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´ TEMAS DE CALCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES Abel Enrique Posso Agudelo Alejandro Mart´ınez Acosta Jos´ e Rodrigo Gonz´ alez Granada z

x y

Universidad Tecnol´ ogica de Pereira Facultad de Ciencias B´ asicas Departamento de Matem´ aticas

´ TEMAS DE CALCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES c Abel Enrique Posso Agudelo. Autor

Profesor titular Universidad Tecnol´ogica de Pereira c Alejandro Mart´ınez Acosta. Autor

Profesor asociado Universidad Tecnol´ogica de Pereira c Jos´e Rodrigo Gonz´alez Granada. Autor

Profesor asistente Universidad Tecnol´ogica de Pereira Primera edici´on, Pereira - Risaralda. Mayo de 2010 ISBN

Car´atula: Alejandro Mart´ınez Acosta Portada: Abel Enrique Posso Agudelo Dise˜ no y diagramaci´on: los autores Digitaci´on y elaboraci´on de dibujos: Los autores

Impreso y hecho en Colombia Impreso por POSTERGRAPH S. A. Derechos reservados. Prohibida la reproducci´on total o parcial sin autorizaci´on escrita del titular de los derechos.

Contenido

Prefacio

v

1. Vectores

1

1.1. Coordenadas y vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1. Coordenadas cartesianas en Rn . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.2. Vectores en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Operaciones con vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1. Suma y multiplicaci´on por un escalar . . . . . . . . . . 10 1.2.2. Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.3. Producto vectorial en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3. Rectas y planos en el espacio (R3 ) . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.1. Rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.2. Planos en el espacio (R3 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4. Ejercicios del cap´ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2. Superficies

31

2.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2. Superficies cil´ındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3. Superficies de revoluci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 i

Contenido 2.4. Superficies cu´adricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.5. Ejercicios del cap´ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3. Funciones vectoriales

43

3.1. Funciones vectoriales y curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2. L´ımites y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3. Derivadas e integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.4. Longitud de arco y curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ˆ, B ˆ . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.4.1. El triedro m´ovil Tˆ, N 3.4.2. Curvatura y c´ırculo osculador en curvas planas . . . . . 53 3.4.3. Curvatura y torsi´on en curvas en el espacio . . . . . . . 57 3.5. Movimiento en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.5.1. Posici´on, velocidad y aceleraci´on . . . . . . . . . . . . . 58 3.5.2. Componentes tangencial y normal de ~a . . . . . . . . . 60 3.6. Ejercicios del cap´ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4. Derivaci´ on parcial

65

4.1. Campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.1.1. Puntos y conjuntos en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.1.2. Definici´on, dominio y recorrido . . . . . . . . . . . . . 66 4.1.3. Conjuntos de nivel y gr´aficas . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.2. L´ımites y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.3. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.4. Plano tangente y diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.5. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.6. Gradientes y conjuntos de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.7. Derivadas direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 ii

Contenido 4.8. Valores extremos y puntos de silla . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.9. Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.10. Ejercicios del cap´ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

iii

PREFACIO El objetivo principal de este libro es el de proporcionar una introducci´on al c´alculo diferencial de funciones de varias variables. Contiene elementos te´oricos y ejercicios suficientes para ser usado como libro de texto en los cursos de c´alculo en varias variables que se imparten en las diversas universidades colombianas en las carreras de ingenier´ıas y tecnolog´ıas. En particular, en la Universidad Tecnol´ogica de Pereira el libro puede ser utilizado en los cursos de Matem´aticas III. En el libro tratamos de exponer, de manera sencilla, los conceptos b´asicos ´ del c´alculo diferencial en varias variables y algunas de sus aplicaciones. Este ha sido nuestro objetivo principal al escribir estas notas y, con la idea de que sean u ´ tiles al mayor n´ umero posible de lectores, hemos procurado exponer los conceptos de tal manera que puedan ser entendidos sin dificultad por aquellos que conozcan las nociones b´asicas del ´algebra vectorial y del c´alculo diferencial e integral en una variable. Resaltamos que el c´alculo diferencial e integral de funciones de varias variables son materias fundamentales del an´alisis matem´atico, tanto por su inter´es en matem´aticas puras como por su utilidad para modelar y resolver problemas en ingenier´ıa. El texto se ha estructurado como los libros usuales de matem´aticas en el sentido de exponer definiciones, teoremas, proposiciones, lemas, corolarios, etc., y aunque se omite la demostraci´on de la mayor´ıa de los teoremas no se ha descuidado el rigor en el tratamiento de los mismos. Consideramos que durante el aprendizaje de una materia el alumno debe v

Prefacio tomar una posici´on activa y de discusi´on. De acuerdo con esta idea, el aprendizaje que se propone aqu´ı ser´a a trav´es de la realizaci´on de ejercicios. Los hay de clase muy diversa: desde aquellos donde se trata simplemente de aplicar una definici´on a una situaci´on concreta hasta aquellos que constituyen en realidad un buen resultado matem´atico. Hemos procurado no seleccionar ejercicios repetitivos sobre una misma idea, sino m´as bien aquellos que ayudan a dar claridad a los conceptos. Las figuras incluidas en el texto se elaboraron con el paquete Pstricks. Animamos al lector a que dibuje, siempre que le sea posible, las ideas presentes en el mismo, puesto que en multitud de ocasiones es una ayuda decisiva para entender los razonamientos formales. No olvidemos el adagio popular: un buen dibujo vale m´as que mil palabras. Existe una amplia gama de programas inform´aticos para graficar funciones, algunos de ellos muy buenos y variados. Por su facilidad en el uso recomendamos el Asistente matem´atico DERIVETM (de Texas Instruments). Las posibilidades de c´alculo num´erico y graficaci´on de un asistente matem´atico como DERIVETM permiten mejorar la comprensi´on de muchos conceptos matem´aticos, sobre todo a aquellos estudiantes que presentan problemas a la hora de realizar los c´alculos permiti´endoles avanzar a pesar de sus deficiencias de formaci´on. El libro se ha dividido en cuatro cap´ıtulos que pueden ser cubiertos en 8 semanas de clase con una intensidad de 5 horas semanales. En el cap´ıtulo 1 se estudian algunos conceptos del ´algebra vectorial que son necesarios para afrontar las ideas del c´alculo diferencial de funciones de varias variables. Este cap´ıtulo puede ser omitido por aquellos estudiantes que ´ han cursado y aprobado la asignatura Algebra lineal que se imparte en la Universidad Tecnol´ogica de Pereira. En el cap´ıtulo 2 se hace un estudio de las superficies. En particular se estudian las superficies cil´ındricas, las cu´adricas y las superficies de revoluci´on, que

vi

Prefacio servir´an para ilustrar las ideas principales del c´alculo diferencial. En el cap´ıtulo 3 se estudian las funciones vectoriales, empezando con la definici´on y la parametrizaci´on de curvas en R2 y R3 . Se estudian los conceptos de l´ımite, continuidad, derivaci´on e integraci´on de funciones vectoriales. El cap´ıtulo termina con algunas aplicaciones al movimiento de part´ıculas en el espacio. El libro concluye con el cap´ıtulo 4 donde se estudian las funciones de varias variables y valor real (campos escalares.) Se introducen los conceptos de l´ımite y continuidad de un campo escalar, derivada parcial, derivada direccional y gradiente. El cap´ıtulo finaliza con el estudio de los m´aximos y m´ınimos de una funci´on. Finalmente, los autores manifestamos nuestra gratitud a profesores colegas por las observaciones y consejos valiosos realizados durante la elaboraci´on del libro. Igualmente agradecemos a aquellos alumnos que con sus dudas y deseo de saber m´as nos motivan d´ıa a d´ıa a mejorar nuestra pr´actica docente. A todos ellos dedicamos este libro. Igualmente, expresamos nuestra gratitud anticipada por las cr´ıticas, comentarios y sugerencias que los lectores estimen oportuno hacernos llegar sobre la presente obra.

Los autores

vii

Cap´ıtulo 1

Vectores 1.1.

Coordenadas y vectores

1.1.1.

Coordenadas cartesianas en Rn

En esta secci´on se hace un breve repaso acerca del sistema de coordenadas cartesianas rectangulares. Se denominan as´ı en honor al fil´osofo y matem´atico franc´es Ren´e Descartes (1596-1650), quien intent´o fundamentar su pensamiento filos´ofico en la necesidad de tomar un ((punto de partida)) sobre el que edificar todo el conocimiento. Como creador de la geometr´ıa anal´ıtica, comienza tomando un ((punto de partida)): el sistema de referencia cartesiano, para poder representar la geometr´ıa plana tomando como referencia dos rectas perpendiculares entre s´ı, que se cortan en un punto denominado ((origen de coordenadas)), ideando as´ı las denominadas coordenadas cartesianas (ver figura 1.2).

Figura 1.1. Ren´e Descartes.

1

2

Cap´ıtulo 1. Vectores z y y1 O

P x1

b

b

Py (0, y1 ) b

P (x1 , y1 ) b

b

P (x1 , y1 , z1 )

b b

b

O(0, 0, 0)

b

0

b

x b

b

x

(b) En el plano

(a) En la recta

y

Px (x1 , 0)

x1

0

Py (0, y1 , 0) b

Px (x1 , 0, 0) Pxy (x1 , y1 , 0)

x

(c) En el espacio

Figura 1.2. Coordenadas en la recta, en el plano y en el espacio. Se denota: R2 = {(x, y) | x, y ∈ R} , R3 = {(x, y, z) | x, y, z ∈ R} , ···

Rn = {(x1 , . . . , xn ) | xi ∈ R; i = 1, 2, . . . , n}

Ejemplo 1.1.1. Determine el signo de cada una de las coordenadas seg´ un los octantes. Soluci´ on. De acuerdo con la gr´afica, se completa la tabla de la siguiente manera: Plano yz

z Plano xz

Octante

x

y

z

I

+

+

+

II

−

+

+

−

−

+

V

+

+

VI

−

−

III IV

x

Plano xy

y

VII VIII

+

− +

− + − −

+ − − −

Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 1.1. Coordenadas y vectores

3

Ejemplo 1.1.2. Ubique en R3 cada uno de los siguientes puntos. a) (1, 0, 0)

d) (2, 4, 4)

g) (−3, 1, −2)

b) (0, 1, 0)

e) (2, −2, −3)

h) (−4, −2, −1)

c) (0, 0, 1)

f) (−2, −1, 2)

i) (2, 4, −1)

Soluci´ on. Se dibujan en dos sistemas para mayor claridad. z

z (−2, −1, 2) (−4, −2, −1)

(0, 0, 1)

(1,

0, 0)

(2, 4, 4)

(0,

0) 1,

(−3, 1, −2)

x

x y

(2, −2, −3)

y (2, 4, −1)

Figura 1.3. Ubicaci´ on de puntos en R3

Definici´ on 1.1.1 (Distancia). Sean P1 (x1 , x2 , . . . , xn ) y P2 (y1 , y2 , . . . , yn ) dos puntos en Rn . La distancia entre P1 y P2 es d = d(P1 , P2 ) =

p (y1 − x1 )2 + (y2 − x2 )2 + · · · + (yn − xn )2 .

(1.1)

Ejemplo 1.1.3. Hallar los valores de λ, si existen, de modo que los puntos P y Q disten 5 unidades: a) P (−5, 0), Q(λ, 4) b) P (3, −2), Q(λ, 1). Soluci´ on. De acuerdo con (1.1) se tiene a) b)

p p

(λ + 5)2 + 16 = 5 ⇒ (λ + 5)2 = 9 ⇒ λ = −2 o λ = −8 (λ − 3)2 + 9 = 5 ⇒ (λ − 3)2 = 16 ⇒ λ = 7 o λ = −1

Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

4

Cap´ıtulo 1. Vectores Q1 (−2, 4)

y y

Q2 (−1, 1)

Q1 (7, 1)

5

d

=

=

d

5

Q2 (−8, 4)

d

x

P (−5, 0)

=

5

d

=

5

x

P (3, −2)

Figura 1.4. Gr´ afica ejemplo 1.1.3

Definici´ on 1.1.2 (Esfera). La superficie esf´erica o simplemente esfera con centro en C(x0 , y0 , z0 ) y radio r, es el conjunto de puntos P (x, y, z) del espacio tales que (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = r 2

(1.2)

Ejemplo 1.1.4. Determine la ecuaci´on de la esfera con centro en (5, 2, −1) y radio 4.

Soluci´ on. Sustituyendo en (1.2), la ecuaci´on de la esfera es (x − 5)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = 16. Simplificando se obtiene: x2 + y 2 + z 2 − 10x − 4y + 2z + 14 = 0.

1.1.2.

Vectores en Rn

Definici´ on 1.1.3 (Vector). Geom´ etricamente un vector en R, R2 o R3 es un segmento de recta dirigido. Anal´ıticamente un vector en Rn es una n–tupla ordenada de n´ umeros reales: (x1 , x2 , . . . , xn ). Notaci´ on. Los vectores se denotan mediante letras con una flecha encima, #– #– #– por ejemplo, a, b , #– v , A . Un vector tambi´en se puede representar por un # – segmento de recta dirigido en la forma P Q donde P es punto inicial, cola o Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 1.1. Coordenadas y vectores

5

punto de aplicaci´on y Q es el punto terminal, extremo o cabeza. #– Si la cola es el origen, se escribir´a A en # – lugar de OA . De este modo se puede

Q(x2 , y2 )

y

asociar a cada punto A(a1 , . . . , an ) de #– Rn un u ´ nico vector A = (a1 , . . . , an )

b

– # Q P b

P (x1 , y1 ) , b) #– = (a A

cuya cola es el origen, llamado vector

b

A(a, b)

b

o anclado del punto A como se ilustra

O

x

2

en la figura 1.5 para R .

Figura 1.5. Vectores en R2

Comentario. A´ un cuando en algunos textos al definir vector se le caracteriza con magnitud, direcci´on y sentido, se ha generalizado la definici´on diciendo que son cantidades con magnitud y direcci´on incluyendo en esta u ´ ltima palabra la idea de hacia donde apunta la flecha sobre la recta que la contiene, y s´olo se habla de sentido cuando se quiere hacer ´enfasis en el mismo. El sentido lo da la flecha. Definici´ on 1.1.4 (Igualdad de vectores en Rn ). 1. Geom´ etricamente. y

Dos vectores no nulos en R, R2 o R3 son iguales si y s´olo si tienen O

x

la misma longitud y direcci´on.

Figura 1.6. Vectores iguales en R2

#– = (x , . . . , x ) y #– 2. Anal´ıticamente. Los vectores u v = (y1 , . . . , yn ) son n 1 iguales si y s´olo si xi = yi para i = 1, 2, . . . , n. Ejemplo 1.1.5. Determine los valores de λ y β, si existen, de modo que los #– = (2 − λ, −3) y #– vectores u v = (−3 − 2β, −λ + β) sean iguales. #– = #– Soluci´ on. u v implica: 2 − λ = −3 − 2β y − 3 = −λ + β. Al resolver se obtiene: λ = 1, β = −2.

Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

6

Cap´ıtulo 1. Vectores

#– = (a , a , . . . , a ) ∈ Definici´ on 1.1.5 (Norma de un n–vector). Sea a n 1 2 #– #– n R . La longitud, magnitud o norma de a, denotada por k ak, est´a dada por #– = k ak

q

a21 + a22 + · · · + a2n =

n X i=1

a2i

!1/2

.

(1.3)

Ejemplo 1.1.6. Hallar longitud de los siguientes vectores #– b) b = (−4, 3)

#– = (2, 2) a) a

#– = ( 1 , − 2 , 2 ) c) u 3 3 3

Soluci´ on. Seg´ un (1.3): #– = √22 + 22 = √8 = 2√2 a) k ak p √ #– b) k b k = (−4)2 + 32 = 25 = 5 #– = p(1/3)2 + (−2/3)2 + (2/3)2 = √1 = 1 c) k uk

#– ∈ Rn , se dice que u #– es unitario Definici´ on 1.1.6 (Vector unitario). Sea u #– = 1. Si u #– es unitario, se denota por u si y s´olo si k uk ˆ. #– Definici´ on 1.1.7 (Vector nulo). El vector nulo es 0 = (0, 0, . . . , 0). #– Definici´ on 1.1.8 (Direcci´ on de un vector en R2 ). Sea 0 6= #– v ∈ R2 . La direcci´on de #– v , denotada por θ = dir #– v , es el ´angulo θ con menor valor #– absoluto que forma el vector v la parte positiva de las abscisas. y

#– v2

#– v2

#– v1

y

#– v1

θ2

θ2 θ1

θ3

θ1 x

#– v3

θ4

(a) 0 ≤ θ < 2π

#– v4

x

θ4 #– v3

θ3

#– v4

(b) −π < θ ≤ π

Figura 1.7. Direcci´ on de un vector en R2 Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 1.1. Coordenadas y vectores

7

En la figura 1.7(b) se muestra la direcci´on de varios vectores. Nota. La direcci´on de un vector no nulo #– v de R2 , tambi´en se puede definir como el ´angulo de menor giro positivo del vector con respecto al eje positivo de las abscisas, como se ilustra en la figura 1.7(a). La direcci´on de un vector y #– v = (x1 , y1 ) ∈ R2 est´a dada por tan θ = 1 para x1 6= 0. Si x1 = 0, entonces x1 #– θ = π2 cuando y1 > 0 y θ = − π2 cuando y1 < 0. La direcci´on del vector 0 no est´a definida.

Ejemplo 1.1.7. Hallar direcci´on de los siguientes vectores: a) #– v = (4, 4)

√ c) #– v = (−2, −2 3)

b) #– v = (−4, 4)

Soluci´ on. a) Como tan θ = 1 y #– v est´a en el primer cuadrante, entonces θ = π4 . b) Como tan θ = −1 y #– v est´a en el segundo cuadrante, entonces θ = c) Como tan θ = y

√

3π . 4

3 y #– v est´a en el tercer cuadrante, entonces θ = − 2π . 3

#– v = (4, 4)

#– v = (−4, 4)

y

y

O

x θ=

θ=

π 4

x

O

(a)

O

3π 4

θ = − 2π 3

x

√ #– v = (−2, −2 3)

(b)

(c)

Observaci´ on. La direcci´on de un vector en R3 , y en general en Rn , no se puede definir simplemente como el ´angulo θ que el vector forma con la parte positiva del eje x o x1 ya que 0 < θ
0. c) dir λ #– v = dir #– v + π si λ < 0.

b

#– v

#– v

λ #– v

#– v b

λ #– v λ #– v

#– v (a) Dilataci´on: |λ| > 1

λ #– v

(b) Contracci´on: 0 < |λ| < 1

Figura 1.12. Multiplicaci´ on por un escalar

2. Anal´ıticamente. La multiplicaci´on del vector #– v = (x1 , x2 , . . . , xn ) por el #– escalar, λ denotada por λ v , se define como λ #– v = (λx1 , λx2 , . . . , λxn ). Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

12

Cap´ıtulo 1. Vectores

#– = (x , . . . , x ), #– n Definici´ on 1.2.3 (Resta). Sean u n v = (y1 , . . . , yn ) en R . La 1 #– y #– resta entre u v es

#– − #– #– + (− #– u v =u v ) = (x1 − y1 , x2 − y2 , . . . , xn − yn ). #– #– Nota. Sean P y Q puntos en Rn cuyos vectores localizados son P y Q. Entonces # – #– #– PQ = Q − P. P b

#– u

#– #– u−v

#– − #– – # Q Q P P =

#– v #– P

− #– v

b

#– u

O

(a) Resta

b

#– Q

Q

(b) Vector P Q

Figura 1.13. Resta geom´etrica de vectores en R2 y en R3

Ejemplo 1.2.2. Sean #– v1 = (3, 1) y #– v2 = (−1, 2). Halle y dibuje: a) #– v1 + #– v2

b) #– v1 − #– v2

c) 2 #– v1 + 3 #– v2

Soluci´ on. a) #– v1 + #– v2 = (2, 3)

b) #– v1 − #– v2 = (4, −1)

c) 2 #– v1 + 3 #– v2 = (3, 8)

Gr´aficamente se tiene Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 1.2. Operaciones con vectores 13

+ 3 #– v2

y

2 v#–

1

3 #– v2

y 2

+ #– v

y #– v2

1

v#–

#– v2

#– v2

#– v1

#– v1

2 #– v1

#– v1 O

x

(a)

O

x

#– v #– 1 − v 2 − #– v2

O

(b)

x

(c)

Propiedades de la suma y de la multiplicaci´ on por un escalar #– #– #– ∈ Rn ; λ, β ∈ R. Entonces Sean u, v, w #– + #– S1. u v es un vector.

#– es un vector. M1. λ u

#– + #– #– S2. u v = #– v+u

#– + #– #– + λ #– M2. λ( u v ) = λu v

#– + #– #– = u #– + ( #– #– ) S3. ( u v )+w v +w

#– = λ u #– + β u #– M3. (λ + β) u

#– + #– #– S4. u 0 =u

#– = λ(β u) #– = β(λ u) #– M4. (λβ) u

#– + (− u) #– = #– S5. u 0

#– = u #– M5. 1 u

#– y #– Definici´ on 1.2.4 (Vectores paralelos). Dos vectores no nulos u v se dicen paralelos cuando existe un escalar (no nulo) λ tal que #– #– ´o v = λu

#– = λ #– u v.

#– = (1, −2, 3, 1) y #– Ejemplo 1.2.3. Los vectores u v = (−3, 6, −9, −3) son #– paralelos, porque #– v = −3 u. Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

14

Cap´ıtulo 1. Vectores

1.2.2.

Producto escalar

#– = (x , x , . . . , x ) y Definici´ on 1.2.5 (Producto escalar). Dados u n 1 2 #– n v = (y1 , y2 , . . . , yn ) dos vectores de R , el producto escalar, (o producto #– y #– #– · #– punto o producto interno) entre u v , denotado por u v y que se lee

“u punto v”, se define como

#– · #– u v = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn =

n X

xi yi .

(1.8)

i=1

#– = (2, 1, −1), #– #– = (1, −2, 3), hallar Ejemplo 1.2.4. Si u v = (−1, 3, 4) y w #– · #– a) u v

#– · w #– b) u

#– c) #– v ·w

Soluci´ on. #– · #– a) u v = (2)(−1) + (1)(3) + (−1)(4) = −3 #– · w #– = (2)(1) + (1)(−2) + (−1)(3) = −3 b) u #– = (−1)(1) + (3)(−2) + (4)(3) = 5 c) #– v ·w #– #– #– ∈ Rn y λ ∈ R, entonces Teorema 1.2.6 (Propiedades). Sean u, v, w #– · #– #– (conmutatividad) 1. u v = #– v·u #– · ( #– #– = u #– · #– #– · w #– 2. u v + w) v+u

(distributividad)

#– · #– #– · #– #– · (λ #– 3. λ( u v ) = (λ u) v =u v ) (homogeneidad) #– · u #– > 0 si 4. u

#– 6= #– u 0 . (positividad)

A continuaci´on definimos la longitud o norma de un vector y el ´angulo entre dos vectores en t´erminos del producto escalar Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 1.2. Operaciones con vectores 15

#– un vector de Rn . La norma o longitud del vector Definici´ on 1.2.7. Sea u #– se denota con k uk #– y se define como u #– = √ u #– · u #– k uk Las propiedades de la norma k · k se enuncian en el siguiente teorema #– #– Teorema 1.2.8 (Propiedades). Sean u, v ∈ Rn y λ ∈ R, entonces #– #– > 0 si u #– = #– = #– 1. k uk 6 0 y es cero solo si u 0 #– = |λ| k uk #– 2. kλ uk

(positividad)

(homogeneidad)

#– + #– #– + k #– 3. k u v k ≤ k uk v k (Desigualdad triangular) #– · #– #– k #– 4. | u v | ≤ k uk v k (Desigualdad de Cauchy–Schwarz) Como una consecuencia inmediata de la desigualdad de Cauchy–Schwarz #– #– 6= #– podemos afirmar que para u 0 y #– v = 6 0 se tiene que #– · #– u v −1 ≤ #– #– ≤ 1 k uk k v k lo cual garantiza la existencia de un n´ umero θ en el intervalo [0, π] tal que #– · #– u v cos θ = #– #– . k uk k v k

#– y #– Esto nos permite definir el ´angulo entre los vectores no nulos u v de la siguiente manera: ´ Definici´ on 1.2.9 (Angulo entre dos vectores).

#– y #– Sean u v vectores no nulos

#– v

de Rn . El ´angulo θ entre ellos est´a dado por #– · #– u v cos θ = #– #– . k uk k v k

θ

(1.9)

O

´ Figura 1.14. Angulo entre vectores

Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

#– u

16

Cap´ıtulo 1. Vectores

#– = (1, 0, 0, 1) y #– Ejemplo 1.2.5. Halle el ´angulo entre u v = (0, 1, 0, 1). #– · #– u v 1 1 Soluci´ on. De (1.9), cos θ = #– #– = √ √ = ⇒ θ = 60o . k v k k uk 2 2 2 #– y #– Ejemplo 1.2.6. Qu´e se puede decir de los vectores u v si: #– · #– a) u v =0

#– · #– #– k #– b) u v = ± k uk vk

Soluci´ on. a) En este caso, cos θ = 0, luego θ = 90o . Los vectores son ortogonales. b) Ahora cos θ = ±1, luego θ = 0o o θ = 180o . Los vectores son paralelos. #– y #– Definici´ on 1.2.10 (Vectores ortogonales). Dos vectores no nulos u v son ortogonales (perpendiculares) si el ´angulo entre ellos es 90o . #– = 3 y k #– #– + #– Ejemplo 1.2.7. Si k uk v k = 5. Calcular k u v k en cada caso: #– y #– a) u v son ortogonales

b) el ´angulo entre ellos es π/3

Soluci´ on. a) Por el teorema de Pit´agoras #– + #– #– 2 + k #– ku v k2 = k uk v k2 = 9 + 25 = 34. Luego,

√ #– + #– ku v k = 34

b) De acuerdo con el ejercicio 3a, #– + #– #– 2 + 2 u #– · #– ku v k2 = k uk v + k #– v k2 #– k #– = 34 + 2 k uk v k cos 60o = 9 + 2(3)(5)(0.5) + 25 = 49. Luego, #– + #– ku vk = 7. Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 1.2. Operaciones con vectores 17

#– #– Definici´ on 1.2.11 (Proyecci´ on y componentes). Sean u, v ∈ Rn . La #– 6= #– proyecci´on de #– v sobre u 0 , denotada por proy u#– #– v , est´a dada por #– · #– u v #– proy u#– #– v = #– 2 u. (1.10) k uk #– denotada por comp #– #– La componente de #– v sobre u, a dada por u v , est´ #– #– u·v comp u#– #– v = #– = k #– v k cos θ. (1.11) k uk #– v

#– v

#– v

#– w

#– w

θ b

O

(a)

θ

θ

O

#– u

(b)

0 < θ < π/2

O

#– u θ = π/2

(c)

#– u

π/2 < θ < π

Figura 1.15. Proyecci´ on en R2

#– = (2, 1, 0, −1) y #– Ejemplo 1.2.8. Sean u v = (0, 0, 1, 2). Hallar #– #– #– proy v#– u, proy u#– v y comp v#– u. #– · #– Soluci´ on. u v = −2. Luego, #– #– #– = u · v #– 2 1 4 proy v#– u 2 v = − 5 (0, 0, 1, 2) = (0, 0, − 5 , − 5 ) #– kvk #– #– v·u #– = − 2 (2, 1, 0, −1) = (− 2 , − 1 , 0, 1 ) proy u#– #– v = #– 2 u 6 3 3 3 k uk √ #– · #– u v 2 2 5 #– comp v#– u = #– = − √ = − kv k 5 5 #– #– #– #– El vector w = v − proy u#– v , se llama proyecci´on ortogonal de #– v sobre u.

Vectores can´ onicos 1. En R2 los vectores ˆ ı = (1, 0) y ˆ = (0, 1) permiten escribir cualquier #– vector v = (a, b) en la forma: #– v = (a, b) = aˆ ı + bˆ . Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

18

Cap´ıtulo 1. Vectores

ˆ = (0, 0, 1) permiten 2. En R3 los vectores ˆ ı = (1, 0, 0), ˆ = (0, 1, 0) y k ˆ escribir un vector #– v = (a, b, c) en la forma: #– v = (a, b, c) = aˆ ı + bˆ  + ck. y

z ˆ k

bˆ 

b

ˆ #– = v

+ aˆı

bˆ

b

O

ˆ ı

P (a, b)

k cˆ bˆ + + ı ˆ a #– P (a, b, c) v = b

O ˆ ı

b

ˆ ck

ˆ

y

aˆ ı aˆ ı

bˆ  x

x

Figura 1.16. Vectores can´ onicos en R2 y en R3

ˆ 1 = (1, 0, 0, . . . , 0), e ˆ 2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . ., e ˆ n = (0, 0, . . . , 1) 3. En Rn , e #– permiten escribir cualquier vector v = (a1 , a2 , . . . , an ) en la forma #– ˆ 1 + a2 e ˆ 2 + · · · + an e ˆn = v = (a1 , a2 , . . . , an ) = a1 e

1.2.3.

n X

ˆi. ai e

i=1

Producto vectorial en R3

#– = (u , u , u ) y #– Definici´ on 1.2.12. Sean u v = (v1 , v2 , v3 ) dos vectores de 1 2 3 #– y #– R3 , el producto vectorial o producto cruz entre u v , denotado por #– × #– u v , est´a dado por

ˆ ˆ ı  ˆ k u u u u u u ˆ #– × #– (1.12) u v = 2 3 ˆ ı − 1 3 ˆ + 1 2 k = u1 u2 u3 v1 v3 v1 v2 v2 v3 v v v 1 2 3 #– #– #– #– Ejemplo 1.2.9. Dados u = (1, −1, 3) y v = (2, 1, −2), halle u × #– v , #– v ×u #– · ( u #– × #– y u v ). Soluci´ on. Usando la f´ormula (1.12), se tiene ˆ ˆ ı  ˆ k #– × #– ˆ ı + 8ˆ  + 3k u v = 1 −1 3 = −ˆ 2 1 −2

Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 1.2. Operaciones con vectores 19

ˆ ˆ ı  ˆ k #– #– = 2 ˆ v×u ı − 8ˆ  − 3k 1 −2 = ˆ 1 −1 3 #– · ( u #– × #– u v ) = −1 − 8 + 9 = 0

#– #– #– Teorema 1.2.13 (Propiedades del producto vectorial). Sean u, v, w en R3 ; λ, β ∈ R #– × #– #– (Anticonmutativa) 1. u v = − #– v × u. #– × ( #– #– = u #– × #– #– × w. #– (Distributiva por la izquierda) 2. u v + w) v+u #– + #– #– = u #– × w #– + #– #– (Distributiva por la derecha) 3. ( u v) × w v × w. #– × #– #– × #– #– × (λ #– 4. λ( u v ) = (λ u) v =u v ). (Asociativa escalar) #– #– #– #– × #– 5. u 0 = 0 = 0×u #– × u #– = #– #– × u #– = #– 6. u 0 y λu 0 . (Paralelismo ) #– · ( u #– × #– #– × #– 7. u v ) = 0 = #– v · (u v ). (Ortogonalidad ) #– × ( #– #– = ( u #– · w) #– #– #– · #– #– (Triple producto vectorial ) 8. u v × w) v − (u v )w. #– · ( #– #– = #– #– × u #– × w) #– = w #– · ( u #– × #– 9. u v × w) v · (w v ). (Producto mixto ) #– = ˆ Ejemplo 1.2.10. Hallar un vector unitario ortogonal tanto a u ı − 3ˆ  ˆ como a #– v = 3ˆ  + 2k. #– = u #– × #– Soluci´ on. Un vector perpendicular a ambos vectores es w v. ı ˆ ˆ #– #– #– w = u × v = 1 −3 0 3

ˆ k #– = 7. ˆ kwk ı − 2ˆ  + 3k, 0 = −6ˆ 2

#– = 7, un vector que cumple es w ˆ = (− 76 , − 27 , 37 ). Como kwk Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

20

Cap´ıtulo 1. Vectores

#– y #– Teorema 1.2.14 (Identidad de Lagrange). Si u v son vectores de R3 , entonces #– × #– #– 2 k #– #– · #– ku v k2 = k uk v k2 − ( u v )2

#– × #– #– k #– Ejemplo 1.2.11. Demostrar: k u v k = k uk v k sen θ, donde θ es el ´angu#– #– lo entre u y v . Soluci´ on. De acuerdo con la identidad de Lagrange #– × #– #– 2 k #– #– · #– #– 2 k #– #– 2 k #– ku v k2 = k uk v k2 − ( u v )2 = k uk v k2 − k uk v k2 cos2 θ #– 2 k uk #– 2 (1 − cos2 θ) = k uk #– 2 k uk #– 2 sen2 θ = k uk

Luego, #– × #– #– k #– ku v k = k uk v k sen θ . #– #– #– = 4, k #– Ejemplo 1.2.12. Sean a, b , #– c ∈ R3 . Si k ak b k = 6 y el ´angulo entre #– #– #– #– #– #– #– a y b es θ = 2π/3. Si c = 3 a − a × 2 b , calcule b · #– c , k #– c k y el ´angulo #– #– entre b y c . Soluci´ on. Se tiene #– #– #– #– #– #– #– #– #– − ( a #– × 2 #– b · c = b · (3 a b )) = 3 b · a − 2 b · (a × b) #– #– k #– #– × #– = 3 k ak b k cos 2π = 3 · 4 · 6 · (−0.5) = −36, pues b · ( a b) = 0. 3 #– − a #– × 2 #– #– − a #– × 2 #– k #– c k2 = #– c · #– c = (3 a b ) · (3 a b) #– #– #– 2 − 12 a #– · ( a #– × b ) + k a #– × 2 b k2 = k3 ak

#– #– 2 + 4 k ak #– 2 k #– #– · ( a #– × #– = 9 k ak b k2 sen2 120o, porque a b) = 0

= 36 + 4 · 16 · 36 · 0.75 = 1764 Luego, k #– c k = 42. Finalmente, #– #– b·c 34 17 cos θ = #– #– = − =− 6 · 42 126 kbkkck
17 Entonces θ = cos−1 − 126 ≈ 97.8o .

Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 1.2. Operaciones con vectores 21

#– × #– #– × #– #– Interpretaci´ on geom´ etrica de k u v k y (u v) · w #– × #– u v #– × #– u v

#– w #– v

h #– v

h θ #– u

#– u

(a) Paralelogramo

(b) Paralelep´ıpedo

´ Figura 1.17. Areas y vol´ umenes

#– y #– 1. El ´area A del paralelogramo determinado por u v est´a dada por: #– × #– A = ku vk #– #– #– es: 2. El volumen V del paralelep´ıpedo determinado por u, v yw #– × #– #– | V = |( u v) · w #– = (u , u , u ), #– #– = (w , w , w ) Teorema 1.2.15. Sean u v = (v1 , v2 , v3 ) y w 1 2 3 1 2 3 entonces

Ejemplo 1.2.13.

u u u 2 3 1 #– × #– #– = v v v (u v) · w 2 3 1 w w w 1 2 3

a) Halle el ´area del paralelogramo cuyos v´ertices consecutivos son los puntos P (1, −2, 3), Q(2, 1, 0) y R(0, 4, 0). b) Halle el volumen del paralelep´ıpedo cuyos lados adyacentes son los vecto#– = (1, 2, 2), #– #– = (−3, 3, 1) res u v = (−2, 1, 3) y w Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

22

Cap´ıtulo 1. Vectores

Soluci´ on.

# – # – a) El ´area del paralelogramo es P Q × P R . ˆ ˆ ı  ˆ k # – # – ~v = P Q × P R = 1 3 −3 = (9, 6, 9) = 3(3, 2, 3) −1 6 −3 √ Luego, el ´area A del paralelogramo es k #– v k = 3 22 [u2 ]. #– × #– #– b) El volumen del paralelep´ıpedo es V = |( u v ) · w|. 1 2 2 #– × #– #– = −2 1 3 = −28 (u v) · w −3 3 1 Entonces, V = |−28| = 28 [u3 ] .

1.3. 1.3.1.

Rectas y planos en el espacio (R3) Rectas

Una recta L en el espacio queda determinada si se conoce un punto P0 por donde pasa y un vector no nulo #– v paralelo a ella, llamado vector director. z #– v P0 (x0 , y0 , z0 )

y, z P (x,b #– P

)

L

b

#– P0

#– v = (a, b, c) O

y

x

Figura 1.18. Recta en R3 Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 1.3. Rectas y planos en el espacio (R3 ) 23

# – # – El vector P0 P es paralelo a #– v , luego existe t ∈ R tal que P0 P = t #– v . Por la regla del tri´angulo,

#– #– #– P = P (t) = P 0 + t #– v ; t ∈ R,

(1.13)

denominada ecuaci´ on vectorial de L. En t´erminos de sus coordenadas, las ecuaciones param´ etricas de L son:   x = x0 + at   (1.14) y = y0 + bt, t ∈ R    z = z0 + ct Ahora, si abc 6= 0, entonces

x − x0 y − y0 z − z0 = = , a b c

(1.15)

son las ecuaciones sim´ etricas de L. Ejemplo 1.3.1. Sean A(2, 3, −1) y B(−1, 2, 4) dos puntos de R3 . a) Halle ecuaciones param´etricas para la recta L que pasa por A y B b) Determine si C(−4, 1, 9) y D(5, 4, 6) pertenecen a la recta L. Soluci´ on. # –

#–

#–

a) Un vector paralelo a la recta L es AB = B − A = (−3, −1, 5). As´ı, unas ecuaciones param´etricas para L son

x = 2 − 3t, y = 3 − t, z = −1 + 5t; t ∈ R. b) El punto C est´a en L si y s´olo si existe un n´ umero real t tal que −4 = 2 − 3t,

1 = 3 − t,

9 = −1 + 5t .

Las tres ecuaciones se satisfacen para t = 2, luego C est´a en L. Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

24

Cap´ıtulo 1. Vectores

El punto D est´a en L si y s´olo si existe un u ´ nico real t tal que 5 = 2 − 3t,

4 = 3 − t,

6 = −1 + 5t.

No existe un n´ umero real t que satisfaga las tres ecuaciones simult´aneamente. Luego D no est´a en L. ˆ un vector. Halle Ejemplo 1.3.2. Sean P0 (1, 4, 3) ∈ R3 y #– v = −5ˆ ı + 3k a) ecuaciones sim´etricas para la recta que pasa por P0 y es paralela a #– v. b) los puntos donde la recta corta a los planos coordenados. Soluci´ on. a) Unas ecuaciones sim´etricas para la recta son: x−1 z−3 = ;y=4 −5 3 b) Para esto, se escriben las ecuaciones param´etricas: x = 1 − 5t, y = 4, z = 3 + 3t; t ∈ R. El corte con el plano xy ocurre cuando z = 0, de donde t = −1 y x = 6. La

recta corta al plano xy en el punto (6, 4, 0). El corte con el plano yz ocurre cuando x = 0, de donde t = − 15 y z =

18 . 5

La recta corta al plano yz en

(0, 4, 18 ). No hay corte en el plano xz, pues la recta est´a en el plano y = 4. 5

Definici´ on 1.3.1 (Rectas paralelas y perpendiculares). Sean L1 y L2 dos rectas en R3 con vectores directores #– v y #– v , respectivamente. 1

2

1. L1 y L2 son paralelas si #– v1 y #– v2 son paralelos y no tienen puntos en com´ un.

2. L1 y L2 son coincidentes si tienen todos sus puntos comunes. Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 1.3. Rectas y planos en el espacio (R3 ) 25

3. L1 y L2 son perpendiculares si #– v1 y #– v2 son perpendiculares. 4. L1 y L2 son cruzadas (o sesgadas) si no tienen puntos en com´ un y #– v1 #– y v no son paralelos. 2

Ejemplo 1.3.3. Determine si el par de rectas son paralelas, perpendiculares o cruzadas.    x = −5 − 2t   L1 : y = 2 + t    z = 6 − 6t

,

   x = − 3r   L2 : y = 12 − r    z = 7 + 4r

Soluci´ on. Dos vectores directores para las rectas son #– v1 = (−2, 1, −6) y #– v = (−3, −1, 4) respectivamente. Como ellos no son paralelos, las rectas no 2

pueden ser paralelas ni coincidentes. Falta ver si son perpendiculares. #– v1 · #– v2 = 6 − 1 − 24 = −19 6= 0.

Luego, las rectas tampoco son perpendiculares. Falta ver si son sesgadas o no; para ello se igualan las coordenadas. −5 − 2t =

− 3r

(Ec. 1)

2 + t = 1/2 − r

(Ec. 2)

6 − 6t = 7 + 4r

(Ec. 3)

2 . Sustituyendo 5 57 = 7 + 85 , pero 5

Ec. 1+2Ec. 2: −1 = 1 − 5r ⇒ r = t =

− 19 . 10

Verificando en Ec. 3: 6 −

en Ec. 2 se obtiene esta igualdad no se

satisface. Luego las rectas no se cortan; es decir, son sesgadas.

1.3.2.

Planos en el espacio (R3 )

Un plano π en R3 queda completamente determinado si se conoce un punto #– P0 en ´el y un vector no nulo N = (a, b, c) perpendicular, llamado vector normal. Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

26

Cap´ıtulo 1. Vectores #– N = (a, b, c) z Q(x, y, z) b

π b

P0 (x0 , y0 , z0 ) O

y

x

Figura 1.19. Plano en R3

# – #– Si P (x, y, z) ∈ π entonces el vector P0 Q es perpendicular a N . Luego #– # – N · P0 P = 0. Al efectuar los c´alculos y simplificar se obtiene la llamada ecuaci´ on cartesiana del plano ax + by + cz = d,

# – #– donde d = N · P0

Ejemplo 1.3.4. Halle la ecuaci´on del plano que satisface las condiciones a) Pasa por P (2, 3, −1) y es perpendicular a la recta L : x = 1 − 2t, y = −2 + t, z = 3 − t; t ∈ R b) Contiene los puntos P (2, 3, −1), Q(3, 2, 1) y R(1, 0, 0). Soluci´ on. a) Como la recta es perpendicular al plano, un vector normal al plano es #– N = (2, −1, 1). Luego la ecuaci´on del plano es [(x, y, z) − (2, 3 − 1)] · (2, −1, 1) = 0 . Esto es, 2x − y + z = 0 . Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 1.3. Rectas y planos en el espacio (R3 ) 27

# – # – b) Un vector normal al plano es P Q × P R. ˆ ˆ ı ˆ k # – # – P Q × P R = 1 −1 2 −1 −3 1

= (5, −3, −4)

#– Tomando N = (5, −3, −4) y P0 = P como el punto del plano, la ecuaci´on

del plano es

[(x, y, z) − (2, 3, −1)] · (5, −3, −4) = 0 . Esto es, 5x − 3y − 4z = 5. Ecuaciones vectorial y param´ etrica de un plano Un plano tambi´en se puede

z

determinar si se conoce un punto por donde pasa y dos vectores no #– y #– nulos y no paralelos u v que

#– v

#– + ru

Q

#– u

sean paralelos al plano.

π

P0 O

Ecuaci´on vectorial: #– #– #– + s u. #– Q = P 0 + ru

#– sv

y

x

(1.16)

Figura 1.20. Ecuaci´ on vectorial de π

#– = (a , b , c ) y #– Si u v = (a2 , b2 , c2 ) entonces las ecuaciones param´etricas del 1 1 1 plano son:   x = x0 + ra1 + sa2   y = y0 + rb1 + sb2    z = z0 + rc1 + sc2 Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

(1.17)

28

Cap´ıtulo 1. Vectores

1.4.

Ejercicios del cap´ıtulo

1. Hallar la longitud y direcci´on de los siguientes vectores: a) #– v = (−4, −4) b) #– v = (4, −4)

c) #– v = (a, 0) d ) #– v = (0, b)

2. Sean A(−2, 3, 1), B(7, 4, 5) y C(1, −5, 2). Calcule #– #– #– a) (2A + B) · C # – b) proyAB # – AC # – # – c) El ´angulo entre BC y BA #– y #– 3. Sean u v dos vectores de Rn . Demuestre que #– + a) k u #– − b) k u

#– #– 2 + 2 u #– · #– v k2 = k uk v + k #– v k2 . #– #– 2 − 2 u #– · #– v k2 = k uk v + k #– v k2 .

#– #– #– = 5, k #– #– y #– 4. Sean a, b ∈ R3 . Si k ak b k = 2 y el ´angulo entre a b es 60o , #– + #– #– − #– halle k a b k y ka bk #– #– #– #– ˆ C ˆ D ˆ E ˆ 5. Sean B = ˆ ı + 2ˆ  + k, = 2ˆ ı + ˆ− k, =ˆ ı + 4ˆ  + k, = 2ˆ ı + 5ˆ  + 5k. #– #– #– Muestre que el ´angulo entre B y C es el doble que el ´angulo entre D #– y E. #– = (2, −5, 3), #– #– = (3, 4, 3). Determine los 6. Sean u v = (4, 1, −2) y w #– + µ #– #– y tenga valores de λ y µ de modo que λ u v sea ortogonal a w longitud 2. #– #– #– = 4, 7. Sean a, b , #– c ∈ R3 tales que k ak #– y #– entre a b es 120o y #– c es ortogonal a

#– k b k = 3, k #– c k = 2, el ´angulo #– #– #– + #– a y b . Calcule k a b + #– ck #– #– #– y los valores de λ de modo que c = λ a × b .

8. Considere los puntos P (−2, 3, 4), Q(3, 4, 5) y R(1, −5, 2). Halle Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 1.4. Ejercicios del cap´ıtulo

29

a) Las ecuaciones param´etricas de la recta que pasa por P y R. Determine los puntos donde dicha recta cruza los planos coordenados. b) Las ecuaciones param´etricas de la recta que pasa por Q y corta perpendicularmente a la recta hallada en la parte a). 9. Determine qu´e par de rectas son paralelas (o coincidentes) y cu´ales perpendiculares.    x= 8+t   L1 : y = 7 − 12 t ,    z = −1 + 3t

   x = 57 − 3r   L2 : y = −8 + 32 r ,    z = 9 − 9r 4

   x = 3 + 2s   L3 : y = 1 − 2s.    z = 2 − s

10. Determine la ecuaci´on del plano que satisface las condiciones dadas. a) Pasa por A(−2, 3, 1) y B(1, 2, −1) y es paralelo a la recta L : x = 1 + 2t; y = 2 − 3t, z = −4 + 3t. ˆ y contiene la recta b) Es paralelo al vector #– v = 3ˆ ı − ˆ + 2k   x+ y−z =3 L : 2x + 3y + z = 4.

c) Contiene a la recta L : x = 2 − t, y = −1 + 2t, z = 2 − 3t y al punto A(−2, 1, 2)

11. Determine la distancia de la recta x = 6 + t, y = 5 − 2t, z = −1 + 3t al punto Q(2, 3, −1)

12. Muestre que las rectas    x = 1 + 3t   L1 : y = −2 + 4t ; t ∈ R    z = 4 − 2t

   x = 1 − 32 r   y L2 : y = 1 − 2r ; r ∈ R    z = −1 + r

son paralelas y halle la ecuaci´on del plano que las contiene.

Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

30

Cap´ıtulo 1. Vectores

13. Considere la recta

L1 :

   x =   y    z

3 + 4t

= −2 + 2t ; t ∈ R = −3 − t

a) Determine ecuaciones param´etricas de la recta L2 que pasa por el punto (1, −5, 4) e intercepta perpendicularmente a la recta L1 .

b) Halle la ecuaci´on cartesiana del plano que contiene a las rectas L1 y L2 .

Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Cap´ıtulo 2

Superficies 2.1.

Introducci´ on

As´ı como la gr´afica de una ecuaci´on en dos variables x y y dada por f (x, y) = 0, es por lo general una curva en el plano, la gr´afica de una ecuaci´on en tres variables x, y y z dada por F (x, y, z) = 0 ser´a por lo general una superficie en el espacio. El ejemplo m´as simple de superficie es un plano cuya ecuaci´on es ax + by + cz = d. Otra superficie simple es la esfera con centro (x0 , y0 , z0 ) y radio a, cuya ecuaci´on es (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = a2 .

Dibujar curvas y superficies en el espacio es por lo general dif´ıcil, a´ un con ayuda de un computador. Realmente es un arte el poder representar objetos tridimensionales mediante im´agenes bidimensionales. En esta secci´on se estudian algunas superficies sencillas que son usadas frecuentemente para ilustrar las ideas del c´alculo de varias variables. Para representar una superficie S en un plano es u ´ til analizar las secciones o intersecciones de la superficie con planos adecuados. Definici´ on 2.1.1. La traza de la superficie S en el plano π es la intersecci´on de π y S. La intersecci´on de S con los planos coordenados se llaman trazas principales. En la tabla 2.1 se hace una descripci´on de las trazas en planos paralelos a 31

32

Cap´ıtulo 2. Superficies

los planos coordenados o en ellos. Para dibujar una superficie en el espacio debemos estudiar sus trazas principales y unas cuantas en planos paralelos a los planos coordenados. Traza

Ecuaci´ on

Descripci´ on

z = z0

F (x, y, z0 ) = 0

Curva paralela al plano xy o en el plano xy

x = y0

F (y0 , y, z) = 0

Curva paralela al plano yz o en el plano yz

y = y0

F (x, y0 , z) = 0

Curva paralela al plano xz o en el plano xz

Tabla 2.1. Trazas en planos paralelos a los planos coordenados

Si la superficie S es un plano sus trazas son rectas mientras que si es una esfera sus trazas son circunferencias. z Traza

π C b

b

y

A

ax + by + cz = d

b

b

OB

S

x

Figura 2.1. Trazas de un plano

2.2.

Figura 2.2. Traza de una esfera

Superficies cil´ındricas

Definici´ on 2.2.1. Sea C una curva sobre un plano π, llamada directriz y

sea L una recta no paralela al plano, llamada generatriz, la cual puede o no pasar por C. El conjunto de todos los puntos en las rectas paralelas a L que intersecan a C recibe el nombre de superficie cil´ındrica.

Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 2.2. Superficies cil´ındricas

33

Las superficies cil´ındricas tambi´en reciben el nombre de cilindros. Para los fines del curso, interesan s´olo las superficies cil´ındricas (o cilindros) cuyas curvas generatrices est´an sobre planos z

paralelos a los planos coordenados y cuguno de los ejes coordenados. Este ti-

D

ir

ec tr i

yas directrices son rectas paralelas a alπ

po de superficies se denominan cilindros

Generatriz

rectos. Cuando la directriz es una recta que no es paralela a alguno de los ejes

Figura 2.3. Cilindro

coordenados el cilindro es oblicuo.

Una ecuaci´on en dos variables considerada en R3 , por lo general es una superficie cil´ındrica. Si la curva C en el plano xy tiene ecuaci´on f (x, y) = 0, la

gr´afica es un cilindro con generatrices paralelas al eje z. La gr´afica de una ecuaci´on g(x, z) = 0 es un cilindro con generatrices paralelas al eje y, y la

gr´afica de una ecuaci´on h(y, z) = 0 es un cilindro con generatrices paralelas al eje x. Ejemplo 2.2.1. Dibuje el cilindro x2 + y 2 = a2 . Soluci´ on. La traza en cualquier

z

plano horizontal z = k es una cir-

(0, 0, k)

cunferencia con centro en (0, 0, k) y radio a. Como la variable z no apa-

b

(x0 , y0 , k) (x0 , y0 , z)

rece expl´ıcitamente en la ecuaci´on, dado cualquier punto (x0 , y0 , 0) en x

la circunferencia x2 + y 2 = a2 en el

y (x0 , y0 , 0)

plano xy, el punto (x0 , y0 , z) est´a en el cilindro para cualquier valor de z. Figura 2.4. Cilindro x2 +y 2 = a2

As´ı, el cilindro x2 + y 2 = a2 en el espacio es la uni´on de todas las rectas Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

34

Cap´ıtulo 2. Superficies

verticales que pasan por los puntos de la circunferencia x2 + y 2 = a2 en el plano xy (ver Figura 2.4). Ejemplo 2.2.2. La gr´afica de z = 4 − x2 es el cilindro parab´ olico de la figura 2.5(a). Sus generatrices son paralelas al eje y y sus trazas en cada

plano perpendicular al eje y es una par´abola que es una traslaci´on paralela de la par´abola z = 4 − x2 en el plano xz. Ejemplo 2.2.3. La gr´afica de z = cos y es el cilindro de la figura 2.5(b). Sus generatrices son paralelas al eje x y sus trazas en cada plano perpendicular al eje x son traslaciones paralelas de z = cos y en el plano yz.

z

z

x

x

y y (a) Cilindro z = 4 − x2

(b) Cilindro z = cos y

Figura 2.5. Gr´ aficas ejemplos 2.2.2 y 2.2.3

2.3.

Superficies de revoluci´ on

Otra manera de usar una curva plana C para generar una superficie es girar la curva en el espacio en torno a una recta L en el plano de la curva. La

figura 2.2 muestra la superficie generada al girar la curva f (x, y) = 0 en el primer cuadrante del plano xy alrededor del eje y. Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 2.3. Superficies de revoluci´ on

El punto P (x, y, z) est´a en la superfi-

z

cie de revoluci´on si y s´olo si el punto

R(0, y, 0) P (x, y, z)

Q(x1 , y, 0) est´a en la curva, donde x1 = |RQ| = |RP | =

√

35

x2 + z 2 . b

x y

As´ı, la ecuaci´on de la superficie es

Q(x1 , y, 0) C : f (x, y) = 0

√

f ( x2 + z 2 , y) = 0. Figura 2.6. Superficie de revoluci´ on

En la tabla 2.2 se establecen las ecuaciones de varias superficies de revoluci´on para una funci´on de dos variables en torno a uno de los ejes de coordenadas. Ecuaci´ on

Eje de giro

f (x, y) = 0

x

f (x, y) = 0

y

g(x, z) = 0

x

g(x, z) = 0

z

h(y, z) = 0

y

h(y, z) = 0

z

Superficie generada

p f (x, y 2 + z 2 ) = 0 √ f ( x2 + z 2 , y) = 0 p g(x, y 2 + z 2 ) = 0 p g( x2 + y 2, z) = 0 √ h(y, x2 + z 2 ) = 0 p h( x2 + y 2 , z) = 0

Tabla 2.2. Superficies de revoluci´ on

Ejemplo 2.3.1. La superficie de revoluci´on que se obtiene al girar la gr´afica de y = ln x en torno al eje y es y = 12 ln(x2 + z 2 ). Ejemplo 2.3.2. La superficie de revoluci´on que se obtiene al girar la gr´afica de la elipse 9y 2 + 4z 2 = 36 en torno al eje z es 9x2 + 9y 2 + 4z 2 = 36. Ejemplo 2.3.3. La superficie de revoluci´on que se obtiene al girar la gr´afica 2

2

de z = e−x en torno al eje x es y 2 +z 2 = e−2x mientras que si se gira entorno al eje z se obtiene la superficie z = e−(x

2 +y 2 )

Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

.

36

Cap´ıtulo 2. Superficies

2.4.

Superficies cuadr´ aticas o cu´ adricas

Una superficie cuadr´ atica o cu´ adrica es la gr´afica de una ecuaci´on de segundo orden en las variables x, y, z Ax2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Exz + F yz + Gx + Hy + Iz + J = 0,

(2.1)

donde A, B, C, D, E, F, G, H, I, J son constantes y al menos una entre A, B, C, D, E, F es distinta de cero. S´olo consideraremos ecuaciones cuadr´aticas sin t´erminos cruzados (D = E = F = 0), ya que ellos se pueden eliminar mediante rotaci´on de ejes. Elipsoide. La superficie cu´adrica de ecuaci´on x2 y 2 z 2 + 2 + 2 = 1, a2 b c

(2.2)

donde a, b, c son constantes positivas, es un elipsoide. Traza

Ecuaci´ on

Gr´afica

Traza principal y

2

2

2

z = z0 , |z0 | < c

z x y + 2 = 1 − 02 2 a b c

y = y0 , |y0 | < b

y02 x2 z 2 + = 1 − a2 c2 b2

x = x0 , |x0 | < a

x20 y2 z2 + = 1 − b2 c2 a2

Elipse

x

z

Elipse

x

z

Elipse

y

Tabla 2.3. Trazas elipsoide

Paraboloide el´ıptico. Es una superficie cu´adrica de ecuaci´on x2 y 2 z x2 z 2 y y2 z2 x + = , + = o + 2 = a2 b2 c a2 c2 b b2 c a

En la tabla 2.4 se dan las trazas de

(2.3)

x2 y2 z + 2 = . 2 a b c

Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 2.4. Superficies cu´ adricas

Traza

Ecuaci´ on

Gr´ afica

37

Traza principal y

z = z0 ,

z0 >0 c

x2 y 2 z + 2 = 0 2 a b c

b

Elipse

x

z

2

2

y = y0 , y0 ∈ R

y z x + 20 = 2 a b c

Par´ abola x z

2

x = x0 , x0 ∈ R

2

x0 y z + 2 = 2 a b c

Par´ abola y

Tabla 2.4. Trazas paraboloide

z

z

x y y

x

Figura 2.7. Elipsoide

x2 y2 z2 + 2 + 2 =1 2 a b c

Figura 2.8. Paraboloide

x2 y 2 z + = ,c>0 a2 b 2 c

Hiperboloide de un hoja. Es la superficie cu´adrica de ecuaci´on x2 y 2 z 2 x2 y 2 z 2 x2 y 2 z 2 + − = 1, − + = 1 o − + 2 + 2 =1 a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b c

En la tabla 2.5 se dan las trazas de

x2 y 2 z 2 + 2 − 2 = 1. a2 b c

Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

(2.4)

38

Cap´ıtulo 2. Superficies Traza

Ecuaci´ on

Gr´ afica

Traza principal y

2

z = z0 , z0 ∈ R

2

2

z x y + 2 = 1 + 02 2 a b c

Elipse

x

z

2

y = y0 , |y0 | = 6 b

−

2

2

y x z + 2 = 1 − 20 2 a c b

Hip´erbola

x

z

2

x = x0 , |x0 | = 6 a

−

2

2

x y z + 2 = 1 − 20 2 b c a

Hip´erbola

y

Tabla 2.5. Trazas Hiperboloide de una hoja

Hiperboloide de dos hojas. Es la superficie cu´adrica de ecuaci´on −

x2 y 2 z 2 x2 y 2 z 2 x2 y 2 z 2 − + = 1, − − = 1 o − + 2 − 2 =1 a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b c

En la tabla 2.6 se dan las trazas de −

(2.5)

x2 y 2 z 2 − 2 + 2 = 1. a2 b c

Traza

Ecuaci´ on

Gr´ afica

z = z0 , |z0 | > c

z02 x2 y 2 + = −1 a2 b2 c2

Elipse

Traza principal No hay z

2

y = y0 , y0 ∈ R

−

2

2

y x z + 2 = 1 + 20 2 a c b

Hip´erbola

x

z

2

x = x0 , x0 ∈ R

−

x y2 z2 + 2 = 1 + 20 2 b c a

Hip´erbola

y

Tabla 2.6. Trazas hiperboloide de dos hojas Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 2.4. Superficies cu´ adricas

39

z

z

x

x

y

y

Figura 2.9. Hiperboloide

x2 y 2 z 2 + − =1 a 2 b 2 c2

Figura 2.10. Hiperbloide

z 2 x2 y 2 − − =1 c2 a 2 b 2

Cono. Es la superficie cu´adrica de ecuaci´on x2 y 2 z 2 x2 y 2 z 2 x2 y 2 z 2 + − = 0, − + = 0 o − + 2 + 2 =0 a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b c

En la tabla 2.7 se dan las trazas de Traza

Ecuaci´ on

z = z0 , z0 6= 0

z02 x2 y 2 + = a2 b2 c2

x2 y 2 z 2 + 2 − 2 = 0. a2 b c Gr´ afica

Traza principal y

Elipse

b

x

z

2

y = y0 , y0 6= 0

−

2

2

y0 x z + = a2 c2 b2

Par de rectas

x

z

2

x = x0 , x0 6= 0

−

2

2

x y z + 2 = 20 2 b c a

Par de rectas

Tabla 2.7. Trazas cono

Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

y

(2.6)

40

Cap´ıtulo 2. Superficies

Paraboloide hiperb´ olico. Es la superficie cu´adrica de ecuaci´on z x2 z 2 y x x2 y 2 z2 y2 − = − = − 2 = , o 2 2 2 2 2 a b c a c b c b a

En la tabla 2.8 se dan las trazas de Traza

(2.7)

z x2 y 2 − 2 = , c > 0. 2 a b c

Ecuaci´ on

Gr´ afica

Traza principal y

2

z = z0 , z0 6= 0

2

y z x − 2 = 0 2 a b c

Hip´erbola

x

z

2

y = y0 , y0 6= 0

2

y z x − 20 = 2 a b c

Par´ abola

x

z

2

x = x0 , x0 6= 0

2

x0 y z − 2 = 2 a b c

Par´ abola

y

Tabla 2.8. Trazas paraboloide hiperb´ olico

z

z

x

y x

y

Figura 2.11. Cono el´ıptico x2 y 2 z2 + = a2 b2 c2

Figura 2.12. Paraboloide hiperb´ olico 2 2 x y z − 2 = ,c>0 2 a b c

Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 2.4. Superficies cu´ adricas

41

Esta superficie se asemeja a una silla de montar. Es usual referirse al origen en la gr´afica 2.12 como punto de silla o silladura. Aplicaciones de las superficies cu´ adricas. Las cu´adricas tienen m´ ultiples aplicaciones en dise˜ nos arquitect´onicos y en ingenier´ıas. Por ejemplo, las farolas de los autom´oviles, los reflectores, los radiotelescopios y las antenas para televisi´on por sat´elite tienen la forma de una porci´on de paraboloide. Esto se debe a la propiedad que tiene cualquier superficie parab´olica: las ondas de luz y las ondas de radio al incidir sobre una superficie parab´olica se reflejan hacia un punto llamado foco. Dicha propiedad se usa tambi´en en el dise˜ no de telescopios ´opticos los cuales permiten concentrar en un punto la luz proveniente de una fuente d´ebil como la de una estrella lejana. La cantidad de luz colectada por el instrumento depende fundamentalmente del di´ametro del objetivo. Con un telescopio astron´omico se pretende captar la cantidad de luz necesaria para poder observar objetos de bajo brillo, as´ı como para obtener im´agenes n´ıtidas y bien definidas. Las torres de enfriamiento para los reactores nucleares se construyen frecuentemente en forma de hiperboloide de una hoja debido a la estabilidad estructural de tal superficie. Los dise˜ nadores de palos de golf usan los llamados elipsoides de inercia para lograr caracter´ısticas importantes de dichos palos.

Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

42

Cap´ıtulo 2. Superficies

2.5.

Ejercicios del cap´ıtulo

Bosqueje las gr´aficas de las ecuaciones en los ejercicios 1 a 18. 1. y = 3

4. x + 3y + 2z = 6

7. x = sen y

2. x2 = 4

5. x2 − y 2 = 4

8. y = x3

3. 2y + 3z = 6

6. yz = 4

9. z = ex

10. x2 = 4z + 8

15. 4y 2 − x2 + 9z 2 = 36

11. x2 + 4y 2 + 4z 2 = 36

16. y 2 − 9x2 − 4z 2 = 36

12. z = 8 − 2x2 − 2y 2 2

13. x = 4y + z

17. x2 = 4y 2 + 9z 2

2

14. 4x2 + y 2 − 9z 2 = 36

18. y 2 − 2x2 = z

En los ejercicios 19 a 24 escriba una ecuaci´on para la superficie generada al girar la curva dada en torno al eje indicado. Grafique la superficie. 19. y =

√

2

22. y = e−x , eje y

2x; eje y

20. x = z 2 , eje x

23. x = ln y, eje x

21. z = 4 − x2 , eje z

24. y 2 − z 2 = 1, eje z

En los ejercicios 25 a 30 describa las trazas de las superficies dadas 25. x2 + 4y 2 = 4 en z = c

28. z = 4x2 + 9y 2 en x = a

26. x2 + 4y 2 − 4z 2 = 4 en z = c

29. z = ln(x2 + y 2 ) en y = b

27. x2 + 4y 2 − 4z 2 = 4 en x = a

30. y = 4x2 − 9z 2 en y = b

Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Cap´ıtulo 3

Funciones vectoriales 3.1.

Funciones vectoriales y curvas

Definici´ on 3.1.1. Una funci´on vectorial es una funci´on #– r : D 7→ Rm ; D ⊆ R t → #– r (t) = (f1 (t), f2 (t), . . . , fm (t)), m ≥ 2. Para m = 2 es com´ un usar la notaci´on #– r (t) = g(t)ˆ ı + h(t)ˆ  con ˆ ı = (1, 0), ˆ = (0, 1), y para m = 3 la notaci´on #– ˆ r (t) = f (t)ˆ ı + g(t)ˆ  + h(t)k,

ˆ = (0, 0, 1). con ˆ ı = (1, 0, 0), ˆ = (0, 1, 0), k

La imagen de una funci´on vectorial #– r : [a, b] 7→ Rn ; n = 2, 3 es una curva

C. De igual manera, una curva C en R2 o R3 se puede representar por una funci´on vectorial #– r (t), llamada representaci´on param´etrica de la curva. La variable t recibe el nombre de par´ametro. Las ecuaciones x = f (t), y = g(t), y = h(t) con a ≤ t ≤ b, reciben el nombre de ecuaciones param´etricas de la curva C. Otras formas de 43

44

Cap´ıtulo 3. Funciones vectoriales

dar la ecuaci´on de una curva en R3 es: 1. Tomando como par´ametro una de las coordenadas. Por ejemplo, si elegimos como par´ametro la coordenada x, escribiremos x = x, y = f (x), z = h(x), a ≤ x ≤ b para describir tal situaci´on. 2. Considerando la curva como la intersecci´on de dos superficies de R3 : F (x, y, z) = 0,

G(x, y, z) = 0

Ejemplo 3.1.1. Dibuje la curva cuya representaci´on param´etrica es a) #– r (t) = cos t ˆ ı + sen2 t ˆ, 0 ≤ t ≤ π ˆ b) #– r (t) = a cos t ˆ ı + a sen t ˆ + bt k, 0 ≤ t ≤ 2π Soluci´ on. a) Puesto que x = cos t y y = sen2 t = 1 − cos2 t, entonces y = 1 − x2 con

−1 ≤ x ≤ 1, es la ecuaci´on cartesiana de la curva. As´ı, La curva es un arco de par´abola con punto inicial (1, 0) y punto final (−1, 0).

b) Como x = a cos t y y = a sen t, entonces x2 + y 2 = a2 . Luego, la curva es una espiral, resorte o h´elice que se encuentra en el cilindro x2 + y 2 = a2 con punto inicial (a, 0, 0) y punto final (a, 0, 2πb). La curva la podemos describir, por ejemplo, como la intersecci´on de las superficies cil´ındricas x2 + y 2 = a2 y x = a cos z. Esta curva se produce en muchas situaciones reales. Por ejemplo, es generada por un punto situado en el extremo de una de las paletas de la h´elice de un avi´on que se desplaza en l´ınea recta. Para el caso de la figura 3.1(b), el avi´on se desplaza en la direcci´on del eje z con movimiento lineal uniforme y la h´elice del avi´on tiene velocidad angular constante. Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 3.1. Funciones vectoriales y curvas y

45

z

(0, 1) b b

b

#– r (t) #– r (t) b

(1, 0) x

(−1, 0)

b

x

(a)

y

(b)

Figura 3.1. Gr´ afica ejemplo 3.1.1

Ejemplo 3.1.2. Encuentre una representaci´on param´etrica para la curva de ecuaci´on x3 + y 3 − xy = 0. Soluci´ on. Sea P (x, y) un punto de la

y

curva y t la pendiente del segmento que une el origen de coordenadas con

P b

el punto P (x, y); esto es, t =

y . x

Expre-

#– r (t)

samos las coordenadas x y y en t´erminos de t. Reemplazando y = tx y des-

x

pejando obtenemos x=

t , 1 + t3

y=

t2 ; t 6= −1. 1 + t3

Figura 3.2. Gr´ afica ejemplo 3.1.2

Esta curva, propuesta por Descartes en 1638, se conoce con el nombre de folium de Descartes. Ejemplo 3.1.3. Halle una representaci´on param´etrica para la curva C intersecci´on del cilindro el´ıptico 4x2 + 9y 2 = 36 con el plano x + y + z = 1.

Soluci´ on. La curva C est´a en el cilindro el´ıptico 4x2 + 9y 2 = 36, luego

x = 2 cos t, y = 3 sen t; 0 ≤ t ≤ 2π. Como C est´a en el plano x + y + z = 1, z = 1 − 2 cos t − 3 sen t. As´ı, una parametrizaci´on para C es #– ˆ r (t) = 2 cos tˆ ı + 3 sen tˆ  + (1 − 2 cos t − 3 sen t)k; Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

0 ≤ t ≤ 2π.

46

Cap´ıtulo 3. Funciones vectoriales

3.2.

L´ımites y continuidad

#– Definici´ on 3.2.1. Sea #– r (t) una funci´on vectorial y L un vector constante, #– #– se dice que #– r tiene l´ımite L cuando t tiende a t , en s´ımbolos l´ım #– r (t) = L, 0

t→t0

si y s´olo si para cada ǫ > 0 existe δ > 0 tal que

#– #–

r (t) − L

< ǫ siempre que |t − t0 | < δ.

ˆ entonces Teorema 3.2.2. Si #– r (t) = f (t) ˆ ı + g(t) ˆ + h(t) k,       #– ˆ l´ım r (t) = l´ım f (t) ˆ ı + l´ım g(t) ˆ + l´ım h(t) k. t→t0

t→t0

t→t0



Ejemplo 3.2.1. Halle l´ım+ t ln t ˆı + t→0

sen t t

t→t0

 ˆ . ˆ + et k

Soluci´ on. Por el teorema 3.2.2,     sen t sen t tˆ ˆ ˆ + e k = l´ım+ t ln t ˆ ı + l´ım+ ˆ + l´ım+ et k l´ım+ t ln tˆ ı+ t→0 t→0 t→0 t→0 t t   ln t ˆ = l´ım+ ˆ ı + 1ˆ  + 1k t→0 1/t   1/t ˆ Por L’Hˇopital = l´ım+ ˆ ı + ˆ + k t→0 −1/t2 ˆ = ˆ + k. ˆ = − l´ım tˆ ı + ˆ + k t→0+

Definici´ on 3.2.3. Sea #– r (t) una funci´on vectorial y t0 una constante, se dice #– que r es continua en t0 si y s´olo si l´ım #– r (t) = #– r (t0 ).

t→t0

La funci´on #– r (t) es continua en un intervalo I si lo es en cada punto de I. Ejemplo 3.2.2. Encuentre los puntos de discontinuidad de la funci´on vec#– ˆ torial F (θ) = sec θˆ ı + tan θˆ  + θk. #– Soluci´ on. La funci´on F es discontinua en los puntos donde cos θ = 0. Esto ocurre para θ = (2n + 1)π/2; n ∈ Z. Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 3.3. Derivadas e integrales 47

3.3.

Derivadas e integrales

Definici´ on 3.3.1. Sea #– r (t) = (f1 (t), f2 (t), . . . , fm (t)) una funci´on vectorial. #– La derivada de r se define como el vector #– r (t + h) − #– r (t) #– #– ′ Dt [ r (t)] = r (t) = l´ım , h→0 h si el l´ımite existe. Si #– r ′ (t ) existe, se dice que #– r es diferencia0

P

ble en t0 . Si #– r ′ (t) existe para todo t ∈ I, #– r es diferenciable en I. Si #– r es una para-

z

#– r (t) ∆ #– r

C #– r (t + h)

metrizaci´on de la curva C que describe una

part´ıcula que se mueve en el espacio (m = 3) o en el plano (m = 2) entonces #– r ′ (t) es un vector tangente a C en el punto P de la curva cuyo vector posici´on es #– r (t).

#– r ′ (t)

x

y

Figura 3.3. Derivada

Ejemplo 3.3.1. La figura 3.4 muestra la curva con ecuaci´on param´etrica #– r (t) = (cos t, sen t, t),

t ≥ 0. z

Cada vector tangente a la curva en el punto #– r (t) est´a dado por

b b

b

#– r ′ (t) = (− sen t, cos t, 1),

t ≥ 0.

En la gr´afica se muestran los vectores tan-

b

x

gentes correspondientes a t = 0, π2 , π, 3π , 2π. 2

b

y

Figura 3.4. H´elice con tangentes

Definici´ on 3.3.2. La integral de la funci´on vectorial #– r se define como el vector

Z

#– #– #– r (t) dt = R(t) + C,

Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

48

Cap´ıtulo 3. Funciones vectoriales

#– #– donde R(t) es una funci´on vectorial cuya derivada es la funci´on #– r (t) y C #– es un vector constante. La funci´on R recibe el nombre de antiderivada o primitiva de #– r. Teorema 3.3.3. Si #– r (t) = (f1 (t), f2 (t), . . . , fm (t)), entonces 1. Dt [ #– r (t)] = #– r ′ (t) = (f1′ (t), f2′ (t), . . . , fm′ (t)) Z  Z Z Z #– 2. f1 (t) dt, f2 (t) dt, . . . , fm (t) dt r (t) dt = Ejemplo 3.3.2. Calcule #– ˆ R(0) = ˆ ı + ˆ − 2k.

Z

#– ˆy r (t) dt, en donde #– r (t) = sec tˆ ı + tan tˆ  + 2tk

Soluci´ on. Integrando se tiene Z #– #– ˆ dt = ln |sec t + tan t|ˆ ˆ + C. R(t) = (sec tˆ ı + tan tˆ  + 2tk) ı + ln |sec t|ˆ  + t2 k #– #– ˆ entonces C ˆ Luego, Como R(0) = ˆ ı + ˆ − 2k, =ˆ ı + ˆ − 2k. #– ˆ R(t) = (ln |sec t + tan t| + 1) ˆ ı + (ln |sec t| + 1) ˆ + (t2 − 2)k. #– #– #– funciones Teorema 3.3.4 (Propiedades de la derivada). Sean u, v yw #– un vector constante, λ es una constante y f una vectoriales diferenciables, a funci´on de valor real diferenciable. Entonces #–′ = #– 1. a 0

#– ′ = f ′ u #– + f u #–′ 4. (f u)

#– ± #– #–′ ± #– 2. ( u v )′ = u v′

#– • #– #–′ • #– 5. ( u v )′ = u v + #– v • #– v′

#– ′ = λ u #–′ 3. (λ u)

#– × #– #–′ × #– 6. ( u v )′ = u v + #– v × #– v′

#– • ( #– #– ′ = u #–′ • ( #– #– + u #– • #– #– + u #– • ( #– #–′ ) 7. ( u v × w)) v × w) v ′ × w) v ×w Definici´ on 3.3.5. Una curva de ecuaci´on #– r (t) en un intervalo I se llama #– #– ′ ′ suave si r es continua y r (t) 6= 0 (excepto quiz´a en alguno de los extremos Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 3.4. Longitud de arco y curvatura

49

de I). Un punto t0 tal que #– r ′ (t0 ) = 0, en donde #– r (t) tiene una esquina, se llama v´ ertice. Una curva formada por un n´ umero finito de secciones suaves se llama suave por segmentos o suave a trozos. Ejemplo 3.3.3. La funci´on definida por #– r (t) = (t3 − 1)ˆ ı + t2 ˆ tiene un v´ertice en

y

t = 0 puesto que #– r ′ (t) = 3t2ˆ ı + 2tˆ  y #– #– r ′ (0) = 0 . El punto correspondiente a t = 0 es #– r (0) = −ˆ ı en donde hay una

V´ ertice

esquina.

3.4.

−1

x

Figura 3.5. Gr´ afica Ejm. 3.3.3

Longitud de arco y curvatura

ˆ Teorema 3.4.1. Sea C una curva con ecuaci´ on #– r (t) = f (t)ˆ ı + g(t)ˆ  + h(t)k;

a ≤ t ≤ b, que no se corta a si misma, excepto quiz´ a en los extremos del #– ′ intervalo [a, b], tal que r (t) es continua en [a, b]. La longitud de C de #– r (a) a #– r (b) es

L=

Z

b a

k #– r ′ (t)k dt

(3.1)

√ Ejemplo 3.4.1. Halle la longitud de la curva #– r (t) = 3t ˆ ı +2t t ˆ, 0 ≤ t ≤ 1. √ √ Soluci´ on. Como #– r ′ (t) = 3 ˆ ı + 3 t ˆ, entonces k #– r ′ (t)k = 3 1 + t. Luego, L=3

Z

0

1

√

1  √  1 + t dt = 2(1 + t)3/2 = 2 2 2 − 1 0

ˆ Definici´ on 3.4.2. Sea C una curva con ecuaci´on #– r (t) = f (t)ˆ ı +g(t)ˆ  +h(t)k; a ≤ t ≤ b que no se corta a si misma, excepto quiz´a en los extremos del intervalo [a, b] y #– r ′ (t) continua en [a, b]. La funci´ on longitud de arco es s(t) =

Z

a

t

k #– r ′ (u)k du, a ≤ t ≤ b.

Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

(3.2)

50

Cap´ıtulo 3. Funciones vectoriales

Ejemplo 3.4.2. Determine expl´ıcitamente la funci´on longitud de arco a) #– r (t) = t ˆ ı + ln t, t ≥ 1. #– 2 3 ˆ t ≥ 0. ı + (t2 + 1)ˆ  + tk; b) r (t) = ( 3 t − 1)ˆ Soluci´ on. √

2 a) Como #– r ′ (t) = ˆ ı + 1t ˆ y k #– r ′ (t)k = 1+t , entonces t Z t√ √ √ √ √ 1+u2 2 − ln √1+t2 −1 − √2−1 du = 1 + t 2 − ln s(t) = u 2+1 1+t2 +1

1

√ ˆ y k #– b) Como #– r ′ = 2t2ˆ ı + 2tˆ +k r ′ k = 4t4 + 4t2 + 1 = 2t2 + 1, entonces

s(t) =

Z

t

(2u2 + 1)du = t2 + t.

0

Reparametrizaci´ on. Con frecuencia es u ´ til parametrizar una curva con respecto a la longitud de arco porque la longitud de arco surge de manera natural a partir de la forma de la curva y no depende de un sistema particular de coordenadas. Sean #– r (t) la parametrizaci´on de una curz

va y s(t) la longitud de arco dada por b

(x(s), y(s), z(s))

(3.2). Si es posible despejar el par´ametro t en t´erminos de s para obtener la funci´on

s

t = t(s), entonces se puede parametrizar y x

Figura 3.6. El par´ ametro s es la

la curva en t´erminos de s sustituyendo t en la parametrizaci´on dada para obtener #– r (s) = #– r (t(s)). En tal caso se dice que la curva se ha reparametrizado con respecto

a la longitud de arco. En la figura 3.6 se ilustra la parametrizaci´on longitud de arco

#– ˆ r (s) = x(s)ˆ ı + y(s)ˆ  + z(s)k

(3.3)

Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 3.4. Longitud de arco y curvatura

51

de una curva en R3 con respecto a la longitud de arco. ˆ Ejemplo 3.4.3. Reparametrizar la funci´on #– r (t) = 4 cos tˆ ı + 4 sen tˆ  + 3tk, t ≥ 0 con respecto a la longitud de arco. ˆ k #– Soluci´ on. Puesto que #– r ′ (t) = −4 sen tˆ ı +4 cos tˆ  +3k, r ′ (t)k = 5, se tiene Z t s = s(t) = 5 du = 5t. 0

Al despejar t y sustituir en la ecuaci´on original se obtiene s s 3 ˆ #– r (s) = 4 cos ˆ ı + 4 sen ˆ + s k. 5 5 5

3.4.1.

ˆ, B ˆ El triedro m´ ovil Tˆ, N

Se llama triedro m´ovil al conjunto formado por tres vectores unitarios mutuamente ortogonales que acompa˜ nan el movimiento de una part´ıcula P sobre una curva en el espacio R3 . Definici´ on 3.4.3. Sea C una curva de ecuaci´on #– r (t) en el espacio con de-

rivada continua en el intervalo a ≤ t ≤ b. El vector tangente unitario de la curva en el punto #– r (t) es 1 #– r ′ (t), si #– r ′ (t) 6= 0 Tˆ(t) = #– ′ k r (t)k

(3.4)

Cuando la curva C se parametriza usando la longitud de arco s como par´ametro se tiene que k #– r ′ (s)k = 1 y por lo tanto #– r ′ (s) ser´a el vector tangente unitario. Esto es, Tˆ(s) = #– r ′ (s) (ver 11 p´agina 63. Puesto que el vector Tˆ tiene norma constante entonces por el ejercicio 7 p´agina 63, Tˆ y Tˆ ′ son ortogonales. Definici´ on 3.4.4. Sea C una curva de ecuaci´on #– r (t) con segunda derivada continua en [a, b]. El vector normal unitario de la curva en el punto #– r (t) es ˆ (t) = 1 Tˆ ′ (t), si Tˆ ′ (t) 6= 0 N

Tˆ ′ (t)

y apunta en la direcci´on hacia donde la curva se dobla. Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

(3.5)

52

Cap´ıtulo 3. Funciones vectoriales

Definici´ on 3.4.5. Sea C una curva de ecuaci´on #– r (t). El vector binormal de #– la curva en el punto r (t) es el vector unitario ˆ = Tˆ(t) × N ˆ (t) B(t)

(3.6)

ˆ yB ˆ forman un sistema ortonormal de vectores en cada Los vectores Tˆ, N punto #– r (t), llamado triedro m´ ovil o triedro de Frenet. En cada punto de ˆ determinan un plano llamado plano osculador. la curva C, los vectores Tˆ y N ˆ forman el llamado plano rectificador y los vectores N ˆ y Los vectores Tˆ y B ˆ generan el llamado plano normal. B ˆ B

Tˆ

ˆ N

Plano rectificador

#– r (t)

Tˆ

z #– r (a)

C

y

Plano normal

ˆ N Plano osculador

x (a) Tangente y normal unitarios

(b) Triedro de Frenet

Figura 3.7. Sistema T , N , B

Nota. Para curvas planas si Tˆ = a(t)ˆ ı + b(t)ˆ  es el vector tangente unitario #– ˆ ˆ 1 (t) = −b(t)ˆ a la curva C en el punto r (t), entonces los vectores N ı + a(t)k ˆ son normales a C. ˆ 2 (t) = b(t)ˆ yN ı − a(t)k ˆ (t) en t = 1, para las curvas Ejemplo 3.4.4. Halle Tˆ(t) y N a) #– r (t) = t ˆ ı + t2 ˆ

√ ˆ b) #– r (t) = t ˆ ı + 43 t t ˆ + t2 k

Soluci´ on. √ a) Como #– r ′ (t) = ˆ ı + 2tˆ , k #– r ′ (t)k = 1 + 4t2 , entonces 1 Tˆ(t) = √ (ˆ ı + 2tˆ ) , Tˆ(1) = 1 + 4t2

√1 (ˆ ı+ 5

ˆ (1) = 2ˆ ), N

√1 (−2ˆ ı+ 5

ˆ)

Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 3.4. Longitud de arco y curvatura

53

b) Puesto que √ #– ˆ y r ′ (t) = ˆ ı + 2 t ˆ + 2t k

k #– r ′ (t)k =

√

1 + 4t + 4t2 = 1 + 2t,

se tiene Tˆ(t) =

1 1+2t

Luego, Tˆ ′ (t) = ˆ (t) = N

  √ 2 1 ˆ ˆ ˆ ı + 2 t ˆ + 2t k , Tˆ(1) = ˆ ı + ˆ + 23 k. 3 3 

, Tˆ ′ (t) =



1 ˆ √  −2 ˆ ı + 1−2t ˆ+ 2 k (1+2t)2 t  √  t 1−2t ˆ , √  ˆ + 2 k −2 ˆ ı + 1+2t t

√

1 , t (1+2t)



Tˆ(1) =

1 3

ˆ ˆ (1) = − 2 ˆ N ı − 13 ˆ + 23 k. 3 z

y C

ˆ (1) N

ˆ (1) N

Tˆ(1)

#– r (1) b

Tˆ(1)

y

x

x

(b)

(a)

Figura 3.8. Gr´ aficas ejemplo 3.4.4

3.4.2.

Curvatura y c´ırculo osculador en curvas planas

Sea #– r (t) = x(t)ˆ ı + y(t)ˆ ,

a≤t≤b

(3.7)

el vector de posici´on de una curva en el plano y 1 #– Tˆ(t) = #– ′ r ′ (t), k r (t)k el vector tangente unitario en el punto #– r (t). Entonces Tˆ(t) = cos φ ˆ ı + sen φ ˆ. Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

(3.8)

(3.9)

54

Cap´ıtulo 3. Funciones vectoriales

Expresando el vector tangente Tˆ de (3.9) como una funci´on del par´ametro longitud de arco s indicado en la figura 3.9(a), entonces la raz´on en que cambia Tˆ se mide mediante la derivada dTˆ dTˆ dφ dφ = · = (− sen φ ˆ ı + cos φ ˆ) ds dφ ds ds



dTˆ dφ

= . Notar que ds ds

(3.10)

Definici´ on 3.4.6. La curvatura en un punto de una curva plana, denotada

con κ (kappa) se define como

dφ κ = . ds

(3.11)

Tˆ φ

ˆ N

R b

s y

#– r (t) b

#– r (a)

Q b

S

b

x

P (b)

(a)

Figura 3.9. Tangente unitario y curvatura

Para una linea recta, el ´angulo φ es constante, de modo que su curvatura es cero. La curvatura es mayor en los puntos en donde φ cambia m´as r´apidamente como en los puntos P y R y es m´as peque˜ na en Q y S en donde φ cambia con menos rapidez (ver figura 3.9(b)). Una consecuencia inmediata de las ecuaciones (3.9) y (3.10) es que dTˆ Tˆ • = 0, ds Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 3.4. Longitud de arco y curvatura

55

de modo que en cada punto P de una curva, el vector unitario Tˆ y su ˆ vector derivada dTˆ/ds son perpendiculares. El vector normal unitario N que apunta en la direcci´on de dTˆ/ds recibe el nombre de vector normal unitario principal a la curva en P . Entonces podemos escribir dTˆ ˆ. = κN ds

(3.12)

donde κ es la curvatura de la curva en P . A continuaci´on se enuncian dos resultados que facilitan calcular la curvatura de una curva plana. Teorema 3.4.7. Si una curva plana C tiene ecuaciones param´etricas suaves x = x(t), y = y(t) entonces

κ=

|x′ y ′′ − x′′ y ′ |

[(x′ )2 + (y ′)2 ]3/2

(3.13)

Teorema 3.4.8. Si una curva plana C tiene ecuaci´ on y = f (x) entonces κ=

|y ′′|

[1 + (y ′ )2 ]3/2

(3.14)

C´ırculo osculador Sea C una curva plana y sea P un punto de la curva donde κ 6= 0. El c´ırculo

tangente a C en P que tiene su centro en la direcci´on del vector normal uniˆ se llama c´ırculo osculador o c´ırculo de curvatura de la curva tario N en P . El radio ρ de dicho c´ırculo recibe el nombre de radio de curvatura de C en P . Su centro H es llamado centro de curvatura y el vector de #– es llamado vector posici´ H, γ on del centro de curvatura en P . Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

56

Cap´ıtulo 3. Funciones vectoriales

El radio de curvatura est´a dado por ρ=

1 , κ 6= 0, κ

(3.15) H

y su centro de curvatura por #– γ

#– = #– ˆ. γ r + ρN

(3.16)

ρ ˆ N

P

y

Ejemplo 3.4.5. Determine los vectores ˆ , la curvatura κ y el centro de curvaTˆ, N tura de la parabola y = 2 − x2 en el punto

Tˆ

x

Figura 3.10. C´ırculo osculador

(1, 1).

Soluci´ on. Parametrizando con x = t, y = 2 − t2 , su vector de posici´on es #– r (t) = t ˆ ı + (2 − t2 ) ˆ, de modo que #– r ′ (t) = ˆ ı − 2t ˆ y su longitud es √ #– ′ 2 k r (t)k = 1 + 4t . As´ı, el vector tangente unitario est´a dado por 1 (ˆ ı − 2t ˆ) . Tˆ(t) = √ 1 + 4t2 Los vectores tangente y normal principal unitarios en t = 1 son: 1 2 1 ˆ (1) = − √2 ˆ Tˆ(1) = √ ˆ ı − √ ˆ y N ı − √ ˆ. 5 5 5 5 Como y = 2 − x2 , y ′ = −2x y y ′′ = −2.

y

As´ı, de (3.14) se obtiene κ=

|y ′′ |

[1 + (y ′)2 ]3/2

=

b

2 [1 + 4x2 ]3/2

(1, 1)

.

En el punto (1, 1) la curvatura y el radio

x b

−4, − 23




de curvatura son: 2 κ= √ 5 5

√ 5 5 y ρ= . 2

y = 2 − x2

Figura 3.11. Gr´ afica Ejm. 3.4.5

La ecuaci´on (3.16) implica que el centro de curvatura es  √  #– = (1, 1) + 5 5 − √2 , − √1 = −4, − 3
. γ 2 2 5 5 Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 3.4. Longitud de arco y curvatura

57

La ecuaci´on del c´ırculo osculador a la par´abola en el punto (1, 1) es  2 3 125 (x + 4) + y + = . 2 4 2

3.4.3.

Curvatura y torsi´ on en curvas en el espacio

La curvatura de una curva C en un punto es una medida de la rapidez con que la curva cambia de direcci´on en ese punto y se define en t´erminos de la longitud de arco para que sea independiente de la parametrizaci´on. Definici´ on 3.4.9. La curvatura de una curva en R3 de ecuaci´on #– r (s) es

dTˆ

(3.17) κ=

ds ,

en donde Tˆ es el vector tangente unitario.

Teorema 3.4.10. La curvatura de una curva de ecuaci´ on #– r (t) es

′

Tˆ (t) κ = #– ′ k r (t)k

(3.18)

Como la f´ormula (3.18) es muy tediosa de aplicar, se tiene Teorema 3.4.11. La curvatura de una curva de ecuaci´ on #– r (t) es κ=

k #– r ′ (t) × #– r ′′ (t)k k #– r ′ (t)k3

(3.19)

ˆ es un vector unitario, entonces dBˆ (en caso de ser no nulo) Puesto que B ds ˆ Por otra parte, si derivamos B ˆ = Tˆ × N ˆ obtenemos es ortogonal a B. ˆ dB ds

ˆ N ˆ es tambi´en ortogonal a Tˆ. Entonces B ˆ = Tˆ × dds , lo cual implica que B ˆ . Digamos que es un m´ ultiplo escalar del vector N

ˆ dB ˆ, = −τ N ds Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

(3.20)

58

Cap´ıtulo 3. Funciones vectoriales

donde τ es un n´ umero real que recibe el nombre de torsion de la curva. ˆ ˆ tienen El signo − en la ecuaci´on (3.20) indica que los vectores ddsB y −N la misma direcci´on y sentido cuando los valores de la torsion son positivos. Cuando una part´ıcula se mueve sobre la curva en la direcci´on del vector Tˆ

ˆB ˆ girara alrededor (direcci´on positiva) y la torsi´on es positiva el triedro TˆN del vector Tˆ en el mismo sentido de un tornillo de rosca derecha que avanza en la direcci´on y sentido del vector Tˆ As´ı, la torsion mide la cantidad que se tuerce la curva en el sentido en que el sistema formado en cada punto por ˆ yB ˆ gira alrededor de la curva. Tˆ, N

F´ ormulas de Frenet - Serret. ˆ yB ˆ con respecto a la longitud de arco s Las derivadas de los vectores Tˆ, N ′ ˆ′ y B ˆ ′ obteni´endose un se pueden expresar en t´erminos de los vectores Tˆ , N conjunto de ecuaciones conocidas con el nombre de f´ormulas de Frenet-Serret. Sea C una curva de funci´on #– r (s), donde s es la longitud de arco medida a partir de un punto fijo P de C. Entonces 1.

dTˆ = ds

2.

ˆ dN = −κTˆ ds

3.

ˆ dB = ds

3.5. 3.5.1.

ˆ, κN ˆ + τ B, ˆ. − τN

Movimiento en el espacio Posici´ on, velocidad y aceleraci´ on

Si las coordenadas del punto m´ovil en el instante t est´an dadas por las ecuaciones param´etricas x = f (t), y = g(t), z = h(t) entonces se tiene Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 3.5. Movimiento en el espacio 59

P

#– ˆ es la posici´on r (t) = f (t)ˆ ı + g(t)ˆ  + h(t)k #– v (t) = #– r ′ (t) es la velocidad

z

#– v

#– r

C #– a

v(t) = k #– v (t)k es la rapidez #– = #– a(t) v ′ (t) = #– r ′′ (t) es la aceleraci´on

y x

#– a(t) = k a(t)k es la aceleraci´on escalar

Figura 3.12. Movimiento

#– y a en t dado. Dibuje los vectores. Ejemplo 3.5.1. Halle #– v , v, a a) #– r (t) = 2tˆ ı + (2 − 2t2 )ˆ ; t = 21 ,

ˆ t = 1. b) #– r (t) = tˆ ı + t2 ˆ + t3 k,

Soluci´ on. a) Como #– r ( 12 ) = ˆ ı+ 32 ˆ, la part´ıcula est´a en el punto P (1, 32 ) sobre la par´abola y = 2− 21 x2 . Su vector velocidad es #– v (t) = 2ˆ ı −4tˆ , as´ı que #– v ( 12 ) = 2ˆ ı −2ˆ 

√ #–(t) = −4ˆ y v( 12 ) = #– v ( 12 ) = 2 2. Su vector aceleraci´on es a  y la #– aceleraci´on escalar es k ak = 4. b) La part´ıcula se encuentra en el punto P (1, 1, 1). Su vector velocidad ˆ as´ı #– ˆ y su raest´a dado por #– v (t) = ˆ ı + 2tˆ  + 3t2 k, v (1) = ˆ ı + 2ˆ  + 3k √ #– = 2ˆ ˆ pidez es v(1) = 14. El vector aceleraci´on est´a dado por a(t)  + 6tk, √ #–(1) = 2ˆ #– ˆ y la aceleraci´on escalar es k a(1)k de modo que a  + 6k = 2 10. ~a

y

z

C

y =2−

(1, 23 ) #– v

1 2 2x

~v

x #– a

x b

(1, 1, 1)

y

(a)

(b)

Figura 3.13. Gr´ aficas ejemplo 3.5.1 Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

60

Cap´ıtulo 3. Funciones vectoriales

3.5.2.

Componentes tangencial y normal de ~a

En el estudio del movimiento de una part´ıcula, a menudo es conveniente expresar la aceleraci´on en dos componentes, una en la direcci´on del vector tangente y la otra en la direcci´on del vector normal, denominadas componente tangencial y componente normal. aT ˆ T

aN z

ˆ N #– a

y x

Figura 3.14. Componentes aT y aN

#– #– = d v se obtiene Derivando #– v = v Tˆ y teniendo en cuenta que a dt #– = a Tˆ + a N ˆ, a T N

(3.21)

donde aT =

v2 dv y aN = κv 2 = . dt ρ

(3.22)

Los n´ umeros aT y aN reciben los nombres de componentes tangencial y normal de la aceleraci´on, respectivamente. De la f´ormula(3.21), conocidas las componentes tangencial y normal de la ˆ: aceleraci´on, podemos obtener el vector normal N #– − a Tˆ). ˆ = 1 (a N T aN

(3.23)

Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 3.5. Movimiento en el espacio 61

Conocida la componente tangencial de la aceleraci´on podemos usar el teorema de Pit´agoras para hallar la componente normal: q #– 2 − a2 . aN = k ak T

(3.24)

calculada usando la siguiente f´ormula: k #– r ′ × #– r ′′ k aN = . k #– r ′k

(3.25)

Conocida la parametrizaci´on de la curva, la componente normal puede ser

Una vez calculada la componente normal de la aceleraci´on podemos calcular la curvatura usando la f´ormula (3.22). Si F (t) es la fuerza que act´ ua sobre una part´ıcula de masa m que se mueve sobre una curva con funci´on posici´on #– r (t)) entonces la segunda ley del movimiento de Newton asegura que #– #–(t), F (t) = m a lo cual indica que el vector aceleraci´on tiene la misma direcci´on que la fuerza que act´ ua sobre ella. Si no existen fuerzas actuando sobre una part´ıcula en movimiento la aceleraci´on vale cero y el vector velocidad es constante tanto en magnitud como en direcci´on. La segunda ley de Newton tambi´en indica que una fuerza aplicada es directamente proporcional a la masa de la part´ıcula. Para una masa m la aceleraci´on es proporcional a la fuerza aplicada. De la f´ormula (3.21) y (3.22) se obtiene dv #– ˆ (t). F (t) = m Tˆ(t) + mv 2 κ(t)N dt #– Luego mv 2 κ(t), la componente normal de la fuerza F (t), es la intensidad (m´odulo) de la fuerza normal necesaria para mantener la part´ıcula sobre la curva. Por esto, cuando un autom´ovil se desplaza con gran rapidez (alta velocidad lineal) sobre una curva muy cerrada (radio de curvatura peque˜ no y por lo tanto curvatura grande) la fuerza ejercida por la carretera (rozamiento) debe ser muy grande para lograr mantener el autom´ovil sobre la carretera. Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

62

Cap´ıtulo 3. Funciones vectoriales

3.6.

Ejercicios del cap´ıtulo

1. Elimine el par´ametro y trace la gr´afica de √ a) #– r (t) = t ˆ ı + (3t − 2)ˆ 

c) #– r (t) = sec t ˆ ı + tan t ˆ

b) #– r (t) = cos (2t) ˆ ı + sen t ˆ

d ) #– ı + (2t − 2)ˆ  r (t) = (t2 + 1) ˆ

2. Encuentre el ´angulo entre los vectores velocidad y aceleraci´on en t = 0. √ ˆ a) #– r (t) = (3t + 1) ˆ ı + 3t ˆ + t2 k √  √  b) #– r (t) = 22 ˆ ı + 22 t − 16t2 ˆ

√ ˆ c) #– r (t) = (ln(t2 + 1)) ˆ ı + (tan−1 t) ˆ + t2 + 1 k

ˆ se encuentra en 3. Muestre que la curva #– r (t) = (t cos t) ˆ ı + (t sen t) ˆ+ t k el cono z 2 = x2 + y 2 y trace su gr´afica. 4. Halle el valor o los valores de t de modo que los vectores velocidad y aceleraci´on sean perpendiculares a) #– r (t) = (t − sen t) ˆ ı + (1 − cos t) ˆ, 0 ≤ t ≤ 2π. ˆ t ≥ 0. b) #– r (t) = sen t ˆ ı + t ˆ + cos t k;

5. Muestre que la funci´on vectorial √ #– ˆ + cos t 2 ˆ r (t) = 2 ˆ ı + 2 ˆ + k ı− 2

√ 2 2

 √ ˆ + sen t 33 ˆ ı+

√ 3 3

ˆ +

√

3 3

ˆ k



describe el movimiento de una part´ıcula que se mueve en la circunferencia de radio 1 con centro en (2, 2, 1) y que se encuentra en el plano x + y − 2z = 2.

6. Un c´ırculo de radio b rueda sin resbalar dentro de una circunferencia de radio a > b. La trayectoria de un punto fijo en la circunferencia del c´ırculo que rueda es una hipocicloide. Suponga que P inicia su recorrido Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 3.6. Ejercicios del cap´ıtulo

63

en el punto A(0, a) y que t es el ´angulo ∠AOC, donde O es el centro del c´ırculo grande y C es el centro del c´ırculo que rueda. Muestre que las coordenadas de P est´an dadas por las ecuaciones param´etricas     a−b a−b t , y = (a − b) sen t − b sen t . x = (a − b) cos t + b cos b b 7. Pruebe. Si #– r (t) tiene longitud constante, entonces #– r y #– r ′ son ortogonales. #– #– #– #– 8. Sea B un vector fijo y F (t) una funci´on vectorial tal que F (t) • B = t #– #– #– para todo t y el ´angulo entre F ′ y B es constante. Muestre que F ′′ y #– B son perpendiculares. 9. Encuentre ecuaciones param´etricas para las rectas tangente y normal √ √ ˆ. Escriba la en el punto ( π4 , 1, 1), a #– r (t) = t ˆ ı + 2 cos t ˆ + 2 sen t k #– = a Tˆ + a N ˆ. aceleraci´on en la forma a T

N

ˆ para 10. Encuentre los vectores tangente y normal unitarios Tˆ y N a) #– r (t) = (cos3 t) ˆ ı + (sen3 t) ˆ; 0 ≤ t ≤ π/2 √ ˆ b) #– r (t) = (2 cos t) ˆ ı + (2 sen t) ˆ + 5 t k 11. Demuestre: si #– r se parametriza con longitud de arco s, k #– r ′ (s)k = 1. 12. Determine expl´ıcitamente la funci´on longitud de arco para ˆ 0 ≤ t ≤ 1. a) #– r (t) = t ˆ ı + cosh t ˆ + k; ˆ 1 ≤ t ≤ 3. b) #– r (t) = 2t2 ˆ ı + 3t2 ˆ + 4t2 k;

ˆ −1 ≤ t ≤ 1. c) #– r (t) = t3 ˆ ı + t3 ˆ + t3 k; √ ˆ 0 ≤ t ≤ 1. d ) #– r (t) = t ˆ ı + 2 t ˆ + k;

#– = #– 13. Si u(t) r ′ (t) • [ #– r (t) × #– r ′′ (t)], muestre que #– ′ (t) = #– u r ′ (t) • [ #– r (t) × #– r ′′′ (t)]. Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

64

Cap´ıtulo 3. Funciones vectoriales

#– #– 14. Sean A y B dos vectores fijos de R3 perpendiculares entre si, tales que #– #– kAk = 1 y kBk = 2. Si el vector de posici´on de una part´ıcula es #– 2 #– #– 1 #– #– r = tA + t3/2 A × B + t2 B 3 2 a) Muestre que la rapidez de la part´ıcula es v = v(t) = 1+2t. Ayuda: v 2 = #– v • #– v b) ¿Cu´anto tarda la part´ıcula en recorrer una distancia igual a 12 unidades de longitud a lo largo de la curva? #– #– #– #– #– 15. Si F (t) = e2t A + e−2t B, donde A y B son vectores fijos no nulos. #– #– a) Muestre que F y F ′′ tienen la misma direcci´on. #– #– b) Halle el valor de t de modo que F y F ′ sean perpendiculares. #– #– 16. Sea A un vector fijo. Halle una funci´on vectorial F (t) tal que Z 1 t #– #– t #– F (z) dz, t > 0. F (t) = te A + t 1 17. Una part´ıcula se localiza en t = 0 en el punto (1, 2, 3), se mueve en #– = 3ˆ ˆ y rapidez v = 2 en l´ınea recta con aceleraci´on constante a ı − ˆ+ k

dicho punto y viaja al punto (4, 1, 4). Encuentre el vector de posici´on #– r (t) de la part´ıcula en cualquier tiempo t.

Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Cap´ıtulo 4

Derivaci´ on parcial 4.1.

Campos escalares

4.1.1.

Puntos y conjuntos en Rn

Definici´ on 4.1.1. Sea a = (a1 , a2 . . . , an ) ∈ Rn y δ > 0. La n–bola abierta

con centro en a y radio δ es el conjunto

Bδ (a) = B(a; δ) = {x ∈ Rn | kx − ak < δ} y

z x

x b

δ

δ b

(a, b, c)

(a, b)

y x

(4.1)

x

(a)

(b)

δ b

b

a x

x

(c)

Figura 4.1. Bolas abiertas en R3 , R2 y R

65

66

Cap´ıtulo 4. Derivaci´ on parcial

Definici´ on 4.1.2. Sean S ⊆ Rn y a ∈ S. Se dice que a es un punto interior

de S cuando existe una n–bola abierta con centro en a contenida en S. El conjunto formado por todos los puntos interiores de S se llama interior de S y se denota por int S. int S = {x ∈ Rn | Bδ (x) ⊂ S para alg´ un δ > 0}

(4.2)

S es abierto si todos sus puntos son interiores, esto es, int S = S. Definici´ on 4.1.3. Sean S ⊆ Rn y a ∈ S. Se dice que a es un punto frontera

de S si toda n–bola abierta con centro en a contiene puntos de S y de su complemento S C . El conjunto formado por todos los puntos frontera de S se llama frontera de S y se denota por ∂S.  ∂S = x ∈ Rn | Bδ (x) ∩ S 6= ∅ y Bδ (x) ∩ S C 6= ∅ para todo δ > 0 (4.3)

La clausura de S, denotada por S, es S = int S ∪ ∂S. El conjunto S es

cerrado si S = S.

y

y b

S

S b

x

x (a) Punto interior y punto frontera

(b) Conjunto abierto

Figura 4.2. Ilustraci´ on en R2

4.1.2.

Definici´ on, dominio y recorrido

Definici´ on 4.1.4. Sea D ⊆ Rn . Un campo escalar es una funci´on de n variables

f : D ⊆ Rn 7→ R; x 7→ f (x) = w. Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 4.1. Campos escalares 67

Es decir, una funci´on de n variables es una regla que asigna a cada n−upla (x1 , x2 , . . . , xn ) de n´ umeros reales un u ´ nico real, denotado por f (x1 , x2 , . . . , xn ). El conjunto D es el dominio de f y su recorrido o imagen es el conjunto de valores que asume la funci´on, es decir, im f = {f (x1 , x2 , . . . , xn ) | (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ D} . Una forma de imaginar una funci´on de dos o tres variables es por medio de un diagrama sagital (de flechas), figura 4.3, en donde el dominio D se representa como un subconjunto del plano xy o del espacio R3 . y

z

z

(x, y)

O D

f (x, y) b

b

f

b

b

b

b

0

x b

(a, b)

D

f (a, b)

f (x, y, z) b

b b

(a, b, c)

f

b

b

0 f (a, b, c)

y

O x

(a)

w

(x, y, z)

(b)

Figura 4.3. Funci´ on de dos y tres variables.

Nota. Si una funci´on f est´a definida mediante una f´ ormula y no se especifica ning´ un dominio, se sobrentiende que el dominio de f est´ a dado por todas las n−uplas (x1 , x2 , . . . , xn ) de n´ umeros reales para las cuales la expresi´ on dada es un n´ umero real bien definido. Ejemplo 4.1.1. Determine y represente el dominio de la funci´on p x − y2 a) f (x, y) = 2 b) f (x, y) = ln (1 + x2 − y 2) y −1 Soluci´ on. a) La expresi´on tiene sentido si el denominador es diferente de 0 y la cantidad bajo el signo radical es no negativa. Luego, el dominio de f es el conjunto D = {(x, y) ∈ R2 | x − y 2 ≥ 0,

|y| = 6 1} . (Ver figura 4.4(a)).

Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

68

Cap´ıtulo 4. Derivaci´ on parcial

b) ln (1 + x2 − y 2 ) est´a definido si 1 + x2 − y 2 > 0 es decir, x2 − y 2 > −1. Luego, el dominio de f es el conjunto D = {(x, y) ∈ R2 | y 2 − x2 < 1} . (Ver figura 4.4(b)). y

y

2

2 y=1

1

−1

0

1

−1

2

3

1

x

−3

−2

−1

0

1

2

x

−1

y = −1

−2

−2

−3

p x − y2 (a) f (x, y) = 2 y −1

(b) f (x, y) = ln (1 + x2 − y 2 )

Figura 4.4. Dominios de las funciones del ejemplo 4.1.1

4.1.3.

Conjuntos de nivel y gr´ aficas

Definici´ on 4.1.5. Sea f : D ⊆ Rn 7→ R una funci´on de n variables. Se

define la gr´ afica de f como el conjunto

 G = (x1 , x2 , . . . , xn , w) ∈ Rn+1 | w = f (x1 , x2 , . . . , xn ); (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ D Como es de esperarse, s´olo es posible hacer la representaci´on para n = 2, en cuyo caso, la gr´afica es una superficie S de R3 :  S = (x, y, z) ∈ R3 | z = f (x, y); (x, y) ∈ D .

Se puede imaginar que la gr´afica de S est´a situada arriba o abajo de su dominio D en el plano xy, como se ilustra en la figura 4.5. Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 4.1. Campos escalares 69 z (x, y, f (x, y)) S f (x, y) O D (x, y, 0)

y

x

Figura 4.5. z = f (x, y)

Definici´ on 4.1.6. Sea f : D ⊆ Rn 7→ R una funci´on de n variables y

k un n´ umero en el recorrido de f . El conjunto de nivel de f de valor k est´a definido como aquellos puntos (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ D para los que f (x1 , x2 , . . . , xn ) = k. El conjunto de nivel de valor k lo escribimos simb´olicamente de la siguiente manera Nk = {(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn | f (x1 , x2 , . . . , xn ) = k; (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ D} Nota. Observar que cada conjunto de nivel est´ a siempre en el dominio de la funci´on. Para n = 2 los conjuntos de nivel son curvas en el plano xy llamadas curvas de nivel, mientras que para n = 3 los conjuntos de nivel son superficies del espacio xyz llamadas superficies de nivel. Definici´ on 4.1.7. Sea f : D ⊆ R2 7→ R una funci´on de dos variables y k un

n´ umero en el recorrido de f . Se definen las curvas de contorno de f como  C = (x, y, z) ∈ R3 | f (x, y) = k , z = k con (x, y) ∈ D Definici´ on 4.1.8. Sea f : D 7→ R una funci´on de dos variables. Las trazas

son curvas intersecci´on de z = f (x, y) con planos paralelos a los planos coordenados. Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

70

Cap´ıtulo 4. Derivaci´ on parcial

Traza

Ecuaci´ on

Descripci´ on

z=k

f (x, y) = k

Curva paralela al plano xy o en el plano xy

x=k

f (k, y) = z

Curva paralela al plano yz o en el plano yz

y=k

f (x, k) = z

Curva paralela al plano xz o en el plano xz

Para k = 0, las trazas se denominan trazas principales. Observar que las curvas de contorno no son m´as que las trazas en planos paralelos al plano xy y corresponden a las curvas de nivel elevadas (o bajadas) hacia la superficie. Ejemplo 4.1.2. Dibuje las curvas de nivel y trace la gr´afica de a) f (x, y) = 2x − y 2

b) f (x, y) = 4x2 − y 2 − 8x − 4y − 4

Soluci´ on. (a) Las curvas de nivel de f son las par´abolas 2x = y 2 + k, k ∈ R. En la

figura 4.6 se muestran algunas curvas de nivel y la gr´afica con sus trazas principales. z y

k=0

k0 x

x

y

Figura 4.6. Curvas de nivel y gr´ aficas ejemplo 4.1.2a) Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 4.2. L´ımites y continuidad

71

(b) Las curvas de nivel de f son las hip´erbolas 4x2 − y 2 − 8x − 4y = k + 4, k ∈ R. En la figura 4.7 se muestran algunas curvas de nivel y la gr´afica con sus trazas principales.

z y

x k0:

x

y

Figura 4.7. Curvas de nivel y gr´ aficas ejemplo 4.1.2b)

4.2.

L´ımites y continuidad

Definici´ on 4.2.1. Sea f : D 7→ R, D ⊆ Rn y x0 = (x01 , x02 . . . , x0n ) ∈ Rn . l´ım f (x) = L si y s´olo si, para cada ǫ > 0 existe un δ > 0 tal que

x→x0

|f (x) − L| < ǫ siempre que 0 < kx − x0 k < δ y

z (a, b) δ

bc

b

(x, y)

O D

f x

bc

L+ǫ f (x, y) L L−ǫ 0

Figura 4.8. L´ımite en R2 Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

72

Cap´ıtulo 4. Derivaci´ on parcial

Teorema 4.2.2. Sean f, g : D ⊆ Rn 7→ R, #– r : I ⊆ R 7→ Rn . Si l´ım f (x) = L, x→x0

l´ım g(x) = M, a y b son constantes. Entonces

x→x0

1. l´ım [af (x) + bg(x)] = aL + bM x→x0

2. l´ım |f (x)| = 0 ⇒ l´ım f (x) = 0 x→x0

x→x0

5. l´ım [f (x)]r = Lr

3. l´ım [f (x)g(x)] = LM

x→x0

x→x0

4. l´ım

x→x0



 L f (x) = g(x) M



6. l´ım [f ( #– r (t))] = f t→t0

l´ım #– r (t)

t→t0



Regla de las trayectorias Sea f : D ⊆ Rn 7→ R y x0 ∈ int D. Si dos trayectorias que llegan a un punto x0 = (x01 , . . . , x0n ) producen l´ımites diferentes, entonces l´ım f (x) no existe. x→x0

Ejemplo 4.2.1. Halle el l´ımite o muestre que no existe a)

b)

l´ım

(x,y)→(1,−2)

l´ım

(x,y)→(1,1)

(x3 − 3xy + xy 2 − 1)

p

x2 + 3y 2 − 1 x + 2y

c)

d)

l´ım

(x,y)→(1,1)

p

x−y

x2 + 3xy − 2y

x2 + 2y 2 − 2xy (x,y)→(0,0) x2 + y 2 l´ım

Soluci´ on. a)

l´ım

(x,y)→(1,−2)

(x3 − 3xy + xy 2 − 1) = 13 − 3(1)(−2) + 1(−2)2 − 1 = 4

b) Sustituyendo

l´ım

(x,y)→(1,1)

p

x2 + 3y 2 − 1 = x + 2y

√

12 + 3 · 12 − 1 = 1+2

1 3

c) En este caso es necesario racionalizar p (x − y)( x2 + 3xy + 2y) p p p l´ım = l´ım (x,y)→(1,1) x2 + 3xy − 2y (x,y)→(1,1) ( x2 + 3xy − 2y)( x2 + 3xy + 2y) x−y

Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 4.2. L´ımites y continuidad

73

p (x − y)( x2 + 3xy + 2y) = l´ım x2 + 3xy − 4y 2 (x,y)→(1,1) p  x2 + 3xy + 2y) (x −y)(  = l´ım  + 4y) (x −y)(x (x,y)→(1,1)  p x2 + 3xy + 2y = l´ım = 45 x + 4y (x,y)→(1,1)

d) Usando el m´etodo de las trayectorias * Por y = 0 :

x2 + 2y 2 − 2xy x2 = l´ ım = l´ım 1 = 1 x→0 (x,0)→(0,0) x2 (x,y)→(0,0) x2 + y 2 l´ım

2y 2 x2 + 2y 2 − 2xy = l´ım = l´ım 2 = 2 * Por x = 0 : l´ım y→0 (0,y)→(0,0) y 2 (x,y)→(0,0) x2 + y 2 Luego,

x2 + 2y 2 − 2xy no existe. (x,y)→(0,0) x2 + y 2 l´ım

L´ımites iterados Sea f : D ⊆ R2 7→ R y (a, b) ∈ R2 , los l´ımites 

l´ım l´ım f (x, y)

x→a

y→b



h i y l´ım l´ım f (x, y)

(x, y)

y→b x→a

se llaman l´ımites iterados.

bc

bc

(a, b)

(a, b)

Ejemplo 4.2.2. Halle los l´ımites iterados de f (x, y) = en (1, 1). Soluci´ on.  l´ım l´ım y→1

(x, y)

x2 − y 2 x3 − y 3 + 2x2 − 2y

 1 − y2 y2 − 1 x2 − y 2 = l´ım = l´ım 3 y→1 y + 2y − 3 x→1 x3 − y 3 + 2x2 − 2y y→1 3 − y 3 − 2y  (y−1)(y + 1)  = l´ım  2 y→1  (y−1)(y + y + 3) y+1 = l´ım 2 = 25 y→1 y + y + 3

Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

74

Cap´ıtulo 4. Derivaci´ on parcial

 x2 − 1 x2 − y 2 l´ım l´ım 3 = l´ ım x→1 x3 + 2x2 − 3 x→1 y→1 x − y 3 + 2x2 − 2y  (x−1)(x + 1)  = l´ım  x→1  (x−1)(x2 + 3x + 3) x+1 = l´ım 2 = 27 x→1 x + 3x + 3 

Teorema 4.2.3 (Regla del emparedado). Sean g, f, h : D ⊆ Rn 7→ R. Si l´ım g(x) = L , l´ım h(x) = L y g(x) ≤ f (x) ≤ h(x), x ∈ D entonces

x→x0

x→x0

l´ım f (x) = L

x→x0

Definici´ on 4.2.4. Sea f : D ⊆ Rn 7→ R una funci´on de n variables y

x0 ∈ int D. Entonces f es continua en x0 si y s´olo si l´ım f (x) = f (x0 )

x→x0

Ejemplo 4.2.3. Analice continuidad de f en (0, 0)  2 2   xy(x − y ) , si (x, y) 6= (0, 0) x2 + y 2 a) f (x, y) =  1, si (x, y) = (0, 0)  y sen 1 , si x 6= 0 x . b) f (x, y) = 0, si x = 0 Soluci´ on.

a) Usando coordenadas polares: x = r cos θ, y = r sen θ, x2 + y 2 = r 2 . xy(x2 − y 2) r 2 sen θ cos θ(r 2 cos2 θ − r 2 sen2 θ) = l´ ım r→0 (x,y)→(0,0) x2 + y 2 r2 l´ım

= l´ım r 2 sen θ cos θ(cos2 θ − sen2 θ) r→0 = 0 ( porque sen θ cos θ(cos2 θ − sen2 θ) ≤ 14 )

Luego, f (x, y) no es continua en (0, 0) ya que La discontinuidad es removible.

l´ım

(x,y)→(0,0)

f (x, y) = 0 6= 1.

Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 4.3. Derivadas parciales 75

b) Puesto que 0 ≤ y sen x1 ≤ |y| y l´ım |y| = 0, se tiene que (x,y)→(0,0) l´ım y sen x1 = 0. Luego l´ım y sen x1 = 0 = f (0, 0). Por lo tanto, (x,y)→(0,0)

f (x, y) = y sen

4.3.

(x,y)→(0,0)

1 x

es continua en (0, 0).

Derivadas parciales

Definici´ on 4.3.1. Sea f : D ⊆ Rn 7→ R . La derivada parcial de f con respecto a xi es

f (x1 , x2 , . . . , xi + hi , . . . xn ) − f (x1 , x2 , . . . , xi , . . . , xn ) ∂f = l´ım ∂xi hi →0 hi

(4.4)

Notaci´ on. La derivada parcial con respecto a xi se denota por ∂f ∂w , fxi , , w x i , Di f ∂xi ∂xi Para z = f (x, y) se tiene ∂f f (x + h, y) − f (x, y) = l´ım , ∂x h→0 h

∂f f (x, y + k) − f (x, y) = l´ım k→0 ∂y k

Para w = f (x, y, z) se tiene ∂f f (x + h, y, z) − f (x, y, z) = l´ım , ∂x h→0 h

∂f f (x, y + k, z) − f (x, y, z) = l´ım k→0 ∂y k

f (x, y, z + l) − f (x, y, z) ∂f = l´ım l→0 ∂z l Ejemplo 4.3.1. Halle las derivadas parciales de f (x, y) = x2 y + 2xy 2 Soluci´ on. ∂f (x + h)2 y + 2(x + h)y 2 − x2 y − 2xy 2 = l´ım ∂x h→0 h 2 2 2 2   x y + 2hxy + h y + 2hy 2 +  2xy + 2hy 2 −  x2 y − 2xy = l´ım  h→0 h Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

76

Cap´ıtulo 4. Derivaci´ on parcial

2hxy + h2 y + 2hy 2 = l´ım (2xy + hy + 2y 2) = 2xy + 2y 2 h→0 h→0 h

= l´ım

∂f x2 (y + k) + 2x(y + k)2 − x2 y − 2xy 2 = l´ım k→0 ∂y k  2 2 + 4kxy + 2xk 2 − 2xy  x2 y + kx2 +  2xy − x2 y   = l´ım k→0 k kx2 + 4kxy + 2xk 2 = l´ım (x2 + 4xy + 2xk) = x2 + 4xy = l´ım k→0 k→0 k Notar que fx puede calcularse derivando a f (x, y) con respecto a x con y fija. Similarmente, fy se calcula derivando a f con respecto a y con x fija.  2 2   x − xy + y , si (x, y) 6= (0, 0) x2 + y 2 Ejemplo 4.3.2. Sea f (x, y) =  1, si (x, y) = (0, 0) a) Muestre que f no es continua en (0, 0)

b) Calcule fx (0, 0) y fy (0, 0)

Soluci´ on. a) Por trayectorias se tiene x2 − xy + y 2 x2 = l´ ım = l´ım 1 = 1 Por y = 0 : l´ım x→0 x2 x→0 (x,y)→(0,0) x2 + y 2 2 2 2 x − xy + y x 1 Por y = x : l´ım = l´ım 2 = l´ım = 12 . 2 2 x→0 x→0 (x,y)→(0,0) x +y 2x 2 Luego, f no es continua en (0, 0) porque l´ım f (x, y) no existe. (x,y)→(0,0)

b) Usando la definici´on de derivada parcial se tiene 1−1 f (h, 0) − f (0, 0) = l´ım = l´ım 0 = 0 h→0 h→0 h→0 h h f (0, k) − f (0, 0) 1−1 fy (0, 0) = l´ım = l´ım = l´ım 0 = 0 k→0 k→0 k→0 k k

fx (0, 0) = l´ım

Observar que las primeras derivadas parciales existen en (0, 0) pero f no es continua all´ı. Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 4.3. Derivadas parciales 77

Interpretaci´ on geom´ etrica de las derivadas parciales z

Recta tangente L2

Recta tangente L1

  z = f (x, y) Curva C2 : x = x

  z = f (x, y) Curva C1 : y = y

0

0

(x0 , y0 , z0 )

z = f (x, y)

(x0 , y0 , 0) x y Plano y = y0

Plano x = x0

Figura 4.9. Interpretaci´ on geom´etrica de las derivadas parciales

Sea f : D ⊆ R2 7→ R, entonces z = f (x, y) es una superficie. ∂f : derivada de f con respecto a x con y fija ∂x ∂f : derivada de f con respecto a y con x fija ∂y La intersecci´ on de f (x, y) con losplanos x = x0 , y = y0 forma dos curvas:  z = f (x, y) z = f (x, y) C1 : y C2 : y = y x = x 0 0 ∂f (x , y ) = pendiente de la recta tangente L1 a la curva C1 . ∂x 0 0 ∂f (x , y ) = pendiente de la recta tangente L2 a la curva C2 . ∂y 0 0

Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

78

Cap´ıtulo 4. Derivaci´ on parcial

Ejemplo 4.3.3. Sea C la curva intersecci´on del paraboloide z = 9 − x2 − y 2

con el plano x = 1. Halle la ecuaci´on de la recta tangente a C en P (1, 2, 4). Dibuje el paraboloide, la curva y la recta.

Soluci´ on. Como z = 9 − x2 − y 2 , ∂z/∂y = −2y es la pendiente de la recta tangente a la curva z = 9 − x2 − y 2, x = 1 en cualquier punto. Al sustituir

en (1, 2) se tiene que la pendiente de L es mL = −4. La ecuaci´on general de

la recta que pasa por el punto (x0 , y0 , z0 ) y tiene pendiente mL es z − z0 = mL (y − y0 ),

x = 1.

Al sustituir y simplificar se obtiene L : z = −4y + 12 ,

x = 1.

En param´etricas, L : x = 1, y = t, z = 12 − 4t; t ∈ R z L

(0, 0, 9)

x=1

(1, 2, 4)

x

y

Figura 4.10. Gr´ afica ejemplo 4.3.3 Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 4.3. Derivadas parciales 79

Derivadas de orden superior Sea f : D 7→ R; D ⊆ Rn . Las segundas derivadas parciales de f son (fxi )xj para i, j = 1, 2, . . . , n.

Notaci´ on. Las segundas derivadas parciales de f se denotan de las siguiente manera: (fxi )xj ,

fxi xj ,

(fxi )xi ,

fxi xi ,

  ∂ ∂f , ∂xj ∂xi   ∂f ∂ , ∂xi ∂xi

∂2f 2 , Dji f, para i 6= j . ∂xj ∂xi ∂2f , Di2 f, para i = 1, 2, . . . , n. ∂x2i

Ejemplo 4.3.4. Calcule las segundas derivadas parciales de la funci´on z = cos(x − y) + ex

2 +y 2

.

Soluci´ on.  
∂2z ∂ ∂ x2 +y 2 = cos(x − y) + e ∂x2 ∂x ∂x i ∂ h 2 2 = − sen(x − y) + 2xex +y ∂x 2 2 2 2 = − cos(x − y) + 4x2 ex +y + 2ex +y  
∂ ∂ ∂2z x2 +y 2 = cos(x − y) + e ∂y 2 ∂y ∂y i ∂ h 2 2 = sen(x − y) + 2yex +y ∂y = − cos(x − y) + 4y 2ex

2 +y 2

+ 2ex

i ∂2z ∂ h 2 2 = sen(x − y) + 2yex +y ∂x∂y ∂x = cos(x − y) + 4xyex

2 +y 2

i ∂2z ∂ h 2 2 = − sen(x − y) + 2yex +y ∂y∂x ∂y = cos(x − y) + 4xyex

Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

2 +y 2

2 +y 2

80

Cap´ıtulo 4. Derivaci´ on parcial

 2   x y , Ejemplo 4.3.5. Sea f (x, y) = x4 + y 2  0,

si (x, y) 6= (0, 0) si (x, y) = (0, 0) .

Halle, si existen, fxy (0, 0) y fyx (0, 0) Soluci´ on. Para (x, y) 6= (0, 0)

2xy(x4 + y 2) − (4x3 )(x2 y) 2xy(x4 + y 2 − 2x4 ) 2xy(y 2 − x4 ) = = (x4 + y 2)2 (x4 + y 2 )2 (x4 + y 2)2 x2 (x4 + y 2 ) − (2y)(x2 y) x2 (x4 + y 2 − 2y 2 ) x2 (x4 − y 2 ) fy = = = (x4 + y 2)2 (x4 + y 2)2 (x4 + y 2 )2

fx =

Para (x, y) = (0, 0), f (h, 0) − f (0, 0) 0−0 = l´ım = l´ım 0 = 0 h→0 h→0 h→0 h h f (0, k) − f (0, 0) 0−0 = l´ım = l´ım 0 = 0 fy (0, 0) = l´ım k→0 k→0 k→0 h k

fx (0, 0) = l´ım

En resumen:

Ahora

 2 4   2xy(y − x ) , si (x, y) 6= (0, 0) (x4 + y 2)2 fx (x, y) =  0, si (x, y) = (0, 0)  2 4 2   x (x − y ) , si (x, y) 6= (0, 0) (x4 + y 2 )2 fy (x, y) =  0, si (x, y) = (0, 0)

fx (0, k) − fx (0, 0) 0−0 = l´ım = l´ım 0 = 0 k→0 k→0 k→0 k k fy (h, 0) − fy (0, 0) 1/h2 − 0 fyx (0, 0) = l´ım = l´ım = l´ım h13 no existe h→0 h→0 h→0 h h fxy (0, 0) = l´ım

Ahora cabe preguntarse ¿en qu´e condiciones fxy (x0 , y0 ) = fyx (x0 , y0 )? El siguiente teorema da respuesta a esta pregunta: Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 4.4. Plano tangente y diferenciales 81

Teorema 4.3.2 (Teorema de Clairaut). Sea f : D ⊆ Rn 7→ R y x0

un punto interior de D. Si las funciones fxi xj y fxj xi son continuas en D entonces fxi xj (x0 ) = fxj xi (x0 )

4.4.

Plano tangente y diferenciales

Definici´ on 4.4.1. Sean S una superficie con ecuaci´on z = f (x, y), donde f posee primeras derivadas parciales continuas, y P0 (x0 , y0 , z0 ) un punto de S. Sean C1 y C2 las curvas intersecci´on entre los planos y = y0 y x = x0 con S. Entonces P0 se encuentra en ambas curvas. Ahora sean T1 y T2 las tangentes a las curvas C1 y C2 en P0 respectivamente. El plano tangente a S en P0 se

define como el plano que contiene a ambas rectas T1 y T2 , como se ve en la

figura 4.12. Para hallar la ecuaci´on del plano tangente se debe determinar un vector normal a ´el. Una forma de hallar dicho vector es mediante el producto vectorial entre los vectores tangentes a las curvas C1 y C2 . Las figuras 4.11(a) y 4.11(b) muestran las dos curvas y sus vectores tangentes #– = ˆ ˆ u ı + fx (x0 , y0 )k z

#– ˆ. v = ˆ + fy (x0 , y0 )k z

#– u P0

y

#– v

fx (x0 , y0 )

P0

1

z = f (x, y0 )

fy (x0 , y0 ) 1

z = f (x0 , y)

ˆ k

ˆ k ˆ ı

x

(a) Curva z = f (x, y0 ), y = y0

ˆ

(b) Curva z = f (x0 , y), x = x0

Figura 4.11. Curvas C1 y C2 Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

y

82

Cap´ıtulo 4. Derivaci´ on parcial

As´ı, ˆ ˆ ı  ˆ k #– #– #– n = u × v = 1 0 fx (x0 , y0 ) = (−fx (x0 , y0 ), −fy (x0 , y0 ), 1) 0 1 fy (x0 , y0 )

es un vector normal a S que apunta hacia arriba. z #– = u #– × #– n v

P0 (x0 , y0 , z0 ) T2 #– v b

T1

Plano tangente

#– u

z = f (x, y)

x

Q0 (x0 , y0 , 0) b

y

Figura 4.12. Plano tangente

La ecuaci´on del plano tangente a la superficie z = f (x, y) en P0 (x0 , y0 , z0 ) es z − z0 = fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 )

(4.5)

Ejemplo 4.4.1. Halle la ecuaci´on del plano tangente a z = x2 y − 3xy + y 3 en (1, 1, −1).

Soluci´ on. Las derivadas parciales de f son fx = 2xy −3y, fy = x2 −3x+3y 2. As´ı, fx (1, 1) = −1, fy (1, 1) = 1. La ecuaci´on del plano es x − y − z = 1.

Definici´ on 4.4.2 (Gradiente de una funci´ on). Sea f : D ⊆ Rn 7→ R. El gradiente de f en P0 ∈ D, denotado por grad f o ∇f , es


grad f (P0 ) = fx1 (P0 ), fx2 (P0 ), . . . , fxn (P0 ) .

(4.6)

Ejemplo 4.4.2. Halle grad f si f (x, y, z) = x2 z − 3xy + y 3z Soluci´ on. grad f = (fx , fy , fz ) = (2xz − 3y, −3x + 3y 2z, x2 + y 3 ). Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 4.4. Plano tangente y diferenciales 83

Propiedades del gradiente Sean f y g campos escalares diferenciables y k una constante. Entonces 1. ∇(kf ) = k∇f

2. ∇(f  ±g) = ∇f ± ∇g f g∇f − f ∇g 4. ∇ = g g2

3. ∇(f g) = f ∇g + g∇f

Ahora, la ecuaci´on 4.5 del plano tangente a la superficie z = f (x, y) en P0 (x0 , y0 , z0 ) se puede escribir como z − z0 = ∇f (x0 , y0 ) • (x − x0 , y − y0 ) Definici´ on 4.4.3. Sean f

(4.7)

: D ⊆ Rn 7→ R y ∆x1 , ∆x2 , . . . , ∆xn

los incrementos de x1 , x2 , . . . , xn respectivamente. El incremento de w = f (x) es ∆w = ∆f (x) = f (x + ∆x) − f (x),

(4.8)

donde x = (x1 , x2 , . . . , xn ) y ∆x = (∆x1 , ∆x2 , . . . , ∆xn ). Ejemplo 4.4.3. Sea z = 3x2 y − 2xy 2 . Siendo ∆x y ∆y los incrementos de x y y, determine ∆z y u ´ selo para hallar el cambio de z cuando (x, y) var´ıa de (1, 2) a (1.01, 1.98). Soluci´ on. Siendo z = f (x, y) = 3x2 y − 2xy 2, ∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y) = 3(x + ∆x)2 (y + ∆y) − 2(x + ∆x)(y + ∆y)2 − 3x2 y + 2xy 2 = (6xy − 2y 2)∆x + (3x2 − 4xy)∆y + (3y∆x + 6x∆x + 3∆x∆y)∆x − (2x∆y + 4y∆x + 2∆x∆y)∆y Al reemplazar x = 1, y = 2, ∆x = 0.01 y ∆y = −0.02, se obtiene ∆z = 0.140186.

Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

84

Cap´ıtulo 4. Derivaci´ on parcial

Teorema 4.4.4. Sea w = f (x), donde f est´ a definida en una regi´ on “rectangular” R = {x ∈ Rn | |xi | < ai } para la cual las derivadas parciales fxi

existen y son continuas en el punto P0 = (x01 , x02 , . . . , x0n ) de R. Si x + ∆x est´a en R entonces ∆w = ∇f (x0 ) • ∆x + E(∆x) • ∆x,

(4.9)

donde E(∆x) = (ε1 , ε2 , . . . , εn ) → 0 cuando ∆x → 0. Definici´ on 4.4.5. Sean f : D ⊆ Rn 7→ R y ∆x1 , ∆x2 , . . . , ∆xn los incrementos de x1 , x2 , . . . , xn respectivamente

(i) Las diferenciales de las variables independientes x1 , x2 , . . . , xn son dx1 = ∆x1 , dx2 = ∆x2 , . . . , dxn = ∆xn (ii) La diferencial de la variable dependiente w = f (x) es dw = ∇f (x) • dx,

donde dx = (dx1 , dx2 , . . . , dxn ).

Nota. Por la ecuaci´on 4.9, ∆w ≈ dw

si

∆x ≈ 0 .

z Plano tangente P (x0 , y0 , z0 ) b

dz

∆

x

dx x=

z = f (x, y)

}

∆z

{z

b

f (x0 , y0 )

f (x0 + ∆x, y0 + ∆y)

b

∆y

b y (x0 + ∆x, y0 + ∆y, 0)

|

Q(x0 , y0 , 0)

=d y

Figura 4.13. Aproximaci´ on lineal Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 4.4. Plano tangente y diferenciales 85

Definici´ on 4.4.6 (Aproximaci´ on lineal). Sea w = f (x), donde f est´a definida en una regi´on R = {x ∈ Rn | |xi | < ai } para la cual las derivadas

parciales fxi existen y son continuas en P0 = (x01 , x02 , . . . , x0n ) de R. La expresi´on L(x) = f (P0 ) + ∇f (P0 ) • ∆x

(4.10)

se denomina aproximaci´ on lineal de f en P0 , donde ∆x = x − P0 . Ejemplo 4.4.4. Aproxime el valor de

√ 3

5.022 + 0.972 + 1.012

Soluci´ on. Se define la funci´on w = f (x, y, z) =

p 3

x2 + y 2 + z 2 . Entonces:

∆w ≈ dw = fx dx + fy dy + fz dz 2 = p (x dx + y dy + z dz) . 3 3 (x2 + y 2 + z 2 )2

Con (x0 , y0 , z0 ) = (5, 1, 1), (∆x, ∆y, ∆z) = (0.02, −0.03, 0, 01). As´ı, √ 3

5.022 + 0.972 + 1.012 = f (5.02, 0.97, 1.01) ≈ f (5, 1, 1) + dz

(5,1,1)

=3+

2 27


5 · (0.02) + 1 · (−0.03) + 1 · (0.01) = 3.006.

Ejemplo 4.4.5. Las dimensiones de una caja rectangular cerrada son 3, 4 y 5 metros con un error posible en la medida de

1 192

metros. Use diferenciales

para estimar el m´aximo error posible en el c´alculo de a) el ´area de la superficie de las caras

b) el volumen de la caja

Soluci´ on. a) El ´area total de las caras es A = A(x, y, z) = 2(xy + xz + yz), siendo x, y, z las longitudes de los lados. Entonces ∆A ≈ dA = 2(y + z) dx + 2(x + z) dy + 2(x + y) dz Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

86

Cap´ıtulo 4. Derivaci´ on parcial

Al sustituir x0 = 3, y0 = 4, z0 = 5 metros y ∆x = ∆y = ∆z =

1 192

metros,

se obtiene ∆A ≈ dA = 2(9 + 8 + 7) ·

1 1 metros2 = metros2 = 0.125 metros2 192 8

El error relativo porcentual m´aximo (ERP) estimado es ERP =

0.125 dA · 100 % = · 100 % ≈ 0.13 % A 94

b) El volumen de la caja es V = V (x, y, z) = xyz. Entonces ∆V ≈ dV = yz dx + xz dy + xy dz Al sustituir x0 = 3, y0 = 4, z0 = 5 metros y ∆x = ∆y = ∆z =

1 192

metros,

se obtiene ∆V ≈ dV = (20 + 15 + 12) ·

1 47 metros3 = pies3 = 0.2448 metros3 192 192

El error relativo porcentual m´aximo (ERP) estimado es ERP =

dV 0.2448 · 100 % = · 100 % ≈ 0.41 % V 60

Ejemplo 4.4.6. La f´ormula para el volumen de una lata cil´ındrica de radio r y altura h es V (r, h) = πr 2 h. Si las dimensiones se cambian en peque˜ nas cantidades ∆r y ∆h entonces el cambio ∆V resultante en el volumen se puede aproximar por la diferencial dV . Esto es, ∆V ≈ dV =

∂V ∂V ∆r + ∆h = 2πrh∆r + πr 2 ∆rh . ∂r ∂h

Para el caso en que r = 1 y h = 5 se tiene que dV = π(10∆r + ∆h) . Esto indica que para tales valores particulares de r y h, el volumen es aproximadamente 10 veces m´as sensible a cambios en el radio que a cambios en Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 4.4. Plano tangente y diferenciales 87

la altura. Esto es, si el radio se cambia en una cantidad ǫ entonces la altura debe ser cambiada aproximadamente en 10ǫ para mantener el volumen constante (es decir, para hacer ∆V = 0). Este an´alisis de la sensibilidad muestra que una peque˜ na disminuci´on en el radio necesita un aumento apreciable en la altura para que el volumen permanezca constante. Definici´ on 4.4.7 (Funci´ on diferenciable). Sea f : D ⊆ Rn 7→ R. Se

dice que f es diferenciable en P0 ∈ D si existe una funci´on E(∆x) = (ε1 (∆x), ε2 (∆x), . . . εn (∆x)) tal que

∆f (P0 ) = ∇f (P0 ) • ∆x + E(∆x) • ∆x

(4.11)

en donde E(∆x) = (ε1 (∆x), . . . , εn (∆x)) → 0 cuando ∆x → 0. Teorema 4.4.8. Sea f : D ⊆ Rn 7→ R y P0 ∈ D. Si f es diferenciable en P0 , entonces f es continua en P0 .

Nota. La sola existencia de las derivadas parciales de f en P0 no garantiza la diferenciabilidad de f en P0 . El ejemplo 4.3.2, p´ agina 76 muestra una funci´ on de dos variables que posee primeras derivadas parciales en P0 = (0, 0) pero que no es continua y por tanto no diferenciable en (0, 0). Teorema 4.4.9. Sea f : D ⊆ Rn 7→ R y P0 ∈ D. Si las derivadas parciales de f son continuas en P0 , entonces f es diferenciable en P0 .

Ejemplo 4.4.7. Analice la diferenciabilidad en P0 (0, 0) de la funci´on  3 3   x y − xy , si (x, y) 6= (0, 0) x2 + y 2 f (x, y) =  0, si (x, y) = (0, 0) Soluci´ on. Las derivadas parciales de f son  4 2 3 5   x y + 4x y − y , (x2 + y 2 )2 fx (x, y) =  0,

Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

si (x, y) 6= (0, 0) si (x, y) = (0, 0)

88

Cap´ıtulo 4. Derivaci´ on parcial

 5 3 2 4   x − 4x y − xy , (x2 + y 2)2 fy (x, y) =  0,

si (x, y) 6= (0, 0) si (x, y) = (0, 0)

Para analizar continuidad en (0, 0), basta ver que l´ım

(x,y)→(0,0)

fx (x, y) = 0 y

l´ım

(x,y)→(0,0)

fy (x, y) = 0

En efecto, usando coordenadas polares, se tiene l´ım

(x,y)→(0,0)

x4 y + 4x2 y 3 − y 5 (x,y)→(0,0) (x2 + y 2)2 r 5 cos4 θ sen θ + 4r 5 cos2 θ sen3 θ − r 5 sen5 θ = l´ım r→0 r4 4 2 3 5 = l´ım r(cos | θ sen θ + 4 cos {z θ sen θ − sen θ}) = 0

fx (x, y) =

l´ım

r→0

este t´ ermino es acotado

An´alogamente se prueba el otro l´ımite. Luego las derivadas parciales de f son continuas en (0, 0) y por lo tanto f es diferenciable en (0, 0).

4.5.

Regla de la cadena

Teorema 4.5.1 (Regla de la cadena: caso 1). Suponga que la funci´on w = f (x1 , x2 , . . . , xn ) es diferenciable, en donde x1 = g1 (t), x2 = g2 (t), . . . , xn = gn (t) son funciones diferenciables de t, entonces dw ∂f dx1 ∂f dx2 ∂f dxn dx = + +···+ = ∇f • . dt ∂x1 dt ∂x2 dt ∂xn dt dt Teorema w

=

4.5.2

(Regla

f (x1 , x2 , . . . , xn )

de es

la

cadena:

caso

2). Suponga que

una

funci´ on

diferenciable,

en

donde

x1 = g1 (t1 , . . . , tm ), x2 = g2 (t1 , . . . , tm ), . . ., xn = gn (t1 , . . . , tm ) son funciones diferenciables, entonces ∂w ∂f ∂x1 ∂f ∂x2 ∂f ∂xn ∂x = + +···+ = ∇f • ; i = 1, 2, . . . , m. ∂ti ∂x1 ∂ti ∂x2 ∂ti ∂xn ∂ti ∂ti Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 4.5. Regla de la cadena ∂f ∂x1

x1 dx1 dt

t

w ···

xn

···

t

(a) Caso 1

w

∂f ∂x1

∂f ∂xn

dxn dt

∂x1 ∂t1

t1

x1

···

∂x1 ∂tm

···

···

tm

(b) Caso 2

89

∂f ∂xn

∂xn ∂t1

t1

xn

···

∂xn ∂tm

tm

Figura 4.14. Regla de la cadena

Ejemplo 4.5.1. Use la regla de la cadena para calcular las derivadas a) z = ln (x + y 2 ); x =

√

1 + t, y = 1 +

√

b) z = x tan−1 (xy); x = s2 + t2 , y = set :

t:

dz dt

∂z ∂z y ∂s ∂t

c) w = xy + xz + yz, x = rst, y = rest , z = t2 :

∂w ∂w ∂w , y ∂r ∂s ∂t

Soluci´ on. Mediante la regla de la cadena se tiene: a)

∂z dx ∂z dy dz = + dt ∂x dt ∂y dt 2y 1 1 1 √ √ = + 2 2 (x + y ) (2 1 + t) (x + y ) (2 t)

√ 1 1+ t √ √ = √ √ +√ √ 2( 1 + t + 1 + 2 t + t)( 1 + t) t( 1 + t + 1 + 2 t + t)

b)

∂z ∂z ∂x ∂z ∂y = + ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s   xy x2 −1 = tan (xy) + 2s + et 1 + x2 y 2 1 + x2 y 2   s2 + t2 (s2 + t2 )2 et −1 2 2 t = tan ((s + t )se ) + 2s + 1 + (s2 + t2 )2 s2 e2t 1 + (s2 + t2 )2 s2 e2t ∂z ∂z ∂x ∂z ∂y = + ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t

Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

90

Cap´ıtulo 4. Derivaci´ on parcial

 = tan−1 (xy) +



x2 set 1 + x2 y 2   s2 + t2 (s2 + t2 )2 set −1 2 2 t = tan ((s + t )se ) + 2t + 1 + (s2 + t2 )2 s2 e2t 1 + (s2 + t2 )2 s2 e2t c)

xy 1 + x2 y 2

2t +

∂w ∂x ∂w ∂y ∂w ∂z ∂w = + + ∂r ∂x ∂r ∂y ∂r ∂z ∂r = (y + z)st + (x + z)est + (x + y)0 = (rest + t2 )st + (rst + t2 )est ∂w ∂w ∂x ∂w ∂y ∂w ∂z = + + ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s ∂z ∂s = (y + z)rt + (x + z)rtest + (x + y)2t = (rest + t2 )rt + (rst + t2 )rtest + (rst +r est )2t ∂w ∂w ∂x ∂w ∂y ∂w ∂z = + + ∂t ∂x ∂s ∂y ∂s ∂t ∂t = (y + z)rs + (x + z)rsest + (x + y)0 = (rest + t2 )rs + (rst + t2 )rsest

Ejemplo

4.5.2. Un autom´ovil A N

viaja hacia el norte a 90 km/h. Un autom´ovil B viaja hacia el oestea 80 se acerca hacia la intersecci´on de estos

dx dt

x

km/h. Cada uno de estos autom´oviles y

dos caminos ¿A qu´e velocidad cambia

dy dt

la distancia entre los veh´ıculos cuando

A

B

E

z

A est´a a 0.3 km de la intersecci´on y B est´a a 0.4 km de la misma?

Figura 4.15. Gr´ afica Ejm. 4.5.2

Soluci´ on. Si z la distancia entre los autos en el instante t, entonces z 2 = x2 + y 2 . Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 4.5. Regla de la cadena

91

Derivando impl´ıcitamente y usando la regla de la cadena se tiene 2z

dx dy dz = 2x + 2y dt dt dt dz x dx y dy = + . dt z dt z dt

Como x = 0.4 km, y = −0.3 km,

dx dt

= −80 km/h y

dy dt

= 90 km/h,

dz 0.4 −0.3 · (−80)km/h + √ · (90)km/h = −29.5 km/h =√ dt 0.42 + 0.32 0.42 + 0.32 El signo menos indica que la distancia est´a disminuyendo. Ejemplo 4.5.3. Si z = f (x, y) y x = eu cos v, y = eu sen v, muestre que "   2  2  2 # 2 ∂z ∂z ∂z ∂z + = e−2u + ∂x ∂y ∂u ∂v Soluci´ on. Mediante la regla de la cadena se tiene ∂z ∂z ∂x ∂z ∂y ∂z u ∂z u = + = e cos v + e sen v ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂x ∂y ∂z ∂z ∂x ∂z ∂y ∂z ∂z u zv = = + = − eu sen v + e cos v ∂v ∂x ∂v ∂y ∂v ∂x ∂y

zu =

Ahora zu2 zv2

= =





∂z ∂x ∂z ∂x

2 2

∂z ∂z 2u e cos v + 2 e cos v sen v + ∂x ∂y 2u

2

∂z ∂z 2u e sen v − 2 e cos v sen v + ∂x ∂y 2u

2





∂z ∂y ∂z ∂y

2

2

e2u sen2 v e2u cos2 v

Entonces 2  2    ∂z  2 ∂z 2 2u 2 2 (zu ) + (zv ) = e cos v + sen v + e sen v + cos v | {z } | {z } ∂x ∂y 1 1 "   2 # 2 ∂z ∂z = e2u + ∂u ∂v 2

2

2u



Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

92

Cap´ıtulo 4. Derivaci´ on parcial

Por lo tanto 

∂z ∂x

2

+



∂z ∂y

2

= e−2u

"

∂z ∂u

2

+



∂z ∂v

2 #

Teorema 4.5.3 (Derivaci´ on impl´ıcita). 1. Si la funci´on F (x, y) tiene primeras derivadas parciales continuas y la ecuaci´on F (x, y) = 0 define de manera impl´ıcita una funci´ on y = f (x) diferenciable y Fy 6= 0, entonces Fx dy =− dx Fy

(4.12)

2. Si la funci´on F (x1 , x2 , . . . , xn , w) tiene primeras derivadas parciales continuas y la ecuaci´ on F (x1 , x2 , . . . , xn , w) = 0 define de manera impl´ıcita una funci´on w = f (x1 , x2 , . . . , xn ) con primeras derivadas parciales continuas y Fw 6= 0, entonces ∂w Fx = − i , para i = 1, 2, . . . , n ∂xi Fw

(4.13)

Ejemplo 4.5.4. Halle ∂z/∂y y ∂z/∂y si xy 2 z 3 + x3 y 2z = x + y + z define impl´ıcitamente a z como funci´on de (x, y). Soluci´ on. Sea F (x, y, z) = xy 2 z 3 + x3 y 2 z − x − y − z. Mediante derivaci´on impl´ıcita,

∂z Fx y 2 z 3 + 3x2 z − 1 =− =− , ∂x Fz 3xy 2 z 2 + x3 y 2 − 1

4.6.

∂z Fy 2xyz 3 + 2x3 yz − 1 =− =− ∂y Fz 3xy 2 z 2 + x3 y 2 − 1

Gradientes y conjuntos de nivel

Sea f : D ⊆ R2 7→ R una funci´on diferenciable. Suponga que una curva de

nivel f (x, y) = c est´a descrita por una funci´on vectorial suave de ecuaci´on

Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 4.6. Gradientes y conjuntos de nivel

93

#– r (t) = f1 (t)ˆ ı + f2 (t)ˆ . Se puede demostrar f´acilmente que ∇f es normal a la

curva. En efecto, por la regla de la cadena

f ( #– r (t)) = c ⇒Dt [f ( #– r (t))] = 0 ∇f [f ( #– r (t))] • #– r ′ (t) = 0

(4.14)

La ecuaci´on (4.14) establece que ∇f es normal al vector tangente #– r ′ (t) y

por consiguiente a la curva. Esto implica que en cada punto (x0 , y0 ) en el

dominio de una funci´on diferenciable f (x, y), el gradiente de f es normal a la curva de nivel que pasa por (x0 , y0 ). Esto permite, entre otras cosas, encontrar ecuaciones para rectas tangentes a las curvas de nivel, pues ellas son normales a los gradientes. 1. Sea z = f (x, y) una funci´on diferenciable en un conjunto D y P0 (x0 , y0 ) ∈ D a) La ecuaci´on de la recta tangente a f (x, y) = c en P0 es fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 ) = 0

(4.15)

b) La ecuaci´on de la recta normal a f (x, y) = c en P0 es fy (x0 , y0 )(x − x0 ) − fx (x0 , y0 )(y − y0 ) = 0

(4.16)

2. Sea w = f (x, y, z) una funci´on diferenciable en D y P0 (x0 , y0 , z0 ) ∈ D. a) La ecuaci´on del plano tangente a f (x, y, z) = c en P0 es ∇f (P0 ) • x = ∇f (P0 ) • P0

(4.17)

b) La ecuaci´on vectorial de la recta normal a f (x, y, z) = c en P0 es L(t) = P0 + t∇f (P0 ), t ∈ R

(4.18)

Ejemplo 4.6.1. Halle ecuaciones para la recta tangente y normal a la curva de ecuaci´on x2 y − 2xy + y 3 = 4 en el punto (3, 1) Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

94

Cap´ıtulo 4. Derivaci´ on parcial

Soluci´ on. Sea F (x, y, z) = x2 y − 2xy + y 3 − 4. Entonces ∇F = (2xy − 2y, x2 − 2x + 3y 2 ) y ∇F (3, 1) = (4, −3) Las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal son Recta tangente: Recta normal:

4(x − 3) − 3(y − 1) = 0 ´o 4x − 3y = 9 − 3(x − 3) − 4(y − 1) = 0, ´o 3x + 4y = −13

Ejemplo 4.6.2. Determine la ecuaci´on del plano tangente a la superficie cos πx − x2 y + exz + yz = 4 en el punto (0, 1, 2) Soluci´ on. Sea F (x, y, z) = cos πx − x2 y + exz + yz − 4. Entonces ∇F = (−π sen πx − 2xy + zexz , −x2 + z, xexz + y) y ∇F (0, 1, 2) = (2, 2, 1) La ecuaciones del plano tangente y de la recta normal son Plano tangente: 2(x − 0) + 2(y − 2) + (z − 1) = 0 ´o 2x + 2y + z = 5 Recta normal:

4.7.

x = 2t, y = 1 + 2t, z = 1 + t; t ∈ R

Derivadas direccionales

Suponga que se desea encontrar la raz´on de cambio de z = f (x, y) en el punto (x0 , y0 ) en la direcci´on del vector unitario u ˆ = (a, b). Haciendo z0 = f (x0 , y0 ), el punto P0 (x0 , y0 , z0 ) se encuentra en la superficie S. El plano vertical que pasa por P0 en la direcci´on de u ˆ interseca a S en una curva C. Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 4.7. Derivadas direccionales

95

z

P (x0 , y0 , z0 ) b

y

T b

sen θ

Q(x, y, z)

θ

(x , 0

cos θ

y0 , 0 )

h

sa

x x

b

u ˆ

y,

O

sb

C

y

(x ,

(x0 , y0 )

0)

u ˆ

(a)

(b)

Figura 4.16. Raz´ on de cambio de f en P0 en la direcci´ on de u

La pendiente de la recta tangente T a C en P0 es la raz´on de cambio de z en la direcci´on de u. ˆ Es decir, df f (x0 + sa, y0 + sb) − f (x0 , y0 ) = l´ım ds uˆ,P0 s→0 s

Definici´ on 4.7.1. Sea f : D ⊆ Rn 7→ R y P0 ∈ D. La derivada direccional de f en P0 en la direcci´on de un vector unitario u ˆ, es df f (P0 + sˆ u) − f (P0 ) = Duˆ f (P0 ) = l´ım , s→0 ds uˆ,P0 s

(4.19)

si el l´ımite existe.

Teorema 4.7.2. Si f es diferenciable en un conjunto abierto que contiene a x0 , entonces Duˆ f (P0 ) = ∇f (P0 ) • u ˆ

(4.20)

Ejemplo 4.7.1. Encuentre la derivada direccional de f (x, y) = yex +sen(xy) en el punto (0, 2) en la direcci´on del vector #– v = 4ˆ ı − 3ˆ  Soluci´ on. El gradiente de f es ∇f = (yex + y cos(xy), ex + x cos(xy)). Como k #– v k = 5, un vector unitario en la direcci´on de #– v es u ˆ = ( 45 , − 35 ). Luego, Duˆ f (0, 2) = ∇f (0, 2) • ( 45 , − 35 ) = (4, 1) • ( 45 , − 35 ) = Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

13 5

96

Cap´ıtulo 4. Derivaci´ on parcial

Propiedades de la derivada direccional Al escribir la derivada direccional en la forma Duˆ f (P0 ) = ∇f (P0 ) • u ˆ = k∇f (P0 )k kˆ uk cos θ = k∇f (P0 )k cos θ, se evidencian las siguientes propiedades 1. En cada punto P de su dominio, f crece m´as r´apidamente en la direcci´on de ∇f , pues cos θ = cos 0 = 1. 2. En cada punto P de su dominio, f decrece m´as r´apidamente en la direcci´on opuesta a ∇f , ya que cos θ = cos π = −1 3. Cualquier direcci´on u ˆ ortogonal a ∇f 6= 0 es una direcci´on de cambio nulo en f puesto que cos θ = cos π/2 = 0. 2

2

Ejemplo 4.7.2. Sea f (x, y) = 9 − x2 − y2 y P0 (2, 2). Determine la direcci´on

de cambio en la cual f .

a) Aumenta m´as r´apidamente en P0 b) Disminuye m´as r´apidamente en P0 c) No cambia en P0 Soluci´ on. Como ∇f = (−x, −y), ∇f (2, 2) = (−2, −2). a) La direcci´on de m´aximo ascenso en (2, 2) es u ˆ=

∇f (2,2) k∇f k

= (− √12 , − √12 )

(2,2) b) La direcci´on de m´aximo descenso en (2, 2) es u ˆ = − ∇f = ( √12 , √12 ) k∇f k

c) f no cambia en (2, 2) en las direcciones u ˆ1 = ( √12 , − √12 ) y u ˆ2 = (− √12 , √12 ). Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 4.8. Valores extremos y puntos de silla

4.8.

97

Valores extremos y puntos de silla

Definici´ on 4.8.1. Sea f : D ⊆ Rn 7→ R y P0 ∈ int D. Entonces 1. f (P0 ) es un valor m´ aximo local de f si f (P0 ) ≥ f (x) para todo x en una bola abierta con centro en P0

2. f (P0 ) es un valor m´ınimo local de f si f (P0 ) ≤ f (x) para todo x en una bola abierta con centro en P0

Teorema 4.8.2. Si f tiene un valor m´ aximo local o un valor m´ınimo local en un punto interior P0 de su dominio y si las primeras derivadas parciales existen, entonces ∇f (P0 ) = 0. Definici´ on 4.8.3 (Punto cr´ıtico). Un punto P0 en el interior del dominio de f tal que ∇f (P0 ) = 0 o no existe, se llama punto cr´ıtico de f . Definici´ on 4.8.4 (Punto de silla). Una funci´on diferenciable f tiene un punto de silla en un punto cr´ıtico P0 si en cada n−bola abierta centrada en P0 existen puntos x del dominio en donde f (x) < f (P0 ) y hay puntos x en el dominio en donde f (x) > f (P0 ). Para clasificar los puntos cr´ıticos de una funci´on f con derivadas parciales de segundo orden continuas (funci´on de clase C 2 ) se usa la f´ormula de Taylor de segundo orden para funciones de varias variables. En dicha f´ormula aparece la matriz que a continuaci´on se define: Definici´ on 4.8.5 (Matriz Hessiana). Sea f : D ⊆ Rn 7→ R una funci´on

con segundas derivadas parciales continuas en D. La matriz Hessiana de f es   fx1 x1 fx1 x2 . . . fx1 xn    fx2 x1 fx2 x2 . . . fx2 xn   (4.21) H(x) =  . .. ..  ..  . . . .   . fxn x1 fxn x2 . . . fxn xn

Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

98

Cap´ıtulo 4. Derivaci´ on parcial

A continuaci´on se enuncia un resultado que permite clasificar los puntos cr´ıticos de una funci´on escalar de n variables de clase C 2 . Teorema 4.8.6 (Criterio general 1). Si f : D 7→ R, D ⊆ Rn es una

funci´on que posee segundas derivadas parciales continuas en D y P0 es un punto cr´ıtico de f , entonces

(i) Si todos los valores propios de H(P0 ) son negativos, entonces f (P0 ) es un valor m´aximo local de f . (ii) Si todos los valores propios de H(P0 ) son positivos, entonces f (P0 ) es un valor m´ınimo local de f . (iii) Si H(P0 ) tiene valores propios positivos y negativos, entonces en P0 f tiene un punto de silla. (iv) Si λ = 0 es un valor propio de H(P0 ), entonces el criterio no decide. Otro teorema general que permite clasificar los puntos cr´ıticos de una funci´on escalar de n variables es el siguiente: Teorema 4.8.7 (Criterio general 2). Si f : D → R, D ⊆ Rn es una funci´on que posee segundas derivadas parciales continuas en D y P0 es un punto

cr´ıtico de f . De la matriz Hessiana evaluada en P0 calculamos la sucesi´on de sus menores principales d1 , d2 , . . . , dn dados por d1 = fx1 x1 d2 = det

fx1 x1 fx1 x2

!

fx2 x1 fx2 x2   fx1 x1 fx1 x2 fx1 x3   d3 = det fx2 x1 fx2 x2 fx2 x3  fx3 x1 fx3 x2 fx3 x3

.. .

Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 4.8. Valores extremos y puntos de silla



fx1 x1 fx1 x2

 fx2 x1 fx2 x2 dn = det  ..  .. .  .

fxn x1 fxn x2

Entonces

. . . fx1 xn

99



 . . . fx2 xn  ..  .. . . .  . . . fxn xn

(i) Si dk > 0 para k = 1, 2, . . . , n entonces f (P0 ) es un valor m´ınimo local de f . (ii) SI d2k−1 < 0 y d2k > 0 para k = 1, 3, . . . , n2 entonces f (P0 ) es un valor m´ınimo local de f . (iii) Si no se da ni el caso (i) ni el caso (ii) entonces f tiene un punto se silla en P0 . (iv) Si det(H(P0 )) = 0 nada se puede afirmar sobre la naturaleza del punto cr´ıtico (el criterio no decide y se debe usar otro m´etodo para clasificar el punto criterio). Ejemplo 4.8.1. Halle y clasifique los puntos cr´ıticos de la funci´on f (x, y, z) = x2 y + y 3 + x2 + y 2 + 3z 2 . Soluci´ on. ∇f (x, y, z) = (2xy + 2x, x2 + 3y 2 + 2y, 6z) = (0, 0, 0) en los puntos (0, 0, 0) y (0, − 32 , 0) (puntos cr´ıticos).

Clasificamos los puntos cr´ıticos:

  2y + 2 2x 0   H(x, y, z) =  2x 6y + 2 0 0 0 6   2 2x 0   H(0, 0, 0) = 0 2 0 0

Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

0

6

100

Cap´ıtulo 4. Derivaci´ on parcial

Como d1 = 2, d2 = 4 y d3 = 24 entonces f tiene un punto local en (0, 0, 0).  2 0 0 3   H(0, − 23 , 0) = 0 −2 0 0 0 6 Como d1 = (0, − 23 , 0).

2 , d2 3

= − 34 y d3 = −8 entonces f tiene un punto de silla en

Nota. En el ejemplo anterior la matriz Hessiana en cada punto cr´ıtico es diagonal y por lo tanto sus valores propios son los elementos de la diagonal principal y podemos aplicar directamente el Teorema 4.8.6: Como los valores propios de H(0, 0, 0) son λ1 = 2, λ2 = 2 y λ3 = 6 entonces la funci´on f tiene un m´ınimo local en el punto (0, 0, 0). Como los valores propios de H(0, − 23 , 0) son λ1 =

2 , λ2 3

= −2 y λ3 = 6

entonces la funci´on f tiene un punto de silla en el punto (0, − 23 , 0).

Para el caso de funciones de dos variables se tiene el siguiente criterio (caso particular del Teorema 4.8.7: Teorema 4.8.8. Sea f : D ⊆ R2 7→ R una funci´ on con segundas derivadas parciales continuas en D y (x0 , y0 ) un punto cr´ıtico de f . Entonces

(i) Si det H(x0 , y0 ) > 0 y fxx (x0 , y0 ) < 0 entonces f (x0 , y0 ) es un valor m´aximo local de f . (ii) Si det H(x0 , y0 ) > 0 y fxx (x0 , y0 ) > 0 entonces f (x0 , y0 ) es un valor m´ınimo local de f . (iii) Si det H(x0 , y0 ) < 0 entonces en (x0 , y0 ) f tiene un punto de silla. (iv) Si det H(x0 , y0 ) = 0 el criterio no decide. Ejemplo 4.8.2. Halle y clasifique los puntos cr´ıticos de f (x, y) = x2 − 2y 2 + y 4. Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 4.8. Valores extremos y puntos de silla

Soluci´ on. ∇f = (2x, −4y + 4y 3)   2x ∇f = 0 ⇒ −4y + 4y 3

=0

(1)

=0

(2)

101

De (1), x = 0. De (2), y = 0, y = 1 ´o y = −1. Los puntos cr´ıticos son (0, 0), (0, 1) y (0, −1). Ahora se determinar´a su naturaleza.

La matriz Hessiana es

fxx fxy

H(x, y) =

fyx fyy

!

=

2

0

0 −4 + 12y 2

!

Clasificando los puntos cr´ıticos: H(0, 0) =

2

0

0 −4

!

;

det H(0, 0) = −8 < 0

Por el teorema 4.8.8(iii), f tiene un punto de silla en (0, 0). ! 2 0 H(0, ±1) = ; det H(0, ±1) = 16 > 0 0 8 Como fxx (0, ±1) = 2 > 0, por el teorema 4.8.8(ii), f tiene un m´ınimo local en (0, ±1).

Ejemplo 4.8.3. Encuentre los vol´ umenes m´aximo y m´ınimo de una caja rectangular cerrada cuya ´area de la superficie es 1500 cm2 . Soluci´ on. La funci´on a maximizar es el volumen. Si x, y y z son las dimensiones de la caja, entonces V = xyz. La condici´on es el ´area total de la superficie de las caras. Puesto que la caja es cerrada, se tiene que A = 2xy + 2xz + 2yz = 1500. Es decir, el problema es

Maximizar V = xyz

(Ec. 1)

Sujeto a

(Ec. 2)

xy + xz + yz = 750

Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

102

Cap´ıtulo 4. Derivaci´ on parcial

De (Ec. 2), z=

750 − xy x+y

(Ec. 3)

Al sustituir (Ec. 3) en (Ec. 1) se tiene 750xy − x2 y 2 V = x+y

Las derivadas parciales de V son Vx =

y 2 (750 − x2 − 2xy) , (x + y)2 z

x2 (750 − 2xy − y 2 ) Vy = (x + y)2

x y

Puntos cr´ıticos:

Figura 4.17. Gr´ afica Ejm. 4.8.3

Vx = 0 ⇒ y 2(750 − x2 − 2xy) = 0

Vy = 0 ⇒ x2 (750 − 2xy − y 2) = 0

(Ec. 4) (Ec. 5)

De (Ec. 4), y = 0 o x2 + 2xy − 750 = 0. Sustituyendo y = 0 en (Ec. 5) se

tiene x = 0. Para x2 + 2xy − 750 = 0, en (Ec. 5), x2 + 2xy = y 2 + 2xy, de

donde x2 = y 2 . Como x > 0, entonces x = y. Luego 3x2 = 750, de donde √ √ x = y = 5 10. Al sustituir estos valores en (Ec. 3) se obtiene z = 5 10. Es √ decir, la caja debe ser c´ ubica. El volumen m´aximo es Vm´ax = 1250 10 cm3 . M´ aximos y m´ınimos absolutos en regiones cerradas y acotadas

Algunas veces es necesario hallar los valores extremos de una funci´on en el que su dominio se halla restringido a un conjunto particular S de Rn ; por ejemplo en R2 , un disco, una region triangular cerrada, etc. Definici´ on 4.8.9. Un conjunto S de Rn es acotado si existe una n−bola abierta B(0; r) que contiene a S. Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 4.8. Valores extremos y puntos de silla

103

Teorema 4.8.10. Si f es continua en un conjunto cerrado y acotado S ⊆ Rn , entonces f alcanza sus valores m´ aximo absoluto y m´ınimo absoluto en S.

Ejemplo 4.8.4. Halle los valores m´aximo absoluto y m´ınimo absoluto de f (x, y) = x3 − 3xy 2 + 6y 2 en el cuadril´atero (−1, −3), (−1, 3), (3, 3) y (3, 1). Soluci´ on. Primero se hallan los puntos cr´ıticos interiores. De ∇F = 0, 3x2 − 3y 2 = 0

(Ec. 1)

fy = 0 ⇒ −6xy + 12y = 0

(Ec. 2)

fx = 0 ⇒

y S4 b

(−1, 3)

(3, 3) b

S3

b

(2, 2)

De (Ec. 2), y = 0 o x = 2. Si y = 0

S1 b

en (Ec. 1), x = 0. Si x = 2 en (Ec. 1), b

x b

y = 2 o y = −2. Los puntos cr´ıticos son: (0, 0), (2, 2) y (2, −2). No se

considera (2, −2) pues es exterior al

pol´ıgono. Ahora se analiza la frontera.

(3, 1)

(0, 0) b

S2 b

(−1, −3) b

(2, −2)

Figura 4.18. Gr´ afica Ejm. 4.8.4

Sea S1 el conjunto {(x, y) : x = −1, −3 ≤ y ≤ 3}. al restringir la funci´on f

al conjunto S1 se obtiene la funci´on h1 (y) = f (−1, y) = 9y 2 − 1, −1 ≤ y ≤ 3.

El punto cr´ıtico interior de esta funci´on es y = 0 por ser una par´abola con coeficiente principal positivo. Al evaluar este punto y los extremos del intervalo se tiene h1 (−3) = 80 M´aximo absoluto de h1 h1 (0) = −1 M´ınimo absoluto de h1 h1 (3) = 80 M´aximo absoluto de h1 Sea S2 = {(x, y) : y = x − 2; −1 ≤ x ≤ 3}. La restricci´on de f a S2 es la

funci´on h2 (x) = f (x, x − 2) = −2x3 + 18x2 − 36x + 24; −1 ≤ x ≤ 3. Puntos √ cr´ıticos interiores: h′2 (x) = −6x2 + 36x − 36 = 0 implica x1 = 3 + 3 o √ x2 = 3 − 3 = 1.27. El punto x1 no est´a en el intervalo [−1, 3]. Al evaluar Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

104

Cap´ıtulo 4. Derivaci´ on parcial

x2 y los extremos del intervalo se tiene h2 (−1) = 80 M´aximo absoluto de h2 √ √ h2 (3 − 3) = 24 − 12 3 ≈ 3.22 M´ınimo absoluto de h2 h2 (3) = 24 Sean S3 = {(x, y) : x = 3, 1 ≤ y ≤ 3} y h3 (y) = f (3, y) = 27 − 3y 2 , 1 ≤ y ≤ 3 la funci´on restricci´on de f . y = 0 es un punto cr´ıtico de esta funci´on por ser

una par´abola con coeficiente principal negativo, pero este punto no est´a en [1, 3]. Al evaluar los extremos del intervalo se tiene h3 (1) = 24 M´aximo absoluto de h3 h1 (3) = 0 M´ınimo absoluto de h3 Sean S4 = {(x, y) : y = 3, −1 ≤ x ≤ 3} y h4 (x) = f (x, 3) = x3 − 27x + 54, −1 ≤ x ≤ 3 la restricci´on de f a S4 . Puntos cr´ıticos: h′4 (x) = 3x2 − 27 = 0

implica x−1 = −3 o x2 = 3. Ninguno de estos puntos son interiores del

intervalo [−1, 3] luego s´olo se eval´ uan los extremos del intervalo: h4 (−1) = 80 M´aximo absoluto de h4 h4 (3) = 0 M´ınimo absoluto de h4

Al evaluar los puntos cr´ıticos interiores se tiene: f (0, 0) = 0, f (2, 2) = 8. Por lo tanto, el valor m´ınimo absoluto de f en el pol´ıgono es f (−2, 0) = −1 y el valor m´aximo absoluto es f (−1, −3) = 80.

4.9.

Multiplicadores de Lagrange

Para determinar los valores extremos de una funci´on f (x1 , x2 , . . . , xn ) con las condiciones g1 (x1 , x2 , . . . , xn ) = 0,

g2 (x1 , x2 , . . . , xn ) = 0, . . . , gm (x1 , x2 , . . . , xn ) = 0 Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 4.9. Multiplicadores de Lagrange

105

con m < n, se define la funci´on F (x1 , x2 , . . . , xn , λ1 , λ2 , . . . , λm ) = f (x1 , x2 , . . . , xn ) −λ1 g1 −λ2 g2 −· · ·−λm gm y se hallan los puntos cr´ıticos de F . Los escalares λ1 , λ2 , . . . , λm reciben el nombre de multiplicadores de Lagrange. Interpretaci´ on geom´ etrica Suponga que se quiere hallar valores m´aximos o m´ınimos de una funci´on f (x, y, z) sobre una curva C intersecci´on de dos superficies g1 (x, y, z) = 0 y g (x, y, z) = 0, para lo cual, se define la funci´on h(t) = f ( #– r (t)). 2

Sea #– r (t) la ecuaci´on vectorial de C, entonces f ( #– r (t)) es el valor de f en C. g2 (x, y, z) = 0 ∇g2

∇f #– r′

Curva C

∇g1 g1 (x, y, z) = 0

Figura 4.19. Multiplicadores de Lagrange: dos restricciones

Se va a a demostrar que en los puntos cr´ıticos, ∇f est´a en el mismo plano determinado por ∇g1 y ∇g2 . Al aplicar la regla de la cadena se tiene

h′ (t) = ∇f ( #– r (t)) • #– r ′ (t) = 0 ⇒ ∇f ( #– r (t)) es ortogonal a #– r ′ (t). Como ∇g1 y ∇g2 son ortogonales a #– r ′ (t) entonces ∇f est´a en el mismo plano

generado por ∇g1 y ∇g2 . Luego, existen escalares λ1 y λ2 tales que ∇f = λ1 ∇g1 + λ2 ∇g2 . Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

106

Cap´ıtulo 4. Derivaci´ on parcial

Ejemplo 4.9.1. Hallar los puntos de la curva 2x2 −4xy−y 2 = 6 m´as cercanos al origen.

Soluci´ on. Sea d la distancia de un punto P de la curva al origen, entonces p d = x2 + y 2. Se debe hallar el valor m´ınimo de d, para lo cual se define la

funci´on f (x, y) = d2 = x2 +y 2 con la condici´on g(x, y) = 2x2 −4xy−y 2 −6 = 0. Para aplicar el m´etodo de los multiplicadores de Lagrange sea F (x, y, λ) = f (x, y) − λg(x, y) Para puntos cr´ıticos: Fx = 0 ⇒ 2x = λ(4x − 4y)

(Ec. 1)

Fy = 0 ⇒ 2y = −λ(4x + 2y)

(Ec. 2)

y

Fλ = 0 ⇒ 2x2 − 4xy − y 2 − 6 = 0 (Ec. 3) De (Ec. 1) y (Ec. 2) d

x −y = 2(x − y) 2x + y

(Ec. 4)

x P (x, y)

De (Ec. 3) y (Ec. 4) 2x2 − 4xy − y 2 = 6

(Ec. 5)

2x2 + 3xy − 2y 2 = 0

Figura 4.20. Gr´ afica Ejm. 4.9.1

(Ec. 6)

Restando miembro a miembro (Ec. 5) de (Ec. 6) se tiene 7xy − y 2 = −6 de donde x=

y2 − 6 7y

(Ec. 7)

Sustituyendo (Ec. 7) en (Ec. 6) y simplificando se tiene  2 2  2  2 y 7y−6 + 3 y 7y−6 y − 2y 2 = 0 Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 4.9. Multiplicadores de Lagrange

107

25y 4 + 50y 2 − 24 = 0

(5y 2 + 12)(5y 2 − 2) = 0

Como 5y 2 + 12 > 0 entonces 5y 2 − 2 = 0, de donde y = − Para y = −

√

10 5

se tiene que x =

√ 2 10 5

y para y =

√

√

10 5

´o y = √

√ 10 . 5

x = − 2 510 .

10 , 5

As´ı, los puntos donde la distancia es m´ınima son √ √ ! √ √ ! 2 10 10 2 10 10 − , y ,− . 5 5 5 5 La distancia m´ınima es dmin =

√

2.

Ejemplo 4.9.2. Hallar el volumen m´aximo posible de una caja rectangular con caras paralelas a los planos coordenados, que puede inscribirse en el elipsoide 16x2 + 4y 2 + 9z 2 = 144. Soluci´ on. La figura 4.21 muestra la gr´afica en el primer octante. La funci´on a maximizar es el volumen.

z

V = f (x, y, z) = 8xyz; x, y, z > 0. x2 y 2 z2 + + =1 9 36 16

Como uno de los v´ertices est´a en el elipsoide, la condici´on es z

16x2 + 4y 2 + 9z 2 = 144 Por el m´etodo de los multiplicado-

x

b

y

res de Lagrange debemos hallar los

x y

extremos de la funci´on Figura 4.21. Gr´ afica Ejm. 4.9.2 F (x, y, z, λ) = f (x, y, z) − λg(x, y, z) , donde g(x, y, z) = 16x2 + 4y 2 + 9z 2 − 144. Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

108

Cap´ıtulo 4. Derivaci´ on parcial

Para puntos cr´ıticos: Fx = fx − λgx ; Fx = 0 ⇒ 8yz = 32λx

(Ec. 1)

Fy = fy − λgy ; Fy = 0 ⇒ 8xz = 8λy

(Ec. 2)

Fz = fz − λgz ; Fy = 0 ⇒ 8xy = 18λz

(Ec. 3)

Fλ = −g; Fλ = 0 ⇒ 16x2 + 4y 2 + 9z 2 − 144 = 0

(Ec. 4)

Al despejar λ de (Ec. 1), (Ec. 2) y (Ec. 3) e igualar se obtiene xz 4xy yz = = 4x y 9z

(Ec. 5)

De (Ec. 5) y como las variables son positivas se obtienen las ecuaciones y 2 = 4x2 ,

9z 2 = 4y 2

(Ec. 6)

Sustituyendo las expresiones de (Ec. 5) en (Ec. 4) se tiene 4y 2 + 4y 2 + 4y 2 = 144 ⇒ 12y 2 = 144 ⇒ y 2 = 12 √ ⇒ y = 2 3 pues y > 0. Al reemplazar este valor en (Ec. 5) se obtiene x = √ volumen m´aximo es: Vm´ax = 64 3.

√

3yz=

4 3

√

3. Luego, el

Ejemplo 4.9.3. Sea C la parte de la curva intersecci´on del plano x + y = 4 y el paraboloide 2z = 16 − x2 − y 2 que est´a en el primer octante. Encuentre

los puntos de C m´as cercanos y m´as lejanos al origen. Determine la distancia m´axima y la distancia m´ınima de C al origen.

Soluci´ on. En este caso, el problema consiste en encontrar los valores m´aximo y m´ınimo de la funci´on Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 4.9. Multiplicadores de Lagrange

f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2

x+y =4

109

z

Sujeto a x + y = 4 2z = 16 − x2 − y 2 Se define la funci´on C

F (x, y, z, λ, µ) = f (x, y, z)−λg(x, y, z)−µh(x, y, z),

d

P (x, y, z)

donde y

g(x, y, z) = x + y − 4

h(x, y, z) = x2 + y 2 + 2z − 16

x

2z = 8 − x2 − y 2

Figura 4.22. Gr´ afica Ejm. 4.9.3

Para puntos cr´ıticos: ∇F = ∇f − λ∇g − µ∇h = 0, Fx = fx − λgx − µhx ; Fx = 0 ⇒ 2x = λ + 2µx

(Ec. 1)

Fy = fy − λgy − µhy ; Fy = 0 ⇒ 2y = λ + 2µy

(Ec. 2)

Fz = fz − λgz − µhz ; Fy = 0 ⇒ 2z = 2µ

(Ec. 3)

Fλ = −g; Fλ = 0 ⇒ x + y − 4 = 0

(Ec. 4)

Fµ = −h; Fµ = 0 ⇒ x2 + y 2 + 2z − 16 = 0

(Ec. 5)

Restando (Ec. 2) de (Ec. 1) se obtiene 2x − 2y = 2µx − 2µy, de donde x = y

o µ = 1. Al sustituir y = x en (Ec. 4) se tiene x = 2 = y, reemplazando estos valores en (Ec. 5) se halla z = 4. As´ı, un punto cr´ıtico es P1 (2, 2, 4). Ahora, sustituyendo µ = 1 en (Ec. 3) se obtiene z = 1. Al reemplazar este valor en (Ec. 5) se produce la ecuaci´on x2 + y 2 = 14

(Ec. 6) √ √ De (Ec. 4) y (Ec. 6) se obtienen los dos puntos P2 (2 + 3, 2 − 3, 1) y √ √ √ P3 (2 − 3, 2 + 3, 1). Punto m´as alejado P1 ; dm´ax = 2 6. Puntos m´as √ cercanos: P1 y P2 ; dm´ın = 15. Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

110

Cap´ıtulo 4. Derivaci´ on parcial

4.10.

Ejercicios del cap´ıtulo

1. Represente algunos conjuntos de nivel y dibuje la funci´on f . a) f (x, y) = x2 − 2y

d ) g(x, y, z) = y 2 + z 2

b) g(x, y, z) = x + 2y + 3z p c) f (x, y) = ln x2 + y 2

e) f (x, y) = x2 −2x−y 2 +4y−3 p f ) g(x, y, z) = z 2 − x2 − y 2

2. En cada caso, halle el l´ımite o muestre que no existe. a) b)

e)

l´ım

(x,y)→(0,0)

l´ım

(x,y)→(0,0)

l´ım

(x,y)→(0,0)

x−y p x2 + y 2 x4 + y 4 p (x2 + y 2 )3

c)

d)

l´ım

x2 + 2xy − 3y 2 x2 − y 2

l´ım

x3 − y 3 x3 + y

(x,y)→(1,1)

(x,y)→(0,0)

√ x2 y 2 3 . Caminos y = x y y = x4 − x3 . 3 3 x +y

3. Halle las derivadas de primer orden de cada una de las siguientes funciones. 2 −v 2

a) f (x, y) = x2 exy xy b) f (x, y) = 2 x + y2 c) f (x, y) = arctan (xy)

e) f (u, v) = (2u2 + 3v 2 )e−u

d ) f (x, y, z) = x2 y 2 z 2 ex+y+z ln z

g) z = arc sen (xy) + arctan (xy)

f ) f (r, s) =

r 2 − s2 r 2 + s2

4. Verifique que zxy = zyx en cada caso. a) z = x2 − 4xy − 2y 2

c) z = x2 cosh (1/y 2)

b) z = x2 e−y + y 2e−x

d ) z = (x3 + y 3 )10

2

2

Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 4.10. Ejercicios del cap´ıtulo

111

5. Determine si las siguientes funciones satisfacen o no la ecuaci´on de Laplace ∂2f ∂2f + =0 ∂x2 ∂y 2

´o

a) f (x, y) = ln (x2 + y 2) xy b) f (x, y) = 2 (x + y 2)2

∂2f ∂2f ∂2u + + = 0. ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 c) f (x, y) = arctan (x/y) d ) f (x, y, z) = (x2 + y 2 + z 2 )−1/2

6. Use diferenciales para estimar a) f (x, y, z) = xy sen(xz), en (3.99, 4.98, 4.03) p b) (3.02)2 + (1.97)2 + (5.99)2

7. Una franja de 3 pulg. de ancho se pinta como frontera de una regi´on rectangular cuyas dimensiones son 100 pies de ancho por 200 pies de largo. Utilice diferenciales para estimar el n´ umero de pies2 de la franja pintada. 8. La resistencia R producida por resistores de alambre R1 y R2 ohms en paralelo puede calcularse mediante la f´ormula 1 1 1 = + . R R1 R2

a) Muestre que dR =



R R1

2

dR1 +



R R2

2

dR2 .

b) Usted planea cambiar R1 de 20 ohms a 20.1 ohms y R2 de 25 ohms a 24.9 ohms. ¿En qu´e porcentaje cambiar´a R? 9. La f´ormula del lote de Wilson en econom´ıa dice que la cantidad Q m´as econ´omica de bienes para una tienda indicada est´a dada por Q = p 2KM/h, donde K es el costo por colocar la orden, M es el n´ umero de

art´ıculos vendidos por semana y h es el costo semanal de mantenimiento

de cada art´ıculo. ¿A qu´e variable K, M o h es m´as sensible Q cerca del punto (H0 , M0 , h0 ) = (2, 20, 0.05)? Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

112

Cap´ıtulo 4. Derivaci´ on parcial

10. La temperatura en un punto P (x, y, z) est´a dada por T (x, y, z) = 200e−(x

2 +3y 2 +9z 2 )

,

en donde T se mide en ◦ C y x, y, z en metros. a) Encuentre la raz´on de cambio de la temperatura T en el punto P (2, −1, 2) en la direcci´on hacia el punto Q(3, −3, 3). b) ¿En qu´e direcci´on aumenta m´as r´apidamente la temperatura en P? c) Encuentre la m´axima raz´on de aumento de T en P . 11. Determine la ecuaci´on cartesiana del plano tangente a la superficie en el punto dado. a) z = ex ln y en P (0, 1) b) x2 + y 2 − z 2 − 2xy + 4xz = 4 en P (1, 0, 1) c) xyz + x2 − 2y 2 + z 3 = 14 en P (5, −3, 2) d ) z = 2x2 + 3y 2 paralelo a 4x − 3y − z = 10 12. Sea f una funci´on de dos variables que tiene derivadas parciales continuas y consid´erese los puntos A(1, 3), B(3, 3), C(1, 7) y D(6, 15). La # – derivada direccional de f en A en la direcci´on del vector AB es 3 y la # – derivada direccional de f en A en la direcci´on de AC es 26. Encuentre # – la derivada direccional de f en A en la direcci´on de AD . 13. Si u = ea1 x1 +a2 x2 +···+an xn , donde a21 + a22 + · · · + a2n = 1, demuestre que ∂2u ∂2u ∂2u + + · · · + = u. ∂x21 ∂x22 ∂x2n 14. Calcule la derivada direccional de la funci´on en el punto y direcci´on dados Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 4.10. Ejercicios del cap´ıtulo

113

a) f (x, y) = ex sen y; P (1, π/4), #– v = h−1, 2i b) f (x, y, z) = xy 2 z 3 ; P (1, −2, 1), #– v = h1, −1, 1i

ˆ c) f (x, y, z) = x arctan (y/z) ; P (1, 2, −2), #– v =ˆ ı + ˆ − k. 15. Dos lados consecutivos de un tri´angulo aumentan a raz´on de 2 cm/s y 3 cm/s respectivamente y el ´angulo entre ellos disminuye a raz´on de π/6 rad/s. Determine la tasa de cambio del ´area del tri´angulo cuando los dos lados consecutivos miden 30 cm y 40 cm, y el ´angulo entre ellos es de π/3. 16. Muestre que la funci´on u(x, y) = xf (x + y) + yg(x + y) satisface la ecuaci´on uxx − 2uxy + uyy = 0, donde f y g son funciones de una

variable dos veces diferenciables.

17. Suponga que w = f (u, v) satisface la ecuaci´on de Laplace fuu +fvv = 0, y que u = (x2 − y 2)/2 y v = xy. Muestre que w satisface la ecuaci´on

de Laplace wxx + wyy = 0.

18. Sea w = f (x, y) una funci´on diferenciable. Si x = r cos θ, y = r sen θ. a) Muestre que ∂w = fx cos θ + fy sen θ ∂r

y

1 ∂w = −fx sen θ + fy cos θ. r ∂θ

b) Resuelva las ecuaciones en a) para expresar fx y fy en t´erminos de ∂w/∂r y ∂w/∂θ y muestre que 2

2

(fx ) + (fy ) =



∂w ∂r

2

1 + 2 r



∂w ∂θ

2

.

19. Encuentre los valores m´aximo, m´ınimo y los puntos de silla para las funciones dadas a) f (x, y) = 2x3 + xy 2 + 5x2 + y 2 Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

114

Cap´ıtulo 4. Derivaci´ on parcial

x2 y 2 − 8x + y xy c) f (x, y) = (2x − x2 )(2y − y 2 )

b) f (x, y) =

2

2

d ) f (x, y) = xye−(x +y ) Z y e) f (x, y) = (24 − 2t − t2 )4/3 dt; x ≤ y x

20. Encuentre los valores m´aximo absoluto y m´ınimo absoluto de la funci´on f (x, y) = x3 − 3x − y 3 + 12y, en el cuadril´atero de v´ertices A(−2, 3), B(2, 3), C(2, 2) y D(−2, −2).

21. Obtenga los puntos de la superficie x2 y 2 z = 1 que est´an m´as cercanos al origen. 22. Obtenga las dimensiones de una caja rectangular de m´aximo volumen tal que la suma de sus aristas sea igual a una constante L. 23. Una sonda espacial con la forma del elipsoide 4x2 +y 2 +4z 2 = 16 entra a la atm´osfera de la Tierra y su superficie empieza a calentarse. Despu´es de una hora, la temperatura en el punto (x, y, z) sobre la superficie de la sonda es T (x, y, z) = 8x2 + 4yz − 16z + 600. Encuentre los puntos m´as calientes y el punto m´as fr´ıo sobre la superficie de la sonda. 24. Encuentre los vol´ umenes m´aximo y m´ınimo de una caja rectangular cuya ´area es 1500 cm2 y cuya longitud total de las aristas sea de 200 cm. 25. Un cable de 120 cm de largo se corta en tres o menos piezas y cada pieza se dobla para formar un cuadrado. ¿C´omo debe hacerse esto para minimizar el ´area total de los cuadrados? ¿Para maximizarla? 26. Usted debe dividir un mont´on de masa con volumen V en tres o menos piezas para formar cubos. ¿C´omo debe hacerlo para minimizar el ´area total de la superficie de los cubos? ¿Para maximizarla?. Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Respuestas Cap´ıtulo 1: Vectores √ 1a. 4 2, −135o

√ 1b. 4 2, −45o

1c. 0 6= |a|, 0o ´o 180o

1d . 0 6= |b|, ±90o

2a. −33

2b. ( 207 , 23 , 46 ) 98 98 49

2c. 84o

4.

6.

√2 161

y

√4 161

√

39,

√

5. θ1 = 60o , θ2 = 30o

19

2 4 ´o − √161 y − √161

7.

√

17, λ = ±

√

3 3

8a. L1 : x = −2 + 3t, y = 3 − 8t, z = 4 − 2t; t ∈ R, (0, − 73 , 43 ), (− 78 , 0, − 13 ), (4, −13, 0). 4

8b. L2 : x = 3 + 370r, y = 4 + 117r, z = 5 + 87r; r ∈ R. 9. Perpendiculares: L1 , L3 y L2 , L3 . Paralelas: L1 , L2 . 10a. 9x+13y+7z = 7.

10b. x + y − z = 3.

√ 11. 2 5.

10c. 2x+ 6y + 5z = 10

12. 14x − 15y − 9z = −10.

13a. x = 1 + 2r, y = −5 − r, z = 4 + 6r; r ∈ R 13b. 11x − 26y − 8z = 109 115

116

Cap´ıtulo 4. Derivaci´ on parcial

Cap´ıtulo 2: Superficies cu´ adricas p √ 2 x2 + z 2 .

20. x = y 2 + z 2 .

21. z = 4 − (x2 + y 2).

23. x = ln(y 2 + z 2 ).

24. x2 + y 2 − z 2 = 1.

25. Elipses.

26. Elipses si |a| ≥ 1.

27. Hip´erbolas.

28. Par´abolas.

29. Logaritmos.

30. Hip´erbolas.

19. y =

22. y = e−(x

2 +x2 )

.

Cap´ıtulo 3: Funciones vectoriales 1a. y = 3x2 − 2, x ≥ 0

1b. x + y 2 = 1

1c. x2 − y 2 = 1

1d . 4x = y 2 + 4y + 8

2a. 90o

2b. 135o

2c. 90o

#– = 0 4a. #– v•a

4b. Igual que en 4a.

9. L(λ) =

ˆ N(µ) = π ˆ ˆ ˆ ı + (1 − λ)ˆ  + (1 + λ)k, ı + (1 − µ)ˆ  + (1 − µ)k 4

π 4

ˆ (t) = (cos t)ˆ 10a. Tˆ(t) = (− sen t)ˆ ı + (cos t)ˆ , N ı + (sen t)ˆ , 0 < t < π/2 √

5ˆ k, 3

10b. Tˆ(t) = (− 23 cos t)ˆ ı + ( 23 cos t)ˆ + 12a. s(t) = senh t 12d . s(t) =

√

15b. t = 14 ln 17. #– r (t) =



12b. s(t) = √

√

√t t2 + t − 12 ln √t+1− t+1− t

+

29 t

12c. s(t) =

√

3 t3

14b. t = 3

#– kBk #– kAk 3 2 t 2

√

ˆ (t) = −(cos t)ˆ N ı − (sen t)ˆ 

#– #– #– 16. F (t) = (tet + et )A + (1 − 2e)A √6 t 11



+1 ˆ ı−



1 2 t 2

+

√2 t 11



−2 +



1 2 t 2

+

√2 t 11

+3



Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 4.10. Ejercicios del cap´ıtulo

117

Cap´ıtulo 4: Derivaci´ on parcial 1a. Curvas de nivel: x2 − 2y = k, k ∈ R. Par´abolas. 1b. Superficies de nivel: x + 2y + 3z = k, k ∈ R. Planos. 1c. Curvas de nivel: ln

p

x2 + y 2 = k, k ∈ R. Circunferencias.

1d . Superficies de nivel: y 2 + z 2 = k 2 . Cilindros. 1e. Superficies de nivel: x2 − 2x − y 2 + 4y − 3 = k. Cilindros. p

1f . Superficies de nivel: 2a. No existe.

x2 − y 2 − z 2 = k, k ≥ 0. Conos.

2b. 0.

2c. 4.

3a. fx = (xy + 2)xexy , fy = x3 exy

2e. No existe 3b. fx =

2d . No existe.

y 3 −x2 y , (x2 +y 2 )2

fy =

x2 y−y 3 (x2 +y 2 )2

3c. fx =

y , 1+x2 y 2

fy =

x 1+x2 y 2

3d . fx = xy 2 z 2 (2 + x)ex+y+z , fy = x2 yz 2 (2 + y)ex+y+z , fz = x2 y 2 z[1 + (2 + z) ln z]ex+y+z 3e. fu = 2u(2 − 2u2 − 3v 2 )e−u 3f . fr =

4r 2 s , (r 2 +s2 )2

3g . zx = √

y 1−x2 y 2

2 −v 2

4c. zxy =

2 −v 2

2

fs = − (r24rs +s2 )2 +

y , 1+x2 y 2

zy = √

senh

x 1−x2 y 2

+

x 1+x2 y 2 2

2

4b. zxy = −4xy(e−x + e−y ) = zyx

4a. zxy = −4 = zyx − 4x y3

, fv = 2v(3 − 2u2 − 3v 3 )e−u

  1 y2

5a. fxx =

2(y 2 −x2 ) , (x2 +y 2 )2

5b. fxx =

−12xy(y 2 −x2 ) , (x2 +y 2 )4

= zyx

fyy =

2(x2 −y 2 ) . (x2 +y 2 )2

fyy =

4d . zxy = 810x2 y 2 (x3 + y 3)8 = zyx Satisface.

−12xy(x2 −y 2 ) . (x2 +y 2 )4

Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Satisface

118

Cap´ıtulo 4. Derivaci´ on parcial

5c. fxx =

2xy , (x2 +y 2 )2

5d . fxx = − fzz = −

fyy =

(x2 +y 2 +z 2 − 32 x)

3 (x2 +y 2 +z 2 ) 2 3 2 2 2 (x +y +z − 2 z) 3 (x2 +y 2 +z 2 ) 2

−2xy . (x2 +y 2 )2

Satisface

, fyy = −

(x2 +y 2 +z 2 − 32 y) 3

(x2 +y 2 +z 2 ) 2

,

. No satisface

6a. 18.79

6b. 6.99 El ´area de la franja pintada es aproximadamente

100 pies

7.

dA = 75 pies2

200 pies

8b.

dR R

× 100 % = 1.1 %

9. A h

10a. −8.98 × 10−16 o C/m 10c.

√

ˆ= 10b. u

11a. z = x − 1

337

11c. 4x + 22y − 3z = −52 12. Duˆ f A) =

327 , 13

donde u ˆ=

√ 1 (−2, 3, −18) 337

11b. 3x − y + z = 4

11d . 16x − 12y − 4z = 11 √1 (5, 12). 13

∂2f = a2i ea1 x1 +a2 x2 +···+an xn = a2i u ∂x2i √ √ e 14b. D f (P ) = 4 3 14a. Duˆ f (P ) = 10 14c. Duˆ f (P ) = u ˆ 5 13. Basta ver que

√ π 3 12

15. Dsiminuye a raz´on de 235 cm2 /s 16. uxx = 2f ′ + xf ′′ + yg ′′, uxy = f ′ + xf ′′ + g ′ + yg ′′, uyy = xf ′′ + 2g ′ + yg ′′. Al reemplazar se obtiene el resultado. 17. Sustituir wxx = wu + x2 wuu + xywuv + xywvu + y 2wvv , wyy = −wu + y 2 wuu − xywuv − xywvu + x2 wvv . Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Secci´ on 4.10. Ejercicios del cap´ıtulo

119

18a. Derivar aplicando la regla de la cadena. 18b. Despeje y sustituya. 19a. M´ınimo local en (0, 0). M´aximo local en (− 53 , 0): Puntos de silla en (−1, ±2). 19b. M´ınimo local en ( 12 , 4). M´aximo local no tiene: Puntos de silla no tiene. 19c. M´ınimo local no tiene, m´aximo local en (1, 1), puntos de silla en (0, 0), (2, 0), (0, 2) y (2, 2). 19d . M´ınimo local en (− y en (−

√

√ 2 , − 22 ). 2

√

√ 2 2 , ) 2 2

y en (

√

√ 2 2 , − ). 2 2

M´aximo local en (

√

√ 2 2 , ) 2 2

Punto de silla en (0, 0).

19e. El criterio no decide. 20. M´ınimo absoluto −18 en (−2, −2), m´aximo absoluto 18 en (−1, 2) y (2, 2), punto de silla en (1, 2)

√ √ 21. Los puntos m´as cercanos al origen son (± 10 2, ± 10 2, 22. El volumen es m´aximo cuando x = y = z = 23. Punto m´as frio: (0, −2,

√

1 √ 5 ). 4

L . 12

√ 5). Puntos m´as calientes: (± 23 31, − 43 , − 43 ).

Abel E. Posso A., Alejandro Mart´ınez A., Jos´ e R.Gonz´ alez G.

Bibliograf´ıa [1] Apostol Tom. Calculus Vol. 2. Editorial Revert´e. [2] Colley Susan J. Vector Calculus. Prentice Hall. 1998 [3] Curtis Philip C. C´alculo de varias variables con ´ algebra lineal. Editorial Limusa. 1976 [4] Edwards C. H. C´alculo con Geometr´ıa anal´ıtica. Prentice Hall. Cuarta Edici´on. 1994. ´ [5] Grossman Stanley. Algebra lineal con aplicaciones. Cuarta edici´on (tercera edici´on en Espa˜ nol), McGraw Hill, 1994. [6] Matem´aticas avanzadas para estudiantes de ingenier´ıas. Kaplan Wilfred. Fondo Educativo Interm´ericano. 1985 [7] Leithold Louis. El C´alculo. S´eptima edici´on, Oxford Editores M´exico [8] Marsden Jerrod E., Tromba Anthony J. C´ alculo vectorial Fondo Educativo Interamericano. 1981 [9] Purcell Edwing, Varberg Dale, Rigdon Steven. C´ alculo. Novena edici´on. Pearson Educaci´on. 2007 [10] Pita Ruiz Claudio. C´alculo vectorial . Primera edici´on. Prentice Hall Hispanoamericana S. A. 1995 121

122

´Indice Alfab´ etico

[11] Stein Sherman K., Barcellos Anthony. C´ alculo y geometr´ıa anal´ıtica. Volumen 2. McGraw-Hill. Quinta edici´on. 1995 [12] Smith Robert, Minton Roland. C´ alculo. Primera edici´on. McGraw-Hill Interamericana S.A. 2000 [13] Stewart James. C´alculo. Grupo Editorial Iberoamerica S.A. 1994. [14] Swokowsky Earl C´alculo con Geometr´ıa anal´ıtica. Segunda Edici´on. Grupo Editorial Iberoam´erica. 1989 [15] Thomas George, Ross Finney. Calculus and Analytic Geometry. 9th Edition. Addison Wesley

´Indice alfab´ etico ´angulo

cosenos

entre vectores, 15

directores, 8 curva

´angulos

de contorno, 69

directores, 8

suave, 48

aproximaci´on lineal, 85

a trozos, 48 por segmentos, 48

c´ırculo

por tramos, 48

osculador, 55

curvas

campo

parametrizaci´on, 43

escalar, 65

curvatura, 54, 57

centro de curvatura, 56

derivada direccional, 94

componente

propiedades, 96

normal, 60

derivada parcial, 75

tangencial, 60

diferenciales, 81

componentes

direcci´on

de un vector, 17

de un vector, 6, 10

conjunto

distancia

de nivel, 68

entre dos puntos, 3

conjunto abierto, 65 cono, 39

ecuaci´on param´etrica

coordenadas

de un plano, 27

cartesianas, 1

ecuaci´on vectorial 123

´Indice Alfab´ etico

124 de un plano, 27 elipsoide, 36

f´ormulas de Frenet-Serret, 58

ley de los cosenos, 11 longitud de arco, 49 curvatura, 49

funci´on longitud de arco, 49 funci´on

m´aximo local, 97

continua, 74

m´ınimo local, 97

diferenciable, 87

matriz Hessiana, 97

escalar

movimiento

continuidad, 71 l´ımite, 71 vectorial, 43

en el espacio, 58 multiplicaci´on por un escalar, 11

continuidad, 46

multiplicaci´on por escalar, 10

derivada, 47

multiplicadores de lagrange, 104

integral, 47 l´ımite, 46 funci´on escalar, 66 dominio y rango, 66 gradiente propiedades, 83 gradiente de un campo escalar, 82 gradiente y conjunto de nivel, 92

norma de un vector, 5, 15 paraboloide el´ıptico, 36 paraboloide hiperb´olico, 39 plano en el espacio, 22 normal, 52 osculador, 52

hiperboloide de dos hojas, 38

rectificador, 52

hiperboloide de una hoja, 37

tangente, 81

identidad de Lagrange, 19 interior de un conjunto, 65 l´ımites iterados, 73

planos en el espacio, 25 producto vectorial, 18 interpretaci´on geom´etrica, 20

´Indice Alfab´ etico producto vectorial propiedades, 19 proyecci´on de un vector, 17 punto cr´ıtico, 97 frontera, 66 interior, 65 puntos de silla, 97 radio de curvatura, 56 recta en el espacio, 22 rectas

traza de una superficie, 31 valores extremos, 97 vector aceleraci´on, 58 anal´ıtico, 4 anclado, 5 binormal, 52 componentes de un, 17 direcci´on de un, 6, 10 geom´etrico, 4 igualdad, 5 norma de un, 15 normal unitario, 51 principal, 55

paralelas, 24

nulo, 6

perpendiculares, 24

posici´on, 58

regla de la cadena, 88

proyecci´on de un, 17

reparametrizaci´on de curvas, 50

tangente unitario, 51

resta

unitario, 6

de vectores, 12 suma de vectores, 10 superficie cil´ındrica, 32 superficies cu´adricas, 36 cuadr´aticas, 36 de revoluci´on, 34 superficies en el espacio, 31 torsi´on de una curva, 58

125

velocidad, 58 vectores ´angulo entre, 15 can´onicos, 17 multiplicaci´on por escalar, 10 ortogonales, 16 paralelos, 13 producto escalar, 14 resta de, 12 suma de, 10