 (camino). Un camino en un espacio métrico M es una función continua f : [0, 1] → M. Los puntos a = f(0) y b = f(1), pertenecientes a M,

82

CAPÍTULO 5. CONJUNTOS CONEXOS

son llamados extremos del camino f. a es el punto inicial y b es el punto final. Se dice también que el camino f une el punto a al punto b. Cuando a = b se dice que f es un camino cerrado en M. Definición 58 (camino yuxtapuesto). Dados los caminos f, g : [0, 1] → M tales que f(1) = g(0), se define el camino yuxtapuesto f ∨ g : [0, 1] → M por: f(2t) si 0 ≤ t ≤ 1/2 (f ∨ g)(t) = g(2t − 1) si 1/2 ≤ t ≤ 1

Figura 5.5: El camino yuxtapuesto f ∨ g. Observe que como f(1) = g(0), la función f ∨ g tiene un mismo valor en 1/2; esto garantiza la continuidad. Si f : [0, 1] → M es un camino desde a = f(0) hasta b = f(1), entonces f∗ : [0, 1] → M, definido por f∗ (t) = f(1 − t) es el mismo conjunto imagen pero desde b hasta a. La relación a ∼ b si y sólo si, existe un camino desde a hasta b es una relación de equivalencia. Un camino trivial es la función constante f : [0, 1] → M, f(t) = c para todo t ∈ [0, 1].

Ejemplo 68. Sea E un espacio vectorial normado. Dados a, b ∈ E el segmento de recta de extremos a y b es el conjunto

[a, b] = {(1 − t)a + tb : 0 ≤ t ≤ 1} y la función f : [0, 1] → E definida por f(t) = (1 − t)a + tb es continua y se le llama camino rectilíneo de extremos a, b.  Definición 59 (conjunto convexo). Un subconjunto S de un espacio vectorial se llama convexo cuando para cada par de elementos a, b en S, el segmento [a, b] está contenido en S. Todo subespacio de un espacio vectorial es convexo. Ejemplo 69. Toda bola en un espacio vectorial normado es convexa. Sea B = B(a; r) la bola abierta de centro a y radio r en el espacio vectorial

5.4. CONEXIDAD POR CAMINOS

83

normado E. Dados x, y en B, tenemos kx − ak < r y ky − ak < r. Luego, para todo t ∈ [0, 1],

k(1 − t)x + ty − ak = k(1 − t)(x − a) + t(y − a)k ≤ (1 − t) kx − ak + t ky − ak < (1 − t)r + tr = r.

Luego, [x, y] ⊆ B por tanto, B es convexa. De forma similar se prueba que una bola cerrada también es convexa.  Definición 60 (conexidad por caminos). Un espacio métrico M se llama conexo por caminos si para cada par de puntos existe un camino que los une contenido en M. Un conjunto se dice conexo por caminos si como subespacio es conexo por caminos. Es claro que todo conjunto convexo de un espacio vectorial es conexo por caminos. Proposición 5.17. Si un espacio métrico es conexo por caminos, entonces es conexo. Prueba: El rango o conjunto imagen de un camino α : [0, 1] → M es un conjunto conexo por la proposición 5.2. Luego, dos puntos cualesquiera, están contenidos en un conjunto conexo. Por el corolario 5.7, M es conexo.  Ejemplo 70. La conexidad no implica la conexidad por caminos. Sea G ⊆ R2 el gráfico de la función f : [0, +∞) → R, dada por f(x) = cos(1/x) si x > 0 y f(0) = 0. se sigue del ejemplo 64 que G es conexo. Mostremos que G no es conexo por caminos, probando que si λ : [0, 1] → G fuese un camino con λ(0) = (0, 0), entonces λ es constante. En efecto, dado λ, podemos escribir, para todo t ∈ [0, 1], λ(t) = (α(t), f(α(t))) donde α = π1 ◦ λ. Sea A = {t ∈ [0, 1] : α(t) = 0}. Queremos probar que A = [0, 1]. Ahora, A = α−1 ({0}) como α es continua, A es cerrado en [0, 1] y es no vacío porque 0 ∈ A. Resta probar que A también es abierto en [0, 1]. Tomemos un punto a ∈ A. De la continuidad de λ obtenemos una bola abierta J de centro a en [0, 1] tal que, t ∈ J ⇒ |λ(t)| < 1. Como J es un intervalo, α(J) es un intervalo que contiene a 0. si α(J) no 1 ∈ α(J), o sea, existiría t ∈ J tal fuese degenerado, existiría n ∈ N tal que 2πn 1 1 1 , cos(2πn)) = ( 2πn , 1), lo que que α(t) = 2πn , lo que implica que λ(t) = ( 2πn contradice el hecho de que |λ(t)| < 1 para todo t ∈ J. Este ejemplo muestra también que la proposición 5.4 no es válida para la conexidad por caminos, pues Gr(cos(1/x)) ⊆ G ⊆ Gr(cos(1/x), siendo el gráfico de cos(1/x), (x > 0), conexo por caminos. 

CAPÍTULO 5. CONJUNTOS CONEXOS

84

5.5.

Componentes conexas

Las componentes conexas en un espacio son los “pedazos” que lo componen, es decir, son los subconjuntos conexos maximales del mismo. Definición 61 (componenete conexa). Sea X un espacio y x un punto de X. La componente conexa de x en X es la unión Cx de todos los subconjuntos conexos de M que contienen a x. Todo punto x pertenece a al menos un conjunto conexo, a saber: {x}. Así, Cx es no vacía y como la unión de conexos con un punto en común es conexo (proposición 5.6), cada componente conexa es un conjunto conexo. Por definición, la componente conexa de x, Cx es el conexo más grande que contiene a x. Las componentes conexas en un espacio son las clases de equivalencia de la siguiente relación en X:

x ≍ y ⇔ “Existe un conjunto conexo de X conteniendo a x y y”;

que fácilmente se prueba que se trata de una relación de equivalencia. La familia de las componentes conexas de un espacio, es el conjunto cociente de la relación ’≍’, por lo tanto, constituyen una partición del espacio en partes disjuntas. Además, cada subconjunto conexo no vacío de X está contenido en una única componente conexa. Por otra parte, toda componente conexa es un subconjunto cerrado, ya que si C es una componente conexa, C es un conjunto conexo y por tanto, C es un conjunto conexo. Si no fuese C = C, C no sería un conexo maximal. Ejemplo 71. Las componentes conexas de R \ {0} son los intervalos (−∞, 0) y (0, +∞). S En general, si M = λ∈L Aλ es una unión disjunta de conjuntos de M que son no vacíos, conexos y simultáneamente abiertos y cerrados, entonces cada Aλ es una componente conexa de M. En efecto, solo falta probar que cada Aλ es un conexo maximal. Si C es un conjunto conexo  y para algún λ0 ∈ L, S se tiene Aλ0 ⊆ C, entonces C = Aλ0 ∪ λ6=λ0 (Aλ ∩ C) es una separación de C (abiertos en C); como C es conexo y Aλ0 es no vacío, para todo λ  (Aλ ∩ C) = ∅, es decir, C = Aλ0 . El siguiente ejemplo muestra que no siempre las componentes conexas de un espacio métrico son conjuntos abiertos. Ejemplo 72. En el espacio métrico Q, de los números racionales, cada componente conexa es un conjunto unitario. Equivalentemente, ningún conjunto conexo de Q puede tener dos puntos distintos (ver ejemplo 60). 

5.6. EJERCICIOS

5.6. 1

85

Problemario No 5

Sean M un espacio métrico y X, Y ⊆ M tales que M = X ∪ Y y X ∩ Y = ∅. Entonces, X, Y constituyen una separación de M si, y sólo si, X ∩ Y = X ∩ Y = ∅. (Es decir, x ∈ X ⇒ d(x, Y) > 0 y y ∈ Y ⇒ d(y, X) > 0).

2

Sea f : M → N continua y localmente inyectiva. Demuestre que si M es conexo y existe una función g : N → M tal que f ◦ g = IN (IN es la identidad de N), entonces f es un homeomorfismo de M sobre N.

3

Sean X, Y ⊆ M conexos. Si ∂(X) ⊆ Y entonces X ∪ Y es conexo.

4

Sea M un espacio métrico con la “propiedad del valor intermedio”, esto es, toda función continua f : M → R que alcanza valores tanto positivos como negativos, se anula en algún punto de M. Pruebe que M es conexo.

5

Sean τ y τ′ dos topologías en X. Si τ′ ⊇ conexidad respecto a cada topología?

6

Sea M un espacio métrico conexo y C ⊆ M también conexo. Pruebe que si A ⊆ M \ C es abierto y cerrado en M \ C, entonces A ∪ C es conexo.

7

Un espacio métrico M es conexo si, y sólo si, toda función continua f : M → {0, 1} es constante.

τ. ¿Qué se puede decir de la

8

Sea f : M → R una función continua. Si c ∈ R es un número estrictamente comprendido entre el máximo y el mínimo de f en M, entonces M \ f−1 ({c}) es disconexo.

9

Sea f : R → R una función real continua con la siguiente propiedad: para cada x ∈ R, f(x) es un número √ trascendente. También se sabe que f(π) = π. ¿Se puede determinar f( 2) y f(e)?

10

Sea {Cλ }λ∈L un familia de conjuntos conexos en un espacio métrico M, S tales que Cλ ∩ Cµ 6= ∅ para cualesquiera λ, µ ∈ L. Pruebe que λ∈L Cλ es conexo.

11

¿Cuántas componentes conexas tiene el conjunto H = {(x, y) ∈ R2 : (xy)2 = xy}?

12

Pruebe que una función continua tomando valores en un espacio discreto es constante en cada componente conexa de su dominio. El recíproco es

CAPÍTULO 5. CONJUNTOS CONEXOS

86 falso. 13

¿Verdadero o falso? (a) El interior de un conjunto conexo es también conexo. (b) La frontera de un conjunto conexo es conexo. (c) Sea f : M → N continua y sobreyectiva. Si M tiene m componentes conexas y N tiene n entonces m ≥ n.

(d) Si A ⊆ Rn es abierto entonces cada componente conexa de A es abierta.

(e) Si f : R → R es tal que la imagen de un conexo es conexo, entonces f es continua.

(f) Si a, b ∈ M pertenecen a componentes conexas distintas, entonces existe una separación M = A ∪ B con a ∈ A y b ∈ B. (Sugerencia: considere en R2 , a = (0, 0), b = (0, 1), V = {(1/n, y) ∈ R2 : n ∈ N, y ∈

R} y tome M = V ∪ {a, b})

Capítulo 6

Sucesiones en espacios métricos 6.1.

Límites de sucesiones

Definición 62 (sucesión). Una sucesión en un conjunto M es una función x : N → M, definida en el conjunto de los números naturales N = {1, 2, 3, . . . }. El valor que x toma en n, se denotará por xn en lugar de x(n), y se llamará el término n-ésimo de la sucesión. Se usarán las notaciones: (x1 , x2 , . . . , xn , . . . ), (xn )n∈N o (xn ) para representar una sucesión. Por otra parte, escribiremos {x1 , x2 , . . . , xn , . . . }, {xn : n ∈ N} o x(N) para referirnos al conjunto de valores o al conjunto de los términos de la sucesión. Ejemplo 73. Si se define x : N → R colocando xn = (−1)n , entonces obtenemos la sucesión (−1, 1, −1, 1, . . . ), cuyo conjunto de valores es {−1, 1}. Esto muestra que una sucesión puede repetir los términos, a menos que se trate de una función inyectiva en cuyo caso diremos que es una sucesión de términos distintos.  Ejemplo 74. Fijando ω ∈ R, hacemos para cada n ∈ N, xn = einω = (cos(nω), sen(nω)) (identificando el plano complejo con R2 ), obtenemos una sucesión (xn ) en el círculo unitario S1 . Esta sucesión tiene repeticiones si, y sólo si, ω es un múltiplo racional de 2π. De hecho, eimω = einω con n 6= m si, y sólo si, ei(m−n)ω = 1 ⇔ (∃k ∈ Z)(m−n)ω = 2kπ ⇔ ω = (k/(m−n))2π.  Definición 63 (subsucesión). Una subsucesión de (xn ) es una restricción de la función n 7→ xn a un subconjunto infinito N′ = {n1 < n2 < n3 < · · · < nk < . . . } de N. La denotaremos por: (xn1 , xn2 , . . . , xnk , . . . ), (xn )n∈N′ , (xnk )k∈N o simplemente (xnk ). 87

88

CAPÍTULO 6. SUCESIONES EN ESPACIOS MÉTRICOS

Observe que una subsucesión es también una sucesión definida mediante la función k 7→ xnk .

Ejemplo 75. La sucesión (2, 4, 8, 16, . . . , 2k , . . . ) es una subsucesión de la sucesión (2, 4, 6, 8, 10, . . . , 2n, . . . ) mediante la aplicación k 7→ 2 · 2k−1 , en este caso N′ = {2k−1 : k ∈ N}.  Definición 64 (sucesión acotada). Una sucesión (xn ) en el espacio métrico M se dice que es acotada si el conjunto de valores o términos de la sucesión es acotado, es decir, si existe K > 0 tal que para cualesquiera m, n ∈ N, d(xn , xm ) ≤ K. Ejemplo 76. Evidentemente toda subsucesión de una sucesión acotada, es también acotada. Una sucesión constante (xn = c para todo n) o, en general, una sucesión que asume un número finito de valores, es evidentemente acotada. Si a es un número real, con |a| > 1, la sucesión de números reales xn = an no es acotada, en virtud de la desigualdad de Bernoulli1 : (1 + b)n > 1 + n · b n si b > −1. (se escribe b = |a| − 1, entonces |a| = (1 + b)n > 1 + n · b > c si n > (c − 1)/b). Por otro lado, cuando |a| ≤ 1, la sucesión xn = an es acotada pues |xn | ≤ 1 para todo n.  Definición 65 (límite). Sea (xn ) una sucesión en el espacio métrico M. Se dice que el punto a ∈ M es límite de la sucesión (xn ) cuando, para todo número ε > 0 arbitrario, se puede obtener n0 ∈ N tal que n ≥ n0 ⇒ d(xn , a) < ε. Se denotará por: a = l´ım xn , a = l´ımn xn o a = l´ımn→∞ xn . También diremos que xn “tiende a” a y se escribe en símbolos xn → a. En esta situación, diremos que la sucesión (xn ) es “convergente”. Si no existe limxn en M diremos que la sucesión (xn ) es “divergente”. Ejemplo 77. Toda sucesión constante, xn = c, es convergente y l´ım xn = c. Si a ∈ M es un punto aislado y l´ım xn = a, entonces existe n0 ∈ N tal que todos los términos xn con índice mayor que n0 son iguales a a. Para verificar esto, basta tomar como ε > 0 el radio que aísla al punto a, como l´ım xn = a, a este ε le corresponde n0 ∈ N tal que n ≥ n0 ⇒ d(xn , a) < ε ⇒ xn = a. En particular, en un espacio métrico discreto, una sucesión (xn ) es convergente si, y sólo si, es “eventualmente constante”, esto es, existe n0 ∈ N tal que xn0 = xn0 +1 = xn0 +2 = · · ·  Ejemplo 78. Si un espacio métrico M posee dos puntos distintos a, b, entonces existen en M sucesiones divergentes. Bastaría tomar xn = a si n es par y xn = b si n es impar. Si tomamos ε = d(a, b)/2, cualquier bola de radio ε no contiene simultáneamente a a y a b. En consecuencia, para cualquier punto p en M, no existe n0 ∈ N tal que xn ∈ B(p; ε) para todo n ≥ n0 .  1 Desigualdad de Bernoulli: Si b ≥ −1 y 0 < α < 1, entonces (1 + b)α ≤ 1 + αx. En cambio si α < 0 o bien si α > 1, se tiene (1 + b)α ≥ 1 + αx. La igualdad se tiene sólo para x = 0.

6.1. LÍMITES DE SUCESIONES

89

Definición 66 (arbitraria y suficientemente grande). Sea A un conjunto de números naturales. Diremos que A contiene números arbitrariamente grandes cuando para todo n0 ∈ N dado es posible encontrar n ∈ A tal que n > n0 . Esto significa que A es un conjunto no acotado de N y equivale también a decir que A es un conjunto infinito de números naturales. Diremos que A contiene todos los números naturales suficientemente grandes cuando exista n0 ∈ N tal que n ≥ n0 ⇒ n ∈ A. Esto equivale a decir que el complemento de A, N \ A, es finito. En particular A es infinito.

Ejemplo 79. Existen múltiplos de 3 arbitrariamente grandes, ya que el conjunto 3N = {3, 6, 9, . . . , 3n, . . . } es infinito. Así mismo, existen números primos arbitrariamente grandes. Consideremos el conjunto A de los números naturales n tales que n2 − 14n + 40 > 0. Entonces A = {1, 2, 3, 11, 12, 13, . . . }. Aquí vemos que n ≥ 11 ⇒ n ∈ A. Luego, A contiene todos los números naturales suficientemente grandes. Observe que N \ A = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Dada una sucesión (xn ) en un espacio métrico M, decir que l´ım xn = a ∈ M, significa que para toda bola abierta B de centro a, xn pertenece a B para todo índice n suficientemente grande.  Ejemplo 80. l´ım(1/n) = 0 en efecto, dado ε > 0, por la propiedad arquimediana, existe n0 ∈ N tal que n0 · ε > 1, entonces 1 1 1 < ε ⇒ − 0 < ε. n ≥ n0 ⇒ 0 < ≤ n n0 n

En otras palabras, dado ε > 0, 1/n pertenece al intervalo (−ε, ε) para todo n suficientemente grande.  Proposición 6.1. Toda sucesión convergente es acotada.

Prueba: Sea (xn ) una sucesión en un espacio métrico M tal que l´ım xn = a. Tomando ε = 1, obtenemos un n0 ∈ N tal que n ≥ n0 ⇒ xn ∈ B(a; 1). Por lo tanto, el conjunto de valores de la sucesión está contenido en la unión de los siguientes conjuntos acotados {x1 , . . . , xn0 −1 } ∪ B(a; 1), luego la sucesión es acotada.  Ejemplo 81. El recíproco de la proposición anterior no es cierto, la sucesión xn = (−1)n es acotada mas no es convergente. Por otra parte, dado a ∈ R con |a| > 1, podemos afirmar que la sucesión xn = an no es convergente ya que no es acotada. (Ver ejemplo 76)  Proposición 6.2 (Unicidad del límite). Si una sucesión converge, el límite es único. Prueba: Sea (xn ) una sucesión en un espacio métrico M, y sean a, b ∈ M dos límites de la sucesión: l´ım xn = a y l´ım xn = b. Dado ε > 0 arbitrario,

CAPÍTULO 6. SUCESIONES EN ESPACIOS MÉTRICOS

90

existen n1 ∈ N tal que n ≥ n1 ⇒ d(xn , a) < ε/2, también existe n2 ∈ N tal que n ≥ n2 ⇒ d(xn , b) < ε/2. Tomando n más grande que n1 y n2 , tenemos que d(a, b) ≤ d(a, xn ) + d(xn , b) ≤ ε/2 + ε/2 = ε. Se sigue que para todo ε > 0, 0 ≤ d(a, b) < ε, esto forzosamente nos lleva a concluir que d(a, b) = 0 y por tanto, a = b.  Proposición 6.3. Si l´ım xn = a, entonces toda subsucesión de (xn ) converge a a. Prueba: Por hipótesis, dado ε > 0 arbitrario, existe n0 ∈ N tal que n ≥ n0 ⇒ d(xn , a) < ε. Consideremos cualquier subsucesión (xnk )k∈N de (xn ). Por definición de sucesión, existe k0 ∈ N tal que nk0 > n0 , por lo tanto,

k ≥ k0 ⇒ nk > nk0 > n0 ⇒ d(xnk , a) < ε;

luego, l´ımk xnk = a = l´ımn xn .



Corolario 6.4. Si l´ım xn = a, entonces para todo p ∈ N, l´ımn xn+p = a. Prueba:

Basta ver que (xn+p )n∈N es una subsucesión de (xn ).



Corolario 6.5. Si l´ım xn = a 6= b, entonces existe n0 ∈ N tal que n ≥ n0 ⇒ xn 6= b.

Prueba: En efecto, por reducción al absurdo tendríamos que xn = b para índices n arbitrariamente grandes, de aquí obtenemos una subsucesión constante con términos iguales a b, es decir que converge a b 6= l´ım xn = a lo cual es absurdo por la proposición 6.3. 

Proposición 6.6. Un punto p, en un espacio métrico M, es límite de una subsucesión de (xn ) si, y sólo si, toda bola abierta de centro p contiene términos xn de la sucesión, para índices n arbitrariamente grandes. Prueba: (sólo si) Si l´ım xnk = p dado ε > 0, existe k0 ∈ N tal que k ≥ k0 ⇒ xnk ∈ B(p; ε); así mismo, dado N ∈ N existe k > k0 tal que nk > N y nnk ∈ B(p; ε); es decir, la bola de centro p y radio ε contiene términos de la sucesión para índices arbitrariamente grandes. (Si) Por hipótesis, la bola B(p; 1) contiene un término xn1 con n1 > 1, la bola B(p; 1/2) contiene un término xn2 con n2 > n1 , la bola B(p; 1/3) contiene un término xn3 con n3 > n2 . Así sucesivamente, se obtiene la sucesión de índices n1 < n2 < n3 < · · · < nk < · · · tales que para todo k ∈ N, xnk ∈ B(p; 1/k), es decir tales que d(xnk , p) < 1/k, y así, l´ımk→∞ xnk = p.  Para deducir algunas propiedades de límites a resultados análogos sobre funciones continuas, consideramos el siguiente lema: Lema 6.7. Sea P el subespacio métrico de R dado por P = {1, 21 , 31 , . . . , n1 , . . . } y su clausura en R P = P ∪ {0}. Dada una sucesión (xn ) en un espacio métrico M y un punto a ∈ M, se define la función f : P → M por f(1/n) = xn y f(0) = a. Entonces, l´ım xn = a si, y sólo si, f es continua. n→∞

6.1. LÍMITES DE SUCESIONES

91

Prueba: Ya que todo punto de P de la forma 1/n es aislado, f es continua en dichos puntos; luego, f es continua si, y sólo si, es continua en 0, condición que se expresa así: para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que 1/n = |1/n − 0| < δ ⇒ d(xn , a) = d(f(1/n), f(0)) < ε. Si se cumple esta condición, dado el ε > 0, tomamos n0 > 1/δ y vemos que

n ≥ n0 ⇒

1 1 ≤ < δ ⇒ d(xn , a) < ε. n n0

Luego, l´ım xn = a. Recíprocamente, si l´ım xn = a, entonces para todo ε > 0 existe n0 ∈ N tal que n ≥ n0 ⇒ d(xn , a) < ε. Tomando δ = 1/n0 , vemos que 1 − 0 = 1 < δ ⇒ n > 1 = n0 ⇒ d(xn , a) < ε. n n δ

Por lo tanto, f es continua en 0.



Proposición 6.8. Una sucesión de puntos zn = (xn , yn ), en el producto cartesiano de espacios métricos M × N, converge a un punto c = (a, b) ∈ M × N si, y sólo si, l´ım xn = a en M y l´ım yn = b en N. Prueba: En virtud de la proposición 3.3 del capítulo 3, además del lema anterior, las siguientes proposiciones son equivalentes: l´ım zn = c ⇐⇒ la función f : P → M × N, definida por f(1/n) = zn y f(0) = c, es continua;

⇐⇒las funciones componentes de f, f1 = π1 ◦ f : P → M, y

f2 = π2 ◦ f : P → N, definidas por f1 (1/n) = xn , f1 (0) = a, f2 (1/n) = yn y f2 (0) = b, son continuas.

⇐⇒ l´ım xn = a y l´ım yn = b.



Proposición 6.9. Si l´ım xn = a, l´ım yn = b en un espacio vectorial normado E y l´ım λn = λ en R, entonces l´ım(xn + yn ) = a + b y l´ım λn · xn = λ · a. Además, si λ 6= 0, se tiene también que l´ım(1/λn ) = 1/λ.

Prueba: Sean f, g : P → E definidas por f(1/n) = xn , f(0) = a; g(1/n) = yn , g(0) = b. Entonces, (f + g)(1/n) = xn + yn y (f + g)(0) = a + b. Por el lema 6.7 y la hipótesis xn → a, yn → b se asegura que f y g son continuas, así por la proposición 3.5 del capítulo 3, f + g es continua y tenemos que l´ım(xn + yn ) = a + b. La otra parte se prueba de forma similar, con la salvedad que por el corolario 6.5, como λ 6= 0, existe n0 ∈ N tal que n ≥ n0 ⇒ λn 6= 0. Al considerar la sucesión 1/λn tomamos todos los índices n ≥ n0 , lo que no altera el límite por el corolario 6.4. En este contexto, siendo continua la función h : P → R, h(1/n) = λn y h(0) = λ, también es continua 1/h y de esta forma, l´ım(1/λn ) = 1/λ. 

CAPÍTULO 6. SUCESIONES EN ESPACIOS MÉTRICOS

92

6.2.

Sucesiones de números reales

Definición 67 (sucesiones monótonas). Una sucesión de números reales (xn ) se dice creciente cuando se tiene que x1 < x2 < · · · < xn < · · · , esto es, xn < xn+1 para todo n ∈ N. Cuando la desigualdad no es estricta, xn ≤ xn+1 para todo n ∈ N se dice que es no decreciente. De forma análoga si xn > xn+1 , (∀n ∈ N) se dice que es decreciente; y si xn ≥ xn+1 , (∀n ∈ N) se dice que es no creciente. En cualquiera de los casos descritos decimos que la sucesión es monótona. Proposición 6.10. Toda sucesión monótona acotada de números reales es convergente. Prueba: La prueba para sucesiones crecientes y no decrecientes son similares y si (xn ) es decreciente o no creciente, entonces (−xn ) es creciente o no decreciente y (xn ) converge si y sólo si (−xn ) converge. Por lo anterior, basta probar que una sucesión (xn ) no decreciente y acotada es convergente. En efecto, siendo la sucesión acotada, el conjunto de valores de la sucesión (o rango de la sucesión) es no vacío y acotado y por tanto tiene supremo, sea a = sup xn veamos que a = l´ım xn . n∈N

Dado ε > 0, por propiedades del supremo, existe n0 ∈ N tal que a − ε < xn0 ≤ a. Entonces, por ser la sucesión no decreciente, n ≥ n0 ⇒ a − ε < xn0 ≤ xn ≤ a < a + ε ⇒ a − ε < xn < a + ε. Así, l´ım xn = a. 

Corolario 6.11. Una sucesión monótona de números reales es convergente si, y sólo si, posee una subsucesión acotada.

Prueba: Si la sucesión es convergente, ella misma es una subsucesión acotada. Recíprocamente, por el teorema anterior, basta probar que una sucesión monótona es acotada si posee una subsucesión acotada. Supongamos que (xn ) es no decreciente y que (xnk ) es acotada, así existe c > 0 tal que xnk ≤ c para todo k ∈ N. Dado cualquier n ∈ N, existe k ∈ N tal que n ≤ nk , entonces xn ≤ xnk ≤ c. Luego, x1 ≤ xn ≤ c para todo n ∈ N, lo que implica que (xn ) es acotada.  Ejemplo 82. Sea a ∈ R con |a| < 1, entonces l´ım an = 0. n→∞

Notemos primero que para cualquier sucesión de números reales (xn ), n l´ım xn = 0 si, y sólo si, l´ım |xn | = 0. De esta forma, veamos que l´ım |a| = 0. 2 3 2 n |a| < 1 ⇒ |a| ≤ |a| ⇒ |a| ≤ |a| ≤ |a|. De allí tenemos que (|a| ) es una sucesión no creciente acotada inferiormente por 0. Por la proposición 6.10, n n+1 n existe L = l´ım |a| . Del mismo modo, L = l´ım |a| = |a| l´ım |a| = |a| · L, si L 6= 0 entonces |a| = 1, pero tenemos que |a| < 1; luego, L = 0. 

6.3. SERIES EN ESPACIOS VECTORIALES NORMADOS

6.3.

93

Series en espacios vectoriales normados

Sea E un espacio vectorial normado y consideremos una sucesión (an ) de vectores en E. Para cada k ∈ N se define la suma parcial como

Sk = a1 + a2 + · · · + ak =

k X

an

n=1

Esto define una nueva sucesión en E, (Sk ), llamada sucesión de sumas parciales. Si existe S ∈ E tal que S = l´ım Sk , se dice que S es la suma de la k→∞ P serie an y se escribe:

S = l´ım Sk = l´ım k→∞

k→∞

k X

n=1

an =

∞ X

n=1

an = a1 + a2 + a3 + · · · + an + · · ·

En este caso se dice que la serie es convergente; si no existe el límite de las sumas parciales decimos que la serie es divergente . Una condición necesaria para que una serie converja es que l´ım an = 0. n→∞

En efecto, si S = l´ım Sn también S = l´ım Sn−1 y así: n

n

l´ım an = l´ım(Sn − Sn−1 ) = l´ım Sn − l´ım Sn−1 = S − S = 0. n

n

n

n

Dicha condiciónPno es suficiente y el ejemplo clásico es la serie armónica 1 de números reales n. P 1 1 Ejemplo 83 (La serie armónica n diverge). Claramente, l´ım n = 0. Mas la 1 1 1 sucesión de sumas parciales Sn = 1 + 2 + 3 + · · · + n contiene una subsucesión no acotada, a saber:     1 1 1 1 1 1 1 S2n = 1 + + + + ··· + + + + 2 3 22 5 6 7 23   1 1 > + + · · · + 2n−1 + 1 2n−1 + 2n−1 1 2 4 2n−1 1 + + + ··· + n = 1 + n · . 2 4 8 2 2 De esta forma, (Sn ) no es acotada y por tanto no es convergente, lo que prueba que la serie armónica diverge. Si bien Sn → ∞, su crecimiento es muy lento como lo podemos evidenciar en la siguiente tabla: Pn n Sn = k=1 n1 10 2.928968253968254 100 5.187377517639621 1.000 7.485470860550343 1.000.000 14.39272672286478 100.000.000 18.9978964138477

>1+



94

6.4.

CAPÍTULO 6. SUCESIONES EN ESPACIOS MÉTRICOS

Convergencia y topología

En esta sección se caracterizan diversos conceptos topológicos utilizando la convergencia de sucesiones. Proposición 6.12 (continuidad). Sean M, N espacios métricos. Para que una función f : M → N sea continua en el punto a ∈ M es necesario y suficiente que para toda sucesión (xn ) en M que converja a a, (xn → a), se tenga que la sucesión de imágenes (f(xn )) converja a f(a) en N.

Prueba: Sea f continua en a. Si (xn ) es una sucesión que converge a a, por la continuidad, tenemos que dado ε > 0, existe δ > 0 tal que si d(x, a) < δ entonces d(f(x), f(a)) < ε; para este δ existe n0 ∈ N tal que n ≥ n0 ⇒ d(xn , a) < δ ⇒ d(f(xn ), f(a)) < ε. Luego, f(xn ) → f(a). Para el recíproco supongamos, por reducción al absurdo, que f no sea continua en el punto a. Entonces, existe un ε˜ > 0 tal que para todo n ∈ N existe xn ∈ M con d(xn , a) < 1/n pero d(f(xn ), f(a)) ≥ ε˜ . Esto define una sucesión en M que converge al punto a pero la sucesión de imágenes, (f(xn )), no converge al punto f(a), lo cual contradice la hipótesis. 

Corolario 6.13. Para que f : M → N sea continua en el punto a ∈ M es necesario y suficiente que xn → a implique que (f(xn )) es convergente en N. Prueba: Por el teorema anterior, basta probar que xn → a implica que f(xn ) → f(a). Si xn → a, la sucesión (zn ) = (x1 , a, x2 , a, x3 , a, . . . ) converge a a. Luego, (f(zn )) = (f(x1 ), f(a), f(x2 ), f(a), . . . ) es convergente entonces, necesariamente l´ım f(xn ) = f(a).  La siguiente proposición caracteriza a los puntos adherentes de un subconjunto.

Proposición 6.14. Sea S un subconjunto de un espacio métrico M. Para que a ∈ S en M, es necesario y suficiente que a sea el el límite de una sucesión de puntos de S. Prueba: Si a ∈ S, existen puntos de S arbitrariamente cerca de a, por tanto, dado n ∈ N existe xn ∈ S tal que d(xn , a) < 1/n, esto define una sucesión en S que converge a a. Recíprocamente, si l´ım xn = a con xn ∈ S para todo n ∈ N, entonces toda bola abierta centrada en a contiene puntos de S. Así, a ∈ S.  Caracterización de puntos frontera de un subconjunto de un espacio métrico. Corolario 6.15. Para que un punto del espacio métrico M sea punto frontera de un subconjunto S es necesario y suficiente que dicho punto sea límite de una sucesión en S y de una sucesión en M \ S. Prueba: Recordemos el problema 24 del capítulo 4 (página 71), ∂(S) = S ∩ M \ S y luego se aplica la proposición anterior.  Caracterización de conjunto denso:

6.4. CONVERGENCIA Y TOPOLOGÍA

95

Corolario 6.16. Un conjunto X ⊆ M es denso en M si, y sólo si, todo punto de M es límite de una sucesión de puntos en X. Caracterización de conjuntos cerrados: Corolario 6.17. Para que un conjunto C sea cerrado en M es necesario y suficiente que él contenga el límite de toda sucesión de puntos en C que converja en M. Prueba: Por la proposición 4.19 página 65, C es cerrado si, y sólo si, C ⊆ C.  La siguiente proposición caracteriza los conjuntos abiertos mediante sucesiones: Proposición 6.18. Un subconjunto A de un espacio métrico M es abierto si, y sólo si, se cumple la siguiente condición:

xn → a ∈ A ⇒ xn ∈ A

para n suficientemente grande.

Prueba: Si A es abierto y xn → a ∈ A entonces existe una bola abierta B(a; ε) ⊆ A y en consecuencia, existe n0 ∈ N tal que n ≥ n0 ⇒ xn ∈ B(a; ε) ⊆ A. Recíprocamente, suponiendo cumplida la condición, para cualquier sucesión (xn ) en M \ A con l´ım xn = b, b no puede pertenecer a A, por tanto, b ∈ M \ A esto nos dice, vía el corolario 6.17, que el conjunto M \ A es cerrado y de esta forma, A es abierto.  Caracterización de puntos de acumulación: Proposición 6.19. Para que un punto p sea punto de acumulación de un subconjunto S en un espacio métrico M, es necesario y suficiente que p sea límite de una sucesión de puntos distintos xn ∈ S. Prueba: Es evidente que la condición es suficiente ya que toda bola de centro en p contiene puntos de S distintos de p, así p ∈ ac(S). Supongamos ahora que p ∈ ac(S), para cada n ∈ N la bola abierta B(p; 1/n) contiene una infinidad de puntos de S, entonces para cada n se puede escoger xn ∈ B(p; 1/n) tal que xn ∈ S y que xn no pertenezca a {x1 , . . . , xn−1 }, así todos los términos de la sucesión son distintos y xn → p. 

Ejemplo 84. Sean f, g : M → N continuas. El conjunto C de los puntos x ∈ M tales que f(x) = g(x) es cerrado en M. En efecto, dada una sucesión xn ∈ C con l´ım xn = a ∈ M, se tiene que f(xn ) = g(xn ) para todo n ∈ N. De allí se sigue que:

f(a) = f(l´ım xn ) = l´ım f(xn ) = l´ım g(xn ) = g(l´ım xn ) = g(a). Luego a ∈ C, por tanto C es cerrado.



96

CAPÍTULO 6. SUCESIONES EN ESPACIOS MÉTRICOS

Ejemplo 85. Sean f, g : M → N continuas. Si f(x) = g(x) para todo punto de un conjunto S ⊆ M, entonces f(y) = g(y) para todo y ∈ S. En efecto, el conjunto de los puntos x ∈ M donde f(x) = g(x) es cerrado en M y contiene a S, luego contiene a S. En particular, si dos funciones continuas definidas en un espacio métrico, coinciden en un conjunto denso, entonces son iguales. 

6.5.

Sucesiones de funciones

Una sucesión de funciones es una familia de funciones con un dominio común tomando valores en un mismo espacio métrico e indizadas por un conjunto numerable por lo general N. Estudiaremos esencialmente dos conceptos de convergencia: la convergencia simple o puntual y la convergencia uniforme. Definición 68 (convergencia puntual). Sea (fn )n∈N una sucesión de funciones fn : X → M definidas en un conjunto X a valores en un espacio métrico M. Se dice que (fn ) converge puntualmente o simplemente en X a una función f : X → M, en símbolos fn → f, cuando para cada x ∈ X, la sucesión (fn (x))n∈N converge a f(x), es decir, l´ım fn (x) = f(x). n

Ejemplo 86. La sucesión de funciones fn : R → R definidas por fn (x) = x/n converge puntualmente en R a la función nula. En efecto, dado x ∈ R y ε > 0 tomamos n0 ∈ N tal que n0 > |x| /ε. Entonces,

|x| x |x| ≤ < ε. n ≥ n0 ⇒ − 0 = n n n0

Luego, l´ım fn (x) = 0. Observe que la selección de n0 depende del x dado y no existe un n0 ∈ N que sea apropiado para todo x ∈ R.  Definición 69 (convergencia uniforme). Diremos que una sucesión de funciones fn : X → M converge uniformemente en X a una función f : X → M cuando para todo número real ε > 0 dado, es posible hallar n0 ∈ N tal que

n ≥ n0 ⇒ (∀x ∈ X) d(fn (x), f(x)) < ε.

En esta definición se observa que el n0 obtenido es válido para cualquier x en X, de allí la uniformidad. Es claro que la convergencia uniforme implica la convergencia puntual, el recíproco no es cierto. Pero también es claro que si fn → f puntualmente en X, entonces (fn ) no puede converger en X uniformemente a otra función que no sea f.

Ejemplo 87. La sucesión de funciones fn (x) = x/n converge uniformemente a la función 0 en cualquier subconjunto acotado X de R. De hecho si |x| ≤ c

6.5. SUCESIONES DE FUNCIONES

97

para todo x ∈ X, entonces, dado ε > 0, basta tomar n0 > c/ε. Así, n ≥ n0 ⇒ |x/n − 0| ≤ c/n < ε para cualquier x ∈ X. Por otro lado, la misma sucesión no converge uniformemente en R. En efecto, si tomamos ε = 1, por ejemplo, dado n0 ∈ N cualquiera al tomar n > n0 y x > n se tiene que |x/n − 0| = x/n > 1 = ε; esto muestra que la convergencia x/n → 0 no es uniforme en R. Para ver este hecho geométricamente, trazamos el gráfico de algunos términos de la sucesión fn (x) = x/n se trata de rectas que pasan por el origen con pendientes 1/n. Afirmar que fn → 0 uniformemente en R significa que a partir de un n suficientemente grande, el gráfico de fn está contenido totalmente en la banda R × (−ε, ε). Pero por grande que sea n ninguna recta y = x/n está contenida en dicha banda. Pero si fijamos un conjunto acotado X ⊆ R para n suficientemente grande, la parte de la recta sobre el conjunto X (es decir, el gráfico de x/n restringido a X) está contenida totalmente en la banda. (ver la figura 6.1). 

Figura 6.1: Interpretación gráfica de la convergencia uniforme.

Ejemplo 88. La sucesión de funciones fn : [0, 1] → R, definidas por fn (x) = xn converge puntualmente en [0, 1] a la función f : [0, 1] → R definida por: f(x) = 0 para x ∈ [0, 1) y f(1) = 1. En efecto, fijando x ∈ [0, 1) por el ejemplo 82, limn fn (x) = limn xn = 0, mientras que l´ımn fn (1) = l´ımn 1n = 1.

Figura 6.2: Ejemplo de convergencia no uniforme en un conjunto acotado.

98

CAPÍTULO 6. SUCESIONES EN ESPACIOS MÉTRICOS

Mas esta convergencia no es uniforme en [0, 1] (ni siquiera en el intervalo [0, 1)) pues tomando ε > 0 tal que 0 < ε < 1, por grande que sea n existen puntos x en [0, 1) tales que |fn (x) − f(x)| = xn ≥ ε. Basta to√ n mar x tal que ε < x < 1. Por otro lado, en todo intervalo de la forma [0, 1 − δ], con 0 < δ < 1, tenemos que l´ım xn = 0 uniformemente. En efecto, dado ε > 0, como l´ım(1 − δ)n = 0, se sigue que existe n0 ∈ N tal que n ≥ n0 ⇒ (1 − δ)n < ε. Por tanto, para todo x ∈ [0, 1 − δ], y todo n ≥ n0 , tenemos que |fn (x) − f(x)| = xn ≤ (1 − δ)n < ε.  A continuación se mostrará que la convergencia uniforme puede ser interpretada como la convergencia de puntos en un espacio métrico adecuado. Considerar funciones como puntos de un espacio métrico, en el cual la distancia fue definida de tal forma de dar lugar a un cierto tipo de convergencia, es una de las técnicas usuales en el Análisis Funcional. En la siguiente proposición X es un conjunto M un espacio métrico y fn : X → M es una sucesión de funciones. Para f : X → M el conjunto

Bf (X; M) = g : X → M/ sup d(g(x), f(x)) < ∞ x∈X

es un espacio métrico con la métrica del supremo, ver ejemplo 21 página 29.

Proposición 6.20. Sea X un conjunto, M un espacio métrico, para fn : X → M y f : X → M. Si fn → f uniformemente en X entonces, para todo n suficientemente grande fn ∈ Bf (x : M) y l´ım fn = f como elementos de dicho espacio métrico. Recíprocamente, si l´ım fn = f en Bf (X; M), entonces fn → f uniformemente en X.

Prueba: Si fn → f uniformemente en X se tiene que dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que n ≥ n0 ⇒ (∀x ∈ X)d(fn (x), f(x)) < ε por lo tanto, n ≥ n0 ⇒ d(fn , f) = sup d(fn (x), f(x)) ≤ ε; así que fn ∈ Bf (X; M) y fn → f x∈X

como puntos de Bf (X; M). Recíprocamente, si (fn ) en Bf (X; M) es tal que fn → f, por definición de la métrica tenemos que dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que

n ≥ n0 ⇒ d(fn , f) < ε

⇒ (∀x ∈ X)d(fn (x), f(x)) ≤ sup d(fn (x), f(x)) = d(fn , f) < ε;

luego, fn → f uniformemente en X.

x∈X



Proposición 6.21. Sean M y N espacios métricos. Si una sucesión de funciones fn : M → N, continuas en el punto a ∈ M, converge uniformemente en M a una función f : M → N entonces, f es continua en a.

Prueba: Probemos que f es continua en a. Dado ε > 0 existe un n ∈ N tal que para todo x ∈ M, d(fn (x), f(x)) < ε/3, para este n (fijo) sabemos que

6.5. SUCESIONES DE FUNCIONES

99

fn es continua en a, por lo tanto existe un δ > 0 tal que d(x, a) < δ ⇒ d(fn (x), fn (a)) < ε/3. Entonces, para todo x ∈ M con d(x, a) < δ se tiene que d(f(x), f(a)) ≤ d(f(x), fn (x)) + d(fn (x), fn (a)) + d(fn (a), f(a)) ε ε ε < + + =ε 3 3 3 Corolario 6.22. El límite uniforme de una sucesión de funciones continuas fn : M → N es una función continua f : M → N. 

CAPÍTULO 6. SUCESIONES EN ESPACIOS MÉTRICOS

100

6.6.

Problemario No 6

1

Dada una isometría f : M → M, fije un punto x0 ∈ M y defina x1 = f(x0 ), x2 = f(x1 ), . . . , xn+1 = f(xn ), . . . Pruebe que si f(x0 ) 6= x0 , la sucesión (xn ) no converge.

2

Sea N = N1 ∪ N2 , donde N1 y N2 son infinitos. Dada una sucesión (xn ) en el espacio métrico M, si tuviéramos l´ımn∈N1 xn = a y l´ımn∈N2 xn = a para un cierto a ∈ M, entonces l´ımn∈N xn = a.

3

Considere un espacio métrico discreto M. Demuestre que el conjunto de las sucesiones convergentes es abierto en B(N; M).

4

Un punto a ∈ M se llama valor de adherencia de la sucesión (xn ) en M cuando a es límite de una subsucesión de (xn ). Sea L el conjunto de los valores de adherencia de (xn ) y, para cada T k ∈ N, sea Fk la clausura del ∞ conjunto {xn : x ≥ k}. Demuestre que L = k=1 Fk y concluya que L es un subconjunto cerrado de M. Si (xn ) es acotada entonces L es acotado.

5

Pruebe que toda sucesión convergente posee un único valor de adherencia. ¿Qué se puede decir del recíproco?

6

Sea C ⊆ B(N, M) el subespacio de las sucesiones convergentes de M. Pruebe que la función ϕ : C → M, que asocia cada sucesión en C con su límite, es continua.

7

Sea (r1 , r2 , . . . , rn , . . . ) una enumeración cualquiera de Q. Pruebe que todo número real es valor de adherencia para la sucesión (rn ).

8

Sea X ⊆ R un conjunto acotado; pruebe que existen sucesiones (xn ) y (yn ) en X tales que l´ım xn = ´ınf X y l´ım yn = sup X.

9

Sea (xn ) una sucesión acotada de números reales. Para cada n ∈ N se definen Xn = {xn , xn+1 , · · · }, αn = sup Xn y βn = ´ınf Xn . Pruebe que existen α y β tales que α = l´ım αn y β = l´ım βn , además cada uno de estos números es un valor de adherencia de (xn ). Por otra parte, si p es cualquier otro valor de adherencia de (xn ), se tiene que β ≤ p ≤ α. Concluya que (xn ) es convergente si, y sólo si, β = α.

10

Pruebe que la sucesión de funciones fn (x) = 1/(1 + nx) converge puntualmente pero no converge uniformemente en el intervalo [0, 1]. Igual para la sucesión fn (x) = nx(1 − x)n .

Capítulo 7

Espacios métricos completos 7.1.

Sucesiones de Cauchy

Definición 70 (sucesión de Cauchy). Una sucesión (xn ), en un espacio métrico M, se dice que es una sucesión de Cauchy1 , si para todo ε > 0 existe un n0 ∈ N tal que n, m ≥ n0 ⇒ d(xn , xm ) < ε.

Toda subsucesión de una sucesión de Cauchy, es una sucesión de Cauchy. Intuitivamente, los términos de una sucesión de Cauchy se van acercando unos a otros a medida que el índice crece. Compare esto con la noción de convergencia en la cual los términos se acercan a un punto fijo. Por supuesto, es claro que si los términos de una sucesión se acercan a un punto fijo, se acercan entre ellos también; esto es lo que se afirma en la siguiente proposición: Proposición 7.1. Toda sucesión convergente es de Cauchy. Prueba: Sea l´ım xn = a, dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que n ≥ n0 ⇒ d(xn , a) < ε/2, luego

n, m ≥ n0 ⇒ d(xn , xm ) ≤ d(xn , a) + d(a, xm )
0 existe k0 ∈ N tal que si k ≥ k0 ⇒ d(xnk , a) < ε/2. Por otro lado, existe n0 ∈ N tal que n, m ≥ n0 ⇒ d(xn , xm ) < ε/2. Por la definición de sucesión, existe k ≥ k0 suficientemente grande, tal que nk > n0 . Así, tenemos que ε ε d(xn , a) ≤ d(xn , xnk ) + d(xnk , a) < + = ε. 2 2 Luego, l´ım xn = a.  Observemos que por la proposición 7.3, una sucesión que posea subsucesiones convergiendo a límites distintos no puede ser de Cauchy. Ejemplo 91. La imagen continua de una sucesión de Cauchy puede no ser de Cauchy. Por ejemplo, la función f(x) = 1/x es continua y la imagen de la sucesión de Cauchy xn = 1/n, es la sucesión (f(xn )) = (1, 2, 3, . . . ) que no es de Cauchy. Por otro lado, si f : M → N es una función lipschitziana, f transforma una sucesión de Cauchy en M en una sucesión de Cauchy en N. En efecto, si K es una constante de Lipschitz para f y si (xn ) es una sucesión de Cauchy en M, dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que n, m ≥ n0 ⇒ d(xn , xm ) < ε/K. En consecuencia, tenemos que

n, m ≥ n0 ⇒ d(f(xn ), f(xm )) ≤ Kd(xn , xm ) < K · (ε/K) = ε.

Por tanto, (f(xn )) es de Cauchy.



7.2. ESPACIOS MÉTRICOS COMPLETOS

7.2.

103

Espacios métricos completos

Definición 71. Se dice que un espacio métrico M es completo cuando toda sucesión de Cauchy en M es convergente. Ejemplo 92. Como se vio en el ejemplo 89, el espacio Q no es completo. Cualquier espacio con la métrica cero-uno es completo pues una sucesión de Cauchy allí tiene que ser eventualmente constante y por tanto convergente. Pero no todo espacio discreto es completo, por ejemplo el espacio P = {1, 21 , 31 , . . . } es discreto, la sucesión xn = n1 es de Cauchy pero no es convergente (en P). Se dice que un espacio métrico M es uniformemente discreto si existe ε > 0 tal que para x, y ∈ M, se tiene que d(x, y) < ε ⇒ x = y. . Todo espacio uniformemente discreto es completo, en efecto, si xn es una sucesión de Cauchy, existe n0 ∈ N tal que d(xn , xm ) < ε ⇒ xn = xm ; así a partir de un índice la sucesión es constante y por lo tanto, convergente.  Proposición 7.4. R es un espacio métrico completo. Prueba: Sea (xn ) una sucesión de Cauchy en R. Para cada n ∈ N se define Xn = {xk : k ≥ n}, entonces X1 ⊇ X2 ⊇ X3 ⊇ · · · ⊇ Xn ⊇ · · · y ya que X1 es acotado, todos estos conjuntos son acotados. Sea αn = ´ınf Xn , entonces la sucesión (αn )n∈N es creciente y acotada superiormente por β1 = sup Xn . Por la proposición 6.10, existe un número α = l´ım αn , más precisamente, α = supn αn . Veamos que α es el límite de la sucesión;para esto, se mostrará que α es límite de alguna subsucesión de (xn ) (esto también se expresa diciendo que es un límite subsecuencial). Dado ε > 0, existe n ∈ N tal que α−ε < αn ≤ α; de esta forma, para todo k ≥ n, α − ε < αn < xk pero no puede ocurrir que para todo índice k ≥ n xk ≥ α + ε ya que de ser así, αn , αn+1 , . . . serían todos mayores que α, lo que contradice su condición de supremo. Así, existen índices k ≥ n tales que xk ≤ α + ε. En conclusión, el intervalo abierto (α − ε, α+ε) contiene términos de la sucesión para índices arbitrariamente grande. Esto permite afirmar que α es el límite de una subsucesión de términos de (xn ). Por la proposición 7.3, la sucesión (xn ) es convergente.  Proposición 7.5. Un Subespacio cerrado de un espacio métrico completo es completo. Recíprocamente, un subespacio completo de cualquier espacio métrico, es cerrado. Prueba: Sea M un espacio métrico completo y C ⊆ M un subespacio cerrado de M. Dada una sucesión de Cauchy (xn ) en C, ésta también es de Cauchy en M y por tanto, existe a = l´ım xn . Ahora, como C es cerrado, a ∈ C, así, C es completo. Por otro lado, si M es un espacio métrico completo y N es otro espacio métrico tal que M ⊆ N, dada una sucesión (xn ) en M que es convergente en N, es decir, l´ım xn = a ∈ N; entonces (xn ) es de Cauchy y como M es completo, existe b ∈ M tal que l´ım xn = b. Por la unicidad del límite, concluimos que a = b ∈ M. Lo que implica que M es cerrado en N. 

104

CAPÍTULO 7. ESPACIOS MÉTRICOS COMPLETOS

Proposición 7.6. El producto cartesiano M × N es completo si, y sólo si, M y N son completos. Prueba: Supongamos que M y N son completos. Dada una sucesión de Cauchy (zn ) en M × N, sea zn = (xn , yn ) para cada n ∈ N. Cada una de las proyecciones π1 : M × N → M y π2 : M × N → N son contracciones débiles (ver ejemplo 30, página 36), así tanto (xn ) como (yn ) son sucesiones de Cauchy en M y N respectivamente. Luego, existen l´ım xn = a ∈ M y l´ım yn = b ∈ N. Haciendo c = (a, b) ∈ M × N, tenemos que l´ım zn = c. De donde, M × N es completo. Recíprocamente, si M × N es completo, fijando b ∈ N, es fácil ver que la aplicación x 7→ (x, b) es una isometría de M en el subespacio cerrado M × {b} ⊆ M × N. Se sigue, vía la proposición 7.5, que M es completo. Del mismo modo se prueba que N es completo.  Corolario 7.7. El espacio producto M1 × · · · × Mn es completo si, y sólo si, M1 , . . . , Mn son completos. Corolario 7.8. El espacio euclidiano Rn es completo. Sean X un conjunto, M un espacio métrico y α : X → M una función. Recordemos que Bα (X; M), denota el espacio de todas las funciones f : X → M que están a distancia finita de α, es decir, tales que d(f, α) = sup d(f(x), α(x)) < ∞, x∈X

con la métrica de la convergencia uniforme o también llamada métrica del supremo.

Proposición 7.9. Si el espacio métrico M es completo, entonces Bα (X; M) es completo, sean cuales fuesen el conjunto X y la función α : X → M.

Prueba: Sea (fn ) una sucesión de Cauchy en Bα (X; M). Entonces esta sucesión es acotada. Luego, existe una constante c > 0 tal que d(fn (x), α(x)) ≤ d(fn , α) ≤ c para todo n ∈ N y todo x ∈ X. Para cada x ∈ M fijo, la sucesión (fn (x)) en M, es de Cauchy. Como M es completo, el límite de esta sucesión existe y define una función f : X → M por f(x) := l´ım fn (x), que a su vez es n→∞

el límite puntual de (fn ). Ya que para todo n ∈ N y todo x ∈ X se tiene que d(fn (x), α(x)) ≤ c, haciendo n → +∞ concluimos que d(f(x), α(x)) ≤ c para todo x ∈ X y por tanto también d(f, α) ≤ c. Luego, f ∈ Bα (X; M). En vista de la proposición 6.20, sólo falta probar que fn → f uniformemente en X. Pues bien, dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que m, n ≥ n0 ⇒ d(fn (x), fm (x)) < ε para todo x ∈ X. Haciendo m → ∞ y utilizando el hecho de que la métrica es continua, concluimos que n ≥ n0 ⇒ d(fn (x), f(x)) < ε para todo x ∈ X. Esto es, fn → f uniformemente en X como se quería demostrar.  Corolario 7.10 (Criterio de Cauchy para la convergencia uniforme). Sea M un espacio métrico completo. Para que una sucesión de funciones fn : X → M converja uniformemente en X, es necesario y suficiente que, para todo ε > 0 dado, exista n0 ∈ N tal que

m, n ≥ n0 ⇒ d(fn (x), fm (x)) < ε para todo x ∈ X.

7.3. COMPLETACIÓN DE UN ESPACIO MÉTRICO

105

Prueba: Si fn → f uniformemente en X entonces fn ∈ Bf (X; M) para todo n suficientemente grande y l´ım fn = f en ese espacio. Luego, (fn ) es una sucesión de Cauchy en Bf (X; M) y de esta forma la condición es necesaria. Recíprocamente, suponiendo la condición satisfecha, tomamos ε = 1 y para éste existe un n0 ∈ N como en el enunciado tal que para α = fn0 , vale d(fn , α) ≤ 1, así fn ∈ Bα (X; M) para todo n ≥ n0 . Además, la condición implica que la sucesión (fn )n≥n0 es una sucesión de Cauchy en el espacio métrico completo Bα (X; M) (ver proposición 7.9). Se sigue que (fn ) converge uniformemente en X.  Corolario 7.11. Sean M y N espacios métricos, donde N es completo. Si una sucesión de funciones continuas fn : M → N converge uniformemente en un subconjunto X de M, entonces (fn ), converge uniformemente en X.

Prueba: Notemos primero que si una función continua ϕ : M → R es tal que ϕ(x) < ε para todo x ∈ X, entonces ϕ(x) ≤ ε para todo x ∈ (x); en efecto, el conjunto {x ∈ M : ϕ(x) ≤ ε} = ϕ−1 ((−∞, ε]), es cerrado en M y contiene a X, por tanto, contiene a X. Probemos el corolario: por hipótesis, dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que m, n ≥ n0 ⇒ (∀x ∈ X), d(fm (x), fn (x)) < 0, 99 · ε. Como la aplicación x 7→ d(fn (x), fm (x)) es continua, tenemos que m, n ≥ n0 ⇒ (∀x ∈ X), d(fm (x), fn (x)) ≤ 0, 99 · ε < ε. Se sigue del corolario 7.10 que (fn ) converge uniformemente en X. 

7.3.

Completación de un espacio métrico

En esta sección se mostrará que cualquier espacio métrico puede ser “exc tendido” añadiéndole nuevos puntos, de tal manera que el nuevo espacio M sea completo y que llamaremos completación de M. Dado que un espacio c es comcerrado de un espacio completo es completo, la clausura de M en M pleto y contiene a M. Por este hecho, basta considerar únicamente los puntos c adherentes a M. En la práctica, en lugar de obtener que M ⊆ M c, hallade M remos una inmersión isométrica ϕ : M → N, donde N es completo y se toma ϕ(M) como completación de M. Como M y ϕ(M) son isométricos es como c. si en verdad fuese M ⊆ M

Definición 72 (completación). Una completación de un espacio métrico M c ϕ) donde M c es completo y ϕ : M → M c es una inmersión es un par (M, c isométrica cuya imagen ϕ(M) es densa en M.

c es una completación de Frecuentemente diremos sencillamente que M M quedando sobreentendida la existencia de la inmersión isométrica ϕ que c satisface la definición. Así mismo, en ocasiones consideraremos que M ⊆ M identificando M con su imagen isométrica ϕ(M).

Proposición 7.12 (Existencia de la completación). Todo espacio métrico posee una completación.

106

CAPÍTULO 7. ESPACIOS MÉTRICOS COMPLETOS

Prueba: Dado un espacio métrico M, como se vio en el ejemplo 25 de la página 32, un espacio métrico M puede ser inmerso isométricamente mediante una ϕ, en el espacio métrico B(M; R) de las funciones acotadas de M en R; (este espacio es además un espacio vectorial normado). Por la proposición 7.9, y sabiendo que R es completo, tenemos que B(M; R) es un espacio completo. Luego, basta tomar como completación el espacio ϕ(M) en B(M; R), que es un cerrado contenido en un completo. 

c ϕ) y (M, f ψ) dos completaciones de un espacio Proposición 7.13. Sean (M, c→M f tal que Φ◦ϕ = ψ. métrico M. Entonces existe una única isometría Φ : M Prueba: Por la definición de una completación, ϕ : M → ϕ(M) y ψ : M :→ ψ(M) son isometrías, estas definen la siguiente isometría: ψ ◦ ϕ−1 : ϕ(M) → ψ(M).

Figura 7.1: Dos completaciones cualesquiera son isométricas.

c, para cada x ∈ M c existe una sucesión (xn ) en Como ϕ(M) es denso en M ϕ(M) tal que l´ım xn = x; siendo convergente esta sucesión, es de Cauchy y la sucesión de imágenes mediante la isometría ψ ◦ ϕ−1 también lo es. Como f y M f es completo, existe l´ımn (ψ ◦ ϕ−1 )(xn ). A partir de esto, ψ(M) ⊆ M c→M f por definimos Φ : M Φ(x) = l´ım(ψ ◦ ϕ−1 )(xn ) n

donde l´ım xn = x.

Si xn → x y an → x y α = l´ımn (ψ ◦ ϕ−1 )(xn ) y β = l´ımn (ψ ◦ ϕ−1 )(an ) entonces,

d(α, β) = d(l´ım(ψ ◦ ϕ−1 )(xn ), l´ım(ψ ◦ ϕ−1 )(an )) n

n

= l´ım d((ψ ◦ ϕ−1 )(xn ), (ψ ◦ ϕ−1 )(an )) n

= l´ım d(xn , an ) n

= d(l´ım xn , l´ım an ) n

n

= d(x, x) = 0 esto prueba la buena definición de Φ.

7.4. EL TEOREMA DE BAIRE

107

Además, Φ es una isometría. En efecto, si (xn ) y (yn ) son sucesiones que convergen a x y y respectivamente, entonces

d(Φ(x), Φ(y)) = d(l´ım(ψ ◦ ϕ−1 )(xn ), l´ım(ψ ◦ ϕ−1 )(yn ) n

n

= l´ım d((ψ ◦ ϕ−1 )(xn ), (ψ ◦ ϕ−1 )(yn )) n

= l´ım d(xn , yn ) n

= d(l´ım xn , l´ım yn ) n

n

= d(x, y) esto concluye la prueba.



Ejemplo 93. Dos espacios homeomorfos pueden no tener completaciones homeomorfas. Por ejemplo, el intervalo (0, 2π), cuya completación es [0, 2π], es homeomorfo a S1 \ {(0, 1)} (S1 es la circunferencia unitaria en R2 ), mas la completación de S1 \{(0, 1)} es S1 . El intervalo [0, 2π] no puede ser homeomorfo a S1 porque si existiese un homeomorfismo h entre ellos, la restricción de este homeomorfismo a [0, 2π] \ {p} donde p es un punto interior del intervalo y S1 \ {h(p)}, sería también un homeomorfismo; pero el primer conjunto tiene dos componentes conexas mientras que el segundo solo una.  Ejemplo 94. Dados M y N espacios métricos, la completación del producto c×N b, cartesiano M × N es el producto de sus respectivas completaciones: M c yN⊆N b , como el producto de subespacios ya que si asumimos que M ⊆ M densos es denso y el producto de espacios completos es completo, concluimos c×N b. que M × N es denso en el espacio completo M 

7.4.

El teorema de Baire

Comenzaremos la sección considerando una clase de conjuntos “pequeños” o “insignificantes” desde el punto de vista topológico. Es una noción análoga a lo que es un conjunto de medida nula en Teoría de la Medida. Una característica necesaria de este tipo de conjuntos es que tengan interior vacío, pero además deben cumplir que la unión numerable de conjuntos insignificantes lo sea también; a continuación definimos formalmente tales conjuntos: Definición 73 (conjunto magro). Un subconjunto X de un espacio métrico M se dice que es un conjunto magro en M si se puede expresar como una unión numerable de conjuntos que tienen el interior de su clausura vacía; es decir, X es magro en M si X = ∪∞ n=1 Xn donde para todo n ∈ N, int Xn = ∅. Equivalentemente, X es magro en M si, y sólo si, X está contenido en una unión numerable de cerrados con interior vacío. X ⊆ ∪∞ i=1 Cn donde C1 , . . . , Cn , . . . son cerrados con int Cn = ∅, para todo n ∈ N.

108

CAPÍTULO 7. ESPACIOS MÉTRICOS COMPLETOS

No siempre es cierto, sin embargo, que todo conjunto magro X de M tenga interior vacío en M. Por ejemplo, cualquier subconjunto X ⊆ Q es magro, ya que es la unión numerable de sus subconjuntos unitarios, los cuales tienen interior vacío en Q pero X puede no tener interior vacío en Q. Esto tiene lugar porque Q no es completo, como se verá más abajo en el Teorema de Baire. De esta forma en los espacios completos, los conjuntos , magros poseen las características de un conjunto “insignificante”. Ejemplo 95. Un conjunto unitario en un espacio métrico tiene interior vacío si, y sólo si, su único punto no es aislado. En consecuencia, un subconjunto numerable de M es magro si, y sólo si, ninguno de sus puntos es aislado. Una recta en R2 es un conjunto magro; mas aún, cualquier unión numerable de rectas es magro en R2 . Más adelante veremos que R no es magro.  Como sabemos, un conjunto tiene interior vacío en un espacio métrico si y sólo si, su complemento es denso en M. De esta forma, un conjunto es cerrado con interior vacío si, y sólo si, su complemento es abierto y denso en M. Por lo tanto, int X es vacío si, y sólo si, X está contenido en un conjunto cerrado con interior vacío de allí se desprende que su complemento contiene un conjunto abierto y denso, esto ultimo ocurre si, y sólo si, int(M \ X) es denso. En ciertos textos de topología y análisis un conjunto magro es llamado conjunto de primera categoría o de Categoría I y un conjunto que no es magro es llamado conjunto de segunda categoría o de Categoría II. . Ejemplo 96. La frontera de un conjunto abierto A ⊆ M es un ejemplo de un conjunto cerrado con interior vacío. En efecto, si x ∈ ∂A entonces toda bola de centro en x posee puntos de A y, como A ∩ ∂A = ∅, ningún punto de A puede estar en la frontera de A; por lo tanto, ninguna bola de centro en x puede estar contenida en ∂A. Así, ∂A tiene interior vacío. Como ∂A = ∂(M \ A), se concluye también, que la frontera de cualquier conjunto cerrado tiene interior vacío. Si un conjunto no es ni abierto ni cerrado, su frontera puede no tener interior vacío. Por ejemplo, ∂Q = R.  Ejemplo 97 (El conjunto de Cantor2 ). El conjunto de Cantor C es un subconjunto cerrado del intervalo [0, 1], obtenido mediante una sucesiva extracción de subintervalos abiertos de [0, 1], del siguiente modo: en la etapa cero tenemos el intervalo [0, 1]; en la etapa uno se extrae el tercio central del intervalo de la etapa cero, ( 31 , 32 ), resultando dos intervalos cerrados [0, 31 ] y [ 32 , 1]; en la etapa dos se extraen cada uno de los tercios centrales de los intervalos resultantes de la etapa uno, resultando los cuatro intervalos:         2 1 2 7 8 1 ∪ ∪ ∪ , , ,1 0, 9 9 3 3 9 9 2 Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845 - 1918) fue un matemático alemán, inventor con Dedekind y Frege de la teoría de conjuntos, que es la base de las matemáticas modernas. Gracias a sus atrevidas investigaciones sobre los conjuntos infinitos fue el primero capaz de formalizar la noción de infinito bajo la forma de los números transfinitos (cardinales y ordinales).

7.4. EL TEOREMA DE BAIRE

109

En la siguiente etapa se extraen los tercios centrales de cada uno de los cuatro intervalos resultantes de la etapa dos. Este procedimiento se repite ad-infinitum y el conjunto de puntos que no fueron extraídos en el proceso, es el conjunto de Cantor C . Si denotamos por I1 , I2 , I3 , . . . , In , . . . la sucesión

Figura 7.2: Algunas etapas de la construcción del conjunto de Cantor de intervalos extraídos en el proceso de construcción del conjunto de Cantor, tendremos que ∞ [ In . C = [0, 1] \ n=1

Luego C es cerrado en [0, 1] y por tanto, cerrado en R. Nótese que los puntos extremos de los intervalos extraídos, como 1/3, 2/3, 1/9, 2/9, 7/9, 8/9, etc, pertenecen al conjunto de Cantor pues éstos son extremos de los intervalos resultantes en cierta etapa y en las sucesivas etapas se extraen tercios centrales de esos intervalos, es decir, los puntos extremos quedan en el conjunto luego de todas las extracciones. El conjunto de extremos de todos los intervalos es un subconjunto de [0, 1] ∩ Q y por tanto, forman un conjunto numerable. Veremos más adelante sin embargo, que C no es numerable. Por lo pronto, notemos solamente que C no contiene ningún intervalo abierto y por tanto int C = ∅. En efecto, en la etapa n-ésima de la construcción de C resulta una colección finita (2n ) de intervalos cerrados cada uno de longitud 31n . Por tanto, si J es cualquier intervalo abierto contenido en [0, 1] de longitud ℓ > 0, y consideramos un n ∈ N tal que 1/3n < ℓ, al menos a partir de la etapa n, se extraen partes de J y de esta forma, J no está contenido en C . Luego, el conjunto de Cantor en un cerrado con interior vacío y por lo tanto es un conjunto magro en R.  Proposición 7.14. Un espacio métrico M es completo si, y sólo si, para toda sucesión decreciente C1 ⊇ C2 ⊇ · · · ⊇ Cn ⊇ · · · de subconjuntos cerrados no vacíos Cn ⊆ M, con diam Cn → 0, existe un punto a ∈ M tal que ∞ \

n=1

Cn = {a}.

CAPÍTULO 7. ESPACIOS MÉTRICOS COMPLETOS

110

Prueba: (sólo si) Supongamos que M es completo y (Cn ) una sucesión de conjuntos como la del enunciado. Para cada n ∈ N, escojamos un punto xn ∈ Cn . Esto define una sucesión en M tal que m, n ≥ n0 ⇒ xn , xm ∈ Cn0 . Por hipótesis, dado ε > 0 existe n0 ∈ N a partir del cual diam(Cn ) < ε, entonces dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que n, m ≥ n0 ⇒ d(xm , xn ) < ε, y por tanto, (xn ) es una sucesión de Cauchy en M, como M es completo, sea l´ım xn = a ∈ M. Para cualquier p ∈ N la subsucesión (xn )n≥p es una sucesión en Cn que, por ser cerrado, contiene a a; de esta forma se concluye que a ∈ ∩Cn . No puede haber otro punto b distinto de a en dicha intersección, pues esto implicaría que 0 < d(a, b) ≤ diam(Cn ) que contradice la condición de los diámetros. (si) Sea M un espacio para el cual la intersección de toda sucesión decreciente de conjuntos cerrados no vacíos, cuyos diámetros tiendan a cero, es un punto. Veamos que tal M es completo. Consideremos cualquier sucesión de Cauchy (xn ) en M. Para cada n ∈ N, hagamos Xn = {xn , xn+1 , . . . }. Entonces, X1 ⊇ X2 ⊇ · · · ⊇ Xn ⊇ · · · y por lo tanto, (Xn ) es una sucesión decreciente de cerrados no vacíos. Además de eso, como consecuencia de ser (xn ) de Cauchy, diam(Xn ) = diam(Xn ) → 0. Luego, existe a ∈ M tal que ∩Xn = {a}. Como a es punto adherente de Xn para todo n ∈ N, toda bola abierta de centro a contiene términos xn con índices arbitrariamente grandes, o sea, a es el límite de una subsucesión de (xn ). Como (xn ) es una sucesión de Cauchy, a = l´ım xn (ver proposición 7.3, página 102). Luego, M es completo.  Ejemplo 98. En la proposición anterior, es imprescindible que diam(Cn ) → 0, ya que por ejemplo, si Cn = [n, +∞) tenemos C1 ⊇ C2 ⊇ · · · pero ∩Cn = ∅.  El resultado principal de esta sección y uno de los más fuertes en teoría de conjuntos, es el siguiente: Proposición 7.15 (Teorema de Baire3 ). Sea M un espacio métrico completo. Todo conjunto magro en M tiene interior vacío4 . Equivalentemente, si ∞ [ Cn , donde cada Cn es cerrado en M con interior vacío, entonces C= n=1

int C = ∅. O en otras palabras: toda intersección numerable de abiertos densos es un subconjunto denso en M. Prueba: Se probará la tercera forma de expresar el teorema. Consideremos una sucesión A1 , A2 , . . . , An , . . . de subconjuntos abiertos y densos en el T∞ espacio métrico completo M. Se quiere mostrar que n=1 An es denso en M, esto es, toda bola abierta B1 en M contiene algún punto de A. Ahora bien, 3 René-Louis Baire (1874-1932), fue un matemático francés notable por sus trabajos sobre continuidad de funciones, los números irracionales y el concepto de límite. 4 También se puede expresar de la siguiente forma: Un espacio métrico completo es de Categoría II o no es magro en sí mismo.

7.4. EL TEOREMA DE BAIRE

111

como A1 es abierto y denso, B1 ∩ A1 es abierto y no vacío, luego contiene una bola abierta B2 , cuyo radio podemos tomarlo menor o igual que 1/2 y adecuado de tal forma que su clausura esté contenida en B1 ∩ A1 . Así mismo, siendo A2 abierto y denso, A2 ∩ B2 es abierto y no vacío. Luego existe una bola abierta B3 con radio menor o igual a 1/3 y escogido adecuadamente tal que B3 ⊆ A2 ∩ B2 . Prosiguiendo en esta forma, obtenemos una sucesión B1 ⊇ B2 ⊇ · · · ⊇ Bn · · · ⊇ · · · , con Bn+1 ⊆ Bn ∩ An y tales que diam(Bn ) → 0. Por la proposición 7.14 anterior, existe a ∈ M tal que {a} = ∩Bn . La relación Bn+1 ⊆ Bn ∩ An demuestra que a pertenece a todos los An y también a B1 . Es decir, a ∈ A ∩ B1 , como se quería demostrar. 

Ejemplo 99. Como dos espacios homeomorfos pueden ser uno completo y el otro no, cabe preguntarse si dado un espacio métrico (M, d) bajo qué condiciones existe otra métrica d1 equivalente a la d, según la cual el espacio M sea completo. Por ejemplo en R el intervalo (−1, 1) no es completo porque no es cerrado en R, pero h : (−1, 1) → R definida por h(x) = 1/(1 + |x| es un homeomorfismo sobre un espacio completo. Si d1 es la métrica inducida por h: d1 (x, y) := |h(x) − h(y)|, ésta es equivalente a d y torna a M completo.  Un espacio que sea homeomorfo a un espacio métrico completo, se dice que es topológicamente completo Proposición 7.16. Todo subconjunto abierto de un espacio métrico completo es homeomorfo a un espacio métrico completo. Prueba: Sea A ⊆ M un conjunto abierto en el espacio métrico M. Entonces, M \ A es cerrado. La función ϕ : M → R definida por ϕ(x) = d(x, M \ A) es continua (ver proposición 2.3, página 30) y es tal que ϕ(x) > 0 ⇔ x ∈ A. Se sigue que si f : A → R se define por f(x) = 1/ϕ(x), entonces f es continua. Sea G el gráfico de f, entonces G = graf(f) ⊆ A × R ⊆ M × R. Ahora bien,

G = {(x, t) ∈ A × R : x ∈ A ∧ t = 1/ϕ(x)} = {(x, t) ∈ A × R : t · ϕ(x) = 1} el cual es cerrado ya que la función g : A × R → R que aplica el par (x, t) en g(x, t) = t · ϕ(x), es continua en vista de la siguiente composición: g = m ◦ (ϕ ◦ π1 , π2 ) (ver la prueba de la proposición 3.5 página 40) y así, G = g−1 ({1}) es cerrado. Como M × R es completo, concluimos que G es completo y como se vio en el ejemplo 64 en la página 76, el dominio de una función continua es homeomorfo a su gráfico, lo que demuestra el teorema. 

Observe que la métrica que hace que el conjunto A sea completo, en la demostración anterior, es la inducida a partir de M × R mediante la función (I, f), donde I es la identidad en A; esto es: dados x, y ∈ A,

d1 (x, y) = d((I, f)(x), (I, f)(y)) = d[(x, f(x)), (y, f(y))] = d(x, y) + |f(x) − f(y)| . Por otra parte, si M es un espacio topológicamente completo, es decir, homeomorfo a un espacio completo, se puede aplicar el teorema de Baire, ya

CAPÍTULO 7. ESPACIOS MÉTRICOS COMPLETOS

112

que si M = ∪Cn donde cada Cn es cerrado, vía el homeomorfismo entre M y un espacio completo, la imagen de cada Cn es cerrado en dicho espacio, aplicando Baire a ese espacio completo, se concluye que la imagen de algún Cn tiene tiene interior no vacío; y así, vía el homeomorfismo nuevamente, algún Cn tiene interior no vacío. Proposición 7.17. Sea M un espacio métrico completo. Si M = cada Cn es un subconjunto cerrado de M, entonces A =

∞ [

∞ [

Cn , donde

n=1

int Cn es un abierto

n=1

y denso en M.

Prueba: Sea U un abierto no vacío de M. Para probar que A es denso, basta probar que U ∩ A = / ∅, es decir que existe n ∈ N tal que U ∩ int Cn = / ∅. ∞ [ (U ∩ Cn ), donde cada (U ∩ Cn ) es cerrado en U. Como se Ahora bien, U = n=1

observó arriba, se puede aplicar el teorema de Baire a U y entonces existe n ∈ N tal que int(U∩Cn ) = / ∅ (en este caso, como U es abierto, el interior respecto a U coincide con el interior respecto a M); pero int(U ∩ Cn ) ⊆ (U ∩ Cn ) y así (U ∩ Cn ) = / ∅ como se quería demostrar. 

Ejemplo S 100. Si M es un espacio métrico completo numerable, entonces M = a∈M {a} es una uniónSnumerable de conjuntos cerrados en M. Por la proposición 7.17 anterior, a∈M int{a} es denso (y además abierto). Los conjuntos unitarios que no tienen interior vacío son los correspondientes a puntos aislados. Así, podemos concluir que En un espacio completo y numerable, el conjunto de puntos aislados es abierto y denso. En particular, todo conjunto cerrado infinito numerable del espacio Rn contiene una infinidad de puntos aislados. Esto es una demostración de que R no es numerable, ya que no tiene puntos aislados.  Ejemplo 101. El Teorema de Baire se puede utilizar para probar que el conjunto de Cantor C , no es numerable.. Como ya hemos visto, C es cerrado en R, por el ejemplo 100 anterior, basta probar que en C ninguno de sus puntos es aislado. En efecto, supongamos primero que x ∈ C sea un extremo de algún intervalo extraído o suprimido de [0, 1] durante la construcción del conjunto de Cantor. Digamos que (x, b) es el intervalo extraído, entonces en esa etapa uno de los intervalos resultantes sería de la forma [a, x]. En las etapas subsiguientes de la construcción, al retirar tercios centrales, siempre resulta un intervalo de la forma [an , x] donde para todo n ∈ N an ∈ C . Como la longitud de los intervalos resultantes en cada etapa es una sucesión que tiende a cero, concluimos que an → x y por tanto, x no es un punto aislado. Supongamos ahora que x no es un punto extremo de ningún intervalo extraído durante la construcción de C . Dado ε > 0 no es posible que (x, x +

7.4. EL TEOREMA DE BAIRE

113

ε) ∩ C = ∅ ya que en tal caso, el intervalo (x, x + ε) sería suprimido en el proceso. En el momento en que una parte del intervalo (x, x+ε) sea suprimida, no restaría nada más del intervalo porque los extremos de los intervalos suprimidos, permanece en las siguiente etapas. Como x permaneció, se sigue de (x, x + ε) ∩ C = ∅ que el intervalo suprimido fue de la forma:(x, b), pero x no es extremo de ningún intervalo retirado. Luego, (x, x+ε)∩C = / ∅ para todo ε > 0, por lo tanto, x no es aislado en C . Se sigue que C no es numerable. 

CAPÍTULO 7. ESPACIOS MÉTRICOS COMPLETOS

114

7.5. 1

Problemario No 7

P Sea an una serie convergente de números reales positivos. Si una sucesión en un espacio métrico es tal que d(xn , xn+1 ) ≤ an para todo n, entonces (xn ) es una sucesión de Cauchy.

2

Dada la sucesión (xn ) en el espacio métrico M, considere la sucesión de funciones fn : N → R, dadas por fn (p) = d(xn , xn+p ). Demuestre que la sucesión (xn ) es de Cauchy si, y sólo si, fn → 0 uniformemente. Considerando la serie armónica, muestre que la condición “fn → 0 puntualmente” no basta para que (xn ) sea de Cauchy.

3

Si M1 , . . . , Mn ⊆ N son completos entonces M1 ∪ · · · ∪ Mn es completo.

4

Sea (Mλ )λ∈L una familia arbitraria T de subespacios completos de un espacio métrico N. Entonces, M = λ∈L Mλ es un espacio métrico completo.

5

Si existe un conjunto X tal que el espacio B(X; M) sea completo, entonces el espacio métrico M es completo.

6

Sea f : M → N continua, tal que existe c > 0 que cumple d(f(x), f(y)) ≥ c· d(x, y) para cualesquiera x, y ∈ M. Muestre que f transforma subespacios completos de M en subespacios completos de N. En particular, si M es completo, entonces f es una función cerrada.

7

Sea M un espacio métrico y X ⊆ M. Demuestre que la completación de X contiene un subespacio isométrico a la clausura de X en M.

8

9

Q∞ Una completación del producto cartesiano i=1 Mi es el producto carteQ∞ c c siano i=1 M i de las completaciones Mi de Mi .

Pruebe que int(S) = ∅ en un espacio métrico M si, y sólo si, todo conjunto abierto no vacío contiene un abierto no vacío disjunto de S.

10

Si la clausura de S tiene interior vacío, lo mismo ocurre con ∂(S).

11

Sean X ⊆ Y ⊆ M. Si X es magro en Y entonces X es magro en M.

12

Sea M un espacio métrico completo. Si para cada n ∈ N, Xn Tes una intersección numerable de abiertos densos en M entonces X = Xn es denso en M.

Capítulo 8

Espacios compactos 8.1.

Teoremas de Bolzano-Weierstrass y de Borel-Lebesgue

Los siguientes teoremas son resultados clásicos que se estudian en los cursos de análisis y están relacionados con la topología de R y el concepto de conjunto compacto. Teorema 8.1 (Bolzano-Weierstrass). Todo subconjunto infinito y acotado X ⊆ R posee un punto de acumulación. Prueba: Sea X un subconjunto infinito y acotado de R. Como X es acotado, existen reales a y b tales que X ⊆ [a, b]. Consideramos el conjunto D = {c ∈ R : X ∩ (c, +∞) es infinito }. Observemos que a ∈ D y además b es una cota superior del conjunto D, de esta forma se puede invocar el axioma del supremo para asegurar que existe S = sup D. Veamos que S es un punto de acumulación de X; en efecto, dado ε > 0 arbitrario, por caracterización de supremo, existe c ∈ D tal que S − ε < c ≤ S; así, existe una infinidad de puntos de X mayores que S − ε. Pero como S + ε no pertenece a D, no hay una infinidad de puntos de X mayores que S + ε. En conclusión, para todo ε > 0, el conjunto (S − ε, S + ε) ∩ X es infinito, lo que implica que S es un punto de acumulación de X.  Teorema 8.2 (también se le conoce como Bolzano-Weierstrass). Toda sucesión acotada de números reales posee una subsucesión convergente. Prueba: Sea (xn ) una sucesión acotada de números reales. Entonces, existe un intervalo cerrado y acotado [a, b] tal que para todo n ∈ N xn ∈ [a, b]. Hacemos Xn = {xn , xn+1 , . . . }, entonces [a, b] ⊇ X1 ⊇ X2 ⊇ · · · ⊇ Xn ⊇ · · · . Como cada Xn es acotado y no vacío posee tanto supremo como ínfimo, sea αn = ´ınf Xn por las inclusiones ya vistas arriba y las propiedades de ínfimo, se tiene que α1 ≤ α2 ≤ · · · ≤ αn ≤ · · · ≤ b; de esta forma la sucesión de 115

116

CAPÍTULO 8. ESPACIOS COMPACTOS

números reales (αn ) es creciente y acotada superiormente, por lo que existe α = l´ım αn = sup αn . Veamos ahora que α es el límite de alguna subsucesión de (xn ). En efecto, como α es el supremo de los αn , dado ε > 0 arbitrario y n1 ∈ N existe n0 ∈ N con n0 > n1 tal que α − ε < αn0 ≤ α < α + ε. Por definición αn0 = ´ınf Xn0 , por lo que existe n > n0 tal que αn0 ≤ xn < α + ε. En conclusión, dado ε > 0 y n1 ∈ N, existe n > n1 tal que xn ∈ (α − ε, α + ε), o lo que es equivalente, toda bola abierta de centro α contiene términos xn de la sucesión para índices arbitrariamente grandes.  Teorema 8.3 (Borel-Lebesgue). Dado [a, b] un intervalo cerrado y acotado en R y una familia (numerable S o no numerable) de subconjuntos abiertos {Aλ }λ∈L tales que [a, b] ⊆ λ∈L Aλ . Entonces existen λ1 , λ2 , . . . , λn ∈ L tales que [a, b] ⊆ Aλ1 ∪ Aλ2 ∪ · · · ∪ Aλn . Prueba: Dada una familia de abiertos {Aλ }λ∈L como en la hipótesis, consideremos el subconjunto X de [a, b] formado por los puntos x tales que existen λ1 , . . . , λn ∈ L que verifican que [a, b] ⊆ Aλ1 ∪ · · · ∪ Aλn . El conjunto X es no vacío pues al menos a ∈ X; pero aún más, el extremo a pertenece a algún Aλ y siendo abierto, existe r > 0 tal que [a, a + r) ⊆ Aλ y en consecuencia, [a, a + r) ⊆ X. Pero observe que si x ∈ X, para todo t con a ≤ t < x, se tiene que t ∈ X. De lo anterior se deduce que X es un intervalo de la forma [a, s) ó [a, s] donde s = sup X. Veamos que se cumple el segundo caso. Como X ⊆ [a, b], s ∈ [a, b] y así existe λ0 ∈ L tal que s ∈ Aλ0 . Ya que Aλ0 es abierto, existe ε > 0 tal que la bola abierta (s − ε, s + ε) ⊆ Aλ0 . Por la caracterización de supremo, existe x ∈ X tal que s − ε < x ≤ s. Pero entonces, por la definición del conjunto X, [a, x] ⊆ Aλ1 ∪ · · · ∪ Aλn , y en consecuencia concluimos que [a, s] ⊆ Aλ1 ∪ · · · ∪ Aλn ∪ Aλ0 . De esta manera, s ∈ X. Pero utilizando el mismo argumento anterior vemos que tiene que ser s = b porque si s < b tomando el ε anterior tal que s + ε < b se tendría que (s, s + ε) ⊆ X lo que contradice que s es el supremo de X. Luego, X = [a, b] lo que prueba el teorema.  Una versión más fuerte de este teorema se enuncia considerando un subconjunto de R cerrado y acotado, en lugar de un intervalo cerrado y acotado. Veremos posteriormente que estas propiedades referidas en estos teoremas son equivalentes y se relacionan con el tema que nos ocupa en este capítulo. Teorema 8.4 (Forma general del teorema de Borel-Lebesgue). Sea C un subconjunto cerrado S y acotado de R. Dada cualquier familia de abiertos {Aλ }λ∈L tales que C ⊆ λ∈L Aλ , se puede extraer una subfamilia finita {Aλ1 , . . . , Aλn }, cuya unión también contenga a C. Prueba: Por hipótesis C es un conjunto acotado por lo tanto, existen a, b ∈ R tales que C ⊆ [a, b]. Por otra parte, como C es cerrado,
S haciendo Aλ0 = R \ C, tenemos que Aλ0 es abierto y además [a, b] ⊆ λ∈L Aλ ∪ Aλ0 . Por el teorema anterior (teorema 8.3), existen λ1 , . . . , λn ∈ L tales que [a, b] ⊆ Aλ1 ∪ · · · ∪ Aλn ∪ Aλ0 . Pero Aλ0 no contiene puntos de C de modo que  C ⊆ Aλ1 ∪ · · · ∪ Aλn que era lo que queríamos demostrar.

8.2. ESPACIOS MÉTRICOS COMPACTOS

8.2.

117

Espacios métricos compactos

En esta sección se estudiará la propiedad de ser compacto para un espacio o un conjunto. Como veremos más adelante, la condición de un espacio ser compacto o su compacidad tiene que ver con el hecho de que cualquier sucesión de un espacio compacto tiene alguna subsucesión convergente, propiedad que verifican los conjuntos finitos. Esta noción de compacidad es llamada compacidad secuencial, existe una definición más general basada en cubrimientos mediante conjuntos abiertos que veremos a continuación. Definición 74 (cubrimiento). Sea X un subconjunto de un espacio métrico M. Un cubrimiento de X es una familia C = {Cλ }λ∈L de subconjuntos de M tal S que X ⊆ λ∈L Cλ . S Si existe un subconjunto de índices L′ de L tales que X ⊆ λ∈L′ Cλ , se dice que la subfamilia C ′ = {Cλ }λ∈L′ es un subcubrimiento de C . Cuando L′ es un subconjunto propio de LS , se dice que C ′ es un subcubrimiento propio de C . Un cubrimiento X ⊆ λ∈L Aλ se dice que es abierto cuando cada conjunto Aλ con λ ∈ L, es abierto S en M. Un cubrimiento X ⊆ λ∈L se dice que es finito cuando L es un conjunto finito. En diversas demostraciones clásicas relativas a propiedades de la recta real se hace uso del hecho de que un conjunto infinito, como lo es una sucesión, en un intervalo cerrado y acotado [a, b], posee un punto de acumulación, o en el caso de sucesiones, una subsucesión convergente. Esta propiedad fue la que definió en un principio a la compacidad, posteriormente se formuló una definición en términos más generales y débiles para extenderla a espacios topológicos utilizando la terminología de los cubrimientos abiertos.

Definición 75 (compacto). Un espacio métrico M se llama compacto si todo cubrimiento abierto de M posee un subcubrimiento finito. Un subconjunto K de un espacio métrico se dice que es compacto cuando K como subespacio es compacto. S Que un espacio métrico M sea compacto significa que, si M = λ∈L Aλ donde cada Aλ abierto en M, entonces existen λ1 , . . . , λn ∈ L tales que M = Aλ1 ∪ · · · ∪ Aλn . Dado que la definición de compacto se apoya en los conjuntos abiertos del espacio, se sigue que la compacidad es una propiedad topológica: esto es, si M y N son homeomorfos, entonces M es compacto si y sólo si N también lo es. Así mismo, esta definición se aplica para los espacios topológicos. Ejemplo 102. De acuerdo con el Teorema de Borel-Lebesgue (Teorema 8.4), todo subconjunto cerrado y acotado de R es compacto. Como ejemplo de esto tenemos que el conjunto de Cantor es compacto (ver ejemplo 97).  Ejemplo 103. Todo espacio métrico finito es compacto pues todo cubrimiento tiene una cantidad finita de conjuntos distintos. Por otra parte, si M es un

CAPÍTULO 8. ESPACIOS COMPACTOS

118

espacio discreto e infinito, la colección de los conjuntos unitarios constituye un cubrimiento abierto que no posee un subcubrimiento propio y por tanto, no posee un subcubrimiento finito y así M no es compacto. Tampoco es compacto un intervalo abierto (a, b) de R. En efecto, existe un n0 ∈ N tal que para n ≥ n0 se tiene que a + n1 < b − n1 ; Haciendo An = (a + n1 , b − n1 ) para n ≥ n0 . Así (a, b) = ∪n≥n0 An pero la unión de cualquier subcubrimiento finito es el An de índice más grande en el subcubrimiento y por tanto no es igual a (a, b).  Ejemplo 104. Sean K y L subconjuntos compactos en un espacio métrico M. La unión K ∪ L es un conjunto compacto. En efecto, consideremos un S cubrimiento abierto de esa unión K ∪ L ⊆ Aλ . Tal cubrimiento es también cubrimiento tanto de K como de L; siendo ambos compactos, existen λ1 , . . . , λn y λn+1 , . . . , λn+p tales que L ⊆ Aλ1 ∪ · · · ∪ Aλn y K ⊆ Aλn+1 ∪ · · · ∪ Aλn+p , entonces K ∪ L ⊆ Aλ1 ∪ · · · ∪ Aλn ∪ Aλn+1 ∪ · · · ∪ Aλn+p .

 Observemos que para una familia de conjuntos abiertos {Aλ }λ∈L tal que S M = λ∈L Aλ , el complemento de la unión es vacío y es la intersección de los complementos de cada Aλ que son conjuntos cerrados. En este orden de ideas, un espacio métrico M es compacto si, y sólo si, toda familia {Cλ }λ∈L de conjuntos cerrados con intersección vacía posee una subfamilia finita con intersección vacía: Cλ1 ∩ · · · ∩ Cλn . Definición 76 (Propiedad de la intersección Finita). Una familia de conjuntos {Fλ }λ∈L se dice que tiene la Propiedad de la intersección finita cuando para /∅ cualquier subconjunto finito {λ1 , . . . , λn } de L, se tiene que Fλ1 ∩ · · · ∩ Fλn = Todo lo anterior da lugar a la siguiente caracterización de compacidad: Proposición 8.5. Una condición necesaria y suficiente para que un espacio métrico M sea compacto es que si {Fλ }λ∈L es T una familia de cerrados con la propiedad de la intersección finita, entonces λ∈L Fλ = / ∅.

Un ejemplo de una familia con la propiedad de la intersección finita es una sucesión decreciente (encajada) deTsubconjuntos cerrados no vacíos de ∞ M. Si M es compacto esto implica que i=1 Fn = / ∅.

Teorema 8.6 (Teorema de Dini). Si una sucesión de funciones reales y continuas fn : M → R, definidas en un espacio métrico compacto M, converge puntualmente a una función continua f : M → R y, además de esto, se tiene que f1 (x) ≤ f2 (x) ≤ · · · ≤ fn (x) ≤ · · · para todo x ∈ M, entonces la convergencia fn → f es uniforme en M. Prueba:

Dado ε > 0, se define, para cada n ∈ N, el conjunto:

8.2. ESPACIOS MÉTRICOS COMPACTOS

119

Fn = {x ∈ M : |fn (x) − f(x)| ≥ ε}.

Entonces por la hipótesis fn (x) ≤ f(x) para todo n ∈ N y todo x ∈ M, así si x ∈ Fn+1 , f(x) − fn (x) ≥ f(x) − fn+1 (x) = |fn+1 (x) − f(x)| ≥ ε, por tanto x ∈ Fn , en consecuencia, F1 ⊇ F2 ⊇ · · · ⊇ Fn ⊇ · · · . y además cada Fn es cerrado en M. Se quiere probar que existe n0 ∈ N tal que Fn0 = ∅, ya que esto implica que n ≥ n0 ⇒ |fn (x) − f(x)| < ε para todo x ∈ M.TAhora bien, ∞ como l´ımn→∞ fn (x) = f(x) para todo x ∈ M, se concluye que n=1 Fn =/ ∅. Siendo M compacto, se tiene que Fn = ∅ para algún n ∈ N.  Proposición 8.7. Todo subconjunto cerrado de un espacio métrico compacto es compacto. Recíprocamente, un subconjunto compacto en cualquier espacio métrico es cerrado. Prueba: Sea M un espacio métrico compacto S y C ⊆ M un conjunto cerrado. Dado un cubrimiento abierto de C , C ⊆ λ Aλ , obtenemos un cubriS miento abierto de M = ( λ Aλ ) ∪ (M \ C). Como M es compacto, es posible extraer un subcubrimiento finito:

M = Aλ1 ∪ · · · ∪ Aλn ∪ (M \ C) Ya que ningún punto de C pertenece a M \ C, se concluye que C ⊆ Aλ1 ∪ · · · ∪ Aλn . Luego, C es compacto. Recíprocamente, sea K ⊆ M un subconjunto compacto de M. Suponer que K no es cerrado nos lleva a la existencia de un punto p ∈ M tal que p ∈ K \ K. Para cada n ∈ N, se define

An = M \ B[p; 1/n] Los An forman un cubrimiento abierto de M, en efecto, por la teoría de conjuntos, [ \ An = M \ B[p; 1/n] = M \ {p} ⊇ K n

n

Por otra parte, los An forman una sucesión creciente de conjuntos, A1 ⊆ A2 ⊆ · · · ; por tanto, la unión de una colección finita de ellos es el conjunto con mayor índice. Pero p ∈ K así que toda bola B[b; 1/n] intersecta a K es decir su complemento An no contiene al conjunto K. Luego, el cubrimiento abierto K ⊆ ∪n An , no posee ningún subcubrimiento finito. Esto contradice la compacidad de K, lo que completa la demostración.  Corolario 8.8. Toda intersección de compactos en un espacio métrico, es compacta. Prueba: Sean {Kλ } una colección de conjuntos compactos en M. Ya que cada Kλ es cerrado en M, la intersección K = ∩λ Kλ es cerrada en M y por tanto, es cerrada en cada Kλ ; así, es compacta.  Corolario 8.9. Todo espacio métrico compacto es completo.

CAPÍTULO 8. ESPACIOS COMPACTOS

120

c una completación de M, entonces M Prueba: Si M es compacto y M c, el cual, por consiguiente, es es isométrico a un subconjunto denso de M c también compacto y por tanto cerrado en M (Proposición 8.7). De lo anterior, c y así, M es completo. se deduce que M es isométrico a M  Si (M, d) es compacto, entonces M es completo respecto a cualquier otra métrica equivalente ya que si d ∼ d′ , entonces (M, d) es homeomorfo a (M, d′ ), así (M, d′ ) es compacto y por lo tanto, completo. Proposición 8.10. Todo espacio métrico compacto es acotado. Prueba: Dado M un espacio métrico compacto, consideramos el siguiente cubrimiento abierto de M: [ M= B(x; 1); x∈M

del cual se extrae un subcubrimiento finito

M = B(x1 ; 1) ∪ · · · ∪ B(xn ; 1); luego, M es acotado.  De acuerdo a la Proposición 8.7 y a la proposición 8.10, un conjunto compacto en cualquier espacio métrico es cerrado y acotado. El recíproco es válido en R, esto es lo que afirma el Teorema de Borel-Lebesgue (Teorema 8.3). También es válido en Rn como se probará más adelante. Pero esto no es cierto en todo espacio métrico, como se evidencia en el siguiente ejemplo: Ejemplo 105. Consideremos el espacio ℓ2 constituido por todas las sucesiones sumables al cuadrado, es decir, las sucesiones (x1 , x2 , x3 , . . . ) tales que P x2i < ∞. Así por ejemplo, para x = (1, 21 , 41 , 81 , · · · ), y = (1, 21 , 31 , · · · ) y z = (1, √12 , √13 , · · · ), P 1 P 1 P 1 2π  Proposición 8.15 (Weierstrass). Si M es compacto toda función continua a valores reales f : M → R es acotada y alcanza sus valores máximo y mínimo en M. Más precisamente, existen x0 , x1 ∈ M tales que

f(x0 ) ≤ f(x) ≤ f(x1 )

para todo x ∈ M.

Prueba: La imagen f(M) es un subconjunto compacto de R y es por tanto, cerrado, acotado y no vacío. Existen entonces α = ´ınf f(M) y β = sup f(M) que, como sabemos, son puntos adherentes de f(M), como éste conjunto es cerrado, α, β ∈ f(M); luego, existen x0 , x1 ∈ M tales que f(x0 ) = α ≤ f(x) ≤ β = f(x1 ) para todo x ∈ M.  Corolario 8.16. Sea M compacto y f : M → R continua tal que f(x) > 0 para todo x ∈ M. Entonces existe c > 0 tal que f(x) ≥ c para todo x ∈ M. Prueba:

Basta tomar c = ´ınf f(M) = f(x0 ) > 0.



Ejemplo 107. Observe que en el corolario anterior si el dominio no es compacto, el ínfimo de la imagen pudiera ser nulo. Por ejemplo, si f : R → R 1 se define como f(x) = 1+x 2 , entonces f es continua y f(x) > 0 (∀x ∈ R); pero para todo c > 0 existe x ∈ R tal que f(x) < c. Esto se tiene porque R no es compacto. 

8.3.

Caracterizaciones de espacios compactos

En una época el teorema de Borel-Lebegue (Teorema 8.3) se demostraba mediante un método de bisecciones sucesivas: Si [a, b] ⊆ ∪Aλ es un cubrimiento que no tiene un subcubrimiento finito, dividiendo [a, b] en dos partes iguales, al menos una de las partes que denotaremos por [a1 , b1 ] es tal que el cubrimiento [a1 , b1 ] ⊆ ∪Aλ no admite un subcubrimiento finito. Prosiguiendo de esta forma, se obtiene una sucesión de intervalos cerrados:

[a, b] ⊇ [a1 , b1 ] ⊇ [a2 , b2 ] ⊇ · · ·

8.3. CARACTERIZACIONES DE ESPACIOS COMPACTOS

123

y tales que para todo n ∈ N el cucon diam([an , bn ]) = bn − an = b−a 2n brimiento abierto [an , bn ] ⊆ ∪Aλ no admite un subcubrimiento finito. Por T∞ la Proposición 7.14 (página 109), existe c ∈ [a, b] tal que i=1 [an , bn ] = {c}. Pero c pertenece a algún Aλ . Como Aλ es abierto, para todo n suficientemente grande, c ∈ [an , bn ] ⊆ Aλ , pero esto contradice que todos los intervalos [an , bn ] no pueden ser cubiertos por un subcubrimiento finito de los Aλ . El argumento anterior dio origen al concepto de espacio métrico totalmente acotado. Definición 77 (totalmente acotado). Un espacio métrico M se dice que es totalmente acotado si para todo ε > 0 existe una descomposición M = X1 ∪ · · · ∪ Xn , de M como unión finita de conjuntos con diámetro menor que ε. Para que M sea totalmente acotado es necesario y suficiente que para todo ε > 0 sea posible escribir M = B(x1 ; ε) ∪ · · · ∪ B(xn ; ε) como una unión finita de bolas abiertas de radio ε. En efecto, si M es totalmente acotado cada Xi con diámetro menor que ε está contenido en una bola abierta de centro en alguno de sus puntos y radio ε. Recíprocamente, una bola abierta de radio ε/3 tiene diámetro menor que ε, de esta forma si se cumple la condición, entonces M es totalmente acotado. Desde otro punto de vista, se puede decir que un espacio M es totalmente acotado si y sólo si, existe una colección finita {x1 , . . . , xn } de puntos de M tales que todo punto de M esta a una distancia menor que ε de alguno de los xi . Evidentemente, totalmente acotado implica acotado. Ejemplo 108. En R un subconjunto acotado es totalmente acotado. En efecto, si X es acotado, dado ε > 0 tomamos 0 < δ < ε y descomponemos la recta real como unión de intervalos de la forma In = [n · δ , (n + 1) · δ] que tienen diámetro y longitud δ. Como X es acotado, intersecta a lo sumo a una cantidad finita de los In , lo que prueba que es totalmente acotado. Por un argumento similar, descomponiendo Rn en pequeñas “cajas” de la forma [a1 , b1 ] × · · · × [an , bn ] con diámetro menor que ε, se tiene que en Rn un subconjunto acotado es totalmente acotado.  Ejemplo 109. En el espacio de Hilbert ℓ2 consideremos nuevamente el conjunto X = {e1 , . . . , en , . . . } (ver Ejemplo √ 105, página 120). Todo subconjunto no 2, es un conjunto unitario. En convacío de X con diámetro menor que √ secuencia, si ε < 2, no es posible descomponer X como una unión finita de conjuntos con diámetro menor que ε. Por tanto, X aunque es acotado, no es totalmente acotado. De aquí se concluye que ningún conjunto en ℓ2 que contenga a X es totalmente acotado. En particular, la bola unitaria cerrada B[0; 1] ⊆ ℓ2 , es cerrada y acotada pero no es totalmente acotada.  Observación: Si un espacio métrico M es totalmente acotado, en la descomposición M = X1 ∪ · · · ∪ Xn se puede suponer que los conjuntos Xi son

CAPÍTULO 8. ESPACIOS COMPACTOS

124

cerrados ya que diam Xi = diam Xi . Similarmente, si un conjunto X es totalmente acotado, su clausura X también lo es. En particular, si M es un c también lo es. espacio totalmente acotado cualquier completación M La siguiente proposición nos aporta mayor claridad respecto a las condiciones necesarias y suficientes para que un espacio métrico sea compacto, también explica porqué en R, cerrado y acotado equivale a la compacidad. Proposición 8.17. Sea M un espacio métrico. Las siguientes proposiciones son equivalentes: (1) M es compacto. (2) Todo subconjunto infinito de M posee un punto de acumulación. (3) Toda sucesión en M posee una subsucesión convergente. (4) M es completo y totalmente acotado. Prueba: (1)⇒(2). Sea M un espacio métrico compacto y sea X ⊆ M un conjunto sin puntos de acumulación: ac(X) = ∅. Entonces X = X ∪ ac(X) = X, así X es cerrado y en consecuencia, compacto. Como cada punto de X no es punto de acumulación de X, necesariamente cada punto de X es aislado en X, o sea que X es compacto y discreto; se sigue del Ejemplo 103 que X es finito. Luego, un conjunto infinito posee puntos de acumulación. (2)⇒(3). Consideremos una sucesión (xn ) en M. Si el conjunto de valores de la sucesión es finito, existe al menos un término de la sucesión que se repite indefinidamente, a = xn1 = xn2 = xn3 = · · · , por tanto, xnk → a. Si por el contrario, el conjunto {x1 , x2 , · · · , xn , · · · } es infinito, entonces por hipótesis, posee un punto de acumulación a. De esta forma toda bola abierta centrada en a posee términos xn con índices arbitrariamente grandes, luego a es limite de alguna subsucesión de (xn ). (3)⇒(4). Bajo la hipótesis (3) toda sucesión de Cauchy posee una subsucesión convergente y por tanto, es la primera es convergente. Así M es completo. Por otra parte, se quiere probar que para ε > 0, M se puede expresar como una unión finita de bolas de radio ε; en efecto, dado ε > 0 tomamos un punto x1 ∈ M, si con este punto tenemos que M = B(x1 ; ε), termina el proceso, en caso contrario existe x2 ∈ M tal que d(x2 , x1 ) ≥ ε. Si para este x2 se tiene que M = B(x1 ; ε) ∪ B(x2 ; ε), se detiene el proceso, en caso contrario existe x3 ∈ M tal que d(x3 , x1 ) ≥ ε y d(x3 , x2 ) ≥ ε. Prosiguiendo de esta manera o el proceso se detiene para algún n y así M = B(x1 ; ε) ∪ · · · ∪ B(xn ; ε) o se tiene una sucesión (xn ) de puntos en M tal que d(xn , xm ) ≥ ε para n =/ m. En esta situación ninguna subsucesión de (xn ) sería de Cauchy y menos convergente. Esto contradice la hipótesis. Luego, lo que se da es la primera posibilidad y de esta forma se concluye que M es totalmente acotado. (4)⇒(1) Sea M completo y totalmente acotado. Supongamos, por reducción al absurdo, que existe un cubrimiento abierto M = ∪λ Aλ que no admite un subcubrimiento finito. Por ser M totalmente acotado, lo expresamos como una

8.3. CARACTERIZACIONES DE ESPACIOS COMPACTOS

125

unión finita de conjuntos cerrados cada uno con diámetro menor que 1. Al menos uno de estos conjuntos, que llamaremos C1 , es tal que el cubrimiento C1 ⊆ ∪λ Aλ no posee un subcubrimiento finito; pero C1 también es totalmente acotado, así que lo expresamos como una unión finita de conjuntos cerrados cada uno de los cuales tiene diámetro menor que 21 . Del mismo modo, alguno de esos nuevos conjuntos, nombrémoslo como C2 , no puede ser cubierto por una cantidad finita de la colección {Aλ }. Prosiguiendo esta construcción, obtenemos una sucesión encajada C1 ⊇ C2 ⊇ · · · ⊇ Cn ⊇ · · · de subconjuntos cerrados de M, tales que para todo n ∈ N, diam(Cn ) < n1 y Cn no está contenido en ninguna subcolección finita de los Aλ . Ya que M es completo, por la Proposición 7.14, página 109, la intersección de los Cn así construidos es un único punto p ∈ M. De modo que, para algún índice λ0 , p ∈ Aλ0 , como Aλ0 es abierto, existe un n0 ∈ N tan que B(p; 1/n0 ) ⊆ Aλ0 . Dado que p ∈ Cn0 y diam(Cn0 ) < n10 , vale que Cn0 ⊆ B(p; 1/n0 ), pero entonces Cn0 ⊆ Aλ0 , lo cual es una contradicción por la forma en que se definieron los conjuntos Cn . Esta contradicción nos lleva a que todo cubrimiento abierto de M posee un subcubrimiento finito, y así M es compacto.  Corolario 8.18. Un espacio métrico es totalmente acotado si y sólo si, su completación es compacta.

c es totalmente acotado, Prueba: M es totalmente acotado si y sólo si M c como M es completo, esto equivale a su compacidad. 

Corolario 8.19. Un subconjunto K de Rn es compacto, si y sólo si, es cerrado y acotado.

Prueba: Como se vio en el ejemplo 108, en Rn acotado implica totalmente acotado y ya sabemos que un cerrado en Rn es completo, entonces por la Proposición 8.17, se tiene que K es compacto. El recíproco es cierto en cualquier espacio métrico.  Corolario 8.20. Un subconjunto X ⊆ Rn tiene clausura compacta, si y sólo si, es acotado.



 Prueba: Ejercicio. El siguiente corolario da una condición suficiente para que un espacio métrico sea lo que se conoce como separable, es decir, que posea un subconjunto numerable denso.

Corolario 8.21. Todo espacio métrico compacto M contiene un subconjunto numerable denso. Prueba: Este hecho se desprende de la propiedad de M de ser totalmente acotado. En efecto, para cada n ∈ N existe unSsubconjunto finito Fn ∞ de M tal que para todo x ∈ M, d(x, Fn ) < n1 . Sea F = n=1 Fn . Entonces F es numerable y para todo x ∈ M, tenemos que d(x, F) = 0. Así, F es denso en M. 

CAPÍTULO 8. ESPACIOS COMPACTOS

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Definición 78 (secuencialmente compacto). Se dice que un espacio métrico es secuencialmente compacto cuando toda sucesión de puntos posee una subsucesión convergente. De la proposición 8.17, se tiene que un espacio métrico es secuencialmente compacto, si y sólo si, es compacto. Ejemplo 110. Sea p ∈ Rn y C un conjunto cerrado no vacío de Rn , entonces existe un punto x0 ∈ C que minimiza la distancia, es decir, tal que d(p, C) = d(p, x0 ). En efecto, tomando un punto de x de C y haciendo r = d(p, x), el conjunto K0 = B[p; r] ∩ C es un subconjunto cerrado del compacto B[p; r]. Además d(p, C) = ´ınf d(p, c) = ´ınf d(p, c) = d(p, K0 ) c∈C

c∈K0

La función ϕ : K0 → R dada por ϕ(c) = d(p; c), es continua. Por el Teorema de Weierstrass (Proposición 8.15), ϕ alcanza mínimo en un punto x0 de K0 

8.4.

Problemario No 8

1

Sean A, B subconjuntos disjuntos no vacíos en el espacio métrico compacto M. Si d(A, B) = 0 entonces existe p ∈ ∂(A) ∩ ∂(B).

2

Sean K ⊆ V ⊆ M donde S K es compacto y V es abierto en M. Pruebe que existe r > 0 tal que x∈K B(x, r) ⊆ V .

3

Dada f : Rn → R continua, sea ϕ : [0, +∞) → R definida por ϕ(r) = sup|x|=r f(x). Muestre que ϕ es continua.

4

una familia (Fλ )λ∈L de conjuntos se dice que es una cadena cuando dados λ, µ ∈ L arbitrarios, se tiene Fλ ⊆ Fµ ó Fµ ⊆ Fλ . Pruebe que un espacio métrico M es compacto si y sólo si, toda cadena de conjuntos cerrados no vacíos en M tiene intersección no vacía.

5

En todo espacio métrico, la intersección de una cadena de compactos conexos es un conjunto conexo y compacto.

6

Un espacio métrico M es compacto si, y sólo si, toda función real continua y positiva en M, posee un ínfimo positivo.

7

Si M es totalmente acotado entonces toda aplicación uniformemente continua f : M → N es acotada. En particular, si X ⊆ Rn es acotado y f : X → N es uniformemente continua, entonces f es acotada.

8

Pruebe que un espacio métrico M es totalmente acotado si, y sólo si, toda sucesión en M posee una subsucesión de Cauchy.

9

Sea M compacto. Una sucesión de puntos xn ∈ M es convergente si, y sólo si, posee un único valor de adherencia. Muestre mediante un ejemplo que la compacidad de M es una hipótesis necesaria.

10

Sea f : M → N una función localmente lipschitziana (ver definición 26). Demuestre que si M es compacto, esa condición implica que f es lipschitziana.

11

Si C∩K es cerrado en K para todo subconjunto compacto K ⊆ M, entonces C es un subconjunto cerrado del espacio métrico M.

Índice alfabético abierto conjunto —, 52, 58 ac(A), 67 acotada función —, 29 acotado conjunto —, 28 adherencia, 63 arbitrariamente grande, 89 arquimediana propiedad —, 16 axioma del supremo, 14

B([a, b]; R), 26 base de una topología, 59 B(M; N), 54 bola abierta, 24 cerrada, 25 B(X; M), 29 B(X; R), 21 cadena, 14, 127 camino, 81 cardinal, 5 Cauchy-Schwarz desigualdad de —, 23 clausura, 63 compacto, 117 comparables, 14 completación de un espacio métrico, 105 componente conexa, 84 conexidad

por caminos, 83 conjunto abierto, 52, 58 acotado, 28 inferiormente, 14 superiormente, 14 bien ordenado, 15 cerrado, 63 compacto, 117 de Cantor, 112 de primera Categoría, 108 de segunda Categoría, 108 denso, 65 discreto, 27 finito, 5 infinito, 9 magro, 107 no numerable, 10 numerable, 10 parcialmente ordenado, 14 totalmente ordenado, 14 constante de Lipschitz, 35 continuidad conjunta, 38 en un punto, 35 contracción débil, 36 convergencia puntual, 96 simple, 96 uniforme, 96 cota inferior, 14 superior, 14 cubrimiento, 117

128

ÍNDICE ALFABÉTICO — abierto, 117 — finito, 117 denso conjunto —, 65 desigualdad de Cuachy-Schwarz, 23 desigualdad triangular, 19 diagonal, 67 diámetro, 28 distancia a un conjunto, 29 entre conjuntos, 31 distancia de x a y, 19 d(X, Y), 31 elemento mínimo, 14 máximo, 14 maximal, 16 entorno, 55 esfera, 25 espacio compacto, 117 completo, 103 conexo, 73 por caminos, 83 de Hausdorff, 66 disconexo, 73 discreto, 27 homeomorfo, 42 métrico, 19 topológico, 58 totalmente acotado, 123 uniformemente discreto, 103 Euclides, 20 finito conjunto —, 5 frontera, 51, 67 en un espacio topológico, 71 función abierta, 57 característica, 69 continua, 35 lipschitziana, 35

129 localmente —, 36 monótona, 79 función acotada, 29 Hausdorff, 16 espacio de —, 66 homeomorfismo, 41 homeomorfos espacios —, 42 homogeneidad, 22 conjugada, 23 homotecia, 42 ínfimo, 14 infinito conjunto —, 9 inmersión isométrica, 31 int(X), 51 interior de un conjunto, 51, 59 isometría, 31 límite de una sucesión, 88 Lipschitz, 35 localmente lipschitziana, 36, 127 métrica, 19 cero-uno, 20 de la conv. uniforme, 29 del supremo, 29 discreta, 44 euclidiana, 20 inducida en un subespacio, 21 por la norma, 22 por f, 31 usual de R, 20 métricas equivalentes, 46 magro, conjunto —, 107 monótona, sucesión —, 92 número algebraico, 17 trascendente, 18

ÍNDICE ALFABÉTICO

130 norma, 21 numerable conjunto — , 10 orden parcial, 14 total, 14 principio del buen orden, 15 producto interno, 22 propiedad arquimediana, 16 del ínfimo, 15 del supremo, 15 métrica, 42 topológica, 42 propiedad de la intersección finita, 118 proyección estereográfica, 43 punto, 20 aislado, 26 de acumulación, 67 interior, 51 semicontinuidad inferior, 70 separación, 73 serie armónica, 93 convergente, 93 divergente, 93 series, 93 subbase, 60 subcubrimiento, 117 — propio, 117 subespacio métrico, 20 topológico, 62 subsucesión, 87 sucesión, 87 acotada, 88 convergente, 88 creciente, 92 decreciente, 92

divergente, 88 eventualmente constante, 88 monótona, 92 no creciente, 92 no decreciente, 92 suma parcial, 93 supremo, 14 Teorema del valor intermedio, 78 teorema de Baire, 110 de Bolzano-Weierstrass, 115 de Borel-Lebesgue, 116 de la aduana, 81 topológicamente completo, 111 topología, 58 de los complementos finitos, 58 discreta, 58 generada por una subbase, 60 generada por una base, 59 producto sobre X × Y , 61 relativa, 62 trivial, 58 totalmente acotado, 123 traslación, 42 valor de adherencia, 100 vecindad, 55, 59 Zermelo, 15