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• MARCOS PELO

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ENCUENTRO # 41 TEMA: Función logarítmica CONTENIDOS: 1. Funciones logarítmicas. 2. Dominio de funciones logarítmicas. 3. Problemas de aplicación.

Ejercicio reto √

1. La solución de log2 (9 − 2x ) = 25log5 3−x , es: A)S = {0, 3} B)S = {0} C)S = {3}

D)S = {−3}

E)S = R

2. Los interceptos de la función cuadrática f (x) = x2 −3x−18, son respectivamente: A)(1, 0) y (3, 0) B)(2, 0) y (3, 0) C)(−6, 0) y (3, 0) D)(−1, 0) y (−3, 0) E)(6, 0) y (−3, 0]

Función logarítmica Definición 1. Definimos la función logarítmica de base a, a la función f : R −→ R denotada por: Propiedades y = loga x, (a > 1) 1. Dominio: R+ 2. Rango: R 3. Simetría: no es par, ni impar 4. Raíces: x = 1 5. Monotonía: creciente 6. Inyectiva: si 7. Sobreyectiva: si 8. Biyectiva : si Portal de Matemática

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Propiedades y = loga x, (0 < a < 1)

1. Dominio: R+ 2. Rango: R 3. Simetría: no es par, ni impar 4. Raíces: x = 1 5. Monotonía: decreciente 6. Inyectiva: si 7. Sobreyectiva: si 8. Biyectiva : si Propiedades

y = loga (−x), (a > 1)

1. Dominio: R− 2. Rango: R 3. Simetría: no es par, ni impar 4. Raíces: x = −1 5. Monotonía: decreciente 6. Inyectiva: si 7. Sobreyectiva: si 8. Biyectiva : si

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Propiedades y = loga (−x), (0 < a < 1)

1. Dominio: R+ 2. Rango: R 3. Simetría: no es par ni impar 4. Raíces: x = 1 5. Monotonía: decreciente 6. Inyectiva: si 7. Sobreyectiva: si 8. Biyectiva : si

Función logarítmica desplazada Función logarítmica desplazada en el eje x y = log2 (x + 1) Asíntota vertical x = −1

y = log2 (x − 2) Asíntota vertical x = 2

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Función logarítmica desplazada en el eje y

y = log2 (−x) + 3 Asíntota vertical x = 0

y = log2 (x) − 2 Asíntota vertical x = 0

Función logarítmica desplazada en ambos ejes 1. Dominio: [1, +∞) 2. Rango: R

y = log 1 (x − 1) − 2 2 Asíntota vertical x = 1

3. Simetría: no es par, ni impar 4. Raíces: log 1 (x − 1) − 2 = 0 2 log 1 (x − 1) = 2 2

2

x − 1 = 12 x = 41 + 1 =

5 4

5. Monotonía: decreciente 6. Inyectiva: si 7. Sobreyectiva: si 8. Biyectiva : si

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Ejercicios propuestos I- Dadas las siguientes funciones. Esboza su gráfico y analiza sus propiedades. 1. y = log(x − 3)

5. y = ln(x − 2) − 1

2. y = log2 (x + 2)

6. y = log 1 (x + 2) − 3

3. y = log4 (x) − 1

7. y = log 1 (x) + 2

4. y = log3 (x) + 2

8. y = log5 (x − 4) − 1

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Análisis del dominio de una función logarítmica Sea loga b = x tiene como requisitos (a > 0, a 6= 1, b > 0), teniendo en cuenta estas restricciones se puede determinar el dominio de una función logarítmica.

Ejemplo 2.1. Analice el dominio de las función: f (x) = log(x2 − 4) Solución x2 − 4 > 0 (x − 2)(x + 2) > 0 x1 = 2 x2 = −2 Dominio f (x) = {x ∈ R|x < −2 ∧ x > 2} Ejemplo 2.2. Determina para que valores de la variable tiene sentido la siguiente función: 2 y = log( xx2 +x−2 ). −x−6 Solución x2 +x−2 >0 x2 −x−6 (x+2)(x−1) >0 (x−3)(x+2) Ceros de numerador x1 = −2 x2 = 1 Ceros de numerador S = {x ∈ R|x ≤ 1 ∨ x > 3 ∧ x 6= −2} x3 = 3 x4 = −2

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Ejercicios propuestos Determina para que valores de x están definida las siguientes funciones: 2

1. y = log6 (2x + 8)

−6x 5. y = logx−2 ( xx−5 )

2. y = logx−1 (x2 − 4x)

6. y = logx+2 (x2 − x − 6)

3. y = ln(3x2 − x − 2)

−16 ) 7. y = log( x2x+4x−32

x−3 4. y = ln x2 −4x−5

x −10x+25 8. y = log( 3x 2 −14x−5 )

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Problemas de aplicación Sismología En sismología los logaritmos se emplean para calcular la intensidad de un sismo por medio del siguiente modelo matemático: IR = log

A t

Donde: IR = intensidad del sismo (escala Richter) A = amplitud (micrómetros) t = periodo (tiempo en segundos que dura una oscilación)

Ejemplo 3.1. ¿Cuál es la intensidad de un sismo en la escala Richter si su amplitud es de 8 000 micrómetros y su periodo de 0.09 segundos? Solución Se sustituye A = 8000 micrómetros y P = 0.09 segundos en la fórmula: A IR = log t 8000 IR = log 0.09 IR = log(88888.89) IR = 4.95 Por tanto, el sismo tiene una intensidad de 4.95 grados en la escala Richter.

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Ejemplo 3.2. Un sismo tiene una intensidad de 5.7 grados en la escala Richter, si la amplitud del movimiento es de 9 021.37 micrómetros, ¿cuál es su periodo? Solución Primero se despeja en la fórmula: A IR = log t A IR 10 = t A t= I 10 R Se sustituye en esta última fórmula IR = 5.7 y A = 9021.37 segundo. 9021.37 = 00179 105.7 Por consiguiente, el periodo de una oscilación es de 0.0179 segundos. t=

Decaimiento radiactivo Otra aplicación de los logaritmos se lleva a cabo en el decaimiento radiactivo. El decaimiento radiactivo de un material está dado por la fórmula: t

C = C0 (2)− n Donde: C = cantidad de material radiactivo después de cierto tiempo t = antigüedad del material C0 = cantidad presente cuando t = 0 n = vida media del material

Ejemplo 3.3. El tiempo de vida media de un material es de 25 años, ¿ cuánto de dicho material queda después de haber transcurrido 15 años? Solución Se sustituye en la fórmula n = 25 y t = 15 años: t C = C0 (2)− n 15 Por consiguiente, queda 0.659C0 o C = C0 (2)− 25 −0.6 65.9% del material inicial. C = C0 (2) C = C0 (0.659) = 0.659C0 Portal de Matemática

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Ejemplo 3.4. ¿Cuál es la antigüedad de una fi gura de madera que tiene la cuarta parte de su contenido original de carbono 14, si la vida media del material es de 5 900 años? Solución Con las propiedades de los logaritmos se despeja t: t

C = C0 (2) n t C = (2) n C0 t C log( ) = log(2) n C0 C t log( ) = log(2) C0 n log( CC0 ) t= 1 log(2) n n · log( CC0 ) t= log(2) Se sustituye C = 14 C0 y n = 5900 en la última fórmula: 1

C

5900 · log( 4C00 ) t= log(2) −3552.15 5900 · log(0.25) = = −11801.16 años t= log(2) 0.3010 Por tanto, la antigüedad de la pieza es de 11 801.16 años.

Población El crecimiento de una población esta determinado por la fórmula: N = N0 ekt Donde: • N = número de habitantes de una población en determinado tiempo. • N0 = número de habitantes en un población inicial,cuando t0 = 0 • k = constante • t = tiempo.

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Ejemplo 3.5. El siguiente modelo muestra el crecimiento de una población de insectos: N = 850(3)0.094t Donde N es el número de insectos y t el tiempo en días.¿En qué tiempo la población de insectos será de 10200 insectos? Solución Se despeja t de la fórmula: N = 850(3)0.094t →

N 850

N = (3)0.094t → ln 850 = 0.0.94t ln(3) → t =

N ln 850 0.094 ln 3

Se sustituye N = 10200 en la fórmula y se calcula. ln 10200 ln 12 2.4849 850 t= = = ≈ 24.07días 0.094 ln 3 0.094 ln 3 0.1032

Ejercicios Propuestos 1. Un sismo se presenta con 6 000 micrómetros de amplitud y un periodo de 0.3 segundos. Determina la intensidad del movimiento sísmico en la escala Richter. 2. Encuentra el periodo de un sismo de 90 000 micrómetros con intensidad de 5 grados en la escala Richter. 3. Un sismo tiene un periodo 0.35 segundos de duración y alcanza 4 grados en la escala Richter. ¿Cuál es su amplitud? 4. El tiempo de vida media de un material es de 40 años. ¿Cuánto de dicho material queda después de 30 años? 5. La vida media del tritio es de 12.5 años. ¿Cuánto tardará en desintegrarse 30% de una muestra de este metal? 6. En un cultivo de laboratorio las bacterias aumentaron de una población inicial de 150 a 830 en 2 horas. ¿Cuánto tardarán en llegar a 3 000? 7. La población actual de ratas en una ciudad es de 40 000; si se duplican cada 8 años, ¿cuándo habrá 500 000 roedores?

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Ejercicios de entrenamiento 1. El dominio de la función f (x) = ln(−x) es: (UNAN 2013) A) (−∞, 0)

B) (−∞, 0]

C) (0, +∞)

D) [0, +∞)

E) (−∞, +∞)

2. El dominio de la función f (x) = log3 (3x − 6) es: (UNI 2005-C) A)(2, ∞)

B)[2; ∞)

3. El dominio de la función A)(0, +∞)

C)[3, ∞)

f (x) = log3

B)(−∞, 0)



C)(1, 3)

D)x > 0

x3 −8x2 +16x−9 x2 −x

E)[1, ∞) 

+1

D)(0, +∞) − {1, 3} E)R

4. Si los puntos (1, −1) y (3, 0) pertenecen a la función h(x) = log2 (x + b) + c, entonces la ecuación de la función es: A)h(x) = log2 (x − 1) − 2 B)h(x) = log2 (x − 2) + 1 C)h(x) = log2 (x + 1) − 2

D)h(x) = log2 (x − 1) + 2 E)h(x) = log2 (x + 1) + 2

5. Dado el grafico de la función g(x) = log2 (x + a) + b, entonces el valor donde intercepta al eje de las abscisas es:

A) 32 B) 23 C) 12 5 5 D) 12 E) 52

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6. El dominio de la función f (x) = log4x−3 (3 − 2x), es: A)



3 3 , 4 2





B) 0, 23



C)



1 3 , 2 2



D)



3 5 , 4 4



E)



3 3 , 4 2



− {1}

7. Se tiene una colonia de 1000 bacterias que duplica su tamaño cada hora.¿Cuántas bacterias habrá al término de 5 horas?(Asumir ln 2 = 0.69) A)104 e3.45

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B)103 e3.45

C)102 e3.45

11

D)103e3.54

E)103 e4.35

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