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TOPOGRAFÍA-I

Ing. Edwin LICONA LICONA

APUNTES DE TOPOGRAFIA I ( Unidad IV )

ING. EDWIN LICONA LICONA Pag. 1 Para estudiantes de INGENIERIAS

TOPOGRAFÍA-I

Ing. Edwin LICONA LICONA

ALTIMETRÍA ALTIMETRÍA es la parte de la topografía que tiene por objeto el estudio de los métodos y procedimientos que sirven para la representación del relieve del terreno mediante perfiles transversales del mismo. Este relieve se determina mediante la nivelación, que es la operación mediante la cual se estima la diferencia del nivel entre dos o más puntos del terreno. La exactitud de estas mediciones depende del objetivo que se persigue y de los medios disponibles (instrumentos). La Altimetría corresponde también a las mediciones que se realizan con el fin de conocer la diferencia de nivel existente entre puntos materializados sobre la superficie de .la tierra. 4.1.

DEFINICIONES:

 Cota.- Es la altura de un punto sobre un nivel de referencia.  Cota Terreno.- Es la altura del terreno natural respecto al nivel de referencia que es el nivel medio del mar.

 Superficie de nivel.- Superficie imaginaria esferoidal que supone eliminar todas las irregularidades de la    

superficie terrestre. BMo Bench Mark.- Se llama Bench Mark a un punto de altitud fija sobre el nivel medio del mar (datum), se le denomina también cota absoluta. Altura de un punto sobre la superficie de la tierra: Denominado también elevación o cota, es la distancia vertical. Medida respecto a un plano arbitrariamente tomado como superficie de nivel Superficie de nivel: Superficie imaginaria esferoidal que supone eliminar todas las irregularidades de la superficie terrestre. Línea horizontal: Es una línea recta tangente a la superficie de nivel.

 NIVELACION.- Operación de medición de distancias verticales directa o indirectamente para obtener su diferencia da alturas o elevación.

Cota “0”: Superficie del Nivel Medio del Mar que corresponde a la baja de marea de sizigias ordinarias. (Use la tabla de mareas de la Dirección de Hidrografía y Navegación de la Marina de Guerra del Perú) En la nivelación hay que tener en cuenta: 1) El efecto de la curvatura terrestre y 2) El efecto de la Refracción atmosférica sobre las visuales. (Línea de colimación) Pag. 2 Para estudiantes de INGENIERIAS

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4.2.

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CURVATURA DE LA TIERRA Y REFRACCION ATMOSFERICA:

El efecto de la curvatura es:

0.078 k 2

El efecto de la refracción es: -0.010 k 2 El Efecto Combinado es:

h'= 0.068 k 2 (aproximado)

Donde: h' = efecto combinado de la curvatura terrestre y refracción atmosférica, en metros k = distancia desde el punto de tangencia al observador en kilómetros. INFLUENCIA DE LA CURVATURA TERRESTRE Es conocido que toda superficie o plano horizontal es tangente a la superficie de nivel en un punto, si la distancia entre dos puntos es pequeña la línea que las une se puede considerar tangente, pero si es grande es imprescindible tomar en cuenta la curvatura de la superficie de nivel. Hoy en día, para efectuar nivelaciones en ingeniería, se utilizan instrumentos ópticos que permiten visualizar toda una horizontal sin importar la distancia. La corrección por curvatura siempre es positiva y está dado por: Ec   Donde:

D2 2R

Ec = error por curvatura terrestre D = Distancia horizontal entre los puntos R = Radio terrestre

INFLUENCIA DE LA REFRACCIÓN ATMOSFERICA Sabemos que todo rayo de luz que pasa de un medio a otro de diferente densidad cambia de dirección, a este fenómeno se le llama refracción. En el proceso de nivelación el rayo que sale del anteojo del nivel y que se dirige a la mira, sufre dicha refracción debido a que en su viaje tiene que atravesar diferentes capas de aire de diversas densidades, ello hace que dicho rayo se vaya refractando en cada una de ellas, resultando curvilíneo. La corrección por refracción siempre es negativa y está dado por: E R   Donde:

D2 14R

ER = Error por refracción D = Distancia horizontal entre los puntos R = Radio terrestre

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EL NIVEL DE INGENIERO NIVELES, como aparatos topográficos.- Son instrumentos dedicados a la medida directa de diferencias de altura entre puntos o desniveles. Su misión es lanzar visuales horizontales con la mayor precisión posible. Clasificación: Niveles de piano. Estacionado el aparato, su eje de colimación describe un plano horizontal en su giro alrededor del eje principal. Niveles de línea. En cada nivelada hay que nivelar el aparato. Niveles automáticos.- Niveles de línea de horizontalización automática. Otra clasificación, según la precisión: Niveles de construcción y pequeña precisión, utilizados en obras públicas, hidráulicas y agrícolas. Niveles de mediana precisión, utilizados en ingeniería civil incluso de precisión y en itinerarios de nivelación topográfica. Niveles de alta precisión, utilizados en nivelaciones topográficas e itinerarios geodésicos, en nivelaciones de alta precisión. Elementos de un nivel topográfico: Tornillo de enfoque y fijación de imagen

Tornillo de fijación horizontal

Nivel de burbuja

Eje de fijación de puntería

Si bien un teodolito o una estación total se pueden usar como nivel, las mediciones no serán tan precisas, siendo que el nivel es un instrumento especializado; pero si no requiere gran precisión se puede utilizarlos. ALGUNOS NIVELES EMPLEADOS EN LOS TRABAJOS DE NIVELACION:

Nivel Automático

Nivel Automático con Micrómetro

Crossliner

Nivel Electrónico Pag. 4

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4.3.

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TIPOS DE NIVELACIÓN 1. Nivelación Directa o Geométrica 2. Nivelación Indirecta - Nivelación Trigonométrica - Nivelación Barométrica

4.3.1. NIVELACIÓN DIFERENCIAL O GEOMÉTRICA Desde el punto de vista topográfico, el instrumento colocado equidistante de los puntos A y B, centrado y nivelado perfectamente, nos determina una superficie horizontal paralela a la superficie de referencia, tal como se muestra en la figura: Interpretación de una nivelación:

B



b

A a

PTOS A B

V.ATT (+) LA

Niv. Ref. a + LA

V.AD (-) LB

COTA a b

b  (a  LA)  LB   b  a  LA  LB Cota FINAL  Cota INICIAL  h Cota FINAL  Cota INICIAL  (VAT  VAD) 4.3.1.1.

Nivelación Simple: Sucesión de nivelación directa

Ejemplo de libreta de nivelación simple: PTO. BM0

N.R.

V.ATT(+) 0.851

V.ADD.(-)

1

2.142

2

1.757

3

1.044

4

2.323

COTA 3500.000

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Libreta de Campo de una nivelación cerrada: PTO. V.AT N.R. V.AD A 1.402 1 1.221 1.629 2 1.201 1.880 3 1.710 0.427 4 0.800 1.879 A 0.511

COTA 107.623

Cálculo de la Libreta de Campo: PTO. A 1 2 3 4 A

V.AT 1.402 1.221 1.201 1.710 0.800

N.R. 109.025 108.617 107.938 109.221 108.142

V.AD

COTA 107.623 107.396 106.737 107.511 107.342 107.631

1.629 1.880 0.427 1.879 0.511

CHEQUEO DE LA LIBRETA DE CAMPO:

 VAT(+) - VAD(-)

= Desnivel

Desnivel = Cota del Punto Final - Cota del Punto Inicial. Chequeo S:

6.334

S VAT - S VAD = Cota F - Cota I =

4.3.1.2.

6.326 0.008 0.008 OK!!!

Nivelación Compuesta

Se realiza de manera similar a Nivelación Simple, pero se pueden tomar puntos intermedios o laterales. Ejm. 1.

Ejem. 2. Ptos VAT (+) A 0,901 1 2 B 2,711 3 4 C

VAD (-)

VI (-)

NR 129,667

1,960 1,991 1,965

130,413 0,411 1,127

0,904

COTAS 128,766 127,707 127,676 127,702 130,002 129,286 129,509

DIST.

OBS.

20,00 20,00 11,40 8,60 20,00 12,57 Pag. 6

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PRECISION DE UNA NIVELACION COMPUESTA (ERRORES MAX. TOLERABLES) Se usará la siguiente expresión matemática:

Ec = ± e k Donde: Ec = Error máximo tolerable (metros) k = Distancia en kilómetros e = Error kilométrico (metros) 1. Nivelación Aproximada: Reconocimiento o anteproyectos:

Ec = ± 0.l0 k (visual < 300 mts) 2. Nivelación Ordinaria: Obras de ingeniería civil:

Ec = ± 0.02 k

(visual < 150 mts) 3.Nivelación de Precisión: Para planos de población y colocación de puntos de referencia.

Ec = ± 0.01 k

(visual < 100 mts)

4. Nivelación de Alta Precisión: Señales de servicio geodésico; cotas de puntos de recta de apoyo.

Ec = ± 0.004 k

(visual < 100 mts)

5. Nivelación Recomendada por el Ingeniero. Para obras civiles:

Ec = ± 0.01 k

(visual < 100 mts)

COMPENSACIÓN DE UNA NIVELACIÓN (CORRECCION DE COTAS) A.

ITINERARIO DE NIVELACIÓN CERRADA (Circuito Cerrado)

Cn 

d n .Ec Lt



 Ec  Cn    d n  Lt 

Ec = Error de cierre (debe ser < al Ec máx. tolerable) Cn = Corrección de cota en al punto n. dn = Distancia del punto inicial al punto n. Lt = Longitud total del itinerario Ejemplo:

Sean los datos de la libreta de campo. Completar los cálculos cotas:

Libreta de Campo: PTO A 1 2 3 4 5 A

VAT 2.311 1.133 0.982 1.358 2.002 3.021

VAD 1.134 2.003 2.312 3.022 1.359 0.983

COTA 108.254

DIST (m) 50 50 50 50 50 50 Pag. 7

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a) Cálculo de cotas terreno y chequeo de libreta: PTO A 1 2 3 4 5 A

VAT 2.311 1.133 0.982 1.358 2.002 3.021

VAD 1.134 2.003 2.312 3.022 1.359 0.983

10.807 -0.006 -0.006

S VAT - S VAD = Cota F - Cota I =

COTA 108.254 109.431 108.561 107.231 105.567 106.21 108.248

DIST (m) 50 50 50 50 50 50

10.813 OK!!!

Ec = 0.006

b) Cálculo de la precisión de la nivelación: De los datos de la nivelación tenemos: Lt = 300m = 0.3 Km Tipo de Nivelación: Ordinaria:

Ec = ± 0.02 0.3

= 0.011

De Precisión:

Ec = ± 0.01 0.3

= 0.005

Como:

0.005 < 0.006 < 0.011

 La Nivelación es ORDINARIA

c) Correcciones de las Cotas:

 Ec  Cn    dn  Lt  Ec = Lt = Cte =

Cn   Cte  d n

0.006 300 0.00002

PTO

COTA

A 1 2 3 4 5 A

108.254 109.431 108.561 107.231 105.567 106.21 108.248

DIST (m) 50 50 50 50 50 50

Correción DISTANCIA ACUMULADA Cn = (Cte)x(dn) 50 100 150 200 250 300

0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006

COTA COMPENSADA

108.254 109.432 108.563 107.234 105.571 106.215 108.254

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4.3.2. NIVELACIÓN INDIRECTA Este método se basa en el uso de un instrumento u operación matemática mediante el cual se calcula indirectamente el desnivel entre dos puntos. Se emplea cuando no se requiere tanta precisión como para optar por una nivelación directa. 4.3.2.1.

Nivelación Trigonométrica

Se emplea mucho en terrenos ondulados y donde hay quebradas; en las exploraciones y reconocimiento mediante la utilizaci6n del eclímetro y distancia a pasos. En trabajos da mayor precisión los ángulos se miden con teodolito y las distancias con estadía.

4.3.2.2.

Nivelación Barométrica o por Presión

Se emplea en los levantamientos de exploración o de reconocimiento, cuando las diferencias de elevaciones son grandes como en zonas montañosas y/o colinas. En condiciones ordinarias, las elevaciones que se obtienen con esta nivelación tienen errores de varios metros. Sin embargo con barómetros sensibles, las elecciones pueden hacerse con precisiones de más o menos 30 cm.

 0.76   0.76  Z = 19135 log   - 19135 log    Ha   Hb  Donde: Z: Diferencia de nivel en metros entre los puntos a y b suponiendo una temperatura media en a y b de 10°C y despreciando los efectos de la humedad y perturbaciones atmosféricas. Ha: Lectura barométrica en mm. de Hg en el punto a. Hb: Lectura barométrica en mm. de Hg en el punto b.

4.4.

ERRORES EN LAS NIVELACIONES: 1. Des corrección del instrumento 2. Paralaje 3. Curvatura terrestre 4. Refracción atmosferita 5. Variación de temperatura 6. Mira de longitud errónea 7. Dilatación o contracción de la mira 8. Mira inclinada 9. Puntos de mira defectuosos 10. Asiento del trípode o de los puntos de mira 11. Descentrado de las burbujas en el instrumento de leer 12. Falta: de exactitud en la lectura de mira o en la posición de la reglilla sobre la visual.

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4.5.

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AJUSTE Y CORRECCION DE NIVELES O EQUIALTIMETROS Aparte de las correcciones y ajuates que realizan los fabricantes, todos los instrumentos necesitan ser comprobados y corregidos en el campo; antes de efectuar un determinado proyecto, tal es el caso especial del nivel. Condiciones que debe cumplir "El Nivel" o Equialtímetro de anteojo y nivel fijos 1. El eje del nivel tubular ha de ser perpendicular al eje vertical del instrumento 2. El hilo horizontal del retículo debe estar en un plano perpendicular al eje vertical. 3. La línea de visado ha de ser paralela al eje del tubo del nivel. Chequeo da las condiciones y corrección de estas en el instrumento. 4.8.1. Perpendicularidad entre el eje del nivel tubular y el eje vertical. -

Se centra con precisión sobre un par de tornillos basculantes, nivelando la burbuja Se gira el instrumento 180º alrededor de su eje vertical Si la burbuja permanece calada; el nivel esta corregido o sea era bien. Si el nivel no está corregido, el corrimiento da la burbuja es igual al doble del error verdadero. La corrección que hay que aplicar es que la burbuja recorra la mitad de su distancia al punto medio del nivel por medio de las tornillo que se encuentran en el extremó del nivel tubular.

4.8.2. Perpendicularidad entre el hilo horizontal del retículo y el eje vertical -

Se enfoca el hilo horizontal sobre un punto fijo "p" y se giran alrededor del eje vertical de tal manera que no salga del enfoqué el punto "p". Si continua sobre el hilo horizontal no hay que hacer ninguna corrección. Si se aleja del hilo, se corrige mediante los tornillitos adjunto al anteojo.

4.8.3. Paralelismo entre el eje de colimación del anteojo y el del nivel Tubular. -

Se colocan dos estacas en el suelo, a una distancia una de otro de 60 a 90 mts. Procurar que el terreno sea aprox. horizontal. Los hilos del retículo no son visibles, pero el campo visual es tan reducido (5mm) que puede determinarse su centro con toda precisión con la punta del lápiz sobre la mira.

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4.6.

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APUNTES Y EJERCICIOS SOBRE NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA. Manteniéndonos dentro de los límites del campo topográfico altimétrico a fin de despreciar los efectos de curvatura y refracción al considerar la tierra como plana, podemos definir la nivelación trigonométrica como el método de nivelación que utiliza ángulos verticales para la determinación del desnivel entre dos puntos. Se emplea mucho en terrenos ondulados y donde hay quebradas; en las exploraciones y reconocimientos mediante la utilización del eclímetro y distancia a pasos. En trabajos de mayor precisión los ángulos se miden con teodolito y las distancias con estadia. Las ecuaciones generales utilizadas en la nivelación trigonométrica se pueden deducir de la figura siguiente. Mira vertical

φ

Visual ∆

α

lm

'



Horizontal

hi

B ∆AB

A QA

QB Superficie de referencia

hi+∆'=∆AB+lm ∆' = Dt an

D Fig. Nivelacion trigonométrica. Donde:

∆AB = Desnivel entre A y B D = Distancia horizontal

∆AB = D.tan + hi - lm

 = Angulo vertical de elevación  = Angulo Cenital

∆AB = D.cotg + hi – lm

P = Inclinación de la visual en %

AB 

P.D  h i  lm 100

hi = Altura del instrumento En ángulo vertical se puede medir con teodolito o con clisímetro, dependiendo de la precisión deseada. Para el caso de visual horizontal, en el que α = 0º y φ = 90° (visual con nivel). AB = hi – hs Horizontal

Ejemplo 1. Con los datos de la figura, determine el desnivel entre los puntos A y B y la cota del punto B.

 = -15°22'18" Hi=1.50m A l m= 3,572 m QA= 154,816

Mira vertical B

Superficie de referencia

QB

D=85,320 m. Pag.11 Para estudiantes de INGENIERIAS

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Aplicando la Ecuación ∆AB = D.tan + hi - lm ; y reemplazando tenemos: AB = 85,320 x tan (-15° 22' 18") + 1,50 - 3,572 AB = -25,528 m.

Solución:

El signo negativo indica que el punto B está por debajo del punto A. Para calcular la cota del punto B aplicamos la ecuación ∆AB = QB – QA, de donde: ∴ QB = ∆AB + QA QB = 25,528 + 154,816 = 126,288 QB = 129,288 m.

Ejemplo 2. Con los datos de la figura, determine el desnivel entre A y B y la cota del punto B.

lm = 2,316 m

= 75°16'22" Horizontal

Mira vertical B

hi=1,52m A QA= 1602,574 Superficie de referencia

QB

D

Solución: distancia.

Para la solución de este problema debemos referirnos al capítulo anterior correspondiente a edición de Aplicando la ecuación de reducción de distancias inclinadas al horizonte tenemos: DH = Di sen  Sustituyendo la DH = Di sen  en la ec. nos queda, ∆AB = Di sen x cotg + hp - lm ∆AB = Di cos + hp – lm ∆AB = 94,668 x cos(75º16’22 ”) + 1,52 – 2,316 ∆AB = +23,270 m.  El signo positivo indica que B está por encima del punto A.

Además:

∆AB = QB – QA ∴ QB = ∆AB + QA QB = 23,270 + 1602,5 74 = 1625,844 m QB = 1625,844 m.

Ejemplo 3. Con los datos de la figura. Calcule la cota del punto B.

K=100

ls = 3,250 m

 = 85°32'20"

lm = 2,268 m li = 1,286 m

Horizontal

Mira vertical B

hi = 1,54 A

QB QA 956,432

Superficie de referencia Pag.12

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Solución:

Aplicando la ecuación (5) de nivelación taquimétrica con ángulo cenital tenemos: AB = 100 (3,250 - 1,286) cos 85°32´20”x sen 85°32´20" + 1,540 - 2,268 AB = 14,502 m. AB = QB - QA, de donde: QB = AB + QA QB = 14,502 + 956,432 = 970,934 m QB = 970,934 m.

Además:

Por lo general, en trabajos taquimétricos se levantan varios puntos a partir de una misma estación.

Ejemplo 4. Con los datos de la tabla siguiente Tabla TE.1, calcule las cotas de los puntos 1 al 5. Tabla TE.1 Libreta de campo para una nivelación taquimétrica Ángulos medidos ∠V

ls

lm

Ii

91°30’

3,658

2,493

1,328

2

95º17’

2,302

1,921

1,540

3

83º10’

1,514

1,274

1,034

4

90º30’

2,386

1,406

0,426

5

85º32”

2,043

1,704

1,365

EST

Pv

A

1

hi = 1,602 QA = 1.620,32

∠H

Lecturas en la mira

Solución: Aplicando la ecuación (5) para el cálculo del desnivel entre A y cada uno de los puntos restantes y la ecuación (1) para el cálculo de las cotas, construimos la tabla TE.2. Tabla TE.2 A

P.V.

Distancias

Desnivel

Cota Terreno

A

1

232,84

- 6,99

1.613,33

2

75,55

- 7,31

1.613,01

3

47,32

+ 6,00

1.626,32

4

195,99

- 1,51

l.618,81

5

67,39

+ 5,16

1.625,48

En la tabla TE.2 se ha incluido una columna para el cálculo de las distancias, ya que las mismas se requieren para el cálculo de las coordenadas rectangulares y para la elaboración del plano acotado del terreno, procedimiento que estudiaremos más adelante. Pag.13 Para estudiantes de INGENIERIAS

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Problemas Propuestos 1.

Con los datos de la figura P6-1 calcule el desnivel entre los puntos A y B y la cota del punto B. Figura P-1

φ

= 85°32'

Lm = 2,543 B

hi =1,60 A

QA=1.035,243

2.

En el proceso de nivelación de los vértices de una triangulación se requiere calcular el desnivel entre dos puntos separados una distancia de 1.230,436 m, por lo que se hace necesario calcular el error por curvatura y refracción (ecr).

φ

= 98°32'12" K=0,16

Ls 4,0 m

hi =1,57 B

A

QA=1.254,326

D=1.230,436 m

Con los datos de la figura P-2 calcule la cota del punto B libre del ecr. Figura P-2

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3.

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Calcule el desnivel y la distancia entre los puntos A y B mostrados en la figura P-3.

lm= 5,00 38°20' - 16°14'

H= 5,0 m ∆AB

hi=1,52 B A

D

Figura P-3

4.

Los datos de la tabla anexa corresponden a una nivelación por taquimetría realizada con un teodolito que mide ángulos cenitales. Si la cota del punto de estación es 1.570,431 y la altura del instrumento es 1,545, calcule las cotas de los puntos visados.

∠V

87º06’

1,565

0,523

2

91º02’

2,496

1,875

3

95º16’

3,256

2,431

4

79º21’

2,341

1,582

B

86º45’

2,676

1,876

B

A

93º15’

1,243

0,443

h = 1,600

5

91º42’

1,635

1,000

6

82º16’

2,042

1,000

7

89º54’

3,581

2,000

Est.

PV

A

1

h = 1,545 Q = 1.570,43 1

∠H

Ls

Lm

Li

Obs

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5.

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Demuestre analíticamente que bajo las condiciones impuestas en la figura inferior, el desnivel entre A y B no queda afectado por el error de inclinación del eje de colimación. Suponga: a) Una inclinación (+ ) del eje de colimación. b) Las lecturas desde E1 y E2 fueron tomadas con el mismo instrumento. c) Las distancias E1-A y E2-B son iguales. á

∆

AB

E2

B

A

E1 D

D

Figura P-5

6..

Calcule la libreta de campo de la nivelación y los desniveles parciales y las cotas compensadas de la nivelación de la figura P-6

2,124

2,851 __________ 2,104 0,852

1,573

1,943

1,073 E4

E1 E3

BM-1

1,270

BM-2 Q=177,079

E2

Q=175,321

Fig. P-6

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7.

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Calcule el error de cierre En y las cotas compensadas de la nivelación de la tabla anexa. Utilice los métodos de compensación estudiados. Est. E1

E2

E3

E4

8.

PV BM-1 2 3 3 4 5 6 6 7 8 8 9 10 BM-2

Dist. P.

Dist. Ac. 0,00

V.ATT 2,851

20,00 40,00

V.INT

V.AD

Horiz

Cotas 175,321

2,435 2,104 0,852

40,00 65,00 55,00

1,053 1,425 1,573 1,943

80,00 80,00

1,510 1,073 2,124

60,00 60,00 80,00

1,872 1,541 1,270

177,079

En la nivelación de un perfil que pasa por debajo de una estructura existente, se localizó un

Ref-1

Mira en posición invertida

254,328 3,185 3,250

2,461

2,763

2,137

3,875

E3 E2 E1

3 2

1

punto de referencia en el borde inferior de una viga, tal y como se muestra en la figura P-P-8. Calcule las cotas de los puntos 1, 2 3. Figura P-8

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TOPOGRAFÍA-I

Ing. Edwin LICONA LICONA

9.

Determinar la libreta de campo y las cotas correspondientes de la siguiente nivelación, si la cota de A es 3300.000 m.s.n.m.

10.

Reconstruir la libreta de campo y las cotas correspondientes de la siguiente nivelación, si la cota de A es 3000.000 m.s.n.m.

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TOPOGRAFÍA-I

Ing. Edwin LICONA LICONA

11.

Calcular el desnivel entre los puntos 1 y 2.

12.

Determinar la libreta de campo y las cotas correspondientes de los puntos de la siguiente nivelación, si la cota de RN-1 es 3300.000 m.s.n.m.

BIBLIOGRAFIA:

TOPOGRAFIA-Apuntes de Topografía. Ing. Edwin Licona Licona. UNSAAC-FIC. 2011. TOPOGRAFIA. Jorge Mendoza Dueñas. UNI Lima 2011. TOPOGRAFIA GENERAL. Brinker Russell. Alfa Omega 1992 PROBLEMAS DE TOPOGRAFIA I-II. Narvaez Llontop UNI Lima 2007. TOPOGRAFIA. Ing. Jorge Mendoza Dueñas. UNI. Lima 2010.

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