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• Leonardo Alonso

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En todas las cosas el éxito depende de la preparación previa. Sin la cual el fallo se producirá

Confucos, Analects.

Imagen: Latas de bebida. Junto con los envases de comida, son lo recipientes a presión más comunes.

Razón: diámetro interior (di) vs espesor (t)

di t

40

di t

40

Este número pudiese cambiar

Cilindros de pared delgada presurizados internamente. (a) Tensiones que actúan sobre el cilindro;

(b) Tensiones que actúan sobre un elemento. Se quieren determinar los esfuerzos producidos por la presión interna p en un recipiente cilíndrico. Se considera que un cilindro es de pared delgada si su

relación radio r y el espesor t es mayor que . En este caso, se puede idealizar el problema considerando que los esfuerzos cortantes y sólo se tienen los esfuerzos normales transversales

y longitudinales como se muestran Nótese que se idealiza el problema como si se tuviera un estado plano de esfuerzos principales.

Haciendo una sección a lo largo del tubo, como se muestra en la figura , se tiene que la fuerza externa por unidad de longitud estará dada por,

dF

pds 1

prd

por lo que la componente en la dirección del eje y de esta fuerza será dFy dF sen pr sen d Fyext pr sen d 2pr 0

La fuerza interna por unidad de longitud será

Fyint

2

T

t

Por equilibrio estático, Fy 0 , lo que significa que, por lo tanto, el esfuerzo transversal será Fy Fy 0 2 Tt 2pr 0 ext

int

T

Text Reference: Figure 10.1, page 390

pr t

(1)

Tomando ahora una sección transversal, como se muestra en la figura , se tiene

una fuerza externa Fext

r2 p

x

y una fuerza interna Fintx en donde

L

2 rt

r 2 es el área transversal rodeada por

pared externa del cilindro y 2 rt

es su perímetro

exterior. Fx

Por equilibrio estático,

0 esto es,

por lo tanto, el esfuerzo longitudinal será

Nótese que

T

2

esfuerzo transversal

Text Reference: Figure 10.1, page 390

L

r 2 p 2 rt L

pr 2t

por lo que el T

resulta ser el más crítico.

L

(2)

0

Figure 10.2 Vista frontal de un cilindro de pared delgada, presurizado internamente.

Del equilibrio

Tensiones Componentes

Vista frontal completa de un cilindro de pared gruesa, presurizado interna y externamente.

(a) con los esfuerzos que actúan sobre el cilindro; (b) con los esfuerzos que actúan sobre un elemento

( Planteando Equilibrio

/d

r

d

dr )d dz r )(r _

Sen(

d ) 2

2 r rd dz d 2

r

Sen( d r dr

d )drdz 0 2 r

(Ecuación 1)

Figure 10.4 Elemento cilíndrico polar, antes y despues de la deformación.

Figura

(Ecuación 2)

Ley de Hooke (Ecuación 3)

Presurizados Internamente

Incognitas :

r

,

r

,

Sustituyendo Ec1 en Ec2 y Ec3 (Ecuación 4) Donde Ec4 se puede expresar como:

Integrando y simplificando:

De la Ecuación 2: Integrando de nuevo:

Aplicando condiciones de frontera: σr =-Pi en r=ri σr=-Pi en r=ro

(Ec5)

(Ec6)

Sustituyendo Ec5 y Ec6 en Ecuación3:

Presurizados Externamente

Figure 10.5 Cilindro de pared gruesa internamente presurizado, que muestra los esfuerzos circunferencial (en el aro) y radial para diferentes valores del radio. [Juvinall (1967).]

Figure 10.6 Cilindro de pared gruesa externamente presurizado que muestra los esfuerzos circunferencial(aro), y radial(diferentes radios).[Juvinall (1967).]

Figure 10.7 Esfuerzos en un cilindro en rotación con agujero central y sin presurización. [Juvinall (1967).]

Figure 10.8 Esfuerzos en cilindros macizos en rotación y sin presurización. [Juvinall (1967).]

Figure 10.9 Vista lateral que muestra la interferencia en un ajuste a presión de un eje hueco con su agujero.

Figure 10.10 Vista frontal que muestra (a) cilindro ensamblado con un ajuste por interferencia y b) agujero y eje hueco desensamblados(también se muestra la presión de interferencia).

Empleando la formulación de cilindros de pared gruesa, donde: Pi= Pf; r = rf y ri = rf, sustituyendo:

Deformación.

Pf (ro2 t

rf2 ) r

ro2 rf2

Agujero

/E

Pf

r

Pf (rf2

2 o

Eh ;

ri 2 )

Pf

h

2 f

Eh ( r

r ) s

Eh

(rf2 Eh ( r

h

ri 2 )

Eh (ro2 rf2 )(rf2 ri 2 )

Para ejes macizos (ri=0).

rf2 ri 2

Eje: r

Es

rf2 )

2rf3 Pf (ro2 r

t

rf Pf

(ro2

2 Pf r f ro2 r

E (ro2

r f2 )

ri 2 ) 2 f

s 2

ri )

Es

Fuerza y Par

Pf

máx

T

Fmáx 2 rf l

Fmáx rf

Tefectivo

2

2

rf lPf

Fmáx rf k

(2

2

rf lPf )k

Relación: esfuerzos axial y circunferencial.

2 máx

2 a

2 a

Pa 2 rf l

2 c

Pc 2 rf l

2 c

K =1/ b=∞ K =0/ b=0 K =0,8/ b=d

Aplicaciones de Cilindro de Presión interna

Ejemplo Calcular el ajuste necesario para transmitir 40 CV sobre un eje hueco de do=50 mm y di= 30 mm mediante una polea de dext=90 mm. Datos: Sadm= 2500 kg/cm2, n= 500 rpm, μ=0,12 Acero-Acero. B=5 cm, k=0,8 1HP= 746W

Ejemplo: Esfuerzos Térmicos 1. El conjunto mostrado en la figura consta de una cubierta de aluminio totalmente adherida a un núcleo de acero y no tiene esfuerzos cuando la temperatura es de 20 C. Considerando solo deformaciones axiales, hallar el esfuerzo en la cubierta de aluminio cuando la temperatura sube a 180ºC. Datos: Aluminio EAl =70 GPa, αAl = 23x 10-6 C-1 Acero

EAc = 200 GPa, αAc = 11x 10-6 C-1

Ejemplo: Esfuerzos Térmicos 2. Un bloque de una aleación de aluminio se coloca entre las dos mordazas rigidas de una prensa, las cuales se aprietan ligeramente. La temperatura del ensamble completo se eleva a 250°C en un horno. Las áreas de las secciones transversales son de 65 mm2 para el bloque y de 160 mm2 para los tornillos de acero inoxidable. Hallar esfuerzos en los tornillos y el bloque Aluminio E Al =70 GPa, αAl = 24x 10-6 C-1 Acero inox: EAc = 200 GPa, αAc = 17x 10-6 C-1

Esfuerzos Térmicos Material

Modulus of Elas ticity, E GPa Mps i

Metals Aluminum 62 Aluminum alloys a 70 Aluminum tin 63 Babbitt, lead-based white metal 29 Babbitt, tin-based white metal 52 Brasses 100 Bronze, aluminum 117 Bronze, leaded 97 Bronze, phosphor 110 Bronze, porous 60 Copper 124 Iron, grey cast 109 Iron, malleable cast 170 b Iron, spheroidal graphite 159 Iron, porous 80 Iron, wrought 170 Magnesium alloys 41 Steel, low alloys 196 Steel, medium and high alloys 200 Steel, stainless c 193 Steel, high speed 212 d Zinc alloys 50 Polymers Acetal (polyformaldehyde) 2.7 Nylons (polyamides) 1.9 Polyethylene, high density 0.9 Phenol formaldehydee 7.0 Rubber, naturalf 0.004 Ceramics Alumina (Al2 O3 ) 390 Graphite 27 Cemented carbides 450 Silicon carbide (SiC) 450 Silicon nitride (Si3 N 4 ) 314 a Structural alloys b For bearings c Precipitation-hardened alloys up to 211 Gpa (30 Mpsi). d Some alloys up to 96 Gpa (14 Mpsi). e Filled f 2.5%-carbon-black “mechanical” rubber.

9.0 10.2 9.1 4.2 7.5 14.5 17.0 14.1 16.0 8.7 18.0 15.8 24.7 23.1 11.6 24.7 5.9 28.4 29.0 28.0 30.7 7.3 0.39 0.28 0.13 1.02 0.0006 56.6 3.9 65.3 65.3 45.5

Material Metals Aluminum Aluminum alloys a Aluminum tin Babbitt, lead-based white metal Babbitt, tin-based white metal Brasses Bronzes Copper Copper lead Iron, cast Iron, porous Iron, wrought Magnesium alloys Steel, alloyb Steel, stainless Steel, high speed Zinc alloys Polymers Thermoplastics c Thermosetsd Acetal (polyformaldehyde) Nylons (polyamides) Polyethylene, high density Phenol formaldehydee Rubber, naturalf Rubber, nitrileg Rubber, silicone Ceramics Alumina (Al2 O3 )h Graphite, high strength Silicon carbide (SiC) Silicon nitride (Si3 N 4 ) a Structural alloys b Cast alloys can be up to 15 x 10-6 /(°C) c Typical bearing materials d 25 x 10-6 (°C)-1 to 80 x 10-6 (°C)-1 when reinforced e Mineral filled f Fillers can reduce coefficients g Varies with composition h 0 to 200°C

Linear Thermal Expans ion Coefficient, a (°C) -1 (°F) -1 23 x 10-6 24 x 10-6 24 x 10-6 20 x 10-6 23 x 10-6 19 x 10-6 18 x 10-6 18 x 10-6 18 x 10-6 11 x 10-6 12 x 10-6 12 x 10-6 27 x 10-6 11 x 10-6 17 x 10-6 11 x 10-6 27 x 10-6

12.8 x 10-6 13.3 x 10-6 13.3 x 10-6 11 x 10-6 13 x 10-6 10.6 x 10-6 10.0 x 10-6 10.0 x 10-6 10.0 x 10-6 6.1 x 10-6 6.7 x 10-6 6.7 x 10-6 15 x 10-6 6.1 x 10-6 9.5 x 10-6 6.1 x 10-6 15 x 10-6

(60-100) x 10-6 (10-80) x 10-6 90 x 10-6 100 x 10-6 126 x 10-6 (25-40) x 10-6 (80-120) x 10-6 34 x 10-6 57 x 10-6

(33-56) x 10-6 (6-44) x 10-6 50 x 10-6 56 x 10-6 70 x 10-6 (14-22) x 10-6 (44-67) x 10-6 62 x 10-6 103 x 10-6

5.0 x 10-6 1.4-4.0 x 10-6 4.3 x 10-6 3.2 x 10-6

2.8 x 10-6 0.8-2.2 x 10-6 2.4 x 10-6 1.8 x 10-6

Bibliografía • Mecánica de los Materiales Timoshenco y Gere. Cuarta Edición. International Thomson Editores . •Mecánica de los Sólidos Edgor P. Popov. Segunda Edición. Pearson Educación.