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• Janeth Morales

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CONTENIDO TEOREMA DE MAXWELL ................................................................................. 2 Teorema ......................................................................................................... 2 Teorema De Maxwell de las Deflexiones Recíprocas: .................................... 3 Teorema Recíproco de Maxwell y Betti .......................................................... 5 RELACIONES ESFUERZO-DEFORMACIÓN PARA EL CONCRETO Y EL ACERO - R.PARK Y T. PAULAY ....................................................................... 8 Concreto ......................................................................................................... 8 Comportamiento bajo esfuerzo uniaxial. ......................................................... 8 Comportamiento del esfuerzo de compresión ................................................ 8 Comportamiento del esfuerzo de tensión ..................................................... 13 Confinamiento del concreto por el refuerzo .................................................. 14 Resistencia de miembros sometidos a flexión .............................................. 18

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TEOREMA DE MAXWELL

El teorema de Maxwell-Betti, o de forma más completa, teorema de reciprocidad de Maxwell-Betti de resistencia de materiales se debe al matemático italiano Enrico Betti, quien en 1872 generalizó un teorema de Maxwell, publicado a su vez en 1864. Este teorema pertenece a una serie de teoremas energéticos, entre los que se encuentran también los teoremas de Castigliano. La importancia de los teoremas energéticos radica en su potencia en el análisis de estructuras, que se debe a su sencillez y generalidad. Este teorema es también de importancia en el planteamiento del Método de elementos de frontera. TEOREMA Supongamos que las cargas aplicadas al sólido crecen, progresivamente, desde cero hasta su valor final de una manera continua. En ese caso, el trabajo W realizado por todas las cargas que actúan sobre el sólido quedaría almacenado como energía elástica de deformación U en el sólido y, por tanto: U =W El trabajo realizado por las cargas exteriores aplicadas a un sólido es la mitad de la suma del producto de dichas cargas por los desplazamientos de sus puntos de aplicación (en las direcciones de las mismas, por supuesto).

Geometría deformada

Geometría sin deformar

FÓRMULAS DE CLAPEYRON:

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TEOREMA DE MAXWELL DE LAS DEFLEXIONES RECÍPROCAS:

Maxwell formuló su teorema de las deflexiones recíprocas en 1864, pero por no demostrarle aplicación práctica sólo vino a ser apreciado en 1886, cuando Muller− Breslau presentó su versión del método Maxwell− Mohr.

Deformaciones debido a dos tipos de cargas: Considerando el pórtico de la figura, al aplicarle la fuerza horizontal en A la estructura se deforma de la manera indicada en (a), donde se han utilizado coeficientes de influencia definidos así:

8ij = desplazamiento en i, en la dirección de la carga aplicada en i, producido por una carga unitaria aplicada en j; Y el principio de superposición. Similarmente, si se aplica una carga vertical PB en B, se obtiene la deformada de (b). Si ambas cargas se aplican gradual y simultáneamente, el trabajo total externo producido por ellas será:

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Si sólo se aplica PA, se efectuará un trabajo:

Y si después de que PA alcance su valor final se aplicará gradualmente PB, habrá un trabajo adicional:

Pero por el principio de superposición el trabajo realizado es independiente de la secuencia. De ahí que:

Y reemplazando los valores respectivos dados a riba resulta:

Y generalizando:

Como i y j son dos puntos cualesquiera, es teorema de Maxwell de las deflexiones recíprocas se puede enunciar como sigue: Cualquier componente lineal de deflexión de un punto i que resulte de la aplicación de una fuerza unitaria en cualquier otro punto j, es igual en magnitud a la componente lineal de la deflexión de j (en la dirección de la fuerza aplicada inicialmente en j), que resulta de la aplicación de una fuerza unitaria en i en la misma dirección de la componente original de la deflexión en i.

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TEOREMA RECÍPROCO DE MAXWELL Y BETTI

Dos sistemas de carga y sus componentes correspondientes de deflexión Por consiguiente las, componentes de deflexión que resultan al aplicar el sistema (l) de cargas son:

En donde de nuevo las primas indican giros producidos por fuerzas de deflexiones debidas a momentos. Las componentes de deflexión causadas por el sistema (ll) son:

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Aplicando ahora arbitrariamente las componentes correspondientes de deflexión del sistema (ll), como desplazamientos virtuales del sistema (l), resulta un trabajo:

Haciendo

ahora

lo

contrario,

es

decir,

utilizando

las

componentes

correspondientes de deflexión del sistema (l) como desplazamientos virtuales del sistema (ll), el trabajo virtual efectuado es:

Si se aplica el teorema de Maxwell de las deflexiones recíprocas a los términos que tienen igual número en las ecuaciones (1) y (2), se observa que dichas ecuaciones resultan iguales, produciéndose, en consecuencia, enunciar el principio de Maxwell y Betti como sigue: Dada cualquier estructura estable con una relación lineal carga− deformación, en la cual se han escogido puntos arbitrarios en donde se consideran aplicadas fuerzas o momentos en cualquiera de dos sistemas de cargas diferentes, el trabajo virtual hecho por las fuerzas y momentos del primer sistema, al recorrer las deflexiones correspondientes causadas por el segundo sistema, es igual al trabajo virtual hecho por las fuerzas y momentos del segundo sistema al recorrer las deflexiones correspondientes causadas por el primer sistema. NOTACION: Pm, Pn:

Sistemas de fuerzas que actúan separada e independiente sobre la estructura.

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6mn: Desplazamiento del punto de aplicación de una de las fuerzas Pm (en la dirección y sentido de ésta fuerza) causada por la aplicación del sistema de fuerzas Pn. 6nm: Desplazamiento del punto de aplicación de una de las fuerzas Pn causada por la aplicación del sistema de fuerzas Pm. 6ab: Desplazamiento del punto a en la direcciónα debido a una carga P1 actuando en el punto b en la dirección þ. 6ba: Desplazamiento del punto b en la dirección þ debido a una carga P1 actuando en el punto a en la direcciónα.

En cualquier estructura de material elástico, con apoyos indeformables y bajo temperatura constante, el trabajo virtual externo de las fuerzas del sistema Pm asociadas a los desplazamientos causados por el sistema de fuerzas Pn es igual alv causados por el sistema Pm:

Teorema de Maxwell-Betti, que puede enunciarse de la siguiente forma:

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RELACIONES ESFUERZO-DEFORMACIÓN PARA EL CONCRETO Y EL ACERO R.PARK Y T. PAULAY

CONCRETO Comportamiento bajo esfuerzo uniaxial. Bajo condiciones prácticas, en raras ocasiones se esfuerza al concreto en sólo una dirección (esfuerzo uniaxial), esto es en la mayoría de los casos estructurales se esfuerza simultáneamente al concreto en varias direcciones. Sin embargo, hay casos en que se puede justificar el suponer una condición de esfuerzo uniaxial. Comportamiento del esfuerzo de compresión Por lo general la resistencia a compresión del concreto se obtiene de cilindros con una relación de altura a diámetro igual a 2. Los cilindros se cargan longitudinalmente una tasa lenta de deformación para alcanzar la deformación máxima en 2 ó 3 minutos. El cilindro estándar normal tiene 12 plg (305 mm) de altura por 6 plg (152 mm de diámetro y la resistencia a compresión que se logra a los 28 días generalmente varía entre 2000 y 8000 ib/plg2 (13.8 a 53.2 N/mm ). También se utilizan cilindros o cubos de tamaños más pequeños, en especial para el control de producción, y la resistencia a compresión de estas unidades es más alta. Con los factores apropiados de conversión obtenidos de pruebas, se pueden convertir los resultados a valores de resistencia de cilindro estándar equivalentes La Figura 3.I presenta curvas típicas esfuerzo deformación obtenidas de cilindros de concreto cargados en compresión uniaxial en una prueba desarrolladas durante varios minutos. Las curvas casi son lineales hasta aproximadamente un medio de la resistencia a compresión. El pico de la curva para concreto de alta resistencia es relativamente agudo, pero para concreto de baja resistencia a curva tiene un copete plano. La deformación en el esfuerzo máximo es aproximadamente 0.002. A deformaciones más elevadas, después de alcanzarse el esfuerzo máximo todavía

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Pueden transmitirse esfuerzos aunque se hacen visibles en las concretas grietas paralelas a la dirección de la carga. El concreto probado en máquinas flexibles de prueba a veces falla explosivamente debido a que no puede absorber la liberación de energía de deformación de la máquina de prueba cuando la carga disminuye después del esfuerzo máximo. Para poder trazar la extensión total de la rama descendente de la curva de es- fuerzo - deformación se necesita utilizar una máquina dura de pruebas. El módulo de elasticidad para el concreto E, se puede tomar como:

(1 lb/p 16.02 kg/m) y s es la resistencia a compresión de cilindro en lb/plg. Pauw2.2 determinó la ecuación 2.1, que es la de pruebas con cargas de corta duración y que es válida para valores de w entre 90 y 155 lb/pie ; asimismo, esa ecuación da el módulo secante a un esfuerzo de aproximadamente 0.5f:. Para concreto de peso normal, se puede considerar que:

Las pruebas de Rüsch2.3 han indicado que el perfil de la curva esfuerzo deformación antes del esfuerzo máximo depende de la resistencia del concreto 9

(fig. 2.2). Sin embargo, una aproximación muy usada para el perfil de la curva esfuerzo deformación antes del esfuerzo máximo es una parábola de segundo grado. Por ejemplo, en la fig. 2.3 se muestra la curva esfuerzo deformación citada frecuentemente debida a hognestad24, en que J: es el esfuerzo máximo alcanzado en el concreto.

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El grado de comportamiento de la rama descendente depende del límite de la deformación útil del concreto supuesta. El esfuerzo máximo a compresión alcanzado en el concreto de un miembro a flexión f" puede diferir de la resistencia f' del cilindro debido a la diferencia en el tamaño y forma del concreto comprimido. Cuando la carga se aplica con una tasa rápida de deformación aumentan tanto el módulo de elasticidad como la resistencia del concreto. Por ejemplo, se ha reportado25 que para una tasa de deformación de 0.01 /seg, la resistencia del concreto puede elevarse hasta en un 17%. Las cargas repetidas a compresión de elevada intensidad producen un efecto pronunciado de histéresis en la curva esfuerzo-deformación. La figura 2.4 da los datos de prueba obtenidos por Sinha, Gerstle, y Tulin para tasas lentas de deformación. Esas pruebas, y las de Karsan y Jirsa indicaron que la curva envolvente era casi idéntica a la curva obtenida de una sola aplicación continua de carga. Rüsch, quien desarrolló pruebas de carga a largo plazo en concreto no confinado, encontró que la resistencia a compresión bajo una carga sostenida equivale aproximadamente al 80% de la resistencia a corto plazo, en que la resistencia a corto plazo es la de un espécimen de igual edad y colado idénticamente que se carga a la falla en un periodo de minutos cuando ha fallado el espécimen bajo carga sostenida. En la práctica, generalmente las resistencias del concreto consideradas en el diseño de estructuras se basan en la resistencia anticipada a corto plazo a 28 días. La reducción en la resistencia debido a la carga a largo plazo está parcialmente compensada cuando menos, por la propiedad del concreto de alcanzar una mayor resistencia ama oles edades. Además, el actor φ de reducción de capacidad es bajo cuando la resistencia a compresión del concreto es crítica, Las deformaciones de flujo plástico debidas a las cargas a largo plazo provocan modificaciones en la forma de curva esfuerzo deformación.

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Comportamiento del esfuerzo de tensión

Es posible obtener directamente de los especímenes a tensión la resistencia a tensión del concreto, que generalmente es el 20% o menor que la resistencia a la compresión. Sin embargo, debido a las dificultades experimentales de lograr la tensión axial en los especímenes y a las incertidumbres respecto de los esfuerzos secundarios inducidos por los dispositivos de sujeción, rara vez se utiliza la prueba a tensión directa, incluso para propósitos de investigación.

Es posible medir de manera indirecta la resistencia a tensión del concreto en términos del esfuerzo calculado de tensión a que se rompe un espécimen colocado horizontalmente en una máquina de prueba y cargado a lo largo de un diámetro (prueba brasileña). En la figura 2.6 se muestra el método de prueba y los esfuerzos inducidos a lo largo del diámetro cargado, mismos que se obtienen de acuerdo con la teoría de elasticidad. El esfuerzo de ruptura de tensión a través del diámetro se encuentra de la relación 2P/(thd), en que P es la carga aplicada durante la ruptura h la longitud del cilindro , y d el diámetro del mismo.

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Confinamiento del concreto por el refuerzo

En la práctica, se puede confinar al concreto mediante refuerzo transversal, comúnmente en forma de hélices o aros espaciados a poca distancia. En este caso, a bajos niveles de esfuerzo en el concreto, el refuerzo transversal apenas se esfuerza; en consecuencia, el concreto no confinado. El concreto que se aproximan a la resistencia uniaxial, las deformaciones transversales se hacen muy elevadas debido al agrietamiento interno progresivo y el concreto se apoya contra el refuerzo transversal, el que entonces aplica una reacción de confinamiento al concreto. En consecuencia, el refuerzo transversal proporciona confinamiento pasivo; las pruebas realizadas por muchos investigadores, han demostrado que el confinamiento por el refuerzo transversal puede mejorar considerablemente las características esfuerzo deformación del concreto a deformaciones elevadas. Por ejemplo, Richart y otros autores encontraron que la ecuación 2.3 para la resistencia del concreto confinado por la presión de un 14

fluido, se aplica aproximadamente al concreto confinado por hélices. La figura 2.12 muestra curvas esfuerzo deformación obtenida de tres conjuntos de cilindros de concreto confinados por hélices que probaron. Cada conjunto tenía una resistencia no confinando distinta del concreto. Es muy apreciable el aumento en la resistencia y ductilidad con la cuantía del acero de confinamiento. Las pruebas han demostrado que las hélices confinan al concreto con mucha mayor eficiencia que los aros rectangulares o cuadrados. En la figura 2.13 tenemos curvas carga deformación para prismas de concreto, que probaron Bertero y Felippa, 2 17 que contenían distintas cantidades de estribos cuadrados. El efecto de la distinta cuantía de acero transversal en la ductilidad es bastante apreciable, aunque el efecto en la resistencia es mucho menor.

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La causa de la considerable diferencia entre el confinamiento por hélices de acero y el confinamiento por loa aros rectangulares o cuadrados de acero está ilustrada en la figura 2.14. Debido a su forma, las hélices están en tensión axial de aro y proporcionan una presión continua de confinamiento alrededor de la circunferencia, que a grandes deformaciones transversales se aproxima al confinamiento de fluido. Sin embargo como regla, los aros cuadrados solo puedes aplicar reacciones de confinamiento cerca de las esquinas de los aros, debido a que la presión del concreto contra los lados de los aros tiende a flexionar los lados hacia afuera como en la figura 2.14. En consecuencia, una porción considerable de la sección transversal del concreto puede no estar confinada.

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Resistencia de miembros sometidos a flexión

Las vigas son elementos estructurales que transmiten cargas externas transversales que provocan momentos flexionantes y fuerzas cortantes en su longitud.

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