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XI CURSO DE PREPARACIÓN DE OPOSICIONES PARA EDUCACIÓN SECUNDARIA. ESPECIALIDAD DE ORIENTACIÓN EDUCATIVA

TEMA 41 DIFICULTADES Y PROBLEMAS EN LOS ASPECTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS Y EN LAS OPERACIONES ELEMENTALES DE CÁLCULO: INTERVENCIÓN EDUCATIVA.

RAFAEL LIZANDRA LAPLAZA

Dificultades matemáticas

Rafael Lizandra Laplaza

INDICE 1. LAS DIFICULTADES DE APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS. 1.1 CONCEPTUALIZACIÓN 1.2 ENFOQUES EXPLICATIVOS. 1.3 CAUSAS DE LAS DIFICULTADES DE APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS. 2.

ANÁLISIS DE LAS DIFICULTADES EN MATEMÁTICAS: AREAS ESPECÍFICAS 2.1 NUMERACIÓN 2.2 CÁLCULO ARITMÉTICO 2.3 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.

3.

INTERVENCIÓN EDUCATIVA BIBLIOGRAFÍA ANEXO

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1. LAS DIFICULTADES MATEMÁTICAS.

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DE

APRENDIZAJE

DE

LAS

1.1 CONCEPTUALIZACIÓN Las matemáticas elementales constituyen uno de los aprendizajes instrumentales básicos que realizan los niños en los primeros años escolares. Este conocimiento les va a servir para poder desenvolverse no sólo en la escuela sino en muchas situaciones de la vida cotidiana. Por otra parte, constituye la base para continuar en la adquisición de otros conocimientos, más complejos. No obstante, el fracaso en el aprendizaje de las matemáticas tienen una alta prevalencia y, de hecho, las matemáticas se han convertido en un filtro selectivo dentro del propio sistema educativo. Estas dificultades de aprendizaje han sido atribuidas a una diversidad de factores, intentado diferenciar si obedecen principalmente a factores externos, más relacionados con la dificultad de la propia disciplina y de su enseñanza o si, por el contrario, se deben a una dificultad específica en algunas personas para el procesamiento de los números, el cálculo aritmético y la resolución de problemas. A la hora de definir las dificultades en el aprendizaje de las matemáticas podemos tomar como referencia los criterios del DSM-IV para el diagnóstico de los trastornos del cálculo: A Discrepancia entre el rendimiento esperado y el real: “La capacidad para el cálculo evaluada mediante pruebas normalizadas administradas individualmente, se situa sustancialmente por debajo de la esperada dados la edad cronológica de sujeto, su cociente de inteligencia y la escolaridad propia de su edad”. B Implica una alteración significativa de la vida cotidiana. “El trastorno del criterio A interfiere significativamente el rendimiento académico o las actividades de la vida cotidiana que requieren la capacidad para el cálculo”. C. La dificultad no se debe a défictis sensoriales, baja inteligencia o problemas de escolarización: “Si hay un déficit sensorial las dificultades para el rendimiento en cálculo exceden de las habitualmente asociadas a él.” Desde el punto de vista normativo, en la Comunidad autónoma de Aragón se regula la atención a los alumnos con dificultad específica de aprendizaje a través de la Resolución de la Dirección general de Política Educativa por la que se concretan aspectos relativos a la atención educativa a los alumnos con necesidad específica de apoyo educativo por presentar dificultades específicas de aprendizaje escolarizados en los centros que imparten las enseñanzas correspondientes a la Educación infantil, Educación primaria, Educación secundaria obligatoria, Bachillerato y Formación Profesional, de la Comunidad autónoma de Aragón. (10 de junio de 2011). En dicha disposición se conceptualiza a estos alumnos del siguiente modo:

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Trastorno específico en el aprendizaje del cálculo

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Dificultad específica del aprendizaje del cálculo que se manifiesta en dificultades para aprender a contar; para desarrollar y comprender conceptos matemáticos y sus relaciones; retener, recordar y aplicar datos y procedimientos de cálculo y/o analizar problemas matemáticos, resolverlos y hacer estimaciones del resultado. Las dificultades no son esperables para la edad del niño (al menos dos años de retraso) e interfieren en el progreso de aprendizaje de las matemáticas. La dificultad de aprendizaje es resistente a la intervención y no puede ser explicado por discapacidad sensorial, física, motora o intelectual ni por falta de oportunidades para el aprendizaje o por factores socioculturales.

ENFOQUES EXPLICATIVOS.

A lo largo de la historia de la psicopedagogía el estudio de las matemáticas se ha realizado desde diferentes perspectivas, a veces enfrentadas, subsidiarias de la concepción del aprendizaje en la que se apoyan. A. Teoría del Aprendizaje de Thorndike (1922): aprendizaje de las habilidades matemáticas basado en la práctica y el ejercicio. La Teoría del aprendizaje de tipo asociacionista, y su ley del ejercicio fueron muy influyentes en el diseño del currículum de las matemáticas elementales en la primera mitad del siglo XX. Las teorías conductistas propugnaron un aprendizaje pasivo, producido por la repetición de asociaciones estímulo-respuesta y una acumulación de partes aisladas, que implicaba una masiva utilización de la práctica y del refuerzo en tareas memorísticas, sin que se viera necesario conocer los principios subyacentes a esta práctica ni proporcionar una explicación general sobre la estructura de los conocimientos a aprender. Relacionándolo con la práctica educativa se refleja que la acción docente persigue fundamentalmente trasmitir unos conceptos determinados (decena, décima, ángulo..), unas destrezas calculatorias, sobre todo algorítmicas (las cuentas) y unos patrones de resolución de problemas, tal y como vienen indicados en los programas. La enseñanza de estos contenidos se interpreta como adiestramiento pues se pretendía que con la explicación del maestro y el ejercicio insistente y reiterado del alumno, éste se apropiara de los contenidos establecidos. B. Teorías de Brownell (1935): precursor enfoque cognitivo. Defiende la necesidad de un aprendizaje significativo cuyo principal objetivo debía ser el cultivo de la comprensión y no los procedimientos mecánicos de cálculo. Propuso que para comprender los conceptos y los procedimientos es necesario convertir los conceptos abstractos en concretos, de modo que los niños puedan aprehender las relaciones entre ellos. Insiste en la idea de que la mera repetición no lleva a la comprensión, idea que actualmente está plenamente incorporada en las aulas escolares. Si bien Brownell ideó diversos procedimientos para enseñar las habilidades matemáticas de manera comprensiva, tampoco llegó a desarrollar una teoría global sobre este aprendizaje.

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C. Teoría Psicogenética de Piaget. El psicologismo (fundamentación psicológica a las diferentes pedagogías) fue ganando cada vez más terreno en el ámbito educativo. Piaget, autor que también reaccionó contra los postulados asociacionistas, estudió las operaciones lógicas que subyacen a muchas de las actividades matemáticas básicas a las que consideró prerrequisitas para la comprensión del número y de la medida. Conceptos de seriación, conservación, transitividad e inclusión de clases, son de gran valor en este sentido. Aunque a Piaget no le preocupaban los problemas de aprendizaje de las matemáticas, muchas de sus aportaciones siguen vigentes en la enseñanza de las mismas. Sin embargo su afirmación de que las operaciones lógicas son un prerrequisito para construir los conceptos numéricos y aritméticos ha sido contestada desde planteamientos recientes que defienden un modelo de integración de habilidades, donde son importantes tanto el desarrollo de los aspectos numéricos como de los lógicos. Relacionando estas contribuciones con la práctica docente de nuestro país, estas aportaciones son tenidas en cuenta a partir de la década de los ochenta. Esto implicará una concepción de las matemáticas más amplia según la cual se considera que mediante una enseñanza más activa se podría ayudar a los alumnos a pensar con rigor, a desarrollar el razonamiento lógico, a generalizar y expresarse con precisión. Por lo tanto a partir de estas contribuciones la enseñanza de las matemáticas van a tener una nueva meta: contribuir a la formación integral de los escolares desarrollando el razonamiento, las capacidades simbólicas y el pensamiento abstracto. Se van incorporando procedimientos de enseñanza nuevos: enseñanza por descubrimiento o investigación, enseñanza ambientalista o adaptada al entorno, la enseñanza basada en la resolución de problemas, etc. El alumno se convierte en protagonista de su propio aprendizaje, construyéndolo en interacción con materiales y personas. Se introducen en las aulas materiales manipulativos como son balanzas de brazos y cubos , bloques multibase, regletas, etc. El proceso iría de la resolución manipulativa de situaciones a la simbolización de lo realizado. D.El Paradigma del Procesamiento de la Información. Desde los años 70 la perspectiva cognitiva se hace predominante en el campo psicológico utilizando principalmente el enfoque de procesamiento de la información. El esfuerzo de los investigadores se ha dirigido a describir la naturaleza del conocimiento y los procesos y estrategias de aprendizaje y de pensamiento en diferentes ámbitos del comportamiento humano. En el caso de las matemáticas se defiende que las conductas no se aprenden directamente por repetición sino que lo que se deben aprender son reglas o procedimientos que se pueden aplicar a diferentes acciones. No interesa el resultado final de la conducta sino los mecanismos cognitivos que utiliza la persona para llevar a cabo esa conducta y el análisis de los posibles errores en la ejecución de una tarea. Las principales aportaciones desde este enfoque cognitivo a la intervención en las dificultades de aprendizaje de las matemáticas serían: a. La adquisición del conocimiento matemático se considera como un proceso de construcción activa y no una mera absorción por parte del sujeto. Para que se produzca un verdadero aprendizaje es necesario que el sujeto establezca relaciones entre los conceptos, lo que le lleva a sucesivas elaboraciones y reestructuraciones del conocimiento hasta lograr las representaciones cognitivas adecuadas. b. Los conocimientos previos ocupan un papel crucial en el aprendizaje ya que constituyen la base para la adquisición y comprensión de otros nuevos. El

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conocimiento informal que han desarrollado a través de sus experiencias cotidianas fuera de la escuela debe constituir el punto de partida de su enseñanza formal. De hecho se ha señalado que algunos casos de alumnos con dificultades para las matemáticas tienen su origen en una falta de conexión entre los conocimientos informales y los nuevos conceptos o procedimientos a aprender. c. Se distinguen dos tipos de conocimiento: declarativo (conocer qué o cocimiento de los conceptos matemáticos) y procedimental (saber como o conocimiento de los algoritmos y de las estrategias de resolución y cuando aplicarlos). Se considera que el conocimiento conceptual no produce automáticamente competencia procedimental. Por lo tanto ambos tipos de conocimiento deben ser enseñados de manera explícita. d. Para lograr el pleno dominio de las habilidades es primordial la automatización de los procedimientos. Liberar recursos cognitivos en la ejecución de las operaciones matemáticas de más bajo nivel para poder dedicarlos a las de orden superior. Desde el punto de vista educativo, este hecho implica la necesidad de un sobreaprendizaje de las subhabilidades, que deben practicarse hasta que no requieran una atención consciente por parte del sujeto e. Para lograr la competencia matemática es necesario aplicar el conocimiento en una gran variedad de contextos. Esta diversidad permitirá conseguir una estructura de conocimientos bien interrelacionados, funcionales, superando la fase de acumulación de conocimientos aislados que son difíciles de transferir a situaciones nuevas, distintas al contexto en el que se aprendieron. f. Los aspectos metacognitivos de control y guiado de la propia actividad constituyen otro grupo de procesos cognitivos de gran relevancia en la ejecución competente. Aunque los procesos metacognitivos son menos importantes en las fases iniciales de aprendizaje en las que predomina la regulación externa, son fundamentales en los sujetos expertos. g. El análisis de los errores sistemáticos es un procedimiento de gran valor para la comprensión de los procesos y estrategias de pensamiento de los sujetos. Riviére los expresa como “muchas veces son las únicas ventanas por las que podemos ver las mentes de los alumnos”. El estudio de los errores sistemáticos que los alumnos cometen pone de relieve que aplican principios, reglas o estrategias incorrectas que, frecuentemente, tienen su origen en procedimientos viciados, inventados para resolver situaciones nuevas para las que no tienen respuestas. h. En el comportamiento influyen las emociones, los intereses, los afectos y las relaciones sociales. De ahí la importancia de los aspectos motivacionales en la explicación de las dificultades en el aprendizaje de las matemáticas: fracasos iniciales, conductas de evitación, bloqueo, etc. C.- CAUSAS DE LAS DIFICULTADES DE APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS. Existen muchos interrogantes al tratar la cuestión de la etiología de las Dificultades de Aprendizaje en las Matemáticas. En nuestro ámbito psicopedagógico, desde una perspectiva interactiva y constructivista del aprendizaje, podemos situar las causas tanto en el niño como en factores externos, en particular el modo de enseñar las matemáticas.

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a. Perspectiva Neurológica. Herederos de las discalculias y acalculias que se producen especialmente en los adultos, buscan determinar la existencia de trastornos neurológicos en los niños con dificultades para aprender. Se asume que pueden ser debidas a un desorden estructural congénito de las zonas cerebrales concernidas por las habilidades matemáticas, principalmente del hemisferio derecho. b. Perspectiva Cognitiva. Pretende determinar los mecanismos responsables de la mala ejecución de los niños con dificultades para el aprendizaje de las matemáticas. Los científicos cognitivos han desarrollado algunos modelos específicos de conocimientos y habilidades expertas en varios ámbitos matemáticos. De este modo proporcionan unas indicaciones mucho más claras para la intervención educativa como son la enseñanza de la aritmética y los problemas de palabras . Se centran en las representaciones internas y en las estrategias cognitivas y metacognitivas que se utilizan. Así mismo se han considerado aspectos como el procesamiento de la memoria, la atención, la actividad perceptivo motora, la organización espacial, las habilidades verbales, la falta de conciencia de los pasos a seguir, los fallos estratégicos, como posibles factores responsables de las diferencias en la ejecución. c. Perspectiva Constructivista. Desde un enfoque constructivista de la enseñanza de las matemáticas se plantea que la mayoría de las dificultades que encuentran los alumnos en su aprendizaje matemático escolar se deben a obstáculos en la comprensión y manejo de los símbolos, ya aislados, ya formando organizaciones estructuradas, tales como la expresión notacional de las operaciones aritméticas, por ejemplo. Serían de carácter semántico unas veces, otras de tipo sintáctico o bien pragmático. Desde esta perspectiva se parte de la importancia del aprendizaje a partir de la experiencia e investigación personal, el aprendizaje como construcción individual en el seno de un grupo. Inicialmente el conocimiento matemático se construirá a partir de la interiorización de acciones sobre los objetos y la consiguiente coordinación de las acciones. Pero será de gran importancia tener en cuenta los progresivos procesos de simbolización realizados a través de la construcción de los significados (representación subjetiva de conceptos, operaciones, razonamientos, etc) que progresivamente se van convirtiendo en herramientas para el pensamiento y que serán la base ineludible para proseguir aprendiendo. Según este enfoque el aprendizaje matemático escolar no iría de lo concreto a lo abstracto sino que seguiría un itinerario de sucesivos y superpuestos planos simbólicos que se apoyarían unos en otros. Implica la concepción de la matemática como lenguaje. Alcalá.M (2002) establece la siguiente jerarquía de símbolos:  Primer Nivel:  Símbolos de Primer Orden como son las palabras que se refieren a las cantidades y a la relación entre las cantidades. Serán el soporte expresivo de los significados que se van construyendo: el número.  Símbolos de Segundo Orden: simbolismo notacional.  Segundo Nivel: adquisición de las operaciones aditivas y formación operatoria del número natural.  Tercer Nivel: operaciones multiplicativas y nuevos campos numéricos.  Cuarto Nivel: Simbolismo de tercer orden: el álgebra.

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d. Causas Pedagógicas. Subrayan los factores relativos a la enseñanza como pueden ser la utilización de un vocabulario inadecuado para el nivel del alumno, excesivamente técnico; una enseñanza poco eficaz o con una secuenciación tan rápida que no permite que el alumno asimile de manera adecuada los conocimientos por falta de la necesaria aplicación y práctica.

2. ANÁLISIS DE LAS DIFICULTADES EN MATEMÁTICAS: AREAS ESPECIFICAS. Desde el punto de vista educativo es importante conocer cuales son las habilidades básicas matemáticas que los niños deben aprender para poder así determinar donde se sitúan las dificultades y planificar su enseñanza. 2.1 NUMERACIÓN Los niños de Educación Infantil tienen un interés innato por los números. Antes de ingresar en la escuela absorben una gran cantidad de información numérica. Así, no llegan a la escuela como una pizarra en blanco sino como intuitivos matemáticos informales. El reto educativo será ayudar a los niños a unir sus conocimientos y habilidades numéricas informales con las primeras reglas formales, nociones y procedimientos que encuentran cuando llegan al aula de la enseñanza obligatoria. Para que esto se realice con éxito es necesario que los niños dominen los procedimientos numéricos de contar y comparar números y tengan una representación del número y la cantidad que les sirva en dichos procesos. Piaget mostró cómo los niños construyen activamente una serie de estructuras que son necesarias para la comprensión del número y para progresar en las habilidades matemáticas. De hecho considera que el niño debe realizar la síntesis ente dos relaciones que establece entre los objetos por abstracción reflexiva: el orden y la inclusión jerárquica para dominar el concepto de número. De hecho consideraba que la ejecución de los niños en el ejercicio llamado construcción numérica mostraba que éstos tenían una comprensión muy limitada de los números y el cálculo. Piaget consideraba que los niños en el estadio preoperacional no pueden entender los números y el cálculo. Sin embargo los niños van aprendiendo una serie de conceptos mucho antes de lo que Piaget pensaba, que son el resultado de sus múltiples experiencias cotidianas tanto en sus hogares como en las aulas escolares. Así pues en los últimos años se considera que los conceptos numéricos se desarrollan gradualmente no tanto por un cambio en las estructuras lógicas sino como resultado directo de las experiencias de contar del niño, que cada vez se van haciendo más sofisticadas. Desde esta perspectiva se considera que las dificultades en la adquisición de la numeración se deben a un conocimiento incompleto de cómo se debe contar y no a una incapacidad para pensar lógicamente. Contar sería básico para el desarrollo de la comprensión del número. En este sentido destacamos los principios implicados en la habilidad de contar expresados por Gelman y Gallistel:  Correspondencia uno a uno o correspondencia biunívoca entre números y objetos.  Ordenación estable (los números se aplican siempre en el mismo orden)  Cardinalidad: el último número de una secuencia es el cardinal de ese conjunto.

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 Abstracción: las diferencias físicas de los objetos son irrelevantes.  Irrelevancia del orden. Los niños de Educación Infantil varían en las actividades de contar y en resolver problemas aditivos sencillos. Según aportaciones de la psicología cognitiva el origen de las diferencias radica en el tipo de representaciones iniciales del conocimiento numérico básico que tienen los niños, que es denominado “línea mental numérica”. La representación de la línea numérica permite al niño contar, hacer comparaciones cuantitativas y combinar el cálculo y la comparación además del uso de estrategias de adición más avanzadas. Entre las dificultades más frecuentes en la adquisición del sistema numérico en los niños con dificultades para la adquisición de las matemáticas tenemos:  Dificultad para desarrollar la capacidad de contar. Como norma general es mejor centrarse e insistir en la adquisición de la habilidad de contar que dirigir los esfuerzos al desarrollo de los conceptos lógicos previos (conservación, clasificación, seriación, correspondencia), aunque se deben compatibilizar ambos aprendizajes. En este sentido Case y Griffin proponen enseñar directamente la Línea Mental Numérica a partir de diferentes Módulos de actividades: contar hacia delante y hacia atrás; hacer correspondencias uno-a-uno; comparar números; aritmética simple También es importante aprovechar el conocimiento informal que tienen los niños como punto de partida.  Dificultad para reconocer y escribir algunos números (confusión 6 9; inversión de algunos números). Más que centrarse en el dominio perceptivo motriz es mejor centrarse en enseñar explícitamente las características distintivas de los números y el plan motriz detallado para escribirlos, destacando el inicio del trazo, la orientación y la secuencia de movimientos a seguir.  Dificultad para adquirir los órdenes de unidades y el valor posicional de los números. La clave está en la comprensión del papel de la posición que ocupan las cifras en cada caso y en reconocer que los números de varias cifras representan una expresión numérica que hay que aprender a codificar y decodificar de acuerdo con unas reglas. Los niños deben entender que un número se puede descomponer en partes –unidades, decenas y centenas- de diversas formas. Esto es un objetivo central de la enseñanza inicial de las matemáticas. Para conseguir esta representación deben elaborar el “Esquema de las Partes y el Todo”(Resnick). Esto les proporcionará la base conceptual para entender base decimal de la numeración y los procesos de llevar, prestar y otros de la aritmética multidígitos. En general para enseñar todos estos conceptos tan abstractos es absolutamente imprescindible el uso y la manipulación de materiales concretos, ordinarios o comerciales como son los bloques lógicos, las regletas Cousinaire, bloque Dienes, que facilitan que los niños comprendan el conjunto de convenciones del sistema numérico. Además es importante proponer actividades, materiales y juegos para hacer estos aprendizajes más atractivos.

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2.2 CÁLCULO ARITMÉTICO En el cálculo operatorio se presentan dificultades en los siguientes aspectos:  Dominio combinaciones numéricas básicas (2+2=4;2x3=6;6-3=3;6:2=3), que deben practicarse hasta su automatización dado que su dominio permite el aprendizaje de algoritmos y la resolución de problemas.  La comprensión del significado de las cuatro operaciones aritméticas de adición, sustracción, multiplicación y división, junto al conocimiento de los símbolos que las indican. Su significado no debe restringirse a un único sentido sino que deben presentarse situaciones que demanden una variedad de acepciones.  Por otro, dominio de los algoritmos que son procedimientos de cálculo compuestos por una secuencia ordenada de pasos que permiten llegar a la solución correcta en operaciones con multidígitos. Su adquisición no sólo implica el aprendizaje de una secuencia mecánica de pasos sino que deben construirse sobre el conocimiento de una serie de principios que guíen su ejecución. a. Adición. La capacidad para sumar mentalmente con números pequeños aumenta de manera gradual a través, en primer lugar, de las experiencias informales. Los niños de 4, 5, 6 años suelen usar una serie de estrategias para realizar los cálculos ayudándose en primer lugar con los dedos o con objetos concretos (estrategias de modelado directo) y luego sin modelo (estrategia de conteo). Entre estas últimas se señalan las siguientes:  Contarlo todo empezando por el primer sumando. (contar adelante)  Contar a partir del primer sumando. (contar-sobre)  Contarlo todo empezando por el número mayor. (contar adelante)  Contar a partir del número mayor. (contar-sobre) Las estrategias más eficaces deben enseñarse de manera explícita si los niños no las descubren por sí mismos, algo muy frecuente entre los niños con dificultades de aprendizaje para las matemáticas, y practicar hasta que usen de modo automático las combinaciones numéricas básicas y no necesiten apoyarse en los dedos. Para que los niños utilicen la estrategia “contar-sobre” muestra que entienden los procedimientos de cálculo y de comparación. Además si no tienen las representaciones iniciales del número y la cantidad que necesitan para entender el cálculo y la comparación, no podrán combinarlos para inventarse así el método de “contar-sobre”. El trabajo con la “línea mental numérica” genera comparaciones cuantitativas y el método de “contar-sobre”. Gradualmente estas estrategias van siendo sustituidas por el uso de las combinaciones numéricas básicas, por los algoritmos de cálculo escrito y por las estrategias y reglas de cálculo mental que se apoyan en la composición y descomposición de los números. En la realización de operaciones los errores más frecuentes se originan en las “llevadas” y en la alineación o colocación correcta de las cifras. Para realizar correctamente las operaciones con llevadas será necesaria la comprensión del esquema “parte-todo” y su conexión con los procedimientos de práctica matemática. b. Sustracción El dominio de la sustración implica el uso de diversos procedimientos algunos de los cuales son inventados por los propios niños utilizando dedos y objetos físicos. Entre los diversos procedimientos están la estrategia de ir hacia delante o ir hacia atrás. El dominio del algoritmo y de las combinaciones numéricas básicas de la resta es más dificultoso que los de la suma al implicar un mayor número de operaciones. La

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estrategia de ir hacia delante va en contra de la idea intuitiva de restar como quitar ya que implica ir añadiendo; la de ir hacia atrás implica contar regresivamente y llevar a la vez el control de las unidades ya utilizadas que, además van en la dirección contraria (progresiva). Los principales errores que pueden aparecer son:  Errores debidos al desconocimiento de las combinaciones numéricas básicas, hechos numéricos y tablas.  Errores en el proceso de llevadas o reagrupamientos.  Errores originados por los ceros. Como orientaciones de intervención podemos indicar la necesidad de procurar que los niños superen la idea restrictiva de la sustracción como quitar, ya que luego puede inducir a errores en la resolución de problemas. Es conveniente que la conciban también como comparación de cantidades y como operación complementaria a la adición. Sigue siendo importante tener una adecuada comprensión del esquema “parte-todo” conectándolo con los procedimientos de restar. Por otro lado es importante prestar atención a los errores que cometen los alumnos. La mayoría de los profesores tienden a considerar que los errores en las operaciones (en este caso en la resta) son fortuitos, por falta de atención o fruto de una falta de dominio del proceso de resta. Pero los errores suelen ser sistemáticos. En ocasiones los alumnos siguen procedimientos incorrectos. La causa de sus errores suelen ser por no conectar sus conocimientos numéricos con los procedimientos de la aritmética escrita. Por lo tanto habrá que utilizar técnicas de instrucción que combinen de forma explícita las representaciones de base conceptos matemáticos con los procedimientos de cálculo. c. Multiplicación La comprensión de esta operación no presenta grandes dificultades a los niños. Antes de iniciarse en la multiplicación los niños deben tener bien consolidado el concepto de adición y la capacidad de contar a intervalos. El aprendizaje de las combinaciones numéricas básicas debe partir de la comprensión mediante tablas que los niños elaborarán por sí mismos. Los errores más frecuentes al ejecutar este algoritmo son:  Errores en las combinaciones básicas.  Errores en la suma de los números que se llevan.  Errores en la adición. d. División Si bien la primera aproximación al concepto de división es la de reparto en partes iguales, en realidad abarca múltiples acepciones que los niños deben conocer: reparto; partición; número de veces que un número está contenido en otro; número que falta en un producto. Greeno (1978) manifiesta que el concepto matemático de división implica una reorganización del concepto de multiplicación cuyo resultado final debe ser una estructura de conocimiento aritmético unificada, que incluya las cuatro operaciones. El aprendizaje de la operación de dividir es el más difícil de todos los algoritmos. Algunas conclusiones orientaciones importantes a la hora de atender a las dificultades en la numeración serían:  Debe desarrollarse ampliamente toda la base de comprensión informal antes de introducir las operaciones con sus símbolos formales y los pasos a seguir en su resolución con multidígitos.

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 Los niños deben haber elaborado los conceptos aritméticos de manera que los algoritmos se presenten como una forma de representar y resolver lo que ya saben.  Ante dificultades en los algoritmos, analizar los errores que cometen los niños entendidos no como un déficit sino como indicadores de los procesos de pensamiento.  Ante los errores distinguir entre errores causados por vicios, ideas erróneas o una comprensión defectuosa de los pasos de un procedimiento, de los que son faltas ocasionales originadas por falta de atención.  Para llegar a un dominio adecuado de los algoritmos no solo es necesario conocer los pasos a realizar para ejecutar un procedimiento sino también las combinaciones numérica; además deben conocer las reglas generales y poner en marcha un sistema de control que guíe la ejecución.

2.3 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. La resolución de problemas es la meta última de la enseñanza de las matemáticas y, en sentido amplio, de toda enseñanza. Actualmente se preconiza que no se debe aplazar este aprendizaje sino que debe integrarse desde el principio de la escolaridad en el aprendizaje de conceptos y operaciones. Así mismo hay quien afirma que los problemas de palabras son el agujero negro de las matemáticas dado que se invierte mucha energía en ello y no da muchos resultados (Bruer.J.T). A menudo la simplicidad y la artificialidad de los problemas de palabras arruinan sus propósitos educativos. Los problemas son puestos para los estudiantes y no por los estudiantes. Si el objetivo es enseñar habilidades de resolución de problemas se debe recordar que poner un problema ya es una importante habilidad de ese tipo. Por otro lado los problemas se presentan sin ningún contexto. De este modo en lugar de conectar las matemáticas con la experiencia diaria, los problemas se separan de ella y de la realidad. Normalmente los niños para solucionar un problema utilizan una estrategia superficial pero adecuada: buscan la palabra clave que revele qué operación deben realizar. La investigación con niños con dificultades de aprendizaje en matemáticas señala la importancia de enseñar explícitamente las fases y estrategias implicadas en la resolución de los problemas. Bajo diferentes terminologías sigue vigente el modelo de Polya (1945) que indicó cuatro componentes en la resolución de los problemas de manera ateórica e intuitiva: a. Definir el problema. Es el primer paso para comprenderlo. Implica analizar cual es la información esencial y cual es la irrelevante, determinar la incógnita y los datos, examinar las relaciones entre ambos y representarse la meta del problema. Pueden ayudar en esta fase estrategias como formularse preguntas, expresar el problema con palabras propias, representarlo mediante ilustraciones, objetos, diagramas, etc. b. Planificar la solución. Implica el conocimiento de los conceptos y las estrategias numéricas de resolución. Pueden ayudar estrategias como el recuerdo de problemas semejantes encontrados con anterioridad, descomponer el problema en partes, etc. c. Ejecutar el plan. Consiste en seguir la secuencia de pasos diseñadas en el plan, comprobando la corrección de cada paso. Implica el conocimiento de los procedimientos para realizar los cálculos necesarios.

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d. Revisar. Consiste en examinar la solución obtenida para comprobar el razonamiento y el resultado. Es muy conveniente la comparación de éste último con la estimación aproximada de la solución. Para Resnick y Ford la comprensión adecuada de un problema implica conocimientos de tipo lingüístico, factual y conocimientos previos que sonlos que ayudarán a traducir el problema en una representación interna adecuada. En la comprensión de problemas matemáticos de enunciado verbal importa más la comprensión de su estructura lógica que el tipo de operaciones que se hayan de llevar a cabo. Por ello es importante acceder ,para su correcta comprensión, a la macroestructura del texto (Dintsch y Van Dijk), ya que esta permite captar las relaciones semánticas esenciales que serán determinantes para los pasos subsiguientes. Por lo tanto los problemas pueden concebirse como un texto que requiere una interpretación especial en contextos matemáticos. Desde la investigación cognitiva, Mayer (1989) ha propuesto las siguientes fases: a. Representación del problema Para lo que se necesita traducir la información lingüística y factual del problema en una representación interna. Cada frase se trasladaría a una representación interna que debería integrarse en una representación coherente. b. Planificación de la solución. Conocimiento de los conceptos y estrategias numéricas de resolución. Haría que decidir las operaciones y orden en que se van a utilizar. c. Ejecución de la solución. Seguir la secuencia de pasos diseñadas en el plan. d. Guiado y control de la solución. Normalmente se da muy poca atención a las fases “a, b y d” y se dirige el mayor esfuerzo a la “c”, cuando las dificultades de los niños estriban más en formarse una representación coherente del problema que en la ejecución de las operaciones correspondientes. Entre los factores más influyentes en la dificultad de los problemas de enunciado verbal están: a. Ámbito Lingüístico.  Vocabulario utilizado.  Forma de presentar la información (interrogativa, aseverativa).  Longitud del problema.  Complejidad gramatical.  Presencia de información irrelevante o relaciones semánticas subyacentes. b. Aspectos Pragmáticos y contextuales: familiaridad de la situación. c. Factores Estructurales: número de operaciones; conocimiento del tipo de problema (combinación, comparación), ubicación de la incógnita. d. Interés que plantea su solución. De cara a la práctica educativa pueden extraerse una serie de sugerencias útiles (Silvia Defior):  Necesidad de hacer que los alumnos sean conscientes de la importancia de comprender el problema antes de pensar el modo más adecuado de resolverlo.

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 No sólo es necesario leer el texto por completo, sino también dedicar atención a las ideas principales antes de empezar la solución.  Debe mejorarse la presentación de los problemas explicitando las relaciones entre las cantidades.  Enseñar la estructura semántica subyacente a los problemas. Analizar el tipo de esquema que utilizan los problemas verbales. Por ejemplo siguiendo el modelo de esquema de los textos de Kintsch y Van Dijk y de Carpenter y Moser en los problemas de adición y sustración identifican tres tipos de relaciones: cambios; combinación: comparación. Existen variadas propuestas de intervención que formulan una serie de fases a seguir en la enseñanza de resolución de problemas. Así por ejemplo Emilio Sánchez propone un programa de instrucción que se propone enseñar de manera explícita las estrategias que intervienen en la resolución de problemas. Los componentes del programa son:  Ayudas textuales que consisten en rescribir el problema de manera más comprensible.  Representación lingüística del problema, que consistirá en articular el enunciado del problema en función de lo que se conoce y no se conoce.  Representación figurativa: sirve para crear el modelo de la situación descrito en el problema. Establece una representación para problemas de cambio, de combinación (parte todo) y de comparación.  Razonamiento: la decisión que hay que tomar sobre la operación a ejecutar.  Ayudas metacognitivas: se revisa, evalúa y supervisa la aplicación de las ayudas anteriores. Al exteriorizar las estrategias implicadas en la resolución de la tarea es posible visualizar cual de ellas no se lleva a cabo correctamente. De este modo se pueden focalizar las ayudas con estos alumnos solamente en aquellos procesos que no se realizan correctamente, permitiendo adaptar la enseñanza a las necesidades particulares de los alumnos. Otra propuesta muy interesante de mejorar las habilidades de resolución de problemas es la aportada por el “Centro de Tecnología del Aprendizaje (LTC) “ expresada por Bruer.J.T. Este grupo plantea que para mejorar el aprendizaje de solución de problemas aritméticos debe crearse un contexto compartido de resolución de problemas que estudiantes y profesores podían explorar para adquirir conocimiento activo y no inerte. Este enfoque es denominado “Instrucción Anclada”. Su intención es que los entornos de solución de problemas (por ejemplo preparar el presupuesto para la excursión), creasen un “ancla” para el aprendizaje, que generaría interés y permitiría a los estudiantes definir problemas. Como los contextos son públicos y compartidos, los estudiantes tienen que explicar y justificar sus estrategias de resolución de problemas a sus compañeros, lo cual a su vez potenciará que los estudiantes supervisen su pensamiento y les ayuda a adquirir habilidades metacognitivas.

3. INTERVENCIÓN EDUCATIVA A lo largo de la exposición del tema hemos ido expresando las diferentes propuestas de intervención ante los diferentes tipos de dificultades que pueden manifestar los alumnos respecto al aprendizaje de las matemáticas. Desde el punto de vista normativo, en la Comunidad autónoma de Aragón se regula la atención a los alumnos con dificultad específica de aprendizaje a través de la Resolución de la Dirección general de Política Educativa por la que se concretan aspectos relativos a la atención educativa a los alumnos con necesidad específica de apoyo educativo por presentar dificultades

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específicas de aprendizaje escolarizados en los centros que imparten las enseñanzas correspondientes a la Educación infantil, Educación primaria, Educación secundaria obligatoria, Bachillerato y Formación Profesional, de la Comunidad autónoma de Aragón.

Tomando como referencia los aspectos definidos en dicha disposición, en ese apartado nos situamos desde una perspectiva más amplia a la hora de señalar una propuesta de intervención de orientación claramente preventiva y dirigida a toda la institución educativa en general, que articulada a través de los diferentes planes y proyectos del Centro, llegue a todos los alumnos. Los diferentes niveles de intervención serán los siguientes: A.

Intervención Educativa a nivel de Centro Educativo.

a. Respecto al Proyecto Educativo. Habrá que contemplar aspectos relativos a las necesidades que manifiestan los alumnos del Centro en el aprendizaje de las matemáticas. Es decir, el papel que tiene la atención a la diversidad. Otro aspecto a destacar se deriva de la formación del profesorado respecto a estos aspectos así como el grado de acuerdo a la hora de considerar el sentido y lugar de las matemáticas en el contexto escolar. b. Respecto al Proyecto Curricular de Etapa. Habrá que considerar aspectos relativos a:  Adecuada contextualización y adecuación por ciclos de los objetivos generales del área de matemáticas. Consistirá en establecer matizaciones, grados de desarrollo y priorizaciones sobre las capacidades que se establecen en los objetivos generales en función de las peculiaridades de los alumnos de cada ciclo.  Secuenciación de los contenidos del área de matemáticas con previsiones generales sobre su organización y su temporalización teniendo en cuenta: la pertinencia respecto al desarrollo evolutivo de los alumnos; la adecuación a los conocimientos previos y conocimiento informal de los alumnos; la continuidad y progresión a lo largo de los diferentes ciclos facilitando la construcción progresiva de conocimientos; la interrelación de los diferentes contenidos.  Papel que se le otorga a la evaluación tanto inicial como continua en el proceso de enseñanza y aprendizaje.  Asunción de principios metodológicos comunes para su enseñanza: contextualización; uso de los problemas; conectar el lenguaje formal con el significado referencial; partir del conocimiento informal matemático; trabajo cooperativo; metodologías acordes a una concepción constructivista e interactiva del aprendizaje. B.

Intervención Educativa a nivel de Aula. a. Respecto a la Programación Didáctica y Secuencias Didácticas, será importante considerar aspectos relacionados con:  Secuenciación pormenorizada de los procesos instruccionales.  Evaluación inicial y continua de las secuencias de aprendizaje.  Actividades multinivel, con variedad de actividades de diferente dificultad. Análisis de tareas.  Enfoque globalizador y funcional de las situaciones de enseñanza. b. Respecto a la Organización, atender a diferentes agrupamientos en función de las actividades favoreciendo la cooperación y la interactividad;

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disposición de materiales concretos que faciliten la adquisición de contenidos matemáticos concretos; disponibilidad temporal y espacial para la realización de las diferentes actividades. C. Intervención Educativa a nivel Individual. Cuando las medidas educativas ordinarias no son suficientes para atender a las necesidades educativas de algún alumno concreto, se considera preciso intervenir de manera individualizada. a. Evaluación Psicopedagógica:  Del Alumno: Valoración del nivel de competencia curricular, determinando el grado de dominio en los diferentes aspectos matemáticos así como los tipos de errores que comete; Estilo de Aprendizaje, atendiendo a variables de motivación , ayudas más eficaces y modo de resolución de las tareas; Valoración Capacidades Cognitivas relacionadas con la resolución de problemas, razonamiento lógico, memoria operativa, comprensión lectora. Dominio de representaciones relativas a la Cantidad, Número, Comparación, Parte-Todo.  Familia: aspectos del contexto familiar que pueden estar favoreciendo y dificultando el aprendizaje del alumno.  Centro: valoración de aspectos de planificación y organización que pueden estar favoreciendo y dificultando el aprendizaje del alumno. b. En principio se realizarían adaptaciones curriculares no significativas del currículum del alumno, aunque la actual normativa de la Comunidad autónoma de Aragón contempla la posibilidad de adoptar medidas extraordinarias de adaptación curricular.  En el Qué: capacidades específicas relacionadas con el aprendizaje de las matemáticas a priorizar; dominio de representaciones básicos y conexión con los procedimientos operatorios; secuencia de contenidos más pormenorizada; atención a los procesos de autorregulación.  En el Cómo: diferentes actividades con diferentes niveles de simbolización; uso de ayudas materiales de diferente tipo; manejo del nivel de abstracción. Enseñanza explícita de diferentes procesos.  En la Evaluación: evaluación tanto del proceso como del producto. Atención a los errores.  Propuesta de Organización: uso de diferentes materiales; agrupamientos diferentes del alumno; posibilidad de apoyos específicos. BIBLIOGRAFÍA  ALCALÁ, M (2002): “La construcción del lenguaje matemático, Barcelona, Graó.  BAROJA, F (1991): Matemáticas Básicas: dificultades de aprendizaje y su recuperación. Madrid: Santillana.  BRUER, J.T (1995): “Escuelas para pensar. Una ciencia del aprendizaje en el aula”, Madrid, Paidos MEC.  DEFIOR CITOLER (1996): Las dificultades de aprendizaje: Un enfoque cognitivo. Málaga: Aljibe.  GALVE MANZANO, J.L y OTROS: “Pues ¡Claro!. Programa de estrategias de resolución de problemas y refuerzo de las operaciones básicas”. Guía y cuadernos. Madrid. Cepe.  RIVIERE,A.; Problemas y dificultades en el aprendizaje de las matemáticas: Una perspectiva cognitiva. En COLL, MARCHESI y PALACIOS. (1992). Desarrollo Psicológico y Educación, III. Madrid: Alianza Psicología.  SÁNCHEZ CABEZUDO. J :Programa de Refuerzo de aprendizaje (P.R.A) Manual y cuadernos. Madrid. Cepe.

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ANEXO DIFICULTADES MATEMÁTICAS

MODELOS DE INTERVENCIÓN PSICOLOGÍA COGNITIVA:  Concepción relación desarrollo y adquisición PIAGETIANO de conocimiento  Conceptos: cantidad, número, orden, serialidad.  Pedagogía operatoria: operaciones lógicas: clasificar-seriar MADURACIONALISTA  Concepto de discalculia (lesión cerebral; (neurobiológica) disfunción cerebral)  Ámbitos: esquema corporal, perceptivomotriz, orientación espaciotemporal; conceptos y nociones básicas. PSICOLOGÍA COGNITIVA:  Análisis de tareas/Análisis de los procesos PROCESAMIENTO DE LA  Análisis de los Procesos que realiza la persona INFORMACIÓN que se enfrenta con tareas concretas numéricas y matemáticas  Relacionar los errores con los procesos normales de aprendizaje y ejecución.  Los errores son considerados como ventanas a la mente ENFOQUE CONSTRUCTIVISTA  Concepción mediacional e interaccionista del MEDIACIONAL aprendizaje.  Dominio progresivo diferentes planos simbólicos. DIMENSIONES ASPECTOS ELEMENTOS NOCIONES Y PROCESOS BÁSICOS  CONCEPTOS BÁSICOS  OPERACIONES LÓGICOMATEMÁTICAS CONCEPTO DE NÚMERO

CÁLCULO Y OPERACIONES MATEMÁTICAS

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

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 Concepción Piaget: no adquisición requisitos  Concepción cognitiva: componente experiencial.  FASES EN SU ADQUISICIÓN  COMPRENSIÓN  EJECUCIÓN ALGORITMOS  Aprendizaje de principios, normas y reglas  Psicología de la instrucción  Procesos de representación del problema: traslación e integración información.  Procesos de resolución: planificación y ejecución 17

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CENTRO  PEC:necesidades de los alumnos; formación del profesorado

AULA  P.A: secuenciación procesos instruccionales; análisis de tareas; evaluación inicial y contínua secuencias de aprendizaje; variedad de actividades; principios metodológicos:  PCC: secuenciación  Organización: distintos contenidos matemáticos; agrupamientos en uso de la evaluación función de actividades, continua e inicial; niveles de dificultad, principios atención a la diversidad, metodológicos trabajo cooperativo. comunes: contextualización, uso de los problemas; conectar el lenguaje formal con el significadoreferencial, trabajo cooperativo.

ALUMNO EVALUACIÓN PSICOPEDAGÓGICA:  Alumno: competencia curricular; estilo aprendizaje; capacidad intelectual  Familia  Aula

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

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PROPUESTA ADAPTACIÓN CURRICULAR En el qué: capacidades específicas, secuencia contenidos, tipo de contenidos En el cómo: secuencia; tipo de actividades; materiales; nivel de abstracción Evaluación: estrategias, instrumentos. Proceso y producto, Metodología: significatividad, funcionalidad; contextualización; interacción; actividad; nivel de abstracción. PROPUESTA ORGANIZACIÓN Espacios,materiales, apoyos.