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TENSIONES Y DEFORMACIONES EN LOS SUELOS Mecánica del suelo y rocas. Geotecnia (Universidad de Granada)

Su distribución está prohibida | Descargado por Rubisel Rojas López ([email protected])

Mecánica del Suelo y Rocas. Geotecnia. Tema 4

C. Irigaray

TEMA 4: TENSIONES Y DEFORMACIONES EN LOS SUELOS 1. Concepto de tensión en un sistema de partículas 2.- Tensión total, tensión neutra y tensión efectiva. Ley de Terzaghi 3.- Tensiones geostáticas 3.1.- Tensiones geostáticas verticales 3.1.1. Tensiones verticales en suelos secos - Suelos homogéneos - Suelos estratificados 3.1.2. Tensiones verticales con agua en reposo 3.1.3. Tensiones verticales con agua en movimiento. Sifonamiento y tubificación 3.2.- Tensiones geostáticas horizontales. Coeficiente de empuje en reposo 3.3.- Importancia del agua de ascensión capilar 4. Estados tensionales debidos a cargas aplicadas 4.1. Carga puntual. Solución de Boussinesq 4.2. Carga uniforme sobre una superficie rectangular. Solución de Newmark 4.3 Carga uniforme sobre una superficie circular 4.4 Cargas en faja 4.5 Otras soluciones 5. Tensiones principales y tensiones sobre un plano cualquiera. Círculo de Mohr 6. Trayectoria de tensiones. Diagramas p-q 7. Ejercicios propuestos 1. CONCEPTO DE TENSIÓN EN UN SISTEMA DE PARTÍCULAS La Figura 4.1 muestra una pequeña celda de medición (elemento X) enterrada en una masa de suelo. Si esta celda se ha colocado de tal forma que las partículas del suelo no se han desplazado, los diagramas de la figura representan las caras horizontal y vertical del elemento X, con las partículas de suelo que cargan sobre esas caras. Estas partículas ejercen generalmente fuerzas normales y tangenciales sobre dichas caras. Si cada cara tiene una superficie A, podemos definir las tensiones (también denominadas presiones o esfuerzos) que actúan sobre la celda como la fuerza dividida por la superficie total:   v

Nv A

,

  h

Nh A

,

 v

Tv A

,

  h

Th A

Donde Nv y Nh representan respectivamente las fuerza normales en direcciones vertical y horizontal; Tv y Th son respectivamente las fuerzas tangenciales en direcciones vertical y horizontal. σv, σh, τv y τh representan las tensiones correspondientes. De esta forma hemos definido cuatro tensiones que pueden actuar en un suelo.

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Figura 4.1. Diagrama para ilustrar la definición de tensión

2.TENSIÓN TERZAGHI

TOTAL,

EFECTIVA

Y

NEUTRA.

LEY

DE

Los suelos son un sistema trifásico donde existen partículas y huecos que suelen estar o no rellenos total o parcialmente de agua. Interesa especialmente estudiar los suelos saturados. Si en un suelo saturado profundizásemos en su estructura interna dando un corte por el contacto entre dos partículas, tendríamos una situación como la que recoge la Figura 4.2.

Figura 4.2. Corte a través del contacto entre dos partículas de un suelo

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Planteando el equilibrio de fuerzas actuantes, la fuerza total normal que actúa sobre la superficie A, N será igual a la suma de las fuerzas intersticiales (U) y la fuerza normal que se transmite en el contacto entre los granos. N  N 'U A  A0  dividiendo por el área A, para pasar a tensiones: N A Por la diferencia de tamaños,

A0 A



N' A



 U 1 



A0   A

0

siendo N

   tensión total.

A N' A

  '  tensión efectiva

Con lo anterior podemos escribir:

que puede escribirse:

   'u 'u

que es la "ley de Terzaghi" o "principio de las tensiones efectivas" Expresión en la cual σ’ es la tensión efectiva, σ la tensión total y u la tensión neutra, presión del agua o presión intersticial. La tensión efectiva (o intergranular) es aquella que se transmite a través de los puntos de contacto de las partículas sólidas del suelo y por tanto, de ella depende la resistencia al esfuerzo cortante de los suelos. Este principio es de fundamental importancia en el desarrollo de la mecánica de suelos y fue formulado por Terzaghi como: “El estado tensional en un punto de un suelo queda determinado a partir de las tres tensiones totales principales (σ1, σ2 y σ3) que actúan en dicho punto. Si los vacíos del suelo están llenos de agua a presión u, las tensiones totales principales constan de dos partes. Una parte, u, actúa en el agua y en el sólido en todas direcciones con igual intensidad. Se denomina presión de poro, presión neutra o presión intersticial. La diferencia (σ’1=σ1-u), (σ’2=σ2-u) y (σ’3=σ3-u), representan un exceso sobre la presión neutra y se ejerce exclusivamente sobre el esqueleto de las partículas sólidas. Esta fracción de las tensiones totales principales, será

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llamada tensiones efectivas principales. Todos los efectos tangibles producidos por un cambio de tensión, tales como la compresión, distorsión angular y cambios en la resistencia de cizalla se deben exclusivamente a los cambios de las tensiones efectivas σ’1 , σ’2 y σ’3. Por lo tanto, cualquier investigación en la estabilidad de una masa de suelo saturado requiere el conocimiento de tanto la tensión total como la presión de poros”. 3.- TENSIONES GEOSTÁTICAS Las tensiones en el interior del suelo están producidas por las cargas exteriores aplicadas al mismo y por el peso del propio suelo. Al igual que en el caso de las cargas aplicadas, el sistema de tensiones correspondiente al propio peso suele ser bastante complicado. Sin embargo, existe un caso habitual en el que el peso de suelo da lugar a un sistema de esfuerzos muy sencillo: cuando la superficie del terreno es horizontal y la naturaleza del suelo varía muy poco en dirección horizontal. Este caso se presenta frecuentemente (especialmente en suelos sedimentarios). En tal caso, las tensiones se denominan geostáticas. En este caso no existen tensiones tangenciales sobre planos verticales y horizontales a través del suelo. 3.1.- Tensiones geostáticas verticales. 3.1.1. Tensiones verticales en suelos secos Suelos homogéneos La tensión vertical en un punto cualquiera de un suelo a una profundidad z (Figura 4.3), podríamos decir que es "el peso de la columna de terreno existente por encima de ese punto, dividida por el área de la misma".

Figura 4.3. Tensión vertical Siendo γ el peso específico del suelo:

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v 

11 z 

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z

11

 v   z Con lo cual se tiene que la tensión vertical en un punto de un suelo es igual al peso específico del mismo por la profundidad z (ó h) del punto. Suelos estratificados Normalmente, en la naturaleza los terrenos no son uniformes sino estratificados, variando en consecuencia los pesos específicos de cada estrato. Por ello para la determinación de las tensiones verticales se debe tener en cuenta los distintos pesos específicos.

Figura 4.4. Tensiones verticales en terrenos estratificados El cálculo de las tensiones verticales se realiza conforme se indica en la Figura 4.4; es decir:

 v0 0  v1   1  z1  v 2   1  z1   2  z2  v3   1  z1   2  z2   3  z3  vi   i  zi Como puede verse en la Figura 4.4, el diagrama de las tensiones verticales ya no es una recta de pendiente constante como es el caso de terreno homogéneo de la Figura 4.3, sino que la pendiente de dicha recta va variando, al cambiar el tipo de terreno y en consecuencia el peso específico del mismo. 3.1.2. Tensiones verticales con agua en reposo Suelo sumergido. En el punto A del terreno de la Figura 4.5, la tensión vertical total será: -5-

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 v  D   w  Z   sat La presión del agua o presión intersticial será: u  D  Z   w Aplicando el principio de las tensiones efectivas: 'u  '  D   w  Z   sat  D  Z   w  Z   sat   w   Z   sum  '  Z   sum Como se ve, la tensión efectiva es independiente de la cantidad de agua que tenga encima. Depende exclusivamente de la altura de terreno que soporta y del peso específico sumergido.

Figura 4.5. Tensiones verticales en terreno sumergido Suelo con nivel piezométrico intermedio. En este ejemplo (Figura 4.6) existe un nivel piezométrico intermedio, a una determinada profundidad D. En consecuencia el cálculo de las tensiones verticales será distinto por encima o por debajo del nivel piezométrico (N.P.). Por encima del nivel piezométrico, se calculará la tensión vertical en función del peso específico γ’, bien sea seco, húmedo o en su caso saturado por capilaridad. La presión del agua será nula: u0 y la tensión efectiva y total serán iguales:    '   'D

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Por debajo del nivel piezométrico, podemos calcular la tensión efectiva aplicando el principio de las tensiones efectivas, es decir por diferencia entre la tensón total y la presión del agua. La tensión total en un punto A, a profundidad D+Z será:   D   'Z   sat La presión del agua será: uZw La tensión efectiva por diferencia:

 '    u  D   'Z   sat  Z   w  D   'Z   sat   w   D   'Z   sum  '  D   'Z   sum

Figura 4.6. Tensiones verticales con nivel piezométrico intermedio 3.1.3. Tensiones verticales con agua en movimiento. Sifonamiento y tubificación Conceptos previos: carga hidráulica y gradiente hidráulico. Recordando el teorema de Bernouilli, la carga hidráulica, potencial o altura piezométrica viene determinada por la siguiente expresión: u hz  v2  w 2g Siendo: z = altura geométrica del punto. u = presión del agua en ese punto. v = velocidad de circulación del agua. g = aceleración de la gravedad.

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En suelos, normalmente, la velocidad de circulación del agua es muy pequeña, por lo cual su influencia sobre el potencial es mínimo, razón por la cual se desprecia este último término, quedando la expresión del potencial como sigue: u hz w Como sabemos, para que exista circulación de agua entre dos puntos de un suelo es necesario que exista diferencia de potencial entre ellos. El Gradiente hidráulico (i) se define como la pérdida o diferencia de potencial dividida por la distancia recorrida. h i l Agua en sentido descendente. Si el agua está en movimiento el cálculo de las tensiones verticales se calcula de igual manera pero teniendo presente esta situación. Supongamos un suelo en un recipiente tal y como esquemáticamente se representa en la Figura 4.7, con circulación de agua sentido descendente.

Figura 4.7. Agua en circulación descendente a través de una muestra de suelo Tomamos dos puntos A y B dentro de una muestra de suelo en el recipiente de la Figura 4.7. El cálculo de las tensiones totales se realiza según lo ya visto. La presión del agua ya no podemos calcularla como hasta ahora, por estar el agua en movimiento. Para calcularla tendremos que tener en cuenta el potencial en cada uno de los puntos y el gradiente hidráulico existente.

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En la Figura 4.7, P.C. es el plano de comparación para medir alturas geométricas. Los potenciales en los puntos A y B son: hL

 w D

A

LD

w

hu B L  Z   B 

w

El gradiente hidráulico es: u DZ B w i h h  h  l  A l B  Z de donde ZiDZ

uB

w uB  D  Z  Z  i  w expresión de presión del agua en el punto B. Como se ve en esta expresión, la presión del agua queda disminuida, respecto a la situación de agua en reposo, en el término  Z  i   w La tensión total en el punto B es:  B  D   w  Z   sat La tensión efectiva por diferencia es:  'B   B  uB  D   w  Z   sat  D  Z  Z  i  w  Z   sum  Z  i   w

 'B  Z   sum  Z  i   w De donde se deduce que la tensión efectiva que se obtiene con agua en movimiento en sentido descendente es la estática más un término proporcional a la profundidad y al gradiente (fuerza debida a la filtración). Agua en sentido ascendente. Sifonamineto y tubificación. Si la circulación del agua en lugar de tener sentido descendente, circulase en sentido ascendente, como se indica en la Figura 4.8, el cálculo se realiza de igual manera expuesta en el apartado anterior.

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Figura 4.8. Agua en circulación ascendente a través de una muestra de suelo Con lo que llegaríamos a la siguiente expresión de la tensión efectiva:

 'B  Z   sum  Z  i   w Expresión de la que se deduce, al existir en el segundo término, una diferencia, que puede alcanzarse un valor de  'B  0 . Esta situación se producirá para un determinado valor del gradiente que se llama gradiente crítico (ic), y que tendrá el siguiente valor: i c

 sum ó ic w



 sat w

1

 sum  sat   w  c w w El valor del gradiente crítico suele estar próximo a la unidad. i

Se dice que existe sifonamiento o ebullición cuando se anula la presión efectiva. Obvio es que dentro del mismo suelo y de las mismas condiciones geométricas y de contorno habrá sifonamiento en unos puntos sí y en otros no. La importancia del sifonamiento se deduce del cambio de comportamiento del suelo. Al anularse las tensiones efectivas se anula la resistencia al esfuerzo cortante y el suelo se comporta como un fluido desde el punto de vista resistente. Al anularse la tensión efectiva, se produce una situación equivalente a que se hubiese perdido el contacto entre las partículas, perdiendo la masa de suelo toda consistencia y dando la impresión de entrar en ebullición. El estudio de esta situación tiene especial importancia en excavaciones urbanas en zonas con alto nivel piezométrico, por ejemplo zonas marítimas. La tubificación consiste en la creación de conductos a través del suelo a causa de la

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erosión. La tubificación y el sifonamiento frecuentemente se presentan relacionados, de forma que inicialmente se dan las condiciones en determinados puntos del suelo para que se produzca el sifonamiento y son estos sifonamientos localizados los que inician la erosión. Dado que no se desea que se alcance esta situación (sifonamiento y/o tubificación), se suele adoptar un gradiente admisible aplicando al crítico un coeficiente o factor de seguridad (FS) del orden de 1,5 a 2,0, valor del cual no se debe pasar en la práctica. Este factor de seguridad viene determinado por: i FS  c i Es decir, en la práctica habrá que procurar que: i i c 1,5 Cuando es necesario agotar agua en el interior de una excavación, con presencia de nivel freático por encima del fondo de la excavación o se desea evitar el sifonamiento en una presa de materiales sueltos, es usual disponer una pantalla que reduzca la filtración y haga que el agua se filtre hacia el fondo, reduciendo el gradiente hidráulico. 3.2.- Tensiones geostáticas horizontales. Coeficiente de empuje en reposo Como consecuencia de la existencia de tensiones verticales en el terreno, en cualquier punto del mismo o elemento diferencial, aparecen más tensiones horizontales, σH, Figura 4.9.

Figura 4.9. Tensiones horizontales en el terreno La obtención de las tensiones σH, a partir de las σV, es un problema bastante complejo. Suponiendo, que el suelo fuese un material totalmente elástico, el problema estaría resuelto por la elasticidad. Entre las tensiones verticales y las horizontales existirá una relación: H K 0 V

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Y por tanto:  H  K0 V El coeficiente K0 que relaciona la tensión vertical con la horizontal es el coeficiente de empuje en reposo Si suponemos que el terreno está "en reposo", no podrá deformarse en el sentido horizontal, al estar confinado por el propio terreno. Las ecuaciones de la elasticidad que relacionan tensiones y deformaciones son:

  x

  y

  z



1

E 1

x





      z 

y E 1

x



E

  y   z 

z

  x

  y





Dado que no existe deformación lateral:  x  y 0 y en consecuencia:  x  y

 x 

0

y

1



E

     z  x

x

de donde se deduce:

  x

 1 



z

o lo que es lo mismo:     H V 1  donde:  K0 1   K0 1   Los parámetros E y ν son los parámetros elásticos, módulo de Elasticidad y coeficiente de Poisson. El coeficiente de Poisson es variable según el material, al igual que el módulo de Elasticidad.

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En suelos los valores suelen estar en torno a: ν = 0,3 En hormigón ν = 0,15 por ejemplo, para un suelo perfectamente elástico:  K   0,3  0,428 0 1  1 0,3 Si el suelo fuera totalmente elástico las tensiones horizontales serían orden del 40% de las tensiones: verticales. Considerar el suelo como material elástico es una simplificación excesiva, pues por su propia constitución difícilmente puede comportarse como elástico. El coeficiente de empuje para pasar de tensiones verticales a tensiones horizontales, únicamente puede aplicarse a tensiones efectivas, ya que en el agua las tensiones son iguales en cualquier dirección, su "coeficiente de empuje" es 1. K0w = 1. Es decir, si tenemos en un terreno:  V   'V u el paso a tensiones horizontales será:  H  K0  'V K0w  u  K 0  'V u   'H u

 'H  K0  'V siendo σH la tensión horizontal total y σ’H la tensión horizontal efectiva. En consecuencia, es importante recordar que para pasar de tensiones verticales a horizontales, es necesario separar siempre las tensiones efectivas de las presiones intersticiales, afectando únicamente a las primeras el coeficiente de empuje. El valor del coeficiente del coeficiente de empuje en reposo, K0, es objeto de constantes trabajos de investigación, llegándose a obtener expresiones o valores muy variables. 3.3.- Importancia del agua de ascensión capilar Tal como vimos en el tema anterior, la altura de agua de ascensión capilar para suelos viene determinada por: hc 

C e  D10

C representa una constante empírica comprendida entre 0,1 y 0,5 cm2. La importancia del agua capilar radica en el hecho de que se mantiene a presión absoluta inferior a la atmosférica; es decir a una presión negativa. Esto significa que la tensión intersticial en un punto de la capa capilar es negativa y numéricamente igual a la

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distancia vertical desde el nivel freático hasta dicho punto, multiplicada por el peso específico del agua (siempre que exista continuidad con el agua estática): ucx  hcH   w (Figura 4.10). Si la tensión neutra es negativa, quiere decir que la tensión efectiva será superior a la tensión total; es decir, la tensión neutra negativa produce una mayor fuerza entre los contactos de las partículas de un suelo y por tanto un aumento de su resistencia.

Figura 4.10. Estado de tensiones del agua en el tubo capilar 4. ESTADOS TENSIONALES DEBIDOS A CARGAS APLICADAS Los resultados de la teoría de la elasticidad se emplean frecuentemente para calcular los esfuerzos producidos en una masa de suelo por cargas aplicadas exteriormente. Esta teoría parte de la hipótesis de que el esfuerzo es proporcional a la deformación. La mayoría de las soluciones más útiles de esta teoría suponen también que el suelo es homogéneo (sus propiedades no varían de un punto a otro) e isótropo (sus propiedades son las mismas cualquiera que sea la dirección que se considere a partir del punto). El suelo rara vez se ajusta exactamente a estas hipótesis, y muy a menudo no las cumple en absoluto. Sin embargo el técnico no tiene otra alternativa que emplear los resultados de esta teoría junto con su criterio personal. La obtención de la solución elástica para unas determinadas cargas y condiciones de contorno es bastante tediosa. En este curso no nos interesa la forma de obtener estas soluciones, sino más bien, la forma de emplearlas. En este apartado se incluyen algunas soluciones numéricas y, sobre todo, gráficas para obtener los incrementos de tensiones producidos por las cargas aplicadas. Estos incrementos deben añadirse a los esfuerzos geostáticos iniciales para obtener las tensiones finales después de aplicar la carga. 4.1. Carga puntual. Solución de Boussinesq Boussinesq determinó las tensiones y deformaciones en el interior de una masa elástica, homogénea e isótropa en un semi-espacio infinito de superficie horizontal debidas a una carga puntual aplicada en la superficie de este semi-espacio. La ecuación de Boussinesq para el cálculo del incremento de la tensión vertical debida a dicha carga es:

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 v 

3z

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3

2    r  z 2

5 2

Q



2

Donde z y r quedan definidos como se indica en la Figura 4.11.

Figura 4.11. Parámetros z y r para el cálculo del incremento de la tensión vertical en un punto debido a una carga puntual

Esta expresión se podría escribir como: 3 Q 2   v 52   z2  r 2   1      z    Esta expresión muestra que, para una relación constante r/z, el incremento de tensión es inversamente proporcional al cuadrado de la profundidad del punto considerado (Figura 4.12). En la vertical bajo el punto de aplicación de la carga (r=0), el incremento de tensión será:  v



0,48  Q z2

La Figura 4.12 muestra el incremento de tensiones verticales bajo el punto de aplicación de una carga de 1000 N. Como ya se ha indicado, se observa que las tensiones varían de forma inversamente proporcional con el cuadrado de la profundidad, siendo infinito en el punto de aplicación de la carga (En el caso hipotético de una carga totalmente puntual, la sección sería nula, por lo que la tensión sería infinita).

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Figura 4.12. Incremento de tensiones verticales bajo el punto de aplicación de una carga según la solución de Boussinesq 4.2. Carga uniforme sobre una superficie rectangular. Solución de Newmark Para el cálculo de las tensiones producidas en el interior de un semi-espacio infinito de superficie horizontal debida a cargas uniformes sobre una superficie rectangular, Newmark determinó las tensiones en un punto bajo la esquina de la superficie rectangular y verificó que la solución era la misma para diferentes situaciones en que las relaciones entre los lados de la superficie rectangular y la profundidad fuesen constantes. De esta forma definió los siguientes parámetros m y n: m

a

; n

z

b z

Siendo a y b los lados, respectivamente, mayor y menor del rectángulo considerado (Figura 4.13). En función de estos parámetros, la solución de Newmark se expresa mediante la siguiente ecuación: qs  arctan 2 2  2  m  n  m 2  n 2  10,5  m 2  n 2 2  m  n  m  n      10,5   2



v



4



 1



m

2

2

2

n 1m n

2

 m

2

n

2

2

2

2

2

m  n  1  m  n 

Esta ecuación se presenta aquí para mostrar cómo las soluciones de la teoría de la elasticidad son bastantes complejas. Sin embargo, si consideramos que el incremento de tensión en un punto es función de los parámetros m y n, la expresión se puede simplificar como:  v  I  qs

Siendo I un coeficiente de influencia que depende de m y n y que se puede obtener a partir del gráfico de la Figura 4.13.

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Figura 4.13. Ábaco para la determinación de las tensiones verticales bajo las esquinas de una superficie rectangular con carga uniforme en un material elástico e isótropo. Del ábaco se obtiene I en función de m y n. ∆σv=Iּ∆qs (Newmark, 1942) Para el cálculo del incremento de tensiones en cualquier otro punto diferente al de las esquinas de la superficie rectangular, se divide la superficie cargada en rectángulos de tal manera que el punto considerado se sitúe bajo las esquinas de dichos rectángulos. En el caso de un punto situado en el interior de la superficie (como el punto P del caso (a) de la Figura 4.14), el incremento de tensión producido por la carga de la superficie ABCD se calcula como la suma de los incrementos correspondientes a las superficies AJPM, BKPJ, DLPK y CMPL. En el caso de un punto situado en el exterior de la superficie, como el punto P del caso (b) de la Figura 4.14), el incremento de tensión producido se obtiene como el valor correspondiente a la superficie PKDM, restándole los efectos de los rectángulos PKBL y PJCM y sumando el efecto del rectángulo PJAL.

Figura 4.14. Aplicación de la solución de Newmark para cualquier posición

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Los problemas que comprenden cargas superficiales no repartidas uniformemente o distribuidas sobre una superficie de forma irregular pueden resolverse dividiendo la carga en partes que contengan cargas uniformemente repartidas sobre superficies rectangulares. 4.3 Carga uniforme sobre una superficie circular. La Figura 4.15 proporciona el incremento de tensión vertical producido por una carga normal uniformemente repartida ∆qs que actúa sobre una superficie circular de radio R en la superficie de un “semi-espacio elástico".

Figura 4.15. Incremento de tensión vertical producido por una carga uniforme sobre una superficie circular (X es la distancia en horizontal desde el centro del círculo al punto considerado)

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Alternativamente se puede usar el ábaco de Foster y Ahlvin (Figura 4.16).

Figura 4.16. Ábaco de Foster y Ahlvin (1954) para determinar el factor de influencia para calcular el incremento de tensión vertical producido por una carga uniforme sobre una superficie circular Estas figuras dan una idea de cómo se distribuyen los esfuerzos en una masa de suelo. Por ejemplo, la zona situada bajo la superficie cargada, donde los esfuerzos verticales son más importantes, se suele denominar frecuentemente "bulbo de esfuerzos". Para una superficie circular cargada, los esfuerzos verticales son menores de 0.15 ∆qs, a una profundidad de 3R y menores de 0.10 ∆qs a una profundidad de 4R. Generalmente, se considera que el bulbo de esfuerzos corresponde al volumen comprendido dentro del contorno correspondiente a 0.1 ∆qs, aunque esta elección es totalmente arbitraria. 4.4 Cargas en faja. Las Figuras 4.17 y 4.18 proporcionan las tensiones producidas por cargas en faja; es decir, cargas que son infinitamente largas en la dirección normal al plano de la figura. La Figura 4.17 corresponde a una carga rectangular de longitud infinita y la 5.18 a una carga en faja de forma triangular. A lo largo del eje vertical ∆σ1 = ∆σv y ∆σ3 = ∆σh.

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Figura 4.17. Tensiones principales bajo una carga rectangular de longitud infinita

Figura 4.18. Tensiones principales bajo una carga triangular de longitud infinita 4.5 Otras soluciones. También se dispone de gráficos para otros casos de carga en medios elásticos estratificados y en terrenos elásticos rígidos en dirección horizontal pero deformables en dirección vertical. Hoy en día existen programas informáticos con los que se puede obtener fácilmente las distribuciones elásticas de esfuerzo para cualquier tipo de carga y condiciones de contorno. Gráficos como los aquí recogidos resultan útiles para el estudio preliminar de un problema o cuando no se dispone de estos programas.

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5. TENSIONES PRINCIPALES Y CÍRCULO DE MOHR. 5.1. Tensiones principales. En cualquier punto sometido a tensión, existen 3 planos ortogonales en los cuales los esfuerzos tangenciales son nulos. Estos planos se denominan planos principales. Las tensiones normales que actúan sobre estos tres planos se denominan tensiones principales. La más grande se denomina tensión principal mayor σ1; la más pequeña es la tensión principal menor σ3 y la tercera es la tensión principal intermedia σ2. (Figura 4.19).

Figura 4.19. Tensiones principales en un punto Cuando las tensiones son geostáticas, el plano horizontal que pasa por un determinado punto es un plano principal al igual que todos los planos verticales a través de dicho punto. Cuando el coeficiente de empuje en reposo K0 1 (suelos preconsolidados) sucede lo contrario:  h  1 ;  v  3 y  2  1   h Cuando K0 =1:  v   h  1   2  3 . En este caso se dice que el estado de tensiones es isótropo. También hay que indicar que las tensiones tangenciales sobre dos planos ortogonales cualesquiera deben ser iguales numéricamente (aunque pueden tener signos diferentes); es decir:  h  v Las tensiones normales se consideran positivas cuando son de compresión. El criterio de signos para la componente tangencial es (Figura 4.20): + cuando produce un giro en el sentido contrario a las agujas del reloj. - cuando produce un giro en el sentido de las agujas del reloj.

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Figura 4.20. Criterio de signos para las tensiones tangenciales 5.2. Tensiones sobre un plano cualquiera. Círculo de Mohr. En la mayor parte de este curso nos referiremos únicamente a las tensiones existentes en el estado bidimensional. En particular, nos interesará el estado de tensiones en el plano correspondiente a las tensiones principales mayor y menor σ1 y σ3. La magnitud (σ1-σ3) se denomina tensión desviadora o diferencia de tensiones. Dada la magnitud y dirección de σ1 y σ3, se pueden calcular las tensiones normales y tangenciales en cualquier otra dirección mediante las ecuaciones de la estática. Estas ecuaciones corresponden a un círculo, por lo que el estado de tensiones en cualquier plano se puede obtener fácilmente de forma gráfica a partir de lo que se conoce como círculo de Mohr y tiene una gran importancia en mecánica de suelos. Demostración del círculo de Mohr Consideremos un plano P del interior de un cubo elemental de suelo elegido de forma que sus aristas coincidan con las tensiones principales (Figura 4.21), vamos a establecer la expresión de las componentes normal (σ) y de cizalla (τ) de la tensión que actúa sobre el plano P, cuya normal forma un ángulo  con la dirección de la tensión principal mayor σ1.

Figura 4.21. Componentes normal y tangencial de la tensión sobre un plano cualquiera

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El equilibrio de tensiones en la dirección de la componente normal al plano P (σ ) se expresa como:   A  1 cos  Acos  3 sin  Asin por lo que:     1  cos2   3 sin2  y el equilibrio de tensiones en la dirección de la componente tangencial τ se expresa como:   A  3 cos  Asin  1 sin  Acos es decir:     1   3   sin   cos  Estas expresiones permiten calcular las componentes normal y tangencial de la tensión sobre un plano, en función de las tensiones principales. Por otro lado, estas relaciones pueden reescribirse de otra manera, sustituyendo el producto sin   cos y los 2 2 cuadrados cos  y sin  por ángulos dobles 2 :

1  3 1  3  cos 2  2 2 1   3  sin 2  2 

llamando:

1   3 2   R 1 2 3 tenemos: C

  C  R  cos 2   R  sin 2 Es decir:   C  R  cos 2   R  sin 2 y sumando y elevando al cuadrado ambas ecuaciones obtenemos:    C 2   2  R 2  cos2 2  sin 2 2   2

Y dado que cos 2  sin 2  1 2

   C 2    2  R 2

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que es la ecuación de un círculo ( x  c  y  r ) de centro C y radio R. El círculo así definido es el Círculo de Mohr (Figura 4.22). 2

2

2

Figura 4.22. Círculo de Mohr Cualquier punto del círculo representa el estado de tensión sobre un plano cuya normal forma un ángulo θ con la dirección del esfuerzo principal mayor σ1. A partir de este círculo y dados los esfuerzos principales σ1 y σ3, se puede calcular gráficamente el estado de tensión, σθ y τθ, para cualquier plano conocido el ángulo θ. Igualmente a partir de σθ y τθ se puede obtener la magnitud y dirección de los esfuerzos principales. En condiciones geostáticas, la tensión normal y tangencial sobre un plano cualquiera que no sea horizontal, podemos obtenerla a partir de los valores de las tensiones vertical y horizontal. Definición de polo Una de las muchas propiedades del círculo de Mohr es el polo. El polo se define como el punto del círculo de Mohr, tal que si por él trazamos una paralela al plano sobre el que actúan las tensiones, corta al círculo en un punto cuyas coordenadas son las tensiones que actúan sobre el plano. Por lo tanto, el polo se puede obtener como la intersección entre el círculo y una línea que pase por σ1 ó σ3 que sea paralela al plano donde actúa σ1 ó σ3 respectivamente. En la Figura 4.23 se recogen algunos ejemplos de obtención del polo.

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Figura 4.23. Ejemplos de obtención del polo 6. TRAYECTORIA DE TENSIONES. DIAGRAMAS p-q Frecuentemente se desea representar los sucesivos estados de tensión que existen en una muestra de suelo al cargarlos. Una forma de hacerlo, es trazar una serie de círculos de Mohr. Por ejemplo, la Figura 4.24 representa los estados sucesivos al incrementar σ1 manteniendo constante σ3. Este plano de representación , (también denominado plano de Mohr-Coulomb) fue el primer sistema de representación utilizado en la Mecánica de Suelos. Sin embargo, este sistema puede resultar bastante confuso cuando se representan sobre un mismo diagrama muchas muestras diferentes. Un método más satisfactorio consiste en representar una serie de puntos representativos del estado tensional (p-q) uniéndolos mediante una curva (Figura 4.24). Las coordenadas de estos puntos p-q son:   p 1 2 3   q 12 3 q es positivo o negativo dependiendo de: + si 1 forma un ángulo  de ± 45º con la vertical - si 1 forma un ángulo < de ± 45º con la horizontal Este método equivale a representar un punto único de un círculo de Mohr: el punto más alto si q es positivo y el más bajo si q es negativo. Numéricamente, q equivales a la mitad de la tensión desviadora. Este plano de representación p-q también se denomina plano de Lambe.

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Figura 4.24. Representación de sucesivos estados de tensiones al aumentar σ1 manteniendo constante σ3. Los puntos A, B, etc. Representan idénticos estados en ambos diagramas: a) círculos de Mohr (plano de Mohr-Coulomb); b) Diagrama pq (Plano de Lambe) La Figura 4.25 representa la trayectoria de tensiones que parten de diferentes estados. Particularmente tienen interés los estados de carga que parten de σ1=σ3=0 y en los cuales σ1 y σ3 aumentan de manera constante (Figura 4.25 c). En este caso, la trayectoria K0 indica la forma en que aumentan las tensiones en un suelo normalmente consolidado durante el proceso de sedimentación, donde el coeficiente de empuje lateral K0 se puede obtener como: 1  tan  K0  1  tan  Siendo β la pendiente de la recta: q tan   p

Figura 4.25. Ejemplos de trayectorias de tensiones: a) inicialmente σv=σh; b) Inicialmente σv>σh>0; c) Inicialmente σv=σh=0 - 26 -

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La trayectoria de tensiones K =1 de la Figura 4.25 corresponde a la compresión isótropa, sin tensiones tangenciales. Plano de Lambe en tensiones efectivas En tensiones efectivas, los puntos p’-q’ serían:

 '1  '3 (1  u)  (3  u) 1   3  2u 1   3    2 2 2 2 upu Es decir: p' p  u p'

Y

 '1  '3 (1  u)  ( 3  u) 1  3   2 q 2 2 Es decir: q' q q'

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7. EJERCICIOS PROPUESTOS Ejercicio 4.1. En un punto de un terreno la tensión total vertical vale 10 t/m2 y la presión intersticial 3 t/m2 ¿Cuánto vale la tensión efectiva vertical en kPa? Ejercicio 4.2. ¿Cuánto valen la tensión total vertical, la presión intersticial y la tensión efectiva vertical en el punto A del terreno de la siguiente?

Ejercicio 4.3. En un terreno totalmente sumergido de peso específico γsum = 1,1 t/m3 existe una corriente de agua en sentido descendente con un gradiente hidráulico i=0,7. En esta situación ¿cuál será la tensión efectiva vertical en un punto situado a 2,00 m. de profundidad? Si el agua estuviese en reposo ¿cuál seria la tensión efectiva vertical? Expresar los resultados en el Sistema Internacional. Ejercicio 4.4. En el mismo terreno del apartado anterior pero con circulación de agua en sentido ascendente ¿para qué valor del gradiente se anulará la tensión efectiva? Ejercicio 4.5. En una excavación sobre un terreno de peso específico saturado γsat = 1,9 t/m3 y presencia de nivel freático por encima del fondo, se ha medido una pérdida de carga de 3 m. Teniendo en cuenta que el recorrido por la línea de corriente más corta es de 4 m. ¿cuál será el factor de seguridad medio frente al sifonamiento? ¿Qué solución propondrías para aumentar el factor de seguridad hasta valores superiores a 1,5? Ejercicio 4.6. En un suelo de 5 m de espesor, se ha medido el nivel freático a 50 cm de profundidad. A partir del análisis de sus granos se ha determinado su coeficiente de forma e impurezas C= 0,28 cm2 y su diámetro efectivo D10= 0,001 mm. Sabiendo que el peso específico de las partículas sólidas γs=2,7 t/m3, la densidad saturada γsat= 2,1 t/m3 y el coeficiente de empuje lateral K0=0,4, calcular la tensión efectiva vertical y horizontal a 30 cm de profundidad. Expresar los resultados en el Sistema Internacional. Ejercicio 4.7. ¿Cuánto vale el coeficiente de empuje en reposo en un suelo cuyo coeficiente de Poisson vale ν = 0,35?

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Ejercicio 4.8. ¿Cuál será la tensión horizontal en un punto de un terreno a 2,00 m. de profundidad, y peso específico 1,8 t/m3, (por encima del nivel freático) siendo el coeficiente de empuje en reposo K0 = 0,4? Ejercicio 4.9. En un punto de un terreno la tensión vertical total vale 6 t/m 2, la presión intersticial 2 t/m2, y el coeficiente de empuje en reposo K0 = 0,45. ¿Cuánto valen las tensiones horizontales total y efectiva, expresadas en kPa? Ejercicio 4.10. En un terreno de peso específico aparente γ’ = 1,7 t/m3 y peso específico sumergido γsum = 1,1 t/m3, el nivel freático se encuentra a 2 m de profundidad, ¿cuánto valen las tensiones horizontales total y efectiva en un punto A situado a 5 m de profundidad, sabiendo que el coeficiente de empuje en reposo vale K 0 = 0,5? Expresar los resultados en el Sistema Internacional. Ejercicio 4.11. Las tensiones principales geostáticas en un punto valen σ1 = 6 t/m2 y σ3 = 2 t/m2, obtener el polo del círculo de Mohr correspondiente y el valor de las tensiones σ y τ en un plano a 45°. Ejercicio 4.12 Obtener el polo y el valor de las tensiones σ y τ correspondientes al plano AB de la figura adjunta, sabiendo que σ1 = 8 t/m2 y σ3 = 4 t/m2. B

A 60º

30º

σ3 σ1 C

Ejercicio 4.13 Calcular el incremento de tensión vertical de una carga de 60 kPa a una profundidad de 3 m bajo el punto A de la siguiente figura.

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Ejercicio 4.14 En un suelo con peso específico γ = 18 kN/m3, cargado con ∆qs= 250 kPa sobre una superficie circular de 6 m de diámetro, se pide calcular las tensión vertical final a una profundidad de 3 m bajo el centro. Ejercicio 4.15 Representar en el plano de Lambe (p’, q) la trayectoria tensional realizada en un triaxial durante una consolidación anisótropa en la que r’ = a’/2. (r’=tensión radial; a’=tensión axial).

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