• Author / Uploaded
• Jhon Mender Diaz Gonzales

• Categories
• Tensión (Mecánica)
• Vector euclidiano
• Deformación (Mecánica)
• Elasticidad (Física)
• Fuerza

Citation preview

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA Escuela profesional de Ingeniería de Minas

“Año de la promoción de la industria responsable y compromiso climático”

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA CURSO: Mecánica de Rocas I DOCENTE: ING. Marcos Quispe Pérez INTEGRANTES: Alan Pino Clavitea Vladimir Vilca Ticona David Escobar Choque Marco Vasquez Kevin Puma Quispe TRABAJO: Tensiones y Deformaciones en las Rocas CARRERA: Ingeniería de Minas FECHA: 04/07/14

Moquegua - Perú 2014

Mecánica de rocas I

Página 1

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA Escuela profesional de Ingeniería de Minas

TENSIONES Y DEFORMACIONES EN LAS ROCAS I. FUERZAS Y TENSIONES La mecánica de solidos asume un comportamiento ideal de los materiales; homogéneos, continuo, isótropo, lineal y elástico. Las rocas, a diferencia de los materiales artificiales como el acero o el hormigón, presentan defectos estructurales debido a la variación de la composición mineralógica, orientación de minerales, porosidad y mico fisura, grado de alteración. Los macizos rocosos también contienen discontinuidades de diverso tipo y zonas meteorizadas y tectonizadas. En ambos casos estas características se reflejan en unas propiedades mecánicas y físicas, que gobiernan la respuesta mecánica del medio rocoso frente a la actuación de las fuerzas. La aplicación de nuevas fuerzas o la modificación de la magnitud o distribución de las preexistentes, da lugar al cambio en el estado mecánico de los sistemas rocosos, produciendo una serie de efectos internos, como desplazamiento, deformaciones, y modificación del estado tensional o de esfuerzos. En los ensayos de laboratorio se aplican fuerzas para producir la rotura del material y conocer así sus propiedades de resistencia. El estado mecánico de un sistema está caracterizado por:  La composición de cada una de sus partes, definida por sus coordenadas  Las fuerzas que actúan entre y sobre las partes del sistema  La velocidad con que las partes cambian de posición La diferencia entre dos estados mecánicos, por tanto quedara definida por los desplazamientos, las deformaciones y los cambios en el estado tensional o de esfuerzos

Mecánica de rocas I

Página 2

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA Escuela profesional de Ingeniería de Minas

El desplazamiento,

u , es el cambio de posición de una partícula

definida por un vector

u= p ´ − p .

, s , y queda

El campo de desplazamiento en un sistema será

homogéneo si los vectores de cada desplazamiento de cada partícula son iguales en magnitud y dirección La deformación ɛ, indica la variación de longitud o espacio entre dos partículas en dos estados mecánicos distinto, y se puede expresar como la relación entre la variación de

i i−i f ɛ= =∆ l/ii . Este parámetro es longitud y la longitud inicial entre las partículas ii dimensional y compara situaciones en dos estados mecánicos diferentes. El estado tensional de un sistema es consecuencia de las fuerzas actuando sobre él. Al variar las fuerzas por tanto varía el estado de tensiones asociados a los planos considerados. Las fuerzas son las responsables primeras del estado y comportamiento mecánico de un sistema. Sobre un cuerpo rocoso actúan dos tipos de fuerzas, la fuerza gravitatoria y volumétrica

F=m. g

y las fuerzas superficiales que son ejercidas sobre el cuerpo por

los materiales que los rodean y actúan sobre las superficies de contacto entre partes adyacentes del sistema rocos, y se transmiten a cualquier punto del interior del cuerpo: un ejemplo de estas últimas son las fuerzas tectónicas que se ejercen sobre las rocas. Ambas fuerzas volumétricas y superficiales, están íntimamente relacionados entre si, estando las segundas condicionadas por la distribución y variación espacial de las primeras. Las fuerzas superficiales se clasifican en compresivas (positivas) y distensivas o traccionales (negativas), representada respectivamente por vectores apuntando hacia dentro o fuera del punto de aplicación. Si se considera un plano sobre el que actúa un a fuerza, esta puede tener cualquier dirección con respecto al plano; si es perpendicular al mismo recibe el nombre de fuerza norma, y si es paralela fuerza tangencia de corte o cizalla. La primera puede ser Mecánica de rocas I

Página 3

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA Escuela profesional de Ingeniería de Minas

comprensiva o distensiva, mientras que la segunda no. Para las fuerzas tangenciales es necesario definir un convenio de signos: positivo si el vector de la fuerza y su vector asociado sobre la otra cara del plano tienen el sentido contrario a las agujas del reloj, y negativas en caso contrario. El efecto de una fuerza depende del área total sobre la que se aplica por lo que trabajar con fuerzas no es adecuado para conocer su influencia sobre el comportamiento de la roca. Si la fuerza total es referida al área A del plano sobre el que actúa, se expresa como

σ =F/ A

tensión o esfuerzo, parámetro independiente del área de aplicación

La fuerza se mide en unidades del sistema SICGS, como kilopondio

(kp) ,

tonelada

fuerza

(t);

las

unidades

NEWTON (N ) , dina, del

esfuerzo

son

el

kp /cm 2, kN /m 2, o kPa , MN /m2 o Mpa . El esfuerzo se define como la reacción interna de un cuerpo a la aplicación de una fuerza o conjunto de fuerzas, y es una cantidad que no se puede medir directamente, ya que el parámetro físico que se mide es la fuerza. Si la fuerza actúa uniformemente en una superficie, el esfuerzo o tensión indica la intensidad de las fuerzas que actúan sobre el plano. Por tanto, a diferencia de las fuerzas, carece de sentido hablar de esfuerzo actuando sobre un punto. El esfuerzo no varía en función del área considerada que siempre las fuerzas se distribuyan uniformemente sobre la superficie. Si las fuerzas no se distribuyen uniformemente, el esfuerzo variara para diferentes áreas del plano. Si se considera un área infinitesimal en el interior de un cuerpo rocoso en equilibrio, la magnitud del esfuerzo resultante sobre el área será;

σ = lim

∆ A→0

∆ F dF = ∆ A dA

Mecánica de rocas I

Página 4

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA Escuela profesional de Ingeniería de Minas

Como la fuerza es una cantidad vector, la expresión anterior se puede escribir la ecuación de un vector →

σ = lim ∆ A→0

∆ F dF = ∆ A dA

Los esfuerzos es también una cantidad vector, al ser producto de un vector escalar

1/∆ A

. La notación

∆ F , por un

representa la dirección y magnitud del vector. Las

notación � representa solo la magnitud, es el escalar de

. Los vectores de esfuerzos se

pueden sumar vectorialmente si están referidos al mismo plano.

El esfuerzo de un plano queda completamente representado por el vector de esfuerzo, con magnitud igual a la relación entre la fuerza y el área y dirección paralela a la dirección de la fuerza que actúa sobre el plan, al igual que las fuerzas, los esfuerzos comprensivos son positivas, y los traccionales son negativos. El esfuerzo como cualquier otro vector, pueden ser descompuestos en sus componentes normal y tangencial, referidas a cualquier plano, dependiendo estas componentes de la Mecánica de rocas I

Página 5

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA Escuela profesional de Ingeniería de Minas

orientación del plano elegido. De igual modo el esfuerzo puede ser descompuesto en dos componentes paralelas a los ejes de un sistema de coordenadas ortogonales

y ,x .

II. TENSIONES SOBRE UN PLANO El estado de esfuerzos o tensiones en un punto queda definido por las fuerzas por unidad de área referida a dos planos perpendiculares

x, y

atreves del punto. Si se asume un

material continuo y homogéneo sometido a un campo de fuerzas uniformes y se considera un cuadrado de área infinitesimal en reposo.

Los esfuerzos resultantes sobre las caras del cuadrado, o lo que es lo mismo, las fuerzas por unidad de área ejercidas por el material circundante sobre las caras del cuadrado, deben estar en equilibrio. En cada cara actúa una componente normal y otra tangencial. Refiriendo el cuadrado a un sistema bidimensional las componentes del esfuerzo sobre un plano

x , y sobre el plano y son σ y y τ yx

Para el equilibrio la resultante de las fuerzas actuando en las direcciones x e y deben ser igual a cero. Además el equilibrio rotacional que los momentos sean igual a cero. Mecánica de rocas I

Página 6

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA Escuela profesional de Ingeniería de Minas

TENSIONES PRINCIPALES En cualquier punto sometido a esfuerzos, se pueden encontrar tres planos ortogonales, entre si o entre los esfuerzos tangenciales son nulos; estos planos se denominan planos principales de esfuerzos, y los esfuerzos normales que actúan sobre ellos son las tensiones principales. La mayor de las tres tensiones menor es

σ1

la intermedia es

σ2

y la

σ 3 :σ 1 >σ 2> σ 3 suponiendo que solo existieran esfuerzos debido a las fuerzas

gravitatorias sobre un punto, el plano horizontal y todos los planos verticales que pasan por ese punto serian planos principales de esfuerzos si

σ 1=σ 2=σ 3

el estado de

tensiones se denomina isótropo o hidrastico, como el que presentan los fluidos. Todas las paredes de excavaciones superficiales y subterráneas que se autosoportan son planos principales de tensiones, sobres los que no actúan esfuerzos tangenciales. Contrariamente a lo que ocurre con los esfuerzos tangenciales, no existe ninguna orientación en el espacio para que los esfuerzos normales sean nulos. Dicho de otra forma, la suma de las tensiones principales tiene el mismo valor

σ 1 +σ 2+ σ 3=constante

III. TENSIONES EN TRES DIMENSIONES Si en lugar de un plano, en cuyo caso esfuerzo queda definido por un vector, se considera un punto situado en el interior de un cuerpo rocoso, por el mismo pasan infinitos planos de Mecánica de rocas I

Página 7

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA Escuela profesional de Ingeniería de Minas

diferente orientación. Si se determina los vectores esfuerzo para cada uno de los planos quedara definido el estado de esfuerzo o estado tensional en el punto, que queda representado por un tensor de segundo orden. Dicho de otro modo, la cuantificación del estado de esfuerzos de un punto se lleva a cabo definiendo su estado de esfuerzos, esto es, definiendo las fuerzas por unidad de área que actúa sobre tres planos ortogonales a través del punto. Estado de esfuerzos no se ve alterado por la elección del sistema de ejes de referencia, pero si sus componentes.

Si se considera un área infinitesimal ∆A alrededor de un punto O en el interior de un macizo rocoso en equilibrio, y ∆F es la fuerza resultante que actúa sobre el plano, la magnitud de esfuerzo resultante sobre el punto O, o del vector de esfuerzo, se define:

Sus componentes normal y tangencial sobre plano que contiene al punto quedan definidas por:

Si la normal a la superficie ∆A esta orientada paralela a uno de los ejes, por ejemplo el eje x, las componentes de esfuerzo que actúan sobre esta superficie puede ser referida a los Mecánica de rocas I

Página 8

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA Escuela profesional de Ingeniería de Minas

ejes x, y, z. Mientras que el esfuerzo normal queda definido de una forma evidente, el esfuerzo tangencial no, al no coincidir por lo general con la dirección de ninguno de los ejes, siendo necesario referirlo a dos componentes. Así, el esfuerzo sobre el plano considerado viene dado por tres componentes:

Indicando el primer subíndice de la normal al plano (o al plano sobre el que actúa la componente), y el segundo la dirección de actuación de la componente de esfuerzo. Similarmente, paralelas otras dos direcciones , y, z, las componentes del esfuerzo actuando sobre los planos normales a las mismas son:

La matriz de esfuerzo con las nueve componentes queda definida por:

El estado de esfuerzos en un punto queda definido por nueve componentes de esfuerzo independientes, 3 normales y 6 tangenciales. Si se considera el equilibrio del cubo debe cumplirse que:

Por lo que únicamente son necesarias seis componentes de esfuerzo para conocer el estado de esfuerzo en un punto:

Mecánica de rocas I

Página 9

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA Escuela profesional de Ingeniería de Minas

El tensor de esfuerzos correspondiente a los esfuerzos principales es:

Si existe presión de fluidos, u, el tensor queda modificado únicamente en sus componentes normales, ya que la presión hidrostática no actúa sobre las componentes tangenciales; los tensores de esfuerzos para los casos de existencia de componentes tangenciales o esfuerzos principales serán:

El estado tridimensional de tensiones en un punto queda representado por un elipsoide. De igual forma que se han deducido anteriormente las ecuaciones de la elipse de esfuerzos para las dimensiones, si se consideran los esfuerzos para dos dimensiones, si se considerarlos esfuerzos principales

paralelos a los ejes x, y, z se puede

escribir:

Mecánica de rocas I

Página 10

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA Escuela profesional de Ingeniería de Minas

Y como se obtiene:

Se obtiene:

Los tres planos que aparecen cortados en el elipsoide son los planos que contiene a los esfuerzos. Si se consideran los planos contiene a los esfuerzos 1 y 2 y a los esfuerzos 1 y 3 respectivamente se tienen las dos elipses que representan el estado de esfuerzos en cualquier plano perpendicular a la elipse considerada. Los diferentes estados de esfuerzos pueden definirse por la forma de elipsoide o por los valores relativos de los esfuerzos actuando sobre un punto en el centro del mismo.

Mecánica de rocas I

Página 11

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA Escuela profesional de Ingeniería de Minas

El esfuerzo hidrostático quedara representado por una esfera. Pues esta representa estos estados de esfuerzo en probetas de laboratorio. IV. RESISTENCIA Y ROTURA Las tensiones o esfuerzos generados por la aplicación de las fuerzas pueden producir deformaciones y roturas en las rocas dependiendo de la resistencia de las mismas y de otras condiciones extrínsecas al propio material rocoso. La deformación indica el cambio en la forma o configuración de un cuerpo, correspondiéndose con los desplazamientos que sufre la roca al soportar la carga. Ante la dificultad de medir desplazamientos muy pequeños, la deformación se expresa comparando el estado deformado con respecto al inicial, y por tanto no tiene unidades. Habiéndose definido la deformación longitudinal, como la variación de longitud entre dos partículas en dos estados mecánicos diferentes expresado como

ε=

l i−l f =∆ l/l i li

La deformación volumétrica o dilatación de la relación entre el cambio de volumen de un cuerpo y su volumen inicial

∆=(Vi−V f ) /Vi−∆ V /Vi Mientras que el esfuerzo indica una condición de la roca en un instante y depende de las fuerzas aplicadas, la deformación compara condiciones, en dos instantes, y concierne únicamente a la deformación

Mecánica de rocas I

Página 12

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA Escuela profesional de Ingeniería de Minas

La resistencia se define como el esfuerzo que la roca puede soportar para una cierta condición de deformación la resistencia de pico

σp,

es el esfuerzo máximo que se

puede alcanzar, se produce para una cierta deformación a la que se denomina deformación de pico. La resistencia residual

σr ,

es el valor al que cae la resistencia de

algunas rocas para deformaciones elevadas. Se produce después de sobrepasar la resistencia de pico, en los problemas que se plantean en ingeniería geológica, conocer si la roca se va a deformar sin alcanzar la resistencia de pico o va a superar este umbral, y por lo tanto se va a alcanzar la resistencia residual, es un aspecto difícil de analizar y de importantes consecuencias práctica. En condiciones naturales, la resistencia depende de las propiedades intrínsecas de la roca, cohesión y ángulo de fricción, y de otros factores internos como la magnitud de los esfuerzos que se ejercen, los ciclos de carga y descarga o la presencia de agua, por ese motivo la resistencia no es un valor único intrínseco de la roca. La resistencia compresiva es la propiedad más característica, y frecuentemente medida en la matriz rocosa, por la facilidad de obtención de testigos y de su ensayo en laboratorio. Por el contrario, en los macizos rocosos su determinación no es directa. Debiéndose realzarme por medio de criterios empíricos. La rotura es un fenómeno que se produce cuando la roca no puede soportar las fuerzas aplicadas, alcanzando el esfuerzo un valor máximo correspondiendo a la resistencia de pico del material. Aunque generalmente se supone que la rotura ocurre o se inicia al alcanzar la resistencia de pico, esto es una simplificación que no siempre ocurre. Mecánica de rocas I

Página 13

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA Escuela profesional de Ingeniería de Minas

Tampoco la rotura de la roca tiene porque coincidir con el inicio de la generación de los planos de fractura. La fractura es la deformación de planos de separación en la roca, rompiéndose los enlaces de las partículas para crear nuevas superficies. En función de la resistencia de la roca y de las relaciones entre los esfuerzos aplicados y las deformaciones producidas, la rotura puede responder a diferentes modelos; rotura frágil o rotura dúctil. El fenómeno de la rotura va acompañado de la generación de planos de fractura través de la roca, cuya dirección depende de  La dirección de aplicación de las fuerzas  Las anisotropías presentes en el material rocoso a nivel microscópico o macroscópico.  A escala del macizo rocoso fracturado MECANISMO DE ROTURA. El proceso de rotura de las rocas es muy variado y complejo englobando varios tipos de fenómenos de manera conjunta. El análisis de rotura en rocas es más complejo que en suelos MECANISMOS DE ROTURA Rotura por esfuerzo cortante: se produce cuando una determinada superficie de la roca está sometida a esfuerzos de corte suficientemente altos como para que una cara de la superficie deslice con respecto a la otra. Son ejemplos de rotura a favor de discontinuidades en taludes de macizo rocoso o en los techos de galerías sobre hastiales rígidos. Rotura de compresión: tiene lugar cuando la roca sufre esfuerzos a compresión. Microscópicamente se producen grietas de tracción y planos de corte que progresan en el interior de la roca. La situación de compresión simple no es frecuente en la naturaleza o en las obras de ingeniería. Son ejemplos próximos los pilares de soporte en una excavación minera o los pilares de sostenimiento de desmonte en voladizo. Rotura por flexión: se produce cuando una sección de la roca está sometida a momentos flectores. En realidad la sección está sometida a unas tensiones

Mecánica de rocas I

Página 14

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA Escuela profesional de Ingeniería de Minas

Normales variables, rompiéndose por la zona donde se acumula las tracciones rotura por tracción: ese tipo de rotura se produce cuando la disposición y la estructura del macizo rocoso hace que una cierta sección de la roca está sometida a una tracción pura o casi pura. Un ejemplo puede ser el estado traccional que se genera en algunos tramos de la superficie de rotura de un talud Rotura por colapso: se produce bajo condiciones de compresión isotrópica, es decir, cuando el material recibe compresiones en todas las direcciones del espacio. Es un caso particular de la rotura por compresión. Se produce en rocas muy porosas, tales como rocas volcánicas de baja densidad o areniscas cementadas tipo creta. Las rocas densas bajo compresión pueden colapsar también bajo compresiones muy elevadas por cambios en su estructura interna V. RELACION TENSION-DEFORMACION EN LAS ROCAS El comportamiento esfuerzo deformación de un cuerpo viene definido por la relación entre los esfuerzos aplicados y las deformaciones producidas, y hace referencia a como se va deformando y como va variando el comportamiento del material rocoso a lo largo de la aplicación de la carga, o dicho de otro modo, como varia la resistencia del material para determinados niveles de deformación: Mecánica de rocas I

Página 15

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA Escuela profesional de Ingeniería de Minas

 El comportamiento antes de llegar a la deformación  La forma en la que se produce la rotura  Comportamiento después de la rotura Su estudio se lleva a cabo a partir de ensayos de aplicación de fuerzas compresiva, en donde se registran las curvas de esfuerzo-deformación a lo largo de las diferentes etapas del proceso. Las rocas presentan relaciones no lineales entre las fuerzas aplicadas y las deformaciones producidas a partir de un determinado nivel de esfuerzo, obteniendo diferentes niveles de esfuerzo para los distintos tipos de rocas. Si debió a la aplicación de una carga sobre un cuerpo rocoso que supera su resistencia de pico, puede ocurrir:  La resistencia de la roca disminuye drásticamente incluso hasta alcanzar un valor máximo de cero. El comportamiento es típico de rocas duras con alta resistencia. La fractura frágil implica una perdida casi instantánea de la resistencia de la roca atreves de un plano sin ninguna o muy poca deformación plástica  La resistencia de la roca decrece hasta un cierto valor después de haber alcanzado deformaciones importantes.  La deformación sigue aumentando sin que se pierda la resistencia. Es el caso de un comportamiento dúctil, que presentan determinados tipos de materiales blandos como las sales. En el comportamiento dúctil la resistencia de pico y la residual son iguales. La deformación que se produce, sin pérdida de resistencia, se llama deformación dúctil. El comportamiento frágil se caracteriza por presentar diferencias importantes en la resistencia de pico y la residual, y al ser la de resistencia brusca, apenas existe diferencia en la deformación correspondiente a la resistencia residual. Si se ensaya en el laboratorio una probeta de roca sin confinar mediante la aplicación gradual de una fuerza axial, se va produciendo una deformación axial que puede ser medida mediante la instalación de comparadores en la probeta

Mecánica de rocas I

Página 16

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA Escuela profesional de Ingeniería de Minas

La rama ascendente, antes de alcanzar la resistencia de pico, presenta un comportamiento lineal o elástico para la mayor parte de la roca. En el campo elástico, la deformación es proporcional al esfuerzo, y se cumple la relación:

E=σ / ε ax

Donde

E

es la constante de proporcinalidad conocida como el modulo de YOUNG o

modulo de elasticidad,

σ

es el esfuerzo y

ε ax

dirección de la fuerza aplicada

Mecánica de rocas I

Página 17

es la deformación axial (en la misma

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA Escuela profesional de Ingeniería de Minas

VI. ANÁLISIS DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES INFINITESIMALES El análisis de ambas características infinitesimal es fundamental para todo trabajo de mecánica de rocas por cuanto un estudio experimental implica necesariamente un análisis de las cargas que actúan sobre las estructuras en rocas y su comportamiento Se llama estructura de rocas a todo tipo de construcciones con roca es decir galerías chimeneas taludes pilares etc. Este punto se ha tratado en muchos trabajos sobre teoría de elasticidad siendo importante las de TIMOSHENKO y GOODIER Es análisis de esfuerzo es materia de estática pura independiente de las propiedades asumidas para el material que puede ser, elástico plástico o de cualquier otro tipo

El análisis de deformaciones es fundamental para el movimiento de cualquier material si el movimiento es muy grande se requiere de análisis sofisticados sin embargo si las deformaciones son infinitesimales en la teoría de elasticidad encontraremos los elementos necesarios para su estudio. ANÁLISIS DE ESFUERZOS (TENSIONES STRESS) a) Esfuerzos en un punto: la tensión media sobre una superficie se

obtiene

dividiendo la fuerza sobre el área en la que actúala cual se denomina uniforme si la tensión media es constante sobre toda la superficie, si no es uniforme es conveniente definir la tensión en un punto

Mecánica de rocas I

Página 18

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA Escuela profesional de Ingeniería de Minas

→

OP

Normal: o=¿ lim dA

dF dA

s¿

La tensión en un punto se obtiene considerando la fuerza que actúa sobre un elemento de área alrededor de un punto y haciendo que este elemento superficial sea cada vez menor tendiendo a cero El límite del valor dado por la relación esfuerzo total sobre el punto

O

df / dA

cuando da tiende a cero se denomina

ubicado en un plano cuya normal esta dado por el

segmento OP. En otras palabras la tensión en un punto define la tensión media uniformemente distribuida sobre un diferencial de área

dA

Es necesario introducir la convención de signos par a los esfuerzos en mecánica de rocas la cual es opuesta a la convención adoptada en trabajos de tensión y elasticidad, resistencia de materiales. En mecánica de rocas es más conveniente asumir el esfuerzo de compresión positiva por los siguientes motivos;

Mecánica de rocas I

Página 19

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA Escuela profesional de Ingeniería de Minas

Los esfuerzos de campo y en el medio ambiente son casi siempre de compresión la presión de confinamientos en aparatos y la presión de fluidos en poros son tensiones compresivas

Esta convención está oficialmente reconocida en los círculos científicos

Las componentes de esfuerzo sobre el punto

O

La mayoría de problemas en mecánica de rocas están relacionados con esfuerzos normales sobre superficies en forma

estarán definidas por la siguiente

tensión

t x t xy t xz t yx t y t yz

El estado de esfuerzos el cualquier punto puede estudiarse y representarse en función de sus componentes de esfuerzos que actúan en dirección de los 3 ejes cartesianos

ANALISIS DE ESFUERZOS EN EL PLANO ESTADO PLANO BIDIMENSIONAL EN EL PLANO

Mecánica de rocas I

Página 20

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA Escuela profesional de Ingeniería de Minas

El análisis de esfuerzos en el plano se simplifica considerando solamente los componentes de tensión que sea independiente de

Z

o sea

Tx , Txy ,Ty ,Tyx

La tensión plano implica una deformación triaxial es decir que puede existir deformación en la dirección normal al plano

xy

recíprocamente una deformación

plana requiere de un sistema de acción triaxial cuando se analiza un problema es conveniente reducirlo a tensión plana o deformación plana Las tensiones tangenciales sobre las tensiones O y del elemento planteado para un problema bidimensional de tensiones son de magnitud similar demuestra a continuación; haciendo momento en A se tiene:

∑ MA=0 σ x dy

dy dx dy dx + σ y dx + τ yx dxdy−σ x dy −τ xy dydx−σ y dx =0 2 2 2 2

⟹ τ yx dxdy=τ xy dydx ∴ τ yx=τ xy de igual modo : τ xz =τ zx

Mecánica de rocas I

Página 21

Txy=Tyx

como se

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA Escuela profesional de Ingeniería de Minas

τ zy =τ yz Las tensiones o esfuerzo en un punto quedan definidos por las componentes rectangulares de tensión que actúan sobre las caras de un elemento diferencial de volumen que tomamos en el entorno de dicho punto Las tensiones varían en función de la orientación de los planos que pasan por un punto, es decir que las tensiones en las caras del elemento diferencial varían cuando la hace la posición angular de este elemento Pero el análisis de la variación de las tensiones según la orientación de los problemas en un problema bidimensional lo analizaremos en el siguiente diagrama de elemento triangular que posee un plano inclinado cuya normal forma un ángulo de teta grados en el eje

X

Mecánica de rocas I

Página 22

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA Escuela profesional de Ingeniería de Minas

g

∑ Fn=0 −σ θ A+ σ x A cos 2 θ+ τ xy A sin θ cos θ+σ y A sin2 θ+τ yx A sin θ cos θ=0 σ θ =σ x cos 2 θ+ σ y sin 2 θ+2 τ xy sin θ cos θ=0

Mecánica de rocas I

Página 23

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA Escuela profesional de Ingeniería de Minas

σ θ =σ x

( 1+cos2 2 θ )+ σ ( 1−cos2 2 θ )+ τ y

⟹ σ θ=

xy

2 sin θ cos θ=0

σ x + σ y σ x −σ y + cos 2 θ+ τ xy sin 2θ 2 2

∑ n ´ =0 τ θ A=σ y A sin θ cos θ +τ xy A cos 2 θ−τ yx A sin2 θ−σ x A sin θ cos θ τ θ =σ y sin θ cos θ+τ xy cos2 θ−τ yx sin2 θ−σ x sinθ cos θ

τθ=

σy σ sin 2θ− x sin 2θ+ τ xy ( cos 2 θ−sin 2 θ ) 2 2

⟹ τ θ=

sin 2θ+ τ ( σ −σ 2 ) y

x

xy

cos 2θ

Estas relaciones sirven para determinar las relaciones de los planos en que se producen las tensiones normales, se puede hallar los valores de la tensión normal y mínima y sus planos de aplicación definidos por los ángulos que se encuentran

Hallando el σ max :

⟹

d dθ

((

d σθ dθ

)

σ x+ σ y σ −σ y σ −σ y + x cos 2θ+ τ xy sin 2 θ = x (−sin 2 θ ) ( 2 )+ τ xy cos 2 θ ( 2 )=0 2 2 2

)(

)

⟹ τ xy cos 2 θ=( σ x −σ y ) sin 2 θ ⟹

Mecánica de rocas I

2 τ xy 2 τ xy sin 2 θ = ⟹ tan2 θ p = σ x −σ y cos 2 θ σ x −σ y

Página 24

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA Escuela profesional de Ingeniería de Minas

2θ p=arctan

2 τ xy 2 τ xy 1 ∴θ p= arctan σ x −σ y 2 σ x −σ y

dto /do=0

La derivada de

nos da el valor de

op

ó

2 op , que señala la

orientación de los planos en los que se produce los valores máximos y mínimos de

¿

Los ángulos

2 op

son función de

dos valores para el ángulo

tx , ty ,txy

que actúan sobre el elemento Hay

2 op que verifica la ecuación y se diferencian 180 uno de

ellos nos dará la indicación del plano de aplicación del esfuerzo máximo y otro del esfuerzo mínimo El esfuerzo máximo y mínimo se denomina tensiones principales señalándose al máximo

t 1 y al mínimo t 3

Cuando se trabaja en el espacio se hace con un esfuerzo normal intermedio En cualquier estado de tensión en un punto existirán siempre tensiones principales en el mismo En los planos de aplicación del esfuerzo máximo y mínimo la tensión cortante

o , derivamos la expresión con respecto a o e igualamos a

cuando varía el ángulo cero

d τθ d =0⟹ dθ dθ

(( σ −σ2 ) sin 2θ+ τ

Mecánica de rocas I

y

¿

x

xy

)

cos 2 θ =( σ y −σ x ) cos 2 θ−2 τ xy sin 2θ=0

Página 25

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA Escuela profesional de Ingeniería de Minas

2θ c =¿

σ y −σ x σ −σ σ −σ 1 , 2 θc =arctan y x ∴θ c = arctan y x 2 τ xy 2 τ xy 2 2 τ xy σ y −σ x sin 2θ ⟹ = ⟹ tan ¿ 2 τ xy cos 2 θ

‖σ max‖=‖σ min‖ Los esfuerzos definidos por las dos soluciones de esta ecuación son las de máxima y mínima tensión cortante

2 τ xy

sin 2θ=

1 2 2

2 xy

( 4 τ +( σ x+ σ y ) )

( σ −σ2 )± 12 √ 4 τ +( σ +σ ) x

σ Max, Min =±

y

2 xy

1 2 2

2 xy

( 4 τ +( σ x+ σ y ) ) σ 1,3 =

σ x −σ y

, cos 2θ p=

x

2

y

1 4 τ 2xy + ( σ x +σ y ) 2 2

√

demostracion :

((

) ((

σ Max =

σ 1−σ 3 σ −σ y 1 σ −σ y 1 = x + 4 τ 2xy + ( σ x +σ y ) 2 − x − 4 τ 2xy+ ( σ x + σ y )2 2 2 2 2 2

σ Max =

1 2 2 4 τ xy + ( σ x +σ y ) 2

)

√

√

obtememos σ θ y τ θ conociendo σ 1 , σ 3 :

σθ =

σ 1+ σ 3 σ 1 −σ 3 + cos 2θ 2 2

Mecánica de rocas I

Página 26

)

√

)

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA Escuela profesional de Ingeniería de Minas

τθ=

σ 1−σ 3 sin2 θ 2

Si tomamos como eje de coordenadas las direcciones de las tensiones principales podemos expresar las tensiones

¿

y

¿

en función de los esfuerzos principales y

el ángulo o que define la orientación del plano respecto a los planos principales. PROBLEMA En un punto de la caja techo de una veta se ha determinado una tensión normal en la

500 KG/CM 2 una tension normal en la direccion

dirección y de

250 KG/CM 2

y un esfuerzo cortante en el cuadrilatero de

X

200 KG/CM 2

de se

pide: 

Determinar la tensión normal max

Y

orientacion de los planos en que se produce

min y la

Y



La magnitud de la tensión cortante max



orientación de los planos en que se produce La tensión normal y cortante en un plano cuya normal esta inclinada 30 grados con el eje

min y la

X

a ¿ σ 1 , σ 2 ,θ p=? θ } rsub {p} =+122° 2 τ xy 200 tg 2 θ p= =2 =2θ p=−57.99° ; 2 ¿ σ x −σ y 250−500

θ } rsub {p} , para hallar la {σ} rsub {max} left ({σ} rsub {1} right ) y {σ} rsub {min} left ({σ} rsub {3} r reempl azando 2 θ p y 2 ¿

Mecánica de rocas I

Página 27

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA Escuela profesional de Ingeniería de Minas

3=¿ 139.5 250+ 500 250−500 σ 1,3 = + cos=(−57.99 )+ 200sin (−57.99 )=139.15 σ ¿ 2 2

σ 1,3 =

250+ 500 250−500 + cos ( 122 ) +250 sin ( 122 )=610.85 σ 1=610.85 2 2

lastensiones normales maximas y minimas y lasorientaciones por : 3=¿139.15 kg /cm2 610.85 kg σ 1= σ¿ cm2 θ } rsub {p} =-57.99 2 θ p=122.00 2 ¿ b ¿ τ max =? θ } rsub {c} =212 σ y −σ x 500−250 tg 2 θc = = =2θ c =32 ;2 ¿ 2 τ xy 2( 200)

θ } rsub {c} para hallar {τ} rsub {max {y }} {τ} rsub {min} tenemos: reemplazando 2θ c y 2¿

τθ=

500−250 sin 32+200 cos 32=235.85=τ max=235.85 kg /cm2 2

τθ=

500−250 sin 212+200 cos 212=−235.85=τ max =−235.85 kg/cm 2 2

por tanto :

Mecánica de rocas I

Página 28

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA Escuela profesional de Ingeniería de Minas

comprobando :τ max=

σ 1 −σ 3 610.85−139.15 235.85 kp = =τ max= 2 2 cm2

c ¿ σ θ , τ θ para θ=30

τθ=

250+500 250−500 + cos 60+200 sin 60 2 2

τ θ =485.7 kg / cm2 Determinar las tensiones normal y cortante en un plano cuya normal forma un ángulo

de 45° con el eje x siendo

σ x =0, σ y =

840 kg , τ xy =280 kg /cm2. cm2

Determinar las

fuerzas principales, orientadas de sus planos de aplicación y tensión cortante máximo. Solución:

θ=45 τ x =0

σ y=

840 kg cm2

τ xy=

280 kg cm2

2θ } rsub {p} =1461.05 2 τ xy 2∗280 tg 2 θ p= = =2 θ p=−33.5 ; ¿ σ x −σ y −840

Mecánica de rocas I

Página 29

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA Escuela profesional de Ingeniería de Minas

σ 1,3 =

840 −840 −84.77 kg + cos (−33.5 ) +280 sin (−33.5 )= =σ 3 2 2 cm 2

σ 1,3 =

840 −840 924.77 kg + cos 146.05+280 sin 146.05= =σ 3 2 2 cm2

θ } rsub {c} =123°41 σ −σ y −840 tg 2 θc = x = =2θ c =−56.05; 2 ¿ 2 τ xy 2∗280

τθ=

840 194.14 kg 194.14 kg sin (−56.18 )+280 cos (−56.18 ) = τ min = 2 cm2 cm 2

τθ=

840 194.14 kg sin 123.41+ 280cos 123.41=? τ max =194.41 kg/cm 2 2 cm2

Mecánica de rocas I

Página 30