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Facultad de Ingeniería Química Universidad Nacional del Litoral

TESA – MÓDULO I Tema II: Principios de las Máquinas Eléctricas

TEMA II PRINCIPIOS DE LAS MAQUINAS ELECTRICAS Asignatura: Tecnología de la Electricidad y de los Servicios Auxiliares Módulo I: Tecnología de la Electricidad Carreras: Ing. Química – Ing. en Alimentos (plan 1999) FIQ-UNL

1

TEMA II: PRINCIPIOS DE LAS MÁQUINAS ELÉCTRICAS Aplicación de las leyes de Faraday y Laplace Cuando un circuito eléctrico está sometido a la acción de un campo magnético que varía (aumenta, disminuye o se mueve) se produce en él una fuerza electromotriz inducida (f.e.m.) proporcional a la variación de flujo y cuyo valor está expresado por la ley de Faraday: dϕ (1) e = −N ⋅ dt de donde e es la f.e.m. inducida en Volt, N es la cantidad de espiras que abrazan al flujo variable, dϕ es el incremento de flujo magnético en (Weber) y dt es el intervalo de tiempo en que se produce la variación dϕ en segundos. La relación dϕ/dt es evidentemente la velocidad de variación de flujo. Para nuestro estudio en las máquinas, esta ley puede aplicarse a dos casos bien típicos y concretos que pasamos a tratar brevemente. Supongamos que un trozo de conductor de largo activo l, atraviesa con velocidad v un campo magnético de inducción B en dirección normal a sus líneas, según se ilustra en la figura 1.

N A’

A l

v

e

e B

dx

B’

S

Figura 1 En dicha figura vemos el conjunto en perspectiva que si se desplaza en la dirección generará una f.e.m. e que dará lugar a que entre sus bornes A y B aparezca una f.e.m. que pueda ser medida por medio de un instrumento. El sentido de la f.e.m. se determina por medio de una regla práctica llamada de la mano derecha. El trozo de conductor de terminales A y B, se mueve linealmente con la dirección fijada, y después de un cierto intervalo de tiempo dt, a pasado a ocupar la posición A' y B', desplazándose una cantidad dx. En esa traslación, la parte activa l ha "barrido" una superficie dS = l . dx y como la inducción vale B, el flujo que ha cruzado tiene por valor: 2

dϕ = B . dS = B . l . dx

(2)

que reemplazamos en la (1). Como resultado de ese reemplazo nos encontramos con que dx/dt es la velocidad lineal de traslación, con la que la fórmula queda finalmente: dϕ dx (3) e = −N ⋅ = −N ⋅ B ⋅ l ⋅ dt dt siendo N = 1 e=B.l.v

(4) 2

en la que e es la f.e.m. en (Volt), B es la inducción magnética en (Weber/m ), l es el largo activo en (m) y v es la velocidad de traslación en (m/s). El descrito es el caso de un campo fijo y un conductor móvil. Pero también se encuentra el caso de un circuito eléctrico fijo bajo la acción de un campo alternativo, tal como ilustramos esquemáticamente en la figura 2, en donde una bobina de N espiras está colocada en un campo magnético alternativo.

Flujo Magnético Alternativo

i e

~ Bobina de N espiras

Figura 2 El flujo abrazado por la bobina tendrá un valor que se determina con la expresión Φ = Φmáx .cos (2. π. f.t) y aplicando éste a la fórmula (1) tendremos: e=−

N ⋅ d (Φmáx ⋅ cos( 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ t ) ) dt

e = 2. π .f .N .Φmáx .sen (2. π.f. t)

(5)

3

El valor máximo de esta función será evidentemente : Emáx = 2.π. f.N.Φmáx y su valor eficaz: E=

Emáx 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ N = ⋅ Φmáx 2 2

(6)

(7)

Operando y ordenando: E = 4,44. f.N.Φmáx

(8)

Esta fórmula es muy importante, ya que permite determinar la f.e.m. alternada que se induce en una bobina de N espiras, sometida a un flujo variable de valor máximo Φmáx que oscila con frecuencia f. Tomando el flujo máximo en (Weber), la frecuencia en (c/s), la f.e.m. inducida resulta en (V). La formula (8) se puede completar considerando que si S es la sección recta en (m2), que abarca la bobina y Bmáx la inducción en (W/m2), el flujo máximo abrazado por la misma resultará dado por :

Φmáx = Bmáx.S

(9)

que una vez reemplazada en la (8) permite obtener: E = 4,44. f.N. Bmáx. S

(10)

Otra importante expresión de mucho uso en las máquinas es la que deriva de la ley de Biot-Savart y Laplace. Una f.e.m. inducida, de movimiento e = B.l.v engendra en la bobina cerrada una corriente i cuyo trabajo con el tiempo dt tiene por expresión : dA = e.i.dt (julios)

(11)

y se transforma en calor . Este trabajo sólo puede producirse si se ha cedido un trabajo mecánico al conductor que se mueve en el campo magnético. Recíprocamente podremos observar un efecto dinámico cuando un conductor se encuentra dentro de un campo magnético y por él pasa una corriente (figura 3).

4

N A-

f e

i

B+

S Figura 3 El sentido en que se moverá un conductor, o sea el que tendrá la fuerza f que actuará sobre el mismo, puede determinarse por la regla de la llamada de la mano izquierda, que dice: poniendo la mano izquierda extendida en tal forma que el flujo entre por la palma de la mano y que la punta de los dedos indiquen el sentido de la corriente, entonces el pulgar tieso marcará el sentido en que actúa la fuerza sobre el conductor. Si la fuerza electromagnética vale f (kg) , el trabajo que desarrolla al mover la bobina a lo largo del camino dx vale : f . dx (kgm). Este trabajo mecánico tiene que ser igual al trabajo eléctrico producido en el circuito, que vale: e . i . dt (julios) y recordando que, 1 julio = 0,102 kgm se tiene : f . dx = 0,102 . e . i . dt (kgm) f =

(12)

0,102 ⋅ e ⋅ i 0,102 ⋅ B ⋅ l ⋅ v ⋅ i = (kg ) dx v dt

(13) f =0,102 . B . l .i (kg)

(14) 2

en donde f está dada en (kg), B en (Weber/ m ), i en (A) y l en (m).

Máquinas elementales A modo de introducción, con la simple idea de generalizar, y a los efectos de obtener una serie de conclusiones válidas en todas las máquinas, se explicaran aquí tres tipos de máquinas básicas utilizando modelos elementales. Dichos modelos, pese a su simplicidad, se comportan como las máquinas reales, pudiéndose obtener entonces una serie de conceptos que veremos aparecer repetidamente a lo largo del desarrollo de la materia.

5

Generador elemental: en la figura 4 se representa un generador elemental consistente en un conductor de terminales A y B que cruza con velocidad v un campo magnético de inducción B.

N fa

A+

e

v

Rc

i

C

i

B-

S

Figura 4 Entre los bornes A y B (terminales) está conectada una resistencia exterior que representa al consumo y que se denomina carga . A raiz de la velocidad impresa al conductor, se genera en éste una f.e.m. e según la (4), cuyo sentido está indicada en la figura 4 y se determina con la regla de la mano derecha. Como el circuito es cerrado, la f.e.m. ocaciona una corriente cuyo valor es : e B ⋅l ⋅v (15) i= = Ri + Rc Ri + Rc en donde Rc es la resistencia de la carga, y Ri es la resistencia interior del generador, que para este caso elemental es la resistencia que encontramos desde A hasta B en el conductor donde se produce la f.e.m. Pero al circular la corriente i por el conductor colocado dentro del campo magnético, aparece en éste una fuerza cuyo valor se calcula con la (14) y cuyo sentido se determina con la regla de la mano izquierda. Nótese que la fuerza es contraria a la dirección del movimiento, por cuya razón para desplazar el conductor es menester desarrollar una cierta potencia mecánica: pm = K . fa . v

(16)

Esta potencia se transforma por vía electromagnética en el circuito eléctrico, en una corriente que desarrolla una potencia 2

2

pe = e . i = i . Rc + i . Ri

(17)

6

2

El valor pu = i . Rc es la potencia reducida de la carga, y por lo tanto la llamaremos 2potencia útil porque es la que se utiliza exteriormente a la máquina, y el valor pi = i . Ri es la potencia que se transforma en calor dentro de la máquina, y que llamaremos potencia interior. Por lo tanto: pm = pe = pu + pi

(18)

Esta última expresión nos dice que la potencia eléctrica pe de la cual una parte pu va al circuito exterior para ser utilizada, y por otra parte pi se pierde dentro del generador en forma de calor. La ecuación (18) es una expresión del principio de conservación de la energía aplicado a este caso particular. Desde el punto de vista puramente óhmico, podemos aplicar la segunda ley de Kirchhoff al circuito eléctrico y plantear: e = i . Rc + i . Ri

(19)

Como i . Rc = u es la tensión en bornes del generador: u = e - i . Ri

(20)

ecuación que con adecuadas variantes, encontraremos repetidamente a lo largo del estudio de las máquinas. Motor elemental: En la figura 5 vemos el croquis de un motor elemental, consistente en idénticos elementos del generador de la figura 4, con la diferencia que el circuito exterior está conectado a un generador de corriente contínua, en ésta figura una simple pila.

N A+

ec

f v

i

µ B-

S

Figura 5

7

La corriente que se establece i, provoca en el conductor una fuerza f que origina el movimiento del mismo con velocidad v. A causa de este desplazamiento se induce una f.e.m. como en el caso de un generador, que se llama fuerza contra electromotriz ec y que tiende a oponerse a la corriente establecida. La fuerza se determina con la formula (14) y la potencia mecánica o potencia útil, está dada por: pm = f . v = B . v . i . l = pu

(21)

Despejando la velocidad v de la (4) y reemplazándola: pm = pu = ec . i

(22)

lo que nos indica que la potencia que desarrolla el motor es igual al producto de la corriente por la f.e.m.. Pero el circuito interno tiene una resistencia Ri, de tal manera que consume una potencia interior pi = i2 . Ri, por lo tanto, desde el exterior, la fuente de corriente debe suministrar la potencia que se transforma en mecánica más lo que se pierde por efecto joule en Ri. De esta manera nos queda: pe = pu + pi

(23)

siendo pe = u. i la potencia que el motor toma en la red de alimentación. Viendo el problema desde un punto de vista puramente óhmico, la corriente que absorbe el motor elemental estará dada por la siguiente expresión:

i=

u − ec Ri

(24)

que deriva directamente de la 2da ley de Kirchhoff. Ordenando resulta : u = ec + i . Ri

(25)

ecuación muy semejante a la (20), y también de gran utilidad para el estudio de las máquinas eléctricas.

8

Transformador elemental Φp U

Φs

t=t

i

ip

Instante

~

µp

Np

is

V

iP i U

µs

Ns

t

c

t

V

Φp

Φs

Figura 6 En la figura 6, hemos representado el croquis de una transformación elemental, consistente en una bobina primaria de Np espiras, colocadas en las proximidades de otra bobina secundaria de Ns espiras, de tal manera que el flujo magnético que produzca una de ellas llega a la otra y viceversa. El primario se conecta a una fuente de corriente alterna, mientras que el secundario se conecta a un receptor de energía que como en el caso de un generador elemental, se llama carga. Para estudiar lo que ocurre, supongamos que está circulando corriente por el primario con el sentido indicado en la figura y que esa corriente está en proceso de crecimiento, vale decir, sorprendemos al fenómeno en un instante como el señalado en el gráfico cartesiano representado en la figura 6. Por la regla del tirabuzón determinamos el sentido del flujo primario ΦΡ en ese instante que es hacia abajo y creciendo, y parte de ese flujo llega a la bobina secundaria. Estando esta última entonces bajo la influencia de un flujo variable y creciente, se induce en ella una f.e.m. que, como el circuito está cerrado, produce a su vez una corriente is. Por el principio de acción y reacción, esta última corriente procurará producir un flujo que se oponga a la causa que lo genera, es decir, un flujo de dirección contraria a ΦΡ y que hemos marcado con φs en la figura. Este flujo del secundario que llega al primario, también es variable, y genera en éste una f.e.m. que actua como la f.c.e.m. de los motores. Tomando los valores instantáneos (porque no debemos olvidar el hecho que se trata de magnitudes variables ) podemos establecer para el primario : up = ec + ip . Zp

(26)

es decir, la tensión aplicada debe equilibrar a la fuerza contra - electromotriz ec y a la caida interna del bobinado, caracterizada en este caso por la impedancia Zp por tratarse de magnitudes alternas. En cambio, en el secundario tendremos :

9

us = es - is . Zs

(27)

o sea que la tensión resultante es igual a la f.e.m. inducida por el flujo magnético resultante, menos la caida de tensión por impedancia del secundario. Nótese que la (20) y (25) son semejantes a la (26) y (27), lo que nos indica que el primario de un transformador se comporta en forma análoga a un motor y el secundario, a un generador.

Balance energético en las máquinas rotantes Haremos ahora un estudio generalizado del funcionamiento de las máquinas rotantes, haciendo intervenir los grandores eléctricos (corriente, tensión) y los grandores mecánicos (cupla, velocidad). Para ello utilizaremos el método más generalizado que consiste en partir del principio de conservación de la energía. El funcionamiento de una máquina eléctrica pone en juego cuatro formas de energía, y que están relacionadas en la forma siguiente: MOTORES Energía eléctrica absorbida

Energía = mecánica en el eje

Incremento de + energía almacenada en el campo magnético de acoplamiento

Energía + disipada en forma de calor

(28)

Incremento de + energía almacenada en el campo magnético de acoplamiento

Energía + disipada en forma de calor

(29)

GENERADORES Energía mecánica absorbida

Energía = eléctrica entregada

La energía disipada en forma de calor corresponde, como más adelente se verá con más detalles, a: • • •

pérdidas en las resistencias pérdidas mecánicas pérdidas magnéticas

Reagrupando las pérdidas dentro de los términos de las ecuaciones precedentes, podemos escribir:

10

MOTORES Energía eléctrica absorbida, menos las pérdidas por Joule

Energía mecánica en = el eje, mas las pérdidas mecánicas

Incremento de + energía almacenada en el campo mas las pérdidas en el hierro

Energía eléctrica = entregada mas pérdidas por Joule

Incremento de + energía almacenada en el campo electromagnético, mas pérdidas en el hierro

(30)

GENERADORES Energía mecánica en el eje, menos pérdidas mecánicas

(31)

En base a estas ecuaciones de relación, podemos esquematizar las máquinas como indica la figura 7. Perd. Joule

Perd. Mag.

Perd. Macánicas

i SISTEMA ELECTRICO RED

Ri

µ

e

CAMPO MAGNETICO

CARGA ELECTRICA

Sentido de circulación de energía

MOTOR

Perd. Joule

eje

Perd. Mag.

Perd. Macánicas

i CARGA ELECTRICA

µ

Ri

e

CAMPO MAGNETICO

GENERADOR

eje

MOTOR DE ACCIONAMIENTO

Sentido de circulación de energía

Figura 7 En esta figura se puede visualizar a grandes rasgos, todos los elementos en juego, y confirmar todo lo que se ha venido desarrollando.

11

Pérdidas eléctricas Por los circuitos de las máquinas eléctricas, circulan corrientes que, a consecuencia de la inevitable resistencia que presentan, desarrollan una potencia que se transforma en calor por efecto Joule. A esta potencia que no es posible aprovechar se la llama pérdidas eléctricas o también pérdidas en el cobre. En términos generales es posible expresarlas por medio de: PCu = ∑ i 2 ⋅ Ri (32) en la que se ha tomado la sumatoria, porque la mayor parte de las máquinas tienen más de un circuito eléctrico y dichos circuitos además de ser diferentes en cuanto a su resistencia óhmica están recorridos por corrientes diferentes y además pueden ser de diferentes materiales. Reemplazando en la (32) la resistencia, tendremos: l (33) PCu = ∑ i 2 ⋅ ρCu ⋅ i si como se recuerda ρCu es la resistencia específica del cobre; li es la longitud del circuito y si la sección del mismo; recordando además que la densidad de corriente en un conductor es: i (34) j= s podemos introducirla en la (33) y conjuntamente, reunir la sección y la longitud en el volumen del cobre de cada circuito: PCu = ∑ ρCu ⋅ j 2 ⋅ vi (35) Dividiendo y multiplicando ahora por el peso específico, y la expresión quedará en función del peso del material activo de los circuitos: ρ (36) PCu = Cu ∑ j 2 ⋅ GCu γCu 2 Tomando la resistencia específica del cobre ρCu = 0,0215 [Ω mm /m] a 75 ° C, 3 por ser la temperatura a la que normalmente funcionan estas partes y γCu = 8,9 kg/dm el peso específico, se llega a una fórmula práctica, que para un circuito integrante de la máquina es: PCu = 2,41. j

2 Cu

.GCu

(37)

en la que: PCu = pérdidas en el cobre, en W GCu = peso del cobre del circuito considerado, en kg jCu = densidad de corriente, en A/mm2

12

Esta fórmula es válida para corriente continua. Tratándose de corriente alternada, interviene el efecto pelicular en los conductores, que es tanto mas pronunciado cuanto mayor es la sección de los mismos, debiéndose introducir en consecuencia, un factor K en la siguiente forma: PCu = 2,41 . K . j

2 Cu

. GCu

(38)

El valor de K puede tomarse 1,1 para frecuencias del orden de los 50 Hz y máquinas corrientes, pero si se trata de máquinas importantes, realizadas con secciones de cobre considerables, es conveniente determinar el valor de K mediante fórmulas o ábacos que se encuentran en manuales especializados. Digamos finalmente que las densidades de corrientes adopatadas en las máquinas pequeñas son del orden de 5 A/mm2 y en las máquinas grandes baja a 3 A/mm2 y aún menos. Existen máquinas refrigeradas, en que se usan densidades del orden de los 8 A/mm2.

Pérdidas magnéticas Es un hecho conocido que cuando un trozo de hierro está sometido a un flujo magnético variable, aumenta su temperatura debido a la producción de calor por pérdidas magnéticas o también pérdidas en el hierro, como se las llama indistintamente. En la figura 8, se presenta un circuito magnético donde por una bobina excitadora, circula corriente alternada, y entre sus caras polares se producirá un campo alternativo. Dentro de ese campo colocamos un trozo de material magnético y conductor, por ejemplo, hierro, de forma prismática, y transcurridos unos pocos minutos, se notará en el mismo un aumento de la temperatura, provocado por las pérdidas magnéticas. Se verá a continuación todo aquello que interesa en la teoría de funcionamiento de las máquinas eléctricas, y que tiene relación con dichas pérdidas.

i

e

Φ

~ Figura 8

13

Pérdidas por histéresis Volviendo a la figura 8 y recordando que si a un material le aumentamos paulatinamente la intensidad del campo H, aumentará en consecuencia la inducción magnética B, obteniendo una curva de trazado OA como en la figura 9. Alcanzando el valor máximo positivo Hmáx propuesto, la inducción tendrá el valor máximo positivo Bmáx. Volviendo con los valores de H, los pares de valores H y B describirán un trazo ABCD, en la cual OB representa el magnetismo remanente, o sea la inducción residual. Según se vió en física, el trabajo necesario para cumplir un ciclo completo ABCDEFA es proporcional al área encerrada por el mismo, y ese trabajo es el que se transforma en calor por histéresis. En consecuencia, un material que describe un ciclo, que encierra un área menor, produce menor pérdida.

Inducción

A

+ B máx

B

- H máx

C

0

F + H máx

Intensidad de Campo

E

- B máx D

Figura 9

14

La metalurgia a logrado diversas aleaciones para satisfacer esta condición de ciclo reducido. Se logró en forma experimental una fórmula, con la cual se pueden calcular las pérdidas por histéresis. La forma práctica de dicha fórmula es: 2 Ph = Kh . f . v . Bmáx

(39)

en donde: Ph = pérdida por histéresis (W) Kh = coeficiente numérico f = frecuencia del flujo magnético (c/s) v = volumen del material (m3) Bmáx = Inducción máxima (Wb/m2) En la ecuación (39) en su primitiva forma, el exponente de inducción era de 1,7 en vez de 2,0 debido a los valores usuales en esa época, para las inducciones, en la construcción de máquinas. Con los valores con los que se trabaja en nuestros días, la fórmula es exacta con el exponente 2,0. Este caso descripto responde a la llamada histéresis alternativa, porque en el hierro se produce una magnetización ciclica de eje fijo en el espacio. Observamos ahora la figura 10 y veremos que se trata de un campo magnético fijo en el espacio, que actúa sobre una pieza cilíndrica que gira sujeta a una eje. En este caso, si analizamos qué le ocurre a un trozo de sustancia rotante, integrante del circuito giratorio (indicado con P en la figura), veremos que está sometido a un flujo cuyo valor es aproximadamente constante, pero que va cambiando continuamente de posición. Ello da origen a la llamada histéresis rotativa, de naturaleza aún no muy estudiada y cuyas pérdidas se calculan, también, con la fórmula (39).

Corriente Continua P

Figura 10

15

Pérdidas por corrientes parásitas Las corrientes parásitas o de Foucault, como se las llama indistintamente, son las que se originan en las masas de los materiales magnéticos sometidos a flujo variable. Tratemos de visualizar esto con ayuda de la figura 11.

Flujo variable

Figura 11 Supongamos que un prisma de hierro está atravesado por un flujo variable, cuyas líneas representamos en la figura. El valor de ese flujo magnético varía en forma cíclica desde un valor +Φmáx hasta un valor -Φmáx, pasando por cero, como en el caso de los ciclos de histéresis, aún cuando supondremos que no existe ese fenómeno, en nuestro análisis. De todo el volumen separamos una parte hueca en la figura. Esta hipotética parte forma una especie de anillo cerrado semejante a una espira en corto circuito y si dentro de él hay un flujo variable habrá una fuerza electromotriz que se genera y por lo tanto corriente, a raíz de la inducción. Así como hemos supuesto este anillo, podemos suponer otros hasta completar todo el volumen y en cada caso, habrá corrientes que tomarán caminos aproximadamente circulares. La figura 12, nos da una idea de los recorridos de las corrientes. Como todos los caminos representan resistencias óhmicas, habrá desarrollo de calor acorde con la ley de Joule. Por esta razón las corrientes parásitas generan calor que contribuye a elevar la temperatura del hierro y es también evidente que esta pérdida depende de la resistencia específica del material magnético.

16

Figura 12 También se presentan corrientes parásitas cuando un material se desplaza dentro de un campo magnético fijo como se indica en la figura 13.

N

A

v

B Dirección del movimiento

Chapa

S

Figura 13 Si en la chapa que se mueve separamos una espira hipotética, dibujada en líneas de puntos, un lado AB puede ser considerado como un conductor recto que se desplaza con velocidad v, dentro del campo, como en el caso de la figura 1. Se induce entonces una fuerza electromotriz que origina corriente en la supuesta espira, y generalizando a toda la chapa, comprendemos la existencia de corrientes que generan calor. El caso más usual en el estudio de las corrientes parásitas, es el caso de las chapas delgadas atravesadas por flujo magnético variable cuya dirección es paralela a las caras, como se ilustra en la figura 14.

17

Φ = f(t)

d

Figura 14 Según el desarrollo que puede verse en cualquier bibliografía especializada, las pérdidas por corrientes parásitas se pueden calcular por medio de una expresión, como la siguiente, semejante a la anterior para las pérdidas por histéresis. 2 2 1 2 Pp = Kp . . v . d . f . Bmáx ρ

(40)

en donde: Pp: pérdidas por corrientes parásitas (W) Kp: coeficiente numérico ρ: resistencia específica del material (Ω mm2/m) v: volumen del material (m3) d: espesor de la chapa, normal al flujo (mm) f: frecuencia del flujo magnético (c/s) Bmáx: inducción máxima (Wb/m2) Es evidente, examinando esta fórmula, que para un material dado y una frecuencia e inducción establecidas, estas pérdidas dependen del cuadrado del espesor de la chapa, razón por la cual los circuitos magnéticos, sometidos a flujos variables se hacen en forma de lámina superpuesta y aisladas entre sí. Técnicamente se dicen que son laminados. Con esta disposición se logra disminuir considerablemente estas pérdidas, como tratamos de ilustrar con la figura 15.

18

Núcleo macizo

Núcleo Laminado

dc d

aislación

(a)

(b) Figura 15

En la parte (a) tenemos una chapa de espesor d, que sometida a una determinada solicitación y aplicando la ecuación (40), podemos decir que tiene pérdidas según: Pp’= K . d

2

Si el mismo volumen de material lo ejecutamos en vez, con cinco chapas del mismo material pero de espesor 1/5 . d = dc y las sometemos a las mismas solicitaciones magnéticas, la fórmula (40) nos da ahora: p"p =

2 2 5 1 . K .d = . K . d 25 5

Puede observarse que las pérdidas por corrientes parásitas han disminuido a la quinta parte. Pérdidas totales en el hierro Según lo que se vió en los puntos anteriores, un material magnético sometido a flujo variable, experimenta pérdidas por histéresis y pérdidas por corrientes parásitas, las que se transforman en calor que elevan la temperatura del hierro en los circuitos magnéticos. Para disminuir estas pérdidas por corrientes parásitas existe el recurso de laminar los circuitos, es decir, construirlos mediante chapas o láminas adosadas una junta a otra hasta formar el espesor necesario. Estas chapas componentes del paquete magnético, se fabrican normalmente de 0,35 mm o de 0,50 mm, y para que ésta forma constructiva sea eficaz se procede a intercalar entre chapa y chapa una aislación eléctrica. La aislación entre chapas magnéticas puede ser de diversa naturaleza. Fue de uso general el papel, que se pegaba a una cara de la chapa antes de su corte. Posteriormente se utilizó barniz con base de silicato de sodio. En la actualidad las chapas de grano orientado se proporcionan con un tratamiento especial en ambas caras, de naturaleza termoquímica, que da la aislación necesaria.

19

Es natural que estas aislaciones entre chapas aumenten el volumen total y a los efectos de poder determinar el peso neto de hierro presente en un volumen dado, se usa el coeficiente de laminado KFe, que suele valer : - Para ailación del tipo papel 0,85 a 0,88 - Para ailación del tipo barniz 0,88 a 0,90 - Para aislación del tipo óxido 0,90 a 0,96 Este coeficiente representa el porcentaje de hierro efectivamente presente en un volumen dado de chapa laminada. Por otra parte, para disminuir las pérdidas por histéresis solo existe el recurso de elegir materiales adecuados. En la actualidad todos los circuitos magnéticos sometidos a flujo variable se construyen con chapas de hierro en aleación con silicio. El aporte de silicio tiene la finalidad reducir el ciclo de histéresis y consecuentemente las pérdidas. Además aumenta la resistividad del material y lógicamente disminuye las pérdidas por corrriente parásitas. El porcentaje de silicio estabiliza la chapa en el sentido de evitar el envejecimiento, esto es un aumento de las pérdidas con el tiempo, especialmente cuando el material está sometido a la acción continua del calor. La chapa magnética normal se lamina en caliente. Modernamente se utiliza la llamada chapa magnética de grano orientado, laminada en frío. Este tipo de chapa no solo se diferencia por el laminado en frío. La proporción de silicio suele oscilar entre el 3 y el 3,5 %. Se parte de acero más puro y con menor contenido de carbono que para la chapa magnética ordinaria. Sea cual fuere el tipo de chapa, el porcentaje de silicio no puede llegar a valores muy altos, puesto que el material adquiere cualidades que dificultan su elaboración mecánica. El tenor de silicio oscila entre un 0,8 y un 4,5 %. Pero en la técnica de las máquinas no interesan las pérdidas por corrientes parásitas separadamente, sino en conjunto, por ello se las considera en forma global, partiendo de datos fácilmente determinados y que, comercialmente se han impuesto por su simplicidad. Comencemos por considerar las pérdidas totales en el hierro como ambas: 2 2 pFe = Pp + p h = Kp 1/ρ ( d . f . Bmáx ) . v + Κh . f . B máx . v

(41)

Que reordenamos en una forma mas conceptual 2

2

pFe = (a . f + b . f ) B

.v

máx

(42)

De esta última se desprende que las pérdidas en el hierro dependen del volumen de hierro, del cuadrado de la inducción maxima y de una función de la frecuencia de variación del flujo. Para el caso de que la frecuencia sea de de 50 Hz, la inducción máxima de Bmáx = 1W/m2 y el volumen de material el que corresponde a GFe = 1Kg de material activo, la (42) se transforma en la siguiente: 2 1 (43) p0 = {(a . 50) + (b . 50 )} γ Fe

20

En donde γFe es el peso específico del material y su inversa el volumen de la unidad de peso. Dividiendo la (42) con la (43) para la frecuencia de 50 c/s y tenemos: pFe = B 2 máx ⋅ v ⋅ γFe p0

(44)

Como el volumen v por el peso específico γFe da el peso total del hierro a considerar se tiene : pFe = B 2 máx ⋅ GFe p0

(45)

De aquí se obtiene la expresión usual del cálculo pFe= p0 . B 2 máx . GFe

(46)

Al p0 se lo llama cifra de pérdidas y representa las pérdidas en (W/Kg) de hierro 2 laminado trabajando a una inducción máxima de 1 (Wb/m ) con una frecuencia de 50 (c/s). La formula (46) es por esto, solo válida para 50 c/s. Si deseamos generalizarla, debemos introducir un factor función de la frecuencia y nos quedará finalmente : pFe= p0 . C . B 2 máx . GFe

(47)

Esta fórmula es absolutamente general y en ella se tiene: pFe: pérdidas totales en el hierro (W) p0: cifra de pérdidas (W/kg) C: coeficiente función de la frecuencia GFe: peso del material activo (kg) 2 Bmáx: inducción máxima (Wb/m ) C=1 C = 1,26

para f = 50Hz para f = 60 Hz

La fórmula (47), es la que usualmente se emplea en el cálculo de las pérdidas en el hierro en las máquinas eléctricas. Se indican algunos valores orientativos de pérdidas en el hierro para frecuencias de 50 c/s e inducciones de 1 (Wb/m2): La chapa magnética silicosa ordinaria (laminada en caliente) tiene pérdidas del orden de 0,8 a 1,3 W/kg. La chapa de grano orientado de 0,4 a 0,5 W/kg y de 1 a 1,2 W/kg, según la dirección del laminado.

21

Variación de las pérdidas en el hierro Resulta interesante observar cómo varían las pérdidas en el hierro, según los diferentes modos de operar las máquinas, y para ello procediendo en forma simplificativa, comenzamos por tomar la ecuación siguiente, escrita en su forma aproximada: E = 4,44 . f . N . Bmáx . S ≅ U Esto es lícito gracias a que la f.e.m. inducida en la bobina excitadora de un circuito magnético, es aproximadamente igual a la tensión aplicada a la misma, debido a que la resistencia de esa bobina es en la mayor parte de los casos, despreciable. De la anterior obtenemos una forma genérica de utilidad. U = K . f . Bmáx

(48)

A continuación resumimos los casos más comunes de variación de pérdidas en función de los parámetros usuales que contiene la (48) admitiendo que las restantes magnitudes permanecen constantes. 1. Inducción constante: Tomando las ecuaciones (39) y (40) y admitiendo constante la inducción, variamos la frecuencia obteniendo las curvas representadas en la figura 16.

Figura 16

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2. Frecuencia constante: Trabajando siempre sobre las dos ecuaciones citadas anteriormente, observamos que al igual que el caso de inducción constante, las pérdidas aumentan según la figura 17.

Figura 17 3. Tensión constante: para este análisis que es técnicamente el mas interesaante de los tres, procedemos primeramente a introducir la (48) en la (39), obteniendo: ⎛ U Ph = K h ⋅ f ⋅ v ⋅ ⎜⎜ ⎝k⋅ f

2

⎞ 1 ⎟⎟ = K1 ⋅ f ⎠

(49)

Se deduce que las pérdidas por histéresis disminuyen con la frecuencia. Introduciendo la (48) en la (40) obtendremos: ⎛ U Pp = K p ⋅ v ⋅ d ⋅ f ⋅ ⎜⎜ ⎝k⋅ f 2

2

2

⎞ ⎟⎟ = K 2 ⎠

(50)

En este caso las pérdidas por corrientes parásitas no son función de la frecuencia y permanecen invariables. Resumiendo ambas en forma gráfica en la figura 18 obtenemos como conclusión final que las pérdidas en el hierro disminuyen con el aumento de la frecuencia, lo que debe tenerse en cuenta cuando una máquina eléctrica proyectada para 50 c/s pasa a trabajar en una red de 60 c/s y viceversa.

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Figura 18

Pérdidas mecánicas Las pérdidas de origen mecánico ocurren en las máquinas eléctricas rotativas y se deben a las siguientes causas: . . . .

Rozamientos en los cojinetes del motor. Rozamientos de las partes móviles con el aire. Rozamientos de los colectores o anillos con sus escobillas. potencia que absorben los sistemas de autoventilación.

Las pérdidas del tipo 1 y 3 son función directa de la velocidad de giro, y las del tipo 2 y 4 dependen de la tercera potencia de la velocidad de giro n. Todas ellas existen como es fácil comprender porque las máquinas eléctricas rotativas tienen un órgano giratorio, el rotor, que está apoyado sobre cojinetes y en su movimiento sus elementos constituyentes rozan con el aire. Por otra parte, el rotor lleva o no un colector o anillos rozantes o ambas cosas que frotan contra escobillas de carbón y toda máquina tiene un ventilador o sistemas de ventiladores que impulsan aire u otro tipo de gases para ventilar las partes bajo temperatura, debido a las pérdidas. 3

Pm = a . n + b . n

(51)

La mayor parte de las máquinas eléctricas tienen velocidad constante, por lo que podemos indicar que las pérdidas mecánicas en líneas generales, son constantes, y como su valor es apreciablemente menor que los ya estudiados, su variación y su valor absoluto juegan un papel poco importante. No obstante, en un análisis general, cuando

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se ensayan máquinas para determinar su rendimiento, el valor de las pérdidas mecánicas se determina separadamente para tenerlas en cuenta. Pérdidas adicionales: existen en las máquinas una serie de pequeñas pérdidas de origen diverso, debida a fenómenos secundarios en el cobre y en el hierro. Tales pérdidas son bastante complejas de calcular con exactitud y en general las normalizaciones han adoptado un valor fijo para las mismas. Su valor no sobrepasa nunca el 1 % de la potencia útil de las máquinas, y por lo regular es del orden del 0,5 %. Estas pérdidas no se tendran en cuenta en lo que sigue.

Rendimiento Sabemos que la máquina eléctrica se encarga de transformar energía de una forma en otra; ello indica sin lugar a adudas que recibe una potencia, que llamaremos de aquí en adelante “potencia absorbida” Pa y que entrega una potencia que llamaremos “potencia útil” Pu. No pudiendo ser la máquina eléctrica un mecanismo perfecto e ideal, ocurre que Pa > Pu y la diferencia es justamente la suma de las pérdidas que ocurren. Por lo tanto, lo que en adelante llamaremos “ pérdidas”de una máquina eléctrica, se puede expresar por intermedio de: p = pCu + pFe + pm

(52)

La potencia absorbida debe ser necesariamente igual a la potencia útil mas las pérdidas: Pa = Pu + p

(53)

El rendimiento se define como la relación entre la potencia útil y la potencia absorbida, o sea:

η=

Pu Pa

(54)

A esta expresión se la conoce con el nombre de “rendimiento efectivo”. A su vez a la relación:

η=

Pa − p p p =1− =1− Pa Pa Pu + p

(55)

se la conoce como el “rendimiento convencional”; de ambas expresiones es preferible usar la última, dado que las mediciones de potencia útil y potencia absorbida por los métodos directos, no son siempre realizable en condiciones de seguridad y exactitud que es menester. En cambio, la medición separada de las pérdidas pCu, pFe, y pm es factible en la mayor parte de los casos con la exactitud requerida.

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Variación del rendimiento Resulta de sumo interés observar cómo varía el rendimiento de una máquina en función de la potencia eléctrica en juego. Para ello recordemos que la potencia eléctrica se expresa por medio de: P = U .I;

P = U . I . cos ϕ;

P=

3 .U. I . cos ϕ

(56)

La primera expresión es para corriente continua; la segunda para corriente alternada monofásica y la tercera para corriente alternada trifásica. Pero como por lo regular la tensión y el factor de potencia con que trabajan las máquinas eléctricas, son aproximadamente constante, podemos escribir: P=K.I

(57)

Tomando ahora la ecuación (38), observamos que las pérdidas en el cobre son función de la densidad de corriente o lo que es lo mismo decir, de la corriente misma y tomando la (57) podemos escribir: pCu = K . I2 = K1 . p2 = pv

(58)

A este último valor lo llamaremos “pérdidas variables”. Esta condición debe contemplarse diciendo que además la velocidad y la frecuencia son, para un análisis generalizado, como el que proponemos aquí, magnitudes constantes. Admitiendo entonces todas las condiciones, las pérdidas mecánicas y las pérdidas magnéticas resultarán invariables, dado que las primeras son función de la velocidad y las segundas, función de la frecuencia y de la inducción (o de la tensión). Por lo tanto en términos generales se llama “pérdidas fijas”en las máquinas a la suma: pf = pm + pFe

(59)

Las máquinas tienen entonces pérdidas fijas y pérdidas variables; estas últimas en función de la potencia eléctrica en juego. Considerando que se trata de un generador, la potencia eléctricas será la útil y por lo tanto podemos establecer:

η=

P P = P + p f + pv P + p f + K1P 2

(60)

El rendimiento es entonces función de la potencia y resulta de utilidad posterior determinar la condición para la cual es máxima. Para ello tomamos su derivada en función de la variable propuesta y la igualamos a cero:

26

2 dη P + p f + K1 ⋅ P − P ⋅ (1 + 2 ⋅ K1 ⋅ P ) = =0 2 dP P + p f + K1 ⋅ P 2 con oportunas simplificaciones se llega a:

(

(61)

)

pf = K1 . P2 = pv

(62)

Se puede afirmar entonces que, una máquina eléctrica rotativa funcionando en condiciones de velocidad, tensión, factor de potencia y frecuencia constante, tiene su rendimiento máximo en la condición de carga y corresponde a igualdad de pérdidas fijas y variables.

Todo esto queda graficado en la figura 19 en donde se puede observar que el rendimiento es nulo cuando la poterncia eléctrica es nula, crece luego hasta alcanzar su valor máximno cuando las pérdidas variables se hacen iguales a las fijas, y luego comienza a decrecer lentamente.

Figura 19 Esta forma de curva de rendimiento es la usual en casi todas las máquinas eléctricas rotativas.

Rendimiento cíclico El rendimiento que terminamos de estudiar es el instantáneo y según la curva

η = f(P) de la figura 19 a cada potencia con que funciona una máquina le corresponde un valor. Pero también es necesario en algunos casos conocer el rendimiento cíclico o rendimiento de energía, que se define por medio de:

ηe =

Au Aa

(63)

siendo Au la energía entregada o útil en un cierto período de tiempo y Aa la energía absobida por la máquina en el mismo lapso. 27

En los análisis, el período de tiempo considerado suele ser de un día o un mes o un año. Supuesto que sea un día, las energías puestas en juego estarán dadas por: 24

Au = ∫ Pu .dt 0

24

Aa = ∫ Pa .dt

(64)

0

Dichas energías son representables por el área de los diagramas de la figura 20. No siendo la función P = f(t) expresable por vía matemática en forma cómoda, se recurre frecuentemente a tomar la sumatoria de rectángulos parciales, según se ilustra en la figura 21. Lo que se puede expresar en forma generalizada según:

η=

∑ ∑

pu ⋅ t pa ⋅ t

Figura 20

(65)

Figura 21

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