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• ErlanDuarte

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TEOREMA DE STEINER Los momentos de inercia de sólidos rígidos con una geometría simple (alta simetría) son relativamente fáciles de calcular si el eje de rotación coincide con un eje de simetría. Sin embargo, los cálculos de momentos de inercia con respecto a un eje arbitrario puede ser engorroso, incluso para sólidos con alta simetría.

El Teorema de Steiner (o teorema de los ejes-paralelos) a menudo simplifica los cálculos.

Premisa: Supongamos que conocemos el momento de inercia con respecto a un eje que pase por el centro de masas de un objeto Teorema: Entonces podemos conocer el momento de inercia con respecto a cualquier otro eje paralelo al primero y que se encuentra a una distancia D

Procedemos ahora la demostración del Teorema:

Tomemos un elemento de masa dm situado en las coordenadas (x,y). Si ahora escogemos un sistema de coordenadas con origen en el centro de masas del objeto, las nuevas coordenadas del elemento de masa serán (x',y')

Calculamos el momento de inercia respecto del eje Z que es paralelo al eje que pasa por el centro de masas:

Como el segundo sistema de referencia tiene como origen el centro de masas:

La primera integral es el momento de inercia respecto del eje que pasa por el CM. La última integral es la masa del sólido, y magnitud que multiplica a esta integral es la distancia al cuadrado entre los dos ejes. por tanto:

El teorema fue denominado así en honor de Jakob Steiner

MOMENTO POLAR DE INERCIA El momento de inercia de un área en relación a un eje perpendicular a su plano se llama momento polar de inercia, y se representa por J. Momento polar de inercia es una cantidad utilizada para predecir el objeto habilidad para resistir la torsión, en los objetos (o segmentos de los objetos) con un invariante circular de sección transversal y sin deformaciones importantes o fuera del plano de deformaciones. Se utiliza para calcular el desplazamiento angular de un objeto sometido a un par. Es análogo a la zona de momento de inercia que caracteriza la capacidad de un objeto para resistir la flexión y es necesario para calcular el desplazamiento .Momento polar de inercia no debe confundirse con el momento de inercia, que caracteriza a un objeto de la aceleración angular debido a la tors LIMITACIONES El momento polar de inercia no se puede utilizar para analizar los ejes de sección circular. En tales casos, la constante de torsión puede ser sustituida en su lugar. En los objetos con una variación significativa de cortes

transversales (a lo largo del eje del par aplicado), que no puede ser analizado en segmentos, un enfoque más complejo que tenga que ser utilizado. Sin embargo, el momento polar de inercia puede ser utilizado para calcular el momento de inercia de un objeto con sección transversal arbitraria. DEFINICION Un esquema que muestra cómo el momento polar de inercia se calcula de una forma arbitraria o sobre un eje. P= es la distancia radial al elemento dA.

Jz = el momento polar de inercia alrededor del eje z. dA = un área elemental P= la distancia radial al elemento dA del eje z.

Esto significa que el momento polar de inercia de un área con respecto a un eje perpendicular a su plano es igual a la suma de los momentos de inercia con respecto a dos ejes perpendiculares contenidos en dicho plano y que pasen por el punto de intersección del eje polar y del plano. Para una sección circular de radio r:

Unidad. El SI la unidad de momento polar de inercia, como el momento en la zona de lainercia, es metro a la cuarta potencia (m4). La conversión de la zona Momento de Inercia

Por el teorema del eje perpendicular, la siguiente ecuación relaciona Jz para losmomentos de inercia de la zona sobre los otros dos ejes perpendiculares entre sí:

Aplicación El momento polar de inercia aparece en las fórmulas que describen torsional la tensión y el desplazamiento angular.

El estrés de torsión:

Donde: T= es el par r = es la distancia desde el centro y Jz= es el momento polar de inercia. En un eje circular, el esfuerzo cortante es máxima en la superficie del eje (ya que esdonde el par es máximo) :

Tabla A-1 de momentos de inercia del Libro de Resistencias de Materiales de Singer página 511.

Comparación de diversos momentos de inercia de un cilindro Momento polar de inercia:

Espacio momento de inercia:

Momento de inercia:

Conclusión: Momento polar de inercia se observa cuando el momento de inercia de un área en relación a un eje perpendicular a su plano, también se vio que la unidad está dada en m4.

Bibliografía: Libro de Resistencias de Materiales de Singer.