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• Ulises Sanchez

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Analiza y da solución a los siguientes problemas.

Realiza un reporte que incluya el procedimiento utilizado para la resolución de cada problema.

Parte 2 Soluciona los siguientes ejercicios, realiza un reporte que incluya el procedimiento utilizado para la resolución de cada uno.

1. Obtén la integral de las siguientes funciones: 𝟐

𝟑

𝑎) ∫ ∫ 𝒓𝒛 𝒅𝒓𝒅𝒛 𝟎

𝟏

Separamos la integral de la siguiente manera: 3

∫ 𝑟𝑧 𝑑𝑟𝑑𝑧 1

Calculáramos la integral indefinida de la anterior función 3

∫ 𝑟𝑧 𝑑𝑟 1

Se utilizara la siguiente formula: ∫ 𝑟 𝑛 𝑑𝑟 =

𝑟 𝑛+1 +𝐶 𝑛+1

Por lo tanto queda de la siguiente manera: ∫ 𝑟𝑧 𝑑𝑟 =

𝑧𝑟 2 +𝐶 2

Aplicamos los límites definidos en la integral

3 𝑧𝑟 2 𝑧𝑟 2 =[ ]−[ ] 1 2 2 3 𝑧(3)2 𝑧(1)2 =[ ]−[ ] = 4𝑧 1 2 2

Se realizara la siguiente integral: 2

∫ 4𝑧 𝑑𝑧 0

Se aplica la siguiente formula de integración: ∫ 𝑧 𝑛 𝑑𝑟 =

𝑧 𝑛+1 +𝐶 𝑛+1

A continuación: 2

4𝑧 2 ∫ 4𝑧 𝑑𝑧 = +𝐶 2 0 2

∫ 4𝑧 𝑑𝑧 = 2𝑧 2 0

Se evalúan en los límites correspondientes:

2 = [2𝑧 2 ] − [2𝑧 2 ] 0 2 = [2(2)2 ] − [2(0)2 ] = 8 0 Resultado: 2

3

∫ ∫ 𝑟𝑧 𝑑𝑟𝑑𝑧 = 8 0

1

𝝅

𝟐

𝑏) ∫ ∫ 𝒓(𝜽)𝒓 𝒅𝒓𝒅𝜽 𝟎

𝟎

Separamos la integral de la siguiente manera: 2

∫ 𝑟(𝜃)𝑟 𝑑𝑟 0

Calculáramos la integral indefinida de la anterior función 2

∫ 𝑟(𝜃)𝑟 𝑑𝑟 0

Se utilizara la siguiente formula: 𝑟 𝑛+1 ∫ 𝑟 𝑑𝑟 = +𝐶 𝑛+1 𝑛

Por lo tanto queda de la siguiente manera: ∫ 𝑟(𝜃)𝑟 𝑑𝑟 =

𝜃𝑟 3 +𝐶 3

Aplicamos los límites definidos en la integral 2 𝜃𝑟 3 𝜃𝑟 3 =[ ]−[ ] 0 3 3 2 𝜃(2)3 𝜃(0)3 8𝜃 =[ ]−[ ]= −0 0 3 3 3

Se realizara la siguiente integral: 𝜋

∫ 0

8𝜃 𝑑𝜃 3

Se aplica la siguiente formula de integración:

∫ 𝜃 𝑛 𝑑𝑟 =

𝑧 𝑛+1 +𝐶 𝑛+1

A continuación: 𝜋

8𝜃 4𝜃 2 ∫ 𝑑𝜃 = +𝐶 3 0 3

Se evalúan en los límites correspondientes:

𝜋 4𝜃 2 4𝜃 2 =[ ]−[ ] 0 3 3 2 4(𝜋)2 4(0)2 4𝜋 2 =[ ]−[ ]= 0 3 3 3 Resultado: 𝜋

2

∫ ∫ 𝑟(𝜃)𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜃 = 0

0

4𝜋 2 3

𝝅

𝟐

𝑐) ∫ ∫ (𝒛𝟐 𝜽) 𝒓𝒅𝒛𝒅𝜽 𝟎

𝟎

Separamos la integral de la siguiente manera: 2

∫ 𝑧 2 𝜃𝑟 𝑑𝑟 0

Se utilizara la siguiente formula: ∫ 𝑟 𝑛 𝑑𝑟 =

𝑟 𝑛+1 +𝐶 𝑛+1

Por lo tanto queda de la siguiente manera: 𝑧 2 𝜃𝑟 2 ∫ 𝑧 𝜃𝑟 𝑑𝑟 = +𝐶 2 2

Aplicamos los límites definidos en la integral 2 𝑧 2 𝜃𝑟 2 𝑧 2 𝜃𝑟 2 =[ ]−[ ] 0 2 2 2 𝑧 2 𝜃(2)2 𝑧 2 𝜃(0)2 =[ ]−[ ] = 2𝑧 2 𝜃 0 2 2

Se realizara la siguiente integral: 𝜋

∫ 2𝑧 2 𝜃𝑑𝜃 0

Se aplica la siguiente formula de integración: ∫ 𝜃 𝑛 𝑑𝑟 =

𝑧 𝑛+1 +𝐶 𝑛+1

A continuación: 𝜋

∫ 2𝑧 2 𝜃𝑑𝜃 = 𝑧 2 𝜃 2 + 𝐶 0

Se evalúan en los límites correspondientes:

𝜋 = [𝑧 2 𝜃 2 ] − [𝑧 2 𝜃 2 ] = 𝑧 2 𝜋 2 0

Resultado: 𝜋

2

∫ ∫ (𝑧 2 𝜃) 𝑟𝑑𝑧𝑑𝜃 = 𝑧 2 𝜋 2 0

0

𝟐𝝅

𝑑) ∫ 𝟎

𝟐

𝟑

∫ ∫ 𝜽𝒓𝒅𝒓𝒅𝒛𝒅𝜽 𝟎

𝟏

Separamos la integral de la siguiente manera: 3

∫ 𝜃𝑟𝑑𝑟 1

Se utilizara la siguiente formula: ∫ 𝑟 𝑛 𝑑𝑟 =

𝑟 𝑛+1 +𝐶 𝑛+1

Por lo tanto queda de la siguiente manera: ∫ 𝜃𝑟𝑑𝑟 =

𝜃𝑟 2 +𝐶 2

Aplicamos los límites definidos en la integral

3 𝜃𝑟 2 𝜃𝑟 2 =[ ]−[ ] 1 2 2 3 𝜃𝑟 2 𝜃𝑟 2 9𝜃 𝜃 =[ ]−[ ]= − = 4𝜃 1 2 2 2 2

Se realizara la siguiente integral: 2

∫ 4𝜃𝑑𝑧 0

Se aplica la siguiente formula de integración: ∫ 𝜃 𝑛 𝑑𝑧 =

𝑧 𝑛+1 +𝐶 𝑛+1

A continuación: 2

∫ 4𝜃𝑑𝑧 = 4𝜃𝑧 + 𝐶 0

Se evalúan en los límites correspondientes:

2 = [4𝜃𝑧] − [4𝜃𝑧] 0 2 = [4𝜃(2)] − [4𝜃(0)] = 8𝜃 − 0 0

Se realizara la siguiente integral: 2𝜋

∫ 0

8𝜃𝑑𝜃

Se aplica la siguiente formula de integración: 𝜃 𝑛+1 ∫ 𝜃 𝑑𝜃 = +𝐶 𝑛+1 𝑛

A continuación: 2

∫ 8𝜃𝑑𝜃 = 4𝜃 2 + 𝐶 0

Se evalúan en los límites correspondientes:

2𝜋 = [4𝜃 2 ] − [4𝜃 2 ] 0 2 = [4(2𝜋)2 ] − [4(0)2 ] = 16𝜋 2 0

Resultado: 2𝜋

𝑑) ∫ 0

2

3

∫ ∫ 𝜃𝑟𝑑𝑟𝑑𝑧𝑑𝜃 = 16𝜋 2 0

1

2. Obtén la integral de superficie en las siguientes funciones: 𝑎) 𝑓(𝑟, 𝜃, 𝜑) = 𝑟 2 𝜃 = 0 Se reescribe la función en forma de integral y con su diferencial ∫ 𝑓(𝑟, 𝜃, 𝜑)𝑑𝐴 Se utilizara el siguiente diferencial: 𝑑𝐴 = 𝑟𝑆𝑒𝑛(𝜃)𝑑𝜑𝑑𝑟 Se reescribe la siguiente integral aplicando la función y el diferencial ∫ 𝑟 2 𝑟𝑆𝑒𝑛(𝜃)𝑑𝜑𝑑𝑟 Se simplifica la anterior función: ∫ 𝑟 3 𝑆𝑒𝑛(𝜃)𝑑𝜑𝑑𝑟 Se dejan fuera las constantes: 𝑆𝑒𝑛(𝜃) ∫ 𝑟 3 𝑑𝜑𝑑𝑟 Se integra con la formula directa de integración con cada uno de los diferenciales: 𝑟4 𝑆𝑒𝑛(𝜃) ∫ 𝑟 𝑑𝜑𝑑𝑟 = + 𝐶 4 3

𝑟4 𝑆𝑒𝑛(𝜃) ∫ 1𝑑𝜑 = 𝜑 + 𝐶 4

Resultado: 𝑟4 ∫ 𝑟 𝑑𝜑𝑑𝑟 = 𝑆𝑒𝑛(𝜃) 𝜑 + 𝐶 4 3

𝑏) 𝑓(𝑟, 𝜃, 𝜑) = 𝜑𝑟 𝜃 = 0 Se reescribe la función en forma de integral y con su diferencial ∫ 𝑓(𝑟, 𝜃, 𝜑)𝑑𝐴 El diferencial es el siguiente; 𝑑𝐴 = 𝑟𝑆𝑒𝑛(𝜃)𝑑𝜑𝑑𝑟 Se sustituyen cada una de las funciones dentro de la integral, así como su diferencial: ∫ 𝜑𝑟𝑟𝑆𝑒𝑛(𝜃)𝑑𝜑𝑑𝑟 Se simplifica la función anterior, quedando: ∫ 𝜑𝑟 3 𝑆𝑒𝑛(𝜃)𝑑𝜑𝑑𝑟 Se dejan fuera de la integral las constantes que no tienen diferencial 𝑆𝑒𝑛(𝜃) ∫ 𝑟 3 𝜑𝑑𝜑𝑑𝑟 Se integran cada una de las variables con respecto a su diferencial: 𝑟4 𝑆𝑒𝑛(𝜃) ∫ 𝑟 𝜑𝑑𝜑𝑑𝑟 = + 𝐶 4 3

𝑟4 𝜑2 𝑆𝑒𝑛(𝜃) ∫ 𝜑𝑑𝜑 = +𝐶 4 2 Resultado: ∫ 𝑟 3 𝑑𝜑𝑑𝑟 = 𝑆𝑒𝑛(𝜃)

𝑟 4 𝜑2 4 2

𝒄) 𝒇(𝒓, 𝜽, 𝝋) = 𝝋𝒓 𝒓 = 𝟒 Se reescribe la función en forma de integral y con su diferencial ∫ 𝑓(𝑟, 𝜃, 𝜑)𝑑𝐴 Este es el diferencial a utilizar: 𝑑𝐴 = 𝑟 2 𝑆𝑒𝑛(𝜃)𝑑𝜑𝑑𝜃 Se sustituyen los datos dentro de la integral ∫ 𝜑𝑟𝑟 2 𝑆𝑒𝑛(𝜃)𝑑𝜑𝑑𝜃 Se verifica cuales diferenciales tenemos para proceder a integrar: ∫ 𝜑𝑟 3 𝑆𝑒𝑛(𝜃)𝑑𝜑𝑑𝜃 Se sacan las constantes de la integral: 𝑟 3 ∫ 𝜑𝑆𝑒𝑛(𝜃)𝑑𝜑𝑑𝜃

Empezamos a integrar bajo la siguiente regla: 𝑥 𝑛+1 ∫ 𝑥 𝑑𝜃 = +𝐶 𝑛+1 𝑛

Quedando de la siguiente forma: 𝑟 3 ∫ 𝜑𝑆𝑒𝑛(𝜃)𝑑𝜑𝑑𝜃 =

𝜑2 +𝐶 2

𝑟 3 ∫ 𝜑𝑆𝑒𝑛(𝜃)𝑑𝜑𝑑𝜃 = −𝐶𝑜𝑠𝜃 + 𝐶

−𝑟 3

𝜑2 𝐶𝑜𝑠(𝜃) + 𝐶 2

3. Obtén la integral de volumen de las siguientes funciones: 𝑎) 𝑓(𝑟, 𝜃, 𝜑) = 𝜑𝑟

Se escribe la integral con respecto la función y el diferencial del volumen: ∫ 𝑓(𝑟, 𝜃, 𝜑)𝑑𝑉

Se utiliza el siguiente diferencial para el volumen: 𝑑𝑉 = 𝑟 2 𝑆𝑒𝑛(𝜃)𝑑𝜑𝑑𝜃𝑑𝑟

Se sustituyen cada uno de los valores, tanto la función como el diferencial ∫ 𝜑𝑟𝑟 2 𝑆𝑒𝑛(𝜃)𝑑𝜑𝑑𝜃𝑑𝑟

Se simplifica la anterior función, quedando lo siguiente: ∫ 𝜑𝑟 3 𝑆𝑒𝑛(𝜃)𝑑𝜑𝑑𝜃𝑑𝑟

Se empieza a integrar dependiendo de los distintos diferenciales:

∫ 𝜑𝑟 3 𝑆𝑒𝑛(𝜃)𝑑𝜑𝑑𝜃𝑑𝑟 = 𝐶𝑜𝑠(𝜃) + 𝐶

∫ 𝜑𝑟 3 𝑑𝜑𝑑𝑟 =

𝑟4 +𝐶 4

𝜑2 ∫ 𝜑𝑑𝜑 = +𝐶 2

Resultado: ∫ 𝜑𝑟 3 𝑆𝑒𝑛(𝜃)𝑑𝜑𝑑𝜃𝑑𝑟 = 𝐶𝑜𝑠(𝜃)

𝑟 4 𝜑2 +𝐶 4 2

𝒃) 𝒇(𝒓, 𝜽, 𝝋) = 𝝋𝟐 Se escribe la integral con respecto la función y el diferencial del volumen: ∫ 𝑓(𝑟, 𝜃, 𝜑)𝑑𝑉

Se utiliza el siguiente diferencial para el volumen: 𝑑𝑉 = 𝑟 2 𝑆𝑒𝑛(𝜃)𝑑𝜑𝑑𝜃𝑑𝑟

Se sustituyen cada uno de los valores, tanto la función como el diferencial ∫ 𝜑𝑟𝑟 2 𝑆𝑒𝑛(𝜃)𝑑𝜑𝑑𝜃𝑑𝑟

Se simplifica la anterior función, quedando lo siguiente:

∫ 𝜑𝑟 3 𝑆𝑒𝑛(𝜃)𝑑𝜑𝑑𝜃𝑑𝑟

Se empieza a integrar dependiendo de los distintos diferenciales: ∫ 𝜑𝑟 3 𝑆𝑒𝑛(𝜃)𝑑𝜑𝑑𝜃𝑑𝑟 = 𝐶𝑜𝑠(𝜃) + 𝐶

Se realizan cada una de las integrales de acuerdo a su diferencial ∫ 𝜑𝑟 3 𝑑𝜑𝑑𝑟 =

∫ 𝜑𝑑𝜑 =

𝑟4 +𝐶 4

𝜑2 +𝐶 2

Resultado: ∫ 𝜑𝑟 3 𝑆𝑒𝑛(𝜃)𝑑𝜑𝑑𝜃𝑑𝑟 = 𝐶𝑜𝑠(𝜃)

𝑟 4 𝜑2 +𝐶 4 2

Bibliografía: 1. Stewart, J. (2001). Cálculo de una variable. Trascendentes Tempranas. México: Thomson Learning. 2. Larson, R.; Hostetler, R.; Edwards, B. (2005). Cálculo Diferencial e Integral. México: Mc Graw Hill.

3. Orduño, H. (2008). Cálculo. México: Fondo de Cultura Económica. 4. Swokowski, E. (1989). Cálculo con Geometría Analítica. México: Grupo Editorial Iberoamérica. 5. Granville, W. (2001). Cálculo Diferencial e Integral. México: Editorial Limusa.