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"AÑO DE LA LUCHA CONTRA LA CORRUPCIÓN E IMPUNIDAD"

FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Y CONTABLES

CARRERA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIÓN

TEMA: “PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA POBLACIONAL PARA LA PROPORCIÓN POBLACIONAL” CURSO

: ESTADÍSTICA APLICADA

ESTUDIANTE

: OYARCE CURO THALIA

DOCENTE

: Mg.HUAMAN LAZO CHAUPIN JHON

CICLO VI

SATIPO – 2019

DEDICATORIA A Dios por el gran amor que nos tiene.

A mi familia y al docente con mucho cariño y respeto.

INTRODUCCIÓN Dentro del estudio de la inferencia estadística, se describe como se puede tomar una muestra aleatoria y a partir de esta muestra estimar el valor de un parámetro poblacional en la cual se puede emplear el método de muestreo y el teorema del valor central lo que permite explicar cómo a partir de una muestra se puede inferir algo acerca de una población, lo cual nos lleva a definir y elaborar una distribución de muestreo de medias muéstrales que nos permite explicar el teorema del límite central y utilizar este teorema para encontrar las probabilidades de obtener las distintas medias maestrales de una población.

Pero es necesario tener conocimiento de ciertos datos de la población como la media, la desviación estándar o la forma de la población, pero a veces no se dispone de esta información.

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA POBLACIONAL PARA LA PROPORCIÓN POBLACIONAL Tenemos que empezar por definir que es una hipótesis y que es prueba de hipótesis. Hipótesis es una aseveración de una población elaborado con el propósito de poner a prueba, para verificar si la afirmación es razonable se usan datos. En el análisis estadístico se hace una aseveración, es decir, se plantea una hipótesis, después se hacen las pruebas para verificar la aseveración o para determinar que no es verdadera. Por tanto, la prueba de hipótesis es un procedimiento basado en la evidencia muestra y la teoría de probabilidad; se emplea para determinar si la hipótesis es una afirmación razonable. Prueba de una hipótesis: se realiza mediante un procedimiento sistemático de cinco paso: PROCEDIMIENTO SISTEMÁTICO PARA UNA PRUEBA DE HIPÓTESIS DE UNA MUESTRA .Paso 1: Plantear la hipótesis nula Ho y la hipótesis alternativa H1. Cualquier investigación estadística implica la existencia de hipótesis o afirmaciones acerca de las poblaciones que se estudian. La hipótesis nula (Ho) se refiere siempre a un valor especificado del parámetro de población, no a una estadística de muestra. La letra H significa hipótesis y el subíndice cero no hay diferencia. Por lo general hay un "no" en la hipótesis nula que indica que "no hay cambio" Podemos rechazar o aceptar Ho. La hipótesis nula es una afirmación que no se rechaza a menos que los datos maestrales proporcionen evidencia convincente de que es falsa. El planteamiento de la hipótesis nula siempre contiene un signo de igualdad con respecto al valor especificado del parámetro. La hipótesis alternativa (H1) es cualquier hipótesis que difiera de la hipótesis nula. Es una afirmación que se acepta si los datos maestrales proporcionan evidencia suficiente de que la hipótesis nula es falsa. Se le conoce también como la hipótesis de investigación. El planteamiento de la hipótesis alternativa nunca contiene un signo de igualdad con respecto al valor especificado del parámetro. Paso 2: Seleccionar el nivel de significancia. Nivel de significancia: Probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera. Se le denota mediante la letra griega α, también es denominada como nivel de riesgo, este término es más adecuado ya que se corre el riesgo de rechazar la hipótesis nula, cuando en realidad es verdadera. Este nivel está bajo el control de la persona que realiza la prueba. Si suponemos que la hipótesis planteada es verdadera, entonces, el nivel de significación indicará la probabilidad de no aceptarla, es decir, estén fuera de área de aceptación. El nivel de confianza (1-α), indica la probabilidad de aceptar la hipótesis planteada, cuando es verdadera en la población. Paso 3: Cálculo del valor estadístico de prueba Valor determinado a partir de la información maestral, que se utiliza para determinar si se rechaza la hipótesis nula., existen muchos estadísticos de prueba para nuestro caso utilizaremos los estadísticos z y t. La elección de uno de estos depende de la cantidad de muestras que se toman, si las muestras son de la prueba son iguales a 30 o más se utiliza el estadístico z, en caso contrario se utiliza el estadístico t.

Paso 5: Tomar una decisión. En este último paso de la prueba de hipótesis, se calcula el estadístico de prueba, se compara con el valor crítico y se toma la decisión de rechazar o no la hipótesis nula. Tenga presente que en una prueba de hipótesis solo se puede tomar una de dos decisiones: aceptar o rechazar la hipótesis nula. FORMULA PARA LA MEDIA POBLACIONAL

FORMULA PARA LA PROPORCIÓN POBLACIONAL

EJERCICIOS Página 258 y 259 del libro de estadística aplicada PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA POBLACIONAL 20.- se cree que el tiempo promedio que utilizan los alumnos del ciclo básico para realizar cierta prueba de aptitud tiene distribución normal cuya media es 15 minutos. Para comprobar la hipótesis respecto a la media se tomó una muestra aleatoria de 16 de tales alumnos y se encuentra un promedio de 16 minutos. Realice una prueba unilateral. a) con el nivel de significación de 𝜶 = 0.05, si sabe que 𝝈= 3.2 b) con el nivel de significación 𝜶 = 0.05, si s= 3.2, se calcula de la muestra. P1°: Formulación de H 𝐻0 = 𝜇 < 16 𝐻1 = 𝜇 > 16

n= 16 𝒙̅ = 16 𝝁 = 15

P2°: Nivel de significación (𝜶 = 𝟎. 𝟎𝟓) P3°: Estadística de prueba (z)

𝝈 = 3.2 𝟏 − 𝜶 = 𝟏. 𝟗𝟔

P4°: Establecimiento de criterio

P5°: Calculo a) 𝑧1 = 𝑧1 =

𝑥̅ −𝜇 𝜎 √𝑛

16 − 15 3.2 √16

𝑧1 = 1.25 16 − 15 𝐛) 𝑡1 = 3.2 √16

Interpretación: es verdad que los estudiantes al momento de tomar un examen de aptitud en el tiempo promedio tienen una media de 15 minutos.

𝑡1 = 1.25 21.- El gerente de ventas de una compañía afirma que sus vendedores vende semanalmente en promedio$ 1500. Al nivel de significación del 5% pruebe la hipótesis del gerente versus la hipótesis del presidente de los vendedores que afirma que el promedio de las ventas semanales es mayor, si una muestra de 36 vendedores ha dado una media igual a $ 1510 y una varianza igual a $900 en una semana. n= 36 𝒙̅ = 1500 𝝁 = 1510

P1°: Formulación de H 𝐻0 = 𝜇 < 1510 𝐻1 = 𝜇 > 1510 P2°: Nivel de significación (𝜶 = 𝟎. 𝟎𝟓)

𝟐

𝝈 = 900 𝝈 = √𝟗𝟎𝟎= 30 𝟏 − 𝜶 = 𝟏. 𝟗𝟔 𝜶 = 𝟎. 𝟎𝟓

P3°: Estadística de prueba (z)

P5°: Calculo

𝑧1 =

𝑥̅ − 𝜇 𝜎 √𝑛 1500 − 1510 30 √36

𝑧1 =

P4°: Establecimiento de criterio

𝑧1 = −2

Interpretación:

es

verdadera

la

afirmación del gerente.

22.- una empresa de servicio postal garantiza a su empresa que puede reducir el tiempo promedio necesario para recibir un paquete a menos de 2.5 días, que es lo que usted experimenta actualmente. Después de utilizar la nueva compañía en 17 ocasiones, el tiempo de entrega promedio fue de 2.2 días y la desviación estándar fue de 0.9 días. ¿Debería cambiar su firma a la nueva empresa de mensajería? Sea 𝛼 = 1%. n= 17 𝒙̅ = 2,5 𝝁 = 2,2 𝝈 = 0,9 𝟏 − 𝜶 = 𝟗𝟗% = 𝟐, 𝟓𝟕𝟔

P1°: Formulación de H 𝐻0 = 𝜇 < 2,5 𝐻1 = 𝜇 > 2,5 P2°: Nivel de significación (𝜶 = 𝟎. 𝟎𝟏) P3°: Estadística de prueba (z) P4°: Establecimiento de criterio

𝜶 = 𝟎. 𝟎𝟏 P5°: Calculo

𝑧1 =

𝑧1 =

𝑥̅ − 𝜇 𝜎 √𝑛 2,5 − 2,2 0,9 √17

Interpretación: si debería cambiar su firma a la nueva empresa de mensajería.

𝑧1 = 1,37 23.- El representante de un grupo comunitario informa a una persona que proyecta crear un centro comercial que el ingreso promedio familiar en la zona es de S/. 1500. Supóngase que para el tipo de zona en cuestión se puede suponer que el ingreso familiar está distribuido normalmente que la desviación estándar se puede aceptar como 𝜎 = 𝑆/200 basándose en un estudio anterior. Para una muestra aleatoria de n= 10 familias se ha encontrado que el ingreso medio por familias es de 𝑥̅ = 1400. Probar que el ingreso medio familiar en la zona es diferente de S/. 1500 al nivel de significación del 5%. n= 10 𝒙̅ = 1500 𝝁 = 1400 𝝈 = 200 𝟏 − 𝜶 = 𝟗𝟓% = 𝟏, 𝟗𝟔 𝜶 = 𝟎. 𝟎𝟓

P1°: Formulación de H 𝐻0 = 𝜇 = 1500 𝐻1 = 𝜇 ≠ 1500 P2°: Nivel de significación (𝜶 = 𝟎. 𝟎𝟓) P3°: Estadística de prueba (z) P4°: Establecimiento de criterio

P5°: Calculo

𝑧1 =

𝑧1 =

𝑥̅ − 𝜇 𝜎 √𝑛 1500 − 1400 200 √10

𝑧1 = 0.158

Interpretación: el ingreso medio familiar es diferente de 1500.

24.- Es conocido por referencias históricas que las calificaciones de los trabajadores de la empresa telefónica tiene un valor promedio de 200 puntos y una desviación estándar de 16 puntos. Sin embargo, en fechas recientes se evaluó a un grupo de 64 trabajadores, que obtuvieron una puntuación media de 203.5. Dentro de un nivel de confianza del 95%, ¿puede decirse que la puntuación de este grupo es igual a 200 puntos, o, por el contrario, la puntuación de este grupo es diferente a la referencia histórica de 200 puntos? n= 64

P1°: Formulación de H 𝐻0 = 𝜇 = 200 𝐻1 = 𝜇 ≠ 200

𝒙̅ = 200 𝝁 = 203.5 𝝈 = 16 𝟏 − 𝜶 = 𝟗𝟓% = 𝟏, 𝟗𝟔

P2°: Nivel de significación (𝜶 = 𝟎. 𝟎𝟓) P3°: Estadística de prueba (z) P4°: Establecimiento de criterio

𝜶 = 𝟎. 𝟎𝟓 P5°: Calculo

𝑧1 =

𝑧1 =

𝑥̅ − 𝜇 𝜎 √𝑛 200 − 203.5 16 √64

𝑧1 = −1.75

Interpretación: La puntuación es diferente a la referencia histórica de 200 puntos.

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA PROPORCIÓN POBLACIONAL 25.- Un político supone que menos del 60% de los votos de su territorio le son favorables. Con el fin de verificar su conjetura selecciona una muestra representativa compuesta de 200 votantes y aplica una encuesta, obteniéndose 100 respuestas a su favor. Probar que estos resultados confirman la creencia del político, es decir, que los votos favorables de su territorio son menos del 60%. Use 𝛼 = 0.05 𝑷𝟎 = 0.60 P1°: Formulación de H n = 200 𝑝0 > 0.60 𝑝1 < 0.60 𝒒𝟎 = 0.40 P2°: Nivel de significación (𝜶 = 𝟏. 𝟗𝟔) 𝟏𝟎𝟎 𝑷 = 𝟐𝟎𝟎 =0.5 𝑷− 𝑷𝟎 P3°: 𝒛𝒄 = 𝑷 √ 𝟎− 𝒒𝟎 𝜶 = 𝟎. 𝟎𝟓 𝒏 1- 𝜶 = 𝟗𝟓% = 𝟏. 𝟗𝟔

P4°: Establecimiento de criterio

P5°: Calculo

𝒛𝒄 =

𝟎.𝟓− 𝟎.𝟔𝟎 √

𝟎.𝟔𝟎𝒙 𝟎.𝟒𝟎 𝟐𝟎𝟎

𝒛𝒄 = -2.88 Interpretación: La creencia del político no es válida porque los votos favorables de su territorio no son menos del 60%. 26.- Una revisa “x” (marzo 2002) informó que la insatisfacción laboral estaba alcanzando proporciones de epidemia. Un estimado del 705 de los trabajadores del Perú cambiaría de trabajo si pudieran. Si esto es cierto en los trabajadores de su empresa, usted planea instituir un programa para mejorar la moral de los empleados, Ud. Descubre que 1020 trabajadores de una muestra de 1500 expresan su insatisfacción con su trabajo. ¿A un nivel de significancia del 5% debería Ud. Implementar el programa?

n = 1500

P1°: Formulación de H 𝑝0 = 0.70 𝑝1 ≠ 0.70

𝒒𝟎 = 0.30

P2°: Nivel de significación (𝜶 = 𝟏. 𝟗𝟔)

𝑷𝟎 = 0.70

𝑷=

𝟏𝟎𝟐𝟎

=0.68 𝟏𝟓𝟎𝟎

𝜶 = 𝟎. 𝟎𝟓 1- 𝜶 = 𝟗𝟓% = 𝟏. 𝟗𝟔

P3°: 𝒛𝒄 =

𝑷− 𝑷𝟎 𝑷 √ 𝟎− 𝒒𝟎 𝒏

P4°: Establecimiento de criterio

𝟏 − 𝜶 = 𝟗𝟓% = 𝟏, 𝟗𝟔 P5°: Calculo 𝜶 = 𝟎. 𝟎𝟓

𝒛𝒄 =

𝟎.𝟔𝟖− 𝟎.𝟕𝟎 √

𝟎.𝟕𝟎𝒙 𝟎.𝟑𝟎 𝟏𝟓𝟎𝟎

𝒛𝒄 = -1.69

Interpretación: si deberíamos implementar el programa.

27.- El gobierno sostiene que el 15% de las familias de una determinada región obtiene menos del salario mínimo establecido. Una muestra al azar de 60 familias dio como resultado 12 familias en tales condiciones. Probar que el gobierno no tiene razón. Use 𝛼 = 0.05

n = 60

P1°: Formulación de H 𝑝0 > 0.15 𝑝1 < 0.15

𝒒𝟎 = 0.85

P2°: Nivel de significación (𝜶 = 𝟏. 𝟗𝟔)

𝑷𝟎 = 0.15

𝑷=

𝟏𝟐

=0.2 𝟔𝟎

𝜶 = 𝟎. 𝟎𝟓 1- 𝜶 = 𝟗𝟓% = 𝟏. 𝟗𝟔 𝟏 − 𝜶 = 𝟗𝟓% = 𝟏, 𝟗𝟔 𝜶 = 𝟎. 𝟎𝟓

P3°: 𝒛𝒄 =

𝑷− 𝑷𝟎 𝑷 √ 𝟎− 𝒒𝟎 𝒏

P4°: Establecimiento de criterio

P5°: Calculo

𝒛𝒄 =

𝟎.𝟐− 𝟎.𝟏𝟓 √

𝟎.𝟏𝟓𝒙 𝟎.𝟖𝟓 𝟔𝟎

𝒛𝒄 = 1.08

Interpretación: El gobierno no tiene razón.

28.- Se cree que al menos el 65% de los habitantes de cierta ciudad favorece un nuevo proyecto. ¿Qué conclusión se puede sacar si solo 120 de los de una muestra de 200 residentes apoyan dicho proyecto? Use 𝛼 = 0.01 𝑷𝟎 = 0.65

P1°: Formulación de H 𝑝0 > 0.65 𝑝1 < 0.65

n = 200 𝒒𝟎 = 0.35 𝑷=

𝟏𝟐𝟎 𝟐𝟎𝟎

P2°: Nivel de significación (𝜶 = 𝟐. 𝟓𝟕𝟔)

=0.6

𝜶 = 𝟎. 𝟎𝟏 1- 𝜶 = 𝟗𝟓% = 𝟏. 𝟗𝟔

P3°: 𝒛𝒄 =

𝑷− 𝑷𝟎 𝑷 √ 𝟎− 𝒒𝟎 𝒏

P4°: Establecimiento de criterio

𝟏 − 𝜶 = 𝟗𝟓% = 𝟏, 𝟗𝟔 P5°: Calculo 𝜶 = 𝟎. 𝟎𝟓

𝒛𝒄 =

𝟎.𝟔− 𝟎.𝟔𝟓 √

𝟎.𝟔𝟓𝒙 𝟎.𝟑𝟓 𝟔𝟎

𝒛𝒄 = -1.48 Interpretación:

REFERENCIAS

Mason, R. D., Lind, D. A., Marchal, W. G., & Lozano, M. C. H. (1998). Estadística para administración y economía (No. 658.00212 M376E 1998.). ^ eMéxico DF México DF: Alfaomega.