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• albertocc1978

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TUTORÍA INTERCAMPUS 2013 / 2014 SISTEMAS MECÁNICOS

TEMA 5. EQUILIBRADO DE MASAS

5.0 Objetivo ◦ Estudiar el equilibrado de rotores, el equilibrado estático y dinámico

(método

analítico)

y

el

equilibrado

de

motores

monocilíndricos. ◦ Al proceso de estudio y modificación de la máquina que conduce a la eliminación, o al menos reducción, de las fuerzas parásitas originadas por las fuerzas de inercia, se le denomina equilibrado.

TEMA 5: EQUILIBRADO DE MASAS

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5.1 Equilibrado de rotores 5.1.1. Introducción El equilibrado de rotores es una operación de gran importancia en el diseño y construcción de cualquier máquina. Cuando el régimen de giro es alto, un pequeño desequilibrio puede dar lugar a fuerzas de gran magnitud, como se ve en el ejemplo de la página 214 del libro de Fundamentos de Teoría de Máquinas. En general, la fuerza de inercia producida por la excentricidad del centro de gravedad viene dada por: F = m * Agn = m ω2 e

5.1.2. Equilibrio estático Un rotor está equilibrado estáticamente cuando su centro de gravedad se encuentra en el eje de giro. En ese caso, en cualquier posición angular que se le sitúe permanecerá inmóvil, ya que estará en equilibrio.

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Condición de equilibrio estático: Σ mj rj = 0 La única fuerza que actúa en el equilibrio estático es el propio peso del rotor.

5.1.3. Equilibrio dinámico Para que un rotor esté equilibrado dinámicamente, deben cumplirse las ecuaciones de equilibrio de las fuerzas debidas al movimiento (fuerzas de inercia o centrífuga), esto es: Σ Fi = 0;

Σ Mi = 0

Siendo Mi el momento producido por la fueza de inercia Fi, respecto de cualquier punto: Fi = mi ω2 ri Mi = (OAi) x Fi

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Para que el sistema esté en equilibrio, se debe cumplir el equilibrio de fuerzas y de momentos. Siendo la velocidad angular la misma para todas las masas, tenemos las condiciones de equilibrio dinámico: Σ mj rj = 0 Σ OAj mj rj = 0 Es decir, para que un rotor esté equilibrado dinámicamente, la primera condición que debe cumplir es que esté equilibrado estáticamente.

5.1.4. Método analítico Consiste en descomponer las fuerzas de inercia o centrífugas que hay en cada una de las masas, en dos componentes, x e y, con el fin de crear un sistema de ecuaciones que nos permita resolver las incógnitas del problema. Estas incógnitas serán las masas, radios y distancias a los planos de referencia.

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Plantearemos el equilibrio de las proyecciones de las fuerzas sobre los ejes x e y, incluyendo las fuerzas generadas por mo y m'o, obteniendo dos ecuaciones: Σ Fx = 0; Σ mi ri ω2 cos θi = 0 Σ Fy = 0; Σ mi ri ω2 sen θi = 0

Tomando momentos respecto del plano Pro', alrededor del eje Y para las componentes Fx, es decir, multiplicando por las distancias ai, obtendremos la tercera ecuación: Σ My = 0; Σ mi ri ω2 cos θi ai = 0 Finalmente, tomamos momentos alrededor del eje X para las componentes Fy, obteniendo la cuarta ecuación: Σ Mx = 0; Σ mi ri ω2 sen θi ai = 0

Reduciendo las ecuaciones a un solo radio común, R, de forma que (mi ri = mi R), y teniendo en cuenta que la velocidad angular es constante, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones: Σ mi cos θi = 0 Σ mi sen θi = 0 Σ mi cos θi ai = 0 Σ mi sen θi ai = 0

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5.2 Equilibrado de motores 5.2.1. Motores monocilíndricos Para plantear el equilibrado de un motor monocilíndrico, hemos de conocer previamente la fuerza de inercia que actúa sobre cada uno de los eslabones del mecanismo motor. Empezaremos por estudiar el pistón, continuaremos con la biela y terminaremos con el cigüeñal. Consideramos que el eslabón 2 es el motor, y que se mueve con velocidad ω constante.

5.2.1.1. Efecto de la inercia sobre el pistón. Al tener un movimiento de traslación pura, el pistón se ve sometido a una fuerza de inercia de valor Fi = m a.

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Se expresa la posición x del pistón en función del ángulo θ de la manivela. Derivando dicha expresión obtendremos la velocidad y la aceleración, y multiplicando esta última por la masa, tendremos la expresión de la fuerza de inercia: Según se desarrolla en las páginas 228 y 229 del libro “Fundamentos de Teoría de Máquinas”, obtenemos que: x = R (1- cos θ) + (½ * R2 sen2 θ / L) v = R ω (sen θ + R/L * sen θ * cos θ ) a = R ω2 (cos θ + R/L cos (2θ) ) Siendo ésta la aceleración del pistón, podemos conocer la fuerza de inercia de éste para cualquier posición de la manivela: Fi = m R ω2 cos θ + m R2 ω2 /L cos (2θ) La fuerza de inercia del pistón está compuesta por dos términos. Al primero se le denomina fuerza de inercia primaria, y su valor varía

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según una ley armónica simple con frecuencia angular ω (siendo ω la velocidad de la manivela). Al segundo, se le denomina fuerza de inercia secundaria, tiene una frecuencia de 2ω, y su módulo es R/L*Fprim. La amplitud de la fuerza secundaria es pues proporcional a la amplitud de la fuerza primaria, siendo la fuerza secundaria como máximo el 50% de la fuerza primaria, ya que la relación R/L no suele ser mayor de 0,5.

Podemos observar que para la posición de θ = 0º y θ = 180º, las fuerzas primaria y secundaria toman su valor máximo. Se aprecia en el diagrama anterior que en la posición

θ = 180º (punto muerto

inferior), la fuerza primaria queda en parte equilibrada por la fuerza secundaria. Para la posición θ = 0º (punto muerto superior) ambas fuerzas suman su efecto.

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Si transmitimos la fuerza de inercia primaria a lo largo del mecanismo, llegamos a obtener F21, reacción del eslabón 2 sobre el bastidor. Podemos observar que F21x = Fi primaria. Ésto nos sugiere la idea de situar una masa 2 mo' ro' en la prolongación de la manivela, de manera que se cumpla que: 2 mo' ro' ω2 = m R ω2 La proyección horizontal de esta fuerza, 2 mo' ro' ω2 cos θ será entonces igual y contraria a Fi primaria, con lo cual habremos conseguido equilibrarla. Sin embargo, la componente 2 m o' ro' ω2 sen θ quedará desequilibrada. A lo largo de una vuelta, ambas componentes son iguales, pero desfasadas. Por tanto, lo único que hemos conseguido es convertir una fuerza horizontal en una vertical de igual valor. En cuanto a la fuerza de inercia secundaria, no puede ser equilibrada, ya que tiene frecuencia 2 ω.

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5.2.1.1. Efecto de la inercia de la biela. Una vez analizada la fuerza de inercia del pistón, vamos a estudiar las fuerzas de inercia debidas a la biela. Dado que el movimiento de la biela es de rotación y traslación combinadas, vamos a simplificar el problema, reduciendo la biela a un sistema dinámicamente equivalente formado por dos masas puntuales. La primera de ellas, la situamos en el bulón del pistón (B) y la segunda en un punto (E).

Esta disposición de la masa de la biela debe ser dinámicamente equivalente a la biela original.

Para ello, se deben cumplir las

siguientes ecuaciones: m3 = mB + mE (Igualdad de masa) mB * hB = mE * hE (Igualdad de CDG) Ig = mB * hB2 + mE * hE2 (Igualdad de momento de inercia)

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Operando, tenemos que mB = m3 * hE / h; mE = m3 * hB / h; k2 = hE * hB De este modo, el punto E sigue teniendo un movimiento de rotación y traslación combinados, con lo cual el problema no se ha simplificado. Lo ideal sería asociar la masa de la biela a los puntos A y B, ya que éstos

tienen

movimientos

puros

de

rotación

y

traslación

respectivamente. Para ello, se fija el punto B, y se traslada el punto E hasta A, tomando por tanto hA. De este modo, sobrará la tercera ecuación del sistema anterior, y estaremos cometiendo un error, ya que el momento de inercia del nuevo sistema de masas es distinto del de la biela, por lo que no será dinámicamente equivalente. Tendremos: mA = m3 * hB / h; mB = m3 * hA / h

La aproximación realizada es aceptable, ya que la distancia EA es pequeña, y por tanto el error cometido es pequeño.

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Además, la forma de las bielas de los distintos fabricantes es muy parecida, ya que se diseñan para soportar los esfuerzos de tracción y compresión (pandeo) que aparecen sobre la misma. Esto hace que la posición del centro de gravedad sea similar en las distintas bielas, encontrándose aproximadamente a 0,7h del punto B y 0,3h de A. Utilizando estos valores, podemos calcular m B = 0,3 m3 y mA = 0,7 m3, y asociar estas masas al pistón y la manivela respectivamente.

5.2.1.3. Efecto de la inercia sobre el cigüeñal. De acuerdo con el apartado anterior, la masa m A de la biela se suma a la masa de la manivela, aunque situada en el punto A, y se equilibra con ésta.

Para equilibrarla, sólo necesitamos colocar dos masas en prolongación del radio, de manera que: (2 * mo) ro ω2 = m2 rG2 ω2 + mA R ω2

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5.2.1.4. Equilibrado del motor. Para el equilibrado del motor, tenemos que tener en cuenta cada una de las partes estudiadas anteriormente, por lo que la inercia del pistón hay que incrementarla en la parte de masa de la biela m B, de modo que la fuerza de inercia primaria vale: Fp = (m4 + mB) ω2 R cos θ = m ω2 R cos θ La fuerza de inercia secundaria no se considera, ya que tiene el doble de frecuencia que el motor, y no podemos equilibrarla con una masa asociada a la manivela, que siempre se moverá a la frecuencia primaria.

Por otro lado, como ya hemos comentado, su valor es

menos del 50% de la fuerza de inercia primaria. Considerando únicamente la fuerza de inercia primaria, el sistema resultante sería el esquematizado en la siguiente figura:

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Podemos observar, que con las masas m 0' se ha equilibrado la componente horizontal de la fuerza de inercia, pero aparece una componente vertical. Lo que realmente se ha hecho es desfasar 90º la fuerza horizontal. Por tanto, para equilibrar el motor completo, colocamos dos pares de masas, uno para equilibrar la manivela y la parte de biela asociada (2 mo ro) y el otro (2 m'o r'o) para equilibrar la fuerza de inercia primaria del pist´no yo la parte de biela asociada, obteniendo como ecuación de equilibrio: 2 mo ro ω2 + 2 m'o r'o ω2 = m2 rG2 ω2 + mA R ω2 + (mB + m4 ) ω2 R Para no desfasar totalmente la F12x, lo que se suele hacer es tomar un 2 m'o r'o entre 2/3 (mB + m4 ) R y 1/2 (mB + m4 ) R.

En la siguiente gráfica se representa la fuerza de trepidación del mecanismo, Fs, para los casos: a) Que no se equilibre el mecanismo. b) Que no se equilibre la componente horizontal. De la fuerza alternativa primaria (masa del pistón y la parte de biela asociada) y la fuerza de inercia del cigüeñal (incluida parte de la biela). c) Que se equilibre el mecanismo tomando 2/3 de la masa alternativa primaria más la masa del cigüeñal (incluida parte de la biela). Se obtienen las siguientes fuerzas: ➢ Masa giratoria del cigüeñal (incluido parte de la biela): |Fc| = mc R ω2 = OA; dirección: θ

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➢ Masa alternativa primaria: |Fp| = mp R ω2 cos θ = AC; dirección: 0º ó 180º (depende de cos 2θ) ➢ Masa alternativa secundaria: |Fs| = mp R ω2 cos 2θ = DF; dirección: 0º ó 180º (depende de cos 2θ) ➢ Masa del contrapeso que hemos de colocar: |FB| = mB R ω2 ; dirección: θ + 180º

Analizándolo, concretamente en la posición de θ = 30º, podemos observar que la recta OA representa la fuerza Fc, y que la fuerza debida a la masa alternativa primaria queda representada por la recta AB, siendo su valor AB = mp ω2 R, pero lo que nos interesa de esta fuerza es su proyección, representada por AC, siendo su valor:

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AC = mp ω2 R cos θ = |Fp|

Para obtener gráficamente la fuerza secundaria, tendremos que trazar OD con ángulo 2θ, y tras obtener DE (la fuerza secundaria), al igual que antes, nos quedamos con la proyección DF, de valor DF = mp R ω2 R /L cos 2θ. Este segmento DF lo llevamos a continuaci´no de C, obteniéndose el segmento CG. El punto G será entonces la resultante de las fuerzas de inercia no equilibradas (curva sin equilibrar).

Hemos pues de

añadir aquí la fuerza FB que se mueve con el ángulo (θ + 180º) y que se produce por el contrapeso, quedando: Fc + Fp + FS + FB = Fs, en donde Fs es la fuerza de trepidación.

Para el caso que la fuerza FB sea cero, la fuerza de trepidación vale: Fc + Fp + FS = Fs , que es representada en la figura como curva sin equilibrar.

Si queremos equilibrar por completo las fuerzas horizontales, tendríamos que colocar una fuerza FB de valor GH = BO, con lo que sólo se nos quedarían sin equilibrar la componente horizontal de Fs. Esto lo habríamos conseguido a base de obtener una fuerza vertical muy grande, por lo que sólo se hace para los 2/3 de la masa alternativa primaria y nos quedaremos en el punto K, obteniéndose así una pequeña componente horizontal, pero también una vertical menor, no quedando equilibrado totalmente.

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Medición y corrección del desequilibrio Las variaciones y tolerancias de fabricación impiden que incluso un diseño bien equilibrado resulte perfectamente equilibrado cuando se fabrica.

Por tanto, se requiere una forma de medir y corregir el

desequilibrado en sistemas rotatorios. El ejemplo que se puede utilizar es el de una rueda, con su llanta (en algunos libros denominada rin) y su cubierta (en algunos libros denominada llanta). La llanta es de metal homogéneo, y su geometría y sección transversal son bastante uniformes. La cubierta es un compuesto elastómero de caucho sintético y cuerdas de tela o alambre metálico, con características variantes en cuanto a densidad y distribución. Su geometría a menudo se distorsiona en el proceso de fabricación.

Equilibrado estático. Después de montar la llanta en la rueda, el ensamble se debe equilibrar para reducir la vibración a altas velocidades. El método más simple es el equilibrado estático, si bien no es ideal para este caso, ya que la rueda es axialmente amplia en comparación con el diámetro. Para efectuar este equilibrado, se suspende en un plano horizontal sobre un cono a través de su orificio central. Se fija un nivel en la llanta y se colocan pesos en posiciones alrededor del mismo, hasta que queda nivelada. Luego, estos pesos se fijan a la llanta. Éste es un equilibrado en un solo plano, y como tal, sólo compensa las fuerzas, no los momentos. Además, no es muy preciso.

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Equilibrado dinámico. Para el equilibrado dinámico, se requiere una máquina para tal fin. La rueda a equilibrar se monta temporalmente sobre un eje, llamando mandril, el cual está soportado en dos cojinetes dentro del equilibrador. Cada uno de estos cojinetes se monta en una suspensión que contiene un transductor que mide las fuerzas dinámicas. La rueda se pone a girar a una determinada velocidad angular, mediante un impulsor. Luego se retira el par de torsión motriz y se detiene el motor impulsor, lo cual permite que la rueda gire libremente. Se inicia la secuencia de medición, tanto de momentos como de fuerzas, con sus ubicaciones angulares y axiales. Con estos datos, se pueden calcular las fuerzas netas desequilibradas y los momentos netos desequilibrados, puesto que se conoce la distancia entre las fuerzas medidas en los cojinetes. Los productos masa-radio requeridos en los planos de corrección en cada lado de la rueda

se

pueden

calcular

entonces

con

las

ecuaciones

correspondientes. El radio de corrección es el de la llanta. Se calculan las masas de equilibrado y las ubicaciones angulares para cada plano de corrección para poner el sistema en equilibrado dinámico. Los pesos que tiene la masa requerida se sujetan en los bordes interno y externo del la llanta de la rueda (los cuales son los planos de corrección en este caso), en las ubicaciones angulares apropiadas.

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El resultado es una llanta y una rueda dinámicamente equilibradas con bastante precisión.

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EJERCICIOS

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