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• Francisco Saquic

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Problema 1: Un grupo de 20 personas están en un camping en que no hay luz eléctrica. Por las noches varios de ellos se reúnen en la sala de actividades del camping con el objeto de leer algún libro. Cada uno de los veraneantes requiere de 100 Watts para poder leer y tiene una ampolleta de sólo 60 Watts. Además si el vecino prende su ampolleta, la luz que le llega es igual a la mitad de la intensidad. Quienes están a más de un puesto de distancia no aportan nada. a. Si los veraneantes se sientan en círculo, ¿es equilibrio de Nash que ninguno prenda la ampolleta?, ¿que todos prendan su ampolleta? Justifique. Es equilibrio de Nash que si están sentados en círculo todos prendan la ampolleta. b. Responda las preguntas de la parte anterior, pero ahora suponga que los veraneantes se sientan en línea. Por lo tanto, NO es equilibrio de Nash que todos prendan la ampolleta si están sentados en línea. Problema 2 Diez estudiantes del curso juegos gerenciales salen a cenar en un restaurante que ofrece dos platos: pollo y langosta. El pollo cuesta 25 mientras que la langosta 100. La disposición a pagar por el pollo de cada estudiante es de 30, mientras que la disposición a pagar por la langosta es de 50. Normas sociales exigen que se reparta la cuenta entre los diez estudiantes, pagando todos lo mismo, sin importar si ordenaron pollo o langosta. Además todos deben elegir pollo o langosta y se considera de pésimo gusto no pedir nada o retirarse de la mesa antes de que llegue la cuenta. a. ¿Qué debería pedir cada estudiante para que el excedente total de los consumidores sea el mayor posible? Justifique. Cada estudiante debería pedir pollo, debido a que así quedarán con un excedente total de Q50 esto debido a que cada estudiante tendrá un excedente de Q5, porque el pollo cuesta Q25 y tienen una disposición a pagar de Q30)

b. Si los demás estudiantes piden pollo, ¿Qué le conviene más a Ud., pedir pollo o langosta? Justifique. Si los 9 estudiantes piden pollo, entonces la cuenta sin considerarme a mí es de 9*25= Q225. Si yo pido pollo, la cuenta total será de $250 y cada uno pagará $25. Mi excedente será de Q5 al igual que el resto de estudiantes. Si yo pido langosta, la cuenta total será de (9*25)+(100*1)= $325 y si se divide el total dentro de los 10 estudiantes cada uno pagaría Q32.50, entonces yo obtendría un excedente será de 50-32.50= Q17.50. Por lo tanto, me conviene pedir langosta dado que los demás estudiantes han pedido pollo, así mis compañeros me financiarán el gusto de comerme una langosta. c. Si los demás estudiantes piden langosta, ¿Qué le conviene más a Ud., pedir pollo o langosta? Justifique. Si los 9 estudiantes piden langosta, entonces la cuenta sin considerarme a mí es de 9*100= Q900. Si yo pido pollo, la cuenta total será de 900+25= Q925 y si dividimos en total entre todos los estudiantes cada uno pagará 925/10= $92.50, entonces ahora mi excedente será negativo de 30-92.50= Q62.50, porque pague Q92.50 por un plato que valore en Q30. Ahora bien si yo pido langosta, la cuenta total será de 100*10= Q1000 y cada estudiante pagará Q100. Mi excedente será negativo de 50-100= Q50 al igual que el de todos mis compañeros. Por lo tanto, dado que todos han pedido langosta, mi estrategia preferida será pedir langosta igual, así tendré un excedente menos negativo. d. ¿Es equilibrio de Nash que todos pidan pollo? Justifique. Dada la respuesta de la parte b, vemos que no es equilibrio de nash que todos pidan pollo. Si los otros 9 han pedido pollo, yo preferiré pedir langosta. e. ¿Es equilibrio de Nash que todos pidan langosta? Justifique. Dada la respuesta de la parte d, vemos que si es equilibrio de nash que todos pidan langosta. Si los otros 9 pidieron langosta, mi estrategia será pedir langosta también.

Problema 3: Considere un caso simplificado en el cual existen dos participantes: usuarios de buses (pasajeros) y conductores de buses (clásico chofer de micro). Considerando el sistema de los paraderos diferidos, vemos que cada participante tiene dos posibilidades: Usuarios: Esperar el bus en el paradero más cercano o Esperarlo en el paradero correspondiente. Conductores: Parar en todos los paraderos o Parar sólo en los paraderos que le corresponden. La siguiente matriz de pagos resume las utilidades para cada uno ante las distintas combinaciones de estrategias. Usuarios de autobuses

Esperar en cualquier Choferes

Parar en cualquier lugar

Parar en diferidos

15,10

5,5

5,5

20,30

lugar Esperar en diferidos

a. Equilibrio de nash Los equilibrios de Nash corresponden a los pagos de 15,10 y de 20,30. Esto debido a que si estamos en cualquiera de esas situaciones los choferes de los autobuses parando en cualquier lugar y los usuarios de los autobuses esperando en cualquier lugar las utilidades serán tal que ninguno de los dos agentes tendrá incentivos para cambiar su comportamiento. Por lo tanto, existen dos equilibrios de Nash. b. Estrategia dominante Con respecto a las estrategias dominantes, vemos que no existen porque se necesitará una fuerza externa para moverse de la posición inicial (sea cual sea). No existen incentivos para cambiar de posición.

c. Curva de reacción y diagrama de probabilidad U(E1/q)

U(E2/q)

U(E1/q) > U(E2/q)

15q+5(1-q)

5q+20(1-q)

10q+5 > -15q+20

15q+5-5q

5q+20-20q

10q+15q > 20-5

10q+5

-15q+20

25q > 15 q>15/25 q=0.60

U(P1/q)

U(P2/q)

U(P1/q) > U(P2/q)

10p+5(1-q)

5p+30(1-q)

5p+5 > -25p+30

10p+5-5p

5p+30-30p

5p+25p > 30-5

5p+5

-25p+30

30p > 25 p>25/30 p=0.83

Usuarios de autobuses

Choferes

Esperar en cualquier

Parar en cualquier lugar

Parar en diferidos

(0.60)

(0.40)

15,10

5,5

lugar (0.83) Esperar en diferidos (0.17)

(0.50) 5,5

(0.33) 20,30

(0.10)

(0.07)

Problema 4: En una ciudad existen tradicionalmente dos sectores de delincuencia. Sin embargo, la policía de la ciudad sólo cuenta con recursos para patrullar una zona cada noche. El sindicato de ladrones, a su vez, ha acordado "trabajar" en un solo sector cada noche. La siguiente matriz representa las utilidades asociadas a diferentes combinaciones de estrategias de policías y ladrones. Nash? Trabajar sector A

Trabajar sector B

Patrullar sector A

1,-1

-1,1

Patrullar sector B

-1,1

1,-1

a. Equilibrio de Nash No existen equilibrios de Nash porque por lo menos uno de los agentes involucrados tiene incentivo para cambiar de estrategia, dado lo que hace el otro e independiente de su posición. b. Estrategia dominante No hay una estrategia dominante, debido a que cualquiera de los agentes involucrados cambian la estrategia de acuerdo a su conveniencia. c. Curva de reacción y diagrama de probabilidad U(Pa/q)

U(Pb/q)

U(Pa/q) > U(Pb/q)

1q-1(1-q)

-1q+1(1-q)

2q-1 >-2q+1

1q-1+1q

-1q+1-1q

2q+2q > 1+1

2q-1

-2q+1

4q > 2 q>2/4 q=0.50

U(Ta/p)

U(Tb/p)

U(Ta/p) > U(Tb/p)

-1p+1(1-p)

1p-1(1-p)

-2p+1 > 2p-1

-1p+1-1p

1p-1+1p

-2p-2p > -1-1

-2p+1

2p-1

-4p > -2 p>-2/-4 p=0.50

Patrullar sector A

Trabajar sector A

Trabajar sector B

(0.50)

(0.50)

1,-1

-1,1

(0.50 Patrullar sector B

(0.25) -1,1

(0.50)

(0.25) 1,-1

(0.25)

(0.25)

Problema 5: Los campesinos Julián y Marcelo dejan pastar sus vacas en el mismo campo. Si hay 20 vacas pastando, cada vaca produce 5 UM (unidades monetarias) de leche durante su vida. Si hay más de 20 vacas, cada vaca tiene acceso a menos pasto y la producción de leche cae. Con 30 vacas en el campo, cada vaca produce 3.5 UM de leche, con 40 vacas 2.5 UM. Cada vaca cuesta 1 UM y cada campesino puede comprar 10 o 20 vacas. a. Determine el equilibrio de Nash de este juego.

Julián

Marcelo

Marcelo

compra 10 vacas

compra 20 vacas

10,10

10,20

20,10

20,20

compra 10 vacas Julián compra 20 vacas

Marcelo

Marcelo

compra 10 vacas

compra 20 vacas

Julián

10*5-10= 40UM

10*3.5-10= 25UM

compra 10 vacas

10*5-10= 40UM

20*3.5-20= 50UM

Julián

20*3.5-20= 50UM

20*2.5-20= 30UM

compra 20 vacas

10*3.5-20= 25UM

20*2.5-20= 30UM

M= compra 10 vacas

M= compra 20 vacas

J= compra 10 vacas

40,40

25,50

J= compra 20 vacas

50,25

30,30

Al observar se ve que los campesinos Julián y Marcelo tienen como estrategia dominante comprar 20 vacas. Esto quiere decir que independiente de lo que haga el otro campesino ambos siempre preferirán comprar 20 vacas. Por ejemplo: si Marcelo compra 10 vacas, Julián prefiere comprar 20 porque tendrá una utilidad de 50 vs. 40. Y si Marcelo compra 20 vacas, Julián también comprará 20 porque la utilidad es mayor que si comprara sólo 10 (30 vs. 25). Por lo tanto, dado que ambos tienen como estrategia dominante comprar 20 vacas, el equilibrio de Nash es que ambos compren 20 vacas.

Problema 6: Las dos principales cadenas de tiendas de Santiago están preparando su mejor estrategia para realizar la liquidación de término de temporada de invierno. Estas empresas deben decidir qué semana del mes de julio es la más conveniente para realizar su liquidación. En la siguiente matriz se indican las posibles estrategias y los resultados que obtienen cada empresa en términos de las utilidades netas de la temporada.

CADENA 1

CADENA 2 Semana 1

Semana 2

Semana 3

Semana 1

30,30

40,15

65,35

Semana 2

14,40

25,25

35,35

Semana 3

35,65

35,35

60,60

De acuerdo a los datos responda justificando claramente: a. ¿Tiene la cadena 1 una estrategia dominante? ¿Tiene alguna estrategia dominada? La cadena 1 no tiene una estrategia dominante, pero si cuenta con una estrategia dominada que se identifica en la 2da semana. b. ¿Tiene la cadena 2 una estrategia dominante? ¿Tiene alguna estrategia dominada? La cadena 2 no tiene una estrategia dominante, pero si cuenta con una estrategia dominada que se identifica en la 2da semana. c. ¿Existe algún equilibrio de Nash? Si existe el equilibrio de Nash los cuales se dan en la semana 3 de la cadena 1 y 2. (35,65) y (65,35).

d. ¿Cuál es el equilibrio cooperativo? ¿Es estable? El equilibrio cooperativo es el que maximiza la utilidad neta total. En este caso el equilibrio cooperativo es que ambas cadenas elijan como estrategia la 3er semana (utilidad neta total =60+60=120).

e. Suponga ahora que ha transcurrido la primera semana de julio y ninguna de las empresas ha dado inicio a su liquidación. Responda nuevamente a), b), c) y d)

A1

CADEN

CADENA 2 Semana 2

Semana 3

Semana 2

25,25

35,35

Semana 3

35,35

60,60

a. ¿Tiene la cadena 1 una estrategia dominante? ¿Tiene alguna estrategia dominada? La cadena 1 si tiene una estrategia dominante que se da en la 3er semana. b. ¿Tiene la cadena 2 una estrategia dominante? ¿Tiene alguna estrategia dominada? La cadena 2 si tiene una estrategia dominante que se da en la 3er semana.

c. ¿Existe algún equilibrio de Nash? Si existe un equilibrio de Nash que se da en la tercera semana. d. ¿Cuál es el equilibrio cooperativo? ¿Es estable? El equilibrio cooperativo es donde ambas cadenas obtienen mejores beneficios, para este caso si es estable el equilibrio, esto debido a que no hay un motivo por el cual a ambas cadenas les permita cambiar de decisión.

Problema 7 Realice la curva de reacción para el siguiente problema: Empresa B

Empresa A

Ua

Ub

T1

4,6

2,0

T2

1,1

8,3

U(T1/q)

U(T2/q)

U(T1/q) > U(T2/q)

4q+2(1-q)

1q+8(1-q)

2q+2 > -7q+8

4q+2-2q

1q+8-8q

2q+7q > 8-2

2q+2

-7q+8

9q > 6 q>6/9 q=0.67

U(Ua/p)

U(Ub/p)

U(Ua/p) > U(Ub/p)

6p+1(1-p)

0p+3(1-p)

5p+1 > -3p+3

6p+1-1p

3-3p

5p+3p > 3-1

5p+1

-3p+3

8p > 2 p>2/8 p=0.25

Empresa B

Empresa A

T1 (0.25)

Ua (0.67)

Ub (0.33)

4,6

2,0 (0.17)

T2 (0.75)

1,1

(0.08) 8,3

(0.50)

(0.25)