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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA FISICA II

SECCION C

PENDULO FISICO Y TEOREMA DE STEINER

PROLOGO

El presente Informe de laboratorio, que tiene por titulo Péndulo Físico y teorema de Steiner, en la sección a la cual pertenece el grupo de trabajo estuvo a cargo del Ing. Jose Pachas, profesor del curso de Física II, de la Facultad de Ingeniería Mecánica. El tema nos es útil para entender los diferentes métodos que existen para hallar el momento inercia de un cuerpo, sobre todo si tiene una geometría desconocida. También es una nueva oportunidad que tenemos los alumnos pertenecientes al grupo, para poder dar un aporte que sea útil a nuestros compañeros, con los cuales intercambiaremos información sobre el tema desarrollado, resultados, y así sacar conclusiones, con las cuales sacar recomendaciones para mejorar el experimento realizado. Por ultimo esperamos que el presente informe sea de su agrado.

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INDICE

Prologo

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Indice

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Objetivos

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Fundamento Teorico

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Materiales

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Cálculos y resultados

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Observaciones

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Conclusiones

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Recomendaciones

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Bibliografía

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Apéndice

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OBJETIVOS 

Comprobar experimentalmente las leyes del péndulo físico constituido por una barra metálica, midiendo el período de oscilación del mismo, para varias posiciones del centro de oscilación.



Hallar la variación del T(periodo), respecto a la longitud entre el C.G, y el eje en que oscila.



Determinar el tipo de movimiento respecto al ángulo de giro de la barra metálica



Saber el procedimiento del calculo de momento de inercia para cuerpos con geometría desconocida.

FUNDAMENTO TEORICO PENDULO FISICO Se llama péndulo físico a aquel cuerpo rígido capaz de pivotar a través de un eje horizontal fijo, como se muestra en la figura (a), este al ser desplazado de su posición de equilibrio, figura (b), aparece un torque ejercido por la fuerza de gravedad teniendo como línea de acción el eje horizontal en el que se suspende el cuerpo rígido y con dirección contraria al desplazamiento angular  , y de esta forma llevar al cuerpo rígido a su posición de equilibrio, posición que no logra obtener debido a la inercia del cuerpo rígido, llevando la así a una nueva posición, donde nuevamente aparece un torque recuperador repitiéndose este movimiento oscilatorio.

En el péndulo simple se cumple las siguientes relaciones (desmostradas en el punto 8 de calculos y resultados): T  2

 mg

 o   G  m 2

G 

m a 2  b2  12

Donde: T Io IG m 

: :

: : :

periodo momento inercia respecto al eje momento inercia con respecto al centro de gravedad (constante) masa longitud del centro de gravedad al eje que pasa por O

En el caso que estudiaremos para la barra usaremos las siguientes terminologías y relaciones: i m a 2  b2  2 Ti  2  i   G  m i  G  m g i 12 Donde: 1

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA FISICA II Ti Ii IG m i b a

: :

: : : : :

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periodo experimental momento inercia para cada # de hueco momento inercia con respecto al centro de gravedad (constante) masa (constante) longitud del centro de gravedad a cada # de hueco longitud de la barra (constante) ancho de la barra (constante)

Momento de Inercia Dado un eje arbitrario, para un sistema de partículas se define como la suma de los productos entre las masas de las partículas que componen un sistema, y el cuadrado de la distancia r de cada partícula al eje escogido. Representa la inercia de un cuerpo a rotar. Matemáticamente se expresa como:

Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo) lo anterior se generaliza como:

El subíndice V de la integral indica que hay que integrar sobre todo el volumen del cuerpo. Este concepto, desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme.(La masa es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el Momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación) Así, por ejemplo, la segunda ley de newton tiene como equivalente para la rotación:

MATERIALES    

Una barra metalica con agujeros circulares Un soporte de madera con cuchilla Un cronometro digital Una regla milimetrada

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CALCULOS Y RESULTADOS 1. Presentamos la tabla 1 Donde calculamos el periodo T de la siguiente forma : T 

t1  t 2  t3 # de oscilacion es  3

# de hueco

 i (cm)

t1 (s)

t2 (s)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

50.8 45.8 40.8 35.7 30.8 25.8 20.9 15.9 10.8 5.8

16.76 16.48 16.36 16.04 15.93 9.68 9.98 10.72 6.14 7.89

16.75 16.40 16.18 16.12 15.95 9.67 9.89 10.67 6.06 8.01

t3 (s)

# de oscilaciones

periodo T promedio

16.76 16.50 16.21 16.02 15.96 9.65 10.06 10.68 6.10 8.04

10 10 10 10 10 6 6 6 3 3

1.676 1.646 1.625 1.606 1.595 1.611 1.663 1.782 2.033 2.660

2. a) Grafica de T vs  

b) Calculo de  a partir del periodo T, cuando T es minimo 4

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA FISICA II Para ello se calculara a partir de las siguientes relaciones: T  2

 mg

   G  m 2

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 ( )

 ( )

Primero hacemos a T en función de , entonces reemplazamos (β) en (α) T  2

 G  m2 mg

Luego hay dos formas de resolverlo: 1. Aplicando el criterio de la primera derivada, derivamos respecto a  dT  (m 2 4   G2 ) dT  0   para T mínimo, 2 2 3 d d m g 

G  ( ) m Pero IG es igual a: m a 2  b2  a2  b2 , reemplazando en ( ) tenemos:   G  12 12 Reemplazando los datos: a = 3.75 cm ; b = 102.6 cm

Quedando  

Obtenemos

=29.63  T=1.544

2. Como tenemos T en función de , lo graficamos usando el programa MATLAB 7.0 , y obtenemos que para T mínimo, =29.63 y T=1.544, dándonos el mismo resultado (Apéndice A), pero de una manera mas rápida que la anterior. c) Comparación de  obtenido en a) y b), y su respectivo periodo Los resultados obtenidos de

a) son: =30.08 b) son: =29.63

y y

T=1.595 T=1.544

d) Para deducir dos puntos con el mismo periodo, trazamos una recta horizontal, (en la grafica de T vs ) y afirmamos que son correspondientes al hueco # 4 y hueco # 6

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA FISICA II 3. Tabla 2 # de hueco Eje de oscilación (periodo)2  (cm) T 2(S2) 1 50,8 2.81 2 45,8 2.71 3 40,8 2.64 4 35,7 2.58 5 30,8 2.54 6 25,8 2.60 7 20,9 2.76 8 15,9 3.17 9 10,8 4.13 10 5,8 7.08 4. Grafico de I1 vs  2

5. Por comparación obtener IG y M Del grafico anterior y por un ajuste de curvas obtuvimos: Y=1.861X + 1873.9 Donde X=2 Y=I 2 Reemplazando queda : I =1.861 + 1873.9 comparando con la formula I = m.L2 + IG Tenemos: m= 1.861 Kg. IG = 1873.9 Kg.cm2 6

SECCION C LONGITUD2  2 (cm2)

Momento de Inercia (Kg.cm2)

2580.64 2097.64 1664.64 1274.49 948.64 665.64 436.81 252.81 116.64 33.64

6635.20 5772.19 5011.66 4283.26 3643.39 3115.20 2688.00 2347.82 2077.09 1909.00

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA FISICA II 6. Obtención del error experimental para IG

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Aplicando la formula para una barra homogénea: m a 2  b2  G  12 Donde: a: ancho de la barra b: largo de la barra m: masa Reemplazando los datos tenemos IG = 1644.36 Kg.cm2 El error experimental es: %error  %error  12.24%

1873.9  1644.36  100 1873.9

7. Hallando la longitud del péndulo simple equivalente Como Sabemos el período del péndulo simple es : T  2 Pero para el péndulo físico el período es

T  2

:

 g

l Mg

Entonces si igualamos estas dos ecuaciones obtendremos que: 

l M

Para el hueco 8: Momento inercia = 2347.82 Kg.cm2 Masa = 1.872 Kg  L = 35.41cm

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8) Demostración de las relaciones utilizadas Demostración de la relación (13.1) Cuando el cuerpo se desplaza como se muestra en la gráfica, el peso mg causa un momento de torsión de restitución: M o  (mg )(sen )

El signo negativo implica que el momento de torsión es horario si el desplazamiento es antihorario y viceversa. Si se suelta el cuerpo, oscila alrededor de su posición de equilibrio, el movimiento no es un M.A.S porque el momento de torsión  es proporcional a sen, no a  , pero si  es pequeño podemos aproximar sen por  en radianes, y el movimiento es aproximadamente M.A.S Quedando: M o  (mg )( ) Pero la ecuación de movimiento es:  M O   i . Remplazando:  mg ( )     mg   0

 

Pero  

… ecuación diferencial

mg.  i

2 



  2

i mg . i

Demostración del teorema de steiner (relación 13.2) El teorema de Steiner es una fórmula que nos permite calcular el momento de inercia de un sólido rígido respecto de un eje de rotación que pasa por un punto O, cuando conocemos el momento de inercia respecto a un eje paralelo al anterior y que pasa por el centro de masas. El momento de inercia del sólido respecto de un eje que pasa por O es El momento de inercia respecto de un eje que pasa por C es

Para relacionar IO e IC hay que relacionar ri y Ri. En la figura, tenemos que

El término intermedio en el segundo miembro es cero ya que obtenemos la posición xC del centro de masa desde el centro de masa. Quedando:

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OBSERVACIONES 

En los diferentes casos las oscilaciones que dio el péndulo simple, el ángulo inicial con el que se soltó no es el mismo, tiene una ligera variación.



El tiempo medido para cada caso de oscilacion sufre variaciones debido a la precision del cronometro.



La cuchilla q sostiene a la barra metálica no es un eje fijo (como se indica teóricamente) tiene pequeñas vibraciones, esto provoca una propagación de errores.



El momento de inercia obtenido respecto al eje de oscilación (teórico y experimental) son diferentes debido a que no se consideran los huecos que tiene la barra.

CONCLUSIONES 

El cálculo de momento de inercia para cuerpos que no presentan geometría conocida, es más fácil calcularlo utilizando el péndulo físico.



En un péndulo físico, cuanto mas se acerca el eje de oscilación al centro de gravedad, su periodo disminuye luego aumenta.



En un péndulo físico y simple el ángulo de giro debe ser mucho menor a 15 grados, para que sea un M.A.S (movimiento armónico simple) y si es mayor a esta se da un M.A.A (movimiento armónico amortiguado).



En el experimento se pudo hallar la longitud de un péndulo simple equivalente a la barra metálica, utilizando previamente el periodo experimental.



En el experimento se pudo poner a prueba las formulas de péndulo físico hechas en clases.



En el desarrollo del laboratorio nos dimos cuenta que existe fuerzas que no se consideran en los resultados como son la temperatura, la fuerza de fricción del aire.

RECOMENDACIONES 

Para que los resultados sean más precisos se recomienda tener en cuenta las masas de los huecos de la barra.



Se recomienda limpiar la barra de las manchas hechas por el uso de otros experimentos.



Para tener una mejor precisión a la hora de medir el tiempo de oscilación con el cronometro, es necesario tomar una referencia fija de llegada de la barra luego de cumplir sus oscilaciones.

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BIBLIOGRAFIA 

Facultad de Ciencias.(Universidad Nacional de Ingeniería), Manual de laboratorio de física general, 2004, Pág. 81.



Separata de movimiento oscilatorio(Universidad Nacional de Ingeniería);José Casado Marqués, docente de la UNI, Pág. 8



Mecánica Racional(Dinámica),editorial Libros Técnicos, Jorge Días Mosto; Pág. 233.



www.sociedadcolombianadefisica.org.co/revista/Vol36_1/articulos/ pdf/3601056.pdf



www.fisicarecreativa.com/guias/pendulo2.pdf

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APENDICE Apéndice A Para la grafica de T vs L, programamos en MatLab 7.0 lo siguiente: %LvsT L=4:1/1000:60 T=2*pi*sqrt((1644.36+1.872*L.^2)./(1.872*981*L)) comet(L,T) plot(L,T) grid on ylabel('T (s)') xlabel('L (cm)') y la grafica fue

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