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• Maria Jose A. Cruces

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INDICE Capítulo 1: Cálculo diferencial Sección 1.1 Espacio euclidiano n - dimensional 1.2 Límite y continuidad 1.3 Diferenciación 1.3.1 Derivadas parciales 1.3.2 La diferencial 1.3.3 Propiedades de funciones diferenciables y ejemplos 1.3.4 Funciones diferenciables de Rm en Rn 1.3.5 propiedades de funciones diferenciables 1.3.6 Matriz Jacobiana 1.3.7 Regla de la cadena 1.3.8 Derivadas direccionales 1.4 Aplicaciones

página 3 6 11 11 15 17 19 20 21 21 23 26

Capítulo 2: Extremos de funciones con valores reales Sección 2.1 Máximos y Mínimos 2.2 El teorema de Taylor 2.3 Criterio de la segunda derivada 2.4 Repaso de Formas cuadráticas 2.5 La matriz Hessiana 2.6 Multiplicadores de Lagrange

página 33 35 35 36 37 38

Capítulo 3: Integrales dependientes de un parámetro Sección 3.1 Regla de Leibniz 3.2 Integrales impropias dependientes de un parámetro

página 41 45

Capítulo : Integración Sección 4.1 Introducción 4.2 La integral de Riemann sobre un rectángulo 4.3 Integrales sobre conjuntos acotados de Rn 4.4 Cambio de variables 4.5 Coordenadas polares, cilíndricas y esféricas 4.6 Integrales múltiples impropias

página 49 52 55 57 58 60

Capítulo 5: Calculo vectorial Sección 5.1 Integrales de línea 5.1.1 Introducción 5.1.2 Longitud de arco 5.1.3 Integrales sobre campos vectoriales

página 64 64 66 66

1

5.1.4 Integrales de línea sobre campos escalares 5.1.5 otras aplicaciones de la integral de línea 5.1.6 Independencia de la trayectoria 5.1.7 Teorema de Green 5.2 integrales de super…cie 5.2.1 Super…cies en Rn 5.2.2 Integrales de super…cie 5.2.3 Teorema de Gauss. Teorema de Stokes

2

68 69 70 74 77 77 81 85

UNIVERSIDAD DE CONCEPCION DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Prof. Jorge Ruiz Castillo

1

CALCULO DIFERENCIAL

1.1

ESPACIO EUCLIDIANO n-DIMENSIONAL

Recordemos que Rn está provisto de dos operaciones + : Rn

Rn ! Rn ; (x; y)

x+y

y

:R

Rn ! Rn ; ( ; x)

donde: (x1 ; x2 ; ::::::; xn ) + (y1 ; y2 ; ::::::; yn ) = (x1 + y1 ; x2 + y2 ; ::::::; xn + yn ), y (x1 ; x2 ; ::::::; xn ) = ( x1 ; x2 ; ::::::; xn ) (Rn ; +; ) es un espacio vectorial real. Nociones topológicas en Rn El producto interior en Rn está de…nido por: : y

=

R

n

n

n

R ! R ;x y =

(y1 ; y2 ; ::::::; yn )

n X

xi yi , donde x = (x1 ; x2 ; ::::::; xn )

i=1

Este producto interior en Rn satisface las siguientes propiedades 1. (8x 2 Rn ) x x

0

2. (8x 2 Rn ) x x = 0 , x = 3. (8x; y; z 2 Rn ) (8 ;

2 R) ( x + y) z =

(x z) +

(y z)

4. (8x; y 2 Rn ) x y = y x 5. (8x 2 Rn ) x

=0

. La norma en Rn está de…nida por: p : Rn ! R; kxk = x x p Si x = (x1 ; x2 ; ::::::; xn ), entonces kxk = x21 + x22 + :::::: + x2n Algunas propiedades de la ”norma” son las siguientes: 3

x,

1. (8x 2 Rn ) kxk

0

2. (8x 2 Rn ) kxk = 0 , x = 3. (8x 2 Rn ) (8 2 R) k xk = j j kxk 4. (8x; y 2 Rn ) kx + yk 5. (8x; y 2 Rn ) jx yj

kxk + kyk kxk kyk

(desigualdad triangular)

(desigualdad de Cauchy-Schwarz)

. La distancia en Rn está de…nida por: d : Rn

Rn ! R; d (x; y) = kx

Si x = (x1q ; x2 ; ::::::; xn ) ; y = (y1 ; y2 ; ::::::; yn ), entonces d (x; y) =

(x1

2

2

y1 ) + (x2

y2 ) + :::::: + (xn

yk

2

yn )

Entre sus propiedades podemos mencionar: 1. (8x; y 2 Rn ) d (x; y)

0

2. (8x; y 2 Rn ) d (x; y) = d (y; x) 3. (8x; y 2 Rn ) d (x; y) = 0 , x = y 4. (8x; y 2 Rn ) d (x; z)

d (x; y) + d (y; z)

(desigualdad triangular)

. De…nición.- Sean x0 2 Rn y r > 0. Llamamos bola abierta con centro en x0 yradio r al conjunto B (x0 ; r) = fx 2 Rn : kx x0 k < rg En R2 , B (x0 ; r) es una circunferencia con centro en x0 y radio r. En R3 , B (x0 ; r) es una esfera con centro en x0 y radio r. De…nición.- Sean G

Rn y x0 2 Rn . Diremos que:

a) x0 es un punto interior de G si existe r > 0 tal que B (x0 ; r) G. Notación.- int (G) o Go es el conjunto de los puntos interiores de G (interior de G). b) x0 es un punto adherente de G si (8r > 0) B (x0 ; r) \ G 6= Notación.- adh (G) o G es el conjunto de los puntos adherentes a G (adhernecia o clausura de G). c) x0 es un punto de acumulación de G si (8r > 0) B (x0 ; r) \ G

fx0 g = 6

d) x0 es un punto de frontera de G si es un punto adherente a G y al complemento de G.

4

. Notación.- F r (G) es el conjunto de los puntos de frontera de G (Frontera de G). Observación.1. x0 2 F r (G) () (8r > 0) [B (x0 ; r) \ G 6=

^ B (x0 ; r) \ Gc 6= ]

2. F r (G) = G \ Gc 3. x0 es un punto aislado de G si existe r > 0 tal que B (x0 ; r) \ G = fx0 g. . De…nición.- Sea G

Rn . diremos que:

1. G es un conjunto abierto en Rn si G = Go 2. G es un conjunto cerrado en Rn si Gc es un conjunto abierto. . Observación.1. G es abierto() (8x 2 G) (9rx > 0) B (x; rx )

G.

2. G es cerrado() G = adh (G). . Ejemplo.- Decidir si los siguientes conjuntos son abiertos o cerrados, indicar su adherencia, interior y frontera. 1. B ((0; 0) ; 1) y B ((0; 0) ; 1) 2. G = (x; y) 2 R2 : 0 < x < 1; y = 1 3. J = (x; y) 2 R2 : 0 < x < 2 4. K = (x; y) 2 R2 : 0 . De…nición.- Sea G

x 0 tal que (8x 2 G) kxk

M.

2. G es compacto si es cerrado y acotado . Observación.- G es acotado si está incluído en alguna bola abierta.

5

1.2

LIMITE Y CONTINUIDAD

De…nición.- Sean D Rn un conjunto abierto, f : D Rn ! R y x0 un punto de acumulación de D. Diremos que L 2 R es el límite de f cuando x tiende a x0 si, (8" > 0) (9 > 0) 0 < kx x0 k < =) jf (x) Lj < " Observación.1. Cuando el límite anterior existe, es único. En este caso lo denotamos por L= lim f (x) o L = lim f (x) si no hay lugar a confusión. x!x0 x ! x0 x2D 2. Si

lim f (x) = L, D0 D y x0 es un punto de acumulación de D0 , x ! x0 x2D entonces lim f (x) = L. x ! x0 x 2 D0

3. Sean D0 ; D1 tenemos:

D tales que x0 es un punto de acumulación de D0 y D1 ,

lim f (x) 6= lim f (x) =) lim f (x) no existe x ! x0 x ! x0 x ! x0 x 2 D0 x 2 D1 x2D 4. lim f (x) = L () lim [f (x)

L] = 0.

5. Si lim g (x) = 0 y jf (x)

g (x), entonces lim f (x) = L.

x!a

x!a

x!a

Lj

x!a

. Ejemplos.1. Calcule

lim

(x;y)!(0;0)

f (x; y) si existe, donde:

(a) f : R2

f(0; 0)g ! R; f (x; y) = y + x2

(b) f : R2

f(0; 0)g ! R; f (x; y) =

x2 y 2 x2 + y 2

2

2. Sean f; g : D

ex+y x4 + y 4

Rn ! R, D abierto y x0 2 D. Si lim f (x) = 0 y g es x!x0

acotada, entonces lim f (x) g (x) = 0. x!x0

Nota.- Se dice que una función es acotada si su recorrido es un conjunto acotado. 6

8 > >
exy > : x2 cos 1 + x2 Calcule si existe lim f (x; y)

; ;

y 6=

x

y=

x

.

(x;y)!(0;0)

4. Evalue usando el algebra de límites,

5. Evalue usando el algebra de límites,

lim

(x;y)!(1;0)

x3

3x2 y 3 + y 4

1

sin x2 + y 2 1 x2 + y 2 1 (x;y)!(1;0) lim

. Ejercicios.1. Calcule

lim

(x;y)!(0;0)

(a) f : R2

f (x; y) si existe, donde:

f(0; 0)g ! R; f (x; y) =

x2 y 2 x2 + y 2

Indicación.lim f (x; y) = 0, lim f (x; y) = 1 (x; y) ! (0; 0) (x; y) ! (0; 0) y=x y = 2x2 8 < x2 y 2 x 2 ; (x; y) 6= (0; 0) 2 (b) f : R ! R; f (x; y) = x + y2 : 1 ; (x; y) = (0; 0) 2y 3 x2 + y 2

(c) f : R2

f(0; 0)g ! R; f (x; y) =

(d) f : R2

f(x; x) : x 2 Rg ! R; f (x; y) =

Indicación.- jsin tj

sin x2 y 2 x y

jtj

2. Calcular si existe (a) (b)

lim

(x;y)!(1; 2)

lim

(x;y)!(1;0)

f (x; y) si (y + 2)

2

2

(x

1)

(x

1) + (y + 2)

f (x; y) si f (x; y) =

(y + 2)

2

2

ex+y (x

3

1

2

1) + y 4

. Rn ! R y x0 un punto de Teorema.- (Algebra de límites) Sean f; g : D acumulación de D. Si lim f (x) y lim g (x) existen, se tiene: x!x0

x!x0

1. lim [f (x) + g (x)] = lim f (x) + lim g (x) x!x0

x!x0

x!x0

7

2. lim

x!x0

f (x) =

lim f (x), con

x!x0

2R

3. lim [f (x) g (x)] = lim f (x) lim g (x) x!x0

x!x0

x!x0

f (x) x!x0 g(x)

4. lim

lim f (x)

=

x!x0

lim g(x) ,

x!x0

si lim g (x) 6= 0 x!x0

Demostración.- Análoga al caso de una variable. Queda como ejercicio. . De…nición.- Sean f : D Rn ! R, D abierto y x0 2 D. Diremos que f es continua en x0 si lim f (x) = f (x0 ). x!x0

Observación.1. f es continua en x0 ssi (8" > 0) (9 > 0) 0 < kx 2. Sean f : D

x0 k
0, entonces existe continua en f (x0 )) jy

f (x0 )j
0) 9

x0 k
0g

3. f : R2 ! R; f (x; y) = sin v cos u 4. f : R3 ! R; f (x; y; z) = x3 + 3y 3 +z 5. f : D

3

5

1 + cos x2 + yz 3

3 5

R2 ! R; f (x; y) = logy x, donde D = f(x; y) : x > 0; y > 0g

12

8 < x2 y 2 ; (z; w) 6= (0; 0) 4 2 6. f : R ! R; f (x; y; z; w) = w2 : z + 0 ; (z; w) = (0; 0) ( 1 ; x 6= 0 x2 y sin 7. f : R2 ! R; f (x; y) = x 0 ; x=0 . De…nición.- Sean f : D Rn ! R y x0 2 D. Supongamos que la derivada par@f : D Rn ! R existe. Dado j = 1; :::::; n; llamamos derivada parcial decial @xi orden 2 de f c/r xi primero y c/r a xj después, evaluada en el punto x0 a la @f derivada parcial de la función c/r a xj en el punto x0 , si existe. @xi En forma análoga se de…nen las derivadas de f de orden mayor o igual a 3. Ejemplos.1. Sea f : R3 ! R; f (x; y; z) = z 2

xy. Encontrar

@2f @2f @3f ; ; ; @x2 @x@z @x@y@z

@3f etc. @y 2 @z

8 2 < x ; 2. Sea f : R2 ! R; f (x; y) = y2 : x ; @3f (a; 0) si existe con a 2 R. @x3 . Teorema(de Schwarz).- Consideremos f : D @f @f @2f Supongamos que ; ; existen y @xi @xj @xi @xj 2 2 @ f @ f existe y = . @xj @xi @xi @xj

y 6= 0 y=0

. Encontrar

@2f (a; 0) y @x2

Rn ! R con D abierto de Rn . @2f son continuas, entonces @xj @xi

Demostración.- Ver Cálculo de Funciones Vectoriales de Willianson, Crowell y Trotter, página 221. Observación.- Sin la hipótesis de continuidad para fxy (o fyx ) el teorema anterior no es necesariamente válido. 8 x2 y 2 < xy 2 ; (x; y) 6= (0; 0) 2 Ejemplo.- Sea f : R ! R; f (x; y) = . x + y2 : 0 ; (x; y) = (0; 0) Se tiene: 8 4 y 4 + 4x2 y 2 < y x @f ; (x; y) 6= (0; 0) 2 (x; y) = (x2 + y 2 ) : @x 0 ; (x; y) = (0; 0) 13

8 < @f (x; y) = : @y 4

4

2 2

x y4

x4 + 4x2 y 2

; (x; y) 6= (0; 0)

2

(x2 + y 2 ) 0 4

4

; (x; y) = (0; 0) 2

2 2

x y + 4x y x +y +4x y 2x4 +2y 4 +4x2 y 2 = 2 x2 + y 2 :::::::: ( ) x4 y 4 + 4x2 y 2 @f 2 jyj ! 0, cuando (x; y) ! (0; 0). (x; y) 0 = jyj 2 @x (x2 + y 2 ) @f Esto muestra la continuidad de en (0; 0). @x @f En forma análoga se muestra la continuidad de en (0; 0). @y x6 y 6 + 9x4 y 2 9x2 y 4 @2f @2f (x; y) = ; (x; y) 6= (0; 0), y (0; 0) = 1. . 3 @y@x @y@x (x2 + y 2 ) @2f lim (x; y) = 0 (x; y) ! (0; 0) @y@x y=x @2f Por lo tanto no es continua en (0; 0). @y@x @2f En forma análoga se prueba que no es continua en (0; 0). @x@y

Ejercicios.2

1. Sea g : R ! R; g (x; y) = que

(

x3 sin

y x

y 2 sin 0

x y

;

xy 6= 0

;

xy = 0

. demuestre

@2g @2g y no son continuas: @y@x @x@y

2. Sea f : R3 ! R; f (x; y; z) =

1 . Muestre que: fxx + fyy + fzz = 0. k(x; y; z)k

. De…nición.- Sea f : D Rn ! R, D abierto. Si f posee derivadas parciales hasta el orden m; m 2 N y estas son continuas sobre D, diremos que f es una función de clase C m sobre D, se escribe f 2 C m (D). se dice que f 2 C 1 (D) si (8m 2 N) f 2 C m (D). Observación.1. Se dice que f es continuamente diferenciable sobre D si f 2 C 1 (D). 2. Se dice que f es m veces continuamente diferenciable sobre D si f 2 C m (D). 3. f 2 C 0 (D) () f es continua sobre D. 4. Para funciones de una variable f : G R ! R, la existencia de la derivada de f en un punto implica la continuidad de f en ese punto. Este no es el 14

caso pàra funciones f : D Rn ! R ya que la existencia de las derivadas (parciales primeras) no implica la continuidad de f . Por ejemplo veri…que que ( xy ; (x; y) 6= (0; 0) 2 x2 + y 2 f : R ! R; f (x; y) = 0 ; (x; y) = (0; 0) tiene derivadas parciales (primeras) en todo punto, sin embargo f no es continua en el origen. 5. Se prueba que si f tiene derivadas parciales (primeras) continuas sobre un abierto D Rn , entonces f es continua sobre D. 6. Sea f : D

R2 ! R continua. sea S la super…e de…nida por z = f (x; y) .

@f (a; b) es la pendiente de la curva de ecuación z = f (x; b) en el punto @x (a; b; c), es decir, la ”pendiente” de la super…cie S en la dirección del eje x. 1.3.2

LA DIFERENCIAL

@f (x0 ) existe para i = 1; 2; :::::; n. Consideremos @xi @f @f (x0 ) x1 + (x0 ) x2 + la aplicación lineal L : Rn ! R de…nida por L (x) = @x1 @x2 @f :::::::::::: + (x0 ) xn , donde X = (x1 ; ::::; xn ). @xn

Sea f : D

Rn ! R tal que

De…nición.- Sea f : D es diferenciable en x0 si lim

x!x0

Rn ! R, D abierto y sea x0 2 D. Se dice que f f (x)

f (x0 ) L (x kx x0 k

x0 )

=0

Si f es diferenciable en x0 , entonces a la aplicación lineal L se la llama la diferencial de f en x0 y se le denota por L = dx0 f . Ejemplo.- Sea f : R2 ! R; f (x; y) = x2 + 2xy. Muestre que f es diferenciable en (2; 1).

15

. Observación.1. Consideremos f diferenciable en x0 . se tiene: f (x) f (x0 ) = L (x x0 ) + " (x) (kx x0 k), donde lim " (x) = 0. x!x0

Por lo tanto, f (x)

f (x0 )

L (x

x0 ), para x cercano a x0 .

f (x)

f (x0 )

A (x), para x cercano a x con A (x) = L (x)

L (x0 ).

2. La diferencial L = dx0 f cuando existe es única. . Teorema.- Si f : D x0 .

Rn ! R es diferenciable en x0 , entonces f es continua en

Demostración.- jL (x x0 )j M kx x0 k (ya que f es lineal). jf (x) f (x0 )j =Obs:1: jL (x x0 ) + " (x) (kx x0 k)j (M + " (x)) kx x0 k !x!x0 0. Por lo tanto lim f (x) = f (x0 ). x!x0

Esto prueba que f es continua en x0 . (

xy ; (x; y) 6= (0; 0) x2 + y 2 , no es con0 ; (x; y) = (0; 0) tinua en (0; 0), luego no es ,diferenciable en (0; 0). @f @f Observe que en este caso (0; 0) = (0; 0) = 0. @x @y Ejemplo.- f : R2 ! R; f (x; y) =

Observación.- Sea f : D

Rn ! R diferenciable en x0 .

1. dx0 f : Rn ! R; dx0 f (x) = 2. Notación.- dxi (x)

@f @f @f (x0 ) x1 + (x0 ) x2 +::::::::::::+ (x0 ) xn . @x1 @x2 @xn

xi .

@f @f @f (x0 ) dx1 + (x0 ) dx2 + :::::::::::: + (x0 ) dxn . @x1 @x2 @xn Si no hay lugar a confusión escribimos

3. dx0 f =

df =

@f @f @f dx1 + dx2 + :::::::::::: + dxn : @x1 @x2 @xn

. Ejemplo.- Se puede ver que f : R2 ! R; f (x; y) = x2 + 2xy es diferenciable sobre todo punto de R2 . En este caso df d(1;2) f

= (2x + 2y) dx + 2xdy = 6dx + 2dy 16

1.3.3

PROPIEDADES DE FUNCIONES DIFERENCIABLES Y EJEMPLOS

Teorema.- (Algebra de las funciones diferenciables) Sean f; g : D Rn ! R diferenciables en x0 2 D, entonces f + g; f g son f diferenciables en x0 , y si g (x0 ) 6= 0, también lo es . Además: g dx0 (f + g) = dx0 f + dx0 g dx0 (f g) = f (x0 ) dx0 g + g (x0 ) dx0 f f g (x0 ) dx0 f f (x0 ) dx0 g dx0 = 2 g [g (x0 )] Demostración.- Ejercicio Observación.1. Si f : D

Rn ! R es constante, entonces (8x 2 D) dx f

2. En las condiciones de hipótesis del teorema, y si dx0 ( f ) = dx0 (f ).

0.

es constante, entonces

Demostración.- 1. y 2. ejercicio. . Teorema.- Supongamos que fx1 ; fx2 ; ::::::; fxn existen en una vecindad de x0 = (c1 ; c2 ; ::::::::; cn ) y son continuas en x0 . Entonces f es diferenciable en x0 . Demostración.- Ver Trench, página 344. Observación.1. Diremos que f es continuamente diferenciable sobre el abierto D f 2 C 1 (D).

Rn si

2. Si f 2 C 1 (D), entonces f es diferenciable sobre el abierto D. . Ejemplos.1. Sea f : R3 ! R; f (x; y; z) =

8 < :

sin (xyz) + y 2 + jzj 0

x2

; (x; y; z) 6= (0; 0; 0)

.

; (x; y; z) = (0; 0; 0)

(a) Muestre que f es diferenciable en (0; 0; 0). (b) Muestre que f es diferenciable en (1; 2; 1). (c) Encuentre la (buena) aproximación de f en alguna vecindad del punto (1; 0; 1). 17

2. Sea f : R2 ! R; f (x; y) =

8
0 y=x x>0

v = (cos 1 ; cos Teorema.- Sea ! si f es diferenciable en x0 ,

2 ; :::::::; cos n )

una dirección en Rn . entonces

@f (x0 ) = rf (x0 ) ! v, @v es decir, @f @f (x0 ) = (x0 ) cos @v @x1

1

+

@f (x0 ) cos @x2

2

+ ::::::::::: +

@f (x0 ) cos @xn

n.

En particular para n = 2; @f @f @f (x0 ; y0 ) = (x0 ; y0 ) cos + (x0 ; y0 ) sin , con ! v = (cos ; sin ) @v @x @y . Ejemplo.- Sea f : R3 ! R; f (x; y; z) = x2 + 2y 2 + 3z 2 . Encontrar la derivada direccional de f en el punto (x0 ; y0 ; z0 ) = (1; 1; 1), en la dirección de ! v1 = (1; 1; 1). DERIVADA DIRECCIONAL MAXIMA Teorema.- Sean D Rn abierto, f : D Rn ! R diferenciable en x0 . La derivada direccional de f en x0 es máxima en la dirección del vector gradiente u b=

rf (x0 ) krf (x0 )k 25

Observación.- Según el teorema: @f (8v 2 Rn : k! v k = 1) (x0 ) @v Demostración de teorema.-

@f rf (x0 ) (x0 ) , donde u b= . @u krf (x0 )k

@f (x0 ) = rf (x0 ) @v @f (x0 ) = jrf (x0 ) @v Si u b=

! v ! vj

krf (x0 )k

rf (x0 ) , entonces krf (x0 )k rf (x0 ) @f (x0 ) = rf (x0 ) = krf (x0 )k . @u krf (x0 )k

Ejemplo.- En el anterior, ¿cuál es el valor máximo de la derivada direccional en (1; 1; 1) y cuál es su dirección?. Ejercicio.- Hallar los puntos (x; y) y las direcciones para las que la derivada direccional de la función de…nida por f (x; y) = 3x2 + y 2 tiene el valor máximo si (x; y) está en la circunferencia x2 + y 2 = 1. @f rf (x; y) (x; y) es máxima si u b (x; y) = @u krf (x; y)k p 2 + y2 ; rf (x; y) = (6x; 2y); krf (x; y)k = 2 9x ! 3x y u b= p ;p 9x2 + y 2 9x2 + y 2 p @f (x; y) = krf (x; y)k = 2 9x2 + y 2 : es el valor de la derivada direccional @u máxima en la dirección de u b (x; y). p Sea g (x; y) = 2 9x2 + y 2 ; con x = cos , y = sin queda p g ( ) = 2 1 + 8 cos2

Indicación.-

2

Considere h ( ) = g ( ) y encuentre los extremos de h con 0

1.4

2 .

Aplicaciones

Teorema de la función inversa Teorema.- Sea f : S Rn ! Rn , S abierto, f = (f1 ; f2 ; :::::; fn ) de clase 1 C y sea T = f (S). Supongamos que el Jacobiano jJ (f; x0 )j = 6 0, en algún punto x0 de S. Entonces existen una única función g y dos conjuntos abiertos X S e Y T tales que 26

i) x0 2 X y f (x0 ) 2 Y ii) Y = f (X) iii) f es inyectiva sobre X iv) g está de…nida sobre Y , g (Y ) = X y (8x 2 X) g (f (x)) = x v) g 2 C 1 (Y ) . p p Ejemplo.- Dada la función de…nida por f (x; y) = x y; y x ; x

0; y

0.

a) ¿Admite f una inversa en una vecindad U de (4; 4)?. b) Si f admite una inversa en una vecindad de (4; 4), determine la aproximación afín de f 1 en el punto (8; 8). Solución.- Consideramos p p f : S R2 ! R2 ; f (x; y) = x y; y x con S = (x; y) R2 : x > 0; y > 0 S es abierto, f 2 C 1 (S) y jJ (f; (4; 4))j = 3 6= 0.

Por lo tanto,

a) f admite una inversa local de clase C 1 de…nida en una vecindad U de (4; 4). b) f (4; 4) = (8; 8) La aproximación afín de f B (u; v)

B (u; v)

= f

1

en el punto (8; 8) tiene ecuación: 1

1

(8; 8) + d(8;8) f 1

=

(4; 4) + J f

=

(4; 4) + J (f; (4; 4))

=

(4; 4) +

=

2u

2 1

(u

8; v

; (8; 8)

1

1 2

v + 4 2v ; 3

1

u v

8 8

u v

8 8

u v

8)

8 8

u+4 3

. Ejercicio.- Sea f de…nida por f (r; ) = (r cos ; r sin ; z) ; 0 < r; 0 < 27

< 2 ; z 2 R:

a) Calcule (si existe) la diferencial de f en 1; b) ¿Existe inversa local de f cerca de 1; 1

c) Calcule la aproximación afín de f

2

3

;0 .

; 0 ?.

en (1; 0; 0).

. Notación.- Sea x 2 Rn ; t 2 Rk ; (x; t) 2 Rn+k . Teorema de la función implícita Teorema.- Sea F : S Suponemos que:

Rn+m ! Rm 2 C 1 (S), S abierto, tal que (x0 ; u0 ) 2 S.

i) F (x0 ; u0 ) = ii) Fu (x0 ; u0 ) es no singular, es decir,

det Fu (x0 ; u0 ) =

@f1 :: :: @u1 : : @fm :: :: @u1

@f1 @um : : @fm @um

6= 0.

Entonces, existe una vecindad abierta M de (x0 ; u0 ) contenida en S, y una vecindad abierta N de x0 en Rn sobre la cual está de…nida una única transformación G : N Rn ! Rm tal que: I) (x; G (x)) 2 M; x 2 N II) G (x0 ) = u0 III) F (x; G (x)) = ; x 2 N

Más aún, G es continuamente diferenciable sobre N y Jx G =

[Fu (x; u)]

1

Fx (x; G (x))

. Corolario.- Sea f : Rn+1 ! R de clase C 1 sobre el abierto S, tal que (x0 ; u0 ) 2 S. Suponemos que: i) f (x0 ; u0 ) = 0 ii) fu (x0 ; u0 ) 6= 0.

Entonces, existe una vecindad M de (x0 ; u0 ) contenida en S, y una vecindad N de x0 en Rn sobre la cual está de…nida una única función g : N Rn ! R tal que: 28

I) (x; g (x)) 2 M; x 2 N II) g (x0 ) = u0 III) f (x; g (x)) = 0; x 2 N Además: g 2 C 1 (N ) y fxi (x; g (x)) ;1 fu (x; g (x))

gxi (x) =

i

n.

. Ejemplo.1. Sea f : R3 ! R; f (x; y; z) = (y + z) cos x. Pruebe que f de…ne una función implícita diferenciable z = h (x; y) en una vecindad de (0; 0; 0). Halle d(0;0) h. Solución.f :S

R3 ! R; f (x; y; z) = (y + z) cos x con S = R3

S es abierto, (0; 0; 0) 2 S; f 2 C 1 (S) @f f (0; 0; 0) = 0 y (0; 0; 0) = 1 6= 0. @z Por lo tanto, f de…ne una función implícita diferenciable z = h (x; y) en una vecindad de (0; 0; 0) y además: @h (x; y) @x

=

@h (x; y) @y

=

@f (x; y; z) @x = (y + z) tan x @f (x; y; z) @z @f (x; y; z) @y = 1 @f (x; y; z) @z

De esta manera J (h; (0; 0)) J (h; (0; 0))

=

@h @h (0; 0) ; (0; 0) @x @y

= (0; 1)

x y

y,

x y

=

(0; 1)

d(0;0) h

:

R2 ! R; d(0;0) h (x; y) =

= ( y)

y.

2. Suponga que las variables x; y; u; v están relacionadas por el sistema de ecuaciones: x2 y 2 = 2uv 15 x + 2xy = u2 v 2 + 10 Sea P0 (1; 2; 2; 3). 29

(a) Pruebe que este sistema de…ne a u y v como funciones diferenciables de (x; y) en una vecindad del punto (1; 2). @v @2u (1; 2) ; 2 (1; 2) @y @x (c) Sean u = h (x; y) ; v = g (x; y) las funciones implícitas cuya existencia se probó en i). Muestre que f = (h; g) admite función inversa diferenciable en una vecindad del punto (1; 2).

(b) Determine

1

(d) Determine la transformación afín que aproxima f del punto ( 2; 3).

en una vecindad

Indicación.- F : R4 ! R2 ; F (x; y; u; v) = x2

y 2 + 2uv + 15; x + 2xy

u2 + v 2

10

F 2 C 1 R4 ; F (1; 2; 2; 3) = (0; 0) y jFU (X0 ; U0 )j = 52 6= 0. Por lo tanto: (a) Existe f : N

R2 ! R2 diferenciable tal que f (x; y) = (h (x; y) ; g (x; y)) = (u; v)

(b) J (f; (1; 2)) =

(JU0 F )

1

(JX0 F ) = 0

8 13 11 26

B =@

1 52

6 4

1 0 4 B 13 C 7 A=@ 13

4 6

2 5 @u (1; 2) @x @v (1; 2) @x

4 2

=

1 @u (1; 2) C @y A @v (1; 2) @y

6 (c) f es de clase C 1 (del T. de la F. Implícita), jJ (f; (1; 2))j = 6= 0. Por el 13 T. de la F. Inversa, f es localmente invertible. (d) J f

1

; ( 2; 3) = J (f; (1; 2))

La aproximación afín de f B (u; v) = f

1

1

1

=

1 12

14 11

8 16

en una vecindad de ( 2; 3) está de…nida por:

( 2; 3) + d(

2;3) f

1

(u + 2; v

3) = (x; y)

@v @2u (1; 2) ; 2 (1; 2) de la parte (b) se pueden obtener derivando @y @x 64 @2u (1; 2) = . implícitamente en el sisitema dado. Se obtiene @x2 13

Nota.-

. Ejercicios.1. En el ejemplo 1. anterior determine además la ecuación del espacio (plano) tangente a la super…cie S = (x; y) 2 R2 : h (x; y) = 0 en (0; 0). 30

2. Pruebe que la ecuación xyz + sin (z

6)

2 x + y + x2 y 2 = 0

de…ne en una vecindad del punto P0 (1; 1; 6) a z como función implícita de x e y; es decir, z = ' (x; y). Determine 'x (1; 1) ; 'y (1; 1) ; 'xy (1; 1) ; 'yy (1; 1) ; 'xx (1; 1). . Propiedades del gradiente. Curvas y super…cies de nivel Si

Rn ! R, D abierto, y

:D

Rn ! Rn ; grad (x) = r (x) =

grad : D Si

y

diferenciable, entonces

:D

@ @ @ (x) ; (x) ; ::::::; (x) @x1 @x2 @xn

Rn ! R son diferenciables, entonces:

a) r ( + ) = r + r c) r ( = ) =

1

2

( r

b) r (

)= r + r

r ), para x 2 D tal que

(x) 6= 0.

Demostración.- Son consecuencia inmediata de la de…nición de rf y de las propiedades de las derivadas. . Interpretación geométrica.- Consideremos n = 3, c=cte. y sea Dc = f! x 2 D : (! x ) = cg

Dc es una super…cie en R3 si dimDc = 2. Si este es el caso entonces, Dc tiene un plano tangente en el punto ! a = (a1 ; a2 ; a3 ) de ella y la ecuación del plano tangente es: r (! a ) (! x ! a ) = 0, es decir

@ ! ( a ) (x @x

a1 ) +

@ ! ( a ) (y @y

a2 ) +

@ ! ( a ) (z @z

a3 ) = 0.

Esto es el vector r (! a ) es normal al plano tangente, luego es normal a la super…cie Dc de…nida por la ecuación (! x ) = c en el punto ! a.

31

Observación.1. Dicho plano tangente existe en todo punto ! a tal que 2. Si

(x; y; z) = f (x; y)

! (! x ) 6= 0 .

z, entonces

r (x; y; z) =

@f @f (x; y) ; (x; y) ; 1 ?Dc . @x @y

. Consideremos ahora n = 2, entonces Dc = f! x 2 D : (! x ) = cg es una curva ! ! ! 2 en R . Si r ( a ) 6= 0 , a = (a1 ; a2 ), entonces la recta tangente a la curva Gc en el punto ! a tiene ecuación @ ! ( a ) (x @x

a1 ) +

@ ! ( a ) (y @y

a2 ) = 0

y r (! a ) es normal a dicha tangente, y luego lo es a la curva Gc en el punto ! a.

De…nición.- El campo escalar cuyo gradiente es r se llama función potencial del campo vectorial r . Las correspondientes super…cies Dc , de…nidas por (! x ) = c, x 2 D, se llaman super…cies equipotenciales o super…cies de nivel si n > 2. Si n = 2 se habla de curvas equipotenciales o de nivel.

. Cálculo III - 521227 23 de Marzo de 2010 JRC 32

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2

EXTREMOS DE FUNCIONES CON VALORES REALES

2.1

Máximos y Mínimos

De…nición.- Sea f : D

Rn ! R y sea x0 2 D. Se dice que:

1. x0 es un punto de máximo absoluto para f si (8x 2 D) f (x)

f (x0 )

2. x0 es un punto de mínimo absoluto para f si (8x 2 D) f (x0 )

f (x)

3. x0 es un punto de máximo local para f siexiste r > 0 tal que (8x 2 B (x0 ; r) \ D) f (x)

f (x0 )

4. x0 es un punto de mínimo local para f si existe r > 0 tal que (8x 2 B (x0 ; r) \ D) f (x0 )

f (x)

. Observación.1. El procedimiento para hallar valores extremos absolutos o relativos es muy semejante al usado para funciones de una variable. Solo que ahora hay más derivadas dado que se trata de funciones de varias variables 2. En analogía al caso de una variable también se obtiene el siguiente resultado: Una función continua x f (x) alcanza un valor máximo y un valor mínimo (absolutos) sobre cualquier región R cerrada y acotado en que este de…nida. Además, estos extremos sólo pueden hallarse en los puntos de frontera de R o en los puntos interiores de R en los que fx = fy = 0 o donde fx o fy no existan ("puntos críticos de f "). . o Teorema.- Sea f : D Rn ! R y sea x0 2 D. Si fx1 (x0 ) ; fx2 (x0 ) ; ::::::::; fxn (x0 ) existen y x0 es un extremo local de f , entonces (8i = 1; 2; :::::; n) fxi (x0 ) = 0 33

n

Demostración.- Basta de…nir: (8i = 1; 2; :::::; n) gi (t) = f (x0 + tei ), donde fei gi=1 es la base canónica de Rn . Se tiene que gi es derivable en t0 = 0; gi0 (0) = fxi (x0 ). Además t0 = 0 es un extremo local de gi . Por lo tanto gi0 (0) = fxi (x0 ) = 0 3. También en analogía al caso de una variable, es válido el siguiente resultado: . Teorema.- De los valores extremos Si f : K Rn ! R es continua sobre el conjunto cerrado y acotado K, entonces existen P1 ; P2 2 K tales que (8x 2 K) f (P1 )

f (x)

f (P2 )

Ejemplo.- Sean K = (x; y) 2 R2 : 1 x2 + y 2 2 y f : K R2 ! R de…nida 2 2 por f (x; y) = ex +y . Entonces f alcanza su máximo valor sobre K. 4. El recíproco del teorema de la observación 2. no es cierto. . Ejemplo.- Sean f : R2 ! R; f (x; y) = x3 + y 3 y (x0 ; y0 ) = (0; 0), entonces: @f @f (0; 0) = (0; 0) = 0 @x @y y (0; 0) no es un punto de mínimo ni de máximo local de f ya que: 3

f ( ; 0) = f ( ; 0) = con

> f (0; 0) 3 < f (0; 0)

> 0 y pequeño.

De…nición.- Sea f : D Rn ! R y sea x0 2 D. Diremos que x0 es un @f @f punto crítico de f si (8i = 1; 2; :::::; n) @x (x0 ) = 0 o si (9j = 1; 2; ::::; n) @x (x0 ) i j no existe. Observación.1. Como se aprecia en el ejemplo anterior, un punto crítico de f no es necesariamente un extremo local de f . 2. Un punto crítico de una función diferenciable f : D Rn ! R que no es un extremo local recibe el nombre de punto de silla de f . 34

2.2

El teorema de Taylor

Teorema.- Sea f : D Rm ! R de clase C k+1 . Sean P; H 2 Rm tales que el segmento de extremos P y P + H en notación [P; P + H] está incluído en D. Entonces: f (P + H) = f (P ) + df (P ) [H] + 21 d2 f (P ) [H] + ::::::::::::::+ 1 k d f (P ) [H] + Rk [H] + k! donde k [H] lim RkHk k = 0 H!

d2 f (P ) [H] = d3 f (P ) [H] = ds f (P ) [H] =

m X

@2f @xi @xj

i;j=1 m X

i;j;t=1 m X

i;j;t=1

(P ) hi hj

@3f @xi @xj @xt

(P ) hi hj ht

@sf @xi1 @xi2 ::::::::@xis

(P ) hi1 hi2 ::::::his

Demostración.- Se obtiene del teorema del mismo nombre para funciones de una variable. Observación.- En el caso k = 2 se tiene: f (P + H) = f (P ) + df (P ) [H] + 21 d2 f (P ) [H] + R2 [H]

2.3

Criterio de la segunda derivada o

Teorema.- Sean f : S R2 ! R y x0 2 S. Supongamos que f es de clase C 2 sobre una vecindad del punto crítico x0 . Sea D = fxx (x0 ) fyy (x0 )

2 fxy (x0 )

Entonces 1. x0 es un extremo local de f si D > 0. (a) x0 es un máximo local si fxx (x0 ) < 0. (b) x0 es un mínimo local si fxx (x0 ) > 0. 2. x0 es un punto de silla de f si D < 0. 3. El criterio no da información si D = 0. Demostración.- Se de…ne F (t) = f (a + ht; b + kt), donde (x0 ; y0 ) = (a; b), h y k son …jos. Luego se estudian los máximos y mínimos locales de la función de una variable F con ayuda del teorema de Taylor. Ver Cálculo con Geometría Analítica Thomas/Finney; 6a edición. Volumen 2; página 885.

35

. 2 2 Ejemplo.- estudiar extremos locales de f : R2 ! R; f (x; y) = eax +by ; ab 6= 0. Ejercicio.- Lo mismo para f : R2 ! R; f (x; y) = 3x2 + 5y 2 + 6x Respuesta.- ( 1; 2) es un punto de mínimo local para f .

2 fxy se llama discriminante de f .

Observación.- La expresión D = fxx fyy D=

2.4

20y.

fxx fxy

fyx fyy

Repaso de Formas cuadráticas

1. Una función q : Rn ! R se llama forma cuadrática si q (H) =

n X

aij hi hj

i;j=1

con H = (h1 ; h2 ; ::::::; hn ) y los aij son números reales …jos. A = (aij )i;j=1;2;::::;n se llama la matriz de la forma cuadrática q. De esta forma 0 1 h1 B h2 C B C T T C q (H) = H AH, donde H = B B : C, H = (h1 h2 :::::: hn ) @ : A hn

2. Se Se Se Se

dice dice dice dice

que que que que

q q q q

es es es es

simétrica si aij = aji ; i; j = 1; 2; ::::::; n. de…nida positiva si q (H) > 0 para cada H 6= de…nida negativa si q (H) < 0 para cada H 6= no de…nida si existen H1 ; H2 2 Rn tales que: q (H1 ) < 0 < q (H2 )

. Teorema.- Criterio de los valores propios Sea q : Rn ! R una forma cuadrática. 1. q es de…nida positiva ssi todos los valores propios de de la matriz asociada son positivos. 2. q es de…nida negativa ssi todos los valores propios de de la matriz asociada son negativos. 3. q es no de…nida ssi existen valores propios positivos y valores propios negativos. Demostración.- Ver Fleming, página 165. 36

. Teorema.- Criterio de Ruth Hurwicz Si q (H) = H T AH es una forma cuadrática sobre Rn tal que det A 6= 0, entonces q es: 1. de…nida positiva ssi

a11 > 0;

a11 a21

a12 a22

a11 a21 : > 0; ::::::::::::::::; : a11

a12 a22

a12

:::::: a12 :::::: a22 : : :::::: a11

a11 > 0; a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33

>0

2. q es de…nida negativa ssi a11 < 0;

a11 a21

a12 a22

k

::::::::; ( 1)

a11 a21 : : an1

a12 a22

an2

:::::: ::::::

::::::

; ::::::::::::: a12 a22 : : an1

>0

3. q es no de…nida ssi ninguna de las condiciones anteriores se cumple. Demostración.- Ver Edwards, página 149

2.5

La matriz Hessiana

De…nición.- Sea f : S

Rn ! R de clase C 3 , y sea qf la forma cuadrática qf (P ) (H) =

.La matriz simétrica H =

n X

@2f (P ) hi hj @xi @xj i;j=1

@2f (P ) @xi @xj

recibe el nombre de matriz Hessiana

de f en P . Teorema.- Sea f : A f.

Rn ! R de clase C 3 , y sea P un punto crítico de

1. Si la matriz Hessiana H es de…nida positiva, entonces P es un punto de mínimo local para f . 2. Si la matriz Hessiana H es de…nida negativa, entonces P es un punto de máximo local para f . 3. Si la matriz Hessiana H es no de…nida , entonces P es un punto de silla. 37

. Observación.@2f (P ) @xi @xj

1. Para usar este criterio es necesario que det

6= 0.

@f @f (P ) = (P ) = 0, se obtiene @x @y el criterio de la segunda derivada visto en la sección 2.3.

2. Para f : A

R2 ! R de clase C 3 tal que

. Ejemplo.- Estudiar los extremos relativos de la función f : R3 ! R; f (x; y; z) = x + z 2 ex(y

2

+z 2 +1)

Ejercicio.- Repetir lo mismo para f : R2 ! R; f (x; y) = exy+1

2.6

xy

Multiplicadores de Lagrange

Sean f; g1 ; g2 ; :::::::; gm : D

Rn ! R, con D abierto. Supongamos que:

(1) g1 (x) = g2 (x) = :::::::: = gm (x) = 0 () x 2 D1 con D1 vacío. Si x0 2 D1 y existe una vecindad N de x0 tal que

D abierto no

(2) f (x) f (x0 ), para todo x 2 N \ D1 decimos que x0 es un punto de máximo local para f sujeto a las restricciones (1). Si (2) es reemplazado por: (3) f (x) f (x0 ), para todo x 2 N \ D1 decimos que x0 es un punto de mínimo local para f sujeto a las restricciones (1). Si (2) y (3) valen para todo x 2 D, omitimos el adjetivo "local". . Teorema.- Sean f; g1 ; g2 ; :::::; gm : D Rn ! R de clase C 1 sobre el abierto D; n; m 1, y supongamos que x0 = (c1 ; c2 ; :::::; cn ) 2 D es un extremo local de f sujeto a las restricciones gi (x) = 0; 1 i m. Supongamos también que al menos uno de los Jacobianos @ (g1 ; g2 ; :::::; gm ) =x (1 @ (xi1 ; xi2 ; :::::; xim ) 0 es no nulo. entonces existen constantes m X

@f (x0 ) + @xi j=1

j

i1 1;

i2

::::::::

2 ; :::::;

@gj (x0 ) = 0; 1 @xi

m

im

n

tales que: i

n.

Demostración.- Hace uso del Teorema de la Función Implícita. Ver Trench, página 458.

38

. Observación.1. El teorema dice que si x0 es un punto extremo de f sujeto a las condiciones gi (x) = 0; 1 i m; entonces x0 es un punto crítico de F =f+

m X

j gj

j=1

para algunas constantes

1;

2 ; :::::;

m.

2. Los parámetros 1 ; 2 ; :::::; m son llamados multiplicadores de Lagrange y el método sugerido por 1) es llamado de los mutiplicadores de Lagrange. . Ejemplos.1. Encontrar los extremos de f (x; y) = x2

xy + y 2 sobre R = (x; y) 2 R2 : x2 + y 2

9

2. Hallar los valores máximos y mínimos que alcanza la función de…nida por: f (x; y) = xy sobre la elipse de ecuación x2 y2 + = 1. 8 2 Indicación.- f alcanza sus extremos sobre todo conjunto cerrado y acotado. . Ejercicios.1. Determine la máxima y la mínima distancia (si existen) sobre la hipérbola de ecuación xy = 1 al origen. Indicación.0 f (x; y) = x2 + y 2 . f es acotada superiormente. f alcanza un mínimo sobre la hipérbola. F (x; y) = f (x; y)

g (x; y) = x2 + y 2

(xy

1)

A (1; 1) y B ( 1; 1) minimizan a f sobre la hipérbola. Observación.- f no alcanza un máximo sobre la hipérbola. 2. Acote (si es posible) a 2x + 4y + 8z sobre la esfera x2 + y 2 + z 2 = 21. f es continua sobre la esfera (conjunto cerrado y acotado). Luego f alcanza sus extremos sobre la esfera. F (x; y; z) = f (x; y; z)

g (x; y; z) = 2x + 4y + 8z

x2 + y 2 + z 2

A (1; 2; 4) es un punto de máximo de f sobre la esfera. B ( 1; 2; 4) es un punto de mínimo de f sobre la esfera. 39

21

3. Encontrar la mínima distancia entre la circunferencia C : x2 + y 2 = 1 y la recta L : x + y = 4 Indicación.- Sean (x; y) 2 C y (u; v) 2 L. Debemos minimizar f (x; y; u; v) = (x

2

u) + (y

2

v)

sujeta a las condiciones x2 + y 2 = 1; u + v = 4. F (x; y; u; v) = f (x; y; u; v) 1 g1 (x; y; u; v) 2 g2 (x; y; u; v) Los puntos más cercanos sobre la circunferencia y la recta son: A

p1 ; p1 2 2

y B (2; 2).

. Cálculo III - 521227 4 de Mayo de 2010 JRC

40

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3

Integrales dependientes de un parámetro

3.1

Regla de Leibniz

Consideremos funciones de…nidas mediante la relación Z d (x) = f (x; t) dt; a x b c

c y d son constantes. Nos interesdamos en encontrar Teorema 1.- (Regla de Leibniz) Supongamos que (x) =

Z

0

(x).

está de…nida por

d

f (x; t) dt; a

x

b

c

c y d son constantes. @f son continuas sobre R = f(x; t) : a x b; c Si f y @x Z d @f 0 (x) = (x; t) dt c @x para a < x < b. Demostración.-

(x + k) k

Pero f (x + k; t)

f (x; t) =

(x)

Z

x+k

x

t

dg, entonces

Z Z 1 d 1 d f (x + k; t) dt f (x; t) dt = k c k c Z d 1 [f (x + k; t) f (x; t)] dt = k c

=

@f (u; t) du @x

Por lo tanto Z Z (x + k) (x) 1 d x+k @f = (u; t) dudt..........(1) k k c x @x @f @f Puesto que es continuan sobre R (cerrado y acotado), entonces es uni@x @x formemente continua sobre R; es decir, (8" > 0) (9 > 0)

@f (u; t) @x

@f " (x; t) < ::::::::::(2) @x d c

8t 2 [c; d] y 8u 2 [a; b] tal que jx uj < . Considerando u entre x y x + k como en (1), tenemos 41

9 x k, con k > 0 > > = x 0, con k > 0 .......(3) Por lo tanto > > ; jkj < =) ju xj < Luego para 0 < jkj < , tenemos Z d @f (x + k) (x) (x; t) dt = k c @x Z Z Z Z 1 d x+k @f 1 d x+k @f = (u; t) dudt (x; t) dudt = k c x @x k c x @x Z Z 1 d x+k @f @f = (u; t) (x; t) dudt k c x @x @x Z Z 1 d x+k @f @f (u; t) (x; t) dudt k c x @x @x Z Z d x+k (2) y (3) 1 1 " " dudt = (d c) k =" k c x d c k d c (note que si k < 0, entonces Z Z Z dZ x 1 d x+k 1 [g (u; t)] dudt jg (u; t)j dudt) k c x k c x+k Dado que " > 0 era …jo pero arbitrario, se tiene que Z d (x + k) (x) @f 0 (x) = lim = (x; t) dt. k!0 k c @x 0 k

u u

Ejemplos.1. Hallar

0

(x) si

(x) =

Z

2

f (x; t) dt y

0

f (x; t) =

2. Calcular

Z

0

1

(

sin xt t x

; ;

t 6= 0

t=0

du 2

(u2 + 1)

Solución.1. Si T es cualquier trayectoria distinta de la recta t = 0, entonces sin xt sin xt t6=0 lim f (x; t) = lim = lim x =a t xt (x;t)!(a;0) (x;t)!(a;0) (x;t)!(a;0) (x;t)2T

lim

(x;t)!(a;0) t=0

(x;t)2T

f (x; t) =

lim

(x;t)!(a;0) t=0

(x;t)2T

x=a

Por lo tanto,

42

lim

(x;t)!(a;0)

f (x; t) = a = f (a; 0),

lo que muestra que f es continua sobre cualquier punto de la recta t = 0. Claramente f es continua sobre el conjunto abierto R2 f(x; 0) : x 2 Rg. De esta manera tenemos que f es continua. Por otra parte, los cálculos conducen a que: @f @f : R2 ! R; (x; t) = cos xt @x @x @f por lo que concluímos que es continua. @x Es aplicable el teorema 1 y además 0

(x) =

Z

@f 1 (x; t) dt = sin x @x x 2

2

0

2. Para x > 0,

Z

1

0

Por lo tanto

.

d dx

Z

du 1 = 2 u +x x

Z

0

1

1

0

du = u2 + x

z= pux

du 1+

pu x

1 2x + 2x2

2

=

1 1 p arctan p x x

1

1 arctan p ........(1) x 2x 3 2

1 Aplicando el teorema 1 a la función f : ]0; +1[ R !R; f (x; u) = 2 u +x tenemos Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 du @f du d d = f (x; u) du = (x; u) du = 2 ....(2) dx dx 2+x 2 u @x 0 0 0 0 (u + x) de (1) y (2) Z 1 du 1 1 1 3 arctan p 2 = 2x + 2x2 + 2 x 2x 2 0 (u + x) …nalmente evaluamos en x = 1 para encontrar el resultado deseado Z 1 1 du = + 2 + 1)2 4 8 (u 0

Ejercicio.- Muestre que F (x) =

Z

1

ln 2

x2 t2 dt posee un máximo local en

0

x=0 p @f Indicación.- f y son continuas sobre R = 2 @x Z 1 2 t dt Leibniz F 0 (x) = 2x 2 x2 t2 Z 1 02 Z t dt d 1 t2 dt F 00 (x) = 2 2x x2 t2 dx 0 2 x2 t2 0 2 1 F 00 (0) = 3

43

p

2

[0; 1]

@f Teorema 2.- Supongamos que f y satisfacen la condiciones de hipótesis del @x teorema 1, y que Z z f (x; t) dt; c y d; c z d F (x; y; z) = y

Entonces: Z z @F @f @F @F (x; y; z) = (x; t) dt; (x; y; z) = f (x; y) ; (x; y; z) = f (x; z) @x @y @z y @x Demostración.- i) Teorema 1; ii) T. F. del Cálculo; iii) T. F. del Cálculo Teorema 3.- (Regla general bajo el signo integral) @f Supongamos que f y son continuas sobre el rectángulo @x R = f(x; t) : a

x

b; c

t

y que g0 y g1 son de clase C 1 sobre a Z (x) =

x

b. Si

dg está de…nida por

g1 (x)

f (x; t) dt

g0 (x)

entonces 0

(x) = f (x; g1 (x)) g10 (x)

f (x; g0 (x)) g00 (x) +

Z

g1 (x)

g0 (x)

@f (x; t) dt @x

Demostración.- (x) = F (x; g0 (x) ; g1 (x)) por lo tanto Teo 2 0 (x) = Fx (x; g0 (x) ; g1 (x)) + Fy (x; g0 (x) ; g1 (x)) g00 (x) + +Fz (x; g0 (x) ; g1 (x)) g10 (x) 0

Ejemplo.- Hallar

(x) si

(x) =

Z

x2

t dt; x > 0. x2 2tx 2 t + x4

arctan

0

t @f (x; t) = Solución.- f (x; t) = arctan 2 ; x @x @f f y son continuas sobre R = (x; t) 2 R2 : x > 0 @x g0 (x) = 0; g1 (x) = x2 . g0 ; g1 2 C 1 ]0; +1[ 0

Teo3

(x) = f =

2

(x; g1 (x)) g10 Z

x

x2

t2

0

(x)

f

2tx t=ux2 dt = x 4 +x 2

Z

g1 (x)

@f (x; t) dt = g0 (x) @x Z 1 h i 2udu x = x ln 2 2 2 0 u +1

(x; g0 (x)) g00

(x) +

Teorema.- (Integración bajo el signo integral) Sea f : [a; b] [c; d] ! R continua. Se tiene: ! ! Z b Z d Z d Z b f (x; t) dt dx = f (x; t) dx dt a

c

c

44

a

Demostración.- Se aplica la regla de Leibniz a la función de…nida por: Z b Z f (x; t) dt dx ( )= c

a

Ejercicio.- Pruebe que si b > a > 1, p Z b cos x b + b2 1 p dx = ln cos x a + a2 1 0 a Z dx Indicación.=p para > 1. 2 cos 1 0 !x Z x Z b Z x d b cos x dx = ln dx cos x a cos x 0 a 0 p Z b p b + b2 1 d b 2 p p = ln + 1 =a = ln 2 1 a + a2 1 a

3.2

Integrales impropias dependientes de un parámetro

De…nición.- F (x) =

Z

+1

f (x; t) dt es uniformenmente convergente si F (x) = Z b lim F (b; x) uniformemente, donde F (b; x) = f (x; t) dt; es decir, c

b!+1

c

(8" > 0) (9M > 0) b > M =) jF (x)

F (b; x)j < "; 8x 2 [a; b]

Criterio de convergencia normal Si 1. (8t 2 I = [c; +1[) jf (x; t)j Z +1 2. g (t) dt converge

g (t), y g es tal que

c

Entonces

Z

+1

f (x; t) dt

c

converge uniformemente.

Demostración.- Resulta del criterio de Cauchy de convergencia uniforme que dice: F (x) = lim F (b; x) uniformemente() b!+1

(8" > 0) (9M > 0) b; b0 > M =) jF (b; x)

F (b0 ; x)j < "; 8x 2 [a; b]

. Teorema 4.- Consideremos la función de…nida por: Z +1 F (x) = f (x; t) dt; a x b; c = cte: c

Si

45

1. f : [a; b]

[c; +1[ ! R es continua Z +1 f (x; t) dt es uniformemente convergente. 2. la integral c

Entonces F es continua.

. Teorema 5.- (Regla de Leibniz) Si: 1. la integral F (x) =

Z

+1

f (x; t) dt converge para un valor x0 de [a; b]

c

2. f y Z

@f son continuas sobre [a; b] @x

[c; +1[

+1

@f (x; t) dt converge uniformemente sobre [a; b] @x c Entonces Z +1 4. F (x) = f (x; t) dt converge uniformemente sobre [a; b] 3.

c

5. F es derivable y d dx

Z

+1

f (x; t) dt =

c

Z

+1

c

@f (x; t) dt @x

. Observación.- Vale el mismo resultado, si cambiamos el intervalo I = [c; +1[ por cualquier otro intervalo no acotado de R. 0

Ejemplo.- Hallar F (x) si F (x) =

Z

+1

0

x t+

2 2

sin

1 t+

2

dt; 0

x

1.

@f son continuas sobre [0; 1] [0; +1[ @x F (x) converge para x = 0. Z +1 @f 2 = g (t) y g (t) dt = converge. (x; t) 2 @x 0 t+ 2 Z +1 @f (x; t) dt converge uniformemente por criterio de convergencia nor@x 0 mal. Se veri…can las hipótesis del teorema 5. Indicación.- f y

Ejercicios.1. Use el hecho que para

>1 Z 0

dx x =p 2 cos x 46

1

para probar que Z ln (1 + I( )=

cos x) dx =

0

Indicación.- Sea T ( ) =

ln p 1+ 1 ln 2

1+

p

2

1 2

2

. Pruebe que

T 0 ( ) = I0 ( ) T (0) = I (0) Por lo tanto T( )=I( ) Z 2. si J ( ) = ln 1 + 2 cos x +

2

dx, pruebe que:

0

ln 0

J( )=

2

; j j1

Indicación.- Usar 1). 3. Sea h : R ! R f0g de clase C 1 . Encuentre si existe Z 1 : R ! R; (x) = f (x; t) dt y

0

(x), donde:

0

f (x; t) =

(

sin th (x) t h (x)

4. La función Gamma.- Se de…ne por: Z +1 (x) = e

u x 1

u

; ;

t 6= 0

t=0

du; x > 0

0

Muestre que (x) converge para x > 0. (ver pág 273, Cálculo Superior: Murray R. Spiegel (Schaum) . Observación.1. La función Gamma tiene muchas aplicaciones en matemática y física. 2. Una propiedad útil de la función

es la relación de recurrencia

(t + 1) = t (t) Demostración.- Se obtiene de la de…ción. (queda como ejercicio) 3.

(+1) = 1 Demostración.- Se obtiene de la de…nición. (veri…carlo).

47

4.

(n + 1) = n! Demostración.- Usando 2) con t = n.

5. La función

es una generalización de la función factorial.

. También es válido el siguiente resultado: Teorema.-Si f : [a; +1[

[c; d] ! R es continua y si

uniformemente sobre [c; d], entonces ! Z Z +1

d

f (x; t) dt dx =

a

Z

c

c

Z

+1 e Ejercicio.- Calcule la integral I = 0 Z b e ax e bx xy e dy. = Indicación.x a Z b xy ax f (x; y) = e ; jf (x; y)j e ; e ! Z +1 Z b Z ba Z teo. I= e xy dy dx =

Z

0

0 +1

e

a

xy

dx = lim

R!+1

1 e y

Z

d

a R

xy

Z

+1

f (x; t) dx converge

a

+1

f (x; t) dx dt

a

ax

e

x

dx; 0 < a < b.

x

ax

dx =

1 converge. a

+1

e

xy

dx dy

0

= 0

1 lim e y R!+1

Ry

1 =

Observación.- Vale la misma observación de la página anterior.

. Cálculo III - 521227 4 de Mayo de 2010 JRC

48

1 y

UNIVERSIDAD DE CONCEPCION DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Prof. Jorge Ruiz Castillo

4

INTEGRACIÓN

4.1

INTRODUCCION

Generalizaremos el concepto de integral de funciones de…nidas sobre una parte de R con valores en R, considerando funciones de…nidas sobre una parte de Rn con valores en R. En este caso hablaremos de integrales múltiples. Notaciones y de…niciones previas 1. De…nición.- Sean a; b 2 Rn , de…nimos: a a
0) (8x 2 I) jf (x)j

M.

2

(c) Sea z = f (x; y), f : I R ! R, I es un rectángulo cerrado de R2 , f es continua y no negativa sobre I, entonces S (f; ) y s (f; ) son aproximaciones del volumen V bajo la super…cie z = f (x; y) acotado por I (para cualquier partición de I). se tiene: s (f; )

V

S (f; ) .

6. Sean y 0 dos particiones rectangulares de I, diremos que 0 es más …na que si cada subrectángulo de 0 está contenido en algún subrectángulo de . En notación: 0 . 7. Consideremos junto:

0

= fI1 ; I2 ; ::::; IN g, 0

0 = fI10 ; I20 ; ::::; IM g, entonces el con-

= fIi \ Ij : i = 1; :::; N ; j = 1; :::::; M g

es una partición rectangular de de I. Recibe el nombre de partición rectangular producto de y 0 . Además se tiene: 0

;

0

0

.

8. Previo a la de…nición de función integrable - Riemann sobre Rn necesitamos los siguientes : Lema 1.- Si

0

son dos particiones de I, entonces s (f; )

s (f;

0

) ; S (f;

51

0

)

S (f; )

Demostración.- (para f no negativa) Por 3 y de…nición de s (f; ) ya que en la medida que tonces s (f; 0 ) es más cercana a V . Lema 2.- Si

y

0

Demostración.- s (f;

4.2

es más …na, en-

son dos particiones cualquiera de I, entonces 0

s (f;

Notación.-

0

0

L1

)

(I) = f :

)

s (f;

S (f; ) . 0

)

S (f;

0

)

S (f; )

es una partición rectangular de Ig.

La integral de Riemann sobre un rectángulo

De…nición.- Una función acotada f : I Rn ! R se dice integrable en el sentido de Riemann (o Riemann integrable) sobre I si inf fS (f; )g = sup fs (f; )g

2 (I)

2 (I)

El número real que expresa este valor común se denota por: Z Z Z f f dx1 dx2 ::::dxn f dV I

o

Z

f (x) dx

I

Ejemplos.1. Sea f : I

I

Z

I

f (x) dx1 dx2 ::::dxn

I

Z

f (x) dx

I

Rn ! R, f (x) = c, con c =constante. Encontrar

existe. 2. Considere f : [0; 1] [0; 1] ! R, f (x; y) = Z Encontrar f dV si existe.

Z

f dV si

I

0 ; si x es racional . 1 ; si x es irracional

I

. Observación.- Un criterio de integrabilidad en el sentido de Riemann es dado por el siguiente: Teorema.- Sean I un rectángulo cerrado en Rn , f : I Rn ! R una función acotada. f es integrable Riemann ssi para cada 2> 0 existe una partición de I tal que S (f; ) s (f; ) 0 c inf fS (f; )g = c sup fs (f; )g = 2 (I)

= sup fs (cf; )g.

2 (I)

2 (I)

2 (I)

53

Finalmente Z Z c f dx = cf dx I

INTEGRALES ITERADAS

I

Daremos un método simple para evaluar integrales, consiste en expresar la integral en términos de ”integrales iteradas” para luego aplicar el 2o teorema fundamental del cálculo. Vocabulario previo.- Sea A = X Y Rn Rm Rn+m . n+m Sea f : A R ! R una función. Entonces para cada x 2 X Rn …jo de…nimos la función Rm ! R; fx (y) = f (x; y)

fx : Y y para cada y 2 Y

Rm …jo de…nimos Rn ! R; fy (x) = f (x; y) .

fy : X

Se de…nen la integral inferior y la integral superior de Riemann de f respectivamente por Z Z f = sup fs (f; )g ; f = inf fS (f; )g . 2 (I)

I

2 (I)

I

Con esto enunciamos el siguiente:

TEOREMA DE FUBINI Sean I Rn , J Rm rectángulos cerrados, f : I J ! R acotada y Riemann - integrable. Entonces para cada x 2 I …jo, las funciones Z Z fx y x x fx J

I

son Riemann - integrables sobre I, y Z

f=

I J

Z

I

Z

fx

J

!

=

Z

I

Z

fx

J

si f es continua, las funciones fx , fy son Riemann - integrables para cada (x; y) en el dominio de f , y además se tiene: Z Z Z Z Z f (x; y) dV = fx (y) dy dx = fy (x) dx dy I J I J I J Z Z Z Z = f (x; y) dy dx = f (x; y) dx dy I

J

I

54

J

Corolario.- Si f : I Rn ! R es continua, con I = I1 son intervalos cerrados de R, se tiene: Z Z f dV = f dx1 dx2 ::::dxn = I

I

Z

=

In

Z Z

=

Z

In In

1

f (x; y) dxdy =

I

4.3

:::::

In

:::::

In , y los Ii

f (x1 ; x2 ; ::::; xn ) dx1 ::::: dxn

1

I1

1

Z n |{z} :: :: f (x1 ; x2 ; ::::; xn ) dx1 ::::::dxn

!

dxn

1 dxn .

I1

R2 ! R; f (x; y) = x2 + y, con I = [0; 1]

Ejemplo.- Sea f : I Z

Z

I2

Z

1

0

Z

2

x2 + y dy dx =

0

Z

[0; 2], entonces

1

2x2 + 2 dx =

0

8 3

Integrales sobre conjuntos acotados de Rn

Sea A Rn acotado. entonces existe un rectángulo cerrado I de Rn tal que A I. De…nimos la función: 0 ; 1 ;

Rn ! f0; 1g ; XA (x) =

XA : I

x2I A x2A

XA se llama la función característica de A. Dada f : A Rn ! R acotada, consideremos la función f XA : I

0 ; x2I A f (x) ; x2A

Rn ! R; XA (x) =

Si f es acotada sobre A se de…ne: Z

A

f=

Z

I

f XA ;

es decir, f 2 R (A) () f XA 2 R (I) Observación.- Siguen siendo válidas las propiedades señaladas anteriormente para integrales sobre un rectángulo. Ejemplos.1. Hallar

Z

f (x; y) dV si f (x; y) = x + y, donde

A

A = (x; y) 2 R2 : 0 55

x

1; 0

y

1

x2

2. hallar el valor de

Z

x2 ydxdy, donde

S

n S = (x; y) 2 R2 : y 2 3. Evaluar la integral

Z

2px; x

po ,p>0 2

f (x; y; z) dxdydz si f (x; y; z) = xyz, y

B

B = (x; y; z) 2 R3 : x2 + y 2 + z 2

4; y

0; z

0

Observación.1. Si I = [a; b] [c; d] [p; q], g : I R3 ! R es integrable y veri…ca la propiedad g (x; y; z) = g1 (x) g2 (y) g3 (z), entonces Z

gdV

Z bZ dZ

=

I

a

c

Z

=

b

Ejemplo.- Si I = [0; 1] x

e ydxdy =

I

2. Si A

d

g2 (y) dy

c

! Z

q

g3 (z) dz

p

[1; 2], entonces

Z 2Z 1

g (x; y; z) dzdydx ! Z

g1 (x) dx

a

Z

p

q

1 x

e ydxdy =

0

Z

2

ydy

1

Z

1

ex dx

0

=

3 (e 2

1)

Rn es acotado, se de…ne el volumen de A por: Z V (A) = dV A

Ejemplo.- Calcular el volumen de la región W R3 acotada por el cilindro de ecuación x2 + y 2 = 1 y los planos z = 0 y z = 2. Rn acotado y tal que V (A) =Z 0. Sea f : A y supongamos que f 2 R (A), entonces f = 0.

3. Sean A

Demostración.Z f (x) dV A

Rn ! R acotada

A

Z

Z jf (x)j dV =A I jf (x)j XA (x) dV jf (x)j A I Z Z M XA (x) dV = M dV = M V (A) = 0. I

M

A

4. Si D Rn , entonces F r (D) es un conjunto de medida 0 (o contenido cero). De este modo tienen medida cero, los conjuntos que contienen un número …nito de puntos en R, las curvas en R2 , las super…cies en R3 , etc. 56

Ejemplo.- Calcular

Z

2

x2 + y exyz d (x; y; z), donde

S

S : x2 + y 2 + z 2 = 1 5. Si f 2 R (A), f 2 RZ(B) y A \ZB = Z, entonces f 2 R (A [ B) y . f= f+ f A[B

A

Indicación.- f XA[B = f XA + f XB

B

. Teorema.- Sea D Rn acotado y sea f : D Rn ! R acotada y continua sobre D A, donde A es tal que V (A) = 0, entonces f 2 R (D). Idea de la demostración.Z Z Z f (x) dV = f (x) dV + f (x) dV = D A A ZD A Z = f (x) XD A (x) dV + f (x) XA (x) dV = I ZI = (f (x) XD A (x) + f (x) XA (x)) dV = ZI Z = f (x) XD (x) dV = f (x) dV: I

D

Falta ver que f 2 R (A). Observación.- Si f y g son continuas sobre D A, D Rn acotado, A D es tal que V Z(A) = 0, Z entonces si f y g son acotadas y (8x 2 D A) f (x) = g (x), entonces f= g. D D Z 2xz ; z 6= 0 ,y Ejemplo.- Calcular f , donde f (x; y; z) = y ; z=0 S S = (x; y; z) 2 R3 : x > 0; y > 0; z > 0; x + y + z < 1

4.4

Cambio de variables

En una variada clase de problemas es más conveniente usar un sistema de coordenadas diferente al sistema de coordenadas rectangulares. Por ejemplo, en R3 hemos de…nido los sistemas de cordenadas cilíndricas (o semipolares) y esféricas (o polares). Por lo tanto es importante conocer las expresiones de las integrales múltiples cuando ”cambiamos variables”; es decir, cuando a partir de un sistema de coordenadas pasamos a otro. Recordemos la situación para el caso de funciones reales de una variable real. 57

Para una función f : [a; b] ! R que satisface condiciones apropiadas se tiene: Z b Z f (b) g (f (x)) f 0 (x) dx = g (u) du. a

f (a)

Este resultado es generalizado por el siguiente: Teorema.- Sea f : G que 8u 2 G :

Rn ! Rn de clase C 1 (G) e inyectiva, G abierto tal

@ (f1 ; f2 ; ::::; fn ) (u) = jJ (f; u)j = @ (u1 ; u2 ; ::::; un ) Entonces,

Z

g (x) dV =

f (G)

Z

G

@f1 @u1

@fn @u1

(u) ::::::: : ::::::: : (u) :::::::

@f1 @un

@fn @un

(u) : : (u)

6= 0.

(g f ) (u) jJ (f; u)j dV .

Observación.- jJ (f; u)j se llama también Jacobiano de la trasformación. Ejemplos.1. Calcular

Z

g (x; y) dV , donde g (x; y) = y 2 ,

D

D = (x; y) 2 R2 : x > 0; 0 < xy < 3; x < y < 2x 2. Consideremos la integral

Z

(x + y) dxdy, donde S es el paralelogramo de

S

vértices: (0; 0) ; (1; 1) ; (3; 1) ; (2; 0). 3. Calcular el área encerrada por la elipse:

x2 y2 + 2 = 1. a; b > 0 2 a b

. Ejercicio.- Calcular el volumen encerrado por el elipsoide: x2 y2 z2 + 2 + 2 = 1; a; b; c > 0: 2 a b c

4.5

Coordenadas polares, cilíndricas y esféricas

Coordenadas polares planas.- En este caso particular consideramos la transformación ' G

: G R2 ! R2 ; ' (r; ) = (r cos ; r sin ) = (x; y) = (r; ) 2 R2 : r > 0; 0 < < 2 . 58

Se tiene: J ('; (r; )) =

cos sin

r sin r cos

= r.

' es de clase C 1 (G) e inyectiva: Sea G1 = (r; ) 2 R2 : 0 < r < r1 ; 0 < < 2 , entonces n o 2 ' (G1 ) = (x; y) 2 R2 : x2 + y 2 < (r1 ) r=

p y x2 + y 2 ; = arctan x

Ejemplo.- Calcular

Z

2 2 g (x; y) dxdy, donde g (x; y) = e (x +y ) y

D

n o 2 D = (x; y) 2 R2 : x2 + y 2 < (r1 )

Coordenadas semipolares o cilíndricas en R3 .- Considemos el caso particular de la transformación ' G

: G R3 ! R3 ; ' (r; ; z) = (r cos ; r sin ; z) = (x; y; z) = (r; ; z) 2 R3 : r > 0; 0 < < 2 ; 1 < z < +1 .

Entonces, J ('; (r; ; z)) =

cos sin 0

r sin r cos 0

0 0 1

= r.

1 ' es de clase n C (G) e inyectiva: o Sea G1 = (r; ; z) 2 R3 : 0 < r < r1 ; 0 < < ; 0 < z < z1 , entonces 2 n o 2 ' (G1 ) = (x; y; z) 2 R3 : x2 + y 2 < (r1 ) ; 0 < x < r1 ; 0 < y < r1 ; 0 < z < r1

59

En este caso, si f es Riemann - integrable sobre ' (G), se tiene: Z Z f (x; y; z) dV = (f ') (r; ; z) jJ ('; (r; ; z))j drd dz '(G) G Z = f (r cos ; r sin ; z) rdrd dz Ejemplo.- Evaluar

Z

D

G

x2 dV , si D = (x; y; z) 2 R3 : 0

1; x2 + y 2 < 1

z

. Coordenadas polares o esféricas.- Consideremos la transformación: ' G

: G ! R3 ; ' ( ; ; ) = ( sin cos ; sin sin ; cos ) = (x; y; z) = ( ; ; ) 2 R3 : > 0; 0 < < ; 0 < < 2 .

J ('; ( ; ; )) =

sin cos sin sin cos

cos cos cos cos sin

1 ' es de clase n C (G) e inyectiva: Sea G1 = ( ; ; ) 2 R3 : 0 < < 1; 0