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• Erika Pamela Ccasa

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4. Rendimiento esperado de un portafolio Usted tiene 10 000 para invertir en un portafolio de acciones. Sus opciones son las acciones de X con un rendimiento esperado de 14% y las acciones de Y con un rendimiento esperado de 9%. Si su meta es crear un portafolio con un rendimiento esperado de 12.2%, ¿qué cantidad de dinero invertirá usted en las acciones de X? ¿Y en las acciones de Y? SOLUCIÓN 𝐸(𝑅𝑝) = 12.2% 𝑋=𝑎 𝑌 = 1−𝑎 Reemplazando los datos 0.14(𝑎) + 0.09(1 − 𝑎) = 0.122 0.032 = 0.05𝑎 0.64 = 𝑎 La cantidad de $ invertido en la Acción X multiplicado por el valor de la cartera será: 𝑋 = $10 000𝑥0.64 = $6 400 La cantidad de $ invertido en la Acción Y multiplicado por el valor de la cartera será: 𝑌 = $10 000𝑥(1 − 0.64) = $3 600 8. Cálculo de los rendimientos esperados un portafolio está compuesto por 20% de acciones G, 70% de acciones J y 10% de acciones K. Los rendimientos esperados de estas acciones son de 8%, 15% y 24% respectivamente. ¿Cuál es el rendimiento esperado del portafolio? ¿Cómo interpreta usted su respuesta? SOLUCIÓN R(E) Acciones

G 8% 20%

J 15% 70%

K 24% 10% 𝐸(𝑅𝑝) = 0.20(0.08) + 0.70(0.15) + 0.1(0.24) 𝐸(𝑅𝑝) = 0.145 𝐸(𝑅𝑝) = 14.5%

Si poseemos esta cartera, esperaríamos obtener una rentabilidad del 14.5%. 12. Cálculo de las betas de los portafolios Usted posee un portafolio igualmente distribuido en un activo libre de riesgo y dos acciones. Si una de las acciones tiene una beta de 1.9 y la totalidad del portafolio es igualmente riesgosa que el mercado, ¿cuál debe ser la beta de las otras acciones de su portafolio? SOLUCIÓN -La totalidad del portafolio es igualmente riesgosa que el mercado. -La beta del portafolio del mercado es ∑𝑁 𝑖 𝑋𝑖 𝛽𝑖 = 1 -El activo libre de riesgo sería 0. 1 1 1 (0) + (1.9) + (𝛽𝑥) = 1 3 3 3

𝛽𝑥 = 1.1 La beta del activo libre de riesgo es 0 y del βx=1.1 16. Uso del CAPM Una acción tiene un rendimiento esperado de 17%, su beta es de 1.9 y el rendimiento esperado del mercado es de 11%. ¿Cuál debe ser la tasa libre de riesgo? 𝑅̅ = 𝑅𝑓 + 𝛽 × (𝑅̅ 𝑚 − 𝑅𝑓) 0.17 = 𝑅𝑓 + 1.9 × (0.11 − 𝑅𝑓) 0.9𝑅𝑓 = 0.209 − 0.17 𝑅𝑓 = 4.33% La tasa libre de riesgo (Rf) es 4.33%. 20. Razones de recompensas a riesgos En el problema anterior, ¿cuál tendría que ser la tasa libre de riesgo para que las dos acciones estuvieran correctamente valuadas? SOLUCIÓN Establecemos las proporciones de recompensa a riesgo de dos activos iguales entre sí. 0.17 − 𝑅𝑓 0.105 − 𝑅𝑓 = 1.50 0.80 𝑅𝑓 = 0.0307 𝑅𝑓 = 3.07% La tasa correcta Rf para la correcta valuación de las acciones sería 3.07%. 24. Análisis de un portafolio Usted desea crear un portafolio que sea igualmente riesgoso que el mercado, y usted tiene 1 millón de dólares para invertir. Dada esta información, llene la parte restante de la siguiente tabla: Activo Acción A Acción B Acción C Acción libre de riesgo

Inversión $200 000 $250 000

Beta 0.80 1.30 1.50

Conocemos el valor total de la cartera y la inversión de dos acciones en la cartera, por lo que podemos encontrar el peso de estas dos acciones. Los pesos de las existencias A y B son: 𝑤𝑎 =

$200 000 = 0.20 $1 000 000

𝑤𝑏 =

$250 000 = 0.25 $1 000 000

Dado que la cartera es tan arriesgada como el mercado, la β de la cartera debe ser igual a uno. Nosotros también saber que el β del activo libre de riesgo es cero. Podemos usar la ecuación para el β de una cartera para encontrar el peso del tercer stock. Al hacerlo, encontramos: 𝛽𝑝 = 1 = 𝑤𝑎(0.8) + 𝑤𝑏(1.3) + 𝑤𝑐(1.5) + 𝑤𝑟𝑓(0) Resolviendo el peso del stock C, encontramos: 𝑤𝑐 = 0.343333 Entonces el peso en dólares de C, seria:

𝐼𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝐶 = 0.343333 × ($1 000 000) = $343 333 Sabemos que el peso total de la cartera debe ser uno, por lo que el peso del activo libre de riesgo debe ser uno menos el peso del activo que conocemos, o: 1 = 𝑤𝑎 + 𝑤𝑏 + 𝑤𝑐 + 𝑤𝑟𝑓 1 = 0.20 + 0.25 + 0.343333 + 𝑤𝑟𝑓 𝑤𝑟𝑓 = 0.206667 Por lo tanto la inversión en dólares en el activo libre de riesgo debe ser: 𝐼𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑟𝑖𝑒𝑠𝑔𝑜 = 0.206667 × $1 000 000 = $206 667 28. Desviación estándar del portafolio El valor F tiene un rendimiento esperado de 12% y una desviación estándar de 34% por año. El valor G tiene un rendimiento esperado de 18% y una desviación estándar de 50% por año. a) ¿Cuál es el rendimiento esperado de un portafolio compuesto por 30% del valor F y 70% del valor G? b) Si la correlación entre los rendimientos del valor F y del valor G es de .2, ¿cuál es la desviación estándar del portafolio que se describió en la parte a)? SOLUCIÓN a) El rendimiento esperado de la cartera es la suma del peso de cada activo multiplicado por la esperada devolución de cada activo, entonces: 𝐸(𝑅𝑝) = 𝑤𝑓 𝐸(𝑅𝑓 ) + 𝑤𝐺 𝐸(𝑅𝐺 ) 𝐸(𝑅𝑝) = 0.30(0.12) + 0.70(0.18) 𝐸(𝑅𝑝) = 0.1620 = 16.20% b) La varianza de una cartera de dos activos se puede expresar como: 𝜎𝑃2 = 𝑊𝐹2 𝜎𝐹2 + 𝑊𝐺2 𝜎𝐺2 + 2𝑊𝐹 𝑊𝐺 𝜎𝐹 𝜎𝐺 𝜌𝐹,𝐺 2 2 𝜎𝑃 = 0.30 0.342 + 0.702 0.502 + 2(0.30)(0.70)(0.34)(0.50)(0.20) 𝜎𝑃2 = 0.14718 La desviación estándar sería: 1

𝜎 = 0.147182 = 0.3836 = 38.36% 32. Beta y CAPM Un portafolio que combina un activo libre de riesgo y el portafolio del mercado que tiene un rendimiento esperado de 12% y una desviación estándar de 18%. La tasa libre de riesgo es de 5%, y el rendimiento esperado del portafolio del mercado es de 14%. Suponga que se mantiene el modelo de valuación de los activos de capital. ¿Qué tasa esperada de rendimiento ganaría un valor si tuviera una correlación de .45 con el portafolio del mercado y una desviación estándar de 40%? SOLUCIÓN Según la desviación estándar de la cartera de mercado utilizando (CML). Sabemos que el activo de tasa libre de riesgo tiene un rendimiento del 5% y una desviación estándar de cero y la cartera tiene un rendimiento esperado del 14%y una desviación estándar del 18% Estos dos puntos deben estar en la Línea del Mercado de Capitales. La pendiente de la línea del mercado de capitales es igual a: 𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝐶𝑀𝐿 =

𝐴𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 𝐴𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟

𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝐶𝑀𝐿 =

(0.12 − 0.5) (0.18 − 0)

𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝐶𝑀𝐿 =

(0.12 − 0.05) (0.18 − 0)

𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝐶𝑀𝐿 = 0.39 Según la CML 𝐸(𝑅𝐼 ) = 𝑅𝑓 + 𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝐶𝑀𝐿 (𝜎𝐼 ) Si conocemos el rendimiento esperado de la cartera del mercado, la tasa libre de riesgo y la pendiente de la CML, podemos resolver la desviación estándar de la cartera de mercado que es: 𝐸(𝑅𝑀 ) = 𝑅𝑓 + 𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝐶𝑀𝐿 (𝜎𝑀 ) 0.12 = 0.05 + 0.39(𝜎𝑀 ) 𝜎𝑀 = (0.12 − 0.05)/0.39 𝜎𝑀 = 0.18 = 18% Ahora podemos usar la desviación estándar de la cartera del mercado para resolver la beta de un valor usando la ecuación beta. Al hacerlo, encontramos que la versión beta de la seguridad es: 𝛽𝐼 = 𝛽𝐼 =

(𝜌𝐼,𝑀 )(𝜎𝐼 ) 𝜎𝑀

(0.45)(0.40) 0.18 𝛽𝐼 = 1

Ahora podemos usar la versión beta de la seguridad en el CAPM para encontrar su rendimiento esperado, que es: 𝐸(𝑅𝐼 ) = 𝑅𝑓 + 𝛽𝐼 [𝐸(𝑅𝑀 ) − 𝑅𝑓 ] 𝐸(𝑅𝐼 ) = 0.05 + 1(0.14 + 0.05) 𝐸(𝑅𝐼 ) = 0.14 = 14% 36. Covarianza y desviación estándar del portafolio Existen tres valores en el mercado. La siguiente tabla muestra sus posibles rendimientos: Estado 1 2 3 4

Probabilidad de ocurrencia 0.10 0.40 0.40 0.10

Rendimiento del valor 1 0.25 0.20 0.15 0.10

Rendimiento del valor 2 0.25 0.15 0.20 0.10

Rendimiento del valor 3 0.10 0.15 0.20 0.25

a) ¿Cuál es el rendimiento esperado y la desviación estándar de cada valor? b) ¿Cuáles son las covarianzas y las correlaciones entre los pares de valores? c) ¿Cuál es el rendimiento esperado y la desviación estándar de un portafolio con la mitad de fondos invertida en el valor 1 y la mitad en el valor 2? d) ¿Cuál es el rendimiento esperado y la desviación estándar de un portafolio con la mitad de fondos invertida en el valor 1 y la mitad en el valor 3? e) ¿Cuál es el rendimiento esperado y la desviación estándar de un portafolio con la mitad de fondos invertida en el valor 2 y la mitad en el valor 3?

f) ¿Qué implican sus respuestas a los incisos a), c), d) y e) acerca de la diversificación? SOLUCIÓN a) Entonces, el rendimiento esperado y la desviación estándar de cada acción son: Activo 1 𝐸(𝑅1 ) = 0.10(0.25) + 0.40(0.20) + 0.40(0.15) + 0.10(0.10) = 0.1750 = 17.50% 𝜎12 = 0.10(0.25 – 0.175)2 + 0.40(0.20 – 0 .175)2 + 0.40(0.15 – 0.1750)2 + 0.10(0.10 – 0.175)2 𝜎12 = 0.00163 𝜎1 = 0.001631/2 = 0.403 = 4.03% Activo 2 𝐸(𝑅2 ) = 0.10(0.25) + 0.40(0.15) + 0.40(0.20) + 0.10(0.10) = 0.1750 = 17.50% 𝜎22 = 0.00163 𝜎2 = 0.001631/2 = 0.403 = 4.03% Activo 3 𝐸(𝑅3 ) = 0.10(0.25) + 0.40(0.15) + 0.40(0.20) + 0.10(0.10) = 0.1750 = 17.50% 𝜎32 = 0.00163 𝜎3 = 0.001631/2 = 0.403 = 4.03% b) Covarianzas Activo 1 y 2 𝐶𝑜𝑣(1,2) = 0.10(0.25 – 0.1750)(0.25 – 0.1750) + 0.40(0.20 − 0.1750)(0.15 – 0.1750) + 0.40(0.15 – 0.1750)(0.20 – 0.1750) + 0.10(0.10 – 0.1750)(0.10 – 0.1750) 𝐶𝑜𝑣(1,2) = 0.000625 𝜌1,2

𝐶𝑜𝑣(1,2) = 𝜎1 𝜎2

𝜌1,2 =

0.000625 (0.0403)(0.0403)

𝜌1,2 = 0.3846 Activo 1 y 3 𝐶𝑜𝑣(1,3) = 0.10(0.25 – 0.1750)(0.10 – 0.1750) + 0.40(0.20 − 0.1750)(0.15 – 0.1750) + 0.40(0.15 – 0.1750)(0.20 – 0.1750) + 0.10(0.10 – 0.1750)(0.25 – 0.1750) 𝐶𝑜𝑣(1,3) = −0.001625 𝜌1,3

𝐶𝑜𝑣(1,3) = 𝜎1 𝜎3

𝜌1,3 =

−0.001625 (0.0403)(0.0403)

𝜌1,3 = −1 Activo 2 y 3 𝐶𝑜𝑣(2,3) = 0.10(0.25 – 0.1750)(0.10 – 0.1750) + 0.40(0.15 − 0.1750)(0.15 – 0.1750) + 0.40(0.20 – 0.1750)(0.20 – 0.1750) + 0.10(0.10 – 0.1750)(0.25 – 0.1750) 𝐶𝑜𝑣(2,3) = −0.000625 𝜌2,3

𝐶𝑜𝑣(2,3) = 𝜎2 𝜎3

𝜌2,3 =

−0.000625 (0.0403)(0.0403)

𝜌2,3 = −0.3846 c) El rendimiento esperado de la cartera es la suma del peso de cada activo multiplicado por el esperado retorno de cada activo, entonces, para una cartera de Activo 1 y Activo 2: 𝐸(𝑅𝑃 ) = 𝑤1 𝑅1 + 𝑤2 𝐸(𝑅2 ) 𝐸(𝑅𝑃 ) = 0.50(0.1750) + 0.50(0.1750) 𝐸(𝑅𝑃 ) = 0.1750 = 17.50% La varianza de las dos acciones: 𝜎𝑃2 = 0.502 (0.04032 ) + 0.502 (0.04032 ) + 2(0.50)(0.50)(0.0403)(0.3846) 𝜎𝑃2 = 0.001125 Y la desviación estándar del portafolio sería: 𝜎𝑃 = (0.001125)1/2 𝜎𝑃 = 0.0335 = 3.35% d) El rendimiento esperado de la cartera es la suma del peso de cada activo multiplicado por el esperado retorno de cada activo, entonces, para una cartera de Activo 1 y Activo 3: 𝐸(𝑅𝑃 ) = 𝑤1 𝑅1 + 𝑤3 𝐸(𝑅3 ) 𝐸(𝑅𝑃 ) = 0.50(0.1750) + 0.50(0.1750) 𝐸(𝑅𝑃 ) = 0.1750 = 17.50% La varianza del portafolio: 𝜎𝑃2 = 0.502 (0.04032 ) + 0.502 (0.04032 ) + 2(0.50)(0.50)(0.0403)(0.0403)(−1) 𝜎𝑃2 = 0.0000 e) El rendimiento esperado de la cartera es la suma del peso de cada activo multiplicado por el esperado retorno de cada activo, entonces, para una cartera de Activo 1 y Activo 3: 𝐸(𝑅𝑃 ) = 𝑤2 𝑅2 + 𝑤3 𝐸(𝑅3 ) 𝐸(𝑅𝑃 ) = 0.50(0.1750) + 0.50(0.1750) 𝐸(𝑅𝑃 ) = 0.1750 = 17.50%

La varianza del portafolio de las dos acciones: 𝜎𝑃2 = 0.502 (0.04032 ) + 0.502 (0.04032 ) + 2(0.50)(0.50)(0.0403)(0.0403)(−0.3846) 𝜎𝑃2 = 0.0005 La desviación estándar del portafolio: 𝜎𝑃 = (0.0005)1/2 𝜎𝑃 = 0.0224 = 2.24% f)

Mientras la correlación entre los rendimientos de dos valores sea inferior a 1, existe un beneficio para diversificación. Una cartera con acciones negativamente correlacionadas puede lograr una mayor reducción del riesgo que una cartera con acciones positivamente correlacionadas, manteniendo el rendimiento esperado de cada acción constante. La aplicación de pesos adecuados en acciones perfectamente correlacionadas negativamente puede reducir variación de cartera a 0.