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• Ricardo David Pareja Baquerizo

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Teoria de Colas Aplicaciones en Aviación

Dr. Antonio A. Trani Profesor Asociado Instituto Politécnico de Virginia

Seminario Taller sobre Equilibrio entre Demanda y Capacidad Operacional del Sistema Aeropuerto y ATS Marzo 5-9, 2007

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Presentación •

Teoria de colas y otros métodos de predicción de demoras

•

Principios matemáticos

•

Definiciones de un sistema de colas

•

Ejemplos

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Teoria de Colas y Otros Métodos para Estimar Niveles de Servicio •

Modelos análiticos - Representa al sistema en forma exacta (por ejemplo teoria de colas)

•

Simulación Monte Carlo - Descripcion de un sistema complejo con variables aleatorias (por lo general ignora el paso del tiempo)

•

Modelos de simulación continua - Uso de ecuaciones diferenciales para estimar cambios del sistema aeroportuario

•

Simulación discreta - Descipción de un sistema utilizando relaciones logicas para estimar cambios en el estado del sistema (cambios discretos) Seminario Taller sobre Equilibrio entre Demanda y Capacidad Operacional del Sistema Aeropuerto y ATS

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Teoria de Colas (Idea Basica) Teoria de colas puede ser usada para el calculo rapido de niveles de servicio y demoras en subsitemas aeroportuarios Clientes que llegan

Clientes que parten

Cola

Servidor Fuente Potencial

Sistema de la Cola (queueing system)

Pista

Patron de Espera (Cola - queue)

(Servidor)

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Razones por la Manifestacion de Colas Razón #1 Llegadas an un aerodromo (tanto aviones como pasajeros) es un fenomeno aleatorio (random) Este proceso aleatorio se analiza usando modelos estocásticos de colas Razón # 2 Durante ciertos periodos de poca duracion, la demanda excede la capacidad del aerodromo Este proceso se analiza usando modelos deterministicos de colas Seminario Taller sobre Equilibrio entre Demanda y Capacidad Operacional del Sistema Aeropuerto y ATS

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Manifestacion de Colas en el Espacio Aereo (Atlanta TMA) Area!de!Colas!en!Fijo

!

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Colas se Manifiestan con Gran Numero de Aviones Recibiendo Vectores antes the Entrar en al Area Terminal

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Colas en Periodos Pico de Uso de Pistas (DFW)

Prediction!and!Control!of!Departure!Runway!Balancing!at!Dallas/Fort!Worth!Airport Stephen!Atkins!and!Deborah!Walton NASA!Ames!Research!Center,!Moffett!Field,!CA!94035-1000

!

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Modelos Estocásticos de Teoria de Colas

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Modelos Usados en Teoria de Colas Dependiendo de las distribuciones de llegada y de servicio usadas, los modelos de colas se clasifican de la siguiente manera: M = Distribucion exponencial (Markovianos) D = Degenerados (tiempos constantes) E(k) = Distribuciones tipo Erlang G = Distribucion general

En 1953 David G. Kendall introdujo la nomenclatura A/B/C usada en la Teoria de Colas hoy en dia Seminario Taller sobre Equilibrio entre Demanda y Capacidad Operacional del Sistema Aeropuerto y ATS

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Notacion de Kendall Un sistema se colas se designa: A/B/C en donde, A = funcion de llegada de clientes (aviones, pasajeros, etc.) B = funcion de servicio de clientes (aviones, pasajeros,etc.) C = Numero de servidores en el sistema de cola Por ejemplo: un sistema de colas M/M/2 Se traduce como llegadas Poisson (i.e., tiempos entre llegadas exponenciales), tiempos de servicio exponenciales y el sistema tiene dos servidores Seminario Taller sobre Equilibrio entre Demanda y Capacidad Operacional del Sistema Aeropuerto y ATS

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Definiciones Specificacion de una cola •

Fuente de entrada (input population)

•

Disciplina de llegada (arrival discipline)

•

Mecanismo de servicio (service discipline)

•

Configuracion de la cola (service facility configuration)

•

Capacidad de la cola (queueing system capacity)

•

Clientes o entidades que reciben servicio (entities/clients)

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Definicion de Parametros en Teoria de Colas Parametro

Significado

!

Taza media de llegadas y servicios (clientes o entidades por unidad de tiempo)

µ

Taza media de servicio (clientes o entidades por unidad de tiempo)

s

Numero de servidores en el sistema

L

Numero promedio esperado de clientes en el sistema de colas

Pn

Probabilidad de que exactamente n clientes esten en el sistema de colas Seminario Taller sobre Equilibrio entre Demanda y Capacidad Operacional del Sistema Aeropuerto y ATS

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Parametro

Significado

"

Factor de uso del sistema de colas

Wq

Tiempo promedio en la cola

W

Tiempo promedio en el sistema de colas

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Ecuaciones Fundamentales (derivadas por J.D. Little) Cuando

!

is constante, se sabe que,

L = !W

(1)

L q = !W q

(2)

1 W = W q + --µ

(3)

Estas son tres ecuaciones fundamentales que explican el comportamiento de un cola en estado estable Estado estable = cuando la cola alcanza un comportamiento estatico (despues de un lago tiempo)

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Modelo Basico M/M/s (Servidores Multiples) Asumamos una poblacion infinita con tiempos de llagada y servicio constantes ! and µ •

Llegadas Poisson (aleatorias) con parametro

•

Probabilidad de la funcion de tiempos de servicio es exponentiacial negativa con parametro µ

!n

n

•

Solo una llegada o servicio por periodo

Para mayor informacion sobre la teoria de colas consulta el libro: Operations Research (i.e., Hillier and Lieberman, 1996) o equivalente

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Ecuaciones con Servidores Multiples (I) Factor de uso del sistema de cola

" = !  sµ

Probabilidades que existan zero y n entidades/clientes en el sistema de cola s–1

% & ( !  µ )s % 1 ( !  µ ) n ---------------& - --------------------------- ) P0 = 1  ( ----------------- + # 1 – ( !  sµ )$ $ s! n! # n=0

'

% ( Pn = ( ( ( #

( !  µ )n ----------------- P 0 n! n

(!  µ) ---------------- P0 n–s s!s

(4)

0*n*s n+s

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(5)

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Ecuaciones con Servidores Multiples (II) Numero promedio de entidades en el sistema de cola s

! "P 0 % ---& # µ$ ! L = -----------------------2 + --s! ( 1 – " ) µ

(6)

Numero promedio de entidades en la cola s

! "P 0 % ---& # µ$ L q = -----------------------2 s! ( 1 – " )

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(7)

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Ecuaciones con Servidores Multiples (III) Tiempo promedio en la cola L W q = -----q !

(8)

Tiempo promedio en el sistema de colas (W) es, L W = --!

(9)

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Multi-server Queueing Equations (III) Funcion de probabilidad de tiempos de servicio s

P ( W > t ) = e –µt

si

s–1–!µ = 0

! P 0 % ---& # µ$ 1 – e –µt( s – 1 – !  µ ) 1 + --------------------- % --------------------------------& s! ( 1 – " ) # s – 1 – !  µ $

(10)

entonces usemos,

1 – e –µt( s – 1 – !  µ ) -------------------------------- = µt s–1–!µ

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Ejemplo # 1 Assumamos condiciones de operacion IFR a un aerodromo •

Llegadas aleatorias (random) a un fijo comun es de 45 aviones/ hr

•

Tiempo de servicio definido por separacion de llegadas (120 s) (exponencial negativa) Runway 09L-27R

1525 m Fijo comun de llegadas

Runway 09R-27L Seminario Taller sobre Equilibrio entre Demanda y Capacidad Operacional del Sistema Aeropuerto y ATS

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Resultados del Sistema de Colas Parametro

Valor Numerico

!

45 aviones/hr

µ

30 aviones por pista por hora (promedio)

Po

0.143

"

0.750

L

3.42 aviones (incluye los que estan en servicio)

Wq

2.57 minutos por operacion

W

4.57 minutos por operacion

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Análisis de Sensibilidad del Sistema Variando la taza media de llegadas ( ! ) de 20 to 55 por hora se puede apreciar la variación (no lineal) en las demoras. Promedio de Tiempo de Demora (minutos/avion) Waiting Time (min)

12 10 8 6 4 2 0 20

25

30 35 40 45 Arrival Rate (Aircraft/hr) Taza Media de Llegadas (aviones/hora)

50

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Variación del Parametro L en Función de la Demanda q

Numero de Aviones Esperando enHolding la ColaAircraft (aviones)

El diagrama muestra la variación del numero de aviones esperando en la cola en contra de la función demanda 10 8 6 4 2 0 20

25

30 35 40 45 Arrival Rate (Aircraft/hr) Taza Media de Llegadas (aviones/hora)

50

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Ejemplo # 2: Nivel de Servicio en una Terminal del Aeropuerto (Area de Seguridad) El aeropuerto que se muestra en las siguientes figuras tiene dos sistemas de rayos-X. Un muestreo revela que en promedio, a un pasajero le toma 45 segundos pasar por el area de seguridad (asumamos que la función de distribución de servicio es exponencial negativa) Los pasajeros llegan al area de seguridad en forma aleatoria (desorganizada) (esto equivale a una función Poisson de llegadas). En promedio, un pasajero llega cada 25 segundos al area de seguridad. En el futuro (2010), se espera que la función demanda aumente en un 60% con respecto a la demanda actual.

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Preguntas Tipicas en Teoria de Colas a) Cual es el factor de utlización de las maquinas rayos-X hoy en dia? b) Cuantas maquinas de rayos-X se deben disponer en el futuro (2010) para dar un nivel de servicio tal que el pasajero promedio no espere mas de 2 minutos en la cola? c) Cual es el numero de pasajeros en area de seguridad (incluyendo aquellos pasajeros que estan en los servidores) en ano 2010? d) Usando la solucion (b) cual es la utilización de las maquinas de rayos-X? e) Cual es la probabilidad que en al ano 2010 mas the 4 pasajeros esperen el la cola? Seminario Taller sobre Equilibrio entre Demanda y Capacidad Operacional del Sistema Aeropuerto y ATS

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Terminal Aeroportuaria (Ejemplo # 2)

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Diagrama del Area de Seguridad

Q

i

S t

S

i

F ilit

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Solución a la Parte (a) a) La utilización se denota, ". Usando las ecuaciones anteriores para " . " = ! / (sµ) = 140/(2*80) = 0.90 Los otros parametros del sistema de colas se pueden calcular usando ecuaciones 1-6. Probabilidad que el sistema esta vacio (P0) = 0.053 Número de pasajeros (promedio) en la cola (Lq) = 7.67 Número de pasajeros (promedio) en el sistema (L) = 9.4737 Tiempo promedio en la cola = 192 segundos Tiempo promedio en el sistema de colas = 237 segundos

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b) La solución para encontrar el numero de máquinas de rayos-X con un determinado tiempo de servicio no se puede encontrar algebraicamente. Las ecuaciones (7) y (8) s

! "P 0 % ---& # µ$ L q = -----------------------2 s! ( 1 – " )

L !

y W q = -----q

No tienen una solucion analítica si se conoce el tiempo de espera en la cola (Wq). Sin embargo podemos resolver dichas ecuaciones asumiendo valores de s hasta que el nivel de servicio requerido sea obtenido. Come primera alternativa, asumamos que el numero de máquinas de rayos-X sea 3 (s=3). Seminario Taller sobre Equilibrio entre Demanda y Capacidad Operacional del Sistema Aeropuerto y ATS

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Encontramos primero Po, s–1

P0 =

' n=0

( !  µ )s % 1 ( !  µ ) 2 ---------------- ---------------------------& ----------------- + s! # 1 – ( !  sµ )$ n!

Po = .0097 o bien, menos del 1% del tiempo el area de seguridad estara vacia (sin ningun cliente). resolviendo para el tiempo de espera en la cola, Wq = 332 segundos Esta demora excede el maximo establecido de 2 minutos (120 segundos). Por lo tanto es necesario incrementar el numero de servidores en el sistema . Las figuras que se muestran a continuación demuestran que los tiempos de demora aumentan de una manera súbita cuando el numero de servidores es bajo. Seminario Taller sobre Equilibrio entre Demanda y Capacidad Operacional del Sistema Aeropuerto y ATS

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Probabilidad del Sistema Vacio

Variación de Probabilidad de Sistema Vacio (Po) con s 0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0 3

4

5

6

7

8

Numero de Servidores

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Variación de L con s

Numero de Pasajeros en Area de Seguridada

30

25

20

15

10

5

0 3

4

5

6

Numero de Servidores

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Variación de Lq con s

Numero de Pasajeros en la Cola

25

20

15

10

5

0 3

4

5

6

Numero de Servidores

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Tiempo Promedio en la Cola (segundos)

Variación de Tiempo Promedio en Cola (Wq) con s 350

300

250

200

150

Limite de Tiempo de Espera

100

50

0 3

4

5

6

Numero de Servidores

El resultado demuestra que 4 máquinas de rayos-X son necesarias para satisfacer el nivel de servicio deseado. Seminario Taller sobre Equilibrio entre Demanda y Capacidad Operacional del Sistema Aeropuerto y ATS

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Tiempo en el Sistema de Colas (segundos)

Variación de Tiempo en el Sistema (W) con s 400

350

300

250

200

150

100

50

0 3

4

5

6

Numero de Servidores

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Resultados para Partes (c) y (d) c) El número promedio de pasajeros en el sistema con 4 servidores (s = 4) es, s

! "P 0 % ---& # µ$ ! L = -----------------------2 + --s! ( 1 – " ) µ

L = 4.04 pasajeros en el dia tipico de 2010 d) La utilización del sistema es (4 máquinas de rayos-X) " = ! / (sµ) = (1/25)/ (4*(1/45)) = 0.72

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e) La probabilidad de mas de cuatro pasajeros que esperan servicio es la probabilidad de mas de ocho en el sistema 8

P(n > 8) = 1 –

'P

n

n=0

donde, ( !  µ )n P n = ----------------- P 0 n!

if

n*s

( !  µ )n - P0 P n = ---------------s!s n – s

if

n>s

calculando, Pn > 8 is 0.0879.

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Modelo Básico M/G/1 (Un solo servidor) Este model es parecido al descrito anteriormente Notese que la distribucion de servicios es General (G) y por tanto se necesitan dos parametros para definir la media y desviación estandard del proceso de servicio Definamos µ la taza media de servicios (entidades/tiempo) y , la desviación estandard de los servicios (unidad es tiempo). Entonces el modelo para estimar los tiempos en la cola es,

! [ ( 1  µ )2 + ,2 ] W q = -----------------------------------2(1 – !  µ)

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(11)

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Uso de las Ecuaciones de Little Una vez encontrado el valor del tiempo promedio en la cola (Wq) podemos usar las ecuaciones de Little para encontrar otros parametros de interes,

1 W = W q + --µ

(12)

L = !W

(13)

L q = !W q

(14)

El siguiente ejemplo illustra el uso de estas ecuaciones.

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Ejemplo Ilustrativo # 3 Assumamos condiciones de operacion IFR a un aeródromo •

Llegadas aleatorias (random) a la pista 24 operaciones/hr

•

Tiempo de servicio definido por separación de llegadas (120 s) con desviación estandard de 20 segundos Distribucion General

Pista 05R-23L

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Resultados del Sistema de Colas Parametro

Valor Numérico

!

24 aviones/hr

µ

30 aviones por hora (promedio) ya que 120 segundos promedio entre servicios resulta en 30 operaciones/hr

"

0.80

Wq

4.11 minutos por operacion

Lq

1.64 aviones en la cola

W

6.11 minutos por operacion

L

2.44 aviones en el sistema de cola Seminario Taller sobre Equilibrio entre Demanda y Capacidad Operacional del Sistema Aeropuerto y ATS

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Análisis de Sensibilidad del Sistema Variando la taza media de llegadas ( ! ) de 1 a 26 operaciones por hora se puede apreciar la variación las demoras (Wq)

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Análisis de Sensibilidad del Sistema Variando la desviación estandard del servicio (, ) de 20 a 100 segundos se puede apreciar el cambio en el tiempo en cola (Wq)

, = 100 segundos

, = 20 segundos

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Implicaciones Para Uso Práctico Los parametros de la cola varian de acuerdo a situaciones practicas de cada problema a) Cuando la poblacion de aviones es homogenea y con control radar, se espera un valor de , bajo (tal vez de 30-40 segundos) b) Cuando la poblacion de aviones no es homogenea y con control radar se espera un valor alto de , (tal vez de 60 segundos o mas) c) La teoria de colas implica que cuando la capacidad ( µ ) es cercana a la demanda ( ! ) los tiempos de espera son muy altos Cuando el factor de utilizacion de cola ( !  µ = " ) se acerca a 0.850.90 es necesario aumentar la capacidad del sistema Seminario Taller sobre Equilibrio entre Demanda y Capacidad Operacional del Sistema Aeropuerto y ATS

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Implicaciones Para Uso Practico (II) El nivel de servicio de un sistema se puede medir en funcion de los parametros basicos derivados en teoria de colas. Principalmente,

! " = --- utilización del sistema µ W q tiempo en la cola (demoras en la cola) L q número de entidades en la cola (estable) Cada usuario puede especificar los valores de estos tres parametros para proporcionar un nivel de servicio adecuado. Diferentes paises utilizan diversos valores de " , W q , y L q . Seminario Taller sobre Equilibrio entre Demanda y Capacidad Operacional del Sistema Aeropuerto y ATS

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Modelos Determinísticos de Teoria de Colas

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Teoria de Colas Cuando la Demanda Excede la Capacidad Las ecuaciones presentadas anteriormente no funcionan cuando la demanda ( ! ) excede la capacidad (µ ) debido a que el factor de utilización,

! " = --- es mayor que 1 µ Notese que todas las ecuaciones (4-9) requiren que " < 1 para funcionar correctamente. En aeródromos con suficiente demanda, es probable que durante periodos cortos, el valor de demanda ( ! ) exceda el valor de la capacidad ( µ ) de un subsistema. Entonces, es necesario usar otro criterio en teoria de colas para calcular las demoras. Seminario Taller sobre Equilibrio entre Demanda y Capacidad Operacional del Sistema Aeropuerto y ATS

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Diagrama de Colas Determinísticas Flujos Capacidad Deficit de Capacidad Demanda Flujo Acumulado

Demanda Acumulada Wt Lt

t1

Capacidad Acumulada t2

Tiempo

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Parametros de Colas Determinísticas •

La longitud de la cola, L , (i.e., estado del sistema) corresponde a la distancia vertical entre las lineas de demand y capacidad acumuladas

•

El tiempo de espera (o demora), W , es la distancia horizontal entre las lineas de demand y capacidad acumuladas para una entidad (avión o pasajero) que llega al tiempo t

t

t

1

•

La demora total es el area comprendida entre las lineas de demand y capacidad acumuladas

•

El tiempo promedio de demora per entidad (Wq) es el cociente de la demora total y el numero de entidades servidas o procesadas

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Definición de la Ecuacion Basica de Cola Definamos el estado de la cola L t como la integral, Lt =

t

- ( !t – µt ) dt 0

L t es el número de unidades en la cola (instantaneamente) ! t es la función de demanda (entidades por unidad de tiempo) µ

t

es la capacidad del sistema (entidades por unidad de tiempo)

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Representacion para Analizar el Modelo Deterministico La razon de cambio de la cola L t se puede expresar, dL dt

t

=

( !t – µt )

Esta ecuación se puede resolver integrando la derivada

(15)

dL dt

t en

función de tiempo. Para hacer el proceso mas facil, expresamos la ecuación (15) en forma diferencial finita, Lt

=

L t – 1 + ( ! t – µ t ) .t

Esta ecuación es facil de estimar usando una hoja de cálculo como Excel. Seminario Taller sobre Equilibrio entre Demanda y Capacidad Operacional del Sistema Aeropuerto y ATS

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Manifestacion de Colas Determinísticas (I)

Configuración del aerodromo de San Francisco (SFO)

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Manifestación de Colas Determinísticas (II) Capacidad del aerodromo SFO bajo condiciones IFR

grafico de: FAA 2001 Benchmark report Seminario Taller sobre Equilibrio entre Demanda y Capacidad Operacional del Sistema Aeropuerto y ATS

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Manifestación de Colas Determinísticas (III) Capacidad y demanda de SFO bajo condiciones IFR (15 minutos) Capacidad = 72 operaciones/hr (18 ops/ 15-min)

grafico de: FAA 2001 Benchmark report Seminario Taller sobre Equilibrio entre Demanda y Capacidad Operacional del Sistema Aeropuerto y ATS

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Observemos De la figura enterior para el aeródromo de SFO, se observa que hay 11 intervalos de tiempo con periodos demanda mayor que la capacidad bajo condiciones IFR Estos intervalos de tiempo son cortos pero propician la fomacion de colas en las pistas y en el area terminal Usaremos un modelo de teoria de colas determinístico para estimar las demoras en este caso

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Ejemplo 4 - Aeródromo Regional Este ejemplo pronostica colas determinísticas para un aeródromo regional en donde se cierra pracialmente la terminal por un periodo de 2 horas (por una renovación)

Renovation

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Descripción del Problema ! = 1500 para 0 < t < 1 (tiempo en horas) ! = 500 para t > 1 En donde, ! es la función demanda y t es el tiempo en horas. La capacidad de la terminal (µ) es, µ = 1000 para t < 2 µ = 1500 para t > 2 Un gráfico de ! y!µ!de!en!función!de!tiempo!ayudan!a!entender!el! problema

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Gráfico del Problema 4 Demanda y capacidad para el problema 4 Flujo horario (pasajeros/hr) 1500

capacidad (µ)

1000

demanda (!)

500 1.0

2.0

3.0

Tiempo (hr)

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Solución Numérica Tabulación numérica usando hoja de cálculo

Time (hr)

State Variable (Lt)

Rate Variable (!t)

Rate Variable (µt)

Sum of Rates (!t-µt)

(Sum of Rates) .t

0

0.0

1500.0

1000.0

500.0

100.0

0.2

100.0

1500.0

1000.0

500.0

100.0

0.4

200.0

1500.0

1000.0

500.0

100.0

0.6

300.0

1500.0

1000.0

500.0

100.0

0.8

400.0

1500.0

1000.0

500.0

100.0

1.0

500.0

500.0

1000.0

-500.0

-100.0

Simulation

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Time (hr)

State Variable (Lt)

Rate Variable (!t)

Rate Variable (µt)

Sum of Rates (!t-µt)

(Sum of Rates) .t

1.2

400.0

500.0

1000.0

-500.0

-100.0

1.4

300.0

500.0

1000.0

-500.0

-100.0

Simulation

Los valores de ! t and µ t se asumen constantes entre cada intervalo de integración.

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Solución al Problem 4 (I) Gráfico de flujos acumulados para entender el problema 1: Passengers In 1: 2:

2: Passengers Served

2000.00

Tiempo de Espera (Wt) 1 2

Estado de la Cola (Lt)

1

2 1: 2:

1000.00 1 2

1: 2:

1

2

0.00 0.00

0.50

1.00 Time

1.50 12:57 PM

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2.00 7/7/93

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Solución al Problem 4 (II) La demora total (Td) es el area comprendida entre las lineas de demand y capacidad acumuladas Td = 2 [(1/2)(1500-1000)] = 500 pasajeros-hora a) El maximo numero de pasajeros, L(t) max es, L(t)max = 1500 - 1000 = 500 pasajeros at tiempo t=1.0 hora

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Solución al Problem 4 (III) La demora promedio es la demora total (Td) dividida por el número de pasajeros afectados por la cola (Nd) T W = -----d Nd

= 15 minutos

El promedio de pasajeros en cola se calcula como la demora total (Td) dividida por el tiempo de duración de la cola (td) 500pasajeros-hora T L = -----d = -------------------------------------------tq 2horas

= 250 pasajeros

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Ejemplo 5 - Chicago O’Hare Cola Determinística El ejemplo illustra el uso de colas determinísticas para calcular demoras en el aerodromo internatcional de Chicago (O’Hare Intl. Airport - ORD). Los datos de demanda fueron extraidos de un dia típico de operaciones en ORD. Se uso el sistema ETMS (Enhanced Traffic Management System) para extraer dichos datos. La capacidad de 75 operaciones por hora se usa como valor de referencia.

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ORD Cola Determinística a) La capacidad ( µ t ) se asume constante durante todo el dia para este problema. Su valor es 75 operaciones pro hora. b) La demanda ! t es variable a traves del dia. La figura siguiente illustra el problema.

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ORD Funciones de Demand y Capacidad

Demand or Capacity (Entities/time)

100

Demand

Capacity (Supply)

80

60

40

20

TextEnd

0

0

5

10 Time (hours)

15

20

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Demand or Capacity (Entities/time)

Solución Numérica 100 80 60 40 20 0 0

5

TextEnd

10 Time (hours)

15

20

Entities in Queue

40 30 20 10 0

0

TextEnd

5

10

15

20

25

Time

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Soluciones para Lt y la Integral de Lt Entities in Queue

40

Lt Function

30 20 10 0

0

TextEnd

5

10

15

20

25

20

25

Time

Total Delay (Entities-time)

250 200

Integral of Lt Function

150 100 50 0

TextEnd 0

5

10

15 Time

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Conclusiones Teoria de colas es una herramienta útil para evaluar niveles de servicio, utilizacion y demoras en varias componentes del aerodromo Teoria de colas puede estimar demoras causadas por dos fenomenos: a) Llegadas an un aeródromo (tanto aviones como pasajeros) es un fenomeno aleatorio (random) b) Durante ciertos periodos de poca duración, la demanda excede la capacidad del aeródromo

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Referencias (I) 1) Law, A.M. and W.D. Kelton, Simulation Modeling and Analysis: Second Edition, McGraw Hill, New York, 1991. 2) Hill, D.R., Object Oriented Analysis and Simulation, AddisonWesley, Harlow, England 1996. 3) Hillier, M. and J. Lieberman, Introduction to Operations Research: 6th Edition, McGraw Hill, New York, 1996.

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