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• Toni Torres

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TEMA 9.- EQUILIBRADO DE MASAS 1. Introducción. 2. Condiciones de equilibrio estático de rotores. 3. Condiciones de equilibrio dinámico de rotores 4. Equilibrado de motores monocilíndricos. 5. Equilibrado de motores multicilíndricos. 6. Equilibrado del mecanismo de 4 barras

2. Condiciones de equilibrio estático de rotores 𝐹𝐹⃗𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = 𝑚𝑚𝑗𝑗 ⋅ 𝑔𝑔⃗

B

m2

𝑗𝑗=𝑛𝑛

r1

m1 m1g

A

� 𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑗𝑗=1

r2

m2g

𝑗𝑗=𝑛𝑛

𝑗𝑗

=0

� 𝑟𝑟⃗𝑗𝑗 ∧ 𝑚𝑚𝑗𝑗 𝑔𝑔⃗ = 0 𝑗𝑗=1

cdg sobre el eje de giro

3. Condiciones de equilibrio dinámico de rotores Equilibrado de masas en diferentes planos transversales

m4

y

A4 r4

x

O A3

m1

A2

r3 m3

r1

m2 r2 A1

z

Plano de referencia

Y

y

+

m 4

m1

m4

m 2

m2 A3 A4

O

A2 m3

A1

z

r⃗2

r⃗4 O

r⃗3

m 3

m 1

r⃗1

X

1º condición equilibrio dinámico

m4

Y

A4 r4 𝐹𝐹⃗1𝑖𝑖 = 𝑚𝑚1 � 𝜔𝜔2 � 𝑟𝑟⃗1

O A3 r3 m3

m2 r2

A2

m1 r1 A1

𝐹𝐹⃗4𝑖𝑖 = 𝑚𝑚4 � 𝜔𝜔2 � 𝑟𝑟⃗4

𝐹𝐹⃗2𝑖𝑖 = 𝑚𝑚2 � 𝜔𝜔2 � 𝑟𝑟⃗2

X

O

𝐹𝐹⃗3𝑖𝑖 = 𝑚𝑚3 � 𝜔𝜔2 � 𝑟𝑟⃗3 F 2

𝑗𝑗=𝑛𝑛

⃗ 𝑖𝑖

� 𝐹𝐹

𝑗𝑗=1

𝑗𝑗

=0

𝑗𝑗=𝑛𝑛

� 𝑚𝑚𝑗𝑗 � 𝑟𝑟⃗𝑗𝑗 = 0 𝑗𝑗=1

F 3

F 1 F 4

1º condición equilibrio dinámico Y m 4 m 2

r⃗2

r⃗4 O

m 1

r⃗1

r⃗3

m 3

F 2

𝑗𝑗=𝑛𝑛

� 𝑚𝑚𝑗𝑗 � 𝑟𝑟⃗𝑗𝑗 = 0 𝑗𝑗=1

F 3

F 1 F 4

X

𝑗𝑗=𝑛𝑛

� 𝑀𝑀𝑂𝑂

2º condición equilibrio dinámico

𝑗𝑗=1

F4

𝑗𝑗

=0

m4 A4

r4 no Pl a

r de

y rencia

ef e

x

𝑀𝑀1

O

F1

A3 r3 F2

r2 m3

m1

m2 A 2

r1 A1

F3

Plano de referencia

y

+

m1

m4

m2 A3 A4

O

A2 m3

A1

z

z

Plano de referencia

+

m1

m4

m2 A3 A2

A4

A1

m3

z

incluye signo

𝑗𝑗=𝑛𝑛

� 𝑀𝑀𝑂𝑂 𝑗𝑗=1

Y M 1

m 1

m 4

𝑗𝑗

=0

𝑗𝑗=𝑛𝑛

� 𝐴𝐴𝑗𝑗 � 𝑚𝑚𝑗𝑗 � 𝑟𝑟⃗𝑗𝑗 = 0 𝑗𝑗=1

Y

Girar ± 90º

m 2

M 1

O M 4

M 2 m 3

M 3

X

M 2

O X M 4

M 3

Y

M 1 M 2

O X M 4

𝑗𝑗=𝑛𝑛

M 3

� 𝐴𝐴𝑗𝑗 � 𝑚𝑚𝑗𝑗 � 𝑟𝑟⃗𝑗𝑗 = 0 𝑗𝑗=1

M 4

M 3

M 2

M 1

𝑗𝑗=𝑛𝑛

Equilibrio dinámico de rotores

� 𝑚𝑚𝑗𝑗 � 𝑟𝑟⃗𝑗𝑗 = 0 𝑗𝑗=1

𝑗𝑗=𝑛𝑛

� 𝐴𝐴𝑗𝑗 � 𝑚𝑚𝑗𝑗 � 𝑟𝑟⃗𝑗𝑗 = 0 𝑗𝑗=1

F4

incluye signo

m4 A4

r4

O

F1 A3 r3 F2

r2 m3

m1

m2 A 2

r1 A1

F3

z

Problema equilibrado dinámico de rotores Rotor con masas m1, m2 y m3

y

x m1

A3 m3

m2

r1 A1

r3

m2

r2

a1

m1

θ2

r1

r2

z

A2

a2

m1

θ1

m2

θ3 r3 m3

m3 P.R'

o

a3 a o'

P.R

o

•

DATOS meq1

m2

meq2

a1

m1

θ2

r1

r2

a2

m1

θ1

m2

θ3 r3 m3

m3 P.R' o a3 P.R o

a o'

Depende plano de referencia

θ

Mr

r1

θ1

m1r1

m2

r2

θ2

m2r2

m3

r3

θ3

m3r3

Plano

Masa

Radio

1

m1

2 3

a

Mra

•

Masas equilibrado,en general necesita 2 masas: meq2

meq1

m2

a1

m1

θ2

r1

r2

a2

m1

θ1

m2

θ3 r3 m3

m3 P.R' o a3 P.R o

a o' Depende plano de referencia

θ

Mr

r1

θ1

m1r1

m2

r2

θ2

m2r2

3

m3

r3

θ3

m3r3

PR0’

?

?

?

?

PR0

?

?

?

?

Plano

Masa

Radio

1

m1

2

a

Mra

•

Masas equilibrado,en general necesita 2 masas:

m2

a1

m1

θ2

r1

r2

a2

m1

θ1

m2

θ3 r3 m3

m3 P.R' o a3 P.R o

a o' Depende plano de referencia

θ

Mr

r1

θ1

m1r1

m2

r2

θ2

m2r2

m3

r3

θ3

m3r3

Plano

Masa

Radio

1

m1

2 3

a

PR0’

?

?

?

PR0

?

?

?

Mra

EJEMPLO 1: Posición de masas de equilibrado conocidas m2

a1

m1

θ2

r1

r2

a2

m1

θ1

m2

θ3 r3 m3

m3 P.R' o a3 a o'

+ P.R- o

PR, plano de una de las masas de equilibrado: PR0

Plano

Masa

Radio

a

θ

Mr

Mra

1

m1

r1

-a1

θ1

m1r1

-m1r1a1

2

m2

r2

a2

θ2

m2r2

m2r2a2

3

m3

r3

-a3

θ3

m3r3

-m3r3a3

PR0’

?

?

-a0’

?

?

?

PR0

?

?

0

?

?

0

Condiciones de equilibrio dinámico

𝑗𝑗=𝑛𝑛

𝑗𝑗=𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

𝑗𝑗=1

� 𝑚𝑚𝑗𝑗 � 𝑟𝑟⃗𝑗𝑗 = 0

� 𝐴𝐴𝑗𝑗 � 𝑚𝑚𝑗𝑗 � 𝑟𝑟⃗𝑗𝑗 = 0

2

m2

4

a1

m1

θ2

r1

r2

4

4

a2

m1

θ1

m2

θ3 r3

-

+

m3

m3 P.R'

o

a3 P.R

a o'

𝑗𝑗=𝑛𝑛

PR, plano de una de las masas de equilibrado: PR0

� 𝑀𝑀𝑂𝑂 𝑗𝑗=1

Plano

Masa

Radio

a

θ

Mr

1

15

4

4

30º

60

240

2

30

4

-4

150º

120

-480

3

15

5

8

270º

75

600

O

?

?

0

?

?

0

O’

?

?

10

?

?

Mra

?

𝑗𝑗

=0

o

𝑗𝑗=𝑛𝑛

� 𝐴𝐴𝑗𝑗 � 𝑚𝑚𝑗𝑗 � 𝑟𝑟⃗𝑗𝑗 = 0 𝑗𝑗=1

m1r1 a1 O

m2r2 a2

m'o r'oa’o

m3r3 a3

θ

eq2

(a >0) eq2

2

m2

4

m1

θ2

r1

r2

4

4

a1

a2

m1

θ1

m2

θ3 r3

-

+

m3

m3 P.R'

o

a3 P.R

a o'

𝑗𝑗=𝑛𝑛

PR, plano de una de las masas de equilibrado: PR0

� 𝑀𝑀𝑂𝑂 𝑗𝑗=1

Plano

Masa

Radio

a

θ

Mr

1

15

4

4

30º

60

240

2

30

4

-4

150º

120

-480

3

15

5

8

270º

75

600

O

?

?

0

?

?

0

O’

?

?

10

131º

95.25

Mra

960

𝑗𝑗

o

=0

𝑗𝑗=𝑛𝑛

� 𝐴𝐴𝑗𝑗 � 𝑚𝑚𝑗𝑗 � 𝑟𝑟⃗𝑗𝑗 = 0 𝑗𝑗=1

m1r1 a1 O

m2r2 a2

m'o r'oa’o

m3r3 a3

θ

eq2

(a >0) eq2

2

m2

4

m1

θ2

r1

r2

4

4

a1

a2

m1

θ1

m2

θ3 r3

+

m3

-

m3 P.R'

o

a3 P.R

a o'

𝑗𝑗=𝑛𝑛

⃗ 𝑖𝑖

� 𝐹𝐹

Plano

Masa

Radio

a

θ

1

15

4

4

2

30

4

3

15

O O’

𝑗𝑗=1

𝑗𝑗

o

𝑗𝑗=𝑛𝑛

=0

� 𝑚𝑚𝑗𝑗 � 𝑟𝑟⃗𝑗𝑗 = 0 𝑗𝑗=1

Mr

Mra

30º

60

240

-4

150º

120

-480

5

8

270º

75

600

?

?

0

?

?

0

?

?

10

131º

95.25

960

θ eq1

m2r2

m3r3 m'or'o moro

m1r1 O

2

m2

4

m1

θ2

r1

r2

4

4

a1

a2

m1

θ1

m2

θ3 r3

+

m3

-

m3 P.R'

o

a3 P.R

a o'

𝑗𝑗=𝑛𝑛

⃗ 𝑖𝑖

� 𝐹𝐹

Plano

Masa

Radio

a

θ

1

15

4

4

2

30

4

3

15

O O’

𝑗𝑗=1

𝑗𝑗

o

𝑗𝑗=𝑛𝑛

=0

� 𝑚𝑚𝑗𝑗 � 𝑟𝑟⃗𝑗𝑗 = 0 𝑗𝑗=1

Mr

Mra

30º

60

240

-4

150º

120

-480

5

8

270º

75

600

?

?

0

322.7º

143.6

0

?

?

10

131º

95.25

960

θ

eq1

m2r2

m3r3 m'or'o moro

m1r1 O

2

m2

4

4

a1

m1

θ2

r1

r2

𝑗𝑗=𝑛𝑛

4

� 𝑀𝑀𝑂𝑂 𝑗𝑗=1

a2

m1

θ1

m2

𝑗𝑗

𝑗𝑗=𝑛𝑛

� 𝐴𝐴𝑗𝑗 � 𝑚𝑚𝑗𝑗 � 𝑟𝑟⃗𝑗𝑗 = 0

=0

m1r1 a1 O

𝑗𝑗=1

m2r2 a2

θ3 r3

+

m3

m'o r'oa’o

m3 P.R'

m3r3 a3

o

a3 P.R

a o'

Plano

Masa

Radio

a

θ

Mr

Mra

1

15

4

4

30º

60

240

2

30

4

-4

150º

120

-480

3

15

5

8

270º

75

600

O

?

?

0

322.7º

143.6

0

O’

?

?

10

131º

95.25

960

o

𝑗𝑗=𝑛𝑛

⃗ 𝑖𝑖

� 𝐹𝐹 𝑗𝑗=1

𝑗𝑗

=0

𝑗𝑗=𝑛𝑛

� 𝑚𝑚𝑗𝑗 � 𝑟𝑟⃗𝑗𝑗 = 0 𝑗𝑗=1

m2r2

m3r3 m'or'o moro

m1r1 O

Múltiples soluciones, si se escogen las masas

Plano

Masa

Radio

a

θ

Mr

Mra

1

15

4

4

30º

60

240

2

30

4

-4

150º

120

-480

3

15

5

8

270º

75

600

O

16

?

0

322.7º

143.6

0

O’

30

?

10

131º

95.25

Plano

Masa

Radio

a

θ

Mr

Mra

1

15

4

4

30º

60

240

2

30

4

-4

150º

120

-480

3

15

5

8

270º

75

600

O

30

4.8

0

322.7º

143.6

0

O’

16

6

10

131º

95.25

Método analítico

Método analítico, ejemplo para equilibrar m1, m2 y m3

m2r2 ω2

Y

Y m2 θ2

θ3 r3 m3 2

m1 r1 ω

m

moA

m1 r1

a2

m1

m2

r roA

θ1

r2

m3r3 ω

a1

2

X

Z

r

r'oB X

m3

m' mo

B

P.R A o P.R a A

a3 P.Ro P.R' B

ao a A

m2r2 ω2

Y

Y m2 θ2

θ3 r3 m3 2

m1 r1 ω

m

moA

m1 r1

a2

m1

m2

r

θ1

r2

m3r3 ω

a1

2

roA X

Z

r'orB X

m3

m' mo

B

P.R P.R A o a A

a3 P.Ro P.R' B

ao a A

Ejemplo 1: Conociendo posición de masas de equilibrado  conocido AA y Ab

Plano referencia en posición mb ⇒ Ab=0

Sistema 1

Sistema 2

Sistema 2:

Sistema 1:

EJEMPLO 2: m·r equilibrado conocido y

y m1r1= 200 grm. m2r2= 400 grm. mArA= 300 grm. mBrB= 100 grm

m1

m1

1

z 2

2

x

45º 2

m2

m2

Solución respecto al origen A

n

∑F

X

1

n

= 0 ⇒ ∑ mi ⋅ ri ⋅ cos θi = 0 1

n

n

1

1

∑ M X = 0 ⇒ ∑ mi ⋅ ri ⋅ senθi ⋅ ai = 0

n

∑F

Y

1

n

= 0 ⇒ ∑ mi ⋅ ri ⋅ sen θi = 0 1

n

n

1

1

∑ M Y = 0 ⇒ ∑ mi ⋅ ri ⋅ cos θi ⋅ ai = 0

θA= 35.55º θB= 293º aA= 4.534 aB= 0.669

Plano

Masa

Radio

a

θ

Mr

Mra

1







90º

200



2







225º

400



A





?

?

300

?

B





?

?

100

?

𝑗𝑗=𝑛𝑛

⃗ 𝑖𝑖

� 𝐹𝐹 𝑗𝑗=1

𝑗𝑗

=0

F1=m1r1 θB

𝑗𝑗=𝑛𝑛

� 𝑚𝑚𝑗𝑗 � 𝑟𝑟⃗𝑗𝑗 = 0 𝑗𝑗=1

Plano

Masa

Radio

a

θ

Mr

Mra

1







90º

200



2







225º

400



A





?

35.5º

300

?

B





?

293.0º

100

?

θA

Plano de referencia en posición m2

Plano

Masa

Radio

a

θ

Mr

Mra

1





2

90º

200

400

2





0

225º

400

0

A





?

35.5º

300

?

B





?

293.0º

100

?

𝑗𝑗=𝑛𝑛

� 𝑀𝑀𝑂𝑂 𝑗𝑗=1

𝑗𝑗

=0

𝑗𝑗=𝑛𝑛

� 𝐴𝐴𝑗𝑗 � 𝑚𝑚𝑗𝑗 � 𝑟𝑟⃗𝑗𝑗 = 0 𝑗𝑗=1

Plano

Masa

Radio

a

θ

Mr

Mra

1





2

90º

200

400

2





0

225º

400

0

A





-0.53

35.5º

300

159

B





3.33

293.0º

100

333

Solución respecto al origen : θA= 35.55º θB= 293º aA= 4.534 aB= 0.669

Método analítico, ejemplo para equilibrar m1, m2 y m3 Conociendo m⋅r en masas de equilibrado m2r2 ω2

Y

Y m2 θ2

a1

m1 r1 ω

mo

m1 r1

θ1

r2

θ3 r3 m3 2

m3r3 ω

No hay solución analítica

a2

2

m1

m2

ro X

r'o m3

X

m'o

P.Ro

a3 ao

P.R'o

Z