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• Michel Lopez

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TEORIA DE COLAS

ESTRUCTURA BÁSICA DE LOS MODELOS DE COLAS COSTOS DE SERVICIO Y COSTOS DE ESPERA PARÁMETROS Y MEDIDAS DE DESEMPEÑO MODELOS DE COLAS

MODELO M/M/1 MODELO M/M/S MODELO M/M/1/K MODELO M/M/S/K MODELO M/G/1 MODELO M/D/1 MODELO DE COSTOS EN TEORÍA DE COLAS REDES DE COLAS EN SERIE REDES DE COLAS DE JACKSON

Preliminares Los estadunidenses esperan alrededor de 37.000.000.000 horas/año haciendo cola En promedio, la gente sobre estima cuánto ha estado esperando en aproximadamente 36% La experiencia de la espera es más importante que el tiempo que se esperó.

• 13 hours annually waiting on hold for a customer service • 38 hours each year waiting in traffic. • those living in Big cities wait in traffic more than 50 hours annually. • about 37 billion hours each year waiting in line somewhere • Human beings spend approximately 6 months of their lives waiting in line for things, it means like 3 days a year of queueing up. The average person spends about 43 days on hold with automated customer service in one lifetime. Those who take the bus will wait about 27 days of their lives waiting around on the platform or at the bus stop.

Las líneas de espera están presentes en todos los aspectos de nuestra forma de vida

Y en los procesos industriales…..

Unas famosas…..

Entrada a la Biblioteca de Nanjing University of Finance and Economics - China. Temperatura: −2𝑜𝐶

“Waiting

is frustrating, demoralizing, agonizing, aggravating, annoying,time consuming and incredibly expensive.” FedEx Fortune, 28 July 1980, p. 10

Fuente: http://www.dailymail.co.uk/news/article-2909925/Desperate-youths-forced-wait-sub-zero-temperatures-enter-LIBRARY-Students-shame-Chinese-colleges-sharing-photographs-huge-queues-endure.html

¿y en Colombia?

Día sin iva

Colas día sin iva

Colas en los Peajes

Colas Oficinas Servicios Públicos

Tomado de: http://www.las2orillas.co/colombia-el-pais-con-los-peajes-mas-caros/ Tomado de: http://www.caracol.com.co/noticias/bogota/concejo-de-bogota-prohibe-la-formacion-de-filasen-el-espacio-publico/20120911/nota/1759412.aspx

Colas virtuales

Colas virtuales

Tomado de: http://www.caracol.com.co/noticias/bogota/concejo-de-bogota-prohibe-la-formacion-de-filasen-el-espacio-publico/20120911/nota/1759412.aspx

Colas con Covid

“¿Dónde están los ingenierosindustriales?” Rudolf Hommes, Portafolio, Enero 22 de 2012 “En las tres colas se llegaba a un terminal de computador manejado por una niña que no tenía idea de lo que estaba haciendo, con un señor al lado que si sabía, pero no atendía al público. Si la experiencia de consumidor fue irritante, no se compara con la de pagar la cuota mensual de salud y pensiones o registrarse para un vuelo en algunas de las aerolíneas nacionales.”

https://www.youtube.com/watch?v=H4 wuH9pSSRo

https://www.youtube.com/watch?v=vTSmbMm7MDg

https://www.youtube.com/watch?v=-72P_EFphSc

Se requiere de herramientas para estudiar desempeño de las colas ❑ Tiempo promedio en la cola ❑ Número promedio de entidades en la cola ❑ Tiempo promedio en el sistema

❑ Número promedio de entidades en el sistema ❑ Tasa de utilización del sistema

¿Cuáles son los Componentes de una línea de espera?

Estructura básica de los modelos de colas Sistema de colas

Fuente de Entrada

CLIENTES

Cola

Mecanismo de Servicio

PROCESO BÁSICO DE COLAS

CLIENTES SERVID O S

Proceso Básico de colas Los clientes que requieren un servicio se generan en el tiempo en una fuente de entrada. Estos clientes entran al sistema y se unen en una cola. En determinado momento se selecciona un miembro de la cola para proporcionarle el servicio, mediante alguna regla conocida como disciplina de la cola. Luego se lleva a cabo el servicio requerido por el cliente en un mecanismo de servicio, y después el cliente sale del sistema de colas.

Fuente de entrada TIEMPO E N T R E L L EG A DA S TAMAÑO Es el número total de clientes que pueden requerir servicio en determinado momento, es decir, el número de clientes potenciales posibles.

Patrón estadístico mediante el cual se generan los clientes en el tiempo. Puede ser de acuerdo a un proceso Poisson o de manera exponencial.

Cola Es donde los clientes esperan antes de recibir el servicio. También son llamadas líneas de espera. Pueden ser: Disciplina de la cola

Infinitas

Finitas

Orden en el que los clientes se seleccionan para recibir el servicio.

FIFO (PEPS)

LIFO (UEPS)

PRIORIDADES

A L EATOR IO

Colas infinitas El supuesto de una cola infinita es el estándar de la mayoría de los modelos, incluso en situaciones en las que en realidad existe una cota superior (relativamente grande) sobre el número permitido de clientes, puesto que manejar una cota así puede ser un factor que complique el análisis.

Colas finitas En los sistemas de colas en los que la cota superior es tan pequeña que se llega a ella con cierta frecuencia, es necesario suponer una cola finita.

Mecanismo de servicio Consiste en una o más ESTACIONES DE SERVICIO, cada una de ellas con uno o más canales de servicio paralelos, llamados SERVIDORES. Tiempo de servicio

Es el tiempo que transcurre desde el inicio del servicio para un cliente hasta su terminación en una estación.

Costos de servicio y costos de espera COSTO DE proporcionar buen SERVICIO

Equilibrio

COSTO del tiempo DE ESPERA

Costos de servicio y costos de espera Los Administradores desean que las colas sean lo suficientemente cortas con la finalidad de que los clientes no se irriten e incluso se retiren sin llegar a utilizar el servicio o lo usen pero no retornen más.

Equilibrio

COSTO del tiempo DE ESPERA

Costos de servicio y costos de espera COSTO DE proporcionar buen SERVICIO

Equilibrio

Los Administradores contemplan tener una longitud de cola razonable en espera, que sea balanceada, para obtener ahorros significativos en el COSTO DEL SERVICIO

Equilibrio entre costos de espera y costos deservicio Costo

C O S T O TOTA L ES P E R A D O Costo Total Mínimo

Costo por proporcionar el SERVICIO

Costo por TIEMPO D E ESPERA Nivel Óptimo de Servicio

Nivel de Servicio

Equilibrio entre costos de espera y costos deservicio Si se mejora el NIVEL DE SERVICIO, los COSTOS DE SERVICIO se incrementan. Los Administradores de ciertos centros de servicio pueden variar su capacidad teniendo personal o máquinas adicionales que son asignadas a incrementar la atención cuando crecen excesivamente los clientes.

Ejemplos: • En supermercados se habilitan cajas adicionales cuando es necesario. •En bancos y puntos de chequeo de aeropuertos, se contrata personal adicional para atender en ciertas épocas del día o del año.

Equilibrio entre costos de espera y costos deservicio Cuando el servicio mejora, disminuye el costo de tiempo perdido en las líneas de espera. Este costo puede reflejar pérdida de productividad de los operarios que están esperando que compongan sus equipos o puede ser simplemente un estimado de los clientes perdidos a causa de mal servicio y colas muy largas. En ciertos servicios (ISS, Bancos, Cedulación) el costo de la espera puede ser intolerablemente alto.

Distribuciones de Probabilidad Las fuentes de la variación en los problemas de líneas de espera se deben a las llegadas aleatorias de los clientes y a las variaciones en los tiempos de servicio. Cada una de estas fuentes se describen con una distribución de probabilidad.

Problema: Al restaurante el pollo farsante en la hora pico llegan clientes a una tasa de 3 clientes por minuto. El restaurante tiene dos meseros, ¿Cuál es la probabilidad que lleguen más de dos clientes lleguen en cualquier minuto?

ⲗ𝒙 ∗𝒆−ⲗ 𝑝(𝑥) = 𝒙!

𝑝 𝑥 >2 =1− 𝑝 0 +𝑝 1 +𝑝 2 𝑝 𝑥 >2 =1−

3𝟎∗𝒆−𝟑 𝟎!

+

3𝟏∗𝒆−𝟑 𝟏!

+

3𝟐∗𝒆−𝟑 𝟐!

=0,5769

Problema: En una fábrica de zapatos existen tres trabajadores donde cada uno de ellos fabrica un par cada 6 horas, la jornada laboral es de 8 horas al día. Con base en la información responda: ¿Cuál es la probabilidad de que en la fábrica no se fabrique ningún par de zapatos en una jornada laboral. ¿Cuántos trabajadores se requieren como mínimo para bajar esa probabilidad a la tercera parte? 1 𝑧𝑎𝑝 ¿cuál es la tasa de producción diaria de la fábrica? Zap(H)/trab= ( ) 6 𝐻

ⲗ𝒙 ∗𝒆−ⲗ 𝑝(𝑥) = 𝒙!

𝑝(0) =

𝟒𝟎 ∗𝒆−4 =0.018331 𝟎!

Zap(JOR)/trab=

𝟏 𝒛𝒂𝒑 𝟔 𝑯

Zap(JOR)/fáb =

𝟖 𝒛𝒂𝒑 𝟔 𝒕𝒓𝒂𝒃

∗𝟖 ∗𝟑

𝑯 𝑱𝑶𝑹

=

𝒕𝒓𝒂𝒃 𝑭𝒂𝒃

𝟖 𝒛𝒂𝒑 𝟔 𝑱𝑶𝑹

=𝟒

𝒛𝒂𝒑 𝑱𝑶𝑹

𝑝(0)/3=0.018331/3=0,00610521296

0,00610521296=

ⲗ𝟎∗𝒆−ⲗ 𝟎!

= 0,00610521296

λ= -ln(0,00610521296)=5.0986122

𝒛𝒂𝒑 𝑱𝑶𝑹

3 trab X trab

4

𝒛𝒂𝒑 𝑱𝑶𝑹

5.0986122

X trab=3,82 𝒛𝒂𝒑 𝑱𝑶𝑹

X trab ≈4

Distribución exponencial Exp ()

f ( x ) = e 2.0

− x

para x  0,   0

 =   =   =   = 

1.8 1.6 1.4 1.2 1.0 0.8

𝑏

0.6

𝑝(𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏) = න ⲗ𝒆

0.4

𝑎

0.2 0.0

0

1

2

3

4

+

Vida media

5

6

 =  xe dx = 0

−x

7

1



8

−ⲗ𝒙

𝑑𝑥 = −𝒆

−ⲗ𝒙

𝒃 อ 𝒂

Distribución exponencial Exp ()



x

0

−t

e dt = − e

−t x 0

= 1− e

−x

1 − e − x , x  0 F ( x) =  x0  0, 38

Ejemplo: un mesero trabaja en un restaurante al cual llegan 12 clientes por hora en el tiempo pico, en cierto momento, siente ganas de ir al baño, el considera que su diligencia le puede tomar exactamente 3 minutos, ¿cual es la probabilidad de que pueda ir al baño sin que sea interrumpido por un nuevo cliente que llega?

3

𝟑 𝑝 0 ≤ 𝑥 ≤ 3 = න 𝟏/𝟓𝒆−1/5𝒙 𝑑𝑥 = −𝒆−1/5𝒙 ቤ = 𝟎, 𝟒𝟓𝟏𝟏 𝟎 0

𝑏

𝑝(𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏) = න ⲗ𝒆 𝑎

−ⲗ𝒙

𝑑𝑥 = −𝒆

−ⲗ𝒙

𝒃 อ 𝒂

La probabilidad de que no sea molestado es 1-𝟎, 𝟒𝟓𝟏𝟏=0,5489)

Ejemplo: un mesero trabaja en un restaurante al cual llegan 12 clientes por hora en el tiempo pico, en cierto momento, siente ganas de ir al baño, el considera que su diligencia le puede tomar exactamente 3 minutos, ¿cual es la probabilidad de que pueda ir al baño sin que sea interrumpido por un nuevo cliente que llega?

∞

−1/5∞ −1/5(𝟑) 𝑝 3 ≤ 𝑥 ≤ ∞ = ‫׬‬3 𝟏/𝟓𝒆−1/5𝒙 𝑑𝑥 = −𝒆−1/5𝒙 ቚ∞ = −𝒆 -(−𝒆 ) 𝟑

𝑏

𝑝(𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏) = න ⲗ𝒆 𝑎

−ⲗ𝒙

𝑑𝑥 = −𝒆

−ⲗ𝒙

𝒃 อ 𝒂

La probabilidad de que no sea molestado es =0,5489)

DISTRIBUCIÓN DEL TIEMPO DE SERVICIO La distribución exponencial describe la probabilidad que el tiempo de servicio del cliente en una instalación particular no sea mayor de T períodos de tiempo

P(t  T ) = 1− e

− T

Donde µ =número promedio de clientes que terminan el servicio por período. t = tiempo de servicio del cliente. T = tiempo de servicio objetivo. EJEMPLO: El gerente de la tienda departamental del ejemplo anterior, debe determinar si es necesario más entrenamiento para el empleado de servicio al cliente. El empleado de servicio al cliente puede atender un promedio de tres clientes por hora. ¿Cuál es la probabilidad que el empleado atienda a un cliente en menos de 10 minutos?

MODELOS DE COLAS

Recordemos Notación Kendall 𝑎 𝑏 /𝑐 : 𝑑 𝑒 /𝑓

𝑎: distribución de llegadas 𝑏: distribución de salidas (tiempo de servicio) 𝑐: cantidad de servidores paralelos = 1,2,3, … ,∞ 𝑑: disciplina en las colas 𝑒: número máximo (finito o infinito) permitido en el sistema (haciendo cola o en servicio)

𝑓: tamaño de la fuente solicitante (finita o infinita)

Distribución de tiempos de servicio

Disciplina de la cola

𝑎 𝑏 /𝑐 : 𝑑 𝑒 /𝑓

Tamaño de la fuente

Distribución de tiempos entre llegadas Número de servidores

Capacidad de ‘albergar’ clientes en el sistema

Característica

Símbolo

Definición

a: Distribución de los tiempos de llegada

M

distribución exponencial o Poisson (Markoviana)

D

Determinista

b: Distribución tiempo de servicio

Ek

Distribución Erlang

G

Distribución General

c: Número de servidores

1,2,3,∞ LIFO

Ultimo en entrar-primero en salir

G

General (Fifo)

e: capacidad

∞, N

Infinita, Finita

f: tamaño de la fuente

∞

Infinita

d: Disciplina de la cola

Distribución de tiempos de servicio

Disciplina de la cola

𝑎 𝑏 /𝑐 : 𝑑 𝑒 /𝑓

Tamaño de la fuente

Distribución de tiempos entre llegadas Número de servidores

Capacidad de ‘albergar’ clientes en el sistema

Característica

Símbolo

Definición

a: Distribución de los tiempos de llegada

M

distribución exponencial o Poisson (Markoviana)

D

Determinista

b: Distribución tiempo de servicio

Ek

Distribución Erlang

G

Distribución General

c: Número de servidores

1,2,3,∞ LIFO

Ultimo en entrar-primero en salir

G

General (Fifo)

e: capacidad

∞, N

Infinita, Finita

f: tamaño de la fuente

∞

Infinita

d: Disciplina de la cola

Parámetros λ → Tasa promedio de llegada (clientes que llegan/ unidad de tiempo) 1/λ → Tiempo entre llegadas (unidad de tiempo/cada cliente que llega) μ → Tasa promedio de servicio (clientes que atiende el servidor/ unidad de tiempo) 1/μ → Tiempo de servicio (unidad de tiempo/cliente que se atiende)

Medidas de desempeño Cantidad promedio de elementos (clientes) en la cola (L q ) Cantidad promedio de elementos (clientes) en el sistema (L) Tiempo promedio de elementos (clientes) en la cola (Wq ) Tiempo promedio de elementos (clientes) en el sistema (W) Probabilidad de encontrar n elementos (clientes) en el sistema (P n )

Modelos de un solo servidor Sistema con capacidad infinita: 𝑀 𝑀 1 : 𝐺 ∞ ∞ Sistema con capacidad finita: 𝑀 𝑀 1 : 𝐺 𝑁 ∞

Modelo M/M/1 Clientes servidos Sistema de colas

CLIENTES CCCCC

Clientes servidos

S

Instalación de servicio

Supuestos del modelo 1. La población de clientes es infinita y todos los clientes son pacientes. 2.Los clientes llegan conforme a una distribución de Poisson, con una tasa media de llegada igual a λ . 3. La distribución de servicio es exponencial, con una tasa media de servicio iguala a µ. 4. Los clientes se atienden sobre una base primero en llegar, primero que se atiende 5. La longitud de la línea de espera es ilimitada.

El sistema incluye tanto la cola como las instalaciones de servicio.

FORMULARIO

1. Probabilidad de que no hayan unidades en el sistema o que la unidad no tenga que esperar:

 P0 = 1− = 1−  = P(Wq = 0) 

2. Cantidad promedio de unidades en la línea de espera

2

2 Lq =  W q = = (  −  ) 1−  3. Cantidad promedio de unidades en el sistema

_ _  L = W = =Lq+ =  −  1− 



𝜆 = 𝜇 𝜇 > 𝜆 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑥=v.t

4. Tiempo promedio que pasa una unidad en la línea de espera Wq =

  −

=

Lq _ ___ 1 = =W− (1−  )  

5. Tiempo promedio que pasa una unidad en le sistema W=

1 1 L 1 = = Wq + =  −   (1− )

6. Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar en el servicio

 P(W  0) =  = 

Si

=1 

 

7. Probabilidad de n unidades en el sistema

Pn = (1 −

 )

n

 =  

 

  

n

P0

8. Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar un tiempo mayor que t en la línea de espera

P(Wq  t) =  *e

−  (1− )t

9. Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar un tiempo mayor que t en el sistema

P(W  t) = e

−  (1− )t

Ley de Little La relación entre L y W (también entre Lq y Wq) se conoce como fórmula de Little y se da como L= W

 Lq = Wq

También existe una relación directa entre W y Wq

W =W L = Lq

q

+

+

1



 

c = = L − Lq

Ejemplo Autómata es una instalación de lavado de autos de una sola bahía. Los autos llegan según una distribución de Poisson con una media de 4 autos por hora y pueden esperar en el estacionamiento de la instalación en la calle si la bahía está ocupada. El tiempo para lavar y limpiar un auto es exponencial con una media de 10 minutos. No hay un límite en el tamaño del sistema El gerente desea determinar el tamaño del sistema Encontrar: Cantidad promedio de elementos (clientes) en la cola (L q )

Cantidad promedio de elementos (clientes) en el sistema (L) Tiempo promedio de elementos (clientes) en la cola (W q ) Tiempo promedio de elementos (clientes) en el sistema (W)

Solución 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑠 𝜆= 4 ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑠 𝜇= 6 ℎ𝑜𝑟𝑎 𝜆 4 2 𝜌 = = = < 1 ⇒ sistema en estado estable 𝜇 6 3

Solución 𝐿=

𝐿=

𝜌 1−𝜌 2 3

2= 2 1−3

𝑊=

𝑊=

𝜌 𝑊𝑞 = 𝜇 1−𝜌

1 𝜇−𝜆 1

6−4

=

1 2

2 3

2 𝑊𝑞 = = 6 6 1−2 3 1 = 3

Solución 𝜌2 𝐿𝑞 = 1−𝜌 2

2 12 4 3 = = 𝐿q = 2 9 3 1− 3

Ejercicio 1 Un fotógrafo de la embajada de los Estados Unidos toma las fotografías para los pasaportes a una tasa promedio de 20 por hora. El fotógrafo debe esperar hasta que el cliente deje de parpadear y hacer gestos, así que el tiempo para tomar una fotografía se distribuye exponencialmente. Los clientes llegan a una tasa promedio de acuerdo a una distribución de Poisson de 16 clientes por hora.

a. ¿Cuál es la utilización promedio del fotógrafo? b. ¿Cuánto tiempo promedio permanece el cliente en el estudio del fotógrafo? hora a. Rta: 8 0 % b. Rta: 0,25

EJERCICIO 2 El gerente de una tienda de abarrotes en una comunidad de jubilados de Bucaramanga está interesado en proporcionar buen servicio a los ciudadanos de la tercera edad que compran en su tienda. Actualmente, la tienda tiene una caja de cobro exclusiva para los ciudadanos de la tercera edad. En promedio, 30 ciudadanos de la tercera edad llegan por hora a la caja, de acuerdo a una distribución de Poisson, y se atienden a una tasa promedio de 35 clientes por hora, con tiempos de servicio exponencial. Determine las siguientes características de operación: a. Probabilidad que no haya clientes en el sistema, o bien, la probabilidad de tener a todos los servidores desocupados. b. Utilización promedio de la cajera. c. Número promedio de clientes en el sistema. d. Número promedio de clientes en la línea. e. Tiempo promedio de espera en el sistema. f. Tiempo promedio de espera en la línea. g. ¿Qué tasa de servicio se requiere para que los clientes esperen en promedio ocho minutos en el sistema? h. Para esta tasa de servicio, ¿cuál es la probabilidad de que haya más de cuatro clientes en el sistema? i. ¿Qué tasa de servicio se requiere para tener sólo un 10% de probabilidad de que haya más de cuatro clientes en el sistema?

a. b. c. d. e. f. g. h. i.

0,1429 0,8571 6 5,1429 0,2 0,1714 37,5 clientes /hora 0,328 47,5 clientes/ hora

Sistema con capacidad finita: 𝑀 𝑀 1 : 𝐺 𝑁 ∞ Supuestos Número de unidades que puede soportar el sistema≤ 𝑁 Longitud Máxima de la cola: 𝑁 − 1 Si la cantidad de clientes llega a 𝑁 entonces no se permiten nuevas llegadas

n Cantidad de clientes en el sistema (haciendo cola, además de los que están siendo atendidos) λ𝑛 Tasa de llegadas, si n clientes están en el sistema 𝜇 𝑛 Tasa de salidas, si n clientes están en el sistema 𝑃𝑛 Probabilidad de estado estable de que n clientes estén en el sistema

𝜆 =

𝜆, 0,

𝑛 = 0,1, … , 𝑁 − 1 𝑛 = 𝑁, 𝑁 + 1, …

𝜇𝑛 = 𝜇, 𝑛 = 0,1,2, … 𝜌=

𝜆

𝜇

𝑀 𝑀 1 : 𝐺𝑁∞ Del modelo generalizado: 𝜌𝑛 𝑃0 𝑃𝑛 = , 0,

𝑛≤ 𝑁 𝑛 >𝑁

Probabilidades de estado estable El valor de 𝑃0 se determina de la siguiente ecuación: 𝑃0 1 + 𝜌 + 𝜌2 + ⋯+ 𝜌𝑁 = 1

O

𝑃0 =

1−𝜌 1 − 𝜌𝑁+1 1 𝑁+1

𝜌≠ 1 𝜌= 1

Probabilidades de estado estable 𝑃𝑛 =

1 − 𝜌 𝜌𝑛 1 − 𝜌𝑁+1 1 𝑁+1

𝜌≠ 1 , 𝑛 = 0,1, … ,𝑁 𝜌= 1

𝜌 = 𝜆𝜇 no necesita ser menor que 1 porque las llegadas al sistema estáncontroladas por su capacidad 𝜆𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 < 𝜆

Tasa efectiva de arribos al sistema 𝜆 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎 = 𝜆𝑃𝑁 𝜆𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 = 𝜆 − 𝜆 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑜

𝜆𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 = 𝜆 1 − 𝑃𝑁 𝜆𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 < 𝜇

Medidas de desempeño 𝐿 𝑠 , 𝑊𝑠, 𝐿 𝑞 , 𝑊𝑞 , 𝑐

𝐿𝑠 𝑁

1−𝜌 𝐿𝑠 = 1 − 𝜌𝑁+1

𝐿𝑠 = 𝑛𝑝𝑛 𝑛=0 𝑁

𝐿𝑠 = 𝑛 𝑛=0

1 − 𝜌 𝜌𝑛 1 − 𝜌𝑁+1

1−𝜌 𝐿𝑠 = 1 − 𝜌𝑁+1

𝑁

𝑛 𝜌𝑛 𝑛=0

1−𝜌 𝜌 𝐿𝑠 = 1 − 𝜌𝑁+1

𝑁

𝑛 𝜌𝑛

𝐿𝑠 =

1−𝜌 𝜌 𝜕 1−

𝜌𝑁+1 𝜕𝜌

𝑁

𝜌𝑛 𝑛 =0

𝑛=0 𝑁

𝑛 𝜌𝑛−1

1 − 𝜌 𝜌 𝜕 1 − 𝜌𝑁+1 𝐿𝑠 = 1 − 𝜌𝑁+1 𝜕𝜌 1 − 𝜌

𝑛=0

1−𝜌 𝜌 𝜕 𝐿𝑠 = 1 − 𝜌𝑁+1 𝜕𝜌

𝑁

𝜌𝑛 𝑛=0

1−𝜌 𝜌 𝐿𝑠 = 1 − 𝜌𝑁+1

𝑁 + 1 𝜌𝑁 1 − 𝜌 + 1 − 𝜌𝑁+1 1−𝜌 2

𝐿𝑠 1−𝜌 𝜌 𝐿𝑠 = 1 − 𝜌𝑁+1

𝑁 + 1 𝜌 𝑁 1 − 𝜌 + 1 − 𝜌𝑁+1 1−𝜌 2

𝜌 1 − 𝑁 + 1 𝜌𝑁 + 𝑁𝜌𝑁+1 𝐿𝑠 = 1 − 𝜌𝑁+1 1 − 𝜌 𝑆𝑖 𝜌 = 1 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐿𝑠 =

,𝜌≠1 𝑁 2

Relación entre las esperas y las longitudes 𝑊𝑠 =

𝐿𝑆 𝜆𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎

𝜆𝑒𝑓𝑐𝑡𝑣 𝐿 𝑞 = 𝐿𝑠 − 𝜇 𝑊𝑞= 𝑊𝑠−

1 𝜇

Utilización del sistema 𝜆𝑒𝑓𝑐𝑡𝑣 𝑐 = 𝐿𝑠 − 𝐿 𝑞 = 𝜇

𝑐 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = 𝑐

Ejemplo Autómata es una instalación de lavado de autos de una sola bahía. Los autos llegan según una distribución de Poisson con una media de 4 autos por hora y pueden esperar en el estacionamiento de la instalación con capacidad para solo 4 autos si la bahía está ocupada. Las regulaciones de tránsito no permiten autos estacionados frente al auto lavado El tiempo para lavar y limpiar un auto es exponencial con una media de 10 minutos. El gerente desea determinar el impacto del limitado espacio en el estacionamiento en la pérdida de clientes frente a la competencia.

Solución Límite del sistema: 𝑁=4+1=5

Solución Proporción de clientes perdidos:

=

4 4 ∗ ( )5 6 6 4 1 − ( )6 6

1−

⇒ 𝑃5 = 0.0481203

Suponiendo una operación de 24 horas: 𝜆 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎 = 4 ∗ 0.0481203 ∗ 24 𝜆 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎 = 4.6195

Ejercicio 1. Con base en la información del ejercicio anterior

(a) La probabilidad de que un auto que llegue entre de inmediato a la bahía de lavado. (b) El tiempo de espera hasta que se inicie el servicio. (c) La cantidad esperada de espacios de estacionamientos vacíos. (d) La probabilidad de que todos los espacios de estacionamiento estén ocupados.

𝜆𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 = 𝜆(1 − 𝑃𝑁)

Solución Po=

4 1− 6

4 0 ∗( ) 6 4 6 1−( ) 6

=0.3654

Solución 𝜌 1 − 𝑁 + 1 𝜌𝑁 + 𝑁𝜌𝑁+1 𝐿= 1 − 𝜌𝑁+1 1 − 𝜌

𝐿=

4 6 1− 5+1

4 6

4 1− 6

5+1

5

4 +5 6 4 1−6

𝐿 = 1.42255639

5+1

Solución 𝑊=

𝑊=

𝐿𝑆 𝜆𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎

1.42255639 4 1 − 0.0481203

1.42255639 𝑊= = 0.37361769 4 1 − 0.0481203

Solución 𝐿 𝑞 = 𝐿𝑠 −

𝜆𝑒𝑓𝑐𝑡𝑣 𝜇

4 1 − 0.0481203 𝐿𝑞 = 1.42255639 − 6 4 1 − 0.0481203 𝐿𝑞 = 1.42255639 − 6 𝐿𝑞 = 0.78796992

Solución 𝑊𝑞= 𝑊𝑠−

1 𝜇

𝑊𝑞 = 0.37361769 −

𝑊𝑞 = 0.37361769 − 𝑊𝑞= 0.20695103

1 6 1 6

Solución = 1.42255639- 0.78796992=0,6345 3,8075/6=0,6345 λefec= 4 (1 − 0.0481203)=3,8075

Ejercicio 2. El ensamble final de los generadores eléctricos en Electro se realiza a la razón de Poisson de 10 generadores por hora. Luego los generadores son transportados por una banda al departamento de inspección para su revisión final. La banda puede transportar un máximo de 7 generadores. Un sensor automático detiene al instante la banda una vez que se llena, lo que evita que el departamento de ensamble final arme más unidades hasta que haya espacio disponible. El tiempo para inspeccionar los generadores es exponencial, con una media de 15 minutos. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que el departamento de ensamble final detenga la producción? (b) ¿Cuál es el promedio de generadores sobre la banda transportadora? (c)El ingeniero de producción afirma que las interrupciones en el departamento de ensamble pueden reducirse si se incrementa la capacidad de la banda. De hecho, el ingeniero afirma que la capacidad puede incrementarse al punto en que el departamento de ensamble opere 95% del tiempo sin interrupciones. ¿Es justificable esta reclamación?

Modelos de varios servidores

Modelo M/M/s : G/∞, ∞ Clientes servidos Sistema de colas

S CLIENTES

S C CC C C

S S

Clientes servidos

Instalación de servicio

M/M/s : G/∞/ ∞ Este modelo se ocupa de s servidores paralelos idénticos. La tasa de llegadas es λ y la tasa de servicio por servidor es µ. El efecto de utilizar s servidores idénticos paralelos es un incremento proporcional de tasa de servicio de la instalación.

n = , n  0 n  s n,  n=  s,

n s

FORMULARIO

1. Probabilidad de que no haya unidad en el sistema P0 =

1    n     s       s−1               * s      n!  +  s!  s −       n=0       

P0 =

1    n      s  s−1                    n!  +  s!    n=0     

2. Cantidad promedio de unidades en la línea de espera

   P0            Lq = = *P 2 s!(1−  ) (s − 1)!(s −  )2 s

s

0

     1  *  1−     s   

3. Cantidad promedio de unidades en el sistema

 1  L= W + =L +  q  q     4. Tiempo promedio que pasa una unidad en la línea de espera

Wq =

Lq



5. Tiempo promedio que pasa una unidad en el sistema

W = Wq +

1



6. Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar en el servicio 1     s  P(Wq  0) =    P0 = 1−P(Wq = 0) s!     s −   s





7 Probabilidad de que una unidad que llega no tenga que esperar por el servicio s−1

P(Wq = 0) =  Pn n=0

8. Probabilidad de n unidades en el sistema

      Pn = * P0 n! n

si

     * P0 Pn =  (n−s) s!s n

si

n s

n s

9. Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar un tiempo mayor que t en la línea de espera −s  (1− )t





P(Wq  t) = 1− P(Wq = 0) e

10. Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar un tiempo mayor que t en la línea de espera s      −t ( s−1−  1+ P0      1− e   *  P(W  t) = e − t   s!(1−  )    s −1−        A Cuando (s - 1 - λ/μ)=0, A debe sustituirse por μt

11. Factor de utilización

 = s (Llamado también congestión de un sistema o tasa de ocupación)

Ejemplo Un banco dispone de 3 ventanillas de atención. Los clientes llegan al banco con tasa de 1 por minuto. El tiempo de servicio es de 2 minutos por persona. Calcular: a) Número promedio de clientes en el sistema. b) Número promedio de clientes en espera. Rta: c) Tiempo promedio de los clientes en espera. Rta:

Un banco dispone de 3 ventanillas de atención. Los clientes llegan al banco con tasa de 1 por minuto. El tiempo de servicio es de 2 minutos por persona.

𝑝0 =

1 1 0.5 0!

0

1 + 0.5 1!

𝑝0 =

1

1 + 0.5 2!

2

1 3 ∗ (3 ∗ 0.5 ) 0.5 + 3! 3 ∗ 0.5 − 1

1 1 = 1+2+2+4 9

= 0.111

𝐿𝑞 = 𝐿𝑞 =

1 3 ∗ 0.5

3−1

1 ∗(0.5)

!∗(3∗0.5−1)2

8∗ 1 ∗(0.5) 1 * 1 9 2∗ 4

8 9

*

1 9

= = 0.88889

8 9

L= +

1 0.5

=

26 =2.88 9

8 8 9 𝑊𝑞 = = = 0.88889 1 9

8 9

W= +

𝑝(𝑊𝑞 > 0) =

1 0.5

1 3!

∗

=

26 =2.88 9

1 3 (3∗ 0.5 ) 1 * * 0.5 3∗0.5−1 9 4 9

𝑝(𝑊𝑞 = 0) = 1 − =

5 9

=

4 9

Ejercicio Dos compañías de taxis prestan servicio a una comunidad. Cada compañía posee dos taxis, y ambas comparten el mercado por igual; las llamadas llegan a la oficina de despachos de cada compañía a una tasa promedio de 8 por hora. El tiempo promedio por viaje es de 12 minutos. Las llamadas llegan de acuerdo con una distribución de Poisson y el tiempo de viaje es exponencial. Las dos compañías fueron adquiridas por un inversionista y se consolidarán en una sola oficina de despachos. Analice la propuesta del nuevo propietario.

Solución 𝑡𝑎𝑥𝑖𝑠 = 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑣𝑖𝑎𝑗𝑒 = 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑖𝑜

El sistema consolidado (dos compañías) es:

Cada compañía es (𝑀/𝑀/ 2) : (𝐺/∞/ ∞) Con 𝜆 = 8 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎𝑠/ℎ𝑜𝑟𝑎 , 𝜇 = 5 𝑣𝑖𝑎𝑗𝑒𝑠/ℎ𝑜𝑟𝑎

(𝑀/𝑀/4) : (𝐺/∞/∞) Con 𝜆 = 2 ∗ 8 = 16 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎𝑠/ℎ𝑜𝑟𝑎 𝜇 = 5 𝑣𝑖𝑎𝑗𝑒𝑠/ℎ𝑜𝑟𝑎

Comparación de escenarios Criterio: tiempo de espera para que llegue un taxi solicitado 𝑊𝑞

RESULTADOS

Modelo M/M/s : G/N/ ∞ El limite del sistema en finito. Esto significa que el tamaño de la cola es N - s.

,  n=  0, n,  n=  s,

0  n N nN

0  n N s  n N

perdida = PN fectc = − perdida

= (1− PN )

M/M/s : G/N/ ∞  P0 ,  n! Pn =  n  P , s!s n−s

Donde,

n

0  n s

0

s  n N

( ) ( ) ( ) ( )

  s−1   P0 =    n=0 n!  

n

( ) + (  )

  s−1   P0 =    n=0 n! 

−1

N −s −1      1−    s   +   s!1 −    s    s

n

s

s!

Si,  s1

−1

  ( N − s −1)  

Si,

s

=1

    ( ) L = 1−   s      (s −1)!(s −  ) s+1



q

2

N −s +1

     − (N − s +1)1−    s    s 

 ) (N − s )( N − s + 1) (  P L = s

q

2s!

0

Si,

=1 s

N −s

  P0 Si, s 1  

    ( ) L = 1−   s      (s −1)!(s −  ) s+1



q

2

N −s +1

     − (N − s +1)1−    s    s 

 ) (N − s )( N − s + 1) (  P L = s

q

2s!

0

Si,

=1 s

N −s

  P0 Si, s 1  

Ejemplo En el problema de la compañía de taxis consolidada, suponga que no pueden asegurarse nuevos fondos para la compra de más taxis. Se le aconsejó al propietario que una forma de reducir el tiempo de espera es que la oficina de despachos informe a los nuevos clientes sobre una demora potencial excesiva una vez que la lista de espera llegue a ser de 6 clientes. La expectativa es que estos clientes busquen el servicio en otra parte, lo que a su vez reducirá el tiempo de espera de los que ya están en la lista de espera.

Solución 𝑁 = 6 + 4 = 10 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑀/𝑀/ 4 : 𝐺/10/∞ 𝜆 = 16 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠/h𝑜𝑟𝑎 𝜇 = 5 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠/h𝑜𝑟𝑎

Solución 𝑁 = 6 + 4 = 10 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑀/𝑀/ 4 : 𝐺/10/∞ 𝜆 = 16 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠/h𝑜𝑟𝑎 𝜇 = 5 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠/h𝑜𝑟𝑎

0

1

2

3

16 16 16 16 𝑝0 = 5 + 5 + 5 + 5 + 0! 1! 2! 3!

16 5

4

16 ∗ 1− 4∗5 16 4! ∗ 1 − 4∗5

16 128 2048 𝑝0 = 1 + + + + 14.68705451 5 25 375 𝑝0 = 29.46838784

−1

= 0,033934666

−1

5

−1

Solución

Modelos colas con distribuciones no exponenciales

Modelo M/G/1 Clientes servidos Sistema de colas

CLIENTES C CC C C

S σ> 0

Clientes servidos

Instalación de servicio

FORMULARIO 1. Probabilidad de que no haya unidades en el sistema

P0 = 1−

 

2. Cantidad promedio de unidades en la línea de espera 2 2 Lq =   21−   

(0