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Teorema de maxwell Y CASTIGLIANO

FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

TEOREMA DE CASTIGLIANO

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

Teorema de maxwell Y CASTIGLIANO

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INTRODUCCIÓN

La estructura es el conjunto mecánico encargado de soportar y transmitir las cargas hasta las cimentaciones, donde serán absorbidas por el terreno. Para ello, las estructuras se encuentran constituidas por una serie de barras enlazadas entre sí. Las vigas son los principales elementos estructurales, la cual ofrece resistencia a la deformación; con exactitud a la flexión. Existen muchos métodos de conservación de energía, los cuales sirven para el cálculo de las deflexiones de una viga; el primer método de Castigliano es uno de ellos, es conocido como el más exacto para estas operaciones, ya que primero calcula el trabajo realizado por la fuerza cortante que aplica la cargas en dicha viga, y por último calcula lo que se desea en realidad: cuán deformable es el material q vamos a utilizar en la fabricación de esta. Los teoremas y procedimientos relacionados con la energía de deformación ocupan una posición central en todo cálculo de estructuras. En este trabajo se a intentará determinar la deformación de una viga, utilizando los teoremas de Castigliano. Pues calcular el desplazamiento de un cuerpo, sólo se aplica a cuerpos de temperatura constante, de material con comportamiento elástico lineal; es decir nos ayuda a calcular las deflexiones producidas en una viga a causa de una determinada carga que debe soportar y por ende nos ayuda a elegir el mejor material para la construcción de estás según su resistencia y para que propósito la necesitamos.

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TEOREMA DE CASTIGLIANO “La componente de desplazamiento del punto de aplicación de una acción sobre una estructura en la dirección de dicha acción, se puede obtener evaluando la primera derivada parcial de la energía interna de deformación de la estructura con respecto a la acción aplicada”.1 Este es el teorema de Castigliano, llamado así en honor al ingeniero Italiano Alberto Castigliano (1847-1884), quien lo estableció. Si un cuerpo homogéneo, isotopo y elásticoestá sujeto a la acción de un sistema cualquiera de fuerzas exteriores que lo mantiene en equilibrio, el trabajo de deformación almacenado en él es función del sistema de cargas: 𝑤 = 𝑤(𝐹𝑖 , 𝑀𝑖 ) Además, supondremos que los apoyos son fijos y que la función w es diferenciable. El incremento del trabajo puede entonces s escribirse en la forma: 𝜎𝑊 𝜎𝑊 ∆𝑤 = ∆𝐹𝑖 + ∆Mi + a√∆𝐹𝑖2 + ∆𝑀𝐼2 𝜎𝐹𝑖 𝜎𝑀𝑖 En donde: ∆𝐹 𝑎 → 0. Si { 𝑖 } → 0 ∆𝑀𝑖 Cuando sobre el cuerpo solamente actúa la fuerza ∆𝐹𝑖 , el trabajo efectuado es: 𝜎𝑊 ∆𝐹 + 𝑎∆𝐹𝑖 𝜎𝐹𝑖 𝑖 Si aplicamos sobre el cuerpo una fuerza ∆𝐹𝑖 , se produce una deformación ∆𝛿𝑖 y un trabajo: 1 𝑊 = ∆𝐹𝑖 ∆𝛿𝑖 2 Siempre que la carga ∆𝐹𝑖 se aplique gradualmente. Si una vez efectuado este trabajo se carga al cuerpo con el sistema Fi que desarrolla un trabajo Wi y produce una deformación 𝛿𝑖 en dirección de la fuerza aplicada- el trabajo de deformación en el cuerpo es: ∆𝑊 =

1

𝑊 = 2 ∆𝐹𝑖 ∆𝛿𝑖 + ∆𝐹𝑖 𝛿𝑖 + 𝑊𝑖 Por tanto, el incremento del trabajo vale: 1

∆𝑤 = 2 ∆𝐹𝑖 ∆𝛿𝑖 + ∆𝐹𝑖 𝛿𝑖

(3.1)

(3.2)

Sustituyendo el valor de la ecuación (3.2) en la ecuación (3.1) queda: 𝜎𝑊 1 ∆𝐹𝑖 + 𝑎∆𝐹𝑖 = ∆𝐹𝑖 ∆𝛿𝑖 + ∆𝐹𝑖 𝛿𝑖 𝜎𝐹𝑖 2 Dividiendo entre ∆𝐹𝑖 :

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𝜎𝑊 1 + 𝑎 = ∆𝛿𝑖 + 𝛿𝑖 𝜎𝐹𝑖 2 Tomando límite cuando ∆𝐹𝑖 → 0, queda: 𝜎𝑊 = 𝛿𝑖 𝜎𝐹𝑖 Ya que: lim 𝑎 = 0ylim ∆𝛿𝑖 = 0 ∆𝐹𝐼 → 0 ∆𝐹𝑖 → 0 Podemos, entonces enunciar el primer teorema de castigliano: “la derivada del trabajo de deformación con respecto a una fuerza Fi cualquiera, mide la deformación 𝛿𝑖 que experimenta el cuerpo en el punto de aplicación de dicha fuerza.” Considerando ahora que el cuerpo en estudio solamente actúa el sistema ∆𝑀𝑖 , siendo el trabajo función continúa y diferencial, se cumple: ∆𝑊 ∆𝑤 = ∆𝑀𝑖 + 𝑎∆𝑀𝑖 ∆𝑀𝑖 Al aplicar el par ∆𝑀𝑖 , gradualmente, por la ley de clapeyron: 1 ∆𝑤 = ∆𝑀𝑖 ∅𝑖 2 Igualando ambos incrementemos de trabajo: 𝜎𝑊 1 ∆𝑀𝑖 + 𝑎∆𝑀𝑖 = ∆𝑀𝑖 ∅𝑖 𝜎𝑀𝑖 2 Dividiendo entre ∆𝑀𝑖, y tomando limites cuando ∆𝑀𝑖, → 0 𝜎𝑊 = ∅𝑖 𝜎𝑀𝑖 Esta ecuación corresponde al segundo teorema de castigliano, que dice: “la derivada del trabajo de deformación con respecto a un par ∆𝑀𝑖, cualquiera, mide el ángulo de rotación producido por dicho par en el punto de su aplicación”.2

TEOREMA DE CASTIGLIANO PARA ARMADURAS La energía de deformación para un miembro de una armadura esta dada por la ecuación 𝑁²𝐿 𝑈= 2𝐴𝐸 𝛿𝑈𝑖 Sustituyendo esta ecuación de la ecuación:∆𝑖 = 𝛿𝑃𝑖 y omitiendo el subíndice (i) tenemos 𝛿 𝑁²𝐿 𝑈= =∑ 𝛿𝑃 2𝐴𝐸 Es generalmente más fácil efectuar la diferenciación antes de sumar. En el caso general, L, A, E son contantes para en miembro dado y por tanto puede escribirse: 𝛿𝑁 𝐿 ∆= ∑𝑁 ( ) 𝛿𝑃 𝐴𝐸

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∆= desplazamiento externo del nudo de la armadura. P= fuerza externa aplicada al nudo de la armadura en la dirección de la ∆ buscada. N= fuerza interna en un miembro causada por las fuerzas P y cargas sobre la armadura L= longitud de un miembro. A= área de la sección transversal de un miembro. E= módulo de elasticidad de un miembro. La ecuación es similar a la usada en el Método del Trabajo Vertical: 𝑁𝐿 ∆= ∑𝑛 𝐴𝐸 𝛿𝑁 Excepto que se desplaza por 𝛿𝑃 . Nótese que para determinar esta derivada parcial es necesario tratar a P como una variable (no como una cantidad numérica especifica) y además, cada fuerza de barra N debe expresarse como función de P. Por esto, el cálculo 𝛿𝑁 de 𝛿𝑃 requiere en general algo más de trabajo que el requerido para calcular cada fuerza n determinada.3

EJERCICIOS Ejemplo 1 Calcular la máxima deformación de una viga simplemente apoyada con una carga uniformemente distribuida

Se ha colocado una carga imaginaria Q en el centro de la viga, que es el punto de máxima deformación. Considerando sólo la parte izquierda, el momento es:

La energía de deformación para la viga entera es el doble de la correspondiente a la mitad de la viga.

La deformación en el centro es:

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Puesto que Q es imaginaria podemos ahora igualarla a cero.4

Ejemplo 2 Calcular el desplazamiento en el extremo libre B de la viga envoladizo.

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5

Ejemplo 3 Sea una viga en voladizo, empotrada en A y con un momento aplicado en B. Nos planteamos calcular el desplazamiento vertical de C (punto medio de AB). En tal caso:

Donde F es una fuerza infinitesimal aplicada en C, en la dirección en que se quiere calcular el desplazamiento. Así tendremos:

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CONCLUSIONES 1. El teorema de Castigliano está diseñado para aplicarlo ev vigas que están solicitadas por más de una carga puntual en donde utilizando la derivada parcial de la energía de deformación se pueden calcular las deflexiones y los ángulos de giro. 2. También se concluye que el teorema de Castigliano se utiliza para calcular la deformación de armaduras en donde la carga P no es considerada como una carga numérica sino como una variable. 3. Este teorema tiene también un parecido al método del trabajo virtual. 4. El método de Castigliano, con sus dos teoremas, nos sirve para el cálculo de deflexiones y pendientes en cualquier punto de una viga. 5. Este método, con sus dos teoremas, nos sirve para el cálculo de deflexiones y pendientes en vigas estáticamente determinadas e indeterminadas.

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BIBLIOGRAFIA 1. http://en.wikipedia.org/wiki/Carlo_Alberto_Castigliano 2. Carlos Alberto Riveros Jerez (2008) Análisis Estructural Teorema de Castigliano. Departamento de Ingeniería Sanitaria y Ambiental Facultad de Ingeniería

3. Ing. Alberto Martínez Castillo. Análisis y Diseño de Estructuras Tomo 1. Resistencia de Materiales. Alfaomega. México

4. http://www.eumed.net/libros-gratis/ciencia/2013/14/teoremacastigliano.html

5. Teoremas Energéticos Fundamentales al Análisis Estructural”, pág. 8 6.

Russell C. Hibbeler. Analilis de Estructuras. 3ra edición. Unidad 9. Pág. 784

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INTRODUCCION

En este capitulo aplicaremos los metodos energeticos basados en la ley de flexibilidad de las estructuras al analisis de armaduras,vigas y marcos estaticamente indeterminados. El diseño de Estructuras implica un profundo conocimiento del comportamiento de las mismas, lo cual hace imprescindible el estudio de las cargas permanentes y accidentales, los materiales a utilizar ya que sus propiedades hacen a las condiciones de diseño, las necesidades para el funcionamiento que se le ponen al proyectista y, entre otras cosas

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el Análisis de la Estructura, entendiéndose por Análisis el cálculo de solicitaciones (Reacciones, Momentos flectores y torsores, Esfuerzos normales y de corte) y de deformaciones. El Análisis de Estructuras es el principal objetivo del capítulo, con la salvedad de que si sólo fuera hallar los valores numéricos de solicitaciones y deformaciones, no tendríamos más que explicar el uso de alguno de los métodos para el Cálculo de Estructuras que se presentan en las diferentes bibliografías.

TEOREMA DE MAXWELL DE LAS DEFLEXIONES RECÍPROCAS: Maxwell formuló su teorema de las deflexiones recíprocas en 1864, pero por no demostrarle aplicación práctica sólo vino a ser apreciado en 1886, cuando Muller- Breslau presentó su versión del método Maxwell- Mohr.

Deformaciones debido a dos tipos de cargas: ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

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Considerando el pórtico de la figura, al aplicarle la fuerza horizontal en A la estructura se deforma de la manera indicada en (a), donde se han utilizado coeficientes de influencia definidos así: ij = desplazamiento en i, en la dirección de la carga aplicada en i, producido por una carga unitaria aplicada en j; Y el principio de superposición. Similarmente, si se aplica una carga vertical PB en B, se obtiene la deformada de (b). Si ambas cargas se aplican gradual y simultáneamente, el trabajo total externo producido por ellas será: 𝟏 𝟏 𝒘 = 𝑷𝑨 (𝑷𝑨 𝑨𝑨 + 𝑷𝑩 𝑨𝑩 ) + 𝑷𝑩 (𝑷𝑨𝑩𝑨 + 𝑷𝑩 𝑩𝑩 ) 𝟐 𝟐 Si sólo se aplica PA, se efectuará un trabajo: 𝟏 𝑾𝑰 = 𝑷𝑨 (𝑷𝑨 𝑨𝑨 ) 𝟐 Y si después de que PA alcance su valor final se aplicará gradualmente PB, habrá un trabajo adicional: 𝟏 𝑾𝑰𝑰 = 𝑷𝑨 (𝑷𝑩 𝑨𝑩 ) + 𝑷𝑩 ( 𝑷𝑩 𝑩𝑩 ) 𝟐 Pero por el principio de superposición el trabajo realizado es independiente de la secuencia. De ahí que: 𝑾 = 𝑾𝑰 + 𝑾𝑰𝑰 Y reemplazando los valores respectivos dados arriba resulta: 𝟏 𝟏 𝑷𝑩 𝑷𝑨 (𝑩𝑨 ) = 𝑷𝑨 𝑷𝑩 (𝑨𝑩 ) 𝟐 𝟐 𝑩𝑨 = 𝑨𝑩 Y generalizando: 𝒊𝒋 = 𝒋𝒊 Como i y j son dos puntos cualesquiera, es teorema de Maxwell de las deflexiones recíprocas se puede enunciar como sigue: Cualquier componente lineal de deflexión de un punto i que resulte de la aplicación de una fuerza unitaria en cualquier otro punto j, es igual en magnitud a la componente lineal de la deflexión de j (en la dirección de la fuerza aplicada inicialmente en j), que resulta de la aplicación de una fuerza unitaria en i en la misma dirección de la componente original de la deflexión en i. TEOREMA RECÍPROCO DE MAXWELL

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Dos sistemas de carga y sus componentes correspondientes de deflexión Por consiguiente las, componentes de deflexión que resultan al aplicar el sistema (I) de cargas son: 𝑨 = 𝑷𝑨 ´𝑨𝑨 + 𝑴𝑩 ´𝑨𝑩 + 𝑷𝑪 ´𝑨𝑪 𝑩 = 𝑷𝑨 𝑩𝑨 + 𝑴𝑩  ´𝑩𝑩 + 𝑷𝑪 𝑩𝑪 𝑪 = 𝑷𝑨 𝑪𝑨 + 𝑴𝑩  ´𝑪𝑩 + 𝑷𝑪 𝑪𝑪 En donde de nuevo las primas indican giros producidos por fuerzas de deflexiones debidas a momentos. Las componentes de deflexión causadas por el sistema (II) son:

𝑨 = 𝑴𝑨  ´𝑨𝑨 + 𝑷𝑩  ´𝑨𝑩 + 𝑷𝑪  ´𝑨𝑪 𝑩 = 𝑴𝑨  ´𝑩𝑨 + 𝑷𝑩  ´𝑩𝑩 + 𝑷𝑪  ´𝑩𝑪 𝑪 = 𝑴𝑨  ´𝑪𝑨 + 𝑷𝑩  ´𝑪𝑩 + 𝑷𝑪  ´𝑪𝑪 Aplicando ahora arbitrariamente las componentes correspondientes de deflexión del sistema (II), como desplazamientos virtuales del sistema (I), resulta un trabajo: 𝑾𝟏 = 𝑷𝑨 (𝑴𝑨  ´𝑨𝑨 + 𝑷𝑩  𝑨𝑩 + 𝑷𝑪  𝑨𝑪 ) + 𝑴𝑩 (𝑴𝑨  𝑩𝑨 + 𝑷𝑩  ´𝑩𝑩 + 𝑷𝑪  ´𝑩𝑪 ) + 𝑷𝑪 (𝑴𝑨  ´𝑪𝑨 + 𝑷𝑩  𝑪𝑩 + 𝑷𝑪  𝑪𝑪 ) 𝑾𝟏 = 𝑷𝑨 𝑴𝑨  ´𝑨𝑨 + 𝑷𝑨 𝑷𝑩  𝑨𝑩 + 𝑷𝑨 𝑷𝑪  𝑨𝑪 + 𝑴𝑩 𝑴𝑨  𝑩𝑨 + 𝑴𝑩 𝑷𝑩  ´𝑩𝑩 + 𝑴𝑩 𝑷𝑪  ´𝑩𝑪 + 𝑷𝑪 𝑴𝑨  ´𝑪𝑨 + 𝑷𝑪 𝑷𝑩  𝑪𝑩 + 𝑷𝑪 𝑷𝑪  𝑪𝑪 ……. (1)

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Haciendo ahora lo contrario, es decir, utilizando las componentes correspondientes de deflexión del sistema (I) como desplazamientos virtuales del sistema (II), el trabajo virtual efectuado es: 𝑾𝑰𝑰 = 𝑴𝑨 (𝑷𝑨 ´𝑨𝑨 + 𝑴𝑩 𝑨𝑩 + 𝑷𝑪 ´𝑨𝑪 ) + 𝑷𝑩 (𝑷𝑨 𝑩𝑨 + 𝑴𝑩  ´𝑩𝑩 + 𝑷𝑪 𝑩𝑪 ) + 𝑷𝑪 (𝑷𝑨𝑪𝑨 + 𝑴𝑩  ´𝑪𝑩 + 𝑷𝑪 𝑪𝑪 ) = 𝑾𝑰𝑰 = 𝑴𝑨 𝑷𝑨 ´𝑨𝑨 + 𝑴𝑨 𝑴𝑩 𝑨𝑩 + 𝑴𝑨 𝑷𝑪 ´𝑨𝑪 + 𝑷𝑩 𝑷𝑨 𝑩𝑨 + 𝑷𝑩 𝑴𝑩  ´𝑩𝑩 + 𝑷𝑩 𝑷𝑪 𝑩𝑪 + 𝑷𝑪 𝑷𝑨 𝑪𝑨 + 𝑷𝑪 𝑴𝑩  ´𝑪𝑩 + 𝑷𝑪 𝑷𝑪 𝑪𝑪 ……. (2) Si se aplica el teorema de Maxwell de las deflexiones recíprocas a los términos que tienen igual número en las ecuaciones (1) y (2), se observa que dichas ecuaciones resultan iguales, produciéndose, en consecuencia, enunciar el principio de Maxwell y Betti como sigue: Dada cualquier estructura estable con una relación lineal cargadeformación, en la cual se han escogido puntos arbitrarios en donde se consideran aplicadas fuerzas o momentos en cualquiera de dos sistemas de cargas diferentes, el trabajo virtual hecho por las fuerzas y momentos del primer sistema, al recorrer las deflexiones correspondientes causadas por el segundo sistema, es igual al trabajo virtual hecho por las fuerzas y momentos del segundo sistema al recorrer las deflexiones correspondientes causadas por el primer sistema. NOTACION: Pm, Pn:

Sistemas de fuerzas que actúan separada e independiente sobre la estructura mn: Desplazamiento del punto de aplicación de una de las fuerzas Pm (en la dirección y sentido de ésta fuerza) causada por la aplicación del sistema de fuerzas Pn. nm: Desplazamiento del punto de aplicación de una de las fuerzas Pn causada por la aplicación del sistema de fuerzas Pm. ab: Desplazamiento del punto a en la dirección  debido a una carga P1 actuando en el punto b en la dirección . ba: Desplazamiento del punto b en la dirección  debido a una carga P1 actuando en el punto a en la dirección . En cualquier estructura de material elástico, con apoyos indeformables y bajo temperatura constante, el trabajo virtual externo de las fuerzas del sistema Pm asociadas a los desplazamientos causados por el sistema de fuerzas Pn es igual al trabajo virtual externo de las fuerzas del sistema Pn asociados a los desplazamientos causados por el sistema Pm:

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𝑷𝒎 𝒎𝒏 = 𝑷𝒏 𝒏𝒎

CONCLUSIONES

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 El teorema que se ha demostrado para una carga real unitaria,pero si es valido para esta carga tiene que serlo para cualquiera.  El teorema de Maxwell simplifica notablemente el calculo de deformaciones en los metodos de analisis estructuras hiperestaticas como se vera en los capitulos posteriores del curso.  Ademas es un enunciado importante el uso de la energia de la deformacion en relacion al trabajo ocasiona en ella.  El teorema de Maxwell y Betti es aplicado para dos o más sistemas en las cuales ya son conocidos los desplazamientos.

BIBLIOGRAFIA

 Timoshenko, S., Resistencia de materiales. Teoría elemental y problemas, Espasa-Calpe, 1970,  Analisis estructural R.C HIBBELER.  Analisis estructural Jeffrey P. LAIBLE.

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