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• Williams Calle

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8. TEORIA DE COLAS

TEORIA DE COLAS (Líneas de espera) • De los conceptos tratados con las técnicas básicas de la investigación operacional, la teoría de colas aparece como la de mayor aplicación potencial y sin embargo es la mas difícil de aplicar. • Toda clase de negocios, gobierno, industria, escuela, y hospitales tienen problemas de colas. • Muchos de ellos se pueden beneficiar de un análisis de IO para determinar las condiciones de costo mínimo(máximo rendimiento)

TEORIA DE COLAS • El ejemplo clásico de una cola consta de dos elementos principales. Sistema total Entrada cola

Salida Unidad de servicio

• Los clientes llegan a la cola y esperan hasta que se les proporcione el servicio, o el sistema esta vació, el cliente que llega puede ser atendido inmediatamente. Después de que el servicio queda terminado el cliente abandona el sistema.

TEORIA DE COLAS • La tasa a la cual llegan los clientes para ser atendidos se denomina tasa de llegada λ (lambda). Esta es una tasa cuyas unidades son clientes por hora, clientes por día ,etc. Normalmente se asume que cumple con la distribución de Poisson. • La tasa a la cual la unidad de servicio puede atender al cliente se denomine tasa de servicio u (mu). Esta tasa tiene unidades iguales a las de λ y representa la máxima capacidad de servicio suponiendo que la unidad de servicio no esta ociosa. Normalmente se supone que estas tasas

TEORIA DE COLAS representan un promedio de muchos valores posibles que se pueden describir mediante una distribución exponencial. • Típicamente se debe encontrar una tasa aceptable de llegadas de clientes para una capacidad de servicio dada, o una tasa de servicio compatible con la tasa de llegada dada.

DEFINICION DE TERMINOS • Se definen algunos términos básicos: 1. Cliente. Unidad que llega requiriendo la realización de algún servicio. Los clientes pueden ser personas, maquinas, partes, etc. 2. Cola(línea de espera). Numero de clientes que esperan ser atendidos. Normalmente, la cola no incluye el cliente que esta siendo atendido. 3. Canal de servicio. Es el proceso o sistema que esta efectuando el servicio para el cliente. Este puede ser simple o multicanal. El símbolo s

DEFINICION DE TERMINOS indicara el numero de canales de servicio. • Ejemplo: Los aficionados que esperan comprar boletos para un juego de fútbol. Los aficionados que llegan son los clientes y el empleado que vende los boletos es el canal de servicio. Si hay dos o mas empleados, este es un problema de multicanal.

CLASIFICACION • Los modelos de colas se pueden dividir en : Tipo de problema Modelo de Colas Tamaño de la población Infinito Finito

Numero de canales

Simple Múltiple Simple Múltiple

SUPOSICIONES • Tasa de llegada. Tasa(clientes por periodo de tiempo) a la cual llegan clientes para ser atendidos. La suposición es que la tasa de llegada esta distribuida aleatoriamente según una distribución de Poisson. El valor medio es λ . • Tasa de servicio. Tasa(clientes por periodo de tiempo) a la cual un canal de servicio puede suministrar el servicio requerido por el cliente. Se supondrá que la tasa de servicio esta distribuida aleatoriamente según una distribución de exponencial. El valor medio del servicio es u.

SUPOSICIONES • Prioridad. Método de decidir cual será el próximo cliente atendido. La suposición mas frecuente consiste en que el primero que llega, es el primero que se atiende. • Tamaño de la población. Tamaño del grupo que proporciona los clientes. Si solo hay unos pocos clientes potenciales la población es finita. Si hay un gran numero de clientes potenciales, por ejemplo entre 30 y 50, se dice que la población es infinita.

DEFINICIONES • Lq (numero esperado en la cola) . Numero estimado de clientes que esperan ser atendidos. • L (numero esperado en el sistema). Numero estimado de clientes ya sea esperando en la línea y/o siendo atendidos. • Wq (tiempo esperado en la cola). Tiempo estimado que emplea un cliente esperando en la línea. • W (tiempo esperado en el sistema).Tiempo estimado que emplea un cliente esperando mas el que emplea siendo atendido,

DEFINICIONES • Ln (numero esperado en una cola no vacía). El numero promedio o numero estimado de clientes que esperan en la línea excluyendo aquellos periodos en los cuales la línea esta vacía.

ANALISIS DE PROBLEMAS DE COLAS CON POBLACION INFINITA • El modelo mas fácil de resolver es el de una cola de canal simple que da servicio a una población infinita. Las siguientes ecuaciones básicas se usan para analizar este problema. La probabilidad de hallar el sistema ocupado o utilización del sistema es : p = λ /u Donde p=utilización del sistema λ =tasa de llegada, unidades/periodo de tiempo u=tasa de servicio,unidades/periodo de tiempo

ANALISIS DE PROBLEMAS •

Las siguientes ecuaciones son validas solo cuando λ /u < 1(estabilidad del sistema). 1. La probabilidad Po de hallar el sistema vació es Po = 1- λ /u 2. El numero esperado Lq en la cola,es: Lq= λ 2 /u(u- λ ) 3. El numero esperado L en el sistema (cola y servicio), es: L= λ /(u- λ)

ANALISIS DE PROBLEMAS 4. El tiempo esperado Wq en la cola es : Wq= λ /u(u- λ ) 5. El tiempo esperado W en el sistema es: W=1/(u- λ ) 6. El numero esperado Ln en la cola no vacía,es: Ln= λ /(u- λ )

ANALISIS DE PROBLEMAS Ejemplo Una maquina duplicadora para uso de oficina es utilizada y manejada por el personal de la oficina que necesita obtener copias, principalmente secretarias. Puesto que el trabajo debe duplicarse varia en magnitud(numero de paginas del original) y en el

EJEMPLO numero de copias requeridas, la tasa de servicio esta aleatoriamente distribuida, pero se aproxima a una distribución de Poisson, que tiene una tasa media de servicio de 10 trabajos por hora. Generalmente los requerimientos de utilización son aleatorios durante las ocho horas de trabajo diario pero llegan a una tasa de 5 por hora. Algunas personas han observado que ocasionalmente se forma una línea de espera y han objetado la política de mantener una sola unidad. Si el tiempo de una secretaria esta avaluado en $3.5 por

EJEMPLO hora,haga un análisis para determinar: a)Utilización de equipo. b)Porcentaje de tiempo que una llegada tiene que esperar. c)Tiempo promedio en el sistema. d)Costo promedio ocasionado por esperar y hacer funcionar la maquina.

PROBLEMA MULTICANAL • Se puede deducir expresiones semejantes para el tiempo en el sistema, para un problema multicanal siempre y cuando se suponga una población infinita. • Realmente estas ecuaciones son mas generales que las dadas anteriormente ya que ellas pueden reducirse al caso de canal simple haciendo s=1 y simplificando. Enseguida se presentan las ecuaciones básicas.

PROBLEMA MULTICANAL •

Se tienen las siguientes ecuaciones básicas para un problema multicanal siempre y cuando se supongan una población infinita. 1. La probabilidad Po de hallar vació el sistema es: donde k= numero de canales de servicio λ=tasa de llegadas de clientes u=tasa de servicio de un canal simple (se supone que todos los u son iguales)

Características importantes

Análisis Económico

Análisis Economico