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• Ronald Escobar

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Teoría de la Probabilidad

Conceptos básicos de Probabilidad Una probabilidad es un valor numérico que representa la oportunidad o posibilidad de que un evento en particular ocurra, tal como: El aumento en el precio de una acción, un día lluvioso, una unidad de producción no conformada, o que caiga el cinco al lanzar un dado. En estos casos, la probabilidad es una porción o fracción cuyo valor varía entre 0 y 1 inclusive. Un evento que no tiene oportunidad de ocurrir (por ejemplo, un evento imposible) tiene una probabilidad de cero. Un evento que ocurrirá con toda seguridad (es decir, un evento seguro) tiene una probabilidad de 1. Existen tres aproximaciones sujetas a la probabilidad:  Probabilidad clásica a priori  Probabilidad clásica empírica  Probabilidad subjetiva En una probabilidad clásica a priori, la probabilidad de éxito se basa en el conocimiento previo del proceso implicado. En el caso más simple, en el que cada resultado es igualmente probable, la oportunidad de ocurrencia de un evento se define en la ecuación:

Ecuación 1: PROBABILIDAD DE OCURRENCIA

Donde

Considere un mazo de cartas estándar con 26 cartas rojas y 26 cartas negras. La probabilidad de seleccionar una carta negra es de 26/52= 0.50, puesto que hay X= 26 cartas negras y T= 52 cartas en total. ¿Que indica esta probabilidad? Si se reemplaza cada carta después de haberla seleccionado, ¿significa que una de las dos siguientes cartas será negra? No, porque usted no pueda decir con certeza lo que sucederá en las selecciones posteriores. Sin embargo, puede decir que a la larga, si este proceso de selección se repite continuamente, la proporción de cartas negras seleccionadas se aproximará a 0.50. Este ejemplo utiliza el punto de vista de la probabilidad a priori porque el número de formas en las que un evento puede ocurrir y el número de resultados posibles se conocen por la composición del mazo de cartas. En el punto de vista de la probabilidad clásica empírica, los resultados se basan en datos observados, no en conocimiento previo del proceso. Ejemplos de este tipo de probabilidad son: La proporción de votantes registrados que optan por un determinado candidato político o la proporción de alumnos que tienen un empleo de medio tiempo. Por ejemplo, si usted realiza una encuesta a los alumnos, y el 60% de ellos afirman que tienen un trabajo de medio tiempo, entonces hay una probabilidad de 0.60 de que un alumno en particular tenga un trabajo de medio tiempo. La probabilidad subjetiva, se distingue de los otros dos en que la probabilidad subjetiva difiere de una persona a otra. Por ejemplo, tal vez el equipo de desarrollo para un nuevo producto asigne una probabilidad de 0.6 a la oportunidad de éxito para el producto, mientras que el presidente de la empresa es menos optimista y asigna una probabilidad de 0.3. La asignación de probabilidades subjetivas a diferentes resultados generalmente se basa en una combinación de las experiencias pasadas de los individuos, la opinión personal y el análisis de una situación particular. La probabilidad subjetiva es particularmente útil al tomar decisiones en situaciones en las que no es posible usarla probabilidad clásica a priori o la probabilidad clásica empírica.

Espacios Muestras y Eventos Los elementos básicos de la teoría de probabilidad son los resultados individuales de una variable que se somete a estudio. Para entender las probabilidades es necesario comprender las siguientes definiciones.  Cada posible resultado de una variable es un evento.  Un evento simple se describe por sus características singulares. Por ejemplo, cuando lanza una moneda al aire, los dos posibles resultados son cara o cruz. Cada uno de estos representa un evento sencillo. Cuando tira un dado estándar de seis lados, en las que las seis caras del dado contienen uno, dos, tres, cuatro, cinco o seis puntos, hay seis eventos sencillos posibles. Por ejemplo, el evento de un número par de puntos consiste en tres eventos sencillos (por ejemplo, dos, cuatro o seis puntos).  Un evento conjunto es un evento que tiene dos o más características. Sacar dos caras al lanzar al aire de monedas es un ejemplo de un evento conjunto, pues consiste en obtener cara al lanzar al aire la primera moneda y cara al lanzar la segunda moneda.  El complemento del evento A (al que se le asigna el símbolo A´) incluye todos los eventos que no son parte de A. El complemento de una cara es una cruz, puesto que es el único evento que no es una cara. El complemento de una cara de cinco puntos es no tener una cara de cinco puntos. No obtener un lado de cinco puntos consiste en obtener un lado uno, dos, tres, cuatro o seis.  La colección de todos los eventos posibles se llama espacio muestral. El espacio muestral de lanzar una moneda al aire consiste en cara y cruz. El espacio muestral cuando tiramos un dado consiste en uno, dos, tres, cuatro, cinco y seis puntos. Probabilidad simple Probabilidad simple se refiere a la probabilidad de ocurrencia de un evento simple, P (A).

Tabla1 REALMENTE LO COMPRÓ PLANEA COMPRARLO Si No Total

Sí 200 100 300

No 50 650 700

Total 250 750 1,000

Una probabilidad simple es la probabilidad de planear la compra de un equipo de televisión de pantalla grande. ¿Cómo se determina la probabilidad de seleccionar un hogar en el que se planee comprar un equipo de televisión de pantalla grande? Al utilizar la ecuación 1: PROBABILIDAD DE OCURRENCIA

Donde

P (planear comprar) = = 0.25 Por lo tanto, hay un 0.25 (o un 25%) de probabilidad de que en un hogar se planee comprar un equipo de televisión de pantalla grande. A la probabilidad simple también se le llama probabilidad marginal, porque es posible calcular el número total de los éxitos (el número total de quienes planearon comprar) a partir del margen apropiado de la tabla de contingencia. Probabilidad conjunta La probabilidad simple se refiere a la probabilidad de ocurrencia de eventos simples. La probabilidad conjunta se refiere a la probabilidad de ocurrencia que implica a dos o más eventos. Un ejemplo de probabilidad conjunta es la probabilidad de que se obtenga cara al lanzar la primera vez la moneda al aire y cara al lanzar por segunda vez la moneda. En relación con la tabla 1, aquellos individuos que planearon comprar y realmente compraron el televisor de pantalla grande se identifican con los resultados de una celda singular “si-planearon comprar y si- realmente lo compraron”. Como el grupo está formado por 200 hogares, la probabilidad de elegir un hogar que planee comprar y realmente lo compre es:

P (planea comprar y realmente lo compra) =

= 0.20 Regla de la adición La regla general de la adición nos permite encontrar la probabilidad del evento “A o B”. Esta regla considera la ocurrencia de cualquiera de los eventos, evento A o evento B o ambos A y B. ¿Cómo se determina la probabilidad de que en un hogar se planee comprar o se compre realmente un equipo de televisión de pantalla grande? El evento “planear la compra o comprar realmente” incluye a todos los hogares en los que se planea comprar y todos los hogares en los que realmente se compró el equipo de televisión de pantalla grande. Revise cada celda de la tabla de contingencia (tabla 1) para determinar si es o no parte del evento. De la tabla 1 la celda “ planea comprar y no lo compro” es parte del evento porque incluye a los encuestados que planean comprar. La celda “no planeó comprar y realmente compró” está incluida porque contiene a los encuestados que de verdad compraron. Por último la celda “ planearon comprar y realmente compraron” tienen ambas características de interés. Por lo tanto, la probabilidad de planear comprar o realmente comprar es: P (planear comprar o realmente compró) = P (planeó comprar y no compró realmente) + (no planeó comprar y realmente compró) + (planeó comprar y realmente compró) =

+

+

+

= 0.35

A menudo encontrará más fácil determinar P(A o B), la probabilidad del evento A o B, mediante la regla general de la adición definida en la siguiente ecuación: Regla General de la Adición La probabilidad de A o B es igual a la probabilidad de A más la probabilidad de B menos la probabilidad de A y B.

Aplicar esta ecuación en el ejemplo anterior produce el siguiente resultado:

Probabilidad Condicional La probabilidad condicional se refiere a la probabilidad del evento A, dada información acerca de la ocurrencia de otro evento B. Probabilidad Condiciona La probabilidad de A dado B es igual a la probabilidad de A y B dividida por la probabilidad de B.

La probabilidad de B dado A es igual a la probabilidad de A y B dividida por la probabilidad de A.

En relación con el escenario de “Uso de la Estadística” que se refiere a la compra de un equipo de televisión de pantalla grande, suponga que en cierto lugar se planea comprar un equipo de televisión de pantalla grande. Ahora ¿cuál es la probabilidad que en ese hogar se compre realmente el equipo de televisión? En este ejemplo el objetivo es encontrar P (compra real/ planea comprar). Aquí se le proporciona la información de que el hogar planea comprar el equipo de televisión de pantalla grande. Por lo tanto, el espacio muestral no consiste en todos los 1,000 hogares de la encuesta. Consiste solo en aquellos que realmente el equipo de televisión de pantalla grande. De 250 de esos hogares, 200 compraron realmente el equipo de televisión de pantalla grande. Por lo tanto (vea la tabla 1), la probabilidad de que en un hogar realmente se compre un equipo de televisión de pantalla grande dado que lo planeó comprar es P( realmente compró planeó comprar) = =

= 0.80

También es posible usar esta ecuación para calcular este resultado. P (B A) = Dónde: Evento A= planeó comprar Evento B= realmente compró

Entonces: P (realmente compró

planeó comprar) = = 0.80

Reglas de multiplicación Al manipular la fórmula de la probabilidad condicional, es posible determinar la probabilidad condicional conjunta P(A y B) de la probabilidad condicional de un evento. La regla general de la multiplicación se obtiene con la ayuda de la siguiente ecuación: P (A B) = y se resuelve la probabilidad conjunta P ( A y B)

REGLA GENERAL DE LA MULTIPLICACIÓN La probabilidad de A y B es igual a la probabilidad de A dado B por la probabilidad de B. P (A y B) = P (A B) P (B) Ejemplo: Considere los 80 hogares en los que se compró un HDTV. En la siguiente tabla se observa que 64 hogares están satisfechos con su compra y en 16 hogares no están satisfechos. Suponga que se selecciona al azar dos hogares de los 80 que realizaron la compra. Encuentre la probabilidad de que ambos hogares estén satisfechos con su adquisición.

Tipo de televisión HDTV No HDTV Total

¿Satisfecho con la compra? Si No 64 16 176 44 240 60

Total 80 220 300

SOLUCIÓN: Aquí se emplea la regla de la siguiente manera. Si: A= segundo hogar seleccionado está satisfecho B= primero hogar seleccionado está satisfecho Entonces, mediante la ecuación:

P(A y B) = P (A B) P (B) La probabilidad de que el primer hogar esté satisfecho con la compra es de 64/80. Sin embargo, la probabilidad que el segundo hogar también este satisfecho con la compra depende del resultado de la primera elección. Si el primer hogar no se devuelve a la muestra después de determinar el nivel de satisfacción (muestreo sin situación), entonces el número restante hogares será de 79. Si el primero hogar está satisfecho, la probabilidad de que el segundo hogar también este satisfecho es 63/79, porque en la muestra permanecen 63 hogares satisfecho. Por lo tanto, P (A y B) =

= 0.6380

Hay 63.80% de posibilidades de que ambos hogares muestreados estén satisfechos con sus compras.