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Topolog´ıa general

G. R

UB

IA N

O

[un primer curso]

G. R O

IA N

UB

Topolog´ıa general

G. R

UB

IA N

O

[un primer curso]

Gustavo N. Rubiano O. Profesor titular

Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Sede Bogot´a

vi, 284 p. : 3 il. 00 ISBN 978-958-719-442-5

IA N

Topolog´ıa general, 3a. edici´ on Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogot´a Facultad de Ciencias, 2010

O

1. Topolog´ıa general Gustavo N. Rubiano O.

Mathematics Subject Classification 2000: 00–00.

UB

c Edici´on en castellano: Gustavo Nevardo Rubiano Orteg´on

Universidad Nacional de Colombia.

G. R

Diagramaci´on y dise˜ no interior en LATEX: Gustavo Rubiano

Tercera edici´on, 2010 Impresi´on: Editorial UN Bogot´a, D. C. Colombia

O

Contenido

0 Preliminares en conjuntos

IA N

Pr´ ologo

vi 1

Operaciones entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

0.2

Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

0.2.1

Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

0.2.2

Relaci´ on de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . .

5

0.2.3

Relaci´ on de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

G. R

0.3

UB

0.1

1 Conjuntos con topolog´ıa

9

1.1

Los reales —una inspiraci´ on— . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

Abiertos b´asicos (generaci´ on de topolog´ıas) . . . . . . . . . 16

1.3

Vecindades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4

Nuevos ejemplos: subespacios de un espacio . . . . . . . . . 29

2 Espacios m´ etricos

9

35

2.1

M´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2

Espacios unitarios o euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.1

2.3

Caracterizaci´ on de los espacios euclidianos . . . . . . 48

Topolog´ıa para una m´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.3.1

M´etricas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 v

vi

CONTENIDO

3 Bases y numerabilidad

63

3.1

2-contable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.2

1-contable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4 Funciones —comunicaciones entre espacios—

Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.2

La categor´ıa Top . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.3

Propiedades heredables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

O

4.1

5.1

IA N

5 Filtros, convergencia y continuidad

80

Filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.1.1

Base de filtro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Ultrafiltros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.3

Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

UB

5.2

6 Homeomorfismos –o geometr´ıa del caucho–

94

6.1

Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.2

Invariantes topol´ ogicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

G. R

7

70

Espacios de identificaci´ on –cociente–

7.1

107

Topolog´ıa cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 7.1.1

Descomposici´ on can´ onica por una funci´on . . . . . . 110

8 La topolog´ıa producto

117

8.1

Definici´ on sint´etica de producto entre conjuntos . . . . . . . 117

8.2

La topolog´ıa producto –caso finito–

8.3

La topolog´ıa producto —caso infinito— . . . . . . . . . . . 120

8.4

Propiedades productivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

8.5

La topolog´ıa producto —en los m´etricos— . . . . . . . . . . 128

8.6

Continuidad para el producto . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

. . . . . . . . . . . . . 118

vii

CONTENIDO

8.7

Topolog´ıas al inicio y al final . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 8.7.1

La topolog´ıa inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

8.7.2

La topolog´ıa final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

9 Posici´ on de un punto respecto a un conjunto

9.1.1

Operadores de clausura . . . . . . . . . . . . . . . . 143

9.1.2

La adherencia es productiva . . . . . . . . . . . . . . 145

O

9.2

Conjuntos cerrados y adherencia . . . . . . . . . . . . . . . 138

Puntos de acumulaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 9.2.1

IA N

9.1

138

Puntos aislados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Interior – exterior – frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

9.4

Subconjuntos densos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

10 Compacidad

UB

9.3

162

10.1 Espacios compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 10.2 Dos caracterizaciones de la compacidad . . . . . . . . . . . 169

G. R

10.2.1 Compacidad v´ıa cerrados . . . . . . . . . . . . . . . 169 10.2.2 Compacidad v´ıa filtros

. . . . . . . . . . . . . . . . 171

10.2.3 Compacidad v´ıa ultrafiltros . . . . . . . . . . . . . . 172

10.3 Producto de dos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 10.4 Teorema de Tychonoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 10.5 Compacidad y sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 10.6 Compacidad para m´etricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 10.7 Ordinales como ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 10.8 Compacidad local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 10.8.1 Compactaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

11 Espacios m´ etricos y sucesiones —completez—

202

11.1 Sucesiones de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

viii

CONTENIDO

11.1.1 Filtros de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 11.2 Espacios de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 11.3 Completez de un espacio m´etrico . . . . . . . . . . . . . . . 210 11.4 Espacios de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 12 Los axiomas de separaci´ on

215

O

12.1 T0 , T1 y T2 o de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 12.2 Regulares, T3 , Tychonoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

IA N

12.2.1 Inmersi´ on en cubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 12.3 Normales, T4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 12.4 Lema de Urysohn o existencia de funciones . . . . . . . . . . 231

13 Conexidad

UB

12.5 Tietze o extensi´ on de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . 236 242

13.1 La conexidad como invariante topol´ogico . . . . . . . . . . . 242 13.2 Subespacios conexos maximales . . . . . . . . . . . . . . . . 249

G. R

13.3 El conjunto C de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 13.4 Conexidad local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 13.5 Conexidad por caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

Bibliograf´ıa

267

Pr´ologo

IA N

O

El tema central de esta tercera edici´ on es presentar un texto que sirva como gu´ıa para un primer curso formal en topolog´ıa general o de conjuntos. Se han hecho cambios importantes que justifican que se trate de una nueva edici´on y no de una simple reimpresi´ on de la anterior. La mayor´ıa de las herramientas y conceptos utilizados en el estudio de la topolog´ıa se agrupan en dos categor´ıas: invariantes topol´ogicos y construcciones de nuevos espacios a partir de los ya conocidos.

G. R

UB

En la parte de invariantes, el ´enfasis en los espacios 1-contable o espacios que satisfacen el primer axioma de enumerabilidad, como espacios para los cuales las sucesiones son suficientes para describir la topolog´ıa, justifica la introducci´ on del concepto de filtro como una adecuada noci´on de convergencia, que resulte conveniente para describir la topolog´ıa en espacios m´as generales; de paso, este concepto nos proporciona una manera c´omoda para llegar al teorema de Tychonoff, imprescindible en cualquier curso no trivial, teorema que corresponde a la parte de construcciones. Nuevos cap´ıtulos, secciones, demostraciones, gr´aficos y referencias hist´oricas han sido introducidos a fin de motivar al lector y presentar de manera activa una de las ´areas m´as prol´ıficas de la matem´atica y la ciencia. Como en casi todo libro de texto, poco o nada es original por parte del autor, excepto posiblemente la manera de manejar la influencia de varios cl´asicos sobre el tema o la introducci´ on de algunos ejemplos nuevos. Agradezco a la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogot´a, el darme ese tiempo extra que siempre necesitamos los docentes para plasmar de forma escrita la experiencia diaria.

Gustavo N. Rubiano O. [email protected]

ix

G. R O

IA N

UB

Preliminares en conjuntos

O

0

IA N

En este cap´ıtulo presentamos de manera sucinta los conceptos de la teor´ıa de conjuntos que el lector debe tener presente para la lectura de este texto, con la finalidad de establecer un lenguaje com´ un entre el autor y el lector respecto a la notaci´ on.

UB

0.1 Operaciones entre conjuntos

Algunas veces es conveniente adjudicar un nombre o ´ındice a cada elemento de una colecci´ on A de conjuntos.

G. R

Un conjunto J y una correspondencia f : J → A definida por j 7→ Aj –para cada j ∈ J, el conjunto f (j) ∈ A es notado como f (j) = Aj – que asigna a cada j ∈ J un conjunto Aj constituye por definici´on una familia A indizada por J y brevemente la notamos A = {Aj : j ∈ J}.

Siempre olvidamos c´ omo se defini´ o f y lo u ´nico que registramos es que la familia qued´o efectivamente indizada como A = {Aj }j∈J . Definimos los siguientes conjuntos: 1. Uni´ on de una familia de conjuntos, [ [ A= Aj = {x | x ∈ Aj , alg´ un j ∈ J}. j∈J

2. Intersecci´ on de una familia de conjuntos, \ \ A= Aj = {x | x ∈ Aj , para cada j ∈ J}. j∈J

1

2

Preliminares en conjuntos

3. Producto de una familia de conjuntos, Y

Aj = {f : J −→

j∈J

[

Aj | f (j) ∈ Aj }.

j∈J

4. Suma` de una familia de conjuntos. Tambi´en se acostumbra notar como j∈J Aj y llamarse entonces el coproducto de la familia, Aj = {(a, j) | a ∈ Aj , j ∈ J}.

O

X j∈J

IA N

Si A = {Aj | j ∈ J} es tal que cada Aj ⊆ X, decimos entonces que A es una familia de subconjuntos de X.

1.

S

2.

T

j∈J

Aj = ∅.

j∈J

Aj = X.

UB

Si J = ∅ —el conjunto vac´ıo— entonces,

G. R

Decimos que la familia A = {Aj | j ∈ J} es una partici´ on de X si para todo i, j ∈ J se tiene que 1. Aj 6= ∅.

2. i 6= j implica Ai ∩ Aj = ∅. 3.

S

j∈J

Aj = X.

La condici´ on 3 dice que A es un cubrimiento de X.

Dadas las familias A = {Aj | j ∈ J}, B = {Bi | i ∈ I} en X se tienen las siguientes igualdades —Ac , X\A o {A denotan el complemento de A en X—: S T 1. ( j∈J Aj )c = j∈J Acj . T S 2. ( j∈J Aj )c = j∈J Acj . S T S S S T 3. ( j∈J Aj ) ( i∈I Bi ) = i∈I ( j∈J (Aj Bi )).

3

0.2 Relaciones

T S T T T S 4. ( j∈J Aj ) ( i∈I Bi ) = j∈J ( i∈I (Aj Bi )).

IA N

O

Q El axioma de elecci´ on1 dice que j∈J Aj 6= ∅ si y solo si Aj 6= ∅ para cada j ∈ J 6= ∅. Q Q 5. j∈J Aj ⊆ j∈J Bj si y solo si Aj ⊆ Bj para cada j ∈ J. Q T Q Q T 6. j∈J Aj Bj). j∈J Bj = j∈J (Aj Q S Q S Q Bj ). 7. j∈J Aj j∈J (Aj j∈J Bj ⊆ S S S 8. ( i∈I Ai ) × ( j∈J Bj ) = (i,j)∈I×J (Ai × Bj ).

0.2 Relaciones

UB

Una relaci´ on R de un conjunto X en un conjunto Y es un subconjunto de X × Y . Si (x, y) ∈ R entonces notamos xRy, o R(x) = y. El dominio de R se define como dom(R) = {x : (x, y) ∈ R para alg´ un y ∈ Y }. La relaci´ on inversa de R se define como

G. R

R−1 = {(b, a) : (a, b) ∈ R}.

Dadas dos relaciones R ⊆ X × Y , S ⊆ Y × Z definimos la composici´ on S ◦ R ⊆ X × Z como S ◦ R = {(x, z) : para alg´ un y ∈ Y, xRy y ySz}.

En el caso que X = Y decimos que R es una relaci´on en X.

0.2.1 Funciones Una relaci´on f ⊆ X × Y se llama una funci´ on si 1. dom(f ) = X, 1

Introducido en la primera d´ecada del siglo XX por Ernst F. F. Zermelo (1871-1953), transform´ o la teor´ıa de conjuntos de Cantor y Dedekind.

4

Preliminares en conjuntos

2. xf y y xf z implica y = z —para cada x la imagen es u ´nica—. En este caso es usual notar la funci´ on f como f : X −→ Y . Definimos la imagen de A ⊆ X por f como el conjunto f (A) = {y ∈ Y : y = f (x) para alg´ un x ∈ A}.

f −1 (B) = {x ∈ X : f (x) ∈ B}.

O

La imagen inversa de B ⊆ Y por f es el conjunto

IA N

Sean {Ai | i ∈ I}, {Bj | j ∈ J} familias de conjuntos en X y Y respectivamente. Es un ejercicio verificar las siguientes propiedades:

UB

T T 1. f ( i∈I Ai ) ⊆ i∈I f (Ai ). S S 2. f ( i∈I Ai ) = i∈I f (Ai ). T T 3. f −1 ( j∈J Bj ) = j∈J f −1 (Bj ). S S 4. f −1 ( j∈J Bj ) = j∈J f −1 (Bj ). 5. f −1 (Bjc ) = (f −1 (Bj ))c .

G. R

6. f (f −1 (Bi )) ⊆ Bi . 7. Ai ⊆ f −1 (f (Ai )).

N´otese que el comportamiento de f −1 —la imagen inversa por f — es impecable. Una funci´on f : X −→ Y se dice sobre o sobreyectiva si f (X) = Y ; f se dice uno a uno o inyectiva si x 6= y implica f (x) 6= f (y). Dada f : X −→ Y y cualesquiera A, B ⊆ X, C ⊆ Y tenemos que: 1. f es inyectiva si y solo si f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B). 2. f es sobre si y solo si f −1 (C) 6= ∅ para todo C 6= ∅. 3. Si f es inyectiva y sobre —biyecci´ on— entonces f −1 es una biyecci´on de Y en X. 4. Si f es biyecci´ on entonces f (Ac ) = f (A)c .

5

0.2 Relaciones

5. f es sobre si y solo si f (f −1 (C)) = C. 6. f es inyectiva si y solo si f −1 (f (A)) = A. 7. f es biyecci´ on si y solo si para cada y ∈ Y , f −1 (y) es un conjunto unitario de X. Caso para el cual f −1 : Y −→ X es una funci´on bien definida.

O

La siguiente afirmaci´ on utiliza el concepto de composici´ on de relaciones. Sean f : X −→ Y , g : Y −→ X dos funciones tales que g ◦ f = idX donde idX : X −→ X es la funci´ on identidad, entonces g es sobre y f es uno a uno.

IA N

Si H es una familia indizada de funciones

H = {hi : Xi −→ Yi }i∈I Q

i∈I

hi :

Q

Xi∈I −→

Q

Yi∈I como

UB

definimos la funci´ on producto h = h((xi )i ) := (h(xi ))i .

0.2.2 Relaci´on de equivalencia

G. R

Decimos que una relaci´ on R en X es:

1. Reflexiva: (x, x) ∈ R para todo x ∈ X —esto es equivalente a decir que ∆(X) ⊆ R, donde ∆(X) es la relaci´on id´entica o diagonal de X—. 2. Sim´ etrica: (x, y) ∈ R implica (y, x) ∈ R. —R−1 = R—.

3. Antisim´ etrica: (x, y), (y, x) ∈ R implica x = y —R−1 ∩ R ⊆ ∆(X)—.

4. Transitiva: (x, y), (y, z) ∈ R implica (x, z) ∈ R —R ◦ R ⊆ R—. R es de equivalencia si es reflexiva, sim´etrica y transitiva. Cada relaci´on de equivalencia determina una partici´ on X/R = {[x] : x ∈ X} de X formada por las clases de equivalencia [x] = {y : xRy}; de manera natural existe una funci´on sobreyectiva q : X −→ X/R.

6

Preliminares en conjuntos

Toda funci´on f : X −→ Y define una relaci´on ∼ de equivalencia en X si definimos x ∼ y si y solo si f (x) = f (y). En este caso notamos la relaci´on (y la partici´on) como Rf con Rf = {f −1 (t) : t ∈ f (X)}. X

f

- Y 6

q

i

?

X/Rf

≈-

hf

f [X]

O

El siguiente diagrama es conmutativo, donde Rf se encarga de igualar los puntos que tienen una misma imagen, con lo cual hf definida como hf ([x]) := f (x) est´a bien definida, es un monomorfismo y por su codominio es un epimorfismo, i. e., tenemos un −1 (y). isomorfismo con inversa h−1 f (y) = f

0.2.3 Relaci´on de orden

IA N

El diagrama se conoce como teorema de la factorizaci´ on de funciones entre conjuntos o teorema del cociente para conjuntos.

G. R

UB

R ⊆ X × X es una relaci´ on de orden si es reflexiva, antisim´etrica y transitiva. Es com´ un en este caso notar a R como ≤ (o `) de suerte que (x, y) ∈ R se nota x ≤ y (x ` y, o x < y si x 6= y) y decimos —l´ease— que x es menor o igual a y (o x menor que y). El par (X, ≤) se llama un conjunto ordenado. Un elemento b ∈ X es una cota superior (inferior) para A ⊆ X si a ≤ b (b ≤ a) para todo a ∈ A —b debe ser mayor (menor) o igual que cada elemento de A—. Con A↑ —l´ease el superior de A— denotamos el conjunto de las cotas superiores de A, y con A↓ el conjunto de las cotas inferiores. Si A = {a}, A↑ es notado como ↑ a, o [a, →). Si existe un elemento s ∈ A tal que a ≤ s (s ≤ a) para cada a ∈ A decimos que s es el m´ aximo (m´ınimo) de A. N´otese que s ∈ A es el m´ınimo de A si A ⊆↑ s. Un elemento m ∈ X es maximal para X si m ≤ x implica m = x —cada vez que m est´e relacionado, m debe ser entonces mayor o igual, esto es, m no es superado por ning´ un elemento en X. ↑ W El elemento m´ınimo de A (si existe) es el supremo de A denotado por  A o sup A (no tiene por qu´e ser V un elemento de A). De manera dual se define el ´ınfimo de A, denotado A o inf A. En el caso en que A = {x, y},



7

0.3 Cardinalidad

simplemente notamos x ∨ y := sup {x, y} y x ∧ y := inf{x, y}.

O

Si para todo par de elementos x, y existen x ∨ y y x ∧ y, se dice que (X, ≤) es un ret´ıculo. (X, ≤) es un ret´ıculo completo (o reticulado completo) W V si para todo subconjunto S de X existen W S = sup S y S = inf S. Si V se quiere resaltar el papel de X se escribe X S y X S, respectivamente. N´otese que en un ret´ıculo completo (X, ≤) se tiene inf ∅ = sup X = m´aximo de X = >,

IA N

sup ∅ = inf X = m´ınimo de X = ⊥.

Un subconjunto P de X es totalmente ordenado o es una cadena si para cada par de elementos a, b ∈ P se tiene que a ≤ b o b ≤ a; u ∈ X es una cota superior para P si x ≤ u para todo x ∈ P .

UB

Un resultado fundamental —y equivalente al axioma de elecci´on— conocido como el Lema de Zorn2 , nos asegura la existencia de elementos (exactamente de elementos maximales):

G. R

Si en un conjunto X ordenado —parcial o total— todo subconjunto P totalmente ordenado posee una cota superior en X, entonces X tiene al menos un elemento maximal.

0.3 Cardinalidad

Dos conjuntos X, Y son equivalentes si existe una biyecci´on f : X −→ Y . Esta es una relaci´ on de equivalencia en la colecci´on de los conjuntos, y a cada clase de equivalencia la llamamos un n´ umero cardinal y la notamos #(X). El cardinal de N lo notamos de manera especial como ω o ℵ0 . El cardinal de R como c.

X es finito si es equivalente al conjunto {1, 2, 3, 4, . . . , n} para alg´ un n ∈ N. En caso contrario decimos que X es infinito. Si X es finito o equivalente a N, decimos que X es enumerable o contable. 2

Este es el nombre dado por J. Tukey a un principio maximal introducido en 1935 por M. Zorn (1906-1993), aunque principios similares ya hab´ıan sido introducidos por otros matem´ aticos como Hausdorff, Kuratowski y Brouwer.

8

Preliminares en conjuntos

Sin duda alguna el problema irresoluble m´as famoso —desde los axiomas usuales de la teor´ıa de conjuntos— es el primer problema de Hilbert: Hip´ otesis del continuo —Cantor—: Si X ⊆ R es no contable entonces existe una biyecci´ on f : X −→ R. SiSJ es enumerable y cada conjunto Aj es enumerable, entonces tambi´en lo es j∈J Aj .

O

Tenemos una gran diferencia entre uniones enumerables y productos enumerables. Si J es enumerable infinito y cada Aj es enumerable, entonces Q A es no enumerable. j∈J j

IA N

Teorema de Cantor3 . Si ℘(X) —o 2X — denota el conjunto de los subconjuntos de X 6= ∅, entonces el cardinal de X es menor que el cardinal de ℘(X). La aritm´etica de los n´ umeros cardinales la podemos resumir como:

2.

UB

1. Sean d, e n´ umeros cardinales con d ≤ e, d 6= 0 y e infinito. Entonces d + e = e y d · e = e.

G. R



3

ab n ℵ0 c

m nm ℵ0 c

ℵ0 c c c

c 2c 2c 2c

La teor´ıa de conjuntos naci´ o en diciembre de 1873 cuando G. Cantor (1845-1918) estableci´ o que la colecci´ on de los n´ umeros reales es incontable. En 1873 Cantor prob´ o que los n´ umeros racionales son numerables, es decir, que pueden colocarse en correspondencia uno a uno con los n´ umeros naturales. Tambi´en mostr´ o que los n´ umeros algebraicos, es decir, los n´ umeros que son ra´ıces de ecuaciones polinomiales con coeficientes enteros, son numerables. Sin embargo, sus intentos por decidir si los n´ umeros reales eran numerables, le hac´ıan ver que se trataba de un problema m´ as dif´ıcil. Cantor pudo probar que los n´ umeros reales no son numerables hasta diciembre de 1873. En las d´ecadas siguientes la teor´ıa floreci´ o con sus trabajos sobre los n´ umeros ordinales y cardinales.

Conjuntos con topolog´ıa

IA N

1.1 Los reales —una inspiraci´on—

O

1

UB

No hay nada m´as familiar a un estudiante de matem´aticas que el conjunto R de los n´ umeros reales y las funciones f : R −→ R. Si u ´nicamente tuvi´eramos en cuenta la definici´ on usual de funci´on de R en R, es decir, una colecci´on de pares ordenados (x, y) ∈ R × R donde cada elemento de R es la primera componente de una y de solo una pareja ordenada, estar´ıamos desperdiciando el concepto de intervalo que conocemos para los n´ umeros reales y, a´ un m´as, el hecho de que en R podemos decir qui´enes son los vecinos de un punto x ∈ R.

G. R

En efecto, los vecinos al punto x en una distancia menor que un ε > 0 son todos los y ∈ R tales que |x − y| < ε; es decir, el intervalo (x − ε, x + ε) es la vecindad b´asica de x con radio ε. Cuando a una funci´on de R en R la obligamos a tener en cuenta el concepto anterior de vecindad b´asica, lo que estamos exigiendo es que se satisfaga la definici´on ε, δ de continuidad empleada en el c´alculo. Revisemos esta definici´ on de continuidad. La funci´on f : R −→ R se dice continua en el punto c ∈ R si: “Para cada n´ umero positivo ε, existe un n´ umero positivo δ tal que |f (x) − f (c)| < ε siempre que |x − c| < δ”. Pero |f (x) − f (c)| < ε significa f (x) ∈ (f (c) − ε, f (c) + ε); as´ı mismo, |x − c| < δ significa x ∈ (c − δ, c + δ); luego la definici´on entre comillas la podemos reescribir como “Dado ε > 0 (ver fig. 1.1) se puede encontrar δ > 0 tal que si x ∈ (c − δ, c + δ) entonces f (x) ∈ (f (c) − ε, f (c) + ε)”. Hablando en t´erminos de los intervalos abiertos como las vecindades 9

10

Conjuntos con topolog´ıa

2ε

f (c)

g(c)

c 2δ

c

O

Figura 1.1: La continuidad en R.

b´asicas, esta definici´ on es:

IA N

“Dada una vecindad b´asica de radio ε alrededor de f (c), podemos encontrar una vecindad b´asica de c y con radio δ tal que si x ∈ (c − δ, c + δ) entonces f (x) ∈ (f (c) − ε, f (c) + ε)”.

UB

Lo que de nuevo reescribimos como: “Dada una vecindad de f (c) podemos encontrar una vecindad de c con la propiedad que, la imagen por f de esta u ´ltima se encuentra dentro de la vecindad de f (c)”. Informalmente decimos que:

Un cambio ‘peque˜ no’ en c produce un cambio ‘peque˜ no’ en f (c). Hemos visto entonces que el concepto de continuidad en R est´a ligado esencialmente a la definici´ on que podamos hacer de ‘vecindad’ para un punto y la relaci´ on entre las im´agenes de las vecindades. Luego, si quisi´eramos abstraer el concepto de continuidad para otros conjuntos que no sean nuestros n´ umeros reales usuales, debemos remitirnos a obtener de alguna manera —pero con sentido— el concepto de ‘vecindad’ para estos conjuntos.

G. R

K

Al definir un conjunto abierto en R como un conjunto que es uni´on de intervalos abiertos —nuestras vecindades b´asicas— es f´acil verificar que: 1. ∅ es abierto —la uni´ on de una familia vac´ıa—. 2. R es abierto. 3. La uni´on de una colecci´ on de abiertos es un abierto. 4. La intersecci´ on de un n´ umero finito de abiertos es un abierto. Motivados por las anteriores propiedades damos la siguiente definici´on.

11

1.1 Los reales —una inspiraci´ on—

Definici´ on 1.1. Una topolog´ıa1 para un conjunto X es una familia T = {Ui : i ∈ I}, Ui ⊆ X tal que:

T

3.

S

i∈F

Ui ∈ T para cada F subconjunto finito de I —F b I—.

i∈J

Ui ∈ T para cada J ⊆ I.

IA N

2.

O

1. ∅ ∈ T, X ∈ T.

UB

Esto es, T es una familia de subconjuntos de X cerrada tanto para la uni´on arbitraria como para la intersecci´ on finita. La condici´on 1 es consecuencia de 2 y 3 cuando tomamos como conjunto de ´ındices I = ∅.

G. R

Los elementos de T se llaman abiertos y el par (X, T) es por definici´on un espacio topol´ ogico. Brevemente lo notamos X cuando no es necesario decir qui´en es T. Los elementos de X son los puntos del espacio. Las condiciones en la definici´ on anterior se llaman los axiomas de una estructura topol´ogica. A menos que se especifique lo contrario, en este texto la palabra espacio significar´a espacio topol´ ogico. Los complementos de los conjuntos abiertos se llaman conjuntos cerrados.

EJEMPLO 1.1

Ru . En R definimos una topolog´ıa T conocida como la usual (el espacio es notado Ru ) definiendo U ∈ T si U es uni´on de intervalos abiertos. O de manera equivalente, U ⊆ R es abierto si para cada punto x ∈ U existe un intervalo (a, b) que contiene a x y est´a contenido en U . 1

Se le acu˜ na la invenci´ on de la palabra topolog´ıa al matem´ atico alem´ an de ascendencia checa Johann B. Listing (1808-1882) en una carta dirigida a su viejo maestro de escuela M¨ uller.



12

Conjuntos con topolog´ıa

EJEMPLO 1.2

Orden. El ejemplo 1.1 lo podemos generalizar a todo conjunto X que sea linealmente —totalmente— ordenado por una relaci´on ≤. Definimos T≤ la topolog´ıa del orden o la topolog´ıa intervalo sobre (X, ≤) tomando como abiertos todos los U ⊆ X que se pueden expresar como uni´on de intervalos de la forma 1. (x, y) := {t : x < t < y} —intervalos abiertos acotados—.

O

2. (x, →) := {t : x < t} —colas a derecha abiertas—.

IA N

3. (←, y) := {t : t < y} —colas a izquierda abiertas—.

 En el caso en que X no posea elementos m´ aximo y m´ınimo, basta considerar

tan solo los intervalos acotados (x, y) —¿por qu´e?—.

UB

EJEMPLO 1.3

G. R

Discreta: Dado un conjunto X definimos T = 2X —partes de X o ℘(X)—. Esta es la topolog´ıa discreta de X —permite que todo sea abierto—. Es la topolog´ıa sobre X con la mayor cantidad posible de abiertos. Grosera: Contrario a lo anterior, dado un conjunto X definimos T = {∅, X}, conocida como la topolog´ıa grosera de X —pr´acticamente no permite la presencia de abiertos—. Es la topolog´ıa con la menor cantidad posible de abiertos. N´otese que toda topolog´ıa T para X se encuentra entre la topolog´ıa grosera y la topolog´ıa discreta, i. e., {∅, X} ⊆ T ⊆ 2X .

EJEMPLO 1.4

Punto incluido. Sea X un conjunto y p un punto elegido en X. Definimos la topolog´ıa punto incluido Ip como U ∈ Ip si p ∈ U , o, U = ∅. La definici´on de esta topolog´ıa se puede extender a cualquier A ⊆ X y la notamos como IA .

13

1.1 Los reales —una inspiraci´ on—

EJEMPLO 1.5

Extensi´on cerrada de (X, T). La anterior topolog´ıa permite la siguiente generalizaci´on. Dado un espacio (X, T) y p ∈ / X, definimos la extensi´on ∗ ∗ X = X ∪ {p} y T = {V ∪ {p} : V ∈ T} ∪ {∅}. (X ∗ , T ∗ ) es un espacio y los cerrados de X ∗ coinciden con los de X.

O

El ejemplo 1.4 es la extensi´ on Y ∗ para el caso (Y = X − {p}, 2Y ).

EJEMPLO 1.6

IA N

Punto excluido. Sea X un conjunto y p un punto elegido en X. Definimos la topolog´ıa punto excluido Ep como U ∈ Ep si U = X, o, p ∈ / U.

EJEMPLO 1.7

1. J1 = {∅, X},

UB

Sierpinski. En X = {0, 1} construimos todas las posibles topolog´ıas: J4 •

2. J2 = {∅, X, {0}},

G. R

3. J3 = {∅, X, {1}},

J2 •

•J3

4. J4 = {∅, X, {0}, {1}, {0, 1}}. • J1

El diagrama muestra c´ omo es la contenencia entre estas cuatro topolog´ıas, as´ı que J2 y J3 no son comparables. J2 = {∅, X, {0}} se conoce como la topolog´ıa de Sierpinski2 . Es el espacio m´as peque˜ no que no es trivial ni discreto. 2

En honor al matem´ atico polaco Waclaw Sierpinski (Varsovia,1882-1969). En 1920, Sierpinski, junto con Zygmunt Janiszewski y su ex alumno Stefan Mazurkiewicz, fundaron una influyente revista matem´ atica, Fundamenta Mathematica, especializada en trabajos sobre teor´ıa de conjuntos. Durante este periodo, Sierpinski trabaj´ o sobre todo en teor´ıa de conjuntos, pero tambi´en en topolog´ıa de conjuntos y funciones de una variable real. Tambi´en trabaj´ o en lo que se conoce actualmente como la curva de Sierpinski.

14

Conjuntos con topolog´ıa

EJEMPLO 1.8

Complementos finitosa . Dado un conjunto X, definimos la topolog´ıa (T, cof initos) como U ⊆ X es abierto si su complemento U c es finito, o U = ∅. En este ejemplo —como en cada ejemplo donde los abiertos se definan en t´erminos de cardinalidad— es interesante tener en cuenta los tres casos, dependientes de que X sea finito, infinito contable, o infinito no contable. a

O

Tambi´en conocida como la topolog´ıa de Zariski en honor al matem´ atico bielorruso Oscar Zariski (1899-1986).

IA N

EJEMPLO 1.9

Complementos enumerables. Dado un conjunto X, definimos la topolog´ıa (T, coenumerables) como U ⊆ X es abierto si su complemento U c es enumerable o contable —finito o infinito—, adem´as del ∅, por supuesto. EJEMPLO 1.10

UB

Espacio de Fort. Sea X un conjunto y p un punto en X. Definimos U ∈ Eωp si U c es finito, o p ∈ / U.

G. R

La colecci´on T op(X) de todas las topolog´ıas sobre un conjunto X es un conjunto parcialmente ordenado por la relaci´on de inclusi´on: T1 ≤ T2 si T1 ⊆ T2 , caso en el cual decimos que T2 es m´as fina que T1 . Por tanto, sobre T op(X) tiene sentido hacer referencia a todos los conceptos relativos a conjuntos ordenados. Dado un conjunto finito X con n elementos, notemos por T(n) el conjunto de topolog´ıas definibles sobre X. Una pregunta natural y formulada desde el inicio de la topolog´ıa es: ¿cu´antas topolog´ıas existen sobre X? o ¿qui´en es el cardinal |T(n)|? La pregunta es dif´ıcil de contestar y por ello se trata de un problema abierto; m´as a´ un, para este problema de conteo no existe —a la fecha— ninguna f´ ormula cerrada ni recursiva que d´e una soluci´on. Tampoco existe un algoritmo eficiente de computaci´on que calcule el total de T(n) para cada n ∈ N. Para valores peque˜ nos de n el c´alculo de |T(n)| puede hacerse a mano; por ejemplo, |T(1)| = 1, |T(2)| = 4, |T(3)| = 29. Pero el crecimiento de T(n) es exponencial, como lo muestra la tabla 1.1. De hecho, existen 261492535743634374805066126901117203 posibles topolog´ıas para un

15

1.1 Los reales —una inspiraci´ on—

IA N

O

N´ umero de topolog´ıas en T(n) 1 4 29 355 6.942 209.527 9.535.241 642.779.354 63.260.289.423 8.977.053.873.043 1816846038736192 519355571065774021 207881393656668953041 115617051977054267807460 88736269118586244492485121 93411113411710039565210494095 134137950093337880672321868725846 261492535743634374805066126901117203

UB

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Tabla 1.1: N´ umero de topolog´ıas para un conjunto de n elementos.

G. R

conjunto con n = 18 elementos, y a la fecha este valor de n es el mayor para el cual el n´ umero de topolog´ıas es conocido.

Ejercicios 1.1

1. ¿C´omo son los cerrados para los espacios de los ejemplos anteriores? 2. Construya todas las topolog´ıas para X = {a, b, c}.

3. Muestre que, para un conjunto X, la intersecci´on de topolog´ıas sobre X es de nuevo una topolog´ıa. 4. Muestre que la uni´ on de dos topolog´ıas sobre un conjunto X no necesariamente es una topolog´ıa. 5. En cada uno de los ejemplos dados en esta secci´on, revise la pertinencia de la cardinalidad del conjunto X.

16

Conjuntos con topolog´ıa

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

O

•

IA N

6. Muestre que (T op(X), ⊆) es un ret´ıculo completo. En particular, para el caso de dos topolog´ıas T, I el sup ∨{T, I} est´a formado por todas las posibles uniones de conjuntos de la forma {U ∩ V : U ∈ T, V ∈ I}.

UB

7. Revise el ejemplo 1.10 en t´erminos del ejercicio anterior.

1.2 Abiertos b´asicos (generaci´on de topolog´ıas)

G. R

Entre los abiertos de un espacio, algunas veces —casi siempre— es importante resaltar algunos de ellos que en cierta manera generan o describen a los dem´as, i. e., toda la estructura topol´ ogica puede ser recuperada a partir de una parte de ella. Definici´ on 1.2. Si (X, T) es un espacio, una base para T es una subfamilia B ⊆ T con la propiedad que: dados un abierto U y un punto x ∈ U , existe un B ∈ B tal que x ∈ B ⊆ U . Cada abierto en T es uni´ on de elementos en B. EJEMPLO 1.11

Los intervalos abiertos de R constituyen una base para la topolog´ıa en Ru . Revise la definici´ on de la topolog´ıa del orden. Por supuesto, para un espacio (X, T), T en s´ı misma es una base de manera trivial; la palabra trivial se justifica porque una de las cualidades m´as

17

1.2 Abiertos b´ asicos (generaci´ on de topolog´ıas)

importantes para una base es exigir que su cardinalidad no sea muy grande —espacio 2–contable—. ¿C´omo reconocer que una colecci´ on B de subconjuntos de X pueda ser base para alguna topolog´ıa?

O

Teorema 1.3. Sea X un conjunto. B ⊆ ℘(X) es base de una topolog´ıa para X si y solo si se cumple que S 1. X = {B : B ∈ B}, i. e., B es un cubrimiento de X.

IA N

2. Dados cualesquiera U, V ∈ B y x ∈ U ∩ V , existe B en B con x ∈ B ⊆ U ∩ V . Esto es, U ∩ V es uni´on de elementos de B para todo par U, V de B. N´otese que, en particular, un cubrimiento B ⊆ ℘(X) cerrado para intersecciones finitas es una base.

UB

Demostraci´on. ⇒) 1) S Supongamos que B es base para una topolog´ıa T de X. Veamos que X = {B : B ∈ B}; en efecto, dado x ∈ X existe U ∈ T tal que x ∈ U , y como B es base, existe B con x ∈ B ⊆ U —la otra inclusi´on es obvia—. 2) Si U, V ∈ B entonces, dado x ∈ U ∩ V , por ser B una base, existe B tal que x ∈ B ⊆ U ∩ V —U, V est´an en T, y por tanto U ∩ V ∈ T—.

G. R

⇐) Construyamos una topolog´ıa T para la cual B es una base. Definimos U ∈ T si U es uni´ on de elementos de B. Por supuesto tanto X como ∅ est´an en T —∅ por ser la uni´ on de la familia vac´ıa—. Si tomamos la uni´on de una familia en T, ella finalmente es uni´on de elementos de B. Ahora veamos que B es base de T. Si U, V ∈ T y x ∈ U ∩ V , por la definici´ on de T, existen BU , BV en B conteniendo a x y contenidos en U y V respectivamente; por la condici´on 2 sobre B, existe B tal que
x ∈ B ⊆ BU ∩ BV ⊆ U ∩ V .

La topolog´ıa dada por el teorema anterior se conoce como la topolog´ıa generada por la base B y la notamos T = hBi3 . EJEMPLO 1.12

Si X es un conjunto y p ∈ X, una base de la topolog´ıa Ip del punto incluido es B = {{x, p} : x ∈ X}. 3

Una misma topolog´ıa puede ser generada por bases diferentes.

K

18

Conjuntos con topolog´ıa

EJEMPLO 1.13

Partici´on. Dada una partici´ on R sobre un conjunto X —o lo que es igual una relaci´on de equivalencia R—, la colecci´ on R junto con el conjunto ∅ es una base para una topolog´ıa sobre X. Un subconjunto de X es entonces abierto si es uni´ on de subconjuntos pertenecientes a la partici´on.

EJEMPLO 1.14

[ {{2n + 1} : n ∈ Z}.

IA N

B = {{2n − 1, 2n, 2n + 1} : n ∈ Z}

O

L´ınea de Khalinsky. En Z definimos la base

En la topolog´ıa generada, cada entero impar es abierto y cada entero par es cerrado.

EJEMPLO 1.15

UB

Topolog´ıa a derecha. Para un conjunto (X, ≤) parcialmente ordenado, el conjunto de las colas a derecha y cerradas x ↑ := [x, →) := {t : x ≤ t},

G. R

es una base para una topolog´ıa ya que [ [x, →) ∩ [y, →) = [z, →) para z ∈ [x, →) ∩ [y, →). z

La topolog´ıa generada se nota Td y se conoce como la topolog´ıa a derecha —dualmente existe la topolog´ıa a izquierda—. La anterior topolog´ıa es saturada o de Alexandroff4 en el sentido que la intersecci´on arbitraria de abiertos es de nuevo un abierto. N´otese que las colas abiertas son tambi´en abiertos para esta topolog´ıa. (a, →) =

[

[b, →).

b>a

4

En general una topolog´ıa se dice de Alexandroff o A–topolog´ıa si las intersecciones arbitrarias de conjuntos abiertos son de nuevo un abierto. Fueron estudiadas inicialmente por P. S. Alexandroff en 1937. N´ otese que toda topolog´ıa finita es de Alexandroff.

19

1.2 Abiertos b´ asicos (generaci´ on de topolog´ıas)

EJEMPLO 1.16

Una topolog´ıa puede tener diferentes bases. En R2 definamos dos bases B1 , B2 que nos conducen a una misma topolog´ıa: la usual.
1/2 B1 : U ∈ B1 si U = {(x, y) : (x − u)2 + (y − v)2 < ε} para alg´ un 2 ε > 0 y alg´ un (u, v) en R . U se acostumbra denotar como Bε ((u, v)) —U es el interior de un disco en R2 de centro en (u, v) y radio ε—.

O

B2 : V ∈ B2 si V = {(x, y) : |x − u| + |y − v| < ε} para alg´ un ε > 0 y alg´ un (u, v) en R2 —V es el interior de un rombo en R2 con centro en (u, v)—.

IA N

Es un ejercicio verificar que lo que se puede expresar como uni´on de elementos de B1 , lo puedo expresar tambi´encomo uni´on de elementos de B2 , con lo cual las dos topolog´ıas generadas coinciden. EJEMPLO 1.17

UB

De manera m´as general, en Rn definimos una base B de la manera siguiente: B = {Bε (x) : ε > 0, x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn } donde,

G. R

  Bε (x) = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn 



n X i=1

!1/2 (xi − yi )2

  0, definimos la regi´on comprendida entre dos rectas Da,b,c = {(x, y) : y ≥ ax + b y y ≥ −ax + c} ⊆ R2 .

G. R

UB

Sea D = {Da,b,c : a > 0, b, c ∈ R}. D es una colecci´on de regiones triangulares infinitas. Muestre que D es base para una topolog´ıa.

c•

b•

Figura 1.2: Las regiones del ejercicio 2.

3. Cuando tenemos un conjunto (X, ≤) totalmente ordenado y sin elementos m´aximo ni m´ınimo, es posible definir otras topolog´ıas diferentes de la usual para el orden. Consideremos las siguientes familias de subconjuntos y verifiquemos que efectivamente se trata de bases para nuevas topolog´ıas:

22

Conjuntos con topolog´ıa

(a) Bd = {x ↑= [x, →) : x ∈ X} genera la topolog´ıa Td de las colas a derecha y cerradas, o topolog´ıa a derecha (ver ejemplo 1.15). (b) Bi = {x ↓= (←, x] : x ∈ X} genera la topolog´ıa Ti de las colas a izquierda y cerradas. Al igual que la anterior, esta topolog´ıa es de Alexandroff. Tambi´en se dice que la topolog´ıa es generada por los inferiores x ↓ de cada elemento. En estos dos casos no es necesario que el orden sea total, basta tener una relaci´on de orden parcial en X.

[

(←, b],

IA N

(←, a) =

O

Bi tambi´en genera los intervalos de la forma



ba

[a, →) =

[

[a, b),

a 0 que satisfaga d(x, y) ≤ se(x, y) para todo par de puntos x, y ∈ Rnu . Sin embargo, la m´etrica e es m´etricamente equivalente d a la m´etrica f = pues tenemos la desigualdad f ≤ e ≤ 2f . 1+d

G. R

Normas equivalentes. Para el caso de un espacio vectorial normado, decimos que dos normas k k1 , k k2 son topol´ogicamente o m´etricamente equivalentes si las respectivas m´etricas asociadas lo son. De otra parte, decimos que ellas son equivalentes si existen s, t ∈ R>0 tales que, k k1 ≤ sk k2 y k k2 ≤ tk k1

—las notamos

k k1 ≡ k k2 —.

En este caso de los espacios normados no tenemos necesidad de distinguir, como pasaba en los espacios m´etricos, entre distintas formas de equivalencia ya que estas tres definiciones de equivalencia son iguales, con lo cual podemos utilizar simplemente el adjetivo normas equivalentes. M´as a´ un, es posible demostrar que en un espacio vectorial normado de dimensi´on finita, todas las normas son equivalentes.

EJEMPLO 2.20 n son topol´ Las m´etricas l1n , l2n y l∞ ogicamente equivalentes. Para esto, basta mostrar la desigualdad ∞√ Br/ (x) ⊆ Br1 (x) ⊆ Br2 (x) ⊆ Br∞ (x). 2

K

58

Espacios m´etricos

1

0.5

-0.5

0.5

IA N

-0.5

-1

1

O

-1

Figura 2.7: B1 ((0, 0)) para p=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en R2p .

UB

Para el caso del plano, al graficar las bolas B1 ((0, 0)) para cada una de las m´etricas dp , obtenemos la figura 2.7 donde, en la medida en que p crece, obtenemos una deformaci´ on continua del rombo de d1 al cuadrado de d∞ , en que la circunferencia en d2 no es m´as que un paso en el camino.



G. R

La justificaci´on de la notaci´ on d∞ para la m´etrica del sup la obtenemos del siguiente lema. Lema 2.15. Para cada x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn se tiene que lim kxkp = max{|x1 |, . . . , |xn |} = kxk∞ .

p→∞

Demostraci´on. Es claro que

kxkp∞ ≤ |x1 |p + · · · + |xn |p ≤ nkxkp∞ .

(2.32)

Si a cada lado de la desigualdad elevamos a la potencia 1/p, obtenemos kxk∞ ≤ kxkp ≤ n1/p kxk∞ .

(2.33)

Como n1/p → 1 cuando p → ∞, tenemos nuestro l´ımite. Notemos que la desigualdad en 2.33 muestra que para cada p la norma k kp es equivalente a k k∞ , con lo cual todas las k kp son equivalentes en Rn , esto es, inducen la misma topolog´ıa.

59

2.3 Topolog´ıa para una m´etrica

En la definici´ on de la m´etrica dp para los espacios Rn (ver recuadro p´ag. 37) la condici´ on p ≥ 1 no debe pasar desapercibida, puesto que en el caso p < 1 no obtenemos una norma y por lo tanto no inducimos una m´etrica. Por ejemplo, para p = 1/2 y n = 2 la desigualdad triangular no se verifica en el caso de los puntos x = (1, 1), y = (0, 0), z = (1, 0) pues d(x, y) = 4 mientras que d(x, z) = d(z, y) = 1. EJEMPLO 2.21

IA N

O

Una m´aquina para construir m´etricas equivalentes. Dados un espacio m´etrico (X, d) y una funci´ on f : R+ → R+ estrictamente creciente, con f (0) = 0 y f (u + v) ≤ f (u) + f (v), la compuesta f ◦ d es una m´etrica. Si adem´as f es continua en 0, las dos m´etricas f y f ◦ d son topol´ogicamente equivalentes. Verifiquemos, antes de todo, que m = f ◦ d definida como m(x, y) = f (d(x, y)) es una m´etrica.

UB

1. m(x, y) es positiva por la definici´ on de f . Por ser f creciente tenemos que f (d(x, y)) = 0 implica d(x, y) = 0 con lo cual x = y. Para la rec´ıproca de ´esta afirmaci´ on recordemos que f (0) = 0. 2. La simetr´ıa en m es consecuencia de la simetr´ıa en d.

G. R

3. La desigualdad triangular,

m(x, z) = f (d(x, z)) ≤ f (d(x, y) + d(y, z)) ≤ f (d(x, y)) + f (d(y, z)) = m(x, y) + m(y, z)).

Para verificar que las dos m´etricas nos llevan a la misma topolog´ıa, debemos tener las contenencias entre las respectivas bolas. Como f es continua en 0, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que x < δ implica f (x) < ε. Por tanto d(x, y) < δ implica m(x, y) = f (d(x, y)) < ε, lo cual no es m´as que contenencia entre bolas. Por ser f creciente se verifica que si m(x, y) = f (d(x, y)) < f (ε) entonces d(x, y) < ε, con lo cual tenemos la otra contenencia entre las bolas. A manera de ejemplo, notemos que las funciones αu (para α > 0),

u , 1+u

log(1 + u),

min{1, u},

arctan u

60

Espacios m´etricos

satisfacen las condiciones para f . ¿Qu´e m´etricas son inducidas por estas funciones? Para el caso X = R con la m´etrica usual del valor absoluto, y la funci´on f (u) = arctan u tenemos que su compuesta produce la m´etrica

1

O

f (d(x, y)) = | arctan x − arctan y|.

IA N

Esta nueva m´etrica mide el ´angulo (medido en radianes) entre las rectas desy x critas por la figura —en este caso se restan, pero si x y y tienen diferente signo entonces se suman—. Es una m´etrica acotada por π, y adem´as resulta ser topol´ogicamente equivalente con la usual ya que la funci´on f es continua en 0.

G. R

UB

En el sentido contrario a como hemos desarrollado esta u ´ltima secci´on, obtenemos una pregunta que ha influenciado el desarrollo de la Topolog´ıa: dado un espacio topol´ ogico (X, T) ¿existe una m´etrica d para X tal que la topolog´ıa T sea inducida por d? El estudio de la metrizabilidad, es decir, la b´ usqueda de condiciones necesarias y/o suficientes para que una topolog´ıa provenga de una m´etrica, es un cap´ıtulo abierto a la investigaci´on con sus propios teoremas, algunos de ellos cl´asicos en la literatura matem´atica. Ning´ un espacio topol´ ogico (X, T) donde X es un conjunto finito y T no es la discreta, es metrizable. En otras palabras, si (X, d) es m´etrico con X finito, siempre tenemos que hdi = discreta.

Ejercicios 2.3 1. Muestre que la relaci´ on de equivalencia topol´ogica para las m´etricas es en efecto una relaci´ on de equivalencia. 2. ¿C´omo son las bolas en la m´etrica del mensajero? —ver p´ag. 40—. 3. A partir de la definici´ on de elipse en la m´etrica usual, ¿c´omo es una elipse, una circunferencia, una recta para la m´etrica del taxista?

61

2.3 Topolog´ıa para una m´etrica

4. Dados dos espacios m´etricos (X, m), (Y, n) muestre que las m´etricas d1 , d2 , d∞ (ejercicio 1 de 2.1) son equivalentes. Sugerencia: para todo par de puntos x, y ∈ X × Y se verifica d∞ (x, y) ≤ d2 (x, y) ≤ d1 (x, y) ≤ 2d∞ (x, y). 5. Generalice el problema anterior para un producto finito cualquiera de espacios m´etricos.

O

6. Muestre que toda m´etrica sobre un conjunto finito genera la topolog´ıa discreta.

IA N

7. D´e un ejemplo de una m´etrica sobre un conjunto enumerable que no genera la topolog´ıa discreta.

UB

8. Ya hemos definido la m´etrica d∞ del sup para el conjunto de las funciones continuas C([0, 1], R). Pero la notaci´on nos lleva a conjeturar la existencia de toda la gama de m´etricas dp para p ≥ 1 —notamos C p [0, 1] = ((C[0, 1], R), dp )— que mide la distancia entre dos funciones f, g asign´andoles el n´ umero Z 1  p1 p dp (f, g) := |f (x) − g(x)| . 0

G. R

El estudio de estas m´etricas se sale de las pretensiones de este texto. Pero para el caso concreto de p = 1, 2 muestre que efectivamente se trata de m´etricas y que (a) (b) (c) (d)

hd∞ i * hd2 i. hd2 i ⊆ hd∞ i. hd1 i * hd∞ i. hd∞ i * hd1 i.

Sugerencia caso a: Para la desigualdad triangular en d2 ap´oyese en la desigualdad de Schwartz Z b 2 Z b Z b 2 f (t)g(t)dt ≤ f (t)dt g 2 (t)dt. a

a

a

Para negar la contenencia considere la sucesi´on de funciones continuas {gn } —figura 1.5— definidas como ( 1 − nx si 0 ≤ x ≤ n1 gn (x) = 0 si n1 ≤ x ≤ 1

62

Espacios m´etricos

Note que cada gn tiene un segmento de recta en el eje X cada vez

...... ........... .... ... ...................... ........... .... ... . .. ................. ...... .... .. ...... ... ... .. . .... .. ......... ..... ... .. ... .. ... .... ... ... ... ... .... ... ... ... ... ... .. ... ... ... .... . .. . .... ... .... .... ..... ... . .... .... .... .... . . ... . . ... ... .... ... .... . . ... .. ... ... ... .... . . . ... ... ... .... ..... ... .... .. ... ... ... . ... ... .. .... . . .. ... .. ... ... .. .... ... ... ... ... ... ... .... .... ... ... ... ... ... ... .. ... ... .... ... ... ... ... . ... .... ... ... ... ... .. . . ... .. ... .... . . . ... ... ... ... .. .... .. .. .. ..

1 n

1 1 4 3

IA N

1

O

y

1 2

1

x

Figura 2.8: Las funciones gn .

UB

m´as largo. Es f´acil ver que

r

d2 (0, gn ) =

1 3n

G. R

mientras que d∞ (0, gn ) = 1. Luego la bola B1/2 (0) en d∞ de centro la funci´on nula y con radio 1/2, no contiene a ninguna gn , con lo cual, no existe en d2 alguna bola centrada en la funci´on nula, que pueda estar contenida en B1/2 (0) ya que 1/3n → 0 cuando n → ∞. Sugerencia caso c: tome δ = ε. Sugerencia caso d: considere la sucesi´ on de funciones continuas {gn } definidas como ( 1 −4nx + 4 si 0 ≤ x ≤ 2n gn (x) = 1 2 si 2n ≤ x ≤ 1.

Para la funci´ on constante f (x) = 2 verifique que cada gn ∈ B 11 (f ) y gn ∈ / B1∞ (f ).

n

Esta contenencia no se tiene, pues siempre podemos encontrar funciones g tales que su integral (´area bajo la curva) sea tan peque˜ na como queramos y sin embargo tengan una ‘punta’ tan larga como queramos.

Bases y numerabilidad

O

3

UB

3.1 2-contable

IA N

Un espacio (X, T) puede poseer muchas bases, siendo la mayor de todas la misma T. Cuando en un espacio tenemos en cuenta la cardinalidad de las bases, motivamos las siguientes definiciones, cuyos nombres responden m´as a un car´acter hist´ orico que descriptivo.

Definici´ on 3.1. Un espacio (X, T) se dice 2-contable si entre sus bases existe alguna con un n´ umero enumerable —finito o infinito— de elementos.

G. R

Esta condici´ on impone una cota al n´ umero de abiertos en la topolog´ıa (ver ejercicio 12 de la p´ag. 69). Tambi´en nos dice que la topolog´ıa puede ser descrita en t´erminos de un n´ umero contable de piezas de informaci´on.

EJEMPLO 3.1

Ru es 2-contable. Por supuesto la base formada por todos los intervalos abiertos no es enumerable, pero de ella podemos extraer la subfamilia enumerable B = {(p, q) : p < q, p, q ∈ Q}. Esta subfamilia es de nuevo una base —verif´ıquelo!— y es enumerable ya que su cardinal es el mismo de Q × Q.

EJEMPLO 3.2

(R, cof initos) no es 2-contable. 63

64

Bases y numerabilidad

Supongamos que existiera una base enumerable B S = {B1 , B2 , .T . .}. Cada c =( c Bn es un abierto y por tanto Bnc es finito, con lo cual i=1 B i=1 Bn ) Tn es un conjunto enumerable, luego existe un elemento y ∈ n=1 Bn y como R − {y} es un abierto, debe existir un j ∈ N para el cual Bj est´a contenido en ´el, pero esto es imposible ya que para todo n ∈ N se tiene y ∈ Bn . EJEMPLO 3.3

O

X = (RN , primeriza) no es 2-contable (ver ej. 4 de la p´ag. 41).

G. R

UB

IA N

Recordemos que en este espacio lo que importa es el comportamiento inicial de las sucesiones, a diferencia de lo ‘usual’ en sucesiones, donde importa el comportamiento final. Si existiera una base B = {B1 , B2 , . . .}, por cada n ∈ N tomamos un elemento (i. e., una sucesi´on) tn = (tnk )∞ k=1 ∈ Bn . As´ı, la sucesi´on {tn1 }∞ est´ a formada por la primera coordenada de cada n=1 n sucesi´on t . Construimos ahora una sucesi´ on q = (qn ) en la cual q1 6= tn1 para cada n, con lo que la primera componente de q es diferente de la primera componente de cada una de las sucesiones tn , lo que implica tn ∈ / B1/2 (q) para todo n, puesto que al diferir q y tn en su primera componente, ya est´an lo m´as lejanas posible, esto es d(q, tn ) = 1. As´ı que ninguna Bn de la base puede estar contenida en B1/2 (q). EJEMPLO 3.4

El espacio H de Hilbert es 2-contable. Definimos una base B enumerable de la manera siguiente. S Sea D = Dn , (n ∈ N) donde Dn := {(xn ) ∈ H, xn ∈ Q : si k > n entonces xk = 0}. D est´a constituido de todas las sucesiones en H formadas por n´ umeros racionales y a la larga constantes a cero. D es enumerable. Definimos B := {Br (d) : d ∈ D, r ∈ Q}. B es enumerable. Para verificar que B es una base, probaremos que cualquier abierto U ⊆ H es reuni´ on de bolas en B. En efecto, dado t = (tk ) ∈ U existe una bola Bε (t) ⊆ U . Ahora veamos que podemos encontrar una bola

65

3.2 1-contable

Br (q) (q ∈ D, r ∈ Q) P con la propiedad que t ∈ Br (q) ⊆ Bε (t). Como t ∈ H, sabemos que k=1 t2k es convergente y por tanto existe un t´ermino xN en la sucesi´ on, a partir del cual la suma de la serie es menor que ε2 /9, esto es X t2k < ε2 /9. k=N +1

|qk − tk |
x} es una base local enumerable. Muestre que no es 2-contable. EJEMPLO 3.8

El espacio Tωp del ejemplo 1.11 puede ser generado por una base constituida por dos clases de elementos: cualquier conjunto unitario diferente de {p}, o el complemento de cualquier conjunto finito de puntos. Este espacio falla en ser 1-contable tan solo por uno de sus puntos. Sea X un conjunto no contable y p un elemento elegido en X. Esta topolog´ıa para X no admite una base local enumerable en el punto p —pru´ebelo—. 1 Esta clasificaci´ on se debe al matem´ atico estadounidense Robert L. Moore (Dallas, Texas 1882 -1974 Austin, Texas) en 1916 en su intento por dar fundamento a la topolog´ıa en una serie de axiomas. Moore es reconocido por su manera inusual de ense˜ nar con un m´etodo llamado hoy por su nombre.

67

3.2 1-contable

Definici´ on 3.5. Dados un espacio (X, T) y un cubrimiento abierto U ⊆ T, decimos que D ⊆ U es un subcubrimiento para U si D es de nuevo un cubrimiento abierto de X. —Podemos descartar elementos en U—. Teorema 3.6 (Lindel¨ of2 ). Sea (X, T) un espacio 2-contable. De cada cubrimiento abierto U de X podemos extraer un subcubrimiento contable.

O

Demostraci´on. Sea B = {B1 , B2 , . . .} una base para X. En B consideramos el siguiente subconjunto de ´ındices: S = {n : Bn ⊆ U, alg´ un U ∈ U}.

IA N

Sabemos que la colecci´ on enumerable C = {Bn : n ∈ S} cubre a X, pues dado x ∈ X, existe U ∈ U con x ∈ U . Como B es base, existe Bk ∈ B S con x ∈ Bk ⊆ U , luego k ∈ S y por tanto Bk ∈ C y as´ı x ∈ C.

UB

Por cada n ∈ S elegimos Un ∈ U tal que Bn ⊆ Un . Definimos D —el subcubrimiento contable— como D := {Un : n ∈ S}. Claramente S S C ⊆ D y por tanto D es un cubrimiento de X y D ⊆ U. Demos nombre a la propiedad anterior.

G. R

Definici´ on 3.7. Un espacio (X, T) se dice de Lindel¨ of o w-compacto si cada cubrimiento abierto de X se puede reducir a uno enumerable. EJEMPLO 3.9

(R, coenumerables) es de Lindel¨ of y no es 2-contable. EJEMPLO 3.10

(R, [a, b)) es de Lindel¨ of y no es 2-contable. Dado un intervalo [q, s) con q irracional, solo otro intervalo de la forma q ∈ [q, a) con a < s puede contener al punto q y estar contenido en [q, s). por tanto, toda base debe tener un cardinal mayor o igual al cardinal de los n´ umeros irracionales.

√ 2 2

4

Ernst Leonard Lindel¨ of (1870-1946), matem´ atico finland´es, nacido en Helsinki.

68

Bases y numerabilidad

Corolario 3.8. Si el espacio (X, T) es 2-contable, entonces es de Lindeloff. Corolario 3.9. Sea (X, T) un espacio 2-contable. Entonces cualquier base Q = {Qi : i ∈ I} se puede reducir a una base enumerable. Esto es, no tan solo existe una base enumerable en el espacio, sino que cualquiera se puede reducir a una enumerable.

IA N

O

Demostraci´on. Sea B = {B1 , B2 , . . .} una base para X. S Por ser Q una base, cada elemento Bn ∈ B se puede escribir como Bn = i∈I Qi , (Qi ∈ Q) y esta colecci´ on se puede reducir a una contable para cada Bn , pues dado x ∈ Bn existe Qx ∈ Q tal que x ∈ Bx ⊆ Qx ⊆ Bn . Bx ∈ B y la colecci´on {Bx : x ∈ Bn } es claramente contable y por tanto tambi´en lo es la colecci´on Qn = {Qx : Bx ⊆ Qx }. Al variar n en Bn , obtenemos una colecci´on enumerable de enumerables Qn , la cual es una base.

UB

Ejercicios 3.2 1. Muestre que Run es 2-contable.

G. R

2. Dada Bx = {B1 , B2 , . . .} una base local en x. Muestre que podemos construir {B1∗ , B2∗ , . . .} base local en x, tal que B1∗ ⊇ B2∗ ⊇ · · · , esto es, existe una base local encajada.

3. Muestre que (R, [a, b)) no es 2-contable.

4. Sean T1 , T2 dos topolog´ıas para X tales que T1 ⊆ T2 . Si T2 es 2-contable (Lindeloff) ¿puede inferirse que T1 lo sea?

5. Muestre que la topolog´ıa (X, cof initos) en cualquier espacio m´etrico (X, d) es menos fina que la topolog´ıa inducida por la m´etrica. 6. Muestre que la topolog´ıa (X, cof initos) es la topolog´ıa menos fina que es T1 . 7. ¿(R2 , lexicogr´afico) es 2-contable? 8. (I × I, lexicogr´afico) es 1-contable y no es 2-contable. 9. ¿(R, cof initos) es 1-contable?

10. ¿(N, cof initos) es 2-contable?

69

3.2 1-contable

11. ¿Cu´ales de los espacios considerados en los ejercicios 8, 9, 10 son de Lindel¨of? 12. Si (X, T) es 2-contable entonces |T| ≤ |R| = 2ℵ0 . 13. Si (X, T) es 2-contable y T0 entonces |X| ≤ |R| = 2ℵ0 . 14. Muestre que si el espacio (X, T) es 1-contable y |X| = ℵ0 entonces el espacio es 2-contable.

O

15. El espacio de Arens-Fort (p´ag. 29, ejercicio 15 de 1.3) no es 1contable ya que no es 2-contable. Pru´ebelo!

IA N

16. Muestre que las propiedades 2-contable y 1-contable son hereditarias. 17. Muestre que en espacio m´etrico (X, d) las propiedades de 2-contable y Lindel¨ of son equivalentes.

UB

Sugerencia: para cada n ∈ N, considere el cubrimiento abierto consistente en todas las bolas de radio 1/n. La propiedad de Lindel¨of dice que lo podemos reducir a uno enumerable Bn . Muestre que B = ∪n Bn es una base enumerable.

G. R

18. Muestre que si un espacio tiene un subespacio discreto no contable entonces no es 2-contable. Utilice este resultado para mostrar que (I × I, lexicogr´afico) no es 2-contable. Sugerencia: considere A = {(x, y) : y = 1/2}.

4 Funciones —comunicaciones entre

IA N

O

espacios—

UB

Hasta aqu´ı hemos definido y tenemos lo que podr´ıamos llamar los objetos de nuestra teor´ıa, es decir, as´ı como en la teor´ıa de conjuntos los objetos principales son los conjuntos, no basta el que ellos existan para que la teor´ıa sea valorada: necesitamos contar con un medio o una manera de relacionar los conjuntos entre s´ı, esto es, requerimos las flechas de las funciones, para que as´ı podamos llegar a conceptos como los de cardinalidad, infinito, isomorfismo, producto cartesiano, etc.

G. R

Por tanto necesitamos de flechas o medios de comunicaci´on entre nuestros espacios topol´ ogicos. Como ellos primariamente son conjuntos, nuestras flechas, en su base, ser´an funciones entre estos conjuntos. Pero debemos enriquecerlas en el sentido que tengan en cuenta la estructura topol´ogica adicional que hay en cada espacio; por eso, requerimos funciones con un adjetivo como lo da la siguiente definici´on.

4.1 Funciones continuas Definici´ on 4.1. Sea f : (X, T) −→ (Y, H) una funci´on entre espacios. Dado a ∈ X decimos que f es continua en a si dada una vecindad Vf (a) en Y existe una vecindad Ua en X tal que f (Ua ) ⊆ Vf (a) . Si f es continua en cada punto de X, decimos que f es continua. EJEMPLO 4.1

La definici´on de continuidad del c´alculo coincide con esta definici´on cuando a los n´ umeros reales les damos la topolog´ıa usual. 70

71

4.1 Funciones continuas

La anterior definici´ on —puntual— de continuidad es equivalente a la siguiente definici´on dada exclusivamente en t´erminos de abiertos. Teorema 4.2. f : (X, T) −→ (Y, H) es continua si y solo si para cada V ∈ H se tiene que f −1 (V ) ∈ T, i. e., f −1 (H) ⊆ T.

[ {Ux | x ∈ f −1 (V )}.

IA N

f −1 (V ) =

O

Demostraci´on. ⇒) Sea f continua y V un elemento de H; para ver que f −1 (V ) es abierto, lo expresaremos como una uni´on de abiertos. Sea x ∈ f −1 (V ), por ser f continua existe Ux abierto tal que f (Ux ) est´a contenido en V , luego Ux ⊆ f −1 (V ) y as´ı

⇐) Sean x ∈ X y V ∈ H tales que f (x) ∈ V . Como x ∈ f −1 (V ) ∈ T y f (f −1 (V )) ⊆ V , tenemos que f es continua en x, y como x fue cualquiera, f es continua.

UB

Para verificar la anterior caracterizaci´ on de continuidad es suficiente que −1 verifiquemos la condici´ on f (B) ⊆ T para una base B cualquiera ¿por qu´e?; m´as aun, f −1 (S) ⊆ T de una subbase S cualquiera.

G. R

Por supuesto la continuidad no es algo que dependa exclusivamente de la funci´on en s´ı; las topolog´ıas son determinantes como lo muestran los siguientes ejemplos. EJEMPLO 4.2

1. Cualquier funci´ on f : (X, 2X ) −→ (Y, H) es continua.

2. Cualquier funci´ on f : (X, T) −→ (Y, {∅, X}) es continua.

3. La funci´ on id´entica id : R −→ R, donde las topolog´ıas respectivas son la usual y la de complementarios finitos es una funci´on continua, pero no lo es si invertimos las topolog´ıas. 4. La funci´ on id´entica idX : (X, T) −→ (X, H) es continua si y solo si T es m´as fina que H. 5. Toda funci´ on constante es continua. 6. La funci´ on f (x) = −x es continua para Ru pero no para (R, [a, b)).

K

72

Funciones —comunicaciones entre espacios—

Para el caso de los espacios m´etricos la definici´on de continuidad adopta la siguiente forma, m´as familiar en t´erminos de distancias. Sean (X, d), (Y, m) dos espacios m´etricos. f : X −→ Y es continua en el punto a de X si y solo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que, si x ∈ X satisface d(a, x) < δ entonces m(f (a), f (x)) < ε. En otras palabras, x ∈ Bδd (a) implica f (x) ∈ Bεm (f (a)).

O

Un tipo de continuidad m´as fuerte que la usual se define para los espacios m´etricos de la manera siguiente.

IA N

Definici´ on 4.3. Sean (X, d), (Y, m) dos espacios m´etricos. Una funci´on f : X −→ Y se llama uniformemente continua si para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que si d(x, y) < δ entonces m(f (x), f (y)) < ε. En otras palabras, dado cualquier ε > 0, existe δ > 0 —δ dependiendo

 u ´nicamente de ε, con lo que δ es uniforme para todos los puntos x ∈

EJEMPLO 4.3

UB

X a diferencia de la continuidad usual— tal que para cualquier x ∈ X, f (Bδ (x)) ⊆ Bε (f (x)).

G. R

Sean (X, d), (Y, m) dos espacios m´etricos. f : (X, d) −→ (Y, m) se llama Lipschitziana con factor de contracci´ on k si para todo par de puntos x, y ∈ X se tiene m(f (x), f (y)) ≤ k d(x, y) con k > 0.

f es uniformemente continua. Dado ε > 0 tomemos δ = ε/k. Para d(x, y) < δ se tiene que m(f (x), f (y)) ≤ kd(x, y) < kδ < ε. Si k = 1, esto es, m(f (x), f (y)) = d(x, y) decimos que f es una isometr´ıa —es continua e inyectiva—. Si f es sobreyectiva entonces f −1 es una isometr´ıa con lo que los espacios resultan homeomorfos. EJEMPLO 4.4

Por supuesto toda funci´ on uniformemente continua es continua. Pero lo contrario no se tiene: Una funci´on tan simple como f : Ru −→ Ru definida por f (x) = x2 es continua pero no lo es uniformemente. En efecto, para ε = 1 no existe

73

4.1 Funciones continuas

δ tal que |x − y| < δ implique |x2 − y 2 | < 1 para todo par x, y; por 1 δ 1 ejemplo para x = + , y = . Pero si x2 es restringida a un intervalo δ 2 δ cerrado y acotado [−A, A] entonces s´ı es uniformemente continua, pues ε implica |x − y| < 2A + 1 |x2 − y 2 | = |x + y||x − y| ≤ 2A

ε 0 encontremos δ > 0 tal que si d(x, y) < δ entonces |d(x, A) − d(y, A)| < ε. Para esto es suficiente probar que para cada par de puntos x, y ∈ X se tiene |d(x, A) − d(y, A)| ≤ d(x, y), con lo cual δ = ε satisface la condici´ on —tenemos una contracci´on—. d(x, A) = inf{d(x, a) | a ∈ A} ≤ inf{d(x, y) + d(y, a) | a ∈ A} = d(x, y) + inf{d(y, a) | a ∈ A} = d(x, y) + d(y, A),

74

Funciones —comunicaciones entre espacios—

invirtiendo los papeles de x y y obtenemos d(y, A) ≤ d(x, y) + d(x, A) con lo cual d(x, A) − d(y, A) ≤ d(x, y)

d(y, A) − d(x, A) ≤ d(x, y)

y

lo que implica |d(x, A) − d(y, A)| ≤ d(x, y). EJEMPLO 4.6

O

Dado (X, d), la funci´ on d : X × X −→ R es uniformemente continua cuando a X × X lo dotamos de la m´etrica

para x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ).

IA N

d∞ (x, y) = max{d(x1 , y1 ), d(x2 , y2 )}

En efecto, dado ε > 0 tomemos δ = ε/2. Si d∞ (x, y) < δ esto implica que d(x1 , y1 ) < δ, d(x2 , y2 ) < δ. Como d(x1 , x2 ) ≤ d(x1 , y1 ) + d(y1 , y2 ) + d(y2 , x2 ) entonces

UB

d(x1 , x2 ) − d(y1 , y2 ) ≤ d(x1 , y1 ) + d(x2 , y2 ) < 2d∞ (x, y) < 2δ = ε. Similarmente d(y1 , y2 ) − d(x1 , x2 ) < ε, con lo cual, |d(x1 , x2 ) − d(y1 , y2 )| < ε.

G. R

EJEMPLO 4.7

R R En (C(I, R), sup) la funci´ on I : C(I, R) −→ R definida por I (f ) = R1 0 f (t)dt es uniformemente continua. En efecto, basta verificar la siguiente desigualdad que muestra que tenemos una contracci´on, Z Z Z Z f − g ≤ |f − g| ≤ kf − gk∞ = kf − gk∞ . I

I

I

I

EJEMPLO 4.8

La funci´ on f : (R, (a, b]) −→ (R, usual) descrita en la figura es continua. Si en el dominio tuvi´eramos la topolog´ıa usual, ella es un cl´asico de no continuidad en un punto.

75

4.1 Funciones continuas

EJEMPLO 4.9

M´ etricas ex´ oticas para R. Sean X un conjunto y (Y, m) un espacio m´etrico. Dada una funci´ on inyectiva f : X −→ Y , definimos una m´etrica ∗ d llamada la m´etrica inducida por la funci´on f como d∗ (x, y) := m(f (x), f (y)),

IA N

O

la cual hace de f una isometr´ıa; si f es sobre entonces tanto f como f −1 resultan ser continuas. Para el caso X = Y = R y m = usual, obtenemos m´etricas ex´oticas seg´ un consideremos a f . Por ejemplo, d∗ (x, y) =| arctag(x) − arctg(y) |, | ex − ey |, o en el caso de considerar R>0 obtenemos | 1/x − 1/y |. Pero ¿cu´ales de estas m´etricas resultan equivalentes a la usual?

UB

Si f : (X, d) −→ (Y, m) es un homeomorfismo —f es biyectiva y tanto f como f −1 son continuas— entonces la m´etrica d∗ (x, y) := m(f (x), f (y)) es equivalente a la m´etrica d. Para ello basta ver que la funci´on identidad idX : (X, d) −→ (X, d∗ ) es un homeomorfismo —ejercicio 4 p´ag. 75—.

f

(X, d)

- (Y, m)

@

f −1

@

idX @

@ R @

?

(X, d∗ )

G. R

En el caso de la funci´ on tan : (−π/2, π/2) −→ R y su inversa arctan, obtenemos que la m´etrica usual es equivalente a la m´etrica d∗ (x, y) = | arctan(x) − arctan(y) | (ver p´agina 60). De manera similar para | ex − ey |.

Ejercicios 4.1

1. La compuesta de funciones continuas es continua. 2. Muestre que f : (X, T) −→ (Y, H) es continua si f −1 (B) ⊆ T para una base B ⊆ H. 3. En Ru muestre la continuidad de f : R −→ R, f (x) = x2 observando c´omo es f −1 ((a, b)). 4. Sean (X, d), (X, m) dos espacios m´etricos. Muestre que d y m son topol´ ogicamente equivalentes si y solo si las funciones identidad idX : (X, d) −→ (X, m) y idX : (X, m) −→ (X, d) son continuas.

76

Funciones —comunicaciones entre espacios—

5. Si X, Y tienen la topolog´ıa de los cofinitos, f : X −→ Y no constante es continua si y solo si f tiene fibras finitas. 6. Si X, Y tienen la topolog´ıa del punto incluido, f : X −→ Y es continua si y solo si f preserva los puntos incluidos. 7. Sea (X, J ) un espacio para el cual toda f : (X, J ) −→ Ru es continua. Muestre que J es la discreta.

IA N

O

8. Decimos que una funci´ on f : X −→ Y entre espacios es abierta (cerrada) si la imagen de un subconjunto abierto (cerrado) es un abierto (cerrado) en Y . D´e ejemplos de funciones abiertas que no sean continuas, de funciones continuas que no sean abiertas, de funciones continuas y abiertas, de funciones ni continuas ni abiertas. Sugerencia: considere las proyecciones de R2u en Ru .

UB

9. Sean X, Y conjuntos linealmente ordenados. Toda f : X −→ Y estrictamente creciente —x < y implica f (x) < f (y)— y sobreyectiva es continua.

4.2 La categor´ıa Top

G. R

Las definiciones de espacio topol´ ogico y funci´on continua satisfacen los siguientes numerales: 1. Se defini´o una clase de objetos Top, llamada los espacios topol´ogicos. 2. A cada par de objetos —espacios topol´ogicos— le hemos definido un conjunto M or(X, Y ) = {f | f : (X, T) −→ (Y, H) es continua }

llamado el conjunto de las flechas o el conjunto de los morfismos de X en Y . 3. Dados X, Y, W en Top existe una ley de composici´on M or(X, Y ) × M or(Y, W ) −→ M or(X, W ) definida por (f, g) 7→ g◦f. Adem´as 1, 2 y 3 satisfacen: 4. h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f —asociatividad—.

77

4.2 La categor´ıa Top

5. Dado X en Top, existe la funci´ on id´entica idX ∈ M or(X, X) la cual es una flecha y satisface f ◦ idX = f, idX ◦ g = g cada vez que las composiciones sean posibles. Estas propiedades las podemos generalizar para llegar al concepto de categor´ıa.

O

Definici´ on 4.4. Una categor´ıa (O, M)consiste en una colecci´on O llamada los objetos de la categor´ıa, y de una colecci´on M de conjuntos cuyos elementos se llaman los morfismos o las flechas de la categor´ıa, con la propiedad que para cada par de objetos A, B ∈ O existe un conjunto M or(A, B) ∈ M que satisface:

IA N

1. Para cada tr´ıo A, B, C de objetos existe la composici´on de morfismos denotada por ◦ tal que si f ∈ M or(A, B), g ∈ M or(B, C) entonces g ◦ f ∈ M or(A, C). 2. Dados los morfismos f, g, h entonces h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f cada vez que la composici´ on est´e definida.

EJEMPLO 4.10

UB

3. Para cada objeto A ∈ O existe un morfismo identidad idA ∈ M or(A, A) con la propiedad que es neutro para la operaci´on de composici´on.

G. R

1. La clase de todos los conjuntos y las funciones entre conjuntos es una categor´ıa. 2. La clase de todos los grupos y los homomorfismos de grupos es una categor´ıa. 3. Dado un conjunto X y un orden parcial ≺ sobre X, si tomamos como objetos los elementos de X y como morfismos M or(x, y) el conjunto unitario, o el conjunto vac´ıo, seg´ un sea que x est´e o no relacionado con y, obtenemos una categor´ıa.

El concepto de categor´ıa puede ser visto como una abstracci´on a las propiedades compartidas por una gran variedad de sistemas en matem´aticas. Ha llegado a ser tambi´en un ´area de las matem´aticas puras con su propio inter´es. Brevemente, una ‘categor´ıa’ es un campo del discurso matem´atico, caracterizado de una manera muy general y por lo tanto su teor´ıa puede ser utilizada como un conjunto de herramientas que pueden atravesar un espectro muy amplio de la vida matem´atica.

K

78

Funciones —comunicaciones entre espacios—

4.3 Propiedades heredables Cuando una propiedad del espacio tambi´en pasa a los subespacios, decimos que la propiedad es hereditaria; por ejemplo, la propiedad de poseer una base enumerable es hereditaria, al igual que poseer una base enumerable en un punto. Otro ejemplo de una propiedad que se hereda a los subespacios es la metrizabilidad.

O

Proposici´ on 4.5. Si (X, T) es un espacio metrizable, entonces para cada A ⊆ X la topolog´ıa TA de subespacio es de nuevo metrizable.

UB

IA N

Demostraci´on. Sea d : X × X −→ R una m´etrica que genera la topolog´ıa T; la restricci´on d|A×A de d al subconjunto A × A es una m´etrica. Para ver que la topolog´ıa generada por d|A×A coincide con la topolog´ıa TA de subespacio, basta notar que un abierto V deSTA es de la forma V = U ∩ A donde U es un abierto de T, esto es, U = i∈I Bi donde cada Bi es una bola para la m´etrica d, con lo cual U ∩ A = (∪i∈I Bi ) ∩ A = ∪i∈I (Bi ∩ A).

G. R

Dado x ∈ Bε (y) ∩ A tomando δ = min{d(x, y), ε − d(x, y)} tenemos d| Bδ A×A (x) ⊆ Bε (y) ∩ A; luego las bolas abiertas en d|A×A son base para la topolog´ıa inducida TA . EJEMPLO 4.11

Si X es un espacio discreto —grosero— entonces cualquier A ⊆ X hereda la discreta —grosera— como la topolog´ıa de subespacio, pues dado a ∈ A el conjunto {a} = A ∩ {a} es un abierto de la topolog´ıa inducida.

EJEMPLO 4.12

Sea (X, T) un espacio y (A, TA ) un subespacio de X. La funci´on inclusi´on i : A ,→ X con i(x) = x es una funci´ on continua, pues claramente si U es abierto de X, i−1 (U ) = U ∩ A que es la forma como hemos definido los abiertos. Nota. Parece que la topolog´ıa de subespacio de A fuese expresamente K definida para hacer la funci´ on inclusi´ on cont´ınua de la mejor manera — ¿por qu´e?—.

79

4.3 Propiedades heredables

Ejercicios 4.3 1. ¿Cu´ales de las siguientes propiedades son hereditarias: discreto, 1contable, 2-contable, T1 , Hausdorff, convergencia trivial, convergencia u ´nica, Alexandroff?

G. R

UB

IA N

O

2. Teorema del pegamiento. Sean (X, T) y A, B cerrados en X. Si f : A −→ Y , g : B −→ Y son funciones continuas tales que f |A∩B = g |A∩B entonces h : A ∪ B −→ Y es continua.

O

5 Filtros, convergencia y continuidad

IA N

Los conceptos de filtro1 y ultrafiltro aparecen en un espectro amplio de ramas de la matem´atica: teor´ıa de modelos, topolog´ıa, ´algebra combinatoria, teor´ıa de conjuntos, l´ ogica, etc. En esta secci´on estudiamos su relaci´on con la topolog´ıa y en especial con el concepto de convergencia.

UB

5.1 Filtros

G. R

Recordemos que el conjunto V(x) de las vecindades de un punto x en un espacio (X, T) satisface las propiedades: 1) La intersecci´on de dos vecindades es una vecindad —cerrado para intersecciones finitas— 2) Si Vx es una vecindad de x entonces cualquier conjunto W tal que Vx ⊆ W es de nuevo una vecindad —cerrado para superconjuntos—. La siguiente definici´ on, que se debe a H. Cartan en 1937, es dada en el esp´ıritu de estas dos propiedades. Definici´ on 5.1. Dado un conjunto X, un filtro F para X es una colecci´on, no vac´ıa, de subconjuntos, no vac´ıos, de X tal que: 1. Si F1 , F2 ∈ F entonces F1 ∩ F2 ∈ F,

2. Si F ∈ F y F ⊆ G entonces G ∈ F.  Si permitimos que ∅ ∈ F obtenemos

℘(X) o el filtro impropio.

1

Para el estudio de la convergencia en los espacios topol´ ogicos en general, las sucesiones ordinarias (i. e., funciones definidas sobre los n´ umeros naturales) son demasiado restrictivas. Hoy en d´ıa existen dos generalizaciones, una es el concepto de filtro, introducido por Henri Cartan, la otra es el concepto de red, introducido por Moore y Smith. Las dos teor´ıas son equivalentes, pero si uno aprende la de filtros, estoy seguro que todo mundo estar´ a de acuerdo que esta es de lejos la manera m´ as natural y elegante de hacer las cosas.

80

81

5.1 Filtros

EJEMPLO 5.1

Dados un espacio (X, T) y un punto x ∈ X, el conjunto V(x) de las vecindades de x es un filtro para X.

5.1.1 Base de filtro

O

Definici´ on 5.2. Dado un filtro F decimos que B ⊂ F es una base de filtro para F si dado F ∈ F existe B ∈ B tal que B ⊆ F .

IA N

Usualmente los filtros se definen dando tan solo algunos de sus elementos, a partir de los cuales los dem´as pueden obtenerse por la contenencia de la propiedad 2 de la definici´ on 5.1, i. e., los elementos del filtro son los superconjuntos de los elementos de la base. La definici´on de base de filtro no es puntual, como en el caso de la definici´on de base para una topolog´ıa.

UB

Teorema 5.3. B ⊆ 2X es una base para un u ´nico filtro F de X si y s´olo si satisface: 1. ∅ ∈ / B y B 6= ∅,

G. R

2. Si B1 , B2 ∈ B entonces existe B3 ∈ B con B3 ⊆ B1 ∩ B2 .

Al filtro F lo denotamos como F = hBi y lo llamamos el filtro generado por B. Es el filtro m´as peque˜ no que contiene a B.

Demostraci´on. Definimos

F := {F ⊆ X | B ⊆ F para alg´ un B ∈ B} = h B i.

F es el conjunto de todos los superconjuntos de los elementos en B. Que F es un filtro es inmediato. Si G tambi´en tiene como base a B, entonces es claro que G est´a contenido en F. Para la otra contenencia notemos que B ⊆ G. Luego dado F ∈ F sabemos que existe B ∈ B ⊆ G tal que B ∈ F con lo cual F ∈ G por ser G un filtro. La condici´ on 2 garantiza que la colecci´on B cumple: la intersecci´on finita de elementos de la familia nunca es vac´ıa —propiedad de la intersecci´on finita PIF—. Inversamente, cualquier familia S de subconjuntos de X que

82

Filtros, convergencia y continuidad

satisface la PIF es por definici´ on una subbase para un filtro F en el sentido que la familia S junto con todas las intersecciones finitas de sus miembros forma una base de filtro. Esta condici´ on dice tambi´en que una base de filtro con la relaci´on ⊇ es un conjunto dirigido2 . EJEMPLO 5.2

O

1. Sea A ⊆ X. B = {A} es una base de filtro. El filtro generado FhAi = hA i se llama filtro principal asociado a A. El caso en que A = {a} —un conjunto unitario— es un ejemplo interesante.

IA N

2. Para un punto x en un espacio, el conjunto de las vecindades abiertas es una base de filtro para el filtro V(x). N´otese que V(x) ⊆ hxi. 3. Sea B ⊆ 2N el conjunto de las colas de N, esto es

UB

B := {Sn | n ∈ N} con Sn := {n, n + 1, . . .}. El filtro generado se llama filtro de Fr` echet. 4. En un conjunto infinito X, Fc = {A ⊆ X | Ac es finito} es el filtro de los complementos finitos.

G. R

5. En R la colecci´ on de las colas a derecha abiertas tiene la PIF.

Nota. An´alogo a como sucede con las bases en los espacios topol´ogicos, es de esperarse que existan bases de filtro que generen un mismo filtro; en tal caso, tambi´en es u ´til definir una relaci´ on de equivalencia. Definici´ on 5.4. Sean X 6= ∅ y B1 , B2 dos bases de filtro en X. Decimos que son equivalentes si hB1 i = hB2 i —las notamos B1 ≡ B2 —. El ejemplo siguiente nos muestra que a cada filtro corresponde un espacio topol´ogico el cual no puede ser de Hausdorff —¿por qu´e?—. 2 Un conjunto dirigido (D, 6) es un conjunto parcialmente ordenado con la propiedad adicional que para cada par de puntos a, b ∈ D existe un elemento c ∈ D que los supera, i. e., a 6 c y b 6 c. En particular, todo conjunto totalmente ordenado es un conjunto dirigido. Un ejemplo importante de conjunto dirigido es, el conjunto de las vecindades de un punto x en un espacio topol´ ogico, dotado de la relaci´ on de inclusi´ on ⊇ donde un conjunto se dir´ a ’mayor´ que otro si est´ a incluido en ´el. Los conjuntos dirigidos son importantes, entre otras cosas, porque dan origen al concepto de red, una generalizaci´ on al concepto de sucesi´ on.

83

5.2 Ultrafiltros

EJEMPLO 5.3

Dado un filtro F en X, T = F ∪ {∅} es una topolog´ıa —filtrosa—. En general, si F, G son dos filtros sobre X tales que F ⊆ G, decimos que G es m´as fino que F —este concepto corresponde al de subsucesi´on. Esta relaci´on define un orden parcial sobre el conjunto F il(X) de todos los filtros sobre X, y por supuesto tendremos derecho de hablar de todas las definiciones conexas a un orden.

5.2 Ultrafiltros

IA N

O

En particular F il(X) es inductivo, esto es, toda cadena tiene una cota superior —¿por qu´e?— luego ser´a posible ‘zornificar’ como en el teorema 5.6. Si admitimos el filtro impropio ℘(X) (a los dem´as filtros los llamamos propios) entonces F il(X) resulta ser un ret´ıculo completo.

UB

Definici´ on 5.5. Dado un conjunto X, un ultrafiltro U para X es un elemento maximal de F il(X); esto es, ning´ un filtro es m´as fino que U.

G. R

Teorema 5.6. Dado un filtro F en X, existe un ultrafiltro U en X tal que F ⊆ U. Demostraci´on. (Usaremos el lema de Zorn: ‘Si (P, ≺) es un conjunto parcialmente ordenado, con la propiedad que cada cadena —una cadena es un subconjunto de P que sea totalmente ordenado por ≺— tiene una cota superior en P , entonces P tiene un elemento maximal’). Sea M = {G | F ⊆ G y G un filtro en X}.

M se Sordena por la inclusi´ on. Sea H una cadena en M. Si definimos H = M, i. e., H es la reuni´ on de todos los filtros que est´an en M, vemos que H es un filtro y es cota superior para M; luego, aplicando el lema de Zorn, existe un elemento maximal U en M, es decir U es maximal en el conjunto de los filtros que contienen a F, por tanto es un ultrafiltro. Si A ⊆ X con A = {a}, el filtro generado por A es un ultrafiltro llamado principal o fijo (los otros ultrafiltros se llaman no principales o libres). Fuera de este ejemplo no conocemos m´as ultrafiltros de manera concreta; los dem´as tendr´an la garant´ıa de existir pero no los conoceremos.

84

Filtros, convergencia y continuidad

¿C´omo podemos reconocer si un filtro dado es un ultrafiltro? Proposici´ on 5.7. Un filtro U en X es un ultrafiltro si y solo si dado A ⊆ X entonces A ∈ U o Ac ∈ U. Demostraci´on. ⇐) Si F es un filtro tal que U ⊆ F, debemos mostrar que U = F. Si existiera F ∈ F tal que F ∈ / U entonces F c ∈ U y por tanto c F ∈ F, lo cual implica que ∅ ∈ F.

B := {F ∩ A | F ∈ U}

O

⇒) Supongamos que existe A tal que A ∈ / U y Ac ∈ / U. La colecci´on

IA N

es una base de filtro en X, pues se tiene la PIF y si F ∩ A = ∅ para alg´ un c c F esto implica F ⊆ A y por tanto A ∈ U. El filtro G = hBi contiene a U y es m´as fino ya que A ∈ G, lo cual contradice que U es un ultrafiltro. Proposici´ on 5.8. Sean U un ultrafiltro en X y A, B ⊆ X. Si A ∪ B ∈ U entonces A ∈ U o B ∈ U.

UB

Demostraci´on. Si B ∈ U hemos terminado. Supongamos entonces que B ∈ / U y veamos que necesariamente A ∈ U. Si sucede que A ∈ / U, entonces F := {M ⊆ X | A ∪ M ∈ U}

G. R

es un filtro en X m´as fino que U y estrictamente m´as fino ya que B ∈ F. La anterior demostraci´ on nos indica una manera de crear nuevos filtros K a partir de uno ya conocido y, de paso, refinarlo al tomar un elemento que no est´e en ´el. EJEMPLO 5.4

El filtro de Fr`echet en N no es un ultrafiltro, pues N = P ∪ I —los pares unidos con los impares— y tanto P como I no est´an en Fr`echet. Proposici´ on 5.9. Un filtro F en X es la intersecci´on de todos los ultrafiltros en X que lo contienen. Demostraci´on. Sea D la colecci´ on de todos los ultrafiltros que contienen a F. Dado A ∈ ∩D veamos que A ∈ F. Si A ∈ / F entonces Ac ∩ F 6= ∅ para todo F ∈ F, luego existe un ultrafiltro D para el cual Ac ∈ D con lo que A ∈ / D, y esto contradice que A ∈ ∩D.

85

5.2 Ultrafiltros

Si un ultrafiltro U contiene al filtro Fc de los cofinitos entonces U es no principal o libre. Lo interesante es anotar que este es el u ´nico tipo de ultrafiltro libre. Teorema 5.10. Sea U un ultrafiltro sobre un conjunto infinito X. Entonces Fc ⊆ U o U es principal. Demostraci´on. Si no se tiene la contenencia, existe A ∈ / U con A ∈ Fc . Como Ac es finito y Ac ∈ U existe x ∈ Ac con {x} ∈ U y as´ı U es principal.

IA N

O

Si U no es principal, para {x}c ∈ U. Dado A ∈ Fc , T todoc x ∈ X tenemos c la intersecci´on finita A = {{x} : x ∈ A } est´a en U.

Ejercicios 5.2

UB

1. Muestre que un filtro F sobre X es una familia de subconjuntos no vac´ıos de X que satisface la condici´on A ∩ B ∈ F ⇔ A ∈ F y B ∈ F.

G. R

2. Dado un conjunto ordenado (X, ≺) las colas x ↑= {y : x  y} son una base de filtro en X.

3. Dado un conjunto infinito X, sea X + = X ∪ {ω} con ω ∈ / X. Dado un filtro F sobre X muestre que (a) T(F) := 2X ∪ {F ∪ {ω} | F ∈ F} es una topolog´ıa para X + .

(b) ¿Qui´en es V(x) para cada x ∈ X? (c) ¿Qui´en es V(ω)?

(d) Muestre que si F1 ⊆ F2 entonces T(F1 ) ⊆ T(F2 ). 4. ¿Tiene la anterior construcci´ on alguna relaci´on con el espacio de Arens-Fort? (P´ag. 29). 5. Dados un conjunto X y p ∈ X, muestre que para cada ultrafiltro U en X la siguiente familia de subconjuntos define una topolog´ıa G(p, U) := 2X−{p} ∪ U.

86

Filtros, convergencia y continuidad

6. Sea F un filtro sobre X y A ⊆ X. Muestre que la traza de X sobre A, esto es, F ∩ A := {F ∩ A | F ∈ F} es una base de filtro en A si y solo si cada F ∩ A 6= ∅. ¿C´omo es la relaci´on de contenencia entre estos filtros? (creando nuevos filtros). 7. * Sea U un ultrafiltro en un conjunto X. Si T ⊆ X y T ∩ S 6= ∅ para todo S ∈ U entonces T ∈ U.

O

8. Sea U un ultrafiltro en X. Si un miembro de U es particionado en finitas partes entonces una de las partes pertenece a U.

IA N

9. * Muestre que U ⊆ 2X es un ultrafiltro en un conjunto X si y solo si U es maximal en (2X , ⊆) con respecto a la PIF. 10. * Muestre que si un ultrafiltro posee un conjunto finito, entonces es principal.

UB

11. Encuentre —construya— un filtro en N m´as fino que el filtro de Fr´echet. 12. * Consulte una demostraci´ on de la afirmaci´on: existe un n´ umero no contable de ultrafiltros m´as finos que el filtro de Fr´echet en N.

G. R

13. Muestre que la intersecci´ on de filtros es un filtro. 14. Sea f : X −→ Y una funci´ on sobreyectiva y F un filtro sobre Y . Muestre que f ∗ (F) := {f −1 (A) : A ∈ F} es un filtro sobre X.

5.3 Sucesiones Recordemos que una funci´ on f : N −→ X se llama una sucesi´ on en X y la denotamos por (xn ) donde xn = f (n). Definici´ on 5.11. Sean X un espacio y (xn ) una sucesi´on en X. La sucesi´on converge a un punto x ∈ X, i. e., xn → x si dada cualquier vecindad Vx , existe k ∈ N tal que si m ≥ k entonces xm ∈ Vx —a la larga o finalmente todos los t´erminos de la sucesi´ on est´an en la vecindad—.

87

5.3 Sucesiones

Si una sucesi´ on converge a un punto x, cualquier vecindad del punto es un superconjunto para alguna cola de la sucesi´on. Es como si las colas fuesen una base para un filtro m´as fino que las vecindades de x.

EJEMPLO 5.5

O

En R con la topolog´ıa cofinita casi todas las sucesiones convergen, las u ´nicas sucesiones no convergentes son las sucesiones en las cuales existe m´as de un punto que se repite de manera infinita —existe m´as de una subsucesi´on constante—.

IA N

EJEMPLO 5.6

EJEMPLO 5.7

UB

En (R2 , lexi) la sucesi´ on ( n1 , n12 ) no converge al punto (0, 0). Para que una sucesi´on converja a (0, 0), debe hacerlo a lo largo de una recta vertical que pase por (0, 0).

El espacio del disco tangente, plano de Moore o semiplano de Niemytzki, se debe a Niemytzki, 1928 (ver fig. 5.1).

G. R

Sea P = {(x, y) | y > 0} ⊆ R2 dotado de la topolog´ıa T de subespacio. Denotemos por L = {(x, 0) | x ∈ R} al eje real. Definimos una topolog´ıa T ∗ para X = P ∪ L a˜ nadiendo a T los conjuntos de la forma {a} ∪ D donde a ∈ L y D es un disco abierto en P , el cual es tangente a L justamente en el punto a. Notemos que (X, usual) ⊆ (X, T ∗ ) donde la usual es la de subespacio de R2 . La sucesi´on yn = ( n1 , 0), que en R2u es convergente al punto (0, 0) no lo es en el semiplano de Niemytzki. Una sucesi´on para poder converger a (0, 0) debe ‘aproximarse’ por ‘dentro’ de un disco. Definici´ on 5.12. Decimos que el espacio X es de convergencia u ´nica si dada cualquier sucesi´ on (xn ) que converge, ella lo hace a un u ´nico punto. Proposici´ on 5.13. Si X es un espacio de Hausdorff entonces X es de convergencia u ´nica. Demostraci´on. Si (xn ) converge tanto a x como a y para x, y ∈ X, por ser X de Hausdorff existen Vx , Vy con Vx ∩ Vy = ∅. Pero de otra parte, casi

88

Filtros, convergencia y continuidad

O

•

IA N

Figura 5.1: La topolog´ıa del disco tangente.

toda (xn ) est´a en Vx y casi toda (xn ) est´a en Vy , y esto no puede suceder a menos que x = y.

UB

El rec´ıproco de la proposici´ on anterior no se tiene —¿puede dar un ejemplo?— a menos que el espacio sea 1-contable.

G. R

Proposici´ on 5.14. Sea X un espacio 1-contable. Si X es de convergencia u ´nica entonces X es de Hausdorff. Demostraci´on. Si X no es de Hausdorff existen x, y ∈ X tales que para todo par Vx , Vy tenemos Vx ∩ Vy 6= ∅. En particular para las bases locales enumerables Bx = {B1x , B2x , . . .}, By = {B1y , B2y , . . .} tenemos Bnx ∩Bny 6= ∅ para cada n. Por cada n ∈ N elegimos xn ∈ Bnx ∩ Bny (podemos suponer que cada una de estas dos bases locales est´a encajada —¿por qu´e?—) lo cual nos produce una sucesi´ on (xn ) que converge tanto a x como a y, y nos contradice la convergencia u ´nica. Definici´ on 5.15. Un espacio (X, T) se dice de convergencia trivial si las u ´nicas sucesiones convergentes son las sucesiones a la larga constantes; es decir, no convergen sino las inevitables.

EJEMPLO 5.8

Un espacio discreto es de convergencia trivial.

89

5.3 Sucesiones

EJEMPLO 5.9

El espacio de Arens-Fort X = (N × N) ∪ {w} (p´ag. 29) es un espacio de convergencia trivial: 1. Ninguna sucesi´ on puede converger a un punto de N × N a menos que a la larga sea constante, ya que para estos puntos los conjuntos unitarios son abiertos.

IA N

O

2. Ninguna sucesi´ on puede converger a w. Si xn → w entonces cada fila contendr´a, a lo m´as, finitos t´erminos de la sucesi´on. Excluyendo estos t´erminos en cada una de las filas, obtenemos un conjunto abierto que contiene a w y no contiene los t´erminos de la sucesi´on.

UB

Por supuesto, este espacio no es discreto y adem´as no es 1-contable precisamente en el punto w, pues de existir una base local Bw = {B1 , B2 , . . .}, por cada i ∈ N existe xi = (mi , ni ) ∈ Bi con mi , ni > i; esto es, cada elemento de la base posee un punto tan arriba y tan a la derecha de la diagonal como queramos. Luego el conjunto Uw = (X − {xi | i ∈ N}) ∪ {w} es un abierto y por supuesto ning´ un Bn satisface Bn ⊆ Uw . Las funciones continuas tienen la propiedad que respetan la convergencia en el sentido de la siguiente proposici´ on.

G. R

Proposici´ on 5.16. Sea f : (X, T) −→ (Y, H) una funci´on continua entre espacios. Si xn → x entonces f (xn ) → f (x). Demostraci´on. Si (f (xn )) no converge a f (x), existe Vf (x) tal que para infinitos n ∈ N, f (xn ) ∈ / Vf (x) ; luego no existir´ıa Vx tal que f (Vx ) ⊆ Vf (x) , puesto que cada Vx contiene a partir de alg´ un xk todos los dem´as t´erminos de la sucesi´on.

Cuando una funci´ on f satisface la propiedad de la proposici´on anterior se llama secuencialmente continua o continua por sucesiones. Para los espacios m´etricos tenemos la siguiente caracterizaci´on de la continuidad. Teorema 5.17. Una funci´ on f : (X, d) −→ (Y, m) entre espacios m´etricos es continua si y solo si dada xn → x entonces f (xn ) → f (x). Demostraci´on. Por el teorema anterior basta probar que si la condici´on se tiene para f entonces f es continua. Si f no fuera continua, existir´ıa un

90

Filtros, convergencia y continuidad

punto x ∈ X y una vecindad Vf (x) de f (x) para la cual no existe Vx con f (Vx ) ⊆ Vf (x) . En otras palabras, ninguna bola Bε (x) satisface que f (Bε (x)) ⊆ Vf (x) , luego para cada n ∈ N existe un elemento xn de X tal que xn ∈ B1/n (x) y f (xn ) ∈ / Vf (x) . Claramente, para la sucesi´on as´ı definida tenemos que xn → x, y de otra parte Vf (x) no contiene a ning´ un f (xn ), lo que niega la propiedad.

O

En la demostraci´ on anterior lo realmente b´asico para esta caracterizaci´on de continuidad es el hecho de que en (X, d) existe una base local contable en cada punto, i.e., 1-contable; luego podemos generalizar el teorema anterior.

IA N

Teorema 5.18. Para los espacios 1-contable, la continuidad secuencial es equivalente a la continuidad en general.

EJEMPLO 5.10

UB

Demostraci´on. Como el espacio de dominio de la funci´on es 1-contable, por cada x ∈ X existe Bx = {B1 , B2 , . . .}, base local encajada para el punto x. Para ella razonamos como en el teorema anterior y extraemos la sucesi´on (xn ) conveniente.

G. R

La identidad idR : (R, coenumerables) −→ (R, usual) es secuencialmente continua pero no es continua. ¿Qu´e sucesiones convergen en (R, coenumerables)? La siguiente definici´ on extiende la noci´ on de convergencia hasta el concepto de filtro. Definici´ on 5.19. Sea F un filtro en (X, T). Decimos que F converge al punto x ∈ X si F es m´as fino que el filtro de vecindades de x. Lo notamos F → x. EJEMPLO 5.11

1. Si X es un espacio y x ∈ X, el filtro principal Fx → x. Si X tiene la topolog´ıa discreta, Fx converge no solo a x sino a cualquier otro punto. 2. En Ru el filtro Fcof initos no converge, pues todo punto tiene vecindades que no pertenecen al filtro.

91

5.3 Sucesiones

Nota. En un espacio m´etrico (X, d) la topolog´ıa generada por la m´etrica puede describirse completamente en t´erminos de la convergencia de sucesiones; esto es, un subconjunto A ⊆ X es cerrado si y solo si, dada (xn ) una sucesi´on de puntos en A con xn → x, entonces debemos tener que x ∈ A. Este resultado no se generaliza a espacios topol´ogicos arbitrarios. Por ejemplo el conjunto A = (0, 1) no es cerrado en (R, coenumerables) y sin embargo satisface la propiedad, i. e., toda sucesi´on en A que es convergente lo hace a un punto en A —solo convergen las sucesiones constantes—.

IA N

O

En los espacios topol´ ogicos, en general, no podemos caracterizar el ser de Hausdorff —al menos sobre los que no son 1-contable— en t´erminos de la convergencia usual de sucesiones. Necesitamos entonces de un mecanismo de convergencia no en t´erminos de sucesiones. Veremos que los filtros nos proporcionan este mecanismo.

UB

La raz´on por la cual las sucesiones no son adecuadas es que, al tomar un punto xU por cada vecindad U de x, estamos en general forzados a hacer un n´ umero no contable de escogencias. Esto no ser´ıa necesario si el espacio fuera 1-contable. Es decir, en los espacios 1-contable las sucesiones son adecuadas para describir la topolog´ıa, en particular para los espacios m´etricos. Pero para espacios m´as generales necesitamos cambiar la palabra sucesi´ on por filtro.

G. R

Sea x un punto en un espacio X. Por Conv(x) notamos el conjunto de todos los filtros F convergentes a x. Todos los filtros en Conv(x) son m´as finos que V(x) el T filtro de vecindades de x, y como V(x) ∈ Conv(x), tenemos que V(x) = F Conv(x). Esto significa que la topolog´ıa de un espacio puede ser determinada por la convergencia de los filtros.

A cada sucesi´ on en un espacio se le asocia de manera can´onica un filtro de la manera siguiente.

Definici´ on 5.20. Sea (xn ) una sucesi´ on en el espacio X y para cada n ∈ N consideremos la cola Xn = {xn , xn+1 , . . .}. Definimos F(xn ) el filtro asociado a la sucesi´ on como F(xn ) := {A ⊆ X | Xn ⊆ A para alg´ un n ∈ N}. F(xn ) est´a constituido por todos los subconjuntos de X que contienen a casi toda la sucesi´ on. Teorema 5.21. Sean X un espacio y (xn ) una sucesi´on en X. xn → x si y solo si F(xn ) → x.

K

92

Filtros, convergencia y continuidad

Demostraci´on. ⇒) Si xn → x entonces dada Vx tenemos por la definici´on de convergencia de sucesiones que Vx est´a en el filtro asociado. ⇐) Si cada vecindad est´a contenida en el filtro asociado a la sucesi´on, entonces dada una Vx existe una cola Xn tal que Xn ⊆ Vx .

O

El hecho que el concepto de filtro sea m´as general que las propiedades de vecindad tiene reflejos en la continuidad entre los espacios topol´ogicos, ya que esta continuidad se puede caracterizar en t´erminos de filtros, as´ı como la caracterizamos en t´erminos de convergencia de sucesiones.

IA N

Proposici´ on 5.22. Sea f : X −→ Y una funci´on entre conjuntos. Dado un filtro F en X, la colecci´ on f (F) := {f (F ) | F ∈ F}

es una base para un filtro en Y notado f∗ (F). Si f es sobre f (F) = f∗ (F). Adem´as f∗ preserva el orden –la contenencia– entre filtros.

UB

Demostraci´on. Es claro que cada elemento de f (F) es no vac´ıo. Dados G1 , G2 elementos de f (F), existen F1 , F2 ∈ F con f (F1 ) = G1 , f (F2 ) = G2 . Como F1 ∩ F2 ∈ F tenemos f (F1 ∩ F2 ) ⊆ f (F1 ) ∩ f (F2 ).

G. R

Si f es sobre, veamos que f (F) es un filtro. Supongamos que H ⊆ Y es tal que G ⊆ H para alg´ un G ∈ f (F). Existe F ∈ F para el cual f (F ) = G. Luego F ⊆ f −1 (G) y f −1 (G) ∈ F, as´ı pues, F ⊆ f −1 (H) y por tanto f −1 (H) ∈ F. Pero f (f −1 (H)) = H por ser f sobre y esto muestra que H ∈ f (F). Para mostrar que f∗ es mon´ otona, es suficiente mostrar que para todo filtro F se tiene A ∈ f∗ (F) si y solo si f −1 (A) ∈ F. (Ejercicio) Teorema 5.23. f : (X, T) −→ (Y, H) es continua en el punto x ∈ X si y solo si para cada filtro F de X tal que F → x el filtro hf (F)i → f (x). Demostraci´on. ⇒) Supongamos que f es continua y que F → x. Dada Vf (x) vecindad de f (x), existe Vx con f (Vx ) ⊆ Vf (x) . Como Vx ∈ F, tenemos que Vf (x) ∈ hf (F)i. ⇐) Si f no fuera continua en el punto x existir´ıa Vf (x) para la cual ninguna vecindad Vx satisface f (Vx ) ⊆ Vf (x) . Claramente el filtro V(x) de las vecindades de x converge a x; luego, hf (F)i deber´ıa converger a f (x) y esto no puede suceder ya que Vf (x) ∈ / hf (V(x))i.

93

5.3 Sucesiones

Ejercicios 5.3 1. Un espacio X es de Hausdorff si y solo si todo filtro F que converge es de convergencia u ´nica. 2. Muestre que (R, coenumerables) y (R, discreta) tienen el mismo tipo de convergencia de sucesiones.

O

3. Muestre que si (X, T) es de convergencia trivial entonces es T1 . ¿Se tiene el rec´ıproco?

IA N

4. Muestre que si (X, T) es m´as fino que (X, coenumerables) entonces es de convergencia trivial. 5. Muestre que (X, Tp ) —punto elegido— es de convergencia u ´nica excepto para la sucesi´ on constante a p.

UB

6. Sea (X, ) un conjunto linealmente ordenado y considere la topolog´ıa Tad . Si X tiene un elemento m´ınimo, entonces todo filtro es convergente. 7. Muestre que en (R, cof initos) todo ultrafiltro es convergente.

G. R

8. Sea F un ultrafiltro en N m´as fino que el filtro de Fr`echet. En el conjunto RN de todas las sucesiones en R, definimos la siguiente relaci´on: (an ) ≡ (bn ) si y solo si {n | an = bn } ∈ F. Muestre que ≡ es de equivalencia. El conjunto R∗ := RN / ≡ de las clases de equivalencia es un modelo de los n´ umeros reales no est´andar. Demuestre que esta relaci´on es consistente con las operaciones de suma, multiplicaci´on y orden asociado a las sucesiones. R∗ es un modelo de un cuerpo ordenado no completo. 9. Sea f : (X, d) −→ (Y, m) una funci´on continua entre espacios m´etricos. Si definimos d∗ (x, y) := d(x, y) + m(f (x), f (y)) muestre que d, d∗ son topol´ ogicamente equivalentes y, adem´as, d∗ hace de f una funci´ on uniformemente continua. Sugerencia: muestre que d, d∗ son equivalentes si xn → x en (X, d) si y solo si xn → x en (X, d∗ ).

6 Homeomorfismos –o geometr´ıa del

IA N

O

caucho–

En teor´ıa de conjuntos, dos conjuntos A, B se definen equivalentes — iguales en alg´ un sentido y el sentido es precisamente la definici´on de la relaci´on de equivalencia— si ellos tienen el mismo cardinal, es decir, si existe una biyecci´ on f : A −→ B. Que f sea una biyecci´on tambi´en se puede expresar diciendo que existe g tal que f ◦ g = 1B y g ◦ f = 1A .

G. R

UB

Al querer generalizar este concepto a los espacios topol´ogicos, a m´as de la cardinalidad, parte inherente a los conjuntos, debemos pedir una relaci´on entre las topolog´ıas de los dos espacios. En una categor´ıa cualquiera D dados dos objetos A, B decimos que son equivalentes isomorfos si existen f ∈ M or(A, B) y g ∈ M or(B, A) tales que f ◦ g = 1B y g ◦ f = 1A . Modelando esta definici´ on para el caso de los espacios topol´ogicos obtenemos la siguiente definici´ on.

6.1 Homeomorfismos

Definici´ on 6.1. Dados dos espacios (X, T), (Y, H) decimos que X es homeomorfo a Y —o que X es topol´ ogicamente equivalente a Y y notamos X ≈ Y — si existe una biyecci´ on f : X −→ Y con f y f −1 continuas. La funci´on f se llama un homeomorfismo y U ∈ T ⇐⇒ f (U ) ∈ H. Un homeomorfismo f no es tan solo una relaci´on biun´ıvoca entre los elementos de los espacios, sino que tambi´en lo es entre los elementos abiertos de las topolog´ıas respectivas. 94

95

6.1 Homeomorfismos

Por tanto, cualquier afirmaci´ on sobre un espacio que se exprese solo en t´erminos de conjuntos abiertos, junto con las relaciones y operaciones entre estos, es cierta para (X, T) si y solo si lo es para (Y, H).

EJEMPLO 6.1

........................ ...... . .... ...... ....... .. ... ...... ... .... ....... ... ...... . . . . ... . . ..... ....... ... . . . . .... . .. ....... . . . . .. . . . .. .. ...... . . . . . . ... . . ..... .. ................................................................................................................................... ....... . . .. . ....... .. ....... ... . . . ....... . . ...... ..... ... ....... . ... ....... . . . ....... ... ....... ..... .. ....... .. ... ....... ....... . .... ..... . ........................

IA N

La redondez —es una sensaci´ on— no afecta para nada el hecho que dos subespacios topol´ogicos de Rn sean homeomorfos. Dado el segmento de recta L y el arco de circunferencia S, ellos son homeomorfos y el homeomorfismo f es definido como en el dibujo que muestra la proyecci´on desde p.

O

La relaci´on de homeomorfismo definida en la clase de todos los espacios topol´ogicos es de equivalencia —demu´estrelo—. Y el gran objetivo de la topolog´ıa es determinar qu´e espacios pertenecen a una misma clase de equivalencia. A cambio de estudiar cada espacio de manera individual, estudiamos su clase de equivalencia.

L

S

UB

EJEMPLO 6.2

p•

G. R

El tama˜ no —es subjetivo— no interesa en topolog´ıa, por ejemplo el intervalo (−1, 1) y R, cada uno con la topolog´ıa usual, son homeomorfos mediante f : x R −→ (−1, 1) definida como f (x) = , la cual es un homeomorfismo. 1 + |x| x Note que f tiene como inversa a g : (−1, 1) −→ R donde g(x) = . 1 − |x| Los dos ejemplos anteriores se pueden combinar en el siguiente.

EJEMPLO 6.3

La proyecci´ on estereogr´ afica de S 2 −{p} en R2 , donde el punto p = (0, 0, 1) es el polo norte. La funci´on F es un homeomorfismo de S 2 −{p} en R2 , F (x, y, z) =



 x y , ,0 . 1−z 1−z



96

Homeomorfismos –o geometr´ıa del caucho–

F tiene como inversa a  G(u, v, 0) =

2u 2v u2 + v 2 − 1 , , u2 + v 2 + 1 u2 + v 2 + 1 u2 + v 2 + 1



.

La proyecci´ on estereogr´ afica env´ıa a una circunferencia ‘paralela’ al ecuador en una circunferencia del plano y si la circunferencia es cada vez m´as cercana al polo su imagen ser´a cada vez m´as grande en el plano. Un meridiano se env´ıa en una l´ınea recta. p ◦

S2

◦ (x, y, z)

•

!

IA N

◦

O

............................................................................................................................... ... ... .......... ... .................... ... .... ....... .... ... . ........... ... .. . ...... . ... .... ..... . ... . . . ... . . . . . ... ..... ... ... ... . . . ... . . . ... . ... ... ... ... . . . . . . . ...... .. .... . . .. . . . . . . . . ... . ..... .. . . .... . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . .. ...... . .. . .. ... . . . . . . . . . ... . . .... ..... ... ... ...... ..... . . . . .. ... ...... . .. . . . ... . . . . .... ...... .. .... . .... ... . . . . . . . . . . . ...... . .. ... . ..... ... . ... . . . ... . . . . ... . .. . . . . . . . . . . . . . . .... ... . . . . . . . ... ... ... .. .. . . .... . . . . ..... .. .. . ... . . . . .... .. ... . . ... . . . .................................................................................................................................................................................................................................................................. . ...... .... . ........ . . . . . .....................................

• F (x, y, z)

R2

G. R

UB

Figura 6.1: La proyecci´ on estereogr´afica

Hay que estar atentos a los espacios involucrados. La funci´on f : [0, 1) −→ S 1 que ‘dobla’ al intervalo sobre la circunferencia —como si fuesen de alambre— f (x) = (cos 2πx, sin 2πx) es biyecctiva y continua pero no un homeomorfismo: la imagen de [0, 21 ) no es un abierto en S 1 .

97

6.1 Homeomorfismos

Las deformaciones realizadas sobre una estructura de goma o caucho en el sentido de poder moldearla y darle una forma arbitraria con tal de no perforarla, ni cortar de ella pedazos para suprimirlos o trasladarlos de lugar, son tan solo una manera vulgar —en el sentido de vulgo— de c´omo construir espacios homeomorfos a partir de uno dado. El sentido de homeomorfismo es mucho m´as amplio y formal.

IA N

O

Por ejemplo, esta figura como subespacio de R3 es homeomorfa al toro sin que sea posible deformar la una en la otra —a la manera del caucho—. Se trata simplemente de un Toro enredado como una manguera —no nos importa el n´ umero de vueltas— donde la u ´nica manera de desenredarlo ser´ıa cortando, lo que es interpretado como un paso no continuo.

G. R

UB

Otro ejemplo es pensar en la cinta de M¨ obius1 , una tira de papel donde los bordes m´as peque˜ nos se pegan —identifican— despu´es de dar un giro de media vuelta. (Ver ejemplo 7.2).

Figura 6.2: Cinta de M¨obius.

Dos cintas de M¨ obius (ver fig. 6.3) son homeomorfas si ambas tienen un n´ umero impar de giros. Ellas son homeomorfas aunque en este mundo real —de tres dimensiones— nos sea imposible deformar la una en la otra a menos de romperlas. Si el n´ umero de giros es par, obtenemos un espacio no homeomorfo a la cinta de M¨ obius; se trata en efecto de un cilindro. 1

August Ferdinand M¨ obius (1790-1868), matem´ atico y astr´ onomo alem´ an. Hizo el descubrimiento de esta superficie cuando era profesor en la Universidad de Leipzig. El nombre de M¨ obius est´ a ligado con muchos objetos matem´ aticos importantes, como la ¨ funci´ on de M¨ obius, que introdujo en su art´ıculo de 1831 Uber eine besondere Art von Umkehrung der Reihen (Sobre una forma especial de invertir las series), y la f´ ormula de inversi´ on de M¨ obius.

98

O

Homeomorfismos –o geometr´ıa del caucho–

IA N

Figura 6.3: Cintas de M¨ obius homeomorfas con diferente n´ umero de giros.

G. R

UB

Claro que la posibilidad o no de deformaci´on manual en estos ejemplos tiene relaci´ on directa con la dimensi´ on del espacio en que los hemos construido y el espacio 3-dimensional en que actuamos.

Figura 6.4: Anillos homeomorfos.

As´ı como un nudo no se puede desatar en dos dimensiones sin romperlo, es por ello que su representaci´ on sobre una hoja de papel necesariamente da el sentido de autointersecci´ on, mientras que en tres dimensiones s´ı lo podemos desatar o su representaci´ on no se intercepta, seguramente en un mundo de cuatro dimensiones podr´ıamos desdoblar la cinta de M¨obius sin romperla para deformar una de tres giros a una de tan solo un giro. Algunas veces los autores prefieren eliminar este problema de la dimensi´on y la realizaci´on, suponiendo que en un modelo 3-dimensional la autointersecci´on no existe, por ejemplo la representaci´ on de una botella de Klein (ver fig. 6.5). Es como si el grosor no existiese; en efecto, son verdaderas superficies de espesor igual a cero y, la botella pudiera pasar a trav´es de s´ı misma. Por esto no es nada nuevo que, al pintar un nudo en dos dimensiones, su intersecci´on la representamos como pasar por encima un trazo de l´ınea sobre el otro —uno de los dos es interrumpido—.

99

IA N

O

6.1 Homeomorfismos

UB

Figura 6.5: Botella de Klein.

G. R

Una de las construcciones m´as famosas en cuatro dimensiones es el hipercubo —algo como un cubo de cubos— el cual fue imaginado en tres dimensiones —desdoblado— y utilizado por Salvador Dal´ı en su pintura del a˜ no 1954 Hipercubo de Cristo (figura 6.6).

EJEMPLO 6.4

La circunferencia se deforma en un cuadrado. Sean la circunferencia S 1 = {(x1 , x2 ) : x21 + x22 = 1} y el rombo R = {(x1 , x2 ) | |x1 | + |x2 | = 1}.

Definimos f :

S1

−→ R como f ((x1 , x2 )) =

... .... ................. ....................... .... ...... ...... ........ ... .... ..... ...... .... .... ..... ..... .... .... .... .... .... ... .... ... .... ... ... ... . . . . . .... ... .... ... .... . . . . . . . ... .... .. .... ... .... . . . ..... .... .. ... .... ... .. ................................................. ........ ... .. . ... .... . . .... ... .... .... ... .... ... . . . . .. .... . ... .... .... . ... ... . . . . .... ... ... ... . . . . ... . . . .... . .. ... .... .... ... .... .... .... .... ..... ..... .... .... ...... ...... ........ .... ...... ........................................... ......

f



x2 x1 , |x1 | + |x2 | |x1 | + |x2 |



la cual es una biyecci´on continua, con inversa tambi´en continua f−1 ((x1 , x2 )) =  x1 x2 , . (x1 2 + x2 2 )1/2 (x1 2 + x2 2 )1/2

Verifique que las compuestas de estas dos funciones corresponden a la identidad respectiva.

100

UB

IA N

O

Homeomorfismos –o geometr´ıa del caucho–

G. R

Figura 6.6: Hipercubo de Cristo.

EJEMPLO 6.5

El plano punteado se deforma en un cilindro infinito.

Sean el plano punteado X = R2 − {(0, 0)} y el cilindro infinito Y = {(x1 , x2 , x3 ) | x1 2 + x2 2 = 1}. Definimos h : X −→ Y como h((x1 , x2 )) =



 x1 x2 1 2 2 , , log(x1 + x2 ) (x1 2 + x2 2 )1/2 (x1 2 + x2 2 )1/2 2

donde h−1 ((x1 , x2 , x3 )) = (x1 ex3 , x2 ex3 ) .

101

6.1 Homeomorfismos

... . .. .. . .......... .. .. .. .. ... .. .. .. ... . . .. . .. . ..... . . . .. . .. . .. .. .. .. . . .... .. .. .. .. .. . . ... .. .. .. .. .. .. .. ...... . .. .. .. . .. .. . . . . . . . .. . . . . ... .. .. .. .. .. .. .... .. .. .. .. .. .. ... . . .. . . .. .. .. ... . .. . . . . . . . . . . . ............................................................................................................................................................ . . . .. . .. .. .. .. . . ... .. .. .. .. . . ... .. . .. .. .. .. .. .. ..... .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . .. . .. .. .. .. .. .... .. .. .. .. .. .. .. .. .... . . .. .. .. .. .. ... . . . . . . . . .. ...... .. .. .. .. . . ... .. .. .. . . ... . .. .. .. .. .. .. .. .. ... . .. . .. .. .. .. . ..

..

..

..

.

. ..

..

h

......................

. .... .... .... .... .... .... .... .... . ... ... .. .... ... . ... .... .. .. .... .. ... .... ..... ... ... . .... .... . . .... .... .... . ... . .... .... .... .. ... .... .. .... .... .... .... .... .... .... .... .. . ..... ..... .... .... ... ... ..... ..... .. .. .... .... .... .... . . ..... ..... ... ... .... .... .... .... .... .... .... ... ..... .... .... .... . . . . . . . . .... . .... . .... ... ... ...... .... ..... .. ..... ... ... . .... . .... . . .. ... .... ... ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .

IA N

Ejercicios 6.1

O

Figura 6.7: Del plano punteado al cilindro infinito.

1. En un espacio la funci´ on id´entica es un homeomorfismo. 2. La composici´ on de homeomorfismos es un homeomorfismo.

UB

3. Una biyecci´ on f : X −→ Y entre espacios es un homeomorfismo si y solo si (a) Para cada x ∈ X, f transforma la colecci´on V(x) exactamente en la colecci´ on V(f (x)).

G. R

(b) f env´ıa la colecci´ on de todos los conjuntos abiertos de X exactamente en la colecci´ on de todos los conjuntos abiertos en Y . (c) Si B es una base para la topolog´ıa en X entonces f (B) := {f (B) | B ∈ B}

es una base para el espacio Y .

4. Muestre que toda isometr´ıa f —d(x, y) = m(f (x), f (y))— de un espacio m´etrico sobre otro es un homeomorfismo para las topolog´ıas inducidas por las respectivas m´etricas.

5. Considere las veintinueve topolog´ıas posibles para X = {a, b, c}. ¿Cu´antas clases de equivalencia existen en T op(X)? (ver p´ag. 16). 6. Para X = {0, 1, 2, 3} considere las topolog´ıas (a) U = {X, ∅, {0}, {0, 1}, {0, 1, 2}, {1}} (b) V = {X, ∅, {0}, {0, 1}, {0, 1, 2}}.

102

Homeomorfismos –o geometr´ıa del caucho–

La funci´on idX : (X, U) −→ (X, V) es biyectiva, continua, pero no es un homeomorfismo. 7. Muestre que dos espacios discretos son homeomorfos si y solo si tienen la misma cardinalidad. 8. Sea f : (X, T) −→ (Y, H) un homeomorfismo y sea (A, TA ) un subespacio de X. Muestre que la restricci´on

O

f |A : (A, TA ) −→ (f (A), Hf (A) )

IA N

es un homeomorfismo.

9. Sean (X, ≤), (Y, E) espacios totalmente ordenados. Una biyecci´on f : (X, T≤ ) −→ (Y, TE ) es un homeomorfismo si y solo si f es estrictamente creciente.

UB

6.2 Invariantes topol´ogicos

G. R

Algunos autores definen la topolog´ıa como el estudio de las propiedades del espacio que permanecen invariables cuando el espacio se somete a homeomorfismos. Llamamos a estas propiedades invariantes topol´ogicos. Por ejemplo, la propiedad que tiene la circunferencia de dividir el plano en dos regiones —teorema de Jordan2 — es un invariante topol´ogico; si transformamos la circunferencia en una elipse, o en el per´ımetro de un tri´angulo, etc., esta propiedad se mantiene. Por el contrario, la propiedad que tiene la circunferencia de poseer en cada punto una u ´nica recta tangente no es una propiedad topol´ogica, pues el tri´angulo no la posee en cualquiera de sus puntos v´ertices, a pesar de poderse obtener como una imagen homeomorfa del c´ırculo. Definici´ on 6.2. Una propiedad P del espacio X se llama un invariante topol´ ogico si todo espacio Y ≈ X tambi´en satisface a P . 2

Camille Jordan (Lyon 1838-Par´ıs 1922), matem´ atico franc´es, conjetur´ o y crey´ o haber demostrado el teorema que llevar´ıa su nombre, pero dicha demostraci´ on era incorrecta y no pudo vencer esta dificultad. Muri´ o sin haberlo demostrado rigurosamente. La primera demostraci´ on satisfactoria del teorema de Jordan debi´ o esperar hasta 1905, y se debe a O. Veblen. M´ as tarde surgieron generalizaciones para n dimensiones con E. J. Brower, demostradas por J. W. Alexander en 1922.

103

6.2 Invariantes topol´ ogicos

Cualquier propiedad que sea definida en t´erminos de los miembros del espacio y de la topolog´ıa ser´a autom´aticamente un invariante topol´ogico. Formalmente, la topolog´ıa es el estudio de los invariantes topol´ogicos.

EJEMPLO 6.6

La propiedad de ser 2-contable es un invariante topol´ogico.

IA N

O

En efecto, sean (X, T), (Y, H) espacios homeomorfos y X 2-contable; si h : X −→ Y es un homeomorfismo y B = {B1 , B2 , . . .} es una base para X, veamos que h(B) = {h(B1 ), h(B2 ), . . .} es una base para Y . Sean V un abierto de Y y y ∈ V , entonces existe U tal que h−1 (y) ∈ U y h(U ) ⊆ V . Por ser B una base, existe Bi tal que h−1 (y) ∈ Bi ⊆ U . Luego y ∈ h(Bi ) ⊆ h(U ) ⊆ V .

G. R

UB

Nota. La propiedad de ser Lindeloff es un invariante topol´ogico, pero a´ un m´as: tan solo utilizamos la continuidad de h para demostrar la invarianza topol´ogica —es decir, la imagen continua de un espacio de Lindeloff es de nuevo de Lindeloff —. Sin embargo, este no siempre es el caso, es decir, existen propiedades donde no es suficiente la continuidad en un solo sentido; por ejemplo idR : Ru −→ (R, grosera) es continua, mientras que el primer espacio es de Hausdorff y el segundo no. Demuestre que sin embargo ser Hausdorff es un invariante topol´ogico. La utilidad de los invariantes topol´ ogicos es obvia en el sentido que, si pretendemos saber cu´ando dos espacios topol´ogicos son equivalentes, basta encontrar una propiedad que sea invariante y uno de los dos espacios la posea mientras que el otro no, lo cual establece que no pertenecen a una misma clase.

Las siguientes son algunas de las preguntas elementales con respecto a las propiedades que son invariantes: • ¿Cu´ando los subespacios heredan la propiedad? • ¿C´omo se comportan las funciones continuas con respecto a la propiedad? • ¿La propiedad se comporta de manera especial en los espacios m´etricos?

104

Homeomorfismos –o geometr´ıa del caucho–

• ¿La propiedad es productiva? —comportamiento en el producto de espacios—. El hecho de que un espacio sea metrizable obliga a que todos sus espacios equivalentes tambi´en lo sean. Teorema 6.3. Sean (X, T), (Y, H) espacios homeomorfos y h : X −→ Y un homeomorfismo. Si X es metrizable entonces Y es metrizable.

O

Demostraci´on. Sea d una m´etrica en X que genera la topolog´ıa T. Definimos

IA N

d∗ : Y × Y −→ R, como d∗ (y1 , y2 ) := d(h−1 (y1 ), h−1 (y2 )).

UB

d∗ es una m´etrica, ¡demu´estrelo!. Veamos que si W = hd∗ i entonces W = H. Primero verifiquemos que H ⊆ W, i. e., que si V ∈ entonces V se puede expresar como reuni´ on de bolas en
d. Sean V ∈ H y y ∈ V ; como h−1 (y) ∈ h−1 (V ) ∈ T, existe Bεd h−1 (y) ⊆ h−1 (V ) —una bola seg´ un ∗ ∗ d d d— y para este ε se tiene que Bε (y) ⊆ V , pues dado z ∈ Bε (y) —lo que es igual a decir que d∗ (y, z) < ε— tenemos d(h−1 (z), h−1 (y)) < ε, lo que implica h−1 (z) ∈ Bεd (h−1 (y)) ⊆ h−1 (V ), es decir z ∈ V . ∗

Para ver que W ⊆ H tomemos W
∈ W y z ∈ W . Existe Bεd (y) con
z∈ −1 d −1 d −1 Bε (y). Como h (z) ∈ Bε h (y) tenemos z ∈ h Bε (h (y)) . Pero Bεd (h−1 (y)) ∈ T implica h(Bεd (h−1 (y))) ∈ H pues h es homeomorfismo y ∗ ∗ adem´as h(Bεd (h−1 (y)) est´a contenido en Bεd (y); por tanto, Bεd (y) es uni´on de elementos de H y esto implica que W tambi´en es uni´on de elementos de H.

G. R

d∗

La siguiente definici´ on da una propiedad invariante bajo homeomorfismo, la cual es tema central de muchos y diversos t´opicos en matem´aticas. Definici´ on 6.4. Un espacio X tiene la propiedad del punto fijo PPF si cada funci´on continua f : X −→ X deja al menos un punto fijo; esto es, existe un x ∈ X tal que f (x) = x. Encontrar una condici´ on necesaria y suficiente para que un espacio X tenga la PPF no es f´acil; en cambio, esta propiedad nos ayuda a decidir en algunos casos no triviales si dos espacios son equivalentes o no. Teorema 6.5. La PPF es un invariante topol´ogico.

105

6.2 Invariantes topol´ ogicos

O

Demostraci´on. Sea h : X −→ Y un homeomorfismo entre espacios. Si X tiene la PPF, veamos que Y tambi´en la tiene. Dada la funci´on continua f : Y −→ Y queremos encontrar un y ∈ Y tal que f (y) = y. La funci´on h−1 ◦ f ◦ h de X en X es continua y por tanto tiene un punto fijo a, (h−1 ◦ f ◦ h)(a) = a, con lo que f (h(a)) = h(a); tomando y = h(a) obtenemos el punto fijo para f .

EJEMPLO 6.7

IA N

El intervalo unidad I = [0, 1] con la topolog´ıa de subespacio de los reales tiene la PPF.

G. R

UB

En efecto, dada f : I −→ I continua, definimos g : [0, 1] −→ R como g(x) = f (x)−x; lo que g hace es medir la distancia entre (x, x) y (x, f (x)). Luego necesitamos ver que g(x) es igual a cero en alg´ un punto de [0, 1]. Si f (0) = 0 o f (1) = 1 ya lo hemos encontrado. Si f (0) > 0 y f (1) < 1, tenemos que g(0) > 0 y g(1) < 0. Como g es continua, por el teorema de Bolzano del c´alculo elemental, existe x tal que g(x) = 0.

EJEMPLO 6.8

Los subespacios [0, 1] y (0, 1) de R no son homeomorfos, ya que el segundo no posee la PPF —¿por qu´e?—.

Uno de los teoremas del folklore de la teor´ıa de puntos fijos —su demostraci´on usual utiliza t´ecnicas de la topolog´ıa algebraica— conocido como el teorema del punto fijo de Brower asegura que un disco cerrado —homeomorfo al cuadrado [0, 1] × [0, 1]— tiene la PPF. Una manera f´ısica de interpretar este teorema es la siguiente: tome una taza de caf´e, revuelva suavemente el contenido y espere hasta que el caf´e deje de moverse. Cada part´ıcula de caf´e tiene una posici´on inicial y una final. Como el movimiento fue suave, los puntos de la superficie, homeomorfa a I × I, permanecen superficiales, de tal suerte que debe existir un punto que regresa a la posici´ on inicial, esto es, su caf´e no qued´o bien revuelto.

106

Homeomorfismos –o geometr´ıa del caucho–

Ejercicios 6.2 1. ¿S 1 y (0, 1) con la topolog´ıa usual son homeomorfos? 2. Muestre que S n no tiene la PPF para cada n ∈ N.

4. Muestre que en R, Tx ≈ Ty para todo x, y ∈ R.

O

3. Sea X un espacio discreto (resp. indiscreto) y sea Y un espacio. Demuestre que Y ≈ X si y solo si Y es discreto (resp. indiscreta) y X y Y tienen el mismo cardinal.

IA N

5. Muestre que (R, [a, →)) y (R, Tx ) no son homeomorfos.

6. * Sea f : (X, T) −→ (Y, H) una biyecci´on. Muestre que f es un homeomorfismo si y solo si H es la topolog´ıa m´as grande sobre Y de las que hacen continua a f .

G. R

UB

7. Considere en el producto N × [0, 1) el orden del diccionario o lexicogr´afico y en R≥0 la topolog´ıa inducida por la usual de R. Pruebe que estos espacios son homeomorfos.

IA N

O

7 Espacios de identificaci´on –cociente–

En un curso de ´algebra se encuentran los conceptos de grupo cociente o anillo cociente, en los cuales la idea es dar una estructura algebraica al conjunto de coclases de un subgrupo o un ideal. Estos conceptos (basados en una relaci´on de equivalencia) dan una estructura algebraica a una partici´on del grupo o del anillo.

UB

En lo concerniente a la topolog´ıa, el concepto equivalente es el de espacio cociente al dar una topolog´ıa a una partici´on del espacio donde los elementos ser´an ahora las clases de equivalencia inherentes a la partici´on.

G. R

Si R es una relaci´ on de equivalencia en el espacio X, ¿c´omo dar una topolog´ıa al conjunto cociente X/R (de las clases de equivalencia o elementos de la partici´ on) a partir de la topolog´ıa de X?

7.1 Topolog´ıa cociente

Dados un espacio (X, T) y una relaci´ on R de equivalencia en el conjunto X, queremos ante todo que la funci´ on cociente q : X −→ X/R definida por x 7−→ [x] sea por supuesto continua y de la mejor manera, i. e., de manera que X/R tenga la mayor cantidad posible de abiertos y q sea continua. Definici´ on 7.1. Dados un espacio (X, T) y una relaci´on R definimos la topolog´ıa cociente T/R para X/R como T/R := {V ⊆ X/R : q −1 (V ) es un abierto de X}. 107

108

Espacios de identificaci´ on –cociente–

Un subconjunto de X que es uni´ on de elementos de una partici´on se llama saturado. El conjunto saturado m´as peque˜ no que contiene a A ⊆ X −1 se llama la saturaci´ on de A. A es saturado si q (q(A)) = A, i. e., A es igual a su saturaci´ on. V ⊆ X/R es abierto si y solo si V = q(A) con A ⊆ X abierto y saturado. EJEMPLO 7.1

UB

IA N

O

1 En el intervalo [0, 1] S identificamos 0 ≡ 1. [0, 1]0≡1 ≈ S . Tenemos que la partici´on es {0, 1} {{a} : a ∈ (0, 1)}.

Figura 7.1: Esquema para la construcci´on de S 1 .

EJEMPLO 7.2

G. R

Cinta de M¨obius a . Muchos espacios se construyen a trav´es de otro identificando algunos puntos; por ejemplo, M la cinta de M¨obius. a

Esta superficie fue encontrada en 1858 por el matem´ atico y astr´ onomo alem´ an, August M¨ obius (1790-1868). M¨ obius fue estudiante y profesor de la Universidad de Leipzig. Curiosamente, el escrito que M¨ obius present´ o a la ‘Acad´emie des Sciences’ en el cual discut´ıa las propiedades de una superficie de una sola cara solo fue encontrado despu´es de su muerte.

Figura 7.2: Esquema para la construcci´ on de una cinta de M¨obius.

A partir del rect´angulo X = [0, 3] × [0, 1] con la topolog´ıa T de subespacio de R2 hacemos la identificaci´ on R esquematizada por la figura 7.2 (observe

109

7.1 Topolog´ıa cociente

(0, y) (3, 1 − y)

Figura 7.3: La imagen inversa de un abierto en la cinta de M¨obius.

IA N

O

la orientaci´on de las flechas) donde (0, y)R(3, 1 − y) y los dem´as puntos s´olo se relacionan con s´ı mismos.

UB

La preimagen de un disco abierto en la cinta es, o bien el conjunto formado por los dos semidiscos abiertos, o un disco abierto interior al rect´angulo. En todo caso se trata de un abierto en X/R pues su preimagen por q corresponde a un abierto en la topolog´ıa del rect´angulo (fig. 7.3).

G. R

La construcci´ on anterior, hecha sobre una relaci´on de equivalencia, puede ser tambi´en descrita en t´erminos de la partici´on. Definici´ on 7.2. Sea (X, T) un espacio y sea R = {Ai } una partici´on o descomposici´ on de X. Formamos un nuevo espacio Y , llamado el espacio identificaci´ on o cociente, como sigue. Los puntos de Y son los miembros de R y si q : X −→ Y es la funci´ on cociente q(x) 7→ Ai si x ∈ Ai , la topolog´ıa para Y es la m´as grande para la cual q es continua, es decir, U ⊆ Y es abierto si y solo si q −1 (U ) es abierto en X. Esta topolog´ıa se llama identificaci´ on o cociente para la partici´on R y notamos T/R : T/R := {U ⊆ Y : q −1 (U ) es un abierto de X}. Pensemos en Y como esos subconjuntos de X que han sido identificados a un solo punto por medio de R. Como cada partici´on R genera una relaci´on de equivalencia R (notada de la misma manera), el conjunto Y tambi´en es notado como Y = X/R . De suerte que S U es abierto en X/R si y solo si q −1 (U ) = [x]∈U [x] ∈ T.

110

Espacios de identificaci´ on –cociente–

La continuidad para estos espacios identificaci´on est´a determinada por la continuidad desde el espacio inicial, como afirma el siguiente teorema de gran utilidad en topolog´ıa. q

X

- X/R

@ @ f ◦q

f

@ R ? @

Z

O

Teorema 7.3. Sean X/R un espacio identificaci´on, Z un espacio y f : X/R −→ Z. f es continua si y solo si f ◦ q es continua –donde q : X −→ X/R . (Si el domino es un cociente lo podemos remplazar por el espacio).

IA N

Demostraci´on. Si f es continua claramente f ◦ q tambi´en lo es. En el otro sentido, asumamos que f ◦ q es continua y sea U ⊆ Z con U ∈ T. Para ver que f −1 (U ) es un abierto de X/R debemos tener que q −1 (f −1 (U )) sea abierto de X, es decir, (f ◦ q)−1 (U ) lo sea.

7.1.1 Descomposici´on can´onica por una funci´on

UB

Dada una funci´on sobreyectiva f : X −→ Y entre conjuntos, la colecci´on de las fibras Rf := {f −1 (y)}y∈Y determina una partici´on en X.

G. R

La funci´on cociente q : X −→ X/Rf satisface q(x) = [x] = f −1 (f (x)); luego la funci´on hf : X/Rf −→ Y dada por hf ([x]) := f (x) o hf (f −1 (y)) = y est´a bien definida y es una biyecci´on.

X

q

- X/R f

@ @ f

hf

@ R ? @

Y

Teorema 7.4. Si X, Y son espacios y f : X −→ Y es continua, entonces hf : X/Rf −→ Y es continua. (Como f = hf ◦ q decimos que el diagrama representa la descomposici´ on can´ onica de f ). −1 (U )), Demostraci´on. Dado U un abierto de Y , tenemos h−1 f (U ) = q(f con lo cual −1 −1 q −1 (h−1 (U )) = f −1 (U ), f (U )) = q (q(f

y como f −1 (U ) es abierto en X, tenemos que h−1 f (U ) es abierto en X/Rf por la definici´on de la topolog´ıa cociente. Podemos ahora preguntarnos qu´e tanto se identifica, i. e., ¿cu´ando hf es −1 (y) un homeomorfismo? (teorema 7.5), esto es, ¿cu´ando h−1 f (y) = f es continua?

111

7.1 Topolog´ıa cociente

Teorema 7.5. Sean X, Y dos espacios y f : X → Y continua y sobreyectiva. Si f es abierta o cerrada entonces hf : X/Rf −→ Y es un homeomorfismo. Demostraci´on. Supongamos que f es abierta y veamos que hf tambi´en lo es. Sea U un subconjunto abierto en X/Rf , entonces hf (U ) = f (q −1 (U )) el cual es un abierto. En caso que f sea cerrada, la demostraci´on se deja como ejercicio.

O

La siguiente clase de funciones generaliza a las funciones cociente q : X −→ X/R .

IA N

Definici´ on 7.6. Sean (X, T) un espacio, Y un conjunto y f : X −→ Y una funci´on sobreyectiva. La topolog´ıa cociente o identificaci´on sobre Y es la colecci´on TYf = {V ⊆ Y | f −1 (V ) ∈ T}.

UB

La topolog´ıa cociente algunas veces se llama la topolog´ıa final con respecto a la funci´on f .

G. R

La topolog´ıa TfY es mucho m´as que requerir la continuidad, pues la requiere de la ‘mejor’ manera (la m´as fina sobre Y que hace que f sea continua), por eso algunas veces se conoce como topolog´ıa de continuidad fuerte. El siguiente teorema es la raz´on por la cual los espacios de identificaci´on son tambi´en llamados cociente. El siguiente teorema generaliza al teorema 7.3.

Teorema 7.7. Supongamos que Y tiene la topolog´ıa cociente TYf para la funci´on f : (X, T) −→ Y . Entonces

f

X

- Y

@

1. f : X −→ Y es continua, y 2. Una funci´ on g : Y −→ Z es continua si y solo si g ◦ f lo es.

g◦f

@

g

@ R ?

Z

La topolog´ıa cociente es la u ´nica topolog´ıa sobre Y con estas dos propiedades. Demostraci´on. Por la definici´ on de TYf la continuidad de f es inmediata f pues f −1 (TY ) ⊆ T (teorema 4.2).

112

Espacios de identificaci´ on –cociente–

Si g es continua entonces lo es la compuesta g ◦ f . En el otro sentido, supongamos que g ◦ f es continua y tomemos un abierto U ⊆ Z, entonces (g ◦ f )−1 (U ) = f −1 (g −1 (U )) es abierto pues g ◦ f es continua, con lo cual g −1 (U ) es abierto por definici´ on de la topolog´ıa identificaci´on. Finalmente, n´ otese que la funci´ on id´entica idY : (Y, TYf ) −→ (Y, H) es un homeomorfismo si Y est´a equipado de una topolog´ıa H con estas propiedades.

O

Definici´ on 7.8. Una funci´ on sobreyectiva f : (X, T) −→ Y es una funci´ on cociente si la topolog´ıa sobre Y es la topolog´ıa cociente.

IA N

Esto significa que una funci´ on sobreyectiva f : (X, T) −→ Y es una K funci´ on cociente si y solo si para todo V ⊆ Y . f −1 (V ) es abierto en X si y solo si V es abierto en Y.

UB

En este caso decimos que Y es un espacio de identificaci´ on —la raz´on para este nombre es que Y puede ser mirado como un espacio cociente, teorema 7.9—.

G. R

Teorema 7.9. Sean X, Y espacios y f : X −→ Y una funci´on cociente. Entonces Y ≈ X/Rf —Y es homeomorfo a identificar puntos en X—. Demostraci´on. Veamos que hf es abierta, esto es, h−1 f es continua. Sea U un subconjunto abierto de X/Rf . Como f es una funci´ on cociente, basta mostrar que f −1 (hf (U )) es abierto en X. Pero f −1 (hf (U )) = q −1 (U ) y como q es continua, tenemos que q −1 (U ) es abierto. Si observamos que hf ◦ q = f obtenemos que h−1 f ◦ f = q es continua y como f es una cociente, por el teorema anterior h−1 f es continua.

X

q

- X/R f

@ @ f

≈hf

@ R ? @

Y

¿C´omo podemos reconocer las funciones cociente? i. e., ¿bajo qu´e condiciones una topolog´ıa dada proviene de una funci´on cociente? Parte de la respuesta la da el siguiente teorema. Teorema 7.10. Sea f : (X, T) −→ (Y, H) continua y sobre. Si adem´as f es abierta o cerrada, entonces f es una funci´on cociente, i. e., H= TfY .

113

7.1 Topolog´ıa cociente

Demostraci´on. Debemos ver que H = TYf . Claramente H ⊆ TYf por la definici´on de TYf . Para la contenencia TYf ⊆ H tomemos U ∈ TYf ; como f −1 (U ) es abierto entonces U = f (f −1 (U )) es un abierto en H, puesto que la funci´on f es abierta y sobreyectiva. Si f es cerrada, el mismo argumento se aplica cambiando ‘abierto’ por ‘cerrado’.

IA N

O

Corolario 7.11. Sea f : (X, T) −→ (Y, H) continua y sobre. Si adem´as X es compacto y Y es de Hausdorff, entonces f es una funci´on cociente. Demostraci´on. El concepto de compacto se define en el cap´ıtulo 7 donde adem´as se muestra que con la hip´ otesis del corolario 7.11 f es cerrada. EJEMPLO 7.3

EJEMPLO 7.4

UB

Sean X = [0, 2π] y Y = S 1 . f : X −→ Y definida como f (x) := (cos(x), sen(x)) es una identificaci´ on, con lo cual S 1 ≈ [0, 2π]/R donde R identifica los extremos, i. e., a 0 con 2π.

G. R

El toro. Sea X = [0, 1] × [0, 1] con la topolog´ıa de subespacio usual de R2 . Particionamos a X en cuatro clases mediante la siguiente relaci´on R (ver figura 7.4). 1. {(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1)}: las esquinas se identifican. 2. {(x, 0), (x, 1)} para cada x ∈ (0, 1): ‘pegamos’ el borde inferior con el borde superior.

3. {(0, y), (1, y)} para cada y ∈ (0, 1): ‘pegamos’ los lados. 4. {(x, y)} para x ∈ (0, 1) y y ∈ (0, 1): el interior no cambia. El espacio T asociado a esta partici´ on es el toro, tambi´en descrito como 1 1 T = S × S , el producto de dos circunferencias. Estas dos descripciones coinciden. Definimos f : [0, 1] × [0, 1] → S 1 × S 1

114

Espacios de identificaci´ on –cociente–

O

Figura 7.4: Una partici´ on sobre I × I que conduce al Toro

IA N


como f (x, y) = e2πix , e2πiy donde e2πix := (cos 2πx, sin 2πx) y e2πiy := (cos 2πy, sin 2πy). La relaci´ on Rf en [0, 1] × [0, 1] definida por la funci´on f , es decir Rf = {f −1 (a) : a ∈ T } es exactamente la partici´ on inicial R; luego, por el corolario 7.11

UB

[0, 1] × [0, 1]/Rf ≈ S 1 × S 1

G. R

ya que como [0, 1] × [0, 1] es compacto y S 1 × S 1 es de Hausdorff, f resulta ser una identificaci´ on.

Figura 7.5: Un famoso homeomorfismo entre una taza y el toro.

EJEMPLO 7.5

Nuevamente en X = [0, 2π] × [0, 2π] —nuestra hoja de papel— consideramos una relaci´ on definida como en el esquema de la figura 7.6, donde los lados verticales nos producen el cilindro y los lados horizontales identifican la base de la botella con su boca pero en sentido contrario —como lo hab´ıamos hecho en la cinta de M¨ obius— y es aqu´ı donde surge la imposibilidad de realizaci´ on en tres dimensiones; y hablamos de botella ya que esta construcci´on se conoce como botella de Klein

115

IA N

O

7.1 Topolog´ıa cociente

Figura 7.6: Botella de Klein.

G. R

UB

Curiosamente, si una botella de Klein sufriera una ca´ıda que produjera una rotura en dos partes y a lo largo, ¡obtendr´ıamos dos cintas de M¨obius! Esto es, la botella de Klein es obtenible v´ıa sutura para los dos bordes de dos cintas de M¨ obius, pero el coser estos dos bordes es imposible en nuestro universo tridimensional, aunque cada borde no sea m´as que una circunferencia —¡int´entelo!—

Figura 7.7: Botella de Klein partida por la mitad.

Ejercicios 7.1 1. Muestre que la topolog´ıa cociente es en efecto una topolog´ıa y que es la m´as fina para la cual la funci´ on proyecci´on es continua.

116

Espacios de identificaci´ on –cociente–

2. Muestre que un subconjunto es cerrado para la topolog´ıa cociente si es la imagen de un conjunto saturado y cerrado. 3. Sean ≡, ∼ relaciones de equivalencia sobre los espacios X, Y respectivamente. Dada una funci´ on continua f : X −→ Y tal que a ≡ b implica f (a) ∼ f (b) entonces fb : X/≡ −→ Y /∼ definida por fb([x]) = [f (x)] es una funci´ on bien definida y continua.

O

4. Sea f : X −→ Y una funci´ on cociente. Decimos que A ⊆ X es f -saturado o f -inverso si f −1 (f (A)) = A. (a) Muestre que A es f –saturado si existe B tal que A = f −1 (B).

IA N

(b) ¿C´omo caracterizar los abiertos en una funci´on cociente? Los abiertos de Y son precisamente las im´agenes por f de los subconjuntos abiertos f -saturados de X. (c) ¿Puede caracterizar los cerrados en una funci´on cociente? 5. ¿Es la composici´ on de funciones cociente una funci´on cociente?

UB

6. Sea f : X −→ Y sobreyectiva. Muestre que f es una funci´on cociente si para todo V ⊆ Y se tiene

G. R

f −1 (V ) es cerrado en X si y solo si V es cerrado en Y. 7. Muestre que una biyecci´ on continua es una funci´on cociente si y solo si es un homeomorfismo. 8. Muestre que la topolog´ıa TYf es la mejor —m´as fina— que hace a f continua.

La topolog´ıa producto

IA N

Dados dos conjuntos X, Y , una construcci´on familiar es su producto cartesiano, el cual se define —de manera anal´ıtica— como X × Y := {(x, y) | x ∈ X, y ∈ Y }.

O

8

X

  



H Y HH

pX

C

H g HH j [f,g] Y *  ?  pY

X ×Y

UB

Visto X × Y de otra manera — sint´etica y no anal´ıtica— tenemos lo siguiente.

f

8.1 Definici´on sint´etica de producto entre conjuntos

G. R

Si tomamos a X, Y como objetos en la categor´ıa de los conjuntos, este producto cartesiano es un objeto que tiene asociadas de manera natural dos flechas o morfismos, las proyecciones pX : X × Y −→ X y pY : X × Y −→ Y . La propiedad fundamental de este objeto X × Y y de las flechas pX , pY que adem´as lo caracteriza es: si existe otro conjunto C con dos funciones f : C −→ X, g : C −→ Y entonces estas funciones las podemos factorizar por medio de pX , pY . En otras palabras, existe una u ´nica funci´on [f, g] : C −→ X × Y tal que el diagrama conmuta, i. e., f = pX ◦ [f, g] y g = pY ◦ [f, g]. Posiblemente para el lector no sea familiar esta propiedad del producto cartesiano. Su valor consiste en que no hace referencia a la parte intr´ınseca del conjunto, sino a las propiedades que este objeto y sus flechas tienen dentro de la categor´ıa de los conjuntos —factoriza tanto a f como a g— lo cual nos da una visi´ on sint´etica del concepto. Otro ejemplo en esta l´ınea de pensamiento —no anal´ıtico— es el de las funciones inyectivas y sobreyectivas. Dados dos conjuntos A, B una funci´on f : A −→ B notada como f ∈ M or(A, B) es inyectiva si dados cualquier 117

K

118

La topolog´ıa producto

conjunto C y cualquier par de flechas m, n que satisfacen f ◦ m = f ◦ n podemos concluir m = n (cancelaci´ on a izquierda). La ventaja de mirar estos conceptos en t´erminos de flechas y diagramas consiste en que los podemos generalizar a categor´ıas donde el concepto no depende de la definici´ on puntual —por elementos— de un conjunto.

O

8.2 La topolog´ıa producto –caso finito–

IA N

Una tarea importante en topolog´ıa es construir nuevos espacios a partir de los ya conocidos. La secci´ on anterior motiva la definici´on de producto para dos espacios topol´ ogicos, donde adem´as de mirar la parte conjuntista debemos hacer intervenir la estructura topol´ogica; es decir, dados (X, T), (Y, H) dos espacios topol´ ogicos, el producto X × Y de los dos espacios debe tener una topolog´ıa que haga que las dos proyecciones sean morfismos topol´ ogicos, es decir, las dos funciones pX : X × Y −→ X y pY : X × Y −→ Y ‘deben’ ser continuas.

G. R

UB

Como pX debe ser continua, dado un abierto U ⊆ X, p−1 X (U ) = U × Y (V ) = X × V debe ser abierto debe ser abierto en X × Y ; similarmente p−1 Y si V lo es en Y . As´ı que tanto U × Y como X × V deben ser abiertos, y puesto que queremos una topolog´ıa en X × Y la intersecci´on de los abiertos tendr´a que ser un abierto, i. e., (U × Y ) ∩ (X × V ) = U × V debe ser un abierto de X × Y . Proposici´ on 8.1. Dados (X, T), (Y, H) espacios, la colecci´on B = {U × V : U ∈ T, V ∈ H}

es base para una topolog´ıa en X × Y . Demostraci´on. Claramente B es un cubrimiento. Sean B1 , B2 en B con B1 = U1 × V1 , B2 = U2 × V2 . Dado (m, n) ∈ B1 ∩ B2 existe B3 = (U1 ∩ U2 ) × (V1 ∩ V2 ) tal que (m, n) ∈ B3 ⊆ B1 ∩ B2 con B3 ∈ B. La topolog´ıa de la proposici´ on anterior se llama topolog´ıa producto en X × Y para los espacios (X, T), (Y, H). La topolog´ıa producto es la ‘mejor’, la que posee la menor cantidad posible de abiertos de tal manera que las proyecciones sean continuas, o en otras palabras, la topolog´ıa producto es la intersecci´on de todas las topolog´ıas en X × Y que hacen las proyecciones continuas.

119

8.2 La topolog´ıa producto –caso finito–

Definimos la topolog´ıa producto para un n´ umero finito de espacios topol´ogicos X1 , . . . , Xn como la topolog´ıa generada por la subbase S formada por la colecci´ on de las im´agenes inversas de abiertos por medio de las proyecciones S = {p−1 i (Ui ) : Ui abierto de Xi , i = 1, . . . , n}. Los conjuntos Y

Xj

O

p−1 i (Ui ) = X1 × X2 × · · · × Ui × · · · × Xn = Ui ×

j6=i

IA N

se denominan cilindros abiertos. De suerte que los elementos de la base generada (llamados cajas abiertas) son de la forma B = U1 × U2 × · · · × Un .

(8.1)

UB

Ejercicios 8.2

1. ¿Es el producto de dos espacios groseros un espacio grosero?

G. R

2. ¿C´omo es la topolog´ıa para el producto de dos espacios, uno con la topolog´ıa discreta y el otro con la topolog´ıa grosera? 3. Sean (X, T), (Y, H) dos espacios topol´ogicos. Muestre que si BX , BY son bases para X, Y respectivamente, entonces BX × BY = {BX × BY : BX ∈ BX , BY ∈ BY }

es una base para el espacio producto.

4. ¿Se puede localizar el anterior ejercicio para obtener una base local en el punto (x, y) ∈ X × Y a partir de bases locales para x y y respectivamente?

5. Muestre que el producto finito de espacios 2–contable es un espacio 2–contable. 6. Muestre que si A es cerrado en X y B es cerrado en Y entonces A × B es cerrado en X × Y . ¿Se tiene la rec´ıproca?, i. e., ¿es todo cerrado un producto de cerrados? Sugerencia: (X × Y )/(A × B) = ((X/A) × Y ) ∪ (X × (Y /B)).

120

La topolog´ıa producto

7. Muestre que X × Y es ‘can´ onicamente’ isomorfo a Y × X. 8. Muestre que (R, usual) × (R, usual) = (R2 , usual). 9. ¿Es pX : X × Y −→ X una funci´ on abierta? ¿Una funci´on cerrada?

O

10. * Sean (X, 0 tal que (s−ε, s] ⊆ U si s = b o para s < b tendr´ıamos (s − ε, s + ε) ⊆ U y por ser s un sup existe δ > 0 tal que δ < ε y s − δ ∈ M . Luego el intervalo [a, s − δ] est´a contenido en la uni´ on de un subcubrimiento finito de U, llam´emoslo M. Por tanto M ∪ {U } es un recubrimiento finito de [a, s], es decir s ∈ M . Si s fuese menor que b entonces (∪M) ∪ U contendr´ıa a [a, s + ε] y contradice que s es sup de M .

10.1 Espacios compactos

IA N

O

Esta propiedad de los intervalos cerrados y acotados de R la generalizamos a los espacios topol´ ogicos y con la siguiente definici´on2 le damos nombre.

UB

Definici´ on 10.3. Un espacio (X, T) se dice compacto si cada cubrimiento abierto de X admite un subcubrimiento finito.

G. R

A ⊆ X es compacto si A como S subespacio deSX es compacto; i. e., dado un cubrimiento abierto A ⊆ i∈I Vi —A = i∈I (Vi ∩ A) es reuni´on de abiertos del subespacio—, existe una subfamilia finita Vi1 , Vi2 , . . . , Vik S S tal que A ⊆ ki=1 Vik ; esto implica A = nk=1 (Vik ∩ A). La siguiente visualizaci´ on de la compacidad s debe a John D. Baum: Supongamos que una gran multitud de personas —posiblemente infinitas— est´an afuera bajo la lluvia, y que cada una de estas personas usa su sombrilla, claramente ellas permanecer´an sin mojarse. Pero por supuesto es posible que ellas est´en juntas de manera tan compacta, que no sea necesario sino que un n´ umero finito de ellas abran sus sombrillas y todav´ıa permanezcan sin mojarse. En este caso pensamos que ellas forman una especie de espacio compacto.

2

Fue introducida en 1923 con el nombre inicial de bicompacto y de manera independiente por el gran top´ ologo ruso Pavel Alexandroff (1896-1982 Mosc´ u) y por el matem´ atico ucraniano Pavel Urysohn (Odessa, Ucrania 1898–Francia 1924).

164

Compacidad

EJEMPLO 10.1

1. Si X es un conjunto finito toda topolog´ıa es compacta. 2. (R, cof initos) es compacto pues dado un cubrimiento abierto U, tomemos U ∈ U; como U c es finito necesitamos adjuntarle a U tan solo finitos miembros de U para obtener un subcubrimiento abierto.

O

3. Ru no es compacto pues el cubrimiento abierto formado por la colecci´on (n − 1, n + 1) para n ∈ Z no tiene un subcubrimiento finito.

IA N

4. Para un conjunto infinito X y a ∈ X, (X, T a ) es compacta mientras (X, Ta ) no lo es. EJEMPLO 10.2

UB

La compacidad no se hereda. Por ejemplo, el intervalo (0, 1) ⊆ [0, 1] no es compacto pues {(0, 1 − 1/n)}n∈N es un cubrimiento abierto de (0, 1) que no se puede reducir a un subcubrimiento finito. K En caso que el subespacio sea cerrado, la compacidad si es hereditaria.

G. R

Teorema 10.4. Sean (X, T) un espacio compacto y A ⊆ X un cerrado, entonces A es compacto. S Demostraci´on. Sea U una familia de abiertos de X tal que A ⊆ U. Si a˜ nadimos a U el conjunto Ac obtenemos un cubrimiento abierto de X. Luego existen U1 , . . . , Un en U tales que X = U1 ∪ U2 ∪ . . . ∪ Un ∪ Ac y por tanto A ⊆ U1 ∪ U2 ∪ . . . ∪ Un . EJEMPLO 10.3

En (R, [a, b)) el subespacio [0, 1] no es compacto, pues [0, 1) no lo es y es un cerrado en [0, 1]. La compacidad es un invariante topol´ ogico; m´as a´ un, es preservada por las funciones continuas y esta es otra manera de mostrar si un espacio es compacto: vi´endolo como una imagen continua de un compacto. Teorema 10.5. Sea f : (X, T) −→ (Y, H) sobre y continua. Si X es compacto entonces Y es compacto.

165

10.1 Espacios compactos

Demostraci´on. Sea U un cubrimiento abierto de Y . La familia f −1 (U) = {f −1 (U ) : U ∈ U} es un cubrimiento abierto de X. Como X es compacto, existe un subcubrimiento {f −1 (U1 ), . . . , f −1 (Un )} de f −1 (U) y por ser f sobre tenemos f (f −1 (Uk )) = Uk para 1 ≤ k ≤ n. As´ı, Y = f (X) = U1 ∪ . . . ∪ Un y por tanto U admite un subcubrimiento finito.

O

Corolario 10.6. No existe f : [0, 1] −→ (0, 1) continua que sea sobreyectiva. Por tanto estos espacios no pueden ser homeomorfos.

IA N

Los subconjuntos compactos de un espacio de Hausdorff tienen propiedades deseables, que pueden faltarles a los espacios compactos en general. Esta es una raz´ on para que algunos autores llamen ‘compacto’ a lo que nosotros hemos definido, exigiendo adem´as que el espacio sea de Hausdorff —bicompactos para la antigua escuela rusa y aun para la escuela Bourbaki—.

UB

Una de estas propiedades es que ellos se pueden ‘separar’ de los puntos que no contienen. ....................................... .................... ........ ........... ...... ...... ..... .... ..... .... .... ... ... ... ... . . . . . ... ... ... .. . . . ... . . .... .. .... ... . .. ... .... . .. .. .... . . . ... .... ... . . .... . .. .... .... . .... .. .... ... ... .... .... x . ... . a ... ... .. ... .. . ... .. ... . . . . . . ....... ..... ....... ..... ...... ...... ........ ........... ..............................

G. R

A

a •

U

.... .... .... .... .... .... ... ... .. ... .. ... ... ... ... . . . ... ... .... .... .... ... . .... ....

• x

Uxa

Figura 10.1: Los compactos en un espacio de Hausdorff son cerrados.

Teorema 10.7. Sean (X, T) un espacio de Hausdorff y A un subespacio compacto de X. Dado x ∈ X con x ∈ / A, existen vecindades disyuntas Vx , VA de x y de A respectivamente. —En particular esto implica que A es cerrado—. Demostraci´on. Sea a ∈ A. Como X es de Hausdorff, existen abiertos disyuntos Uax , Uxa de a, x respectivamente. Cuando a var´ıa en A, obtenemos un cubrimiento de A dado por U = {Uax | a ∈ A} y de ´el extraemos un

166

Compacidad

subcubrimiento finito {Uax1 , . . .S , Uaxn }. Si Ux = Sn x ( i=1 Uai ) = ∅ y adem´as A ⊆ ni=1 Uaxi .

Tn

ai i=1 Ux

entonces Ux ∩

El hecho de que una funci´ on continua f sea una biyecci´on asegura la existencia de su inversa, pero no la continuidad de esta u ´ltima, i. e., no podemos tener la certeza de que f sea una funci´on abierta. El teorema 10.8 muestra que bajo ciertas circunstancias, como en el caso de los espacios compactos, todas las biyecciones continuas son funciones abiertas.

IA N

O

En general compacidad y Hausdorff son una buena combinaci´on, de hecho forman una propiedad ´ optima (realmente minimal, ejercicio 18). Una topolog´ıa que es m´as fina que una topolog´ıa de Hausdorff es de Hausdorff, mientras que una topolog´ıa que es m´as gruesa que una topolog´ıa compacta es a su vez compacta.

UB

Teorema 10.8. Sean (X, T), (Y, H) espacios con X compacto y Y de Hausdorff. Si f : X −→ Y es una biyecci´on continua entonces f es un homeomorfismo.

G. R

Demostraci´on. Solo nos resta verificar que f −1 es continua, i. e., f es cerrada. Si C en un cerrado de X entonces C es compacto y por tanto f (C) es compacto en Y , y como Y es Hausdorff, f (C) es adem´as cerrado. EJEMPLO 10.4

Un camino sobreyectivo f : [0, 1] −→ [0, 1] × [0, 1].

Figura 10.2: Construcci´ on de una curva de Peano.

167

10.1 Espacios compactos

Estos caminos existen3 aunque la intuici´on nos falle y se construyen mediante un proceso iterativo como en la figura 10.2— no puede ser inyectivo, i.e., el camino pasa dos veces por el mismo punto, pues de lo contrario ser´ıa una biyecci´on y por el teorema anterior un homeomorfismo, y ya sabemos que estos espacios no son homeomorfos.

O

Ejercicios 10.1

IA N

1. Sean (X, T), (Y, H) espacios con X compacto y Y de Hausdorff. Si f : X −→ Y es continua entonces f (A) = f (A) para todo A ⊆ X. 2. ¿Es la intersecci´ on de espacios compactos un compacto? Sugerencia: considere el espacio producto

X = (R, usual) × ({0, 1}, grosera).

UB

Grafique los subespacios S (a) A = [a, b] × {0} (a, b) × {1}, S (b) B = (a, b) × {0} [a, b] × {1}.

G. R

Como cada abierto que contiene al punto (a, 0) contiene al punto (a, 1), entonces A y B son compactos. Pero A ∩ B = (a, b) × {0, 1} no es un compacto ya que el intervalo (a, b) no lo es.

3. ¿Es la uni´ on de espacios compactos un compacto? 4. Muestre que ([0, 1), usual) no es compacto. 5. Considere a (0, 1) con la base {(0, 1/n)}n∈N . ¿Qui´en es la adherencia de (0, 1/2)? ¿Es (0, 1/2) compacto? 6. Muestre que en un espacio de Hausdorff, A es compacta si A lo es.

7. Sea (X, T) un espacio 1-contable. X es de Hausdorff si y solo si cada subconjunto compacto es cerrado. 3

Fue el matem´ atico italiano Giuseppe Peano (Spinetta 1858–Tur´ın 1932) el primero en descubrir una de ellas, y se llaman desde entonces curvas de Peano. La famosa curva de Peano que llena el espacio apareci´ o en 1890 como un contraejemplo que us´ o para mostrar que una curva continua no puede ser encerrada en una regi´ on arbitrariamente peque˜ na. Este fue un ejemplo temprano de lo que se conoce como fractal.

K

168

Compacidad

8. Sea X = ([0, 1), usual). Muestre que la funci´on e : X −→ S 1 definida por e(t) = (cos 2πt, sen 2πt) —la restricci´on de la funci´on exponencial— es una biyecci´ on continua que no es un homeomorfismo. 9. Muestre que el conjunto [0, 1]×[0, 1] como subespacio de (R2 , lexico) no es compacto.

O

10. Sea (X, ≤) un conjunto parcialmente ordenado con un primer elemento y dotado con la topolog´ıa de colas ↑ x a derecha (filtros de orden principales). Muestre que X es compacto.

IA N

11. Sea (X, ≤) un conjunto totalmente ordenado. La topolog´ıa del orden es compacta si y solo si X es un ret´ıculo completo. Revise la demostraci´ on del teorema 10.2. 12. Muestre que un espacio discreto es compacto si y solo si es finito.

UB

13. Sean T1 , T2 dos topolog´ıas para X. Muestre que si T1 es compacta y T2 ⊆ T1 entonces T2 es compacta. 14. Regularidad–compacidad local. Muestre que en un espacio Hausdorff y compacto, dado x ∈ X y cualquier vecindad Vx , existe una vecindad abierta Ux tal que Ux ⊆ Ux ⊆ Vx .

G. R

15. No abundan los compactos. Si (X, T) es de Hausdorff y todos los subconjuntos de X son compactos entonces la topolog´ıa es discreta. 16. Sea (X, T) un espacio. La familia Gcompacto := {U ∈ G : U c es compacto} ∪ {∅}

es una topolog´ıa compacta para X.

17. Muestre que en un espacio m´etrico todo subconjunto compacto es cerrado y acotado. ¿Se tiene la rec´ıproca? 18. Muestre que compacto–Hausdorff es una propiedad minimal: si X es compacto y de Hausdorff con respecto a una topolog´ıa T, entonces cualquier otra topolog´ıa que sea estrictamente m´as fina que T es de Hausdorff pero no compacta, mientras que toda otra topolog´ıa m´as gruesa que T es compacta pero no de Hausdorff. Sugerencia: aplique el teorema 10.8 a la funci´on id´entica de X.

169

10.2 Dos caracterizaciones de la compacidad

10.2 Dos caracterizaciones de la compacidad 10.2.1 Compacidad v´ıa cerrados

O

Sean X un conjunto y A = {Ai }i∈I , una familia de subconjuntos de X. A tiene la propiedad de la intersecci´ on finita PIF si la intersecci´on de cualquierTsubfamilia finita de A es no vac´ıa, i. e., si para todo J ⊆ I finito se tiene j∈J Aj 6= ∅. El siguiente teorema da una caracterizaci´on de la compacidad en t´erminos de los subconjuntos cerrados del espacio.

IA N

Teorema 10.9. Un espacio (X, T) es compacto si y solo si cada colecci´on C = {Ci }i∈I de cerrados que posee la PIF satisface que ∩C 6= ∅.

UB

T Demostraci´ o n. ⇒) Para cada i ∈ I, sea U = X − C . Si i i i∈I Ci = ∅ S entonces i∈I Ui = X y por tanto {Ui }i∈I es un cubrimiento abierto de X. Sn Como X es compacto existe Ui1 , Ui2 , . . . , Uin un subcubrimiento finito k=1 Uik = X y al tomar complementos en esta igualdad se contradice la PIF para C. ⇐) Si X no es compacto existe {Ui }i∈I cubrimiento abierto que no se puede reducir a uno finito. Sea Ci = X − Ui para cada i ∈ I. Claramente C = {Ci }i∈I tiene la PIF pero ∩C = ∅, lo que contradice la hip´otesis.

G. R

Corolario 10.10 (Encaje de Cantor). Sea (X, T) un espacio compacto. Si C = {Ci }, (i ∈ I) es una cadena descendente —encaje— de cerrados no vac´ıos entonces ∩C 6= ∅. Demostraci´on. C satisface la PIF.

EJEMPLO 10.5

Ru no es compacto, ya que la familia de cerrados {[z, ∞)}z∈R tiene la PIF, y sin embargo la intersecci´ on de todos los elementos de esta familia es vac´ıa. La siguiente proposici´ on generaliza el cl´asico teorema de B. Bolzano4 dado en 1830 en el contexto de los n´ umeros reales: cada subconjunto infinito y acotado de n´ umeros reales tiene un punto de acumulaci´on. 4

Matem´ atico checo (1781 Praga-1848 Praga). Bolzano liber´ o de manera exitosa al c´ alculo del concepto de infinitesimal. Tambi´en dio ejemplos de funciones 1-1 entre elementos de un conjunto infinito y elementos de un subconjunto propio. Se adelant´ o a los analistas rigurosos del siglo XIX, a saber: en el concepto de funci´ on continua y en la demostraci´ on de sus propiedades, en el criterio de convergencia de series, y en la existencia

170

Compacidad

Proposici´ on 10.11 (Bolzano-Weierstrass). Todo subconjunto infinito de un espacio compacto X tiene un punto de acumulaci´on.

O

Demostraci´on. Si A es un subconjunto de X que no tiene puntos de acumulaci´on, veamos que A es finito. Como A no tiene puntos de acumulaci´on, entonces para todo x ∈ X existe Vx tal que Vx ∩A = ∅ ´o Vx ∩A = {x} en el caso que x ∈ A. La colecci´ on {Vx }, (x ∈ X) forma un cubrimiento abierto de X (compacto) S el cual admite un subcubrimiento finito Vx1 , . . . , Vx2 . Claramente A ⊆ ni=1 Vxi = X y por tanto A tiene a lo m´as {x1 , x2 , . . . , xn } puntos.

IA N

En un espacio compacto todo subconjunto que no tenga puntos de acumulaci´on es finito, i. e., todo se acumula excepto lo finito. Si el espacio compacto es adem´as de Hausdorff, el siguiente teorema da condiciones para su cardinalidad.

UB

Teorema 10.12. Sea X un espacio compacto y de Hausdorff, con la propiedad que cada uno de sus puntos es de acumulaci´on, i. e., no posee puntos aislados. Entonces X es incontable.

G. R

Demostraci´on. Dado A = {a1 , a2 , . . .} ⊆ X mostremos que existe x ∈ X tal que x ∈ / A. Para encontrar tal x construiremos un encaje de cerrados no vac´ıos C1 ⊇ C2 ⊇ CT / Cn y como X 3 ⊇ · · · con la propiedad que an ∈ ∞ es compacto existe x ∈ n=1 Cn . Para la construcci´ on de {Cn }n utilizamos de manera inductiva el siguiente hecho: dados un abierto U 6= ∅ y b ∈ X, existe una vecindad W contenida en U y tal que b ∈ / W (b puede estar o no en U ). En efecto, sea y ∈ U con y 6= b (si b ∈ U utilizamos que b es de acumulaci´on, si b ∈ / U tomamos y ∈ U pues U 6= ∅). Como el espacio es de Hausdorff, existen vecindades Vby ∩ Vyb = ∅; luego, Wy = Vyb ∩ U satisface b ∈ / W. La construcci´ on: sea X el primer abierto y escojamos W1 ⊆ X con a1 ∈ / W1 . Hagamos C1 = W1 . Sea W2 ⊆ W1 con a2 ∈ / W 2 y C2 = W 2 . Continuamos este proceso escogiendo Wn+1 T ⊆ Wn con an+1 ∈ / Wn+1 y hacemos y Cn+1 = Wn+1 . La intersecci´ on ∞ C nos proporciona el n=1 n punto x ∈ / A. de funciones continuas sin derivadas; pero por haber publicado sus escritos de an´ alisis en Praga, ciudad entonces alejada de los centros cient´ıficos, o por permanecer in´editos, como su importante Teor´ıa de Funciones, que apareci´ o en 1930, la influencia de sus ideas fue escasa. Defini´ o lo que hoy se conoce como sucesiones de cauchy.

171

10.2 Dos caracterizaciones de la compacidad

Corolario 10.13. R es incontable.

10.2.2 Compacidad v´ıa filtros Definici´ on 10.14. Sea F un filtro en el espacio (X, T). Un punto x ∈ X es adherente al filtro si para toda Vx y todo F ∈ F se tiene Vx ∩ F 6= ∅. Es decir, V(x) ∩ F es una base de filtro.

IA N

O

Definimos F la adherencia del filtro como el conjunto de puntos que son adherentes al filtro; en particular \ F = {F | F ∈ F}. Teorema 10.15. Un espacio X es compacto si y solo si cada filtro en X tiene un punto adherente.

UB

Demostraci´ on. ⇒) Sean X compacto, F un filtro en X y veamos que T {F | F ∈ F } 6= ∅. La colecci´ on C := {F | F ∈ F } posee la PIF, pues dada F1 , F2 , . . . , Fn una subfamilia finita de C n \

Fi ⊆

i=1

Fi

i=1

Tn

i=1 Fi

6= ∅, con lo cual

Tn

i=1 Fi

6= ∅. Por

G. R

y como F es un filtro tenemos tanto ∩C 6= ∅ y as´ı F = ∩C 6= ∅.

n \

⇐) Para verificar que X es compacto tomemos una familia C de cerrados con la PIF. C es una subbase de un filtro F pues el conjunto M de todas las intersecciones finitas de elementos de C es una base de filtro ya que 1. La intersecci´ on no vac´ıa de dos elementos de M contiene a un elemento de M.

2. M es no vac´ıo y el conjunto vac´ıo no es un elemento de M. Sea F el filtro generado por M, i. e., F := hMi = {F ⊆ X : M ⊆ F, alg´ un M ∈ M}. T 6 ∅ y por tanto existe x ∈ X con x ∈ {F | F ∈ F} y Sabemos que F = como C ⊆ F tenemos \ \ \ {F : F ∈ F} ⊆ {C : C ∈ C} = {C : C ∈ C}, T pues cada C es cerrado. De tal manera que x ∈ {C : C ∈ C}.

172

Compacidad

EJEMPLO 10.6

(R, cof initos) es compacto (v´ıa los filtros).

IA N

O

Sea F un filtro en R y supongamos que a ∈ R satisface que a ∈ / F, i. e., existen Va y F ∈ F para los cuales Va ∩ F = ∅. Luego F ⊆ X − Va y como la topolog´ıa es la de los cofinitos F es un conjunto finito, digamos F = {x1 , x2 , . . . , xn }. Afirmamos que existe un ´ındice i ∈ {1, 2, . . . , n} para el cual se satisface que el punto xi est´a en todos los elementos del filtro, pues en caso contrario existen F1 , . . . , Fn ∈ F (uno por cada ´ındice) tales que xk ∈ / Fk , (k = 1, . . . , n) y as´ı F ∩ (F1 ∩ . . . ∩ Fn ) = ∅ lo cual no puede suceder. Para este ´ındice i se tiene entonces que xi ∈ F.

10.2.3 Compacidad v´ıa ultrafiltros

UB

K La compacidad tiene una definici´ on en t´erminos de los ultrafiltros.

G. R

Teorema 10.16. Un espacio (X, T) es compacto si y solo si cada ultrafiltro en X es convergente.

Demostraci´on. ⇒) Sea U un ultrafiltro en X y supongamos que U no es convergente; para cada x ∈ X existe Vx abierta tal que Vx ∈ / U, y como c U es un ultrafiltro entonces Vx ∈ U. Por supuesto {Vx }, (x ∈ X) es un cubrimiento abierto de X y por la compacidad a un Snlo podemos Treducir n c c subcubrimiento finito Vx1 , Vx2 , · · · , Vxn . As´ı, ( i=1 Vxi ) = i=1 Vxi = ∅, con lo cual ∅ estar´ıa en U y esto no puede suceder. ⇐) Consideremos una familia C = {Ci }i∈I de cerrados en X con la PIF y veamos que ∩C = 6 ∅. C es una subbase de filtro, en el sentido que la colecci´on de las intersecciones finitas de elementos de C forman una base de filtro. Sea U un ultrafiltro que contiene al filtro generado por esta subbase, hCi ⊆ U. Como U es convergente, sea p ∈ X tal que U → p. Tenemos que p ∈ ∩C pues de lo contrario existe C ∈ C con p ∈ C c , luego C c ∈ U por ser vecindad de p y tendr´ıamos que tanto C como C c est´an en U, lo cual no puede suceder.

173

10.3 Producto de dos compactos

EJEMPLO 10.7

(R, cof initos) es compacto (v´ıa los ultrafiltros).

IA N

10.3 Producto de dos compactos

O

Sea U un ultrafiltro en R y veamos que ´el es convergente. Si U es principal entonces claramente es convergente. Si no es principal todos sus elementos son infinitos, y por tanto dado un x y una vecindad Vx cualquiera se tiene que Vx ∈ U pues de lo contrario Vxc ∈ U, pero sabemos que U no la admite por ser finita. Por tanto U converge a todo punto.

G. R

UB

Teorema 10.17. Sean (X, T), (Y, H) dos espacios. La topolog´ıa producto para X × Y es compacta si y solo si X y Y son compactos.

Demostraci´on. ⇒) Si X × Y es compacto, las proyecciones nos garantizan que tanto X como Y tambi´en son compactos. ⇐) Sea O = {Oi }, (i ∈ I) un cubrimiento abierto de X × Y . Por cada (x, y) ∈ X × Y existen abiertos Vxy ⊆ X, Vyx ⊆ Y tales que (x, y) ∈ Vxy × Vyx ⊆ Oi para cada Oi que contenga a (x, y). Luego es suficiente mostrar que los rect´angulos b´asicos Vxy × Vyx construidos de esta manera contienen una subfamilia finita que recubre a X × Y , ya que para cada elemento de esta subfamilia tomamos uno de los Oi que lo contiene. Dado y ∈ Y , consideremos la familia {Vxy }x∈X , la cual es un cubrimiento abierto de X y por tanto existe un subcubrimiento Vxy1 , Vxy2 , . . . , Vxym

174

Compacidad

—m(y) es un entero que depende de y—. Por cada i = 1, . . . , m(y) conTm(y) sideremos el respectivo Vyxi y construyamos Qy = i=1 Vyxi una vecindad abierta de y. N´otese que {Vxy1 × Qy , Vxy2 × Qy , . . . , Vxym(y) × Qy }

{Vxykt × Qyt }t=1,2,...,n k=1,2,...,m(yt )

O

es un cubrimiento abierto de X × Qy . Como este Qy fue construido para un y dado, la familia {Qy }y∈Y es cubrimiento abierto de Y . Sea Qy1 , . . . , Qyn un subcubrimiento finito; luego la familia

IA N

es un cubrimiento abierto y finito de X × Y . Como Qy ⊆ Vyxk la familia {Vxy × Vyx }(x,y) , (x, y) ∈ X × Y admite un subcubrimiento finito.

UB

¿C´omo caracterizar los subespacios en Rnu que son compactos? Teorema 10.18. A ⊆ Rnu es compacto si y solo si A es cerrado y acotado.

G. R

Demostraci´on. ⇒) Si A es compacto entonces A es cerrado. Para ver que es acotado notemos que {Bn (0)}, (n ∈ N) con 0 = (0, 0, . . . , 0) es un cubrimiento abierto de A. Como A es compacto, est´a contenido en la uni´on de un n´ umero finito de estas bolas, pero esta uni´on es precisamente la bola de radio m para m el mayor de los radios. ⇐) Si A es acotado lo podemos colocar dentro de un cubo n–dimensional, i. e., existe un t ∈ N tal que A ⊆ [−t, t] × [−t, t] × · · · × [−t, t] —n copias de [−t, t]—

y como cada [−t, t] es compacto, tenemos que A es un cerrado contenido en un compacto, luego A es compacto. EJEMPLO 10.8

Los subconjuntos de matrices On y SOn (ejemplo 2.8) son compactos por 2 ser subconjuntos cerrados y acotados de Rn , mientras que GLn no lo es pues se trata de un subconjunto abierto; tampoco es conexo por cuanto es la uni´on disyunta de los abiertos formados por las matrices con determinante positivo y negativo respectivamente.

175

10.3 Producto de dos compactos

EJEMPLO 10.9

El toro T y la cinta de M¨ obius son compactos por ser cerrados y acotados. Note que T tiene una representaci´ on en R3 que equivale a pegar en cada punto de S 1 al mismo S 1 algo m´as reducido, luego lo podemos ver como el producto S 1 × S 1 de dos compactos. EJEMPLO 10.10

O

Una funci´on num´erica y continua sobre un espacio compacto es acotada y tiene valores tanto m´aximo como m´ınimo.

IA N

En otras palabras, si X es compacto y f : X −→ Ru es continua, entonces existen a, b ∈ X tales que f (a) ≤ f (x) ≤ f (b) para todo x ∈ X. Esto es consecuencia directa del hecho que el conjunto f (X) ⊆ R es cerrado y acotado.

UB

Proposici´ on 10.19. Sean (X, T), (Y, H) espacios topol´ogicos con Y compacto. Si M ⊆ X × Y es un cerrado entonces la proyecci´on pX (M ) es un cerrado en X —la funci´ on proyecci´ on pX es cerrada—.

G. R

Demostraci´on. Veamos que el complemento de pX (M ) es un conjunto abierto. Si a ∈ / PX (M ) entonces {a} × Y ⊆ M c . Por cada (a, y) existe un abierto b´asico Vay × Vya ⊆ M c . La colecci´on {Vya },T (y ∈ Y ) cubre a Y y la reducimos a una finita {Vyai }ni=1 ; entonces Va = ni=1 Vayi satisface Va ∩ PX (M ) = ∅ y as´ı Va ⊆ PX (M )c . EJEMPLO 10.11

En la proposici´ on 10.19, si Y no es compacto pX (M ) no necesariamente es cerrado; por ejemplo, si M = graf o(f ) ⊆ R2u y f (x) = 1/x. Proposici´ on 10.20 (Wallace). Sea A × B un subespacio compacto de un espacio producto X × Y . El conjunto {V1 × V2 : V1 ∈ V(A), V2 ∈ V(B)} es un sistema fundamental de vecindades del conjunto A × B. Demostraci´on. Sea W un abierto con A×B ⊆ W . Por cada (x, y) ∈ A×B existe Uxy × Vyx ⊆ W . La colecci´ on {Uxy }, (x ∈ A) es un cubrimiento de

176

Compacidad

A×B

.... ......... ... ... ... ................................................................................................................................................................ .. .... ... .. .. ... ... .. ........ ...... ...... ...... .......... ...... ...... ...... .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . .. . . . .. ...... ......... .. ... ... .... .... ... ... . . . . . ... . ............................................................. ................................. ............. .. . .. .. .. .. .. .. ... ... .. .. .... .... .... .... .. ... ... ......... ..... ... ........ ..... ..... ..... ... ... ... ... ... . . . ... . .. .... ... .... ...... . . . . . ... . . ... ... ...... ......... .. ..... ..... .... ..... .. . .. ... . . . ... . ..... ..... ... .... .... .... ... ... . . . . . . . . . . . . ... . . . . ....... ...... ...... .......... ........... ......... .. ........ ......... ........ ... ....... .. ... ... .. .. .... .... .... .... .. ... ... .. .. ....... . . ..... .... .. ........ ..... ..... ..... ... ... .......... ... ... . .... .... ..... ... . .. .... ... .... ..... . .. ... . . . . . ............ .. ...... ..... ... .. ..... ..... ..... ..... ... .. .. ... . . . . . . ... ........ .... ... ........ ....... ...... ....... ...... ... .... ........ ....... ...... .. .. . ... ... ..... ..... ..... ........ .. ... ..... ..... ... ... ... ... ... ........ ..... ... ... .... .. ... ... ... ... .. . ..... ...... ..... ...... ..... . . . . . ... . . ... . . . .. ..... ..... ... ... . .. ..... ..... ..... ..... ... . .. ... . . ... . . . .. ....... ...... ... .. ...... ...... ..... ..... .... ... ... . . . ... .. ..... ........ .. .. ... ..... ..... ...... ........ ... ... . . . . . . .... ..... ... . ...... ..... .... ..... ... . .. ... . ... . . .... .... ... ... .... ..... ..... ..... ..... . .. .. ... . ... . . . . . . . . .. ...... ...... ... .. .. ..... ...... ..... ..... ... . ... . . . . . . .. ... .................................... .... ................................................................. ... .............. .... . ... ... ... .... ....... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... .... .. .... .. ..... ... . ... ... . . ...... . . . . ... . . . . .............................................................................................................................................. ... ...... ...... ...... ...... .. ............................................................................................................................................................................................................................................... ...... ...... ...... ...... .... ..

◦

U ×V

...............

.......

IA N

◦................................................................◦ A U

O

......... A × {y} . .......... V B. .......... ........ ......

W

◦..

G. R

UB

A × {y} reducimos a uno finito {Uxyi }ni=1 ; consideremos la vecindad Tn el cual Vy = i=1 Vyxi . S Para los abiertos U y = ni=1 Uxyi y Vy tenemos que A × {y} ⊆ U y × Vy , luego la colecci´on {Vy }, (y ∈ B) es un cubrimiento abierto de T B el cual n yi podemos Sn reducir a uno finito Vy1 , . . . , Vym ; de suerte que U = i=1 V , V = i=1 Vyi satisfacen A × B ⊆ U × V ⊆ W . EJEMPLO 10.12

Si A, o B no son compactos, la proposici´on 10.20 deja de ser verdad; por ejemplo, en (R2 , usual) considere el subconjunto [1, ∞) × [1, 2]. El abierto W es asint´otico a A×B y por tanto no podemos encontrar U × V ⊆ W .

Corolario 10.21 (Teorema del tubo). Considere el espacio producto X ×Y , donde Y es compacto. Si W es un abierto que contiene a la fibra {x0 } × Y entonces W contiene un tubo Vx0 × Y . Demostraci´on. {x0 } × Y es un compacto en el espacio X × Y .

177

10.3 Producto de dos compactos

Ejercicios 10.3 1. Muestre que la caracterizaci´ on en el teorema 10.18 no se puede extender a los espacios m´etricos en general. 2. La distancia o m´ etrica de Hausdorff mide cuan lejos est´an uno de otro dos subconjuntos compactos de un espacio m´etrico.

O

Sea (X, d) un espacio m´etrico. En H = {A ⊆ X | A es compacto}

IA N

definimos la distancia entre dos conjuntos como

dH (A, B) := max{d(A, B), d(B, A)} donde

d(a, B) := inf{d(a, b) : b ∈ B}

UB

d(A, B) := max{d(a, B) : a ∈ A}.

G. R

d(A, B)

A

d(B, A)

B

Figura 10.3: Distancias d(A, B) 6= d(B, A) entre dos discos A y B.

Muestre que dH es una m´etrica para H conocida como m´ etrica o distancia de Hausdorff. En general d(A, B) 6= d(B, A) —en R2u considere dos discos, fig. 10.3—. Es la m´axima distancia de un conjunto al punto m´as cercano en el otro conjunto. 3. Sean X, Y espacios de Hausdorff con Y compacto. f : X −→ Y es continua si y solo si graf o(f ) es cerrado en X × Y .



178

Compacidad

10.4 Teorema de Tychonoff

G. R

UB

IA N

O

Los siguientes p´arrafos est´an encaminados a demostrar el resultado que A. Tychonoff present´ o en 1930, el cual ha sido descrito algunas veces como el resultado —individualmente— m´as importante de la topolog´ıa general. Lo que s´ı es cierto sin ninguna duda, es que es uno de los medios m´as poderosos para garantizar la compacidad de ciertos espacios cl´asicos del An´alisis, ya que asegura la compacidad para el producto arbitrario de espacios compactos5 .

Figura 10.4: ....

Ya vimos como caracterizar la convergencia de una sucesi´on en un espacio producto en t´erminos de la convergencia de las proyecciones. Veamos ahora c´omo caracterizar la convergencia para los filtros. Q Lema 10.22. Sean X = i∈I Xi un espacio con la topolog´ıa producto, x = (xi ) un punto en X y F un filtro en X. F → x si y solo si para cada i ∈ I el filtro —dado por la proyecci´ on— pi (F) → xi en Xi . Demostraci´on. ⇒) Como pi es continua y F → x entonces pi (F) → xi . 5

J. L. Kelley mostr´ o en 1950 que el teorema de Tychonoff es equivalente al axioma de elecci´ on; no es de extra˜ nar as´ı que toda demostraci´ on de este teorema involucre al Lema de Zorn o alguna otra forma equivalente al axioma de elecci´ on.

179

10.4 Teorema de Tychonoff

⇐) Consideremos Vx ⊆ X una vecindad de x. No perdemos generalidad si suponemos que Vx es un abierto b´asico: Y Xi , i 6= i1 , . . . , in . Vx = Ui1 × Ui2 × · · · × Uin ×

(Uik ×

k=1

lo que significa F → x.

Y

Xi ) = Vx ∈ F

IA N

n \

O

Luego pik (Vx ) = Uik es una vecindad de xik puesto que las proyecciones son abiertas. Como pik (F) → xik , pik (Vx ) ∈ pik Q (F), y por tanto existe F ∈ F tal que pik (F ) ⊆ pQ ik (Vx ), luego F ⊆ Uik × i6=ik Xi . Por ser F un filtro tenemos que Uik × i6=ik Xi est´a en F para cada k = 1, . . . , n. Por tanto, la intersecci´ on finita

i6=ik

UB

Q Teorema 10.23 (Tychonoff 6 ). Sea X = i∈I Xi un espacio con la topolog´ıa producto. Entonces X es compacto si y solo si cada espacio coordenado Xi es compacto. Demostraci´on. ⇒) Si X es compacto, por ser cada proyecci´on pi continua tenemos que cada Xi es compacto.

G. R

⇐) Veamos que cada ultrafiltro U de X es convergente. Ya que las proyecciones son sobreyectivas, por cada i ∈ I, pi (U) es un ultrafiltro en Xi y como cada Xi es compacto, pi (U) → xi para alg´ un xi ∈ Xi . Por el lema 10.22, U converge al punto x = (xi ), (i ∈ I) de X. La prueba del teorema de Tychonoff que hemos presentado es, por supuesto, diferente a la original, la cual en su tiempo no contaba con las herramientas de los filtros —concepto que fue introducido para estudiar la convergencia—, lo que hoy la hace tan sencilla.

Es posible encontrar al menos otras diez demostraciones diferentes de este teorema, una de ellas en t´erminos de subbases, Lema de Alexander, y otra en t´erminos de la teor´ıa de convergencia de redes. Parece que el teorema de Tychonoff marchara en contra del sentido com´ un, pues compacidad 6

El teorema recibe su nombre de Andrey Nikolayevich Tychonoff, quien en 1930 lo demostr´ o para el producto del intervalo unidad [0, 1] y en 1935 lo enunci´ o de manera m´ as general pero anotando que la demostraci´ on en este caso discurr´ıa como en el caso ˇ anterior. La primera demostraci´ on publicada se debe a Eduard Cech en un art´ıculo de 1937.

180

Compacidad

es una propiedad de ‘finitud’ (cubrimientos abiertos finitos) y no se esperar´ıa que una construcci´ on involucrando infinitud de espacios compactos fuese de nuevo compacta. EJEMPLO 10.13

Q

i∈N [0, 1]i

es compacto si lo dotamos de la topolog´ıa pro-

O

El cubo I N = ducto.

EJEMPLO 10.14

IA N

Sean ({0, 1}, Sierpinski) y (X, T) un espacio topol´ogico cualquiera. Consideremos el espacio producto Y σ(X) = {0, 1}U con {0, 1}U = {0, 1} para cada U ∈ T. U ∈T

UB

σ(X) con la topolog´ıa producto es compacto. Ahora definamos la funci´on b : X −→ σ(X) como x 7→ x b(U ), donde x b(U ) = 0 si x ∈ U o x b(U ) = 1 si x∈ / U . Claramente b es continua ya que as´ı lo son las funciones proyecci´on (pU ◦ b)−1 ({0}) = {x ∈ X : x b(U ) = 0} = {x : x ∈ U } = U ;

G. R

o m´as aun, ya que X tiene la topolog´ıa inicial dada por b. Adem´as b es abierta pues b = {b b U x : x ∈ U } = {b x:x bU = 0} = p−1 U ({0}) ∩ X.

En caso que X sea T0 tenemos que b es inyectiva y por tanto un homeob i. e., morfismo sobre X, Y b⊆ X≈X {0, 1}U . U ∈T

10.5 Compacidad y sucesiones Hist´oricamente la primera noci´ on de ‘compacidad’ se dio en t´erminos de la convergencia de sucesiones. Esta propiedad no implica ni es implicada por la noci´on de compacidad que hemos definido en t´erminos de cubrimientos abiertos. Veremos que esta noci´ on de compacidad es m´as fuerte que

181

10.5 Compacidad y sucesiones

la compacidad contable pero resultan ser equivalentes en la clase de los espacios 1-contable. Definici´ on 10.24. Un espacio (X, T) se dice compacto por sucesiones si cada sucesi´on en X contiene una subsucesi´on convergente. EJEMPLO 10.15

O

1. Todo subconjunto finito de un espacio es compacto por sucesiones (la topolog´ıa de subespacio).

IA N

2. Ru no es compacto por sucesiones y tampoco lo es el espacio (R, coenumerables). En ambos casos la sucesi´on (xn ) = N no admite ninguna subsucesi´ on convergente.

UB

Los conceptos de compacto y compacto por sucesiones no son equivalentes. En general existen espacios compactos que no son compactos por sucesiones y viceversa, aunque como veremos unas l´ıneas adelante, los ejemplos son m´as bien esot´ericos. Claro est´a que en el contexto de los espacios m´etricos estos conceptos son equivalentes (secci´ on 10.6). La compacidad por sucesiones es preservada por la continuidad; de aqu´ı que sea un invariante topol´ ogico.

G. R

Proposici´ on 10.25. Sea f : (X, T) −→ (Y, H) una funci´on continua y sobre. Si X es compacto por sucesiones, tambi´en lo es Y . Demostraci´on. Sea (yn ) una sucesi´ on en f (X). Definimos (xn ) en X to−1 mando xn ∈ f (yn ). Como X es compacto por sucesiones, existe una subsucesi´on (xnk ) y x0 ∈ X tal que xnk → x0 . Por ser f continua, en particular es secuencialmente continua y as´ı yn → f (x0 ). Una forma de compacidad m´as d´ebil que la compacidad usual y la compacidad por sucesiones es exigir tan solo que los cubrimientos abiertos que deben tener subcubrimientos finitos sean los cubrimientos contables. Esta compacidad contable posee muchas de las propiedades topol´ogicas que posee la compacidad; m´as a´ un, en el contexto de los espacios metrizables o aun en espacios de Lindeloff ellas son equivalentes.

Definici´ on 10.26. Un espacio (X, T) se dice compacto contablemente o ω–compacto si cada cubrimiento abierto y enumerable de X admite un subcubrimiento finito.

182

Compacidad

Si recordamos que un espacio es de Lindel¨of si cada cubrimiento abierto admite un subcubrimiento enumerable, entonces los espacios compactos son los que son tanto de Lindel¨ of como ω–compacto La diferencia entre compacidad secuencial y compacidad contable es tan fina que pr´acticamente se necesita la opini´on de un experto. Veamos la implicaci´on de una de ellas sobre la otra y posteriormente en 10.16 un refinado contraejemplo para la otra implicaci´on.

O

El corolario 10.32 muestra que en el marco de los espacios 1–contable los dos conceptos son equivalentes.

IA N

Teorema 10.27. Si (X, T) es un espacio compacto por sucesiones entonces X es compacto contablemente.

G. R

UB

Demostraci´on. Si X no es contablemente compacto existe un cubrimiento abierto U = {U1 , U2 , . . .} con la propiedad que no se puede Snreducirc a un subcubrimiento finito, i. e., para cada n ∈ N existe xn ∈ ( i=1 Ui ) . Sea (xnk ) una subsucesi´ on convergente de (xn ) y sea x el punto de convergencia. Tomemos Uj T ∈ U tal que x ∈ Uj . Para m > j sabemos que xm ∈ S c m c c ı que, para todos los elementos U ) = ( m i i=1 Ui luego xm ∈ Uj . As´ i=1 xnk con nk > j se tiene xnk ∈ / Uj , lo cual contradice la convergencia de la subsucesi´on. EJEMPLO 10.16

El cubo X = [0, 1][0,1] es un espacio compacto y por tanto contablemente compacto, pero no es compacto por sucesiones. X no es compacto por sucesiones —miramos a X como el conjunto de todas las funciones de I = [0, 1] en I—. Definimos una sucesi´on de funciones (αn )n∈N con αn ∈ X de la manera siguiente: dado x ∈ I, αn (x) es el n´esimo d´ıgito en la expansi´ on binaria de x. (αn )n∈N no tiene ninguna subsucesi´on convergente; en efecto, si (αnk )nk ∈N es una subsucesi´on que converge al punto α ∈ X, entonces para cada x ∈ I, αnk (x) → α(x) —recordemos que la convergencia en la topolog´ıa producto para X es puntual—. Sea t ∈ I con la propiedad que αnk (t) = 0 si nk es impar, αnk (t) = 1 si nk es par. La sucesi´on (αnk (t)) = {0, 1, 0, 1, 0, 1, . . .} no puede converger. En el ejemplo 8.4 mostramos que no es 1-contable.

183

10.5 Compacidad y sucesiones

EJEMPLO 10.17

(R, cof initos) es contablemente compacto y adem´as compacto por sucesiones.

EJEMPLO 10.18

(R, coenumerables) no es compacto por sucesiones.

IA N

O

El siguiente ejemplo muestra que en general, la propiedad de ser contablemente compacto no se hereda a los subespacios. EJEMPLO 10.19

UB

[0, 1] con la topolog´ıa usual es compacto; luego en particular es contablemente compacto. Pero (0, 1) ⊆ [0, 1] no es contablemente compacto, ya que el cubrimiento abierto {(0, 1 − 1/2n)}, (n ∈ N) no admite alg´ un subcubrimiento finito. En caso que el subespacio sea cerrado, el lector debe verificar que la propiedad s´ı se hereda.Tambi´en se debe mostrar que ser contablemente compacto es un invariante por medio de las funciones continuas.

G. R

Con la ayuda del siguiente concepto, m´as d´ebil que el concepto de punto l´ımite, podemos obtener una forma equivalente a la definici´on de compacidad contable; ver teorema 10.29. Definici´ on 10.28. Sean (X, T) un espacio y (xn ) una sucesi´on en X. Decimos que x ∈ X es un punto adherido, de adherencia o de acumulaci´ on de la sucesi´ on (xn )n∈N si toda Vx tiene infinitos t´erminos de la sucesi´on. Si una sucesi´ on (xn ) tiene una subsucesi´on convergente entonces tiene un punto adherido. Pero el hecho de que la sucesi´on posea un punto de clausura no significa que posea una subsucesi´on convergente, como lo muestra el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 10.20

El espacio X = (N × N) ∪ {(0, 0)} de Arens-Fort posee una sucesi´on que tiene un punto de clausura y no tiene una subsucesi´on convergente.

K

184

Compacidad

Observemos que el conjunto X − {(0, 0)} es enumerable, i. e., existe una biyecci´on f : N −→ X − {(0, 0)}. f es una sucesi´on que tiene a (0, 0) como punto de clausura ya que toda vecindad de este punto tiene infinitos t´erminos de la sucesi´ on, pero ninguna subsucesi´on es convergente a (0, 0) pues ya hemos visto que este espacio es de convergencia trivial.

O

Por supuesto que en los espacios m´etricos no tendr´ıamos este problema. M´as a´ un, en los espacios 1–contables tampoco lo tenemos; si x es un punto de acumulaci´on de (xn ) y {B1 , B2 , . . .} es una base local encajada para x, por cada k ∈ N podemos encontrar nk ≥ k tal que xnk ∈ Bk y la subsucesi´on xnk → x.

IA N

EJEMPLO 10.21

EJEMPLO 10.22

UB

Dados (X, T) un espacio y una sucesi´ on (xn ) en X, un punto x es un punto de clausura para la sucesi´ on si y solo si x es adherente al filtro asociado a la sucesi´on.

En Ru , 0 es un punto de clausura para la sucesi´on {0, 1, 0, 1 . . .}.

G. R

Teorema 10.29. (X, T) es un espacio contablemente compacto si y solo si cada sucesi´on tiene un punto adherido en X. Demostraci´on. ⇒) Sea (an ) una sucesi´ on en X que no tiene un punto de adherencia, es decir, para cada x ∈ X existen una vecindad abierta Wx y un N ∈ N tales que Wx ∩ {aN +1 , aN +2 , . . .} = ∅. Por cada n ∈ N definimos [ Un = {Wx : Wx ∩ {an+1 , an+2 , . . .} = ∅, x ∈ X}. Cada Un es un conjunto abierto y la colecci´on {Un }, (n ∈ N) es un cubrimiento abierto de X que no admite un subcubrimientro finito, o de lo contrario para X = Ui1 ∪ . . . ∪ Uim y m = max{i1 , . . . , im } se tiene que Um solamente puede tener finitos t´erminos de la sucesi´on que est´en antes de am+1 y as´ı am+2 no pertenece al subcubrimiento finito; luego X no ser´ıa contablemente compacto. ⇐) Si X no fuera contablemente compacto, existe un cubrimiento abierto {Un }, (n ∈ N)S que no admite un subcubrimiento finito. Por cada n ∈ N, el conjunto X − ni=1 Ui 6= ∅. Sea x1 ∈ X − U1 . Definimos Un1 como el Sn1 primer Ui donde x1 est´a. Ahora tomemos x2 ∈ X − i=1 Ui . Supongamos

185

10.5 Compacidad y sucesiones

S k Ui . Con que xk ha sido escogido y xk ∈ Unk ; escogemos xk+1 ∈ X − ni=1 estas definiciones, la sucesi´ on (xk ) de infinitos t´erminos diferentes debe poseer un punto x adherente a la sucesi´ on y adem´as x ∈ Un para alg´ un n ∈ N. Pero si N ∈ N es suficientemente grande, digamos N > n, tenemos que xk ∈ / Un para k > N . Luego Un ∈ V(x) y contiene tan s´olo finitos t´erminos de la sucesi´on, es decir, x no es un punto de clausura.

O

La siguiente noci´ on de punto de ω-acumulaci´ on para un subconjunto A —una clase particular de punto de acumulaci´on— fue introducida por Hausdorff.

IA N

Definici´ on 10.30. Dado A ⊆ (X, T), decimos que a ∈ X es un punto de ω-acumulaci´ on para A y notamos Aaω si para toda vecindad Va se tiene que Va ∩ A es un conjunto infinito. N´ otese que Aaω ⊆ Aa . EJEMPLO 10.23

UB

En un espacio compacto X todo subconjunto infinito A ⊆ X posee al menos un punto de ω-acumulaci´ on. Pues de lo contrario, por cada x ∈ X podemos encontrar una Vx abierta con Vx ∩ A finito; esta colecci´on de vecindades forma un recubrimiento abierto el cual reducimos a uno finito Vx1 . . . Vxn . Por tanto

G. R

A = A ∩ X = A ∩ (∪nk=1 Vxk ) = ∪nk=1 (A ∩ Vxk )

ser´ıa finito.

Corolario 10.31. Un espacio (X, T) es compacto contablemente si y solo si para cada A subconjunto infinito se tiene Aaω 6= ∅. Demostraci´on. ⇒) Sea A ⊆ X infinito que no admite un punto de ωacumulaci´on. Una sucesi´ on (an ) en A de t´erminos diferentes, no tiene un punto adherido o de lo contrario A lo tendr´ıa. ⇐) Aplicamos literalmente el teorema 10.29. EJEMPLO 10.24

En N consideremos la topolog´ıa generada por la base {{1, 2}, {3, 4}, {5, 6}, . . .}.

186

Compacidad

En este espacio todo A ⊆ N posee un punto de acumulaci´on; pero, por ejemplo, los n´ umeros pares no poseen un punto de ω-acumulaci´on. Note que este espacio no es compacto por sucesiones, ya que la sucesi´on {1, 2, 3, 4, . . .} no contiene ninguna subsucesi´ on convergente y tampoco admite un punto de clausura. Finalmente este espacio no es contablemente compacto, pues la base misma es un cubrimiento abierto que no admite un subcubrimiento finito.

O

Corolario 10.32. En un espacio 1-contable, los conceptos de compacidad contable y compacidad por sucesiones coinciden.

⇐) Como en el teorema 10.29.

IA N

Demostraci´on. ⇒) Sea (xn ) una sucesi´ on en X. Si A = {xn : n ∈ N} es finito existe una subsucesi´ on constante convergente. Si A es infinito, por el corolario 10.31 existe un punto a de ω-acumulaci´on, y al considerar una base encajada obtenemos una subsucesi´ on convergente al punto a.

UB

Ejercicios 10.5

G. R

1. Muestre que la compacidad por sucesiones es cerrada-hereditaria, i. e., se hereda a los subespacios cerrados. 2. Si un espacio 1–contable es compacto, entonces es compacto por sucesiones. 3. Muestre que la compacidad contable se hereda a los subespacios cerrados. 4. Muestre que el producto de dos espacios compactos por sucesiones es de nuevo compacto por sucesiones. 5. Muestre que la compacidad contable es un invariante topol´ogico. 6. D´e un ejemplo donde Aaω = Aa . 7. Muestre que en un espacio 2-contable los conceptos de compacidad, compacidad contable y compacidad secuencial son equivalentes. 8. Estudie los conceptos de compacidad para la l´ınea de Khalinsky del ejemplo 1.14 (p´agina 18).

187

10.6 Compacidad para m´etricos

10.6 Compacidad para m´etricos El estudio de la compacidad en los espacios m´etricos se facilita dado el gran n´ umero de formas equivalentes a las cuales se puede recurrir y que no se dan para los espacios en general. No olvidemos que el concepto primario de compacidad viene del estudio de espacios de funciones de subespacios de Rn en Rm .

O

El prop´osito principal de esta secci´ on es mostrar que en los espacios m´etricos los conceptos de compacidad, compacidad contable, compacidad por sucesiones y la propiedad B-W son equivalentes.

UB

IA N

Definici´ on 10.33. Un espacio m´etrico (X, d) se dice totalmente acotado si dado ε > 0 existe un subconjunto finito SF = {x1 , x2 , . . . , xn } —dependiendo de ε— llamado ε-red tal que X = ni=1 Bε (xi ), (xi ∈ F ). Lo de ε-red se justifica porque dado x ∈ X tenemos d(x, F ) < ε; esto es, una bola de radio ε no pasa sin tocar a F .

... ........ .... .. ...................................................... ........... ......... .... ........ ....... ....... .... ...... ...... ...... .... ..... ...... . . . . ..... .... ..... ... . . . .... .... .... ... . . ... .... ... . ... . ... .. .... . . ... .... .... ... . ... .... .... ... . . ... .... ..... ... ..... .... .. .. ...... ... .......... .. ...... .. ... ........ .. ..... ......... . . . . . . . . . . . . .... .... . . . ........ . . ........ ... ..... . ........ ... ..... . ... ... . ..... ..... .... ... . .. . .... . . ... ..... .... . ... .. . .. . . ... . .... ..... ..... . . ... ... ... . ..... . ... . .... . ... ... . .. ...... ...... ... . .... .... ........... ... . ....... .... .......... . ..... ... .. ............. . . . . . . . . . . ... . . ..... .............. ..... ...... ..... ...... ...... ....... ...... ... ......... ....... ............ ......... ... .. ............ ................................................................................................................................................................................................................................................................ .... ...

•

G. R

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

ε•

•

•

• (1, 1)

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

Figura 10.5: Un disco es totalmente acotado.

Como el concepto de totalmente acotado depende de la funci´on m´etrica, es de esperarse que no sea una propiedad topol´ogica. En efecto (0, 1) y (1, →) son homeomorfos por medio de f (x) := 1/x, pero el segundo espacio no es totalmente acotado. ¿por qu´e? El concepto de totalmente acotado implica el de acotado para los espacios m´etricos en general; pero no todo espacio m´etrico acotado es necesariamente totalmente acotado.

188

Compacidad

EJEMPLO 10.25

R con la m´etrica d0 (x, y) = inf{1, |x − y|} no admite una ε-red finita para ε < 1. En el caso de (Rn , usual) estos dos conceptos coinciden. La compacidad por sucesiones en los espacios m´etricos, se relaciona con la propiedad de totalmente acotado de acuerdo con el siguiente teorema.

O

Teorema 10.34. Todo espacio m´etrico (X, d) compacto por sucesiones es totalmente acotado.

UB

IA N

Demostraci´on. Si X no es totalmente acotado, existe un ε > 0 para el cual no existe ninguna ε-red finita. Construimos de manera inductiva una sucesi´on que no admite una subsucesi´ on convergente. Sea x1 ∈ X, como {x1 } no es ε-red, existe x2 con d(x1 , x2 ) ≥ ε. Supongamos que hemos construido {x1 , x2 , . . . , xn } en X con la propiedad que d(xi , xj ) ≥ ε para todo i, j ≤ n, (i 6= j). Como {x1 , x2 , . . . , xn } no es una ε-red existe xn+1 con d(xi , xn+1 ) ≥ ε, (i = 1, . . . , n). Es claro que la sucesi´on (xn ) no admite una subsucesi´ on convergente.

G. R

Corolario 10.35. Todo espacio m´etrico (X, d) compacto por sucesiones es 2-contable y separable. Demostraci´on. Como X es totalmente acotado, para cada n existe una familia de bolas abiertas B1/n (xn1 ), . . . , B1/n (xnk ) que cubre a X, donde Fn = {xn1 , . . . , xnk } es una n1 –red. La colecci´on de todasSestas bolas nos produce una base enumerable para X y la reuni´on D := n=1 Fn nos da un subconjunto enumerable y denso en (X, d). Para el caso de los espacios m´etricos ya ten´ıamos otra manera de caracterizar la compacidad contable. Corolario 10.36. Sea (X, d) un espacio m´etrico. X es contablemente compacto si y solo si es compacto por sucesiones. Demostraci´on. Por el corolario 10.32. Teorema 10.37. Todo espacio m´etrico (X, d) compacto es 2-contable.

189

10.6 Compacidad para m´etricos

Demostraci´on. Para cada (n ∈ N) la colecci´on Bn = {B1/n (x) : x ∈ X} es un cubrimiento S abierto el cual se puede reducir a uno finito An ⊆ Bn . La colecci´on A := n=1 An es contable. Dado un abierto U y x ∈ U tomemos Bε (x) ⊆ U y consideremos n tal que 1/n < ε/4. Existe B1/n (y) ∈ An con x ∈ B1/n (y). Veamos que B1/n (y) ⊆ Bε (x). Si t ∈ B1/n (y) entonces d(t, x) ≤ d(t, y) + d(y, x) ≤ 1/n + 1/n < ε/4 + ε/4 = ε.

O

N´ umero de Lebesgue

IA N

Dado un cubrimiento abierto {Uα }α de un espacio m´etrico, el n´ umero de Lebesgue para este cubrimiento es un n´ umero  > 0 tal que cada bola B (x) en X est´a contenida en al menos un conjunto Uα del cubrimiento. Este n´ umero depende del cubrimiento que se tome y nos informa que un cubrimiento no puede tener todos sus elementos por debajo de cierto di´ametro.

UB

El siguiente teorema nos garantiza la existencia del n´ umero de Lebesgue para los espacios m´etricos compactos.

G. R

Teorema 10.38. Sea U un cubrimiento abierto del espacio m´etrico (X, d) donde X es compacto por sucesiones. Entonces existe un δ > 0 —δ es el n´ umero de Lebesgue— tal que para cada x ∈ X existe U ∈ U con la propiedad que Bδ (x) ⊆ U . Decimos que el cubrimiento {Bδ (x)}x∈X es m´as fino que U. Demostraci´on. Razonando por contradicci´on, supongamos que para U no existe tal n´ umero; es decir, por cada n ∈ N existe xn tal que B1/n (xn ) no est´a contenida en ning´ un miembro de U. Como X es compacto por sucesiones, la sucesi´ on (xn ) tiene un punto adherido x. Sea U ∈ U con x ∈ U . Tomemos r = d(x, U c ), as´ı r > 0 y escogemos N ∈ N el cual satisfaga simult´aneamente que d(xN , x) < r/2 y 4/N < r. Con estas condiciones B1/N (xN ) ⊆ U ya que si d(y, xN ) < 1/N entonces y ∈ U puesto que d(x, y) ≤ d(x, xN ) + d(xN , y) ≤ r/2 + 1/N < r/2 + r/4 < r y esto finalmente contradice la manera como escogimos a xN .

Con el anterior teorema podemos probar la equivalencia entre las diferentes definiciones de compacidad, cuando nos restringimos a la categor´ıa de los espacios m´etricos.

190

Compacidad

Corolario 10.39. Sea (X, d) un espacio m´etrico. X es compacto si y solo si X es compacto por sucesiones. Demostraci´on. ⇒) Si X es compacto, entonces lo es contablemente compacto y as´ı, es compacto por sucesiones.

O

⇐) Si X es compacto por sucesiones, dado un cubrimiento U abierto de X, sea δ el n´ umero de Lebesgue. Al ser X totalmente acotado tomamos una δ-red ={x1 , x2 , . . . , xn } y por cada Bδ (xi ) escogemos un Ui ∈ U tal que Bδ (xi ) ⊆ Ui . Luego {U1 , U2 , . . . , Un } es un subcubrimiento finito de U.

IA N

Corolario 10.40 (Continuidad para compactos). Una funci´on continua f : (X, d) −→ (Y, m) de un espacio m´etrico compacto X a un espacio m´etrico Y es continua uniformemente.

UB

Demostraci´on. Dado ε > 0, la colecci´ on {Bε/2 (y)}y∈Y es un cubrimiento −1 abierto de Y y por tanto {f (Bε/2 (y))}y∈Y lo es para X. Si δ es el n´ umero de Lebesgue asociado a este cubrimiento, cada bola Bδ (x) satisface f (Bδ (x)) ⊆ Bε/2 (y) para alguna bola Bε/2 (y). Por tanto, si d(x, a) < δ entonces

G. R

m(f (x), f (a)) ≤ m(f (x), y) + m(y, f (a)) < /2 + /2 = .

Ejercicios 10.6

1. Muestre que en un espacio m´etrico los conceptos de compacidad, compacidad contable y compacidad secuencial son equivalentes. 2. Muestre que en un espacio m´etrico los conceptos de separable, 2contable y Lindel¨ off son equivalentes. 3. Muestre que un espacio m´etrico compacto es Lindel¨off y por tanto es 2-contable y separable. 4. Muestre que todo cerrado de un espacio Lindel¨off es de nuevo Lindel¨off. 5. Muestre que un espacio m´etrico (X, d) es separable si y solo si dado S ε > 0 existe D ⊆ X, D contable tal que X = Bε (d), (d ∈ D).

191

10.7 Ordinales como ejemplo

6. Sea (X, T) un espacio compacto. Dada una sucesi´on (xn ) con un u ´nico punto de clausura, muestre que ella converge a este punto. 7. Sea A ⊂ (X, d). A es totalmente acotado si y solo si A lo es. 8. Si U es un cubrimiento abierto del espacio m´etrico (X, d), el n´ umero δ de Lebesgue para U satisface: para cada A ⊆ X con diam(A) < δ existe un elemento del cubrimiento que contiene a A.

IA N

O

9. Muestre que toda funci´ on continua de un espacio compacto en un espacio m´etrico es acotada.

G. R

UB

10.7 Ordinales como ejemplo

Figura 10.6: N´ umeros ordinales.

Los n´ umeros ordinales son la consecuencia inmediata al concepto de conjunto bien ordenado —conjuntos totalmente ordenados en los cuales cada subconjunto no vac´ıo tiene un primer elemento— adjudicando a cada conjunto bien ordenado un n´ umero ordinal; dos conjuntos A, B bien ordenados tienen el mismo n´ umero ordinal, i. e., son equivalentes, si son

192

Compacidad

isom´orficamente ordenados, es decir, existe un isomorfismo f en su categor´ıa: f : A −→ B biyectiva y a ≤ b si y solo si f (a) ≤ f (b). Usualmente se utilizan las letras griegas min´ usculas α, β, γ, . . . para denotar los n´ umeros ordinales y la letra O para denotar la colecci´on total. Introducimos un orden en O de la manera siguiente. Sean α, β n´ umeros ordinales y A, B conjuntos bien ordenados que los representan; escribimos α  β si A es isomorfo con un ideal7 I en B. Este orden sobre O es total y adem´as cualquier subconjunto de O es bien ordenado.

IA N

O

El conjunto de los n´ umeros ordinales es u ´til en la construcci´on de ejemplos en topolog´ıa. O es no contable y bien ordenado por . El conjunto (O, ) contiene un elemento Ω con la siguiente propiedad: si α ∈ O y α ≺ Ω entonces {β | β  α} es contable. Ω se llama primer ordinal no contable. Por ω denotamos el primer elemento en O con la propiedad que el conjunto {α | α ≺ ω} es contable pero no finito; ω es llamado primer ordinal infinito. Los n´ umeros ordinales pueden representarse como

UB

O = 0, 1, 2, . . . , ω, ω + 1, ω + 2, . . . , 2ω, 2ω + 1, 2ω + 2, . . . , 3ω, . . . . . . , ω 2 , ω 2 + 1, . . . , ω 3 , . . . , ω 4 , . . . , ω ω , ω ω + 1, . . . , Ω, . . . Las notaciones se deben a G. Cantor pues fue ´el quien nos ense˜ n´o a contar.

G. R

Note que ω, ω + 1 son ordinales contables —es decir, su cardinalidad es la misma de N—; adem´as ω = 0, 1, 2, . . . es diferente de ω + 1 = ω ∪ {ω} = 0, 1, 2, . . . , ω

ya que el primero no tiene un u ´ltimo elemento, mientrasque el segundo s´ı. En general llamamos a un n´ umero ordinal un ordinal l´ımite si no tiene un predecesor8 inmediato. ω es el primer ordinal l´ımite, el segundo ordinal l´ımite es 2ω = 0, 1, . . . , ω, ω+1, . . . As´ı tambi´en lo son 3ω, . . . , ω 2 , . . . , ω 3 , .. y llegamos a ω ω donde su cardinal no es NN =c, ¡´el todav´ıa es un ordinal  contable —insomnio—! Si un n´ umero ordinal no es l´ımite lo llamamos ordinal sucesor. 7

Recordemos que I ⊆ B es un ideal si dados x, y ∈ B con x ∈ I, y ≤ x implica y ∈ I; es decir, para cualquier elemento y ∈ I se tiene ↓ y ⊆ I (todos los precedentes a ´el tambi´en pertenecen a I). 8 Una justificaci´ on para este nombre es que un ordinal l´ımite es en efecto un l´ımite en el sentido topol´ ogico de todos sus ordinales m´ as peque˜ nos (respecto a la topolog´ıa del orden).

193

10.7 Ordinales como ejemplo ω

Existe un significado natural para ω ω , . . . y al final de esta hilera arribamos a un ordinal el cual Cantor llam´o ξ. ¡Este es todav´ıa un ordinal contable! Ahora aparece Ω, el primer ordinal no contable. Finalmente, y como curiosidad, sea R = {x | x es un n´ umero ordinal}.

O

R es un n´ umero ordinal y R no es un conjunto; de paso, R es el u ´nico n´ umero ordinal que no es un conjunto. La siguiente propiedad de los n´ umeros ordinales nos ser´a u ´til.

IA N

Proposici´ on 10.41. Si A ⊆ O es contable y Ω ∈ / A entonces sup A ≺ Ω.

UB

Demostraci´on. Sea X = {β | β  α, para alg´ un α ∈ A}; es decir, X est´a formado por los elementos de A o cualquier elemento de O que preceda alguno de A. X es contable ya que por cada α ∈ A el conjunto de sus predecesores es contable. Como O es bien ordenado, existe un primer elemento µ de X c . As´ı µ es una cota superior para X y adem´as es la menor de las cotas superiores. Por otra parte, {δ | δ  µ} es contable ya que si δ  µ entonces δ ∈ X. Por tanto µ no puede ser Ω; es decir, sup A ≺ µ ≺ Ω.

G. R

En lo que sigue, los conjuntos Ω = [0, Ω) y Ω + 1 = [0, Ω] son dotados de la topolog´ıa del orden para la relaci´ on de orden inducida. Proposici´ on 10.42. [0, Ω] es compacto.

Demostraci´on. Esto es consecuencia de que [0, Ω] es completo, es decir, cada subconjunto no vac´ıo posee tanto sup como inf —completez—. En efecto, dado U un cubrimiento abierto de [0, Ω], sea A el subconjunto formado por todos los t tales que [0, t) puede ser cubierto por un subcubrimiento finito de U. Sean α = sup A y U ∈ U tal que α ∈ U , por tanto U ⊆ A —¿por qu´e?—. Luego existe (η, ζ) ⊆ U tal que α ∈ (η, ζ) (a menos que α = Ω), pero como α es el sup de A, tenemos que (α, ζ) = ∅, luego ζ ∈ A, pero esto no puede suceder, con lo cual A = [0, Ω]. Note que cada subespacio cerrado [0, β] ⊆ [0, Ω] es ahora compacto. Proposici´ on 10.43. [0, Ω] no es 1-contable.

K

194

Compacidad

Demostraci´on. Por la proposici´ on 10.41 el punto Ω no posee una base local contable, pues si (αn , Ω], (n ∈ N) es una base local, entonces para β = sup{αn } tenemos β ≺ Ω, luego no existir´ıa ning´ un elemento de la base contenido en (β + 1, Ω]. Proposici´ on 10.44. [0, Ω) es 1-contable.

IA N

Proposici´ on 10.45. [0, Ω) y [0, Ω] no son separables.

O

Demostraci´on. Basta verificar que el u ´nico punto en [0, Ω] que no posee una base local contable es Ω.

Demostraci´on. Demostremos que [0, Ω) no lo es. Dado un subconjunto A contable, sea α = sup A. Por 10.41, α ≺ Ω y por tanto existe un intervalo (α + 1, Ω) ⊆ Ac , con lo cual A no puede ser denso.

UB

Proposici´ on 10.46. [0, Ω) no es compacto ni de Lindel¨off.

G. R

Demostraci´on. Sea U = {[0, ζ) : ζ ≺ Ω}. U es un cubrimiento abierto donde cada elemento del cubrimiento es contable y U no admite un subcubrimiento finito o contable, pues si C ⊆ U es contable entonces ∪C es contable y no puede contener a [0, Ω). Corolario 10.47. [0, Ω) no es compacto pero s´ı es contablemente compacto y compacto por sucesiones. Demostraci´on. Si no es contablemente compacto, existe U = {U1 , U2 , . . .} un cubrimiento abierto para el cual no existe un subcubrimiento finito; por tanto, para cada n existe xn ∈ / U1 ∪ . . . ∪ Un . Si α = supn αn entonces por el teorema 10.41, α ∈ [0, Ω) y ninguna subcolecci´on finita de U cubre al compacto [0, Ω]. Como es 1-contable y de Hausdorff, es compacto por sucesiones.

Ejercicios 10.7 1. Revise el argumento en la demostraci´ on de la proposici´on 10.42 y el utilizado en el teor. 10.2 para mostrar que [0, 1] es compacto.

195

10.8 Compacidad local

2. Sea (X, ≺) un conjunto bien ordenado con la topolog´ıa del orden. Muestre que X es compacto si y solo si contiene un elemento maximal. 3. Muestre que los ordinales finitos y ω son espacios discretos, y ning´ un ordinal mayor que ellos es discreto.

O

4. Muestre que el conjunto de puntos de acumulaci´on (o puntos l´ımite) de un ordinal α es precisamente el conjunto de ordinales l´ımite menores que α.

IA N

5. El espacio [0, ω) es precisamente N con la topolog´ıa discreta, mientras que [0, ω] es el compactado de Alexandroff de N. 6. Muestre que [0, Ω] coincide con N ∪ {w} donde la topolog´ıa es

UB

T(F) = 2N ∪ {F ∪ {w} : F ∈ F} para F el filtro de Fr`echet en N.

G. R

7. Muestre que los ordinales sucesores (y el cero) menores que α son puntos aislados en α. 8. Muestre que el ordinal α es compacto como espacio si y solo si α es un ordinal sucesor.

9. Muestre que cualquier ordinal es, por supuesto, un subconjunto abierto de cualquier ordinal mayor.

10.8 Compacidad local Aunque el espacio no sea compacto, el concepto de compacidad lo podemos localizar en un punto. Definici´ on 10.48. (i) Un espacio (X, T) es localmente compacto si cada punto del espacio posee una vecindad compacta, i. e., si cada x ∈ X est´a en el interior de un subconjunto compacto.

196

Compacidad

EJEMPLO 10.26

1. Todo espacio compacto es localmente compacto. 2. (Rn , usual) es localmente compacto, pues las cajas cerradas son compactas. 3. Si X es infinito, la topolog´ıa discreta es localmente compacta (para cada x, {x} es una vecindad compacta) pero no es compacta.

IA N

5. (R, (a, →)) no es localmente compacto.

O

4. Para X infinito, la topolog´ıa Ix del punto incluido es localmente compacta (pero no compacta).

Es com´ un en la literatura de este tema encontrar la siguiente definici´on de compacidad local, diferente a la def. 10.48.

UB

Definici´ on 10.49. (ii) Dados un espacio (X, T) y x ∈ X, decimos que X es localmente compacto en x si dada una vecindad abierta Ux existe otra vecindad Vx abierta con V compacta que satisface x ∈ Vx ⊆ Vx ⊆ Ux .

G. R

Esta definici´on exige que para el punto x exista un sistema fundamental de vecindades cerradas y compactas. Si X es localmente compacto en cada punto decimos que es localmente compacto. EJEMPLO 10.27

(R, cof initos) es localmente compacto seg´ un (i) pero no lo es seg´ un (ii) pues la adherencia de una vecindad de un punto es todo R. Sobre los espacios de Hausdorff estas dos definiciones coinciden; es decir, la existencia de una sola vecindad compacta para el punto, asegura la existencia de todo un sistema fundamental de vecindades compactas para el punto.

EJEMPLO 10.28

Sea X un espacio de Hausdorff. X es localmente compacto si, y solo si, todo filtro convergente en X tiene un miembro compacto.

197

10.8 Compacidad local

⇒) Si X es localmente compacto y F es un filtro en Xconvergente a x, por definici´ on toda vecindad de x pertence a F. Pero entonces basta tomar una vecindad compacta de X (que existe porque X es localmente compacto) y se concluye que F contiene un miembro compacto. ⇐) Sea x un punto cualquiera de X. Como la colecci´on de todas las vecindades de x es un filtro que converge a x, por hip´otesis debe contener alg´ un miembro compacto, as´ı que x posee una vecindad compacta Vx .

O

EJEMPLO 10.29

IA N

La topolog´ıa de intervalos encajados. Para X = (0, 1) ⊆ R definimos T = {(0, 1 − n1 )}n (n = 2, 3, 4, . . .) y por supuesto a˜ nadimos el ∅ y X.

UB

Esto nos da un ejemplo de un espacio que satisface la definici´on 10.48 pero no la definici´ on 10.49 puesto que la adherencia de cualquier vecindad es todo el espacio el cual no es compacto. Muestre que en este espacio el u ´nico subespacio cerrado que es compacto es el vac´ıo y que todo subespacio abierto es compacto, excepto X mismo. Proposici´ on 10.50. El espacio de Hilbert H no es localmente compacto.

G. R

Demostraci´on. Dados x ∈ H y ε > 0 veamos que la bola cerrada Bε (x) no es compacta. Sea x = (x1 , x2 , . . .) y por cada n ∈ N definimos yn = (x1 , x2 , . . . , xn−1 , xn + ε, xn+1 , . . .).

√ yn ∈ Bε (x) y adem´as d(yi , yj ) = 2ε para todo i, j ∈ N. As´ı, la sucesi´on (yn ) no admite una subsucesi´ on convergente; es decir, Bε (x) no es compacta por sucesiones, lo que es equivalente en este espacio m´etrico a decir que no es compacta.

EJEMPLO 10.30

La compacidad local en general no es hereditaria. Q con la topolog´ıa de subespacio de Ru no es localmente compacto en el punto 0 pues ninguna vecindad de 0 es compacta. En efecto, dado un intervalo [p, q] en Q que contenga a 0, podemos obtener un cubrimiento abierto de [p, q] no reducible a uno finito; basta tomar t ∈ R − Q con p < t < q y considerar la colecci´on {[p, t−1/n)∪(t+1/n, q]}, (n ∈ N) trazada con Q —algunas intersecciones pueden resultar vac´ıas—.

198

Compacidad

Claro que esto no sucede en caso que los subespacios sean abiertos o cerrados, es decir, la compacidad local es hereditaria–cerrada (¡demu´estrelo!). 1

0.2

0.3

0.4

0.5

IA N

0.1

O

0.5

-0.5

-1

EJEMPLO 10.31

UB

Figura 10.7: Grafo de f (x) = sen(1/x).

G. R

Sea D el grafo de la funci´ on f (x) = sen(1/x) para 0 < x ≤ 1/π. El conjunto D∗ = D ∪ {(0, 0)} dotado de la topolog´ıa de subespacio de R2u no es localmente compacto en el punto (0, 0) ya que cualquier vecindad V de este punto contiene una sucesi´ on de puntos —sobre una recta paralela al x–eje que no posee un punto de acumulaci´ on en V , i. e., V no es cerrada.

EJEMPLO 10.32

La compacidad local no se preserva por funciones continuas en general. La funci´on idQ : (Q, discreta) −→ (Q, usual) es continua pero no preserva la compacidad local. Pero si f adem´as de continua es abierta s´ı se preserva.

10.8.1 Compactaci´on K La esfera S 2 es una compactaci´ on del plano R2 ya que la proyecci´on estereogr´afica identifica al plano con la esfera punteada (el polo norte es removido).

199

10.8 Compacidad local

Hemos identificado un espacio no compacto con uno que s´ı lo es al a˜ nadirle un punto —S 2 es compacto—. Definici´ on 10.51. Sea (X, T) un espacio. Un espacio (Y, H) compacto se llama un compactado de X si existe una funci´on f : X −→ Y continua e inyectiva tal que f : X −→ f (X) ⊆ Y es un homeomorfismo con f (X) denso en Y .

O

En particular decimos que f realiza la compactaci´ on de X. Si adem´as Y −f (X) se reduce a un conjunto unitario, decimos que Y es un compactado de Alexandroff o compactado por un punto.

IA N

La siguiente construcci´ on es un m´etodo general de construir desde X un ∗ espacio compacto X = X ∪ {∞} que tenga a X como un espacio inmerso. Proposici´ on 10.52. Sean (X, T) un espacio y un punto ∞ ∈ / X. Para ∗ ∗ X = X ∪ {∞} definimos la topolog´ıa T que tiene tanto a T como a los W ⊆ X ∗ tales que ∞ ∈ W y W c es un cerrado y compacto en X.

UB

El par (X ∗ , T ∗ ) se llama compactado (por un punto) de Alexandroff de X.

G. R

Demostraci´on. Claramente ∅ y X ∗ est´an en T ∗ pues ∅ es trivialmente compacto. Veamos que T ∗ es cerrada para la intersecci´on finita. Si U, V ∈ T ∗ y ambos est´an en T entonces U ∩ V ∈ T ∗ ; si U ∈ T y ∞ ∈ V , V c es cerrado y compacto en T luego V ∩ X es abierto en X y as´ı U ∩ V ∈ T ⊆ T ∗ . Si ∞ est´a tanto en U como en V entonces U c , V c son cerrados y compactos en X, luego (U ∩ V )c = U c ∪ V c tambi´en es cerrado y compacto en X por ser uni´on de dos compactos, con lo que U ∩ V ∈ T ∗ . S AhoraSexaminemos la uni´ on de una familia V = {Vi }i S ⊆ T ∗ . Si ∞ ∈ / V entonces V ∈ T ⊆ T ∗ . Pero si ∞ ∈ Vi ∈ V entonces S ( V)c ⊆ Vic ; como S c c ( V) es cerrado Sy Vi es compacto tenemos que ( V)c es cerrado y compacto, esto es V ∈ T ∗ . Proposici´ on 10.53. El espacio (X ∗ , T ∗ ) es compacto.

Demostraci´on. Sea U un cubrimiento abierto de X ∗ . Existe U0 ∈ U con ∞ ∈ U0 y U0c compacto. Claramente U es tambi´en cubrimiento abierto de U0c , luego S lo podemos reducir a un subcubrimiento finito U1 , . . . , Un y as´ı X ∗ ⊆ ni=0 Ui . Proposici´ on 10.54. X es denso en X ∗ si y solo si X no es compacto.

200

Compacidad

Demostraci´on. ⇒) Si X = X ∗ entonces X no es compacto, pues de lo contrario X ser´ıa cerrado y compacto con lo cual {∞} ser´ıa un abierto y {∞} ∩ X = ∅, negando que ∞ ∈ X. ⇐) Basta ver que ∞ ∈ X. Sea V∞ una vecindad de ∞ en T ∗ . Entonces c es un subconjunto cerrado y compacto de X, con lo cual V c no puede V∞ ∞ ser todo X, as´ı que V∞ ∩ X 6= ∅, y por tanto ∞ ∈ X, lo que implica X = X ∗ en T ∗ .

O

En el caso de partir en la construcci´ on desde un espacio de Hausdorff, tenemos el siguiente teorema.

IA N

Teorema 10.55. (X, T) es Hausdorff y localmente compacto si y solo si (X ∗ , T ∗ ) es Hausdorff.

UB

Demostraci´on. ⇒) Sea X localmente compacto y de Hausdorff. Dados x, y ∈ X ∗ veamos que los podemos separar. Si x, y ∈ X no hay nada que demostrar puesto que X es T2 . Si x = ∞, como X es localmente compacto y Hausdorff, existe Vy compacta y por tanto cerrada, luego ∞ ∈ (X ∗ − Vy ) ∈ T ∗ y (X ∗ − Vy ) ∩ Vy = ∅.

G. R

⇐) Supongamos que (X ∗ , T ∗ ) es Hausdorff. X como subespacio de X ∗ es de nuevo Hausdorff. Veamos que X es localmente compacto. Sea x ∈ X y encontremos una vecindad compacta. Existen Vx , V∞ abiertas en T ∗ con Vx ∩ V∞ = ∅, esto es, X ∗ /V∞ es un subconjunto cerrado y compacto de X con Vx ⊆ X ∗ − V∞ ; luego Vx ⊆ X ∗ − V∞ y por ser Vx un cerrado dentro de un compacto, es compacta. Corolario 10.56. Cada espacio localmente compacto y Hausdorff es homeomorfo a un subespacio de un espacio compacto y de Hausdorff. Demostraci´on. Basta considerar la inclusi´ on i : X ,→ X ∗ . Dado U ⊆ X, ∗ U es abierto en x si y solo si lo es en X . Luego G ∗ induce la topolog´ıa original G de X. (X, T) no se pierde en (X ∗ , T ∗ ). En resumen, hemos demostrado el siguiente teorema. Teorema 10.57. Sea X un espacio localmente compacto y no compacto. Entonces i : X ,→ X ∗ —la inyecci´ on can´ onica— es una compactaci´on de Alexandroff para X.

201

10.8 Compacidad local

Ejercicios 10.8 1. Muestre que en los espacios de Hausdorff la compacidad local se hereda a los subconjuntos cerrados o abiertos. 2. Muestre que la compacidad local es un invariante topol´ogico.

O

3. Muestre que un espacio producto de espacios es localmente compacto si y solo si cada espacio coordenado es localmente compacto y todos excepto un n´ umero finito de espacios coordenados son compactos.

IA N

4. Sea X = Ru . Muestre que X ∗ (la compactaci´on de Alexandroff) es homeomorfo a S 1 con la topolog´ıa usual.

UB

Sugerencia: la funci´ on f : X ∗ −→ S 1 es un homeomorfismo si es definida por   2  1 − x , 2x , x∈X 1 + x2 1 + x2 f (x) =  (−1, 0) x = ∞.

G. R

5. Sea (X, T) un espacio Hausdorff y localmente compacto. Si A ⊆ X yx∈ / A, existen vecindades disyuntas de A y x —podemos separar puntos de cerrados—.

11 Espacios m´etricos y sucesiones

IA N

O

—completez—

UB

Una manera cl´asica de presentar al espacio Ru es la siguiente: es el menor espacio m´etrico completo que contiene a Q como subespacio. El sentido de ‘completo’ y su generalizaci´ on es lo que estudiamos en este cap´ıtulo. Intuitivamente un espacio m´etrico es completo si cada sucesi´on que ‘quiere’ converger realmente tiene a d´ onde hacerlo.

11.1 Sucesiones de Cauchy

G. R

Definici´ on 11.1. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Una sucesi´on (xn ) en X se dice sucesi´ on de Cauchy si dado un ε > 0 existe un entero positivo N (depende de ε) tal que si m, n ≥ N entonces d(xm , xn ) < ε —podemos controlar la distancia entre los puntos a partir de un momento dado y controlarla tanto como queramos—. Definici´ on 11.2. Un espacio m´etrico (X, d) es completo si cada sucesi´on de Cauchy en X es convergente a alg´ un punto de X. (Las sucesiones que quieren converger encuentran a qui´en hacerlo). Proposici´ on 11.3. En un espacio m´etrico (X, d) una sucesi´on de Cauchy es un conjunto acotado. Demostraci´on. Existe N1 tal que para m, n ≥ N1 , d(xm , xn ) ≤ 1. En particular para todo n ≥ N1 tenemos d(xn , xN1 ) ≤ 1, y tomando para los t´erminos que est´an anteriores a xN1 el m´aximo M = maxk≤N1 d(xk , xN1 ), tenemos que todo xn satisface d(xn , xN1 ) ≤ max{M, 1}. Proposici´ on 11.4. Si una sucesi´ on de Cauchy en un espacio m´etrico (X, d) tiene una subsucesi´ on convergente entonces la sucesi´on converge. 202

203

11.1 Sucesiones de Cauchy

Demostraci´on. Sea (xn ) una sucesi´ on de Cauchy para la cual existe una subsucesi´on xnk → l ∈ X. Para ε > 0 existen Nε y kε en N tales que para todo m, n ≥ Nε , d(xm , xn ) < 2ε y para todo k ≥ kε , d(xnk , l) < 2ε . Si M = max{Nε , nkε } entonces para n ≥ M tenemos y as´ı xn → l.

O

d(xn , l) ≤ d(xn , xnkε ) + d(xnkε , l) ≤ ε,

IA N

Las proposiciones 11.3, 11.4 implican que los espacios m´etricos que son compactos son completos. Pero esto no significa que haya escasez de espacios m´etricos completos que no sean compactos, por ejemplo Ru . Desafortunadamente la propiedad de completez no es un invariante topol´ogico. Por ejemplo Ru ≈ (0, 1) pero el segundo no es completo.

UB

Como la definici´ on de sucesi´ on de Cauchy no es una cualidad topol´ogica sino que depende de la m´etrica usada en particular, podemos tener la misma topolog´ıa proveniente en un caso de un espacio completo y en otro de un espacio no completo —la noci´on de sucesi´on de Cauchy no es topol´ogica—.

G. R

Por ejemplo, si sobre R definimos la m´etrica x y , d(x, y) = − 1 + |x| 1 + |y|

tenemos que (R, d) es homeomorfo a Ru —m´etricas ex´oticas— pero la sucesi´on (n)n∈N es de Cauchy en la m´etrica d y no lo es en la usual.

Esta situaci´ on, m´as bien estresante, puede ser remediada de manera parcial con la introducci´ on del concepto de completez topol´ogica. Definici´ on 11.5. Un espacio m´etrico (X, d) es completo topol´ ogicamente si existe una m´etrica m equivalente a d y (X, m) es completo. Por supuesto, los espacios m´etricos completos son completos topol´ogicamente. La pregunta es si todo espacio m´etrico puede tener una m´etrica equivalente que lo haga completo topol´ogicamente. Aunque la respuesta es no, por ejemplo Q, veremos en la secci´on 11.3 c´omo completar cualquier espacio m´etrico.

K

204

Espacios m´etricos y sucesiones —completez—

EJEMPLO 11.1

(RN , d) con d la m´etrica primeriza o de Baire (ver p´ag. 41) es completo.

11.1.1 Filtros de Cauchy

IA N

O

Si x = (xn )n∈N es una sucesi´ on de Cauchy en R con xn = (xkn )k y donde xkn es la k-´esima coordenada del t´ermino n-´esimo de la sucesi´on x— entonces, por la definici´on de la m´etrica de Baire, para cada k la sucesi´on (xkn )n es a la larga constante, digamos a xk , pues dado  > 0 existe N1 con d(xn , xm ) < N1 para n, m > N , lo que implica que las dos sucesiones se igualan a partir del ´ındice N en adelante. Claramente xn → (xk ). Esta es una m´etrica que har´ıa de Q ∩ (0, 1) un espacio completo al tomar cada racional en su expansi´ on decimal.

UB

As´ı como para las sucesiones en un espacio m´etrico, tambi´en existe una versi´on de Cauchy para los filtros. Definici´ on 11.6. Sea (X, d) un espacio m´etrico y F un filtro en X. Se dice que F es de Cauchy en X si para cada  > 0 existe un F ∈ F tal que

G. R

F × F ⊆ {(x, y) ∈ X × X : d(x, y) < }. El filtro posee elementos con di´ametro tan peque˜ no como queramos. Proposici´ on 11.7. Si una sucesi´ on (xn )n∈N es de Cauchy, entonces el filtro asociado tambi´en es de Cauchy. Demostraci´on. Para abreviar, diremos que F ⊆ X es –peque˜ no si satisface la condici´on del enunciado, a saber F × F ⊆ {(x, y) ∈ X × X : d(x, y) < }. El filtro asociado F(xn ) tiene como base a las colas Sk = {xn : n ≥ k}. Fijado  > 0, como (xn ) es de Cauchy existe r ∈ N tal que si n, m ≥ r tenemos d(xn , xm ) < . As´ı pues la secci´ on Sr (y todas las Sk , con k < r) son –peque˜ nas y por tanto F es de Cauchy. Proposici´ on 11.8. Si F es un filtro de Cauchy en (X, d) entonces F converge a cada uno de sus puntos adheridos.

205

11.1 Sucesiones de Cauchy

Demostraci´on. Sean F un filtro de Cauchy en X y x un punto adherente de F, es decir, x ∈ F para cada F ∈ F. Para ver la convergencia es suficiente mostrar que las bolas abiertas B (x) pertenecen al filtro. Pero esto se tiene ya que dada B (x) existe F ∈ F que es /2–peque˜ no y esto implica F ⊆ B (x). En efecto, dado y ∈ F tomemos z ∈ B/2 (x) ∩ F y como F es /2–peque˜ no, tenemos d(y, x) ≤ d(y, z) + d(z, x) < .

O

En los espacios m´etricos completos los filtros de Cauchy caracterizan a los filtros convergentes.

IA N

Proposici´ on 11.9. Sea (X, d) un espacio m´etrico completo. Un filtro F es convergente si y solo si es de Cauchy. Demostraci´on. ⇒) Supongamos que F converge a x. Entonces B/2 (x) ∈ F y adem´as B/2 (x) es –peque˜ na.

EJEMPLO 11.2

UB

⇐) Sea F de Cauchy. Construyamos una sucesi´on (xn ) de Cauchy y mostremos que F converge al punto que converge tal sucesi´on. Dado n tomamos Fn que sea n1 –peque˜ no y elegimos xn ∈ F1 ∩· · ·∩Fn . La sucesi´on (xn ) as´ı definida es la que necesitamos.

G. R

La completez no es hereditaria. R es completo ya que toda sucesi´on de Cauchy al ser acotada est´a contenida dentro de un subespacio compacto y por lo tanto compacto por sucesiones, con lo cual se admite una subsucesi´on convergente y por 11.4 tenemos la completez. En Q con la topolog´ıa de subespacio usual de R la sucesi´on (1, 1.4, 1.41, √ 1.414, 1.4142, . . .) es de Cauchy y no converge —quiere converger a 2 que no est´a en Q—. Teorema 11.10. En un espacio m´etrico completo (X, d), los subespacios que son completos son los cerrados. Demostraci´on. ⇒) Sea A un subespacio de X. Si A es cerrado, dada (xn ) de Cauchy en (A, dA ), ella tambi´en lo es en (X, d) y su l´ımite pertenece a A ya que A es cerrado. ⇐) Si (A, dA ) es completo, todo punto b adherente a A admite una sucesi´on (xn ) en A que es convergente a b, pero como (xn ) es de Cauchy y A es completo, b ∈ A.

206

Espacios m´etricos y sucesiones —completez—

La propiedad de completez es m´as d´ebil que la de compacidad; una evidencia de esto son los espacios m´etricos Rn . Algo m´as interesante a´ un es que, tomando separadamente la completez y la propiedad de totalmente acotado, ellas no son propiedades topol´ogicas, pero al tomarlas simult´aneamente dan un invariante topol´ ogico que es la compacidad (teorema 11.11). Ya vimos en la p´agina 203 que la compacidad en un espacio m´etrico implica su completez. El siguiente teorema da condiciones para garantizar la inversa.

IA N

Demostraci´on. ⇒) Proposiciones 11.3, 11.4.

O

Teorema 11.11. Sea (X, d) un espacio m´etrico. X es compacto si y solo si X es completo y totalmente acotado.

UB

⇐) Sea (xn ) en X. Si un t´ermino se repite un n´ umero infinito de veces, ella contiene una subsucesi´ on convergente —constante—. Si este no es el caso, veamos que de todas formas existe una subsucesi´on convergente, lo cual muestra que X es compacto por sucesiones; lo que para nuestro caso m´etrico es equivalente a compacidad.

G. R

Dado un ε > 0 existe una ε-red finita y por tanto un cubrimiento Bε —finito— por bolas de radio ε. As´ı, para cada ε existe una bola Bε (tε ) en Bε —alg´ un tε — que contiene infinitos t´erminos de la sucesi´on (xn ). Sea xn1 el primer t´ermino de la sucesi´ on contenido en B1 (t1 ). Similarmente escogemos a xnj como el primer elemento de {xk : k > nj−1 } contenido en B1/j (t1/j ). La subsucesi´ on (xnj ) es de Cauchy y como X es completo ella converge a alg´ un x ∈ X. La siguiente es una propiedad importante de los espacios m´etricos completos. Es una generalizaci´ on de la propiedad de Cantor en Rn . Teorema 11.12 (Encaje de Cantor). Sea (X, d) un espacio m´etrico completo. Si A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ . . . es un encaje decreciente de subconjuntos cerrados de T X con lim(diam(An )) = 0 (el l´ımite de los di´ametros es cero) entonces n∈N An = {x} para alg´ un x ∈ X. Demostraci´on. Por cada entero positivo n seleccionamos unTxn ∈ An . Veamos que (xn ) es de Cauchy y que su l´ımite es el punto en n∈N An . Dado ε > 0, existe un entero positivo N tal que diam(AN ) < ε. Como la sucesi´on {An }n es decreciente, para xm , xn con m, n > N tenemos d(xm , xn ) < ε, con lo cual (xn ) es de Cauchy y convergente digamos al punto x. Para

207

11.2 Espacios de Baire

cada j ∈ N, la sucesi´ on (xj+i ), (i = 1, 2, . . .) es una sucesi´on en Aj con xj+i → x; Tas´ı, x ∈ Aj para cada j pues Aj es cerrado. Si existiera otro punto y ∈ n∈N An entonces diam(An ) ≥ d(x, y) > 0.

11.2 Espacios de Baire

O

El siguiente teorema fue introducido por B. Baire1 en 1889 para los n´ umeros reales y por F. Hausdorff en 1914 para los espacios m´etricos completos.

IA N

Teorema 11.13. Supongamos que (X, d) es un espacio m´etrico completo y sea {Dn }n∈N una on enumerable de conjuntos abiertos y densos T colecci´ en X. Entonces n∈N Dn es densa en X. Demostraci´on. Veamos que para cualquier abierto U se tiene ! \ U∩ Dn 6= ∅.

UB

n∈N

Como U ∩ D1 6= ∅ entonces existe una bola abierta B1 con B1 ⊆ U ∩ D1 y diam(B1 ) ≤ 1. De manera inductiva se puede construir una sucesi´on (Bn )n∈N de bolas abiertas con la siguiente propiedad:

G. R

Bn ⊆ (Bn−1 ) ∩ Dn y diam(Bn ) ≤ 1/n,

Entonces

\

n∈N

(n ∈ N).

! Bn ⊆ U ∩

\

Dn

,

n∈N

y como las Bn T forman un encaje que satisface T las T condiciones
del teorema 11.12 tenemos n∈N Bn 6= ∅ lo que implica U D n∈N n 6= ∅. La anterior propiedad no es exclusiva de los espacios m´etricos completos, m´as a´ un, puede ser pose´ıda por espacios topol´ogicos no metrizables. Los espacios que comparten esta propiedad se conocen como espacios de Baire. 1 Ren´e-Louis Baire (Par´ıs, 1874-Chamb´ery, 1932) matem´ atico franc´es, notable por sus trabajos sobre continuidad de funciones, los n´ umeros irracionales y el concepto de l´ımite. Su libro Le¸cons sur les th´eories g´en´erales de l’analyse (1908) se convirti´ o en un cl´ asico de la did´ actica del an´ alisis matem´ atico.

208

Espacios m´etricos y sucesiones —completez—

Definici´ on 11.14. Un espacio (X, T) se dice espacio de Baire si dada una familia enumerable {Dn }n∈N de abiertos densos en X su intersecci´on es densa en X. Proposici´ on 11.15. Sea (X, T) un espacio de Baire. Si {Cn }n∈N es un cubrimiento por cerrados de X, entonces al menos uno de los Cn contiene un conjunto abierto (tiene interior no vac´ıo).

O

Demostraci´ on. Es una aplicaci´ on de las T leyes de De Morgan. Si X = S c C tomando complementos se tiene n n∈N Cn = ∅ y como el espacio n∈N c es de Baire, alguno de los Cn no es denso, i.e., Cn contiene un abierto.

IA N

En un espacio topol´ ogico se puede pensar que los conjuntos cerrados con interior vac´ıo son como ‘puntos’ en el espacio (son demasiado delgados para contener ‘algo’). Ignorando los espacios con puntos aislados, que son su propio interior, un espacio de Baire es grande en el sentido que no puede construirse como una uni´ on enumerable de estos conjuntos ‘delgados’.

UB

Por ejemplo en R2u cualquier colecci´ on enumerable de l´ıneas, sin importar que l´ıneas escojamos, no pueden cubrir al espacio. Los conjuntos del p´arrafo anterior reciben un nombre especial. Definici´ on 11.16. Sean (X, T) un espacio y M ⊆ X. Se dice que M es ◦

G. R

magro, delgado o diseminado en X si M = ∅ EJEMPLO 11.3

Los subconjuntos finitos y Z son diseminados en Ru . Q no lo es.

Ejercicios 11.2

1. Muestre que (xn ) es sucesi´ on de Cauchy si d(xn , xm ) → 0 cuando n, m → ∞. 2. Muestre que la definici´ on de sucesi´ on de Cauchy es equivalente a decir que el filtro F generado por la sucesi´ on (xn ) satisface que, dado ε > 0, existe F ∈ F tal que el di´ametro de F sea menor que ε; esto es, diam(F ) = sup d(F × F ) = sup{d(x, y) : x, y ∈ F } < ε.

209

11.2 Espacios de Baire

3. Muestre que en Rn una sucesi´ on converge si y solo si es de Cauchy. Este ejercicio muestra que la clase de las sucesiones de Cauchy es la misma que la de las sucesiones convergentes. Pero en general esto no es as´ı para los espacios m´etricos, y da origen a la definici´on de completez. 4. Muestre que el rec´ıproco del teorema 11.12 es cierto; es decir, si tenemos la propiedad para cada encaje es porque el espacio es completo.

O

5. Sea (xn ) una sucesi´ on en el espacio m´etrico (X, d). Muestre que (xn ) es de Cauchy si y solo si limn→∞ diam(Xn ) = 0 donde Xn = {xn , xn+1 , . . .}.

IA N

6. Muestre que H —el espacio de Hilbert— es completo.

Sugerencia: si (qm ) es una sucesi´ on de Cauchy en H con qm = {qm1 , qm2 , . . . , qmn , . . .},

UB

muestre que

(a) Para cada j, (qmj )m∈N es una sucesi´on de Cauchy en los reales. Luego existe su l´ımite zj . (b) z = (z1 , z2 , . . .) ∈ H.

G. R

(c) qm → z.

7. Muestre que un espacio (X, T) de Hausdorff y localmente compacto es de Baire. 8. Si (X, T) es un espacio de Baire entonces (a) La uni´ on de cualquier familia numerable de subconjuntos diseminados o densos en ninguna parte tiene interior vac´ıo.

(b) X no se puede expresar como una uni´on enumerable de conjuntos densos en ninguna parte. (c) Toda uni´ on enumerable de subconjuntos cerrados con interior vac´ıo, tiene interior vac´ıo. 9. Si (X, T) es Hausdorff y compacto entonces X es de Baire. 10. Si M es diseminado en (X, T) tambi´en lo es M . 11. Si M es diseminado en (X, T) entonces ext(M ) es denso en X.

210

Espacios m´etricos y sucesiones —completez—

11.3 Completez de un espacio m´etrico Uno de los m´etodos —introducido por Hausdorff en 1914— de construir los n´ umeros reales es a partir de los n´ umeros racionales, usando clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy en los n´ umeros racionales.

O

Por supuesto, existen otros m´etodos como el propuesto por Dedekind utilizando sus llamadas cortaduras y luego extendido por MacNeille para conjuntos parcialmente ordenados.

IA N

Lo que haremos en esta secci´ on no es m´as que resaltar la belleza de la t´ecnica utilizada por Hausdorff, para mostrar una de las formas cl´asicas de abstraer en matem´aticas y de paso ‘completar’ un espacio m´etrico cualquiera.

UB

Recordemos que una isometr´ıa es una clase particular de funci´on continua f : (X, d) −→ (Y, m) entre espacios m´etricos que, como su nombre lo indica, no cambia la medida, esto es m(f (x), f (y)) = d(x, y) para todo x, y ∈ X. Por ejemplo, R est´a isom´etricamente inmerso en R2 a trav´es del eje ordenado x, precisamente f : R −→ R2 con f (x) = (x, 0).

G. R

En general decimos —cuando existe una isometr´ıa— que el espacio m´etrico X est´a inmerso isom´etricamente en Y por medio de f . Lo que mostraremos en estos p´arrafos es: si nuestro espacio m´etrico (X, d) no es completo podemos obtener un espacio m´etrico X ∗ de tal modo que X ∗ es completo y X est´a inmerso en X ∗ de una manera representativa; esto es, la copia de X por medio de la isometr´ıa es un subconjunto denso en X ∗ . Teorema 11.17. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Existe un espacio m´etrico (X ∗ , d∗ ) completo y una isometr´ıa f : X −→ X ∗ tal que f (X) es denso en X ∗ . El par (f, (X ∗ , d∗ )) se llama un completado del espacio (X, d). Demostraci´on. Notemos por S el conjunto de todas las sucesiones de Cauchy en X. Sobre S definimos la siguiente relaci´on: (xi ) ≈ (yi ), si y solo si lim d(xi , yi ) = 0, (i ∈ N). i

Es inmediato ver que ≈ es de equivalencia. Sea X ∗ = S/ ≈ el conjunto de todas las clases [(xi )] de equivalencia. Definimos una m´etrica sobre X ∗ como d∗ ([(xi )], [(yi )]) = lim d(xi , yi ), (i ∈ N). i

211

11.3 Completez de un espacio m´etrico

Para ver que d∗ es una m´etrica basta notar que si (xi ), (yi ) ∈ S entonces (d(xi , yi )) es de Cauchy en R, por lo cual su l´ımite existe. Cada elemento x ∈ X lo identificamos en X ∗ con la sucesi´on x = (x) constante al punto x, con lo cual f : (X, d) −→ (X ∗ , d∗ ) definida por f (x) = x = [(x)] es una isometr´ıa con X := f (X).

O

Para verificar que X = f (X) es denso en X ∗ consideremos (xn ) ∈ S y veamos que [(xn )] ∈ X. Dado ε > 0, sea [xi ] = [(xi , xi , . . .)] para cada i —note que [xi ] = f (xi ) pertenece a f (X)—. Como (x1 , x2 , · · · ) es de Cauchy, existe un entero N tal que d(xi , xj ) < ε para cada i, j ≥ N . Luego

IA N

d([(xn )], f (xN ) = limn d(xn , xN ) < ε,

as´ı, [(xn )] es un punto adherente a X (f (xN ) es un punto en f (X)), luego X = f (X) es denso en X ∗ .

UB

Finalmente revisemos la completez. Sea (xn ) una sucesi´on de Cauchy en X ∗ donde xn = [(xn1 , xn2 , xn3 , . . .)]. Podemos asumir que el di´ametro del conjunto {xni | i ∈ N} es menor que 1/n ya que para alg´ un K, d(xni , xnj ) < 1/n, para i, j ≥ K y as´ı (xn1 , xn2 , . . .) es equivalente a (xnk , xnk+1 , . . .) con lo cual (xn ) puede ser representada por ´esta u ´ltima sucesi´on.

G. R

Veamos que x = (x11 , x22 , x33 , . . . ) es una sucesi´on de Cauchy. Dado ε > 0 existe N tal que d(xm , xn ) = limk d(xkn , xkm ) < ε para m, n > N . K Luego para alg´ un K fijo K ≥ N , tenemos d(xK n , xm ) < ε/3 para m, n > N . Escojamos M tal que 1/M < ε/3. Entonces para m, n ≥ N tenemos n m K K K K n d(xm m , xn ) ≤ d(xm , xm ) + d(xm , xn ) + d(xn , xn ) < 3ε/3 = ε.

K Como d(xm , [x]) = limK d(xK n , xK ) < ε/3 para n ≥ N entonces (xn ) → ∗ [x], es decir X es completo.

Corolario 11.18. Un espacio m´etrico X es completo si y solo si X ≈ X ∗ —homeomorfos—. Demostraci´on. ⇒) Si X ≈ X ∗ entonces X es completo. ⇐) Si X es completo, dado x ∈ X ∗ con x representado por la sucesi´on de Cauchy (x1 , x2 , . . .) entonces (x1 , x2 , . . .) → x, (x ∈ X) y as´ı (x1 , x2 , . . .) es equivalente a (x, x, . . .), con lo cual x puede representarse por (x, x, . . .) y por tanto x ∈ X.

212

Espacios m´etricos y sucesiones —completez—

11.4 Espacios de funciones Recordemos que si X es un conjunto y (Y, d) es un espacio m´etrico, sobre el conjunto B(X, Y ) de todas las funciones acotadas de X en Y , definimos la m´etrica d∞ (f, g) = supx∈X {d(f (x), g(x))}. Esta m´etrica genera la topolog´ıa del sup o topolog´ıa de la convergencia uniforme.

IA N

O

Definici´ on 11.19. Sean (X, T) un espacio, (Y, d) un espacio m´etrico y (fn )n∈N una sucesi´ on de funciones fn : (X, T) −→ (Y, d). Supongamos que para cada x ∈ X el limn (fn (x)) existe. Si definimos f (x) como el valor de este l´ımite, entonces f (x) define una f : (X, T) −→ (Y, d). En este caso decimos que (fn ) converge puntualmente a f .

UB

Si suponemos en la definici´ on anterior que cada fn es continua, en  general no podemos esperar que f tambi´ en sea continua. Necesitamos entonces un tipo de convergencia m´as fuerte para una sucesi´on de funciones —evoquemos lo que es la continuidad uniforme para una funci´on f — de tal manera que la funci´ on l´ımite pueda heredar la continuidad a partir de las fn .

G. R

Definici´ on 11.20. Sean (X, T) un espacio, (Y, d) un espacio m´etrico y (fn ) una sucesi´on de funciones con fn : (X, T) −→ (Y, d). Decimos que (fn )n converge uniformemente a una funci´ on f si para cada ε > 0 existe N ∈ N tal que si n ≥ N entonces d(fn (x), f (x)) < ε para cada x ∈ X. Si (fn ) → f uniformemente, en particular lo hace puntualmente; esto es, la continuidad uniforme de funciones implica la convergencia puntual, pues el N de la definici´ on de convergencia uniforme depende u ´nicamente de ε mientras que en la puntual tambi´en debe depender del punto x. Teorema 11.21. Sean (X, T) un espacio, (Y, d) un espacio m´etrico y (fn ) con fn : (X, T) −→ (Y, d) una sucesi´ on de funciones continuas. Si fn → f uniformemente entonces f es continua. Demostraci´on. Dados a ∈ X y ε > 0 veamos que existe una Va tal que para cada x ∈ Va se tiene d(f (x), f (a)) < ε. Como fn → f , existe N ∈ N tal que d(fN (x), f (x)) < ε/3 para todo x ∈ X. De otra parte, d(f (x), f (a)) ≤ d(f (x), fN (x)) + d((fN (x), f (N (a)) + d(fN (a), f (a)) < d(fN (x), fN (a)) + 2ε/3

213

11.4 Espacios de funciones

y como fN es continua, existe Va tal que para x ∈ Va , d(fN (x), fN (a)) < ε/3, con lo cual se satisface que, x ∈ Va implica d(f (x), f (a)) < ε. La siguiente es la raz´ on por la cual la m´etrica d∞ sobre B(X, Y ) se llama la distancia de la convergencia uniforme.

O

Teorema 11.22. Sean (X, T) un espacio, (Y, d) un espacio m´etrico y (fn ) una sucesi´on en B(X, Y ). En (B(X, Y ), d∞ ), fn → f si y solo si la convergencia es uniforme.

IA N

Demostraci´on. ⇒) Como fn → f en la topolog´ıa del sup, dado ε > 0 existe N ∈ N tal que para n ≥ N se tiene d∞ (f, fn ) < ε. Luego en particular para cada x ∈ X tenemos que d(f (x), fn (x)) ≤ sup{d(fn (x), f (x))} = d∞ (fn , f ) < ε. x

UB

⇐) Dado ε > 0 existe N ∈ N tal que para n ≥ N se tiene d(fn (x), f (x)) < ε/2 para cada x ∈ X. Luego si n > N entonces supx {d(fn (x), f (x))} ≤ ε/2 < ε con lo cual d∞ (f, fn ) < ε para n > N .

G. R

Proposici´ on 11.23. Sean (X, T) un espacio y (Y, d) un espacio m´etrico completo. El espacio B(X, Y ) de las funciones acotadas con la m´etrica d∞ de la convergencia uniforme es completo. Demostraci´on. Sea (fn )n∈N una sucesi´ on de Cauchy en B(X, Y ), i. e., dado ε > 0, existe Nε ∈ N tal que para m, n ≥ Nε se tiene sup d(fn (x), fm (x)) ≤ ε.

x∈X

En particular para un x fijo, la sucesi´ on (fn (x))n es de Cauchy en el espacio completo (Y, d) y por tanto existe su l´ımite, el cual notamos como f (x) = limn (fn (x)). Hemos definido as´ı f : X −→ Y . Veamos que ella es acotada. Existe N1 ∈ N tal que d∞ (fN1 , fn ) ≤ 1 para todo n ≥ N1 . Sea a ∈ Y y notemos por a la funci´ on a : X → Y constante a a. Para todo x ∈ X y n ≥ N1 , d(a, fn (x)) ≤ d(a, fN1 (x)) + 1 ≤ d∞ (a, fN1 ) + 1. Fijando x y tomando el l´ımite cuando n → ∞ obtenemos d(a, f (x)) ≤ d∞ (a, fN1 ) + 1

214

Espacios m´etricos y sucesiones —completez—

y como esto es independiente de x, tenemos que f ∈ B(X, Y ). Veamos por u ´ltimo que efectivamente fn → f . Para ε > 0 y x ∈ X tenemos la desigualdad d(fn (x), fm (x)) ≤ ε si m, n ≥ Nε . Tomando el l´ımite cuando m → ∞ y fijando a x obtenemos d(fn (x), f (x)) ≤ ε para todo x y n ≥ Nε . Como Nε no depende de x, tenemos d∞ (fn , f ) ≤ ε. Por tanto, limn→∞ d∞ (fn , f ) = 0 y as´ı fn → f .

UB

IA N

O

Corolario 11.24. Sean (X, T) un espacio y (Y, d) un espacio m´etrico completo. El espacio CB (X, Y ) de las funciones continuas y acotadas con la m´etrica d∞ de la convergencia uniforme es completo.

Figura 11.1: La convergencia uniforme.

G. R

Demostraci´on. Sea (fn )n∈N una sucesi´ on de Cauchy en CB (X, Y ). Solo nos falta verificar que f de la demostraci´ on del teorema 11.23 es continua. Sea a ∈ X y veamos que f es continua en a. Dado ε > 0 existe un entero N tal que d(fn (x), f (x)) < ε/3 para n ≥ N y cada x ∈ X. Como fn es continua existe una vecindad abierta Ua de a, tal que para cada x ∈ Ua , d(fn (x), fn (a)) < ε/3. Luego ε d(f (x), f (a)) ≤ d(f (x), fn (x))+d(fn (x), fn (a))+d(fn (a), f (a)) < 3 = ε. 3 As´ı, f es continua en a. En particular, CB (X, Y ) es un subconjunto cerrado de B(X, Y ). Corolario 11.25. Sean (X, T) un espacio compacto y (Y, d) un espacio m´etrico completo. El espacio C(X, Y ) de las funciones continuas con la m´etrica d∞ de la convergencia uniforme es completo.

Los axiomas de separaci´on

O

12

IA N

La definici´ on de espacio topol´ ogico es en s´ı muy general: una colecci´on de subconjuntos con dos propiedades de clausura, una para la uni´on y otra para la intersecci´ on; por tanto, no muchos teoremas pueden demostrarse a menos que limitemos las clases de espacios a considerar. Para obtener estas clases espec´ıficas, debemos imponer condiciones de suerte que, a m´as condiciones, m´as espec´ıfica sea la clase y entonces m´as teoremas —propiedades— puedan ser demostrados.

G. R

UB

Hemos visto c´ omo algunas propiedades topol´ogicas de un espacio (X, T) dependen directamente de condiciones impuestas sobre la cardinalidad de T o m´as precisamente de la cardinalidad de sus bases, por ejemplo 2-contable, 1-contable, ejerciendo a su turno un control sobre la cantidad de abiertos involucrados en el espacio. Esta cardinalidad tambi´en afecta a la continuidad, en el sentido de que, a mayor cantidad de abiertos para el espacio en el dominio, la posibilidad de continuidad aumenta, o disminuye para el caso del codominio.

12.1

T0 , T1 y T2 o de Hausdorff

Otras condiciones que interesan y comenzamos a estudiar son la manera como los abiertos est´an ‘distribuidos’ sobre el espacio. Estas separaciones fueron estudiadas por Alexandroff y Hopf1 , bajo la denominaci´on de axiomas Tk , k = 0, 1, 2, 3, 4, los cuales nos muestran b´asicamente el grado en que puntos y conjuntos pueden mantenerse aparte, o separarse por medio de conjuntos abiertos. Este estudio surge en relaci´ on con los problemas de seudometrizaci´on y 1

En un excelente libro sobre Topolog´ıa del a˜ no 1932.

215

216

Los axiomas de separaci´ on

IA N

O

metrizaci´on de un espacio topol´ ogico. Pretend´ıan encontrar una condici´on de separaci´on, bajo la cual los espacios topol´ogicos resultaran metrizables o bien seudometrizables.

UB

Figura 12.1: P. Alexandroff y H. Hopf, Z¨ urich, 1931.

G. R

Al hablar de separaci´ on en un espacio topol´ogico nos referimos a la separaci´on que podemos inducir entre los puntos del espacio vali´endonos de los conjuntos abiertos. En un espacio indiscreto, por ejemplo, esta separaci´on es nula pues para cualesquiera dos puntos es imposible hallar un abierto que contenga a uno de ellos sin contener al otro. Nuestro estudio se limitar´a a los axiomas Tk mencionados, aunque no dejan de existir esfuerzos en crear cada d´ıa otro Tk , k-racional, donde podr´ıa pensarse que la separaci´on ´optima la poseen los espacios m´etricos. El axioma de separaci´ on m´as primitivo afirma que, dados dos puntos del espacio, al menos uno de ellos se puede separar del otro por medio de un abierto2 . Definici´ on 12.1. Un espacio (X, T) es T0 o de Kolmogoroff 3 si, dados x, y ∈ X con x 6= y, existe una vecindad abierta Ux de x que no contiene a y o existe una vecindad abierta Uy de y que no contiene a x. 2 En 1935 se public´ o el libro Topologie I de Pavel S. Alexandroff y Heinz Hopf. En ´este se indica que el axioma de separaci´ on m´ as d´ebil fue introducido por Andrei Kolmogoroff. 3 Andrei Kolmogoroff (Tambov 1903-Mosc´ u 1987), matem´ atico ruso que hizo progresos importantes en los campos de la teor´ıa de probabilidad y de la topolog´ıa. En particular, desarroll´ o una base axiom´ atica que supone el pilar b´ asico de la teor´ıa de las probabilidades a partir de la teor´ıa de conjuntos. Trabaj´ o al principio de su carrera en l´ ogica constructivista y en la serie de Fourier. Fue el fundador de la teor´ıa de la complejidad algor´ıtmica.

217

12.1 T0 , T1 y T2 o de Hausdorff

EJEMPLO 12.1

El espacio de Sierpinsky {0, 1} (p´ag. 13) es T0 . EJEMPLO 12.2

Dado un conjunto parcialmente ordenado (X, ≤), el espacio (X, Td ) con la topolog´ıa generada por las colas a derecha cerradas es T0 .

IA N

1. Dados x 6= y, x ∈ / {y} ´ oy∈ / {x}.

O

Ser T0 es equivalente a cualquiera de las siguientes afirmaciones:

6 {y}. 2. Si x y y son puntos distintos de X entonces {x} = EJEMPLO 12.3

UB

1. El espacio del ejemplo 10.29 —intervalos encajados— no es T0 pues 1 1 , 8. todo abierto no vac´ıo contiene simult´aneamente a los puntos 10 2. Dado un conjunto X y a, b ∈ X definimos G := {A ⊆ X : {a, b} ⊆ A} ∪ {∅}.

G. R

En este espacio los puntos a, b no se pueden “distinguir” topol´ogicamente.

3. Si (X, T) un espacio T0 y 2-contable, la cardinalidad del conjunto X queda acotada por |X| ≤ 2ω . Si B := {B1 , B2 , . . .} es una base la funci´on f : X −→ 2B definida por f (x) = {B ∈ B : x ∈ B} es inyectiva y por tanto |X| ≤ 2B ≤ 2ω .

Definici´ on 12.2. Un espacio (X, T) es T1 o accesible4 si, dados x, y ∈ X con x 6= y, existen vecindades abiertas Ux , Uy tales que y ∈ / Ux y x ∈ / Uy . Este axioma algunas veces es referido como de Fr`echet o axioma de separaci´on de Riesz. EJEMPLO 12.4

(R, cof initos) es un espacio T1 . 4

En 1907 Friedrich Riesz introdujo el axioma de separaci´ on T1 .

218

Los axiomas de separaci´ on

Nota. La definici´ on de T1 es equivalente a que cada conjunto unitario {a} del espacio sea cerrado. En efecto, el complemento de {a} es un conjunto abierto, pues por cada x 6= una vecindad abierta Vxa de x tal S a tomamos a c a que a ∈ / Vx , y as´ı {a} = x6=a Vx .

O

El axioma de separaci´ on m´as conocido fue introducido por Hausdorff5 y es el que nosotros hemos exigido en la definici´on de un espacio de Hausdorff o T2 . Algunas veces este espacio se llama ‘separado’, que no debe confundirse con separable, lo cual tiene un significado completamente diferente.

IA N

Ya hemos visto que esta es una propiedad heredable y productiva, la cual resulta de un valor apreciable cuando se trata de espacios compactos. En los espacios de Hausdorff la convergencia de una sucesi´on o de un filtro, en caso de existir, es u ´nica, lo que es uno de los requisitos m´ınimos para desarrollar una teor´ıa de convergencia.

UB

EJEMPLO 12.5

1. Todo espacio m´etrico es de Hausdorff. 2. (R, cof initos) es T1 pero no es T2 .

G. R

3. Muchos otros ejemplos de espacios que no son de Hausdorff pueden ser construidos, pero ellos de alguna manera son no ‘naturales’. 4. Por supuesto tenemos la implicaci´ on T2 → T1 → T0 .

Ejercicios 12.1

1. K

Muestre que, en un espacio T0 , la relaci´on x ≤ y si x ∈ {y} es de orden en el conjunto X.

2. Muestre que, un espacio (X, T) es T0 si y solo si para todo par x, y ∈ X con x 6= y se tiene {x} = 6 {y}. 3. Muestre que, en un espacio (X, T), ser T1 es equivalente a cada una de las siguientes afirmaciones: 5

El 1914 Felix Hausdorff introdujo el axioma de separaci´ on T2 en su famoso libro ¨ GrundzAuge der Mengenlehre.

219

12.1 T0 , T1 y T2 o de Hausdorff

(a) Todos los conjuntos unitarios son cerrados. (b) Todos los subconjuntos finitos son cerrados. (c) Para cada A ⊆ X la intersecci´on de todos los abiertos UA que contienen a A es el propio A. (d) Para cada a ∈ X la intersecci´on de todos los abiertos Ua que contienen al punto a es {a}. (e) Cada subconjunto de X es uni´on de subconjuntos cerrados.

(g) Para cada x ∈ X el conjunto {x}a = ∅.

O

(f) Cada subconjunto no vac´ıo contiene alg´ un subconjunto cerrado no vac´ıo.

IA N

(h) Para cada A ⊆ X, Aa = Aaω (definici´on 10.30).

4. Un espacio (X, T) es TD si y solo si para todo x ∈ X el conjunto {x}a es cerrado. Muestre que T1 implica TD . 5. Muestre que si (X, T) es T1 entonces Aa es cerrado para cada A ⊆ X.

UB

6. Muestre que todo espacio finito que es T1 necesariamente es discreto. 7. Muestre que la definici´ on de un espacio (X, T) de Hausdorff es equivalente a:

G. R

(a) Para cada a ∈ X la intersecci´ on de todas las vecindades cerradas del punto a es el conjunto {a}.

(b) La diagonal

∆X = {(x, x) : x ∈ X}

es cerrada en el espacio producto X × X.

(c) La convergencia de filtros es u ´nica.

8. Muestre que la propiedad de ser T2 no es equivalente a la propiedad de la convergencia u ´nica por sucesiones.

9. Sea f : (X, T) −→ (Y, H) continua y (Y, H) un espacio T2 . Entonces el grafo de f , Gf := {(x, f (x)) | x ∈ X}, es cerrado en el espacio producto X × Y . Sugerencia: considere la funci´ on h = (f, idY ) : X × Y −→ Y × Y,

(x, y) 7→ (f (x), y).

220

Los axiomas de separaci´ on

Entonces h−1 (∆Y ) = h−1 ({(y, y) | y ∈ Y }) = {(x, y) | f (x) = y, x ∈ X} = {(x, f (x)) | x ∈ X} = Gf . 10. Sean f, g : (X, T) −→ (Y, H) continuas y (Y, H) un espacio T2 . Entonces el subconjunto de coincidencia

O

C(f, g) = {x ∈ X : f (x) = g(x)}

IA N

donde f y g coinciden, es cerrado.

Sugerencia: considere la funci´ on (f, g) : X −→ Y × Y . 11. ¿Las propiedades T0 , T1 , T2 son hereditarias?

12. Muestre que T0 , T1 , T2 son invariantes topol´ogicos.

UB

13. Q Muestre que T0 , T1 , T2 son productivas, i. e., el espacio producto i∈I (Xi , Ti ) es T0 , T1 , T2 si y solo si cada espacio factor lo es. 14. Muestre que si f : (X, T) −→ (Y, H) es una funci´on inyectiva y continua con (Y, H) de Hausdorff entonces X es de Hausdorff.

G. R

15. (R, co-compacto). En R definimos C ⊆ R cerrado si C es cerrado y acotado en el sentido usual. Muestre que este espacio es T1 pero no es T2 . 16. (X, T) es T2 1 o de Urysohn, si todo par de puntos puede ser separado 2 por vecindades cerradas. Un espacio T2 1 es de Hausdorff.

12.2

2

Regulares, T3 , Tychonoff

En esta secci´on vemos la separaci´ on entre puntos y conjuntos, con un axioma introducido por Vietoris6 en 1921. 6

Leopoldo Vietoris (1891 Radkersburg, Austria–Innsbruck, Austria 2002). Vivi´ o 110 a˜ nos (de hecho casi 111, muri´ o menos de dos meses antes) en tres siglos diferentes. Es conocido principalmente por sus estudios en topolog´ıa, rama de las matem´ aticas de la que se le considera uno de los fundadores e impulsores. Tambi´en se interes´ o por la historia de las matem´ aticas, la filosof´ıa y fue un gran alpinista y esquiador. Durante toda su vida public´ o 80 trabajos en diversos campos, el u ´ltimo de ellos a los 104 a˜ nos.

221

12.2 Regulares, T3 , Tychonoff

Definici´ on 12.3. Un espacio (X, T) es regular si, dados x ∈ X y un cerrado F ⊆ X con x ∈ / F , existen abiertos Vx , VF disyuntos que contienen a x y a F respectivamente. Algunos autores prefieren llamar a estos espacios T3 . EJEMPLO 12.6

Un espacio que es T2 pero no es regular.

EJEMPLO 12.7

UB

IA N

O

En R definimos una subbase a˜ nadiendo a la topolog´ıa usual el conjunto Q. La topolog´ıa generada T es T2 , pues esta subbase es m´as fina que la usual. N´otese que hemos agregado los intervalos que constan u ´nicamente de n´ umeros racionales o uni´ on de los intervalos usuales con los intervalos formados exclusivamente por racionales. El conjunto I de los n´ umeros irracionales es cerrado en (R, T) pero no lo podemos separar del punto x = 0, pues cualquier vecindad VI necesariamente tiene que ser igual a R.

G. R

En R consideremos el conjunto A = {1/n | n ∈ N}. Definimos una topolog´ıa T para R as´ı: V ∈ T si y solo si V = U ∩ B c donde U es abierto de la topolog´ıa usual de R y B ⊆ A. Esto es, los elementos de la topolog´ıa son los abiertos de la usual, con el derecho a extraerles cualquier cantidad de n´ umeros de la forma 1/n. Note que la usual est´a contenida en T y por lo tanto T es Hausdorff. Sin embargo, este espacio no es regular pues el punto 0 y el conjunto cerrado A (A es cerrado ya que Ac = R ∩ Ac es abierto) no pueden separarse. ¿Por qu´e?

La siguiente es una caracterizaci´ on local de los espacios regulares y es quiz´as la forma m´as u ´til de presentar este axioma. Teorema 12.4. Un espacio (X, T) es regular si y solo si para cada subconjunto abierto U y para cada x ∈ U existe un abierto Vx tal que x ∈ Vx ⊆ Vx ⊆ U. Un espacio (X, T) es regular si para cada x ∈ X las vecindades cerradas de x forman un sistema fundamental de vecindades de x; i. e., cada vecindad de x contiene una vecindad cerrada.

222

Los axiomas de separaci´ on

Demostraci´on. ⇒) Sean U abierto y x ∈ U . Como U c es cerrado existen vecindades disyuntas abiertas V, W de x y U c respectivamente. As´ı, x ∈ V ⊆ W c y como W c ⊆ U tenemos x ∈ V ⊆ V ⊆ U ya que W c es cerrado. ⇐) Dado un F cerrado y x ∈ / F , el conjunto F c es una vecindad abierta
c de x. As´ı que existe Vx tal que Vx ⊆ Vx ⊆ F c . Si tomamos U = Vx entonces F ⊆ U y adem´as Vx ∩ U = ∅. EJEMPLO 12.8

IA N

O

Bajo la anterior caracterizaci´ on es claro que la topolog´ıa de los complementos finitos en R no es regular, ya que ninguna vecindad de un punto es cerrada. No siempre es el caso que cada espacio regular implique los dem´as axiomas  de separaci´ on T0 , T1 , T2 . Por ejemplo (X, grosera) es regular pero no ne-

UB

cesariamente es T2 pues un punto no necesita ser un conjunto cerrado. Es por ello que a los espacios regulares los reforzamos en la siguiente definici´on para que as´ı Ti implique Ti−1 .

Definici´ on 12.5. Un espacio (X, T) que es regular y adem´as T1 se llama un espacio T3 . Esto es, adem´as de poder separar puntos de conjuntos cerrados, exigimos que los conjuntos unitarios sean cerrados.

G. R

Proposici´ on 12.6. La propiedad de ser T3 es hereditaria. Demostraci´on. Sea A ⊆ (X, T) donde X es T3 . Basta notar que, para x ∈ A, si V(x) es un sistema fundamental de vecindades cerradas de x en (X, T) entonces VA (x) = {V ∩ A : V ∈ V(x)} es un sistema fundamental de vecindades cerradas de x en (A, TA ). Q Proposici´ on 12.7. Un espacio producto X = i∈I Xi con la topolog´ıa producto es regular si y solo si cada Xi es regular. Demostraci´on. ⇒) Supongamos que para alg´ un ´ındice i0 , Xi0 no es regular y veamos que entonces X tampoco lo es. Luego existen xi0 ∈ Xi0 y un cerrado Ai0 ⊆ Xi0 que no contiene a xi0 , los cuales no pueden separarse. Definimos un punto x = (xi ) ∈ X tomando a xi0 en la componente i0 y en las otras i–ordenadas elegimos un punto cualquiera xi para cada Q i. Sea Q −1 A = pi0 (Ai0 ) = i6=i0 Xi ×Ai0 —el cilindro—; consideremos Ux = Uxi ,

223

12.2 Regulares, T3 , Tychonoff

(i ∈ I) una vecindad cualquiera de x y UA cualquier vecindad abierta de A. Entonces UAi0 := {yi0 | y = (yj ) ∈ UA y yi = xi para cada i 6= i0 }

UB

IA N

O

—hemos elegido las coordenadas i–´esimas de estos puntos y = (yi )— es un abierto en Xi0 con Ai0 ⊆ UAi0 , con lo cual Uxi0 y UAi0 tambi´en se interceptan. Por tanto Ux y UA se interceptan, es decir, x no puede ser separado de A. Q ⇐) Supongamos que Xi es regular para cada i. Sea Ux = Uxi , (i ∈ I) un abierto de x en X —no perdemos generalidad si lo suponemos b´asico—. Si Uxi = Xi definimos Vi = Xi . Si Uxi $ X Qi escogemos Vi abierto talQque x ∈ Vi ⊆ Vi ⊆ Uxi . Entonces V = Vi , (i ∈ I) es abierto y Vi , (i ∈ I) es un cerrado con x ∈ V ⊆ V ⊆ Ux , es decir X es regular. Q Corolario 12.8. El espacio X = Xi , (i ∈ I) con la topolog´ıa producto es T3 (regular y T1 ) si y solo si cada Xi es T3 . Demostraci´on. Muestre que un espacio producto es Ti , (i = 0, 1) si y solo si cada espacio factor lo es (ejercicos 7.1). EJEMPLO 12.9

G. R

Sorgenfrey (R, J+ ) es T3 . Dados U abierto y x ∈ U existe [a, b) tal que x ∈ [a, b) ⊆ U . Recordemos que esta topolog´ıa es m´as fina que la usual; as´ı, los intervalos abiertos tambi´en son abiertos de esta topolog´ıa, con lo cual los elementos [a, b) de la topolog´ıa son simult´aneamente abiertos y cerrados. Por el teorema 12.4 tenemos la regularidad. Solo resta verificar que el espacio es T1 . De manera m´as general tenemos el siguiente ejemplo. EJEMPLO 12.10

Sea (X, ≤) un espacio totalmente ordenado. J0 , J+ , J− son T3 (p´ag. 23).

Entonces las topolog´ıas

1. J0 . Un sistema fundamental de vecindades de x es V(x) = {(a, b) : a < x < b}. Es suficiente mostrar que todo elemento en V(x) contiene una vecindad de x que es cerrada. Sea (a, b) ∈ V(x):



224

Los axiomas de separaci´ on

(a) Si existen t, t0 tales que a < t < x y x < t0 < b entonces x ∈ (t, t0 ) ⊆ [t, t0 ] ⊆ (a, b). (b) Si no existe t tal que a < t < x entonces: o bien existe t0 con x < t0 < b, con lo cual x ∈ (a, t0 ) ⊆ [a, t0 ] ⊆ (a, b), o bien no existe t0 con x < t0 < b, con lo cual (a, b) = {x} es vecindad cerrada de x. (c) Si no existe t0 tal que x < t0 < b, razonamos como en (b).

a 0 puesto que g no es adherente a F —. Entonces S Bεg /2 (g), (g ∈ G) es un abierto que contiene a G y no intercepta a F . De manera similar construimos un abierto para F que no corte a G. Muestre que realmente estos abiertos no se cortan. Por supuesto existen espacios normales que no son metrizables. EJEMPLO 12.13

Sea R con la topolog´ıa T definida como: U ∈ T si U c es contable o 0 ∈ / U.

La topolog´ıa T es de Hausdorff, pues dados x 6= y, uno de los dos, digamos x, es diferente de 0; por tanto {x} y R − {x} son abiertos. Para ver que (R, T) es normal tomemos F, G cerrados disyuntos no vac´ıos; uno de los dos no contiene al punto 0, digamos F , luego F es abierto y F c es tambi´en un abierto conteniendo a G. De otra parte, no existe una base localTenumerable para el punto 0 ya que si existiera {B1 , B2 , . . .} tenemos que n=1 Bn = {0} y de otra parte

228

Los axiomas de separaci´ on

c n=1 Bn

deber´ıa ser contable puesto que 0 ∈ Bn para cada n, y como cada Bn es abierto, solo puede serlo si Bnc es contable. S

¿Puede ver usted el filtro involucrado en este ejemplo y la construcci´on en general? EJEMPLO 12.14

O

El semiplano de Niemytzki del ejemplo 5.7 es un espacio que muestra que ser T4 no es consecuencia de ser T1 y regular. Veamos a continuaci´on sus principales propiedades:

IA N

Para ver que (X, T ∗ ) es regular utilicemos la caracterizaci´on local; es decir, dado un abierto U y b ∈ U , existe Vb abierta tal que Vb ⊆ V b ⊆ U . Sean U ∈ T ∗ y b ∈ U . Si b ∈ P , como U es abierto existe una Bε (b) ⊆ U , luego para Vb = Bε/2 (b) tenemos la condici´ on. Si b ∈ L, existe D un disco tal que {b} ∪ D ⊆ U , esto es (Bε ((b, x)) ∪ {b}) ⊆ U —alg´ un x—. As´ı Bε/2 ((b, x/2)) satisface la condici´ on.

G. R

UB

Ahora mostremos que no es normal. En efecto, construyamos dos subconjuntos cerrados que no se pueden separar. Dado A ⊆ L, Ac es abierto en T ∗ con lo cual cada A ⊆ L es cerrado —diferente a decir que todo A ⊆ L es abierto, pues el complemento se toma en todo X—. Por tanto, los subconjuntos Q = {(x, 0) | x es racional}, I = {(x, 0) | x es irracional} son cerrados, y veremos que Q, I no pueden separarse por abiertos. Sean VQ , VI abiertos disyuntos separando a Q, I. Por cada (x, 0) ∈ I ⊆ VI existe un disco Dx ⊆ VI de radio rx y tangente a L en el punto (x, 0). Sea Sn = {(x, 0) ∈ I | rx > 1/n}. As´ı, Sn ⊆ Sn+1 y la colecci´on {Sn } junto con los puntos de Q forman un cubrimiento contable de L. Veamos que en R sucede lo siguiente:

Si R es una uni´ on contable de los subconjuntos {Sn } entonces por lo menos uno de ellos contiene un intervalo abierto. Supongamos que cada Sn tiene interior vac´ıo, esto es, dado cualquier intervalo I ⊆ L, existe un subintervalo J ⊆ I tal que Sn ∩ J = ∅ (recuerde que Sn es cerrado y esto es equivalente a decir que el interior de la adherencia de cada Sn es vac´ıo, es decir Sn es denso en ninguna parte). Como los racionales son enumerables, sea {q1 , q2 , . . .} una enumeraci´on de ellos. Para n = 1 tomamos un intervalo I1 tal que q1 ∈ / I1 ; as´ı, existe J1 ⊆ I1 tal que J1 ∩ S1 = ∅. Si q2 ∈ J1 , tomamos un subintervalo I2 ⊆ J1

229

12.3 Normales, T4

tal que q2 ∈ / I2 y de ´este extraemos J2 tal que J2 ∩ S2 = ∅ ; si q2 ∈ / J1 tomamos un I2 ⊆ J1 tal que I2 ∩ S2 = ∅. De esta manera, construimos inductivamente una sucesi´ on de intervalos cerrados In tal que In+1 ⊆ In con qn ∈ / In y In ∩ Sn = ∅. Por el principio T de Cantor para los intervalos encajados, existe un n´ umero t tal que t ∈ n∈NIn . Claramente t no es un n´ umero racional y para alg´ un n suficientemente grande tenemos t ∈ Sn , pero esto contradice que In ∩ Sn = ∅.

IA N

O

Luego para alg´ un n´ umero natural n se debe tener que existe un intervalo I de la recta real tal que cada subintervalo de I corta a Sn . As´ı que cada punto de I es un punto de acumulaci´ on de Sn ; en particular existe un racional r con r ∈ Sna . Sea Bδ ((r, 0)) ⊆ VQ . Para x1 ∈ Sn suficientemente cercano a r, existe un disco Bε ((x1 , 0)) con Bδ ((r, 0)) ∩ Bε ((x1 , 0)) 6= ∅, y esto contradice que VQ , VI son disyuntos.

UB

En un espacio las propiedades de ser Hausdorff, normal y compacto se relacionan de acuerdo con el siguiente teorema.

G. R

Teorema 12.16. Si (X, T) es un espacio de Hausdorff y compacto entonces X es normal.

Demostraci´on. Si F, G son dos cerrados disyuntos, como el espacio es de Hausdorff y es compacto ellos son compactos. Dado g ∈ G, lo podemos separar de cada punto f ∈ F por medio de vecindades disyuntas Vgf , Vfg de g y f respectivamente. La colecci´ on {Vfg | f ∈ F } es un cubrimiento abierto de F , el cual lo podemos reducir a un subcubrimiento finito {Vfgi }, (i = 1, 2, . . . , n). Definimos T Vg = ni=1 Vgfi —la intersecci´ on de las vecindades de g correspondientes a S estos fi — y definimos UFg = ni=1 Vfgi . As´ı F ⊆ UFg . Repitiendo el anterior proceso para cada g ∈ G, obtenemos un cubrimiento {Vg | g ∈ G} de G el cual lo reducimos a uno finito Vg1 , Vg2 , . . . , Vgm . S Tm gi Finamente M := m i=1 Vgi y N := i=1 UF son vecindades abiertas disyuntas de G y F respectivamente.

230

Los axiomas de separaci´ on

EJEMPLO 12.15

Tabl´on de Tychonoff . Sea X = [0, ω] × [0, Ω]; cada factor es un espacio compacto, pues cada una de sus topolog´ıas provienen de un orden completo. X es normal de acuerdo con el teorema 12.16. Definimos W el tabl´ on de Tychonoff como el espacio X menos el punto (ω, Ω), i. e., W = X − {(ω, Ω)} = [0, ω] × [0, Ω] − {(ω, Ω)}.

IA N

A ◦ (ω, Ω) Ω • • • • • .. .... . . . .. .. .. .. .. . ω • • • • • · · · ... • ...

O

Probemos que el tabl´ on no es normal con la topolog´ıa de subespacio, negando as´ı que la normalidad sea hereditaria.

............................... .......... .. .... ........................................

UB

.. .

.. . .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. ... .. .. ... .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. ... .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..

• • • • • 0

• • • • • 1

G. R

4 3 2 1 0

• • • • • 2

• • • • • 3

• • • • • 4

··· ··· ··· ···

• • • • • ω

B

Figura 12.2: El tabl´ on de Tychonoff.

Para ello construyamos dos cerrados disyuntos A, B en W y mostremos que es imposible separarlos. A = {(x, Ω) | x ∈ [0, ω)} la u ´ltima fila superior, B = {(ω, y) | y ∈ [0, Ω)} la u ´ltima columna a la derecha. Son cerrados en la topolog´ıa de subespacio de W ya que sus complementos en W son claramente abiertos. Supongamos que existen UA , UB abiertos que separan. Entonces por cada α ∈ [0, ω) sea βα el menor elemento en [0, Ω] tal que (α, β) ∈ UA para β > βα . La colecci´ on S = {βα }, (α ∈ [0, ω)) es contable, luego so = sup S < Ω (proposici´ on 10.41) y por tanto {(α, β) | α < ω, β > so } ⊆ UA . Notemos que para β con so < β < Ω se tiene que el punto (ω, β) ∈ UB , luego puntos ‘cercanos’ a ´el, est´an tanto en UA como en UB .

231

12.4 Lema de Urysohn o existencia de funciones

Ejercicios 12.3 1. Muestre que el producto de espacios normales no necesariamente es normal, aun en el caso de un n´ umero finito de factores.

O

Sugerencia: considere el espacio —ejemplo 9.20— con la topolog´ıa de los cuadrados semiabiertos de Sorgenfrey y considere los subconjuntos F , G en la diagonal, dados por los puntos con componentes racionales y los puntos con componentes irracionales respectivamente. Este ejemplo muestra tambi´en que T3 no implica T4 .

IA N

2. El espacio de Sierpinski es un ejemplo de un espacio normal que no es regular. 3. Muestre que la normalidad se respeta por homeomorfismos, pero no es un invariante bajo continuidad. ¿Qu´e sucede si f es continua, cerrada y sobre?

UB

4. Muestre que en el ejemplo 12.14, X es separable pero el subespacio L no lo es.

G. R

5. Muestre que si un espacio producto es normal, entonces cada espacio factor es normal. 6. Si (X, T) es regular y de Lindel¨ of entonces es normal.

7. Si (X, T) es regular y 2-contable entonces es normal.

8. Revise el ejemplo 12.13 y general´ıcelo para cualquier filtro en cualquier conjunto X.

12.4 Lema de Urysohn o existencia de funciones El objeto de esta secci´ on es resaltar la relaci´on entre la normalidad en el espacio X y la existencia de funciones f : X −→ Ru continuas y no constantes. Definici´ on 12.17. Dados (X, T) y A, B ⊆ X, decimos que A, B son separados por funciones continuas si existe f : X −→ R con f (A) = 0, f (B) = 1.

232

Los axiomas de separaci´ on

N´otese que si esto sucede entonces A y B son disyuntos pues el conjunto cerrado f −1 (1) contiene a A y por tanto contiene a A. Lo mismo sucede para f −1 (0) y B. Podemos preguntarnos: si A, B son subconjuntos cerrados disyuntos, ¿existir´a f que los separe? Para los espacios m´etricos la respuesta es afirmativa.

A B

IA N

B

−→ 0

O

A

−→ 1

Figura 12.3: Una funci´ on que separa.

UB

Proposici´ on 12.18. Si A, B son dos cerrados disyuntos no vac´ıos de un espacio m´etrico (X, d) entonces existe f : X −→ [0, 1] continua y tal que f (A) = 0, f (B) = 1.

G. R

Demostraci´on. Definimos f como f (x) :=

d(x, A) . d(x, A) + d(x, B)

Lo que veremos ahora es que esta propiedad —creaci´on de funciones continuas— puede usarse para caracterizar la normalidad. Tenemos el siguiente lema —el cual es un teorema—.

Figura 12.4: Construcci´ on en el lema de Urysohn.

233

12.4 Lema de Urysohn o existencia de funciones

Teorema 12.19 (Lema de Urysohn). Un espacio (X, T) es normal si y solo si dado un par de subconjuntos A, B cerrados, disyuntos y no vac´ıos de X, existe u : X −→ [0, 1] continua y tal que u(A) = 0, u(B) = 1.

IA N

O

Demostraci´on. La ‘idea’ en la demostraci´on es brillante pero no por eso complicada; la funci´ on u es obtenida como la u ´ltima (el l´ımite) de una sucesi´on de funciones escalonadas que al ir defini´endolas en una regi´on que se expande entre A y B c (figura 12.4) crecen gradualmente desde u(A) = 0 hasta u(B) = 1. Estas funciones en cada paso incrementan el n´ umero de escalones a fin de dejar una funci´ on definida de manera continua con rango en [0, 1]. El n´ umero de escalones en cada paso est´a dado por una cadena enumerable de subconjuntos entre A y B c : A = A0 ⊆ A1 ⊆ . . . ⊆ An ⊆ . . . ⊆ B c

y la funci´on escalonada se define involucrando los ´ındices de cada Ai . Como queremos que Ai−1 nunca toque la frontera de Ai a fin de garantizar la ◦

G. R

UB

construcci´on de los escalones, debemos garantizar entonces que Ai−1 ⊆ Ai y es aqu´ı donde de manera inductiva aplicamos la normalidad del espacio.

Figura 12.5: Un paso no permitido en la construcci´on de las funciones escalonadas.

p En [0, 1] tomamos los n´ umeros racionales de la forma n , 0 < p < 2n 2 donde p, n son enteros positivos. Este conjunto de n´ umeros se llama fracciones di´ adicas —fracciones cuyo denominador es una potencia de 2— y lo denotamos por D.   1 1 3 1 3 5 7 1 15 , , , , , , , ,..., ,... D= 2 4 4 8 8 8 8 16 16

234

Los axiomas de separaci´ on

O

es denso en [0, 1], pues se obtiene de dividir sucesivamente de dos en dos el intervalo [0, 1]; efectivamente, dado (a − δ, a + δ) para a ∈ [0, 1] veamos 1 que existe d ∈ D con d ∈ (a − δ, a + δ). Como n → 0 existe una potencia 2 q = 2N tal que 0 < 1/q < δ. Ya que           1 1 2 2 3 q−2 q−1 q−1 [0, 1] = 1, , ,1 ∪ , ∪ , ∪ ... ∪ ∪ q q q q q q−1 q q i h m+1 m+1 , , luego m existe m con a ∈ m q q q ≤ a ≤ q y como 1/q < δ entonces a−δ < m q ≤ a < a + δ.

IA N

A continuaci´ on definimos una colecci´ on de abiertos {Ud | d ∈ D} con la propiedad que si d1 < d2 entonces A ⊆ Ud1 ⊆ U d1 ⊆ Ud2 ⊆ U d2 ⊆ B c .

UB

Adem´as utilizamos sistem´aticamente la siguiente propiedad: en un espacio normal, dado un cerrado A y un abierto U conteniendo a A, existe un abierto V tal que A ⊆ V ⊆ V ⊆ U . Luego existe un abierto llam´emoslo U1/2 con A ⊆ U1/2 ⊆ U1/2 ⊆ B c . Al aplicar de nuevo la propiedad obtenemos abiertos U1/4 , U3/4 tales que A ⊆ U1/4 ⊆ U1/4 ⊆ U1/2 ⊆ U1/2 ⊆ U3/4 ⊆ U3/4 ⊆ B c .

G. R

A partir del paso anterior ya podemos inducir c´omo es el siguiente en nuestra construcci´on de la colecci´ on {Ud }; a manera de ejemplo, el paso siguiente nos dar´ıa todos los Ud para d = 1/8, 2/8, 3/8, . . . , 7/8 caso en el cual solo hemos agregado los U1/8 , U3/8 , U5/8 , U7/8 . Esto es, del paso Uk/2n al paso Uk/2n+1 u ´nicamente resta por agregar los abiertos Uk/2n+1 para los k = 2i + 1 impares. Para un tal k = 2i + 1 existe un abierto U con la propiedad U2i /2n+1 ⊆ U ⊆ U ⊆ U2i+1 /2n+1 ⊆ B c y es a este U al que llamamos U2i+1 /2n+1 , con lo cual tenemos la manera inductiva de crear a D. Notemos que la colecci´ on {Ud }, (d ∈ D) es un encaje para el orden natural en D. Definimos la funci´ on u : X −→ [0, 1] como ( 0, si x ∈ Ud para todo d u(x) = sup{d : x ∈ / Ud }, en caso contrario

235

12.4 Lema de Urysohn o existencia de funciones

—tomamos el ´ındice del conjunto Ud m´as grande que no contiene a x—. Por la definici´ on tenemos u(A) = 0 pues si x ∈ A entonces x est´a en todos los Ud . Por otra parte, u(B) = 1 pues x ∈ B implica que x no est´a en Ud para todo d, con lo cual el sup es 1. Para ver que u es continua en el punto x, basta ver que u−1 ([0, a)) y u−1 ([a, 1)) son abiertos para todo 0 < a < 1 ya que los intervalos de la forma [0, a), (a, 1] son una subbase cuando 0 < a < 1.

u−1 ([0, a)) = {x | u(x) < a} =

O

En efecto, verifiquemos que [

Ud

IA N

d 0, ya que podemos definir una x sobreyecci´on continua f : Rn+1 − {0} −→ S n por f (x) = kxk (el corolario n+1 13.11 muestra que R − {0} es conexo).

UB

2. El espacio GL(3, R) no es conexo, ya que R − {0} no lo es y existe una funci´on det continua y sobreyectiva det : GL(3, R) −→ R − {0}

definida por M 7→ det(M de M —. Es sobreyectiva: para  t )0 —determinante  0 t ∈ R − {0} la matriz 0 1 0 es invertible y tiene determinante t.

G. R

001

Es intuitivo que si a un subespacio conexo le agregamos parte de sus puntos adherentes seguimos teniendo conexidad (ver figura 13.2 donde agregamos S 1 ). Este es el tema del siguiente teorema.

Teorema 13.6. Sea A un subconjunto conexo de un espacio topol´ogico (X, T). Si B es tal que A ⊆ B ⊆ A entonces B es conexo.

Demostraci´on. Sea f : B −→ {0, 1} continua. Sabemos que f (A) es un conjunto unitario puesto que la restricci´ on f |A es continua y A es conexo, luego f (B) ⊆ f (A) ⊆ f (A) es tambi´en unitario y as´ı f no es sobreyectiva.

Proposici´ on 13.7. Sea (X, T) un espacio y A, B una separaci´on de X. Si C es un subespacio conexo de X entonces C ⊆ A ´o C ⊆ B.

246

Conexidad

Demostraci´on. Si se diera simult´aneamente A ∩ C 6= ∅ y B ∩ C 6= ∅, entonces estos dos conjuntos formar´ıan una separaci´on para C. Veamos ahora que la conexidad es respetada por las funciones continuas y por tanto es un invariante topol´ ogico.

O

Teorema 13.8. Sean (X, T), (Y, H) espacios. Si X es conexo y f : X −→ Y es continua entonces f (X) es conexo.

IA N

Demostraci´on. Si f (X) es no conexo, existe g : f (X) −→ {0, 1} continua y sobre. Por tanto g ◦ f es continua y sobre, lo cual contradice que su dominio X es conexo.

UB

El siguiente corolario nos explica por qu´e algunas veces al tener una funci´on f : R −→ R decimos que es continua, si al dibujar su grafo no hay necesidad de levantar el l´apiz del papel; es decir, su grafo es un solo trazo, con lo cual es conexo. Corolario 13.9. Sean (X, T), (Y, H) dos espacios. Si X es conexo y f : X −→ Y es una funci´ on continua entonces

G. R

Gf := {(x, f (x)) | x ∈ X} ⊆ X × Y —el grafo de f — es un subespacio conexo. Demostraci´on. La funci´ on g : X −→ X ×Y definida como g(x) = (x, f (x)) es continua ya que sus proyecciones son la funci´on idX y f . Nota. Tenemos a´ un m´as de lo que dice el anterior corolario. El espacio X es homeomorfo a Gf ; esto es, X es homeomorfo a su ‘imagen’ dada por f en X × Y . Consideremos la biyecci´ on h : X −→ Gf dada por h(x) = (x, f (x)). La funci´on h es continua ya que sobre la base {Gf ∩ (U × V ) : U ∈ T, V ∈ H} tenemos h−1 (Gf ∩ (U × V )) = U ∩ f −1 (V ). De otra parte, para U ∈ T, h(U ) = {(x, f (x)) | x ∈ U } = Gf ∩(U ×V ) tambi´en es un abierto en Gf , con lo que h−1 es continua. Moraleja: Dada f : R −→ R continua, no importa lo que hagamos con R, el gr´afico de la funci´ on es ‘de nuevo’ R.

247

13.1 La conexidad como invariante topol´ ogico

Conexidad en el producto Aunque la intersecci´ on de dos espacios conexos no necesariamente es conexa —¿por qu´e?—, s´ı lo es su producto cartesiano.

b2 a2

. ... . .. .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ......... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ......... .. ..

.. ......

h

g •

IA N

Y

O

Teorema 13.10. Si (X, T), (Y, H) son espacios conexos entonces el espacio producto X × Y con la topolog´ıa producto es conexo.

•

UB

a1

b1 X

G. R

Figura 13.3: Conexidad en el producto.

Demostraci´on. Si X ×Y no es conexo, existe f : X ×Y −→ {0, 1} continua y sobre. Sean a = (a1 , a2 ), b = (b1 , b2 ) tales que f (a) = 0, f (b) = 1. Definimos las funciones (fig. 13.3) g : X −→ {0, 1}, h : Y −→ {0, 1} como g(x) := f (x, b2 ) y h(y) := f (a1 , y). g, h son continuas —lo son sus proyecciones— con lo cual g(X) y h(Y ) son conjuntos unitarios. Por ser g(b1 ) = f (b1 , b2 ) = 1 tenemos g(a1 ) = 1. Por otra parte, como h(a2 ) = f (a1 , a2 ) = 0 tenemos h(b2 ) = 0, de donde obtenemos f (a1 , b2 ) = g(a1 ) = 1 6= 0 = h(b2 ) = f (a1 , b2 ), lo cual contradice la definici´on de funci´on de f . As´ı que X × Y debe ser conexo. Corolario 13.11. Rnu es conexo.

Lema 13.12. Sea (X, T) un espacio. Si {Ci }i∈I es una familia de subconjuntos conexos de X con la propiedad que existe un ´ındiceSj ∈ I tal que para cada i ∈ I tenemos que Ci ∩ Cj 6= ∅, entonces C = i∈I Ci es conexo.

248

Conexidad

. ........ .. .. .. ..... ... .. .... ... ..... .. ..................... .. ....... .. ...... .. ...... .... .... ... ..... ..... ... . ... ... .... .. ..... . . ... . . . . . . . . ... . . ... .... ... ... .... .... ... .... ... .... .. ..... .... . . . ... .. . .... ... ... ... ... ..... ..... .... . . .. .. ...... ..... ...... ................. .......... ........ ... .............. ............................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... . . ......... ...... ......... .. .. ....... ....... ... ..... ..... ............. ........................................................... .. ........................................................................ ... ........ ....... ........ . . . . ..... .. . .. .. ..... ..... ... .. .... ..... ..... .... ... ... .. .... .... .... .... ... .. ... ..... .... .... .... .... ... . . . . . . . . . .... .. ... . .. . ... . . . . . ... . ..... ... ... ... . .. . . . . . . . ... ...... .... . .. . ..... ............ . . . ....... ... ... . . ....... . .... . .. ... ... ... .... ... .. .........

.................... .... ... ... .. ... .. .... . ...................

O

Demostraci´on. Si A, B es una separaci´ on de C entonces para cada Ci tenemos que Ci ⊆ A ´o Ci ⊆ B. Si suponemos que Cj ⊆ A entonces, para ning´ un ´ındice i, Ci est´a contenido en B puesto que Cj no es disyunto de alg´ un Ci . As´ı, todos los Ci estar´ıan en A obligando a que B sea el conjunto vac´ıo, lo cual contradice que A, B es una separaci´on.

IA N

Veamos que en el teorema 13.10 no es relevante la cardinalidad en el n´ umero de factores. Q Teorema 13.13 (La conexidad es productiva). Sea X = i∈I Xi un espacio producto con la topolog´ıa producto. Si cada espacio coordenado Xi es conexo entonces X es conexo.

UB

Demostraci´on. Sea a = (ai )i∈I un elemento arbitrario pero fijo de X. Sea Ca la uni´on de todos los conjuntos conexos en X que contienen al punto a —Ca es la componente conexa de a—. Como el conjunto unitario {a} es conexo, por la proposici´ on anterior tenemos que Ca es conexo.

G. R

Ahora veamos que Ca es un subconjunto denso en X, lo cual muestra que X es conexo por ser la adherencia de un conexo. Para cada J, J ⊆ I y finito, el subespacio Y Y AJ = Xi × {ai } i∈J

i∈J /

es conexo ya que es homeomorfo a i∈J Xi —un producto finito— y adem´as contiene al punto a. Por tanto, AJ est´a contenido en Ca para cada J finito. Dado un abierto b´asico U cualquiera Y U = Ui1 × · · · × Uin × Xi , en este caso J = {i1 , · · · , in } Q

i6=ik

AJ corta a U , i. e., Ca corta a U , con lo cual Ca es denso.

Ejercicios 13.1 1. En R2u es: ¿Q × Q conexo? ¿(R × Q) ∪ (Q × R)? (No, s´ı.)

249

13.2 Subespacios conexos maximales

2. Si {Aa }, (a ∈ L) es una colecci´ on de subespacios conexos de un espacio XS y para cada par a, b ∈ L tenemos que Aa ∩ Ab 6= ∅ entonces a∈L Aa es conexo. 3. D´e un argumento envolviendo la conexidad para mostrar que (0, 1) y S 1 no son homeomorfos.

5. Muestre que Rn − {0} es conexo para n > 1.

O

4. Pruebe el teorema del c´alculo conocido como teorema del valor intermedio para funciones utilizando argumentos de esta secci´on.

6. Muestre que la esfera S n ⊆ Rn+1 es conexa para n ≥ 1.

IA N

7. Muestre que el espacio de Sorgenfrey (R, J+ ) no es conexo.

8. Muestre que un espacio (X, T) es conexo si y solo si para todo A ⊆ X, A 6= ∅ se tiene que F r(A) 6= ∅.

UB

9. Dados un espacio (X, T) y A, B ⊆ X con A un subespacio conexo, muestre que si A ∩ B 6= ∅ = 6 A ∩ B c entonces A ∩ F r(B) 6= ∅. Esta propiedad se conoce con el nombre de teorema del paso de aduana. 10. Revise el corolario 13.9 y de topolog´ıas para R de tal manera que exista una funci´ on f continua y su grafo no sea un solo trazo.

G. R

11. Sea (X, T) conexo y R una relaci´ on de equivalencia en X. Muestre que el espacio identificaci´ on X/R es conexo. 12. Muestre que si n > 1 entonces Rn no es homeomorfo a R. 13. Toda topolog´ıa por debajo de una conexa es conexa. Si (X, T) es conexo y H ≤ T entonces (X, H) es conexo.

14. Los espacios finitos (no unitarios) conexos y T1 no existen. Muestre que si (X, T) es conexo y T1 entonces X es infinito o unitario.

13.2 Subespacios conexos maximales Un espacio no conexo obviamente puede tener subespacios conexos, y entre estos vamos a analizar aquellos que son maximales con respecto a la relaci´on de inclusi´on, lo cual nos brinda una manera natural de definir una partici´on del espacio, haciendo uso del concepto de conexidad. En otras palabras, vamos a definir una relaci´ on de equivalencia.

250

Conexidad

Definici´ on 13.14. Sean (X, T) un espacio y A un subespacio de X. Decimos que A es una componente conexa de X o un conexo maximal en X si A es conexo y no es subconjunto propio de alg´ un otro subespacio conexo de X.

O

Como la adherencia de un conexo es de nuevo conexa (teorema 13.6) las componentes son subconjuntos cerrados del espacio, y cada punto x ∈ X pertenece a una u ´nica componente: exactamente a la uni´on de todos los subespacios conexos que contienen el punto x. As´ı, el conjunto de las componentes conexas de un espacio X determina una partici´on de X.

IA N

Si las componentes son u ´nicamente conjuntos unitarios tenemos la siguiente definici´on. Definici´ on 13.15. Un espacio (X, T) se llama desconectado totalmente si las componentes conexas son los conjuntos unitarios {x}. EJEMPLO 13.5

UB

Cada espacio discreto es desconectado totalmente; pero existen espacios desconectados totalmente que no son discretos, por ejemplo X= {0} ∪ {1/n | n ∈ N}, o X = Q (como subespacios de (R, usual)).

G. R

Por supuesto todo espacio desconectado totalmente es T1 . M´as a´ un, cualquier subespacio contable de un espacio m´etrico es totalmente desconectado, y algunos no contables, como los irracionales I ⊆ Ru .

Ejercicios 13.2

1. Muestre que (R, [a, b)) es totalmente desconectado.

2. Muestre que las componentes conexas en un espacio X son conjuntos disyuntos no vac´ıos cuya reuni´ on es X. 3. Sea (X, T) un espacio. La relaci´ on x ≡ y si y solo si x, y pertenecen a la misma componente conexa es una relaci´on de equivalencia. 4. Sea (X, T) un espacio. Muestre que si X tiene finitas componentes conexas entonces, para cada x, la componente conexa que contiene a x es un aberrado.

251

13.3 El conjunto C de Cantor

5. Muestre que un espacio es conexo si y solo si posee una u ´nica componente conexa. 6. Sea (Xi , Ti ), (i ∈ I) una familia de espacios topol´ogicos. Dado un punto x = (xi ) en el espacio producto de esta familia, muestre que la componente conexa del punto x es igual al producto de las componentes conexas de cada xi .

O

7. Muestre que el n´ umero de componentes es un invariante topol´ogico.

IA N

8. Muestre que si A ⊆ (X, T) es un subespacio conexo y adem´as aberrado entonces A es una componente conexa de X.

UB

9. Si (X, T) es un espacio con la propiedad que: dado cualquier par de elementos x, y ∈ X existe un subespacio conexo de X que los contiene entonces X es conexo.

G. R

13.3 El conjunto C de Cantor

El siguiente espacio totalmente desconectado es uno de los espacios m´as patol´ogicos e interesantes que ha acompa˜ nado a la topolog´ıa desde sus inicios. Fue introducido independientemente por G. Cantor1 y por H. J. Smith en 1875; Cantor lo construy´ o para resolver de manera afirmativa un problema que se hab´ıa planteado en el marco de la naciente topolog´ıa, a saber, si exist´ıa o no un subconjunto compacto no vac´ıo de R que fuera totalmente desconectado y denso en s´ı mismo. Posteriormente se demostr´o que todos los conjuntos con estas caracter´ısticas son topol´ogicamente equivalentes —homeomomorfos—. Hoy se conoce como el conjunto C de Cantor. 1

Georg Cantor (San Petersburgo, 1845-Halle, 1918), matem´ atico alem´ an, inventor con Dedekind y Frege de la teor´ıa de conjuntos, que es la base de las matem´ aticas modernas. Gracias a sus atrevidas investigaciones sobre los conjuntos infinitos fue el primero capaz de formalizar la noci´ on de infinito bajo la forma de los n´ umeros transfinitos (cardinales y ordinales). Muri´ o en una cl´ınica psiqui´ atrica de monjas, aquejado de una enfermedad man´ıaco-depresiva (la cual se le atribuye a su edad).

252

Conexidad

C es un subconjunto no contable del intervalo [0, 1]; exactamente consiste de todos los n´ umeros reales x que pueden ser representados de la forma x=

∞ X

αn 3−n ,

i=1

UB

IA N

O

donde αn ∈ {0, 2} para cada n ∈ N. Aunque hablamos del conjunto de Cantor, ´el lleva intr´ınsecamente la topolog´ıa de subespacio de (R, usual). La definici´ on anterior hace que algunas veces se le llame conjunto tri´ adico o ternario de Cantor. En otras palabras, C es el conjunto de todos los n´ umeros x ∈ [0, 1] cuya expansi´on x = 0.x1 x2 . . . xn . . . en la base 3 no utiliza el d´ıgito 1, esto es xi 6= 1 para todo i con lo que xi ∈ {0, 2}. Debido a esta descripci´on un punto x ∈ C es en la pr´actica un elemento x ∈ {0, 2}N , x : N −→ {0, 2} lo cual nos hace pensar en un producto cartesiano. Geom´etricamente puede describirse formando los siguientes subconjuntos An cerrados en [0, 1]:

G. R

A0 =[0, 1]

A1 =[0, 1/3] ∪ [2/3, 1]

A2 =[0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪ [8/9, 1] A3 =[0, 1/27] ∪ [2/27, 1/9] ∪ [2/9, 7/27] ∪ [8/27, 1/3] ∪ [2/3, 19/27]∪ [20/27, 7/9] ∪ [8/9, 25/27] ∪ [26/27, 1] ...

etc.; en general Ai+1 se obtiene de Ai removiendo la tercera parte en el medio de cada una de las componentes de Ai , con lo que C=

\

Ai .

i∈N

N´otese que cada punto en los extremos de las componentes de los Ai pertenece a C. Tenemos as´ı dos definiciones para C, una en t´erminos de sucesiones y otra de manera constructiva.

253

13.3 El conjunto C de Cantor

A0 ............................................................................ .......................... A1 .......................... ......... ......... A2 ......... ......... . . . . . . . . . . . . . . . . ... .... .... .... A3 ... ... 0

1 9

2 9

1 3

2 3

7 9

8 9

1

O

Figura 13.4: Conjunto de Cantor.

UB

IA N

No es dif´ıcil ver la relaci´ on entre estas dos definiciones si notamos que al construir A1 , cuando retiramos el intervalo (1/3, 2/3) lo que hacemos precisamente es eliminar todos los n´ umeros reales en [0, 1] que requieren x1 = 1 en su desarrollo en base tres, i. e., los n´ umeros que empiezan por 0,1 (menos el 1/3 que tambi´en se puede escribir 0, 02222222222 . . . en base tres).

G. R

Como segundo paso, en A2 retiramos los intervalos intermedios de [0, 1/3] y [2/3, 1] —los n´ umeros reales en [0, 1] que requieren x2 = 1 en su desarrollo tri´adico— eliminando as´ı el intervalo (1/3, 2/3) que corresponde a los n´ umeros que empiezan por 0,1 (menos el 1/3 que tambi´en se puede escribir 0, 02222... en base tres) y el intervalo (1/9, 2/9) que corresponde a los n´ umeros que empiezan por 0,01 y as´ı sucesivamente. Por ejemplo 1 2 4 = .020202 . . ., 3 = .2000 . . ., 1 = .222 . . . Las dos presentaciones anteriores motivan la siguiente proposici´on.

Proposici´ on 13.16. El conjunto C de Cantor es homeomorfo al espacio Q producto X = i∈N Xi , donde Xi = ({0, 2}, discreta) para cada i. Este espacio se llama discontinuo de Cantor. Demostraci´on. Sea x ∈ X, con x = (x1 , x2 , . . .) donde xn ∈ {0, 2}. Definimos ∞ Y X f: Xi −→ C como f (x) := xn 3−n i∈N

i=1

con lo cual f es una funci´ on biyectiva. Para verificar la continuidad de f tomemos un x ∈ X y por cada n ∈ N consideremos Vx (n) := {q ∈ X : qi = xi para i ≤ n}

254

Conexidad

—los que coinciden con x en las primeras n-componentes—. Dado  > 0, existe N ∈ N tal que la serie  n ∞ X 2 <  3 n=N +1

n=N +1

n=N +1

O

y por tanto si q ∈ Vx (N ) entonces  n ∞ ∞ X X 2 x − q i i <  | f (x) − f (q) |= ≤ n 3 3

IA N

esto es, f es continua. Como X es compacto y C es de Hausdorff, entonces f −1 tambi´en es continua. • Por construcci´ on C es cerrado y es compacto, pues es la intersecci´on de subconjuntos cerrados del espacio compacto [0, 1]. Luego es un espacio m´etrico completo y por tanto satisface todos los axiomas Ti de separaci´ on.

UB

• Si µ es la funci´ on de medida —longitud— en R, entonces C tiene “medida” 0 pues la medida de su complemento con respecto a [0, 1] es la medida de la uni´ on de las terceras partes medias, esto es

G. R

µ(C c ) = 1/3 + 2/9 + 4/27 + 8/81 + · · · =

∞ X 2i−1 i=1

3i

∞

=

1 X 2i = 1. 2 3i i=1

Pero como [0, 1] tiene tambi´en medida 1, entonces C tiene medida cero. As´ı que “el todo no es mayor que cada una de sus partes”.

• C no tiene puntos aislados, es decir C ⊆ C a , todo punto es de acumulaci´on de C mismo. Dado x ∈ C, x es un punto de acumulaci´on de C − {x} pues dado p ∈ C cualquier abierto Up ⊆ C contiene puntos de C distintos de p; por tanto, C es denso en s´ı mismo —X es denso en Y si Y ⊂ X—. • Pero de otra parte C es denso en ninguna parte con respecto a [0, 1] pues dados x, y ∈ C con x < y, existe un intervalo J = (a, b) ⊆ C c tal que x < a < b < y —mire la expansi´on binaria de los puntos x, y—, esto es, (C)◦ = C ◦ = ∅. • C es tambi´en totalmente desconectado —dados x, y ∈ X existe una separaci´on A, B de X tal que x ∈ A, y ∈ B— pues las componentes conexas de cada punto se reducen al propio punto.

255

13.3 El conjunto C de Cantor

• [0, 1] es una imagen continua de C. La funci´on f : C −→ [0, 1] definida por f (x) =

∞  X 1 i=1

2



xn 2

−n

para x =

∞ X

xn 3−n

i=1

es continua y sobreyectiva. Esto muestra que C no es contable.

IA N

O

• En general cualquier espacio m´etrico que sea compacto, totalmente desconectado, denso en s´ı mismo —todo punto sea de acumulaci´on—, es homeomorfo al conjunto de Cantor. As´ı que las anteriores propiedades topol´ ogicas son una carta de presentaci´on para C, excepto por la forma disfrazada con que se presente el espacio homeomorfo. Pero en topolog´ıa el color no nos concierne.

G. R

UB

• C es homeomorfo a C × C. Considere a f : C → C × C definida como f ((a1 , a2 , a3 , ...), (b1 , b2 , b3 , ...)) := (a1 , b1 , a2 , b2 , a3 , b3 , ...).

Figura 13.5: Variaci´ on fractal en el conjunto de Cantor.

Como un u ´ltimo comentario, si al lector le incomoda la base 3, defina el conjunto de Cantor como los puntos de [0, 1] que tienen en su expansi´on decimal tan s´ olo 0 o 9. ¿C´ omo ser´a su representaci´on gr´afica? ¡Int´entelo! En una frase final, C tiene una infinidad no enumerable de puntos pero ning´ un intervalo cabe en ´el, es denso en s´ı mismo pero tambi´en denso en ninguna parte y contiene muchos m´as puntos que los extremos de los intervalos en el proceso de construcci´ on.

K

256

Conexidad

13.4 Conexidad local Casi de igual manera a como fue ‘localizado’ el concepto de compacidad podemos localizar la conexidad en un punto.

O

Definici´ on 13.17. Un espacio (X, T) es localmente conexo en el punto x ∈ X si dada cualquier vecindad Ux existe una vecindad abierta y conexa Vx tal que x ∈ Vx ⊆ Ux . Si X es localmente conexo en cada punto decimos que es localmente conexo —cada punto posee un sistema fundamental de vecindades conexas—.

IA N

EJEMPLO 13.6

......................................................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... . ......................................................................................................................................................................................................................

G. R

UB

El siguiente espacio no es conexo localmente. Por cada entero positivo n definamos el segmento de recta An ⊆ R2 como An = {(x, n1 ) : 0 ≤ x ≤ 1} y A0 = {(x, 0) : 0 ≤ x ≤ 1}. Sea X = A0 ∪ (∪n=1 An ). Las componentes conexas de X son A0 , A1 , A2 , . . . Sabemos que A0 es cerrada, pero claramente no es abierta en X. Esto nos produce un ejemplo de un espacio cuyas componentes no necesitan ser abiertas.

El siguiente teorema muestra que para los espacios localmente conexos no se tiene la consecuencia del ejemplo 13.6. ¿Podr´a ser esta una justificaci´on para haberlos definido? Teorema 13.18 (Caracterizaci´ on). Un espacio (X, T) es localmente conexo si y solo si las componentes de cada subespacio abierto de X son abiertas. Demostraci´on. Supongamos que X es localmente conexo y que C es una componente de un subconjunto U abierto. Dado c ∈ C existe una Vc conexa y abierta —seg´ un X— tal que Vc ⊆ U ; as´ı Vc ⊆ C, pues C es maximal y por tanto C es abierta. En el otro sentido, dados x ∈ X y Ux vecindad abierta de x, la componente conexa Vx de Ux que contiene a x es abierta y x ∈ Vx ⊆ Ux . Luego X es localmente conexo. Corolario 13.19. Cualquier componente en un espacio localmente conexo es abierta y cerrada —aberrada—.

257

13.4 Conexidad local

Demostraci´on. Considere a X como un subconjunto abierto de s´ı.

EJEMPLO 13.7

... .. .. .. .. ..... .... .. ... .... . ... ..... .... ....... ... ... ... ..... ... .. .... ....... ....... .. ... .. . .. .... .... ... .. .. ... . . ... ... ... ... ........ ....... ... ... .. ... .. ... .. .... ....... ..... ... ... ... .. ... ... .. ... ....... ....... .... ... . . ... . ... ... .... ...... ....... ... ... . . ... . ... . ... .... ... .... ... ... ... ... . . . ... ... .... ... ... .... .... ... ... ... . . ... ... .. ... .... ... ... ... ... .. .. ... . .. .. ... ... .. ... .. ... ... ... .. . . . . . . . ... .... ..... ...... .. . ... ... . . . ... . . . . . . ..... ..... ..... .. .. ... . ... . . . . . . . . . ... ... .... ....... ....... ....... .. ..... . ... ... . ...... ........ ........ .... .... ... . ... ... .. ..... ...... ...... ... .. . . .. .. ... ... .. ...... .... ....... ... . . .. .. ... . ... ... ... ... . . ..... ... ... .... ... ... ... . . . . ... .. .. .. ... .. .. ... . . ... .. . . ... . ... ... ... ... ... .. .... .... ..... .... . . ...... . . ....... .... ......... ....... ............................................

IA N

O

La curva seno del top´ ologo. Es definida como la
uni´on 2 A ∪ B en R del grafo A de la funci´ on sen x1 , (0 < x ≤ π1 ) con el segmento B de recta en el eje Y dado por los puntos {(0, y) | −1 < y < 1} y un arco de circunferencia que une los extremos de la curva y la recta (ver figura 8.4). Este espacio es conexo pero no localmente conexo en cada uno de los puntos del segmento {(0, y) | −1 < y < 1}. Note que A = A ∪ B.

UB

La imagen por una funci´ on continua de un espacio localmente conexo no es en general localmente conexa; de lo contrario, todo espacio (X, T) ser´ıa localmente conexo, puesto que es imagen del espacio (X, discreta) por medio de la funci´ on id´entica. El siguiente teorema nos da las condiciones necesarias (en particular muestra que la conexidad local es un invariante topol´ogico).

G. R

Teorema 13.20. Sean (X, T), (Y, H) espacios con X localmente conexo y f : (X, T) −→ (Y, H) una funci´ on continua, cerrada (abierta) y sobre. Entonces Y es localmente conexo. Demostraci´on. Sea U ∈ H y sea C una componente conexa de U . Por el teorema 13.18 debemos ver que C es abierta. Por cada x ∈ f −1 (C) sea Cx la componente conexa de x en f −1 (U ). Sabemos que Cx es abierta y como f (x) ∈ C el conjunto conexo f (Cx ) debe estar contenido en C. As´ı, f −1 (C) =

[ {Cx : x ∈ f −1 (C)}

con lo que f −1 (C) es abierto. Como f es cerrada y sobre f (f −1 (C)c ) = C c , con lo cual C c es cerrado ya que f −1 (C)c es un cerrado; esto demuestra que C es abierta. Es un ejercicio demostrar el teorema con la hip´otesis de f abierta a cambio de cerrada.

258

Conexidad

EJEMPLO 13.8

Sean X = {0, 1, 2, . . .}, Y = {0, 1, 1/2, 1/3, . . .} con la topolog´ıa de subespacios de (R, usual). La funci´ on f : X −→ Y definida por f (0) = 0, f (n) = 1/n es una biyecci´ on continua; pero X es localmente conexo mientras que Y no lo es, pues en el punto 0 se acumula el espacio, impidiendo as´ı tener vecindades conexas.

O

Teorema 13.21. El producto finito de espacios localmente conexos es localmente conexo.

UB

IA N

Q Demostraci´on. Sean X1 , . . . , Xn espacios localmente conexos y X = Xi , (i = 1, . . . , n) el espacio producto. Sean x = (x1 , . . . , xn ) ∈ X y U un abierto en X tal que x ∈ U . Existe un abierto b´asico U1 × . . . × Un ⊆ U conteniendo a x, y como cada Xi es localmente conexo, tomemos por cada i un Vi abierto y conexo tal que xi ∈ Vi ⊆ Ui . Entonces V = V1 × . . . × Vn es un abierto y conexo contenido en U y que tiene a x.

Ejercicios 13.4

G. R

1. Muestre el teorema 13.20 suponiendo que f es abierta a cambio de cerrada. 2. ¿Es necesaria en el teorema 13.21 la condici´on sobre el cardinal para el n´ umero de factores? 3. Sean X = {a, b, c, d}, T = {∅, {a}, {a, b}, {a, b, c}, X}. ¿Es (X, T) un espacio conexo? ¿Localmente conexo? 4. Muestre que todo espacio finito es localmente conexo. 5. Muestre que ser localmente conexo no es una propiedad hereditaria. 6. Muestre que todo subespacio abierto de un espacio localmente conexo es localmente conexo. 7. Muestre que si un espacio tiene un n´ umero finito de componentes entonces cada componente es aberrada.

259

13.5 Conexidad por caminos

13.5 Conexidad por caminos La primera noci´ on de ‘conexidad’ fue dada por K. Weierstrass2 , la cual en el contexto de R2 intuitivamente significa lo siguiente: un subconjunto M ⊆ R2 es conexo si dos puntos cualesquiera de M pueden ser conectados por un camino que no se sale de M .

O

EJEMPLO 13.9

IA N

La figura (un disco con una circunferencia exterior) es no conexa seg´ un este criterio ya que todo ‘camino’ que vaya de la circunferencia al disco, tiene que pasar por ‘fuera’ de las dos regiones —la regi´ on comprendida entre ellas—. Claro que en este ejemplo el criterio de conexidad de Wierstrass y el que vimos en la secci´on anterior coinciden, pero no siempre es el caso.

UB

Definici´ on 13.22. Un camino en un espacio X es una funci´on continua f : [0, 1] −→ X. Si f (0) = a, f (1) = b, decimos que el camino tiene punto inicial en a y punto final en b. f conecta a con b.

G. R

El concepto de camino es mucho m´as sutil de lo que aparenta. En la mayor´ıa de los casos al camino lo identificamos con f ([0, 1]) y es en esta situaci´on cuando nos sorprende lo que pueda llegar a ser un camino. Jordan en 1877 y Peano en 1890 anunciaban la existencia de curvas capaces de llenar un cuadrado. ¿Se trataba de ‘monstruos’ desprovistos de utilidad? En un comienzo se crey´ o as´ı, pero poco a poco se apropiaron, con justa raz´on y valor, de su propio derecho a existir y hoy en d´ıa los podr´ıamos ubicar como pioneros de la teor´ıa de los “fractales” de Mandelbrot. Cerremos este comentario evocando las palabras de Cantor a Dedekind, 20 junio de 1877: (ver figura 10.2 de la p´agina 166) “ ... lo veo pero no puedo creerlo... se trata de mostrar que las superficies, los vol´ umenes e incluso las variedades continuas de n dimensiones pueden ponerse en correspondencia un´ıvoca con curvas continuas, o sea con variedades de una sola dimensi´on, y que por consiguiente las superficies, los vol´ umenes y las variedades de n dimensiones tienen tambi´en la misma potencia que las curvas...”.

260

Conexidad

Definici´ on 13.23. Un espacio (X, T) es conexo por caminos si dados x, y ∈ X, existe un camino f con punto inicial en x y punto final en y. Cada par de puntos en X puede ser unido por un camino. EJEMPLO 13.10

1. Para cada n ∈ N, Rnu es conexo por caminos. 2. Para cada n ∈ N, la esfera S n es conexa por caminos.

IA N

O

3. S = {0, 1} con la topolog´ıa de Sierpinski es conexo por caminos. f : [0, 1] −→ S definida por f (t) = 0 si t ∈ [0, 1) y f (1) = 1 es continua. El concepto de conexidad por caminos es m´as fuerte que el de conexidad.

UB

Teorema 13.24. Si (X, T) es conexo por caminos entonces es conexo.

G. R

Demostraci´on. Sea a ∈ X. Para cada x ∈ X existe un camino αx : [0, 1] −→ X que conecta a con x. αx ([0, 1]) ⊆ X es conexo para cada x ∈ X; adem´as, αx (0) = a = ∩x αx ([0, 1]) y por el lema 13.12 esto implica que X = ∪x αx ([0, 1]) es conexo. EJEMPLO 13.11

X = [0, 1] × [0, 1] con el orden lexicogr´afico es conexo pero no conexo por caminos. Si existe α : [0; 1] −→ X con α(0) = (0, 0), α(1) = (1, 1), α tiene que pasar por todos los valores intermedios, esto es Im(α) = X. Entonces para cada intervalo vertical Ux en X, Ux = ((x, 0), (x, 1)), α−1 (Ux ) es un abierto no vac´ıo y podemos encontrar un intervalo abierto Ix ⊆ [0, 1] tal que α(Ix ) ⊆ Ux . Como los Ix son disjuntos, tenemos que [0, 1] contiene a una uni´on no numerable de intervalos disjuntos y esto es imposible.

Producto de caminos En el conjunto C([0, 1], X) de los caminos sobre X —subconjunto de X I — introducimos una operaci´ on interna  .

261

13.5 Conexidad por caminos

Definici´ on 13.25 (multiplicaci´ on de caminos). Dados un espacio X, y dos caminos f, g con f (1) = g(0), definimos un nuevo camino f  g: ( f (2t) si 0 ≤ t ≤ 1/2 f  g(t) := (13.1) g(2t − 1) si 1/2 ≤ t ≤ 1.

f

IA N

g

O

......... ......... ......... ......... ......... ........ . . . . . . ... . .. . ........ ....... .. ....... ......................... .. . . . . . . . . ..... . . . . ... . ... . . . . . . .................................................. ...... ............ .... .. ..... ......... . . . . .. ........ ....... ... . . ...... . . ... ...... . ... . . . ... ..... . .. . ................. . . . ... ......... ..... ... .. ....... ... . ... . ... .. ... ... ... ... .... ... ..... .. .... ... .. .. .... ... .. ..... ... .. .. ... .................................................... . . . . . . . . ... ..... . . ........................ .. ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . ........................ ... .. ........................ ... . ....... .... .. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ...................... . . . . ................ ....... ..... . . . . . . . . . . ..... .. ...... ..... .............. . ....... ............. ....... . .... .... ............. ...... .. .............. ... ..... ... ............. . . . . . .... .... . . . . . . ... . . ... ..... ................... .. ... ... .........................................................................................................................................................................................................................................................

•

0•

•1

UB

............................................•....... ... ... ... ... ... ... ... ..•1.

• 0

1 2

G. R

Figura 13.6: En f  g los caminos f, g se recorren a doble velocidad.

B´asicamente, f  g consiste en poner un camino a continuaci´on del otro, pero para no gastar m´as tiempo en el recorrido (el tiempo es [0, 1]) cada uno de los caminos se recorre ahora a doble velocidad como en la ecuaci´on 13.1 (f (2t) y g(2t − 1)).

f g es una funci´ on continua, puesto que f (2t) y g(2t−1) est´an definidas sobre los conjuntos cerrados [0, 1/2], [1/2, 1] y el conjunto donde coinciden es {1/2}, que es la intersecci´ on de los dos intervalos cerrados (para t = 1/2 1 tenemos f (2 · 2 ) = f (1) = g(0) = g(2 · 21 − 1)). La demostraci´on se basa en el siguiente hecho bien conocido de extender la continuidad.

Teorema 13.26 (Teorema del pegamiento de funciones). Si A, B son subconjuntos cerrados del espacio X y existen funciones continuas f : A → Y , g : B → Y sobre un espacio Y tales que f y g coinciden sobre la intersecci´ on A ∩ B, entonces podemos extender la continuidad a una funci´on H : A ∪ B → Y definida de manera natural como h(x) = f (x) si x ∈ A o h(x) = g(x) si x ∈ B.

262

Conexidad

Si f es un camino desde a hasta b en X, entonces existe el camino inverso fr (el reverso de f ) desde b hasta a dado por fr (t) = f (1 − t); n´otese que fr tiene el mismo “lugar” de f , pero su direcci´on es la contraria. fr  f es entonces un camino cerrado —el punto inicial coincide con el punto final—. Por comodidad tambi´en notaremos fr = f r . EJEMPLO 13.12

O

Un espacio que es conexo, pero no conexo por caminos es la curva seno del top´ologo (p´ag. 257) puesto que no existe un camino que una al punto ( π1 , 0) con (0, 0).

IA N

Si existe un camino α : [0, 1] −→ X con α(0) = ( π1 , 0) y α(1) = (0, 0), al ser α([0, 1]) conexo tenemos α([0, 1]) = X —¿por qu´e?—. Seleccionamos en [0, 1] una sucesi´ on de puntos x1 < x2 < . . . con xn → 0 y adem´as α(xn ) teniendo como segunda componente a 1 ´o −1 seg´ un que n sea par o impar. Por tanto α(xn ) no converge y α no ser´ıa continua.

UB

Este ejemplo muestra que, contrario a la conexidad, la conexidad por caminos no pasa a la adherencia.

G. R

Para obtener una condici´ on, la cual garantice que los espacios conexos tambi´en sean conexos por caminos, debemos hacer local nuestra definici´on. Definici´ on 13.27. Un espacio (X, T) es localmente conexo por caminos si dados x ∈ X y un abierto Ux existe un abierto V conexo por caminos —V considerado como subespacio— tal que x ∈ V ⊆ Ux . Teorema 13.28. Si (X, T) es un espacio conexo y localmente conexo por caminos entonces X es conexo por caminos. Demostraci´on. Sea x ∈ X y considere el conjunto A = {z ∈ X | existe un camino de x a z}. A es no vac´ıo y veamos que A es aberrado en X. Dado z ∈ A, por ser X localmente conexo por caminos existe Vz ⊆ X, Vz abierto y conexo por caminos; luego Vz est´a contenida en A y, as´ı, A es abierto. Para ver que Ac es abierto tomemos z ∈ Ac y sea Wz una vecindad de z conexa por caminos. Si A ∩ Wz 6= ∅, existe un punto w en la intersecci´on de tal manera que x se puede conectar por un camino con z, lo que contradice que z ∈ Ac .

263

13.5 Conexidad por caminos

As´ı Wz ⊆ Ac , es decir Ac es abierto. Como X es conexo A = X, esto es, cada punto en X se puede conectar por medio de un camino con x, lo que implica que X es conexo por caminos. Corolario 13.29. Los subconjuntos conexos y abiertos de Rnu son conexos por caminos.

O

Demostraci´on. Cada bola abierta es una vecindad conexa, lo cual produce un sistema fundamental de vecindades conexas.

IA N

Definici´ on 13.30. Un espacio (X, T) compacto, conexo y Hausdorff es llamado un continuo. EJEMPLO 13.13

EJEMPLO 13.14

UB

Cada subconjunto cerrado, acotado y conexo de Rn es un continuo.

La uni´on de dos continuos que se interceptan es un continuo.

G. R

Por la definici´ on misma, ser continuo es un invariante topol´ogico. Definici´ on 13.31. Un espacio m´etrico (X, d) continuo y localmente conexo se llama un continuo de Peano. Definici´ on 13.32. Un arco en un espacio (X, T) es una inmersi´on f : [0, 1] −→ X con I ≈ f (X) homeomorfos. Esta definici´ on, de sencillez aparente, esconde formas inimaginables; H. Mazurkiewicz demostr´ o en 1913 que todo continuo de Peano es una imagen continua del arco I = [0, 1]. Por tanto, existe una funci´on continua y sobreyectiva de I en el cubo n-dimensional o, a´ un m´as asombroso, de I sobre el cubo de Hilbert. El descubrimiento hecho por Peano en 1890 de que I pod´ıa ser enviado de manera continua sobre todo el cuadrado unidad cre´o (como ya dijimos pero insistimos en repetir) un estremecimiento en el mundo matem´atico de la ´epoca —en otros mundos nadie dijo nada—. Aunque no demostraremos este hecho, a cambio damos un ejemplo universal, motivo de la portada de este texto.

264

UB

IA N

O

Conexidad

Figura 13.7: La curva universal o esponja de Menger.

EJEMPLO 13.15

G. R

La curva universal o esponja de Menger. Este es un continuo de Peano de dimensi´on uno con la propiedad que cada continuo 1-dimensional puede ser inmerso en ella. La construcci´ on se basa en el procedimiento de Cantor o en las llamadas carpetas de Sierpinski. Comenzamos con el cubo unidad, dividimos cada una de sus caras en nueve cuadrados iguales; hacemos un agujero a trav´es del interior de los cuadrados centrales y extraemos hacia el interior del cubo (ver figura 13.7). Esta extracci´on nos produce a M1 formado por 20 nuevos cubos. En cada uno de ellos, procedemos como en el paso anterior y obtenemos a M2 formando 400 nuevos cubos, etc. En la sexta iteraci´ on M6 tenemos 64.000.000 cubos. La esponja es quienTest´a al final del proceso, i. e., es el objeto l´ımite dado por la intersecci´ on n Mn .

Ejercicios 13.5

265

UB

IA N

O

13.5 Conexidad por caminos

Figura 13.8: Dentro de M .

G. R

1. Muestre que la conexidad por caminos es preservada por las funciones continuas. 2. D´e un ejemplo en R2 que muestre la necesidad de ser abierto en las hip´otesis del corolario anterior.

3. Muestre que el producto finito de espacios es conexo por caminos si y solo si cada factor lo es. ¿Es necesario que el producto sea finito? 4. En oposici´ on al concepto de conexidad, d´e un ejemplo de un A ⊆ R2 que sea conexo por caminos pero su adherencia no lo sea.

continuo lineal

conexo

buen-orden topolog´ıa

desconectado totalmente

conexo localmente

regular+ 2-countable

O

Figura 13.9: Relaciones entre espacios. T1

Hausdorff

regular

completamente regular

266

conexo por caminos

normal

IA N

topolog´ıa orden

completamente normal

Hausdorff compacto loc.

compacto+Hausdorff

metrizable

compacto loc.

compacto

UB

Lindel¨ of

lema de la sucesi´ on

+metrizable

+metrizable

w-compacto

+metrizable

1-contable

2-contable

+metrizable

separable

G. R compacto por sucesiones +1-contable+T1

2 Conexidad

Bibliograf´ıa

O

[1] Armstrong, M. A., Basic Topology, UTM Series, SpringerVerlag, Berlin Heidelberg New York, 1997.

IA N

[2] Crossley, M. D., Essential Topology, Series: Springer Undergraduate Mathematics Series, SpringerVerlag, Berlin Heidelberg New York, 2005. Uno de los t´ıtulos m´as recientes como texto introductorio.

[3] Christenson, C., Voxman W., Aspects of Topology Series: Pure and applied Mathematics, M. Dekker, New York, 1977.

UB

Un texto con material para dos semestres con una colecci´on excelente de ejercicios. Se puede leer una y otra vez... Una primera parte en topolog´ıa de conjuntos y una segunda en topolog´ıa algebraica con un tratamiento especial en teor´ıa simplicial y sistemas inversos. [4] Dugundji, J., Topology, Allyn and Bacon, Boston, 1966.

G. R

“... Dugundji’s book is short, modern, and impeccable. It covers every topic an undergraduate should know and even more. It is still useful for me after years of use. It exposes all important concepts of set topology and gives a short but focused introduction to algebraic topology...”.

[5] Gamelin, T. W., Greene, R. E., Introduction to Topology, second edition, Dover Publ., Inc., Mineola, NY, 1999. [6] Garc´ıa Marrero, M., Topolog´ıa, Alhambra, Madrid, 5 vols. 1975. Un esfuerzo enciclop´edico que consta de cinco vol´ umenes.

[7] J¨anich, K., Topology. Springer, 1984. ¡Este hermoso libro debe ser le´ıdo ya! Contenido: Introduction - Fundamental Concepts - Topological Vector Spaces - The Quotient Topology - Completion of Metric Spaces - Homotopy - The Two Countability Axioms - CWComplexes - Construction of Continuous Functions on Topological Spaces Covering Spaces - The Theorem of Tychonoff - Set Theory (by T. Br—cker) - References - Table of Symbols -Index. [8] Hrbacek, K., Jech, T., Introduction to set theory, Monographs and Textbooks in Pure and Applied Series, vol. 220, Marcel Dekker, New York, NY, 1999.

267

BIBLIOGRAF´IA

268

Este es uno de los pocos libros s´ olidos en la moderna teor´ıa de conjuntos. Curiosamente su primer intento de publicaci´ on, por parte de sus autores checos, fue fallido. [9] Komj´ath, P., Totik, V., Ultrafilters, American Mathematical Monthly, 115 (2008), 33-44. Una excelente introducci´ on l´ udica al concepto de ultrafiltro. [10] Lefschetz, S., Topology, AMS Coll. Publ. 12, Providence, RI, 1930.

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/ MacTutor History of Mathematics Archive, donde han sido consultadas varias referencias hist´oricas.

IA N

[11]

O

Como dice el autor, “se trata de un libro-texto de car´acter introductorio, sin pretensiones de ser una obra de referencia”.

[12] Munkres, James R., Topology: a first course, second edition, Prentice Hall, Inc., Englewood Cliffs, NJ, 1999. 514 M966top 21. Deber´ıa ser el texto gu´ıa en muchos cursos.

UB

Como material introductorio a la topolog´ıa general es mi favorito. [13] Steen, L. A., Seebach, J. A., Counterexamples in Topology, Dover Publ. Inc., Mineola, NY, 1995. Una referencia obligada.

G. R

[14] Vassiliev, V. A., Introduction to Topology (Student Mathematical Library, V. 14), A. Sossinski (translator), American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. [15] Viro, O. et alt., Elementary Topology, a first course, 2005. Puede y debe consultarse en: http://www.math.uu.se/~oleg/2topoman.pdf

[16] Prasolov, V., Intuitive Topology, American Mathematical Society 1995. [17]

http://es.wikipedia.org/ Donde han sido consultadas varias referencias hist´ oricas.