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• Jorge González Sepúlveda

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TEORÍA DE PROBABILIDAD

TEORIA DE LA PROBABILIDAD Introducción: En el contexto general de la estadística, las asignaciones de carácter probabilístico, nos dan la posibilidad de ejercer un control de la inevitable variabilidad de los resultados de un experimento. Para simplificar lo observado en los fenómenos sujetos a estudio, necesariamente recurrimos a la construcción de modelos de tipo determínístico o probabilístico. Los primeros, quedan perfectamente definidos en cuanto se conocen los factores que en ellos interviene. Por ejemplo: fuerza = masa x aceleración; capital = activo + pasivo, etc. En cambio, en los modelos de tipo probabilístico, y dado que sus condiciones son puramente experimentales y de carácter aleatorio (al azar ), los resultados no son predecibles y su ocurrencia se debe a la casualidad. Estos apuntes están enfocados al estudio de este tipo de modelos. Elementos de probabilidad i)

Experimento: Es cualquier proceso, fenómeno o suceso que genera una serie de observaciones ó medidas, llamados puntos muestrales ó elementos, con las siguientes características: a) b) c)

ii) iii)

Es de naturaleza tal, que puede repetirse un número indeterminado de veces, ó al menos se concibe su repetición Cada vez que se realice el experimento, se sujetará a las reglas necesarias con tal que su aleatoriedad quede garantizada. Cada uno de sus resultados se debe a la casualidad.

Espacio muestral: Equivale al universo en teoría de conjuntos, y comprende a todos y cada uno de los posibles resultados en un experimento. Se acostumbra a designarlo con la letra "S" Evento: Comprende a uno o más elementos de un espacio muestral

Espacio muestral finito: Es aquel cuyo número de elementos está bien definido, es medible y el número de sus elementos es susceptible de contarse. Espacio muestral infinito: El número de sus elementos está indefinido, es decir no son susceptibles de contarse, por ejemplo: los puntos de un segmento de recta. Espacio muestral de eventos equiprobables: Los elementos de este espacio tienen la misma posibilidad de participar como resultado, por ejemplo: los números que presentan las caras de un dado legal Asignaciones de probabilidad: Asignar probabilidades, equivale a otorgar valores de seguridad en la ocurrencia o no de cierto o ciertos eventos de interés en un experimento. Las formas que comúnmente utilizamos para asignar probabilidades son:

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i) ii)

iii)

Asignación a priori: También se le conoce como asignación casuística, no tiene sustento matemático, solo el sentir individual. Por ejemplo decir: la probabilidad que hoy llueva es del 80'%. Asignación a Posteriori: Hace uso de modelos matemáticos, construidos a través de repetidos experimentos, conformando un patrón matemático, por ejemplo: La inferencia estadística con recta de regresión y distribuciones probabilísticas de tipo continuo, conceptos que serán estudiados en la parte de estadística inferencial. Asignación clásica: Se basa en hechos que son justificado por los puntos muestrales del universo de un experimento, de los cuales, algún ó algunos de ellos son de nuestro interés y por lo tanto les llamaremos eventos con éxito . Es necesario designar con "N(E)" al número de elementos con éxito del espacio muestral, mientras que con "N(S)" al número de elementos totales del experimento. Así:

Si E es la de ocurrencia del evento de interés , entonces su probabilidad es: N (E) P( E ) N (S ) Axiomas de probabilidad: Además de coadyuvar en la solución de problemas, estas reglas delimitan algunos procedimientos a seguir: La probabilidad de un evento cualquiera no será menor que cero ni mayor a uno: 0 P(E) 1 Por lo tanto: P(Ф) = 0, por ejemplo la probabilidad de obtener un siete en el lanzamiento de un dado es cero ( no tiene siete). P(S) = 1, se trata del evento seguro. Por ejemplo la probabilidad de obtener un sol ó una águila en el lanzamiento de dos monedas es uno, (cae sol o cae águila). Si A 1 A 2 A 3 … es una serie de eventos mutuamente excluyentes, entonces P(A1) + P(A2) + P(A3)+… REGLAS ADITIVAS Teoremas de probabilidad: Si dos sucesos son excluyentes A

B

P(A B) = P(A) + P(B)

A

B

P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C)

C Si los sucesos son no excluyentes:

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A

A

B

P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

B

P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A B) -P(A B) - P(B C ) + P(A B C)

C Para la diferencia de dos conjuntos P(A - B) = P( A ) - P ( A B) Si Ac es el suceso complementario de A, entonces P(A) = 1 - P(Ac) Ejemplo : Se extrae una carta al azar de una baraja española (40 cartas) a) ¿Cuál es la probabilidad que sea una espada ó un basto? b) ¿Cuál es la probabilidad que sea un rey ó un basto? Solución: Como se sabe la baraja española consta de 40 cartas, de los cuales 10 son bastos, 10 son espadas, 10 mas son oros y otros 10 son copas, conocidos como "palos". De ellos existen 4 ases (unos), 4 números dos, ...4 sietes, 4 sotas (dieces), 4 caballos (onces) y 4 reyes (doces), en todos los casos uno de cada palo. En consecuencia N(S) = 40 a) Si: E1 que la carta sea una espada N(E1) = 10 E2 Que la carta sea un basto N(E2) = 10

P(E1) = 10 / 40 = 1 / 4 P(E2) = 10 / 40 = 1 / 4

Como no existe ninguna carta que sea espada y basto a la vez: P(A B ) = 0 En consecuencia: P(A B ) = P(A) + P(B) = 10 / 40 + 10 / 40 = 1 / 2 b) Si E3 que la carta sea un rey; y dado que la baraja tiene 4 reyes, N(E 3) = 4 y P(E3) = 4 / 40. Sin embargo hay un rey que es de bastos, por lo que P(E1 E3) = 1 / 40 Por lo tanto P(E1 E2) = P(E1) + P(E3) - P(E1 E3) = 10 / 40 + 4 / 40 - 1 / 40 = 13 / 40 Uso de la distribución frecuencial o la probabilidad basada en la experiencia: Suponga que nos interesa conocer la probabilidad que los estudiantes de primer semestre de una universidad tengan cierta edad.. El Dpto. de servicios escolares nos informa:

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Edad 18 años 19 " 20 " 21 " 22 " 23 " + de 23

No. Alumnos 5 20 15 10 8 5 3

N(S) = 66 a) La probabilidad que el semestre próximo se inscriba un alumno de 30 años ó más es P(A30 ) = 3 / 66 b) La probabilidad que un alumno tenga entre 20 y 22 años es: N(A20-22) = 15+10+8 = 33 y P(A20-22) = 33 / 66 = 1/ 2

Uso de las técnicas de conteo: La probabilidad de lograr una tercia en una mano de póker de una baraja española es: N(S) = 40C5 = 658008; número de tercias = N(tercias) = 4C3 x 10C1 x 36C2 ( 25,200 y P(T) = 25200 / 658008 = 0.038 En una caja cerrada se almacenan 8 piezas que corresponden a la producción de un turno de una fresadora. Si se sabe que el 50% de ellas son defectuosas, y se van a extraer 3 piezas al azar.¿Cuál es la probabilidad que Solución N(S) = 8C3 = 56 a) ninguna sea defectuosa N(E1) = 4C3 = 4 P(E1) = 4 / 56 = 1 / 14 b) Exactamente una sea defectuosa N(E2) = 4C1 x 4C2 =24 P(E2) = 24/56 = 3 / 7 c) Dos defectuosas y una buena N(E3) = 4C2 x 4C1 =24 P(E3) = 34/56 d) Las tres sean defectuosas N(E4) = 4C3 = 4 P(E4)= 1/14 Al menos dos sean defectuosas N(E5) = 4C2 x 4C1 + 4C1 x 4C2 = 12 P(E5) = 12 / 56 Matemáticas de la Probabilidad Para hablar de las matemáticas de probabilidad debemos definir en primer lugar : Independencia de eventos: Se dice que dos eventos son independientes si la ocurrencia o no ocurrencia de uno no afecta a la ocurrencia o no ocurrencia del otro. En el contexto de la independencia de los eventos A y B debe entenderse que la ocurrencia de B no tiene impacto en las probabilidades de A y viceversa. Producto de probabilidades: Una consecuencia importante de la independencia de los eventos son las expresiones de probabilidad conjunta.

Nombre

Notación

Conjunta

P(A ∩ B)

Eventos Independientes P(A)P(B)

Que se conocen como teorema del producto de probabilidades ó reglas multiplicativas

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Eventos Dependientes P(A)P(B/A)

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Probabilidad condicional: Se refiere a probabilidades de ocurrencia de un evento A, íntimamente ligado a otro evento B que ya ocurrió, por lo que la probabilidad de A, está condicionada a si ocurrió B ó no. Existe entonces, la necesidad de establecer la llamada PROBABILIDAD CONDICIONAL o probabilidad condicionada , la cual se escribe P (B / A) que debe leerse " la probabilidad de B dado que A ocurrió" ó bien: P(A / B) "probabilidad de A dado que B ocurrió"..

Nombre

Notación

Eventos Independientes

Eventos Dependientes

Conjunta

P(A ∩ B)

P(A)P(B)

P(A)P(B/A)

Condicional

P(B/A)

P(B/A) = P(B)

P( B / A)

P( A B) P( A)

Analicemos el siguiente caso: suponga que se tienen en una urna 15 canicas blancas y 5 negras. Si se extraen dos canicas al azar, una tras otra: a) Con reemplazo ( se extrae la canica, se observa su color y se devuelve a la urna) b) Sin reemplazo ( extraída la primer canica no se devuelve a la urna) Y sean:

A La primer canica es negra B La segunda canica es negra

Es claro que cuando la extracción es con reemplazo P(A) = 5 / 20 y también P(B) = 5/ 20 Si la extracción es sin reemplazo, la P(A) sigue siendo 5 / 20. Pero ahora P(B) = ? ?, es decir, la probabilidad de B estará sujeta a lo que ocurrió en en la extracción de la primer canica, ya que, si ocurrió A,, entonces la P(B) = 4 / 19, pero si ocurrió AC , entonces la P(B) = 5 / 19 Nuevamente debe observarse que si B ya ocurrió , y A y B son independientes, entonces P(A / B) = P( A ) y que por lo tanto , P( A B ) = P( B ) P( A / B ) = P( A ) P( B ). Similarmente, si A ya ocurrió, entonces P ( B / A ) = P ( B ) y P ( A B ) = P( A ) P( B / A ) = P( A ) P ( B ) . Ahora ya estamos en condiciones de resolver el problema de las 15 caninas blancas y 5 negras, bajo la pregunta que ambas canicas sean negras, ya que la pregunta es P( A B ), para A y B dependientes. Recuérdese que P( A ) = 5 / 20 y podemos decir que P( N / B ) 0 5 / 19, por lo tanto: P(A

B ) = P( A ) P( B / A ) = ( 5 / 20 ) ( 4 / 19 ) = 0.052

Una herramienta de mucha utilidad en este tipo de herramientas es el diagrama de árbol. Para nuestro caso, las ramas superiores nos dan el producto de probabilidades buscado.

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B

4 / 19

A

BC

5 / 20

B

5/19 15/20

AC BC

Axiomas de probabilidad condicional: P(A/B) = 0 Si (A B) = Si A = B , (A

si B)=A=B

P(B) 0 P(A/B)=0 P(A/B)=1

Ejemplo: Una empresa tiene 1000 piezas para un ensamble dado. Si se sabe que el 20% de ellas son defectuosas y que del 40% del total que son compradas, el 80 % son buenas, mientras que el resto son fabricadas por la propia empresa. ¿Cuál es la probabilidad que: a) Si la pieza resultó buena haya sido fabricada por la misma empresa? b) Si la pieza resultó defectuosa, haya sido comprada a proveedores? c) La pieza haya sido fabricada si resultó defectuosa? Solución: Nos auxiliaremos con la siguiente tabla: COMPRADAS FABRICADAS TOTALES a) Sean

DEFECTUOSAS 80 120 200

BUENAS 320 480 800

TOTALES 400 600 1000

B La pieza es buena F Fabricada por la misma empresa; Sol.: P(F/B) = P(F B) /P(B)= 480/800=0.6

b) Sean C La pieza fue comprada D La pieza es defectuosa d) P(F / D ) = P( F

Sol P(C/D) = P(C D)/P(D)= 80 / 200=0.4

D ) / P ( D ) = 120 / 200 = 0.6

Ejercicio: Un lote de 12 artículos contiene 4 defectuosos. Si se toman al azar tres artículos, uno a uno y sin reemplazo . Hallar la probabilidad que: a) El primer artículo sea defectuoso y los restantes buenos b) Los dos primeros sean defectuosos y el tercero bueno c) El tercer artículo sea defectuoso

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Sugerencia: Úsese un diagrama de árbol y aplíquese el producto de probabilidades Teorema de Probabilidad total: si existe una partición del espacio muestral en B1, B2...Bk eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos y dentro de esa partición se da un evento arbitrario A. Entonces: P(A) = P(B1 A) + P(B2 A) + . . . + P(Bk A) Entenderemos este concepto, como aquel que se solicita para un evento determinado y que, depende de cualesquiera otros eventos ocurridos anteriormente. Así, si en un suceso B compuesto por los subconjuntos, se encuentra inmerso otro suceso A, según la figura: B1 B4 B5

A

B2

B3

B6

B7

Estaremos de acuerdo que A = (B1 A) (B2 A) ... (Bk ), aun cuando algunos (Bi A) sean vacíos

Pero como sabemos P(B A) = P(B) P(A / B) , de suerte que cada P(B A) = P(Bi) P(A / Bi) y entonces podemos escribir: P(A) = P(B1)P(A / B1) P(B2) P(A / B2) + ... + P(Bk) P( A / Bk ) ,que de forma sintética es Teorema de probabilidad total

P( A ) =

k

P( Bi ) P(A | Bi ) i 1

Con la información que Bi a ocurrido,, puede encontrarse fácilmente la probabilidad de algún evento inmerso en B ya que P ( A / Bi ) está determinada. Pronto veremos que la probabilidad total equivale al espacio muestral cuando así debe ser considerado. Retomando el problema de las 15 canicas blancas y 5 negras , con la extracción de dos de ellas, una a una sin reemplazo, bajo la pregunta, ahora, ¿Cuál es la probabilidad que la segunda canica sea negra? Solución: puesto que P ( B ), ( que la segunda canica sea negra), puede ocurrir de dos formas: que la primera se blanca, o que la primera sea negra, según el diagrama de árbol: A

B

4 / 19

BC

5 / 20

B

5/19 15/20

AC BC

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Entonces : P(B) = P(A)P(B/A) + P(Ac)P(B/Ac) = (5/20)(4/19) + ( 15/20)(519) = 19/76 Ejercicio : Una pieza automotriz es manufacturada por las fábrica F 1 , F2 y F3.Se sabe que F1 produce el doble de piezas que F2 , y que esta y F3 producen la misma cantidad, Se sabe además que F 1 y F2 producen el 2% de piezas defectuosas y que F2 produce el 4% de defectuosas.¿Cuál es la probabilidad que al elegir una pieza al azar, resulte defectuosa. Sugerencia, constrúyase un diagrama de árbol y aplíquese el teorema de probabilidad total. Ejercicio: Se tienen dos monedas, ambas cargadas, la primera tiene una probabilidad de 0.3 de caer águila, la segunda 0.6 de caer águila también. Un jugador elige al azar una de las dos monedas y la lanza dos veces obteniendo dos águilas . ¿Cuál es la probabilidad que al lanzarla por tercera vez caiga áquila también. Ejercicio Un estudiante presenta un examen de selección múltiple, en el cual, cada pregunta tiene cinco posibles respuestas , de las cuales una es la correcta. Supóngase que el estudiante conoce la respuesta del 70% de las preguntas. a) ¿Cuál es la probabilidad que el estudiante sobre una pregunta dada conteste correctamente Sol 0.76 b) Si contesta correctamente ¿cuál es la probabilidad que conozca la respuesta? Sol.0.92 Teorema de Bayes: Si dentro de la partición del espacio muestral se da el evento arbitrario A la probabilidad de que pertenezca a una de las particiones queda expresada por el teorema de Bayes o teorema de la causa y efecto

P( Bi / A)

P ( Bi ) P ( A / B j ) k

P(Bj )P( A/ Bj )

TEOREMA DE BAYES

j 1

Ejemplo Hagamos el ejercicio 8 con la pregunta: ¿Cuál es la probabilidad que la pieza sea defectuosa y provenga de la fábrica uno ? Solución: Ya que, del total de la producción, F1 produce la mitad, mientras que F2 y F3 producen 1/4 del total, F1 = 1/2 , F2 = F3 = 1/4. También, los porcentajes de piezas defectuosas son D1 = D2 = 0.02 y D3 = 0.04, con diagrama de árbol 0.02 D F1 0.5 D 0.02 F2 0.25 F3

0.25 D

0.04

Del diagrama de árbol : N(S) (F1 D)+(F2 D)+(F3 A) = P(F1)P(D/F1)+P(F2)P(D/F2)+P(F3)P(D/F3) Pero : P(F1)P(D/F1) = 0.5 x 0.02 P(F2)P(D/F2) = 0.25 x 0.02

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P(F3)P(D/F3) = 0.15 x 0.04 Como N(E) = P(F1) P(D/F1 = 0.5 x 0.02, se tiene: P(F1/D) = (0.5x0.02) / [(0.5x0.02) + (0.25 x 0.02) + (0.25 x 0.04)] = 0.04 Ejercicio: La urna A, contiene tres esferas azules y dos rojas , mientras que la urna B, contiene dos azules y cinco rojas. Si una esfera es extraída al azar de cualquiera de las dos urnas y resulta esfera azul, ¿cuál es la probabilidad que provenga de la urna A ? Ejercicio: Se tienen tres urnas idénticas, cada una con dos cajones. La primera urna contiene una moneda de oro en cada cajón,; la segunda una de oro en el primer cajón y una de plata en el segundo y la tercera una de plata en cada cajón. Se elige una urna al azar y luego uno de sus cajones, en el que se encuentra una moneda de oro. ¿Cuál es la probabilidad que el otro cajón contenga una moneda de plata ?. Sol. 1/3 Ejercicio: En tres urnas se colocan canicas rojas, blancas y azules, distribuidas como se indica en la tabla: Rojas Blancas Azules Urna 1 5 3 2 Urna 2 1 8 1 Urna 3 3 1 6 Se selecciona una urna al azar y se saca una canica, también al azar. ¿Cuál es la probabilidad que la urna haya sido la número tres , si la canica es roja Sol. 1/3 Ejercicio: Supóngase que 5% de todos los hombres y 0.25% de todas las mujeres son daltonianos. Si una persona elegida al azar resulta daltoniana ¿Cuál es la probabilidad que sea hombre? (suponga que hay igual número de hombres que de mujeres) Sol. 0.952 Ejercicio: La prueba para el diagnóstico del sida tiene 95% de exactitud. Si 0.005 de la población, realmente tiene sida. Calcular la probabilidad de que determinado individuo tenga sida, si la prueba indica que lo tiene. Ejercicio: Dos proveedores A y B, surten la misma pieza a un fabricante, quien guarda sin clasificar en el almacén. Si el fabricante sabe que 5% de las piezas de A y 9% de las de B son defectuosas. Si se extrae una pieza del almacén que no está defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad que la haya entregado A? Ejercicio: La probabilidad que un sospechoso resulte culpable es 0.8, siempre que cierto testigo no se presente a declarar. La probabilidad que el testigo se presente a declarar es 0.1 y la probabilidad que el sospechoso sea hallado culpable si se presenta el testigo es 0.9 : a) ¿ Cuál es la probabilidad que al sospechoso se le halle culpable? Sol.0.81 b) Si al sospechoso se le encuentra culpable. ¿cuál es la probabilidad que el testigo se haya presentado a declarar ? Sol. 8/9

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