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• Damián Munguía Murillo

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• Cálculo
• Función (Matemáticas)
• Vector Euclidiano
• Integral
• Sistema de coordenadas Cartesianas

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PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables

Cálculo de varias variables 4° cuatrimestre Clave:

50920414

Octubre de 2011

Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

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PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables

INDICE INFORMACIÓN GENERAL DE LA ASIGNATURA .... 3 FICHA DE IDENTIFICACIÓN ....................................................... 3 DESCRIPCIÓN ......................................................................... 3 PROPÓSITOS .......................................................................... 4 COMPETENCIA GENERAL......................................................... 4 TEMARIO ................................................................................ 4 METODOLOGÍA DE TRABAJO .................................................... 5 EVALUACIÓN........................................................................... 6 FUENTES DE CONSULTA BÁSICA ............................................... 7

UNIDAD 1. CONCEPTOS GENERALES .................... 8 UNIDAD 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES . 24 UNIDAD 3. ECUACIONES DIFERENCIALES .......... 69

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PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables

Información general de la asignatura

Ficha de identificación Área

Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología

Nombre del curso o asignatura

Cálculo de varias variables

Clave de asignatura

50920414

Seriación

Cálculo diferencial, cálculo integral, álgebra

Cuatrimestre

Cuarto

Horas contempladas

72

Descripción La asignatura de Cálculo de varias variables perteneciente al cuarto cuatrimestre de la carrera de Licenciatura en matemáticas, busca reforzar los conocimientos adquiridos en Cálculo diferencial e Integral, lo cual le permitirá al estudiante desarrollar las capacidades requeridas para resolver problemas enfocados a la localización de áreas, volúmenes y longitudes de superficies, emular situaciones reales mediante la construcción de modelos matemáticos y emplear las Tics´ para solucionar problemas de análisis y modelos matemáticas. En el campo laboral, esta asignatura le brindará las herramientas necesarias para el cálculo de superficies y volúmenes aplicado al ámbito de la ingeniería. Los contenidos se encuentran organizados de la siguiente manera:

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PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables

unidad 1

• Se mencionan los conceptos generales por medio de los cuales el estudiante resolverá problemas de Cálculo Diferencial e Integral.

unidad 2

• Se abordan las funciones como un producto de varias variables, tomando como base el producto escalar de un vector, así como la distancia Euclidiana, y como herramientas los límites y la continuidad.

unidad 3

• Se presenta un enfoque relativo a las ecuaciones diferenciales, el estudiante conocerá sus métodos de integración con una o varias variables separadas, así como su factores integrantes.

Propósitos Los propósitos de esta asignatura son   

Comprender la forma de derivación e integración a través de la revisión y discusión de la teoría, para extender el estudio del cálculo de una a más variables. Analizar espacios vectoriales y ecuaciones diferenciales a través de la resolución de ejercicios para calcular distancias, áreas y volúmenes. Utilizar el cálculo integral a través de la resolución de problemas para determinar valores de superficies y volúmenes de figuras tridimensionales.

Competencia General Emplear herramientas de Cálculo Diferencial e Integral, para emular situaciones reales mediante la construcción de modelos matemáticos de vectores de una o varias variables.

Temario 1. Conceptos generales 1.1. La recta real y el plano complejo 1.1.1. Sucesiones, continuidad de funciones de variable real 1.1.2. Derivadas de funciones de variable real

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1.2 Series 1.2.1 Series numéricas 1.2.2 Series de potencias 1.2.3 Formula de Taylor 1.2.4 Series de potencias de las funciones elementales 1.3 Integración área e integral 1.3.1 Calculo de primitivas 1.3.2 Aplicaciones áreas, longitudes de curvas, volumen y superficies 2

Funciones de varias variables 2.1 Plano y espacios Euclideos 2.1.1 Producto escalar 2.1.2 Distancia Euclidiana 2.1.3 Límites y continuidad 2.2 Campos escalares y vectoriales 2.2.1 Derivadas parciales y direccionales 2.2.2 Vector gradiente y matriz jacobiana 2.2.3 Derivadas de orden superior 2.2.4 Derivación implícita e inversa 2.3 Introducción al análisis vectorial 2.3.1 Curvas y superficies 2.3.2 Integral curvilínea y de superficies 2.3.3 Aplicaciones

3

Ecuaciones diferenciales 3.1 Métodos elementales de integración 3.1.1 Ecuaciones con variables separadas 3.1.2 Ecuaciones exactas 3.1.3 Factores integrantes

Metodología de trabajo En esta asignatura es fundamental la dedicación en la resolución de ejercicios y problemas matemáticos. Es posible que no logres los resultados al primer intento, sin embargo no desesperes, ya que esto es parte de tu formación. Cabe mencionar que es indispensable que tengas una filosofía emprendedora proactiva hacia el aprendizaje.

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PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables La metodología empleada en el curso es la de aprendizaje basado en ejercicios y problemas matemáticos. Por ello se te presentarán situaciones diversas con el propósito de que apliques en ellas diversas fórmulas y procedimientos, y pongas en práctica tus conocimientos previos, resolviendo tus dudas y aplicando un aprendizaje significativo. El proceso de aprendizaje se basa en el análisis y utilización de los conceptos aprendidos en Cálculo Diferencial y Cálculo Integral, por lo que será necesario que verifiques tus procedimientos. Por otro lado,es indispensable que trabajes de manera colaborativa con otros de tus compañeros a través de foros y wikis. A través de los foros se debatirán de forma conjunta los diferentes tópicos del curso. El wiki propuesto permitirá construir conocimientos a través de la investigación individual y la participación colectiva. El Facilitador(a) te guiará a lo largo del curso. Evaluará y retroalimentará cada una de tus tareas. La retroalimentación tiene la finalidad de que perfecciones tu escritura, método, simbología, orden y procedimiento, así como la coherencia con los contenidos estudiados.

Evaluación En el marco del Programa de la ESAD, la evaluación se conceptualiza como un proceso participativo, sistemático y ordenado que inicia desde el momento en que el estudiante ingresa al aula virtual. Por lo que se le considera desde un enfoque integral y continuo. Por lo anterior, para aprobar la asignatura, se espera la participación responsable y activa del estudiante así como una comunicación estrecha con su facilitador para que pueda evaluar objetivamente su desempeño. Para lo cual es necesaria la recolección de evidencias que permitan apreciar el proceso de aprendizaje de contenidos: declarativos, procedimentales y actitudinales. En este contexto la evaluación es parte del proceso de aprendizaje, en el que la retroalimentación permanente es fundamental para promover el aprendizaje significativo y reconocer el esfuerzo. Es requisito indispensable la entrega oportuna de cada una de las tareas, actividades y evidencias así como la participación en foros y demás actividades programadas en cada una de las unidades, y conforme a las indicaciones dadas. La calificación se asignará de acuerdo con la rúbrica establecida para cada actividad, por lo que es importante que el estudiante la revise antes realizarla.

A continuación presentamos el esquema general de evaluación. ESQUEMA DE EVALUACIÓN

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Evaluación continua

E-portafolio. 50%

Interacciones individuales y colaborativas

10%

Tareas

30%

Evidencias

40%

Autorreflexiones

10%

Examen

10%

CALIFICACIÓN FINAL

100%

Cabe señalar que para aprobar la asignatura, se debe de obtener la calificación mínima indicada por la ESAD.

Fuentes de consulta básica Spiegel, Murray R. (1991). Cálculo superior. Serie Schaum’s, México: McGraw Hill Ayres, F. (2008). Cálculo diferencial e integral. McGraw-Hill. Serie Schaum’s, México: McGraw-Hill Bruzual, Ramón, Domínguez Marisela (2005); Cálculo diferencial en varias variables; Universidad Central de Venezuela, Escuela de Matemática; vínculo en la Web: http://www.matematica.ciens.ucv.ve/labfg/an2/caldifvv.pdf

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UNIDAD 1. Conceptos Generales

Presentación de la unidad En esta unidad adquirirás los fundamentos para identificar y comprender las sucesiones como una herramienta para calcular grandes valores. Podrás analizar en qué consiste una Variable real como parte de una función y posteriormente, considerar funciones de más de una variable. A través de los ejercicios abordaremos las funciones elementales que permiten desarrollar una función de Variable real para representarla dentro de un plano y poder aproximar resultados de sucesiones mediante el uso de series numéricas. Por último, lograrás habilidades para obtener la derivada de una función de variable real mediante la utilización de fórmulas de derivación y aprenderás a utilizar la fórmula de Taylor para determinar series de potencias tomando como herramienta las sucesiones numéricas.

Propósito de la unidad Mediante el estudio de esta Unidad podrás:   

Manejar series numéricas Identificar la relación entre las funciones de Variable real y las series de Potencias Representar funciones mediante Series y Polinomios de Taylor

Competencia específica Utilizar la recta y el plano complejo para crear sucesiones mediante la derivada de funciones de variable real.

1.1.

La recta real y el plano complejo

En este tema estudiarás el concepto de sucesión y su relación con las funciones matemáticas, así como la forma de representar una función en términos de sucesiones y su comportamiento convergente o divergente. También se analizará el concepto de derivada de orden superior, donde se muestra cómo una función derivada puede tomarse para calcular su derivada.

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1.1.1. Sucesiones. Continuidad de funciones de variable real Una sucesión es una lista de números a1,a2, a3, …,an ,… donde cada letra un número.

representa

Cada número es un elemento de la sucesión. Por ejemplo: 3,6,9,12,…,3n Los términos pueden ser obtenidos por el término general del final de la expresión anterior, donde n a su vez es una sucesión de uno en uno 1,2,3…,n. Entonces, los términos a1, a2, a3, …,an se obtienen de 1(3), 23, 33,…,n3 También se puede ver una sucesión como una función, por ejemplo, en la expresión anterior, existe una relación de los valores 1 con 3, 2 con 6, y en general n(3) para cada valor de n. En otras palabras: an=3(n)

Una sucesión infinita de números es una función donde el dominio es el conjunto de los enteros positivos.

Las sucesiones pueden ser escritas por reglas, de la siguiente forma:

√

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Analizando la última expresión, cuando n tiene un valor de 1, la

=1, en general

para valores de n: 1,2,3,4,…,n los valores de la función sobre n son 1,3,6,10,…,

respectivamente.

En ocasiones las sucesiones se aproximan a un valor específico cuando el valor de n se incrementa, por ejemplo

. Aquí el valor al que se aproxima la función

cuando n se incrementa, es 0.

{ , , , ,…, } 3 4

𝑛

Se dice entonces que la sucesión converge a 0. Se utilizan llaves para referirnos a los términos de la sucesión.

{ , , , ,…, } 3 4

𝑛

En otras ocasiones, el valor al que se aproxima una sucesión se hace más grande conforme el valor de n crece, o bien, fluctúa entre dos números, como por ejemplo:

{1,

-1, 1, -1, 1,…,(-1)n+1}

En este caso, los valores son 1 y -1 siempre aunque el valor de n se incremente. A este comportamiento se le llama divergencia, es decir, los valores n se aproximan a un valor único. La sucesión {an} converge a un número L si a todo número positivo  le corresponde un entero N tal que, para toda n: n > N  | an – L| <  Si no existe tal número L entonces se dice que {an} diverge.

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PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables Si {an} converge a L, escribimos =L o simplemente {an}L, Donde L es el límite de la sucesión

1.1.2. Derivadas de funciones de variable real Si una función es diferenciable, entonces podemos considerar su derivada para x en el dominio M de f. Si las funciones son derivables, es posible obtener la primera, segunda, tercer, etc. derivadas. Esto se conoce como derivadas de orden superior. Si una función en diferenciable entonces podemos considerar su derivada como | para x en el dominio M de f. Si existe el

para algunos valores de x  M, entonces existe la

segunda derivada de la función f que se denota por segunda derivada de la función f.

o

, que es la

Ejemplo: Obtengamos la segunda derivada de la función que aparece a continuación:

3

Primera derivada:

Segunda derivada:

Ahora obtengamos la segunda derivada de la función siguiente:

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√

3

3

5 3

4

7 4 5 5

En general: 37

3

para

1.2 Series El uso de las series en muchos problemas matemáticos, permite hacer un tratamiento sencillo y simplificado de los problemas complejos. Una serie infinita es la suma de una secuencia infinita de números:

Una serie finita solamente tiene n términos:

Al hacer crecer el valor de n la suma tenderá a ser una suma infinita de términos llegando a ser una serie infinita la cual nos da un valor más exacto que una serie con menor cantidad de términos. Normalmente tenemos una expresión matemática que representa al n-ésimo elemento de una serie. Por ejemplo para saber cuál es el n-ésimo término de la serie:

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La expresión

nos da ese término.

La suma de los primeros k elementos se representa como:

∑ Entonces tenemos las siguientes sumas parciales:

3

1.2.1 Series Numéricas Tal y como vimos anteriormente, una serie numérica es aquella que sólo tiene valores numéricos como elementos de la sumatoria (suma de todos los elementos). Ahora, podemos preguntarnos ¿cómo saber cuál es el valor de la suma total o sumatoria de una serie? Algunas series pueden acercarse a un valor finito al ir aumentando la cantidad de términos de la suma. A esto se le llama convergencia de la serie o que la serie converge. Cuando el número de términos de la serie aumenta pero no se llega a ningún valor definido o la sumatoria se va haciendo más y más grande, entonces decimos que la serie no converge. Cuando una serie es convergente, es posible obtener mediante una fórmula el valor de la sumatoria. Así por ejemplo, supongamos que tenemos la serie:

Entonces, la suma parcial de los primeros k términos de la serie está dada por la expresión:

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Si observas de manera adecuada te darás cuenta que conforme aumenta el número de términos de la serie, el valor de la sumatoria tiende a 2, pues el segundo término tiende a 0. Entonces escribimos la serie anterior y su valor exacto, al considerar todos los términos posibles (cuando k tiende a infinito) como: ∑

Una serie en la cual los términos van alternando de signo (positivo y negativo), se llama serie alternante. Veamos los siguientes ejemplos de series alternantes:

Actividad 1. ¿Qué relación hay entre la sucesión y las series numéricas? A través de esta actividad podrás: Identificar las sucesiones, las series y su relación Expresar en una serie lo observado en un ejemplo concreto Discutir con argumentos los resultados obtenidos por su demás compañeros. Para ello: 1. Observa la animación de la pelota de basquetbol que se encuentra en la pestaña de la unidad 1 2. Identifica la sucesión con una serie, la cual, proporciona la distancia de todos los rebotes. 3. Redacta tus conclusiones en el Foro y expresa la distancia total de los rebotes como una serie. 4. Comenta la respuesta de tres de compañeros argumentando la postura de tu respuesta. Consulta la rúbrica general de la participación en foros, que se encuentra en la sección Material de apoyo.

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1.2.2 Series de potencias Cuando los términos de una serie numérica tienen exponentes que se van modificando, decimos que es una serie de potencias. Es un ejemplo de una serie de potencias. Observa la siguiente serie, que es un polinomio en la variable x. ∑

Actividad 2. Representación de Funciones de Variable real mediante el uso de series Al finalizar el ejercicio podrás:   

Identificar las series como una forma de representar las funciones Analizar el comportamiento de las series propuestas Expresar una función en términos de una serie

1. Resuelve el ejercicio que a continuación se te presenta.

2. Expresa como una serie cada una de las funciones de los incisos del ejercicio. a. b. c. 3. Indica y fundamenta si las series son convergentes o divergentes. 4. Envía el archivo a tu Facilitador(a) y espera su retroalimentación.

1.2.3. Fórmula de Taylor En este tema se representará una función, que sea derivable n-veces, mediante una serie de potencias, en donde suponemos que la función y todas sus derivadas existen en un intervalo determinado. El poder representar a una función en términos de una aproximación de tipo polinomial (serie de potencias) llega a ser una herramienta muy útil para resolver problemas de funciones. Sabemos que las series numéricas pueden converger hacia un valor si cumplen con determinadas condiciones. Una de ellas es que los valores de los términos se encuentren dentro de un rango o intervalo.

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PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables Si existen las derivadas de todos los órdenes de una función de variable real dentro de un intervalo, ¿se podrá expresar a dicha función como una serie de potencias dentro de ese intervalo? y entonces ¿cuáles serían los coeficientes de los términos de la serie? Supongamos que podemos representar a f(x) como una serie de potencias de la siguiente forma: ∑

Y supongamos también que la serie converge dentro de un intervalo y obtenemos las diferentes derivadas de todos los órdenes: 3

3

3

4

4

5

La n-ésima derivada tiene la siguiente expresión: !

una suma de términos con

como factor

Ya que todas estas expresiones se cumplen para cuando

, entonces tenemos que:

3

Y en general tenemos:

𝑓

𝑛

𝑥

𝑛! 𝑎𝑛

Si observa el desarrollo anterior podemos distinguir un patrón en los coeficientes de la serie original de . Si existe la convergencia de esta serie dentro del intervalo en donde está a, entonces cada uno de los coeficientes de la serie están dados por la siguiente expresión:

! Y entonces la función

quedaría expresada, por medio de su serie:

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!

!

Podemos ver entonces que si una función es derivable n veces dentro de un intervalo centrado en y que su serie de potencias es convergente para ese valor de a, entonces la función se puede representar por medio de la serie mostrada en la ecuación anterior. Esta serie es llamada Serie de Taylor de la función 𝑓 𝑥 en 𝑥

En el caso muy particular en el que

𝑎.

, tenemos que la Serie de Taylor toma la forma:

!

!

∑

!

A esta forma particular de la serie de Taylor se le llama Serie de Maclaurin.

1.2.4. Series de potencias de las funciones elementales Este subtema verás cómo aplicar las series de Taylor para representar en forma de un polinomio de Taylor (serie de potencias) algunas funciones que aparecen frecuentemente en los problemas matemáticos. Esto nos permite tener un manejo más eficaz de dichas funciones para su uso y análisis dentro de los problemas en donde aparecen dichas funciones. Consideremos en primer lugar la función exponencial y vamos a ver cuál es su representación polinomial o en una serie de potencias en el punto . Esta función tiene sus k derivadas, dadas por: , Tenemos que en , Por lo tanto, la Serie de Taylor generada en

está dada por:

!

! !

!

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PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables ∑

!

En particular esta representación es la Serie de Maclaurin para Ahora, para un número finito de términos N de la Serie de Taylor, tenemos que el Polinomio de Taylor para la función en es: !

!

En la gráfica siguiente notarás que se muestran varios Polinomios de Taylor para la función y la propia función. Nota como al ir aumentando el valor de N, las curvas se van pareciendo más a la función original.

Gráfica de la función

y sus Polinomios de Taylor

( ⁄ !) ( ⁄ !)

3

( ⁄ !)

Actividad 3. Derivadas de una función y su representación por medio de la Serie de Taylor Al finalizar este ejercicio podrás:   

Identificar las variables de una función Analizar y aplicar las fórmulas de las derivadas Expresar la función en Series y Polinomios de Taylor. Para ello:

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PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables 1. Resuelve los dos problemas que a continuación se plantean a. Considera la función cos(x) y desarrolla su representación en Series y Polinomio de Taylor alrededor del punto x=0. b. Obtén la representación en términos de los Polinomios de Taylor, para la función log(x) alrededor del punto x=1 usando la metodología vista en esta lección. 2. Envía el archivo a tu Facilitador(a) y espera su retroalimentación.

1.3. Integración área e integral Durante este tema verás la relación que existe entre una función y la derivada de otra, es decir del cálculo de primitivas. Cuando existe esta relación, las funciones que con primitivas de otra tienen algo en común, la diferencia es una constante. También se verá cómo realizar el cálculo de longitudes de curvas, volúmenes y superficies a través de ejercicios de integración.

1.3.1. Cálculo de primitivas Se dice que una función F(x) es una primitiva de otra función si para todo x de (a, b) se tiene que . Como ejemplo considera la función ya que .

sobre un intervalo (a,b)

es una primitiva de

en todo

A continuación se presenta un teorema que es consecuencia del teorema del valor medio de LaGrange.

Teorema: Sean F1(x) y F2(x) dos primitivas de la función f(x) en (a, b). Entonces, para todo x de (a, b), En otras palabras, dada una función , sus primitivas difieren en una constante. El conjunto de todas las primitivas de una función Integral Indefinida de y se denota por ∫ de forma tal que si es una primitiva de , Entonces ∫ Donde C es una constante.

definida en (a,b) se denomina

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Por ejemplo, si tomamos la función derivada de , es

y la representamos con

, la

Como vimos anteriormente, si dos funciones son primitivas de otra función, entonces deberá suceder que la diferencia entre ambas es una constante, es decir, si F y G son primitivas de f, entonces:

Así comprobamos que La derivada de la función f es

y

son primitivas de

.

.

Como la derivada de la primera función es y la derivada de la segunda es podemos ver que la diferencia entre estas dos derivadas es la constante 5. Por lo tanto, podemos concluir que las funciones F y G son primitivas de f.

1.3.2. Aplicaciones áreas, longitudes de curvas, volumen y superficies El cálculo diferencial e integral con una variable, nos permitió resolver una amplia gama de problemas matemáticos sobre distintas áreas del conocimiento humano. Ahora, cuando consideramos más de una variable podremos tratar y analizar un espectro muchísimo más amplio de problemas de todo tipo, en particular, podremos considerar problemas tridimensionales, tales como: trayectorias, superficies y volúmenes en tres dimensiones. En las siguientes figuras se muestran ejemplos:

Trayectorias

Superficies

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Volúmenes

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Autoevaluación Felicidades, Haz llegado al final de la Unidad. Para terminar resuelve la actividad de autoevaluación que corresponde a un conjunto de reactivos en forma de relación de columnas.

Instrucciones: anota en paréntesis de la pregunta, la opción que corresponda

a la respuesta

de la pregunta planteada. 1.- ( ) Cual es la condición para que una F(x) sea una primitiva de f(x) a. b. c. d. 2.- ( ) Se le denomina al conjunto de todas las primitivas de una función f(x) en un intervalo (a,b) a. Derivada de una función b. Función primitiva c. Primitiva d. Integral indefinida de la función 3.- ( ) Es el resultado de obtener la primitiva de la función f(x)=6x a. b. c. +4 3 d. 4.- ( ) Representa la función para la siguiente serie 1+2+…..+n a. 2n b. c. 2n+1 d. 5.- ( ) Es una característica de dos funciones que son primitivas de f(x) en un intervalo (a,b). a. Su suma es igual a b. La diferencia entre las los funciones es una constante c. La diferencia entre las dos funciones es cero d. La suma de las dos funciones es una constante Retroalimentación 1-3 Los conocimientos obtenidos no fueron suficientes, debes revisar nuevamente el contenido de la unidad 4-5 Tienes un conocimiento claro de los conocimientos de la Unidad, sigue adelante.

Evidencia de aprendizaje. Representaciones de funciones por medio de Series de Taylor Al finalizar serás capaz de: 

Comprender que una función que tiene todas sus derivadas dentro de un intervalo, se puede representar como una serie de potencias llamada Polinomios de Taylor.

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PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables  

Analizar el comportamiento de las funciones expresado por medio de series. Resolver problemas complejos donde las funciones matemáticas se pueden representar por medio de Polinomios, reduciéndolos a una forma más simple de manejar. Para ello:

1. Calcula los cinco primeros polinomios de Taylor de la función

en el punto x=0

2. Grafica cada uno de los Polinomios anteriores en el mismo sistema de coordenadas. 3. Observa la forma que van teniendo los Polinomios 4. ¿Qué conclusión puedes obtener cuando el grado de los Polinomios va aumentando? 5. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura CVV_U3_EA_XXYZ. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.

6. Envía tu reporte al portafolio de evidencias y espera la retroalimentación de tu Facilitador(a), atiende sus comentarios y reenvía la nueva versión de tu evidencia.

7.

Consulta la Escala de Evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo.

Al finalizar, consulta el Foro: Preguntas de autorreflexión para realizar el ejercicio y enviarlo a través de la herramienta Autorreflexiones, recuerda que también se toman en cuenta para la calificación final.

Autorreflexiones Al finalizar, consulta el Foro: Preguntas de autorreflexión para realizar el ejercicio correspondiente y enviarlo a través de la herramienta Autorreflexiones, recuerda que también se toman en cuenta para la calificación final.

Cierre de la unidad. En esta unidad revisamos como una serie numérica nos permite calcular números en posiciones exactas, nos adentramos al cálculo de la derivada y la integral por medio de las diferentes técnicas que se nos presento en la siguiente unidad. Se determino la diferencia entre una sucesión y una serie numérica, la relación que existen entre ellas y como identificarlas para determinar un resultado especifico. En adelante te invito a que sigas con la segunda unidad donde todos los conocimientos obtenidos hasta ahora serán aplicados para reforzar los conocimientos que hasta ahora has obtenido, veremos como obtener resolver ejercicios de integrales con varias variables, su representación grafica y su cambio respecto al cambio de variables. Así pues te invito a que continúes esforzándote con la ayuda de tu facilitador que es un medio importante para poder obtener un conocimiento integral.

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PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables Para saber más Ver el video “Sucesiones y progresiones” en la dirección: http://www.youtube.com/watch?v=cMDIXK9W7zo

Referencias Bibliograficas Bosch, C. (2006). Cálculo diferencial e integral. México: Publicaciones cultural S.A. Picón, P. E. (2006). Análisis conjunto. México: Porrúa. Thomas (2006). Cálculo de varias variables. México: Pearson.

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UNIDAD 2. Funciones de varias variables

Presentación de la unidad En esta unidad aprenderás a utilizar algunas herramientas de integración para representar áreas, volúmenes y superficies mediante el uso de integración de primitivas. Se abordarán los conceptos de producto escalar y vector(es) para determinar el producto escalar y realizar operaciones de proyección de distancias. Ejecutarás procedimientos en donde utilices las reglas y fórmulas de integración para determinar primitivas, límites y continuidad, así como las fórmulas para obtener las derivadas de orden parcial y superior de funciones implícitas e inversas. También analizaremos los espacios euclidianos y su relación con el cálculo de varias variables. Abordaremos las propiedades principales de los espacios euclídeos, notación vectorial y su representación en al ámbito de varias variables. Trataremos los puntos referentes a las funciones derivadas y su relación con los campos vectoriales.

Propósito de la unidad Mediante el estudio de esta Unidad podrás: Identificar las funciones como producto de varias variables, tomando como base el producto escalar de un vector. Emplear la distancia Euclidiana tomando como herramienta los límites y la continuidad.

Competencia específica Utilizar las herramientas de integración para representar áreas, volumen y superficies mediante el uso de integración de primitivas.

2.1. Plano y espacios Euclideos El desarrollo de la geometría Euclidiana tiene su principal momento en los siglos XIX y XX, tras la aparición del cálculo vectorial. El nombre lo recibe en honor del matemático Euclides quien vivió en los años 300 A.C., y que estudió los principios básicos de la geometría plana, o en dos dimensiones.

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PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables Los espacios vectoriales se pueden combinar con nociones de geometría como lo es la ortogonalidad, distancias, ángulos, etc. Estos conceptos se pueden introducir en los espacios vectoriales a través del producto escalar. Se le denomina función real de 𝒏 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔 a toda relación que contenga valores reales y su dominio sea un conjunto 𝑫 en el espacio euclidiano de dimensión 𝒏, 𝒏.

En otras palabras se trata de una función que relaciona a cada o vector de componentes reales , con número real , escribiéndose como se muestra a continuación:

Para la notación vectorial es:

Hay que precisar que a los elementos del vector independientes y al número real , variable dependiente.

se les llama variables

2.1.1. Producto escalar Para comenzar a comprender el concepto de geometría Euclidiana en relación con el cálculo vectorial, consideremos el siguiente producto de dos vectores: 𝒙𝟏 𝒙𝟐

𝒚𝟏 𝒚𝟐

𝒙𝟏 𝒚𝟏

𝒙𝟐 𝒚𝟐

El resultado de esta operación es un escalar, por eso a éste se le denomina producto escalar y permite conocer algunas de las propiedades de los vectores, por ejemplo aquellos que tienen ángulo recto (también llamados ortogonales), los cuales tienen producto escalar igual a cero, como se muestra a continuación:

Las propiedades del producto escalar en cualquier espacio son las siguientes:

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PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables ⃗.

De esta manera:

Un espacio Euclidiano es un espacio vectorial con un producto escalar. Denotamos al producto escalar con 𝒙 𝒚 pero también lo podemos utilizar como:

Al producto escalar también lo conocemos como producto interno y como se mostrará a continuación, Consiste en una operación sobre dos vectores. Así tenemos que para en donde ,

, se define:

〈 | 〉

∑

En donde: =2: =3:

=〈

〉

| =〈

〉

|

Ahora consideraremos las propiedades del producto escalar y, aunque existen algunas otras propiedades, principalmente se mencionan dos: Cuando el producto escalar es simétrico o conmutativo:

Cuando el producto escalar es lineal respecto a la primera variable: 〈

| 〉

〈 | 〉

〈 | 〉

Ejemplos: El producto escalar, en , puede considerarse como una multiplicación de dos matrices, la primera con un renglón y la segunda con una columna únicamente.

(

)

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PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables La multiplicación de matrices en el espacio no es un producto escalar. En el espacio para matrices de en podemos definir el producto escalar como sigue: | Sea el espacio de todos los polinomios de grado , entonces podemos definir el producto escalar.

(

) (

*

2.1.2. Distancia Euclidiana En la interpretación geométrica del espacio euclídeo, se encuentran dos elementos de estudio: Puntos Generación de los números reales en diferentes representaciones del espacio. Análogamente que representado geométricamente en una recta, tenemos que: Número

Elementos

Representación Plano en el que corresponde a las abcisas e a las ordenadas en un sistema de coordenadas cartesianas Espacio tridimensional en el que una -upla es un punto en el espacio también de dimensiones

Vectores La regla del paralelogramo responde a la suma de vectores, en donde cada n-upla son el vector, o también llamado segmento orientado, que une el punto de coordenadas con el origen . También habrá que considerar a los vectores de la base estándar , se ubican en las direcciones de los ejes de las coordenadas; luego entonces, los elementos del vector según dichos ejes son:

Puede resultar útil tomar en cuenta los segmentos orientados con origen arbitrario, sin embargo, habrá que identificar a los dos segmentos que se obtengan recíprocamente aplicando exactamente la misma traslación a su extremo y a su origen. Así tenemos que

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PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables el extremo en = y el segmento con origen en un punto corresponde el siguiente vector:

=

le

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ De manera recíproca = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , es decir, cada uno de los vectores de = pueden ser representados por un segmento con origen en cualquier punto = . Con lo que se concluye que la interpretación gráfica de la suma de vectores ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗, cualesquiera que sean los punto es:

La norma euclidea es una norma asociada al producto escalar 𝑥, en donde para: 𝒙

𝑥 𝑥

𝑛

𝑥𝑛

Se define: /

𝑛

‖𝑥‖

〈𝑥|𝑥〉

/

∑ 𝑥𝑘 + 𝑘

Con lo que tenemos que: ‖𝑥‖

𝑦 𝑞𝑢𝑒 ‖𝑥‖

⟺𝑥

Con referencia a la desigualdad de Cauchy-Schwartz, para |〈 | 〉|

se tiene que:

‖ ‖‖ ‖

Dándose la igualdad si y sólo si 𝑦

𝑥 con

⬚

o𝑥

.

Ahora bien, en cuanto a la desigualdad triangular, para ‖

‖

‖ ‖

se tiene que:

‖ ‖

Dándose la igualdad si y sólo si 𝑦

𝑥 con

o𝑥

.

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PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables El significado geométrico es un espacio métrico es un par es una función tal que:

donde

es un conjunto y

De la definición anterior podemos desprender las siguientes propiedades:

Con lo que se concluye que dado que ‖ ‖ es la distancia que hay del origen al punto , ‖ ‖ es la distancia entre los puntos e . Nota: La función puntos.

se llama métrica o distancia y los elementos de

se denominan

2.1.3. Límites y continuidad En el cálculo de variables tomaremos funciones definidas en un conjunto y que adquieren valores en , donde Al conjunto se le denomina dominio de la función y lo representaremos mediante . Sea

y una función que va de a) Si , la función se denomina función real de una variable real. b) Si > , a la función se le llama función vectorial de una variable real. c) Si > , se conoce como una función real de una variable vectorial o campo escalar. d) Si > > , es una función vectorial de una variable vectorial o campo vectorial.

Ejemplos:

y está definida por El volumen de un cubo de medidas Sea

para todo es la función

dada por la función

una función,

tal que: ⃗⃗ Donde son funciones escalares. Estas funciones se llaman funciones escalares de . Es común utilizar la notación abreviada

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PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables . Si consideras la función son:

, las funciones escalares de

Ejemplo: Considera la función √ El dominio de es el conjunto Si tomamos el valor para √

 entonces para

tenemos que:

y

La noción de límite y continuidad la podemos ampliar a funciones entre dos espacios métricos. Conocemos que con la métrica euclidiana es un espacio métrico en el que ⃗ ⃗ || ⃗ ⃗ || o en otros términos: ((

√

)

)

Consideramos la norma euclidiana || || en

y la denotaremos simplemente como || ||.

Por lo expresado hasta aquí, podemos considerar también los conceptos de límite y continuidad en las funciones . Ejemplo: 𝑳

El límite de

𝐥𝐢𝐦

𝒙𝒚

𝟏𝟐

𝟐𝒙

para este caso es igual a 2 y el de

𝟓𝒚

es igual a 10.

Probaremos esto considerando que: Dado un > existe un / y además existe un Ahora tomemos a tenemos que: tal que si | > tal que si | ya

|< |< tal que

< ||

entonces se cumple que | |< / entonces | ||